专题34 直线与圆锥曲线的综合应用（练习）-2027年吉林省（高职分类考试）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年吉林省（高职分类考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年吉林省高职分类考试 《数学一轮讲练测》练习 专题34 直线与圆锥曲线的综合应用 【考点1 直线与椭圆的位置关系】 1．直线与椭圆的位置关系为（ ） A．与k的值有关 B．相切 C．相离 D．相交 2．直线与椭圆 的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 3．已知椭圆的左、右焦分别为、，过点的直线交该椭圆于、两点，若，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 4．过椭圆的右焦点垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B两点，则A，B两点的距离为（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 5．已知直线：与椭圆相交于两点，则弦长为（    ） A． B． C． D． 6．在椭圆方程中，连接四个顶点形成的四边形面积是（    ） A． B． C． D．12 7．已知椭圆的方程为，若点在第二象限，且，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【考点2 直线与双曲线的位置关系】 8．直线与双曲线的位置关系是（    ） A．相离 B．相交且只有一个交点 C．相交且有两个交点 D．相切 9．过点作直线交双曲线于、两点，若为中点，则直线斜率（　　） A． B． C． D． 10．已知，分别是双曲线的左､右焦点，若是双曲线左支上的点，且.则的面积为（    ） A．8 B． C．16 D． 11．已知等轴双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，与直线交于A，B两点，若，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 12．若直线过双曲线的右焦点，且倾斜角为，则所截得弦长为（    ） A． B． C． D． 【考点3 直线与抛物线的位置关系】 13．过点且与抛物线C：有且仅有一个公共点的直线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 14．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点.若，则弦的长度为（   ）. A．8 B．9 C．11 D．15 15．抛物线与直线有两个交点，两交点纵坐标之差为（　　） A．5 B．10 C．20 D．40 16．直线与抛物线相切，则的值为（　　） A． B． C． D． 17．与直线平行的抛物线的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【考点1 直线与椭圆的位置关系】 18．直线与椭圆相交. (1)求交点； (2)求两交点间距离. 19．如图，，分别为椭圆的左、右焦点，抛物线的焦点与椭圆的右焦点相同，且与椭圆交于，两点，四边形的周长为8．    (1)求椭圆的标准方程； (2)求以为直径的圆的标准方程． 20．已知椭圆：（）的两个焦点为，，其中，离心率． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆交于，两点，求； (3)求的面积． 21．椭圆的中心原点是O，它的短轴长是，对应的焦点的准线与x轴相交于点A，，过点A的直线与椭圆交于P、Q两点. (1)求椭圆的方程及离心率； (2)若，求直线PQ的方程. 【考点2 直线与双曲线的位置关系】 22．已知双曲线的焦点在x轴上，两个焦点间的距离为，双曲线上一点到两焦点距离之差的绝对值为6. (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线过双曲线的右焦点且与双曲线相交于两点，，求直线的方程. 23．已知双曲线 的离心率为2，且过点 (1)求双曲线的方程； (2)是否存在直线，使得l与双曲线交于两点，且以为直径的圆过原点?若存在，求出 k 的值；若不存在，请说明理由. 24．在平面直角坐标系中，曲线上的动点到两定点，的距离之差的绝对值为2. (1)求曲线的轨迹方程； (2)若过点的直线与曲线交于，两点，且满足，求直线的斜率. 【考点3 直线与抛物线的位置关系】 25．已知抛物线C：的焦点为F，点在抛物线C上． (1)求以MF为直径的圆E的方程； (2)若过点的直线l与抛物线交于A、B两点，且，求直线l的方程． 26． 如果抛物线（）和圆在x轴上方相交于A，B两点，且弦的中点M在直线上，求抛物线的方程. 27．已知直线：过抛物线的焦点. (1)求的值，并写出直线的方程； (2)判断抛物线与直线是否有交点，如果有，求出交点坐标. 28．已知抛物线的顶点为原点，准线为． (1)求抛物线的标准方程． (2)过抛物线焦点的直线，被抛物线截得的线段长度为，求此直线方程． 29．已知抛物线的焦点F是椭圆的一个顶点，直线l与抛物线交于M，N两点，点为线段的中点． (1)求抛物线的标准方程； (2)设O为坐标原点，求的面积． 30．如图所示，已知抛物线上横坐标为6的点到焦点F的距离为8．    (1)求抛物线的标准方程及焦点F的坐标； (2)若过点F的直线l与抛物线交于M，N两点，且，求的值． 1.（2026·吉林·真题T33）已知抛物线，到F的距离为4，直线交抛物线于A、B两点，且． （1）求抛物线的标准方程． （2）求直线l的方程． 2.（2025·吉林·真题T33）已知椭圆的左右焦点分别为，经过左焦点右焦点且倾斜角为直线l与椭圆交于，两点， （1）求的周长； （2）求． 3.（2024·吉林·真题T33）已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为． （1）求双曲线的标准方程； （2）过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，求． 4.（2023·吉林·真题T33）如图，，分别为椭圆的左、右焦点，抛物线的焦点与椭圆的右焦点相同，且与椭圆交于，两点，四边形的周长为8． （1）求椭圆的标准方程； （2）求以为直径的圆的标准方程． 5.（2022·吉林·真题T33）已知抛物线经过点． （1）求抛物线C的标准方程； （2）过点且斜率为1的直线与抛物线C交于A、B两点，求弦长 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年吉林省（高职分类考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年吉林省高职分类考试 《数学一轮讲练测》练习 专题34 直线与圆锥曲线的综合应用 【考点1 直线与椭圆的位置关系】 1．直线与椭圆的位置关系为（ ） A．与k的值有关 B．相切 C．相离 D．相交 【答案】D 【分析】先求出直线的必过定点，利用椭圆的性质得到点在椭圆内部，进而得到位置关系即可. 设椭圆上的点为，则，， 而直线恒过定点，则该定点在椭圆的内部， 可得不论k为何值，直线与椭圆都相交，故D正确. 故选：D 2．直线与椭圆 的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【答案】A 【分析】求出直线上的定点，将定点坐标代入椭圆方程，根据定点与椭圆的位置关系即可解得. 【详解】直线恒过定点，又， 所以点在椭圆内部，故直线与椭圆相交； 故选：A 3．已知椭圆的左、右焦分别为、，过点的直线交该椭圆于、两点，若，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据椭圆定义得，得到的周长即可求解. 【详解】椭圆，，， 、在圆上，，， 的周长为， ，. 故选：C. 4．过椭圆的右焦点垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B两点，则A，B两点的距离为（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】先根据椭圆方程求出右焦点坐标，再将右焦点的横坐标代入椭圆方程求出、两点的纵坐标，最后计算、两点间的距离. 【详解】在椭圆中，，， 则，所以右焦点坐标为， 因为过右焦点垂直于轴的直线与椭圆交于、两点，所以、两点的横坐标都为， 将代入椭圆方程，可得，解得， 则、两点的纵坐标分别为和，所以， 故选：B. 5．已知直线：与椭圆相交于两点，则弦长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先联立直线与椭圆方程组，求出两点坐标，再由两点之间的距离公式求值即可. 【详解】已知直线：与椭圆， 联立方程组得，解得， 所以，则， 故选：B. 6．在椭圆方程中，连接四个顶点形成的四边形面积是（    ） A． B． C． D．12 【答案】D 【分析】根据椭圆方程求出的值，代入菱形面积公式即可得解. 【详解】椭圆方程，则， 连接四个顶点形成的是一个菱形，其对角线长分别为和， 则菱形面积， 故选：. 7．已知椭圆的方程为，若点在第二象限，且，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用椭圆的定义和余弦定理求出与，再根据三角形面积公式求解. 【详解】对于椭圆方程，可得，， 可得，那么， 根据椭圆的定义，得， 在中，由余弦定理得， 已知，， 代入可得， 又因为，所以，解得， 所以的面积. 故选：D.    【考点2 直线与双曲线的位置关系】 8．直线与双曲线的位置关系是（    ） A．相离 B．相交且只有一个交点 C．相交且有两个交点 D．相切 【答案】B 【分析】联立直线与双曲线方程，根据整理得到的方程及其根的个数即可判断. 【详解】联立直线与双曲线的方程，消除得到， 整理得一元一次方程，解得， 代入解得，这表明直线与双曲线有一个公共交点， 双曲线中，双曲线渐近线与直线平行并且不重合， 所以直线与双曲线相交且只有一个交点. 故选：B. 9．过点作直线交双曲线于、两点，若为中点，则直线斜率（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用点差法求解即可. 【详解】设，，则：， 上下相减得：， 由中点知，， 代入得：. 故选：C. 10．已知，分别是双曲线的左､右焦点，若是双曲线左支上的点，且.则的面积为（    ） A．8 B． C．16 D． 【答案】C 【分析】利用双曲线的定义，可得，据此可求解. 【详解】由，可得，， 从而，， 所以. 因为P是双曲线左支上的点，所以， 两边平方，得， 所以， 所以， 所以. 故选：C 11．已知等轴双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，与直线交于A，B两点，若，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出双曲线方程，联立直线，求出交点坐标，即可求解 【详解】由题意可设双曲线方程为，， 由得，则，， 不妨假设，则， 由图象的对称性可知， 可化为， 即，解得， 故双曲线方程为：， 故选：C 12．若直线过双曲线的右焦点，且倾斜角为，则所截得弦长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件写出直线方程，直线与双曲线方程联立，用弦长公式即可求解. 【详解】由双曲线方程，则右焦点为 设直线方程为，直线与双曲线两交点坐标为 又直线倾斜角为，，直线方程为， 直线与双曲线方程联立得，化简得， 设直线与双曲线两交点坐标为， 则， 所截得弦长为. 故选：. 【考点3 直线与抛物线的位置关系】 13．过点且与抛物线C：有且仅有一个公共点的直线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】分类讨论直线斜率存在和不存在的情况，结合只有一个交点即可得解. 【详解】当直线斜率不存在时，过点的直线为， 将代入中得，只有一个交点，符合题意； 当直线斜率存在时，设直线方程为， 联立方程组得， 当时，此时，解得，有唯一解，此时直线方程为，符合题意，； 当时，，解得，此时直线方程为， 所以符合条件的直线有条， 故选：. 14．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点.若，则弦的长度为（   ）. A．8 B．9 C．11 D．15 【答案】C 【分析】根据抛物线的性质即可求解. 【详解】抛物线属于抛物线方程的标准形式（开口向右）， 得， 抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离， 即. 故选：C. 15．抛物线与直线有两个交点，两交点纵坐标之差为（　　） A．5 B．10 C．20 D．40 【答案】C 【分析】将代入抛物线中，求出纵坐标即可得解. 【详解】将代入抛物线, 得 ，解得， 故两交点纵坐标之差为20. 故选：C. 16．直线与抛物线相切，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意联立方程组，令即可得解. 【详解】直线与抛物线相切， 则， ，解得， 故选：. 17．与直线平行的抛物线的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先设切线方程为，再与抛物线方程联立，根据解的个数用判别式求出，即可得到切线方程. 【详解】设直线平行的切线方程为， 则列方程组为将①代入②中， 得即， 由于抛物线与相切， 所以中判别式， 解得， 所以切线方程为. 故选：D. 【考点1 直线与椭圆的位置关系】 18．直线与椭圆相交. (1)求交点； (2)求两交点间距离. 【答案】(1)，. (2) 【分析】（1）把代入椭圆方程，解一元二次方程得到横坐标，再得到纵坐标，即可得出结果； （2）用两点间距离公式求距离即可. 【详解】（1）将代入， ，，，， 解得或. 对应，. 交点为，. （2）两点间距离 . 故两交点为，；两交点间距离为. 19．如图，，分别为椭圆的左、右焦点，抛物线的焦点与椭圆的右焦点相同，且与椭圆交于，两点，四边形的周长为8．    (1)求椭圆的标准方程； (2)求以为直径的圆的标准方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据抛物线方程求出焦点坐标，从而得到椭圆的半焦距，再根据四边形的周长及椭圆定义求得，进而得到，写出椭圆方程. （2）通过联立抛物线与椭圆方程解得交点坐标，根据中点公式和距离公式求得圆心和半径，从而写出圆的方程. 【详解】（1）设椭圆的标准方程为， 因为抛物线，所以， 所以焦点， 所以椭圆中， 又，, 所以，即， 则， 所以椭圆的标准方程为. （2）由（1）知椭圆的标准方程为，， 联立， 消去并整理得， 解得或（舍）， ， 即或， 则，， 则以为直径的圆的圆心为， 以为直径的圆的半径， 所以以为直径的圆的标准方程为. 20．已知椭圆：（）的两个焦点为，，其中，离心率． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆交于，两点，求； (3)求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据椭圆的焦点可求解c的值，再由离心率可求解a的值，即可求解椭圆的标准方程. （2）联立直线与椭圆的方程，求解交点坐标，由两点间距离公式求解即可. （3）先求出到直线l的距离，再由三角形面积计算即可. 【详解】（1）因为椭圆的焦点，可得， 又因为离心率，可得， 所以， 所以椭圆的方程为：； （2）设，， 联立， 整理可得：，可得或， 可得或， 所以； （3）由（1）可得， 由（2）可得到直线的距离， 所以. 21．椭圆的中心原点是O，它的短轴长是，对应的焦点的准线与x轴相交于点A，，过点A的直线与椭圆交于P、Q两点. (1)求椭圆的方程及离心率； (2)若，求直线PQ的方程. 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）根据椭圆的性质确定a，b，c的值，然后代入椭圆的标准方程和离心率公式求解即可. （2）根据直线与椭圆的位置关系，联立方程组构造一元二次方程，利用韦达定理结合已知条件求出直线的斜率，进而确定直线方程. 【详解】（1）解： 如图所示，因为椭圆的中心原点是O，短轴长是，即， 所以可设椭圆的方程为. 由已知得， 解得，， 所以椭圆的方程为，离心率为. （2）由（1）可得A(3，0)，由题意可知，直线的PQ斜率k一定存在， 故设直线PQ的方程为， 联立方程组得，， 由得， 解得，. 设直线与椭圆交于，，则由韦达定理可得， ， 又由直线PQ的方程得，，， 于是 ， 因为，所以， 即， 化简得，解得， 所以直线PQ的方程为， 即或. 【考点2 直线与双曲线的位置关系】 22．已知双曲线的焦点在x轴上，两个焦点间的距离为，双曲线上一点到两焦点距离之差的绝对值为6. (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线过双曲线的右焦点且与双曲线相交于两点，，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据双曲线的定义确定标准方程即可. （2）设直线，联立双曲线方程，用弦长公式列方程，解得，化简得直线方程. 【详解】（1）已知两个焦点间的距离为， 则，， 由双曲线上一点到两焦点距离之差的绝对值为6.， 得，则， 已知双曲线的焦点在x轴上， 所以双曲线标准方程为. （2）已知直线过双曲线的右焦点， 若斜率不存在，则直线方程为， 代入双曲线方程为， 解得，此时不符合题意， 当斜率存在时，设直线， 联立双曲线方程， 消去得， 设， 则， 由弦长公式得，， 其中 ， 则，即， 当时，， 则，整理得，解得， 解得，直线方程为， 即， 当时，， 即，整理得无解舍去， 综上所述，直线的方程为. 23．已知双曲线 的离心率为2，且过点 (1)求双曲线的方程； (2)是否存在直线，使得l与双曲线交于两点，且以为直径的圆过原点?若存在，求出 k 的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）利用双曲线离心率公式和过点的条件列方程求解即可. （2）将将代入双曲线方程，设，再由韦达定理得出，再由向量垂直的条件判断是否存在直线即可. 【详解】（1）双曲线的离心率， 所以，又 ， 所以， 则双曲线方程为， 因为双曲线过点代入得：， 即，所以， 解得则 ， 所以双曲线的方程为. （2）由（1）可知双曲线的方程为， 将代入双曲线方程得，， 即， 整理得， 设由韦达定理得， ， 因为以为直径的圆过原点，所以， 即， 代入，得， 得， 将 和 代入得， ， 则， 即， 整理得，解得， 接下来检验判别式 ， 当时， 满足直线与双曲线有两个交点， 当时，也满足直线与双曲线有两个交点， 所以. 24．在平面直角坐标系中，曲线上的动点到两定点，的距离之差的绝对值为2. (1)求曲线的轨迹方程； (2)若过点的直线与曲线交于，两点，且满足，求直线的斜率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据双曲线的定义求解即可. （2）设出直线方程以及点，坐标，联立两方程根据韦达定理以及，表示出点，坐标，再求出直线的斜率即可. 【详解】（1）因为曲线上的动点到两定点，的距离之差的绝对值为2， 所以曲线的轨迹是焦点在轴上的双曲线， 且，，即，， 故曲线的轨迹方程为. （2）设直线的斜率为，，两点的坐标为，， 则直线的方程为， 联立方程整理得. 因为直线与双曲线有两个交点，所以， 解得. 由根与系数的关系得，. 又，即，可得. 由，得， ，得，即， 解得，故直线的斜率为. 【考点3 直线与抛物线的位置关系】 25．已知抛物线C：的焦点为F，点在抛物线C上． (1)求以MF为直径的圆E的方程； (2)若过点的直线l与抛物线交于A、B两点，且，求直线l的方程． 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）根据抛物线上的点确定抛物线方程，进而得到焦点坐标，即可利用中点坐标公式与两点间距离公式得到圆的圆心与半径，即可得到答案； （2）根据直线与抛物线的位置关系，利用焦半径公式求解即可； 【详解】（1）∵点在抛物线C上，∴，解得， ∴抛物线C：．则焦点． ∴， MF的中点E为，即． 以MF为直径的圆E的方程：， 整理可得，． （2）当直线l斜率不存在时，不满足． 抛物线的准线方程为， 设点A、B的坐标分别为，，且，， ∵，且直线l过焦点F， ∴， 即． 设直线l斜率为k，，则直线l的方程为． 联立直线与抛物线方程，消去y得，． ， 解得， 故直线l的方程为或． 26．如果抛物线（）和圆在x轴上方相交于A，B两点，且弦的中点M在直线上，求抛物线的方程. 【答案】 【分析】联立抛物线与圆的方程，利用韦达定理求出弦中点的坐标，再结合中点在直线上求出的值. 【详解】设，，， 联立抛物线方程与圆的方程， 可得，即， 因为抛物线（）和圆在x轴上方相交于A，B两点， 所以，且，解得， 根据韦达定理可得，， 所以， 又因为， 由题意，则， 则， ， 又点M在直线上，则，即， 则，即，解得， 又，所以， 所以抛物线的方程是.    27．已知直线：过抛物线的焦点. (1)求的值，并写出直线的方程； (2)判断抛物线与直线是否有交点，如果有，求出交点坐标. 【答案】(1)； (2)有交点，交点坐标为或 【分析】（1）由抛物线方程求得焦点为，将点代入直线方程中即可求解； （2）联立直线方程与抛物线方程，若方程求解即可求得交点坐标，若方程无解，则直线与抛物线没有交点. 【详解】（1）由得抛物线焦点为， 将点代入直线中， 解得， 所以直线的方程为. （2）联立方程为，得， 又因为方程解得或， 代入中，解得或. 所以抛物线与直线是有交点，交点坐标为或. 28．已知抛物线的顶点为原点，准线为． (1)求抛物线的标准方程． (2)过抛物线焦点的直线，被抛物线截得的线段长度为，求此直线方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设抛物线的标准方程为，由准线方程可求得的值，得解； （2）根据题目，分析可知，直线的斜率存在，设为，写出直线的方程，与抛物线方程联立，结合韦达定理及抛物线的定义，求得的值. 【详解】（1）设抛物线的标准方程为， 因为准线为，即， 所以，即， 所以抛物线的标准方程为. （2）由（1）可得抛物线焦点坐标为， 如果所求直线的斜率不存在，则被抛物线所截线段长为，不满足题意， 故所求直线的斜率存在，设为， 则所求直线方程为，设与抛物线的交点为， 联立方程组，消去，得， 整理得， ， 由韦达定理得， 根据抛物线的定义得 从而有， 解得， 所以所求直线方程为或， 即或. 29．已知抛物线的焦点F是椭圆的一个顶点，直线l与抛物线交于M，N两点，点为线段的中点． (1)求抛物线的标准方程； (2)设O为坐标原点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆的顶点，结合抛物线的标准方程即可求解. （2）根据直线的公式，中点坐标公式，结合抛物线的弦长公式，点到直线的距离公式，以及三角形的面积公式，韦达定理即可求解. 【详解】（1）由椭圆得顶点为，， 因为抛物线的焦点F是椭圆的一个顶点， 所以抛物线焦点，则，解得，抛物线方程为．      （2）设，，因为在抛物线上，所以， 则，即， 因为是中点，所以 ，则直线l的斜率 ， 所以方程为，即， 联立，则，所以, 则, 因为原点到直线的距离为, 所以三角形的面积为.    30．如图所示，已知抛物线上横坐标为6的点到焦点F的距离为8．    (1)求抛物线的标准方程及焦点F的坐标； (2)若过点F的直线l与抛物线交于M，N两点，且，求的值． 【答案】(1)方程为，焦点 (2) 【分析】（1）根据抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离结合题意列式求出的值即可求解. （2）设直线，联立直线与抛物线方程得，根据向量的坐标表示结合根与系数的关系以及向量的内积运算即可求解. 【详解】（1）由抛物线方程可得准线方程为， 因为抛物线上横坐标为6的点到焦点F的距离为8， 又抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离， 所以，解得，所以抛物线的方程为，焦点为. （2）若直线的斜率不存在，则直线方程为， 联立方程，解得或， 所以，则，不满足； 若直线的斜率存在，设直线， 联立得，则， 又， 由，则， ，结合，得， 由，所以 ，， 所以， ， 则． 1.（2026·吉林·真题T33）已知抛物线，到F的距离为4，直线交抛物线于A、B两点，且． （1）求抛物线的标准方程． （2）求直线l的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用抛物线的定义求解的值即可； （2）联立直线与抛物线的方程，再结合抛物线的定义和已知条件求解的值. 【小问1详解】 抛物线的准线方程为， 已知点到焦点的距离为， 由抛物线定义可知，点到准线的距离也为， 则，所以， 故抛物线的标准方程为. 【小问2详解】 联立直线：与抛物线的方程， 可得：，即， 设，，由韦达定理可知， 根据抛物线的定义，，， 则， 所以，可得，解得， 当时，方程变成， 此时，满足直线与抛物线有两个交点. 所以直线的方程为. 2.（2025·吉林·真题T33）已知椭圆的左右焦点分别为，经过左焦点右焦点且倾斜角为直线l与椭圆交于，两点， （1）求的周长； （2）求． 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（）根据题意作出图像，利用椭圆方程求出值，结合椭圆的定义及三角形周长公式即可得解. （）根据椭圆方程求出坐标，利用直线的点斜式方程求出直线方程，联立方程组求出的坐标，代入两点间距离公式即可得解. 【小问1详解】 如图所示，作出图像， 椭圆，焦点在轴上，且， 由椭圆的定义可知， ∴的周长为， 所以的周长为. 【小问2详解】 椭圆，，，，即， ∴，， 直线l的方程， 设，，联立， 整理得，解得 所以 ， 所以. 3.（2024·吉林·真题T33）已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为． （1）求双曲线的标准方程； （2）过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据焦点坐标求出，渐近线方程求出，利用即可求解； （2）利用点斜式求出直线方程，与双曲线联立方程组消掉，由韦达定理得，根据两点间的距离公式即可求解. 【小问1详解】 因为双曲线的右焦点为， 所以， 又渐近线方程为， 所以，即， 由得， 解得， 所以双曲线的标准方程为. 【小问2详解】 由直线的倾斜角为得直线斜率为， 因为直线过双曲线的右焦点， 所以直线方程为， 设， 直线与双曲线联立方程组得，消去得， 由韦达定理得， 故 4.（2023·吉林·真题T33）如图，，分别为椭圆的左、右焦点，抛物线的焦点与椭圆的右焦点相同，且与椭圆交于，两点，四边形的周长为8． （1）求椭圆的标准方程； （2）求以为直径的圆的标准方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据抛物线方程求出焦点坐标，从而得到椭圆的半焦距，再根据四边形的周长及椭圆定义求得，进而得到，写出椭圆方程. （2）通过联立抛物线与椭圆方程解得交点坐标，根据中点公式和距离公式求得圆心和半径，从而写出圆的方程. 【小问1详解】 设椭圆的标准方程为， 因为抛物线，所以， 所以焦点， 所以椭圆中， 又，, 所以，即， 则， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 由（1）知椭圆的标准方程为，， 联立， 消去并整理得， 解得或（舍）， ， 即或， 则，， 则以为直径圆的圆心为， 以为直径的圆的半径， 所以以为直径的圆的标准方程为. 5.（2022·吉林·真题T33）已知抛物线经过点． （1）求抛物线C的标准方程； （2）过点且斜率为1的直线与抛物线C交于A、B两点，求弦长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据抛物线上的点求解抛物线的标准方程即可. （2）根据题意得到直线的方程，再联立方程组得到交点坐标，利用两点间距离公式求解即可. 【小问1详解】 因为抛物线过点. 所以，解得. 所以抛物线的标准方程为：. 【小问2详解】 由题可知，设直线为. 因为过点且斜率为1. 所以直线的方程为. 联立直线与抛物线方程，有整理得， 解得或9，代入直线方程解得或6. 即点. 所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $