专题34 直线与圆锥曲线的综合应用（讲义）-2027年吉林省（高职分类考试）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年吉林省（高职分类考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年吉林省高职分类考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题34 直线与圆锥曲线的综合应用 【复习目标】 掌握直线与圆锥曲线方程及性质，会联立方程，利用判别式、韦达定理解决弦长、中点等基础问题. 【考点1 直线与椭圆的位置关系】 1．直线与椭圆的位置关系 判断方法：直线与椭圆联立方程组，得到一个关于x或y的一元二次方程，根据判别式Δ进行判断： ①直线与椭圆相交于两点⇔ ； ②直线与椭圆相切⇔ ； ③直线与椭圆相离⇔ . 2．弦长：直线l与椭圆交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则这两点间的距离 |AB| 叫做椭圆的弦长． 求弦长的方法：通常是设出直线与椭圆的交点坐标，但并不求交点坐标，而是联立直线方程与椭圆方程，消去y(或x)，得到关于x(或y)的二次方程，通过根与系数的关系求出x1＋x2和x1x2(或y1＋y2和y1y2)．通过两点间的距离转化为下列弦长公式： |AB|＝＝ (或|AB|＝) 3．中点弦问题：解圆锥曲线的中点弦问题的简便方法是运用“点差法”，一般步骤是：设直线与圆锥曲线的交点坐标为A(x1，y1)、B(x2，y2)，将A、B两点的坐标代入圆锥曲线的方程，并将两代数式作差，由中点坐标公式得到x1＋x2和y1＋y2，解出k＝的值，即用中点坐标表示直线的斜率. 4.垂直问题：已知直线的斜率，直线方程可设为斜截式，再利用OA⊥OB⇔x1x2＋y1y2＝0及直线与椭圆联立的方程组得到的x1x2和y1y2可求出待定系数. 【即时训练】 1．若直线与椭圆有两个公共点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知直线椭圆，则直线和椭圆之间的位置关系是（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相切或相交 3．已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆有且仅有一个交点，求实数的值. 4．已知椭圆：（）的两个焦点为，，其中，离心率． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆交于，两点，求； (3)求的面积． 5．椭圆的中心原点是O，它的短轴长是，对应的焦点的准线与x轴相交于点A，，过点A的直线与椭圆交于P、Q两点. (1)求椭圆的方程及离心率； (2)若，求直线PQ的方程. 6．设椭圆的中心在原点O，焦点在y轴上，离心率为，且椭圆上的点到两焦点的距离和为．求： (1)椭圆的标准方程； (2)若直线交椭圆于A，B两点，且，求实数n的值． 7．设椭圆过点，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)求过点且斜率为的直线被椭圆所截线段的中点的坐标. 【考点2 直线与双曲线的位置关系】 1．直线与双曲线的位置关系 直线与双曲线的位置关系有： 、 和 ． (1)当直线与双曲线的渐近线不平行时 联立直线和双曲线的方程得化为一个关于x或y的一元二次方程，根据判别式Δ进行判断： ①Δ＞0⇔直线与双曲线相交； ②Δ＝0⇔直线与双曲线相切； ③Δ＜0⇔直线与双曲线相离． (2)当直线与双曲线的渐近线平行时 联立直线和双曲线的方程化为关于x或y的一元一次方程，只有一个解，此时直线与双曲线是相交，一个交点，而不是相切． 2．弦长 (1)直线l交双曲线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|叫作弦长． (2)求弦长的方法 设出直线与双曲线的交点坐标，但并不求交点坐标，而是联立直线方程与双曲线方程，得到关于x(或y)的一元二次方程，运用根与系数的关系求出x1＋x2和x1·x2(或y1＋y2和 y1·y2)，通过下列转化方法求出弦长． |AB|＝＝ ＝＝. 或|AB|＝ 3．中点弦问题：解圆锥曲线的中点弦问题的简便方法是运用“点差法”，一般步骤是：设直线与圆锥曲线的交点坐标为A(x1，y1)、B(x2，y2)，将A、B两点的坐标代入圆锥曲线的方程，并将两代数式作差，由中点坐标公式得到x1＋x2和y1＋y2，解出k＝的值，即用中点坐标表示直线的斜率. 4.垂直问题：已知直线的斜率，直线方程可设为斜截式，再利用OA⊥OB⇔x1x2＋y1y2＝0及直线与椭圆联立的方程组得到的x1x2和y1y2可求出待定系数. 【即时训练】 8．过双曲线的右焦点的直线垂直于x轴，则直线与双曲线的交点坐标为（　　） A． B． C． D． 9．讨论直线与双曲线的公共点的个数． 10． 过双曲线的右焦点作x轴的垂线，求垂线与双曲线的交点到两焦点的距离． 11．已知两定点，满足条件的点的轨迹是曲线，直线与曲线交于两个不同的点． (1)求曲线的方程； (2)求实数的取值范围； 12．已知双曲线的左顶点是，一条渐近线的方程为． (1)求双曲线E的离心率； (2)设直线与双曲线E交于点P，Q，求线段PQ的长． 13．已知双曲线的焦点坐标为，实轴长为6. (1)求双曲线标准方程； (2)若双曲线上存在一点使得，求的面积. 14．双曲线：的右焦点与抛物线的焦点重合，且双曲线的渐近线方程为. (1)求双曲线的方程； (2)倾斜角为的直线过点，且与双曲线交于，两点，为坐标原点，求面积. 15．已知双曲线经过点，其离心率为. (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线与双曲线交于两点，且点为的中点，求直线的方程. 【考点3 直线与抛物线的位置关系】 1．直线与抛物线的位置关系 当直线Ax＋By＋C＝0(AB≠0)与抛物线y2＝2px( p＞0)对称轴不平行时，联立直线和抛物线的方程得化为一个关于x或y的一元二次方程，根据判别式Δ进行判断： Δ＞0⇔直线与抛物线 ； Δ＝0⇔直线与抛物线 ； Δ＜0⇔直线与抛物线 ． 当直线与抛物线对称轴平行时，联立方程化为关于x或y的一元一次方程，此时只有一个解，是直线与抛物线相交，一个交点，不是相切． 2．弦长 (1)直线l交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|叫做弦长． (2)求弦长的方法：通常是设出直线与抛物线的交点坐标，联立直线方程与抛物线方程，得到关于x(或y)的二次方程，通过根与系数的关系求出x1＋x2和x1x2(或y1＋y2和y1y2)，通过转化两点间的距离进行求解．通过下列转化方法求出弦长． |AB|＝＝ ＝＝ ＝. (3)抛物线中过焦点的弦长，可以根据抛物线的定义，转化为交点的横(纵)坐标的绝对值与焦点到准线的距离之和． ①若过抛物线焦点的直线与抛物线y2＝2px的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝ ． ②若过抛物线焦点的直线与抛物线x2＝2py的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝ ． 【即时训练】 16．直线与抛物线的位置关系为（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 17．已知直线y＝kx＋t与圆x2＋(y＋1)2＝1相切且与抛物线C：x2＝4y交于不同的两点M，N，则实数t的取值范围是（    ） A．(－∞，－3)∪(0，＋∞) B．(－∞，－2)∪(0，＋∞) C．(－3，0) D．(－2，0) 18．若抛物线的标准方程为，且通径长为，开口向右，则抛物线的标准方程为 ______. 19．已知抛物线的焦点F在直线x-y-1=0上． （I）求抛物线C的方程； （II）设直线l经过点A（-2，-1），且与抛物线C有且只有一个公共点，求直线l的方程． 20．已知抛物线的准线为，过焦点的直线交抛物线于，两点.求： (1)抛物线的标准方程； (2)的值. 21．已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合． (1)求抛物线的标准方程； (2)若过双曲线的右顶点且斜率为2的直线与抛物线交于，两点，求线段的长度． 22．如图，已知抛物线的焦点为F，点M在其准线上，，直线MF的倾斜角为，且与C交于A，B两点，O为坐标原点 (1)求C的方程； (2)求的面积. 23．过点作抛物线的弦，恰被Q所平分． (1)求抛物线的焦点和准线； (2)求所在直线方程． 1.（2026·吉林·真题T33）已知抛物线，到F的距离为4，直线交抛物线于A、B两点，且． （1）求抛物线的标准方程． （2）求直线l的方程． 2.（2025·吉林·真题T33）已知椭圆的左右焦点分别为，经过左焦点右焦点且倾斜角为直线l与椭圆交于，两点， （1）求的周长； （2）求． 3.（2024·吉林·真题T33）已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为． （1）求双曲线的标准方程； （2）过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，求． 4.（2023·吉林·真题T33）如图，，分别为椭圆的左、右焦点，抛物线的焦点与椭圆的右焦点相同，且与椭圆交于，两点，四边形的周长为8． （1）求椭圆的标准方程； （2）求以为直径的圆的标准方程． 5.（2022·吉林·真题T33）已知抛物线经过点． （1）求抛物线C的标准方程； （2）过点且斜率为1的直线与抛物线C交于A、B两点，求弦长 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年吉林省（高职分类考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年吉林省高职分类考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题34 直线与圆锥曲线的综合应用 【复习目标】 掌握直线与圆锥曲线方程及性质，会联立方程，利用判别式、韦达定理解决弦长、中点等基础问题. 【考点1 直线与椭圆的位置关系】 1．直线与椭圆的位置关系 判断方法：直线与椭圆联立方程组，得到一个关于x或y的一元二次方程，根据判别式Δ进行判断： ①直线与椭圆相交于两点⇔Δ＞0； ②直线与椭圆相切⇔Δ＝0； ③直线与椭圆相离⇔Δ＜0． 2．弦长：直线l与椭圆交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则这两点间的距离 |AB| 叫做椭圆的弦长． 求弦长的方法：通常是设出直线与椭圆的交点坐标，但并不求交点坐标，而是联立直线方程与椭圆方程，消去y(或x)，得到关于x(或y)的二次方程，通过根与系数的关系求出x1＋x2和x1x2(或y1＋y2和y1y2)．通过两点间的距离转化为下列弦长公式： |AB|＝＝ (或|AB|＝) 3．中点弦问题：解圆锥曲线的中点弦问题的简便方法是运用“点差法”，一般步骤是：设直线与圆锥曲线的交点坐标为A(x1，y1)、B(x2，y2)，将A、B两点的坐标代入圆锥曲线的方程，并将两代数式作差，由中点坐标公式得到x1＋x2和y1＋y2，解出k＝的值，即用中点坐标表示直线的斜率. 4.垂直问题：已知直线的斜率，直线方程可设为斜截式，再利用OA⊥OB⇔x1x2＋y1y2＝0及直线与椭圆联立的方程组得到的x1x2和y1y2可求出待定系数. 【即时训练】 1．若直线与椭圆有两个公共点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】联立方程，根据直线与椭圆有两个公共点，则有，进而求的取值范围. 【详解】∵直线与椭圆有两个公共点， 联立方程， 整理得， 则有 解得的取值范围：. 故选：C. 2．已知直线椭圆，则直线和椭圆之间的位置关系是（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相切或相交 【答案】C 【分析】联立方程组，根据根的个数判断答案. 【详解】由题意得, 得, 因为方程的判别式, 所以直线和椭圆之间的位置关系是相离. 故选:C. 3．已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆有且仅有一个交点，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆的离心率和经过的点坐标，得到，即可求得椭圆方程； （2）根据直线与椭圆相切，联立直线方程和椭圆方程，可得判别式等于0，即可求解. 【详解】（1）因为椭圆过点，且离心率为， 可得：，解得， 再由，可得， 即椭圆的方程为：. （2）由（1）知椭圆的方程为：，联立直线方程与椭圆方程， 消得：， 根据直线与椭圆仅有一个交点得： ，可化为， 解得. 4．已知椭圆：（）的两个焦点为，，其中，离心率． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆交于，两点，求； (3)求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据椭圆的焦点可求解c的值，再由离心率可求解a的值，即可求解椭圆的标准方程. （2）联立直线与椭圆的方程，求解交点坐标，由两点间距离公式求解即可. （3）先求出到直线l的距离，再由三角形面积计算即可. 【详解】（1）因为椭圆的焦点，可得， 又因为离心率，可得， 所以， 所以椭圆的方程为：； （2）设，， 联立， 整理可得：，可得或， 可得或， 所以； （3）由（1）可得， 由（2）可得到直线的距离， 所以. 5．椭圆的中心原点是O，它的短轴长是，对应的焦点的准线与x轴相交于点A，，过点A的直线与椭圆交于P、Q两点. (1)求椭圆的方程及离心率； (2)若，求直线PQ的方程. 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）根据椭圆的性质确定a，b，c的值，然后代入椭圆的标准方程和离心率公式求解即可. （2）根据直线与椭圆的位置关系，联立方程组构造一元二次方程，利用韦达定理结合已知条件求出直线的斜率，进而确定直线方程. 【详解】（1）解： 如图所示，因为椭圆的中心原点是O，短轴长是，即， 所以可设椭圆的方程为. 由已知得， 解得，， 所以椭圆的方程为，离心率为. （2）由（1）可得A(3，0)，由题意可知，直线的PQ斜率k一定存在， 故设直线PQ的方程为， 联立方程组得，， 由得， 解得，. 设直线与椭圆交于，，则由韦达定理可得， ， 又由直线PQ的方程得，，， 于是 ， 因为，所以， 即， 化简得，解得， 所以直线PQ的方程为， 即或. 6．设椭圆的中心在原点O，焦点在y轴上，离心率为，且椭圆上的点到两焦点的距离和为．求： (1)椭圆的标准方程； (2)若直线交椭圆于A，B两点，且，求实数n的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆上的点到两焦点的距离可求解a的值，再由离心率的公式即可求解c的值，便可求出椭圆的标准方程. （2）联立直线与椭圆方程，利用向量垂直的坐标运算即可求解n的值. 【详解】（1）因为椭圆上的点到两焦点的距离和为， 所以，，， 所以有，解得，， 所以， 又因为焦点在y轴， 所以椭圆的标准方程为. （2）设， 消y得， 所以有，， 又因为，， 所以， 所以，，， 所以， 所以有，即， 解得. 7．设椭圆过点，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)求过点且斜率为的直线被椭圆所截线段的中点的坐标. 【答案】(1) (2)中点坐标 【分析】（1）根据离心率和椭圆上点的坐标求解. （2）写出直线方程，联立直线与椭圆方程，得到两交点坐标关系，求解. 【详解】（1）∵椭圆过点，代入方程得 ，得到. 离心率，即，. 且， 故得到，. 所以，椭圆方程为. （2）设过点且斜率为的直线与椭圆相交与两点. 直线方程为，代入椭圆方程，得到，， 化简得，. 根据韦达定理，. 所以，直线被椭圆所截线段的中点的横坐标为，代入直线方程，得到. 故线段中点坐标为. 【考点2 直线与双曲线的位置关系】 1．直线与双曲线的位置关系 直线与双曲线的位置关系有：相交、相切和相离． (1)当直线与双曲线的渐近线不平行时 联立直线和双曲线的方程得化为一个关于x或y的一元二次方程，根据判别式Δ进行判断： ①Δ＞0⇔直线与双曲线相交； ②Δ＝0⇔直线与双曲线相切； ③Δ＜0⇔直线与双曲线相离． (2)当直线与双曲线的渐近线平行时 联立直线和双曲线的方程化为关于x或y的一元一次方程，只有一个解，此时直线与双曲线是相交，一个交点，而不是相切． 2．弦长 (1)直线l交双曲线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|叫作弦长． (2)求弦长的方法 设出直线与双曲线的交点坐标，但并不求交点坐标，而是联立直线方程与双曲线方程，得到关于x(或y)的一元二次方程，运用根与系数的关系求出x1＋x2和x1·x2(或y1＋y2和 y1·y2)，通过下列转化方法求出弦长． |AB|＝＝ ＝＝. 或|AB|＝ 3．中点弦问题：解圆锥曲线的中点弦问题的简便方法是运用“点差法”，一般步骤是：设直线与圆锥曲线的交点坐标为A(x1，y1)、B(x2，y2)，将A、B两点的坐标代入圆锥曲线的方程，并将两代数式作差，由中点坐标公式得到x1＋x2和y1＋y2，解出k＝的值，即用中点坐标表示直线的斜率. 4.垂直问题：已知直线的斜率，直线方程可设为斜截式，再利用OA⊥OB⇔x1x2＋y1y2＝0及直线与椭圆联立的方程组得到的x1x2和y1y2可求出待定系数. 【即时训练】 8．过双曲线的右焦点的直线垂直于x轴，则直线与双曲线的交点坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线的方程确定其焦点坐标，得出直线方程，将方程与双曲线方程联立解方程即可. 【详解】已知双曲线， 其中， 所以，右焦点坐标为， 则过右焦点垂直于x轴的直线方程为， 联立方程组得， 解得，所以直线与双曲线的交点坐标为， 故选：B. 9．讨论直线与双曲线的公共点的个数． 【答案】时，无公共点；时，有一个公共点． 【分析】判断直线与双曲线的公共点的个数，即判断由它们的方程组成的方程组的解的个数． 【详解】联立直线和双曲线方程，消去y得． 整理得， 若，则方程①变为，无解，此时直线与双曲线无公共点． 事实上，此时直线为，就是双曲线的渐近线，自然与双曲线无公共点． 若，即直线平行于两条渐近线中的一条，方程①成为一元一次方程，有唯一解， 原方程组有唯一一组解，此时直线与双曲线有一个公共点． 综上可知，时，无公共点；时，有一个公共点． 10．过双曲线的右焦点作x轴的垂线，求垂线与双曲线的交点到两焦点的距离． 【答案】 【分析】先根据双曲线的方程，求得右焦点的坐标，代入双曲线的方程，求得的纵坐标，再结合双曲线的定义，即可求解. 【详解】由题意，双曲线，可得，所以， 所以双曲线的右焦点为， 设过右焦点的直线交双曲线与两点， 令，可得，解得或，所以， 由双曲线的定义，可得， 所以. 故交点到两焦点的距离分别为. 11．已知两定点，满足条件的点的轨迹是曲线，直线与曲线交于两个不同的点． (1)求曲线的方程； (2)求实数的取值范围； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先根据双曲线的定义判断出曲线是双曲线的左支，和已知，则可求得，曲线的方程可得； （2）设出，的坐标，把直线方程与双曲线方程联立消去，进而根据直线与双曲线左支交于两点，，联立不等式求得的范围； 【详解】（1）由双曲线的定义可知，曲线是以为焦点的双曲线的左支， 且，则， 故曲线的方程为． （2）设，，，，由题意建立方程组， 消去，得， 又已知直线与双曲线左支交于两点，，有， 解得． 所以的取值范围是． 12．已知双曲线的左顶点是，一条渐近线的方程为． (1)求双曲线E的离心率； (2)设直线与双曲线E交于点P，Q，求线段PQ的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据左顶点与渐近线的方程求得求得离心率； （2）求出交点纵坐标代入弦长公式求解. 【详解】（1）由题意知，且，     ， 所以双曲线的离心率． （2）由（1）知双曲线方程为， 将即代入，得，    因而， 所以． 13．已知双曲线的焦点坐标为，实轴长为6. (1)求双曲线标准方程； (2)若双曲线上存在一点使得，求的面积. 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）根据双曲线的焦点坐标，以及实轴长得出的值，再求出，即可写出双曲线的标准方程. （2）利用双曲线的定义，由有，联立可解出的值，最后可求的面积. 【详解】（1）∵双曲线的焦点坐标为，实轴长为6， ∴焦点在轴上，，，即. ∴， 故双曲线的标准方程为： （2）根据双曲线的定义：, ∴， 即有， 又∵，∴， ∴， ∴. 14．双曲线：的右焦点与抛物线的焦点重合，且双曲线的渐近线方程为. (1)求双曲线的方程； (2)倾斜角为的直线过点，且与双曲线交于，两点，为坐标原点，求面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出抛物线的焦点，再根据双曲线的渐近线结合的关系，即可求出双曲线的方程. （2）根据直线与双曲线相交，联立方程组结合韦达定理解决问题即可. 【详解】（1）已知抛物线的焦点为， 所以双曲线中， 又有双曲线的渐近线方程为， ， 解得， 所以的方程为. （2）由题意可知的斜率，且过点 所以的方程为， 所以 消并整理得：， 显然，设， 则， 所以 又点到的距离 ∴ 15．已知双曲线经过点，其离心率为. (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线与双曲线交于两点，且点为的中点，求直线的方程. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据双曲线上的点求出，再代入已知离心率，根据双曲线之间的关系即可解得. （2）设出交点坐标，根据中点坐标列出等式再代入双曲线方程，结合直线的点斜式方程即可解得. 【详解】（1）双曲线经过点，，且焦点在x轴， ， 双曲线的标准方程为. （2）设，点为的中点， ， 两点在双曲线上，， 两式相减整理得， ，即直线的斜率为2， 由点斜式方程可得， 即直线的方程为. 【考点3 直线与抛物线的位置关系】 1．直线与抛物线的位置关系 当直线Ax＋By＋C＝0(AB≠0)与抛物线y2＝2px( p＞0)对称轴不平行时，联立直线和抛物线的方程得化为一个关于x或y的一元二次方程，根据判别式Δ进行判断： Δ＞0⇔直线与抛物线相交； Δ＝0⇔直线与抛物线相切； Δ＜0⇔直线与抛物线相离． 当直线与抛物线对称轴平行时，联立方程化为关于x或y的一元一次方程，此时只有一个解，是直线与抛物线相交，一个交点，不是相切． 2．弦长 (1)直线l交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|叫做弦长． (2)求弦长的方法：通常是设出直线与抛物线的交点坐标，联立直线方程与抛物线方程，得到关于x(或y)的二次方程，通过根与系数的关系求出x1＋x2和x1x2(或y1＋y2和y1y2)，通过转化两点间的距离进行求解．通过下列转化方法求出弦长． |AB|＝＝ ＝＝ ＝. (3)抛物线中过焦点的弦长，可以根据抛物线的定义，转化为交点的横(纵)坐标的绝对值与焦点到准线的距离之和． ①若过抛物线焦点的直线与抛物线y2＝2px的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝|x1＋x2|＋p． ②若过抛物线焦点的直线与抛物线x2＝2py的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝|y1＋y2|＋p． 【即时训练】 16．直线与抛物线的位置关系为（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【答案】A 【分析】直线过定点，在抛物线内部，即可得出结论． 【详解】直线过定点， ∵， ∴在抛物线内部， ∴直线与抛物线相交， 故选：A． 17．已知直线y＝kx＋t与圆x2＋(y＋1)2＝1相切且与抛物线C：x2＝4y交于不同的两点M，N，则实数t的取值范围是（    ） A．(－∞，－3)∪(0，＋∞) B．(－∞，－2)∪(0，＋∞) C．(－3，0) D．(－2，0) 【答案】A 【分析】先根据直线与圆相切求出与的关系，再把直线与抛物线联立运用判别式求解. 【详解】因为直线与圆相切，所以＝1，即k2＝t2＋2t.将直线方程代入抛物线方程并整理得 x2－4kx－4t＝0，于是＝16k2＋16t＝16(t2＋2t)＋16t＞0，解得t＞0或t＜－3. 故选：A 18．若抛物线的标准方程为，且通径长为，开口向右，则抛物线的标准方程为 ______. 【答案】 【分析】根据题意结合通径公式即可得解. 【详解】抛物线的标准方程为，且通径长为，则， 图象开口向右，所以抛物线的标准方程为， 故答案为：. 19．已知抛物线的焦点F在直线x-y-1=0上． （I）求抛物线C的方程； （II）设直线l经过点A（-2，-1），且与抛物线C有且只有一个公共点，求直线l的方程． 【答案】（I）；（II）当直线l的方程为，或 【详解】试题分析：（I）根据焦点坐标得到的值，从而得到抛物线的方程. （II）因为只有一个公共点，故联立后的方程只有一个实数根，可根据二次项的系数去讨论. 解析：（I）直线与的交点为，它是抛物线的焦点，故，，所以. （II）设直线必定存在，设其方程为 ，联立，则有，化简得到. 若，则直线，它与抛物线有一个公共点； 若，则，整理得到，或，所以直线或 . 20．已知抛物线的准线为，过焦点的直线交抛物线于，两点.求： (1)抛物线的标准方程； (2)的值. 【答案】(1) (2)8 【分析】（1）根据抛物线准线求方程即可. （2）根据直线过焦点求出直线方程，再联立直线方程和抛物线方程，结合韦达定理求出，套公式求焦点弦即可. 【详解】（1）设抛物线的标准方程为， 由题意得， 所以抛物线的标准方程为. （2）设，， 直线过焦点， 由题意得， 则消得，， 所以， 所以，. 21．已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合． (1)求抛物线的标准方程； (2)若过双曲线的右顶点且斜率为2的直线与抛物线交于，两点，求线段的长度． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用双曲线与抛物线下的定义计算求抛物线标准方程即可； （2）利用弦长公式计算即可. 【详解】（1）设双曲线的实轴长、短轴长、焦距分别为， 由可得，，所以，解得， 所以双曲线的右焦点为， 所以可设抛物线的标准方程为，其焦点为， 所以，即， 所以抛物线的标准方程为； （2）由，得双曲线的右顶点为， 因为直线过点且斜率为2，所以直线的方程为， 设，，联立直线与拋物线的方程， 消去，得，所以，， 所以． 22．如图，已知抛物线的焦点为F，点M在其准线上，，直线MF的倾斜角为，且与C交于A，B两点，O为坐标原点 (1)求C的方程； (2)求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）记准线与x轴交点为K，为等腰直角三角形，得，从而求得得抛物线方程； （2）直线方程代入抛物线方程，应用韦达定理得，然后求得弦长，再求得到直线的距离后可得三角形面积． 【详解】（1）因为直线的倾斜角为，记准线与x轴交点为K，易知为等腰直角三角形，且， 所以焦点到准线的距离为2，即， 所以抛物线的方程为. （2）由（1）可得，， 因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即的方程为， 联立可得， 所以 所以， 又点到直线AB的距离， 所以的面积. 23．过点作抛物线的弦，恰被Q所平分． (1)求抛物线的焦点和准线； (2)求所在直线方程． 【答案】(1)抛物线的焦点坐标为，准线方程为 (2) 【分析】（1）根据抛物线的方程求解抛物线的焦点坐标和准线方程即可. （2）根据点差法求出直线AB的斜率，再由点斜式方程即可求解. 【详解】（1）由抛物线，得， ，， 则抛物线的焦点坐标为， 准线方程为， 综上所述，抛物线的焦点坐标为，准线方程为. （2）设，， 点A，B在抛物线上有， 两式相减得， 即， 则有， 弦的中点， ，，， 则直线的方程为，即. 1.（2026·吉林·真题T33）已知抛物线，到F的距离为4，直线交抛物线于A、B两点，且． （1）求抛物线的标准方程． （2）求直线l的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用抛物线的定义求解的值即可； （2）联立直线与抛物线的方程，再结合抛物线的定义和已知条件求解的值. 【小问1详解】 抛物线的准线方程为， 已知点到焦点的距离为， 由抛物线定义可知，点到准线的距离也为， 则，所以， 故抛物线的标准方程为. 【小问2详解】 联立直线：与抛物线的方程， 可得：，即， 设，，由韦达定理可知， 根据抛物线的定义，，， 则， 所以，可得，解得， 当时，方程变成， 此时，满足直线与抛物线有两个交点. 所以直线的方程为. 2.（2025·吉林·真题T33）已知椭圆的左右焦点分别为，经过左焦点右焦点且倾斜角为直线l与椭圆交于，两点， （1）求的周长； （2）求． 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（）根据题意作出图像，利用椭圆方程求出值，结合椭圆的定义及三角形周长公式即可得解. （）根据椭圆方程求出坐标，利用直线的点斜式方程求出直线方程，联立方程组求出的坐标，代入两点间距离公式即可得解. 【小问1详解】 如图所示，作出图像， 椭圆，焦点在轴上，且， 由椭圆的定义可知， ∴的周长为， 所以的周长为. 【小问2详解】 椭圆，，，，即， ∴，， 直线l的方程， 设，，联立， 整理得，解得 所以 ， 所以. 3.（2024·吉林·真题T33）已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为． （1）求双曲线的标准方程； （2）过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据焦点坐标求出，渐近线方程求出，利用即可求解； （2）利用点斜式求出直线方程，与双曲线联立方程组消掉，由韦达定理得，根据两点间的距离公式即可求解. 【小问1详解】 因为双曲线的右焦点为， 所以， 又渐近线方程为， 所以，即， 由得， 解得， 所以双曲线的标准方程为. 【小问2详解】 由直线的倾斜角为得直线斜率为， 因为直线过双曲线的右焦点， 所以直线方程为， 设， 直线与双曲线联立方程组得，消去得， 由韦达定理得， 故 4.（2023·吉林·真题T33）如图，，分别为椭圆的左、右焦点，抛物线的焦点与椭圆的右焦点相同，且与椭圆交于，两点，四边形的周长为8． （1）求椭圆的标准方程； （2）求以为直径的圆的标准方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据抛物线方程求出焦点坐标，从而得到椭圆的半焦距，再根据四边形的周长及椭圆定义求得，进而得到，写出椭圆方程. （2）通过联立抛物线与椭圆方程解得交点坐标，根据中点公式和距离公式求得圆心和半径，从而写出圆的方程. 【小问1详解】 设椭圆的标准方程为， 因为抛物线，所以， 所以焦点， 所以椭圆中， 又，, 所以，即， 则， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 由（1）知椭圆的标准方程为，， 联立， 消去并整理得， 解得或（舍）， ， 即或， 则，， 则以为直径圆的圆心为， 以为直径的圆的半径， 所以以为直径的圆的标准方程为. 5.（2022·吉林·真题T33）已知抛物线经过点． （1）求抛物线C的标准方程； （2）过点且斜率为1的直线与抛物线C交于A、B两点，求弦长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据抛物线上的点求解抛物线的标准方程即可. （2）根据题意得到直线的方程，再联立方程组得到交点坐标，利用两点间距离公式求解即可. 【小问1详解】 因为抛物线过点. 所以，解得. 所以抛物线的标准方程为：. 【小问2详解】 由题可知，设直线为. 因为过点且斜率为1. 所以直线的方程为. 联立直线与抛物线方程，有整理得， 解得或9，代入直线方程解得或6. 即点. 所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $