专题02 二次函数和反比例函数30大题型（期中复习讲义）九年级数学上学期新教材北京版

专题02 二次函数和反比例函数（30大题型） 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 二次函数的相关概念 考点二 二次函数的图象与性质 考点三 二次函数图象的平移规律 考点四 二次函数解析式的三种形式 考点五 二次函数与一元二次方程、不等式的关系 考点六 二次函数的实际应用 考点七 反比例函数的有关概念 考点八 反比例函数的性质 考点九 反比例函数的对称性 考点十 反比例函数中k值的几何意义 考点十一 一次函数与反比例函数的交点问题 考点十二 反比例函数的实际问题 05 重难题型突破 题型一 二次函数的定义及其含参问题 题型二 二次函数的图象 题型三 二次函数的顶点式 题型四 二次函数图象与各项系数关系 题型五 一次函数、二次函数图象综合判断 题型六 根据二次函数的对称性求对称轴、函数值 题型七 二次函数的最值 题型八 二次函数图象的平移 题型九 待定系数法求二次函数解析式 题型十 二次函数实际应用之销售问题 题型十一 二次函数实际应用之图形问题 题型十二 二次函数实际应用之拱桥、投球、喷水问题 题型十三 二次函数与方程关系 题型十四 二次函数与不等式关系 题型十五 二次函数中的角度问题 题型十六 二次函数中的面积问题 题型十七 二次函数中的存在性问题 题型十八 反比例函数的定义求参数 题型十九 用反比例函数描述数量关系 题型二十 求反比例函数自变量和值 题型二十一 画反比例函数图象 题型二十二 由反比例函数图象的对称性求点的坐标 题型二十三 已知双曲线分布的象限求参数范围 题型二十四 反比例函数的增减性求参数 题型二十五 比较反比例函数值或自变量的大小 题型二十六 反比例函数k值的几何意义 题型二十七 求反比例函数的解析式 题型二十八 反比例函数与一次函数结合 题型二十九 反比例函数的实际应用 题型三十 反比例函数与几何结合 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 分值占比 在北京版九年级期中试卷中，二次函数与反比例函数合计分值约 14–20 分，占全卷 15%–20%。反比例函数多以小题形式出现，二次函数分值更高，二者常单独命题，也会结合出综合大题，是期中几何代数综合的核心板块，属于重点拉分内容。 题型特点 选择、填空侧重反比例 k 的几何意义、增减性、二次函数基础图像与性质；解答题包含求解析式、交点问题、面积计算，高频出现两类函数图像综合题，常结合坐标、线段、面积，部分考题融入简单动点，对数形结合能力要求高。 难度分布 基础题约占六成，考查函数定义、图像特征、增减性、简单求解析式；中档题约三成，以 k 的几何意义、函数交点、简单面积求解为主；难题约一成，多为二次函数与反比例函数综合压轴，需要坐标转化、分类讨论，思维综合性较强。 备考方向 熟记两类函数图像、性质与解析式形式，强化 k 的几何意义训练；重点练习联立方程求交点、利用图像解不等式；熟练掌握坐标法求面积，梳理数形结合思路，规范步骤，多总结图像综合题里分类讨论、定点求值的常见套路。 识记 熟记反比例函数、二次函数的解析式形式、图像形状与组成要素，牢记反比例 k 的几何意义、增减性规律，二次函数开口、对称轴、顶点、最值相关结论，分清 a、b、c 对图像的影响。准确背诵相关基础概念，能快速识别函数类型，准确默写基础性质，夯实答题的基础知识储备。 理解 理解反比例、二次函数图像与解析式之间的对应关系，明白参数变化如何带动图像平移、伸缩；理解函数增减性的适用范围，清楚二次函数与一元二次方程、不等式的联系。能读懂图像信息，解释图像交点、坐标的含义，建立数形结合思维，区分两类函数性质的不同之处。 应用 能根据条件求两类函数解析式，利用图像比较函数值大小、求解不等式；会用 k 的几何意义求面积，能联立解析式求交点坐标，解决二次函数与反比例函数综合题型。灵活运用数形结合、分类讨论思想处理面积、线段、动点类问题，规范书写解题过程，综合解决实际与代数综合问题。 考点一 二次函数的相关概念 一般地，形如y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、 c为常数）的函数是二次函数，其中x是自变量，y是x的函数. 1.任何一个二次函数的表达式都可以化为y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、 c为常数）的形式；因此我们将y=ax2+bx+c（a≠0，）叫做二次函数的一般式. 2.在一般式中，只有a≠0时，函数y=ax2+bx+c才是二次函数. 3.二次函数的几种特殊形式：若b=0，则y=ax2+c； 若c=0，则y=ax2+bx； 若b=c=0，则y=ax2. 实际问题中的二次函数及自变量的取值范围 一般地，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、 c为常数）的自变量x可以取任意实数，但在实际问题中，要保证自变量的取值范围使实际问题有意义. 考点二 二次函数的图象与性质 函数y＝ax2（a≠0）的图像 1.画二次函数图像的三个步骤：列表、描点、连线. 2.列表时，要注意自变量的取值范围，要取一些具有代表性的点，不要使得自变量所对的函数值过大或过小，以便于描点和全面反映图像情况. 3.由于抛物线是轴对称图形，所以作图选点时，自变量向对称轴两侧对称取值. 4.一般至少要描出五个点（顶点及对称轴两侧相对应的两组坐标点）方可画出草图，连线时要用平滑的曲线顺次连接所描出的各点，即可得到二次函数的图像. 二次函数y＝ax2（a≠0）的图像和性质 二次函数y＝ax2（a≠0）的图像是关于y轴对称的一条抛物线，抛物线与对称轴的交点叫做二次函数的顶点，它的性质如下： 函数 y＝ax2 a的符号 a＞0 a＜0 图像 开口方向 向上 向下 对称轴 y轴 y轴 顶点坐标 （0，0） 函数的增减性 x＞0时，y随x的增大而增大；x＜0时，y随x的增大而减小 x＞0时，y随x的增大而减小；x＜0时，y随x的增大而增大 最值 当x＝0时，函数图像有最低点，有最小值0 当x＝0时，函数图像有最高点，有最大值0 顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. │a│相同，抛物线的开口大小、形状相同，│a│越大，开口越小，图象两边越靠近y轴，│a│越小，开口越大，图象两边越靠近x轴. 二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象及性质 函数 y=ax2+c(a≠0) a的符号 a＞0 a＜0 图像 c＞0 c＜0 开口方向 向上 向下 对称轴 y轴 y轴 顶点坐标 （0，c） （0，c） 函数的增减性 当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大 当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小 最值 当x＝0时，y有最小值c 当x＝0时，y有最大值c 对于二次函数y=ax2+c(a≠0)来说，当c＞0时，可看成是将y=ax2的函数图像沿着y轴向上平移|c|个单位长度得到的；当c＜0时，可看成是将y=ax2的函数图像沿着y轴向下平移|c|个单位长度得到的. 二次函数y＝a（x－h）2（a≠0）与二次函数y＝a（x－h）2＋k（a≠0）的图像和性质 1.二次函数y＝a（x－h）2（a≠0）的图像和性质 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 2. 二次函数y＝a（x－h）2＋k（a≠0）的图像和性质 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质 1.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质 函数 二次函数（a、b、c为常数，a≠0） 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 增减性 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减 最大(小)值 抛物线有最低点，当时，y有最小值， 抛物线有最高点，当时，y有最大值， 2. 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质与a、b、c及b2－4ac的符号之间的关系 项目 字母 字母的符号 图象的特征 a a＞0 开口向上 a＜0 开口向下 b ab＞0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧 ab＜0(a，b异号) 对称轴在y轴右侧 c c=0 图象过原点 c＞0 与y轴正半轴相交 c＜0 与y轴负半轴相交 b2-4ac b2-4ac=0 与x轴有唯一交点 b2-4ac＞0 与x轴有两个交点 b2-4ac＜0 与x轴没有交点 考点三 二次函数图象的平移规律 平移规律：上加下减，左加右减. 1.上下平移（上加下减）：抛物线y＝a（x－h）2＋k向上平移m（m＞0）个单位长度，所得到的抛物线方程为y＝a（x－h）2＋k＋m；抛物线y＝a（x－h）2＋k向下平移m（m＞0）个单位长度，所得到的抛物线方程为y＝a（x－h）2＋k－m. 2.左右平移（左加右减）：抛物线y＝a（x－h）2＋k向左平移n（n＞0）个单位长度，所得到的抛物线方程为y＝a（x－h＋n）2＋k；抛物线y＝a（x－h）2＋k向右平移n（n＞0）个单位长度，所得到的抛物线方程为y＝a（x－h－n）2＋k. 考点四 二次函数解析式的三种形式 1.一般式：y＝ax2＋bx＋c（a、b、c为常数，且a≠0）； 2.顶点式：y＝a（x－h）2＋k（a、h、k为常数，且a≠0）； 3.交点式：y＝a（x－x1）（x－x2）（x1、x2为抛物线与x轴交点的横坐标，a≠0）. 待定系数法求二次函数表达式 在求含有待定系数的二次函数的表达式时，可以通过题中条件得到方程（组），解出这些待定系数，从而得到函数表达式. 1.二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c（a≠0）中若有一个待定系数，就需要已知一个条件得到一个方程求解；若有两个待定系数，就需要已知两个条件得到两个方程，联立得到二元一次方程组求解；若有三个待定系数，就需要已知三个条件，组成一个三元一次方程组求解. 2.当已知抛物线的顶点坐标（h，k）或对称轴或最值等有关条件时，通常设函数表达式为y＝a（x－h）2＋k. 3.当已知抛物线与x轴交点坐标时，通常设函数表达式为y＝a（x－x1）（x－x2），其中x1、x2为抛物线与x轴交点的横坐标. 考点五 二次函数与一元二次方程、不等式的关系 二次函数与一元二次方程的关系 1.二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况 求二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求ax2＋bx＋c＝0中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表： 判别式 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 一元二次方程 图象 与x轴的交点坐标 根的情况 △＞0 抛物线与x轴交于，两点，且， 此时称抛物线与x轴相交 一元二次方程 有两个不相等的实数根 △＝0 抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切 一元二次方程 有两个相等的实数根 △＜0 抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离 一元二次方程 在实数范围内无解（或称无实数根） 2.抛物线与直线的交点问题 抛物线与x轴的两个交点的问题实质就是抛物线与直线的交点问题．我们把它延伸到求抛物y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 与y轴交点和二次函数与一次函数的交点问题． 抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 与y轴的交点是(0，c)． 抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 与一次函数(k≠0)的交点个数由方程组的解的个数决定． ①当方程组有两组不同的解时两函数图象有两个交点； ②当方程组有两组相同的解时两函数图象只有一个交点； ③当方程组无解时两函数图象没有交点． 总之，探究直线与抛物线的交点的问题，最终是讨论方程(组)的解的问题． 求两函数图象交点的问题主要运用转化思想，即将函数的交点问题转化为求方程组解的问题或者将求方程组的解的问题转化为求抛物线与直线的交点问题. 利用二次函数的图像求一元二次方程的近似根 1.利用二次函数的图像求一元二次方程的近似根的步骤如下： （1）作图：通过列表、描点、连线作出二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像； （2）找点：确定二次函数图像与x轴的交点； （3）初步估值：根据二次函数图像与x轴的交点的位置，初步估算交点横坐标在整数值之间的大致范围； （4）深入估值：借助计算器，逐步缩小取值范围求值. 2.由于作图会存在一定的误差，所以通过图像求得的一元二次方程的根一般是近似值. 3.在估值时，x的值一定要连续，在连续的前提下，x的近似值在y值首次出现负数与正数时对应的两个x值之间. 二次函数与不等式的关系 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a≠0)与一元二次不等式ax2＋bx＋c ＞0(a≠0)及ax2＋bx＋c ＜0(a≠0)之间的关系如下（x1＜x2）： 判别式 抛物线与x轴的交点 不等式的解集 不等式的解集 △＞0 或 △＝0 （或） 无解 △＜0 全体实数 无解 抛物线y＝ax2＋bx＋c (a≠0)在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式ax2＋bx＋c ＞0(a≠0)的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标都为负，所对应的x的所有值就是不等式ax2＋bx＋c ＜0(a≠0)的解集．不等式中如果带有等号，其解集也相应带有等号. 考点六 二次函数的实际应用 建立二次函数模型求生活中的最值问题 在日常生活中，经常会遇到求最大面积或最大利润类问题，我们可以利用二次函数的图像和性质解决此类问题，步骤如下： 1.找：找等量，分析题目中的数量关系； 2.列：列出函数表达式； 3.求：利用配方法把y＝ax2＋bx＋c化为y＝a（x－h）2＋k的形式或利用公式法明确确定最值. 建立二次函数模型解决生活中的抛物线型问题 常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等，对此类问题要正确地建立模型，选择合理的位置建立平面直角坐标系是解决此类问题的关键，然后用待定系数法求出函数表达式，利用函数性质解决问题. 考点七 反比例函数的有关概念 定义：一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数. 其中x是自变量，y是x的函数. 待定系数法求反比例函数解析式：由于反比例函数中，只有一个待定系数k，因此只需要知道一对对应值或图像上一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式. 双曲线 定义：反比例函数的图像由两条曲线组成，我们称之为双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限，它们关于原点对称，永远不会与x轴，y轴相交，只是无限靠近两坐标轴. 考点八 反比例函数的性质 表达式 图像 k＞0 k＜0 图像无限接近坐标轴，但不相交 图像无限接近坐标轴，但不相交 经过象限 一、三象限（x、y同号） 二、四象限（x、y异号） 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 【易错易混】 1. 反比例函数的图象不是连续的，因此在描述反比例函数的增减性时，一定要有“在其每个象限内”这个前提．当k＞0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k＞0时，y随x的增大而减小．同样，当k＜0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大． 2. 反比例函数图象的位置和函数的增减性，都是由常数k的符号决定的，反过来，由双曲线所在位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号。 3. 双曲线是由两个分支组成的，一般不说两个分支经过第一、三象限（或第二、四象限），而说图象的两个分支分别在第一、三象限（或第二、四象限）． 考点九 反比例函数的对称性 反比例函数的图像既是轴对称图形，也是中心对称图形，其对称轴为直线y=x或y= -x，对称中心为原点. 考点十 反比例函数中k值的几何意义 【模型结论1】反比例函数图象上一点关于坐标轴的垂线、与另一坐标轴上一点（含原点）围成的三角形面积为. 【模型结论2】反比例函数图象上一点与坐标轴的两条垂线围成的矩形面积为. 考点十一 一次函数与反比例函数的交点问题 1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定． ①k值同号，两个函数必有两个交点； ②k值异号，两个函数可无交点，可有一个交点，可有两个交点； 2）【热考】从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况． 2. 反比例函数与一次函数关系 从图像可以看出,在①，③部分，反比例函数图像在一次函数图像上方,所以的解集为或 ；在②，④部分,反比例函数图像在一次函数图像下方，所以的解集为或. 考点十二 反比例函数的实际问题 1. 用反比例函数解决问题的两种思路： 1）通过题目已知条件，明确变量之间的关系，设相应的函数关系式，然后根据题中条件求出函数关系式； 2）已知反比例函数关系式，通过反比例函数的图像和性质解决问题. 2. 列反比例函数解决问题的步骤： 1）审：审题，找出题目中的常量和变量，以及它们之间的关系； 2）设：根据常量与变量之间的关系，设出函数表达式； 3）求：根据题中条件列方程，求出待定系数的值； 4）写：写出函数表达式，并注意表达式中自变量的取值范围； 5）解：用函数解析式去解决实际问题． 利用反比例函数解决实际问题，要做到： 1）能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型； 2）注意在自变量和函数值的取值上的实际意义； 3）问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明． 【易错点】 1.利用反比例函数的性质时，误认为所给出的点在同一曲线上； 2.利用函数图像解决实际问题时，容易忽视自变量在实际问题的意义． 题型一 二次函数的定义及其含参问题 1．（26-27九年级上·北京西城·期中）如果函数是关于的二次函数，则________． 【答案】 【分析】根据二次函数的定义可以得到，根据可得：或，根据可得，从而确定的值． 【详解】解： 函数是关于的二次函数. 满足条件， 解方程， 可得：， 解得：或， ， ， . 2．（25-26八年级下·黑龙江大庆·期末）如果函数是关于x的二次函数，则_______． 【答案】 【详解】解：由题意，可得 ， 解方程，得， 解得或； 由，得， 故. 3．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知函数（m为常数）． (1)当m满足什么条件时，该函数是二次函数？ (2)当m满足什么条件时，该函数是一次函数？ (3)该函数可能是正比例函数吗？ 【答案】(1) (2) (3)该函数不可能是正比例函数 【分析】（1）根据二次函数的定义，二次项的系数不能为0，列出不等式，求解得出m的取值范围即可； （2）根据一次函数的定义，一次项的系数不能为零，且二次项的系数应该为0，据此求解得出m的值即可； （3）根据正比例函数的定义进行求解即可． 【详解】（1）解：∵函数是二次函数， ∴， 解得， 故当时，该函数是二次函数． （2）解：∵函数是一次函数， ∴且， 解得， 故当时，该函数是一次函数． （3）解：该函数的常数项是，不可能为0， ∴该函数不可能是正比例函数． 题型二 二次函数的图象 4．（2025九年级上·北京·专题练习）已知二次函数． (1)将化成的形式； (2)在所给的平面直角坐标系中，画出它的图象． 【答案】(1) (2) 如图： 【分析】本题考查二次函数的性质，抛物线与轴的交点，配方法，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）用配方法把二次函数化为顶点式即可； （2）根据画函数图象的步骤，画出图象即可； 【详解】（1）解：； （2）列表： 描点、连线， 5．（24-25九年级上·福建莆田·期末）已知二次函数的图象经过点． (1)求抛物线的解析式和顶点坐标； (2)在所给的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． 【答案】(1)，顶点坐标为． (2) 描点、画出函数图象如图： 【分析】本题主要考查了求函数解析式、 画函数图象、二次函数的性质等知识点，正确求得函数解析式成为解题的关键． （1）将点代入求得a、b的值可确定函数式，然后化成顶点式确定顶点坐标即可； （2）先列表，然后描点、连线即可． 【详解】（1）解：将点代入可得： ，解得：， ∴抛物线的函数解析式为：． ∵， ∴顶点坐标为． （2）解：由，则列表如下： X 0 1 2 3 4 3 0 0 3 6．（24-25九年级上·福建厦门·期中）抛物线与轴交于点和点，与轴交于点 (1)点坐标为______． (2)该二次函数的解析式； (3)在坐标系中画出该二次函数的图象． 【答案】(1) (2) (3) 如图所示， 【分析】本题主要考查了二次函数与坐标轴的交点，待定系数法求解析式，画二次函数图象； （1）令，即可得出的坐标； （2）将点，点，代入解析式，待定系数法求解析式，即可求解； （3）根据列表、描点连线，画函数图象，即可求解． 【详解】（1）解：当时， ∴， 故答案为：． （2）解：抛物线与轴交于点，点， ， ， 抛物线解析式为； （3）解：列表 … … … … 题型三 二次函数的顶点式 7．（24-25九年级上·北京延庆·期中）已知二次函数． (1)将化成的形式； (2)在所给的平面直角坐标系中，画出它的图象． 【答案】(1) (2) 图象如图所示： 【分析】本题考查二次函数的性质，抛物线与轴的交点，配方法，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （）用配方法把二次函数化为顶点式即可； （）根据画函数图象的步骤，画出图象即可； 【详解】（1）； （2）列表： 描点、连线，图象略 8．（25-26九年级下·全国·课后作业）用配方法将二次函数化成顶点式的形式，下列正确的为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：． 9．（25-26九年级上·北京通州·期中）已知抛物线． (1)求抛物线的顶点坐标（用含a的代数式表示）； (2)点，在该抛物线上，若，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）把抛物线解析式转化成顶点式即可求解； （2）分类讨论：当时，抛物线开口向上时，当时，抛物线开口向下时，根据点P、Q在对称轴异侧或同侧和二次函数的图象与性质求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为． （2）解：当时，抛物线开口向上， ①若点P、Q在对称轴异侧， ∵， ∴点P到对称轴的距离大于点Q到对称轴的距离， ∴， ∴， 又∵， ∴此情况不成立， ②若点P、Q在对称轴同侧， 当时，y随x的增大而增大， ∵， ∴， 当时，抛物线开口向下， ①若点P、Q在对称轴异侧 ∵， ∴点P到对称轴的距离小于点Q到对称轴的距离， ∴， ∴， ∴， ②若点P、Q在对称轴同侧， 当时，y随x的增大而减小， ∵， ∴与矛盾， ∵此情况不成立， 综上所述，或． 题型四 二次函数图象与各项系数关系 10．（25-26九年级上·河北承德·期中）已知抛物线的图象如图所示，则（   ） A．， B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握数形结合的思想． 根据抛物线开口向上，且经过原点得到，则，再由对称轴在轴右侧，直线左侧，得到，继而得到，，，即可求解． 【详解】解：由图象可得， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 11．（25-26九年级·湖南株洲·自主招生）已知二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，有下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】由抛物线开口方向、对称轴及与y轴的交点位置可判断出a、b、c的符号，可判断①；由抛物线与x轴的交点个数可判断②；利用和时的函数值可判断和的符号，可判断③；把代入整理可得，可判断④，可求得答案． 【详解】因为抛物线开口向下，所以， 对称轴为， ，即， 因为抛物线与y轴交点在x轴上方， ， ，故①不正确； 因为抛物线与x轴有两个交点，所以方程有两个不相等的实数根， ， 故②不正确； 当时，，当时，， ，， ， 即， ，故③不正确； ， ， 若，则， 即，则有，而由题意可知，故④正确； 综上可知正确的只有1个，所以A选项是正确的． 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质等知识，解题的关键是熟练运用这些知识解决问题． 12．（24-25九年级上·北京·期中）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示，下面四个结论中， ①；②；③若点在此抛物线上且，则或；④对于任意实数t，都有成立． 正确的有（   ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数图象与系数之间的关系，对称轴，开口方向判断①②，对称性，增减性判断③，根据时，取得最大值，判断④． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴对称轴为， ∴；故②错误； ∵抛物线的开口向下， ∴；， 抛物线与轴交于正半轴， ∴， ∴，故①正确， ∵，当时，， ∴图象过， ∵对称轴为直线， ∴关于对称轴的对称点为：， ∵抛物线的开口向下，在对称轴的左侧，随的增大而增大，在对称轴的右侧，随的增大而减小， ∵点在此抛物线上且， ∴或；故③正确； ∵时，取得最大值， ∴对于任意实数t，； 即，故④正确； 故答案为：①③④共3个， 故选：D． 题型五 一次函数、二次函数图象综合判断 13．（25-26九年级下·黑龙江·期中）一次函数和二次函数（是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先观察每一个选项中二次函数图象得到字母系数，的正负，接下来判断一次函数的图象中的参数，的正负； 结合每一个选项按照此方法进行判断，当两个函数的，取值一致时，即为正确答案． 【详解】解：：一次函数，二次函数，可得，不符合题意； ：一次函数，；二次函数，，可得，符合题意； ：一次函数，二次函数，不符合题意； ：一次函数，二次函数，不符合题意． 14．（2026·四川成都·二模）已知一次函数与反比例函数的图象如图所示，则的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数的图象和反比例函数的图象经过的象限，判断出a、b、c的符号，进而确定二次函数的开口方向，对称轴的位置和与y轴的交点的位置，再结合函数图象可得答案． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴， ∴， ∴二次函数的图象开口向下，对称轴在y轴右侧， ∵反比例函数的图象经过第二、四象限， ∴， ∴二次函数的图象与y轴交于负半轴， ∴四个函数图象中，只有A选项中的函数图象符合题意． 15．（25-26九年级上·北京房山·期中）在平面直角坐标系中，二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象，一次函数图象，掌握函数图象与x轴交点坐标的求法是解题的关键． 令，分别求出二次函数图象与一次函数图象与x轴的交点坐标，可知都经过点，即可求解． 【详解】解：令二次函数，得，解得，， 二次函数与x轴交点坐标为和， 令一次函数，得，解得， 一次函数与x轴交点坐标为， 二次函数与一次函数的一个交点为， 根据各选项图象，可知选项A符合题目要求． 故选：A． 题型六 根据二次函数的对称性求对称轴、函数值 16．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知二次函数的图象与x轴有两个交点．若其中一个交点的坐标为，则另一个交点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用抛物线与轴两交点关于对称轴对称的性质求解，无需计算的值． 【详解】解：∵二次函数中，， ∴对称轴为直线， ∵抛物线与轴的两交点关于对称轴对称，其中一个交点为， ∴另一交点的横坐标为， 即坐标为． 17．（2026九年级上·北京西城·专题练习）已知点，是抛物线上的两点，且，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】先求出抛物线对称轴，开口向上，抛物线上的点离对称轴越近，函数值越小．先算出点到对称轴的距离，由得到点到对称轴距离小于点到对称轴距离，列绝对值不等式求解． 【详解】解：抛物线，，开口向上， 对称轴：． 点到对称轴的距离：． 因为开口向上，，说明点离对称轴更近， ， ， ， ， ． 18．（2026·安徽马鞍山·三模）已知抛物线． (1)求该抛物线的对称轴； (2)直线与该抛物线相交于，两点． ①若，求的值； ②点在抛物线上，且点不与点，重合，当时，求． 【答案】(1) 该抛物线的对称轴为 (2)①；② 【分析】（1）根据抛物线对称轴直线的计算公式（a是抛物线一般式中二次项的系数，b是抛物线一般式中一次项的系数）求解即可； （2）①根据直线与抛物线交点，联立方程组求解即可；②根据题意由抛物线对称性得到，两点关于对称轴直线对称，得到，根据交点联立方程组得到，是方程的两个根，结合根与系数的关系列式求出，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴该抛物线的对称轴为直线． （2）①若，则， 为直线与抛物线的交点， ∴若，则的值为． ②抛物线的对称轴为直线， ，两点在抛物线上，且点不与点，重合，， ，两点关于对称轴直线对称， ， ， ∵直线与该抛物线相交于，两点， ，是方程的两个根， ， ， ， ． 题型七 二次函数的最值 19．（26-27九年级上·北京西城·期中）已知一个二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表所示： … 0 1 2 3 4 5 … … 3 0 0 3 8 … (1)求这个二次函数的解析式； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； (3)当时，的取值范围为______； (4)当时，的取值范围为______． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）结合表格，先描点，再连线即可； （3）求出当时，，当时，，由二次函数的图象可得，当时，函数取得最小值为，从而即可得出结果； （4）根据函数图象即可得出结果． 【详解】（1）解：设二次函数的解析式为， 将，，代入解析式得， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：图略； （3）解：当时，， 当时，， 由二次函数的图象可得，当时，函数取得最小值为， ∴当时，的取值范围为； （4）解：由函数图象可得，当时，的取值范围为或． 20．（26-27九年级上·湖北武汉·开学考试）已知抛物线与x轴交于两点，在的抛物线上有一点P，其纵坐标为n，若，则n的取值范围是（     ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】利用抛物线的对称性求得对称轴，进一步求得，即可求得结合在的抛物线上有一点P，其纵坐标为n，且利用二次函数的性质即可求解． 【详解】解：∵抛物线与x轴交于两点， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴，解得， ∴， ∴顶点为， ∵在的抛物线上有一点P，其纵坐标为n， ∴时，， 当时，， ∵， ∴， ∴n的取值范围是． 21．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）已知函数（b，c为常数）的图象经过点，． (1)求，的值． (2)当时，求的最大值． (3)当时，若的最大值与最小值之差为9，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)6 (3) 【分析】（1）通过待定系数法求解． （2）由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，进而求解． （3）由抛物线解析式可得时的值为，由（2）中函数最大值可得，再由抛物线的对称性求解． 【详解】（1）解：将，代入， 得， 解得； （2）解：由（1）得， 抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，时，取最大值， 将代入， 得， 的最大值为6； （3）解：将代入得， 抛物线经过， 抛物线对称轴为直线，顶点坐标为，， 又抛物线经过， 在给定取值范围内，函数需要取最大值6，取最小值， 时，符合题意． 题型八 二次函数图象的平移 22．（2026·安徽阜阳·二模）已知抛物线． (1)求该抛物线的对称轴； (2)当时， （i）将点向右平移个单位长度得到点，将点向左平移个单位长度得到点，若点，恰好都落在该抛物线上，求的值． （ii）若点在该抛物线上，且点到轴的距离小于等于3，求的取值范围． 【答案】(1)直线 (2)（i）4；（ii） 【分析】（1）根据对称轴直线的计算公式代入计算即可； （2）①根据点的平移得到，，代入计算即可求解；②根据点到轴的距离小于等于3，得到，结合二次函数图象的性质即可求解． 【详解】（1）解：， 该抛物线的对称轴为直线； （2）解：当时，抛物线为， （i）将点向右平移个单位得到点，将点向左平移个单位得到点， ，， 点，恰好都落在该抛物线上， 点，关于抛物线对称轴对称， ， ， ， 代入，得． （ii）点在该抛物线上， ， ， 当时，有最小值， 点到轴的距离小于等于3， ，即， ， 当时，有最大值， 时，， 的取值范围是． 23．（25-26九年级上·贵州遵义·期中）已知抛物线的顶点与抛物线的顶点相同，且与直线的交点A的横坐标为3． (1)求这条抛物线的函数解析式； (2)直接写出把这条抛物线先向右平移4个单位长度再向下平移2个单位后，所得抛物线的函数解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的顶点式，二次函数图象的平移，掌握平移法则是解题的关键． （1）根据两条抛物线顶点相同，可得，，再求出点A的坐标，代入抛物线解析式求出a值即可； （2）根据“上加下减，左加右减”平移法则求解． 【详解】（1）解：抛物线的顶点与抛物线的顶点相同， ，， ， 对于，当时， ， 将代入，得：， 解得， 这条抛物线的函数解析式为； （2）解：把这条抛物线先向右平移4个单位长度再向下平移2个单位后，所得抛物线的函数解析式为： ， 即． 24．（25-26九年级上·北京东城·期末）在二次函数中，与的几组对应值如表所示． x … 0 1 … y … 1 … (1)求二次函数的表达式； (2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象； (3)将二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后所得图象与直线相交于，两点，请直接写出线段的长． 【答案】(1)二次函数的解析式为； (2)二次函数图象的顶点坐标为， 画出函数图象，如图， (3)线段的长为． 【分析】（1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）利用配方法把解析式化为顶点式，由二次函数的图象和性质即可求解； （3）由二次函数图象的平移规律可得平移后的函数解析式，由，结合题意即可得线段的长． 【详解】（1）解：把点代入，得， 解得， ∴二次函数的解析式为． （2）解：∵， ∴二次函数图象的顶点坐标为，对称轴为直线， ∴点关于直线的对称点为． （3）解：二次函数向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得二次函数的解析式为， 由得， 解得，， 根据题意可得， ∴线段的长为． 【点睛】本题考查求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，画二次函数的图象，二次函数图象的平移． 题型九 待定系数法求二次函数解析式 25．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知抛物线过三点，则该抛物线的解析式为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】已知抛物线与轴交于两点，设交点式代入第三点求解更简便． 【详解】解：∵抛物线过点，， ∴设抛物线解析式为， 将代入解析式，得， 解得， ∴． 26．（26-27九年级上·北京·课后作业）如图，已知二次函数的图象经过两点． (1)求这个二次函数的解析式并写出它的对称轴； (2)把该抛物线平移，使它的顶点与B点重合，直接写出平移后抛物线的解析式． 【答案】(1)，对称轴为直线 (2) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求得，得到平移后的抛物线的顶点坐标为，据此求解即可． 【详解】（1）解：把代入， 得， 解得， 所以抛物线解析式为， 抛物线的对称轴为直线； （2）解：令，则， ∴， ∴平移后的抛物线的顶点坐标为， ∴平移后的抛物线解析式为． 27．（2026·浙江嘉兴·模拟预测）如图是某个二次函数的图象． (1)求该二次函数关系式； (2)补全函数图象； (3)若抛物线上点到轴的距离不大于2，请根据图象直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）用顶点式求二次函数解析式即可； （2）根据解析式画出图像即可； （3）求出当时，的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设二次函数解析式为， ∵抛物线过点，代入得： ， ∴； （2）略； （3）解：当时， ； 当时， ； ∵抛物线开口向下，顶点坐标， 即当时，的最大值为4， ∴抛物线上点到轴的距离不大于2时，． 题型十 二次函数实际应用之销售问题 28．（26-27九年级上·北京·期中）某公司销售一种进价为20元/个的计算器，其销售量（万个）与销售价格（元/个）的变化满足；同时，销售过程中的其他开支（不含进价）总计40万元． (1)求出该公司销售这种计算器的净得利润（万元）与销售价格（元/个）的函数解析式． (2)销售价格定为多少元时净得利润最大，最大值是多少？ 【答案】(1) (2)销售价格定为元时净得利润最大，最大值是万元． 【分析】（1）根据净得利润等于销售量乘以（销售价格减去进价）再减去销售过程中的其他开支（不含进价）即可列出函数解析式； （2）把（1）中的二次函数解析式化为顶点式，根据二次函数的性质即可求出答案． 【详解】（1）解：根据题意可得， （2）解： ∵，顶点为， ∴销售价格定为元时净得利润最大，最大值是万元． 29．（2026·四川眉山·中考真题）2025年，在四川省城市足球联赛（简称“川超”）比赛期间，为促进体育经济发展，眉山市文旅局联合餐饮住宿企业、土特产生产企业推出各种优惠活动． (1)某食品厂原计划每月生产芝麻糕2000件，为响应文旅局号召，连续两月提高产量后，月产量达到2880件，若每月产量的增长率相同，求每月产量的增长率； (2)该食品厂原来每天可销售60件芝麻糕，每件盈利30元．参与优惠活动后，该食品厂每降价1元，就可多售出5件．问该食品厂应降价多少元，才能使利润最大？最大利润为多少？ 【答案】(1)每月产量的增长率为 . (2)应降价元，最大利润为 元. 【分析】（1）设每月产量的增长率为，根据原产量和增长两次后的产量关系列方程，舍去不符合实际的负根即可得到结果； （2）设降价元，每天总利润为 元，根据总利润每件利润销售量列出二次函数解析式，配方后根据二次函数的性质即可求出最大利润和对应的降价金额． 【详解】（1）解：设每月产量的增长率为， 根据题意列方程得: ， 解得 , ，增长率不能为负，不符合实际，舍去， 答: 每月产量的增长率为； （2）解：设降价元，每天总利润为 元， 根据题意，每件盈利为 元，每天销售量为 件， ∴， ， 当时， 取得最大值，最大值为， 答: 该食品厂应降价元，才能使利润最大，最大利润为 元． 30．（25-26九年级上·北京·期中）某商店销售一种T恤衫，已知成本价为每件30元，现售价为每件60元，每天售出100件，为提高利润并减少库存，商店决定将该T恤衫降价出售，经市场调查发现，每件售价降价1元，则多售出5件，问这种T恤衫售价应定为多少元，能使销售利润最大?设售价为元/件，总利润为元，完成下列问题． (1)每天售出_____件； (2)求最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)这种T恤衫售价定为55元时，销售利润最大为3125元 【分析】（1）设售价为x元，降价元，盈利元，每天可售出件，即可得答案． （2）根据题意，得，利用二次函数的性质解答即可． 本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，熟练掌握一元二次方程的应用，二次函数的最值是解题的关键． 【详解】（1）解：设售价为x元，则降价元，盈利元， 根据题意，得每天可售出件， 故答案为：． （2）解：根据题意，得． 当时，． 这种T恤衫售价定为55元时，销售利润最大为3125元． 题型十一 二次函数实际应用之图形问题 31．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，学校要在校园内建一个矩形的开心农场，其中一边紧靠围墙，且的长不能超过，其余三边用长的铁质栅栏围成．有下列结论： ①的长可以为； ②当农场的面积为时，满足条件的的长只有一个值； ③农场面积的最大值为． 其中，正确的是______（只需填序号）． 【答案】② 【分析】设边长为，则边长为，当时，解方程即可判断①；根据开心农场面积为，列出一元二次方程，解方程，即可判断②；设矩形菜园的面积为，根据题意列出二次函数关系式，根据二次函数的性质，结合的取值范围即可判断③． 【详解】解：设边长为，则边长为， 当时， 解得， 的长不能超过， ，故①不正确； 开心农场面积为， 解得， 又∵， ， 满足条件的的长只有一个值，故②正确； 由题意得，设矩形开心农场的面积为， 根据题意得，， ，， 当时，有最大值，最大值为不可能为，故③不正确； 综上所述，正确的是②． 32．（2026·山东泰安·三模）如图，某酒店后面有一块梯形空地，其中，，，为缓解车位紧张，该酒店计划在这块空地上修建一个矩形停车场，其余部分铺设为草坪，为方便车辆进出，矩形停车场的一边和空地的最长边重合，、分别在边、上，设，矩形停车场的面积为． (1)用含的式子表示的长为 ； (2)的长的取值范围是 ； (3)求修建的矩形停车场的面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3)该矩形停车场的最大面积为 【分析】（1）容易判断与都是等腰直角三角形，则，结合矩形的性质可得； （2）结合图形容易判断，解不等式即可； （3）利用矩形面积公式可得关于的二次函数，再结合二次函数的性质求出面积的最大值． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴与都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：由图可知，, ∴， 解得； （3）解：， ∵， ∴该二次函数的图象开口向下， ∴当时，取得最大值． 答：该矩形停车场的最大面积为． 33．（2026·辽宁沈阳·一模）下面是数学小组的活动报告单： 活动主题 为校园花圃设计方案 活动准备 1．去学校档案馆查阅校园平面图； 2．了解围成花圃的栅栏长度； 3．准备皮尺等测量工具． 设计方案 如图，根据校园平面图情况，设计围成矩形花圃，花圃一边靠墙（墙的长度是），用栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个进出的门（此处不用栅栏） 设计图： 采集数据 可用栅栏总长为，花圃两侧各留的进出的门宽为． 设栅栏与墙平行的边的长度为，花圃的面积为，根据以上信息，解决下列问题： (1)求与的函数表达式（不用写出自变量取值范围）； (2)当时，求栅栏与墙平行的边的长度为多少米? 【答案】(1) (2)栅栏与墙平行的边的长度为21米 【分析】（1）根据矩形周长（栅栏总长）表示出与墙垂直的边，再结合面积公式列函数表达； （2）根据（1）中的函数表达式，令，求出对应的的值，再根据墙的长度是，则，取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设栅栏与墙平行的边的长度为，则与墙垂直的边的长度为， ． （2）解：令， ，解得，， ∵墙的长度是， ． ． 答：栅栏与墙平行的边的长度为21米． 题型十二 二次函数实际应用之拱桥、投球、喷水问题 34．（26-27九年级上·浙江金华·期中）近期，全国多地新能源汽车充电站迎来升级改造，遮阳棚成为标配设施，为车主提供更舒适、安全的充电环境．图①是某弧形遮阳棚横截面的示意图，其中棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，棚顶的端点为该抛物线的最高点，点到地面的距离为米，棚顶与立柱的交点到地面的距离为米，且点和点的水平距离为米． (1)按如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的函数解析式； (2)现有一辆观光车需要充电，如图②是观光车的截面图，已知车身长约米，车厢最高点与遮阳棚接触点离地面高约米，请通过计算说明这辆观光车是否可以完全停进遮阳棚正下方． 【答案】(1) (2)车身长约米，车厢最高点与遮阳棚接触点离地面高约米时，这辆观光车可以完全停进遮阳棚正下方 【分析】（1）结合题意设抛物线的函数解析式为，代入点的坐标，即可得到答案； （2）将代入中，求出点的横坐标，点的横坐标加上车长不超过米，则这辆观光车可以完全停进遮阳棚正下方． 【详解】（1）解： 由题可得：抛物线的顶点的坐标为， 设与的函数解析式为， 点的坐标为， 将点代入函数解析式中，得， 解得， 抛物线的函数解析式为； （2）解：根据题意：设点的坐标为， 将代入中， 得：， 解得（舍去），， ， 车身长约米，车厢最高点与遮阳棚接触点离地面高约米时，这辆观光车可以完全停进遮阳棚正下方． 35．（26-27九年级上·北京·期中）投壶是由古代“射礼”演变而来的一项传统礼仪活动和游戏，与君子六艺中的“射”密切相关．学校在趣味运动会开展传统文化体验活动，某同学在一次投壶练习中，利用视频分析软件研究箭头离手后的运动轨迹，以箭头离手时箭头所在位置的正下方为原点建立平面直角坐标系，其中表示箭头距原点的水平距离，（）表示箭头距地面的高度．记录的部分数据如下： 0 0.5 1.0 1.5 1.5 1.4 1.2 0.9 通过分析数据，发现可以用二次函数近似刻画与之间的关系． (1)求关于的函数表达式； (2)箭头在所研究的运动过程中距地面的最大高度为__________； (3)本次活动所用投壶的壶口中心距地面，壶口内径为，在箭头运动方向所在的竖直平面内，可将壶口近似看作一条长的水平线段，设箭头可视为质点，当箭头经过壶口所在水平线段，即视为投入．投壶的位置始终不变，每次投壶的出手高度、方向及箭头的运动轨迹与投壶练习中的一样，第一次投掷时，壶口中心与箭头出手位置的水平距离为，箭头未投入壶中，第二次投掷时，若以壶口中心为参照，为确保箭头成功投入壶中，出手点到壶口中心的水平距离由变为，忽略箭的粗细，则的取值范围是__________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设关于的函数表达式为，从表格中任取三组对应值代入，解方程组即可； （2）由（1）得关于的函数表达式为，结合二次函数的性质及问题的实际意义确定箭头在所研究的运动过程中距地面的最大高度； （3）令，求得符合题意的的值，再建立关于的方程求出临界值即可求得的取值范围． 【详解】（1）解：设关于的函数表达式为， 将，，代入， 得， 解得， 关于的函数表达式为； （2）解：由（1）得关于的函数表达式为， ， ， 当时，随的增大而增大， ， 当时，的值最大，为， 故箭头在所研究的运动过程中距地面的最大高度为； （3）解：当时， ， 解得（负值舍去）， ∵壶口内径为， 当时，； 当时，； ． 36．（25-26九年级下·广东广州·开学考试）根据以下素材，完成探究任务 项目主题 合理设置智慧洒水车喷头 问题背景 洒水车是城市绿化的生力军，清扫道路，美化市容，降温除尘，环保绿化，如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．数学小组成员想了解洒水车要如何把控行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水浇灌到整个绿化带．围绕这个问题，该小组开展了“合理设置智慧洒水车喷头”为主题的项目式学习． 素材1 利用图1实际测量数据建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把洒水车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，喷水口H离地面竖直高度h为米．上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为3米，高出喷水口米； 素材2 小组成员通过进一步分析发现：当喷头洒水进行调整时，喷头喷出的水柱抛物线形状不发生改变，即下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， 素材3 如果我们把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，洒水车到绿化带的距离为d米． 问题解决 任务1 测量建模：（1）请你求出上边缘抛物线的函数解析式； 任务2 推理分析：（2）请你结合模型探究下边缘抛物线与x轴交点B的坐标； 任务3 实践探究：（3）若洒水车到绿化带距离调整为米，洒水车行驶时喷出的水覆盖区域能否浇灌到整个绿化带？请说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，理由如下： ∵矩形， 米，竖直高度米，米， 则（米） ∴点F的坐标为， 当时，， 当时，y随x的增大而减小， ∴洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带． 【分析】（1）结合为上边缘抛物线的顶点，设，再把代入计算，即可作答． （2）结合二次函数的对称性得出点的对称点为，把代入即可求解； （3）因为二次函数的性质以及矩形的性质得点F的坐标为，代入即可作答． 【详解】解：（1）由题意得：为上边缘抛物线的顶点， 设， 又∵抛物线过点， ， 解得：， ∴上边缘抛物线的函数解析式为． （2）∵对称轴为直线， ∴点的对称点为， ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移6米得到的， 当时， 解得，（舍去）， ∴ ∴点B的坐标为； （3）略 题型十三 二次函数与方程关系 37．（26-27九年级上·北京西城·期中）已知二次函数． (1)补全表格，用五点法画出这个二次函数的图象： … … … … (2)结合图象指出，当时，的取值范围________； (3)当时，结合图象直接写出函数的取值范围________； (4)求函数图象与两坐标轴的交点所围成的三角形的面积． 【答案】(1)填表如下： …… 0 1 2 3 …… …… 0 3 4 3 0 …… 二次函数图象，如图所示： (2)或 (3) (4)6 【分析】（1）完成表格，用描点法画出函数图象即可； （2）结合函数图象，即可获得答案； （3）根据函数图象，结合二次函数性质，即可得出答案； （4）根据函数图象先得出函数图象与x轴的交点坐标为，，与y轴的交点坐标为，然后根据三角形面积公式求出三角形的面积即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 填表略，画图略 （2）解：由函数图象可知，当时，x的取值范围是或． （3）解：根据函数图象可知：当时，y取最大值4， 当时，， 当时，， ∴当时，函数的取值范围为； （4）解：根据函数图象可得：抛物线与x轴的交点坐标为，，与y轴的交点坐标为， ∴函数图象与两坐标轴的交点所围成的三角形的面积为： ． 38．（2026九年级上·北京西城·专题练习）二次函数中的，的部分取值如下表： 根据表中数据填空： … 0 1 2 3 … … 0 … (1)该函数图象的对称轴是________； (2)与轴的交点坐标是________； (3)二次函数解析式是________； (4)画出该二次函数的图象； (5)结合图象，当时，的取值范围是________________； (6)结合图象，方程有实数解，的取值范围是____________． 【答案】(1)直线 (2) (3) (4)二次函数的图象如图所示： (5) (6) 【分析】（1）根据时的函数值与时的函数值相同可求出对称轴， （2）根据时，可求出与x轴的交点坐标； （3）先利用对称轴公式得到a与b的等量关系，再将已知点代入解析式，代入消元求出a、b，写出函数一般式． （4），顶点坐标．取关键点：，，，，． 在平面直角坐标系中描出这几个点，用平滑曲线连接，画出抛物线． （5）开口向上的抛物线，顶点是最小值；比较区间两端点函数值，确定最大值，写出范围． （6）将方程有解转化为抛物线与水平线存在交点，由抛物线最小值确定取值范围． 【详解】（1）解：由表格可知时的函数值与时的函数值相同， ∴对称轴为直线； （2）∵当时，， ∴由对称性可得，， ∴与x轴的交点坐标是； （3）解：由（1）得对称轴为直线， ∴， ∴， 把代入得， ∴， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， （4）略 （5）解：抛物线解析式$y=(x-1)^2-4$，开口向上，顶点$(1，-4)$，顶点为最低点． 当时，最小值为． 再计算区间端点，对应的函数值： ，； ，． 在区间内，最大值为，最小值为． 的取值范围是． （6）解：方程变形为． 方程有实数解等价于抛物线与直线有交点． 抛物线开口向上，函数最小值为． 所以的取值范围是． 39．（25-26九年级上·北京大兴·期中）已知在二次函数中，函数值和自变量的部分对应值如表：则关于的一元二次方程的解是__________ … 0 1 2 3 … … … 【答案】， 【分析】本题考查了二次函数的对称性及与一元二次方程的关系，根据二次函数的对称性求解对称轴为直线，求出点关于直线的对称点是点，再进一步作答即可． 【详解】解：根据题意得：点，均在二次函数的图象上， 故二次函数的对称轴为直线， 根据表格点在二次函数的图象上， 故点关于直线的对称点是点， ∴关于x的一元二次方程的解是，， 故答案为：，． 题型十四 二次函数与不等式关系 40．（26-27九年级上·北京海淀·期中）如图，已知二次函数（h，k为常数）的图象经过点，． (1)计算：__________，__________； (2)根据图象，当时，y的取值范围是__________； (3)当时，x的取值范围是__________． 【答案】(1)1；4 (2) (3)或 【分析】（1）先根据二次函数性质得到对称轴，然后再利用待定系数法求解即可； （2）根据二次函数性质求解即可； （3）分别求出当时和当时的取值，然后根据函数性质求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数（，为常数）的图象经过点，， ∴二次函数的对称轴为：， ∴， ∴二次函数为， 将点代入得到：， 解得； （2）解：∵二次函数的解析式为：， ∴二次函数的对称轴为，抛物线开口向下，顶点为， 在时，， 在时，， 在时，函数取到最大值， 故当时，的取值范围是； （3）解：当时，得到，解得：或， 当时，或， 又∵二次函数的对称轴为，抛物线开口向下， ∴当时，的取值范围是或． 41．（26-27九年级上·北京·期中）已知：二次函数，与的一些对应值如表： … 0 1 2 4 … … 3 3 … (1)根据表格中的数据，确定二次函数的解析式为_____； (2)表格中空白处的值_____，_____； (3)在给定的平面直角坐标系中画出二次函数的图象； (4)当时，，则的取值范围为_____． 【答案】(1) (2)8，0 (3)如图， (4) 【分析】（1）运用待定系数法求解二次函数的解析式； （2）把，分别代入求解； （3）用五点作图法作图即可； （4）利用图象求解即可． 【详解】（1）解：由表格得，二次函数经过点，，， ∴， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：将代入得，， 将代入得，； （3）解：∵ 当时， 解得或 ∴二次函数和x轴的交点坐标为，， ∴列表如下： … 0 1 2 3 4 … … 3 0 0 3 … 作图略； （4）解：∵当时，， ∴由图象得，． 42．（26-27九年级上·北京·期中）设二次函数． (1)先补全表格，则__________，然后在平面直角坐标系中用“列表、描点、连线”的方法画出该二次函数的图象： … 0 1 2 3 … … 0 3 3 0 … (2)点，都在二次函数图象上， ①若，则__________； ②若，则__________（填“”，“”或“”）． (3)当时，函数值的取值范围是，直接写出的值． 【答案】(1)当时，； 列表得： … 0 1 2 3 … … 0 3 3 0 … 描点、连线得到二次函数的图象如下： (2)①；② (3) 【详解】（1）略 （2）解：①根据函数图象可得抛物线对称轴为直线， 若，则点与关于直线对称， ∴， 解得； ②若，则， 由函数图象可得：当时，；当时，， ∵，点，都在二次函数图象上， ∴，， ∴； （3）解：当时，解得， 根据函数图象发现，当时，二次函数有最大值；当时，， ∴当时，函数值的取值范围是，得到． 题型十五 二次函数中的角度问题 43．（2025·山东济宁·二模）如图，平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴相交于点、点，与轴相交于点，连接、． (1)求：，的值； (2)当时，函数的最小值是2，求出的值； (3)在抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，2 (2) (3)存在，点或 【分析】本题考查了二次函数的综合运用，涉及待定系数法求表达式，二次函数的性质，二次函数与角度问题等．第（3）问关键是构造三角全等． （1）由题意得：，利用待定系数法求解即可； （2）先求出点，点，抛物线的对称轴为直线，再根据二次函数的性质解答即可； （3）先求出，分点在左侧时，点在右侧时，两种情况讨论，利用三角形全等的性质解答即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 则，则， 抛物线的解析式为：， 则； （2）解：当时，， 解得，， 点， 当时，， 点． 由抛物线的表达式知，其对称轴为直线， 当时，函数的最小值是2，即时，函数取得最小值， 则，则（舍去）， ∴的值为； （3）解：存在点，理由如下： ∵，， ∴， ， ①当点在左侧时，如图，在轴上取点，延长交抛物线于点， 在和中， ，，， ， ， ， 设直线的解析式为， 由点、的坐标得，直线的解析式为， 联立上式和抛物线的表达式得：， 则（舍去）或，故点； ②当点在右侧时，如上图，作关于的对称，交二次函数于点， 则，，， ， ， 四边形是正方形， ， 令中，，则， 解得或， ，， ，， ， ， ， 在点抛物线上，即点满足条件， 故存在满足条件的点有两个，分别为：或． 44．（2025·上海静安·二模）已知抛物线，的顶点分别为、，且它们都经过轴上的点． (1)如果抛物线经过点，抛物线经过点，求这两个抛物线的表达式； (2)已知，求的值； (3)当时，能否确定系数、、的值？如果能，请求出相应的值；如果不能，请简要说明理由． 【答案】(1)， (2) (3) ，m、n的值不能确定，理由如下： ∵， ∴， 由（1）得，由（2）得， ∴点A与点B的纵坐标相同， ∴轴， 设与y轴交于D， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍去）； ∵当时，都能满足， ∴m、n为任意实数， ∴m、n的值不能确定． 【分析】本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）先求出两个抛物线与y轴的交点坐标，进而得到，再利用待定系数法求解即可； （2）先求出，，再过点B作轴于D，连接，可证明是等腰直角三角形，得到，则，据此求解即可； （3）求出，则可得到轴，设与y轴交于D，可证明，则可得到，据此可求出a的值，而m、n的值为任意实数，据此可得答案． 【详解】（1）解：在中，当时，， 在中，当时，， ∵两个抛物线都经过轴上的点， ∴， ∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴两个抛物线的解析式分别为，； （2）解：∵， ∴， 在中，当时，， ∴， 如图所示，过点B作轴于D，连接， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴或（舍去）； （3）略． 45．（24-25九年级上·天津河北·期中）在平面直角坐标系中，抛物线（m是常数）与x轴交于、B，与y轴交于点C，点P是抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式及点P的坐标； (2)已知点Q是对称轴右侧抛物线上的一点． ①当时，求点Q的坐标； ②过点P作，交x轴于点H，当时，求点Q的坐标． 【答案】(1)， (2)①或；② 【分析】（1）把代入抛物线中得：，解方程可得m的值，从而得抛物线的解析式，配方成顶点式可得点P的坐标； （2）①令，可计算C，分两种情况：当点Q在x轴的上方时，如图1，连接，证明是等腰直角三角形，即可得点Q的坐标为；当点Q在x轴的下方时，如图2，过点Q作轴于E，设，根据，列方程即可解答； ②如图3，过点P作轴，过点H作于M，过点Q作于N，设点Q的坐标为，证明，得，即可解答． 【详解】（1）解：把代入抛物线中得：， ∴， ∴抛物线的解析式为：， ∵， ∴P的坐标为； （2）①当时，， ∴C， 分两种情况： 当点Q在x轴的上方时，如图1，连接， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 则当点Q与C重合时，， 此时Q的坐标为； 当点Q在x轴的下方时，如图2，过点Q作轴于E， 设 ∵点Q是对称轴右侧抛物线上的一点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（舍），， 当时，， ∴Q的坐标为， 综上，点Q的坐标是或； ②如图3，过点P作轴，过点H作于M，过点Q作于N， 设点Q的坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴°， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵轴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点评】本题考查了二次函数的综合知识，涉及到的考点有：二次函数解析式的确定，二次函数的性质，三角形全等的性质和判定，等腰直角三角形的判定及性质等知识，对学生综合运用知识的能力要求较高． 题型十六 二次函数中的面积问题 46．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，已知抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（点A在点B左边）． (1)请直接写出A，B，C三点的坐标； (2)若P是第一象限内抛物线上一点，求面积最大时点P的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令列式求解即可得到答案； （2）先求出直线的函数解析式，利用二次函数把面积表示出来，根据二次函数的最值就可以求出点的坐标； 【详解】（1）解：当时，， ． 当时，， 解得：， ． （2）解：如图，过点P作轴于点N，交BC于点D， 则． ， ， ． 设直线对应的函数解析式为， 把分别代入，得， 解得， ∴直线对应的函数解析式为． 设， ， ∴当时，取最大值，即的面积最大，此时． 47．（26-27九年级上·黑龙江绥化·期中）如图，直线分别与轴，轴交于，两点，点为的中点，抛物线经过，两点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)点是直线下方的抛物线上的一点，且的面积为，求点的坐标； (3)为抛物线的对称轴上一点，若是以为腰的等腰三角形，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或． 【分析】（1）由直线解析式求出A、B坐标，然后确定C点的坐标，再用待定系数法求出抛物线解析式； （2）设，如图：过点D作轴，交直线于点E，再求得得出方程，解出m值即可解答 （3）先求得抛物线的对称轴直线为，如图：设结合，分和两种情况，分别利用两点间距离公式列方程求得e的值即可解答． 【详解】（1）解：直线中，当，则；当，则， ∴， ∵点为的中点， ∴，将A和C代入抛物线中， ，解得：， ∴抛物线表达式为：． （2）解：联立：，解得：或， ∴直线与抛物线交于点和， ∵点D是直线下方抛物线上的一点， 设， ∴， 如图：过点D作轴，交直线于点E， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴点D的坐标为． （3）解：∵抛物线， ∴抛物线的对称轴直线为， 设，， ∵是以为腰的等腰三角形， ∴如图：当， ∴，解得：或， ∴点E的坐标为或； 如图：当， ∴，解得：或， ∴点E的坐标为或． 综上，点E的坐标为或或或． 48．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，二次函数的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．点P是第一象限抛物线上的一点．若点P的横坐标为2，则的面积为______． 【答案】4 【分析】求出三点的坐标，利用待定系数法求解直线的解析式，过点作轴交于点，求出点的坐标，算出线段的长，利用求解． 【详解】解：对于， 令，则， 故， 令，则， 故， 令，可得， 解得或， 故， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， 过点作轴交于点， 则对， 令，则， 故， ∴， ∴ ． 题型十七 二次函数中的存在性问题 49．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线过A，B，C三点，点A的坐标是，点C的坐标是，动点P在抛物线上． (1)_______，______，点B的坐标为______． (2)是否存在点P，使得是以边为直角边的直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，， (2)存在，P的坐标是或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式，对称性求出点坐标即可； （2）分和两种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）解：把和代入得： ，解得， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对称点为，即； （2）解：存在， 当时，设交轴于点， ∵点A的坐标是，点C的坐标是， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得， ∴， 联立，解得或， ∴； 当时，则， ∴的解析式为， 联立，解得或， ∴； 综上：或. 50．（26-27九年级上·河南信阳·期中）如图，二次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)当时，函数的最小值为1，则a的值为______； (2)在平面直角坐标系内是否存在一点P，使以P、A、O、B为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或； (2)存在，或或 【分析】（1）先求出时x的值，再结合二次函数的性质作答即可； （2）根据平行四边形对角线互相平分，分三种情况讨论：当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，分别求解即可． 【详解】（1）解：当时， 解得：， ∵， ∴对称轴为直线，y最小值为0， 要使函数的最小值为1，则或， 即或； （2）解：令，则， 令，则， ∴， ∵以P，A，O，B为顶点的四边形为平行四边形， 设， 当为对角线时， ， 解得：， ， 当为对角线时，则 ， 解得：， ， 当为对角线时，则 ， 解得：， ， 综上所述，P点坐标为或或． 51．（2026·安徽·模拟预测）如图，抛物线：交轴于点和点B，交y轴于点，顶点记为． (1)求抛物线的函数表达式及顶点的坐标． (2)连接，若线段上有一点，过点作轴的平行线交抛物线于点，求线段长的最大值． (3)在（2）中，当的长最大时，将该抛物线平移，设平移后的抛物线为，抛物线的顶点记为，它的对称轴与x轴交于点．怎样平移才能使得以、、、为顶点的四边形是菱形？ 【答案】(1)； (2) (3)向右平移个单位长度，向下平移个单位长度或向左平移个单位长度，向下平移个单位长度 【分析】（1）把、两点坐标代入抛物线一般式，解二元一次方程组求得、，即可得到抛物线函数表达式；将表达式配方为顶点式，直接写出顶点的坐标即可； （2）先用待定系数法求直线的解析式，设点横坐标为，用表示、的坐标，通过两点纵坐标差写出关于的二次函数，利用二次函数性质求出的最大值即可； （3）先确定最大时点、的坐标，设平移后顶点，则，根据的位置，分在轴上方、下方两种情况，依据菱形邻边相等列方程求、，舍去无解情况，根据顶点坐标的变化量即可确定抛物线的平移方式． 【详解】（1）解：把、代入，得 ， 解得， ∴抛物线的函数表达式为， 化为顶点式，得， ∴点的坐标为； （2）解：设直线的表达式为，代入、得 ， 解得， ∴直线的表达式为， 设点的横坐标为，则，， ， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∵，在取值内， ∴当时，； （3）解：由（2）当的长最大时，，点，点， 设平移后抛物线顶点，抛物线对称轴为直线，对称轴交轴于点， 根据的位置，可分两种情况讨论： ①如图，当点在轴上方时，四边形是菱形，则， ∴， 解得或， ，即， 解得或（不合题意，舍去）； ∴的坐标为或， ∵抛物线的顶点为， ∴当的坐标为时，，，抛物线向右平移个单位长度，向下平移个单位长度； 当的坐标为时，，，抛物线向左平移个单位长度，向下平移个单位长度； ②当点在轴下方时，四边形是菱形，则， ∴， 两边平方，得， 移项并整理，得， ∴此方程无实数根， 故此情况不成立； 综上，抛物线向右平移个单位长度，向下平移个单位长度或向左平移个单位长度，向下平移个单位长度，能使得以、、、为顶点的四边形是菱形． 题型十八 反比例函数的定义求参数 52．（2025·陕西西安·一模）已知点与点在同一反比例函数的图象上，则a的值为______． 【答案】/ 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题时注意：反比例函数图象上的点的横、纵坐标的积是定值k． 设反比例函数解析式为，反比例函数图象上的点的横、纵坐标的积是定值k，即，据此可得a的值． 【详解】解：设反比例函数解析式为， ∵点与点在反比例函数图象上， ∴ ， 解得 ， 故答案为：． 53．（24-25九年级上·湖南常德·期中）已知函数为反比例函数． (1)求的值． (2)判断点是否在该反比例函数图象上． 【答案】(1) (2)点不在该反比例函数图象上 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 根据反比例函数的定义得且，求解即可； 把代入反比例函数求得的y值，即可判断． 【详解】（1）解： 反比例函数为， 且， 解得：． （2）由（1）可知：． 当时，代入上式得： 点不在该反比例函数图象上． 54．（25-26九年级上·山东东营·期中）已知函数y=（m+2）x是反比例函数，则m的值是（　　） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据反比例函数的定义得到m2-5=-1，且m+2≠0，由此求得m的值． 【详解】依题意得：m2-5=-1，且m+2≠0， 解得m=2． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了反比例函数定义，关键是掌握将一般式y＝（k≠0）转化为y=kx-1（k≠0）的形式． 题型十九 用反比例函数描述数量关系 55．（25-26八年级下·全国·单元复习）写出下列各问题中的函数关系式，指出是哪种函数，并确定其中自变量的取值范围： (1)在的匀速运动中，运动路程是时间的函数； (2)某学校要在校园中辟出一块面积为的长方形土地做花圃，这个花圃的长是宽的函数． 【答案】(1) ，是正比例函数，自变量取值范围为 (2) ，是反比例函数，自变量取值范围为 【分析】（1）根据“路程=速度乘时间”即可得出运动路程是时间的函数关系式，再根据正比例函数的定义解答即可； （2）根据长方形的面积公式即可得出花圃的长是宽的函数关系式，再根据反比例函数的定义解答即可． 【详解】（1）解：根据路程=速度×时间，可得，该式符合正比例函数的形式， 因此是的正比例函数， 运动时间为非负数，因此自变量的取值范围是． （2）解：∵长方形面积=长×宽，可得， 变形得，该式符合反比例函数的形式， 因此是的反比例函数， 长方形的宽为正数，因此自变量的取值范围是． 56．（25-26七年级上·新疆乌鲁木齐·期中）某运输公司计划运输一批货物，每天运输的吨数与运输天数之间的关系如下表： 每天运输的吨数 500 250 100 50 …… 运输的天数 1 2 5 …… (1)这批货物共有多少吨？ (2)用表示运输天数，用表示每天运输的吨数，用式子表示它们的关系． (3)与成反比例关系吗？如果成，请求出表格中的值． 【答案】(1) 500吨 (2) (3) 成反比例关系， 【分析】本题考查了反比例关系的实际应用，解题的关键是根据“货物总量每天运输吨数运输天数”确定总量，并分析变量间的关系． （1）用每天运输吨数乘对应天数计算货物总量； （2）根据总量公式变形得到与的关系式； （3）依据反比例关系的定义判断，再代入总量求的值． 【详解】（1）解：（吨）． 答：这批货物共有500吨． （2）解：由，得. （3）解：∵（定值）， ∴与成反比例关系． 当时，． 57．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图所示的是一面墙（可利用的最大长度为），现打算沿墙围一个面积为的矩形花圃．设花圃的长为，宽为，则关于的函数表达式是_________，自变量的取值范围是_________． 【答案】， 【分析】此题考查根据实际问题列函数关系式，理解题意掌握长方形的面积公式是解题的关键．根据长方形的面积长宽，可得，进而得出y关于x的函数表达式，再根据围墙可利用的最大长度为求得x的取值范围． 【详解】解：解：由题意得，即． ∵围墙可利用的最大长度为， ∴， 故答案为：，． 题型二十 求反比例函数自变量和值 58．（2024·北京·一模）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点和，若，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数上点的坐标特征，先将点和代入函数解析式得出，，结合题意可得，即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点和， ∴，， 又∵， ∴， 即； 即的值为． 故答案为：． 59．（2024·北京海淀·一模）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和．则______． 【答案】0 【分析】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，理解反比例函数图象上的点满足反比例函数的表达式是解决问题的关键．将点和代入之中得，，由此可得的值． 【详解】 解：函数的图象经过点和，，， ，， ． 故答案为：0． 60．（26-27九年级上·江苏淮安·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点． (1)直接写出_________，_________，一次函数表达式为_________； (2)观察图象，直接写出不等式的解集为_________． (3)连接，求的面积． 【答案】(1)；2；； (2)或； (3)3 【分析】（1）将、的坐标代入中，即可求出m、n的值，再根据待定系数法求解即可； （2）观察函数图象，即可得出的解集； （3）采用待定系数法求得直线的解析式，再令，即可求出，根据即可求出的面积． 【详解】（1）解：把点代入， 得，， ∴， 代入，得， 解得， ∴； （2）解：根据图象可得，当或时，一次函数图象在反比例函数图象的上方 ∴的解集为：或； （3）解：将代入，得 ∴，即， ∴． 题型二十一 画反比例函数图象 61．（26-27九年级上·北京·课堂例题）画反比例函数的图象． (1)列表（请填空）； x 1 2 3 4 y (2)描点、连线（请在图中的平面直角坐标系中完成）； (3)点在的图象上吗？为什么？ 【答案】(1)依次填入：，，，，6，3，2， (2)反比例函数图象如图所示： (3)点在的图象上，理由如下： 当时，， 所以点在的图象上． 【分析】（1）根据反比例函数解析式，代入自变量的值，即可求对应的函数值； （2）由（1）中表格信息，在平面直角坐标系中描点，再用平滑的曲线连接，绘制即可； （3）将代入解析式，根据函数值与点的纵坐标的关系，即可解答． 【详解】（1）解：， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，， 故表格中依次填入：，，，，6，3，2，． （2）略 （3）略 62．（25-26八年级下·吉林长春·期中）某校学习小组根据学习反比例函数的经验对的图象和性质进行了探究．过程如下： ⋯ 1 2 3 4 ⋯ ⋯ 1 4 4 2 1 ⋯ (1)与的几组对应值如表，其中______，自变量的取值范围为______． (2)根据上表数据，在平面直角坐标系中描点，并画出函数的图象； (3)观察图象，写出函数的两条性质： ①_________________； ②_________________． (4)结合函数图象回答： ①关于的方程的解是______； ②关于的不等式的解集是________． 【答案】(1)2， (2)根据表格中给出的坐标，在坐标系中描出所有点， 将侧的点顺次连接为光滑曲线，侧的点顺次连接为光滑曲线， 函数的图象如下图所示： (3)①函数图象关于y轴对称；②函数值，图象始终在x轴上方；（其他正确性质也可：如时，随增大而减小；时，随增大而增大等）． (4)①或；②且 【分析】（1）将代入函数解析式计算即可；因为分式分母不能为0，所以自变量的取值范围是． （2）画函数图象时，先根据表格中的对应值在坐标系中准确描出所有点，再用平滑曲线顺次连接和的点，注意图象不与坐标轴相交． （3）总结函数性质可以从对称性、增减性、函数值的取值范围、图象所在象限等角度观察已画出的图象归纳得出． （4）求方程的解，可找直线与函数图象交点的横坐标，或者解含绝对值的分式方程；求不等式的解，先转化为，再找函数图象在直线上方时对应的的取值范围，注意分正负半轴讨论，或者解含绝对值的不等式． 【详解】（1）解：把代入， 得， ∴； ∵， ∴自变量的取值范围是． （2）略 （3）略 （4）解：①方程变形得， ∴解得或； ②不等式， ∴， ∴， 解得， 又， ∴解集为且． 63．（25-26八年级下·河南南阳·期中）已知一次函数图象和反比例函数图象的两个交点A，B的横坐标分别为2和． (1)求反比例函数的关系式； (2)在同一直角坐标系中画出函数和的图象； (3)直接写出不等式的解集． 【答案】(1) (2) 如图所示，即为所求： (3)或 【分析】（1）根据一次函数的表达式和点A的横坐标求出点A的坐标，再把点A的坐标代入反比例函数的表达式中求解即可； （2）根据题意画函数图象即可； （3）根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可． 【详解】（1）解：在中，当时，， ∴， 把点A的坐标代入反比例函数的关系式得，解得， ∴反比例函数的关系式为； （2）略 （3）解：由函数图象可知，不等式的解集为或． 题型二十二 由反比例函数图象的对称性求点的坐标 64．（24-25九年级下·吉林长春·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于A，B两点，轴于点，连结交轴于点，则的面积是（   ） A． B．2 C．3 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，相似三角形的判定与性质，交点坐标满足两个函数解析式是关键． 根据反比例函数图象的中心对称性质及反比例函数的性质解答即可． 【详解】解：如图，作轴，垂足为， 根据反比例函数图象关于原点成中心对称图形， 点与点关于原点对称， ， 在和中， ， ， ， ∴， 轴， ， ， ∴， 是的中点， ∴， ， 故选：A． 65．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知正比例函数图像与反比例函数图像都经过点，那么这两个函数图象必都经过另一个点的坐标为__________． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数图像，反比例函数图像的性质等知识．熟练掌握正比例函数图像与反比例函数图像的两个交点关于原点对称是解题的关键． 根据正比例函数图像与反比例函数图像的两个交点关于原点对称作答即可． 【详解】解：∵正比例函数图像与反比例函数图像的两个交点关于原点对称， ∴这两个函数图象必都经过另一个点的坐标为， 故答案为：． 66．（2026·陕西西安·三模）若点与点是正比例函数图象与反比例西数图象的两个不同的交点，则__________． 【答案】 【分析】根据正比例函数与反比例函数图象都关于原点对称，则交点也关于原点对称，进而求得的值，即可求解． 【详解】解：∵点与点是正比例函数图象与反比例西数图象的两个不同的交点， ∴， 解得， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正比例函数与反比例函数图象的性质，关于原点对称的点的坐标特征，掌握以上知识是解题的关键． 题型二十三 已知双曲线分布的象限求参数范围 67．（24-25九年级上·吉林·期中）已知反比例函数（a为常数）． (1)若该反比例函数的图象位于第二、四象限，求a的取值范围； (2)当时，y随x的增大而减小，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键． （1）由反比例函数的图象位于第二、四象限，得到，然后求解即可； （2）当时，y随x的增大而减小，得到，，然后求解即可． 【详解】（1）解：反比例函数的图象位于第二、四象限， ， 解得， a的取值范围是； （2）解：反比例函数（a为常数），当时，y随x的增大而减小， ， 解得， a的取值范围是． 68．（25-26九年级上·全国·单元测试）若函数与函数的图象均不经过第二象限，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】本题考查了函数图象及一次函数与反比例函数的图象与性质．分当和两种情况讨论即可． 【详解】解：当时， 函数与函数即为，图象与x轴重合，均不经过第二象限， 当时， 函数为反比例函数，时，图象不经过第二象限， 函数为一次函数，时，图象不经过第二象限， 综上，当时，函数与函数的图象均不经过第二象限， 故答案为：． 69．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）在反比例函数的图象上有两点，，当时，有，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查反比例函数的性质．首先根据题意，判断函数图象所在象限，再根据所在象限得到的取值范围，进而求解，即可解题． 【详解】解：当时，有， 反比例函数图象在二、四象限， ， 解得， 故选：D． 题型二十四 反比例函数的增减性求参数 70．（2026·北京·模拟预测）如果点都在函数的图象上，且，那么的取值范围是_____． 【答案】 【分析】根据点、的横坐标判断两点位于的区间，结合和的大小关系，利用反比例函数的性质得到比例系数的取值范围，进而求出的范围. 【详解】解：，且 ， ∴当时，随的增大而增大， ∴， 解得 . 71．（25-26九年级上·陕西铜川·期中）已知反比例函数（k为常数，）． (1)若点在这个函数的图象上，则k的值为________； (2)若在这个函数图象的每一分支上，y的值随x值的增大而减小，求k的取值范围． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题考查的是反比例函数图象的性质，会灵活运用反比例函数图象的性质是解本题的关键． （1）根据题意，把代入到反比例函数中，进而求解； （2）根据这个函数图象的每一分支上，随的增大而减小，可知，进而求出的取值范围． 【详解】（1）解：∵点在函数的图象上， ∴， 解得． 故答案为：4． （2）解：在函数图象的每一分支上，随的增大而减小， ∴， ∴． 72．（24-25九年级下·湖北·自主招生）已知函数，当时，随的增大而减小，则实数的取值范围是（   ） A．或 B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．先将原函数看成由平移得到，然后运用反比例函数增减性的性质可得，且，解之即可． 【详解】解：可以看成是由平移得到， 当时，随的增大而减小， 根据反比例函数的性质得，，且， 或． 故选：C． 题型二十五 比较反比例函数值或自变量的大小 73．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知点，，（其中）都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据反比例函数中判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论． 【详解】解：反比例函数中，， 函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内随的增大而减小． 点，，都在反比例函数的图象上，且， 点，位于第一象限，位于第三象限， ． 74．（25-26八年级下·河南鹤壁·期末）已知点，，在反比例函数（为任意实数）的图象上，且，则，，的大小关系为________． 【答案】/ 【分析】先判断反比例函数比例系数的符号，再根据反比例函数的性质，结合各点横坐标的范围判断点所在象限，再根据函数的增减性比较纵坐标的大小． 【详解】解：对于反比例函数，比例系数 对任意实数，， ， 可得 反比例函数的图象位于第二、四象限，且在每一象限内，随的增大而增大． ， 点在第二象限，可得 ， 点，都在第四象限，可得， 又在第四象限内随的增大而增大，且， 综上可得． 75．（2026·内蒙古通辽·一模）已知点，都在反比例函数的图象上，若，则m的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】先得出这个反比例函数的图象位于第一、三象限；且在每一象限内，随的增大而减小，再分两种情况：①和②解答即可得． 【详解】解：∵在反比例函数中，， ∴这个反比例函数的图象位于第一、三象限；且在每一象限内，随的增大而减小． ①当时， ∵点，都在反比例函数的图象上，且， ∴，符合题意； ②当时， ∵点，都在反比例函数的图象上，且， ∴要使，则，符合题意； 综上，的取值范围是或． 题型二十六 反比例函数k值的几何意义 76．（26-27九年级上·北京东城·期中）如图，点A是反比例函数图象上的一个动点，过点A作轴，轴，垂足分别为B，C，已知矩形的面积为4，则反比例函数的解析式为______． 【答案】 【分析】设点A的坐标是,设反比例函数的解析式为，则，由矩形的面积为4得到，即可求出答案． 【详解】解：设点A的坐标是,设反比例函数的解析式为， ∴， 由题意可得，， ∵矩形的面积为4， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为． 77．（2026·吉林·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，的面积为，垂直轴于点，与双曲线相交于点，且，则的值为（     ） A．3 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】先求得，再证明，从而可根据相似三角形的性质求得即可得出的值． 【详解】解：过作轴于， ， ， 轴， ， ， ， ， 双曲线在第二象限， ． 78．（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图，点、是反比例函数图象上的两点，延长线段交轴于点，且点为线段中点，连接、，若，则的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】设点坐标为，由是中点且在轴上推出点坐标，再求直线解析式得到点纵坐标，最后利用三角形面积列方程求． 【详解】解：设，其中． 点是线段的中点，点在轴上，设， 由中点公式，，解得． 又点在的图象上， ∴． 设直线的解析式为， 将、代入，得： ， 解得，． 直线的解析式为． 令，得，即． 由题意，以轴上的为底，点的横坐标为高， ． ， ，解得． 题型二十七 求反比例函数的解析式 79．（2026九年级上·北京·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数（为常数，）的图象交于、两点，点的横坐标为． (1)求的值； (2)关于的不等式的解集为 ． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先求出点的坐标，再代入反比例函数的解析式，即可求解； （2）联立方程，求出点的横坐标，再结合图象，求出直线在双曲线上方时对应的自变量的取值范围即可． 【详解】（1）解：点在一次函数的图象与反比例函数（为常数，）的图象上， 当时，， ， ； （2）解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点， ，整理得， 解得，， 点的横坐标为， 点的横坐标为， 则由图可知，不等式的解集为或． 80．（26-27九年级上·北京西城·期中）如图，直线与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，过点作轴于点，，求的值． 【答案】 【分析】先求出点A的坐标，然后表示出、的长度，根据，求出点C的横坐标，代入直线解析式求出纵坐标，用待定系数法求出即可． 【详解】解：∵直线与y轴交于点A， ∴，即， ∵， ∴， ∴点C的横坐标为， ∵点C在直线上， 将，代入，得 ∴点， ∴， 81．（26-27九年级上·北京·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数（）的图象交于点，与轴交于点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)是直线上一动点，过点作轴的平行线交反比例函数（）的图象于点．若，直接写出点的坐标． 【答案】(1)一次函数解析式为； 反比例函数解析式为； (2)或 【分析】（1）用待定系数法求函数解析式即可； （2）设，则，得到，或，分别解方程，求出的值，即可得到点的坐标． 【详解】（1）解：将代入得，， 解得， 一次函数解析式为； 将代入得，， ， 反比例函数解析式为； （2）解：由（1）得，一次函数解析式为， 设，则， ， 或， 当时， 解得，或， 经检验，均是原分式方程的解， ，或（不符合题意，舍去）； 当时， 解得或 经检验，均是原分式方程的解， 或（不符合题意，舍去）； 故点的坐标为或． 题型二十八 反比例函数与一次函数结合 82．（26-27九年级上·北京西城·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数（）的图象交于、两点，连接、． (1)求反比例函数的表达式和点的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1)反比例函数的表达式为； (2) 【分析】（1）将代入一次函数表达式即可求出点的坐标，再将点的坐标代入反比例函数表达式求解；联立一次函数和反比例函数的表达式即可确定点的坐标； （2）设一次函数 与 轴相交于点，先求出点坐标，再根据计算求解． 【详解】（1）解：一次函数的图象经过点， ，解得， ， 反比例函数的图象经过点， ， 反比例函数的表达式为； 联立， 整理得，即， 解得，， ∴当时，， ； （2）解：如图，设一次函数与轴相交于点， AI 对于，令，则， ， ， 又，， ． 83．（25-26九年级上·山东泰安·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于A、B两点，与轴相交于点C，已知点B的坐标为． (1)求反比例函数的解析式及点A的坐标； (2)观察图象，不等式的解集为______； (3)点为反比例函数图象上任意一点，若，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)或 (3)点P的坐标为或． 【分析】（1）先将点B的纵坐标代入直线中，得到点B的完整坐标；其次将点B坐标代入反比例函数中，推出k的值，得到反比例函数解析式；最后联立两个函数的方程，求出交点A的坐标． （2）首先明确不等式的几何意义，对应图象中一次函数图象在反比例函数图象上方的部分，然后结合两个交点确定解集． （3）首先根据直线与x轴交点求出点C坐标，得到的长度，即两个三角形的底边均为的长；然后结合点A纵坐标计算出，从而得到；设出点P坐标，根据反推出点P纵坐标，代入反比例函数解析式，即可得到点P坐标． 【详解】（1）解：将点B的坐标代入中，得 解得，即点． 将代入到中，得 解得 ∴反比例函数的解析式为． 联立， 得 解得，． 当时，代入，得 ∴点A的坐标为． （2）解:不等式表示一次函数的函数值大于反比例函数的函数值． 两个函数的交点为和，反比例函数自变量取值范围为，观察图象可得：当或时，一次函数的值大于反比例函数的值， 因此不等式的解集为或． （3）解:将代入直线中，得，即点，． ∵点A纵坐标为2， ∴， ∴． 设点，则，得． 当时，代入反比例函数得，解得； 当时，点P与点B重合，为． ∴点P的坐标为或． 84．（2026·黑龙江大庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线与反比例函数的图象交于点D及点，与x轴交于点B． (1)求m的值； (2)若直线与反比例函数（）的图象在第三象限交于点C，求点C的坐标及的面积； (3)在第三象限内的反比例函数（）的图象上，是否存在点E，使得为直角三角形，若存在，请直接写出满足条件的所有点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)8 (2)，24 (3)或 【分析】（1）把代入可求出a的值，然后把A的坐标代入求解即可； （2）根据待定系数法求出直线解析式，然后联立直线解析式与反比例函数解析式，求出方程组的解，即可求出点C的坐标，根据求解即可； （3）先判断，然后分，两种情况讨论，然后构建相似三角形求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得， 解得， ∴， 把代入，得， 解得； （2）解：设直线的解析式为， 则， 解得， ∴， 由（1）知反比例函数解析式为， 联立方程组， 解得（舍去）或， ∴， 对于，当时，， 解得， ∴， ∴ ； （3）解：联立方程组， 解得（舍去）或， ∴， 设， 连接 并延长至点F，如图， 则，， ∴，即， 又， ∴， 当时，如图，过A作轴，过E作于M，过D作于N， 则，，，， ∵，， ∴， ∴，即， 解得或（舍去）， ∴， ∴； 当时，如图，过D作轴，过E作于M，过A作于N， 则，，，， ∵，， ∴， ∴，即， 解得或（舍去）， ∴， ∴； 综上，当点E的坐标为或时，为直角三角形． 题型二十九 反比例函数的实际应用 85．（25-26九年级上·山东德州·期中）实验数据显示，一般成人喝毫升某品牌白酒后开始计时，血液中酒精含量（毫克/百毫升）与时间（时）变化的图象如图（图象由线段与部分双曲线组成）所示．国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． 参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上在家喝完毫升该品牌白酒，第二天早上最早几点可以上班（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题为一次函数和反比例函数的应用，涉及待定系数法等知识点．掌握自变量、函数值等知识是解题的关键． 首先求得线段所在直线的解析式，然后求得点A的坐标，得到求解反比例函数的解析式；把代入反比例函数解析式可求得时间，结合规定可进行判断． 【详解】解：设直线的解析式为， 直线过， ， ， 直线的解析式为， 当时，，即， 设双曲线的解析式为， 将点代入得：， ； 当时，， 从晚上经过9小时到第二天早上，即可以上班． 故选B． 86．（25-26八年级下·上海嘉定·期末）学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数来表示．某班学生在一节数学课中的注意力指数随上课时间（分钟）的变化情况如图所示．上课开始时注意力指数为30，第2分钟时注意力指数为40，前10分钟内是的一次函数；10分钟以后与成反比例．根据图中所提供的信息，回答下列问题： (1)上课几分钟时，注意力指数达到最高？最高注意力指数是多少？ (2)如果讲解一道难度较高的数学题，要求学生的注意力指数不低于50，为了保证教学效果，本节课讲解这道题的用时最多为多少分钟？ 【答案】(1)上课分钟时，注意力指数达到最高，最高注意力指数是 (2)本节课讲解这道题的用时最多为分钟 【分析】（1）利用待定系数法求出前分钟内与的函数关系式为，再结合一次函数的性质计算即可得出结果； （2）由（1）可得前分钟内的函数解析式为，当时，求得，求出分钟后与的函数关系式为，当时，求得，从而可得注意力指数不低于的持续时间，即可得出结果． 【详解】（1）解：设前分钟内与的函数关系式为， 将和代入解析式得， 解得， ∴前分钟内与的函数关系式为， ∵， ∴随着的增大而增大， ∵当时，， ∴上课分钟时，注意力指数达到最高，最高注意力指数是； （2）解：由（1）可得前分钟内的函数解析式为， 当时，， 解得， 设分钟后与的函数关系式为， 将代入解析式得， ∴， ∴分钟后与的函数关系式为， 当时，， 解得， ∴注意力指数不低于的持续时间为（分钟）， ∴为了保证教学效果，本节课讲解这道题的用时最多为分钟． 87．（25-26八年级下·山东济南·期末）“人潮人海中，有你有我”，上下学的“停车大战”与“拥堵大戏”已成为社会热点问题．某校对本校下午放学校门口“堵塞”情况做了一次调查后发现：每天放学时间3分钟后校门外学生流量变化大致可以用“拥挤指数”y（）与放学后时间x（分）的函数关系描述．如图，3~13分钟函数图象为抛物线，且在第13分钟达到该函数最大值100（此时为抛物线的顶点）；13分钟之后为函数（）的图象的一部分． (1)求二次函数和反比例函数的表达式（需明确x的取值范围）； (2)若“拥挤指数”，出于安全考虑，需要护学岗执勤人员维护秩序、疏导交通．请依据图象计算每天至少需要执勤的时间． 【答案】(1)（），（）； (2)每天至少需要执勤的时间为分钟 【分析】（1）将分别代入二次函数和反比例函数计算即可； （2）将分别代入二次函数和反比例函数求出的值，相减即可， 【详解】（1）解：由题意可知：抛物线的顶点坐标为， 设该二次函数的解析式为， 把点代入，得：， 解得， ∴所求二次函数的解析式为（）， 把点代入得：， ∴所求反比例函数的解析式为（）； （2）解：由， 解得，（不合题意，舍去）， 由， 解得， ， 答：每天至少需要执勤的时间为分钟． 题型三十 反比例函数与几何结合 88．（25-26九年级上·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数（为常数）的图象与轴交于点，与反比例函数（为常数，且）的图象交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，连接、，求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用、待定系数法求函数解析式及平面直角坐标系中图形面积的计算，熟练运用待定系数法和割补法是解答本题的关键． （1）利用待定系数法，先代入点坐标求一次函数解析式，再结合点坐标求出反比例函数的值； （2）将点坐标代入反比例函数解析式求出的值，结合割补法将四边形拆分为两个三角形，依次计算三角形面积并求和． 【详解】（1）解：将代入得， ， 解得：， ， 将代入得： ， ， 将代入得： ， ， 反比例函数的表达式为； （2）解：将代入得： ， ， ， 过点作， ，，， ，， ． 89．（25-26八年级下·全国·单元复习）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过矩形的顶点和，点、分别是矩形的边、与轴的交点，轴，若，点的坐标为． (1)求该反比例函数的表达式； (2)若点是该反比例函数图象上的点，连接、得到，满足，请求出点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合、矩形的性质、三角形的面积公式； （1）根据轴以及点的坐标为，求出点的坐标，再结合，求出，再代入到，求出的值即可； （2）根据矩形的性质可得，，进而得出轴，轴，利用反比例函数的性质求出，进而得到，设点的坐标为，再利用矩形和三角形的面积公式列出方程，求出的值即可解答． 【详解】（1）解：∵轴，点的坐标为，点是边与轴的交点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 代入到，得， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：由（1）得，，，， ∴， ∵矩形， ∴，，即， ∵轴， ∴轴，轴， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点是边与轴的交点， ∴， ∴， 设点的坐标为， ∵，即， ∴， 解得， ∴点的坐标为或． 90．（25-26九年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（）的图象经过A，B两点，连接，，，过点B作轴，垂足为点D，交于点，且C为线段中点． (1)求k的值； (2)求的面积； (3)在反比例函数（，）的图象是否存在一点E，使得？若存在，请求出E点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)8 (2)3 (3) 【分析】本题考查了反比例函数与几何图形综合，勾股定理求两点距离，解一元二次方程等知识，解题的关键是： （1）根据中点坐标公式先求出点坐标，再代入反比例函数求； （2）由（1）已得：，求出点坐标，最后用面积公式得出，根据为中点，即可求解； （3）假设存在点，使，设，，根据勾股定理得出关于x的方程，然后解方程即可． 【详解】（1）解：∵点为中点， ∴ 将点代入得：； （2）解：由（1）已得： ∵轴，垂足为点， ∴，点的纵坐标为2，， 将代入得： ∴ ∴ ∴ 又∵点为中点， ∴； （3）解：假设存在点，使， 设，， ∵， ∴， 即， 化简得， 解得（不符合题意，舍去），， 当时，， ∴ 综上，存在点，使． 基础固本练（限时：15分钟） 1．（26-27九年级上·北京海淀·期中）在平面直角坐标系中，将抛物线向左平移1个单位长度，得到的抛物线的表达式是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将抛物线向左平移1个单位长度，需要把原式中的替换成即可． 【详解】解：将抛物线向左平移1个单位长度，得． 2．（26-27九年级上·北京西城·期中）已知二次函数的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：二次函数的顶点坐标为. ∵， ∴，， ∴顶点坐标为. 3．（26-27九年级上·上海金山·期中）关于抛物线，下列说法中正确的是（     ） A．抛物线开口向上 B．图像位于第二、四象限 C．抛物线有最低点 D．抛物线在直线的左侧部分是上升的 【答案】D 【分析】由二次项系数的符号确定抛物线开口方向，结合对称轴分析图像位置与增减性． 【详解】解：对于抛物线，二次项系数， ∴抛物线开口向下，有最高点，故A、C错误； ∵对任意实数，， ∴，即图像位于第三、四象限及原点，故B错误； ∵该抛物线对称轴为直线，开口向下， ∴在直线左侧，随的增大而增大，即图像是上升的，故D正确． 4．（26-27九年级上·北京西城·期中）如图是反比例函数（）的一部分图象，已知该图象过点，点是图象上任意一点，过点作轴，垂足为，则的面积是（     ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】先根据图象过点求出的值，再利用反比例函数的几何意义求解的面积． 【详解】解：∵反比例函数的图象过点， ∴， ∵点是图象上任意一点，轴， ∴． 5．（2026九年级·广西防城港·竞赛）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数（，是常数，且）与反比例函数（是常数，且）的图象相交于，两点，则不等式的解集是（     ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【详解】解：由函数图象可知：不等式的解集为或． 6．（26-27九年级上·北京西城·期中）若抛物线开口向上，且与轴交于点，写出一个满足条件的抛物线的解析式：__________． 【答案】 （答案不唯一） 【详解】解：开口向上，即 ， 与 轴交于 ，即 ． 满足条件的抛物线的解析式可以是 （答案不唯一）． 7．（26-27九年级上·北京西城·期中）二次函数的图象经过点和，则方程的解为________ 【答案】， 【分析】二次函数的图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程的解，已知二次函数图象过两个x轴上的点，直接可得方程的解． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点和， ∴这两个点是二次函数图象与x轴的交点， ∴方程的解为：，． 8．（26-27九年级上·北京·期中）已知和两点在反比例函数的图象上，若，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】首先判断出反比例函数在第一象限中y随x的增大而减小，然后根据得到，进而求解即可． 【详解】解：∵反比例函数中 ∴反比例函数在第一象限中y随x的增大而减小 ∵， ∴ ∴． 9．（2026·陕西西安·模拟预测）若，为反比例函数的图象和正比例函数的两个交点，则____________． 【答案】2 【分析】根据题意得到，求出，得到，然后代入求解． 【详解】解：，为反比例函数的图象和正比例函数的两个交点， ∴点和点关于原点对称， ∴， 解得， ∴， ∴将代入，得． 10．（25-26八年级下·山西长治·期中）已知反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，则的面积为________． 【答案】 【分析】设，则，，可求出，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：设， ∵轴，轴， ∴，点M的横坐标为m，点N的纵坐标为， ∴，， ∴， ∴． 11．（25-26九年级上·甘肃武威·期中）将抛物线向下平移3个单位长度后得到一个新的抛物线，请判断点是否在新抛物线上，并说明理由． 【答案】 点A在新抛物线上，理由如下： 根据二次函数的平移规律可得： 的图象向下平移个单位长度后得到的新抛物线解析式为， 将代入新抛物线解析式可得， 即点在抛物线上． 【分析】本题考查的知识点是二次函数的平移规律、二次函数的图象与性质，解题关键是熟练掌握二次函数的平移规律． 根据二次函数的平移规律：“左加右减，上加下减”，求解平移后的函数解析式，再把点的横坐标代入新抛物线解析式能得到纵坐标即可判断该点在新抛物线上． 【详解】略 12．（25-26九年级上·河北张家口·期末）已知抛物线． (1)判断点是否在此抛物线上． (2)若点，在该函数图象上，试比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)点在此抛物线上 (2)，理由： ∵抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下， ∵，抛物线上离对称轴越远的点函数值越小， ∴． 【分析】本题主要考查二次函数的性质． （1）判断点是否在抛物线上，只需将点的横坐标代入抛物线解析式，看得到的纵坐标是否与该点的纵坐标相等； （2）比较函数值的大小，可根据抛物线的开口方向和点离对称轴的远近进行判断，即可得出答案． 【详解】（1）解：把点代入抛物线解析式中， 当时，， 点在此抛物线上； （2）略 13．（25-26九年级上·北京石景山·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点，．其对称轴是． (1)求这个二次函数的表达式： (2)当函数值小于3时，结合图象直接写出自变量的取值范围． 【答案】(1) (2)或. 【分析】此题考查待定系数法求二次函数的解析式，利用函数图象求解不等式，熟记二次函数的性质是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）求出时x的值，结合图象即可得到x的取值范围． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为，依题意得： ， 解得： ∴二次函数的表达式为。 （2）解：当时，， 解得：，， 如图， 当函数值小于3时，或. 14．（25-26九年级上·北京海淀·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和． (1)求抛物线的表达式； (2)当时，关于x的方程有实数根，直接写出t的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）把和代入即可求解； （2）求出抛物线在的函数值范围即可求解． 【详解】（1）解：把和代入得， ，解得， ∴抛物线的表达式为． （2）解：由抛物线的表达式为，方程可化为， ∵的对称轴为， 当时，， 当时，， 当时，， ∴当时，， ∴t的取值范围为． 15．（25-26九年级上·北京西城·期中）已知二次函数． (1)将函数解析式化为的形式； (2)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； (3)当时，的取值范围是____________； (4)当时，结合函数图象，直接写出的取值范围为_________． 【答案】(1) (2) 如图所示： (3)或 (4) 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，画二次函数的图象，化为顶点式，二次函数与轴的交点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题意，把化为顶点式，即可作答． （2）先描点，再连线，即可作答． （3）结合二次函数的图象性质，进行分析，即可作答． （4）结合二次函数的图象性质，进行分析，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解：由（1）得， 则顶点坐标是， 令时，则， 令时，则， 令时，则， 令时，则， （3）解：观察图象，函数的开口向上，且当时， 则当时，的取值范围是或； （4）解：结合函数图象，当时，直接写出的取值范围为． 综合进阶练（限时：20分钟） 16．（26-27九年级上·北京西城·期中）已知二次函数，下列关于其图像的结论中，正确的是（     ） A．开口向下 B．关于直线对称 C．随的增大而增大 D．与轴有两个交点 【答案】B 【分析】先确定二次函数的二次项系数，因为二次项系数的符号决定开口方向，所以可通过系数正负判断开口方向是否正确． 利用二次函数顶点式计算对称轴，判断是否为． 结合开口方向和对称轴，分析函数的增减性，如果开口向上，那么在对称轴左侧随增大而减小，右侧随增大而增大，据此判断增减性结论是否成立． 根据顶点位置和开口方向即可判断图像与轴的交点个数． 【详解】，开口向上，对称轴为直线 ，最小值为 3，与 轴无交点； 随 的增大先减小后增大，故 A、C、D 均错． 17．（26-27九年级上·北京西城·期中）若为二次函数的图象上的三点，则的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：将、、分别代入，得，，， ∵， ∴. 18．（26-27九年级上·北京海淀·期中）下表是代数式的部分值的情况，根据表格中的数据，则关于方程的一个正根的判断正确的是（     ） x A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：方程即求代数式的值为15时的值． 当时，； 当时，． 该方程的一个正根满足． 19．（26-27九年级上·安徽合肥·期中）某地每年六月都有举办龙舟比赛的习俗，比赛需要经过一个抛物线形的拱桥．如图，是水平面，拱桥对应的函数表达式为．某商家在点处悬挂了广告条幅，已知，点到的距离为，则点到点的距离是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意得到，代入解析式求解即可． 【详解】解：由题意得， ， 解得：，， 又， ，， ， 即点到点的距离是． 20．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、在轴的负半轴上，且，顶点在函数（）的图象上，在边上取点使，的延长线与轴的负半轴交于点，连结．若的面积为18，则的值为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，证明是等腰直角三角形，证明，设，则，点D在反比例函数图象上，则，根据，，即可求出的值． 【详解】解：设， ∵四边形是矩形， ∴，轴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴， ∵点在同一直线上， ∴， 在中，， ∴， ∴， 设，则， ∵点D在反比例函数图象上， ∴， ∵、在轴的负半轴上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ 解得 21．（26-27九年级上·北京海淀·期中）若点，，都在抛物线上，则，，的大小关系为__________________（用“”连接）． 【答案】 【分析】先得出抛物线的开口向上，对称轴为直线，再根据二次函数的性质，进行解答即可． 【详解】解：∵抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴在抛物线上距离对称轴越远的点，函数值越大， ∵，，， 又∵， ∴． 22．（26-27九年级上·北京西城·期中）已知抛物线，，．若抛物线与线段恰有一个公共点则的取值范围是_______． 【答案】或或 【分析】分抛物线经过点，抛物线经过点，抛物线的顶点在线段上，三种情况分别求出m的值，然后再结合图形即可解答． 【详解】解：如图， 当抛物线经过点时，， 解得：； 当抛物线经过点时，， 解得：； 当抛物线的顶点在线段上时，， 解得：， 结合图象可知，m的取值范围是或或． 23．（26-27九年级上·北京·期中）已知抛物线（a是常数，且）与轴正半轴交于点，当时，；当时，．则的值为_____． 【答案】4 【分析】首先求出对称轴为直线，然后根据对称性得到抛物线经过点，，然后将代入求解． 【详解】解：∵抛物线， ∴对称轴为直线， ∵当时，；当时，，和关于1对称， ∴抛物线经过点，， 将代入得，， ∴． 24．（26-27九年级上·北京·期中）在平面直角坐标系中，抛物线与直线有两个交点，． （1）当，，时，线段的长度为__________； （2）当时，若对任意，线段长度大于，则的取值范围为__________． 【答案】 【分析】（1）把，，代入抛物线解析式，联立求出交点横坐标，计算两点间距离得到线段长． （）令求出交点横坐标，写出长度表达式，根据对任意，，转化为不等式恒成立问题求解的范围． 【详解】解：（1），，， ， ， ， ，， ； （）， ∴抛物线为， 令，则， ， ，， ， 对任意， 对任意时恒成立 要有两个交点， ， 不等式变形得， 即， 同时，对任意恒成立． ， 解得． 25．（26-27九年级上·北京西城·期中）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，下面有四个结论：①；②；③若点与都在该抛物线上，则；④过点作轴的垂线，交该抛物线于点，交直线于点（、不重合），若线段的长度随的增大而减小，则的取值范围是．其中，正确的是_______ 【答案】①②③④ 【分析】先根据已知条件求出抛物线系数关系，，再逐一验证每个结论即可． 【详解】解：∵抛物线经过原点， ∴， ∵抛物线经过点， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为， ①将，代入得：， ∵， ∴，即，①正确； ②将，代入得，②正确； ③将点代入抛物线得， 将点代入抛物线得， ∵， ∴，即，③正确； ④过点作轴垂线，得，，则 ，其中， 当时，，，该二次函数开口向下，对称轴为， ∴时，随增大而减小； 当时，，，该二次函数开口向上，对称轴为， ∴时，随增大而增大； 综上，满足长度随增大而减小，且的范围是，④正确； 因此正确结论的序号是①②③④． 26．（26-27九年级上·北京西城·期中）已知点是抛物线与直线的公共点． (1)当抛物线的对称轴为直线时，求的值； (2)已知，抛物线上两点的坐标分别为，试比较三者之间的大小关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据抛物线的对称轴求得，进而求得抛物线的解析式，将代入即可求得b的值； （2）先求得，进而求得，再由求得，由，，结合作差法求得，，，进而可得答案． 【详解】（1）解：由题意，抛物线的对称轴为直线，得 ， ∴抛物线的解析式为， 将代入，得； （2）解：由在上得，则； 由得， 将代入，得，则， ∴． ∵是抛物线上的两点， ∴，． ∵，，， ∴，，， ∴． 27．（26-27九年级上·北京西城·期中）已知二次函数的解析式是． … … … … (1)补全表格并在图中用描点法画出该二次函数的图象； (2)其中，在函数的图象上，且，，则＿＿＿（用“”、“”或“”填空）； (3)当时，的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿． 【答案】(1)补充表格如下： … … … … 二次函数的图象如下： (2) (3) 【分析】（1）令求出值，再填入表中，然后在坐标系中正确描点并画出平滑的曲线； （2）由，，结合图象可得，，即可判断； （3）先求出抛物线的对称轴为，在对称轴处的函数值取得最大值；在自变量的取值范围内，找端点与顶点，比较得出最大值与最小值． 【详解】（1）略 （2）解：，， 由图可知，， ； （3）抛物线的对称轴为， 当时，自变量取值范围包含对称轴， 抛物线开口向下， 当时，取得最大值； 比较两端点的函数值： 当时，； 当时，； 的最小值为， 的取值范围是． 28．（26-27九年级上·北京·期中）在上海举行的2026年全国跳水冠军赛女子单人10米跳台决赛中，陈芋汐以分的总分夺得冠军，全红婵位列第二，掌敏洁获得铜牌．在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的（向后翻腾三周半抱膝）．如图2所示，建立平面直角坐标系．如果她从点起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度（单位：米）与水平距离（单位：米）近似满足函数关系式． (1)在平时训练完成一次跳水动作时，全红婵的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离 3 4 竖直高度 10 10 根据上述数据，直接写出的值为__________，直接写出满足的函数关系式：__________； (2)比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度与水平距离近似满足函数关系，记她训练的入水点的水平距离为，比赛当天入水点的水平距离为，则__________（填“”，“”，“”）； (3)在（2）的情况下，全红婵起跳后到达最高点开始计时，若点到水平面的距离为，则她到水面的距离与时间之间近似满足，如果全红婵在达到最高点后需要秒的时间才能完成极具难度的动作，请通过计算说明，她当天的比赛能否成功完成此动作？ 【答案】(1)， (2) (3)1.6秒时她已入水，不能成功完成此动作，理由如下： ， ， ， ， 当时，， ， 即1.6秒时她已入水，她在水面上无法完成此动作． 【分析】（1）待定系数法求出解析式，即可； （2）分别求出两个解析式当时，x的值，进行比较即可； （3）先求出c的值，再求出时的y值，进行判断即可． 【详解】（1）解：根据表格得：函数图像过点，，， ， ， ， ， ． （2）， 当时，， 或（不合题意，舍去）； 米， ， 当时：， 或（不合题意，舍去）， ， ； （3）略 29．（2026九年级上·北京西城·专题练习）二次函数中的，的部分取值如下表： 根据表中数据填空： … 0 1 2 3 … … 0 … (1)该函数图象的对称轴是________； (2)与轴的交点坐标是________； (3)二次函数解析式是________； (4)画出该二次函数的图象； (5)结合图象，当时，的取值范围是________________； (6)结合图象，方程有实数解，的取值范围是____________． 【答案】(1)直线 (2) (3) (4)二次函数的图象如图所示： (5) (6) 【分析】（1）根据时的函数值与时的函数值相同可求出对称轴， （2）根据时，可求出与x轴的交点坐标； （3）先利用对称轴公式得到a与b的等量关系，再将已知点代入解析式，代入消元求出a、b，写出函数一般式． （4），顶点坐标．取关键点：，，，，． 在平面直角坐标系中描出这几个点，用平滑曲线连接，画出抛物线． （5）开口向上的抛物线，顶点是最小值；比较区间两端点函数值，确定最大值，写出范围． （6）将方程有解转化为抛物线与水平线存在交点，由抛物线最小值确定取值范围． 【详解】（1）解：由表格可知时的函数值与时的函数值相同， ∴对称轴为直线； （2）∵当时，， ∴由对称性可得，， ∴与x轴的交点坐标是； （3）解：由（1）得对称轴为直线， ∴， ∴， 把代入得， ∴， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， （4）略 （5）解：抛物线解析式$y=(x-1)^2-4$，开口向上，顶点$(1，-4)$，顶点为最低点． 当时，最小值为． 再计算区间端点，对应的函数值： ，； ，． 在区间内，最大值为，最小值为． 的取值范围是． （6）解：方程变形为． 方程有实数解等价于抛物线与直线有交点． 抛物线开口向上，函数最小值为． 所以的取值范围是． 30．（26-27九年级上·重庆九龙坡·期中）如图1，抛物线与轴交于点，与直线交于点，过点作直线的平行线，交抛物线于点， (1)求抛物线的表达式； (2)点为直线下方抛物线上一点，过点作轴交直线于点，过点作于点，连接．求面积的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，在（2）问条件下，将原抛物线向右平移，再次经过（2）问中的点，得到新抛物线．点为新抛物线上的动点，连接、，若，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)面积的最大值为，点D的坐标为 (3)点M的坐标为或 【分析】（1）通过待定系数法将点B坐标代入即可求得b的值，从而得到抛物线表达式； （2）先求出直线的解析式，再求出点A的坐标，由，得到直线的解析式，设，则，得出的表达式，过点F作交于点G，设与的交点为H，直线与y轴交点P，利用平移的性质，平行四边形的性质和等腰直角三角形的性质得出面积的表达式，当时，面积有最大值即可求出，最终可得到点D的坐标； （3）先求出平移后的抛物线解析式，点M是新抛物线上的动点，且，此时点M分情况讨论：点M在点D左侧，点M在点D右侧，利用全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质和勾股定理等即可求得点M的坐标． 【详解】（1）解：∵点在抛物线上， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为． （2）解：∵直线经过原点， 设直线的解析式为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， ∵抛物线与x轴交原点和点A， ∴， 解得：，， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， ∵轴，点E在直线上，点D在抛物线上， 设，则， ∴， 如图，过点F作交于点G，设与的交点为H，直线与y轴交点P， ∴，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， 即为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴当时，面积的最大值为，点D的坐标为． （3）解：设原拋物线向右平移m个单位， ∴平移后的抛物线解析式为， ∵平移后的抛物线解析式过点， ∴， 解得：，（舍去）， ∴平移后的抛物线解析式为， ∵点M是新抛物线上的动点，且， 此时点M分情况讨论： ①当点M在点D左侧时， ∵点O为原抛物线与x轴交点， 要使，则点M为新抛物线与x轴交点，即点， ∴， 令，则， ∴，（舍去）， ∴； ②当点M在点D右侧时， 如图，作，交新抛物线于点，过点D作轴交x轴于点Q，过点D作交于点N，连接交于点T，过点N作轴交x轴于点R， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴，解得：， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴，解得：， 即， 在中，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 联立：， 解得：，， ∵， ∴， ∴， 综上所述，点M的坐标为或． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次函数和反比例函数（30大题型） 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 二次函数的相关概念 考点二 二次函数的图象与性质 考点三 二次函数图象的平移规律 考点四 二次函数解析式的三种形式 考点五 二次函数与一元二次方程、不等式的关系 考点六 二次函数的实际应用 考点七 反比例函数的有关概念 考点八 反比例函数的性质 考点九 反比例函数的对称性 考点十 反比例函数中k值的几何意义 考点十一 一次函数与反比例函数的交点问题 考点十二 反比例函数的实际问题 05 重难题型突破 题型一 二次函数的定义及其含参问题 题型二 二次函数的图象 题型三 二次函数的顶点式 题型四 二次函数图象与各项系数关系 题型五 一次函数、二次函数图象综合判断 题型六 根据二次函数的对称性求对称轴、函数值 题型七 二次函数的最值 题型八 二次函数图象的平移 题型九 待定系数法求二次函数解析式 题型十 二次函数实际应用之销售问题 题型十一 二次函数实际应用之图形问题 题型十二 二次函数实际应用之拱桥、投球、喷水问题 题型十三 二次函数与方程关系 题型十四 二次函数与不等式关系 题型十五 二次函数中的角度问题 题型十六 二次函数中的面积问题 题型十七 二次函数中的存在性问题 题型十八 反比例函数的定义求参数 题型十九 用反比例函数描述数量关系 题型二十 求反比例函数自变量和值 题型二十一 画反比例函数图象 题型二十二 由反比例函数图象的对称性求点的坐标 题型二十三 已知双曲线分布的象限求参数范围 题型二十四 反比例函数的增减性求参数 题型二十五 比较反比例函数值或自变量的大小 题型二十六 反比例函数k值的几何意义 题型二十七 求反比例函数的解析式 题型二十八 反比例函数与一次函数结合 题型二十九 反比例函数的实际应用 题型三十 反比例函数与几何结合 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 分值占比 在北京版九年级期中试卷中，二次函数与反比例函数合计分值约 14–20 分，占全卷 15%–20%。反比例函数多以小题形式出现，二次函数分值更高，二者常单独命题，也会结合出综合大题，是期中几何代数综合的核心板块，属于重点拉分内容。 题型特点 选择、填空侧重反比例 k 的几何意义、增减性、二次函数基础图像与性质；解答题包含求解析式、交点问题、面积计算，高频出现两类函数图像综合题，常结合坐标、线段、面积，部分考题融入简单动点，对数形结合能力要求高。 难度分布 基础题约占六成，考查函数定义、图像特征、增减性、简单求解析式；中档题约三成，以 k 的几何意义、函数交点、简单面积求解为主；难题约一成，多为二次函数与反比例函数综合压轴，需要坐标转化、分类讨论，思维综合性较强。 备考方向 熟记两类函数图像、性质与解析式形式，强化 k 的几何意义训练；重点练习联立方程求交点、利用图像解不等式；熟练掌握坐标法求面积，梳理数形结合思路，规范步骤，多总结图像综合题里分类讨论、定点求值的常见套路。 识记 熟记反比例函数、二次函数的解析式形式、图像形状与组成要素，牢记反比例 k 的几何意义、增减性规律，二次函数开口、对称轴、顶点、最值相关结论，分清 a、b、c 对图像的影响。准确背诵相关基础概念，能快速识别函数类型，准确默写基础性质，夯实答题的基础知识储备。 理解 理解反比例、二次函数图像与解析式之间的对应关系，明白参数变化如何带动图像平移、伸缩；理解函数增减性的适用范围，清楚二次函数与一元二次方程、不等式的联系。能读懂图像信息，解释图像交点、坐标的含义，建立数形结合思维，区分两类函数性质的不同之处。 应用 能根据条件求两类函数解析式，利用图像比较函数值大小、求解不等式；会用 k 的几何意义求面积，能联立解析式求交点坐标，解决二次函数与反比例函数综合题型。灵活运用数形结合、分类讨论思想处理面积、线段、动点类问题，规范书写解题过程，综合解决实际与代数综合问题。 考点一 二次函数的相关概念 一般地，形如y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、 c为常数）的函数是二次函数，其中x是自变量，y是x的函数. 1.任何一个二次函数的表达式都可以化为y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、 c为常数）的形式；因此我们将y=ax2+bx+c（a≠0，）叫做二次函数的一般式. 2.在一般式中，只有a≠0时，函数y=ax2+bx+c才是二次函数. 3.二次函数的几种特殊形式：若b=0，则y=ax2+c； 若c=0，则y=ax2+bx； 若b=c=0，则y=ax2. 实际问题中的二次函数及自变量的取值范围 一般地，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、 c为常数）的自变量x可以取任意实数，但在实际问题中，要保证自变量的取值范围使实际问题有意义. 考点二 二次函数的图象与性质 函数y＝ax2（a≠0）的图像 1.画二次函数图像的三个步骤：列表、描点、连线. 2.列表时，要注意自变量的取值范围，要取一些具有代表性的点，不要使得自变量所对的函数值过大或过小，以便于描点和全面反映图像情况. 3.由于抛物线是轴对称图形，所以作图选点时，自变量向对称轴两侧对称取值. 4.一般至少要描出五个点（顶点及对称轴两侧相对应的两组坐标点）方可画出草图，连线时要用平滑的曲线顺次连接所描出的各点，即可得到二次函数的图像. 二次函数y＝ax2（a≠0）的图像和性质 二次函数y＝ax2（a≠0）的图像是关于y轴对称的一条抛物线，抛物线与对称轴的交点叫做二次函数的顶点，它的性质如下： 函数 y＝ax2 a的符号 a＞0 a＜0 图像 开口方向 向上 向下 对称轴 y轴 y轴 顶点坐标 （0，0） 函数的增减性 x＞0时，y随x的增大而增大；x＜0时，y随x的增大而减小 x＞0时，y随x的增大而减小；x＜0时，y随x的增大而增大 最值 当x＝0时，函数图像有最低点，有最小值0 当x＝0时，函数图像有最高点，有最大值0 顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. │a│相同，抛物线的开口大小、形状相同，│a│越大，开口越小，图象两边越靠近y轴，│a│越小，开口越大，图象两边越靠近x轴. 二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象及性质 函数 y=ax2+c(a≠0) a的符号 a＞0 a＜0 图像 c＞0 c＜0 开口方向 向上 向下 对称轴 y轴 y轴 顶点坐标 （0，c） （0，c） 函数的增减性 当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大 当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小 最值 当x＝0时，y有最小值c 当x＝0时，y有最大值c 对于二次函数y=ax2+c(a≠0)来说，当c＞0时，可看成是将y=ax2的函数图像沿着y轴向上平移|c|个单位长度得到的；当c＜0时，可看成是将y=ax2的函数图像沿着y轴向下平移|c|个单位长度得到的. 二次函数y＝a（x－h）2（a≠0）与二次函数y＝a（x－h）2＋k（a≠0）的图像和性质 1.二次函数y＝a（x－h）2（a≠0）的图像和性质 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 2. 二次函数y＝a（x－h）2＋k（a≠0）的图像和性质 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质 1.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质 函数 二次函数（a、b、c为常数，a≠0） 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 增减性 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减 最大(小)值 抛物线有最低点，当时，y有最小值， 抛物线有最高点，当时，y有最大值， 2. 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质与a、b、c及b2－4ac的符号之间的关系 项目 字母 字母的符号 图象的特征 a a＞0 开口向上 a＜0 开口向下 b ab＞0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧 ab＜0(a，b异号) 对称轴在y轴右侧 c c=0 图象过原点 c＞0 与y轴正半轴相交 c＜0 与y轴负半轴相交 b2-4ac b2-4ac=0 与x轴有唯一交点 b2-4ac＞0 与x轴有两个交点 b2-4ac＜0 与x轴没有交点 考点三 二次函数图象的平移规律 平移规律：上加下减，左加右减. 1.上下平移（上加下减）：抛物线y＝a（x－h）2＋k向上平移m（m＞0）个单位长度，所得到的抛物线方程为y＝a（x－h）2＋k＋m；抛物线y＝a（x－h）2＋k向下平移m（m＞0）个单位长度，所得到的抛物线方程为y＝a（x－h）2＋k－m. 2.左右平移（左加右减）：抛物线y＝a（x－h）2＋k向左平移n（n＞0）个单位长度，所得到的抛物线方程为y＝a（x－h＋n）2＋k；抛物线y＝a（x－h）2＋k向右平移n（n＞0）个单位长度，所得到的抛物线方程为y＝a（x－h－n）2＋k. 考点四 二次函数解析式的三种形式 1.一般式：y＝ax2＋bx＋c（a、b、c为常数，且a≠0）； 2.顶点式：y＝a（x－h）2＋k（a、h、k为常数，且a≠0）； 3.交点式：y＝a（x－x1）（x－x2）（x1、x2为抛物线与x轴交点的横坐标，a≠0）. 待定系数法求二次函数表达式 在求含有待定系数的二次函数的表达式时，可以通过题中条件得到方程（组），解出这些待定系数，从而得到函数表达式. 1.二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c（a≠0）中若有一个待定系数，就需要已知一个条件得到一个方程求解；若有两个待定系数，就需要已知两个条件得到两个方程，联立得到二元一次方程组求解；若有三个待定系数，就需要已知三个条件，组成一个三元一次方程组求解. 2.当已知抛物线的顶点坐标（h，k）或对称轴或最值等有关条件时，通常设函数表达式为y＝a（x－h）2＋k. 3.当已知抛物线与x轴交点坐标时，通常设函数表达式为y＝a（x－x1）（x－x2），其中x1、x2为抛物线与x轴交点的横坐标. 考点五 二次函数与一元二次方程、不等式的关系 二次函数与一元二次方程的关系 1.二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况 求二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求ax2＋bx＋c＝0中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表： 判别式 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 一元二次方程 图象 与x轴的交点坐标 根的情况 △＞0 抛物线与x轴交于，两点，且， 此时称抛物线与x轴相交 一元二次方程 有两个不相等的实数根 △＝0 抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切 一元二次方程 有两个相等的实数根 △＜0 抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离 一元二次方程 在实数范围内无解（或称无实数根） 2.抛物线与直线的交点问题 抛物线与x轴的两个交点的问题实质就是抛物线与直线的交点问题．我们把它延伸到求抛物y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 与y轴交点和二次函数与一次函数的交点问题． 抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 与y轴的交点是(0，c)． 抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 与一次函数(k≠0)的交点个数由方程组的解的个数决定． ①当方程组有两组不同的解时两函数图象有两个交点； ②当方程组有两组相同的解时两函数图象只有一个交点； ③当方程组无解时两函数图象没有交点． 总之，探究直线与抛物线的交点的问题，最终是讨论方程(组)的解的问题． 求两函数图象交点的问题主要运用转化思想，即将函数的交点问题转化为求方程组解的问题或者将求方程组的解的问题转化为求抛物线与直线的交点问题. 利用二次函数的图像求一元二次方程的近似根 1.利用二次函数的图像求一元二次方程的近似根的步骤如下： （1）作图：通过列表、描点、连线作出二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像； （2）找点：确定二次函数图像与x轴的交点； （3）初步估值：根据二次函数图像与x轴的交点的位置，初步估算交点横坐标在整数值之间的大致范围； （4）深入估值：借助计算器，逐步缩小取值范围求值. 2.由于作图会存在一定的误差，所以通过图像求得的一元二次方程的根一般是近似值. 3.在估值时，x的值一定要连续，在连续的前提下，x的近似值在y值首次出现负数与正数时对应的两个x值之间. 二次函数与不等式的关系 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a≠0)与一元二次不等式ax2＋bx＋c ＞0(a≠0)及ax2＋bx＋c ＜0(a≠0)之间的关系如下（x1＜x2）： 判别式 抛物线与x轴的交点 不等式的解集 不等式的解集 △＞0 或 △＝0 （或） 无解 △＜0 全体实数 无解 抛物线y＝ax2＋bx＋c (a≠0)在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式ax2＋bx＋c ＞0(a≠0)的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标都为负，所对应的x的所有值就是不等式ax2＋bx＋c ＜0(a≠0)的解集．不等式中如果带有等号，其解集也相应带有等号. 考点六 二次函数的实际应用 建立二次函数模型求生活中的最值问题 在日常生活中，经常会遇到求最大面积或最大利润类问题，我们可以利用二次函数的图像和性质解决此类问题，步骤如下： 1.找：找等量，分析题目中的数量关系； 2.列：列出函数表达式； 3.求：利用配方法把y＝ax2＋bx＋c化为y＝a（x－h）2＋k的形式或利用公式法明确确定最值. 建立二次函数模型解决生活中的抛物线型问题 常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等，对此类问题要正确地建立模型，选择合理的位置建立平面直角坐标系是解决此类问题的关键，然后用待定系数法求出函数表达式，利用函数性质解决问题. 考点七 反比例函数的有关概念 定义：一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数. 其中x是自变量，y是x的函数. 待定系数法求反比例函数解析式：由于反比例函数中，只有一个待定系数k，因此只需要知道一对对应值或图像上一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式. 双曲线 定义：反比例函数的图像由两条曲线组成，我们称之为双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限，它们关于原点对称，永远不会与x轴，y轴相交，只是无限靠近两坐标轴. 考点八 反比例函数的性质 表达式 图像 k＞0 k＜0 图像无限接近坐标轴，但不相交 图像无限接近坐标轴，但不相交 经过象限 一、三象限（x、y同号） 二、四象限（x、y异号） 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 【易错易混】 1. 反比例函数的图象不是连续的，因此在描述反比例函数的增减性时，一定要有“在其每个象限内”这个前提．当k＞0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k＞0时，y随x的增大而减小．同样，当k＜0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大． 2. 反比例函数图象的位置和函数的增减性，都是由常数k的符号决定的，反过来，由双曲线所在位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号。 3. 双曲线是由两个分支组成的，一般不说两个分支经过第一、三象限（或第二、四象限），而说图象的两个分支分别在第一、三象限（或第二、四象限）． 考点九 反比例函数的对称性 反比例函数的图像既是轴对称图形，也是中心对称图形，其对称轴为直线y=x或y= -x，对称中心为原点. 考点十 反比例函数中k值的几何意义 【模型结论1】反比例函数图象上一点关于坐标轴的垂线、与另一坐标轴上一点（含原点）围成的三角形面积为. 【模型结论2】反比例函数图象上一点与坐标轴的两条垂线围成的矩形面积为. 考点十一 一次函数与反比例函数的交点问题 1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定． ①k值同号，两个函数必有两个交点； ②k值异号，两个函数可无交点，可有一个交点，可有两个交点； 2）【热考】从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况． 2. 反比例函数与一次函数关系 从图像可以看出,在①，③部分，反比例函数图像在一次函数图像上方,所以的解集为或 ；在②，④部分,反比例函数图像在一次函数图像下方，所以的解集为或. 考点十二 反比例函数的实际问题 1. 用反比例函数解决问题的两种思路： 1）通过题目已知条件，明确变量之间的关系，设相应的函数关系式，然后根据题中条件求出函数关系式； 2）已知反比例函数关系式，通过反比例函数的图像和性质解决问题. 2. 列反比例函数解决问题的步骤： 1）审：审题，找出题目中的常量和变量，以及它们之间的关系； 2）设：根据常量与变量之间的关系，设出函数表达式； 3）求：根据题中条件列方程，求出待定系数的值； 4）写：写出函数表达式，并注意表达式中自变量的取值范围； 5）解：用函数解析式去解决实际问题． 利用反比例函数解决实际问题，要做到： 1）能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型； 2）注意在自变量和函数值的取值上的实际意义； 3）问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明． 【易错点】 1.利用反比例函数的性质时，误认为所给出的点在同一曲线上； 2.利用函数图像解决实际问题时，容易忽视自变量在实际问题的意义． 题型一 二次函数的定义及其含参问题 1．（26-27九年级上·北京西城·期中）如果函数是关于的二次函数，则________． 2．（25-26八年级下·黑龙江大庆·期末）如果函数是关于x的二次函数，则_______． 3．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知函数（m为常数）． (1)当m满足什么条件时，该函数是二次函数？ (2)当m满足什么条件时，该函数是一次函数？ (3)该函数可能是正比例函数吗？ 题型二 二次函数的图象 4．（2025九年级上·北京·专题练习）已知二次函数． (1)将化成的形式； (2)在所给的平面直角坐标系中，画出它的图象． 5．（24-25九年级上·福建莆田·期末）已知二次函数的图象经过点． (1)求抛物线的解析式和顶点坐标； (2)在所给的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． 6．（24-25九年级上·福建厦门·期中）抛物线与轴交于点和点，与轴交于点 (1)点坐标为______． (2)该二次函数的解析式； (3)在坐标系中画出该二次函数的图象． 题型三 二次函数的顶点式 7．（24-25九年级上·北京延庆·期中）已知二次函数． (1)将化成的形式； (2)在所给的平面直角坐标系中，画出它的图象． 8．（25-26九年级下·全国·课后作业）用配方法将二次函数化成顶点式的形式，下列正确的为（     ） A． B． C． D． 9．（25-26九年级上·北京通州·期中）已知抛物线． (1)求抛物线的顶点坐标（用含a的代数式表示）； (2)点，在该抛物线上，若，求a的取值范围． 题型四 二次函数图象与各项系数关系 10．（25-26九年级上·河北承德·期中）已知抛物线的图象如图所示，则（   ） A．， B． C． D． 11．（25-26九年级·湖南株洲·自主招生）已知二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，有下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．（24-25九年级上·北京·期中）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示，下面四个结论中， ①；②；③若点在此抛物线上且，则或；④对于任意实数t，都有成立． 正确的有（   ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 题型五 一次函数、二次函数图象综合判断 13．（25-26九年级下·黑龙江·期中）一次函数和二次函数（是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 14．（2026·四川成都·二模）已知一次函数与反比例函数的图象如图所示，则的图象可能是（    ） A． B． C． D． 15．（25-26九年级上·北京房山·期中）在平面直角坐标系中，二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 题型六 根据二次函数的对称性求对称轴、函数值 16．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知二次函数的图象与x轴有两个交点．若其中一个交点的坐标为，则另一个交点的坐标为（     ） A． B． C． D． 17．（2026九年级上·北京西城·专题练习）已知点，是抛物线上的两点，且，则的取值范围是________． 18．（2026·安徽马鞍山·三模）已知抛物线． (1)求该抛物线的对称轴； (2)直线与该抛物线相交于，两点． ①若，求的值； ②点在抛物线上，且点不与点，重合，当时，求． 题型七 二次函数的最值 19．（26-27九年级上·北京西城·期中）已知一个二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表所示： … 0 1 2 3 4 5 … … 3 0 0 3 8 … (1)求这个二次函数的解析式； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； (3)当时，的取值范围为______； (4)当时，的取值范围为______． 20．（26-27九年级上·湖北武汉·开学考试）已知抛物线与x轴交于两点，在的抛物线上有一点P，其纵坐标为n，若，则n的取值范围是（     ） A． B．或 C． D．或 21．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）已知函数（b，c为常数）的图象经过点，． (1)求，的值． (2)当时，求的最大值． (3)当时，若的最大值与最小值之差为9，求的取值范围． 题型八 二次函数图象的平移 22．（2026·安徽阜阳·二模）已知抛物线． (1)求该抛物线的对称轴； (2)当时， （i）将点向右平移个单位长度得到点，将点向左平移个单位长度得到点，若点，恰好都落在该抛物线上，求的值． （ii）若点在该抛物线上，且点到轴的距离小于等于3，求的取值范围． 23．（25-26九年级上·贵州遵义·期中）已知抛物线的顶点与抛物线的顶点相同，且与直线的交点A的横坐标为3． (1)求这条抛物线的函数解析式； (2)直接写出把这条抛物线先向右平移4个单位长度再向下平移2个单位后，所得抛物线的函数解析式． 24．（25-26九年级上·北京东城·期末）在二次函数中，与的几组对应值如表所示． x … 0 1 … y … 1 … (1)求二次函数的表达式； (2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象； (3)将二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后所得图象与直线相交于，两点，请直接写出线段的长． 题型九 待定系数法求二次函数解析式 25．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知抛物线过三点，则该抛物线的解析式为（     ）． A． B． C． D． 26．（26-27九年级上·北京·课后作业）如图，已知二次函数的图象经过两点． (1)求这个二次函数的解析式并写出它的对称轴； (2)把该抛物线平移，使它的顶点与B点重合，直接写出平移后抛物线的解析式． 27．（2026·浙江嘉兴·模拟预测）如图是某个二次函数的图象． (1)求该二次函数关系式； (2)补全函数图象； (3)若抛物线上点到轴的距离不大于2，请根据图象直接写出的取值范围． 题型十 二次函数实际应用之销售问题 28．（26-27九年级上·北京·期中）某公司销售一种进价为20元/个的计算器，其销售量（万个）与销售价格（元/个）的变化满足；同时，销售过程中的其他开支（不含进价）总计40万元． (1)求出该公司销售这种计算器的净得利润（万元）与销售价格（元/个）的函数解析式． (2)销售价格定为多少元时净得利润最大，最大值是多少？ 29．（2026·四川眉山·中考真题）2025年，在四川省城市足球联赛（简称“川超”）比赛期间，为促进体育经济发展，眉山市文旅局联合餐饮住宿企业、土特产生产企业推出各种优惠活动． (1)某食品厂原计划每月生产芝麻糕2000件，为响应文旅局号召，连续两月提高产量后，月产量达到2880件，若每月产量的增长率相同，求每月产量的增长率； (2)该食品厂原来每天可销售60件芝麻糕，每件盈利30元．参与优惠活动后，该食品厂每降价1元，就可多售出5件．问该食品厂应降价多少元，才能使利润最大？最大利润为多少？ 30．（25-26九年级上·北京·期中）某商店销售一种T恤衫，已知成本价为每件30元，现售价为每件60元，每天售出100件，为提高利润并减少库存，商店决定将该T恤衫降价出售，经市场调查发现，每件售价降价1元，则多售出5件，问这种T恤衫售价应定为多少元，能使销售利润最大?设售价为元/件，总利润为元，完成下列问题． (1)每天售出_____件； (2)求最大利润是多少元？ 题型十一 二次函数实际应用之图形问题 31．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，学校要在校园内建一个矩形的开心农场，其中一边紧靠围墙，且的长不能超过，其余三边用长的铁质栅栏围成．有下列结论： ①的长可以为； ②当农场的面积为时，满足条件的的长只有一个值； ③农场面积的最大值为． 其中，正确的是______（只需填序号）． 32．（2026·山东泰安·三模）如图，某酒店后面有一块梯形空地，其中，，，为缓解车位紧张，该酒店计划在这块空地上修建一个矩形停车场，其余部分铺设为草坪，为方便车辆进出，矩形停车场的一边和空地的最长边重合，、分别在边、上，设，矩形停车场的面积为． (1)用含的式子表示的长为 ； (2)的长的取值范围是 ； (3)求修建的矩形停车场的面积的最大值． 33．（2026·辽宁沈阳·一模）下面是数学小组的活动报告单： 活动主题 为校园花圃设计方案 活动准备 1．去学校档案馆查阅校园平面图； 2．了解围成花圃的栅栏长度； 3．准备皮尺等测量工具． 设计方案 如图，根据校园平面图情况，设计围成矩形花圃，花圃一边靠墙（墙的长度是），用栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个进出的门（此处不用栅栏） 设计图： 采集数据 可用栅栏总长为，花圃两侧各留的进出的门宽为． 设栅栏与墙平行的边的长度为，花圃的面积为，根据以上信息，解决下列问题： (1)求与的函数表达式（不用写出自变量取值范围）； (2)当时，求栅栏与墙平行的边的长度为多少米? 题型十二 二次函数实际应用之拱桥、投球、喷水问题 34．（26-27九年级上·浙江金华·期中）近期，全国多地新能源汽车充电站迎来升级改造，遮阳棚成为标配设施，为车主提供更舒适、安全的充电环境．图①是某弧形遮阳棚横截面的示意图，其中棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，棚顶的端点为该抛物线的最高点，点到地面的距离为米，棚顶与立柱的交点到地面的距离为米，且点和点的水平距离为米． (1)按如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的函数解析式； (2)现有一辆观光车需要充电，如图②是观光车的截面图，已知车身长约米，车厢最高点与遮阳棚接触点离地面高约米，请通过计算说明这辆观光车是否可以完全停进遮阳棚正下方． 35．（26-27九年级上·北京·期中）投壶是由古代“射礼”演变而来的一项传统礼仪活动和游戏，与君子六艺中的“射”密切相关．学校在趣味运动会开展传统文化体验活动，某同学在一次投壶练习中，利用视频分析软件研究箭头离手后的运动轨迹，以箭头离手时箭头所在位置的正下方为原点建立平面直角坐标系，其中表示箭头距原点的水平距离，（）表示箭头距地面的高度．记录的部分数据如下： 0 0.5 1.0 1.5 1.5 1.4 1.2 0.9 通过分析数据，发现可以用二次函数近似刻画与之间的关系． (1)求关于的函数表达式； (2)箭头在所研究的运动过程中距地面的最大高度为__________； (3)本次活动所用投壶的壶口中心距地面，壶口内径为，在箭头运动方向所在的竖直平面内，可将壶口近似看作一条长的水平线段，设箭头可视为质点，当箭头经过壶口所在水平线段，即视为投入．投壶的位置始终不变，每次投壶的出手高度、方向及箭头的运动轨迹与投壶练习中的一样，第一次投掷时，壶口中心与箭头出手位置的水平距离为，箭头未投入壶中，第二次投掷时，若以壶口中心为参照，为确保箭头成功投入壶中，出手点到壶口中心的水平距离由变为，忽略箭的粗细，则的取值范围是__________． 36．（25-26九年级下·广东广州·开学考试）根据以下素材，完成探究任务 项目主题 合理设置智慧洒水车喷头 问题背景 洒水车是城市绿化的生力军，清扫道路，美化市容，降温除尘，环保绿化，如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．数学小组成员想了解洒水车要如何把控行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水浇灌到整个绿化带．围绕这个问题，该小组开展了“合理设置智慧洒水车喷头”为主题的项目式学习． 素材1 利用图1实际测量数据建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把洒水车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，喷水口H离地面竖直高度h为米．上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为3米，高出喷水口米； 素材2 小组成员通过进一步分析发现：当喷头洒水进行调整时，喷头喷出的水柱抛物线形状不发生改变，即下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， 素材3 如果我们把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，洒水车到绿化带的距离为d米． 问题解决 任务1 测量建模：（1）请你求出上边缘抛物线的函数解析式； 任务2 推理分析：（2）请你结合模型探究下边缘抛物线与x轴交点B的坐标； 任务3 实践探究：（3）若洒水车到绿化带距离调整为米，洒水车行驶时喷出的水覆盖区域能否浇灌到整个绿化带？请说明理由． 题型十三 二次函数与方程关系 37．（26-27九年级上·北京西城·期中）已知二次函数． (1)补全表格，用五点法画出这个二次函数的图象： … … … … (2)结合图象指出，当时，的取值范围________； (3)当时，结合图象直接写出函数的取值范围________； (4)求函数图象与两坐标轴的交点所围成的三角形的面积． 38．（2026九年级上·北京西城·专题练习）二次函数中的，的部分取值如下表： 根据表中数据填空： … 0 1 2 3 … … 0 … (1)该函数图象的对称轴是________； (2)与轴的交点坐标是________； (3)二次函数解析式是________； (4)画出该二次函数的图象； (5)结合图象，当时，的取值范围是________________； (6)结合图象，方程有实数解，的取值范围是____________． 39．（25-26九年级上·北京大兴·期中）已知在二次函数中，函数值和自变量的部分对应值如表：则关于的一元二次方程的解是__________ … 0 1 2 3 … … … 题型十四 二次函数与不等式关系 40．（26-27九年级上·北京海淀·期中）如图，已知二次函数（h，k为常数）的图象经过点，． (1)计算：__________，__________； (2)根据图象，当时，y的取值范围是__________； (3)当时，x的取值范围是__________． 41．（26-27九年级上·北京·期中）已知：二次函数，与的一些对应值如表： … 0 1 2 4 … … 3 3 … (1)根据表格中的数据，确定二次函数的解析式为_____； (2)表格中空白处的值_____，_____； (3)在给定的平面直角坐标系中画出二次函数的图象； (4)当时，，则的取值范围为_____． 42．（26-27九年级上·北京·期中）设二次函数． (1)先补全表格，则__________，然后在平面直角坐标系中用“列表、描点、连线”的方法画出该二次函数的图象： … 0 1 2 3 … … 0 3 3 0 … (2)点，都在二次函数图象上， ①若，则__________； ②若，则__________（填“”，“”或“”）． (3)当时，函数值的取值范围是，直接写出的值． 题型十五 二次函数中的角度问题 43．（2025·山东济宁·二模）如图，平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴相交于点、点，与轴相交于点，连接、． (1)求：，的值； (2)当时，函数的最小值是2，求出的值； (3)在抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 44．（2025·上海静安·二模）已知抛物线，的顶点分别为、，且它们都经过轴上的点． (1)如果抛物线经过点，抛物线经过点，求这两个抛物线的表达式； (2)已知，求的值； (3)当时，能否确定系数、、的值？如果能，请求出相应的值；如果不能，请简要说明理由． 45．（24-25九年级上·天津河北·期中）在平面直角坐标系中，抛物线（m是常数）与x轴交于、B，与y轴交于点C，点P是抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式及点P的坐标； (2)已知点Q是对称轴右侧抛物线上的一点． ①当时，求点Q的坐标； ②过点P作，交x轴于点H，当时，求点Q的坐标． 题型十六 二次函数中的面积问题 46．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，已知抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（点A在点B左边）． (1)请直接写出A，B，C三点的坐标； (2)若P是第一象限内抛物线上一点，求面积最大时点P的坐标． 47．（26-27九年级上·黑龙江绥化·期中）如图，直线分别与轴，轴交于，两点，点为的中点，抛物线经过，两点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)点是直线下方的抛物线上的一点，且的面积为，求点的坐标； (3)为抛物线的对称轴上一点，若是以为腰的等腰三角形，直接写出点的坐标． 48．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，二次函数的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．点P是第一象限抛物线上的一点．若点P的横坐标为2，则的面积为______． 题型十七 二次函数中的存在性问题 49．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线过A，B，C三点，点A的坐标是，点C的坐标是，动点P在抛物线上． (1)_______，______，点B的坐标为______． (2)是否存在点P，使得是以边为直角边的直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由． 50．（26-27九年级上·河南信阳·期中）如图，二次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)当时，函数的最小值为1，则a的值为______； (2)在平面直角坐标系内是否存在一点P，使以P、A、O、B为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 51．（2026·安徽·模拟预测）如图，抛物线：交轴于点和点B，交y轴于点，顶点记为． (1)求抛物线的函数表达式及顶点的坐标． (2)连接，若线段上有一点，过点作轴的平行线交抛物线于点，求线段长的最大值． (3)在（2）中，当的长最大时，将该抛物线平移，设平移后的抛物线为，抛物线的顶点记为，它的对称轴与x轴交于点．怎样平移才能使得以、、、为顶点的四边形是菱形？ 题型十八 反比例函数的定义求参数 52．（2025·陕西西安·一模）已知点与点在同一反比例函数的图象上，则a的值为______． 53．（24-25九年级上·湖南常德·期中）已知函数为反比例函数． (1)求的值． (2)判断点是否在该反比例函数图象上． 54．（25-26九年级上·山东东营·期中）已知函数y=（m+2）x是反比例函数，则m的值是（　　） A．2 B． C． D． 题型十九 用反比例函数描述数量关系 55．（25-26八年级下·全国·单元复习）写出下列各问题中的函数关系式，指出是哪种函数，并确定其中自变量的取值范围： (1)在的匀速运动中，运动路程是时间的函数； (2)某学校要在校园中辟出一块面积为的长方形土地做花圃，这个花圃的长是宽的函数． 56．（25-26七年级上·新疆乌鲁木齐·期中）某运输公司计划运输一批货物，每天运输的吨数与运输天数之间的关系如下表： 每天运输的吨数 500 250 100 50 …… 运输的天数 1 2 5 …… (1)这批货物共有多少吨？ (2)用表示运输天数，用表示每天运输的吨数，用式子表示它们的关系． (3)与成反比例关系吗？如果成，请求出表格中的值． 57．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图所示的是一面墙（可利用的最大长度为），现打算沿墙围一个面积为的矩形花圃．设花圃的长为，宽为，则关于的函数表达式是_________，自变量的取值范围是_________． 题型二十 求反比例函数自变量和值 58．（2024·北京·一模）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点和，若，则的值为________． 59．（2024·北京海淀·一模）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和．则______． 60．（26-27九年级上·江苏淮安·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点． (1)直接写出_________，_________，一次函数表达式为_________； (2)观察图象，直接写出不等式的解集为_________． (3)连接，求的面积． 题型二十一 画反比例函数图象 61．（26-27九年级上·北京·课堂例题）画反比例函数的图象． (1)列表（请填空）； x 1 2 3 4 y (2)描点、连线（请在图中的平面直角坐标系中完成）； (3)点在的图象上吗？为什么？ 62．（25-26八年级下·吉林长春·期中）某校学习小组根据学习反比例函数的经验对的图象和性质进行了探究．过程如下： ⋯ 1 2 3 4 ⋯ ⋯ 1 4 4 2 1 ⋯ (1)与的几组对应值如表，其中______，自变量的取值范围为______． (2)根据上表数据，在平面直角坐标系中描点，并画出函数的图象； (3)观察图象，写出函数的两条性质： ①_________________； ②_________________． (4)结合函数图象回答： ①关于的方程的解是______； ②关于的不等式的解集是________． 63．（25-26八年级下·河南南阳·期中）已知一次函数图象和反比例函数图象的两个交点A，B的横坐标分别为2和． (1)求反比例函数的关系式； (2)在同一直角坐标系中画出函数和的图象； (3)直接写出不等式的解集． 题型二十二 由反比例函数图象的对称性求点的坐标 64．（24-25九年级下·吉林长春·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于A，B两点，轴于点，连结交轴于点，则的面积是（   ） A． B．2 C．3 D．6 65．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知正比例函数图像与反比例函数图像都经过点，那么这两个函数图象必都经过另一个点的坐标为__________． 66．（2026·陕西西安·三模）若点与点是正比例函数图象与反比例西数图象的两个不同的交点，则__________． 题型二十三 已知双曲线分布的象限求参数范围 67．（24-25九年级上·吉林·期中）已知反比例函数（a为常数）． (1)若该反比例函数的图象位于第二、四象限，求a的取值范围； (2)当时，y随x的增大而减小，求a的取值范围． 68．（25-26九年级上·全国·单元测试）若函数与函数的图象均不经过第二象限，则的取值范围是___________． 69．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）在反比例函数的图象上有两点，，当时，有，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型二十四 反比例函数的增减性求参数 70．（2026·北京·模拟预测）如果点都在函数的图象上，且，那么的取值范围是_____． 71．（25-26九年级上·陕西铜川·期中）已知反比例函数（k为常数，）． (1)若点在这个函数的图象上，则k的值为________； (2)若在这个函数图象的每一分支上，y的值随x值的增大而减小，求k的取值范围． 72．（24-25九年级下·湖北·自主招生）已知函数，当时，随的增大而减小，则实数的取值范围是（   ） A．或 B． C．或 D．或 题型二十五 比较反比例函数值或自变量的大小 73．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知点，，（其中）都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 74．（25-26八年级下·河南鹤壁·期末）已知点，，在反比例函数（为任意实数）的图象上，且，则，，的大小关系为________． 75．（2026·内蒙古通辽·一模）已知点，都在反比例函数的图象上，若，则m的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 题型二十六 反比例函数k值的几何意义 76．（26-27九年级上·北京东城·期中）如图，点A是反比例函数图象上的一个动点，过点A作轴，轴，垂足分别为B，C，已知矩形的面积为4，则反比例函数的解析式为______． 77．（2026·吉林·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，的面积为，垂直轴于点，与双曲线相交于点，且，则的值为（     ） A．3 B． C．2 D． 78．（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图，点、是反比例函数图象上的两点，延长线段交轴于点，且点为线段中点，连接、，若，则的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型二十七 求反比例函数的解析式 79．（2026九年级上·北京·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数（为常数，）的图象交于、两点，点的横坐标为． (1)求的值； (2)关于的不等式的解集为 ． 80．（26-27九年级上·北京西城·期中）如图，直线与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，过点作轴于点，，求的值． 81．（26-27九年级上·北京·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数（）的图象交于点，与轴交于点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)是直线上一动点，过点作轴的平行线交反比例函数（）的图象于点．若，直接写出点的坐标． 题型二十八 反比例函数与一次函数结合 82．（26-27九年级上·北京西城·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数（）的图象交于、两点，连接、． (1)求反比例函数的表达式和点的坐标； (2)求的面积． 83．（25-26九年级上·山东泰安·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于A、B两点，与轴相交于点C，已知点B的坐标为． (1)求反比例函数的解析式及点A的坐标； (2)观察图象，不等式的解集为______； (3)点为反比例函数图象上任意一点，若，求点的坐标． 84．（2026·黑龙江大庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线与反比例函数的图象交于点D及点，与x轴交于点B． (1)求m的值； (2)若直线与反比例函数（）的图象在第三象限交于点C，求点C的坐标及的面积； (3)在第三象限内的反比例函数（）的图象上，是否存在点E，使得为直角三角形，若存在，请直接写出满足条件的所有点E的坐标；若不存在，请说明理由． 题型二十九 反比例函数的实际应用 85．（25-26九年级上·山东德州·期中）实验数据显示，一般成人喝毫升某品牌白酒后开始计时，血液中酒精含量（毫克/百毫升）与时间（时）变化的图象如图（图象由线段与部分双曲线组成）所示．国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． 参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上在家喝完毫升该品牌白酒，第二天早上最早几点可以上班（    ） A． B． C． D． 86．（25-26八年级下·上海嘉定·期末）学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数来表示．某班学生在一节数学课中的注意力指数随上课时间（分钟）的变化情况如图所示．上课开始时注意力指数为30，第2分钟时注意力指数为40，前10分钟内是的一次函数；10分钟以后与成反比例．根据图中所提供的信息，回答下列问题： (1)上课几分钟时，注意力指数达到最高？最高注意力指数是多少？ (2)如果讲解一道难度较高的数学题，要求学生的注意力指数不低于50，为了保证教学效果，本节课讲解这道题的用时最多为多少分钟？ 87．（25-26八年级下·山东济南·期末）“人潮人海中，有你有我”，上下学的“停车大战”与“拥堵大戏”已成为社会热点问题．某校对本校下午放学校门口“堵塞”情况做了一次调查后发现：每天放学时间3分钟后校门外学生流量变化大致可以用“拥挤指数”y（）与放学后时间x（分）的函数关系描述．如图，3~13分钟函数图象为抛物线，且在第13分钟达到该函数最大值100（此时为抛物线的顶点）；13分钟之后为函数（）的图象的一部分． (1)求二次函数和反比例函数的表达式（需明确x的取值范围）； (2)若“拥挤指数”，出于安全考虑，需要护学岗执勤人员维护秩序、疏导交通．请依据图象计算每天至少需要执勤的时间． 题型三十 反比例函数与几何结合 88．（25-26九年级上·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数（为常数）的图象与轴交于点，与反比例函数（为常数，且）的图象交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，连接、，求四边形的面积． 89．（25-26八年级下·全国·单元复习）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过矩形的顶点和，点、分别是矩形的边、与轴的交点，轴，若，点的坐标为． (1)求该反比例函数的表达式； (2)若点是该反比例函数图象上的点，连接、得到，满足，请求出点的坐标． 90．（25-26九年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（）的图象经过A，B两点，连接，，，过点B作轴，垂足为点D，交于点，且C为线段中点． (1)求k的值； (2)求的面积； (3)在反比例函数（，）的图象是否存在一点E，使得？若存在，请求出E点坐标；若不存在，请说明理由． 基础固本练（限时：15分钟） 1．（26-27九年级上·北京海淀·期中）在平面直角坐标系中，将抛物线向左平移1个单位长度，得到的抛物线的表达式是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·北京西城·期中）已知二次函数的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 3．（26-27九年级上·上海金山·期中）关于抛物线，下列说法中正确的是（     ） A．抛物线开口向上 B．图像位于第二、四象限 C．抛物线有最低点 D．抛物线在直线的左侧部分是上升的 4．（26-27九年级上·北京西城·期中）如图是反比例函数（）的一部分图象，已知该图象过点，点是图象上任意一点，过点作轴，垂足为，则的面积是（     ） A．6 B．4 C．3 D．2 5．（2026九年级·广西防城港·竞赛）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数（，是常数，且）与反比例函数（是常数，且）的图象相交于，两点，则不等式的解集是（     ） A． B．或 C．或 D． 6．（26-27九年级上·北京西城·期中）若抛物线开口向上，且与轴交于点，写出一个满足条件的抛物线的解析式：__________． 7．（26-27九年级上·北京西城·期中）二次函数的图象经过点和，则方程的解为________ 8．（26-27九年级上·北京·期中）已知和两点在反比例函数的图象上，若，则的取值范围是_____． 9．（2026·陕西西安·模拟预测）若，为反比例函数的图象和正比例函数的两个交点，则____________． 10．（25-26八年级下·山西长治·期中）已知反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，则的面积为________． 11．（25-26九年级上·甘肃武威·期中）将抛物线向下平移3个单位长度后得到一个新的抛物线，请判断点是否在新抛物线上，并说明理由． 12．（25-26九年级上·河北张家口·期末）已知抛物线． (1)判断点是否在此抛物线上． (2)若点，在该函数图象上，试比较与的大小，并说明理由． 13．（25-26九年级上·北京石景山·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点，．其对称轴是． (1)求这个二次函数的表达式： (2)当函数值小于3时，结合图象直接写出自变量的取值范围． 14．（25-26九年级上·北京海淀·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和． (1)求抛物线的表达式； (2)当时，关于x的方程有实数根，直接写出t的取值范围． 15．（25-26九年级上·北京西城·期中）已知二次函数． (1)将函数解析式化为的形式； (2)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； (3)当时，的取值范围是____________； (4)当时，结合函数图象，直接写出的取值范围为_________． 综合进阶练（限时：20分钟） 16．（26-27九年级上·北京西城·期中）已知二次函数，下列关于其图像的结论中，正确的是（     ） A．开口向下 B．关于直线对称 C．随的增大而增大 D．与轴有两个交点 17．（26-27九年级上·北京西城·期中）若为二次函数的图象上的三点，则的大小关系是（     ） A． B． C． D． 18．（26-27九年级上·北京海淀·期中）下表是代数式的部分值的情况，根据表格中的数据，则关于方程的一个正根的判断正确的是（     ） x A． B． C． D． 19．（26-27九年级上·安徽合肥·期中）某地每年六月都有举办龙舟比赛的习俗，比赛需要经过一个抛物线形的拱桥．如图，是水平面，拱桥对应的函数表达式为．某商家在点处悬挂了广告条幅，已知，点到的距离为，则点到点的距离是（   ）． A． B． C． D． 20．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、在轴的负半轴上，且，顶点在函数（）的图象上，在边上取点使，的延长线与轴的负半轴交于点，连结．若的面积为18，则的值为（     ）． A． B． C． D． 21．（26-27九年级上·北京海淀·期中）若点，，都在抛物线上，则，，的大小关系为__________________（用“”连接）． 22．（26-27九年级上·北京西城·期中）已知抛物线，，．若抛物线与线段恰有一个公共点则的取值范围是_______． 23．（26-27九年级上·北京·期中）已知抛物线（a是常数，且）与轴正半轴交于点，当时，；当时，．则的值为_____． 24．（26-27九年级上·北京·期中）在平面直角坐标系中，抛物线与直线有两个交点，． （1）当，，时，线段的长度为__________； （2）当时，若对任意，线段长度大于，则的取值范围为__________． 25．（26-27九年级上·北京西城·期中）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，下面有四个结论：①；②；③若点与都在该抛物线上，则；④过点作轴的垂线，交该抛物线于点，交直线于点（、不重合），若线段的长度随的增大而减小，则的取值范围是．其中，正确的是_______ 26．（26-27九年级上·北京西城·期中）已知点是抛物线与直线的公共点． (1)当抛物线的对称轴为直线时，求的值； (2)已知，抛物线上两点的坐标分别为，试比较三者之间的大小关系，并说明理由． 27．（26-27九年级上·北京西城·期中）已知二次函数的解析式是． … … … … (1)补全表格并在图中用描点法画出该二次函数的图象； (2)其中，在函数的图象上，且，，则＿＿＿（用“”、“”或“”填空）； (3)当时，的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿． 28．（26-27九年级上·北京·期中）在上海举行的2026年全国跳水冠军赛女子单人10米跳台决赛中，陈芋汐以分的总分夺得冠军，全红婵位列第二，掌敏洁获得铜牌．在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的（向后翻腾三周半抱膝）．如图2所示，建立平面直角坐标系．如果她从点起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度（单位：米）与水平距离（单位：米）近似满足函数关系式． (1)在平时训练完成一次跳水动作时，全红婵的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离 3 4 竖直高度 10 10 根据上述数据，直接写出的值为__________，直接写出满足的函数关系式：__________； (2)比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度与水平距离近似满足函数关系，记她训练的入水点的水平距离为，比赛当天入水点的水平距离为，则__________（填“”，“”，“”）； (3)在（2）的情况下，全红婵起跳后到达最高点开始计时，若点到水平面的距离为，则她到水面的距离与时间之间近似满足，如果全红婵在达到最高点后需要秒的时间才能完成极具难度的动作，请通过计算说明，她当天的比赛能否成功完成此动作？ 29．（2026九年级上·北京西城·专题练习）二次函数中的，的部分取值如下表： 根据表中数据填空： … 0 1 2 3 … … 0 … (1)该函数图象的对称轴是________； (2)与轴的交点坐标是________； (3)二次函数解析式是________； (4)画出该二次函数的图象； (5)结合图象，当时，的取值范围是________________； (6)结合图象，方程有实数解，的取值范围是____________． 30．（26-27九年级上·重庆九龙坡·期中）如图1，抛物线与轴交于点，与直线交于点，过点作直线的平行线，交抛物线于点， (1)求抛物线的表达式； (2)点为直线下方抛物线上一点，过点作轴交直线于点，过点作于点，连接．求面积的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，在（2）问条件下，将原抛物线向右平移，再次经过（2）问中的点，得到新抛物线．点为新抛物线上的动点，连接、，若，直接写出所有符合条件的点的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $