专题01 有理数（知识&考点&公式&26高频&3易错&10重难&7模型，期中知识清单）七年级数学上学期新教材苏科版
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精品
内容正文：
专题01 有理数
目 录
识记类
思维导图
知识清单(11类)
考点清单(8类)
辨析清单(11类)
题型类
高频题型清单(26类)
易错题型清单(10类)
重难题型清单(7类)
知识点01 正数和负数
1.像+3、+1.5、、+584等大于0的数，叫做正数； 像－3、－1.5、、584等在正数前面加“－”号的数，叫做负数。
2.一个数前面的“+”“”是这个数的性质符号，“+”常省略，但“”不能省略。
3.用正数和负数表示具有相反意义的量时，哪种为正可任意选择，但习惯把“前进、上升”等规定为正，而把“后退、下降”等规定为负。
4.既不是正数也不是负数，它是正数和负数的分界线。
知识点02 有理数的概念与分类
1.概念：整数与分数统称为有理数。
2.分类：
（1）按整数、分数的关系分类： （2）按正数、负数与0的关系分类：
3.有理数都可以写成分数的形式，整数也可以看作是分母为1的数。
4.分数与有限小数、无限循环小数可以互化，所以有限小数和无限循环小数可看作分数，但无限不循环小数不是分数，例如。
5.正数和零统称为非负数；负数和零统称为非正数；正整数、0、负整数统称整数。
知识点03 数轴
1.数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
注意：（1）定义中的“规定”二字是说原点的选定、正方向的取向、单位长度大小的确定，都是根据需要“规定”的．通常，习惯取向右为正方向；
（2）长度单位与单位长度是不同的，单位长度是根据需要选取的代表“1”的线段，而长度单位是为度量线段的长度而制定的单位．有km、m、dm、cm等。
2.数轴的画法
（1）画一条直线（通常画成水平位置）；
（2）在这条直线上取一点作为原点，这点表示0；
（3）规定直线上向右为正方向，画上箭头；
（4）再选取适当的长度，从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次标上1，2，3，…从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次标上-1，-2，-3，…
注意：（1）原点的位置、单位长度的大小可根据实际情况适当选取；
（2）确定单位长度时根据实际情况，有时也可以每隔两个（或更多的）单位长度取一点。
3.数轴与有理数的关系
任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不都表示有理数，还可以表示其他数，比如。
注意：（1）一般地，数轴上原点右边的点表示正数，左边的点表示负数；反过来也对，即正数用数轴上原点右边的点表示，负数用原点左边的点表示，零用原点表示；
（2）一般地，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
知识点04 绝对值
1．定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，例如+2的绝对值等于2，记作|+2|=2；-3的绝对值等于3，记作|-3|=3．
【点拨】（1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。即对于任何有理数a都有：
（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小。
（3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的。
2．性质：
（1）0除外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数；
（2）互为相反数的两个数（0除外）的绝对值相等；
（3）绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0。
知识点05 相反数
1．定义：如果两个数只有符号不同，那么称其中一个数为另一个数的相反数。特别地，0的相反数是0。
【点拨】（1）“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同；
（2）“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，不能漏掉；
（3）相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数；
（4）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可。
2．性质：
（1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等（这两个点关于原点对称）；
（2）互为相反数的两数和为0。
多重符号的化简
多重符号的化简，由数字前面“-”号的个数来确定，若有偶数个时，化简结果为正，如-{-[-(-4)]}=4 ；若有奇数个时，化简结果为负，如-{+[-(-4)]}=-4 。
【点拨】（1）在一个数的前面添上一个“＋”，仍然与原数相同，如＋5＝5，＋（－5）＝－5。
（2）在一个数的前面添上一个“－”，就成为原数的相反数。如－（－3）就是－3的相反数，因此，－（－3）＝3。
知识点06 有理数的大小比较
1．数轴法：在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数小。 如：a与b在数轴上的位置如图所示，则a＜b。
2．法则比较法：
两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下：
两数同号
同为正号：绝对值大的数大
同为负号：绝对值大的反而小
两数异号
正数大于负数
－数为0
正数与0：正数大于0
负数与0：负数小于0
【点拨】利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：
（1）分别计算两数的绝对值；
（2）比较绝对值的大小：
（3）判定两数的大小。
3． 作差法：设a、b为任意数，若a-b＞0，则a＞b；若a-b＝0，则a＝b；若a-b＜0，a＜b；反之成立。
4． 求商法：
设a、b为任意正数，若，则；
若，则；若，则；
反之也成立．若a、b为任意负数，则与上述结论相反。
5． 倒数比较法：如果两个数都大于零，那么倒数大的反而小．
知识点07 有理数的加法和减法
1.有理数的加法
①定义：把两个有理数合成一个有理数的运算叫作有理数的加法．
②法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0；
（3）一个数同0相加，仍得这个数．
【点拨】利用法则进行加法运算的步骤：
(1)判断两个加数的符号是同号、异号，还是有一个加数为零，以此来选择用哪条法则．
(2)确定和的符号(是“+”还是“－”)．
(3)求各加数的绝对值，并确定和的绝对值(加数的绝对值是相加还是相减)．
③运算律：
有理数加法运算律
加法交换律
文字语言
两个数相加，交换加数的位置，和不变
符号语言
a+b＝b+a
加法结合律
文字语言
三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变
符号语言
(a+b)+c＝a+(b+c)
【点拨】交换加数的位置时，不要忘记符号．
2.有理数的减法
①定义： 已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法，例如：(-5)+?＝7，求？，减法是加法的逆运算．
【点拨】（1）任意两个数都可以进行减法运算．
（2） 几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数字即数的绝对值．
②法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：．
【点拨】将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数”．
3.有理数加减混合运算
将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算.
知识点08 有理数的乘法和除法
1.有理数的乘法
①有理数的乘法法则：
（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；
（2）任何数同0相乘，都得0．
【点拨】 (1) 不为0的两数相乘，先确定符号，再把绝对值相乘．
（2）当因数中有负号时，必须用括号括起来，如-2与-3的乘积，应列为(-2)×(-3)，不应该写成-2×-3．
②有理数的乘法法则的推广：
（1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正；
（2）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．
【点拨】 （1）在有理数的乘法中，每一个乘数都叫做一个因数．
(2)几个不等于0的有理数相乘，先根据负因数的个数确定积的符号，然后把各因数的绝对值相乘．
(3)几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之，如果积为0，那么至少有一个因数为0．
③有理数的乘法运算律：
（1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即：ab＝ba．
（2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即：abc＝(ab)c＝a(bc)．
（3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即：a(b+c)＝ab+ac．
【点拨】 （1）在交换因数的位置时，要连同符号一起交换．
（2）乘法运算律可推广为：三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数的位置，或者把其中的几个因数相乘．如abcd＝d(ac)b．一个数同几个数的和相乘，等于把这个数分别同这几个数相乘，再把积相加．如a(b+c+d)＝ab+ac+ad．
（3）运用运算律的目的是“简化运算”，有时，根据需要可以把运算律“顺用”，也可以把运算律“逆用”．
2. 有理数的除法
①倒数的意义： 乘积是1的两个数互为倒数．
【点拨】 (1)“互为倒数”的两个数是互相依存的.如-2的倒数是，-2和是互相依存的；
(2)0和任何数相乘都不等于1，因此0没有倒数；
(3)倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数；
(4)互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)．
②有理数除法法则：
法则一：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即.
法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0.
【点拨】 （1）一般在不能整除的情况下应用法则一，在能整除时应用法则二方便些．
（2）因为0没有倒数，所以0不能当除数．
（3）法则二与有理数乘法法则相似，两数相除时先确定商的符号，再确定商的绝对值．
3. 有理数的乘除混合运算
由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后算出结果．
4. 有理数的加减乘除混合运算
有理数的加减乘除混合运算，如无括号，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如有括号，则先算括号里面的．
知识点09 有理数的乘方
1. 有理数的乘方
定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。
即有：。在中，叫做底数， n叫做指数。
【点拨】（1）乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果．
（2）底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来．
（3）一个数可以看作这个数本身的一次方．例如，5就是51，指数1通常省略不写．
（4）特别地，一个数的二次方，也称为这个数的平方；一个数的三次方，也称为这个数的立方。
2. 乘方运算的符号法则
（1）正数的任何次幂都是正数；
（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；
（3）0的任何正整数次幂都是0；
（4）任何一个数的偶次幂都是非负数，如 ≥0．
【点拨】(1)有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值．
(2)任何数的偶次幂都是非负数．
知识点10 科学记数法
把一个大于10的数表示成的形式（其中是整数数位只有一位的数，l≤||<10，是正整数），这种记数法叫做科学记数法，如＝.
【点拨】（1）负数也可以用科学记数法表示，“”照写，其它与正数一样，如=；
（2）把一个数写成形式时，若这个数是大于10的数，则n比这个数的整数位数少。
知识点11 有理数混合运算
有理数混合运算的顺序：
(1)先乘方，再乘除，最后加减；
(2)同级运算，从左到右进行；
(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．
【点拨】
(1)有理数运算分三级，并且从高级到低级进行运算，加减法是第一级运算，乘除法是第二级运算，乘方和开方(以后学习)是第三级运算；
（2）在含有多重括号的混合运算中，有时根据式子特点也可按大括号、中括号、小括号的顺序进行．
（3）在运算过程中注意运算律的运用．
考点01 正负数
考点内容：正负数的定义；相反意义的量．
常见考法：
①概念判断题，注意0的特殊性，负数符号陷阱；
②用正数、负数表示具有相反意义的量，先规定其中一个为正，和它意义相反的就为负；
③判断一个数是不是负数、正数，给一组数分类，给出一串数（含分数、小数、0、带负号、π等），选出正数集合、负数集合；
④误差范围题，食品、零件、化肥标准质量，给，求最大值、最小值、判断产品是否合格；
⑤基准转换题型，给定基准，写出对应数；给标记数还原成原数．
考点02 有理数的概念与分类
考点内容：有理数定义、有理数两种分类方式．
常见考法：
①有理数定义，有限小数、无限循环小数都可以写成分数形式，属于分数，也就是有理数；
②有理数两种分类方式，0单独一类，不属于正有理数，也不属于负有理数；
③给一组数，分类填集合；
④“非×”词语理解填空．
考点03 数轴
考点内容：数轴的三要素；数轴与有理数的关系；数轴上数的大小比较；数轴上两点之间的距离；点的平移规律．
常见考法：
①判断所画图形是不是数轴，判断要点：有没有原点、正方向、统一单位长度；
②读数、在数轴上描点，给出数轴，读出点表示的数；给定有理数，在数轴上标出对应点；
③数轴两点距离计算；
④点平移问题，一个点先左移、再右移，求最后表示的数；
⑤大小比较、排序，多个有理数，利用数轴从小到大排列．
考点04 绝对值与相反数
考点内容：相反数；绝对值．
常见考法：
①求相反数、多重符号化简；
②求一个数的绝对值、已知绝对值求原数；
③相反数性质运用，已知a与b互为相反数，求代数式的值（整体代入，a+b=0）；
④绝对值非负性，与平方一起用；
⑤比较大小，负数比较：绝对值大的反而小；
⑥绝对值在实际中的意义，误差、质量检测：绝对值越小，和标准值越接近，质量越好．
考点05 有理数的加法与减法
考点内容：有理数加法法则；加法运算律；有理数减法法则；加减混合运算；实际意义．
常见考法：
①直接计算同号、异号加减；判断计算对错；
②加减混合简便运算，相反数一组、小数凑整一组、分数同分母一组、正数负数分开两组；
③省略加号的和的形式；
④实际应用题，温度连续升降、水位变化、仓库进出货物、行走路程；
⑤数轴上两点距离、点平移综合，平移：左减右加；距离：大数−小数（绝对值），常和加减融合．
考点06 有理数的乘法与除法
考点内容：有理数乘法法则；倒数；乘法运算律；有理数除法法则；乘除混合运算．
常见考法：
①基础乘除口算、判断正误，选择填空，直接计算；辨析对错；
②求倒数，给整数、分数、小数、负分数找倒数；判断0有没有倒数；
③多个因数相乘，判断积的符号，数负因数的个数，奇负偶正；只要含0，直接得0；
④乘法分配律简便运算；
⑤乘除混合运算，统一化为乘法，约分简化；不要随意调换顺序（必须连同符号一起）．
考点07 有理数的乘方
考点内容：乘方的意义；乘方符号法则；科学记数法．
常见考法：
①识别底数、指数，读式子；
②乘方符号判断，用计算，直接判断结果正负；
③科学记数法，大数写成；给科学记数法还原原数；
④乘方规律探究，对折纸张、拉面、细胞分裂、数列找规律，求第n个式子．
考点08 有理数的混合运算
考点内容：运算顺序；运算律的灵活运用；新定义运算．
常见考法：
①纯计算题，一道式子融合：乘方、分数、小数、负数、括号。；
②简便运算，正向分配律、逆向提取公因数、分组凑整、相反数抵消；
③判断运算对错、改错，选择题，找出计算步骤里顺序错、符号错、分配漏乘的选项；
④新定义题型．
辨析01 0是正数 / 0是负数
说法错误，0既不是正数，也不是负数；0是整数、是有理数、绝对值最小的有理数、最小的非负整数．
辨析02 一个有理数不是正数就是负数
说法错误，漏掉0；有理数分为正有理数、0、负有理数．
辨析03 带负号的数就是负数
说法错误，不一定是负数，本身为负数时，是正数．
辨析04 若，则
说法错误，或 ，两解．
辨析05 距离为3的点只有一个
说法错误，已知一点和距离，一般两个点，左右各一个，容易漏解．
辨析06 乘方底数易错
的底数为，的底数为，的底数为，底数为．
辨析07 异号两数相加，直接把符号相减
先定符号（跟着绝对值大的），再用大绝对值减小绝对值．
辨析08 多个数相乘，负因数是偶数个，积一定为正
说法错误，前提：所有因数不为0；只要有一个因数是0，积直接是0，不用数负号．
辨析09 乘除混合不能随便调换顺序
说法正确，同级运算从左往右，全部转化乘法再计算．
辨析10 负数比较大小，绝对值大的原数大
说法错误，负数比较，绝对值大的反而小．
辨析11 除法可以分配律
说法错误，除法没有分配律，只有乘法有分配律．
【题型一】正负数的定义
【例1】（26-27七年级上·广东梅州·阶段检测）下列各数中为负数的是（ ）
A． B．0 C．3 D．
【答案】A
【详解】解：是负数，是正数，既不是正数，也不是负数.
【变式1-1】（26-27七年级上·广东茂名·阶段检测）在，2，，0，0.0123中，负数有（ ）个
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【详解】解：和是负数，故有2个．
【变式1-2】在数，，，，，，，，中，正数的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】先化简多重符号和求绝对值，再根据大于0的数是正数解答即可．
【详解】解：，，，，
则正数有，，，，共4个．
【变式1-3】（26-27七年级上·新疆昌吉·阶段检测）在，0，3，这四个数中，正数是（ ）
A． B．0 C．3 D．
【答案】C
【分析】依据正数的定义，判断四个数中大于0的数．
【详解】解：，，都是负数；
既不是正数也不是负数；
，是正数．
【题型二】相反意义的量
【例2】（26-27七年级上·河南周口·阶段检测）不具有相反意义的量是（ ）
A．商场运进雪碧100箱，卖出80箱
B．妈妈的月工资收入是1000元，每月生活所用500元
C．5000个产品中有20个不合格产品
D．新疆白天气温零上，晚上的气温零下
【答案】C
【详解】解：A、运进和卖出具有相反意义，不符合题意；
B、收入和生活所用具有相反意义，不符合题意；
C、总数5000个、不合格20个，只是同一批产品里总数和次品数量，不具有相反意义，符合题意；
D、零上和零下具有相反意义，不符合题意．
【变式2-1】（26-27七年级上·山西太原·阶段检测）在《九章算术》的“正负术”中，人们已经会用相反意义的量表示盈亏．若把“收入6元”记作元，那么“支出6元”记作（ ）元
A． B． C． D．6
【答案】B
【详解】解：若把“收入6元”记作元，那么“支出6元”记作元．
【变式2-2】（26-27六年级上·山东烟台·阶段检测）如图所示是某用户微信支付情况，表示的意思是（ ）
A．发出红包100元 B．收入100元
C．余额100元 D．拍到100元红包
【答案】A
【详解】解：表示的意思是发出100元红包．
【变式2-3】（26-27七年级上·河南安阳·阶段检测）如果增产吨，记作吨，那么吨表示_____．
【答案】减产吨
【详解】解：增产吨，记作吨，那么吨表示减产吨．
【题型三】0的意义
【例3】（26-27七年级上·山东日照·阶段检测）以下说法①正整数和正分数组成正有理数；②有理数分为正数、和负数；③任何一个无限不循环小数都可以化成分数；④绝对值等于它本身的数是正数；⑤非负有理数包括和正整数．其中正确的有（填序号）________．
【答案】①
【分析】根据有理数的相关概念，逐一判断每个说法的正误即可．
【详解】解：①正有理数包括正整数和正分数，因此①正确；
②有理数分为正有理数，，负有理数，正数包含正无理数，因此不是所有正数都是有理数，②错误；
③无限不循环小数是无理数，无理数不能化成分数，因此③错误；
④的绝对值也等于它本身，因此绝对值等于它本身的数是正数和，④错误；
⑤非负有理数是和所有正有理数，正有理数包含正整数和正分数，因此⑤错误；
综上，正确的只有①．
【变式3-1】（26-27七年级上·全国·课后作业）下列说法：①0既不是正数，也不是负数；②整数包括正整数和负整数；③正数和负数统称有理数；④0是最小的整数；⑤非正整数是有理数．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．5个
【答案】B
【详解】解：①既不是正数，也不是负数，说法正确；
②整数包括正整数、和负整数，原说法错误；
③有理数是整数和分数的统称，原说法错误；
④负整数小于，不是最小的整数，原说法错误；
⑤非正整数包括和负整数，均属于整数，是有理数，说法正确；
∴正确的有①⑤，共个．
【变式3-2】（26-27七年级上·浙江金华·阶段检测）下列说法正确的是（ ）
A．整数分为正整数和负整数
B．有理数中既存在最小的正数，也存在最大的负数
C．0是整数也是有理数
D．小数都是分数
【答案】C
【分析】逐个辨析整数、正数负数、有理数、分数与小数的定义进行判断，
【详解】解：A，整数分为正整数、0、负整数，故原说法错误.
B，有理数中不存在最小的正数，也不存在最大的负数，故原说法错误。
C.0是整数，也是有理数，该说法正确.
D.无限不循环小数是小数但不是分数，故原说法错误。
【变式3-3】（26-27七年级上·山东聊城·阶段检测）下面说法正确的有______（填序号）
（1）正整数和负整数统称有理数；（2）0既不是正数，又不是负数；（3）正数和负数统称有理数；（4）相反数等于它本身的数是不存在的；（5）互为相反数的两个数在数轴上对应的两个点到原点的距离相等；（6）若一个数是有理数，则这个数不是分数就是整数．
【答案】（2）（5）（6）
【分析】根据有理数的分类、相反数的定义、0的性质，逐一判断每个说法即可．
【详解】解：（1）说法错误，有理数包含整数和分数，整数包括正整数、、负整数，因此正整数和负整数不能统称有理数；
（2）说法正确，既不是正数，又不是负数；
（3）说法错误，也是有理数，因此正数和负数不能统称有理数；
（4）说法错误，相反数等于它本身的数是，是存在的；
（5）说法正确，互为相反数的两个数绝对值相等，因此它们在数轴上对应的两个点到原点的距离相等；
（6）说法正确，有理数按定义分为整数和分数，因此若一个数是有理数，则这个数不是分数就是整数．
【题型四】有理数的分类
【例4】（25-26七年级上·四川成都·阶段检测）下列7个数：、、、0、、（每两个2之间依次多一个6）、，其中有理数有________个
【答案】5
【分析】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题关键．根据有理数的分类：整数和分数统称为有理数，有限小数和无限循环小数都属于有理数，据此解答即可得．
【详解】解：是负分数，属于有理数，
是有限小数，属于有理数，
是正分数，属于有理数，
0是整数，属于有理数，
是无限不循环小数，不属于有理数，
（每两个2之间依次多一个6）是无限不循环小数，不属于有理数，
是无限循环小数，属于有理数，
综上，有理数有5个，
故答案为：5．
【变式4-1】（26-27七年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段检测）把下列各数的序号填入相应的大括号内：
①；②；③；④；⑤0；⑥，⑦；⑧，⑨．
整数集{________…}；非负数集{________…}；负有理数集{________…}．
【答案】 ①，④，⑤ ②，④，⑤，⑨ ①，③，⑥，⑦，⑧
【分析】根据有理数的分类判断即可．
【详解】解：整数集{①，④，⑤…}；
非负数集{②，④，⑤，⑨…}；
负有理数集{①，③，⑥，⑦，⑧…}．
【变式4-2】（26-27七年级上·江苏南京·阶段检测）将下列各有理数按照分类填入下面对应的大括号内：
，，，，，，，，
整数集合：{______________________…}；
负数集合：{______________________…}；
正分数集合：{______________________…}．
【答案】，，；，，，；，，
【分析】负数是小于0的数，正分数是大于0的分数，再结合整数的定义求解即可．
【详解】解：整数集合：{，，，…}；
负数集合：{，，，，…}；
正分数集合：{，，，…}．
【变式4-3】（26-27七年级上·湖南长沙·阶段检测）把下列各数对应的序号填在相应的括号内：
①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨
正有理数：（ ）
非负整数：（ ）
负分数：（ ）
整数：（ ）
【答案】正有理数：①③⑧⑨
非负整数：①⑥
负分数：④⑤⑦
整数：①②⑥
【分析】正有理数包含正分数和正整数；
非负整数包含0和正整数；
百分数、有限小数、无限循环小数都可以化为分数；
整数包括正整数，0，负整数．
【详解】略
【题型五】带“非”字的有理数
【例5】（26-27七年级上·全国·单元复习）在，0，0.3，，，，中，非负有理数有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】C
【分析】需明确非负有理数包含0和正有理数，且是无限不循环小数，不是有理数，据此筛选计数即可．
【详解】解：非负有理数包括0和正有理数，
，，均为负有理数，不符合要求，
∵是无限不循环小数，不是有理数，
∴不是有理数，不符合要求，
，，均为非负有理数，符合要求，
∴符合条件的数共3个．
【变式5-1】（26-27七年级上·广东梅州·阶段检测）在中，非负整数有__________个．
【答案】3
【详解】解：非负整数为，有3个．
【变式5-2】（25-26七年级上·陕西安康·阶段检测）在，0，，6这四个有理数中，非负数有___________个．
【答案】
【分析】根据非负数的定义，逐一判断给定的四个有理数，统计符合条件的个数即可．
【详解】解：非负数指大于或等于的数，在，，，，
这四个数中，，是负数，
，是非负数，
，是负数，
，是非负数，
因此非负数共有个．
【变式5-3】（25-26七年级上·山东德州·期中）下列各数中：26、，其中正整数有a个,有理数有个，非正数有个，则______．
【答案】13
【分析】本题考查了正整数、有理数、非正数的概念辨析，解题的关键是准确把握各类数的定义并逐一筛选判断．
先明确正整数是大于0的整数，有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称，非正数是小于或等于0的数；再对所给数字逐一分析归类，分别确定a、b、c的值，最后计算的结果．
【详解】解： 正整数：、、，共3个，故；
有理数：、、、、、、0，共7个（为无理数，排除），故；
非正数：、、0，共3个，故；
则．
故答案为：．
【题型六】用数轴上的点表示有理数
【例6】（26-27七年级上·北京东城·阶段检测）如图，数轴上被墨水遮盖的数可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据数轴上墨水遮盖的位置确定数的取值范围，再判断各选项是否在该范围内．
【详解】解：由数轴可知，被墨水遮盖的数在与之间，
，，，
选项A、B、D均不符合题意；
，且，
选项C符合题意．
【变式6-1】（26-27七年级上·安徽铜陵·阶段检测）如图，为数轴的原点，若点A表示2，则点B表示（ ）
A．3 B． C．5 D．
【答案】B
【详解】解：点A表示2，则点B表示.
【变式6-2】（2026·陕西西安·模拟预测）如图，数轴上两点之间的距离为，表示的数是，则点表示的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：由数轴知，点在点的左边，
∴点表示的数是．
【变式6-3】（26-27七年级上·河南南阳·阶段检测）如图，数轴上被阴影盖住的点表示的分数可能是________．（写出一个即可）
【答案】.答案不唯一，是负分数即可）
【分析】本题考查了数轴的定义，根据数轴上该点所对应的数的取值范围，写出一个符合条件的数即可．该点在原点左侧，写出一个负分数即可．
【详解】解：由数轴可知，阴影遮挡住的点表示的数小于0，要求是分数，因此负分数都符合题意，
故答案为：（答案不唯一）．
【题型七】利用数轴比较大小
【例7】（26-27七年级上·河北保定·阶段检测）画出数轴，在数轴上表示下列各数，并用“”把它们连接起来：
，，，，，．
【答案】数轴如下：
，
【分析】在数轴上表示各数，再结合数轴上右边的数总是大于左边的数求解即可．
【详解】略
【变式7-1】（26-27七年级上·江苏常州·阶段检测）如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是．
(1)在数轴上标出原点．
(2)在数轴上表示下列各数，并按从小到大的顺序用“”连接起来．
，，，．
【答案】(1)如图，原点即为所求．
(2)
【分析】（1）已知点表示的数是，说明原点在点的右侧，与点的距离为个单位长度，同时点表示的数是，说明原点在点的左侧，与点的距离为个单位长度，在两个描述重合的刻度处标出原点即可．
（2）先对各数进行化简，再将所有数在数轴上表示出来，按照数轴上自左向右从小到大的顺序用“”连接即可．
【详解】（1）略
（2）解：先对各数进行化简，，，，再将所有数在数轴上对应位置标注，从小到大的顺序排序为．
【变式7-2】（26-27七年级上·山东青岛·阶段检测）在数轴上画出表示、2、、，0这些数的点，并按从小到大的顺序，用“”把这些数连接起来．
【答案】，
【详解】略
【变式7-3】（26-27七年级上·浙江杭州·阶段检测）在数轴上表示下列各数：0，1.5，，，，并将这些数用“”号连接．
【答案】如图：
【详解】略
【题型八】相反数的意义
【例8】（湖南省衡阳市四校2026-2027学年七年级上学期9月阶段检测数学试题）的相反数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：的相反数是．
【变式8-1】（26-27七年级上·河南周口·阶段检测）的相反数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：的相反数是．
【变式8-2】（26-27七年级上·湖南长沙·阶段检测）下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A．与6 B．与 C．与 D．与
【答案】B
【详解】解：，故选项A错误；
与，互为相反数，故选项B正确；
，故选项C错误；
，故选项D错误．
【变式8-3】（湖南省衡阳市四校2026-2027学年七年级上学期9月阶段检测数学试题）若，则中最小的是_______．
【答案】
【分析】先想数轴上表示出，再比较大小即可．
【详解】解：如图，
由在数轴上的位置可知，，
∴中最小的是．
【题型九】化简多重符号
【例9】（26-27七年级上·江苏常州·阶段检测）在下列各数中，，，，，，其中负分数的个数是（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】C
【详解】解：∵ ， ， ， ，
∴ 负分数有，，，共3个.
【变式9-1】（26-27七年级上·湖南长沙·阶段检测）化简：________．
【答案】
【详解】解：．
【变式9-2】（26-27七年级上·广东珠海·阶段检测）化简：________．
【答案】
【详解】解：．
【变式9-3】（26-27七年级上·湖南岳阳·阶段检测）＝______．
【答案】
【详解】解：．
【题型10】绝对值的几何意义
【例10】（2026·内蒙古鄂尔多斯·二模）如图，点到原点的距离是（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】A
【分析】观察数轴得：点A表示的数为，即可求解．
【详解】解：观察数轴得：点A表示的数为，
∴点到原点的距离是3．
【变式10-1】（26-27六年级上·山东淄博·阶段检测）若，则______．
【答案】
【详解】解：，
∴．
【变式10-2】（26-27七年级上·江苏淮安·阶段检测）当_________时，有最小值_________．
【答案】
【分析】根据绝对值的非负性可知，的最小值为，据此计算的值和式子的最小值．
【详解】∵任意实数的绝对值为非负数，
∴，
∴当时，取得最小值．
解方程，得，
此时，
即式子的最小值为．
【变式10-3】（26-27七年级·浙江·暑假作业）代数式的最小值是_____，的最小值是_____．
【答案】 0 3
【分析】根据绝对值的非负性求解即可．
【详解】解：∵，
∴的最小值为0；
∵，
∴，
∴的最小值是3．
【题型11】绝对值的非负性
【例11】若，则_______．
【答案】
【分析】本题考查了绝对值和偶次方的非负性，代数式求值．
根据非负数的性质，绝对值和平方项均非负，和为零则每项为零，可求出m和n的值，再代入求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式11-1】（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）若，则的值为________．
【答案】
【分析】根据绝对值的非负性和平方数的非负性，几个非负数的和为，则每个非负数都为，据此求出和的值，再代入代数式计算即可．
【详解】解：，，，
，，
得 ，，
解得 ，，
将，代入，
得： ．
【变式11-2】（26-27七年级上·江苏·期中）若，则的值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【详解】解：∵，而，
∴，
即，
∴.
【变式11-3】（26-27七年级·全国·暑假作业）如果x为有理数，式子存在最大值，这个最大值是__________．
【答案】
【分析】利用绝对值的非负性，得出的最小值进而确定表达式的最大值即可．
【详解】解：为有理数，
，
，
，当且仅当时，即时取等号，
最大值为．
【题型12】有理数的加法运算
【例12】（26-27七年级上·河北保定·阶段检测）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：．
【变式12-1】（26-27七年级上·浙江杭州·阶段检测）已知，，且，则的值为（ ）
A．或 B．或1 C．1或 D．5或
【答案】A
【分析】先根据绝对值的定义推导a、b的所有可能取值，再结合计算即可．
【详解】解：∵，，
∴或，或，
∵，
∴或，，
∴或．
【变式12-2】（26-27七年级上·全国·课后作业）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
（3）解；原式
．
（4）解：原式
．
【变式12-3】（26-27七年级上·全国·课后作业）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)；
(7)；
(8)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
【分析】根据有理数加法的交换律，结合律，有理数的加法法则解答即可．
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
（3）解：原式
．
（4）解：原式
．
（5）解：原式
．
（6）解：原式
．
（7）解：原式
．
（8）解：原式
．
【题型13】有理数的加法运算律
【例13】（26-27七年级上·天津·阶段检测）下列变形中，运用加法运算律正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】加法交换律、结合律变形时，加数的符号与数值均不改变，据此判断各选项正误．
【详解】解：A选项，，交换加数时符号错误，不符合题意，
B选项，，先交换与的位置，再将与结合，符合加法运算律，符合题意，
C选项，，改变了加数的数值，不符合题意，
D选项，，结合后符号错误，不符合题意．
【变式13-1】（26-27七年级上·甘肃临夏·阶段检测）计算（能用简便方法的用简便方法）
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【变式13-2】（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算：
(1)；
(2)．
(3)；
(4)．
【答案】(1)3
(2)
(3)18
(4)
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
（3）解：原式
．
（4）解：原式
．
【变式13-3】（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算：
(1)；
(2)
(3)；
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
【题型14】省略加号的和的形式
【例14】（26-27七年级上·广西·期中）不改变原式的值，省略算式中的括号和加号后，可以写成的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是省略加号的和的形式，将各选项中的算式通过有理数加减法则转换为省略括号和加号的形式，逐一对比即可确定正确选项．
【详解】解：A． 转换为：，不符合题意；
B． 转换为：，不符合题意；
C． 转换为：，不符合题意；
D． 转换为：，符合题意．
【变式14-1】（26-27七年级上·安徽池州·阶段检测）算式写成省略加号和括号的形式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：．
【变式14-2】（26-27七年级上·黑龙江佳木斯·期中）不改变原式的值，省略算式中的括号和加号后，可以写成的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：A、，不符合题意；
B、，不符合题意；
C、，不符合题意；
D、，符合题意．
【变式14-3】（26-27七年级上·江苏南京·阶段检测）将式子写成省略括号的和的形式________．
【答案】
【详解】解：．
【题型15】有理数的加减混合运算
【例15】（26-27七年级上·福建龙岩·阶段检测）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据有理数加减法法则进行计算即可；
（2）原式根据有理数减法法则变形后，再运用加法运算律进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
【变式15-1】（26-27六年级上·山东淄博·阶段检测）计算
(1)．
(2)；
【答案】(1)1
(2)8
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【变式15-2】（26-27七年级上·山西太原·阶段检测）计算
(1)；
(2)；
(3)；
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)1
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
【变式15-3】（26-27七年级上·山西太原·阶段检测）计算
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)10
(2)
(3)2
(4)
【分析】（1）先化减为加，再利用有理数的加法运算律进行简便运算即可；
（2）先化简绝对值，再利用有理数加减运算法则计算即可；
（3）直接运用有理数的加法运算律进行简便运算即可；
（4）先化减为加，再利用有理数的加法运算律进行简便运算即可．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
（3）解：
．
（4）解：
．
【题型16】有理数加减法实际应用
【例16】（26-27七年级上·江苏南通·阶段检测）工厂生产袋装大米，标准质量为10千克，超过标准记正数，不足记负数．抽检6袋大米记录如下（单位：千克）：
(1)抽检的大米中，最重一袋比最轻一袋多多少千克？
(2)求这6袋大米的总质量．
【答案】(1)0.7千克
(2)59.7千克
【分析】（1）超出最多的一袋是多0.3千克，不足最多的一袋为少0.4千克，用即可得到最重一袋比最轻一袋多的重量．
（2）用标准质量乘以6，再依次加减抽检的6袋大米的超出或不足部分，即可求出大米的总质量．
【详解】（1）解：超出最多的一袋是多0.3千克，不足最多的一袋为少0.4千克，
所以最重一袋比最轻一袋多： （千克）．
（2）解： （千克）．
【变式16-1】（26-27七年级上·山西太原·阶段检测）某语音转文字模型开展识别测试，规定基准正确字数为200字，超出基准的记作正数，不足基准的记作负数．连续10轮测试结果记录如下（单位：字）：，，，，，，，，，．
(1)求这10轮测试中，识别正确字数最多的一轮与最少的一轮相差多少字？
(2)求这10轮测试中平均每轮识别正确多少字？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）用记录数字里最大的数减去最小的数即可；
（2）先算出10个记录数字的总和，除以10得到平均超出（或不足）基准的字数，再加上基准200字，即可求出平均每轮正确字数．
【详解】（1）解：（字）；
答：识别正确字数最多的一轮与最少的一轮相差字；
（2）解：（字），
（字），
（字）．
答：这10轮测试中平均每轮识别正确字．
【变式16-2】（26-27七年级上·安徽芜湖·阶段检测）某停车场从早上到晚上营业，下表是工作人员分五个时段记录的某天车辆进出情况（表示进入停车场，表示离开停车场，单位：辆）：
时段
一
二
三
四
五
进出数量
(1)第三时段结束时，该停车场内的车辆比早上开门时多了还是少了？多（少）多少辆？
(2)晚上关门时，停车场内还剩28辆车，则当天早上开门时停车场内原有多少辆车？
【答案】(1)该停车场内的车辆比早上开门时少了14辆
(2)当天早上开门时停车场内原有33辆车
【分析】（1）根据有理数的加法进行计算即可求解；
（2）先计算五个时段该停车场内的车辆累计变化量，结合题意可得当天早上开门时停车场内的车辆数．
【详解】（1）第三个时段结束时，该停车场内的车辆累计变化量为．
答：该停车场内的车辆比早上开门时少了14辆．
（2）五个时段该停车场内的车辆累计变化量为．
因为晚上关门时，停车场内还剩28辆车，
所以早上开门时停车场内车辆总数为．
答：当天早上开门时停车场内原有33辆车．
【变式16-3】（26-27七年级上·江苏南京·阶段检测）2026年3月，“张雪机车”在国际顶级赛事中连续两次获得冠军，让中国摩托行业站上了世界巅峰．某摩托车厂本周内计划每日生产200辆摩托车，由于工人实行轮休，每日上班人数不一定相等，实际每日生产量与计划量相比情况如下表（增加的车辆数为正数，减少的车辆数为负数）：
星期
一
二
三
四
五
六
日
增减
(1)本周三生产了_____辆摩托车，产量最多的一天比产量最少的一天多生产了_____辆；
(2)本周总生产量是多少？本周总生产量与计划生产量相比，是增加还是减少？
(3)请你赋予表格不同于本题的生活情境，并提出一个相关的问题．（不要求作答）
【答案】(1)，
(2)本周总生产量是1409辆，与计划生产量相比是增加了
(3)示例：某水果店一周内计划每日卖出100斤草莓，实际每日销量和计划销量的差值如下表（超过计划的记为正，不足的记为负），请问本周总销量是多少？（答案不唯一，符合题意即可）
星期
一
二
三
四
五
六
日
增减
【分析】（1）根据正负数的应用及表格计算即可；
（2）用本周7天的计划总产量加上差值，进而判断即可；
（3）只要设定类似“以固定值为标准，用正负数表示实际量与标准量的偏差”的生活场景，提出合理问题即可．
【详解】（1）解：每日计划生产200辆，周三增减为，
因此实际产量为辆．
由表格可知最大值为（周四），最小值为（周日），
∴产量最多的一天比产量最少的一天多生产了辆．
（2）解：本周7天的计划总产量为辆．
，
因此实际总生产量为辆．
∵，
∴总生产量比计划生产量增加了．
（3）略．
【题型17】倒数的定义
【例17】（26-27六年级上·黑龙江大庆·阶段检测）下列各组数中，互为倒数的是（ ）
A． 和 B． 和
C． 和 4 D．以上三组都互为倒数
【答案】D
【分析】乘积是 1 的两个数互为倒数，据此解答即可．
【详解】解：，
，
，
由此得三组数的乘积都等于 1，所以三组数都互为倒数．
【变式17-1】（26-27六年级上·黑龙江大庆·阶段检测）的倒数是（ ）
A． B．4 C． D．25
【答案】B
【分析】根据倒数的定义：乘积是的两个数互为倒数，即可解答．
【详解】解：∵，，
∴的倒数是．
【变式17-2】（26-27七年级上·全国·课后作业）下列说法正确的是（ ）
A．互为倒数的两个数乘积是1 B．倒数等于它本身的数只有1
C．任何有理数都有倒数 D．绝对值最小的整数是1
【答案】A
【分析】根据倒数的定义，绝对值意义，逐项进行判断即可．
【详解】解：∵互为倒数的两数乘积为，
∴ A正确；
∵倒数等于自身的数为，
∴ B错误；
∵是有理数且没有倒数，
∴ C错误；
∵绝对值最小的整数是，
∴ D错误．
【变式17-3】．（26-27七年级上·山东青岛·阶段检测） 的倒数是______，相反数是______，绝对值是______．
【答案】
【详解】解： 的倒数是，相反数是，绝对值是．
【题型18】有理数的乘除混合运算
【例18】（26-27七年级上·河南信阳·阶段检测）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据有理数的加减法计算；
（2）先确定结果的符号，再按照顺序计算；
（3）根据乘法分配律计算即可；
（4）先将除法转化为乘法，再利用乘法分配律，最后算加减．
【详解】（1）解：原式
（2）解：原式
（3）解：原式
（4）解：原式
【变式18-1】（26-27七年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段检测）计算
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【详解】（1）解：
（2）解：
（3）解：
（4）解：
【变式18-2】（26-27七年级上·辽宁鞍山·阶段检测）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：；
（4）解：．
【变式18-3】（26-27七年级上·河南周口·阶段检测）解决下列问题：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【答案】(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
【分析】（1）去括号，从左到右依次计算．
（2）带分数化为假分数，除法转化为乘法，再约分．
（3）运用乘法分配律展开计算．
（4）带分数化为假分数，除法转化为乘法．
（5）逆用乘法分配律，提取公因数．
【详解】（1）解：，
，
．
（2）解：，
，
，
，
，
．
（3）解：，
，
，
．
（4）解：，
，
，
．
（5）解：，
，
，
，
．
【题型19】有理数乘除中的简便运算
【例19】（26-27七年级上·安徽芜湖·阶段检测）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据有理数加减法法则即可解答；
（2）利用乘法分配律简便运算即可解答．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【变式19-1】（26-27七年级上·河南南阳·阶段检测）阅读下面题目的运算过程，并解决下列问题．
解：原式①
②
③
④
⑤
(1)上述计算过程，在第________步开始出现错误，本题运算的正确结果是________；
(2)第①步的变形依据是________；（填选项）
A．加法交换律 B．乘法交换律 C．加法结合律 D．乘法结合律
(3)计算：．
【答案】(1)⑤；
(2)A
(3)
【详解】（1）解：原式①
②
③
④
⑤；
根据正确解题过程可得：⑤，；
（2）解：第①步的变形依据是加法交换律；
（3）解：
．
【变式19-2】（26-27七年级上·辽宁沈阳·阶段检测）简便运算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【变式19-3】（26-27七年级上·湖南长沙·阶段检测）计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）利用有理数加减法则，去括号后进行加减运算；
（2）先把小数化为分数，利用加法交换律、结合律分组简便计算；
（3）按照有理数混合运算顺序，先乘除，后加减；
（4）运用乘法分配律展开计算．
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
（3）解：原式
．
（4）解：原式
．
【题型20】有理数乘除法实际应用
【例20】（26-27七年级上·安徽·期中）近几年，全球新能源汽车发展迅猛，尤其是我国新能源汽车的产销量大幅度增加．小亮家新换了一辆新能源纯电动汽车，他连续记录了7天中每天行驶的路程（如下表）．以为标准，超过记为“”，不足记为“”，刚好记为“0”．
第一天
第二天
第三天
第四天
第五天
第六天
第七天
与标准路程的差值
0
(1)小亮家这7天行驶的路程最多的一天比最少的一天多 ；
(2)求出小亮家新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？
(3)已知汽油车每行驶需用汽油7升，汽油价元／升，而新能源汽车每行驶耗电量为15度，每度电为元，小亮家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省了多少钱？
【答案】(1)50千米
(2)400千米
(3)元
【分析】（1）用表格中记录数据最大的数减去表格中记录数据最小的数即可得到答案；
（2）把表格中记录数据相加，再加上七天标准路程即可得到答案；
（3）分别计算出汽油车和新能源汽车的费用，二者相减即可得到答案．
【详解】（1）解：
（千米），
∴小亮家这7天行驶的路程最多的一天比最少的一天多50千米；
（2）解：
（千米），
答：小亮家新能源汽车这七天一共行驶了400千米；
（3）解：油车的费用为（元），
新能源汽车的费用为（元），
（元），
答：小亮家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省了元．
【变式20-1】（26-27七年级上·江苏泰州·期中）泰州市某中学图书馆以每天借出册图书为标准，超过的册数记为正数，不足的册数记为负数．上周一至周五每天借出的图书册数与标准的差记录如下（单位：册）：
，，，，．
(1)上周五借出图书多少册？
(2)这五天平均每天借出图书多少册？
(3)上周一至周三共借出的图书比周四、周五共借出的多多少册？
【答案】(1)92册
(2)101册
(3)113册
【分析】（1）用标准借出册数100加上周五对应的记录数，即可求出周五借出图书册数．
（2）先算出5个记录数的平均数，再加上标准册数100，得到五天平均每天借出的册数．
（3）分别求出周一至周三、周四至周五借出图书的总册数，再作差求出多借出的册数．
【详解】（1）解：（册），
答：上周五借出图书92册．
（2）解：（册），
（册），
答：这五天平均每天借出图书101册．
（3）解：（册），
（册），
（册），
答：上周一至周三共借出的图书比周四、周五共借出的多113册．
【变式20-2】（25-26七年级上·河南周口·期中）小明和组员一起利用周末去观察记录某路公交车，他们主要统计相邻的A．红星联盟路口、B．义西小区、C．柏林南区、D．北新街小学四个站点．每站上下的乘客人数（用正数表示上车人数，用负数表示下车人数）如表所示：
已知红星联盟路口站的前一站出发时车上有10名乘客，他们设计的问题如下：
(1)请问该公交车从到达红星联盟路口站到离开北新街小学站时，共有多少名乘客下车？
(2)请问公交车行驶在红星联盟路口站与北新街小学站之间时，在哪两站之间车上的乘客最多？
(3)若每人乘坐这辆公交车需要刷卡2元（假设全部都是刷卡，没有老年卡与学生卡），则该公交车在这四个车站能收多少钱？
【答案】(1)共有20名乘客下车．
(2)在柏林南区站与北新街小学站之间车上的乘客最多．
(3)该公交车在这四个车站能收68元．
【分析】（1）计算四个站点下车人数的绝对值之和，得到总下车人数．
（2）逐站计算驶离后的乘客数量，对比各区间的乘客数得到最大值．
（3）先求出四个站点的总上车人数，再乘以单人次票价得到总收入．
【详解】（1）解：由表格得，四个站点的下车人数分别为、、、．
总下车人数为（名）．
答：共有20名乘客下车．
（2）解：∵红星联盟路口站的前一站出发时车上有10名乘客，相邻两站间无乘客上下．
∴到达红星联盟路口站时，车上有10名乘客．驶离红星联盟路口站时，车上人数为（名），即红星联盟路口站与义西小区站之间有12名乘客．
驶离义西小区站时，车上人数为（名），即义西小区站与柏林南区站之间有19名乘客．
驶离柏林南区站时，车上人数为（名），即柏林南区站与北新街小学站之间有20名乘客．
∵
∴在柏林南区站与北新街小学站之间车上的乘客最多．
（3）解：四个站点的总上车人数为（名）．
总收入为（元）．
答：该公交车在这四个车站能收68元．
【变式20-3】（26-27九年级上·河北邯郸·阶段检测）某冷库一天的冷冻食品进出记录如表（运进用正数表示，运出用负数表示）．
进出食品的质量（单位：吨）
4
3
进出次数
2
1
4
3
2
(1)这天冷库的冷冻食品的质量相比原来是增加了还是减少了？请说明理由．
(2)根据实际情况，不管运进还是运出每吨冷冻食品费用都是元。求这一天运进和运出冷冻食品的总运费．
【答案】(1)这天冷库的冷冻食品质量相比原来减少了．
计算当天进出食品的总质量变化：
（吨），
∵结果为负数，
∴总质量较原来减少5吨．
(2)元．
【分析】（1）利用各个进出的质量乘以对应的次数，再相加即可得到答案．
（2）先求运进运出的冷冻食品总质量的和，再乘以300即可求出总费用．
【详解】（1）略．
（2）解：运进运出的冷冻食品总质量：（吨），
总费用：（元），
∴一天运进运出冷冻食品的总运费元．
【题型21】算24点
【例21】（26-27七年级上·河北邯郸·阶段检测）有一种算“点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数只能用一次）进行加减乘除运算，可以添加括号使其结果等于．现有四个有理数：，，，，运用上述规则，下列算式中不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题意运用有理数运算法则计算即可．
【详解】解：选项，，符合题意．
选项，，不符合题意．
选项，，不符合题意．
选项，，不符合题意．
【变式21-1】（25-26七年级上·贵州贵阳·期中）你会玩“24点”游戏吗？从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算（每一张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号），使运算结果为24或，其中红色（红桃、方块）扑克牌代表负数，黑色（黑桃、梅花）扑克牌代表正数，J，Q，K，A分别代表11，12，13，1，小明抽到了黑桃7，黑桃3，梅花3，梅花7，他运用下面的方法凑成了24：．如果抽到的是黑桃A，方块2，黑桃2，黑桃3，请写出凑成24或的其中一种方法：____________________ ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查了“24点”．
先求出抽到的数据，再根据“24点”计算即可．
【详解】解：∵红色（红桃、方块）扑克牌代表负数，黑色（黑桃、梅花）扑克牌代表正数，A代表1，抽到的是黑桃A，方块2，黑桃2，黑桃3，
∴抽到的数据是1，，2，3，
则一种方法为：．
故答案为：．
【变式21-2】（25-26七年级上·安徽宿州·期中）根据如图所示的4张扑克牌上的点数进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号），使得运算结果为，可以列出综合算式是________．
【答案】
【分析】本题考查有理数的混合运算，弄清“24点”游戏规则是解本题的关键．利用“24点”游戏规则列出等式即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【变式21-3】（26-27七年级上·浙江嘉兴·阶段检测）小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题：
(1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，乘积的最大值为 ；
(2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，商的最小值为 ；
(3)从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24．写出运算式子．（写出一种即可）算24的式子为 ．
【答案】(1)；
(2)；
(3)（答案不唯一）
【详解】（1）解：乘积最大：；
（2）解：商最小：；
（3）解：略．
【题型22】有理数的乘方运算
【例22】（26-27七年级上·河北·期中）计算（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】本题考查了有理数的加法、有理数的乘法，根据个相加可表示为，m个相乘可以表示为，即可得解，熟练掌握运算法则是解题关键．
解： ．
【变式22-1】（25-26七年级上·江苏淮安·阶段检测）计算： _______．
【答案】0
【详解】解：．
【变式22-2】（26-27七年级上·江苏无锡·阶段检测）计算：＝_____．
【答案】
【详解】解： ．
【变式22-3】（26-27七年级上·重庆沙坪坝·阶段检测）用“”，“”或“”填空：________．
【答案】
【分析】先将两式化简，再通分比较分子的大小，最后根据负数比较大小绝对值大的反而小，即可得到答案．
【详解】解：化简得：，
通分得：，
∵，
∴，
∴．
【题型23】乘方的应用
【例23】（2026·河南周口·二模）我国古代《易经》中记载了“结绳记数”的方法．一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录孩子出生后的天数．若从右起第1位打结数为3，第2位为2，第3位为1，则孩子出生后的天数为______天．
【答案】38
【分析】由题意可知满五进一符合五进制计数规则，将各数位的打结数乘以对应数位的权重，再求和即可得到总天数．
【详解】解：根据满五进一的计数规则，从右起第位的权重为，因此总天数为：
天．
【变式23-1】（25-26七年级上·湖北宜昌·期末）进位制是一种记数方式，现在我们通常用的是十进制数，而计算机中常用的是逢二进一的二进制．二进制数可转为十进制数：例如：
．请把五进制数转为十进制数：___________．
【答案】
【分析】本题主要考查了有理数混合运算，进制转换，将五进制数转换为十进制数，需根据位值原理，将每位数字乘以5的相应次幂后求和，即可求解．
【详解】解：
故答案为：．
【变式23-2】（25-26九年级上·山东泰安·期末）将一根长绳对折再对折再对折，，连续对折次后，从对折后绳子的中间位置剪断则原来的绳子被截成了_____段．
【答案】
【分析】本题考查了有理数的乘方，根据有理数的乘方的定义得绳子连续对折次后，层数为层，沿对折后的绳子中间剪开，会在原绳子上产生个剪点，从而将绳子分成段，熟记乘方的定义是解题的关键．
【详解】解：由对折次后，层数为层，剪开时在原绳子上产生个剪点，
所以段数为：，
故答案为：．
【变式23-3】（25-26七年级上·广东惠州·期末）进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几，为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如，就是二进制数1011的简单写法，十进制一般不标注基数．不同进位制的数之间是能相互转换的，将二进制数1011转换为十进制的方法是：；将十进制数11转换为二进制可以用这样的方法：除二取余，倒序排列．即：将一个十进制数11除以2，得到的商再除以2，依此类推直到商等于1或0时为止，倒取除二产生的余数，就为换算为二进制数的结果．具体如下：
我们能看到十进制数11除以2得到的余数依次为1，1，0，1，倒序排列就是对应的二进制数1011，即．依照前面的方法，则十进制数，则括号内应填写的数是__________．
【答案】1000100
【分析】本题主要考查了数字变化的规律及有理数的混合运算，根据题中所给十进制数转化为二进制数的方法，进行计算即可．
【详解】解：由题知，
所以十进制数68转化为二进制数为：1000100，即．
故答案为：1000100．
【题型24】程序图与有理数的运算
【例24】（26-27七年级上·四川成都·期中）有一个数值转换器，其工作原理如图所示，若输入，则输出的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据数值转换器的工作原理计算即可求解．
【详解】解：当输入时，∵，
∴输出的结果是．
【变式24-1】（26-27七年级上·四川资阳·阶段检测）有一个数值转换器，其工作原理如图．若输入的值为，则输出的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据数值转换器的工作原理计算即可．
【详解】解：当，
，
，
，需重新输入计算，
当，
，
，
故输出的结果为．
【变式24-2】（26-27七年级上·广西桂林·阶段检测）按如图所示的程序进行运算，如果结果不大于10，就把结果作为输入的数再进行第二次运算，直到符合要求为止．当输入的数为5时，输出的数是________．
【答案】
【分析】根据程序流程图，将 代入计算，若结果不大于 则继续代入计算，直到结果大于 为止.
【详解】解：当输入 时，运算结果为 . ，
把 作为输入再次运算.
当输入 时，运算结果为 .
，
输出结果为 .
【变式24-3】（26-27七年级上·重庆江北·阶段检测）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，如图所示的程序框图，当输入时，则输出的数是________．
【答案】7
【分析】读懂程序框图的运算顺序：先减4，再乘，再加；判断计算结果是否大于3，大于3就输出，不大于3就把结果作为新输入值循环计算．
【详解】解：第一次输入
，
，满足条件，输出．
【题型25】科学记数法
【例25】（26-27七年级上·四川成都·期中）截至2024年底，我国高速公路通车总里程约为185000公里，用科学记数法表示185000公里为（ ）
A．公里 B．公里 C．公里 D．公里
【答案】A
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：∵，
∴用科学记数法表示185000公里为公里．
【变式25-1】（26-27七年级上·湖北恩施·期中）2026年五一假期，利川市共接待游客约1286000人次．将1286000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：．
【变式25-2】（26-27七年级上·甘肃临夏·期中）月日，由读者出版集团主办的“书城不夜，阅美凉州”——武威书展在凉州十八巷开展，汇集了多种共万册优秀图书以及多种文创产品，为当地读者奉上一场文化盛会．数据万用科学记数法可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】把万展开可得，再用科学记数法表示．
【详解】解：万.
【变式25-3】（26-27七年级上·江苏泰州·期中）地球到月球的平均距离约为，将384000000用科学记数法表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：．
【题型26】含乘方的有理数混合运算
【例26】（26-27七年级上·江苏常州·期中）计算题：
(1)；
(2)．
【答案】(1)36
(2)
【分析】（1）根据有理数混合运算运算法则进行计算即可；
（2）根据有理数混合运算运算法则进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【变式26-1】（26-27七年级上·吉林长春·期中）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据有理数的加减法则计算；
（2）根据有理数混合运算法则，按照乘方、绝对值、乘除、加减的顺序计算．
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
【变式26-2】（26-27七年级上·湖北恩施·期中）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)0
(2)
(3)
(4)14
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式；
（3）解：原式；
（4）解：原式．
【变式26-3】（26-27七年级上·内蒙古呼和浩特·期中）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)1
【详解】（1）解：原式．
（2）解：原式．
【题型一】有理数分类
【例1】（25-26七年级上·吉林长春·阶段检测）在5，，0.56，，，，，八个数中，正分数有（ ）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
【答案】C
【分析】本题考查的是有理数的分类，根据正分数的概念，逐一分析即可．
【详解】解：，
在5，，0.56，，，，，八个数中，正分数有0.56，，，，共计4个，
故选：C．
易错警示
1. 有效小数、无限循环小数、百分数都属于分数。
2. 非负数包含正数和零，非正整数包含负整数和零。
3.0既不是正数，也不是负数。
【变式1-1】（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）在1.3，，5，0，0.39，，，中，非负整数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类方式是解答本题的关键．有理数可分为整数和分数，整数分正整数，零和负整数；分数分正分数和负分数．
根据非负整数包括零和正整数求解即可．
【详解】解：5，0是非负整数；
1.3，，0.39，，是分数；
是负整数．
故选B．
【变式1-2】（26-27七年级上·云南昆明·阶段检测）下列关于“”的说法正确的个数是（ ）
①是正数与负数的分界；②只表示什么也没有；③表示没有温度；④既不是正数，也不是负数；⑤是自然数
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：①：0是正数与负数的分界，正确；
②和③：0不仅可表示“什么也没有”，还可表示具体实际意义；表示冰水混合物的温度，故②③错误；
④：0既不是正数，也不是负数，正确；
⑤：0是自然数，正确；
综上，正确的说法共3个．
【题型二】多重符号化简
【例2】（26-27七年级上·四川成都·期中）在下列各数中：0，，，，，3.14，，非负数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【详解】解：，，
非负数包括0和正数，则符合条件的数有0，，3.14，共3个．
易错警示
1. 多层括号符号数错，只看括号个数，忽略正负号规律。
2. 有绝对值的，先化简绝对值，再看负号的个数。
【变式2-1】（26-27七年级上·河南驻马店·阶段检测）化简的结果是（ ）
A． B．2026 C． D．
【答案】A
【分析】根据去括号法则逐步化简．
【详解】解：．
【变式2-2】（26-27七年级上·河南信阳·阶段检测）下列各组数中，结果互为相反数的是（ ）．
A．与 B．与 C．与 D．与
【答案】B
【分析】各选项中的数带有多重符号或绝对值，需先化简后再根据相反数的定义判断是否互为相反数即可．
【详解】解：选项：，与不互为相反数，故选项不符合题意；
选项：，，两数互为相反数，故选项符合题意；
选项：，，两数相等，不互为相反数，故选项不符合题意；
选项：，，两数相等，不互为相反数，故选项不符合题意．
【题型三】根据绝对值性质求解时易漏负解
【例3】（26-27七年级上·江苏盐城·阶段检测）绝对值大于2而小于或等于5的整数有___________________
【答案】
，，，，，
【分析】利用绝对值的意义解答即可．
【详解】解：∵ 待求整数满足，
∴或4或5，
∴或或，
∴绝对值大于2而小于或等于5的整数有3，，4，，5，．
易错警示
指的是表示数的点到原点的距离，除了正数外，负数不能漏掉。
【变式3-1】（26-27七年级上·重庆沙坪坝·阶段检测）绝对值小于的非负整数有__________个．
【答案】
【分析】先根据绝对值的定义找出所有绝对值小于的整数，再根据非负整数的定义筛选出符合条件的数，统计个数即可．
【详解】解：根据绝对值的定义，绝对值小于的整数有，，，，，，，
∵非负整数包括和正整数，
∴符合条件的非负整数为，，，，共个．
【变式3-2】（25-26七年级上·内蒙古包头·期中）写出一个绝对值小于的整数____________．
【答案】，，，，（写出其中一个即可）
【分析】本题考查了整数和绝对值，熟练掌握绝对值的性质是解题关键．根据绝对值的性质可得所有符合条件的整数，由此即可得答案．
【详解】解：绝对值小于的整数有：，，，，．
故答案为：，，，，（写出其中一个即可）．
【题型四】非负数“0+0”模型
【例4】（25-26七年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知，则的值为________．
【答案】
【分析】本题主要考查了代数式求值，掌握整体代入思想是解题的关键．
根据非负数的性质，绝对值和平方项均非负，它们的和为零，则每项为零，从而求出和的值．
【详解】解： ，，且，
且，
由，得，即，
由，得，即，
；
故答案为．
易错警示
几项相加等于0，只令其中一项等于0，几个非负数相加为0，每一项单独等于0。
【变式4-1】（25-26七年级上·宁夏银川·期末）2025年是中华人民共和国成立76周年（也是中华全国总工会成立100周年），已知若，为有理数，则______
【答案】124
【分析】该题考查了非负数的性质，代数式求值，利用非负数的性质，绝对值和平方数均为非负数，它们的和为零则每个部分均为零，从而求出x和y的值，再代入求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
解得：，
则．
故答案为：124．
【变式4-2】（25-26七年级上·内蒙古包头·阶段检测）已知，求和的值．
【答案】，5
【分析】本题主要考查了绝对值的非负性，熟练掌握“几个非负数的和为，则每个非负数都为”是解题的关键．
利用绝对值的非负性，两个非负数相加为，则每个非负数都为，求出、的值，再代入计算和−．
【详解】解：∵，，
且，
∴，，
∴，，
∴，．
【题型五】有理数的大小比较
【例5】（26-27七年级上·湖北恩施·期中）下列各数中，最小的数是（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】B
【详解】解：，，
∵，
∴．
易错警示
1. 负数比较：绝对值越大，数值越小。
2. 多个数排序：包含负分数、小数、乘方结果。
【变式5-1】（26-27七年级上·山东菏泽·阶段检测）四个数，，0，中，最小的数是__________．
【答案】
【分析】先化简含绝对值的数，再依据有理数大小比较规则排序，定位最小的数.
【详解】解：∵
∴待比较的四个数为，，，
先比较两个负数的大小，计算两数的绝对值：，
∵
∴两个负数比较时，绝对值大的数更小，可得
结合有理数大小的基本性质：负数小于0，0小于正数，可得四个数的完整大小关系为
因此最小的数为.
【变式5-2】（26-27七年级上·广东佛山·阶段检测）比较大小：________．（填“”“”或“”）
【答案】
【详解】解：∵，，且，
∴．
【题型六】数轴化简绝对值
【例6】（25-26七年级下·贵州黔南·期中）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意得到，结合绝对值的性质化简，整式的加减运算法则计算即可．
【详解】解：根据数轴得到，，
∴．
易错警示
先判断绝对值内部正负，再去绝对值符号。
【变式6-1】（25-26七年级上·四川成都·期末）在数轴上，数对应的点的位置如图所示，已知，则化简的结果是__________．
【答案】
【分析】本题主要考查数轴上的点表示的数以及绝对值，整式的加减运算，熟练掌握数轴上的点表示的数以及绝对值是解决本题的关键．由数轴可知：，得，，进而解决此题．
【详解】解：由数轴可知：，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴
，
故答案为：．
【变式6-2】（26-27七年级上·四川宜宾·阶段检测）有理数、、在数轴上的位置如图：
(1)根据数轴化简：
①______；②_____；③_____；④_____．
(2)若，，，求的值．
【答案】(1)①；②；③；④
(2)
【分析】（1）根据数轴判断、、的正负与大小，再判断绝对值内代数式的正负进行化简；
（2）根据数轴求出、、的具体数值，再代入式子计算．
【详解】（1）解：① ，
；
② ，
，
；
③ ，
，
；
④ ，且，
，
．
（2）解：已知，
，则，
，则，
，则，
∴．
【题型七】乘法分配律容易漏乘
【例7】（26-27七年级上·四川成都·期中）计算:
【答案】3
【详解】解：原式
易错警示
利用乘法分配律进行计算时，不能漏乘。
【变式7-1】（26-27七年级上·福建泉州·阶段检测）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【变式7-2】（26-27七年级上·广西桂林·阶段检测）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：
（2）解：
【题型八】除法没有分配律
【例8】（26-27七年级上·安徽阜阳·阶段检测）阅读下面解题过程：
计算：．
解： ，
．
根据阅读材料，完成下面的问题：
(1)若，，则、的关系为______（选填字母）；
A．绝对值相等 B．互为倒数 C．互为相反数 D．以上都不对
(2)计算：．
【答案】(1)B
(2)
【分析】（1）根据即可判断；
（2）先计算出，根据倒数的定义可以得到的值．
【详解】（1）解：，即，
、互为倒数；
（2）解：
，
．
易错警示
除法不能用分配律，只有乘法分配律。
【变式8-1】（26-27七年级上·河北沧州·阶段检测）数学老师为了优化同学们的运算思维，提高数学运算能力，复习有理数综合运算时，布置了一道有意思的计算题：请用不同解法计算．
刘聪和他的小伙伴选择常规解法：
；
张明开动脑筋，经过观察算式特点，和同学们深入分析、探究，又找到了下面这种解法：
原式的倒数．
所以，原式．
请比较刘聪和张明两位同学的解法，选择你喜欢的解法计算：．
【答案】
【详解】解：选择刘聪的解法计算：
；
选择张明的解法计算：
原式的倒数
，
所以，原式．
【变式8-2】（26-27七年级上·山东枣庄·阶段检测）小明在做有理数运算练习时，遇到了这样一道题：
计算：．
小明仔细观察后发现，把算式分成两部分：和．
这两部分之间有一种特殊的关系，利用这个关系可以不用分别算出两个复杂除法就能得到答案．
探究：
(1)先算出括号里面的结果：__________；
(2)根据（1）中的结果，直接求出两部分的结果，并写出两部分之间有什么特殊关系；
(3)利用（2）中发现的特殊关系计算：．
【答案】(1)
(2)两部分结果分别为和，两部分互为倒数（乘积为）
(3)
【分析】（1）根据有理数的运算进行求解即可；
（2）根据有理数的除法运算进行求解即可；
（3）由（2）中结论进行求解即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：由（1）可知：，；
∴两部分结果分别为和，两部分互为倒数（乘积为）；
（3）解：∵，
∴由（2）中结论可知：
．
【题型九】乘方底数容易出错
【例9】（26-27七年级上·吉林长春·期中）对于式子，下列说法正确的是（ ）
A．底数是 B．指数是 C．底数是 D．表示个相乘
【答案】C
【分析】抓住无括号的特点，明确负号不属于乘方的底数，结合乘方概念判断．
【详解】解：∵ 表示的相反数，
∴ 该式的底数为4，指数为3．
A选项底数错误，B选项指数错误，D选项对应的意义，均错误，C选项正确．
易错警示
的底数为，的底数为，的底数为，底数为．
【变式9-1】（26-27七年级上·四川资阳·阶段检测）表示的意义是（ ）
A．2个6相乘的相反数 B．6个2相乘
C．6个2相乘的相反数 D．6个相乘
【答案】D
【分析】根据乘方定义进行判断即可．
【详解】解：的底数是，指数是，表示6个相乘．
【变式9-2】（26-27七年级上·广西南宁·期中）下列对于式子的说法，正确的是（ ）
A．指数是2 B．底数是2
C．结果是6 D．表示2个3相乘
【答案】B
【详解】解：∵ 中，底数为2，指数为3，
∴ A错误，B正确；
∵ 表示3个2相乘，计算得，
∴ C、D错误．
【题型十】整点覆盖问题
【例10】（26-27七年级上·山东聊城·阶段检测）数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度为，若在数轴上随意画出一条长的线段，则线段盖住的整点个数为（ ）
A．2025或2026 B．2026或2027 C．2024或2025 D．2027或2028
【答案】B
【分析】分类讨论：①当线段的端点在整点时，②当线段的端点不在整点时，逐个分析求解即可．
【详解】解：①当线段的端点在整点时，盖住的整点个数为个．
②当线段的端点不在整点时，盖住的整点个数为个，
∴线段盖住的整点个数为2026或2027．
易错警示
1.忽略“端点是否对齐整数”这个前提，题目大多不给端点位置，答案两个都要写。
2.如果长度本身是小数（如2.6），不管端点在哪，最多盖住3个，最少盖住2个。
3.已知盖住整点个数，求线段长度范围容易出错。
【变式10-1】（25-26七年级上·河北石家庄·阶段检测）数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度为，若在数轴上画出一条长的线段，则盖住的整点个数是（ ）
A．2023或2024 B．2022或2023 C．2024 D．2023
【答案】A
【分析】本题考查了数轴上线段与整点的数量关系，解题的关键是分线段端点是否落在整点上两种情况讨论，避免遗漏其中一种可能性．
当线段的两个端点均在整点上时，盖住的整点个数等于线段长度加1；当线段的两个端点均不在整点上时，盖住的整点个数等于线段长度；结合线段长为，可得出盖住的整点个数为2023或2024．
【详解】解：分两种情况讨论线段与整点的位置关系：
情况一：若线段的两个端点均落在整点上．
∵数轴单位长度为，线段长，
∴盖住的整点个数为线段长度加，即；
情况二：若线段的两个端点均不落在整点上．
∵端点在两个整点之间，线段长度为，
∴盖住的整点个数等于线段长度，即2023．
综上，线段盖住的整点个数是2023或2024，
故选：A．
【变式10-2】（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）有一条个单位长的线段，把它放在刻度尺上，最多能覆盖个整数，最少能覆盖个整数，则_____．
【答案】9
【分析】本题考查了数轴．分不从整数开始覆盖和从整数开始覆盖两种情况讨论．
【详解】解：不从整数开始覆盖最少能覆盖4个表示整数的点，即，
从整数开始覆盖最多能覆盖5个表示整数的点，即．
所以．
故答案为：9．
【题型一】分类讨论去绝对值
【例1】（25-26七年级上·安徽亳州·阶段检测）阅读材料即当时，；当时，，用这个结论解决下列问题：
(1)已知数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则________；
(2)已知a，b是有理数，当时， _________；
(3)若，则_________．
【答案】(1)
(2)或
(3)或
【分析】（1）由数轴得，再结合题干所给材料计算即可得出结果；
（2）由题意可得，同号，再分两种情况，结合题干所给材料计算即可得出结果；
（3）由题意可得，，全为正数或其中两个为负数，一个为正数，再分两种情况，结合题干所给材料计算即可得出结果．
【详解】（1）解：由数轴得，，
∴；
（2）解：∵a，b是有理数，，
∴，同号，
当，时，，
当，时，；
综上所述，或
（3）解：∵，
∴，，全为正数或其中两个为负数，一个为正数，
当，，全为正数时，，
当，，其中两个为负数，一个为正数时，不妨设，，，则，
综上所述，或．
【变式1-1】下列说法正确的是______（填写序号）
①若，则．②若、互为相反数，且，则③若，则关于方程的解为．④若三个有理数、、满足，则
【答案】①②③
【分析】根据绝对值的意义解方程可判断①；根据相反数的定义得到可判断②；根据方程的解的意义可判断③；根据绝对值的意义可判断④，进而可得答案．
【详解】解：①当时，方程可化为，解得；
当时，方程可化为，解得，故舍去，
故若，则，①正确；
②若、互为相反数，且，则，
∴，故②正确；
③∵，
∴，
∵关于的方程，
∴，
∴关于的方程的解为，
故③正确；
④若三个有理数、、满足，则、、中一定是两负一正，不妨设，，，
当时，，，则；
当时，，，则，
综上，或1，故④错误，
综上，说法正确的是①②③，
故答案为：①②③．
【变式1-2】（25-26七年级上·宁夏银川·期末）“分类讨论”是解决数学问题的一种重要思想方法，下面是运用“分类讨论”的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的“探究”．
【知识背景】
当时，；当时，；当时，．
【解决问题】
（1）当时， ，当时， ．
（2）如果有理数a、b满足时，则 ．
【类比探究】
三个有理数a、b、c满足，求的值．
【答案】解决问题：（1）1；；（2）0；类比探究：0或
【分析】本题考查了绝对值的性质及分类讨论的数学思想，分类讨论是解题的关键．
解决问题：（1）根据绝对值的意义进行化简即可；
（2）根据得出a、b异号，即，或，，分别代入求出结果即可；
类比探究：分两种情况，根据绝对值的性质去掉绝对值符号，再进行计算即可．
【详解】解：解决问题：（1）当时，，
当时，；
（2）∵，
∴，或，，
当，时，；
当，时，；
综上，当时，；
类比探究：，
∴a、b、c中有1个负数或三个都是负数，
当a、 b、c中有一个负数，两个正数时，不妨设，
则，
当a、 b、c均为负数时，不妨设，
则，
综上，的值为0或．
【变式1-3】（26-27七年级·全国）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题．
【提出问题】三个有理数a，b，c满足，求的值．
【解决问题】解：由题意得，a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．
①若a，b，c都是正数，即，，时，则；
②若a，b，c中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，，
，
综上所述，的值为3或．
【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题：
(1)三个有理数a，b，c满足，求的值；
(2)若a，b，c为三个不为0的有理数，且，求的值．
【答案】(1)或1
(2)
【分析】（1）根据有理数乘法运算法则判断a，b，c的符号，然后根据绝对值的意义进行化简，注意分情况讨论；
（2）由题意得，a，b，c中有2个负数，1个正数，则，利用绝对值的意义可得结论．
【详解】（1）解：由题意得，a，b，c三个有理数都为负数或其中一个为负数，另两个为正数．
①若a，b，c都是负数，即，，时，
；
②若a，b，c中有一个为负数，另两个为正数时，
不妨设，，，
则，
综上所述，的值为或1；
（2）解：∵a，b，c为三个不为0的有理数，且，
∴a，b，c有2个负数，1个正数，
∴，
∴．
【题型二】数轴折叠问题
【例2】（25-26六年级上·全国·期中）如图所示的数轴中，点A表示1，点B表示，试回答下列问题．
(1)A，B两点之间的距离是_________．
(2)观察数轴，与点A的距离为5的点表示的数是_________．
(3)若将数轴折叠，使点A与表示的点重合，则点B与表示数_________的点重合．
(4)若数轴上M，N两点之间的距离为2024（点M在点N的左侧），且M，N两点经过（3）中折叠后互相重合，则M，N两点表示的数分别是_________和_________．
【答案】(1)3
(2)6或
(3)0
(4)；1011
【分析】本题考查了数轴的相关知识，解答此题的关键是利用了数轴上两点间的距离，注意分类讨论思想与数形结合思想的应用．
（1） 根据两点间的距离公式即可得到结论；
（2）分所求在点A的左边和右边两种情况解答；
（3）设点B对应的数是x，然后根据中心对称列式计算即可得解；
（4）根据中点的定义求出的一半，然后分别列式计算即可得解．
【详解】（1）解：A、B之间的距离是；
故答案为：3；
（2）解：观察数轴可知：点A表示的数为1，
∴与点A的距离为5的点表示的数是或6；
故答案为：或6；
（3）解：∵点A表示的数1与表示的点重合，
∴对称点是表示的点，
设与点B重合的点对应的数是x，
则，
解得，
∴点B与表示数0的点重合；
故答案为：0；
（4）解：∵M、N两点之间的距离为2024且互相重合，
∴=，
∵由(3)知对称点为，
∴点M表示的数为，点N表示的数为；
故答案为，．
【变式2-1】（26-27七年级上·四川成都·阶段检测）在数轴上剪下长为8个单位长度（从到5）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）．若这三条线段的长度之比为，请直接写出折痕处对应的点可能表示的数________．
【答案】或或
【分析】先根据比例算出三条线段的长度分别为、、，再采取三种排列顺序依次找出三条线段，又因为是折叠剪开，所以找出中间那一段的中点就是折痕处所对应的点．
【详解】解：设三条线段的长度分别为、、，
由题意得，解得，
所以三条线段的长度分别为、、，
∵原线段范围：数轴从到，折叠后剪一刀，得到三段线段，
∴三段线段排列顺序有 种情况：①，，；②，，；③，，；
设折痕处对应的点为，根据折叠性质，折痕点必为其中一条线段的中点．
情况①：三段线段依次为，，，
起点为，第一段为：，第二段为：，第三段为：
∴折痕是中间线段的中点：．
情况②：三段线段依次为，，；
起点为，第一段为：，第二段为：，第三段为：
∴折痕是中间线段的中点：．
情况③：三段线段依次为，，；
起点为，第一段为：，第二段为：，第三段为：
∴折痕是中间线段的中点：．
综上可得，折痕处对应的点可能表示的数为或或．
【变式2-2】（24-25七年级上·江苏扬州·阶段检测）已知在纸面上有一个数轴（如图），折叠纸面．
(1)若表示的点与表示1的点重合，则表示3的点与表示 的点重合；
(2)若表示1的点与表示的点重合，回答下列问题：
①表示0的点与表示 的点重合；
②若数轴上、两点之间的距离为8，在的左侧），且、两点经折叠后重合，求、两点表示的数多少？
【答案】(1)
(2)①；②，
【分析】此题考查数轴上的点和数之间的对应关系，结合数轴，找到折痕是解决问题的关键．
（1）根据对称的知识，若表示的点与1表示的点重合，则折痕是原点，从而找到3的对称点；
（2）由表示1的点与表示的点重合，可确定折痕是表示的点，则：
①表示0的点与表示的点重合；
②由题意可得、两点距离折痕的距离为4，据此求解．
【详解】（1）解：表示的点与1表示的点重合，
折痕在原点处，
表示3的点与表示的点重合，
故答案为：；
（2）解：①表示1的点与表示的点重合，
折痕在处，
表示0的点与表示的点重合，
故答案为：；
②若数轴上、两点之间的距离为在的左侧），
则点表示的数是，
点表示的数是．
所以、两点表示的数分别是，2．
【变式2-3】（25-26七年级上·江苏淮安·期中）【定义】已知点是线段上的一个分点，若点到线段两个端点的距离之比为时，则称点为线段的“理想点”．例如，图1中，点表示的数分别为1，2，4，此时点为线段的“理想点”．如图2，分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为80．
(1)则点之间的距离为___________；
(2)求线段的“理想点”所对应的数；
(3)现将一纸条如图3放置在数轴上，再沿纸条上的某处折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条纸条，若这三条纸条的长度之比为，然后把纸条复原，请计算说明折痕处对应的点在数轴上所表示的数是多少？
【答案】(1)90
(2)所对应的数是20或50；
(3)折痕处对应的点在数轴上所表示的数是17或35或53．
【分析】本题考查数轴两点之间的距离和翻折问题，理解题意，分类讨论是解题的关键．
（1）根据数轴上两点之间的距离定义求解即可．
（2）根据“理想点”定义及到、距离的比例关系，分情况讨论对应数轴上的数即可．
（3）由线段总长度及三条纸条的长度之比，可得三条线段的长度，再分情况讨论即可．
【详解】（1）解：∵点对应的数为，点对应的数为80，
∴，
∴点之间的距离是90；
故答案为：90；
（2）解：∵，点到线段两个端点的距离之比为，
当时，，
∵点对应的数为，
∴所对应的数为20；
当时，，
∵点对应的数为，
∴所对应的数为50；
∴线段的“理想点”所对应的数是20或50；
（3）解：∵三条纸条的长度之比为，，
∴，
∴三条纸条的长度为18，18，54，
①当从到三条纸条的长度为18，18，54，如图：
则折痕到的长度是，
∵点对应的数为，
∴痕处对应的点在数轴上所表示的数是；
②当从到三条纸条的长度为18，54，18，如图：
则折痕到的长度是，
∵点对应的数为，
∴痕处对应的点在数轴上所表示的数是；
③当从到三条纸条的长度为54，18，18，如图：
则折痕到的长度是，
∵点对应的数为，
∴痕处对应的点在数轴上所表示的数是；
综上所述，折痕处对应的点在数轴上所表示的数是17或35或53．
【题型三】数轴动点问题
【例3】（25-26七年级上·浙江温州·期中）如图1，已知数轴上点表示的数为，点表示的数为，且满足．是数轴上的一个动点，点到点的距离表示为，点到点的距离表示为．
(1)________，________；
(2)当时，求点所表示的数；
(3)如图2，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，动点从点出发，以与点相同的速度沿数轴向左运动．
①若运动时间均为，用代数式表示，之间的距离；
②若点，之间的距离是点，之间距离的2倍，求此时运动时间的值．
【答案】(1)，10
(2)1或4
(3)①；②6或10
【分析】本题主要结合数轴考查动点问题，一元一次方程的应用，掌握数轴的知识和行程问题的解法是解题的关键．
（1）根据绝对值和偶次方的非负性求解即可．
（2）设点表示的数为，根据，得出点在，两点之间，则，．当时，列出方程，当时，列出方程，求解即可．
（3）①点表示的数是，点表示的数为，即可得出．
②当在的左侧时，列出方程，当在的右侧时，列出方程，求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
故答案为：，10．
（2）解：设点表示的数为，
因，则点在，两点之间，
所以，．
当时，，解得：；
当时，，解得：．
综上，点表示的数为1或4．
（3）解：①点表示的数是，点表示的数为，
．（如写“或”也可）
②当在的左侧时，，解得：；
当在的右侧时，，解得：．
即此时运动时间的值为6或10．
【变式3-1】（24-25七年级上·陕西安康·期末）如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，且a，b满足．动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒．
(1)填空： ， ．
(2)若，求t的值．
(3)动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向运动．点P，Q同时运动，是否存在某一时刻t，使得B，P，Q三点中，有一点恰好是另外两点所连线段的中点？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；9
(2)
(3)存在；或4或10
【分析】（1）根据题意计算即可．
（2）分别表示出，，根据提议列出方程求解即可．
（3）分三种情况讨论：①若B为中点，②若B为中点，③若B为中点，解方程即可．
本题考查了一元一次方程的应用、数轴、偶次方及绝对值的非负性，解题的关键是：（1）利用绝对值及偶次方的非负性，求出a，b的值；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（3）分B为中点，B为中点，B为中点，三种情况，列出关于t的一元一次方程．
【详解】（1）∵
∴，，
∴，．
（2）
①当P在A，B中间时，
，，
根据题意可得：，
解得：．
②当P在B的右边时，
，，
根据题意可得：，
解得：（舍去）
综上所述，t的值为．
（3）分三种情况讨论：①若B为中点，则，
解得：．
②若B为中点，则，
解得：．
③若B为中点，则，
解得：．
综上所述，存在三个时刻使得B，P，Q三点中，有一点恰好是另外两点所连线段的中点，分别为，，．
【变式3-2】（25-26七年级上·山东济南·期中）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完美地结合．研究数轴我们发现了很多重要的规律．如数轴上点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，则A，B两点之间的距离表示为．
【综合运用】已知点A，B，C为数轴上三个点，表示的数分别是，14，8．
(1)点与点的距离是__________；
(2)若动点从点出发沿数轴正方向运动，动点同时从点出发也沿数轴正方向运动，点的速度是每秒3个单位长度，点的速度是每秒2个单位长度．设运动的时间为秒．
①用含的式子表示：秒后，点表示的数为_______；
②当时，求的值．
(3)在（2）的条件下，P，Q出发的同时，动点从点出发沿数轴正方向运动，速度为每秒5个单位长度，点追上点后立即返回沿数轴负方向运动．求点追上点后再经过几秒，？
【答案】(1)24
(2)①；②或5
(3)秒或秒
【分析】（1）根据点A，B表示的数分别是，14和A，B两点之间的距离公式即可解答；
（2）①根据题意直接列出代数式即可；②由，结合两点间的距离公式即可得到关于的方程，求解即可；
（3）点未追上点时，表示出点表示的数，根据点追上点时，点，表示的数相同，可求出运动的时间和此时点表示的数，从而可求出点返回沿负方向运动时所表示的数，根据两点间的距离公式，根据可列出方程，求解即可．
【详解】（1）解：点A，B表示的数分别是，14，
点与点的距离是，
故答案为：；
（2）解：①动点从点出发沿数轴正方向运动，点的速度是每秒3个单位长度，
秒后，点表示的数为；
②当时，，
，解得或5．
（3）解：点未追上点时，点表示的数为，
当点追上点时，，解得，
即当它们运动2秒时，点追上点，
此时点M、Q表示的数为，P表示的数为，
点追上点后立即返回沿数轴负方向运动，设从这一刻开始运动时间为，
点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，
，
当时，，，
解得或，
点追上点后再经过秒或秒，．
【变式3-3】（25-26七年级上·重庆·期中）一个点从数轴的原点开始，先向左移动3个单位到达A点，再向右移动7个单位到达C点；接着将数轴折叠，使点A和点C重合，折点记为B；最后将数轴展开．
(1)直接写出A，B，C三点所表示的数；
(2)动点P从点C出发，以每秒个单位长度向左运动；动点Q，M分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度从A，B两点同时出发，向右运动．记Q与M两点之间的距离为，M与P两点之间的距离为．
①求何时M与Q相距1个单位长度；
②在P，Q，M三个点运动的过程中，是否存在有理数m，使的值始终保持不变，若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)A点表示的数为；B点表示的数为，C点表示的数为4
(2)①秒或秒；
②不存在，理由：
设运动时间为t秒，则Q点表示的数为，M点表示的数为，P点表示的数为，
∴，，
∴当时，
，
当，即时，的值始终保持不变，
此时；
当时，
，
当，即时，的值始终保持不变，
此时；
当时，
，
当，即时，的值始终保持不变，
此时；
∴不存在一个有理数m，使的值始终保持不变．
【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，数轴上的点表示数，数轴上的翻折等知识点，解决此题的关键是读懂题意用式子表示出每个点．
（1）根据数轴上的点的移动左减右加的规律得到A、C两点表示的数，再根据数轴折叠的性质可知点B表示的数即为A、C两点的中点，即可解答；
（2）①设运动时间为t秒，则Q点表示的数为，M点表示的数为，再根据数轴上两点间的距离的公式，列出方程解答即可；
②同①分别表示出和，再根据题意列出整式，然后根据项无关得到结果进行对比即可得到答案．
【详解】（1）解：∵点从数轴原点开始，向左移动3个单位到达A点，
∴A点表示的数为，
∵再向右移7个单位到达C点，
∴C点表示的数为，
∴A、C两点间距离为7，
∵将数轴折叠，使点A和点C重合，折点记为B，
∴B点表示的数为；
（2）解：①设运动时间为t秒，则Q点表示的数为，M点表示的数为，
∴，
∵M与Q相距1个单位长度，
∴，即或，
解得或，
∴当运动时间为秒或秒时，M与Q相距1个单位长度；
②略
【题型四】有理数的简便运算
【例4】（26-27六年级上·山东烟台·阶段检测）某初中数学小组学完有理数加法章节后，对一道试题展开了讨论，请你仔细阅读并完成任务．
试题：计算：．
小明：对于这道试题我采用直接运算方法，从左到右先写成省略括号和加号的形式，之后……
小亮：对于这类计算，我发现了一种拆项法．以这道试题为例：
原式
＝________
＝……
小明：这种方法很有趣，值得推荐．
……
任务：
(1)请你帮助小明把原式写成省略括号和加号的形式_____；
(2)题干中横线上空缺的计算结果是_____；
(3)按小亮的方法计算：．
【答案】(1)
(2)0
(3)
【分析】（1）根据加法法则，省略掉括号即可；
（2）根据有理数的加法法则进行计算即可；
（3）将带分数化为整数和真分数的和的形式，利用交换律和结合律进行计算即可．
【详解】（1）解：．
（2）解：原式
0
（3）解：
【变式4-1】（25-26七年级上·江西南昌·阶段检测）探究有规律分数的求和方法——裂项相消应用
【规律探寻】
观察一组数，，，，，…，尝试分析其规律并解决相关问题．
（1）根据规律，第8个数是______，是第______个数；
（2）我们知道：，，，…，那么：用含有n的式子表示你发现的规律______；
【方法应用】
．这种方法叫“裂项相消”，构造只有符号不同的中间项，将其全部消掉．
（3）运用上述经验完成下面的计算：．
【答案】（1）；；（2）；（3）
【分析】本题考查了数字类规律探索，有理数四则混合运算，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．
（1）将分母写成两个连续整数的积的形式即可找出规律；
（2）从前面几个式子中找出规律，用n表示即可；
（3）利用拆项求求解．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
…
第8个数：；
是第个数，
故答案为：；．
（2）我们知道：，，，…，那么：用含有n的式子表示你发现的规律：，
故答案为：．
（3）
．
【变式4-2】（26-27七年级上·河南南阳·阶段检测）阅读下面题目的运算过程，并解决下列问题．
解：原式①
②
③
④
⑤
(1)上述计算过程，在第________步开始出现错误，本题运算的正确结果是________；
(2)第①步的变形依据是________；（填选项）
A．加法交换律 B．乘法交换律 C．加法结合律 D．乘法结合律
(3)计算：．
【答案】(1)⑤；
(2)A
(3)
【详解】（1）解：原式①
②
③
④
⑤；
根据正确解题过程可得：⑤，；
（2）解：第①步的变形依据是加法交换律；
（3）解：
．
【变式4-3】（26-27七年级上·四川成都·阶段检测）老师为了强化同学们的运算思维，提高数学运算能力，布置了一道有意思的计算题，鼓励大家用不同的方法计算．以下是三名同学的计算过程．
甲：原式．
乙：原式．
丙：原式的倒数，所以原式．
(1)比较他们的做法，其中_______的做法是错误的．
(2)选择合适的方法计算：．
(3)求:的值．
【答案】(1)甲
(2)
(3)
【分析】（1）根据题目中的三种解法，可以发现方法一是错误的；
（2）根据题目中的解答方法，可以计算出所求式子的值；
（3）利用（2）的计算结果计算即可．
【详解】（1）解：根据题目中的解答方法，可知甲的做法是错误的；
（2）解：原式的倒数
，
故；
（3）解：由（2）知，，，
∴
．
【题型五】规律问题
【例5】（25-26七年级上·湖南·期末）正方形在数轴上的位置如图所示，点A，D表示的数分别为 和，若正方形绕着顶点按顺时针方向在数轴上连续无滑动翻转，则在数轴上与数2026对应的是（ ）
A．点D B．点C C．点B D．点A
【答案】D
【分析】本题考查了用点来表示数轴上的有理数，规律探究，正确理解正方形转动的规律是解题的关键．利用已知，找到循环规律，然后看对应的数2026的是谁即可．
【详解】解：正方形在数轴上点对应的数分别为，
正方形的边长为1，
转动时点对应的数依次为；
点对应的数依次是
点对应的数依次是
点对应的数依次是
，
2026对应的是第507次循环后的点．
故选：.
【变式5-1】（25-26七年级上·江苏镇江·期末）如图，把周长为3个单位长度的圆放到数轴（单位长度为1）上，三点将圆三等分，将点与数轴上表示1的点重合，然后将圆沿着数轴正方向滚动，依次为点与数轴上表示2的点重合，点与数轴上表示3的点重合，点与数轴上表示4的点重合，…若当圆停止运动时点正好落到数轴上，则点对应的数轴上的数可能为（ ）
A．2026 B．2025 C．2024 D．2023
【答案】C
【分析】本题主要考查数轴，以及找规律问题，找到圆的滚动规律是解题的关键．根据圆的滚动规律可知3次一个循环，将各选项中的数字除以3，根据余数可判定求解．
【详解】解：由题意得：圆沿着数轴正方向滚动一次按点，点，点的顺序排列，
即圆的滚动规律为3次一个循环，则：
，此时点正好落在数轴上；
，所以此时点正好落在数轴上；
，所以此时点正好落在数轴上；
，所以此时点正好落在数轴上；
点对应的数轴上的数可能为2024．
故选：C．
【变式5-2】（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）正六边形在数轴上的位置如图所示，点和对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点逆时针方向在数轴上向左连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为．按此规律继续翻转下去，数轴上所对应的顶点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查正六边形在数轴上的翻转规律探究，关键是找出向左翻转顶点的循环规律．首先根据已知条件列举前几次翻转顶点对应的负数，发现每6个为一个循环，循环内顶点依次为、、、、、；再通过计算除以的余数，结合循环规律确定对应的顶点．
【详解】解：根据题意，第1次点对应，第2次点对应，第3次点对应，第4次点对应，第5次点对应，第6次点对应，第7次点对应，
由此可得，每次翻转对应的顶点为一个循环，循环内顶点顺序为、、、、、．
数轴上所对应的顶点是正六边形经过次翻转得到的，
计算，
根据循环规律，余数为时对应的顶点是，
因此数轴上所对应的顶点是．
故选：B．
【变式5-3】（25-26七年级上·江苏常州·阶段检测）已知，等边（三条边都相等的三角形）在数轴上的位置如图所示．
(1)将从如图所示的位置沿数轴向左滚动一圈（滚动一圈指线段再次落在数轴上），则点表示的数是___________；
(2)将从如图所示的位置沿数轴向右滚动，则数2018表示的点与点___________重合；
(3)将从如图所示的位置沿数轴滚动，向右滚动的圈数记为正数，向左滚动的圈数记为负数，依次运动情况记录如下：．
①第___________次滚动后，点A离原点最远；
②当结束滚动时，点表示的数是___________．
【答案】(1)
(2)
(3)三；
【分析】本题考查了数轴的概念、正负数的意义，周期性规律的探究等，解决问题的关键是据题意得到等边滚动一周，等边的顶点移动3个单位．
（1）根据等边滚动1周后点A的位置得出点A对应的数；
（2）根据等边滚动的规律，即可得出答案；
（3）①先判断每次滚动后点A的位置，即可得出点A离原点最远是第几次；
②根据等边结束运动时，点A表示的数即可得出点表示的数．
【详解】（1）解：由题意得：，
所以将等边从如图所示的位置沿数轴向左滚动一圈，A表示的数是；
故答案为：；
（2）解：因为，
所以将等边从如图所示位置沿数轴向右滚动，数2018表示的点与点重合；
故答案为：；
（3）解：因为五次运动后，点A对应的数依次为：
；
；
；
；
；
所以第三次滚动后，点A离原点最远；
由知，运动结束后A点对应的是，所以点对应的数是．
故答案为：三； ．
【题型六】新定义问题
【例6】（26-27七年级上·河南周口·阶段检测）定义：已知点M，N，Q为数轴上三点，我们规定：点Q到点M的距离是点Q到点N的距离的K倍，则称Q是的“K倍点”，记作∶．例如∶若点Q表示的数为0，点M表示的数为，点N表示的数为1，则Q是的“2倍点”，记作∶．应用：如图有一条数轴，A、B、P为数轴上三点，分别对应，5，．
(1)①P、B两点之间的距离是 ；
②求的值；
(2)若点C在数轴上且，求点C表示的数；
(3)若点D是数轴上一点，且，直接写出点D表示的数．
【答案】(1)①8；②4
(2)2
(3)11或3
【分析】（1）①根据两点间距离的意义计算两数的差求绝对值即可；②根据Q是的“K倍点”的定义列式计算；
（2）根据“K倍点”的定义得等式求解即可；
（3）由，根据“K倍点”的定义列等式求解即可．
【详解】（1）解：已知： ，
①P、B距离∶ ；
② ；
（2）解：由，
得 ，
得（不合题意）或，
得；
（3）解：由，
得，得或
解得：或．
【变式6-1】（26-27七年级上·江苏徐州·阶段检测）由乘方的定义可知：（个相乘）．观察下列算式回答问题：
(1)________；
(2)________；
(3)计算：①
②
【答案】(1)900
(2)
(3)①1②
【分析】（1）根据乘方的定义以及规律求解即可；
（2）根据乘方的定义以及规律求解即可；
（3）首先根据乘方的定义以及规律得出结论，再根据乘方的定义求解即可．
【详解】（1）解：根据乘方的定义以及规律求解可得：
；
（2）解：根据乘方的定义以及规律求解可得：
；
（3）解：①
；
②
．
【变式6-2】（26-27七年级上·广东佛山·阶段检测）【定义新知】
数轴上有三个点，给出如下定义：若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其他两个点的“关联点”．例如：如图，数轴上点A，B，C，D所表示的数依次为1，2，3，4，点B到点D的距离等于点B到点A距离的2倍，此时点B是点A，D的“关联点”；点C到点A的距离等于点C到点D距离的2倍，点C也是点A，D的“关联点”．
(1)【尝试应用】
若数轴上点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为1，请判断点A是否为点B，C的“关联点”，并说明理由．
(2)【拓展探索】
若数轴上点A表示的数为，点B表示的数为1，P为数轴上一个动点：
①当点P在点A的右侧，且点P是点A，B的“关联点”，求此时点P所表示的数；
②当点P在点A的左侧，点P，A，B中，有一个点恰好是其他两个点的“关联点”，请直接写出此时点P所表示的数．
【答案】(1)解：点A是点B，C的“关联点”，理由如下，
∵点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，
∴，
∴点A到点C的距离等于点A到点B距离的2倍，点A是点B，C的“关联点”．
(2)①点P所表示的数为，0或4；
②点P所表示的数为，或
【分析】（1）根据“关联点”的定义进行判断即可；
（2）①先求出两点之间的距离，分类讨论：第一种情况：点与点B之间的距离等于点与点A之间的距离的2倍时，即点与点A之间的距离为，第二种情况：点与点A之间的距离等于点与点B之间的距离的2倍时，即点与点B之间的距离为，第三种情况：当点在点B的右侧时，有点与点A之间的距离等于点与点B之间距离的2倍，分别求解即可； ②分类讨论：第一种情况：当点为点A，B的“关联点”时，点与点B之间的距离等于点与点A之间距离的2倍， 第二种情况：当点A与点之间的距离等于点与点P之间的距离的2倍时，即点与点P之间的距离为，第三种情况：当点A与点P之间的距离等于点与点B之间的距离的2倍时，即点与点P之间的距离为，分别求解即可．
【详解】（1）略
（2）解：①由点A、B所表示的数可知，
点与点之间的距离为．
当点在点与点之间时：
第一种情况：点与点B之间的距离等于点与点A之间的距离的2倍时，即点与点A之间的距离为，如图
∴此时点表示的数为，
第二种情况：点与点A之间的距离等于点与点B之间的距离的2倍时，即点与点B之间的距离为，如图
∴此时点表示的数为；
第三种情况：当点在点B的右侧时，有点与点A之间的距离等于点与点B之间距离的2倍，如图
∴点与点之间的距离等于点P与点之间的距离，即点与点B之间的距离为3，
∴此时点表示的数为．
综上可知，点所表示的数为，0或4．
②第一种情况：当点为点A，B的“关联点”时：
∵点在点的左侧，
∴点与点B之间的距离等于点与点A之间距离的2倍，如图
∴点与点A之间的距离等于点与点之间的距离，即点与点之间的距离为3，
∴此时点所表示的数为；
当点为点P，B的“关联点”时：点在点A的左侧，点B在点A的右侧，
第二种情况：当点A与点之间的距离等于点与点P之间的距离的2倍时，即点与点P之间的距离为，如图
∴此时点所表示的数为；
第三种情况：当点A与点P之间的距离等于点与点B之间的距离的2倍时，即点与点P之间的距离为，如图
∴此时点所表示的数为，
综上可知，点P所表示的数为，或．
【变式6-3】（26-27七年级上·江苏南京·阶段检测）已知，如图，数轴上依次有A、B、C三点，它们在数轴上对应的数分别是a、b、c，其中a、c满足，点B到点A的距离为20．
(1)求a、b、c的值．
(2)如图1，动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿着数轴的正方向运动，动点Q从点C出发，以每秒3个单位长度的速度沿着数轴的负方向运动，P、Q两点同时出发，在点M处相遇，求出相遇点M所对应的数是多少；
(3)如图2，将数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”，（图中A、C两点在“折线数轴”上的距离为28个单位长度）．动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复；同时，动点Q从点C出发以每秒1个单位长度的速度沿着“折线数轴”的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的2倍，之后立刻恢复，设运动时间为t秒，请直接写出当t为何值时，P、O两点在“折线数轴”上的距离与Q、B两点在“折线数轴”的距离相等．
【答案】(1)，，
(2)
(3)当为或或或时，、两点在“折线数轴”上的距离与、两点在“折线数轴”的距离相等
【分析】（1）利用平方与绝对值的非负性，结合非负数的和为0的条件求得a、c，再根据点B到点A的距离及它们在数轴上的位置即可求得b；
（2）设相遇时间为t秒，由相遇问题列方程求解t，进而求出相遇时点P运动的路程，结合点P运动的方向即可求点M所对应的数；
（3）根据数轴上动点问题，分四种情况：当、不在线段上时；当在线段上时；当、在线段上时；当在线段上、在线段上时；列方程求解即可得到答案．
【详解】（1）解：∵a、c满足，
∴，，
解得，，
∵点B到点A的距离为20，由图可知，点B位于点A的右侧，
∴；
（2）解：由（1）得，，
∴，
设相遇时间为t秒，由题意得，
解得，
∴相遇时点P运动路程为，
∵动点P从点A出发沿着数轴的正方向运动，
∴相遇点M所对应的数是；
（3）解：由（1）知，，，
∴，，
∵动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，
∴走完用时为秒，走完用时秒；
∵动点从点出发以每秒个单位长度沿着“折线数轴”的负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的倍，
∴走完用时为秒，走完用时秒；
根据、的位置可分种情况讨论：
①当、不在线段上时，如图所示：
则由、两点在“折线数轴”上的距离与、两点在“折线数轴”的距离相等得到，解得；
②当在线段上时，如图所示：
则由、两点在“折线数轴”上的距离与、两点在“折线数轴”的距离相等得到，解得；
③当、在线段上时，如图所示：
则由、两点在“折线数轴”上的距离与、两点在“折线数轴”的距离相等得到，解得；
④当在线段上、在线段上时，如图所示：
则由、两点在“折线数轴”上的距离与、两点在“折线数轴”的距离相等得到，解得；
综上，当为或或或时，、两点在“折线数轴”上的距离与、两点在“折线数轴”的距离相等．
【题型七】绝对值最值问题
【例7】（24-25七年级上·四川·期中）数轴上表示整数的点称为整点．数轴上点M表示的数为a，点N表示的数为，其中a为负整数，如果在线段上有201个整点（包括M和N点），则代数式的最小值为____．
【答案】192
【分析】本题主要考查了绝对值的意义，数轴上两点间距离，绝对值方程，先根据a为负整数，在线段上有201个整点，求出，然后再根据绝对值的意义求出的最小值即可．
【详解】解：由题可得，
故或，
∵a为负整数，
∴，
∴代数式，
∵表示数轴上表示x的点到96和两点的距离之和，
∴当时，最小，且最小值为：
．
故答案为：192．
【变式7-1】（26-27七年级上·江苏泰州·阶段检测）我们知道的几何意义是：数轴上表示a的点与原点的距离，即．这个结论可以推广为：
①表示在数轴上表示数a、b的两点间的距离；
②表示在数轴上表示数a、的两点间的距离；
根据以上结论探究：
(1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是______；如果表示数a和的两点之间的距离是4，那么______．
(2)若数轴上表示数a的点位于与3之间，则的值为______．
(3)利用数轴解决问题：当_____时，的值最小，最小值是______．
(4)利用数轴解决问题：的最小值是______．
【答案】(1)；或
(2)
(3)；
(4)
【分析】（1）根据数轴即可解答；
（2）根据题意，可得表示和的距离加和的距离，据此即可解答；
（3）结合数轴，可得当时，最小，即可解答；
（4）结合数轴，可得当在和之间时，最小，即可解答．
【详解】（1）解：数轴上表示4和1的两点之间的距离是；
如果表示数a和的两点之间的距离是4，
则或
（2）解：表示和的距离加和的距离，
数a的点位于与3之间，
和的距离加和的距离为，即的值为；
（3）解：表示和的距离加和的距离加和的距离，
当时，到三个数的距离和最小，即最小，为；
（4）解：表示和的距离加和的距离加和的距离加和的距离，
结合数轴，可得当在和之间时，到四个数的距离和最小，即，
此时，的最小值为．
【变式7-2】（25-26六年级上·上海·阶段检测）在一条直线上有依次排列的（）台机床在工作，我们要设置一个零件供应站，使这台机床到供应站的距离总和最小．要解决这个问题，先“退”到比较简单的情形：如图①，如果直线上有台机床时，很明显设在和间的任何地方都行，因为甲和乙所走的距离之和等于和的距离．
如图②，如果直线上有台机床时，不难判断，供应站设在中间处最合适，不难知道，如果直线上有台机床，应设在第台与第台之间的任何地方；有台机床，应设在第台位置．
(1)如果直线上有台机床，应在何处？
(2)有台机床时，应设在何处？
(3)求的最小值．
(4)求的最小值．
【答案】(1)应该在第4台位置
(2)当为奇数时，应该在第台位置；当是偶数时，应该在第台和第台之间的任何位置
(3)
(4)
【分析】本题考查了图形的变化规律，涉及去绝对值、有理数混合运算等知识，理解题意，找出规律，分类讨论是解题的关键．
（1）由阅读材料，找准规律即可得到答案；
（2）由阅读材料，找准规律即可得到答案；
（3）由阅读材料，找准规律，去绝对值即可得到答案；
（4）由阅读材料，找准规律，得到当时，有最小值，将代入代数式，去绝对值求解即可得到答案．
【详解】（1）解：（1）由阅读材料可知，是奇数，故应该在第4台位置；
（2）解：由阅读材料可知：当为奇数时，应该在第台位置；当是偶数时，应该在第台和第台之间的任何位置；
（3）解：由题意，在直线上相当于有台机床，则当在所对应的点时，即当时，有最小值，
∴
；
（4）解：∵，
∴可以理解为：表示的点到一个1，两个，三个，，直到个的距离之和，共有：个点，
∵总点数为奇数，最小值出现在第个点对应的定点处，
设第个点对应的定点是，则，
可得，
∴第个点对应的定点是，
故当时，的值最小，
．
【变式7-3】（26-27七年级上·浙江宁波·阶段检测）同学们都知道，表示与的差的绝对值，实际上也可理解为在数轴上正数对应的点与负数对应的点之间的距离，试探索：
(1) ______；如果，则______．
(2)求的最小值，并求此时的取值范围；
(3)由以上探索及猜想，计算的最小值．
【答案】(1)3，3或；
(2)当时，的值有最小值，最小值为2；
(3)最小值为．
【分析】本题考查了绝对值，读懂题目信息，理解绝对值的几何意义是解题的关键．
（1）根据绝对值的意义直接计算即可；
（2）把理解为：在数轴上表示到和的距离之和，根据两点间的距离公式，点在线段上，则有最小值，从而得结论；
（3）观察已知条件可以发现，表示到的距离，要使题中式子取得最小值，则应该找出与最小数和最大数距离相等的的值，此时式子得出的值则为最小值．
【详解】（1）解：，
，
或，
或，
故答案为：，或；
（2）解：理解为：在数轴上表示到与的距离之和，
当在与之间的线段上（即）时，有最小值，最小值为，此时的取值范围为：；
（3）解：由已知条件可知，表示到的距离，原式代表到，2，3，，2018共2018个点的距离之和，
当时，式子取得最小值．
取，
此时，
．
即最小值为．
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专题01 有理数
目 录
识记类
思维导图
知识清单(11类)
考点清单(8类)
辨析清单(11类)
题型类
高频题型清单(26类)
易错题型清单(10类)
重难题型清单(7类)
知识点01 正数和负数
1.像+3、+1.5、、+584等 0的数，叫做 ； 像－3、－1.5、、584等在正数前面加“－”号的数，叫做 。
2.一个数前面的“+”“”是这个数的性质符号，“+”常省略，但“”不能省略。
3.用正数和负数表示具有相反意义的量时，哪种为正可任意选择，但习惯把“前进、上升”等规定为正，而把“后退、下降”等规定为负。
4. 既不是正数也不是负数，它是正数和负数的分界线。
知识点02 有理数的概念与分类
1.概念： 与 统称为有理数。
2.分类：
（1）按整数、分数的关系分类： （2）按正数、负数与0的关系分类：
3.有理数都可以写成分数的形式，整数也可以看作是分母为1的数。
4.分数与有限小数、无限循环小数可以互化，所以有限小数和无限循环小数可看作分数，但无限不循环小数不是分数，例如。
5.正数和零统称为 ；负数和零统称为 ；正整数、0、负整数统称 。
知识点03 数轴
1.数轴：规定了 、 和 的 叫做数轴。
注意：（1）定义中的“规定”二字是说原点的选定、正方向的取向、单位长度大小的确定，都是根据需要“规定”的．通常，习惯取向右为正方向；
（2）长度单位与单位长度是不同的，单位长度是根据需要选取的代表“1”的线段，而长度单位是为度量线段的长度而制定的单位．有km、m、dm、cm等。
2.数轴的画法
（1）画一条直线（通常画成水平位置）；
（2）在这条直线上取一点作为原点，这点表示0；
（3）规定直线上向右为正方向，画上箭头；
（4）再选取适当的长度，从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次标上1，2，3，…从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次标上-1，-2，-3，…
注意：（1）原点的位置、单位长度的大小可根据实际情况适当选取；
（2）确定单位长度时根据实际情况，有时也可以每隔两个（或更多的）单位长度取一点。
3.数轴与有理数的关系
任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不都表示有理数，还可以表示其他数，比如。
注意：（1）一般地，数轴上原点右边的点表示 ，左边的点表示 ；反过来也对，即
用数轴上原点右边的点表示， 用原点左边的点表示， 用原点表示；
（2）一般地，在数轴上表示的两个数， 的数总比 的数大。
知识点04 绝对值
1．定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的 叫做这个数的绝对值，例如+2的绝对值等于2，记作 ；-3的绝对值等于3，记作 ．
【点拨】（1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是 ；一个负数的绝对值是它的 ；0的绝对值是 。即对于任何有理数a都有：
（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小。
（3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的。
2．性质：
（1）0除外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数；
（2）互为相反数的两个数（0除外）的绝对值相等；
（3）绝对值具有 ，即任何一个数的绝对值总是正数或0。
知识点05 相反数
1．定义：如果两个数只有符号不同，那么称其中一个数为另一个数的相反数。特别地，0的相反数是 。
【点拨】（1）“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同；
（2）“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，不能漏掉；
（3）相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数；
（4）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“”号即可。
2．性质：
（1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等（这两个点关于原点对称）；
（2）互为相反数的两数和为 。
3．多重符号的化简
多重符号的化简，由数字前面“-”号的个数来确定，若有偶数个时，化简结果为正，如-{-[-(-4)]}=4 ；若有奇数个时，化简结果为负，如-{+[-(-4)]}=-4 。
【点拨】（1）在一个数的前面添上一个“＋”，仍然与原数相同，如＋5＝5，＋（－5）＝－5。
（2）在一个数的前面添上一个“－”，就成为原数的相反数。如－（－3）就是－3的相反数，因此，－（－3）＝3。
知识点06 有理数的大小比较
1．数轴法：在数轴上表示出这两个有理数， 的数总比 的数小。 如：a与b在数轴上的位置如图所示，则a＜b。
2．法则比较法：
两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下：
两数同号
同为正号：绝对值大的数大
同为负号：绝对值大的反而小
两数异号
正数大于负数
－数为0
正数与0：正数大于0
负数与0：负数小于0
【点拨】利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：
（1）分别计算两数的绝对值；
（2）比较绝对值的大小：
（3）判定两数的大小。
3． 作差法：设a、b为任意数，若a-b＞0，则 ；若a-b＝0，则 ；若a-b＜0， ；反之成立。
4．求商法：
设a、b为任意正数，若，则 ；若，则 ；若，则 ；
反之也成立．若a、b为任意负数，则与上述结论相反。
5．倒数比较法：如果两个数都大于零，那么倒数大的反而小．
知识点07 有理数的加法和减法
1.有理数的加法
①定义：把两个有理数合成一个有理数的运算叫作有理数的加法．
②法则：（1）同号两数相加， ， ；
（2）绝对值不相等的异号两数相加， ， ， ；
（3）一个数同0相加， ．
【点拨】利用法则进行加法运算的步骤：
(1)判断两个加数的符号是同号、异号，还是有一个加数为零，以此来选择用哪条法则．
(2)确定和的符号(是“+”还是“－”)．
(3)求各加数的绝对值，并确定和的绝对值(加数的绝对值是相加还是相减)．
③运算律：
有理数加法运算律
加法交换律
文字语言
两个数相加，交换加数的位置，和不变
符号语言
加法结合律
文字语言
三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变
符号语言
【点拨】交换加数的位置时，不要忘记符号．
2.有理数的减法
①定义： 已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法，例如：(-5)+?＝7，求？，减法是加法的逆运算．
【点拨】（1）任意两个数都可以进行减法运算．
（2） 几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数字即数的绝对值．
②法则： ，等于 ，即有：．
【点拨】将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数”．
3.有理数加减混合运算
将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算.
知识点08 有理数的乘法和除法
1.有理数的乘法
①有理数的乘法法则：
（1）两数相乘， ， ，并把 ；
（2）任何数同0相乘，都得 ．
【点拨】 (1) 不为0的两数相乘，先确定符号，再把绝对值相乘．
（2）当因数中有负号时，必须用括号括起来，如-2与-3的乘积，应列为(-2)×(-3)，不应该写成-2×-3．
②有理数的乘法法则的推广：
（1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正；
（2）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．
【点拨】 （1）在有理数的乘法中，每一个乘数都叫做一个因数．
(2)几个不等于0的有理数相乘，先根据负因数的个数确定积的符号，然后把各因数的绝对值相乘．
(3)几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之，如果积为0，那么至少有一个因数为0．
③有理数的乘法运算律：
（1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即： ．
（2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即： ．
（3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即： ．
【点拨】 （1）在交换因数的位置时，要连同符号一起交换．
（2）乘法运算律可推广为：三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数的位置，或者把其中的几个因数相乘．如abcd＝d(ac)b．一个数同几个数的和相乘，等于把这个数分别同这几个数相乘，再把积相加．如a(b+c+d)＝ab+ac+ad．
（3）运用运算律的目的是“简化运算”，有时，根据需要可以把运算律“顺用”，也可以把运算律“逆用”．
2. 有理数的除法
①倒数的意义： 的两个数互为倒数．
【点拨】 (1)“互为倒数”的两个数是互相依存的.如-2的倒数是，-2和是互相依存的；
(2)0和任何数相乘都不等于1，因此 没有倒数；
(3)倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数；
(4)互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)．
②有理数除法法则：
法则一：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即.
法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0.
【点拨】 （1）一般在不能整除的情况下应用法则一，在能整除时应用法则二方便些．
（2）因为0没有倒数，所以0不能当除数．
（3）法则二与有理数乘法法则相似，两数相除时先确定商的符号，再确定商的绝对值．
3. 有理数的乘除混合运算
由于乘除是同一级运算，应按从 的顺序计算，一般先将除法化成 ，然后确定积的符号，最后算出结果．
4. 有理数的加减乘除混合运算
有理数的加减乘除混合运算，如无括号，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如有括号，则先算括号里面的．
知识点09 有理数的乘方
1. 有理数的乘方
定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做 。
即有：。在中，叫做 ， n叫做 。
【点拨】（1）乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果．
（2）底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来．
（3）一个数可以看作这个数本身的一次方．例如，5就是51，指数1通常省略不写．
（4）特别地，一个数的二次方，也称为这个数的平方；一个数的三次方，也称为这个数的立方。
2. 乘方运算的符号法则
（1）正数的任何次幂都是正数；
（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；
（3）0的任何正整数次幂都是0；
（4）任何一个数的偶次幂都是非负数，如 ≥0．
【点拨】(1)有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值．
(2)任何数的偶次幂都是非负数．
知识点10 科学记数法
把一个大于10的数表示成的形式（其中是整数数位只有一位的数，l≤||<10，是正整数），这种记数法叫做科学记数法，如＝.
【点拨】（1）负数也可以用科学记数法表示，“”照写，其它与正数一样，如=；
（2）把一个数写成形式时，若这个数是大于10的数，则n比这个数的整数位数少。
知识点11 有理数混合运算
有理数混合运算的顺序：
(1)先乘方，再乘除，最后加减；
(2)同级运算，从左到右进行；
(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．
【点拨】
(1)有理数运算分三级，并且从高级到低级进行运算，加减法是第一级运算，乘除法是第二级运算，乘方和开方(以后学习)是第三级运算；
（2）在含有多重括号的混合运算中，有时根据式子特点也可按大括号、中括号、小括号的顺序进行．
（3）在运算过程中注意运算律的运用．
考点01 正负数
考点内容：正负数的定义；相反意义的量．
常见考法：
①概念判断题，注意0的特殊性，负数符号陷阱；
②用正数、负数表示具有相反意义的量，先规定其中一个为正，和它意义相反的就为负；
③判断一个数是不是负数、正数，给一组数分类，给出一串数（含分数、小数、0、带负号、π等），选出正数集合、负数集合；
④误差范围题，食品、零件、化肥标准质量，给，求最大值、最小值、判断产品是否合格；
⑤基准转换题型，给定基准，写出对应数；给标记数还原成原数．
考点02 有理数的概念与分类
考点内容：有理数定义、有理数两种分类方式．
常见考法：
①有理数定义，有限小数、无限循环小数都可以写成分数形式，属于分数，也就是有理数；
②有理数两种分类方式，0单独一类，不属于正有理数，也不属于负有理数；
③给一组数，分类填集合；
④“非×”词语理解填空．
考点03 数轴
考点内容：数轴的三要素；数轴与有理数的关系；数轴上数的大小比较；数轴上两点之间的距离；点的平移规律．
常见考法：
①判断所画图形是不是数轴，判断要点：有没有原点、正方向、统一单位长度；
②读数、在数轴上描点，给出数轴，读出点表示的数；给定有理数，在数轴上标出对应点；
③数轴两点距离计算；
④点平移问题，一个点先左移、再右移，求最后表示的数；
⑤大小比较、排序，多个有理数，利用数轴从小到大排列．
考点04 绝对值与相反数
考点内容：相反数；绝对值．
常见考法：
①求相反数、多重符号化简；
②求一个数的绝对值、已知绝对值求原数；
③相反数性质运用，已知a与b互为相反数，求代数式的值（整体代入，a+b=0）；
④绝对值非负性，与平方一起用；
⑤比较大小，负数比较：绝对值大的反而小；
⑥绝对值在实际中的意义，误差、质量检测：绝对值越小，和标准值越接近，质量越好．
考点05 有理数的加法与减法
考点内容：有理数加法法则；加法运算律；有理数减法法则；加减混合运算；实际意义．
常见考法：
①直接计算同号、异号加减；判断计算对错；
②加减混合简便运算，相反数一组、小数凑整一组、分数同分母一组、正数负数分开两组；
③省略加号的和的形式；
④实际应用题，温度连续升降、水位变化、仓库进出货物、行走路程；
⑤数轴上两点距离、点平移综合，平移：左减右加；距离：大数−小数（绝对值），常和加减融合．
考点06 有理数的乘法与除法
考点内容：有理数乘法法则；倒数；乘法运算律；有理数除法法则；乘除混合运算．
常见考法：
①基础乘除口算、判断正误，选择填空，直接计算；辨析对错；
②求倒数，给整数、分数、小数、负分数找倒数；判断0有没有倒数；
③多个因数相乘，判断积的符号，数负因数的个数，奇负偶正；只要含0，直接得0；
④乘法分配律简便运算；
⑤乘除混合运算，统一化为乘法，约分简化；不要随意调换顺序（必须连同符号一起）．
考点07 有理数的乘方
考点内容：乘方的意义；乘方符号法则；科学记数法．
常见考法：
①识别底数、指数，读式子；
②乘方符号判断，用计算，直接判断结果正负；
③科学记数法，大数写成；给科学记数法还原原数；
④乘方规律探究，对折纸张、拉面、细胞分裂、数列找规律，求第n个式子．
考点08 有理数的混合运算
考点内容：运算顺序；运算律的灵活运用；新定义运算．
常见考法：
①纯计算题，一道式子融合：乘方、分数、小数、负数、括号。；
②简便运算，正向分配律、逆向提取公因数、分组凑整、相反数抵消；
③判断运算对错、改错，选择题，找出计算步骤里顺序错、符号错、分配漏乘的选项；
④新定义题型．
辨析01 0是正数 / 0是负数
说法错误，0既不是正数，也不是负数；0是整数、是有理数、绝对值最小的有理数、最小的非负整数．
辨析02 一个有理数不是正数就是负数
说法错误，漏掉0；有理数分为正有理数、0、负有理数．
辨析03 带负号的数就是负数
说法错误，不一定是负数，本身为负数时，是正数．
辨析04 若，则
说法错误，或 ，两解．
辨析05 距离为3的点只有一个
说法错误，已知一点和距离，一般两个点，左右各一个，容易漏解．
辨析06 乘方底数易错
的底数为，的底数为，的底数为，底数为．
辨析07 异号两数相加，直接把符号相减
先定符号（跟着绝对值大的），再用大绝对值减小绝对值．
辨析08 多个数相乘，负因数是偶数个，积一定为正
说法错误，前提：所有因数不为0；只要有一个因数是0，积直接是0，不用数负号．
辨析09 乘除混合不能随便调换顺序
说法正确，同级运算从左往右，全部转化乘法再计算．
辨析10 负数比较大小，绝对值大的原数大
说法错误，负数比较，绝对值大的反而小．
辨析11 除法可以分配律
说法错误，除法没有分配律，只有乘法有分配律．
【题型一】正负数的定义
【例1】（26-27七年级上·广东梅州·阶段检测）下列各数中为负数的是（ ）
A． B．0 C．3 D．
【变式1-1】（26-27七年级上·广东茂名·阶段检测）在，2，，0，0.0123中，负数有（ ）个
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1-2】在数，，，，，，，，中，正数的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式1-3】（26-27七年级上·新疆昌吉·阶段检测）在，0，3，这四个数中，正数是（ ）
A． B．0 C．3 D．
【题型二】相反意义的量
【例2】（26-27七年级上·河南周口·阶段检测）不具有相反意义的量是（ ）
A．商场运进雪碧100箱，卖出80箱
B．妈妈的月工资收入是1000元，每月生活所用500元
C．5000个产品中有20个不合格产品
D．新疆白天气温零上，晚上的气温零下
【变式2-1】（26-27七年级上·山西太原·阶段检测）在《九章算术》的“正负术”中，人们已经会用相反意义的量表示盈亏．若把“收入6元”记作元，那么“支出6元”记作（ ）元
A． B． C． D．6
【变式2-2】（26-27六年级上·山东烟台·阶段检测）如图所示是某用户微信支付情况，表示的意思是（ ）
A．发出红包100元 B．收入100元
C．余额100元 D．拍到100元红包
【变式2-3】（26-27七年级上·河南安阳·阶段检测）如果增产吨，记作吨，那么吨表示_____．
【题型三】0的意义
【例3】（26-27七年级上·山东日照·阶段检测）以下说法①正整数和正分数组成正有理数；②有理数分为正数、和负数；③任何一个无限不循环小数都可以化成分数；④绝对值等于它本身的数是正数；⑤非负有理数包括和正整数．其中正确的有（填序号）________．
【变式3-1】（26-27七年级上·全国·课后作业）下列说法：①0既不是正数，也不是负数；②整数包括正整数和负整数；③正数和负数统称有理数；④0是最小的整数；⑤非正整数是有理数．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．5个
【变式3-2】（26-27七年级上·浙江金华·阶段检测）下列说法正确的是（ ）
A．整数分为正整数和负整数
B．有理数中既存在最小的正数，也存在最大的负数
C．0是整数也是有理数
D．小数都是分数
【变式3-3】（26-27七年级上·山东聊城·阶段检测）下面说法正确的有______（填序号）
（1）正整数和负整数统称有理数；（2）0既不是正数，又不是负数；（3）正数和负数统称有理数；（4）相反数等于它本身的数是不存在的；（5）互为相反数的两个数在数轴上对应的两个点到原点的距离相等；（6）若一个数是有理数，则这个数不是分数就是整数．
【题型四】有理数的分类
【例4】（25-26七年级上·四川成都·阶段检测）下列7个数：、、、0、、（每两个2之间依次多一个6）、，其中有理数有________个
【变式4-1】（26-27七年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段检测）把下列各数的序号填入相应的大括号内：
①；②；③；④；⑤0；⑥，⑦；⑧，⑨．
整数集{__________________________________________________…}；
非负数集{__________________________________________________…}；
负有理数集{__________________________________________________…}．
【变式4-2】（26-27七年级上·江苏南京·阶段检测）将下列各有理数按照分类填入下面对应的大括号内：
，，，，，，，，
整数集合：{_________________________________________________…}；
负数集合：{_________________________________________________…}；
正分数集合：{_________________________________________________…}．
【变式4-3】（26-27七年级上·湖南长沙·阶段检测）把下列各数对应的序号填在相应的括号内：
①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨
正有理数：（ ）
非负整数：（ ）
负分数：（ ）
整数：（ ）
【题型五】带“非”字的有理数
【例5】（26-27七年级上·全国·单元复习）在，0，0.3，，，，中，非负有理数有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【变式5-1】（26-27七年级上·广东梅州·阶段检测）在中，非负整数有__________个．
【变式5-2】（25-26七年级上·陕西安康·阶段检测）在，0，，6这四个有理数中，非负数有___________个．
【变式5-3】（25-26七年级上·山东德州·期中）下列各数中：26、，其中正整数有a个,有理数有个，非正数有个，则______．
【题型六】用数轴上的点表示有理数
【例6】（26-27七年级上·北京东城·阶段检测）如图，数轴上被墨水遮盖的数可能是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】（26-27七年级上·安徽铜陵·阶段检测）如图，为数轴的原点，若点A表示2，则点B表示（ ）
A．3 B． C．5 D．
【变式6-2】（2026·陕西西安·模拟预测）如图，数轴上两点之间的距离为，表示的数是，则点表示的数是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-3】（26-27七年级上·河南南阳·阶段检测）如图，数轴上被阴影盖住的点表示的分数可能是________．（写出一个即可）
【题型七】利用数轴比较大小
【例7】（26-27七年级上·河北保定·阶段检测）画出数轴，在数轴上表示下列各数，并用“”把它们连接起来：
，，，，，．
【变式7-1】（26-27七年级上·江苏常州·阶段检测）如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是．
(1)在数轴上标出原点．
(2)在数轴上表示下列各数，并按从小到大的顺序用“”连接起来．
，，，．
【变式7-2】（26-27七年级上·山东青岛·阶段检测）在数轴上画出表示、2、、，0这些数的点，并按从小到大的顺序，用“”把这些数连接起来．
【变式7-3】（26-27七年级上·浙江杭州·阶段检测）在数轴上表示下列各数：0，1.5，，，，并将这些数用“”号连接．
【题型八】相反数的意义
【例8】（湖南省衡阳市四校2026-2027学年七年级上学期9月阶段检测数学试题）的相反数是（ ）
A． B． C． D．
【变式8-1】（26-27七年级上·河南周口·阶段检测）的相反数是（ ）
A． B． C． D．
【变式8-2】（26-27七年级上·湖南长沙·阶段检测）下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A．与6 B．与 C．与 D．与
【变式8-3】（湖南省衡阳市四校2026-2027学年七年级上学期9月阶段检测数学试题）若，则中最小的是_______．
【题型九】化简多重符号
【例9】（26-27七年级上·江苏常州·阶段检测）在下列各数中，，，，，，其中负分数的个数是（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【变式9-1】（26-27七年级上·湖南长沙·阶段检测）化简：________．
【变式9-2】（26-27七年级上·广东珠海·阶段检测）化简：________．
【变式9-3】（26-27七年级上·湖南岳阳·阶段检测）＝______．
【题型10】绝对值的几何意义
【例10】（2026·内蒙古鄂尔多斯·二模）如图，点到原点的距离是（ ）
A．3 B． C． D．
【变式10-1】（26-27六年级上·山东淄博·阶段检测）若，则______．
【变式10-2】（26-27七年级上·江苏淮安·阶段检测）当_________时，有最小值_________．
【变式10-3】（26-27七年级·浙江·暑假作业）代数式的最小值是_____，的最小值是_____．
【题型11】绝对值的非负性
【例11】若，则_______．
【变式11-1】（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）若，则的值为________．
【变式11-2】（26-27七年级上·江苏·期中）若，则的值为（ ）
A． B． C． D．1
【变式11-3】（26-27七年级·全国·暑假作业）如果x为有理数，式子存在最大值，这个最大值是__________．
【题型12】有理数的加法运算
【例12】（26-27七年级上·河北保定·阶段检测）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【变式12-1】（26-27七年级上·浙江杭州·阶段检测）已知，，且，则的值为（ ）
A．或 B．或1 C．1或 D．5或
【变式12-2】（26-27七年级上·全国·课后作业）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【变式12-3】（26-27七年级上·全国·课后作业）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)；
(7)；
(8)．
【题型13】有理数的加法运算律
【例13】（26-27七年级上·天津·阶段检测）下列变形中，运用加法运算律正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式13-1】（26-27七年级上·甘肃临夏·阶段检测）计算（能用简便方法的用简便方法）
(1)
(2)
【变式13-2】（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算：
(1)；
(2)．
(3)；
(4)．
【变式13-3】（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算：
(1)；
(2)
(3)；
【题型14】省略加号的和的形式
【例14】（26-27七年级上·广西·期中）不改变原式的值，省略算式中的括号和加号后，可以写成的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式14-1】（26-27七年级上·安徽池州·阶段检测）算式写成省略加号和括号的形式为（ ）
A． B． C． D．
【变式14-2】（26-27七年级上·黑龙江佳木斯·期中）不改变原式的值，省略算式中的括号和加号后，可以写成的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式14-3】（26-27七年级上·江苏南京·阶段检测）将式子写成省略括号的和的形式________．
【题型15】有理数的加减混合运算
【例15】（26-27七年级上·福建龙岩·阶段检测）计算：
(1)；
(2)．
【变式15-1】（26-27六年级上·山东淄博·阶段检测）计算
(1)．
(2)；
【变式15-2】（26-27七年级上·山西太原·阶段检测）计算
(1)；
(2)；
(3)；
(4)
【变式15-3】（26-27七年级上·山西太原·阶段检测）计算
(1)
(2)
(3)
(4)
【题型16】有理数加减法实际应用
【例16】（26-27七年级上·江苏南通·阶段检测）工厂生产袋装大米，标准质量为10千克，超过标准记正数，不足记负数．抽检6袋大米记录如下（单位：千克）：
(1)抽检的大米中，最重一袋比最轻一袋多多少千克？
(2)求这6袋大米的总质量．
【变式16-1】（26-27七年级上·山西太原·阶段检测）某语音转文字模型开展识别测试，规定基准正确字数为200字，超出基准的记作正数，不足基准的记作负数．连续10轮测试结果记录如下（单位：字）：，，，，，，，，，．
(1)求这10轮测试中，识别正确字数最多的一轮与最少的一轮相差多少字？
(2)求这10轮测试中平均每轮识别正确多少字？
【变式16-2】（26-27七年级上·安徽芜湖·阶段检测）某停车场从早上到晚上营业，下表是工作人员分五个时段记录的某天车辆进出情况（表示进入停车场，表示离开停车场，单位：辆）：
时段
一
二
三
四
五
进出数量
(1)第三时段结束时，该停车场内的车辆比早上开门时多了还是少了？多（少）多少辆？
(2)晚上关门时，停车场内还剩28辆车，则当天早上开门时停车场内原有多少辆车？
【变式16-3】（26-27七年级上·江苏南京·阶段检测）2026年3月，“张雪机车”在国际顶级赛事中连续两次获得冠军，让中国摩托行业站上了世界巅峰．某摩托车厂本周内计划每日生产200辆摩托车，由于工人实行轮休，每日上班人数不一定相等，实际每日生产量与计划量相比情况如下表（增加的车辆数为正数，减少的车辆数为负数）：
星期
一
二
三
四
五
六
日
增减
(1)本周三生产了_____辆摩托车，产量最多的一天比产量最少的一天多生产了_____辆；
(2)本周总生产量是多少？本周总生产量与计划生产量相比，是增加还是减少？
(3)请你赋予表格不同于本题的生活情境，并提出一个相关的问题．（不要求作答）
【题型17】倒数的定义
【例17】（26-27六年级上·黑龙江大庆·阶段检测）下列各组数中，互为倒数的是（ ）
A． 和 B． 和
C． 和 4 D．以上三组都互为倒数
【变式17-1】（26-27六年级上·黑龙江大庆·阶段检测）的倒数是（ ）
A． B．4 C． D．25
【变式17-2】（26-27七年级上·全国·课后作业）下列说法正确的是（ ）
A．互为倒数的两个数乘积是1 B．倒数等于它本身的数只有1
C．任何有理数都有倒数 D．绝对值最小的整数是1
【变式17-3】．（26-27七年级上·山东青岛·阶段检测） 的倒数是______，相反数是______，绝对值是______．
【题型18】有理数的乘除混合运算
【例18】（26-27七年级上·河南信阳·阶段检测）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【变式18-1】（26-27七年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段检测）计算
(1)
(2)
(3)
(4)
【变式18-2】（26-27七年级上·辽宁鞍山·阶段检测）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
【变式18-3】（26-27七年级上·河南周口·阶段检测）解决下列问题：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【题型19】有理数乘除中的简便运算
【例19】（26-27七年级上·安徽芜湖·阶段检测）计算：
(1)；
(2)．
【变式19-1】（26-27七年级上·河南南阳·阶段检测）阅读下面题目的运算过程，并解决下列问题．
解：原式①
②
③
④
⑤
(1)上述计算过程，在第________步开始出现错误，本题运算的正确结果是________；
(2)第①步的变形依据是________；（填选项）
A．加法交换律 B．乘法交换律 C．加法结合律 D．乘法结合律
(3)计算：．
【变式19-2】（26-27七年级上·辽宁沈阳·阶段检测）简便运算：
(1)；
(2)．
【变式19-3】（26-27七年级上·湖南长沙·阶段检测）计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
【题型20】有理数乘除法实际应用
【例20】（26-27七年级上·安徽·期中）近几年，全球新能源汽车发展迅猛，尤其是我国新能源汽车的产销量大幅度增加．小亮家新换了一辆新能源纯电动汽车，他连续记录了7天中每天行驶的路程（如下表）．以为标准，超过记为“”，不足记为“”，刚好记为“0”．
第一天
第二天
第三天
第四天
第五天
第六天
第七天
与标准路程的差值
0
(1)小亮家这7天行驶的路程最多的一天比最少的一天多 ；
(2)求出小亮家新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？
(3)已知汽油车每行驶需用汽油7升，汽油价元／升，而新能源汽车每行驶耗电量为15度，每度电为元，小亮家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省了多少钱？
【变式20-1】（26-27七年级上·江苏泰州·期中）泰州市某中学图书馆以每天借出册图书为标准，超过的册数记为正数，不足的册数记为负数．上周一至周五每天借出的图书册数与标准的差记录如下（单位：册）：
，，，，．
(1)上周五借出图书多少册？
(2)这五天平均每天借出图书多少册？
(3)上周一至周三共借出的图书比周四、周五共借出的多多少册？
【变式20-2】（25-26七年级上·河南周口·期中）小明和组员一起利用周末去观察记录某路公交车，他们主要统计相邻的A．红星联盟路口、B．义西小区、C．柏林南区、D．北新街小学四个站点．每站上下的乘客人数（用正数表示上车人数，用负数表示下车人数）如表所示：
已知红星联盟路口站的前一站出发时车上有10名乘客，他们设计的问题如下：
(1)请问该公交车从到达红星联盟路口站到离开北新街小学站时，共有多少名乘客下车？
(2)请问公交车行驶在红星联盟路口站与北新街小学站之间时，在哪两站之间车上的乘客最多？
(3)若每人乘坐这辆公交车需要刷卡2元（假设全部都是刷卡，没有老年卡与学生卡），则该公交车在这四个车站能收多少钱？
【变式20-3】（26-27九年级上·河北邯郸·阶段检测）某冷库一天的冷冻食品进出记录如表（运进用正数表示，运出用负数表示）．
进出食品的质量（单位：吨）
4
3
进出次数
2
1
4
3
2
(1)这天冷库的冷冻食品的质量相比原来是增加了还是减少了？请说明理由．
(2)根据实际情况，不管运进还是运出每吨冷冻食品费用都是元。求这一天运进和运出冷冻食品的总运费．
【题型21】算24点
【例21】（26-27七年级上·河北邯郸·阶段检测）有一种算“点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数只能用一次）进行加减乘除运算，可以添加括号使其结果等于．现有四个有理数：，，，，运用上述规则，下列算式中不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式21-1】（25-26七年级上·贵州贵阳·期中）你会玩“24点”游戏吗？从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算（每一张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号），使运算结果为24或，其中红色（红桃、方块）扑克牌代表负数，黑色（黑桃、梅花）扑克牌代表正数，J，Q，K，A分别代表11，12，13，1，小明抽到了黑桃7，黑桃3，梅花3，梅花7，他运用下面的方法凑成了24：．如果抽到的是黑桃A，方块2，黑桃2，黑桃3，请写出凑成24或的其中一种方法：____________________ ．
【变式21-2】（25-26七年级上·安徽宿州·期中）根据如图所示的4张扑克牌上的点数进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号），使得运算结果为，可以列出综合算式是________．
【变式21-3】（26-27七年级上·浙江嘉兴·阶段检测）小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题：
(1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，乘积的最大值为 ；
(2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，商的最小值为 ；
(3)从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24．写出运算式子．（写出一种即可）算24的式子为 ．
【题型22】有理数的乘方运算
【例22】（26-27七年级上·河北·期中）计算（ ）
A． B． C． D．
【变式22-1】（25-26七年级上·江苏淮安·阶段检测）计算： _______．
【变式22-2】（26-27七年级上·江苏无锡·阶段检测）计算：＝_____．
【变式22-3】（26-27七年级上·重庆沙坪坝·阶段检测）用“”，“”或“”填空：________．
【题型23】乘方的应用
【例23】（2026·河南周口·二模）我国古代《易经》中记载了“结绳记数”的方法．一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录孩子出生后的天数．若从右起第1位打结数为3，第2位为2，第3位为1，则孩子出生后的天数为______天．
【变式23-1】（25-26七年级上·湖北宜昌·期末）进位制是一种记数方式，现在我们通常用的是十进制数，而计算机中常用的是逢二进一的二进制．二进制数可转为十进制数：例如：
．请把五进制数转为十进制数：___________．
【变式23-2】（25-26九年级上·山东泰安·期末）将一根长绳对折再对折再对折，，连续对折次后，从对折后绳子的中间位置剪断则原来的绳子被截成了_____段．
【变式23-3】（25-26七年级上·广东惠州·期末）进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几，为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如，就是二进制数1011的简单写法，十进制一般不标注基数．不同进位制的数之间是能相互转换的，将二进制数1011转换为十进制的方法是：；将十进制数11转换为二进制可以用这样的方法：除二取余，倒序排列．即：将一个十进制数11除以2，得到的商再除以2，依此类推直到商等于1或0时为止，倒取除二产生的余数，就为换算为二进制数的结果．具体如下：
我们能看到十进制数11除以2得到的余数依次为1，1，0，1，倒序排列就是对应的二进制数1011，即．依照前面的方法，则十进制数，则括号内应填写的数是__________．
【题型24】程序图与有理数的运算
【例24】（26-27七年级上·四川成都·期中）有一个数值转换器，其工作原理如图所示，若输入，则输出的结果是（ ）
A． B． C． D．
【变式24-1】（26-27七年级上·四川资阳·阶段检测）有一个数值转换器，其工作原理如图．若输入的值为，则输出的结果是（ ）
A． B． C． D．
【变式24-2】（26-27七年级上·广西桂林·阶段检测）按如图所示的程序进行运算，如果结果不大于10，就把结果作为输入的数再进行第二次运算，直到符合要求为止．当输入的数为5时，输出的数是________．
【变式24-3】（26-27七年级上·重庆江北·阶段检测）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，如图所示的程序框图，当输入时，则输出的数是________．
【题型25】科学记数法
【例25】（26-27七年级上·四川成都·期中）截至2024年底，我国高速公路通车总里程约为185000公里，用科学记数法表示185000公里为（ ）
A．公里 B．公里 C．公里 D．公里
【变式25-1】（26-27七年级上·湖北恩施·期中）2026年五一假期，利川市共接待游客约1286000人次．将1286000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【变式25-2】（26-27七年级上·甘肃临夏·期中）月日，由读者出版集团主办的“书城不夜，阅美凉州”——武威书展在凉州十八巷开展，汇集了多种共万册优秀图书以及多种文创产品，为当地读者奉上一场文化盛会．数据万用科学记数法可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【变式25-3】（26-27七年级上·江苏泰州·期中）地球到月球的平均距离约为，将384000000用科学记数法表示为（ ）
A． B．
C． D．
【题型26】含乘方的有理数混合运算
【例26】（26-27七年级上·江苏常州·期中）计算题：
(1)；
(2)．
【变式26-1】（26-27七年级上·吉林长春·期中）计算：
(1)；
(2)．
【变式26-2】（26-27七年级上·湖北恩施·期中）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【变式26-3】（26-27七年级上·内蒙古呼和浩特·期中）计算：
(1)；
(2)．
【题型一】有理数分类
【例1】（25-26七年级上·吉林长春·阶段检测）在5，，0.56，，，，，八个数中，正分数有（ ）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
易错警示
1. 有效小数、无限循环小数、百分数都属于分数。
2. 非负数包含正数和零，非正整数包含负整数和零。
3.0既不是正数，也不是负数。
【变式1-1】（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）在1.3，，5，0，0.39，，，中，非负整数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1-2】（26-27七年级上·云南昆明·阶段检测）下列关于“”的说法正确的个数是（ ）
①是正数与负数的分界；②只表示什么也没有；③表示没有温度；④既不是正数，也不是负数；⑤是自然数
A． B． C． D．
【题型二】多重符号化简
【例2】（26-27七年级上·四川成都·期中）在下列各数中：0，，，，，3.14，，非负数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
易错警示
1. 多层括号符号数错，只看括号个数，忽略正负号规律。
2. 有绝对值的，先化简绝对值，再看负号的个数。
【变式2-1】（26-27七年级上·河南驻马店·阶段检测）化简的结果是（ ）
A． B．2026 C． D．
【变式2-2】（26-27七年级上·河南信阳·阶段检测）下列各组数中，结果互为相反数的是（ ）．
A．与 B．与 C．与 D．与
【题型三】根据绝对值性质求解时易漏负解
【例3】（26-27七年级上·江苏盐城·阶段检测）绝对值大于2而小于或等于5的整数有___________________
易错警示
指的是表示数的点到原点的距离，除了正数外，负数不能漏掉。
【变式3-1】（26-27七年级上·重庆沙坪坝·阶段检测）绝对值小于的非负整数有__________个．
【变式3-2】（25-26七年级上·内蒙古包头·期中）写出一个绝对值小于的整数____________．
【题型四】非负数“0+0”模型
【例4】（25-26七年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知，则的值为________．
易错警示
几项相加等于0，只令其中一项等于0，几个非负数相加为0，每一项单独等于0。
【变式4-1】（25-26七年级上·宁夏银川·期末）2025年是中华人民共和国成立76周年（也是中华全国总工会成立100周年），已知若，为有理数，则______
【变式4-2】（25-26七年级上·内蒙古包头·阶段检测）已知，求和的值．
【题型五】有理数的大小比较
【例5】（26-27七年级上·湖北恩施·期中）下列各数中，最小的数是（ ）
A． B． C．0 D．
易错警示
1. 负数比较：绝对值越大，数值越小。
2. 多个数排序：包含负分数、小数、乘方结果。
【变式5-1】（26-27七年级上·山东菏泽·阶段检测）四个数，，0，中，最小的数是__________．
【变式5-2】（26-27七年级上·广东佛山·阶段检测）比较大小：________．（填“”“”或“”）
【题型六】数轴化简绝对值
【例6】（25-26七年级下·贵州黔南·期中）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
易错警示
先判断绝对值内部正负，再去绝对值符号。
【变式6-1】（25-26七年级上·四川成都·期末）在数轴上，数对应的点的位置如图所示，已知，则化简的结果是__________．
【变式6-2】（26-27七年级上·四川宜宾·阶段检测）有理数、、在数轴上的位置如图：
(1)根据数轴化简：
①______；②_____；③_____；④_____．
(2)若，，，求的值．
【题型七】乘法分配律容易漏乘
【例7】（26-27七年级上·四川成都·期中）计算:
易错警示
利用乘法分配律进行计算时，不能漏乘。
【变式7-1】（26-27七年级上·福建泉州·阶段检测）计算：
(1)；
(2)．
【变式7-2】（26-27七年级上·广西桂林·阶段检测）计算：
(1)；
(2)．
【题型八】除法没有分配律
【例8】（26-27七年级上·安徽阜阳·阶段检测）阅读下面解题过程：
计算：．
解： ，
．
根据阅读材料，完成下面的问题：
(1)若，，则、的关系为______（选填字母）；
A．绝对值相等 B．互为倒数 C．互为相反数 D．以上都不对
(2)计算：．
易错警示
除法不能用分配律，只有乘法分配律。
【变式8-1】（26-27七年级上·河北沧州·阶段检测）数学老师为了优化同学们的运算思维，提高数学运算能力，复习有理数综合运算时，布置了一道有意思的计算题：请用不同解法计算．
刘聪和他的小伙伴选择常规解法：
；
张明开动脑筋，经过观察算式特点，和同学们深入分析、探究，又找到了下面这种解法：
原式的倒数．
所以，原式．
请比较刘聪和张明两位同学的解法，选择你喜欢的解法计算：．
【变式8-2】（26-27七年级上·山东枣庄·阶段检测）小明在做有理数运算练习时，遇到了这样一道题：
计算：．
小明仔细观察后发现，把算式分成两部分：和．
这两部分之间有一种特殊的关系，利用这个关系可以不用分别算出两个复杂除法就能得到答案．
探究：
(1)先算出括号里面的结果：__________；
(2)根据（1）中的结果，直接求出两部分的结果，并写出两部分之间有什么特殊关系；
(3)利用（2）中发现的特殊关系计算：．
【题型九】乘方底数容易出错
【例9】（26-27七年级上·吉林长春·期中）对于式子，下列说法正确的是（ ）
A．底数是 B．指数是 C．底数是 D．表示个相乘
易错警示
的底数为，的底数为，的底数为，底数为．
【变式9-1】（26-27七年级上·四川资阳·阶段检测）表示的意义是（ ）
A．2个6相乘的相反数 B．6个2相乘
C．6个2相乘的相反数 D．6个相乘
【变式9-2】（26-27七年级上·广西南宁·期中）下列对于式子的说法，正确的是（ ）
A．指数是2 B．底数是2
C．结果是6 D．表示2个3相乘
【题型十】整点覆盖问题
【例10】（26-27七年级上·山东聊城·阶段检测）数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度为，若在数轴上随意画出一条长的线段，则线段盖住的整点个数为（ ）
A．2025或2026 B．2026或2027 C．2024或2025 D．2027或2028
易错警示
1.忽略“端点是否对齐整数”这个前提，题目大多不给端点位置，答案两个都要写。
2.如果长度本身是小数（如2.6），不管端点在哪，最多盖住3个，最少盖住2个。
3.已知盖住整点个数，求线段长度范围容易出错。
【变式10-1】（25-26七年级上·河北石家庄·阶段检测）数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度为，若在数轴上画出一条长的线段，则盖住的整点个数是（ ）
A．2023或2024 B．2022或2023 C．2024 D．2023
【变式10-2】（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）有一条个单位长的线段，把它放在刻度尺上，最多能覆盖个整数，最少能覆盖个整数，则_____．
【题型一】分类讨论去绝对值
【例1】（25-26七年级上·安徽亳州·阶段检测）阅读材料即当时，；当时，，用这个结论解决下列问题：
(1)已知数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则________；
(2)已知a，b是有理数，当时， _________；
(3)若，则_________．
【变式1-1】下列说法正确的是______（填写序号）
①若，则．②若、互为相反数，且，则③若，则关于方程的解为．④若三个有理数、、满足，则
【变式1-2】（25-26七年级上·宁夏银川·期末）“分类讨论”是解决数学问题的一种重要思想方法，下面是运用“分类讨论”的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的“探究”．
【知识背景】
当时，；当时，；当时，．
【解决问题】
（1）当时， ，当时， ．
（2）如果有理数a、b满足时，则 ．
【类比探究】
三个有理数a、b、c满足，求的值．
【变式1-3】（26-27七年级·全国）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题．
【提出问题】三个有理数a，b，c满足，求的值．
【解决问题】解：由题意得，a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．
①若a，b，c都是正数，即，，时，则；
②若a，b，c中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，，
，
综上所述，的值为3或．
【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题：
(1)三个有理数a，b，c满足，求的值；
(2)若a，b，c为三个不为0的有理数，且，求的值．
【题型二】数轴折叠问题
【例2】（25-26六年级上·全国·期中）如图所示的数轴中，点A表示1，点B表示，试回答下列问题．
(1)A，B两点之间的距离是_________．
(2)观察数轴，与点A的距离为5的点表示的数是_________．
(3)若将数轴折叠，使点A与表示的点重合，则点B与表示数_________的点重合．
(4)若数轴上M，N两点之间的距离为2024（点M在点N的左侧），且M，N两点经过（3）中折叠后互相重合，则M，N两点表示的数分别是_________和_________．
【变式2-1】（26-27七年级上·四川成都·阶段检测）在数轴上剪下长为8个单位长度（从到5）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）．若这三条线段的长度之比为，请直接写出折痕处对应的点可能表示的数________．
【变式2-2】（24-25七年级上·江苏扬州·阶段检测）已知在纸面上有一个数轴（如图），折叠纸面．
(1)若表示的点与表示1的点重合，则表示3的点与表示 的点重合；
(2)若表示1的点与表示的点重合，回答下列问题：
①表示0的点与表示 的点重合；
②若数轴上、两点之间的距离为8，在的左侧），且、两点经折叠后重合，求、两点表示的数多少？
【变式2-3】（25-26七年级上·江苏淮安·期中）【定义】已知点是线段上的一个分点，若点到线段两个端点的距离之比为时，则称点为线段的“理想点”．例如，图1中，点表示的数分别为1，2，4，此时点为线段的“理想点”．如图2，分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为80．
(1)则点之间的距离为___________；
(2)求线段的“理想点”所对应的数；
(3)现将一纸条如图3放置在数轴上，再沿纸条上的某处折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条纸条，若这三条纸条的长度之比为，然后把纸条复原，请计算说明折痕处对应的点在数轴上所表示的数是多少？
【题型三】数轴动点问题
【例3】（25-26七年级上·浙江温州·期中）如图1，已知数轴上点表示的数为，点表示的数为，且满足．是数轴上的一个动点，点到点的距离表示为，点到点的距离表示为．
(1)________，________；
(2)当时，求点所表示的数；
(3)如图2，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，动点从点出发，以与点相同的速度沿数轴向左运动．
①若运动时间均为，用代数式表示，之间的距离；
②若点，之间的距离是点，之间距离的2倍，求此时运动时间的值．
【变式3-1】（24-25七年级上·陕西安康·期末）如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，且a，b满足．动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒．
(1)填空： ， ．
(2)若，求t的值．
(3)动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向运动．点P，Q同时运动，是否存在某一时刻t，使得B，P，Q三点中，有一点恰好是另外两点所连线段的中点？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
【变式3-2】（25-26七年级上·山东济南·期中）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完美地结合．研究数轴我们发现了很多重要的规律．如数轴上点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，则A，B两点之间的距离表示为．
【综合运用】已知点A，B，C为数轴上三个点，表示的数分别是，14，8．
(1)点与点的距离是__________；
(2)若动点从点出发沿数轴正方向运动，动点同时从点出发也沿数轴正方向运动，点的速度是每秒3个单位长度，点的速度是每秒2个单位长度．设运动的时间为秒．
①用含的式子表示：秒后，点表示的数为_______；
②当时，求的值．
(3)在（2）的条件下，P，Q出发的同时，动点从点出发沿数轴正方向运动，速度为每秒5个单位长度，点追上点后立即返回沿数轴负方向运动．求点追上点后再经过几秒，？
【变式3-3】（25-26七年级上·重庆·期中）一个点从数轴的原点开始，先向左移动3个单位到达A点，再向右移动7个单位到达C点；接着将数轴折叠，使点A和点C重合，折点记为B；最后将数轴展开．
(1)直接写出A，B，C三点所表示的数；
(2)动点P从点C出发，以每秒个单位长度向左运动；动点Q，M分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度从A，B两点同时出发，向右运动．记Q与M两点之间的距离为，M与P两点之间的距离为．
①求何时M与Q相距1个单位长度；
②在P，Q，M三个点运动的过程中，是否存在有理数m，使的值始终保持不变，若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．
【题型四】有理数的简便运算
【例4】（26-27六年级上·山东烟台·阶段检测）某初中数学小组学完有理数加法章节后，对一道试题展开了讨论，请你仔细阅读并完成任务．
试题：计算：．
小明：对于这道试题我采用直接运算方法，从左到右先写成省略括号和加号的形式，之后……
小亮：对于这类计算，我发现了一种拆项法．以这道试题为例：
原式
＝________
＝……
小明：这种方法很有趣，值得推荐．
……
任务：
(1)请你帮助小明把原式写成省略括号和加号的形式_____；
(2)题干中横线上空缺的计算结果是_____；
(3)按小亮的方法计算：．
【变式4-1】（25-26七年级上·江西南昌·阶段检测）探究有规律分数的求和方法——裂项相消应用
【规律探寻】
观察一组数，，，，，…，尝试分析其规律并解决相关问题．
（1）根据规律，第8个数是______，是第______个数；
（2）我们知道：，，，…，那么：用含有n的式子表示你发现的规律______；
【方法应用】
．这种方法叫“裂项相消”，构造只有符号不同的中间项，将其全部消掉．
（3）运用上述经验完成下面的计算：．
【变式4-2】（26-27七年级上·河南南阳·阶段检测）阅读下面题目的运算过程，并解决下列问题．
解：原式①
②
③
④
⑤
(1)上述计算过程，在第________步开始出现错误，本题运算的正确结果是________；
(2)第①步的变形依据是________；（填选项）
A．加法交换律 B．乘法交换律 C．加法结合律 D．乘法结合律
(3)计算：．
【变式4-3】（26-27七年级上·四川成都·阶段检测）老师为了强化同学们的运算思维，提高数学运算能力，布置了一道有意思的计算题，鼓励大家用不同的方法计算．以下是三名同学的计算过程．
甲：原式．
乙：原式．
丙：原式的倒数，所以原式．
(1)比较他们的做法，其中_______的做法是错误的．
(2)选择合适的方法计算：．
(3)求:的值．
【题型五】规律问题
【例5】（25-26七年级上·湖南·期末）正方形在数轴上的位置如图所示，点A，D表示的数分别为 和，若正方形绕着顶点按顺时针方向在数轴上连续无滑动翻转，则在数轴上与数2026对应的是（ ）
A．点D B．点C C．点B D．点A
【变式5-1】（25-26七年级上·江苏镇江·期末）如图，把周长为3个单位长度的圆放到数轴（单位长度为1）上，三点将圆三等分，将点与数轴上表示1的点重合，然后将圆沿着数轴正方向滚动，依次为点与数轴上表示2的点重合，点与数轴上表示3的点重合，点与数轴上表示4的点重合，…若当圆停止运动时点正好落到数轴上，则点对应的数轴上的数可能为（ ）
A．2026 B．2025 C．2024 D．2023
【变式5-2】（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）正六边形在数轴上的位置如图所示，点和对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点逆时针方向在数轴上向左连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为．按此规律继续翻转下去，数轴上所对应的顶点是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】（25-26七年级上·江苏常州·阶段检测）已知，等边（三条边都相等的三角形）在数轴上的位置如图所示．
(1)将从如图所示的位置沿数轴向左滚动一圈（滚动一圈指线段再次落在数轴上），则点表示的数是___________；
(2)将从如图所示的位置沿数轴向右滚动，则数2018表示的点与点___________重合；
(3)将从如图所示的位置沿数轴滚动，向右滚动的圈数记为正数，向左滚动的圈数记为负数，依次运动情况记录如下：．
①第___________次滚动后，点A离原点最远；
②当结束滚动时，点表示的数是___________．
【题型六】新定义问题
【例6】（26-27七年级上·河南周口·阶段检测）定义：已知点M，N，Q为数轴上三点，我们规定：点Q到点M的距离是点Q到点N的距离的K倍，则称Q是的“K倍点”，记作∶．例如∶若点Q表示的数为0，点M表示的数为，点N表示的数为1，则Q是的“2倍点”，记作∶．应用：如图有一条数轴，A、B、P为数轴上三点，分别对应，5，．
(1)①P、B两点之间的距离是 ；
②求的值；
(2)若点C在数轴上且，求点C表示的数；
(3)若点D是数轴上一点，且，直接写出点D表示的数．
【变式6-1】（26-27七年级上·江苏徐州·阶段检测）由乘方的定义可知：（个相乘）．观察下列算式回答问题：
(1)________；
(2)________；
(3)计算：①
②
【变式6-2】（26-27七年级上·广东佛山·阶段检测）【定义新知】
数轴上有三个点，给出如下定义：若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其他两个点的“关联点”．例如：如图，数轴上点A，B，C，D所表示的数依次为1，2，3，4，点B到点D的距离等于点B到点A距离的2倍，此时点B是点A，D的“关联点”；点C到点A的距离等于点C到点D距离的2倍，点C也是点A，D的“关联点”．
(1)【尝试应用】
若数轴上点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为1，请判断点A是否为点B，C的“关联点”，并说明理由．
(2)【拓展探索】
若数轴上点A表示的数为，点B表示的数为1，P为数轴上一个动点：
①当点P在点A的右侧，且点P是点A，B的“关联点”，求此时点P所表示的数；
②当点P在点A的左侧，点P，A，B中，有一个点恰好是其他两个点的“关联点”，请直接写出此时点P所表示的数．
【变式6-3】（26-27七年级上·江苏南京·阶段检测）已知，如图，数轴上依次有A、B、C三点，它们在数轴上对应的数分别是a、b、c，其中a、c满足，点B到点A的距离为20．
(1)求a、b、c的值．
(2)如图1，动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿着数轴的正方向运动，动点Q从点C出发，以每秒3个单位长度的速度沿着数轴的负方向运动，P、Q两点同时出发，在点M处相遇，求出相遇点M所对应的数是多少；
(3)如图2，将数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”，（图中A、C两点在“折线数轴”上的距离为28个单位长度）．动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复；同时，动点Q从点C出发以每秒1个单位长度的速度沿着“折线数轴”的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的2倍，之后立刻恢复，设运动时间为t秒，请直接写出当t为何值时，P、O两点在“折线数轴”上的距离与Q、B两点在“折线数轴”的距离相等．
【题型七】绝对值最值问题
【例7】（24-25七年级上·四川·期中）数轴上表示整数的点称为整点．数轴上点M表示的数为a，点N表示的数为，其中a为负整数，如果在线段上有201个整点（包括M和N点），则代数式的最小值为____．
【变式7-1】（26-27七年级上·江苏泰州·阶段检测）我们知道的几何意义是：数轴上表示a的点与原点的距离，即．这个结论可以推广为：
①表示在数轴上表示数a、b的两点间的距离；
②表示在数轴上表示数a、的两点间的距离；
根据以上结论探究：
(1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是______；如果表示数a和的两点之间的距离是4，那么______．
(2)若数轴上表示数a的点位于与3之间，则的值为______．
(3)利用数轴解决问题：当_____时，的值最小，最小值是______．
(4)利用数轴解决问题：的最小值是______．
【变式7-2】（25-26六年级上·上海·阶段检测）在一条直线上有依次排列的（）台机床在工作，我们要设置一个零件供应站，使这台机床到供应站的距离总和最小．要解决这个问题，先“退”到比较简单的情形：如图①，如果直线上有台机床时，很明显设在和间的任何地方都行，因为甲和乙所走的距离之和等于和的距离．
如图②，如果直线上有台机床时，不难判断，供应站设在中间处最合适，不难知道，如果直线上有台机床，应设在第台与第台之间的任何地方；有台机床，应设在第台位置．
(1)如果直线上有台机床，应在何处？
(2)有台机床时，应设在何处？
(3)求的最小值．
(4)求的最小值．
【变式7-3】（26-27七年级上·浙江宁波·阶段检测）同学们都知道，表示与的差的绝对值，实际上也可理解为在数轴上正数对应的点与负数对应的点之间的距离，试探索：
(1) ______；如果，则______．
(2)求的最小值，并求此时的取值范围；
(3)由以上探索及猜想，计算的最小值．
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