专题02 代数式（知识&考点&公式&22高频&5易错&5重难，期中知识清单）七年级数学上学期新教材苏科版
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精品
内容正文：
专题02 代数式
目 录
识记类
思维导图
知识清单(9类)
考点清单(4类)
辨析清单(7类)
题型类
高频题型清单(22类)
易错题型清单(5类)
重难题型清单(5类)
知识点01 字母表示数
用字母表示数之后，有些数量之间的关系用含有字母的式子表示，看上去更加简明，更具有普遍意义了．
例如：如果用a、b表示任意两个有理数，那么加法交换律可以用字母表示为：a＋b＝b＋a．乘法交换律可以用字母表示为：ab＝ba．
如果用x表示长方形的长，y表示长方形的宽，则长方形的面积可表示为：S=xy；周长可表示为：C=2（x+y）。
知识点02 代数式的概念
1．代数式的定义：如：16n ，2a+3b ，34 ，，等式子用 把 和 连接而成的，像这样的式子叫做代数式，单独的一个数或一个字母也是代数式．
【点拨】带等号或不等号的式子不是代数式，如，，等都不是代数式．
2．列代数式：在解决实际问题时，常常先把问题中与数量有关的词语用代数式表示出来，即列出代数式，使问题变得简洁，更具一般性．
【点拨】代数式的书写规范：
（1）字母与数字或字母与字母相乘时，通常把乘号写成“· ”或省略不写；
（2）除法运算一般以分数的形式表示；
（3）字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面；
（4）字母前面的数字是分数的，如果既能写成带分数又能写成假分数，一般写成假分数的形式；
（5）如果字母前面的数字是1，通常省略不写．
知识点03 单项式的概念
1．单项式的定义：如，，-1，它们都是 与 的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．
【点拨】单项式一定是代数式，但若分母中含有字母的代数式，如就不是单项式，因为它无法写成数字与字母的乘积．
2．单项式的系数：单项式中的 叫做这个单项式的系数．
【点拨】①确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数．
②圆周率π是常数，单项式中出现π时，应看作系数．
③当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写．
④单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如：写成．
3．单项式的次数：一个单项式中，所有字母的 叫做这个单项式的次数．
【点拨】没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏．
知识点04 多项式的概念
1．多项式的定义：几个单项式的 叫做多项式．
2．多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做 ．
3．多项式的次数：一个多项式中， 的项的次数，叫做这个多项式的次数．
①多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中 的单项式的次数．
②一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出．
4．升幂排列与降幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母降幂排列；若按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列．
①重新排列多项式时，每一项一定要连同它的正负号一起移动；
②含有两个或两个以上字母的多项式，常常按照其中某一个字母的升幂排列或降幂排列．
知识点05 整式
1．概念： 与 统称为整式．
2．单项式、多项式、整式与代数式这四者之间的关系：单项式、多项式必是整式，整式必是代数式，但反过来就不一定成立．
3．分母中含有字母的式子一定不是整式，但是代数式．
知识点06 同类项的概念
定义：所含 ，并且 也分别相等的项叫做同类项．几个常数项也是同类项．
【点拨】(1)判断是否同类项的两个条件：
① ；
② ，同时具备这两个条件的项是同类项，缺一不可．
(2)同类项与 无关，与 无关．
(3)一个项的同类项有无数个，其本身也是它的同类项．
知识点07 合并同类项
1. 概念：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．
2．法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的 ，且 不变．
【点拨】合并同类项的根据是乘法分配律的逆运用，运用时应注意：
(1)不是同类项的不能合并，无同类项的项不能遗漏，在每步运算中都含有．
(2) 合并同类项，只把系数 ， 、 不作运算.
知识点08 去括号
1. 去括号法则
如果括号外的因数是 ，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；
如果括号外的因数是 ，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．
【点拨】
（1）去括号法则实际上是根据乘法分配律推出的：当括号前为“+”号时，可以看作+1与括号内的各项相乘；当括号前为“-”号时，可以看作-1与括号内的各项相乘．
（2）去括号时，首先要弄清括号前面是“+”号，还是“”号，然后再根据法则去掉括号及前面的符号．
（3）对于多重括号，去括号时可以先去小括号，再去中括号，也可以先去中括号．再去小括号．但是一定要注意括号前的符号．
（4）去括号只是改变式子形式，但不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形．
2．添括号法则
添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号；
添括号后，括号前面是“”号，括到括号里的各项都要改变符号．
【点拨】
(1)添括号是添上括号和括号前面的符号，也就是说，添括号时，括号前面的“+”号或“”号也是新添的，不是原多项式某一项的符号“移”出来得到的．
(2)去括号和添括号是两种相反的变形，因此可以相互检验正误：
如：，
知识点09 整式的加减
一般地，几个整式相加减，如果有括号就先 ，然后再 ．
【点拨】（1）整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项．
（2）两个整式相加减时，减数一定先要用括号括起来．
（3）整式加减的最后结果中：①不能含有同类项，即要合并到不能再合并为止；
②一般按照某一字母的降幂或升幂排列；
③不能出现带分数，带分数要化成假分数．
考点01 代数式
考点内容：代数式的概念；列代数式；代数式求值．
常见考法：
①判断代数式写法是否正确：数字前置、带分数化假分数、除法写成分数、加减式带单位要加括号；
②文字转式子，重点区分：平方差、差的平方；增加了/增加到；除与除以；配套面积、利润、增长率问题；
③直接代入求值，给字母数值代入计算；负数、分数代入必须添括号，防止符号出错；
④整体代入求值，不单独求字母，把已知式子整体变形．
考点02 整式
考点内容：单项式；多项式；整式的概念．
常见考法：
①判断是不是代数式、整式、单项式、多项式；
②求单项式的系数、次数；系数包含负号，是常数，不算字母；
③判断是几次几项式、找常数项、写出多项式的项；按指定字母做升幂、降幂排列．
考点03 同类项
考点内容：同类项的概念．
常见考法：
①判断两组单项式是否为同类项。要点：字母相同、相同字母指数相同；和系数大小、字母顺序无关；所有常数项都是同类项；
②若两个单项式是同类项，相同字母的指数相等，列等式解方程求参数；
③判断合并同类项计算对错；只有同类项才能合并，不是同类项不能合并；
④先用同类项性质算出字母的值，再代入整式计算结果；
⑤两个同类项相加，合并后该项消失 → 两项系数互为相反数，求参数．
考点04 整式加减法
考点内容：去括号法则；化简求值．
常见考法：
①去括号、合并同类项正误判断；
②直接给式子，要求化简，纯计算，练去括号和合并；
③先化简，再代值；条件经常搭配绝对值、平方的非负性；
④同类项结合整式加减求参数，先根据同类项求出字母参数，再代入整式加减式子计算；
⑤不含某项、与字母取值无关，令对应项系数等于0，求参数；
⑥看错运算题型，把“减去一个整式”错看成“加上这个整式”，算出错误结果，求正确答案；
⑦几何应用：周长、面积列式化简，给长方形、组合图形，用整式表示周长或者面积，化简后代入求值；
⑧实际应用题（方案选择），列出两种方案的整式，化简，代入数据比较大小，选择划算方案；
⑨规律探究，图形/数字规律，列出整式并化简，写出第n个代数式．
辨析01 代数式 vs 等式 vs 不等式概念辨析易错
代数式：只有数字、字母、运算符号，不含=、>、<、≠．
辨析02 整式概念易错
单项式+多项式为整式，分母不含字母，分母含有字母，不是整式．
辨析03 单项式的系数易错
系数包含前面正负号，如的系数为，1一般省略不写，如的系数为1，不是字母，如ab的系数为．
辨析04 次数易错
单项式次数=所有字母指数相加，数字指数不算，多项式次数（只取最高项次数，不能相加）．
辨析05 同类项辨析易错
同类项判定三句话：字母完全相同；相同字母的指数完全相等；与系数大小、字母排列顺序无关．
辨析06 去括号符号易错
，正号去括号，符号不变；，负号去括号，每一项全部变号．
辨析07 代数式书写格式易错
数字写在字母前面，除法写成分数，带分数必须化成假分数，加减代数式带单位，整体加括号．
【题型一】列代数式
【例1】（2026·江苏盐城·中考真题）在“苏超”场外市集上，小明购买了个“麋鹿王”、个“盐小勺”、个“盐小饼”，它们的单价分别为元、元、元，共需支付的金额（单位：元）为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期中）一次竞赛共有30道选择题，规定：答对一道得3分，不答或答错一道扣1分，如果某位学生答对了a道题，则用式子表示他的成绩（单位：分）为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（25-26七年级上·河北石家庄·期中）一个两位数，十位数字是b，个位数字是a，这个两位数可表示为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（2026·河南洛阳·一模）某文创店售卖马年纪念徽章，若每个售价为5元，则x个纪念徽章的销售总价为_____元．
【题型二】代数式的概念
【例2】（25-26六年级下·黑龙江绥化·期末）下列式子：①、②、③、④、⑤0、⑥，其中代数式的个数是（ ）．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式2-1】（26-27七年级上·江苏盐城·阶段检测）下列各式不是代数式的是（ ）
A．127 B． C． D．
【变式2-2】（26-27七年级上·江苏盐城·阶段检测）在下列各式中，哪一项不是代数式（ ）
A． B．2 C． D．
【变式2-3】（26-27七年级上·四川达州·阶段检测）下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中代数式有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【题型三】代数式的书写
【例3】（26-27七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）下列代数式中，符合代数式书写要求的有（ ）
（1）；（2）；（3）；（4）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式3-1】（26-27七年级上·四川成都·期中）下列各式中，符合代数式书写规范的是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（26-27七年级上·湖北襄阳·阶段检测）下列代数式书写规范的是（ ）
A．元 B． C． D．
【变式3-3】（26-27七年级上·江苏无锡·阶段检测）下列代数式中，符合书写要求的是（ ）
A． B． C． D．
【题型四】已知字母的值，求代数式的值
【例4】（26-27七年级上·河南周口·阶段检测）若是5，，且满足，则的值为（ ）
A．3 B．3或 C．或 D．13
【变式4-1】（26-27七年级上·江苏南京·阶段检测）若，则的值为______.
【变式4-2】（26-27七年级上·黑龙江·期中）若，则代数式的值是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】（26-27七年级上·湖北襄阳·阶段检测）已知：若与互为相反数，则______．
【题型五】已知式子的值，求代数式的值
【例5】（26-27七年级上·黑龙江大庆·阶段检测）若 a、b 互为相反数，c、d 互为倒数，则的值是（ ）
A．0 B． C．2 D．无法确定
【变式5-1】（26-27七年级上·浙江温州·阶段检测）已知互为相反数，互为倒数，则的值_________．
【变式5-2】（26-27七年级上·河南南阳·阶段检测）若，则的值为________．
【变式5-3】（26-27七年级上·江苏南京·阶段检测）已知，互为相反数，，互为倒数，，则_______．
【题型六】程序流程图与代数式求值
【例6】（26-27七年级上·山东青岛·阶段检测）有一个数值转换器，原理如下图所示，若开始输入x的值是5，可发现第1次输出的结果是16，第2次输出的结果是8，第3次输出的结果是4，依次继续下去，第2026次输出的结果是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【变式6-1】（26-27七年级上·江苏苏州·阶段检测）按如图所示的程序运算，若输入x的值是15，第1次输出的结果是18，则第2026次输出的结果是______．
【变式6-2】（25-26六年级下·山东泰安·期末）按如图所示的程序计算：若开始输入的值为4，则最后输出的结果是（ ）
A．40 B．95 C．112 D．160
【变式6-3】（26-27七年级上·山东临沂·阶段检测）如图是一个数值转换机，若a输入的值为，则输出的结果应为________．
【题型七】单项式的判定
【例7】（25-26七年级上·上海·期中）在整式，，，，中，单项式的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式7-1】（26-27七年级上·吉林长春·阶段检测）下列式子中，是单项式的是（ ）
A． B． C． D．
【变式7-2】（2026·上海奉贤·三模）下列代数式中，不是单项式的是（ ）
A． B． C． D．
【变式7-3】（26-27七年级上·江苏无锡·阶段检测）给出下列式子：，．其中单项式的个数是（ ）
A． B． C． D．
【题型八】单项式的系数、次数
【例8】（26-27七年级上·重庆·期中）下列说法正确的是（ ）
A．的系数是 B．是5次单项式
C．是多项式 D．的常数项是3
【变式8-1】（25-26七年级上·广西桂林·期中）单项式的系数是（ ）
A．5 B． C． D．1
【变式8-2】（26-27七年级上·江苏盐城·阶段检测）关于代数式，下列说法正确的是（ ）
A．它的次数是4 B．它的系数是3 C．它是多项式 D．它不是整式
【变式8-3】（26-27八年级上·黑龙江·阶段检测）关于单项式，下列说法正确的是（ ）
A．系数是，次数是2 B．系数是，次数是3
C．系数是2，次数是3 D．系数是，次数是1
【题型九】单项式规律题
【例9】（26-27七年级上·云南·期中）观察下列代数式：，，，，，…，则第个代数式是（ ）
A． B． C． D．
【变式9-1】（26-27七年级上·江苏盐城·阶段检测）观察下列单项式：，，，，…，按此规律，第个单项式是________．
【变式9-2】（26-27七年级上·江苏泰州·期中）观察下列单项式：，，，，…，按此规律，第个单项式的系数是______．
【变式9-3】（26-27七年级上·吉林长春·阶段检测）按规律排列的一列单项式：，，，，…，则第个单项式是__________．
【题型10】多项式的判断
【例10】（25-26七年级上·江苏扬州·期末）下列说法：多项式是二次三项式；单项式的系数是；5是单项式； 是多项式．其中正确的有（ ）
A． B． C． D．
【变式10-1】（26-27七年级上·全国·课后作业）下列代数式，，，，，，中，多项式有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【变式10-2】（25-26七年级上·广东茂名·期中）下列说法正确的是（ ）
A．的系数是 B．的次数是5
C．是多项式 D．的常数项是3
【变式10-3】（26-27七年级上·北京海淀·阶段检测）关于整式的概念，下列说法：①的系数是；②的次数是6；③0作为单项式的次数为0；④是五次三项式，其中正确的说法的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【题型11】多项式的项、项数或次数
【例11】（26-27七年级上·四川·期中）多项式的次数和项数分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【变式11-1】（26-27八年级上·黑龙江·阶段检测）多项式的次数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．2
【变式11-2】（26-27七年级上·北京海淀·阶段检测）多项式：的常数项是______
【变式11-3】（26-27七年级上·北京·期中）多项式是________次________项式．
【题型12】多项式系数、指数中字母求值
【例12】（26-27七年级上·重庆沙坪坝·阶段检测）整式是四次三项式，则的值为（ ）
A．或 B． C． D．或
【变式12-1】（26-27七年级上·上海浦东新·阶段检测）已知是关于的二次三项式，那么_____．
【变式12-2】（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）若多项式是关于的二次二项式，则________．
【变式12-3】（25-26七年级上·河南信阳·期末）多项式是关于、的六次三项式，则取值为_____．
【题型13】升（降）幂排列
【例13】（25-26七年级下·北京顺义·期中）以下各组多项式按字母降幂排列的是（ ）
A． B． C． D．
【变式13-1】（25-26七年级下·北京延庆·期中）把多项式按字母降幂排列为___________．
【变式13-2】（25-26七年级上·河南周口·期中）多项式_______是按的升幂排列的六次四项式，请在横线上填写所缺的项．（写出一种情况即可）
【变式13-3】（26-27七年级上·广东汕头·阶段检测）多项式按字母x的升幂排列是______．
【题型14】整式的判断
【例14】（25-26七年级上·广东广州·期中）下列式子：，，，，，，，中，整式有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【变式14-1】（25-26七年级上·广西桂林·期中）下列说法正确的有（ ）个
①多项式的常数项是1；②多项式是五次二项式；
③是单项式；④是多项式；⑤6是整式；
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式14-2】（26-27七年级上·重庆沙坪坝·阶段检测）给出下列式子：0，，，，其中整式的个数是（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式14-3】（26-27七年级上·上海·阶段检测）下列说法错误的是（ ）
A．0和是单项式； B．的系数是，次数是；
C．和都不是代数式； D．和都是整式．
【题型15】同类项的判断
【例15】（26-27七年级上·江苏泰州·期中）下列单项式中，与 是同类项的是（ ）
A． B． C． D．
【变式15-1】（26-27七年级上·北京西城·阶段检测）下列各组单项式中不是同类项的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【变式15-2】（26-27七年级上·上海浦东新·阶段检测）下列各组单项式中，是同类项的是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
【变式15-3】（26-27七年级上·北京海淀·阶段检测）若单项式与是同类项，则______．
【题型16】已知同类项，求参数的值
【例16】（26-27七年级上·全国·期中）若与是同类项，则的值是________．
【变式16-1】（26-27七年级上·江苏泰州·期中）若与的和仍是单项式，则__________．
【变式16-2】（26-27七年级上·湖南·期中）如果关于x、y的单项式与的和是一个单项式，那么___________ .
【变式16-3】（26-27七年级上·江苏盐城·阶段检测）单项式与是同类项，那么________．
【题型17】合并同类项
【例17】下列运算，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式17-1】（26-27七年级上·北京海淀·阶段检测）下列运算中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式17-2】（26-27七年级上·江苏盐城·阶段检测）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式17-3】（26-27七年级上·北京西城·阶段检测）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【题型18】去括号
【例18】（2026·四川德阳·中考真题）下列去括号正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式18-1】（26-27七年级上·江苏无锡·阶段检测）化简的结果是（ ）
A． B．
C． D．
【变式18-2】（26-27七年级上·吉林长春·阶段检测）下列去括号正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式18-3】（2026秋•无锡校级月考）化简-[a-（b-c）]的结果是（ ）
A．-a+b-c B．-a+b+c C．-a-b+c D．a-b+c
【题型19】整式的加减运算
【例19】（24-25七年级上·湖南邵阳·期中）化简
(1)
(2)
【变式19-1】（25-26七年级上·吉林长春·期中）化简：
(1)；
(2)
【变式19-2】（25-26七年级上·江苏常州·期中）化简：
(1)；
(2)．
【变式19-3】（25-26七年级上·江西吉安·期中）化简：
(1)；
(2)．
【题型20】整式加减中的化简求值
【例20】（26-27七年级上·安徽·期中）先化简，再求值：，其中，．
【变式20-1】（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期中）先化简，再求值：，其中x是最大的负整数，．
【变式20-2】（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）先化简，再求值，其中，．
【变式20-3】（25-26七年级下·湖南衡阳·期中）先化简，再求值：，其中．
【题型21】整式加减中的无关问题
【例21】（25-26七年级上·四川成都·期中）已知：，．
(1)计算的表达式；
(2)若代数式值与字母x的取值无关，求代数式的值．
【变式21-1】（26-27七年级上·重庆沙坪坝·阶段检测）已知，，且的值与、的取值无关，则的值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．9
【变式21-2】（26-27七年级上·重庆江北·阶段检测）当______时，关于，的多项式中不含项．
【变式21-3】（25-26七年级上·河南周口·期中）已知关于x的多项式A和B，其中（m，n为常数），．
(1)若多项式A的值与字母x的取值无关，求m、n的值；
(2)当，时，求；
(3)在（2）的条件下，若，求的值．
【题型22】整式加减实际应用
【例22】（25-26七年级下·江苏徐州·期中）如图，某小区有一块长为米、宽为米的长方形空地，小区管理部门在空地的一角规划了一个长为米、宽为b米的小长方形花园．
(1)请用含a，b的式子表示图中阴影部分的面积S．（用代数式表示并化简）
(2)小区管理部门打算在剩余空地（图中阴影部分）铺上地砖，若，，预计每平方米地砖的价格是50元，求购买所需地砖的费用．
【变式22-1】（25-26七年级上·河北保定·期末）一元一次方程解决实际问题
某球队为备战新赛季，计划从体育用品店采购训练用足球和护腿板，已知足球每个定价180元，护腿板每个定价40元，商店提供两种优惠方案：
方案一：买1个足球送1个护腿板；
方案二：足球和护腿板都按定价的付款，该球队需购买足球35个，护腿板个．
(1)方案一的总付款金额为___________元（用含的代数式表示并化简），方案二的总付款金额为___________元（用含的代数式表示并化简）；
(2)当时，哪种方案更省钱？计算说明理由；
(3)当时，该球队是否存在更省钱的混合采购方案？若存在，写出方案并计算总费用．
【变式22-2】（25-26七年级上·湖北孝感·期中）下表是某品牌网约车的收费标准．
收费标准
起步费
不超过3公里为12元
里程费
超过3公里后超过部分2元公里
远途费
超过10公里后超过部分0.4元公里
时长费
超过10分钟后超过部分0.6元分钟
例：乘车里程为20公里，行车时间30分钟，车费为：
（元）
请回答以下问题：
(1)小华家到影院的路程是公里，若乘该品牌网约车约需要分钟，求所需车费多少元？
(2)小华乘该品牌网约车外出，行车里程为公里，行车时间为分钟，求所需车费多少元(用含a、b的代数式表示)？
(3)小华与小明都乘坐该品牌网约车到该市某景点游玩，行车里程分别为公里、公里，若汽车在市区内限速公里小时，小华比小明乘车时间多用了分钟，请通过计算说明谁付的车费多？
【变式22-3】（25-26七年级上·河南·期末）如图，公园有一块长为米，宽为米的长方形土地（一边靠着墙），现将三面留出宽都是米的小路，余下部分设计成花圃，并用篱笆把花圃不靠墙的三边围起来．
(1)花圃的宽为______米，花圃的长为______米；（用含的式子表示）
(2)求篱笆的总长度；（用含的式子表示）
(3)若，篱笆的单价为50元/米，请计算篱笆的总价．
【题型一】代数式、单项式、多项式、整式的概念混淆
【例1】（26-27七年级上·山西·期中）下列说法正确的是（ ）
A．的系数是 B．是多项式
C．是5次单项式 D．的常数项是3
易错警示
1. 带=、>、<就不是代数式。
2. 单独数字、字母是代数式。
3.单项式：数与字母的积，不含加减；多项式：单项式相加。
4.分母中带有字母的不是整式。
【变式1-1】下列说法正确的是（ ）
A．的系数是 B．是5次单项式
C．是多项式 D．的常数项是3
【变式1-2】（26-27七年级上·江苏扬州·阶段检测）下列说法正确的是（ ）
A．系数是，次数是2 B．多项式是二次三项式
C．一定是一个正数 D．一定是一个正数
【题型二】单项式系数与次数，多项式的次数
【例2】（25-26七年级上·河南周口·期末）下列说法中，正确的是（ ）
A．单项式的系数是
B．多项式是二次三项式
C．整式就是多项式
D．单项式的次数是0
易错警示
1. 单项式的系数必须带符号。
2. 次数只算字母指数，数字不算；常数项次数为0。
3. 多项式次数=最高次项次数，不能把所有次数相加。
【变式2-1】（25-26七年级上·河南郑州·期中）下列关于单项式和多项式的说法中，正确的是（ ）
A．单项式的系数是，次数是4
B．单项式的次数是1，没有系数
C．多项式 是二次三项式
D．与是同类项
【变式2-2】（25-26七年级上·山东聊城·期末）下列说法错误的是（ ）
A．代数式，，都是整式
B．单项式的系数是．次数是2
C．多项式次数是3
D．多项式的二次项的系数是
【题型三】去括号符号错误
【例3】化简
(1)
(2)
易错警示
1.负号去括号，只变第一项，后面不变。
2.括号前有系数，漏乘后面某些项。
3.系数是负数，分配时符号搞错。
4.多项式相减，后一个多项式没有整体加括号、整体变号。
【变式3-1】（25-26七年级上·四川泸州·期中）化简：
【变式3-2】化简：
(1)．
(2)．
(3)．
【题型四】判定同类项只看字母，忽略指数
【例4】（26-27七年级上·上海宝山·阶段检测）已知单项式与的和是单项式，则的值是________．
易错警示
判定三条件：字母相同、相同字母指数相同；与系数、字母顺序无关。
【变式4-1】（26-27七年级上·辽宁沈阳·阶段检测）下列说法正确的是（ ）
A．的系数是，次数是3 B．与是同类项
C．正有理数和负有理数统称为有理数 D．
【变式4-2】（26-27七年级上·湖北武汉·阶段检测）已知与（m是正整数）是同类项，那么______．
【题型五】无关型问题只令一项系数为0，漏掉其余同类项
【例5】（26-27七年级上·上海·阶段检测）关于、的多项式合并后不含二次项，求的值．
易错警示
1. 只把看到的第一项系数设为0，漏掉其他同类项。
2. 混淆“不含某一项”和“与字母无关”。
3. 去括号、合并同类项的时候符号出错，系数算错。
4.求出参数之后，忘记代入求代数式的值。
5.理解反了，把常数项系数设为0。
【变式5-1】（26-27七年级上·江苏泰州·期中）已知，．
(1)求；
(2)若的值与 x 的取值无关，求 y 的值．
【变式5-2】（25-26七年级上·四川成都·阶段检测）已知，．
(1)若，求．（用含，的式子表示）
(2)若的值与的取值无关，求的值．
【题型一】整体代入求值
【例1】（25-26七年级上·四川泸州·期中）【阅读理解问题】数学中，运用整体思想的方法在求代数式的值中非常重要．
例如：已知，则代数式．
请你根据以上材料解答以下问题：
(1)若，求的值；
(2)若，求的值；
(3)当时，代数式的值是5，求当时，代数式的值．
【变式1-1】（25-26七年级上·福建莆田·期中）关于x的算式，当x取任意一组相反数与时，若式子的值相等，则称之为“偶代数式”；若式子的值互为相反数，则称之为“奇代数式”；例如算式是“偶代数式”，是“奇代数式”．
(1)以下算式中，“偶代数式”的有 ，是“奇代数式”的有 ；(将正确选项的序号填写在横线上)
①；②；③．
(2)对于整式，当分别取与时，求整式的值分别是多少．
(3)对于整式，当分别取，，，，，，，，时，求这九个整式的值之和．
【变式1-2】（25-26七年级上·山东德州·期中）数学中，运用整体思想方法在求代数式的值中非常重要．例如：已知，则代数式．
请你根据以上材料解答以下问题：
(1)若，的值为___________；
(2)当时，代数式的值是5，求当时，代数式的值；
(3)当时，代数式的值为，求当时，代数式的值（用含的式子表示）．
【变式1-3】（25-26七年级上·安徽六安·期中）【素材呈现】“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，如下题所示：
若代数式的值为0，则代数式的值为______．
【阅读理解】
小哲在解答时采用的方法如下：
解：由题意，得，
即，………………①
①×2，得，
所以．
【方法运用】仿照上面的方法，解决下面问题：
(1)若代数式的值为，求代数式的值；
(2)已知：当时，代数式的值为，求当时，代数式的值．
【题型二】新定义问题
【例2】（25-26七年级上·江苏徐州·期中）一个两位数的十位上的数为，个位上的数为，这个两位数记作（即）；一个三位数的百位上的数为，十位上的数为，个位上的数为，这个三位数记作．
(1)小明发现：如果能被9整除，那么就能被9整除．请补全小明的证明思路（表示因为，表示所以）．
证明： ① ② ③ ④ ，
又代数式④，都能被9整除，
能被9整除．
(2)能被整除吗？请说明理由；
【变式2-2】（25-26七年级下·四川乐山·期中）若一个四位正整数（各个数位均不为0），十位和千位数字相同，个位和百位数字相同，则称该数为“双生数”例如：3131、4646都是“双生数”；将一个四位正整数的百位和十位交换位置后得到一个四位数，规定．例如：若 则．
(1)填空： ；
(2)证明任意“双生数”的一定能被10整除；
(3)若一个“双生数”，当能被整除时，求的最大值．
【变式2-3】（25-26七年级下·福建泉州·期中）阅读与探究
阅读下列材料，并解答后面的问题：
“四平八稳”
在中华传统文化中，“四平八稳”常用来形容做事稳妥、周全，不偏不倚，其中“四”与“八”也象征着平衡与和谐．对于一个各个数位上的数字均不为0的四位正整数，若千位上的数字与个位上的数字之和等于百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数为“平稳数”．对于平稳数m，任意去掉一个数位上的数字，可以得到四个三位数，这四个三位数的和记为．
举例说明：
取，因为千位与个位之和，百位与十位之和，且，所以6336是平稳数．去掉千位得336，去掉百位得636，去掉十位得636，去掉个位得633，则．
(1)四位数8442 平稳数（填是或不是）；
(2)已知8424是平稳数，计算；
(3)若一个平稳数m的千位上的数字与个位上的数字之和为12，且能被5整除，求满足条件的所有平稳数中的最大数．
【题型三】方案选择问题
【例3】（25-26七年级上·湖北襄阳·期中）陕北窑洞是陕北地区重要的文化符号和居住方式，具有冬暖夏凉、经济省工的特点．如图是某窑洞的一扇窗户，窗框（图中所有线条）为铝合金材料，上半部分是由三个扇形组成的半圆形，下半部分是两个大小相等的长方形，长方形的长为，宽为，半圆形的直径为，窗户全部安装玻璃．（取3，单位：米，铝合金窗框宽度忽略不计）
(1)用含，的代数式表示制作一扇这样的窗户需要铝合金的总长度；
(2)用含，的代数式表示制作一扇这样的窗户需要玻璃的总面积；
(3)某公司需要购进10扇这样的窗户，在同等质量的前提下，甲、乙两个厂商分别给出如表报价：
铝合金（元/米）
玻璃（元/平方米）
甲厂商
180
80
乙厂商
200
75
当，时，该公司在哪家厂商购买窗户较合算？（不计其他费用）
【变式3-1】（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期中）国庆期间：某商场有以下促销活动：
①先提价，再打八折销售；
②先提价，再让利30元销售；
③先涨价b元，再打7.5折销售；
(1)若商品的原价为a元，用代数式分别表示三种方案的销售价格：①____________元；②____________元；③____________元．
(2)若，三种方案哪种最省钱？
【变式3-2】（25-26七年级上·吉林长春·期末）某书店销售图书和笔记本，图书每本定价40元，笔记本每本定价5元，“读书月”期间推出两种优惠方案：
方案一：买1本图书送1本笔记本；
方案二：图书和笔记本都打八八折销售．
现有一名读者计划购买图书15本，笔记本y本．
(1)按方案一购买，需付款_____________元；按方案二购买，需付款_____________元．（用含y的代数式表示）
(2)当时，选择哪种方案更省钱？请计算说明．
(3)若该读者想买15本图书和30本笔记本，如何组合购买最节省？需要花费多少元？
【变式3-3】（26-27七年级上·江苏无锡·阶段检测）某体育用品商店出售的乒乓球拍和乒乓球进价、售价如下表：
进价
售价
乒乓球拍
30元副
元副
乒乓球
1元个
元个
某乒乓球队打算购买15副乒乓球拍，120个乒乓球．
(1)该乒乓球队共需花费________元（结果用含，的式子表示）；
(2)今年“五一”期间该商店开展让利促销活动，提供两种不同的促销方案：
方案一：买一副乒乓球拍送2个乒乓球；
方案二：每购买100个乒乓球赠送1副乒乓球拍．
①按方案一购买要花多少钱？若按方案二购买需要多少钱？（结果用含，的式子表示）
②当，时，请你为该乒乓球队设计一个省钱的购买方案，计算并说明理由．
【题型四】规律探究问题
【例4】（26-27七年级上·湖北恩施·期中）观察下列等式：；；；；…
(1)按此规律，写出第个等式；
(2)用含的式子表示第个等式；
(3)利用上述规律，求的值．
【变式4-1】（26-27七年级上·安徽蚌埠·阶段检测）观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)请直接写出第5个等式： ；
(2)利用规律计算：的值．
【变式4-2】（26-27七年级上·山东济南·阶段检测）阅读下列材料：
①，，
②，，
③，，
(1)写出①组中的第个等式： ；
(2)写出②组的第个等式： ；
(3)利用由①②③组你发现的等式规律计算：．
【变式4-3】（26-27七年级上·江苏盐城·阶段检测）项目式学习：围棋棋子图案中的规律探究．
【项目任务】围棋起源于中国，至今已有4000多年的历史．围棋使用扁圆形的黑、白两色棋
子在方形格的棋盘上对弈．现用黑、白两色棋子拼成下列图案，观察围棋棋子的排列规律．
【项目探究】三位同学采用了不同方法进行探究．
(1)小军将这些棋子分为两类，一类是黑子构成的正方形点阵，一类是白子构成的正方形点阵，这样图1中棋子总数可表示为，图2中棋子总数可表示为，，按照这样的规律，摆放第个图案，需要 个棋子；
(2)小明用虚线将这些棋子连接成“回”字图形，他结合小军的探究，由图1得等式，由图2得等式，，由图得等式 ；
(3)小红用虚线将这些棋子斜着连接，这样图1中棋子总数可以表示为，图2中棋子总数可表示为，，图中最长虚线上共有 个棋子，她结合小军的探究，由此得到从1开始，连续个奇数的和，即 ．（按照要求列出式子，不需要化简）
【题型五】赋值法
【例5】（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）赋值法是给代数式中的某些字母赋予一定的特殊值．从而解决问题的一种方法，已知，给x赋值使．得到，则；尝试给x赋不同的值，则可得______．
【变式5-1】（25-26七年级上·上海金山·期中）赋值法，又叫特值法，是数学中通过设题中某个未知量为特殊值，从而通过简单的运算，得出最终答案的一种方法．例如：
已知：，则：
（1）取时，直接可以得到；
（2）取时，可得到；
（3）取时，可以得到．
（4）把（2），（3）的结论相加，就可以得到，结合（1）的结论，从而得出．
请类比上例，解决下面的问题．
已知：，求：
(1)的值；
(2)的值；
(3)的值．
【变式5-2】已知关于的多项式，其中为互不相等的整数．
(1)若，求的值；
(2)在（1）的条件下，当时，这个多项式的值为27，求e的值；
(3)在（1）、（2）条件下，若时，这个多项式的值是33，求的值．
【变式5-3】【阅读理解】苏教版数学新教材七年级上册93页论述了一元多项式的恒等关系：如果一个多项式中只含一个字母，那么就称它为一元多项式．对于两个含字母x的一元多项式，当x任取一个数时，如果这两个多项式的值都是相等的，那么就称这两个一元多项式是恒等的．
例如：与．当x任取一个数时，如，，1，…，a，这两个多项式的值都相等．因此，多项式与是恒等的．如果两个多项式恒等，那么将这两个多项式分别合并同类项之后，其系数一定对应相等
【问题解决】已知恒等式，当时，左边，右边＝，所以．求以下代数式的值：
(1)；
(2)．
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专题02 代数式
目 录
识记类
思维导图
知识清单(9类)
考点清单(4类)
辨析清单(7类)
题型类
高频题型清单(22类)
易错题型清单(5类)
重难题型清单(5类)
知识点01 字母表示数
用字母表示数之后，有些数量之间的关系用含有字母的式子表示，看上去更加简明，更具有普遍意义了．
例如：如果用a、b表示任意两个有理数，那么加法交换律可以用字母表示为：a＋b＝b＋a．乘法交换律可以用字母表示为：ab＝ba．
如果用x表示长方形的长，y表示长方形的宽，则长方形的面积可表示为：S=xy；周长可表示为：C=2（x+y）。
知识点02 代数式的概念
1．代数式的定义：如：16n ，2a+3b ，34 ，，等式子用运算符号把数和字母连接而成的，像这样的式子叫做代数式，单独的一个数或一个字母也是代数式．
【点拨】带等号或不等号的式子不是代数式，如，，等都不是代数式．
2．列代数式：在解决实际问题时，常常先把问题中与数量有关的词语用代数式表示出来，即列出代数式，使问题变得简洁，更具一般性．
【点拨】代数式的书写规范：
（1）字母与数字或字母与字母相乘时，通常把乘号写成“· ”或省略不写；
（2）除法运算一般以分数的形式表示；
（3）字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面；
（4）字母前面的数字是分数的，如果既能写成带分数又能写成假分数，一般写成假分数的形式；
（5）如果字母前面的数字是1，通常省略不写．
知识点03 单项式的概念
1．单项式的定义：如，，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．
【点拨】单项式一定是代数式，但若分母中含有字母的代数式，如就不是单项式，因为它无法写成数字与字母的乘积．
2．单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．
【点拨】①确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数．
②圆周率π是常数，单项式中出现π时，应看作系数．
③当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写．
④单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如：写成．
3．单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．
【点拨】没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏．
知识点04 多项式的概念
1．多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式．
2．多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项．
3．多项式的次数：一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数．
①多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数．
②一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出．
4．升幂排列与降幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母降幂排列；若按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列．
①重新排列多项式时，每一项一定要连同它的正负号一起移动；
②含有两个或两个以上字母的多项式，常常按照其中某一个字母的升幂排列或降幂排列．
知识点05 整式
1．概念：单项式与多项式统称为整式．
2．单项式、多项式、整式与代数式这四者之间的关系：单项式、多项式必是整式，整式必是代数式，但反过来就不一定成立．
3．分母中含有字母的式子一定不是整式，但是代数式．
知识点06 同类项的概念
定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项．几个常数项也是同类项．
【点拨】(1)判断是否同类项的两个条件：
①所含字母相同；
②相同字母的指数分别相等，同时具备这两个条件的项是同类项，缺一不可．
(2)同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关．
(3)一个项的同类项有无数个，其本身也是它的同类项．
知识点07 合并同类项
1. 概念：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．
2．法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变．
【点拨】合并同类项的根据是乘法分配律的逆运用，运用时应注意：
(1)不是同类项的不能合并，无同类项的项不能遗漏，在每步运算中都含有．
(2) 合并同类项，只把系数相加减，字母、指数不作运算.
知识点08 去括号
1. 去括号法则
如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；
如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．
【点拨】
（1）去括号法则实际上是根据乘法分配律推出的：当括号前为“+”号时，可以看作+1与括号内的各项相乘；当括号前为“-”号时，可以看作-1与括号内的各项相乘．
（2）去括号时，首先要弄清括号前面是“+”号，还是“-”号，然后再根据法则去掉括号及前面的符号．
（3）对于多重括号，去括号时可以先去小括号，再去中括号，也可以先去中括号．再去小括号．但是一定要注意括号前的符号．
（4）去括号只是改变式子形式，但不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形．
2．添括号法则
添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号；
添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要改变符号．
【点拨】
(1)添括号是添上括号和括号前面的符号，也就是说，添括号时，括号前面的“+”号或“-”号也是新添的，不是原多项式某一项的符号“移”出来得到的．
(2)去括号和添括号是两种相反的变形，因此可以相互检验正误：
如：，
知识点09 整式的加减
一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项．
【点拨】（1）整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项．
（2）两个整式相加减时，减数一定先要用括号括起来．
(3)整式加减的最后结果中：①不能含有同类项，即要合并到不能再合并为止；
②一般按照某一字母的降幂或升幂排列；
③不能出现带分数，带分数要化成假分数．
考点01 代数式
考点内容：代数式的概念；列代数式；代数式求值．
常见考法：
①判断代数式写法是否正确：数字前置、带分数化假分数、除法写成分数、加减式带单位要加括号；
②文字转式子，重点区分：平方差、差的平方；增加了/增加到；除与除以；配套面积、利润、增长率问题；
③直接代入求值，给字母数值代入计算；负数、分数代入必须添括号，防止符号出错；
④整体代入求值，不单独求字母，把已知式子整体变形．
考点02 整式
考点内容：单项式；多项式；整式的概念．
常见考法：
①判断是不是代数式、整式、单项式、多项式；
②求单项式的系数、次数；系数包含负号，是常数，不算字母；
③判断是几次几项式、找常数项、写出多项式的项；按指定字母做升幂、降幂排列．
考点03 同类项
考点内容：同类项的概念．
常见考法：
①判断两组单项式是否为同类项。要点：字母相同、相同字母指数相同；和系数大小、字母顺序无关；所有常数项都是同类项；
②若两个单项式是同类项，相同字母的指数相等，列等式解方程求参数；
③判断合并同类项计算对错；只有同类项才能合并，不是同类项不能合并；
④先用同类项性质算出字母的值，再代入整式计算结果；
⑤两个同类项相加，合并后该项消失 → 两项系数互为相反数，求参数．
考点04 整式加减法
考点内容：去括号法则；化简求值．
常见考法：
①去括号、合并同类项正误判断；
②直接给式子，要求化简，纯计算，练去括号和合并；
③先化简，再代值；条件经常搭配绝对值、平方的非负性；
④同类项结合整式加减求参数，先根据同类项求出字母参数，再代入整式加减式子计算；
⑤不含某项、与字母取值无关，令对应项系数等于0，求参数；
⑥看错运算题型，把“减去一个整式”错看成“加上这个整式”，算出错误结果，求正确答案；
⑦几何应用：周长、面积列式化简，给长方形、组合图形，用整式表示周长或者面积，化简后代入求值；
⑧实际应用题（方案选择），列出两种方案的整式，化简，代入数据比较大小，选择划算方案；
⑨规律探究，图形/数字规律，列出整式并化简，写出第n个代数式．
辨析01 代数式 vs 等式 vs 不等式概念辨析易错
代数式：只有数字、字母、运算符号，不含=、>、<、≠．
辨析02 整式概念易错
单项式+多项式为整式，分母不含字母，分母含有字母，不是整式．
辨析03 单项式的系数易错
系数包含前面正负号，如的系数为，1一般省略不写，如的系数为1，不是字母，如ab的系数为．
辨析04 次数易错
单项式次数=所有字母指数相加，数字指数不算，多项式次数（只取最高项次数，不能相加）．
辨析05 同类项辨析易错
同类项判定三句话：字母完全相同；相同字母的指数完全相等；与系数大小、字母排列顺序无关．
辨析06 去括号符号易错
，正号去括号，符号不变；，负号去括号，每一项全部变号．
辨析07 代数式书写格式易错
数字写在字母前面，除法写成分数，带分数必须化成假分数，加减代数式带单位，整体加括号．
【题型一】列代数式
【例1】（2026·江苏盐城·中考真题）在“苏超”场外市集上，小明购买了个“麋鹿王”、个“盐小勺”、个“盐小饼”，它们的单价分别为元、元、元，共需支付的金额（单位：元）为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分别计算三种商品的费用，相加得总支付金额．
【详解】解：个“麋鹿王”费用为元，个“盐小勺”费用为元，个“盐小饼”费用为元，
总金额为元．
【变式1-1】（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期中）一次竞赛共有30道选择题，规定：答对一道得3分，不答或答错一道扣1分，如果某位学生答对了a道题，则用式子表示他的成绩（单位：分）为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意得出不答或答错的题数，列式可得结论．
【详解】解：由题意得，该生不答或答错了道题，则答对得分为分，扣分为分，
所以他的成绩为．
【变式1-2】（25-26七年级上·河北石家庄·期中）一个两位数，十位数字是b，个位数字是a，这个两位数可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查用字母表示两位数，关键是掌握十进制中十位和个位的位值原理．
根据两位数的表示方法，十位数字乘以10加上个位数字即可得到该数．
【详解】解：∵十位数字是，
∴表示；
∵个位数字是，
∴表示；
∴这个两位数为．
故选：D．
【变式1-3】（2026·河南洛阳·一模）某文创店售卖马年纪念徽章，若每个售价为5元，则x个纪念徽章的销售总价为_____元．
【答案】
【分析】根据总价等于单价乘以数量即可求解．
【详解】解：x个纪念徽章的销售总价为元．
【题型二】代数式的概念
【例2】（25-26六年级下·黑龙江绥化·期末）下列式子：①、②、③、④、⑤0、⑥，其中代数式的个数是（ ）．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】根据代数式的定义，先排除含等号、不等号的，再判断剩余式子是否符合要求，统计个数．
【详解】解：①是代数式；
②不是代数式；
③不是代数式；
④是代数式；
⑤是单独的数，是代数式；
⑥是代数式；
综上，符合条件的代数式共4个．
【变式2-1】（26-27七年级上·江苏盐城·阶段检测）下列各式不是代数式的是（ ）
A．127 B． C． D．
【答案】C
【详解】解：代数式由数、字母和运算符号连接而成，不含等号、不等号等关系符号. 选项C中的含有等号，是等式，不是代数式.
【变式2-2】（26-27七年级上·江苏盐城·阶段检测）在下列各式中，哪一项不是代数式（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【分析】根据代数式的定义：由数和字母用运算符号连接而成的式子，单独的数或字母也是代数式，判断选项，排除符合代数式定义的选项，选出带有不等关系、不属于代数式的选项即可．
【详解】解：、、均为代数式，含有不等号，不是代数式．
【变式2-3】（26-27七年级上·四川达州·阶段检测）下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中代数式有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【详解】解：①是代数式．
②是代数式．
③含有等号，不是代数式．
④是代数式．
⑤含有等号，不是代数式．
⑥含有等号，不是代数式．
⑦是代数式．
代数式一共有个．
【题型三】代数式的书写
【例3】（26-27七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）下列代数式中，符合代数式书写要求的有（ ）
（1）；（2）；（3）；（4）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【详解】解：的带分数系数应化为假分数，不符合书写要求．
与均将除法运算写为分数形式，符合书写要求．
中相同字母相乘应写为幂的形式，不符合书写要求．
符合要求的代数式共有2个．
【变式3-1】（26-27七年级上·四川成都·期中）下列各式中，符合代数式书写规范的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：选项，数字与字母相乘时，数字应写在字母左侧且省略乘号，正确写法为，故不符合规范；
选项，带分数与字母相乘时，需化为假分数，正确写法为，故不符合规范；
选项，代数式中除法运算需写成分数形式，正确写法为，故不符合规范；
选项，符合代数式书写规范．
【变式3-2】（26-27七年级上·湖北襄阳·阶段检测）下列代数式书写规范的是（ ）
A．元 B． C． D．
【答案】A
【详解】解：A选项，元书写规范，故A正确；
B选项，正确书写为，不规范，故B错误；
C选项，正确书写为，不规范，故C错误；
D选项，正确书写为，不规范，故D错误．
【变式3-3】（26-27七年级上·江苏无锡·阶段检测）下列代数式中，符合书写要求的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：选项，数字应写在字母前面且省略乘号，正确写法为，不符合要求.
选项，数字应写在字母前面且除法需写成分数形式，正确写法为，不符合要求.
选项，符合代数式书写要求.
选项，带分数需化为假分数，正确写法为，不符合要求.
【题型四】已知字母的值，求代数式的值
【例4】（26-27七年级上·河南周口·阶段检测）若是5，，且满足，则的值为（ ）
A．3 B．3或 C．或 D．13
【答案】D
【分析】首先化简绝对值得到，然后结合已知条件得到，然后代入求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵是5，，
∴，
∴．
【变式4-1】（26-27七年级上·江苏南京·阶段检测）若，则的值为______.
【答案】
【分析】根据绝对值和平方数的非负性，分别求出和的值，再代入计算即可．
【详解】解：∵ ，，且，
∴ ，，解得： ，，
∴ ．
【变式4-2】（26-27七年级上·黑龙江·期中）若，则代数式的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将直接代入代数式计算即可．
【详解】解：∵，
∴
．
【变式4-3】（26-27七年级上·湖北襄阳·阶段检测）已知：若与互为相反数，则______．
【答案】
【分析】根据相反数的性质可得两个绝对值的和为，再利用绝对值的非负性求出和的值，代入所求式子计算即可.
【详解】解：∵与互为相反数，
∴，
∵任意数的绝对值都是非负数，即，，
∴只有当且时，它们的和才为，
解得，，
将，代入得：.
【题型五】已知式子的值，求代数式的值
【例5】（26-27七年级上·黑龙江大庆·阶段检测）若 a、b 互为相反数，c、d 互为倒数，则的值是（ ）
A．0 B． C．2 D．无法确定
【答案】B
【分析】利用相反数，倒数的定义求出，的值，代入原式计算即可得到结果．
【详解】解：∵a、b 互为相反数，则；c、d 互为倒数，则 ；
∴ ．
【变式5-1】（26-27七年级上·浙江温州·阶段检测）已知互为相反数，互为倒数，则的值_________．
【答案】
【分析】根据相反数、倒数的定义，可得，，将其代入代数式计算即可．
【详解】解：∵、互为相反数，、互为倒数，
∴，，
将，代入中，得．
【变式5-2】（26-27七年级上·河南南阳·阶段检测）若，则的值为________．
【答案】
【分析】根据绝对值的性质求出的值，再分情况讨论的值．
【详解】解：，
或，
或
综上所述，．
【变式5-3】（26-27七年级上·江苏南京·阶段检测）已知，互为相反数，，互为倒数，，则_______．
【答案】或
【分析】根据相反数、倒数、绝对值的定义得到，，，分情况代入代数式计算即可．
【详解】解： ，互为相反数，
，
，互为倒数，
，
，
或，
当时，，
当时，．
【题型六】程序流程图与代数式求值
【例6】（26-27七年级上·山东青岛·阶段检测）有一个数值转换器，原理如下图所示，若开始输入x的值是5，可发现第1次输出的结果是16，第2次输出的结果是8，第3次输出的结果是4，依次继续下去，第2026次输出的结果是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】B
【分析】先根据数值转换器的规则依次计算输出结果，再观察结果找到循环周期，最后根据周期计算第2026次的输出结果．
【详解】解：根据数值转换器规则，依次计算输出结果：
第1次：输入（奇数），输出；
第2次：输入（偶数），输出；
第3次：输入（偶数），输出；
第4次：输入（偶数），输出；
第5次：输入（偶数），输出；
第6次：输入（奇数），输出；
第7次：输入（偶数），输出2；
第8次：输入（偶数），输出1；
……
观察可知，从第3次开始，输出结果以“”为一个循环周期，
先减去前2次，，
再计算余2，
即循环了674个周期后，第2个位置的数，循环周期“”中第2个位置的数是2，
即第2026次输出的结果是2．
【变式6-1】（26-27七年级上·江苏苏州·阶段检测）按如图所示的程序运算，若输入x的值是15，第1次输出的结果是18，则第2026次输出的结果是______．
【答案】4
【详解】解：若输入x的值是15，
第1次输出的结果：，
第2次输出的结果：，
第3次输出的结果：，
第4次输出的结果：，
第5次输出的结果：，
第6次输出的结果：，
第7次输出的结果：，
第8次输出的结果：，
第9次输出的结果：，
…，
∵，
∴第2026次输出的结果是4．
【变式6-2】（25-26六年级下·山东泰安·期末）按如图所示的程序计算：若开始输入的值为4，则最后输出的结果是（ ）
A．40 B．95 C．112 D．160
【答案】D
【详解】解：由程序计算图可得：第一次输出结果为，
第二次输出结果为．
【变式6-3】（26-27七年级上·山东临沂·阶段检测）如图是一个数值转换机，若a输入的值为，则输出的结果应为________．
【答案】
【分析】根据数值转换机的计算方法得，代入a的值计算即可得答案．
【详解】解：根据数值转换机的计算方法得：，
若a输入的值为时，，
∴若a输入的值为，则输出的结果应为．
【题型七】单项式的判定
【例7】（25-26七年级上·上海·期中）在整式，，，，中，单项式的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查单项式的定义，解题思路为根据单项式定义逐个判断题干中的整式，统计单项式个数即可得到答案，单项式定义为：由数与字母的乘积组成的代数式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式，几个单项式的和为多项式．
【详解】解：∵是数与字母的乘积，是单项式
∵，是两个单项式的差，属于多项式，不是单项式
∵是数与字母的乘积，是单项式
∵是单独的一个字母，是单项式
∵是单项式和单项式的和，属于多项式，不是单项式
综上，单项式共有个，因此选C．
【变式7-1】（26-27七年级上·吉林长春·阶段检测）下列式子中，是单项式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】数与字母的积叫做单项式．据此逐项分析判断即可．
【详解】解：A.，不是单项式，本选项不符合题意；
B.，是单项式，本选项符合题意；
C.的分母中含字母，不是整式，故不是单项式，本选项不符合题意；
D.，不是单项式，本选项不符合题意．
【变式7-2】（2026·上海奉贤·三模）下列代数式中，不是单项式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查单项式的概念，根据单项式的定义判断各选项即可，单项式是数或字母的乘积，单独的数或字母也是单项式，多个单项式的和为多项式．
【详解】解：A.是符合单项式定义，属于单项式；
B.是数与字母的积，属于单项式；
C.是与的积，属于单项式；
D.是两个单项式的和，属于多项式，不是单项式．
【变式7-3】（26-27七年级上·江苏无锡·阶段检测）给出下列式子：，．其中单项式的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：，，是单项式
，不是单项式
∴单项式共有3个．
【题型八】单项式的系数、次数
【例8】（26-27七年级上·重庆·期中）下列说法正确的是（ ）
A．的系数是 B．是5次单项式
C．是多项式 D．的常数项是3
【答案】C
【分析】根据单项式的系数，单项式和多项式的定义及常数项等概念逐项分析即可.
【详解】解：A.的系数是，故该选项不正确，不符合题意；
B.是3次单项式，故该选项不正确，不符合题意；
C.是多项式，故该选项正确，符合题意；
D.的常数项是，故该选项不正确，不符合题意.
【变式8-1】（25-26七年级上·广西桂林·期中）单项式的系数是（ ）
A．5 B． C． D．1
【答案】C
【详解】解：单项式的系数是．
【变式8-2】（26-27七年级上·江苏盐城·阶段检测）关于代数式，下列说法正确的是（ ）
A．它的次数是4 B．它的系数是3 C．它是多项式 D．它不是整式
【答案】A
【分析】由数与字母的积和字母与字母的积组成的代数式叫做单项式；单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数；一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．
【详解】解：是单项式，属于整式，它的系数为，次数为，故A正确，B、C、D错误．
【变式8-3】（26-27八年级上·黑龙江·阶段检测）关于单项式，下列说法正确的是（ ）
A．系数是，次数是2 B．系数是，次数是3
C．系数是2，次数是3 D．系数是，次数是1
【答案】B
【详解】解：单项式的系数为，次数为．
【题型九】单项式规律题
【例9】（26-27七年级上·云南·期中）观察下列代数式：，，，，，…，则第个代数式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】观察可知第n个代数式为单项式，其系数为，次数为n，据此可得答案．
【详解】解：第1个代数式为，
第2个代数式为，
第3个代数式为，
第4个代数式为，
第5个代数式为，
……，
以此类推可知第个代数式是．
【变式9-1】（26-27七年级上·江苏盐城·阶段检测）观察下列单项式：，，，，…，按此规律，第个单项式是________．
【答案】
【分析】将每个单项式拆分为符号、系数绝对值、的指数、的指数四个部分，分别匹配对应项数的规律，整合后得到第个单项式的表达式．
【详解】解：
第1个单项式：，
第2个单项式：，
第3个单项式：，
第4个单项式：，
观察可得规律：
单项式的符号为为奇数时正，为偶数时负，对应符号部分为．
单项式的系数绝对值等于项数．
单项式中的指数等于项数．
单项式中的指数等于项数．
∴ 第个单项式为．
【变式9-2】（26-27七年级上·江苏泰州·期中）观察下列单项式：，，，，…，按此规律，第个单项式的系数是______．
【答案】
【分析】分别看系数绝对值的规律和符号的规律，再把两者合起来．
【详解】解：∵系数的绝对值依次是，，，，…，
∴第个是，
∵系数的符号依次是正、负、正、负、…，奇数个为正，偶数个为负，
∴系数的符号为．
∴第个单项式的系数是．
【变式9-3】（26-27七年级上·吉林长春·阶段检测）按规律排列的一列单项式：，，，，…，则第个单项式是__________．
【答案】
【详解】解：，，，，…，
即第个单项式的系数是 ，字母部分是．
则当时，系数为，字母部分是．
【题型10】多项式的判断
【例10】（25-26七年级上·江苏扬州·期末）下列说法：多项式是二次三项式；单项式的系数是；5是单项式； 是多项式．其中正确的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查单项式与多项式的相关概念，只需根据相关定义逐一判断每个说法即可．
【详解】解：多项式是三次三项式，原说法错误；
单项式的系数是，说法正确；
5是单项式，说法正确；
是多项式，说法正确．
综上，正确的是②③④，故选C．
【变式10-1】（26-27七年级上·全国·课后作业）下列代数式，，，，，，中，多项式有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【详解】解：、、、为单项式；
分母含字母，不是整式，不属于多项式，
、为多项式，故有2个．
【变式10-2】（25-26七年级上·广东茂名·期中）下列说法正确的是（ ）
A．的系数是 B．的次数是5
C．是多项式 D．的常数项是3
【答案】C
【分析】根据单项式的系数、次数，多项式的定义与常数项的概念逐一判断选项即可．
【详解】解：A、，单项式的数字因数即系数为，故A错误；
B、中所有字母的指数和为，单项式的次数为3，故B错误；
C、，是两个单项式的和，符合多项式的定义，故C正确；
D、多项式中不含字母的项为，即常数项是，故D错误．
【变式10-3】（26-27七年级上·北京海淀·阶段检测）关于整式的概念，下列说法：①的系数是；②的次数是6；③0作为单项式的次数为0；④是五次三项式，其中正确的说法的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】需注意为常数，单项式次数仅由字母指数和决定，多项式次数取最高次项的次数，逐一判断各说法．
【详解】解：∵ 的系数为，
∴ ①错误．
∵ 的次数为，
∴ ②错误．
∵ 单独一个非零常数作为单项式，其次数为0
∴ ③错误．
∵ 的最高次项次数为，是三次三项式，
∴ ④错误．
综上，正确的说法共0个．
【题型11】多项式的项、项数或次数
【例11】（26-27七年级上·四川·期中）多项式的次数和项数分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】B
【分析】本题考查了多项式的次数与项数．根据有几个单项式，就有几项，单项式中次数最高的项的次数是多项式的次数，即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，多项式有个单项式，所以共有项；
单项式中次数最高的项是，它的次数是，即为该多项式的次数．
【变式11-1】（26-27八年级上·黑龙江·阶段检测）多项式的次数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．2
【答案】A
【详解】解：的次数为，的次数为，的次数为，的次数为，该多项式的次数为．
【变式11-2】（26-27七年级上·北京海淀·阶段检测）多项式：的常数项是______
【答案】
【分析】依据多项式常数项的定义，定位多项式中不含字母的项即可求解．
【详解】解：∵多项式包含的项分别为，，，其中不含字母的项为，
∴该多项式的常数项为．
【变式11-3】（26-27七年级上·北京·期中）多项式是________次________项式．
【答案】 三 三
【详解】解：∵多项式中，的次数为 的次数为，常数项的次数为，
∴最高次数为，故为三次多项式，
∵共有项，
∴是三项式，
∴多项式是三次三项式．
【题型12】多项式系数、指数中字母求值
【例12】（26-27七年级上·重庆沙坪坝·阶段检测）整式是四次三项式，则的值为（ ）
A．或 B． C． D．或
【答案】C
【分析】根据四次三项式的定义，需满足最高次项次数为4，且最高次项系数不为0，据此求解即可．
【详解】解：∵ 整式为四次三项式．
∴ 最高次项次数为4，且最高次项系数不为0．
∵ 项的次数为，常数项次数为0，
∴ 最高次项为，
∴ ，且，
由得，
∴ 或．
解得或．
∵ ，即．
∴ ．
【变式12-1】（26-27七年级上·上海浦东新·阶段检测）已知是关于的二次三项式，那么_____．
【答案】
【分析】根据二次三项式的定义，多项式最高次数为，且共有项，据此确定和的值再计算．
【详解】解：∵是关于的二次三项式，
∴多项式中不能存在三次项，且最高次项的次数为，
∴，，
解得，
将，代入得：．
【变式12-2】（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）若多项式是关于的二次二项式，则________．
【答案】
【分析】根据二次二项式的定义，最高次数为，且多项式只含两项，据此确定和的值，再计算即可．
【详解】解：∵多项式是关于的二次二项式．
∴多项式的最高次数为，可得．
∵多项式为二项式，即总共只有个非零项，最高次项系数，常数项．
∴一次项的系数为，即，
解得．
∴．
【变式12-3】（25-26七年级上·河南信阳·期末）多项式是关于、的六次三项式，则取值为_____．
【答案】
【分析】本题考查了多项式的相关概念，根据多项式的次数和项数的定义，第一项的次数为，应等于6，且系数不为零．
【详解】解：多项式是关于 ， 的六次三项式，因此最高次项的次数为 6，且共有三项，
第一项 的次数为，
令，得，
所以或，
当时，第一项系数，多项式变为，只有两项，不符合三项式要求，
故，
故答案为：．
【题型13】升（降）幂排列
【例13】（25-26七年级下·北京顺义·期中）以下各组多项式按字母降幂排列的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：选项A：各项的指数依次为，不是从大到小排列，错误；
选项B：各项的指数依次为，符合降幂排列的要求，正确；
选项C：各项的指数依次为，不是从大到小排列，错误；
选项D：各项的指数依次为，不是从大到小排列，错误．
【变式13-1】（25-26七年级下·北京延庆·期中）把多项式按字母降幂排列为___________．
【答案】
【分析】本题考查多项式的降幂排列，将多项式各项按某个字母的指数从大到小的顺序排列，称为按这个字母的降幂排列，排列时需保留各项原有的符号．
【详解】解：∵多项式的项为，，，，
∴按字母降幂排列为．
【变式13-2】（25-26七年级上·河南周口·期中）多项式_______是按的升幂排列的六次四项式，请在横线上填写所缺的项．（写出一种情况即可）
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据多项式的定义，结合题目要求分析求解即可．
【详解】解：∵ 多项式是按的升幂排列的六次四项式，
∴ 已有的三个项分别为、、，各项的次数分别为、、，
∴ 所缺项字母的次数需大于、且项的次数为，才能符合题目要求，
∴ 可取．
【变式13-3】（26-27七年级上·广东汕头·阶段检测）多项式按字母x的升幂排列是______．
【答案】
【详解】解：多项式按字母x的升幂排列是．
【题型14】整式的判断
【例14】（25-26七年级上·广东广州·期中）下列式子：，，，，，，，中，整式有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【答案】C
【分析】根据整式定义，注意排除等式与分母含字母的式子，为常数．
【详解】解：整式为单项式与多项式的统称，分母含字母的式子、等式均不是整式，
、、、（为常数）均为单项式，属于整式，
、均为多项式，属于整式，
分母含字母，不是整式，
是等式，不是整式，
综上，整式有、、、、、，共有6个．
【变式14-1】（25-26七年级上·广西桂林·期中）下列说法正确的有（ ）个
①多项式的常数项是1；②多项式是五次二项式；
③是单项式；④是多项式；⑤6是整式；
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【详解】解：①多项式的常数项为，故①错误，
②多项式中，最高次项的次数为，该多项式是三次二项式，故②错误，
③是单项式，故③正确，
④是多项式，故④正确，
⑤是整式，故⑤正确；
∴正确的说法共个.
【变式14-2】（26-27七年级上·重庆沙坪坝·阶段检测）给出下列式子：0，，，，其中整式的个数是（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据单项式和多项式统称整式逐个判断即可．
【详解】解：0和都是单项式，属于整式；是多项式，属于整式；的分母含有字母，不是整式．所以整式共有3个．
【变式14-3】（26-27七年级上·上海·阶段检测）下列说法错误的是（ ）
A．0和是单项式； B．的系数是，次数是；
C．和都不是代数式； D．和都是整式．
【答案】D
【详解】解：选项A：0和都是单独的数，是单项式，说法正确；
选项B：的系数为，次数为，说法正确；
选项C：是不等式，是等式，都不是代数式，说法正确；
选项D：的分母含有字母，不是整式；是整式，该说法错误．
【题型15】同类项的判断
【例15】（26-27七年级上·江苏泰州·期中）下列单项式中，与 是同类项的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据同类项的定义解答，即同类项要同时满足两条：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同．
【详解】解：因为含字母 a，b，其中 a 的指数是 2，b 的指数是 1．
A 中 a 的指数是 1、b 的指数是 2，不符合题意；
B 中 a 的指数是 1、b的指数是1，不符合题意；
C中a 的指数是 2，b 的指数是 1，符合题意；
D 中 a，b 的指数都是 2，不符合题意．
【变式15-1】（26-27七年级上·北京西城·阶段检测）下列各组单项式中不是同类项的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】D
【详解】解：与是同类项，故A不符合题意；
与、与所含字母相同，相同字母的指数对应相同，都是同类项，故B和C不符合题意；
与中、的指数均不相同，不是同类项，故D符合题意．
【变式15-2】（26-27七年级上·上海浦东新·阶段检测）下列各组单项式中，是同类项的是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
【答案】B
【详解】解：A、是常数，含字母，不是同类项，不符合题意；
B、与所含字母相同，相同字母的指数也相同，是同类项，符合题意；
C、与中相同字母的指数不同，不是同类项，不符合题意；
D、与所含字母不同，不是同类项，不符合题意．
【变式15-3】（26-27七年级上·北京海淀·阶段检测）若单项式与是同类项，则______．
【答案】4
【分析】根据同类项的定义，相同字母的指数对应相等，据此求出的取值，再计算的结果．
【详解】解：∵单项式与是同类项，
∴相同字母的对应指数相等，
对于字母，有，解得，
对于字母，有，
∴．
【题型16】已知同类项，求参数的值
【例16】（26-27七年级上·全国·期中）若与是同类项，则的值是________．
【答案】1
【详解】解：∵与是同类项，
∴相同字母的指数相同，
∴．
【变式16-1】（26-27七年级上·江苏泰州·期中）若与的和仍是单项式，则__________．
【答案】5
【分析】两个单项式的和仍是单项式，说明它们是同类项，相同字母的指数必须分别相等．
【详解】解：由题意得，，所以．
【变式16-2】（26-27七年级上·湖南·期中）如果关于x、y的单项式与的和是一个单项式，那么___________ .
【答案】13
【详解】解：由题意得：单项式 与 是同类项，
∴，，
解得，
∴．
【变式16-3】（26-27七年级上·江苏盐城·阶段检测）单项式与是同类项，那么________．
【答案】5
【分析】根据同类项定义，相同字母的指数分别相等，列方程求出m、n的值，再计算的结果．
【详解】解：∵ 单项式与是同类项，
∴，，
解得：，，
∴．
【题型17】合并同类项
【例17】下列运算，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据合并同类项计算并判断即可．
【详解】解：A选项，，运算错误.；
B选项，与不是同类项，无法合并，运算错误；
C选项，，运算错误；
D选项，，运算正确．
【变式17-1】（26-27七年级上·北京海淀·阶段检测）下列运算中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由同类项定义及合并同类项运算法则逐项验证即可．
【详解】解：A、，选项计算错误；
B、，选项计算正确；
C、与不是同类项，不能合并，选项计算错误；
D、与不是同类项，不能合并，选项计算错误．
【变式17-2】（26-27七年级上·江苏盐城·阶段检测）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：∵与不是同类项，
∴，A错误．
∵，
∴，B错误．
∵，
∴，C错误．
∵，
∴D正确．
【变式17-3】（26-27七年级上·北京西城·阶段检测）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：A选项：，计算正确．
B选项：，计算错误．
C选项：与不是同类项，不能合并，计算错误．
D选项：，计算错误．
【题型18】去括号
【例18】（2026·四川德阳·中考真题）下列去括号正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据去括号法则，括号前为正号去括号后各项不改变符号，括号前为负号去括号后各项改变符号，逐一计算判断即可．
【详解】解：A．，故该选项错误，不符合题意，
B．，故该选项错误，不符合题意，
C．，故该选项正确，符合题意，
D．，故该选项错误，不符合题意．
【变式18-1】（26-27七年级上·江苏无锡·阶段检测）化简的结果是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：．
【变式18-2】（26-27七年级上·吉林长春·阶段检测）下列去括号正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】去括号时，括号前是“－”号，去括号后括号内各项都要改变符号，注意不要漏乘，根据此解题即可．
【详解】解：. ，错误；
. ，错误；
，正确；
.，错误．
【变式18-3】（2026秋•无锡校级月考）化简-[a-（b-c）]的结果是（ ）
A．-a+b-c B．-a+b+c C．-a-b+c D．a-b+c
【答案】A
【分析】根据去括号的法则直接求解即可．
【解答】解：-[a-（b-c）]
=-（a-b+c）
=-a+b-c.
故选：A．
【题型19】整式的加减运算
【例19】（24-25七年级上·湖南邵阳·期中）化简
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查整式的加减运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
（1）原式先去括号，再合并同类项即可得到结果；
（2）原式先去括号，再合并同类项即可得到结果．
【详解】（1）解：
（2）解：
．
【变式19-1】（25-26七年级上·吉林长春·期中）化简：
(1)；
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了合并同类项，去括号，整式的加减运算，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解．
（1）将原式合并同类项即可；
（2）将原式去括号后合并同类项即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）原式
．
【变式19-2】（25-26七年级上·江苏常州·期中）化简：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了整式的加减，熟练掌握去括号法则和合并同类项法则是解题的关键．
（1）直接合并同类项即可；
（2）先去括号，再合并同类项即可．
【详解】（1）解：原式
（2）解：原式
【变式19-3】（25-26七年级上·江西吉安·期中）化简：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查整式的加减运算，熟记整式加减运算法则是解决问题的关键．
（1）先由整式加减运算的交换律与结合律变形，再合并同类项即可得到答案；
（2）先去括号，再由整式加减运算的交换律与结合律变形，最后合并同类项即可得到答案．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【题型20】整式加减中的化简求值
【例20】（26-27七年级上·安徽·期中）先化简，再求值：，其中，．
【答案】，
【分析】本题考查了整式的加减化简求值，先利用去括号和合并同类项法则进行化简，再把的值代入到化简后的结果中计算即可，掌握整式的运算法则是解题的关键．
【详解】解：原式 ，
当，时，原式 ．
【变式20-1】（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期中）先化简，再求值：，其中x是最大的负整数，．
【答案】，
【分析】先根据整式的加减运算法则化简原式，再求得x值，然后将x、y代入化简式子求解即可．
【详解】解：
，
∵x是最大的负整数，
∴，
将，代入，则原式．
【变式20-2】（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）先化简，再求值，其中，．
【答案】，
【分析】先去括号合并同类项化简整式，再代入，计算结果．
【详解】解：原式=，
当，时 ，
原式=．
【变式20-3】（25-26七年级下·湖南衡阳·期中）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】将原式化简后代入求值即可．
【详解】解：
将代入得：．
【题型21】整式加减中的无关问题
【例21】（25-26七年级上·四川成都·期中）已知：，．
(1)计算的表达式；
(2)若代数式值与字母x的取值无关，求代数式的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了整式的加减以及运算后与某系数无关的问题，解题的关键是将代数式进行化简，通过最终的化简结果进行判断．
（1）根据题意将、代入，再去括号合并同类项即可得到答案；
（2）先将代数式进行化简，然后根据代数式的值与字母的取值无关，所以含的项的系数是0，据此求出、的值，再代入的代数式求值即可．
【详解】（1）解：
（去括号）
（合并同类项）
故的表达式为．
（2）解：
（去括号）
（合并同类项）
若其最终值与的取值无关，则、，
解得，，
代入，
故代数式的值为．
【变式21-1】（26-27七年级上·重庆沙坪坝·阶段检测）已知，，且的值与、的取值无关，则的值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．9
【答案】D
【分析】先化简，根据其值与、无关，令含、的项的系数为，求解、后代入计算．
【详解】解：，
，
，
，
∵ 的值与、的取值无关，
∴ ，，
解得 ，，
∴ ．
【变式21-2】（26-27七年级上·重庆江北·阶段检测）当______时，关于，的多项式中不含项．
【答案】
【分析】先合并同类项，再根据多项式不含项，即合并同类项后项的系数为，列式求出的值即可．
【详解】解： ，
∵多项式中不含项，
∴项的系数为，
即，
解得．
【变式21-3】（25-26七年级上·河南周口·期中）已知关于x的多项式A和B，其中（m，n为常数），．
(1)若多项式A的值与字母x的取值无关，求m、n的值；
(2)当，时，求；
(3)在（2）的条件下，若，求的值．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）根据多项式与取值无关的条件，令含的项系数为0，列方程求解；
（2）先化简多项式，代入m、n的取值后，结合的表达式计算；
（3）将看作整体，利用已知方程求整体值，代入计算．
【详解】（1）解：先化简多项式：
，
∵多项式的值与的取值无关，
∴项与项的系数均为0，即，
解得；
（2）解：当，时，
代入的表达式得：，
∵，
∴
；
（3）解：∵，
∴，
∴．
【题型22】整式加减实际应用
【例22】（25-26七年级下·江苏徐州·期中）如图，某小区有一块长为米、宽为米的长方形空地，小区管理部门在空地的一角规划了一个长为米、宽为b米的小长方形花园．
(1)请用含a，b的式子表示图中阴影部分的面积S．（用代数式表示并化简）
(2)小区管理部门打算在剩余空地（图中阴影部分）铺上地砖，若，，预计每平方米地砖的价格是50元，求购买所需地砖的费用．
【答案】(1)
(2)9400元
【分析】（1）计算解答即可；
（2）求代数式的值，再计算即可．
【详解】（1）解：根据题意，得
；
（2）解：当，时，
（平方米），
故购买所需地砖的费用为：（元）；
【变式22-1】（25-26七年级上·河北保定·期末）一元一次方程解决实际问题
某球队为备战新赛季，计划从体育用品店采购训练用足球和护腿板，已知足球每个定价180元，护腿板每个定价40元，商店提供两种优惠方案：
方案一：买1个足球送1个护腿板；
方案二：足球和护腿板都按定价的付款，该球队需购买足球35个，护腿板个．
(1)方案一的总付款金额为___________元（用含的代数式表示并化简），方案二的总付款金额为___________元（用含的代数式表示并化简）；
(2)当时，哪种方案更省钱？计算说明理由；
(3)当时，该球队是否存在更省钱的混合采购方案？若存在，写出方案并计算总费用．
【答案】(1),
(2)方案一更省钱
(3)存在，混合采购方案为：用方案一购买35个足球（获赠35个护腿板），剩余65个护腿板用方案二购买，总费用为8640元
【分析】本题考查列代数式，代数式求值，整式加减的应用，解题关键是正确理解题意列出代数式．
（1）分别根据方案一和方案二列式计算即可；
（2）将代入（1）中代数式求解并判断，即可解题；
（3）先用方案一购买35个足球（获赠35个护腿板），剩余65个护腿板用方案二购买，计算出结果，再与每一个方案的付款比较大小，选择最合算方案即可．
【详解】（1）解：由题知，方案一的总付款金额为：元，
方案二的总付款金额为元；
故答案为：，；
（2）解：当时，
方案一的总付款金额为：（元），
方案二的总付款金额为：（元），
，
方案一更省钱；
（3）解：存在，用方案一购买35个足球（获赠35个护腿板），剩余65个护腿板用方案二购买，
混合总费用为：（元），
，
存在更省钱的混合采购方案，方案为用方案一购买35个足球（获赠35个护腿板），剩余65个护腿板用方案二购买，总费用为8640元．
【变式22-2】（25-26七年级上·湖北孝感·期中）下表是某品牌网约车的收费标准．
收费标准
起步费
不超过3公里为12元
里程费
超过3公里后超过部分2元公里
远途费
超过10公里后超过部分0.4元公里
时长费
超过10分钟后超过部分0.6元分钟
例：乘车里程为20公里，行车时间30分钟，车费为：
（元）
请回答以下问题：
(1)小华家到影院的路程是公里，若乘该品牌网约车约需要分钟，求所需车费多少元？
(2)小华乘该品牌网约车外出，行车里程为公里，行车时间为分钟，求所需车费多少元(用含a、b的代数式表示)？
(3)小华与小明都乘坐该品牌网约车到该市某景点游玩，行车里程分别为公里、公里，若汽车在市区内限速公里小时，小华比小明乘车时间多用了分钟，请通过计算说明谁付的车费多？
【答案】(1)所需车费27元
(2)所需车费元
(3)小华付的车费多
【分析】本题考查了整式加减的应用，有理数的混合运算，读懂题意，列出正确的代数式是解题的关键．
（1）根据题意列出算式，再根据有理数的运算法则计算即可；
（2）根据题意列出代数式，再根据整式的加减计算即可；
（3）分别计算小华与小明的车费，利用作差法比较即可．
【详解】（1）解：（元）
故所需车费27元；
（2）解：，
故所需停车费元；
（3）解：（小时）分钟
∴小华、小明乘车均超过10分钟
设小华乘车时间为分钟，则小明乘车时间为分钟，
由（2）题的代数式可得：
小华的车费为：元．
小明的车费为：元．
因为，
所以．
答：小华付的车费多．
【变式22-3】（25-26七年级上·河南·期末）如图，公园有一块长为米，宽为米的长方形土地（一边靠着墙），现将三面留出宽都是米的小路，余下部分设计成花圃，并用篱笆把花圃不靠墙的三边围起来．
(1)花圃的宽为______米，花圃的长为______米；（用含的式子表示）
(2)求篱笆的总长度；（用含的式子表示）
(3)若，篱笆的单价为50元/米，请计算篱笆的总价．
【答案】(1)
(2)米
(3)元
【分析】本题主要考查了列代数式，代数式求值，整式的加减计算，正确理解题意是解题的关键．
（1）根据图形中的数据列式求解即可；
（2）根据（1）所求列式求解即可；
（3）把代入（2）所求代数式中求出篱笆的总长度，进而求出篱笆的总造价即可．
【详解】（1）解：由题意得，米，米，
故答案为：，；
（2）解：由图可得，花圃的长为米，宽为米，
∴篱笆的总长度为米；
（3）解：当时， ，
∴篱笆的造价为元，
答：篱笆的总价为元．
【题型一】代数式、单项式、多项式、整式的概念混淆
【例1】（26-27七年级上·山西·期中）下列说法正确的是（ ）
A．的系数是 B．是多项式
C．是5次单项式 D．的常数项是3
【答案】B
【详解】解：A．的系数是，故该选项不正确，不符合题意；
B．是多项式，故该选项正确，符合题意；
C．是3次单项式，故该选项不正确，不符合题意；
D．的常数项是，故该选项不正确，不符合题意．
易错警示
1. 带=、>、<就不是代数式。
2. 单独数字、字母是代数式。
3.单项式：数与字母的积，不含加减；多项式：单项式相加。
4.分母中带有字母的不是整式。
【变式1-1】下列说法正确的是（ ）
A．的系数是 B．是5次单项式
C．是多项式 D．的常数项是3
【答案】C
【分析】根据单项式的系数，单项式和多项式的定义及常数项等概念逐项分析即可.
【详解】解：A.的系数是，故该选项不正确，不符合题意；
B.是3次单项式，故该选项不正确，不符合题意；
C.是多项式，故该选项正确，符合题意；
D.的常数项是，故该选项不正确，不符合题意.
【变式1-2】（26-27七年级上·江苏扬州·阶段检测）下列说法正确的是（ ）
A．系数是，次数是2 B．多项式是二次三项式
C．一定是一个正数 D．一定是一个正数
【答案】B
【分析】通过单项式和多项式的相关定义判断A、B选项，取特殊值排除C、D选项．
【详解】解：A选项，的系数是，次数是，故A错误，不符合题意；
B选项，多项式共有3项，最高次项次数为2，是二次三项式，故B正确，符合题意；
C、D选项，当时，不是正数，也不是正数，故C、D错误，不符合题意．
【题型二】单项式系数与次数，多项式的次数
【例2】（25-26七年级上·河南周口·期末）下列说法中，正确的是（ ）
A．单项式的系数是
B．多项式是二次三项式
C．整式就是多项式
D．单项式的次数是0
【答案】B
【详解】解：单项式的系数是，A选项错误；
多项式是二次三项式，B选项正确；
整式包括单项式和多项式两类，C选项错误；
单项式的次数是3，D选项错误．
故选：B．
易错警示
1. 单项式的系数必须带符号。
2. 次数只算字母指数，数字不算；常数项次数为0。
3. 多项式次数=最高次项次数，不能把所有次数相加。
【变式2-1】（25-26七年级上·河南郑州·期中）下列关于单项式和多项式的说法中，正确的是（ ）
A．单项式的系数是，次数是4
B．单项式的次数是1，没有系数
C．多项式 是二次三项式
D．与是同类项
【答案】C
【详解】解：A、单项式的系数是，次数是，原说法错误；
B、单项式的系数是，次数是，原说法错误；
C、多项式的最高次项次数为，共个项，是二次三项式，说法正确；
D、与的相同字母指数不对应相等，不是同类项，原说法错误．
【变式2-2】（25-26七年级上·山东聊城·期末）下列说法错误的是（ ）
A．代数式，，都是整式
B．单项式的系数是．次数是2
C．多项式次数是3
D．多项式的二次项的系数是
【答案】C
【分析】本题考查了整式、单项式与多项式的相关概念，解题的关键是准确掌握整式、单项式的系数与次数、多项式的次数与项的系数等定义．
根据整式的定义判断选项A；根据单项式的系数与次数的定义判断选项B；根据多项式的次数定义判断选项C；根据多项式的项与系数的定义判断选项D．
【详解】解：A、是多项式，是单项式，是单项式，它们都是整式，此选项不符合题意．
B、单项式的系数是，次数是，此选项不符合题意．
C、多项式中最高次项是，次数为，不是，此选项符合题意．
D、多项式的二次项是，其系数是，此选项不符合题意．
故选：C．
【题型三】去括号符号错误
【例3】化简
(1)
(2)
【答案】
(1)
(2)
【分析】
（1）先去括号再合并同类项即可；
（2）先去括号再合并同类项即可；
【详解】
（1）解：
；
（2）解：
．
易错警示
1.负号去括号，只变第一项，后面不变。
2.括号前有系数，漏乘后面某些项。
3.系数是负数，分配时符号搞错。
4.多项式相减，后一个多项式没有整体加括号、整体变号。
【变式3-1】（25-26七年级上·四川泸州·期中）化简：
【答案】
【分析】本题主要考查了整式的化简，整式的加减运算，解题的关键是掌握整式加减的运算法则．
先去括号，再合并同类项即可．
【详解】解：
．
【变式3-2】化简：
(1)．
(2)．
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）直接进行合并同类项，即可得到答案；
（2）先去括号，然后进行合并同类项，即可得到答案；
（3）先去括号，然后进行合并同类项，即可得到答案．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
．
【题型四】判定同类项只看字母，忽略指数
【例4】（26-27七年级上·上海宝山·阶段检测）已知单项式与的和是单项式，则的值是________．
【答案】
【分析】两个单项式的和是单项式，说明这两个单项式是同类项，根据同类项定义可得相同字母的指数相等，据此列方程求出和，再计算的值即可．
【详解】解：∵单项式与的和是单项式 ，
∴两个单项式是同类项，相同字母的指数相等 ，
∴可得 ，
解方程得 ，
代入计算得．
易错警示
判定三条件：字母相同、相同字母指数相同；与系数、字母顺序无关。
【变式4-1】（26-27七年级上·辽宁沈阳·阶段检测）下列说法正确的是（ ）
A．的系数是，次数是3 B．与是同类项
C．正有理数和负有理数统称为有理数 D．
【答案】A
【分析】逐一核对：选项确认的数字系数为、字母指数和为3即次数为3，选项对比与的相同字母指数判断是否符合同类项定义，选项对照有理数的完整分类标准判断是否遗漏0，选项依据去括号法则验证的去括号变形是否正确，即可得出所有选项的正误结论．
【详解】解：∵的系数是，次数是，
∴正确；
∵与的相同字母指数不相同，
∴错误；
∵正有理数、0、负有理数统称为有理数，
∴错误；
∵，
∴错误．
【变式4-2】（26-27七年级上·湖北武汉·阶段检测）已知与（m是正整数）是同类项，那么______．
【答案】
1
【分析】根据同类项的定义，得到相同字母的指数相等，先求出的值，再代入所求式子计算即可．
【详解】解：∵与（m是正整数）是同类项，
∴，，
把代入，得，解得，
把代入，得．
【题型五】无关型问题只令一项系数为0，漏掉其余同类项
【例5】（26-27七年级上·上海·阶段检测）关于、的多项式合并后不含二次项，求的值．
【答案】的值为
【分析】先对多项式进行合并同类项，然后根据题意可得，进而问题可求解．
【详解】解：
，
∵关于、的多项式合并后不含二次项，
∴，
∴，
∴．
易错警示
1. 只把看到的第一项系数设为0，漏掉其他同类项。
2. 混淆“不含某一项”和“与字母无关”。
3. 去括号、合并同类项的时候符号出错，系数算错。
4.求出参数之后，忘记代入求代数式的值。
5.理解反了，把常数项系数设为0。
【变式5-1】（26-27七年级上·江苏泰州·期中）已知，．
(1)求；
(2)若的值与 x 的取值无关，求 y 的值．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）根据整式的混合运算法则计算即可得出结果；
（2）先把结果整理成“含的项常数项”的形式，再令含的项的系数为 0．
【详解】（1）解：
；
（2）解：．
因为它的值与的取值无关，
所以含的项的系数为 0，
即，
解得．
【变式5-2】（25-26七年级上·四川成都·阶段检测）已知，．
(1)若，求．（用含，的式子表示）
(2)若的值与的取值无关，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意可知，利用合并同类项运算法则进行化简即可；
（2）由（1）可知，令，解方程即可．
【详解】（1）解：，
，
；
（2）解：由（1）可知：，
的值与的取值无关，
，
解得．
【题型一】整体代入求值
【例1】（25-26七年级上·四川泸州·期中）【阅读理解问题】数学中，运用整体思想的方法在求代数式的值中非常重要．
例如：已知，则代数式．
请你根据以上材料解答以下问题：
(1)若，求的值；
(2)若，求的值；
(3)当时，代数式的值是5，求当时，代数式的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了求代数式的值：
（1）将代数式适当变形后，利用整体代入的思想方法解答即可；
（2）将代数式适当变形后，利用整体代入的思想方法解答即可；
（3）将代入计算得到关于的代数式的值，再用整体代入的思想方法解答即可．
【详解】（1）解：，
；
（2）解：，
，
；
（3）解：当时，代数式的值是，
，
当时，
．
【变式1-1】（25-26七年级上·福建莆田·期中）关于x的算式，当x取任意一组相反数与时，若式子的值相等，则称之为“偶代数式”；若式子的值互为相反数，则称之为“奇代数式”；例如算式是“偶代数式”，是“奇代数式”．
(1)以下算式中，“偶代数式”的有 ，是“奇代数式”的有 ；(将正确选项的序号填写在横线上)
①；②；③．
(2)对于整式，当分别取与时，求整式的值分别是多少．
(3)对于整式，当分别取，，，，，，，，时，求这九个整式的值之和．
【答案】(1)②③；①
(2)当时，整式值为；当时，整式值为
(3)
【分析】本题考查代数式求值，理解题意是解题的关键．
（1）根据定义即可判定；
（2）分别代入计算即可；
（3）是“奇代数式”，分别取，，，，，，，，时，它们的和为0，而是偶代数式，只需计算分别取，，，，，，，，时，对应的的值，再求和即可．
【详解】（1）解：∵，，，
∴“偶代数式”有②③；“奇代数式”有①，
故答案为：②③；①；
（2）当时，，
∴整式值为；
当时，，
∴整式值为25；
（3）∵是“奇代数式”，
分别取，，，，，，，，时，它们的和为，
而是“偶代数式”，
分别取，，，，，，，，时，
九个整式的值之和
，
∴这九个整式的值之和是．
【变式1-2】（25-26七年级上·山东德州·期中）数学中，运用整体思想方法在求代数式的值中非常重要．例如：已知，则代数式．
请你根据以上材料解答以下问题：
(1)若，的值为___________；
(2)当时，代数式的值是5，求当时，代数式的值；
(3)当时，代数式的值为，求当时，代数式的值（用含的式子表示）．
【答案】(1)0
(2)
(3)
【分析】本题考查了代数式求值，解决本题的关键是运用整体代入思想．
（1）根据整体思想代入计算即可求解；
（2）根据已知条件先求出的值，再整体代入到所求代数式中即可；
（3）根据已知可得，再整体代入到所求代数式中即可．
【详解】（1）解：∵，
∴
；
（2）解：时，代数式的值是5，
∴，
，
当时，代数式的值为：
．
（3）解：∵当时，代数式的值为m，
∴，
∴，
∴当时，
．
【变式1-3】（25-26七年级上·安徽六安·期中）【素材呈现】“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，如下题所示：
若代数式的值为0，则代数式的值为______．
【阅读理解】
小哲在解答时采用的方法如下：
解：由题意，得，
即，………………①
①×2，得，
所以．
【方法运用】仿照上面的方法，解决下面问题：
(1)若代数式的值为，求代数式的值；
(2)已知：当时，代数式的值为，求当时，代数式的值．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本题主要考查了用整体代入法求代数式的值．
根据代数式的值为，可得，把代数式整理可得：原式，用整体代入法求代数式的值即可；
根据当时，代数式的值为，可得，当时，可得代数式，利用整体代入法求代数式的值即可．
【详解】（1）解：代数式的值为，
，
，
；
（2）解：当时，代数式的值为，
，
，
当时，
．
【题型二】新定义问题
【例2】（25-26七年级上·江苏徐州·期中）一个两位数的十位上的数为，个位上的数为，这个两位数记作（即）；一个三位数的百位上的数为，十位上的数为，个位上的数为，这个三位数记作．
(1)小明发现：如果能被9整除，那么就能被9整除．请补全小明的证明思路（表示因为，表示所以）．
证明： ① ② ③ ④ ，
又代数式④，都能被9整除，
能被9整除．
(2)能被整除吗？请说明理由；
【答案】(1)，，，或
(2)
能被整除，理由如下：
因为 ，．
则
对进行化简：
因为 ，是整数，
所以 能被整除．
【分析】本题主要考查数的表示方法以及数的整除性质．涉及到用字母表示两位数和三位数，以及通过代数式的变形和整除的概念来判断一个数能否被另一个数整除．解题关键在于正确运用数的表示方法，将用字母表示的数转化为代数式，再通过代数式的恒等变形，找出与除数相关的因数，从而判断能否整除．
（1）：先根据三位数的表示方法将写成的形式，然后通过变形将其拆分成一个能被整除的代数式和的和的形式，再根据已知条件判断能否被整除．
（2）：先根据两位数的表示方法分别表示出 和 ，然后求出它们的和，再对和进行化简，最后判断化简后的式子能否被整除．
【详解】（1）解：因为一个三位数 ，根据三位数的表示方法
对进行变形：．
由于，所以能被整除，又已知能被整除．
那么 能被9整除．所以①处填，②处填，③处填，④处填．
（2）略
【变式2-2】（25-26七年级下·四川乐山·期中）若一个四位正整数（各个数位均不为0），十位和千位数字相同，个位和百位数字相同，则称该数为“双生数”例如：3131、4646都是“双生数”；将一个四位正整数的百位和十位交换位置后得到一个四位数，规定．例如：若 则．
(1)填空： ；
(2)证明任意“双生数”的一定能被10整除；
(3)若一个“双生数”，当能被整除时，求的最大值．
【答案】(1)
(2)证明：设任意“双生数”，即，
将这个任意“双生数”的百位和十位交换位置后得到一个四位数，则，
∴，
∴任意“双生数”的一定能被10整除；
(3)9898
【分析】（1）根据进行求解即可；
（2）设任意“双生数”，即，
将这个任意“双生数”的百位和十位交换位置后得到一个四位数，则，然后根据进行求解即可；
（3）由题意易得，则有，然后可得能被整除，
要使的值为最大，则的值要为最大，且，即，（b为整数），进而问题可求解．
【详解】（1）解：由题意得：；
（2）证明：设任意“双生数”，即，
将这个任意“双生数”的百位和十位交换位置后得到一个四位数，则，
∴，
∴任意“双生数”的一定能被10整除；
（3）解：∵，
∴，
∵能被整除，
∴的结果为整数，
∴能被整除，
要使的值为最大，则的值要为最大，且，即，（b为整数）
∴当时，则，不能被7整除，故不符合题意；
当时，则，能被7整除，
∴，
∴这个“双生数”的最大值为9898．
【变式2-3】（25-26七年级下·福建泉州·期中）阅读与探究
阅读下列材料，并解答后面的问题：
“四平八稳”
在中华传统文化中，“四平八稳”常用来形容做事稳妥、周全，不偏不倚，其中“四”与“八”也象征着平衡与和谐．对于一个各个数位上的数字均不为0的四位正整数，若千位上的数字与个位上的数字之和等于百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数为“平稳数”．对于平稳数m，任意去掉一个数位上的数字，可以得到四个三位数，这四个三位数的和记为．
举例说明：
取，因为千位与个位之和，百位与十位之和，且，所以6336是平稳数．去掉千位得336，去掉百位得636，去掉十位得636，去掉个位得633，则．
(1)四位数8442 平稳数（填是或不是）；
(2)已知8424是平稳数，计算；
(3)若一个平稳数m的千位上的数字与个位上的数字之和为12，且能被5整除，求满足条件的所有平稳数中的最大数．
【答案】(1)不是
(2)2934
(3)
【分析】（1）根据平稳数的定义进行判断即可；
（2）根据题意求出结果即可；
（3）设千位上的数字为a，百位上的数字为b，则个位上的数字为，十位上数字为，根据题意得出，，求出，根据且能被5整除，得出能被5整除，然后结合，，求出最大值即可．
【详解】（1）解：因为千位与个位之和为，百位与十位之和，且，所以8442不是平稳数．
（2）解：；
（3）解：设千位上的数字为a，百位上的数字为b，则个位上的数字为，十位上数字为，根据题意得：
，，
解得：，，
去掉千位得：，
去掉百位得，
去掉十位得，
去掉个位得，
，
∴
，
∴要使能被5整除，必须使能被5整除，
∵，，
∴要使满足条件的所有平稳数最大，则、，
∴，，
∴满足条件的所有平稳数中的最大数为．
【题型三】方案选择问题
【例3】（25-26七年级上·湖北襄阳·期中）陕北窑洞是陕北地区重要的文化符号和居住方式，具有冬暖夏凉、经济省工的特点．如图是某窑洞的一扇窗户，窗框（图中所有线条）为铝合金材料，上半部分是由三个扇形组成的半圆形，下半部分是两个大小相等的长方形，长方形的长为，宽为，半圆形的直径为，窗户全部安装玻璃．（取3，单位：米，铝合金窗框宽度忽略不计）
(1)用含，的代数式表示制作一扇这样的窗户需要铝合金的总长度；
(2)用含，的代数式表示制作一扇这样的窗户需要玻璃的总面积；
(3)某公司需要购进10扇这样的窗户，在同等质量的前提下，甲、乙两个厂商分别给出如表报价：
铝合金（元/米）
玻璃（元/平方米）
甲厂商
180
80
乙厂商
200
75
当，时，该公司在哪家厂商购买窗户较合算？（不计其他费用）
【答案】(1)米
(2)平方米
(3)在甲厂商购买窗户较合算
【分析】本题考查了列代数式、代数式求值及整式的加减，有理数四则混合运算的实际应用，关键是正确表达代数式并准确计算；
（1）分别表示出各窗框的长度，然后把它们加在一起；
（2）分别表示出矩形和半圆的面积并求和；
（3）分别计算在出甲、乙厂商的购买价格，并比较大小，得出结论．
【详解】（1）解：一扇这样的窗户需要铝合金的总长度为：
米．
（2）解：一扇这样的窗户需要玻璃的总面积为：
平方米．
（3）解：当，时，
需要铝合金的总长度为（米），
需要玻璃的总面积为（平方米），
∴甲厂商购买窗户的价格为（元），
乙厂商购买窗户的价格为（元）．
∵，
∴在甲厂商购买窗户较合算．
【变式3-1】（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期中）国庆期间：某商场有以下促销活动：
①先提价，再打八折销售；
②先提价，再让利30元销售；
③先涨价b元，再打7.5折销售；
(1)若商品的原价为a元，用代数式分别表示三种方案的销售价格：①____________元；②____________元；③____________元．
(2)若，三种方案哪种最省钱？
【答案】(1)；；
(2)方案③最省钱
【分析】（1）根据三种方案，列出代数式即可；
（2）分别求出三种方案的费用，比较大小即可.
【详解】（1）解：由题意，①（元）；
②（元）；
③（元）；
（2）解：当时，
①总费用为（元）；
②总费用为（元）；
③总费用为（元）；
∵，
∴方案③最省钱.
【变式3-2】（25-26七年级上·吉林长春·期末）某书店销售图书和笔记本，图书每本定价40元，笔记本每本定价5元，“读书月”期间推出两种优惠方案：
方案一：买1本图书送1本笔记本；
方案二：图书和笔记本都打八八折销售．
现有一名读者计划购买图书15本，笔记本y本．
(1)按方案一购买，需付款_____________元；按方案二购买，需付款_____________元．（用含y的代数式表示）
(2)当时，选择哪种方案更省钱？请计算说明．
(3)若该读者想买15本图书和30本笔记本，如何组合购买最节省？需要花费多少元？
【答案】(1)
，
(2)
方案二更省钱
(3)
选择方案二购买最节省，需要花费660元
【分析】（1）根据优惠方案列式子即可；
（2）把分别代入方案一，方案二中，计算结果比较即可；
（3）按方案一，方案二，方案一购买15本图书（获赠15本笔记本），余下的15本笔记本按方案二购买三种购买方式计算出所需付款的钱数比较即可解答．
【详解】（1）解：方案一购买，需付款元；
按方案二购买，需付款元．
（2）解：当时，方案一需付款（元）；
方案二需付款（元）；
∵，
按方案二购买更省钱．
（3）解：当时，方案一需付款（元）；
方案二需付款（元）；
先按方案一购买15本图书（获赠15本笔记本），余下的15本笔记本按方案二购买，需付款（元）．
∵，
按方案二购买更省钱，需要花费元．
【变式3-3】（26-27七年级上·江苏无锡·阶段检测）某体育用品商店出售的乒乓球拍和乒乓球进价、售价如下表：
进价
售价
乒乓球拍
30元副
元副
乒乓球
1元个
元个
某乒乓球队打算购买15副乒乓球拍，120个乒乓球．
(1)该乒乓球队共需花费________元（结果用含，的式子表示）；
(2)今年“五一”期间该商店开展让利促销活动，提供两种不同的促销方案：
方案一：买一副乒乓球拍送2个乒乓球；
方案二：每购买100个乒乓球赠送1副乒乓球拍．
①按方案一购买要花多少钱？若按方案二购买需要多少钱？（结果用含，的式子表示）
②当，时，请你为该乒乓球队设计一个省钱的购买方案，计算并说明理由．
【答案】(1)
(2)① 方案一花费元，方案二花费元；
② 最省钱的购买方案为：用方案二购买100个乒乓球（获赠1副乒乓球拍），用方案一购买14副乒乓球拍（获赠28个乒乓球），总花费610元．
【分析】（1）总费用=球拍费用+球的费用，分别用售价乘以数量即可．
（2）①方案一：买15副球拍送30个球，还需另买90个球；方案二：买120个球送副球拍，还需另买14副球拍，据此进行计算即可；
②将，分别代入①中的两个式子，根据规则设计最省钱方案：先用方案二购买100个乒乓球（获赠1副球拍），再用方案一购买14副乒乓球拍（获赠28个乒乓球），计算所设计方案的费用并比较即可得．
【详解】（1）解：该乒乓球队共需花费： （元）．
（2）①解：方案一： 买一副球拍送个球，买15副球拍送（个）球，还需购买乒乓球：（个），
所需费用： （元）．
方案二： 每购买100个球赠送副球拍，买120个球可赠送副球拍，还需购买球拍：（副），
所需费用：
（元）．
②解：当，时，
方案一费用：（元），
方案二费用：（元）．
设计最省钱方案如下：先用方案二购买100个乒乓球（获赠1副球拍），再用方案一购买14副乒乓球拍（获赠28个乒乓球），
总费用为：（元），
，
选择方案三一更省钱，需花费610元．
【题型四】规律探究问题
【例4】（26-27七年级上·湖北恩施·期中）观察下列等式：；；；；…
(1)按此规律，写出第个等式；
(2)用含的式子表示第个等式；
(3)利用上述规律，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）每个等式左边是从开始的连续奇数之和，右边是项数的平方，按项数依次递增写出第个等式；
（2）第个等式左边末项是第个奇数，右边是项数的平方；
（3）把所求的和化成两段从开始的连续奇数之和的差，再用（2）的结论．
【详解】（1）解：第个等式左边有项，第个等式左边有项，依此类推，
∴第个等式的左边是从开始的个连续奇数之和，
即．
（2）解：第个等式左边共项，末项是第个奇数，右边是，
∴第个等式为．
（3）解：
．
【变式4-1】（26-27七年级上·安徽蚌埠·阶段检测）观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)请直接写出第5个等式： ；
(2)利用规律计算：的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据已知等式的数字变化规律，推导第n个等式的通用形式，代入求解；
（2）将规律等式变形为裂项形式，利用裂项相消法计算求和式的值．
【详解】（1）第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
……，
以此类推，可知，第n个等式为，
∴第5个等式为，即；
（2）解：由（1）的规律可知
．
【变式4-2】（26-27七年级上·山东济南·阶段检测）阅读下列材料：
①，，
②，，
③，，
(1)写出①组中的第个等式： ；
(2)写出②组的第个等式： ；
(3)利用由①②③组你发现的等式规律计算：．
【答案】(1)
(2)（为正整数）
(3)
【分析】（1）等式的左边，分子都为1，分母为连续的两个正整数的乘积，等式的右边，连续的两个正整数中，较小正整数的倒数减去较大正整数的倒数，据此规律作答即可；
（2）先找到式子中分母的规律，再找式子运算的规律，结合示例的式子形式，作答即可；
（3）结合（2）的规律，找到新式子的变化规律，即可作答．
【详解】（1）解：通过分析可知，第n个式子为：，
则第个等式为：；
（2）第1个式子，，，，
第2个式子，，，，
第3个式子，，，
第n个式子，，，
，（为正整数）；
（3）
【变式4-3】（26-27七年级上·江苏盐城·阶段检测）项目式学习：围棋棋子图案中的规律探究．
【项目任务】围棋起源于中国，至今已有4000多年的历史．围棋使用扁圆形的黑、白两色棋
子在方形格的棋盘上对弈．现用黑、白两色棋子拼成下列图案，观察围棋棋子的排列规律．
【项目探究】三位同学采用了不同方法进行探究．
(1)小军将这些棋子分为两类，一类是黑子构成的正方形点阵，一类是白子构成的正方形点阵，这样图1中棋子总数可表示为，图2中棋子总数可表示为，，按照这样的规律，摆放第个图案，需要 个棋子；
(2)小明用虚线将这些棋子连接成“回”字图形，他结合小军的探究，由图1得等式，由图2得等式，，由图得等式 ；
(3)小红用虚线将这些棋子斜着连接，这样图1中棋子总数可以表示为，图2中棋子总数可表示为，，图中最长虚线上共有 个棋子，她结合小军的探究，由此得到从1开始，连续个奇数的和，即 ．（按照要求列出式子，不需要化简）
【答案】(1)
(2)
(3)，
【分析】（1）根据给出的表示方法，作答即可；
（2）根据已有等式，得到相应的规律即可；
（3）观察可知，图1中最长虚线上共有个棋子，图2中最长虚线上共有个棋子，图3中最长虚线上共有个棋子，进而得到图中最长虚线上共有 个棋子，结合（1）中的规律，得到图建立的等式，再根据等式求出的值即可．
【详解】（1）解：由图可知，图中棋子总数可表示为，
∴摆放第个图案，需要个棋子；
（2）解：由图1得等式，
由图2得等式，
由图3得等式，
，
∴由图得等式；
（3）解：由图可知，图1中最长虚线上共有个棋子，
图2中最长虚线上共有个棋子，
图3中最长虚线上共有个棋子，
，
∴图中最长虚线上共有个棋子；
由（1）知，，
∴．
【题型五】赋值法
【例5】（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）赋值法是给代数式中的某些字母赋予一定的特殊值．从而解决问题的一种方法，已知，给x赋值使．得到，则；尝试给x赋不同的值，则可得______．
【答案】31
【分析】本题考查代数式求值，整式的加减运算，利用赋值法，进行求解即可．
【详解】解：当时，，
∵，
∴①，
当时：，
∵，
∴②，
，得：，
∴，
∴；
故答案为：31．
【变式5-1】（25-26七年级上·上海金山·期中）赋值法，又叫特值法，是数学中通过设题中某个未知量为特殊值，从而通过简单的运算，得出最终答案的一种方法．例如：
已知：，则：
（1）取时，直接可以得到；
（2）取时，可得到；
（3）取时，可以得到．
（4）把（2），（3）的结论相加，就可以得到，结合（1）的结论，从而得出．
请类比上例，解决下面的问题．
已知：，求：
(1)的值；
(2)的值；
(3)的值．
【答案】(1)4
(2)6
(3)0
【分析】本题主要考查了代数式求值，正确理解题意是解题的关键．
（1）令，根据所给等式即可求出的值；
（2）令，根据所给等式即可求出的值；
（3）令，根据所给等式即可求出的值，再结合（1）（2）所求可得答案．
【详解】（1）解：当时，，
∵，
∴；
（2）解：当时，则，
∵，
∴；
（3）解：当时，则，
∵，
∴，
又∵，
∴得，
∴．
【变式5-2】已知关于的多项式，其中为互不相等的整数．
(1)若，求的值；
(2)在（1）的条件下，当时，这个多项式的值为27，求e的值；
(3)在（1）、（2）条件下，若时，这个多项式的值是33，求的值．
【答案】(1)0
(2)3
(3)
【分析】本题主要考查了求代数式的值，解题的关键是得出这四个数及它们间的关系．
（1）由为互不相等的整数，而，由此可确定，则可得的值；
（2）把代入多项式中，由（1）所求可得，从而求得e的值；
（3）把代入多项式中，得，再由（1）（2）的结论即可求解．
【详解】（1）解：由为互不相等的整数，而，
∴，
即四个数中有两对相反数，
∴，
即；
（2）解：当时，，
由于，
∴，
∴；
（3）解：当时，有，
由（2）知，
∴，
即；
由（1）知，，
∴，
∴．
【变式5-3】【阅读理解】苏教版数学新教材七年级上册93页论述了一元多项式的恒等关系：如果一个多项式中只含一个字母，那么就称它为一元多项式．对于两个含字母x的一元多项式，当x任取一个数时，如果这两个多项式的值都是相等的，那么就称这两个一元多项式是恒等的．
例如：与．当x任取一个数时，如，，1，…，a，这两个多项式的值都相等．因此，多项式与是恒等的．如果两个多项式恒等，那么将这两个多项式分别合并同类项之后，其系数一定对应相等
【问题解决】已知恒等式，当时，左边，右边＝，所以．求以下代数式的值：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了求代数式的值，准确理解题意是解题的关键．
（1）仿照题例求出当时，左右两边的值，进而求解即可；
（2）将，两式相加，得出，进而求解即可．
【详解】（1）解：当时，左边，右边，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴．
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