第六单元 因数与倍数（期末知识清单）数学苏教版五年级上册（新教材）

第六单元 因数与倍数（期末知识清单） 考点梳理 考点一、因数和倍数的认识 1. 定义 (1) 在整数除法中，如果整数 a 除以整数 b（b≠0）所得的商是整数而没有余数，就说 a 能被 b 整除，或 b 能整除 a。 (2) 此时，a 是 b 的倍数，b 是 a 的因数（也称约数）。 2. 关键要点 (1) 因数与倍数相互依存，不能单独说“a 是倍数”或“b 是因数”，必须说清“谁是谁的因数（倍数）”。 (2) 研究因数与倍数时，一般指非零自然数。 (3) 一个数的因数个数是有限的，最小因数是 1，最大因数是它本身。 (4) 一个数的倍数个数是无限的，最小倍数是它本身，没有最大倍数。 3. 易错提醒 (1) 因数与倍数只在整除前提下讨论，有余数除法中不存在这种关系。 (2) 1 是任何非零自然数的因数；任何非零自然数都是 1 的倍数。 考点二、找一个数的因数及因数的特征 1. 找因数的方法 (1) 有序成对法：从 1 开始，用这个数依次除以 1、2、3……，能整除的除数和商都是它的因数，成对记录，直到除数和商重复或交叉为止。 (2) 也可用乘法成对找：哪两个自然数相乘等于这个数，这两个数就是它的因数。 2. 因数的特征 (1) 一个数的因数个数有限。 (2) 最小因数是 1，最大因数是它本身。 (3) 因数成对出现（完全平方数有一对相同因数，只算一个）。 (4) 一个数的因数个数可能是奇数（完全平方数）或偶数（非完全平方数）。 3. 易错提醒 (1) 找因数要“有序、不重不漏”，避免只找一半。 (2) 1 只有一个因数，是它本身。 考点三、找一个数的倍数及倍数的特征 1. 找倍数的方法 (1) 用这个数分别乘 1、2、3……，所得的积都是它的倍数。 (2) 也可用这个数依次加它本身，得到它的倍数。 2. 倍数的特征 (1) 一个数的倍数个数无限。 (2) 最小倍数是它本身，没有最大倍数。 (3) 一个数的倍数一定大于或等于它本身（非零自然数范围内）。 3. 易错提醒 (1) 倍数不能全部列出，列举时必须加省略号。 (2) 一个数的最小倍数与最大因数都是它本身。 考点四、2、3、5 的倍数特征 1. 2 的倍数特征 (1) 个位上是 0、2、4、6、8 的数都是 2 的倍数。 (2) 是 2 的倍数的数叫偶数（0 也是偶数）；不是 2 的倍数的数叫奇数。 2. 5 的倍数特征 (1) 个位上是 0 或 5 的数都是 5 的倍数。 3. 3 的倍数特征 (1) 一个数各位上数字之和是 3 的倍数，这个数就是 3 的倍数。 4. 综合运用 (1) 同时是 2 和 5 的倍数：个位上是 0。 (2) 同时是 2、3、5 的倍数：个位上是 0，且各位数字之和是 3 的倍数。 (3) 判断一个数是否是 3 的倍数，看“数字和”，不能只看个位。 5. 易错提醒 (1) 奇偶数与质合数不是同一分类标准，不能混淆。 (2) 3 的倍数特征与其他数不同，需单独记忆。 考点五、质数与合数的认识 1. 定义 (1) 一个数，如果只有 1 和它本身两个因数，这样的数叫质数（素数）。 (2) 一个数，如果除了 1 和它本身还有别的因数，这样的数叫合数。 2. 关键要点 (1) 1 既不是质数，也不是合数。 (2) 非零自然数按因数个数可分为：1、质数、合数三类。 (3) 最小的质数是 2，最小的合数是 4。 (4) 2 是唯一的偶质数；除 2 外，所有质数都是奇数。 3. 判断方法 (1) 判断一个数是否为质数，看它是否只有 1 和它本身两个因数；可用 2、3、5、7 等较小质数依次试除。 4. 易错提醒 (1) 不要认为“奇数都是质数”，如 9、15 是奇数但是合数。 (2) 不要认为“偶数都是合数”，2 是偶数但是质数。 考点六、质因数 1. 定义 (1) 如果一个质数是某个数的因数，那么这个质数就叫这个数的质因数。 2. 分解质因数 (1) 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫分解质因数。 (2) 分解质因数只针对合数，质数与 1 不能分解质因数。 (3) 常用方法：短除法，用质数依次去除，直到商是质数为止。 3. 表示形式 (1) 写成连乘形式，如 12＝2×2×3。 (2) 相同质因数可写成乘方形式，如 12＝2²×3。 4. 易错提醒 (1) 分解质因数的结果必须全部是质数。 (2) 不要把 1 写进分解式中。 考点七、公因数与最大公因数 1. 定义 (1) 几个数公有的因数，叫这几个数的公因数。 (2) 公因数中最大的一个，叫这几个数的最大公因数。 2. 找最大公因数的方法 (1) 列举法：分别列出各数的因数，找出公有的因数，取最大者。 (2) 短除法：用公有的质因数连续去除，直到商只有公因数 1，把所有除数相乘。 (3) 特殊情况：两数成倍数关系时，较小数是它们的最大公因数；两数只有公因数 1 时，最大公因数是 1。 3. 关键要点 (1) 公因数的个数有限，最大公因数唯一。 (2) 1 是任何几个非零自然数的公因数。 4. 易错提醒 (1) 短除法求最大公因数时，只乘除数，不乘最后的商。 (2) 互质的两个数最大公因数是 1。 考点八、公倍数与最小公倍数 1. 定义 (1) 几个数公有的倍数，叫这几个数的公倍数。 (2) 公倍数中最小的一个（0 除外），叫这几个数的最小公倍数。 2. 找最小公倍数的方法 (1) 列举法：分别列举各数的倍数，找出公有的倍数，取最小者。 (2) 短除法：用公有的质因数连续去除，直到商只有公因数 1，把所有除数和最后的商相乘。 (3) 特殊情况：两数成倍数关系时，较大数是它们的最小公倍数；两数只有公因数 1 时，最小公倍数是两数之积。 3. 关键要点 (1) 公倍数的个数无限，最小公倍数唯一。 (2) 两个数的公倍数都是它们最小公倍数的倍数。 4. 与最大公因数的联系 (1) 两个数的最大公因数 × 最小公倍数 = 这两个数的乘积（适用于两个数）。 5. 易错提醒 (1) 短除法求最小公倍数时，除数和商都要相乘，不要漏乘。 (2) 公倍数不能全部列出，列举时加省略号。 例题讲解 题型一、因数和倍数的认识 【典型例题】根据4×6＝24，判断下列说法正确的是（    ）。 A．24是倍数 B．4是24的因数 C．6是因数 D．6是4和24的因数 【对应练习】根据，可以知道42是6和7的( )，6和7是42的( )。 题型二、找一个数的因数及因数的特征 【典型例题】下面各数中，因数的个数最多的是（　）。 A．12 B．14 C．17 D．24 【对应练习1】18的全部因数的和是( )。 【对应练习2】为了纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，某公司组织48位员工去看电影《南京照相馆》，将这些员工安排在一个影厅里，每排坐的人数同样多，且每排人数大于3人，小于24人，有几种不同的坐法？ 题型三、找一个数的倍数及倍数的特征 【典型例题】8的因数有( )，20以内8的倍数有( )。 【对应练习1】一个数的最大因数是42，这个数是( )，它的最小倍数是( )。 【对应练习2】今天是乐乐的生日，叔叔用微信给乐乐发了一个红包。红包里的钱数既是63的因数，又是7的倍数，叔叔给乐乐发的红包可能是多少元？ 题型四、2、3、5 的倍数特征 【典型例题】要使170同时是2、3、5的倍数，那么里最大能填( )，最小能填( )。 【对应练习1】一个由字母A、B、C组成的五位数，C＝0，那么下面既是2和5的倍数，又是3的倍数的数是（    ）。 A．ABABC B．AACAC C．BAACA D．ACBAC 【对应练习2】用1、2、3、5四张数字卡片组成三位数，既是2的倍数，又是3的倍数的最小三位数是( )。既是3的倍数，又是5的倍数的最大三位数是( )。 题型五、质数与合数的认识 【典型例题】在1～15的自然数中，质数有( )个，合数有( )个，( )既不是质数又不是合数。 【对应练习1】下面各组数中，三个连续自然数都是合数的是（    ）。 A．7，8，9 B．8，9，10 C．9，10，11 D．10，11，12 【对应练习2】一个数只有1和它本身两个因数，这样的数叫做( )；在8、11、15、19中，质数有( )个；最小的合数是( )。 题型六、质因数 【典型例题】一个数最大因数是48，把这个数分解质因数是( )。 【对应练习1】在括号里填合适的质数。 18＝( )×( )×( )＝( )＋( ) 84＝( )×( )×( )×( ) 【对应练习2】把下列各数分解质因数。 42＝( )    60＝( ) 78＝( )    84＝( ) 91＝( )    105＝( ) 题型七、公因数与最大公因数 【典型例题】18和24的公因数有( )个，它们的最大公因数是( )。 【对应练习1】求下列各组数的最大公因数。 14和98        48和108           56，84和210 【对应练习2】茶叶盒内需用一块黄色正方形绸缎作为装饰。一块长2米、宽1.6米的长方形绸缎，现将它裁剪成大小相等的正方形，且没有剩余，最少可以裁成多少块这样的正方形绸缎？此时正方形面积是多少平方分米？ 题型八、公倍数与最小公倍数 【典型例题】4和8的公倍数有( )，这两个数的特点是( )，因此它们的最小公倍数是( )。 【对应练习1】求下列各组数的最小公倍数。 56和26        51和34 【对应练习2】五（1）班学生在运动会上进行队列表演，无论是4人一排、6人一排，还是8人一排，都正好站完。五（1）班学生的总人数在40～50之间。五（1）班有多少人？ 变式训练 一、选择题 1．下面说法正确的是（    ）。 A．85÷4＝21……1，85是4的倍数。 B．一个数越大，因数也就越多。 C．a（a＞0）既是a的因数，又是a的倍数。 D．一个数的因数的个数是无限的，倍数的个数是有限的。 2．下面各组数中，（    ）的最大公因数是1。 A．45和24 B．19和76 C．39和40 D．39和13 3．下面各组数中，一个是质数，一个合数的是（     ）。 A．3和17 B．7和21 C．61和19 D．4和25 4．一个四位数，同时是2、3、5的倍数，关于这个数，下列说法正确的个数是（   ）。 ①一定是30的倍数        ②十位上的数不可以是8 ③个位上只能是0        ④千位、百位、十位上的数字之和是3的倍数 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．学校采购了一批灭蚊液，用于日常卫生管理。如果按每箱装2瓶能正好装完，灭蚊液的数量可能是（    ）。 A．75瓶 B．80瓶 C．93瓶 D．97瓶 6．已知1□0是一个三位数，要使1□0同时是2、3和5的倍数，□里有（    ）种不同的填法。 A．3 B．4 C．5 D．6 二、填空题 7．在0、29、2、1、91、57、79中，偶数有( )，奇数有( )，质数有( )，合数有( )。 8．一个四位数6□2□，它既是3的倍数，又是5的倍数，这个数最大是( )，最小是( )。 9．6和9的最小公倍数是( )；18和24的最大公因数是( )。 10．从数字中任选三个组成三位数。（每个数字只能用一次） (1)摆出既是2的倍数又是3的倍数的最大三位数：( )。 (2)摆出既是2的倍数又是5的倍数的最小三位数：( )。 (3)摆出既是2的倍数又是3和5的倍数的最大三位数是( )，最小三位数是( )。 11．已知a＝3×2×n，b＝3×5×n（n是非零自然数），若a和b的最大公因数是6，则n＝( )，a和b的最小公倍数是( )。 12．我们发现有些数具有有趣的特点，例如：6有四个因数1、2、3、6，除6本身以外，还有1、2、3这三个因数。6＝1＋2＋3，恰好是所有因数（本身除外）之和。那么在“12、28、32、40”这四个数中，具有同样特点的数是( )。 13．淘气和笑笑心里分别想了一个数，它们都是质数，并且这两个数相加的和是12，相乘的积是35，那么这两个数分别是( )和( )。 14．晚上，小明正开着灯在吃晚饭，顽皮的弟弟按了16下开关，这时灯是( )着的。如果再按50下，这时灯是( )着的。（填“开”或“关”） 15．为了方便顾客上网，某咖啡馆墙上贴了WiFi密码，密码由9位数字组成，是。其中是最小的合数，是质数也是偶数，是2和3的最小公倍数，这家咖啡馆的WiFi密码是5( )27936( )( )。 三、计算题 16．求出下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 5和11        36和54        16和48 四、解答题 17．花店要制作一批花束，一共准备了90朵花，有三种扎花方案，甲方案每束扎6朵，乙方案每束扎7朵，丙方案每束扎9朵，选用哪种扎花方案能正好把90朵花用完？ 18．一个养蚕基地的占地是一个长方形，周长为60米，长和宽都是质数，则基地的面积是多少? 19．大熊猫是我国一级保护动物，被誉为“活化石”和“中国国宝”。全国第四次大熊猫调查结果中显示的全国野生大熊猫种群数量就藏在下面的提示中。全国野生大熊猫种群数量有多少只？ ①它是一个四位数。②最高位上的数字既不是质数也不是合数。 ③百位上的数字比10以内最大的奇数少1。 ④十位上的数字是6的倍数。 ⑤个位上的数字既有因数2，又是4的倍数。⑥各个数位上的数不相同。 20．实验小学组织五年级的64名优秀少先队员到甘蔗种植园参加劳动实践活动，其中男生24人，女生40人。现在要把男、女生分别分成若干个小组，且每个小组的人数都相等，每个小组最多有多少人？此时，男、女生各有几个小组？ 21．小东一家坚持进行体育锻炼。爸爸绕湖走一圈要用12分钟，爷爷绕湖走一圈要用24分钟，小东绕湖走一圈要用18分钟。如果三人同时从同一起点沿同一方向出发，至少多少分钟后小东和爷爷在起点处再次相遇？此时爸爸走了几圈？ 试卷第1页（共3页） 第 1 页 共 21 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六单元 因数与倍数（期末知识清单） 考点梳理 考点一、因数和倍数的认识 1. 定义 (1) 在整数除法中，如果整数 a 除以整数 b（b≠0）所得的商是整数而没有余数，就说 a 能被 b 整除，或 b 能整除 a。 (2) 此时，a 是 b 的倍数，b 是 a 的因数（也称约数）。 2. 关键要点 (1) 因数与倍数相互依存，不能单独说“a 是倍数”或“b 是因数”，必须说清“谁是谁的因数（倍数）”。 (2) 研究因数与倍数时，一般指非零自然数。 (3) 一个数的因数个数是有限的，最小因数是 1，最大因数是它本身。 (4) 一个数的倍数个数是无限的，最小倍数是它本身，没有最大倍数。 3. 易错提醒 (1) 因数与倍数只在整除前提下讨论，有余数除法中不存在这种关系。 (2) 1 是任何非零自然数的因数；任何非零自然数都是 1 的倍数。 考点二、找一个数的因数及因数的特征 1. 找因数的方法 (1) 有序成对法：从 1 开始，用这个数依次除以 1、2、3……，能整除的除数和商都是它的因数，成对记录，直到除数和商重复或交叉为止。 (2) 也可用乘法成对找：哪两个自然数相乘等于这个数，这两个数就是它的因数。 2. 因数的特征 (1) 一个数的因数个数有限。 (2) 最小因数是 1，最大因数是它本身。 (3) 因数成对出现（完全平方数有一对相同因数，只算一个）。 (4) 一个数的因数个数可能是奇数（完全平方数）或偶数（非完全平方数）。 3. 易错提醒 (1) 找因数要“有序、不重不漏”，避免只找一半。 (2) 1 只有一个因数，是它本身。 考点三、找一个数的倍数及倍数的特征 1. 找倍数的方法 (1) 用这个数分别乘 1、2、3……，所得的积都是它的倍数。 (2) 也可用这个数依次加它本身，得到它的倍数。 2. 倍数的特征 (1) 一个数的倍数个数无限。 (2) 最小倍数是它本身，没有最大倍数。 (3) 一个数的倍数一定大于或等于它本身（非零自然数范围内）。 3. 易错提醒 (1) 倍数不能全部列出，列举时必须加省略号。 (2) 一个数的最小倍数与最大因数都是它本身。 考点四、2、3、5 的倍数特征 1. 2 的倍数特征 (1) 个位上是 0、2、4、6、8 的数都是 2 的倍数。 (2) 是 2 的倍数的数叫偶数（0 也是偶数）；不是 2 的倍数的数叫奇数。 2. 5 的倍数特征 (1) 个位上是 0 或 5 的数都是 5 的倍数。 3. 3 的倍数特征 (1) 一个数各位上数字之和是 3 的倍数，这个数就是 3 的倍数。 4. 综合运用 (1) 同时是 2 和 5 的倍数：个位上是 0。 (2) 同时是 2、3、5 的倍数：个位上是 0，且各位数字之和是 3 的倍数。 (3) 判断一个数是否是 3 的倍数，看“数字和”，不能只看个位。 5. 易错提醒 (1) 奇偶数与质合数不是同一分类标准，不能混淆。 (2) 3 的倍数特征与其他数不同，需单独记忆。 考点五、质数与合数的认识 1. 定义 (1) 一个数，如果只有 1 和它本身两个因数，这样的数叫质数（素数）。 (2) 一个数，如果除了 1 和它本身还有别的因数，这样的数叫合数。 2. 关键要点 (1) 1 既不是质数，也不是合数。 (2) 非零自然数按因数个数可分为：1、质数、合数三类。 (3) 最小的质数是 2，最小的合数是 4。 (4) 2 是唯一的偶质数；除 2 外，所有质数都是奇数。 3. 判断方法 (1) 判断一个数是否为质数，看它是否只有 1 和它本身两个因数；可用 2、3、5、7 等较小质数依次试除。 4. 易错提醒 (1) 不要认为“奇数都是质数”，如 9、15 是奇数但是合数。 (2) 不要认为“偶数都是合数”，2 是偶数但是质数。 考点六、质因数 1. 定义 (1) 如果一个质数是某个数的因数，那么这个质数就叫这个数的质因数。 2. 分解质因数 (1) 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫分解质因数。 (2) 分解质因数只针对合数，质数与 1 不能分解质因数。 (3) 常用方法：短除法，用质数依次去除，直到商是质数为止。 3. 表示形式 (1) 写成连乘形式，如 12＝2×2×3。 (2) 相同质因数可写成乘方形式，如 12＝2²×3。 4. 易错提醒 (1) 分解质因数的结果必须全部是质数。 (2) 不要把 1 写进分解式中。 考点七、公因数与最大公因数 1. 定义 (1) 几个数公有的因数，叫这几个数的公因数。 (2) 公因数中最大的一个，叫这几个数的最大公因数。 2. 找最大公因数的方法 (1) 列举法：分别列出各数的因数，找出公有的因数，取最大者。 (2) 短除法：用公有的质因数连续去除，直到商只有公因数 1，把所有除数相乘。 (3) 特殊情况：两数成倍数关系时，较小数是它们的最大公因数；两数只有公因数 1 时，最大公因数是 1。 3. 关键要点 (1) 公因数的个数有限，最大公因数唯一。 (2) 1 是任何几个非零自然数的公因数。 4. 易错提醒 (1) 短除法求最大公因数时，只乘除数，不乘最后的商。 (2) 互质的两个数最大公因数是 1。 考点八、公倍数与最小公倍数 1. 定义 (1) 几个数公有的倍数，叫这几个数的公倍数。 (2) 公倍数中最小的一个（0 除外），叫这几个数的最小公倍数。 2. 找最小公倍数的方法 (1) 列举法：分别列举各数的倍数，找出公有的倍数，取最小者。 (2) 短除法：用公有的质因数连续去除，直到商只有公因数 1，把所有除数和最后的商相乘。 (3) 特殊情况：两数成倍数关系时，较大数是它们的最小公倍数；两数只有公因数 1 时，最小公倍数是两数之积。 3. 关键要点 (1) 公倍数的个数无限，最小公倍数唯一。 (2) 两个数的公倍数都是它们最小公倍数的倍数。 4. 与最大公因数的联系 (1) 两个数的最大公因数 × 最小公倍数 = 这两个数的乘积（适用于两个数）。 5. 易错提醒 (1) 短除法求最小公倍数时，除数和商都要相乘，不要漏乘。 (2) 公倍数不能全部列出，列举时加省略号。 例题讲解 题型一、因数和倍数的认识 【典型例题】根据4×6＝24，判断下列说法正确的是（    ）。 A．24是倍数 B．4是24的因数 C．6是因数 D．6是4和24的因数 【答案】B 【分析】因数和倍数是相互依存的关系，不能单独称某一个数为因数或倍数。在乘法算式a×b＝c（a、b、c均为非0的自然数）中，a、b就是c的因数，c就是a、b的倍数。 【详解】A．因数和倍数是相互依存的关系，不能单独说24是倍数，原说法错误。 B．根据4×6＝24可知4是24的因数，原说法正确。 C．因数和倍数是相互依存的关系，不能单独说6是因数，原说法错误。 D．根据4×6＝24可知6和4是24的因数，原说法错误。 【对应练习】根据，可以知道42是6和7的( )，6和7是42的( )。 【答案】 倍数 因数 【分析】首先回忆因数和倍数的定义，明确在整数除法中，如果商是整数且没有余数，被除数、除数和商之间的关系。 因为题目给出42÷6＝7，商是整数且没有余数，所以对照因数和倍数的定义，对应判断42与6、7的关系，以及6、7与42的关系。 【详解】根据，可以知道42是6和7的倍数，6和7是42的因数。 题型二、找一个数的因数及因数的特征 【典型例题】下面各数中，因数的个数最多的是（　）。 A．12 B．14 C．17 D．24 【答案】D 【分析】根据找因数的方法，可以用除法分别找出每个选项对应数字的所有因数，统计数量后比较大小即可。 【详解】12的因数有：1，2，3，4，6，12，共6个； 14的因数有：1，2，7，14，共4个； 17的因数有：1，17，共2个； 24的因数有：1，2，3，4，6，8，12，24，共8个。 ，可知24的因数个数最多。 【对应练习1】18的全部因数的和是( )。 【答案】39 【分析】先列举出18的全部因数，再相加求和即可。 列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。 【详解】18＝1×18＝2×9＝3×6 18的因数：1，2，3，6，9，18； 18的全部因数的和是：1＋2＋3＋6＋9＋18＝39 【对应练习2】为了纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，某公司组织48位员工去看电影《南京照相馆》，将这些员工安排在一个影厅里，每排坐的人数同样多，且每排人数大于3人，小于24人，有几种不同的坐法？ 【答案】 5种 【分析】每排人数相同且刚好坐满，说明每排人数是48的因数，只需找出48的因数中大于3且小于24的个数，即为坐法数。 【详解】一对一对找出48的因数： 48的因数有。 其中大于3且小于24的因数是，共5个，对应5种不同的坐法。 答：有5种不同的坐法。 题型三、找一个数的倍数及倍数的特征 【典型例题】8的因数有( )，20以内8的倍数有( )。 【答案】 【分析】找能整除8的正整数，从1开始一对一对算：1×8＝8，2×4＝8，所以能把8整除的数就是1、2、4、8，这些就是8的因数。 从8本身开始依次乘1、2、3…，得到8×1＝8，8×2＝16，8×3＝24，24已经超过20了，所以符合要求的只有8和16。 【详解】8的因数有（1、2、4、8），20以内8的倍数有（8、16）。 【对应练习1】一个数的最大因数是42，这个数是( )，它的最小倍数是( )。 【答案】 42 42 【分析】根据因数和倍数的定义可知：一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身；一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 【详解】根据因数的特征：一个数的最大因数是它本身。因为一个数的最大因数是42，所以这个数是42。 根据倍数的特征：一个数的最小倍数是它本身。因为这个数是42，所以它的最小倍数是42。 【对应练习2】今天是乐乐的生日，叔叔用微信给乐乐发了一个红包。红包里的钱数既是63的因数，又是7的倍数，叔叔给乐乐发的红包可能是多少元？ 【答案】 元、元或元 【分析】由于红包金额既是的因数又是的倍数，因此先利用乘法配对法找出的所有因数，再从中筛选出的倍数，即可得到红包可能的金额。 【详解】首先找出的所有因数： 所以的因数有：、、、、、。 接着从上述因数中找出的倍数： ，是的倍数； ，是的倍数； ，是的倍数。 因此符合条件的数为、、。 答：叔叔给乐乐发的红包可能是元、元或元。 题型四、2、3、5 的倍数特征 【典型例题】要使170同时是2、3、5的倍数，那么里最大能填( )，最小能填( )。 【答案】 7 1 【分析】首先这个数末尾已经是0，天然满足2和5的倍数要求，只需要满足是3的倍数的条件：各个数位上的数字相加的和能被3整除，据此分析即可。 【详解】现有数字的和是1＋7＋0＝8，我们填的数字只要和8相加的和是3的倍数就可以： 比8大的3的倍数依次是9、12、15、18……，因为方框里只填一位数，所以符合要求的一位数是1（8＋1＝9）、4（8＋4＝12）、7（8＋7＝15） 所以这些数里最小是1，最大是7。 【对应练习1】一个由字母A、B、C组成的五位数，C＝0，那么下面既是2和5的倍数，又是3的倍数的数是（    ）。 A．ABABC B．AACAC C．BAACA D．ACBAC 【答案】B 【分析】2的倍数的特征，一个数的个位如果是偶数，这个数就是2的倍数；5的倍数的特征，一个数的个位是0或5，这个数就是5的倍数。先依据2和5的倍数特征，个位必须是0也就是C；再根据3的倍数特征，各数位数字之和是3的倍数。据此判断即可。 【详解】A．，不一定是3的倍数，该选项不符合。 B．，一定是3的倍数，符合要求。 C．2和5的倍数的数个位为0，即个位是C，该选项不符合。 D．，不一定是3的倍数，该选项不符合。 【对应练习2】用1、2、3、5四张数字卡片组成三位数，既是2的倍数，又是3的倍数的最小三位数是( )。既是3的倍数，又是5的倍数的最大三位数是( )。 【答案】 132 315 【分析】个位上是0、2、4、6、8的数，都是2的倍数；一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数；个位是0或5的数是5的倍数；根据题意要使组成的最小三位数既是2的倍数，又是3的倍数，百位是1，个位必须是2，三个数字之和要能被3整除；要使组成的最大三位数既是3的倍数，又是5的倍数，个位必须是5，三个数字之和要能被3整除，百位尽量选大数。据此解答。 【详解】百位是1，个位是2，此时可能组成的三位数是：132，152； 1＋2＋3＝6，6÷3＝2；所以132符合； 1＋2＋5＝8，8÷3＝2……2；所以152不符合； 因此，既是2的倍数，又是3的倍数的最小三位数是132。 个位是5，百位数字最大是3；此时可能组成的三位数是：315，325； 5＋3＋1＝9，9÷3＝3；所以315符合； 5＋3＋2＝10，10÷3＝3……1；所以325不符合； 因此，既是3的倍数，又是5的倍数的最大三位数是315。 题型五、质数与合数的认识 【典型例题】在1～15的自然数中，质数有( )个，合数有( )个，( )既不是质数又不是合数。 【答案】 【分析】根据质数的意义：一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；合数的意义：一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数；1既不是质数也不是合数；据此解答。 【详解】的自然数中质数有：2、3、5、7、11、13共6个； 的自然数中合数有：4、6、8、9、10、12、14、15共8个； 既不是质数也不是合数。 【对应练习1】下面各组数中，三个连续自然数都是合数的是（    ）。 A．7，8，9 B．8，9，10 C．9，10，11 D．10，11，12 【答案】B 【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。 一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 【详解】A．7是质数，8、9是合数，不符合题意； B．8、9、10都是合数，符合题意； C．9、10是合数，11是质数，不符合题意； D．10、12是合数，11是质数，不符合题意。 【对应练习2】一个数只有1和它本身两个因数，这样的数叫做( )；在8、11、15、19中，质数有( )个；最小的合数是( )。 【答案】 质数 【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。1既不是质数，也不是合数；最小的合数是4。 【详解】一个数只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数； 在8、11、15、19中，质数有11、19。共2个； 最小的合数是4。 题型六、质因数 【典型例题】一个数最大因数是48，把这个数分解质因数是( )。 【答案】48＝2×2×2×2×3 【分析】一个数最大因数是它本身；分解质因数就是把一个合数写成几个质数的连乘积形式，用短除法分解质因数即可。 【详解】一个数最大因数是48，所以这个数就是48； 48分解质因数是：48＝2×2×2×2×3 【对应练习1】在括号里填合适的质数。 18＝( )×( )×( )＝( )＋( ) 84＝( )×( )×( )×( ) 【答案】 2 3 3 5 13 2 2 3 7 【分析】每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的因数，把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数；一个数（0除外）只有因数1和它本身两个因数，这样的数就是质数。 【详解】18＝2×3×3＝5＋13 84＝2×2×3×7 【对应练习2】把下列各数分解质因数。 42＝( )    60＝( ) 78＝( )    84＝( ) 91＝( )    105＝( ) 【答案】 42＝2×3×7 60＝2×2×3×5 78＝2×3×13 84＝2×2×3×7 91＝7×13 105＝3×5×7 【分析】利用短除法分解质因数，保证分解的每个因数都是质数。 【详解】42＝2×3×7          60＝2×2×3×5                  78＝2×3×13        84＝2×2×3×7                 91＝7×13          105＝3×5×7                  题型七、公因数与最大公因数 【典型例题】18和24的公因数有( )个，它们的最大公因数是( )。 【答案】 4 6 【分析】先分别找出18和24的所有因数，对比两个数的因数，找出共同的因数，因为公因数是两个数共有的因数，统计公因数的个数，填入第一空即可；再从公因数中找出数值最大的那个，填入第二空。 【详解】18的因数有：1、2、3、6、9、18；24的因数有：1、2、3、4、6、8、12、24；共同的因数有：1、2、3、6一共4个；其中最大公因数是：6。 【对应练习1】求下列各组数的最大公因数。 14和98        48和108           56，84和210 【答案】14；12；14 【分析】求最大公因数时，若两数成倍数关系，最大公因数是较小数；一般情况用短除法，将公有的质因数从小到大依次作为除数去除各数，直到商只有公因数1，所有除数的乘积就是最大公因数。 【详解】14和98：因为，98是14的倍数，所以14和98的最大公因数是14。 48和108： 48和108的最大公因数是12。 56、84和210： 56、84和210的最大公因数是14。 【对应练习2】茶叶盒内需用一块黄色正方形绸缎作为装饰。一块长2米、宽1.6米的长方形绸缎，现将它裁剪成大小相等的正方形，且没有剩余，最少可以裁成多少块这样的正方形绸缎？此时正方形面积是多少平方分米？ 【答案】 20块；16平方分米 【分析】要使裁剪的正方形块数最少且没有剩余，正方形的边长应是长方形长和宽的最大公因数。先统一单位为分米，再求长和宽的最大公因数得到正方形边长，再用长方形的长和宽分别除以正方形的边长，然后相乘即可得到可以裁成的正方形块数。再根据正方形的面积＝边长×边长，代入数据求解。 【详解】2米＝2×10＝20分米 1.6米＝1.6×10＝16分米 的因数有：、、、、、 的因数有：、、、、 和的最大公因数是，即正方形边长为分米。 长可裁剪的块数：（块） 宽可裁剪的块数：（块） 总块数：（块） 正方形面积：（平方分米） 答：最少可以裁成块这样的正方形绸缎，此时正方形的面积是平方分米。 题型八、公倍数与最小公倍数 【典型例题】4和8的公倍数有( )，这两个数的特点是( )，因此它们的最小公倍数是( )。 【答案】 8、16、24、32、……； 倍数关系/大数是小数的倍数或小数是大数的因数； 8 【分析】两个数公有的倍数叫做这两个数的公倍数；其中最小的叫最小公倍数。两个数是倍数关系时，它们的最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数。 【详解】公倍数是指同时能被4和8整除的数，这样的数有无数个，8、16、24、32、……； ，这两个数的特点是和是倍数关系，所以它们的最小公倍数是。 【对应练习1】求下列各组数的最小公倍数。 56和26        51和34 【答案】728；102 【分析】用分解质因数法求最小公倍数，先把两个数分解成质因数相乘的形式，最小公倍数等于公有质因数乘各自独有的质因数。 【详解】（1）56＝2×2×2×7 26＝2×13 最小公倍数：2×2×2×7×13＝728 （2）51＝3×17 34＝2×17 最小公倍数：17×3×2＝102 【对应练习2】五（1）班学生在运动会上进行队列表演，无论是4人一排、6人一排，还是8人一排，都正好站完。五（1）班学生的总人数在40～50之间。五（1）班有多少人？ 【答案】 48人 【分析】总人数能被4、6、8分别整除，说明总人数是这三个数的公倍数，先找出4、6、8的最小公倍数，三个数其他的公倍数都是最小公倍数的倍数，据此找出三个数在40~50之间的公倍数即可。 【详解】4＝2×2 6＝2×3 8＝2×2×2 4、6、8的最小公倍数是2×3×2×2＝24 在40~50之间的24的倍数是48。 答：五（1）班有48人。 变式训练 一、选择题 1．下面说法正确的是（    ）。 A．85÷4＝21……1，85是4的倍数。 B．一个数越大，因数也就越多。 C．a（a＞0）既是a的因数，又是a的倍数。 D．一个数的因数的个数是无限的，倍数的个数是有限的。 【答案】C 【分析】两个非0的整数相除，所得的商是整数而没有余数，除数和商就是被除数的因数，被除数就是除数和商的倍数；一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身；一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。据此判断。 【详解】A．85÷4＝21……1中有余数，所以85不是4的倍数，原说法错误； B．例如13比12大，12的因数有1、2、3、4、6、12，共6个，13的因数有1、13，只有2个，所以一个数越大，因数不一定越多，原说法错误； C．a的最大因数是a，最小倍数也是a，所以a（a＞0）既是a的因数，又是a的倍数，原说法正确； D．一个数的因数的个数是有限的，倍数的个数是无限的，原说法错误。 2．下面各组数中，（    ）的最大公因数是1。 A．45和24 B．19和76 C．39和40 D．39和13 【答案】C 【分析】如果一个整数同时是几个整数的因数，称这个整数为它们的“公因数”；公因数中最大的称为最大公因数（最大公约数）。分别计算每组数的最大公因数，选出结果为1的选项即可。 【详解】A．45和24的公因数有1、3，最大公因数是3，不符合要求。 B．76÷19＝4，76是19的倍数，两个数为倍数关系时最大公因数是较小数，即最大公因数是19，不符合要求。 C．39和40是相邻的自然数，两数互质，最大公因数是1，符合要求。 D．39÷13＝3，39是13的倍数，最大公因数是13，不符合要求。 3．下面各组数中，一个是质数，一个合数的是（     ）。 A．3和17 B．7和21 C．61和19 D．4和25 【答案】B 【分析】除了1和它本身以外不再有其他因数的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数的数叫合数。 【详解】A．3和17都只有1和自身两个因数，都是质数，排除； B．7只有1和7两个因数，是质数；21的因数有1、3、7、21，是合数，符合要求； C．61和19都只有1和自身两个因数，都是质数，排除； D．4的因数有1、2、4，25的因数有1、5、25，都是合数，排除。 4．一个四位数，同时是2、3、5的倍数，关于这个数，下列说法正确的个数是（   ）。 ①一定是30的倍数        ②十位上的数不可以是8 ③个位上只能是0        ④千位、百位、十位上的数字之和是3的倍数 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】同时是2、3、5的倍数的数需满足两个特征：个位是0，各位数字之和是3的倍数，据此逐一判断各说法正误。 【详解】计算2、3、5的最小公倍数：2×3×5＝30，因此同时是这三个数倍数的数一定是30的倍数，①正确。 举反例：四位数1080同时是2、3、5的倍数，它的十位数字是8，可知十位上的数可以是8，②错误。 同时是2和5的倍数的数，个位只能是0，③正确。 该数个位是0，各位数字之和等于千位、百位、十位的数字之和，要满足是3的倍数，即千位、百位、十位上的数字之和是3的倍数，④正确。 综上，正确的说法共3个。 5．学校采购了一批灭蚊液，用于日常卫生管理。如果按每箱装2瓶能正好装完，灭蚊液的数量可能是（    ）。 A．75瓶 B．80瓶 C．93瓶 D．97瓶 【答案】B 【分析】每箱装2瓶正好装完，说明灭蚊液总数量是2的倍数，2的倍数的特征是个位上是0、2、4、6、8的数，逐个观察选项的个位进行判断。 【详解】A．75：个位是5，不是2的倍数，不能正好装完。 B．80：个位是0，是2的倍数，可以正好装完。 C．93：个位是3，不是2的倍数，不能正好装完。 D．97：个位是7，不是2的倍数，不能正好装完。 6．已知1□0是一个三位数，要使1□0同时是2、3和5的倍数，□里有（    ）种不同的填法。 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】2的倍数的特征：个位是 0、2、4、6、8；5的倍数的特征：个位是0或5；3的倍数的特征：各个数位上数字之和是3的倍数。这个数个位已经是0，所以它一定同时是2和5的倍数，只需要满足：各位数字之和是3的倍数。题目中已知的两个数字为1和0，，只要确定一个一位数和1的和是3的倍数，最后数出有几个这样的一位数。 【详解】这个三位数的个位上是0，所以它已经同时是2、5的倍数。 因为， 则：，2不是3的倍数； ，3是3的倍数； ，4不是3的倍数； ，5不是3的倍数； ，6是3的倍数； ，7不是3的倍数； ，8不是3的倍数； ，9是3的倍数； ，10不是3的倍数； 综上，□中的数字是2、5、8时，这个三位数同时是2、3、5的倍数，即□里有3种不同的填法。 二、填空题 7．在0、29、2、1、91、57、79中，偶数有( )，奇数有( )，质数有( )，合数有( )。 【答案】 0、2 29、1、91、57、79 29、2、79 91、57 【分析】先根据能否被2整除区分奇数和偶数，再根据一个大于1的自然数的因数个数判断质数和合数；0和1既不是质数也不是合数。 【详解】0和2能被2整除，是偶数，所以偶数有0、2。 29、1、91、57、79不能被2整除，是奇数，所以奇数有29、1、91、57、79。 29、2、79都只有1和它本身两个因数，是质数，所以质数有29、2、79。 91＝7×13，57＝3×19，它们除1和本身外还有其他因数，是合数，所以合数有91、57。 8．一个四位数6□2□，它既是3的倍数，又是5的倍数，这个数最大是( )，最小是( )。 【答案】 6825 6120 【分析】四位数6□2□，既是3的倍数又是5的倍数。5的倍数个位只能是0或5。3的倍数各位数字和是3的倍数。设百位为a，个位为b。数字和＝6＋a＋2＋b＝8＋a＋b，必须是3的倍数。分别讨论b＝0和b＝5的情况，求出a的取值范围，找出最大和最小的四位数。 【详解】个位b＝0时，数字和＝8＋a，8＋a是3的倍数。a可以是1、4、7。四位数为6120、6420、6720； 个位b＝5时，数字和＝13＋a，13＋a是3的倍数。a可以是2、5、8。四位数为6225、6525、6825。 这个数最大是6825，最小是6120。 9．6和9的最小公倍数是( )；18和24的最大公因数是( )。 【答案】 18 6 【分析】将每个数分解质因数，最小公倍数：全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍数。最大公因数：全部共有的质因数（公有质因数）相乘的积就是这几个数的最大公因数。 【详解】6＝2×3 9＝3×3 6和9的最小公倍数：2×3×3＝18 18＝2×3×3 24＝2×2×2×3 18和24的最大公因数：2×3＝6 所以6和9的最小公倍数是18；18和24的最大公因数是6。 10．从数字中任选三个组成三位数。（每个数字只能用一次） (1)摆出既是2的倍数又是3的倍数的最大三位数：( )。 (2)摆出既是2的倍数又是5的倍数的最小三位数：( )。 (3)摆出既是2的倍数又是3和5的倍数的最大三位数是( )，最小三位数是( )。 【答案】(1)750 (2)250 (3) 750 270 【分析】（1）既是2的倍数又是3的倍数，个位上是偶数，且各位上的数的和是3的倍数，要求最大的三位数，尽可能让最大的数放在最高位，据此找到最大的三位数； （2）既是2的倍数又是5的倍数，个位上是0，要求最小的三位数，尽可能让最小的数放在最高位，据此找到最小的三位数； （3）同时是2、3、5的倍数特征，个位上的数字一定是0，且各位上的数的和是3的倍数，据此得到最大和最小的三位数。 【详解】（1）7＞5＞2＞0，因为7＋5＝12是3的倍数，个位上是偶数，不能是2，因为再加2就不是3的倍数，所以个位上是0，最大三位数是750。 （2）7＞5＞2＞0，个位上是0，且最小，所以将2放百位，5放十位，最小三位数是250。 （3）个位上是0，且因为7＋5＝12是3的倍数，最大三位数是750；7＋2＝9是3的倍数，且可以组成比5、7、0更小的数，所以最小三位数是270。 11．已知a＝3×2×n，b＝3×5×n（n是非零自然数），若a和b的最大公因数是6，则n＝( )，a和b的最小公倍数是( )。 【答案】 2 60 【分析】（1）两个数的最大公因数是二者公有质因数的乘积，和公有质因数是和，所以二者最大公因数为，结合已知最大公因数是，用可求得的值； （2）两个数的最小公倍数是二者公有质因数与各自独有质因数的乘积，、的公有质因数是和，各自独有的质因数还有和，、的最小公倍数＝。依此计算，即可得到、的最小公倍数。 【详解】求、的最大公因数： 、的最小公倍数是： 12．我们发现有些数具有有趣的特点，例如：6有四个因数1、2、3、6，除6本身以外，还有1、2、3这三个因数。6＝1＋2＋3，恰好是所有因数（本身除外）之和。那么在“12、28、32、40”这四个数中，具有同样特点的数是( )。 【答案】28 【分析】一个数除了它自己之外的所有因数加起来，正好等于这个数本身。先找出这四个数的所有因数，再把除这个数本身以外所有的因数相加，和等于这个数的，就是符合题目要求的数。 【详解】12的因数：1，2，3，4，6，12； 1＋2＋3＋4＋6＝16 16≠12，不是所有因数（本身除外）之和，不符合题意； 28的因数：1，2，4，7，14，28； 1＋2＋4＋7＋14＝28 恰好是所有因数（本身除外）之和，符合题意； 32的因数：1，2，4，8，16，32； 1＋2＋4＋8＋16＝31 31≠32，不是所有因数（本身除外）之和，不符合题意； 40的因数：1，2，4，5，8，10，20，40； 1＋2＋4＋5＋8＋10＋20＝50 50≠40，不是所有因数（本身除外）之和，不符合题意。 所以符合条件的数是28。 13．淘气和笑笑心里分别想了一个数，它们都是质数，并且这两个数相加的和是12，相乘的积是35，那么这两个数分别是( )和( )。 【答案】 5 7 【分析】质数是指大于1，除了1和它本身之外没有其他因数的自然数。需要找出两个质数，满足相加的和是12，相乘的积是35，先找出12以内的质数，再从中筛选符合条件的数。 【详解】12以内的质数有2、3、5、7、11。 其中5＋7＝12，5×7＝35，符合条件。 所以这两个数分别是5和7。 14．晚上，小明正开着灯在吃晚饭，顽皮的弟弟按了16下开关，这时灯是( )着的。如果再按50下，这时灯是( )着的。（填“开”或“关”） 【答案】 开 开 【分析】明确灯的初始状态以及开关次数与灯的状态变化之间的规律。灯的初始状态是开着的，每按一次开关，灯的状态就会改变一次（开变关，关变开）。由此可知：按奇数次开关，灯的状态与初始状态相反；按偶数次开关，灯的状态与初始状态相同。 【详解】灯原来是开着的。按1下开关，灯变为关；按2下开关，灯变为开；按3下开关，灯变为关；……可以发现：按奇数次开关，灯的状态改变（变为关）；按偶数次开关，灯的状态不变（仍为开）。 弟弟按了16下开关。因为16是偶数，所以灯的状态不变，仍是开着的。 如果再按50下，此时总共按开关的次数为：（下） 因为66是偶数，所以灯的状态不变，仍是开着的。 所以弟弟按了16下开关，这时灯是开着的。如果再按50下，这时好是开着的。 15．为了方便顾客上网，某咖啡馆墙上贴了WiFi密码，密码由9位数字组成，是。其中是最小的合数，是质数也是偶数，是2和3的最小公倍数，这家咖啡馆的WiFi密码是5( )27936( )( )。 【答案】 4 2 6 【分析】合数是指除了1和它本身以外还有别的因数的自然数，质数是指只有1和它本身两个因数的数。偶数是能被2整除的数。公倍数是指几个数公有的倍数，最小公倍数是公倍数中最小的一个。 【详解】除了1和它本身以外还有别的因数的自然数是合数，比如：4、6、8、9…，最小的合数是4。所以A＝4。 只有1和它本身两个因数的数是质数，比如：2、3、5、7…，能被2整除的数是偶数，比如：2、4、6、8…，在所有质数中，只有2是偶数。所以B＝2。 2的倍数有：2、4、6、8、10… 3的倍数有：3、6、9、12、18… 2和3公有的倍数中最小的是6，所以2和3的最小公倍数是6。所以C＝6。 综上所述：这家咖啡馆的WiFi密码是542793626。 三、计算题 16．求出下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 5和11        36和54        16和48 【答案】 和 ：最大公因数 ，最小公倍数 ； 和 ：最大公因数 ，最小公倍数 ； 和 ：最大公因数 ，最小公倍数 。 【分析】求两个数的最大公因数和最小公倍数，如果两个数互质，则这两个数的最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积； 如果两个数是倍数关系，则这两个数的最大公因数是其中较小的数，最小公倍数是其中较大的数； 如果两个数既不互质，也不是倍数关系，则先把两个数分别分解质因数，这两个数的最大公因数是两个数的公有的质因数的乘积，最小公倍数是两个数公有的质因数和各自独有的质因数的乘积，据此解答。 【详解】5和11是互质数：两个互质的数（只有1这一个共同因数），最大公因数直接是1，最小公倍数是两个数的乘积，也就是5×11＝55。 36和54是普通的有多个公因数的数：先把两个数分解为质数相乘的形式： ， 最大公因数：； 最小公倍数： 16和48是倍数关系：48是16的3倍，当两个数有倍数关系时，最大公因数是其中较小的数16，最小公倍数是其中较大的数48。 四、解答题 17．花店要制作一批花束，一共准备了90朵花，有三种扎花方案，甲方案每束扎6朵，乙方案每束扎7朵，丙方案每束扎9朵，选用哪种扎花方案能正好把90朵花用完？ 【答案】选用甲、丙扎花方案 【分析】正好用完，说明花的总朵数90是每束花朵数的倍数，也就是每束的朵数是90的因数，能够整除90，计算后没有余数。 【详解】甲方案：90÷6＝15（束），没有余数，90是6的倍数，可以正好用完。 乙方案：90÷7＝12（束）⋯⋯6（朵），有余数，90不是7的倍数，不能正好用完。 丙方案：90÷9＝10（束），没有余数，90是9的倍数，可以正好用完。 答：选用甲、丙扎花方案能正好把90朵花用完。 18．一个养蚕基地的占地是一个长方形，周长为60米，长和宽都是质数，则基地的面积是多少? 【答案】161平方米或209平方米或221平方米 【分析】根据“长方形的周长＝（长＋宽）×2”，可先求出长与宽的和；根据质数是只有1和它本身两个因数的数，找出符合条件的两个质数，即分别是长方形的长与宽；再根据“长方形的面积＝长×宽”，即可求出基地的面积。 【详解】60÷2＝30（米） 30＝7＋23＝11＋19＝13＋17 7×23＝161（平方米） 11×19＝209（平方米） 13×17＝221（平方米） 答：基地的面积是161平方米或209平方米或221平方米。 19．大熊猫是我国一级保护动物，被誉为“活化石”和“中国国宝”。全国第四次大熊猫调查结果中显示的全国野生大熊猫种群数量就藏在下面的提示中。全国野生大熊猫种群数量有多少只？ ①它是一个四位数。②最高位上的数字既不是质数也不是合数。 ③百位上的数字比10以内最大的奇数少1。 ④十位上的数字是6的倍数。 ⑤个位上的数字既有因数2，又是4的倍数。⑥各个数位上的数不相同。 【答案】 1864只 【分析】按照四位数的数位顺序，结合质数、合数、奇数、因数与倍数的小学知识点，依次推导每个数位的数字，再根据各数位数字不同的要求筛选，得到最终的四位数。 【详解】既不是质数也不是合数的数是1（0不能作为最高位），因此千位是1； 10以内最大的奇数是9，，因此百位是8； 一位数中6的倍数只有6，因此十位是6； 一位数中既有因数2、又是4的倍数的数有4和8；因为各个数位上的数不相同，8已在百位，因此个位是4； 所以这个四位数是1864。 答：全国野生大熊猫种群数量有只。 20．实验小学组织五年级的64名优秀少先队员到甘蔗种植园参加劳动实践活动，其中男生24人，女生40人。现在要把男、女生分别分成若干个小组，且每个小组的人数都相等，每个小组最多有多少人？此时，男、女生各有几个小组？ 【答案】 每个小组最多有8人；此时男生有3个小组，女生有5个小组。 【分析】要使男、女生分组后每组人数相等且最多，需求24和40的最大公因数，再用各自总人数除以每组人数得到小组数。 【详解】分解质因数： 24和40的最大公因数是： 即每组最多8人。 男生小组数：24÷8＝3（组） 女生小组数：40÷8＝5（组） 答：每个小组最多有8人；此时男生有3个小组，女生有5个小组。 21．小东一家坚持进行体育锻炼。爸爸绕湖走一圈要用12分钟，爷爷绕湖走一圈要用24分钟，小东绕湖走一圈要用18分钟。如果三人同时从同一起点沿同一方向出发，至少多少分钟后小东和爷爷在起点处再次相遇？此时爸爸走了几圈？ 【答案】72分钟；6圈 【分析】当两人在起点再次相遇时，所用时间一定是他们各自走一圈所用时间的公倍数，要求至少多少分钟后再次相遇，就是求他们走一圈所用时间的最小公倍数；已知爸爸绕湖走一圈要用12分钟，用24和18的最小公倍数除以12就是此时爸爸走的圈数。 【详解】24＝2×2×2×3 18＝2×3×3 所以24和18的最小公倍数是72。 72÷12＝6（圈） 答：至少72分钟后小东和爷爷在起点处再次相遇，此时爸爸走了6圈。 试卷第1页（共3页） 第 1 页 共 21 页 学科网（北京）股份有限公司 $