专题03 圆锥曲线二级结论专题（考点清单）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

专题03 圆锥曲线二级结论专题 目录导航 01知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系 02考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 ▶基础梳理・自主夯基 考点01 焦半径、焦点弦 考点02 焦点三角形的周长与面积 考点03 垂径定理与第三定义 考点04 椭圆与双曲线共焦点 考点05 焦点三角形的内切圆与外接圆 考点06 双曲线的渐近线 考点07 阿基米德三角形 考点08 椭圆双曲线的切线与光学性质 考点09 蒙日圆 03素养进阶·答题技法突破——提炼解题范式，提升答题素养 ▶考点聚焦・解法深研 题型01 焦点弦与焦半径 题型02 焦点三角形的面积与周长 题型03 垂径定理与第三定义 题型04 焦点三角形的内切圆 题型05 椭圆与双曲线共焦点 题型06 双曲线的渐近线 题型07 阿基米德三角形 题型08 切线与光学性质 题型09 蒙日圆 04优题精练·专题实战通关——精选优质试题，强化实战应用 知识脑图·核心脉络搭建 考点深研·知能分层突破 考点01 焦半径、焦点弦 1、椭圆焦半径 设为椭圆上的一点，为椭圆的一个焦点， 焦半径坐标式 ①焦点在轴：焦半径(左加右减)； ② 焦点在轴：焦半径(上加下减)． 焦半径角度公式： 2、双曲线焦半径　 设为双曲线上的一点，为双曲线的一个焦点， ①焦点在轴：在左支，在右支； ②焦点在轴：在下支，在上支． 焦半径角度公式：（P与F位于同侧取正，位于异侧取负） 3、抛物线焦半径　 设为抛物线上的一点，为抛物线的焦点， ①焦点在轴：焦半径 ② 焦点在轴：焦半径 焦半径角度公式 4、定比模型 椭圆、双曲线的过焦点的弦倾斜角为，斜率为，若焦点分得，则 = 【新题对点练】（26-27高三·全国·一轮复习）设椭圆的左焦点为，过点的直线与椭圆相交于两点，直线的倾斜角为，，则椭圆的离心率为_________． 【答案】 【分析】根据定比模型分析即可. 【详解】由定比模型和得，即， 解得， 故答案为:. 考点02 焦点三角形的周长与面积 1、椭圆面积 椭圆焦点为，，为椭圆上的点，，则， 2、双曲线的面积 双曲线的焦点为F1、F2，为双曲线上的点，，则 3、若坐标已知，则 【新题对点练】（26-27高三上·安徽六安·开学考试）已知椭圆：的两个焦点分别为，，点是上除长轴端点外的动点，若的周长恒为6，面积的最大值为，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意列式，求出，结合离心率定义，即得答案. 【详解】 如图所示，当点位于上顶点（或下顶点）时，的面积取最大值， 因此，由题意得，且，联立得，解得（负值舍去），则， 离心率，故A正确. 考点03 垂径定理与第三定义 1、 椭圆的垂径定理与第三定义 已知直线与椭圆相交于两点，M为AB中点，O为原点，且则有 已知A，B为椭圆长轴的端点（或短轴端点），P是椭圆异于A，B的点，则 2、 双曲线的垂径定理与第三定义 已知直线与双曲线相交于两点，M为AB中点，O为原点，且则有 如图，已知A，B为双曲线实轴的端点，P是双曲线异于A，B的点，则 另外，若A，B为双曲线渐近线上两点，M为AB中点，若斜率都存在同样也有 【新题对点练】（2026·山东菏泽·二模）已知椭圆：，曲线，若曲线与椭圆在第一象限内有两个交点，，且直线的斜率为，则椭圆的离心率为________. 【答案】 【分析】先设交点坐标,利用曲线方程作差结合斜率求出,再对椭圆用点差法得到关系式,借助与的等量代换化简,结合椭圆的关系,推出比例进而求出椭圆离心率. 【详解】设，，，由在上. 得，， 两式作差得：. 即， 直线斜率，解得. 又在椭圆上，故，， 两式作差得：， 因式分解得：， 化简得，代入，得. 由 代入，得 将代入上式： 因，约去得，即. 又，代入得，化简得. 即，故椭圆离心率. 考点04 椭圆与双曲线共焦点 椭圆与双曲线有相同的焦点，是它们的一个公共点，设，椭圆的，双曲线的 1、由是椭圆与双曲线的焦点三角形，那么我们可以根据面积公式分别有，可以对式子稍作整理有 2、根据, ，整理有 【新题对点练】（26-27高三上·浙江杭州·开学考试）已知椭圆和双曲线有相同的焦点，，是它们的一个公共点，且，若椭圆的离心率为，则双曲线的离心率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设椭圆，双曲线，设点在第一象限，且，根据椭圆及双曲线的定义，结合余弦定理、离心率公式列式求解即可. 【详解】如图，设椭圆，双曲线， 因为它们有相同的焦点，所以， 不妨设点在第一象限，且， 因为点在椭圆上，所以， 即，又因为， 所以，所以， 因为，所以， 又因为点在双曲线上，所以， 即，又因为， 所以，所以，可得， 所以双曲线的离心率为. 考点05 焦点三角形的内切圆与外接圆 1、 椭圆的焦点三角形内切圆 点为椭圆上异于左右顶点的点，为椭圆的左右焦点,设, 重心,内心 结论一、 结论二、 有 ，则I的轨迹为椭圆 2、 双曲线的焦点三角形内切圆 结论一、双曲线焦点三角形的内切圆圆心横坐标恒为 【新题对点练】（2026·重庆·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线右支上一点， 的内切圆圆心为 ，连接并延长交轴于点 ，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】由，可得，由内切圆的性质可得且，可解得，设，代入双曲线方程可得，由，可得，求得，即可得答案. 【详解】因为， 所以为线段的靠近的三等分点， 又因为， 即. 所以， 解得， 所以， 又因为 的内切圆圆心为， 所以平分， 又因为三点共线， 由角平分线定理可得， 所以， 由双曲线的定义可得， 所以， 设， 则有， 即， 解得， 又因为， 即， 所以， 即， 解得，    设圆与分别相切于点， 设， 由内切圆的性质可知，， 所以 又因为, 所以， 解得， 所以， 即， 所以， 整理得：， 即， 解得或， 当时，， 此时点与双曲线的右顶点重合，不满足题意； 当时，，满足条件， 所以， 所以双曲线的离心率. 故选：C. 考点06 双曲线的渐近线 双曲线渐近线的一些性质： 1、 双曲线的焦点到渐近线的距离为. 2、 以两焦点为直径的圆与双曲线的渐近线相交，第一象限的交点坐标. 3、 过双曲线上点作两渐近线的平行线，，它们和渐近线围成的平行四边形的面积为定值 4、 过双曲线上点作两渐近线的垂线，，则有， 过双曲线上点作双曲线的切线交两渐近线于两点，则为双曲线的渐近三角形，则P是AB的中点，且 【新题对点练】（26-27高三上·湖北武汉·开学考试）已知双曲线的一条渐近线方程为，直线与交于，两点，分别过点，作的垂线，垂足为，．若四边形的面积为，则的虚半轴长为________． 【答案】 【分析】通过四边形的面积计算，并得到点的坐标，代入双曲线的方程求解. 【详解】不妨设点在第一象限，如图， 直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，故， 因为，所以，由对称性易得四边形是平行四边形， 其面积为， 得，则，代入双曲线方程得，又， 解得，，则，即的虚半轴长为. 考点07 阿基米德三角形 阿基米德三角形指圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形。 1、阿基米德焦点三角形性质（弦AB过焦点F时） 性质1： 性质2：轴； 性质3： 2、阿基米德三角形一般性质（弦AB不经过焦点F时） 性质1、阿基米德三角形底边上的中线PM平行于抛物对称轴． 性质2、若阿基米德三角形的底边即弦AB过定点抛物线内部的定点，则点P的轨迹为直线记，，，M为弦AB的中点，点C为抛物线内部的定点 半代入得出切线PA，PB的方程，再得出则，则 性质3、若P点轨迹为直线，且该直线与抛物线没有公共点，则定点. 设P点坐标，半代入得出切点弦AB的直线方程，进而得出定点C的坐标 性质4、阿基米德三角形的面积的最大值为. 性质5、， 【新题对点练】（2026·陕西咸阳·模拟预测）过抛物线：的焦点作直线与相交于两点，过两点分别作的切线，两切线相交于点，则点的纵坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由抛物线方程求导得切线斜率，写出两点处的切线方程；再利用两切线交点的坐标，推导出直线的方程；最后将焦点代入直线的方程，即可直接求出点的纵坐标． 【详解】设，，， 由，得，则， 所以抛物线在点处的切线方程为， 又，化简得， 同理得抛物线在点处的切线方程为， 又两切线相交于点，所以， 即点都在直线上，即直线的方程为， 因为点在直线上，代入得． 考点08 椭圆双曲线的切线与光学性质 1、椭圆的切线方程 ①对于过椭圆上一点P的切线方程，只需将椭圆方程中换为，换为可得 焦点在轴上；焦点在轴上 ②过椭圆外一点，做椭圆的两条切线，则切点弦方程为焦点在轴上；焦点在轴上 ③椭圆 与直线 相切的条件是 2、双曲线的切线方程 点在双曲线上，过点作双曲线的切线方程为． 若点在双曲线外，则点对应切点弦方程为 3、椭圆的光学性质 （1）从椭圆的一个焦点发出的光线, 被椭圆反射后,必定经过另一个焦点; （2）椭圆在点 处的切线为 , 直线 交直线 于点 , 则 平分 , 由角平分线性质定理, . 4、 双曲线的光学性质 （1）从双曲线一个焦点发出的光线, 被双曲线反射后, 反射光线的反向延长线交于另一个焦点; （2）双曲线在点 处的切线 与直线 相交于点 , 则 平分 , 由角平分线性质定理, 【新题对点练】（26-27高二上·陕西西安·阶段检测）古希腊数学家在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质，从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆上的点反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，且在点处的切线垂直于的平分线．若坐标原点到切线的距离为，且，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助椭圆光学性质以及梯形中位线定理确定焦点三角形中的大小，结合椭圆定义与余弦定理建立的等量关系，最终求出椭圆离心率. 【详解】记是的平分线，设点处的切线为直线，则. 设，则，所以根据椭圆光学性质， 点处切线与、的夹角均为，即. 过点作，过点作，过点作，则， 点、到切线的距离分别为， . 因为为的中点，，由梯形中位线性质得， 原点到切线的距离为：. 由题知，解得，即，故. 在中，由余弦定理得： ， 结合椭圆定义，将右边变形为： ， 代入，，得，整理得，即. 椭圆离心率. 考点09 蒙日圆 蒙日圆是圆锥曲线的几何性质之一，其核心特征是：‌圆锥曲线外一点作两条互相垂直的切线，切线交点的轨迹构成一个圆‌。以下是具体性质和结论： 1、椭圆的蒙日圆： 2、双曲线的蒙日圆： 【新题对点练】（多选）（2026·湖南邵阳·三模）数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆任意两条互相垂直的切线的交点都在以原点为圆心，为半径的圆上，这个圆被称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆可以与边长为的正方形的四条边均相切，则（   ） A．椭圆的离心率为 B．若一个矩形的四条边均与椭圆相切，则该矩形面积的最大值为50 C．若为椭圆的蒙日圆上任意一点，则直线的斜率的取值范围为 D．若为椭圆的蒙日圆上任意一点，且点到直线与到直线的距离之和与点的位置无关，则的取值范围是 【答案】BCD 【分析】根据蒙日圆的定义，求得，得到椭圆的离心率，可判定A不正确；设矩形的边长分别为，结合基本不等式，求得，可判定B正确；根据直线与圆的位置关系，列出不等式，可判定C正确；根据直线与平行，并且分别位于蒙日圆的两侧，结合临界状态，结合点到直线的距离公式，可判定D正确. 【详解】对于A，由题意知，正方形的对角线的长度等于蒙日圆的直径， 即，所以，所以椭圆的离心率，所以A不正确； 对于B，设矩形的边长分别为，则， 由不等式，所以，可得， 所以矩形的面积的最大值为50，所以B正确； 对于C，设直线的方程为，且蒙日圆方程为， 由，解得，所以C正确； 对于D，如果点到两条直线的距离之和与点的位置无关， 可得直线与平行，并且分别位于蒙日圆的两侧， 临界状态就是与蒙日圆相切，且蒙日圆的方程为， 此时满足，且，解得， 所以的取值范围是，所以D正确． 素养进阶·答题技法突破 题型01 焦点弦与焦半径 利用焦半径公式（坐标式或角度式）建立方程。对于焦点弦，常用韦达定理或定比模型（极点极线/倾斜角公式）简化运算。注意焦半径的最值（如 ）及其乘积的最值（常结合基本不等式）。 【典例1】（25-26高二上·浙江·期中）（多选）已知椭圆的上顶点为，左、右焦点分别为，，过的直线与交于，两点，则（    ） A．存在点使得 B．的最大值为4 C．当直线垂直于时，三角形的周长为8 D．的取值范围是 【答案】BCD 【分析】对于AD，设，，根据平面向量的数量积的坐标表示求得，进而求解判断即可；对于B，根据椭圆定义可得，再结合基本不等式求解判断即可；对于C，由直线垂直于可得，，再根据椭圆定义求解判断即可. 【详解】对于AD，由椭圆，则， 即， 设，，则，即， 所以， 则， 因为，所以的取值范围是，故D正确， 显然，则不存在点使得，故A错误； 对于B，根据椭圆定义，可知， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最大值为4，故B正确； 对于C，由于， 当直线垂直于时，可得直线垂直平分，即，， 所以的周长为： ，故C正确. 故选：BCD 【典例2】（25-26高二上·福建福州·期中）（多选）设椭圆的焦点为在椭圆上，则（    ） A． B．的最大值为7，最小值为1 C．的最大值为16 D．面积的最大值为10 【答案】BC 【分析】由椭圆方程可得：，根据椭圆的性质结合各选项的描述判断正误即可. 【详解】由椭圆方程知：，故A错误； ，，故B正确； 在椭圆左右顶点上时取等，故C正确； 面积最大时，在椭圆左右顶点上，面积最大值为，故D错误， 故选：BC. 【变式1】（2026·四川南充·模拟预测）（多选）已知点是抛物线∶的焦点，、是经过点的弦且，直线的斜率为，且，，两点在轴上方，则（     ） A．抛物线的焦点到准线的距离为2 B． C．为一个定值 D．若，则直线的斜率为 【答案】ACD 【分析】设点，点的坐标分别为，，联立方程组，结合韦达定理得到，值，然后再逐一判断. 【详解】由抛物线的方程为，，抛物线的焦点到准线的距离为，A正确. 如图所示； 由题知点的坐标为，点的坐标为，直线的方程为. 设点，点的坐标分别为，，联立方程组， ，由韦达定理得，. . ，B错误. 由过焦点的弦长公式得. ，直线的斜率为，同理推出. ，C正确. ，，， ，，由 ，直线的斜率为，D正确. 【变式2】（26-27高二上·浙江嘉兴·阶段检测）（多选）已知椭圆：，左、右焦点分别为，，点为椭圆上异于长轴端点的动点，，则下列说法正确的是（     ） A．若，则符合条件的点有个 B．若，则的面积为 C．的最大值为 D．过的直线与椭圆交于两点，，则 【答案】BCD 【分析】由椭圆方程得，，，焦点为，，且.选项A用数量积的坐标运算判断；选项B用余弦定理求后再算面积； 选项C用椭圆定义把换成 后放大；选项 D联立直线与椭圆, 用韦达定理计算. 【详解】对于选项A， 设， 则，， 所以. 由 得. 又, 故, 从而. 所以方程无解, A错误. 对于选项B, 在中，, 由余弦定理得. 结合 得, 即. 所以, B正确. 对于选项C, 由椭圆定义, 则. 因为，所以. 当在线段上时取等号，此时为的中点， 得，该点在椭圆上且不是长轴端点， 故最大值为， C正确. 对于选项D，当直线不与轴重合时， 设其方程为， 代入椭圆方程得. 设，，则，. 又，， 且. 所以. 由 得. 代入得. 当直线为轴时，，，此时也成立，D正确. 题型02 焦点三角形的面积与周长 周长通常通过定义直接得出（椭圆 等）。面积问题优先使用二级结论 （椭圆）或 （双曲线），结合余弦定理可快速求解。若不直接用结论，可利用底乘高或 结合椭圆定义及余弦定理求 。 【典例1】（26-27高二上·云南曲靖·阶段检测）（多选）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，为椭圆C上一点，则下列说法正确的是（   ） A．的面积有最大值但无最小值 B．的周长为5 C． D． 【答案】ACD 【详解】选项A：由椭圆方程，可得左右焦点坐标为，，焦距. 的面积公式，其中为点的纵坐标， 由，得该三角形面积有最大值但无最小值，选项A正确. 选项B：根据椭圆的定义，，，所以的周长为，因此B错误. 选项C：当位于椭圆短轴端点时，取得最大值，此时，， 由余弦定理，因此最大，因此C选项正确. 选项D：由椭圆方程，可知，，椭圆上任意一点到焦点的距离满足，代入，，得，选项D正确. 【典例2】（25-26高二上·宁夏·期末）（多选）已知圆锥曲线的离心率为，，分别为曲线的左，右焦点，为曲线上一点，则下列结论正确的是（    ） A． B．的周长为16 C．面积的最大值为 D．的取值范围是 【答案】ACD 【分析】由曲线的轨迹为椭圆，得到，求得，可判断A；根据椭圆的定义，求得的周长，可判定B错误；根据，结合椭圆的性质，可判定C正确；设点的坐标为，求得，结合椭圆的性质，可判定D正确. 【详解】对于A，由圆锥曲线的离心率为，则曲线的轨迹为椭圆， 可得，则， 则可得，解得，故A正确； 对于B，由A得椭圆的方程为，可得， 又由椭圆的定义，可得的周长为，故B错误； 对于 C，由面积为，因为， 所以当点为短轴的端点时，面积取得最大值， 可得面积的最大值为，故C正确； 对于D，设点的坐标为，其中，则，所以， 因为，可得， 则， 因为，可得，即取值范围为，故D正确. 故选：ACD. 【变式1】（2026·吉林·三模）（多选）已知椭圆，，分别是椭圆C的左右焦点，O是坐标原点，P是椭圆C上任意一点，点，则下列结论正确的有（    ） A．的周长为6 B．的面积为时， C．周长的最小值是 D．面积的最大值为 【答案】ACD 【详解】由题意得，，故的周长为，故A正确， 当的面积为时，有，即，故B错误， 周长为, 当三点共线，在之间时的周长最小，此时, 故周长的最小值为，故C正确， 直线的方程为，即， 设与直线平行且与椭圆相切的直线方程为， 联立，得， 则，解得， 当时，直线与椭圆切点到直线的距离最大，即， 故面积的最大值为，故D正确. 【变式2】（25-26高二下·云南昭通·期末）（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在C上，且，的最大值为3，则下列结论正确的是（   ） A．椭圆C的离心率为 B．的周长为 C．当P为椭圆短轴端点时，的面积最大 D．的最大值为 【答案】ACD 【分析】由题设列式求出、、根据椭圆的离心率公式计算可判断A；结合椭圆的定义求出的周长即可判断B；设由可判断C；利用余弦定理以及椭圆的定义，结合基本不等式可判断D. 【详解】由题可知，得；因为的最大值为，所以，得，故 对于A选项,离心率，A选项正确； 对于B选项,由椭圆的定义可得的周长，B选项错误； 对于C选项,设，因为，所以当P为椭圆短轴端点时，的面积最大，故C选项正确； 对于D选项，设，由余弦定理可得 ，当且仅当时，即当点P位于短轴端点时，等号成立， 又因为余弦函数在上为减函数，且，故， 即当P为椭圆短轴端点时，取得最大值，故D选项正确． 题型03 垂径定理与第三定义 遇到弦中点问题，首选“点差法”，得出斜率乘积关系（椭圆 ，双曲线 ）。处理椭圆/双曲线上动点与顶点连线斜率问题时，直接利用第三定义。这些结论能将几何斜率条件转化为 的代数关系，快速解决求离心率或定值问题。 【典例1】（26-27高二上·河北石家庄·阶段检测）直线：经过椭圆的左焦点，且与椭圆交于，两点，若为线段中点，，则椭圆的离心率为________． 【答案】/ 【分析】利用点差法求得中点的轨迹方程，再利用得到中点的横坐标，最后代回直线方程求离心率. 【详解】设，那么， 又，所以即， 因为，所以点在中垂线上，故， 又直线：经过椭圆的左焦点， 所以，又点M在直线：上， 所以，代入得 ，即， 则. 【典例2】（2026·广西河池·三模）已知椭圆（），斜率为的一条直线与椭圆交于点，且的中点坐标为，则椭圆的离心率__________． 【答案】 【分析】根据直线斜率和中点坐标公式，利用点差法可得，再结合的关系可得，进而求解即可. 【详解】设，有， 两式相减得，则， 即， 又因为弦的中点坐标为，直线的斜率为， 所以，则，即， 则，即，则，所以. 【变式1】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设双曲线的右顶点为，过点且斜率为2的直线与C的两条渐近线分别交于P，Q两点（其中点P在第一象限）.若O为坐标原点，点M满足，，则双曲线C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由得到为的中点，过点作轴，设，由过点的直线的斜率为2得到的值，利用勾股定理得到的值，结合得到，从而得到，，由的坐标得到的值，从而得到的坐标，由是双曲线渐近线上的点，及斜率为2，可得的值，利用公式得到离心率的值. 【详解】，为的中点， 过点作轴，交轴于点， 设， 过点的直线的斜率为2，， ， ，，，，， ，，，， 设， 为的中点，，， 是双曲线的渐近线上的点， ， ，， ， ，， ， . 故选：B. 【变式2】（25-26高二上·江苏宿迁·期中）如图，分别是椭圆的左、右顶点，点在以为直径的圆上（点异于两点），线段与椭圆交于另一点，若直线的斜率是直线的斜率的3倍，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用椭圆与圆的性质计算即可. 【详解】设，易知， 则，， 又， 所以. 故选：C. 题型04 焦点三角形的内切圆 利用内切圆性质（圆心为角平分线交点，到三边距离相等）及切线长定理。椭圆焦点三角形内切圆常用结论：；双曲线内切圆圆心横坐标恒为 。通过几何关系找到线段比例或面积关系，结合定义求解。 【典例1】（2026高三上·全国·专题练习）已知分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线的中心，是双曲线右支上异于顶点的任一点，的内切圆圆心为，且与轴相切于点，过作直线的垂线，垂足为，若为双曲线的离心率，下面八个命题： ①的内切圆的圆心在直线上；②的内切圆的圆心在直线上； ③的内切圆的圆心在直线上；④的内切圆必通过点； ⑤；⑥； ⑦；⑧与关系不确定. 其中正确的命题的代号是______. 【答案】②④⑥ 【分析】根据切线长定理及双曲线的定义可判断①②④；假设的内切圆的圆心在直线上，利用反证法可判断③；延长与交于点，根据三线合一及双曲线的定义结合中位线可求出，可判断⑥正确. 【详解】如图，的内切圆与分别交于点， 由切线长定理可知，，， 由双曲线的定义可知，又，， 所以，即， 设，则，， 所以，所以， 又，所以点的横坐标为，所以的内切圆的圆心在直线上， 故①错误，②正确； 因为点恒为，所以的内切圆必通过点，④正确； 对于③，假设的内切圆的圆心在直线上，即射线为的角平分线， 根据角平分线定理可得, 而，， 所以射线不是的角平分线，所以的内切圆的圆心不在直线上， 故③错误； 延长与交于点， 因为且射线为的角平分线，所以，为的中点 又，所以， 又为的中点，所以， 又因为，所以， 故⑥正确，⑤⑦⑧错误. 综上，正确的命题的代号是②④⑥. 【典例2】（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）（多选）已知双曲线的一条渐近线为，，是双曲线的左、右焦点，过的动直线与双曲线的左支交于点，与右支交于点，点，均在轴上方，设与的内切圆半径分别为，，则（    ） A．双曲线的离心率为 B． C．若，则直线的斜率为 D．的取值范围是 【答案】ABD 【分析】根据渐近线方程得，从而可判断A；如图，设为的内心，的内切圆与三边切于点，，，根据双曲线定义和切线性质可得，，设，，进一步求，判断BC；利用双曲线的定义以及内切圆的性质可得，，即可判断D. 【详解】由题，，可得，A正确； 如图，设为的内心，的内切圆与三边切于点，，， ， 又因，联立解得，， 设，， ，即， 由，则得，故，B正确； ，， 直线的斜率为，C错误； 设为的内心，与三边切于点，，， ， 又，两式相加可得， ，， 则， 将代入上式，可得， 因为过的动直线与双曲线的左支交于点，与右支交于点， 故，因,则可得，故，D正确． 【变式1】（25-26高二上·广东深圳·期末）已知椭圆的左右焦点分别为，点为椭圆上一点，且的外接圆与内切圆半径分别为，当时，椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦定理可得，再根据余弦定理和三角形的面积公式可得，再根据，可求椭圆的离心率． 【详解】由正弦定理得，解得， ，， 由余弦定理得 ，解得， ， ， ， ，解得． 故选：C． 【变式2】（25-26高二上·湖南衡阳·期末）（多选）已知，，点满足直线与直线的斜率之积为，记点的轨迹为，，为曲线的左、右焦点，若经过与交于，两点，，的内切圆分别与相切于，，半径分别为，，则下列结论正确的是（   ） A．的方程为 B． C． D． 【答案】BCD 【分析】对于A：设点，根据题意列出，整理后得到的方程（）；对于B：由椭圆的定义可求解；对于C：由椭圆的定义得，通过切点的性质将转化成即可求解，同理可求；对于D：先通过条件判断，通过的关系，结合切点处另外两个直角三角形的边长关系得到第一个含的式子，再通过的关系，结合切点处另外两个直角三角形的边长关系得到第二个含的式子，两个式子联立化简即可得证. 【详解】对于选项A：设，因为直线与直线的斜率之积为， 所以有，所以，故A错误； 对于选项B：易得为去掉长轴顶点的椭圆，故有，故B正确； 对于选项C：如图，设和的内心分别为，， 设的内切圆的另两个切点为，，的内切圆的另两个切点为，， 则，，， 则， 由题中相切可得，，， 所以有，即， ，，所以，同理可证，故C正确； 对于选项D：由题意得，， 所以， 所以有，且，， 故， 又因为。 联立， 即， 整理得，即，故D正确. 故选：BCD. 题型05 椭圆与双曲线共焦点 两曲线共用焦距 且共用焦点三角形。利用椭圆和双曲线的定义，联立方程组求出焦半径。常结合余弦定理或焦点三角形面积公式（）建立等式。通过基本不等式或函数性质求离心率相关的乘积或比值范围。 【典例1】（25-26高二上·福建莆田·期末）（多选）如图，已知椭圆和双曲线有公共的焦点，，的离心率分别为，且在第一象限相交于点，则下列说法中正确的有（    ） A．若，则； B．若，则的值为1； C．的面积； D．若，则当时，取得最小值2. 【答案】AC 【分析】A，由标准方程求出，从而得到；B，由在第一象限，根据椭圆和双曲线的定义得到，，将这两个等式左右两个进行平方作差即可得解；C，由，，求出，利用余弦定理求出，利用同角关系式及三角形面积公式求解；D，根据余弦定理可得的值，代入数值得到的值，利用基本不等式即可得解. 【详解】A：， ， ，即， ，故A正确； B：在第一象限，且，， ， 即，故B错误； C：设椭圆的焦距为，，，则，， 解得，， ，即， ， ，， ，故C正确； D：设椭圆的焦距为，则，， 解得，， 在中，根据余弦定理可得：， 整理得，即， ， 当且仅当时取等号，故D错误. 故选：AC． 【典例2】（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期中）（多选）椭圆：左右焦点分别为，，双曲线：与椭圆的焦点相同，P是椭圆与双曲线在第一象限的交点，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则双曲线的方程为 C．若的内切圆的圆心为，，则双曲线的离心率取值范围是 D．若与y轴交于点，平分，则双曲线的离心率大于2 【答案】ACD 【分析】设，由椭圆定义和余弦定理求出，再根据计算，即可判断A；在中，由余弦定理求出，再结合双曲线的定义求出，即可判断B；利用三角形的面积公式和双曲线的定义将转化为，求出离心率的范围，即可判断C；根据椭圆和双曲线定义用含的式子表示，设，由角平分线定理及相似得到，，从而求出，即可求出离心率的范围，即可判断D. 【详解】由椭圆方程可得，. 设，则由椭圆定义可得， 在中，若，由余弦定理可知： ，即， 将代入上式可得，解得， 所以，故A正确； 在中，若，由余弦定理可知 ，即， 将代入上式可得，解得. 因为P是椭圆与双曲线在第一象限的交点，由双曲线定义可知， 两边平方可得，即，解得. 在双曲线中，因为，所以，所以， 所以双曲线的方程为，故B错误； 设的内切圆的半径为， 则. 因为，即，所以. 由双曲线定义知，所以，即. 因为双曲线的离心率，所以，又由双曲线的离心率， 所以可知双曲线的离心率取值范围是，故C正确； 因为平分，所以由角平分线定理可知，设，则有，整理可得， 由对称性可得，所以，， 所以，即，所以， 因为可得，所以，解得 所以双曲线的离心率，故D正确. 故选：ACD 【变式1】（2026高三上·全国·专题练习）已知椭圆：（）与双曲线：（，）有相同的焦点，，以线段为边作正，若椭圆与双曲线的一个交点恰好是的中点，设椭圆和双曲线的离心率分别为和，则______. 【答案】2 【分析】利用正三角形与中点条件得到焦点三角形两边长度，结合椭圆、双曲线定义分别求出离心率，再借助平方差公式化简乘积求值. 【详解】由题意，，则在椭圆中，则； 双曲线中，则； 所以. 19．（25-26高二下·湖北随州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆：与双曲线：有相同的焦点，，的渐近线分别交于A，C和B，D四点，若多边形为正六边形，则与的离心率之和为______． 【答案】/ 【分析】由多边形为正六边形可得双曲线渐近线方程，据此可得双曲线离心率；然后由正六边形几何性质可得椭圆离心率，据此可得答案. 【详解】设正六边形边长为，则. 由，可得双曲线的一条渐近线方程为：，则， 从而双曲线离心率为； 椭圆离心率为. 则离心率之和为：. 【变式2】（25-26高三下·湖北武汉·阶段检测）（多选）已知椭圆与双曲线有共同的焦点，（为左焦点），为坐标原点，与在第一象限交于点与的离心率分别为，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则的取值范围是 【答案】ACD 【分析】根据双曲线和椭圆的性质，利用共焦点判断选项A；利用双曲线和椭圆的定义，结合余弦定理判断选项B；根据离心率的定义，结合已知条件，利用勾股定理判定选项C；根据离心率定义，利用已知条件构造方程，判断选项D． 【详解】 椭圆与双曲线共焦点， ，即，故A正确； 根据椭圆和双曲线的定义及在第一象限，得， ， 设，在中，由余弦定理，得， ， 即， ，即， ，故B错误； 若，则， ，则，即， ， ，故C正确； ， ，即， ， 令，则， ， ， ， ， ， ， ， 在上单调递增， ， ，故D正确． 题型06 双曲线的渐近线 关键抓住“焦点到渐近线的距离为”及“焦点垂线交点坐标”这两个核心几何特征。利用渐近线斜率与离心率的关系 。结合点到直线距离公式、勾股定理或三角形面积公式（如渐近三角形面积）建立关于 的方程。 【典例1】（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）（多选）双曲线的左、右焦点分别为、，左、右顶点分别为，，以为直径的圆与的一条渐近线交于，两点，且，则（   ） A． B． C．的渐近线方程为 D．当时，四边形的面积为 【答案】ACD 【分析】由平行四边形的性质判断A；由且结合在渐近线上可求的坐标，从而可判断B的正误，或者利用三角函数定义和余弦定理也可判断；利用即可判断；结合BC的结果求出面积后可判断D的正误. 【详解】不妨设渐近线为，在第一象限，在第三象限， 对于A，由双曲线的对称性可得为平行四边形，故，故A正确； 对于B，方法一：因为在以为直径的圆上，故且， 设，则，故，故， 由A得，故即，故B错误； 方法二：因为，因为双曲线中，，则， 又因为以为直径的圆与的一条渐近线交于、，则， 则若过点往轴作垂线，垂足为，则， 则点与重合，则轴，则， 方法三：在利用余弦定理知，， 即，则， 则为直角三角形，且，则，故B错误； 对于C，因为，则， 则双曲线的渐近线方程为，故C正确； 对于D，当时，由C可知， 故，故四边形为，故D正确， 故选：ACD. 【典例2】（2026高二·全国·专题练习）设是双曲线上任意一点，过点作渐近线和的平行线，分别交另一条渐近线于点.则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用直线方程组来求解交点，再利用两点间距离来表示，通过化简即可求解. 【详解】 设，则，即. 由题意知直线分别与平行， 则，.所以，， 将直线与联立得解得 将直线与联立得解得 即，. 所以， . 所以. 故选:D. 【变式1】（25-26高二上·重庆·期中）（多选）已知点为双曲线右支上一点，，为双曲线的两条渐近线，过点分别作，，垂足依次为，过点作交于点，过点作交于点为坐标原点，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】分析可知四点共圆，利用圆的几何性质可判断A，设点，利用点到直线的距离公式可判断B；求出的面积，可判断C；利用余弦定理结合基本不等式可判断D. 【详解】对于A，由题意可知，，则四点共圆， 且为该圆的一条直径，为该圆的一条弦且不可能为直径，故，故A正确； 设点，则，双曲线的渐近线方程为，即， 所以，故B错误； 对于C，因为双曲线的两条渐近线的斜率分别为，所以双曲线的两渐近线的夹角为， 所以，， 因为，则，因为，则，同理， 所以， 则，故C正确； 对于D，由C选项可知，且， 由余弦定理可得， 当且仅当时，等号成立，故D正确. 故选：ACD 【变式2】（25-26高三下·广西玉林·阶段检测）（多选）已知双曲线的渐近线方程为分别为的左、右顶点，的右焦点为 为上在第一象限内的一点，过点作的两条渐近线的垂线，垂足分别为，，则（    ） A．的离心率为3 B． C．直线的斜率之积为定值 D．的取值范围为 【答案】BCD 【分析】先根据渐近线与焦点条件，求出双曲线的标准方程与基本参数；接着，对每个选项分别运用双曲线的离心率公式、两点间距离公式、斜率定值推导、点到直线距离公式，并结合余弦定理与均值不等式，逐一验证选项的正确性. 【详解】选项A：因为双曲线 ，渐近线为 ， 所以，故 ，即， 因为右焦点 ，故 ， 所以，所以， 所以的离心率为，A错误； 选项B：由得，又，解得， 则的方程为， 设,，则，即： ， 则 ， 因为 ，所以 ，故 ，B正确； 选项C：由上可知，， 设 ，则：， 因为由，得 ， 所以 ，C正确； 选项D：因为渐近线方程为 ， 其两条渐近线夹角为 ，且，是垂线，因此与的夹角是 ， 则点 到两条渐近线的距离： 设 ，所以，所以， 由余弦定理得： ， 代入双曲线方程 ， ， 因为 在第一象限，，所以 ，故： ，所以， 故 的取值范围为 ，D正确. 题型07 阿基米德三角形 利用抛物线切线方程和点差法。若弦过焦点，直接用二级结论：、、 对称轴、面积最小值 。若不过焦点，利用极点极线（切点弦）方程推导定点轨迹，结合弦长公式和点到直线距离求面积的最值（常转化为函数求最值或均值不等式）。 【典例1】（2026·广东深圳·模拟预测）（多选）设抛物线：（）的焦点为，过点的直线交于，两点，过点且垂直于的直线交的准线于点．已知的最小值为4，则（    ） A． B． C．当时， D． 【答案】ABD 【分析】对于A，联立得到弦长的最小值为，再列方程即可求解；对于B，由得，进而得到，再利用向量证明即可；对于C，由可得，再求得，进而得到即可判断；对于D，由，得，再计算得到的表达式，并求出最值即可判断． 【详解】对于A，，设直线的方程为，， 联立得：，消去得， ， ， ，解得，故A正确； 对于B，由，得， 直线与垂直，故的斜率为，方程为， 代入准线得，即， ， 因此，即，故B正确； 对于C，当时，，结合， 解得， 点坐标为，由两点间距离公式： ，故C错误； 由，得， 由抛物线定义，， ， ， 当时，乘积取得最小值8，因此，故D正确． 【典例2】（2027高二·全国·专题练习）（多选）已知抛物线，为抛物线外一点，，与抛物线相切且A，B为切点，则下列说法中正确的有（   ） A．若的方程为，则 B．若P坐标为，则的方程为 C．若，则的最小值为 D．若，则的最大值为 【答案】CD 【分析】根据题意，先求得直线的方程为，结合直线的方程，可判定A、B不正确；联立方程组，结合弦长公式和点到直线的距离公式，求得，结合二次函数的性质，可判定C、D均正确． 【详解】由题意知，点为抛物线外的一点，设， 因为，可得，所以切线的方程为， 即， 又因为，可得，即， 所以，即， 同理可得：切线的方程为， 因为都过点，可得且， 所以直线的方程为，即， 对于A，由切点弦的方程为，则，所以A错误； 对于B，将代入方程，得到的方程为，所以B错误； 对于C、D，因为，可得， 联立方程组，整理得， 可得， 由弦长公式得到， 再由点到直线距离公式，可得， 所以， 记，则， 于是， 其中两个最值分别在和取到，所以C，D均正确． 【变式1】（26-27高二上·重庆沙坪坝·阶段检测）（多选）过抛物线E：焦点F的直线交抛物线于A、B两点，点O为坐标原点，直线，分别交抛物线的准线于点C，D，则下列说法正确的是（   ） A．E的准线方程为 B． C．四边形的面积为，的面积为，则 D．若与的面积之比为4，则的面积为 【答案】ACD 【分析】选项A，由得，由准线方程直接写出即可；选项B，联立直线AB：与抛物线，由根与系数关系得、，把|AB|化为的函数，用求最小值后与题设比较；选项C，由、、与、、共线（已知）写出、的纵坐标，由，可证（BC平行轴、CD在准线上），再将与化为的函数求比值；选项D，分别求与，令其比值等于4解出，再代入求. 【详解】解法一： 设，，直线AB过焦点，可设为 联立得，由根与系数的关系得，， 选项A，抛物线即中，由准线方程得准线为，A正确； 选项B，由，， 则 （当且仅当时取等号），与选项不符，B错误； 选项C，由、、三点共线，设， 则，即，又，故，所以BC平行于轴； 同理，，四边形ABCD为直角梯形， ， 由，， 得， 而， 故，即，C正确； 选项D，假设A点在第一象限，，， 故， 由，，，， 代入化简得，得（），， 则，， 此时，D正确 解法二 对A：抛物线，则，，准线方程：．A正确； 对B：当AB与x轴垂直时，取得最小值2p，．B错误； 对C：由A，O，C三点共线可得，同理可得， 则根据抛物线的性质， ，，．C正确； 对D：， 同理可得， ，则， ，则，， 根据焦半径公式，则， ，D正确． 【变式2】（25-26高二上·浙江杭州·期末）已知为抛物线的焦点，过点的直线与抛物线交于不同的两点和，抛物线在，两点处的切线交于点，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】求出焦点为及，由过点的直线与抛物线交于不同的两点和得到存在斜率，设过点的直线的方程为，，直线代入，整理得到的一元二次方程，利用根与系数的关系得到，求出，，，利用公式求出，利用导数的几何意义求出抛物线设在点处的斜率为，利用点斜式求出抛物线设在点处的切线方程为，同理得到抛物线设在点处的切线方程，这两条切线联立方程组求出交点得到点的坐标，利用两点间距离公式求出，计算，利用基本不等式求出最小值. 【详解】的焦点为，，， 过点的直线与抛物线交于不同的两点和，存在斜率， 设过点的直线的方程为，， 代入，得到，整理得到， 则，， ， ， ，，， ， 变形为，， 抛物线设在点处的斜率为， 则抛物线设在点处的切线方程为：， 即， 同理可得抛物线设在点处的切线方程为：， 将代入， 得到， 解得， 将代入， 解得， 将代入 得到， 将代入， 得到， 则， ， ， 当且仅当，即时取等号， 则的最小值为. 故答案为：. 题型08 切线与光学性质 切线问题常用“半代入”法写出切线或切点弦方程。光学性质核心是“入射角等于反射角”，即切线平分焦点与切点连线的外角（或法线平分内角）。结合角平分线定理、相似三角形或梯形中位线定理，巧妙转化线段比例，再结合定义和余弦定理求解。 【典例1】（2026·河北邢台·三模）椭圆具有特殊的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.已知椭圆的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，上顶点为，为上一点，在点处的切线为，过点 且与垂直的直线与椭圆的长轴交于点，且，若的面积，到的距离之和为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求得，分别过作直线的垂线，再由到的距离之和为，求得，设，则，求得，得到，在中，利用余弦定理，化简求得，结合离心率的定义，即可求解. 【详解】因为 ，可得， 如图所示，分别过作直线的垂线，垂足分别为， 则， 又因为到的距离之和为，所以，则， 设，则， 所以， 则， 可得，所以，则， 由余弦定理得， 所以，即，可得， 所以椭圆的离心率为. 【典例2】（2026·安徽合肥·模拟预测）（多选）类比于双曲线，我们可将直线：和直线：称为椭圆的“虚渐近线”.已知，为椭圆：的两条“虚渐近线”，且，与的上半部分交于，两点，动点在上且在，之间（不与，重合），过作椭圆的切线交，于，，则下列说法正确的是（     ） A．，所成夹角的大小为 B．四边形面积的范围为 C．为定值 D． 【答案】BCD 【分析】对于A，结合虚渐近线的定义求解即可；对于B，求出，两点坐标，结合及面积公式求解即可；对于C，联立切线方程及直线方程求出，坐标，代入化简求解即可；对于D，求出，，，代入化简求解即可. 【详解】对于A，由题意可知，，方程为，夹角为，故A错误； 对于B，联立，解得，.    设，则，， ，， 所以，故B正确； 对于C，椭圆在处的切线为， 联立切线与方程，可得， 则； 同理可得，， 所以 ， 所以为定值，故C正确； 对于D，， ，， 所以 ， 所以，故D正确. 【变式1】（2026·广东广州·三模）（多选）圆锥曲线具有丰富的光学性质．双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点处发出的光线，经过双曲线在点处反射后，反射光线所在直线经过另一个焦点，且双曲线在点处的切线平分．如图，对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线过点，其左、右焦点分别为．若从发出的光线经双曲线右支上一点反射的光线为，点处的切线交轴于点，则下列说法正确的是（   ） A．双曲线C的方程为 B．过点且垂直于的直线平分 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】选项A，利用条件，设双曲线方程为，再利用双曲线过点，即可求解；选项B，根据条件，借助图形，即可求解；选项C，利用余弦定理及双曲线的定义，得到，再结合条件，即可求解；选项D，利用C中结果，再结合条件，即可求解. 【详解】对于A，因为双曲线为等轴双曲线，设双曲线方程为， 所以，解得，得到双曲线的方程为，A错误， 对于B，如图，由题知，，所以， 若，所以， B正确， 对于C，记， 所以， 又，得到，又， 所以，又， 由，得，C正确. 对于D，因为，， 由，得， 又，得到，得到， 从而有，得到， 由，得到， 从而有，解得，D正确， 【变式2】（2026·安徽淮南·二模）（多选）抛物线有如下光学性质：平行于抛物线的对称轴的光线，经过抛物线反射后通过它的焦点；从抛物线焦点发出的光线经抛物线反射后，沿平行于其对称轴的方向射出：入射光线与反射光线所成夹角的角平分线垂直于反射点处的切线.如图，为坐标原点，一束光线从点出发平行于轴射入抛物线，经过两次反射后经点平行射出，轴，设反射点分别为，，过点，分别作，的角平分线，两线交于点，则（   ） A．当时， B．直线与的交点在定直线上 C．点在线段的垂直平分线上 D．面积的最小值为2 【答案】ABC 【详解】由题意可知直线经过焦点，当时，直线的斜率为， 则直线为， 设不妨设点在第一象限，设，则， 联立方程组，消去得， 可知，方程的两个解为， 可得，则，所以A正确； 设直线为，联立方程组，消去得， 可知，方程的两个解为， 可得， 当时，此时重合，不符合题意，舍去； 当时，直线为，直线为， 联立方程组得，得， 可知，所以， 所以直线与直线的交点在定直线上，所以B正确； 如图所示，过点作的垂线，分别交于点， 由分别为，的角平分线， 因为，所以， 所以，所以点在线段的垂直平分线上，所以C正确； 可知为的高，且， 可知，即， 可知抛物线准线为，所以， 所以， 当时，面积的最小值为，所以D错误； 题型09 蒙日圆 遇到“互相垂直的切线交点”或相关轨迹问题，立刻联想蒙日圆（椭圆：；双曲线：）。将几何条件转化为点（切线交点）在蒙日圆上或与蒙日圆的位置关系（相离、相交、相切）。常与直线方程、圆的弦长公式及基本不等式结合求最值或范围。 【典例1】（25-26高三下·辽宁·阶段检测）（多选）蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，且其方程为.点为椭圆的两焦点，过直线上任一点可作椭圆的两条切线，切点分别记为，且其中存在两点，使得，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．椭圆的离心率为，则的范围为 D． 【答案】ABD 【分析】由题意可知点在椭圆的外部，可判断A；由直线与蒙日圆有2个交点及直线与椭圆没有交点，求出的范围，即可判断B；结合B及离心率的定义，可判断C；由直线与圆相交的弦长公式可得,利用转化思想及函数的单调性，求出其范围后，即可判断D. 【详解】由过直线上任一点可作椭圆的两条切线， 可知点在椭圆的外部， 所以，A项正确； 椭圆（）对应的蒙日圆方程为， 由已知可得圆与直线有2个交点， 设圆心到直线的距离为， 则，则. 由题意可知直线与椭圆没有交点， 将与联立， 得没有实根， 所以，则有， 综上，B项正确； ， 由B知， 则，C项错误； 线段为蒙日圆的一条弦， 则， 所以, 令， 则, 易知单调递增， 所以，D项正确. 【典例2】（26-27高二上·江苏南京·阶段检测）（多选）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆的离心率为，，分别为椭圆的左、右焦点，，为椭圆上两个动点.直线的方程为.下列说法正确的是（     ） A．椭圆的蒙日圆的方程为， B．对直线上任意一点，， C．记点到直线的距离为，则的最小值为， D．若矩形的四条边均与椭圆相切，则矩形面积的最大值为. 【答案】ACD 【分析】根据蒙日圆定义代入所过点的坐标即可判断A正确，取点可知，因此B错误，利用点共线特征可知当时，取得最小值再由点到直线的距离公式计算可得C正确，结合矩形与椭圆位置关系写出面积表达式并利用基本不等式计算可知D正确. 【详解】对于A，过点可作椭圆的两条互相垂直的切线：， 所以点在椭圆的蒙日圆上，因此蒙日圆方程为， 由，可得， 所以椭圆的蒙日圆的方程为，即A正确； 对于B，由直线的方程可知点在直线上， 又点满足蒙日圆方程，所以点在圆上， 当，恰为过点所作椭圆两条互相垂直的切线的两个切点时，，即B错误； 对于C，因为在椭圆上，当时，取得最小值，最小值为到直线的距离， 又到直线的距离为，，即C正确. 对于D，当矩形的四条边均与椭圆相切时，蒙日圆为矩形的外接圆， 所以矩形的对角线即为蒙日圆的直径， 设矩形的长和宽分别为，则, 所以矩形的面积， 当且仅当时，等号成立， 即矩形面积的最大值为，所以D正确. 【变式1】（25-26高二上·江西抚州·阶段检测）（多选）已知椭圆，我们把圆称为的蒙日圆，为原点，点在上，延长与的蒙日圆交于点，则（ ） A．的最大值为 B．若为的中点，则的离心率的最小值为 C．过点不可能作两条互相垂直的直线都与相切 D．若点在上，则的蒙日圆面积最小为 【答案】ABD 【分析】根据圆及椭圆的几何性质判断A，根据为的中点建立关于的齐次不等式，从而得到离心率的最值可判断B，举反例排除C，利用点在椭圆上与基本不等式“1”的妙用可判断D. 【详解】对于A，因为圆的圆心为，半径为， 又椭圆，所以， 所以，故A正确； 对于B，若为的中点，则， 则，故，B正确； 对于C，取，则直线，互相垂直，且都与相切，C错误； 对于D，因为点在上，所以， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的蒙日圆面积最小为，D正确. 故选：ABD. 【变式2】（25-26高二上·山东济南·期中）法国著名的数学家蒙日首先发现，椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，且其方程为.已知椭圆的焦点在轴上，A，B为上任意两点，动点在直线上.若恒为锐角，则的焦距的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知分析可知，直线与圆相离，利用直线与圆的位置关系可求出的取值范围，再结合椭圆离心率公式可求得椭圆的焦距的范围. 【详解】由题意知，圆为椭圆的“蒙日圆”， 如图，A，B为上任意两点，动点在直线上.若恒为锐角， 则点在圆外，又动点在直线上， 则直线与圆相离， 所以，得，所以， 则，即， 则的焦距的取值范围为． 故选：A 优题精练·专题实战通关 1．（2026·河南南阳·二模）（多选）已知椭圆：的左、右焦点分别为，长轴长为4，点在椭圆内部，点在椭圆上，则以下说法正确的是（    ） A．离心率的取值范围为 B．当离心率为时，的最大值为3 C．存在点，使得 D．当离心率不小于时，的最小值为 【答案】ABD 【分析】由点在椭圆内部求得的范围，结合离心率的意义求解判断AB；由椭圆半焦距与的大小判断C；利用椭圆定义及均值不等式求出最小值判断D. 【详解】由椭圆的长轴长为4，得，由点在内部，得，又，则， 对于A，由，得，则离心率，A正确； 对于B，由，得椭圆的半焦距，由， 得，因此的最大值为，B正确； 对于C，由，得，而，则， 以原点为圆心，为半径的圆在椭圆内，因此不存在使得，C错误； 对于D，由椭圆的离心率不小于，得，则， 于是，， 因此 ，当且仅当时取等号，符合题意，D正确. 2．（25-26高二上·福建厦门·期中）（多选）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，P是上的动点，则（   ） A． B．的最大值为3 C．存在点P，使得 D．的最大值为4 【答案】BD 【分析】求出椭圆的长短半轴长及半焦距，再结合椭圆的定义及性质，余弦定理，基本不等式逐项判断. 【详解】椭圆：的长半轴长，短半轴长，半焦距， 对于A，，故A错误； 对于B，由椭圆的性质可知，故B正确； 对于C，由椭圆的性质可知，当时，最大， 此时， 故的最大值为，所以不存在点，使得，C错误； 对于D，，当且仅当时取等，故D正确； 故选：BD 3．（多选）（2026·湖南长沙·三模）已知椭圆的左、右顶点分别为，，圆．点是椭圆上异于，的动点，直线与圆交于另一点，直线与圆交于另一点．设直线与直线交于点，则（    ） A．直线与直线始终互相垂直 B．点的轨迹为焦点在轴上的部分椭圆 C．线段长度的取值范围为 D．面积的最大值等于 【答案】ACD 【分析】对A根据直径所对的圆周角为直角可得；对B根据点是椭圆上得，进而可得点的轨迹；对C由点的轨迹方程为，由椭圆的性质可得所求线段的范围；对D由点的轨迹方程为，由椭圆的性质得，进而可得面积的最大值. 【详解】如图： 对于A，因为点在圆上，且是圆的直径，所以， 即，点在直线上，所以，因此A正确； 对于B，设 ，直线 斜率 ，直线 斜率 ， 由点在椭圆上得：，，，，所以. 由 ，，得直线 ，直线 . 设交点 ，得 ​，​， 代入 得： ，，整理得：. 因为点是椭圆上异于，的动点，，所以点该轨迹方程为. 所以点的轨迹焦点在 轴上的部分椭圆，不是焦点在 轴上的部分椭圆，故B错误； 对于C，因为在椭圆上，所以， 由，所以，即，故C正确； 对于D，中，边上的高的长度为 ，面积， 又由得：，所以， 当时，，对应 ，满足 异于 ，该点存在，故面积最大值为 ，故D正确. 【点睛】本题关键在求点的轨迹方程，先由点是椭圆上而得，再用点的坐标表示, 进而可得所求点的轨迹方程. 4．（26-27高二上·浙江宁波·阶段检测）（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，点P在椭圆上，则下列结论正确的是（    ） A． B．的最小值为1 C．面积的最大值为 D．存在点P，使得 【答案】ABC 【分析】根据椭圆的标准方程，找出，，；对于A选项，利用椭圆的定义即可求解；对于B选项，分析出点在左顶点时，取最小值，计算即可；对于C选项，表示出的面积，，分析出，计算即可得的面积的最大值；对于D选项，假设点存在，设，将转化为，计算求. 【详解】椭圆，则，，， 所以，，，，， 对于A选项，由椭圆的定义可得，，故A正确； 对于B选项，当点在左顶点时，取最小值， 左顶点，此时，故B正确； 对于C选项，， ，， 所以，故C正确； 对于D选项，假设存在点，使得， 设点，则 因为，所以， ，， 由得，， 整理得，，则， 代入， 可得，解得，无实数解， 说明点不存在，故D错误. 5．（25-26高二上·湖南衡阳·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，直线与交于两点，分别过点作的垂线，垂足为.若四边形的面积为，则的实轴长为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】根据对称性易得四边形是平行四边形，再根据其面积得出，进而计算点的坐标，将其代入双曲线方程中，并结合渐近线方程可求的实轴长. 【详解】记坐标原点为，不妨设在第一象限，显然的倾斜角为的倾斜角为， 故，而，由对称性易得四边形是平行四边形， 故其面积 ，可得，设，由的倾斜角为， 得，于是由，得， 又，则，解得，故的实轴长为. 故选：B. 6．（25-26高二上·广东珠海·阶段检测）如图，双曲线的左右焦点分别为，过的直线与该双曲线的两支分别交于两点（在线段上），与分别为与的内切圆，其半径分别为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则可表示出，进而可得，可求得，进而求得的范围即可求得答案. 【详解】由题意得双曲线的焦距，实轴长, 设， ，， ，则， 在△与△中：， 即：， ， 假设直线l的斜率为，设直线l的倾斜角为， 则，则， 在△中：，则可得； 假设直线l的斜率为0，此时， 由此结合题意可得，则，. 故选：B. 7．（25-26高三上·广东珠海·阶段检测）蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆（）的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，且其方程为.已知椭圆的焦点在x轴上，A、B是椭圆E上的任意两点，动点P在直线上.若存在为钝角.则椭圆E离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知，直线与圆相交，利用直线与圆的位置关系可求出的取值范围，再结合椭圆离心率公式可求得椭圆的离心率. 【详解】由题意可知，圆即为椭圆的蒙日圆， 因为、为椭圆上任意两点，存在满足为钝角， 即存在点在圆内， 又因为动点在直线上， 则直线与圆相交， 所以，解得， 则，即， 因此，椭圆的离心率的取值范围是. 故选：B. 8．（25-26高二上·海南儋州·阶段检测）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，点是它们的一个公共点，且，设椭圆和双曲线的离心率分别为，则的值为（    ） A． B． C．4 D．8 【答案】C 【分析】通过椭圆与双曲线的定义得到焦点弦长的和与差，结合余弦定理建立等式，联立推导得出、与的关系，代入离心率表达式计算得结果. 【详解】设，，由椭圆定义得，由双曲线定义得（不妨设）. 由余弦定理，，即. 由得，代入上式得，故. 由，得，即. 联立得，整理得. 因，，故，， 则. 故选：C 9．（2026·陕西西安·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，右顶点为，过点的直线与双曲线的一条渐近线交于点，与其左支交于点，且点与点不在同一象限，直线与直线（为坐标原点）的交点在双曲线上，若，则双曲线的离心率为____________． 【答案】 【分析】根据图形证明四边形是平行四边形，推出，根据已知条件，结合相似比求出离心率． 【详解】已知，则，故点在上，， ； M是直线与的交点，且M在双曲线上，故M、Q是直线与双曲线的两个交点， 故M与Q关于原点对称，原点O是线段的中点； 设双曲线的左焦点为，连接，由双曲线的对称性， 是中点，故四边形是平行四边形， 则，且， 由可得，内错角相等则， 又， 故，故， ，故， 解得，故． 10．（25-26高二上·山东·阶段检测）数学家在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆上的P点反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，且在P点处的切线垂直于法线（即的平分线）．已知椭圆，坐标原点O到点P处切线l的距离为，且，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出辅助线，根据光学性质，得到点处切线与直线所成的角均为，求出点到l的距离，结合椭圆的定义得到原点到切线l的距离，得到方程，求出，由余弦定理，得到，求出离心率. 【详解】设点P处切线为l， 如图，是的平分线，则，设，则． 根据椭圆的光学性质，点P处切线l与直线所成的角均为， 点到切线l的距离分别为，． 为的中点， ∴由梯形中位线性质得，原点O到点P处切线l的距离为， ，故．又， 由余弦定理，得， ，即，故， 椭圆C的离心率．    故选：C． $专题03 圆锥曲线二级结论专题 目录导航 01知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系 02考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 ▶基础梳理・自主夯基 考点01 焦半径、焦点弦 考点02 焦点三角形的周长与面积 考点03 垂径定理与第三定义 考点04 椭圆与双曲线共焦点 考点05 焦点三角形的内切圆与外接圆 考点06 双曲线的渐近线 考点07 阿基米德三角形 考点08 椭圆双曲线的切线与光学性质 考点09 蒙日圆 03素养进阶·答题技法突破——提炼解题范式，提升答题素养 ▶考点聚焦・解法深研 题型01 焦点弦与焦半径 题型02 焦点三角形的面积与周长 题型03 垂径定理与第三定义 题型04 焦点三角形的内切圆 题型05 椭圆与双曲线共焦点 题型06 双曲线的渐近线 题型07 阿基米德三角形 题型08 切线与光学性质 题型09 蒙日圆 04优题精练·专题实战通关——精选优质试题，强化实战应用 知识脑图·核心脉络搭建 考点深研·知能分层突破 考点01 焦半径、焦点弦 1、椭圆焦半径 设为椭圆上的一点，为椭圆的一个焦点， 焦半径坐标式 ①焦点在轴：焦半径(左加右减)； ② 焦点在轴：焦半径(上加下减)． 焦半径角度公式： 2、双曲线焦半径　 设为双曲线上的一点，为双曲线的一个焦点， ①焦点在轴：在左支，在右支； ②焦点在轴：在下支，在上支． 焦半径角度公式：（P与F位于同侧取正，位于异侧取负） 3、抛物线焦半径　 设为抛物线上的一点，为抛物线的焦点， ①焦点在轴：焦半径 ② 焦点在轴：焦半径 焦半径角度公式 4、定比模型 椭圆、双曲线的过焦点的弦倾斜角为，斜率为，若焦点分得，则 = 【新题对点练】（26-27高三·全国·一轮复习）设椭圆的左焦点为，过点的直线与椭圆相交于两点，直线的倾斜角为，，则椭圆的离心率为_________． 考点02 焦点三角形的周长与面积 1、椭圆面积 椭圆焦点为，，为椭圆上的点，，则， 2、双曲线的面积 双曲线的焦点为F1、F2，为双曲线上的点，，则 3、若坐标已知，则 【新题对点练】（26-27高三上·安徽六安·开学考试）已知椭圆：的两个焦点分别为，，点是上除长轴端点外的动点，若的周长恒为6，面积的最大值为，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 考点03 垂径定理与第三定义 1、 椭圆的垂径定理与第三定义 已知直线与椭圆相交于两点，M为AB中点，O为原点，且则有 已知A，B为椭圆长轴的端点（或短轴端点），P是椭圆异于A，B的点，则 2、 双曲线的垂径定理与第三定义 已知直线与双曲线相交于两点，M为AB中点，O为原点，且则有 如图，已知A，B为双曲线实轴的端点，P是双曲线异于A，B的点，则 另外，若A，B为双曲线渐近线上两点，M为AB中点，若斜率都存在同样也有 【新题对点练】（2026·山东菏泽·二模）已知椭圆：，曲线，若曲线与椭圆在第一象限内有两个交点，，且直线的斜率为，则椭圆的离心率为________. 考点04 椭圆与双曲线共焦点 椭圆与双曲线有相同的焦点，是它们的一个公共点，设，椭圆的，双曲线的 1、由是椭圆与双曲线的焦点三角形，那么我们可以根据面积公式分别有，可以对式子稍作整理有 2、根据, ，整理有 【新题对点练】（26-27高三上·浙江杭州·开学考试）已知椭圆和双曲线有相同的焦点，，是它们的一个公共点，且，若椭圆的离心率为，则双曲线的离心率为（     ） A． B． C． D． 考点05 焦点三角形的内切圆与外接圆 1、 椭圆的焦点三角形内切圆 点为椭圆上异于左右顶点的点，为椭圆的左右焦点,设, 重心,内心 结论一、 结论二、 有 ，则I的轨迹为椭圆 2、 双曲线的焦点三角形内切圆 结论一、双曲线焦点三角形的内切圆圆心横坐标恒为 【新题对点练】（2026·重庆·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线右支上一点， 的内切圆圆心为 ，连接并延长交轴于点 ，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．4 考点06 双曲线的渐近线 双曲线渐近线的一些性质： 1、 双曲线的焦点到渐近线的距离为. 2、 以两焦点为直径的圆与双曲线的渐近线相交，第一象限的交点坐标. 3、 过双曲线上点作两渐近线的平行线，，它们和渐近线围成的平行四边形的面积为定值 4、 过双曲线上点作两渐近线的垂线，，则有， 过双曲线上点作双曲线的切线交两渐近线于两点，则为双曲线的渐近三角形，则P是AB的中点，且 【新题对点练】（26-27高三上·湖北武汉·开学考试）已知双曲线的一条渐近线方程为，直线与交于，两点，分别过点，作的垂线，垂足为，．若四边形的面积为，则的虚半轴长为________． 考点07 阿基米德三角形 阿基米德三角形指圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形。 1、阿基米德焦点三角形性质（弦AB过焦点F时） 性质1： 性质2：轴； 性质3： 2、阿基米德三角形一般性质（弦AB不经过焦点F时） 性质1、阿基米德三角形底边上的中线PM平行于抛物对称轴． 性质2、若阿基米德三角形的底边即弦AB过定点抛物线内部的定点，则点P的轨迹为直线记，，，M为弦AB的中点，点C为抛物线内部的定点 半代入得出切线PA，PB的方程，再得出则，则 性质3、若P点轨迹为直线，且该直线与抛物线没有公共点，则定点. 设P点坐标，半代入得出切点弦AB的直线方程，进而得出定点C的坐标 性质4、阿基米德三角形的面积的最大值为. 性质5、， 【新题对点练】（2026·陕西咸阳·模拟预测）过抛物线：的焦点作直线与相交于两点，过两点分别作的切线，两切线相交于点，则点的纵坐标为（   ） A． B． C． D． 考点08 椭圆双曲线的切线与光学性质 1、椭圆的切线方程 ①对于过椭圆上一点P的切线方程，只需将椭圆方程中换为，换为可得 焦点在轴上；焦点在轴上 ②过椭圆外一点，做椭圆的两条切线，则切点弦方程为焦点在轴上；焦点在轴上 ③椭圆 与直线 相切的条件是 2、双曲线的切线方程 点在双曲线上，过点作双曲线的切线方程为． 若点在双曲线外，则点对应切点弦方程为 3、椭圆的光学性质 （1）从椭圆的一个焦点发出的光线, 被椭圆反射后,必定经过另一个焦点; （2）椭圆在点 处的切线为 , 直线 交直线 于点 , 则 平分 , 由角平分线性质定理, . 4、 双曲线的光学性质 （1）从双曲线一个焦点发出的光线, 被双曲线反射后, 反射光线的反向延长线交于另一个焦点; （2）双曲线在点 处的切线 与直线 相交于点 , 则 平分 , 由角平分线性质定理, 【新题对点练】（26-27高二上·陕西西安·阶段检测）古希腊数学家在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质，从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆上的点反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，且在点处的切线垂直于的平分线．若坐标原点到切线的距离为，且，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 考点09 蒙日圆 蒙日圆是圆锥曲线的几何性质之一，其核心特征是：‌圆锥曲线外一点作两条互相垂直的切线，切线交点的轨迹构成一个圆‌。以下是具体性质和结论： 1、椭圆的蒙日圆： 2、双曲线的蒙日圆： 【新题对点练】（多选）（2026·湖南邵阳·三模）数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆任意两条互相垂直的切线的交点都在以原点为圆心，为半径的圆上，这个圆被称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆可以与边长为的正方形的四条边均相切，则（   ） A．椭圆的离心率为 B．若一个矩形的四条边均与椭圆相切，则该矩形面积的最大值为50 C．若为椭圆的蒙日圆上任意一点，则直线的斜率的取值范围为 D．若为椭圆的蒙日圆上任意一点，且点到直线与到直线的距离之和与点的位置无关，则的取值范围是 素养进阶·答题技法突破 题型01 焦点弦与焦半径 利用焦半径公式（坐标式或角度式）建立方程。对于焦点弦，常用韦达定理或定比模型（极点极线/倾斜角公式）简化运算。注意焦半径的最值（如 ）及其乘积的最值（常结合基本不等式）。 【典例1】（25-26高二上·浙江·期中）（多选）已知椭圆的上顶点为，左、右焦点分别为，，过的直线与交于，两点，则（    ） A．存在点使得 B．的最大值为4 C．当直线垂直于时，三角形的周长为8 D．的取值范围是 【典例2】（25-26高二上·福建福州·期中）（多选）设椭圆的焦点为在椭圆上，则（    ） A． B．的最大值为7，最小值为1 C．的最大值为16 D．面积的最大值为10 【变式1】（2026·四川南充·模拟预测）（多选）已知点是抛物线∶的焦点，、是经过点的弦且，直线的斜率为，且，，两点在轴上方，则（     ） A．抛物线的焦点到准线的距离为2 B． C．为一个定值 D．若，则直线的斜率为 【变式2】（26-27高二上·浙江嘉兴·阶段检测）（多选）已知椭圆：，左、右焦点分别为，，点为椭圆上异于长轴端点的动点，，则下列说法正确的是（     ） A．若，则符合条件的点有个 B．若，则的面积为 C．的最大值为 D．过的直线与椭圆交于两点，，则 题型02 焦点三角形的面积与周长 周长通常通过定义直接得出（椭圆 等）。面积问题优先使用二级结论 （椭圆）或 （双曲线），结合余弦定理可快速求解。若不直接用结论，可利用底乘高或 结合椭圆定义及余弦定理求 。 【典例1】（26-27高二上·云南曲靖·阶段检测）（多选）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，为椭圆C上一点，则下列说法正确的是（   ） A．的面积有最大值但无最小值 B．的周长为5 C． D． 【典例2】（25-26高二上·宁夏·期末）（多选）已知圆锥曲线的离心率为，，分别为曲线的左，右焦点，为曲线上一点，则下列结论正确的是（    ） A． B．的周长为16 C．面积的最大值为 D．的取值范围是 【变式1】（2026·吉林·三模）（多选）已知椭圆，，分别是椭圆C的左右焦点，O是坐标原点，P是椭圆C上任意一点，点，则下列结论正确的有（    ） A．的周长为6 B．的面积为时， C．周长的最小值是 D．面积的最大值为 【变式2】（25-26高二下·云南昭通·期末）（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在C上，且，的最大值为3，则下列结论正确的是（   ） A．椭圆C的离心率为 B．的周长为 C．当P为椭圆短轴端点时，的面积最大 D．的最大值为 题型03 垂径定理与第三定义 遇到弦中点问题，首选“点差法”，得出斜率乘积关系（椭圆 ，双曲线 ）。处理椭圆/双曲线上动点与顶点连线斜率问题时，直接利用第三定义。这些结论能将几何斜率条件转化为 的代数关系，快速解决求离心率或定值问题。 【典例1】（26-27高二上·河北石家庄·阶段检测）直线：经过椭圆的左焦点，且与椭圆交于，两点，若为线段中点，，则椭圆的离心率为________． 【典例2】（2026·广西河池·三模）已知椭圆（），斜率为的一条直线与椭圆交于点，且的中点坐标为，则椭圆的离心率__________． 【变式1】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设双曲线的右顶点为，过点且斜率为2的直线与C的两条渐近线分别交于P，Q两点（其中点P在第一象限）.若O为坐标原点，点M满足，，则双曲线C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二上·江苏宿迁·期中）如图，分别是椭圆的左、右顶点，点在以为直径的圆上（点异于两点），线段与椭圆交于另一点，若直线的斜率是直线的斜率的3倍，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 题型04 焦点三角形的内切圆 利用内切圆性质（圆心为角平分线交点，到三边距离相等）及切线长定理。椭圆焦点三角形内切圆常用结论：；双曲线内切圆圆心横坐标恒为 。通过几何关系找到线段比例或面积关系，结合定义求解。 【典例1】（2026高三上·全国·专题练习）已知分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线的中心，是双曲线右支上异于顶点的任一点，的内切圆圆心为，且与轴相切于点，过作直线的垂线，垂足为，若为双曲线的离心率，下面八个命题： ①的内切圆的圆心在直线上；②的内切圆的圆心在直线上； ③的内切圆的圆心在直线上；④的内切圆必通过点； ⑤；⑥； ⑦；⑧与关系不确定. 其中正确的命题的代号是______. 【典例2】（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）（多选）已知双曲线的一条渐近线为，，是双曲线的左、右焦点，过的动直线与双曲线的左支交于点，与右支交于点，点，均在轴上方，设与的内切圆半径分别为，，则（    ） A．双曲线的离心率为 B． C．若，则直线的斜率为 D．的取值范围是 【变式1】（25-26高二上·广东深圳·期末）已知椭圆的左右焦点分别为，点为椭圆上一点，且的外接圆与内切圆半径分别为，当时，椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二上·湖南衡阳·期末）（多选）已知，，点满足直线与直线的斜率之积为，记点的轨迹为，，为曲线的左、右焦点，若经过与交于，两点，，的内切圆分别与相切于，，半径分别为，，则下列结论正确的是（   ） A．的方程为 B． C． D． 题型05 椭圆与双曲线共焦点 两曲线共用焦距 且共用焦点三角形。利用椭圆和双曲线的定义，联立方程组求出焦半径。常结合余弦定理或焦点三角形面积公式（）建立等式。通过基本不等式或函数性质求离心率相关的乘积或比值范围。 【典例1】（25-26高二上·福建莆田·期末）（多选）如图，已知椭圆和双曲线有公共的焦点，，的离心率分别为，且在第一象限相交于点，则下列说法中正确的有（    ） A．若，则； B．若，则的值为1； C．的面积； D．若，则当时，取得最小值2. 【典例2】（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期中）（多选）椭圆：左右焦点分别为，，双曲线：与椭圆的焦点相同，P是椭圆与双曲线在第一象限的交点，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则双曲线的方程为 C．若的内切圆的圆心为，，则双曲线的离心率取值范围是 D．若与y轴交于点，平分，则双曲线的离心率大于2 【变式1】（2026高三上·全国·专题练习）已知椭圆：（）与双曲线：（，）有相同的焦点，，以线段为边作正，若椭圆与双曲线的一个交点恰好是的中点，设椭圆和双曲线的离心率分别为和，则______. 19．（25-26高二下·湖北随州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆：与双曲线：有相同的焦点，，的渐近线分别交于A，C和B，D四点，若多边形为正六边形，则与的离心率之和为______． 【变式2】（25-26高三下·湖北武汉·阶段检测）（多选）已知椭圆与双曲线有共同的焦点，（为左焦点），为坐标原点，与在第一象限交于点与的离心率分别为，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则的取值范围是 题型06 双曲线的渐近线 关键抓住“焦点到渐近线的距离为”及“焦点垂线交点坐标”这两个核心几何特征。利用渐近线斜率与离心率的关系 。结合点到直线距离公式、勾股定理或三角形面积公式（如渐近三角形面积）建立关于 的方程。 【典例1】（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）（多选）双曲线的左、右焦点分别为、，左、右顶点分别为，，以为直径的圆与的一条渐近线交于，两点，且，则（   ） A． B． C．的渐近线方程为 D．当时，四边形的面积为 【典例2】（2026高二·全国·专题练习）设是双曲线上任意一点，过点作渐近线和的平行线，分别交另一条渐近线于点.则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二上·重庆·期中）（多选）已知点为双曲线右支上一点，，为双曲线的两条渐近线，过点分别作，，垂足依次为，过点作交于点，过点作交于点为坐标原点，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高三下·广西玉林·阶段检测）（多选）已知双曲线的渐近线方程为分别为的左、右顶点，的右焦点为 为上在第一象限内的一点，过点作的两条渐近线的垂线，垂足分别为，，则（    ） A．的离心率为3 B． C．直线的斜率之积为定值 D．的取值范围为 题型07 阿基米德三角形 利用抛物线切线方程和点差法。若弦过焦点，直接用二级结论：、、 对称轴、面积最小值 。若不过焦点，利用极点极线（切点弦）方程推导定点轨迹，结合弦长公式和点到直线距离求面积的最值（常转化为函数求最值或均值不等式）。 【典例1】（2026·广东深圳·模拟预测）（多选）设抛物线：（）的焦点为，过点的直线交于，两点，过点且垂直于的直线交的准线于点．已知的最小值为4，则（    ） A． B． C．当时， D． 【典例2】（2027高二·全国·专题练习）（多选）已知抛物线，为抛物线外一点，，与抛物线相切且A，B为切点，则下列说法中正确的有（   ） A．若的方程为，则 B．若P坐标为，则的方程为 C．若，则的最小值为 D．若，则的最大值为 【变式1】（26-27高二上·重庆沙坪坝·阶段检测）（多选）过抛物线E：焦点F的直线交抛物线于A、B两点，点O为坐标原点，直线，分别交抛物线的准线于点C，D，则下列说法正确的是（   ） A．E的准线方程为 B． C．四边形的面积为，的面积为，则 D．若与的面积之比为4，则的面积为 【变式2】（25-26高二上·浙江杭州·期末）已知为抛物线的焦点，过点的直线与抛物线交于不同的两点和，抛物线在，两点处的切线交于点，则的最小值为___________． 题型08 切线与光学性质 切线问题常用“半代入”法写出切线或切点弦方程。光学性质核心是“入射角等于反射角”，即切线平分焦点与切点连线的外角（或法线平分内角）。结合角平分线定理、相似三角形或梯形中位线定理，巧妙转化线段比例，再结合定义和余弦定理求解。 【典例1】（2026·河北邢台·三模）椭圆具有特殊的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.已知椭圆的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，上顶点为，为上一点，在点处的切线为，过点 且与垂直的直线与椭圆的长轴交于点，且，若的面积，到的距离之和为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2026·安徽合肥·模拟预测）（多选）类比于双曲线，我们可将直线：和直线：称为椭圆的“虚渐近线”.已知，为椭圆：的两条“虚渐近线”，且，与的上半部分交于，两点，动点在上且在，之间（不与，重合），过作椭圆的切线交，于，，则下列说法正确的是（     ） A．，所成夹角的大小为 B．四边形面积的范围为 C．为定值 D． 【变式1】（2026·广东广州·三模）（多选）圆锥曲线具有丰富的光学性质．双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点处发出的光线，经过双曲线在点处反射后，反射光线所在直线经过另一个焦点，且双曲线在点处的切线平分．如图，对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线过点，其左、右焦点分别为．若从发出的光线经双曲线右支上一点反射的光线为，点处的切线交轴于点，则下列说法正确的是（   ） A．双曲线C的方程为 B．过点且垂直于的直线平分 C．若，则 D．若，则 【变式2】（2026·安徽淮南·二模）（多选）抛物线有如下光学性质：平行于抛物线的对称轴的光线，经过抛物线反射后通过它的焦点；从抛物线焦点发出的光线经抛物线反射后，沿平行于其对称轴的方向射出：入射光线与反射光线所成夹角的角平分线垂直于反射点处的切线.如图，为坐标原点，一束光线从点出发平行于轴射入抛物线，经过两次反射后经点平行射出，轴，设反射点分别为，，过点，分别作，的角平分线，两线交于点，则（   ） A．当时， B．直线与的交点在定直线上 C．点在线段的垂直平分线上 D．面积的最小值为2 题型09 蒙日圆 遇到“互相垂直的切线交点”或相关轨迹问题，立刻联想蒙日圆（椭圆：；双曲线：）。将几何条件转化为点（切线交点）在蒙日圆上或与蒙日圆的位置关系（相离、相交、相切）。常与直线方程、圆的弦长公式及基本不等式结合求最值或范围。 【典例1】（25-26高三下·辽宁·阶段检测）（多选）蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，且其方程为.点为椭圆的两焦点，过直线上任一点可作椭圆的两条切线，切点分别记为，且其中存在两点，使得，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．椭圆的离心率为，则的范围为 D． 【典例2】（26-27高二上·江苏南京·阶段检测）（多选）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆的离心率为，，分别为椭圆的左、右焦点，，为椭圆上两个动点.直线的方程为.下列说法正确的是（     ） A．椭圆的蒙日圆的方程为， B．对直线上任意一点，， C．记点到直线的距离为，则的最小值为， D．若矩形的四条边均与椭圆相切，则矩形面积的最大值为. 【变式1】（25-26高二上·江西抚州·阶段检测）（多选）已知椭圆，我们把圆称为的蒙日圆，为原点，点在上，延长与的蒙日圆交于点，则（ ） A．的最大值为 B．若为的中点，则的离心率的最小值为 C．过点不可能作两条互相垂直的直线都与相切 D．若点在上，则的蒙日圆面积最小为 【变式2】（25-26高二上·山东济南·期中）法国著名的数学家蒙日首先发现，椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，且其方程为.已知椭圆的焦点在轴上，A，B为上任意两点，动点在直线上.若恒为锐角，则的焦距的取值范围为（   ） A． B． C． D． 优题精练·专题实战通关 1．（2026·河南南阳·二模）（多选）已知椭圆：的左、右焦点分别为，长轴长为4，点在椭圆内部，点在椭圆上，则以下说法正确的是（    ） A．离心率的取值范围为 B．当离心率为时，的最大值为3 C．存在点，使得 D．当离心率不小于时，的最小值为 2．（25-26高二上·福建厦门·期中）（多选）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，P是上的动点，则（   ） A． B．的最大值为3 C．存在点P，使得 D．的最大值为4 3．（多选）（2026·湖南长沙·三模）已知椭圆的左、右顶点分别为，，圆．点是椭圆上异于，的动点，直线与圆交于另一点，直线与圆交于另一点．设直线与直线交于点，则（    ） A．直线与直线始终互相垂直 B．点的轨迹为焦点在轴上的部分椭圆 C．线段长度的取值范围为 D．面积的最大值等于 4．（26-27高二上·浙江宁波·阶段检测）（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，点P在椭圆上，则下列结论正确的是（    ） A． B．的最小值为1 C．面积的最大值为 D．存在点P，使得 5．（25-26高二上·湖南衡阳·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，直线与交于两点，分别过点作的垂线，垂足为.若四边形的面积为，则的实轴长为（    ） A．2 B．4 C． D． 6．（25-26高二上·广东珠海·阶段检测）如图，双曲线的左右焦点分别为，过的直线与该双曲线的两支分别交于两点（在线段上），与分别为与的内切圆，其半径分别为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·广东珠海·阶段检测）蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆（）的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，且其方程为.已知椭圆的焦点在x轴上，A、B是椭圆E上的任意两点，动点P在直线上.若存在为钝角.则椭圆E离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·海南儋州·阶段检测）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，点是它们的一个公共点，且，设椭圆和双曲线的离心率分别为，则的值为（    ） A． B． C．4 D．8 9．（2026·陕西西安·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，右顶点为，过点的直线与双曲线的一条渐近线交于点，与其左支交于点，且点与点不在同一象限，直线与直线（为坐标原点）的交点在双曲线上，若，则双曲线的离心率为____________． 10．（25-26高二上·山东·阶段检测）数学家在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆上的P点反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，且在P点处的切线垂直于法线（即的平分线）．已知椭圆，坐标原点O到点P处切线l的距离为，且，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． $