对称周期，抽象函数，max,min函数，高斯函数，类周期函数，倍缩函数解题方法汇总讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

抽象函数与压轴特殊函数——性质判定与模型归纳 抽象函数的性质 抽象函数题不给解析式，只给一个函数方程或一条对称、周期条件，看上去无处着手.但这类题的出口只有三个：把条件翻译成图象的对称性或周期性、用赋值法代出具体函数值、把结论落到图象上数交点.这一部分先把对称性与周期性的判定链立稳，再讲赋值法的模型. 1、对称性的判定 1.1　轴对称 对定义域内的任意 ，若恒有 ，则 的图象关于直线 对称. 画图来推：直线 是对称轴，说明图象上任意一点 关于这条轴的镜像 也落在图象上，且两点纵坐标相等. 取横坐标为 的点，它到轴 的距离是 ；镜像点在轴另一侧、等距处，横坐标就是 . 两点都在图象上且等高，故 把式中的 换成 （或直接令 ），则 换成 ，代入即得最常用的形式 回到一般式：条件 ，把式中的 换成 （或直接令 ），则 换成 ，参考上面的结论可知，对称轴为 . 1.2　中心对称 对定义域内的任意 ，若恒有 ，则 的图象关于点 对称. 画图来看：把图象绕点 旋转 180° 应与自身重合. 在图象上取横坐标为 的点 ，它关于点 的对称点是 . 旋转后两点重合，对称点必在图象上，故 ，即得 上式对任意 x 成立. 把 换成 ，左边得 ，右边仍为 ，于是最常用的形式 1.3　复合形式： 是奇函数或偶函数 这是最容易判断错的一类. 处理它的正路是平移，而不是把 拆开硬算. 设 . 若 是偶函数，则 的图象关于 轴（即直线 ）对称，写成式子就是 . 令 ，则 ，于是 ——按 1.1，这是「 关于直线 对称」. 若 是奇函数，同法得 ——按 1.2，这是「 关于点 中心对称」. 结论可以合成一张表： 已知条件 令 后的等价写法 对 的结论 是偶函数 关于直线 轴对称 是奇函数 关于点 中心对称 右移 1 个单位后成奇函数，则原图象关于点 (1,0) 对称；成偶函数则关于直线 x=1 对称 从图上能看出「右移 1」这一步：先把 的图象右移 1 个单位，若得到的是奇函数图象，那么原图象必然关于点 对称. 遇到系数不为1的情形，例如 是奇函数，有两条路，结果一致： 路一（换元）：令 ，则 是奇函数就等价于 是奇函数，按上表得 关于点 对称. 路二（直接代定义）： 是奇函数即 . 令 ，则 ，得 ，仍是关于点 中心对称. 1.4　秒杀：擦数字定奇偶，取中点定坐标 对称性选填小题不必每次都换元平移，可以走一条更快的路——先把式子里的常数擦掉，看剩下结构像哪种奇偶函数，再把括号里的内容取中点. 口诀：擦数字定类型，取中点定位置. 第一步 擦数字定类型：把两个括号里的常数全当 0 擦去，只看骨架—— 是偶函数结构，说明原函数轴对称；（移项即 ）是奇函数结构，说明原函数中心对称. 第二步 取中点定横坐标：横坐标 = 两个括号里的内容相加除以 2. 不管 x 取什么，两括号之和恒为常数，这正是「两个自变量成对关于中点对称」的代数标志. 第三步 定纵坐标（只有中心对称需要）：把等式右边凑成 ，纵坐标就是 ；右边是 0 时，中心落在 x 轴上. 原式 擦掉数字后的结构 类型 横坐标 纵坐标 f(a+x)=f(b-x) f(x)=f(-x)，偶函数结构 轴对称 — f(a+x)+f(b-x)=2c f(x)+f(-x)=2c，奇函数结构 中心对称 c f(a+x)=-f(b-x) f(x)=-f(-x)，奇函数结构 中心对称 0 原理与边界：这条捷径不是玄学——擦数字后的奇偶结构，对应 1.1/1.2 中「平移后 g(x) 的奇偶性」，取中点算的就是平移量. 小题可以直接用它出答案；大题书写必须回到定义，写成 或 的形式. 前提只有一个：括号内 的系数互为相反数；若系数同号（如 ），那是周期而不是对称（见第 2 节），捷径不适用. 例 1、 定义在 R 上的函数 满足 对一切 x 成立，且 ，求 的值. 1.5　易错点 错误写法 为什么错 正确结论 由 是偶函数得 关于 对称」 关于 轴对称的是 这个新函数，不是 本身 关于直线 对称 由 得「对称轴 或 」 两个自变量都要取中点 对称轴 中心对称时写成 漏了「和为常数」，这就变成轴对称了 2、周期性的推导 2.1　定义 一般地，对于函数 ，如果存在一个非零常数 ，使得当 取定义域内的每一个值时，都有 ，那么函数 就叫做周期函数，非零常数 叫做这个函数的周期. 如果在周期函数 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 的最小正周期. 2.2　迭代法：把 换成 再代一次 所有「由函数方程求周期」的题，动作只有一个——把条件里的 整体换成 ，再代回原式，反复几次直到右边回到 . 以 为例：令 换成 ，得 ；再把 代进去，得 . 故 . 其余常见模型照同一手法得到，直接记结果： 满足的条件 周期 说明 两个「 常数」相等 代两次负号抵消 道理同上，常数 不影响周期 代两次分式回原 代两次分子分母互换 见下方推导 连推三次出现相反数 对 补一步推导，体会「代三次」的过程： 第一次代换得 ，把 代入并化简： . 第二次代换得 . 故 . 2.3　对称推周期：同性两距离，异性四距离 这一组结论是压轴选填的高频入口，口诀记八个字：同性两距离，异性四距离. 「同性」指两个对称元素类型相同（都是对称轴，或都是对称中心），此时周期是两元素横坐标距离的 2 倍；「异性」指一轴一心搭配，此时周期是距离的 4 倍. 已知 周期 口诀定位 关于直线 与 都对称 同性（两轴） 关于点 与 都对称 同性（两心） 关于点 对称，又关于直线 对称 异性（一轴一心） 奇函数，且关于直线 对称 奇函数 = 关于 对称，与 成异性 偶函数，且关于点 对称 偶函数 = 关于 对称，与 成异性 偶函数，且关于直线 对称 两轴，同性 奇函数，且关于点 对称 两心，同性 三个推导都只用到 1.1 与 1.2 的等价写法，逐步推一遍： 两轴：由 ，把 换成 得 ；而 ，故 ，即 . 两心：由 ，把 换成 得 ，代回得 ，故 （两心需对称中心纵坐标相同，不同推不出来周期）. 一轴一心：由 ，又 ，故 . 再代一次得 ，故 . 2.4　判定链：一句话分清周期与对称 括号内 的符号决定「周期还是对称」，函数值的关系决定「轴对称还是中心对称」： 关系式 括号内 的符号 函数值的关系 结论 相反 相等 轴对称 相反 和为常数 中心对称 相同 相等 周期 相同 和为 周期 一句话总结：异号看对称，同号看周期；值相等是轴，和为常数是心. 2.5　例题 例2、已知 是定义在 上的偶函数，且 ，当 时，，则 ______. 3、常考的抽象函数模型 抽象函数题有一个经典问法：不给解析式，只给一个函数方程，问 可能是什么函数，或让你直接求值. 出路是认模型——五个高频原型：正比例、一次、二次、指数、对数. 认出原型，抽象方程瞬间变成具体函数. 本节对每个原型给出「怎么来的」推导，各配一道例题；五个模型的例题都按证明题的要求写全，奇偶性、单调性分别用什么动作，逐句可以照抄. 模型 特征方程 原型函数 识别标志 正比例 f(x+y)=f(x)+f(y) f(x)=kx 和代入、可拆成和、无常数偏差 一次 f(x+y)=f(x)+f(y)+m f(x)=kx-m 可拆项但带常数偏差 二次 f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy f(x)=x²+kx 出现 xy 交叉项 指数 f(x+y)=f(x)f(y) f(x)=aˣ 和代入、可拆成积 对数 f(xy)=f(x)+f(y) f(x)=logₐx（x>0） 积代入、可拆成和 3.1　正比例函数模型 特征方程 . 只要看到「自变量之和代入、右端可拆成两项之和」，先想 . 怎么来的：令 得 ，故 ； 令 得 ，故 ，是奇函数； 再令 得 ，反复使用可得 （n 为正整数）. 满足方程且足够规则（连续或单调）的函数只能是 ，其中 ——原型就是正比例函数. 到这里奇偶性已经证完，靠的就是「令 」，把 与 塞进同一个方程. 单调性却证不出来：方程只保证 可加，是增是减由开头的符号条件说了算（ 时 则增， 则减）. 这也解释了为什么凡是要证单调性的题，题干一定额外给一个比较大小的条件. 例 3、 已知定义在 上的函数 对任意实数 都满足 ，且当 时 ，. （1）求 、 的值，并证明 为奇函数； （2）证明 在 上单调递增； （3）解不等式 . 3.2　一次函数模型 特征方程 （m 为非零常数）. 与正比例相比多了常数偏差，原型是一次函数 . 奇偶性、单调性都寄在 身上. 一次型的奇偶性由 决定：由 得 ，右端不为零，故不可能是奇函数；而 只在 时恒为零（此时 退化为常数函数，是偶函数），故 不为零时一次型非奇非偶. 单调性与正比例同步，作差后 ，符号仍由「 时 的正负」决定；而 ，所以题目给的往往是 的符号条件（如 时 ，等价于 ）. 例 4、 已知定义在 上的函数 对任意实数 都满足 ，且当 时 ，. （1）求 的值，并证明 在 上单调递增； （2）若 对一切实数 恒成立，求实数 的取值范围. 3.3　二次函数模型 特征方程 . 出现 交叉项，原型是二次函数（本例为 ）. 怎么来的：关键技巧是「配方消掉二次项，化归正比例模型」. 令 ，则 ，把 代入展开后交叉项恰好抵消，得 ，即 为正比例型，故 ，具体是谁由初始条件定. 奇偶性要先定 才能答. 令 得 ，右端不恒为零，所以 不是奇函数；而 ，只有 （即 ）时才恒为零，此时 是偶函数. 结论：二次型的奇偶性由 决定，非奇非偶是常态——这与正比例（方程直接给出奇函数）、对数（方程直接给出偶函数）不同. 单调性也只能先在 上说. 作差得 ，右端两项：第一项由符号条件保证为正，第二项因 、 自动为正，所以 在 上递增. 若 ，第二项就变号——这也是 在 上不单调的原因. 例 5、 已知定义在 上的连续函数 对任意实数 都满足 ，且当 时 ，. （1）求 的值，并求 的解析式； （2）判断 的奇偶性，并证明 在 上单调递增； （3）解不等式 . 3.4　指数函数模型 特征方程 . 看到「自变量之和代入、右端可拆成乘积」，原型是指数函数 . 怎么来的：先排除恒为零——若存在 使 ，则对任意 有 ，与题设矛盾，故 不为零. 令 得 ，故 ； 取 得 ，即 . 又 ，故可令 ，则 ，化归正比例模型，得 ，即 ，底数 由初始条件定. 奇偶性是指数型的禁区. 由 ，要它等于 需 ，无解；要它等于 需 ，即 恒等于 ——那是常函数. 所以除常函数 外，指数型既不奇也不偶，题目从不问它的奇偶性. 单调性照旧作差，只是「比什么」换了对象. 由 已知 恒正. 任取 ，则 . 第一个因子 已定，符号全看 ，也就是「 时 与 谁大」. 所以指数型的符号条件写成 则增、 则减，而不是正比例型的 . 多出来的这个「减一」就是指数型的记号：作差提出公因式 后，剩下的必然是 . 例 6、 已知定义在 上的函数 对任意实数 都满足 ，且当 时 ，. （1）求 的值，并说明 既不是奇函数也不是偶函数； （2）证明 在 上单调递增； （3）解不等式 . 3.5　对数函数模型 特征方程 （定义域通常为 ）. 看到「自变量之积代入、右端可拆成和」，原型是对数函数 .若遇到定义域为，则原型是. 奇偶性的钥匙是第三条. 只要定义域关于原点对称（如 ），在方程中令 ，得 ，即 ；再把 换成 ，右边的 不变，故 ，所以 是偶函数，原型是 . 若定义域写成 ，它不关于原点对称，奇偶性无从谈起——判奇偶先看定义域. 单调性只能在 这半边证，另一边由偶性对称过去. 动作是作商而不是作差：任取 ，由 得 ，而 ，符号条件「 时 」立刻给出 . 对数方程里没有加法， 凑不出单个函数值，只能提出比值来. 例 7、 已知函数 的定义域为 ，对任意非零实数 都有 ，且当 时 . （1）判断 的奇偶性，并证明； （2）证明 在 上单调递增； （3）若 ，求 、 的值，并解不等式 . 4、赋值法：抽象函数的奇偶性与单调性 4.1　赋值法的固定动作 证明奇偶性的动作只有两个： ① 求 ：在方程中令 ，可定出 （奇函数要求 ，偶函数常得 ）. ② 造出 ：令 （或 、 等），把方程整理成只含 与 的关系式. 以 为例：令 得 ；再令 得 ，故 ，是奇函数. 以 为例：令 得 ；再令 得 ，由 得 ，故 ，即 ，是偶函数. 证明单调性的动作只有一个：作差，再用方程把 写成一个函数值. 设 ，则 . 于是只要知道 时 的符号，符号就定了. 这一步是全题的转折点——把「两点函数值之差」压缩成一个「单点函数值」. 指数型是第三种情形：作差后不是只剩一个函数值，而是 ——多出一个因子 ，它恒正，符号仍由 决定. 所以还是作差，只是「跟谁比」从 换成了 （见 3.4）. 4.2　例题 例 8、 已知函数 对任意实数 恒有 ，且当 时 ，又 . （1）判断 的奇偶性； （2）求证： 是 上的减函数； （3）若对一切实数 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围. 特殊函数与压轴模型 这一部分收的是压轴选填最爱考的几类「有名字的函数」：狄利克雷函数考概念辨析， 与 考图象的包络，高斯函数考取整不等式，类周期与倍缩考新定义翻译. 它们的共同点是先认清定义，题就做完一半. 5、狄利克雷函数 5.1　定义 函数 满足：当 为有理数时 ；当 为无理数时 ,这个函数以德国数学家狄利克雷命名. 5.2　五条性质 性质 结论 依据 定义域与值域 定义域 ，值域 每个实数必为有理数或无理数，二者恰居其一 奇偶性 偶函数 与 同为有理数或同为无理数，故 周期性 任何非零有理数都是周期 与 （ 为有理数）同为有理或同为无理 最小正周期 不存在 任意小的正有理数都是周期，故没有最小的正周期 复合 恒成立 ，取值为有理数，故再取一次得 5.3　图象 这个函数一般认为没有图象——既画不出连续的曲线，也无法在纸上真正把点描出来：任何区间内都既有有理数又有无理数，若强行意会，只能想成「直线 与 上两排交错稠密的点」. 做题时不靠图象，直接按对应法则取值即可. 5.4　例题 例 9、 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其名命名的函数 （ 为有理数时取 ， 为无理数时取 ）称为狄利克雷函数. 关于 ，下列说法正确的是（　） A. ， B. 函数 是偶函数 C. 任意一个非零有理数 ， 对任意 恒成立 D. 存在三个点 ，，，使得 为等边三角形 6、 函数与 函数 6.1　定义 对两个函数 、： 表示在 与 中取较大的那个值； 表示取较小的那个值. 三个函数的情形同理，取三者中的最大或最小. 6.2　两种写法 形式 表达式 用途 分段形式 在 时取 ，在 时取 分段讨论、求最值 绝对值形式 说明「 仍是函数」，也便于放缩 的绝对值形式只需把中间的加号改成减号：. 6.3　画法：取包络 的图象就是「沿两图象取上方的点」， 的图象就是「沿两图象取下方的点」，它们都在两条曲线的交点处换轨. 所以做题顺序固定： ① 联立 求交点横坐标； ② 在交点划分的各段上，判断哪条曲线在上（或在下）； ③ 逐段取对应曲线，拼成图象； ④ 在拼好的图象上读最值. 　g(x)=x² 与 h(x)=-x²+8：max 取上方成 W 形，min 取下方成 M 形，交点处换轨 图 4 里两条抛物线的交点是 . 的图象在交点处由「开口向下」换到「开口向上」，所以结果是 W 形，最小值在交点处取到，为 ； 的图象在交点处由「开口向上」换到「开口向下」，结果是 M 形，最大值也在交点处取到，为 . 6.4　例题 例 10、用 表示 三个数中的最小值. 设 （），则 的最大值为（　） A. 4　　B. 5　　C. 6　　D. 7 7、高斯函数、小数部分函数与符号函数 7.1　高斯函数（取整函数） 函数 称为高斯函数，也叫取整函数，其中 表示不超过 的最大整数. 例如 ，，. 注意 而不是 ——「不超过」意味着取左边那个整数. 这是本题材第一大易错点. 性质 内容 定义域与值域 定义域 ，值域 单调性 不减函数： 时 平移 （） 相加 相乘（） 其中「相加」那条是判断取整不等式选项的总钥匙，用拆分法一眼可证：设 ，，则 ，，，故 ，而 ，取其整部分得 ，即 . 7.2　小数部分函数 函数 称为小数部分函数，值域为 . 它的图象是「锯齿」：在每个 上是一条从 到 的斜线段，左端实心、右端空心. 由 得 ，故最小正周期为 . 上：高斯函数的阶梯图象，每过整数跳 1；下：小数部分函数的锯齿图象，周期为 1 7.3　符号函数 函数 称为符号函数，定义为： 条件 函数值 它的作用是把「正负零」三种状态一次取出，值域为 ，是奇函数，图象是两条水平射线加原点处一个孤立点. 符号函数：值为 1、-1 的两条水平射线，原点处单独一点取 0 7.4　例题 例 11、设 表示不大于 的最大整数，则对任意实数 ，有（　） A. 　　 B. 　　 C. 　　 D. 8、类周期函数与倍增函数 8.1　三种模型 普通的周期函数是「每右移 个单位，图象原样重复」. 把「原样重复」换成「放大」或「抬高」，就得到下面三类： 类型 条件 图象的变化 倍增（纵向） ， 每右移 个单位，纵坐标变为原来的 倍 倍增（横纵） ，， 横坐标每扩大为原来的 倍，纵坐标变为 倍 类周期（抬高） ， 每右移 个单位，纵坐标上移 个单位 时图象逐段抬高， 时逐段压低（ 时为周期函数）——所以这类函数的图象不是简单重复，但每一段上的形状完全相同，只是整体平移，并没有被伸缩. 倍增：每右移 1 个单位纵坐标乘以 2，各段形状相同、幅度倍增 类周期（抬高型）：每右移 1 个单位纵坐标上移 2，各段整体抬升 8.2　解题三步 ① 定基准段：题目一定给出某个区间上的解析式，这是唯一的「模板」. ② 写出第 段的解析式：若 ，则在 上，. 这一步只做「平移 + 乘系数」. ③ 比较各段最值：求最值或数交点时，不必画出全部图象——只要比较各段的最值，看哪一段先触及临界值. 最容易出错的是②：把 写成 ，或把系数 写成 或 . 8.3　例题 例 12、设函数 的定义域为 ，满足 ，且当 时，. 若对任意 ，都有 ，则 的取值范围是（　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 9、倍缩函数 9.1　定义 设函数 的定义域为 . 若存在区间 ，使 在 上的值域为 （其中 ），则称 为区间 上的「 倍缩函数」. 时值域就是 本身. 此时若 递增，则 满足 、（两个不动点）；若 递减，则 、（两端互换），不可混用. 9.2　翻译成方程 「倍缩」的实质是：区间长度按比例 缩短，即 在 上的振幅为 ，是原区间长度的 倍. 在 上的单调性 值域的写法 等价条件 单调递增 且 单调递减 且 两行的区别只在端点对应关系. 递增时两个条件都能写成同一个方程 ，于是问题化为「方程 有两个不等实根、且两根都在定义域内」；递减时两条件不是同一个方程，必须把 、 联立求解. 所以先判单调性、再选对应那一行，是这类题不走弯路的前提. 递增型倍缩：a、b 是方程 f(x)= 的两个不等实根，值域长度减半 9.3　例题 例 13、设函数 的定义域为 ，若存在 ，使 在 上的值域为 （其中 ），则称 为区间 上的「 倍缩函数」. （1）证明：函数 为区间 上的「 倍缩函数」； （2）若存在 ，使函数 为 上的「 倍缩函数」，求实数 的取值范围. 9.4　递减型：端点错位 递减时段点对应是反的：左端点 的函数值最大、要等于 ；右端点 的函数值最小、要等于 . 递减型倍缩：左端点的函数值对应 mb、右端点对应 ma，值域从 ma 到 mb 两个条件 与 不是同一个方程，必须联立，通常用「两式相减」或「两式相比」消去 ，再看能否与 相容. 处理递减型的固定流程： ① 判断 在目标区间上是否真的递减（含参数的往往要先分段）； ② 按表取递减那一行，写出 、； ③ 联立两式，消元后与 对照，无解即「不存在」，有解再回代检验区间是否落在递减段内. 最常见的一类错误：不管单调性，一律去解 . 这样得到的根只能对应递增段，放到递减段上就张冠李戴了——9.3 的例 13 与下面的例 14 恰好构成对照. 例 14、给定常数 ，以及关于 的函数 . 是否存在实数 （），使 为区间 上的「 倍缩函数」？若存在，求出 ；若不存在，请说明理由. 1 学科网（北京）股份有限公司 $抽象函数与压轴特殊函数一一性质判定与模型归纳 抽象函数的性质 抽象函数题不给解析式，只给一个函数方程或一条对称、周期条件，看上去无处 着手.但这类题的出口只有三个：把条件翻译成图象的对称性或周期性、用赋值法代出 具体函数值、把结论落到图象上数交点这一部分先把对称性与周期性的判定链立稳， 再讲赋值法的模型， 1、对称性的判定 1.1轴对称 对定义域内的任意x,若恒有f(a+x)=f(a-x),则y=f(x)的图象关于直 线x=a对称 画图来推：直线x=α是对称轴，说明图象上任意一点P关于这条轴的镜像P' 也落在图象上，且两点纵坐标相等 y P(a\,(a-x) (a+,f(a+x) X-0 取横坐标为a-x的点，它到轴x=a的距离是x；镜像点在轴另一侧、等距 处，横坐标就是α+x.两点都在图象上且等高，故 f(a-x)=f(a+x). 把式中的x换成x-a（或直接令t=a-x),则a-x换成2a-t,代入即 得最常用的形式 f(x)=f(2a-x): 回到一般式：条件f(a+x)=f(b-x),把式中的x换成x-a(或直接令t= a-x)，则b-x换成a+b-x,参考上面的结论可知，对称轴为x=+也 1.2中心对称 对定义域内的任意x,若恒有f(a+x)+f(a-x)=2b,则y=f(x)的图象关 于点(a,b)对称 画图来看：把图象绕点（α，b)旋转180°应与自身重合。 P(a+I.f(a+x)) (a,)h P(a-I,f(a-x)) 在图象上取横坐标为a-x的点P(a一x,f(a一x),它关于点(a,b)的对称点 是(a+x,2b-f(a-x)).旋转后两点重合，对称点必在图象上，故f(a+x)=2b- f(a-x),即得 f(a-x)+f(a+x)=2b. 上式对任意x成立.把x换成x-a,左边得f(2a-x)+f(x),右边仍为 2b,于是最常用的形式 f(x)+f(2a-x)=2b 特别地，当b=0(中心落在轴上，即关于点(a,0)对称)时，f(a-x)+ f(a+x)=0,亦即f(a+x)=-f(a-x)、f(x)=-f(2a-x)一一这正是奇函数关 于原点对称的推广 1.3复合形式：f(x+a)是奇函数或偶函数 这是最容易判断错的一类.处理它的正路是平移，而不是把x+α拆开硬算。 设g(x)=f(x+a).若g(x)是偶函数，则g(x)的图象关于y轴（即直线x= 0)对称，写成式子就是f(x+a)=f(-x+a).令t=x+a,则-x+a=2a-t, 于是f(t)=f(2a-t)-一按1.l,这是「f(x)关于直线x=a对称」. 若g(x)是奇函数，同法得f(t)=-f(2a-t)-一按1.2，这是「f(x)关于点 (a,0)中心对称」. 2 结论可以合成一张表： 已知条件 令t=x+a后的等价写法 对f(x)的结论 f(x+a)是偶函数 f(t)=f(2a-t) 关于直线x=a轴对称 f(x+a)是奇函数 f(t)=-f(2a-t) 关于点(a,0)中心对称 x+)是奇函数→f)关于点1,0)对称 f低+)是偶函数一)关于直线x=1对称 y 右移1 右移】 ,0) 右移1个单位后成奇函数，则原图象关于点(1,0)对称：成偶函数则关于直线=1对称 从图上能看出「右移1」这一步：先把f(x)的图象右移1个单位，若得到的是 奇函数图象，那么原图象必然关于点(1,0)对称 遇到系数不为1的情形，例如f(2x+1)是奇函数，有两条路，结果一致： 路一（换元）：令2x=t,则f(2x+1)是奇函数就等价于f(t+1)是奇函 数，按上表得f关于点(1,0)对称 路二（直接代定义）：f(2x+1)是奇函数即f(2x+1)=-f(-2x+1).令u= 2x+1,则-2x+1=2-u,得f()=-f(2-u),仍是关于点(1,0)中心对称 1.4秒杀：擦数字定奇偶，取中点定坐标 对称性选填小题不必每次都换元平移，可以走一条更快的路一一先把式子里的常 数擦掉，看剩下结构像哪种奇偶函数，再把括号里的内容取中点.口诀：擦数字定类 型，取中点定位置， 第一步擦数字定类型：把两个括号里的常数全当0擦去，只看骨架一一f(x)= f(-x)是偶函数结构，说明原函数轴对称；f(x)=-f(-x)(移项即f(x)+f(-x)= 0)是奇函数结构，说明原函数中心对称 第二步取中点定横坐标：横坐标=两个括号里的内容相加除以2.不管x取什 么，两括号之和恒为常数，这正是「两个自变量成对关于中点对称」的代数标志 3 第三步定纵坐标（只有中心对称需要）：把等式右边凑成2b,纵坐标就是b: 右边是0时，中心落在x轴上 原式 擦掉数字后的结构 类型 横坐标 纵坐标 fa+x)=fb-x) fx)=f-x,偶函数结构 轴对称 a+b 2 fa+x)+fb-x)=2c fw+f-x)=2c,奇函数结构 中心对称 a+b 2 fa+x)=-fb-x) fx)=f-,奇函数结构 中心对称 a+b 2 0 原理与边界：这条捷径不是玄学一一擦数字后的奇偶结构，对应1.1/1.2中「平 移后gx)的奇偶性」，取中点算的就是平移量.小题可以直接用它出答案：大题书写 必须回到定义，写成f(t)=f(2s-t)或f(t)+f(2s-t)=2b的形式. 前提只有一个：括号内x的系数互为相反数；若系数同号（如f(x+α）= -f(x))，那是周期而不是对称（见第2节），捷径不适用. 例1、定义在R上的函数f(x)满足f(1+x)+f(3-x)=4对一切x成 立，且f(2)=2,求f(0)+f(4)的值. 解：擦掉括号里的数字1与3，得f(x)+f(-x)=4,是奇函数结构，故fx) 关于某点中心对称， 横坐标取中点 :+)3-)=2；右边4=2b,得b=2,即对称中心为(2,2). 2 因0与4关于2对称，故f(0)+f(4)=4. 1.5易错点 错误写法 为什么错 正确结论 由f(x+a)是偶函数得 关于y轴对称的是f(x+ f(x)关于x=0对称」 a)这个新函数，不是f本 f关于直线x=a对称 身 由fa+x)=f(b-x)得 「对称轴x=a或x=b] 两个自变量都要取中点 对称轴x=a+也 2 中心对称时写成f(a+x)= 漏了「和为常数」，这就变 f(b-x) 成轴对称了 f(a+x)+f(b-x)=2c 4 2、周期性的推导 2.1定义 一般地，对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每 一个值时，都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫 做这个函数的周期.如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这 个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. 2.2迭代法：把x换成x+a再代一次 所有「由函数方程求周期」的题，动作只有一个一一把条件里的x整体换成x+ a,再代回原式，反复几次直到右边回到f(x) 以f(x+a)=-f(x)为例：令x换成x+a,得f(x+2a)=-f(x+a);再把 f(x+a)=-f(x)代进去，得f(x+2a)=f(x).故T=2a. 其余常见模型照同一手法得到，直接记结果： 满足的条件 周期 说明 f(x+a)=f(x+b) lb-al 两个「f(x+常数)」相等 f(x+a)=-f(x) 2a 代两次负号抵消 f(x+a)=-f(x)+k 2a 道理同上，常数k不影响周期 k f(x+a)= f(x) 2a 代两次分式回原 1-f(x) fx+a）=1+f 2a 代两次分子分母互换 f(x+a)= 1+f(x) 4a 见下方推导 1-f(x) f(x+2a)=f(x+a)-f(x) 6a 连推三次出现相反数 对fx+四=四补一步推导，体会「代三次」的过程： 1-f(x) 第一次代换得fx+2m)=rta, 1-f(x+a) 把fc+a)=得代入并化简： f化+20)-周= 1 0-2f丙= f(x) 5 第二次代换得fx+4如)=720=-兰=f).故T=4a 1 f(x) 2.3对称推周期：同性两距高，异性四距离 这一组结论是压轴选填的高频入口，口诀记八个字：同性两距离，异性四距离 「同性」指两个对称元素类型相同（都是对称轴，或都是对称中心），此时周期 是两元素横坐标距离的2倍：「异性」指一轴一心搭配，此时周期是距离的4倍 已知 周期 口诀定位 关于直线x=a与x=b都对称 T 2a-bl 同性（两轴） 关于点(a,c)与(b,c)都对称 T=2a-bl 同性（两心） 关于点(a,c)对称，又关于直线 x=b对称 T 4la-bl 异性（一轴一心） 奇函数，且关于直线x=a对称 奇函数=关于(0,0)对 T=4a 称，与x=a成异性 偶函数，且关于点(a,0)对称 T=4a 偶函数=关于x=0对 称，与(a,0)成异性 偶函数，且关于直线x=a对称 T=2a 两轴，同性 奇函数，且关于点(a,0)对称 T=2a 两心，同性 三个推导都只用到1.1与1.2的等价写法，逐步推一遍： 两轴：由f(x)=f(2a-x),把x换成2b-x得f(2b-x)=f(2a-(2b- x)=f(x+2(a-b):而f(2b-x)=f(x),故f(x+2(a-b)=f(x),即T= 2la-bl. 两心：由f(x)=2c-f(2a-x),把x换成2b-x得f(2b-x)=2c-f(x+ 2(b-a),代回得f(x)=2c-[2c-f(x+2(b-a)]=f(x+2(b-a),故T= 2引α-b1(两心需对称中心纵坐标相同，不同推不出来周期). 一轴一心：由f(x)=f(2b-x),又f(2b-x)=2c-f(x+2(a-b),故 f(x+2(a-b)=2c-f(x).再代-次得f(x+4(a-b)=2c-f(x+2(a-b)= f(x),故T=4a-bl. 6 2.4判定链：一句话分清周期与对称 括号内x的符号决定「周期还是对称」，函数值的关系决定「轴对称还是中心对 称」： 关系式 括号内x的符号 函数值的关系 结论 f(a+x)=f(b-x) 相反 相等 轴对称 f(a+x)+f(b-x)=2c 相反 和为常数 中心对称 相等 周期 f(x+a)=f(x+b) 相同 b-al f(x+a)=-f(x) 相同 和为0 周期2a 一句话总结：异号看对称，同号看周期：值相等是轴，和为常数是心 2.5例题 例2、已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x+4)=f(x-2),当x∈ [-3,0]时，f(x)=6x,则f(2026)=· 解：先定周期.条件f(x+4)=f(x-2)里括号内x的符号相同，按表2.2得 T=4-(-2)川=6. 再把2026化到已知区间上.由2026=6×337+4得f(2026)=f(4), 4不在[-3,0]内，令x=0得(4)=f(-2).而-2E[-3,0],代入得f(-2)= 6-(-2)=36. 所以f(2026)=36, 注：两步都容易漏.第一步漏了「同号→周期」而去解f(x+4)=f(x-2), 就会卡住：第二步忘了用题干条件把4化到[-3,0]，无从代入 3、常考的抽象函数模型 抽象函数题有一个经典问法：不给解析式，只给一个函数方程，问f(x)可能是 什么函数，或让你直接求值.出路是认模型一一五个高频原型：正比例、一次、二次、 指数、对数.认出原型，抽象方程瞬间变成具体函数.本节对每个原型给出「怎么来 的」推导，各配一道例题：五个模型的例题都按证明题的要求写全，奇偶性、单调性 分别用什么动作，逐句可以照抄 7 模型 特征方程 原型函数 识别标志 正比例 和代入、可拆成和、无常 fx+y以=fx)+f) f(o)=kx 数偏差 一次 fx+y以=fx)+fiy)+m f()=kx-m 可拆项但带常数偏差 二次 f+y以=fx+f)+2xy fx)=x2+hx 出现y交叉项 指数 jfx+y以=fxf) f(x)=ax 和代入、可拆成积 对数 fxy)=fx)+fv) f(x)=logax (x>0) 积代入、可拆成和 3.1正比例函数模型 特征方程f(x+y)=f(x)+f(y).只要看到「自变量之和代入、右端可拆成两项 之和」，先想f(x)=kx 怎么来的：令y=0得f(x)=f(x)+f(0),故f(0)=0: 令y=-x得f(0)=f(x)+f(-x),故f(-x)=-f(x),是奇函数： 再令y=x得f(2x)=2f(x),反复使用可得f(nx)=nf(x)(n为正整数). 满足方程且足够规则（连续或单调）的函数只能是f(x)=kx,其中k=f(1)一一原 型就是正比例函数， 到这里奇偶性已经证完，靠的就是「令y=一x」，把x与一x塞进同一个方 程.单调性却证不出来：方程只保证f可加，是增是减由开头的符号条件说了算 (x>0时f(x)>0则增，f(x)<0则减).这也解释了为什么凡是要证单调性的 题，题干一定额外给一个比较大小的条件， 例3、已知定义在R上的函数f(x)对任意实数x,y都满足f(x+y)= f(x)+fy),且当x>0时f(x)>0,f(2)=4. (1)求f(0)、f(1)的值，并证明f(x)为奇函数； (2)证明f(x)在R上单调递增： (3)解不等式f(x2-3x)>f(10) 解：(1)令x=y=0,得f(0)=f(0)+f(0),故f(0)=0: 再令x=y=1,得f(2)=2f(1),故f(1)=2. 令y=-x,得f(0)=f(x)+f(-x),即f(x)+f(-x)=0, 故f(-x)=-f(x),f(x)为奇函数. (2)任取x1<x2,则x2-x1>0,由题设f(x2-x1)>0. 而f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)>0, 故f(x2)>f(x1),f(x)在R上单调递增 全题只有两手：先用奇函数把-f(x1)换成f(-x1),再用方程把f(x2)+ f(-x1)合成f(x2-x1).奇偶性在这里是单调性的台阶，不是附加的一问. (3)由f(x)在R上递增，f(x2-3x)>f(10)等价于x2-3x>10, 即(x-5)(x+2)>0,解得x<-2或x>5,解集为(-∞，-2)U(5,+o) 注：求f(5)这类值可直接认模型f(x)=2x秒得：但证明单调性、解不等式的 解答题，认模型只能用来猜方向、验答案，卷面上必须写赋值证明.与第4节例8对 照：同一个方程，符号条件反过来，单调性就反过来，脱f时不等号的方向也随之相 反 3.2一次函数模型 特征方程f(x+y)=f(x)+f(y)+m(m为非零常数)·与正比例相比多了常数 偏差，原型是一次函数f(x)=kx-m. 奇偶性、单调性都寄在g(x)身上.一次型的奇偶性由k决定：由f(x)=kx- m得f(-x)+f(x)=-2m,右端不为零，故不可能是奇函数；而f(-x)-f(x)= 一2x只在k=0时恒为零（此时f退化为常数函数，是偶函数），故k不为零时 一次型非奇非偶， 单调性与正比例同步，作差后g(x2)-g(x1)=g(x2-x1),符号仍由「x>0时 g(x)的正负」决定；而g(x)=f(x)+m,所以题目给的往往是f(x)的符号条件 (如x>0时f(x)>1,等价于g(x)>0). 例4、已知定义在R上的函数f(x)对任意实数x,y都满足f(x+y)= f(x)+fy)-1,且当x>0时f(x)>1,f(1)=2. (1)求f(O)的值，并证明f(x)在R上单调递增： (2)若f(k)<f(x2-x+1)对一切实数x恒成立，求实数k的取值范围， 解：(1)令x=y=0,得f(0)=2f(0)-1,故f(0)=1. 令g(x)=f(x)-1,则g(0)=0,且g(x+y)=f(x+y)-1=f(x)+f(y) 2=gx)+g(y),回到正比例模型 任取x1<x2,则x2-x1>0,由题设f(x2-x1)>1, 故g(x2-x1)=f(x2-x1)-1>0.而g(x2)-g(x1)=g(x2-x1)>0, 故g(x)在R上递增：又f(x)=g(x)+1,故f(x)在R上单调递增 0 (2)由f(x)递增，f(k)<f(x2-x+1)对一切x成立，等价于k<x2- x+1对一切x成立. 配方：x2-x+1=(x-)2+子右端的最小值是在x=时取到.因等号 可以取到，故只需k<子答案k<是 注：单调性必须用赋值法写，不能写「认出f(x)=x+1故递增」，认模型只用 来验答案.与例3对照：那边的符号条件是f(x)>0,这边是f(x)>1,差的正是 平移量m=-1. 3.3二次函数模型 特征方程f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy.出现xy交叉项，原型是二次函数（本 例为f(x)=x2) 怎么来的：关键技巧是「配方消掉二次项，化归正比例模型」·令g(x)=f(x)一 x2,则g(x+y)=f(x+y)-(x+y)2,把(x+y)2=x2+2xy+y2代入展开后交 叉项恰好抵消，得gx+y)=g(x)+gy),即g为正比例型，故f(x)=x2+kx, 具体是谁由初始条件定， 奇偶性要先定k才能答.令y=-x得f(x)+f(-x)=2x2,右端不恒为零，所 以f不是奇函数；而f(-x)-f(x)=-2kx,只有k=0(即f(x)=x2)时才恒为 零，此时f是偶函数.结论：二次型的奇偶性由k决定，非奇非偶是常态一一这与 正比例（方程直接给出奇函数）、对数（方程直接给出偶函数）不同： 单调性也只能先在(0，+o)上说.作差得f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)+2x1(x2 x1),右端两项：第一项由符号条件保证为正，第二项因x1>0、x2-x1>0自动为 正，所以f在(0，+∞)上递增.若x1<0,第二项就变号一一这也是f(x)=x2在 R上不单调的原因 例5、已知定义在R上的连续函数f(x)对任意实数x,y都满足f(x+y)= f(x)+fy)+2xy,且当x>0时f(x)>0,f(1)=1. (1)求f(0)的值，并求f(x)的解析式： (2)判断f(x)的奇偶性，并证明f(x)在(0，+∞)上单调递增： (3)解不等式f(x-3)>f(x): 解：(1)令x=y=0,得f(0)=2f(0),故f(0)=0. 10 g(x)=f(x)-x2,g(x+y)=f(x)+f(y)+2xy-x2-2xy-y2= g(x)+gy),故g(x)=kx,即f(x)=x2+kx 由f(1)=1得k=0,故f(x)=x2 (2)由f(x)=x2得f(-x)=x2=f(x),故f(x)是偶函数： 单调性有两种写法.写法一直接由f(x)=x2看出； 写法二不依赖解析式，考场上更稳：任取0<x1<x2,则x2-x1>0,由题设 f(x2-x1)>0,又2x1(x2-x1)>0,而f(x2)=f(x1)+f(x2-x1)+2x1(x2 x1),故f(x2)-f(x1)>0,即f在(0，+∞)上单调递增 (3)代入f(x)=x2:(x-3)2>x2,展开得-6x+9>0,解得x<多，解集 为(-∞，) 另解（不展开，用偶性加单侧单调）：f(x)为偶函数且在(0，+∞)上递增，故 f(x-3)>f(x)等价于Ix-31>xl,平方后同解 这个「偶函数加单侧单调」的脱f(x)动作在第4节会反复用到 注：第(2)问有两处易错.一是奇偶性必须先把k定出来才能答，不能由方程 直接断言；二是单调性只在(0，+∞)上成立一一f(x)=x2在R上并不单调，凡选 项说「在R上递增」一律错 3.4指数函数模型 特征方程f(x+y)=f(x)fy).看到「自变量之和代入、右端可拆成乘积」，原 型是指数函数f(x)=ax, 怎么来的：先排除恒为零一一若存在xo使f(x)=0,则对任意x有f(x)= f(x-x)f(xo)=0,与题设矛盾，故f(x)不为零 令x=y=0得f(0)=f2(0),故f(0)=1; 取y=x得ff(-刘=1，即f(-)=高 又f(x)=fC⑤)f(⑨>0，故可令g(x)=mf(x),则g(x+y)=g(x)+g(y), 化归正比例模型，得g(x)=kx,即f(x)=ax,底数a=f(1)>0由初始条件定. 奇偶性是指数型的禁区.由f(-)=要它等于-f()需f(x)=-1,无 解：要它等于f(x)需f2(x)=1,即f(x)恒等于1一一那是常函数.所以除常函数 f(x)=1外，指数型既不奇也不偶，题目从不问它的奇偶性。 11 单调性照旧作差，只是「比什么」换了对象.由f(x)=f()f⑨>0己知f恒 正.任取x1<x2,则f(x2)-f(x1)=f(x1)f(x2-x1)-f(x1)=f(x1)f(x2-x1)- 1). 第一个因子f(x1)>0己定，符号全看f(x2-x1)-1,也就是「x>0时f(x) 与1谁大」·所以指数型的符号条件写成f(x)>1则增、0<f(x)<1则减，而不 是正比例型的f(x)>0.多出来的这个「减一」就是指数型的记号：作差提出公因式 f(x1)后，剩下的必然是f(x2-x1)-1. 例6、已知定义在R上的函数f(x)对任意实数x,y都满足f(x+y)= f(x)fy),且当x>0时f(x)>1,f(1)=2. (1)求f(0)的值，并说明f(x)既不是奇函数也不是偶函数： (2)证明f(x)在R上单调递增： (3)解不等式f(x2-3x)<f(4) 解：(1)若f(0)=0,则f(x)=f(x+0)=f(x)f(0)=0对任意x成立，f 恒为零，与x>0时f(x)>1矛盾，故f(0)不为零.令x=y=0得f(0)= f2(0),约去f(0)得f(0)=1. 令y=-x得1=f(0)=ff(-),即f(-x0= 若f为奇函数，则f(-x)=-f(x),代入得f2(x)=-1,无解： 若f为偶函数，则f(-x)=f(x),代入得f2(x)=1,即f恒为1或-1， 与f(1)=2矛盾.故f(x)既不是奇函数也不是偶函数 (2)由f(x)=f(分)f孕>0知f恒正 任取x1<x2,则x2-x1>0,由题设f(x2-1)>1,故f(x2-x1)-1>0. 而f(x2)-f(x1)=f(x1)f(x2-x1)-1)>0, 故f(x1)<f(x2),f在R上单调递增. (3)由f在R上递增，f(x2-3x)<f(4)等价于x2-3x<4, 即(x-4)(x+1)<0,解得-1<x<4,解集为(-1,4) 注：三个动作与正比例完全平行，求f(0)定常数、令y=-x探奇偶（这里探 出的是「不可能」)、作差定单调，差别只在符号条件从f(x)>0换成了f(x)>1. 认模型f(x)=2x可以三秒验完答案，卷面上仍要写这三步 12 3.5对数函数模型 特征方程f(y)=f(x)+fy)(定义域通常为x>0).看到「自变量之积代 入、右端可拆成和」，原型是对数函数f(x)=logax.若遇到定义域为 (-0,0)U(0,+0),则原型是f(x)=10gax|. 奇偶性的钥匙是第三条.只要定义域关于原点对称（如x≠0），在方程中令y= x,得f(x2)=2f(x),即f(x)=f(x2):再把x换成-x,右边的(-x)2=x2不 变，故f(-x)=f(-x)2)=f(x2)=f(x),所以f(x)是偶函数，原型是f(x)= logalxl.若定义域写成(0，+∞)，它不关于原点对称，奇偶性无从谈起一一判奇偶先看 定义域 单调性只能在(0，+∞)这半边证，另一边由偶性对称过去.动作是作商而不是作 差：任取0<x<x2,由2=x是得f)-f(x)=f学)，而>1，符号条 件「x>1时f(x)>0」立刻给出f(x2)>f(x1).对数方程里没有加法，f(x2)- f(x1)凑不出单个函数值，只能提出比值来」 例7、已知函数f(x)的定义域为{xx≠0，对任意非零实数x,y都有 f(xy)=f(x)+fy),且当x>1时f(x)>0. (1)判断f(x)的奇偶性，并证明； (2)证明f(x)在(0，+o∞)上单调递增： (3)若f(2)=1,求f(-2)、f(4)的值，并解不等式f(x2)>2. 解：(1)定义域x≠0关于原点对称，奇偶性有意义 在方程中令y=x,得f(x2)=2f(x),即f(x)=f(x2): 再把x换成-x,右边的(-x)2=x2不变，故f(-x)=f(-x)2)=f(x2)= f(x),所以f(x)是偶函数 (2)任取0<x<2:则号>1，由题设f学>0， 在方程中令x=xy=得f2)=fx)+f学)， 即f(x2)-f(x)=f)>0,故f)在(0，+∞)上单调递增， 与正比例模型对照：那边是f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)(作差拆成和)，这边是 f(x2)-f(x1)=f)(作商拆成积)·对数方程里只有乘法，硬凑f(x2-x1)是凑不 出来的 (3)由偶性f(-2)=f(2)=1;由f(4)=f(2)+f(2)=2f(2)=2. 因f(x)在(0，+o)上递增且为偶函数，f(x2)>f(4)等价于x2>4, 解得x<-2或x>2,解集为(-∞，-2)U(2,十o) 五个模型的共同动作：①认结构（和代入还是积代入、能否拆项、有无常数偏差 或交叉项)；②对上原型；③用一个初始条件定参数；④代入求值.认不出模型时，赋 值法（第4节）永远是保底通法 4、赋值法：抽象函数的奇偶性与单调性 4.1赋值法的固定动作 证明奇偶性的动作只有两个： ①求f(0):在方程中令x=y=0,可定出f(0)(奇函数要求f(0)=0,偶函 数常得f(0)=1). ②造出f(-x):令y=-x(或y=-1、x=0等)，把方程整理成只含f(x) 与f(-x)的关系式. 以f(x+y)=f(x)+f(y)为例：令y=-x得f(0)=f(x)+f(-x):再令 x=y=0得f(0)=0,故f(-x)=-f(x),是奇函数 以f(x+y)+f(x-y)=2f(x)fy)为例：令x=0得fy)+f(-y)= 2f(0)fy):再令x=y=0得2f(0)=2f2(0),由f(0)≠0得f(0)=1,故 fy)+f(-y)=2fy),即f(-y)=fy),是偶函数 证明单调性的动作只有一个：作差，再用方程把f(x2)-f(x1)写成一个函数值 设x1<x2,则f(x2)-f(x1)=f(x1+(x2-x1)-f(x1)=f(x2-x1).于是只 要知道x>0时f(x)的符号，符号就定了.这一步是全题的转折点一一把「两点函 数值之差」压缩成一个「单点函数值」· 指数型是第三种情形：作差后不是只剩一个函数值，而是f(x1)(f(x2一x1) 1)一一多出一个因子f(x1),它恒正，符号仍由f(x2-x1)-1决定.所以还是作 差，只是「跟谁比」从0换成了1（见3.4）. 4.2例题 例8、已知函数f(x)对任意实数x,y恒有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x> 0时f(x)<0,又f(1)=-2 (1)判断f(x)的奇偶性： 14 (2)求证：f(x)是R上的减函数； (3)若对一切实数x,不等式f(ax2)-2f(x)<f(x)+4恒成立，求实数a 的取值范围 解：(1)令x=y=0,得f(0)=f(0)+f(0),故f(0)=0. 令y=-x,得f(0)=f(x)+f(-x),即f(x)+f(-x)=0,故f(-x)= -f(x),f(x)为奇函数 (2)任取x1<x2,则x2-x1>0,由题设得f(x2-x1)<0. 而f(x2)=f(x1+(x2-x1)=f(x)+f(x2-1)<f(x1),故f(x)在R上单 调递减， (3)先化简左边.由f(x+y)=f(x)+f(y)得2f(x)=f(x)+f(x)=f(2x)、 f(-2x)=-f(2x), 故f(ax2)-2f(x)=f(ax2)-f(2x)=f(ax2)+f(-2x)=f(ax2-2x) 再化简右边.由f(1)=-2得f(2)=-4,故f(-2)=4,于是f(x)+4= f(x)+f(-2)=f(x-2) 原不等式化为f(ax2-2x)<f(x-2).因f在R上递减，等价于 ax2-2x>x-2,即ax2-3x+2>0对一切x∈R成立. 分两种情形： 当a=0时，不等式化为-3x+2>0,不可能对一切x成立，舍去. 当a≠0时，箭a>0且4=9-8a<0,解得a>号 综上，a>8 注：第(3)问有两处必扣分的地方.一是必须单独讨论α=0一一二次不等式恒 成立的前提是「二次项系数为正」，a=0时它根本不是二次不等式；二是△<0对 应的是「恒大于0]，若题目问「恒小于0」则应写△<0且a<0,符号不能混 特殊函数与压轴模型 这一部分收的是压轴选填最爱考的几类「有名字的函数」：狄利克雷函数考概念 辨析，max与min考图象的包络，高斯函数考取整不等式，类周期与倍缩考新定义 翻译.它们的共同点是先认清定义，题就做完一半 15 5、狄利克雷函数 5.1定义 函数D(x)满足：当x为有理数时D(x)=1;当x为无理数时D(x)=0,这 个函数以德国数学家狄利克雷命名 5.2五条性质 性质 结论 依据 定义域与值域 定义域R,值域{0,1 每个实数必为有理数或无理数，二者恰 居其一 奇偶性 偶函数 一x与x同为有理数或同为无理数， 故D(-x)=D(x) 周期性 任何非零有理数都是周期 x与x+T(T为有理数)同为有理或 同为无理 最小正周期 不存在 任意小的正有理数都是周期，故没有最 小的正周期 复合 D(D(x)=1恒成立 D(x)E{0,1}cQ,取值为有理数，故 再取一次得1 5.3图象 这个函数一般认为没有图象一一既画不出连续的曲线，也无法在纸上真正把点描 出来：任何区间内都既有有理数又有无理数，若强行意会，只能想成「直线y=1与 y=0上两排交错稠密的点」·做题时不靠图象，直接按对应法则取值即可. 5.4例题 例9、德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之 一，以其名命名的函数f(x)(x为有理数时取1，x为无理数时取0)称为狄利克雷 函数.关于f(x),下列说法正确的是() A.VxER,f(f(x))=1 B.函数f(x)是偶函数 C.任意一个非零有理数T,f(x+T)=f(x)对任意x∈R恒成立 D.存在三个点A(x1,f(x1),B(x2,f(x2),C(x3,f(x3),使得△ABC为等边三 角形 16 解：A正确.f(x)的取值只有0与1，都是有理数，故f(f(x)=f(1)=1 B正确.若x为有理数，则一x也为有理数，f(-x)=1=f(x):若x为无理 数，则-x也为无理数，f(-x)=0=f(x).故f为偶函数。 C正确.设x为有理数，则x+T为两个有理数之和，仍为有理数，两边都取 1;设x为无理数，则x+T为「无理数+有理数」，仍为无理数，两边都取0. 故恒成立， D正确.取A(-后0)，B(,0)C(0,1).因±后均为无理数，f)在A,B 处取0：0为有理数，f(x)在C处取1，三点确实都在图象上.又AB=后AC= BC-后+1-备三边相等，故△ABC为等边三角形 答案：ABCD 注：D项的构造思路是「底边放在y=0上、顶点放在y=1上」，这样底边 两个端点的横坐标必须是无理数、顶点的横坐标必须是有理数.等边三角形的高为1 时边长必须是后于是底边两端点取士言、顶点取中点0恰好满足一一三个横坐标 的有理、无理属性正好对得上 6、max函数与min函数 6.1定义 对两个函数g(x)、h(x): max{g(x),h(x)}表示在g(x)与h(x)中取较大的那个值；min{g(x),h(x)}表 示取较小的那个值.三个函数的情形同理，取三者中的最大或最小 6.2 两种写法 形式 表达式 用途 分段形式 max{g,h)在g≥h时取g, 分段讨论、求最值 在g<h时取h 绝对值形式 maxig,h)=gth lg-h 说明「max仍是函数」，也便于 2 放缩 mm的绝对值形式只需把中间的加号改成减号：ming,)=艺-9 17 6.3画法：取包络 max的图象就是「沿两图象取上方的点」，min的图象就是「沿两图象取下方的 点」，它们都在两条曲线的交点处换轨.所以做题顺序固定： ①联立g(x)=h(x)求交点横坐标； ②在交点划分的各段上，判断哪条曲线在上（或在下）； ③逐段取对应曲线，拼成图象； ④在拼好的图象上读最值， maxg,h:沿两图象取上方的点，最小值=4 ming,h:沿两图象取下方的点，最大值=4 (-2.40 g(x)-x2与h(x-x2+8:max取上方成W形，mim取下方成M形，交点处换轨 图4里两条抛物线的交点是（±2,4）.max的图象在交点处由「开口向下」换到 「开口向上」，所以结果是W形，最小值在交点处取到，为4：mi的图象在交点 处由「开口向上」换到「开口向下」，结果是M形，最大值也在交点处取到，为4. 6.4例题 例10、用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值.设f(x)= mim{2x,x+2,10-x}(x≥0)，则f(x)的最大值为() A.4B.5C.6D.7 解：在同一直角坐标系中先画两条直线y=x+2、y=10-x,再画指数曲线 y=2x(x≥0) 三条曲线两两的位置关系要定准：两条直线交于(4,6)： 由22=4=2+2知y=2x与y=x+2交于x=2,且x>2时2x>x+ 2;又x=2时22=4<10-2=8，x=3时23=8>10-3=7，故y=2x与 y=10-x的交点落在(2,3)内 18 按「取下方」的规则分段：在x=2左侧，最低的是2x:在x=2与x=4 之间，最低的是x+2:在x=4右侧，最低的是10一x. 4=x+2 、(4,6) (2,4) y=10-2x y=2 于是f(x)的图象从左到右依次由y=2x、y=x+2、y=10-x三段拼成， 在x=4处取到最大值f(4)=6. 答案：C. 注：三个函数的情形必须把三条曲线都画准，尤其是交点的相对位置.本题的换轨 点是x=2与x=4,最大值出现在右端的换轨点x=4处，而不是在某个函数的顶 点一一这是mim型题最容易找错位置的地方. 7、高斯函数、小数部分函数与符号函数 7.1高斯函数（取整函数） 函数y=[x]称为高斯函数，也叫取整函数，其中[x]表示不超过x的最大整 数.例如[2.62]=2，[π]=3，[-1.08]=-2. 注意[-1.08]=-2而不是-1一一「不超过」意味着取左边那个整数.这是本题 材第一大易错点 性质 内容 定义域与值域 定义域R,值域Z 单调性 不减函数：x1≤x2时[x1]≤x2] 平移 [x+n]=[x]+n(n∈Z) 相加 [x]+[y]≤[x+y≤[x]+[y+1 相乘(x,y>0) [xy]≥[x][y] 0 其中「相加」那条是判断取整不等式选项的总钥匙，用拆分法一眼可证：设[x]= m,[y]=n,x=m+a,y =n+B,a,BE[0,1),x+y=(m+n)+(a+ β)，而x+B∈[0,2)，取其整部分得m+n≤x+y]≤m+n+1,即[x]+y]≤ [x+y≤[x]+y]+1. 7.2小数部分函数 函数y={x)=x-[x]称为小数部分函数，值域为[0,1). 它的图象是「锯齿」：在每个[，k+1)上是一条从(k,0)到(k+1,1)的斜线 段，左端实心、右端空心.由[x+1]=[x]+1得{x+1={x,故最小正周期为1. y=[x]阶梯：每过整数跳1，右端空心、左端实心 1 34 2.621=2 3-2 123 0-2 -3 y={x}锯齿：周期1，值域[0,1) 1比 上：高斯函数的阶梯图象，每过整数跳1；下：小数部分函数的锯齿图象，周期为1 7.3符号函数 函数y=sgnx称为符号函数，定义为： 条件 函数值 x>0 1 x=0 0 x<0 -1 20 它的作用是把「正负零」三种状态一次取出，值域为{-1,0,1}，是奇函数，图象 是两条水平射线加原点处一个孤立点 sgnx 1 符号函数：值为1、1的两条水平射线，原点处单独一点取0 7.4例题 例11、设[x]表示不大于x的最大整数，则对任意实数x,y,有() A.[-x]=-[x] B.[2x]=2[x] C.[x+y]≤[x]+y] D.[x-y]≤[x]-y] 解：逐个判断，A、B、C都用反例否定 A:取x=1.5,则[-1.5]=-2，而-[1.5]=-1，不相等.错的根源是x度Z 时要再减1. B:取x=0.5,则[2x]=[1]=1,而2[x]=2×0=0,不相等， C:取x=y=0.6,则[x+y]=[1.2]=1,而[x]+[y]=0,故 [x+y]>[x]+y],方向反了. D:在性质表的「相加」一条中，把x换成x-y、y换成y,得 [x-y]+y]≤[x],移项即[x-y≤[x]-[y],对任意实数都成立. 答案：D 注：A项是「负数取整」的典型错误，把[-1.5]误当成-1：C项的错误在于把不 等号方向记反了一一和的取整不小于取整之和，这是「相加」那条性质的方向，务必 记牢 8、类周期函数与倍增函数 8.1三种模型 普通的周期函数是「每右移T个单位，图象原样重复」，把「原样重复」换成 「放大」或「抬高」，就得到下面三类： 21 类型 条件 图象的变化 倍增（纵向） 每右移m个单位，纵坐标变为原来 f(x+m)=kf(x),k>0 的k倍 倍增（横纵） f(mx)=kf(x),k>0, 横坐标每扩大为原来的m倍，纵坐 m>1 标变为k倍 类周期（抬高） f(x+m)=f(x)+k, 每右移m个单位，纵坐标上移k m>0 个单位 k>0时图象逐段抬高，k<0时逐段压低(k=0时为周期函数)一一所以这 类函数的图象不是简单重复，但每一段上的形状完全相同，只是整体平移，并没有被 伸缩。 每右移1个单位，纵坐标乘以2 x20 m≤ ×23 倍增：每右移1个单位纵坐标乘以2，各段形状相同、幅度倍增 g(x)=gx-1)+2;每右移1个单位，纵坐标上移2 5 3 右移1、上移2 +2 +0 类周期（抬高型）：每右移1个单位纵坐标上移2，各段整体抬升 3 8.2解题三步 ①定基准段：题目一定给出某个区间上的解析式，这是唯一的「模板」· ②写出第n段的解析式：若f(x+m)=kf(x),则在(xo+m,xo+(n+ 1)m]上，f(x)=knf(x-nm).这一步只做「平移+乘系数」. ③比较各段最值：求最值或数交点时，不必画出全部图象一一只要比较各段的最 值，看哪一段先触及临界值 最容易出错的是②：把f(x-m)写成f(x-n),或把系数kn写成k或km: 8.3例题 例12、设函数f(x)的定义域为R,满足f(x+1)=2f(x),且当xE(0,1] 时，f(x)=x(x-1).若对任意xE(-o,m,都有f(x)≥-8则m的取值范围是 () A(-o,3B.(-o,C.(-, 1D.(-∞，1 解：由f(x+1)=2f(x)知，图象每右移1个单位，纵坐标变为原来的2倍。 基准段是(0,1]上的f()=x(x-1),它在x=号处取最小值- 按8.2的②写出各段：在(k,k+1]上，f(x)=2(x-k)(x-k-1),其最小值 为-2·子即 k=0时为-子：k=1时为-：k=2时为-1：k=3时为-2. 可见-1<-号<-之故第k=2段（即(2,3）会跌破-号而左边的各段都 在这条线之上 在第k=2段上解4(x-2)(x-3)=-即(x-2)x-3)=- ,整理得 x2-5x+9=0,解得x=子或x=号 于是在(2，上仍有fx)之-，在(，)上fx)<-8要使xe(-∞，m上 恒有f)之-号必须m≤号 答案：B 注：本题的关键是先定出在哪一段跌破临界值.若只画到第二段就下结论，会误以 为临界值在第k=1段上取到，从而错选A.另外，各段最小值-是的绝对值依次翻 倍（即一子-是-1、-2），所以越往右越危险，临界段一定不在最左边 23 9、倍缩函数 9.1定义 设函数f(x)的定义域为D.若存在区间[a,b]sD,使f(x)在[a,b]上的值 域为[ma,mb](其中m∈(0,1])，则称f(x)为区间[a,b]上的「m倍缩函数」. m=1时值域就是[a,b]本身.此时若f递增，则a,b满足f(a)=a、f(b)= b(两个不动点)；若f递减，则f(a)=b、f(b)=a(两端互换)，不可混用 9.2翻译成方程 「倍缩」的实质是：区间长度按比例m缩短，即f在[α，b]上的振幅为 m(b-a),是原区间长度的m倍 f在[a,b]上的单调性 值域的写法 等价条件 单调递增 [f(a),f(b)] f(a)=ma且f(b)=mb 单调递减 [f(b),f(a)] f(b)=ma且f(a)=mb 两行的区别只在端点对应关系.递增时两个条件都能写成同一个方程f(x)= mx,于是问题化为「方程f(x)=mx有两个不等实根、且两根都在定义域内」；递 减时两条件不是同一个方程，必须把f(a)=mb、f(b)=ma联立求解.所以先判单 调性、再选对应那一行，是这类题不走弯路的前提， 值域=[B:区间长度减半 y=fx) y=I 区间[a,b 递增型倍缩：a、b是方程)产的两个不等实根，值域长度减半 24 9.3例题 例13、设函数f(x)的定义域为D,若存在[a,b]∈D,使f(x)在[a,b]上的 值域为ma,mb](其中m∈(0,1])，则称f(x)为区间[a,b]上的「m倍缩函数」· (1)证明：函数f)=x3为区间[-上的「子倍缩函数」： (2)若存在[a,b]cR,使函数f(x)=log2(2+t)为[a,b]上的「号倍缩函 数」，求实数t的取值范围 解：(1)f)=x3在R上单调递增，故在[引 上单调递增，其值域为 f()f()=[副 取m=京验证端点：×(》=-景×言即值域恰为层，到 故f)=x为区间[引上的是倍缩函数」 (2)因为u=2x+t在R上单调递增，y=log2u在(0，+∞)上单调递增， 所以f(x)在其定义域上单调递增 由9.2的表，f为[a,b]上的「号倍缩函数」等价于 f(a)=a且f(b)=b,且a<b 即a,b是方程log2(2x+t)=的两个不等实根 化简：2*+t=2克，即(2)-2+t=0 令z=2豆>0，则关于z的方程z2-z+t=0有两个不等的正实根，故 4=1-4t>0,且两根之和1>0、两根之积t>0,解得0<t<4 当0<t<4时，两个正根z1,22对应x=2log22,故f恒有意义. 所以t的取值范围是(o,) 注：第(2)问有三处关口.一是必须先判单调性才能用「f(a)=ma、f(b)= mb」，若f递减则两端点要交换；二是换元后要求「两个不等的正实根」，除了 △>0还必须补上t>0(保证两根之积为正)，漏了就多出一段t<0的错解：三 是最后要检验f在两根处有意义 25 9.4递减型：端点错位 递减时段点对应是反的：左端点α的函数值最大、要等于mb;右端点b的函 数值最小、要等于ma. 递减型倍缩：值域=[fb),a】=[ma,mb1,两端点错位对应 f(a)=mb mb f(b)=ma y-f(x) b 递减型倍缩：左端点的函数值对应mb、右端点对应ma,值域从ma到mb 两个条件f(a)=mb与f(b)=ma不是同一个方程，必须联立，通常用「两式 相减」或「两式相比」消去a,b,再看能否与a<b相容 处理递减型的固定流程： ①判断f在目标区间上是否真的递减（含参数的往往要先分段）： ②按表取递减那一行，写出f(a)=mb、f(b)=ma; ③联立两式，消元后与α<b对照，无解即「不存在」，有解再回代检验区间 是否落在递减段内 最常见的一类错误：不管单调性，一律去解f(x)=mx.这样得到的根只能对应 递增段，放到递减段上就张冠李戴了一一9.3的例13与下面的例14恰好构成对照 例14、给定常数k>0,以及关于x的函数f(x)=1- .是否存在实数a,b (a<b),使f(x)为区间[a,b]上的「1倍缩函数」？若存在，求出a,b;若不存 在，请说明理由 解：m=1时，「1倍缩」要求f在[a,b]上的值域就是[a,b]本身 先定区间位置.f(x)≥0恒成立，故值域[0，+oo),由[a,b]等于值域得a≥ 0.又f的定义域为(-oo,0)U(0,+oo),[a,b]不能跨过0，故 0<a<b. 再看单调性.在(0，+∞)上递减，故1-：在(0，+∞)上递增，零点在x=k. 于是 26 在(0，)上1-<0，fx)=-1,递减：在(k,+o)上1->0，f)= 1-递增 所以[α，b]与点k的位置关系决定一切，分三种情形. 情形一：a<k<b.此时x=k在区间内部，f(k)=0是最小值，值域含0.但 [a,b]中a>0,不含0，矛盾.故无解 情形二：0<a<b≤k.此时f在[a,b]上递减，值域为[f(b),f(a)].要求它 与[a,b]相等，得 fo)=a且fa)=b,即；-1=a,g-1=b 两式化为k=b(a+1)与k=a(b+1).相减得b(a+1)-a(b+1)=0,即 b-a=0,与a<b矛盾.故此时无解 情形三：k≤a<b.此时f在[a,b]上递增，值域为[f(a),f(b)].要求f(a)= a、f(b)=b,即a,b是方程1-=x 的两个不等实根，且两根都在[飞，+∞)内.该方程化为x2一x+k=0,它在 [k,+∞)上有两个不等实根的条件是：判别式4=1-4k>0、对称轴号>k、端点值 g(k)=k2≥0（恒成立），解得 0<k< 此时两根为x=秋，取 2 a=1-v ,b=1+-级 2 2 还需确认a≥k:记t=V1-4E(0,1),则k=,代入得a-k=≥ 0,成立 综上：当0<k<时存在，Q=1巫，b=14:当k≥：时不存在 注：本题的价值全在情形二与情形三的对照.情形二是递减段，两个条件错位，联 立后直接推出α=b,无解；情形三是递增段，两个条件同形，化为一个方程f(x)= x才有解.若一上来就解f(x)=x而不分段，会解出情形三的根并误当作通解，从而 漏掉「k<且区间必须落在k,+∞)内」这个限制.另外情形一必须单独排除 带绝对值的函数，只要区间内含内层函数的零点，最小值就恒为0，而[a,b]的下端 α>0、不含0，两者直接冲突，这一点不排掉就会得出错误结论， 27 抽象函数与压轴特殊函数——性质判定与模型归纳 抽象函数的性质 抽象函数题不给解析式，只给一个函数方程或一条对称、周期条件，看上去无处着手.但这类题的出口只有三个：把条件翻译成图象的对称性或周期性、用赋值法代出具体函数值、把结论落到图象上数交点.这一部分先把对称性与周期性的判定链立稳，再讲赋值法的模型. 1、对称性的判定 1.1　轴对称 对定义域内的任意 ，若恒有 ，则 的图象关于直线 对称. 画图来推：直线 是对称轴，说明图象上任意一点 关于这条轴的镜像 也落在图象上，且两点纵坐标相等. 取横坐标为 的点，它到轴 的距离是 ；镜像点在轴另一侧、等距处，横坐标就是 . 两点都在图象上且等高，故 把式中的 换成 （或直接令 ），则 换成 ，代入即得最常用的形式 回到一般式：条件 ，把式中的 换成 （或直接令 ），则 换成 ，参考上面的结论可知，对称轴为 . 1.2　中心对称 对定义域内的任意 ，若恒有 ，则 的图象关于点 对称. 画图来看：把图象绕点 旋转 180° 应与自身重合. 在图象上取横坐标为 的点 ，它关于点 的对称点是 . 旋转后两点重合，对称点必在图象上，故 ，即得 上式对任意 x 成立. 把 换成 ，左边得 ，右边仍为 ，于是最常用的形式 特别地，当 （中心落在 x 轴上，即关于点 对称）时，，亦即 、——这正是奇函数关于原点对称的推广. 1.3　复合形式： 是奇函数或偶函数 这是最容易判断错的一类. 处理它的正路是平移，而不是把 拆开硬算. 设 . 若 是偶函数，则 的图象关于 轴（即直线 ）对称，写成式子就是 . 令 ，则 ，于是 ——按 1.1，这是「 关于直线 对称」. 若 是奇函数，同法得 ——按 1.2，这是「 关于点 中心对称」. 结论可以合成一张表： 已知条件 令 后的等价写法 对 的结论 是偶函数 关于直线 轴对称 是奇函数 关于点 中心对称 右移 1 个单位后成奇函数，则原图象关于点 (1,0) 对称；成偶函数则关于直线 x=1 对称 从图上能看出「右移 1」这一步：先把 的图象右移 1 个单位，若得到的是奇函数图象，那么原图象必然关于点 对称. 遇到系数不为1的情形，例如 是奇函数，有两条路，结果一致： 路一（换元）：令 ，则 是奇函数就等价于 是奇函数，按上表得 关于点 对称. 路二（直接代定义）： 是奇函数即 . 令 ，则 ，得 ，仍是关于点 中心对称. 1.4　秒杀：擦数字定奇偶，取中点定坐标 对称性选填小题不必每次都换元平移，可以走一条更快的路——先把式子里的常数擦掉，看剩下结构像哪种奇偶函数，再把括号里的内容取中点. 口诀：擦数字定类型，取中点定位置. 第一步 擦数字定类型：把两个括号里的常数全当 0 擦去，只看骨架—— 是偶函数结构，说明原函数轴对称；（移项即 ）是奇函数结构，说明原函数中心对称. 第二步 取中点定横坐标：横坐标 = 两个括号里的内容相加除以 2. 不管 x 取什么，两括号之和恒为常数，这正是「两个自变量成对关于中点对称」的代数标志. 第三步 定纵坐标（只有中心对称需要）：把等式右边凑成 ，纵坐标就是 ；右边是 0 时，中心落在 x 轴上. 原式 擦掉数字后的结构 类型 横坐标 纵坐标 f(a+x)=f(b-x) f(x)=f(-x)，偶函数结构 轴对称 — f(a+x)+f(b-x)=2c f(x)+f(-x)=2c，奇函数结构 中心对称 c f(a+x)=-f(b-x) f(x)=-f(-x)，奇函数结构 中心对称 0 原理与边界：这条捷径不是玄学——擦数字后的奇偶结构，对应 1.1/1.2 中「平移后 g(x) 的奇偶性」，取中点算的就是平移量. 小题可以直接用它出答案；大题书写必须回到定义，写成 或 的形式. 前提只有一个：括号内 的系数互为相反数；若系数同号（如 ），那是周期而不是对称（见第 2 节），捷径不适用. 例 1、 定义在 R 上的函数 满足 对一切 x 成立，且 ，求 的值. 解：擦掉括号里的数字 1 与 3，得 ，是奇函数结构，故 f(x) 关于某点中心对称. 横坐标取中点：；右边 ，得 ，即对称中心为 . 因 0 与 4 关于 2 对称，故 . 1.5　易错点 错误写法 为什么错 正确结论 由 是偶函数得 关于 对称」 关于 轴对称的是 这个新函数，不是 本身 关于直线 对称 由 得「对称轴 或 」 两个自变量都要取中点 对称轴 中心对称时写成 漏了「和为常数」，这就变成轴对称了 2、周期性的推导 2.1　定义 一般地，对于函数 ，如果存在一个非零常数 ，使得当 取定义域内的每一个值时，都有 ，那么函数 就叫做周期函数，非零常数 叫做这个函数的周期. 如果在周期函数 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 的最小正周期. 2.2　迭代法：把 换成 再代一次 所有「由函数方程求周期」的题，动作只有一个——把条件里的 整体换成 ，再代回原式，反复几次直到右边回到 . 以 为例：令 换成 ，得 ；再把 代进去，得 . 故 . 其余常见模型照同一手法得到，直接记结果： 满足的条件 周期 说明 两个「 常数」相等 代两次负号抵消 道理同上，常数 不影响周期 代两次分式回原 代两次分子分母互换 见下方推导 连推三次出现相反数 对 补一步推导，体会「代三次」的过程： 第一次代换得 ，把 代入并化简： . 第二次代换得 . 故 . 2.3　对称推周期：同性两距离，异性四距离 这一组结论是压轴选填的高频入口，口诀记八个字：同性两距离，异性四距离. 「同性」指两个对称元素类型相同（都是对称轴，或都是对称中心），此时周期是两元素横坐标距离的 2 倍；「异性」指一轴一心搭配，此时周期是距离的 4 倍. 已知 周期 口诀定位 关于直线 与 都对称 同性（两轴） 关于点 与 都对称 同性（两心） 关于点 对称，又关于直线 对称 异性（一轴一心） 奇函数，且关于直线 对称 奇函数 = 关于 对称，与 成异性 偶函数，且关于点 对称 偶函数 = 关于 对称，与 成异性 偶函数，且关于直线 对称 两轴，同性 奇函数，且关于点 对称 两心，同性 三个推导都只用到 1.1 与 1.2 的等价写法，逐步推一遍： 两轴：由 ，把 换成 得 ；而 ，故 ，即 . 两心：由 ，把 换成 得 ，代回得 ，故 （两心需对称中心纵坐标相同，不同推不出来周期）. 一轴一心：由 ，又 ，故 . 再代一次得 ，故 . 2.4　判定链：一句话分清周期与对称 括号内 的符号决定「周期还是对称」，函数值的关系决定「轴对称还是中心对称」： 关系式 括号内 的符号 函数值的关系 结论 相反 相等 轴对称 相反 和为常数 中心对称 相同 相等 周期 相同 和为 周期 一句话总结：异号看对称，同号看周期；值相等是轴，和为常数是心. 2.5　例题 例2、已知 是定义在 上的偶函数，且 ，当 时，，则 ______. 解：先定周期. 条件 里括号内 的符号相同，按表 2.2 得 . 再把 化到已知区间上. 由 得 . 不在 内，令. 而 ，代入得 . 所以 . 注：两步都容易漏. 第一步漏了「同号 → 周期」而去解 ，就会卡住；第二步忘了用题干条件把化到 ，无从代入. 3、常考的抽象函数模型 抽象函数题有一个经典问法：不给解析式，只给一个函数方程，问 可能是什么函数，或让你直接求值. 出路是认模型——五个高频原型：正比例、一次、二次、指数、对数. 认出原型，抽象方程瞬间变成具体函数. 本节对每个原型给出「怎么来的」推导，各配一道例题；五个模型的例题都按证明题的要求写全，奇偶性、单调性分别用什么动作，逐句可以照抄. 模型 特征方程 原型函数 识别标志 正比例 f(x+y)=f(x)+f(y) f(x)=kx 和代入、可拆成和、无常数偏差 一次 f(x+y)=f(x)+f(y)+m f(x)=kx-m 可拆项但带常数偏差 二次 f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy f(x)=x²+kx 出现 xy 交叉项 指数 f(x+y)=f(x)f(y) f(x)=aˣ 和代入、可拆成积 对数 f(xy)=f(x)+f(y) f(x)=logₐx（x>0） 积代入、可拆成和 3.1　正比例函数模型 特征方程 . 只要看到「自变量之和代入、右端可拆成两项之和」，先想 . 怎么来的：令 得 ，故 ； 令 得 ，故 ，是奇函数； 再令 得 ，反复使用可得 （n 为正整数）. 满足方程且足够规则（连续或单调）的函数只能是 ，其中 ——原型就是正比例函数. 到这里奇偶性已经证完，靠的就是「令 」，把 与 塞进同一个方程. 单调性却证不出来：方程只保证 可加，是增是减由开头的符号条件说了算（ 时 则增， 则减）. 这也解释了为什么凡是要证单调性的题，题干一定额外给一个比较大小的条件. 例 3、 已知定义在 上的函数 对任意实数 都满足 ，且当 时 ，. （1）求 、 的值，并证明 为奇函数； （2）证明 在 上单调递增； （3）解不等式 . 解：（1）令 ，得 ，故 ； 再令 ，得 ，故 . 令 ，得 ，即 ， 故 ， 为奇函数. （2）任取 ，则 ，由题设 . 而 ， 故 ， 在 上单调递增. 全题只有两手：先用奇函数把 换成 ，再用方程把 合成 . 奇偶性在这里是单调性的台阶，不是附加的一问. （3）由 在 上递增， 等价于 ， 即 ，解得 或 ，解集为 . 注：求 这类值可直接认模型 秒得；但证明单调性、解不等式的解答题，认模型只能用来猜方向、验答案，卷面上必须写赋值证明. 与第 4 节例 8 对照：同一个方程，符号条件反过来，单调性就反过来，脱 时不等号的方向也随之相反. 3.2　一次函数模型 特征方程 （m 为非零常数）. 与正比例相比多了常数偏差，原型是一次函数 . 奇偶性、单调性都寄在 身上. 一次型的奇偶性由 决定：由 得 ，右端不为零，故不可能是奇函数；而 只在 时恒为零（此时 退化为常数函数，是偶函数），故 不为零时一次型非奇非偶. 单调性与正比例同步，作差后 ，符号仍由「 时 的正负」决定；而 ，所以题目给的往往是 的符号条件（如 时 ，等价于 ）. 例 4、 已知定义在 上的函数 对任意实数 都满足 ，且当 时 ，. （1）求 的值，并证明 在 上单调递增； （2）若 对一切实数 恒成立，求实数 的取值范围. 解：（1）令 ，得 ，故 . 令 ，则 ，且 ，回到正比例模型. 任取 ，则 ，由题设 ， 故 . 而 ， 故 在 上递增；又 ，故 在 上单调递增. （2）由 递增， 对一切 成立，等价于 对一切 成立. 配方：，右端的最小值是 ，在 时取到. 因等号可以取到，故只需 ，答案 . 注：单调性必须用赋值法写，不能写「认出 故递增」，认模型只用来验答案. 与例 3 对照：那边的符号条件是 ，这边是 ，差的正是平移量 . 3.3　二次函数模型 特征方程 . 出现 交叉项，原型是二次函数（本例为 ）. 怎么来的：关键技巧是「配方消掉二次项，化归正比例模型」. 令 ，则 ，把 代入展开后交叉项恰好抵消，得 ，即 为正比例型，故 ，具体是谁由初始条件定. 奇偶性要先定 才能答. 令 得 ，右端不恒为零，所以 不是奇函数；而 ，只有 （即 ）时才恒为零，此时 是偶函数. 结论：二次型的奇偶性由 决定，非奇非偶是常态——这与正比例（方程直接给出奇函数）、对数（方程直接给出偶函数）不同. 单调性也只能先在 上说. 作差得 ，右端两项：第一项由符号条件保证为正，第二项因 、 自动为正，所以 在 上递增. 若 ，第二项就变号——这也是 在 上不单调的原因. 例 5、 已知定义在 上的连续函数 对任意实数 都满足 ，且当 时 ，. （1）求 的值，并求 的解析式； （2）判断 的奇偶性，并证明 在 上单调递增； （3）解不等式 . 解：（1）令 ，得 ，故 . 令 ，则 ，故 ，即 . 由 得 ，故 . （2）由 得 ，故 是偶函数； 单调性有两种写法. 写法一直接由 看出； 写法二不依赖解析式，考场上更稳：任取 ，则 ，由题设 ，又 ，而 ，故 ，即 在 上单调递增. （3）代入 ：，展开得 ，解得 ，解集为 . 另解（不展开，用偶性加单侧单调）： 为偶函数且在 上递增，故 等价于 ，平方后同解. 这个「偶函数加单侧单调」的脱 动作在第 4 节会反复用到. 注：第（2）问有两处易错. 一是奇偶性必须先把 定出来才能答，不能由方程直接断言；二是单调性只在 上成立—— 在 上并不单调，凡选项说「在 上递增」一律错. 3.4　指数函数模型 特征方程 . 看到「自变量之和代入、右端可拆成乘积」，原型是指数函数 . 怎么来的：先排除恒为零——若存在 使 ，则对任意 有 ，与题设矛盾，故 不为零. 令 得 ，故 ； 取 得 ，即 . 又 ，故可令 ，则 ，化归正比例模型，得 ，即 ，底数 由初始条件定. 奇偶性是指数型的禁区. 由 ，要它等于 需 ，无解；要它等于 需 ，即 恒等于 ——那是常函数. 所以除常函数 外，指数型既不奇也不偶，题目从不问它的奇偶性. 单调性照旧作差，只是「比什么」换了对象. 由 已知 恒正. 任取 ，则 . 第一个因子 已定，符号全看 ，也就是「 时 与 谁大」. 所以指数型的符号条件写成 则增、 则减，而不是正比例型的 . 多出来的这个「减一」就是指数型的记号：作差提出公因式 后，剩下的必然是 . 例 6、 已知定义在 上的函数 对任意实数 都满足 ，且当 时 ，. （1）求 的值，并说明 既不是奇函数也不是偶函数； （2）证明 在 上单调递增； （3）解不等式 . 解：（1）若 ，则 对任意 成立， 恒为零，与 时 矛盾，故 不为零. 令 得 ，约去 得 . 令 得 ，即 . 若 为奇函数，则 ，代入得 ，无解； 若 为偶函数，则 ，代入得 ，即 恒为 或 ，与 矛盾. 故 既不是奇函数也不是偶函数. （2）由 知 恒正. 任取 ，则 ，由题设 ，故 . 而 ， 故 ， 在 上单调递增. （3）由 在 上递增， 等价于 ， 即 ，解得 ，解集为 . 注：三个动作与正比例完全平行，求 定常数、令 探奇偶（这里探出的是「不可能」）、作差定单调，差别只在符号条件从 换成了 . 认模型 可以三秒验完答案，卷面上仍要写这三步. 3.5　对数函数模型 特征方程 （定义域通常为 ）. 看到「自变量之积代入、右端可拆成和」，原型是对数函数 .若遇到定义域为，则原型是. 奇偶性的钥匙是第三条. 只要定义域关于原点对称（如 ），在方程中令 ，得 ，即 ；再把 换成 ，右边的 不变，故 ，所以 是偶函数，原型是 . 若定义域写成 ，它不关于原点对称，奇偶性无从谈起——判奇偶先看定义域. 单调性只能在 这半边证，另一边由偶性对称过去. 动作是作商而不是作差：任取 ，由 得 ，而 ，符号条件「 时 」立刻给出 . 对数方程里没有加法， 凑不出单个函数值，只能提出比值来. 例 7、 已知函数 的定义域为 ，对任意非零实数 都有 ，且当 时 . （1）判断 的奇偶性，并证明； （2）证明 在 上单调递增； （3）若 ，求 、 的值，并解不等式 . 解：（1）定义域 关于原点对称，奇偶性有意义. 在方程中令 ，得 ，即 ； 再把 换成 ，右边的 不变，故 ，所以 是偶函数. （2）任取 ，则 ，由题设 . 在方程中令 、，得 ， 即 ，故 在 上单调递增. 与正比例模型对照：那边是 （作差拆成和），这边是 （作商拆成积）. 对数方程里只有乘法，硬凑 是凑不出来的. （3）由偶性 ；由 . 因 在 上递增且为偶函数， 等价于 ， 解得 或 ，解集为 . 五个模型的共同动作：①认结构（和代入还是积代入、能否拆项、有无常数偏差或交叉项）；②对上原型；③用一个初始条件定参数；④代入求值. 认不出模型时，赋值法（第 4 节）永远是保底通法. 4、赋值法：抽象函数的奇偶性与单调性 4.1　赋值法的固定动作 证明奇偶性的动作只有两个： ① 求 ：在方程中令 ，可定出 （奇函数要求 ，偶函数常得 ）. ② 造出 ：令 （或 、 等），把方程整理成只含 与 的关系式. 以 为例：令 得 ；再令 得 ，故 ，是奇函数. 以 为例：令 得 ；再令 得 ，由 得 ，故 ，即 ，是偶函数. 证明单调性的动作只有一个：作差，再用方程把 写成一个函数值. 设 ，则 . 于是只要知道 时 的符号，符号就定了. 这一步是全题的转折点——把「两点函数值之差」压缩成一个「单点函数值」. 指数型是第三种情形：作差后不是只剩一个函数值，而是 ——多出一个因子 ，它恒正，符号仍由 决定. 所以还是作差，只是「跟谁比」从 换成了 （见 3.4）. 4.2　例题 例 8、 已知函数 对任意实数 恒有 ，且当 时 ，又 . （1）判断 的奇偶性； （2）求证： 是 上的减函数； （3）若对一切实数 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围. 解：（1）令 ，得 ，故 . 令 ，得 ，即 ，故 ， 为奇函数. （2）任取 ，则 ，由题设得 . 而 ，故 在 上单调递减. （3）先化简左边. 由 得 、， 故. 再化简右边. 由 得 ，故 ，于是 . 原不等式化为 . 因 在 上递减，等价于 ，即 对一切 成立. 分两种情形： 当 时，不等式化为 ，不可能对一切 成立，舍去. 当 时，需 且 ，解得 . 综上，. 注：第（3）问有两处必扣分的地方. 一是必须单独讨论 ——二次不等式恒成立的前提是「二次项系数为正」， 时它根本不是二次不等式；二是 对应的是「恒大于 」，若题目问「恒小于 」则应写 且 ，符号不能混. 特殊函数与压轴模型 这一部分收的是压轴选填最爱考的几类「有名字的函数」：狄利克雷函数考概念辨析， 与 考图象的包络，高斯函数考取整不等式，类周期与倍缩考新定义翻译. 它们的共同点是先认清定义，题就做完一半. 5、狄利克雷函数 5.1　定义 函数 满足：当 为有理数时 ；当 为无理数时 ,这个函数以德国数学家狄利克雷命名. 5.2　五条性质 性质 结论 依据 定义域与值域 定义域 ，值域 每个实数必为有理数或无理数，二者恰居其一 奇偶性 偶函数 与 同为有理数或同为无理数，故 周期性 任何非零有理数都是周期 与 （ 为有理数）同为有理或同为无理 最小正周期 不存在 任意小的正有理数都是周期，故没有最小的正周期 复合 恒成立 ，取值为有理数，故再取一次得 5.3　图象 这个函数一般认为没有图象——既画不出连续的曲线，也无法在纸上真正把点描出来：任何区间内都既有有理数又有无理数，若强行意会，只能想成「直线 与 上两排交错稠密的点」. 做题时不靠图象，直接按对应法则取值即可. 5.4　例题 例 9、 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其名命名的函数 （ 为有理数时取 ， 为无理数时取 ）称为狄利克雷函数. 关于 ，下列说法正确的是（　） A. ， B. 函数 是偶函数 C. 任意一个非零有理数 ， 对任意 恒成立 D. 存在三个点 ，，，使得 为等边三角形 解：A 正确. 的取值只有 与 ，都是有理数，故 . B 正确. 若 为有理数，则 也为有理数，；若 为无理数，则 也为无理数，. 故 为偶函数. C 正确. 设 为有理数，则 为两个有理数之和，仍为有理数，两边都取 ；设 为无理数，则 为「无理数 + 有理数」，仍为无理数，两边都取 . 故恒成立. D 正确. 取 ，，. 因 均为无理数， 在 处取 ； 为有理数， 在 处取 ，三点确实都在图象上. 又 ，，三边相等，故 为等边三角形. 答案：ABCD. 注：D 项的构造思路是「底边放在 上、顶点放在 上」，这样底边两个端点的横坐标必须是无理数、顶点的横坐标必须是有理数. 等边三角形的高为 时边长必须是 ，于是底边两端点取 、顶点取中点 恰好满足——三个横坐标的有理、无理属性正好对得上. 6、 函数与 函数 6.1　定义 对两个函数 、： 表示在 与 中取较大的那个值； 表示取较小的那个值. 三个函数的情形同理，取三者中的最大或最小. 6.2　两种写法 形式 表达式 用途 分段形式 在 时取 ，在 时取 分段讨论、求最值 绝对值形式 说明「 仍是函数」，也便于放缩 的绝对值形式只需把中间的加号改成减号：. 6.3　画法：取包络 的图象就是「沿两图象取上方的点」， 的图象就是「沿两图象取下方的点」，它们都在两条曲线的交点处换轨. 所以做题顺序固定： ① 联立 求交点横坐标； ② 在交点划分的各段上，判断哪条曲线在上（或在下）； ③ 逐段取对应曲线，拼成图象； ④ 在拼好的图象上读最值. 　g(x)=x² 与 h(x)=-x²+8：max 取上方成 W 形，min 取下方成 M 形，交点处换轨 图 4 里两条抛物线的交点是 . 的图象在交点处由「开口向下」换到「开口向上」，所以结果是 W 形，最小值在交点处取到，为 ； 的图象在交点处由「开口向上」换到「开口向下」，结果是 M 形，最大值也在交点处取到，为 . 6.4　例题 例 10、用 表示 三个数中的最小值. 设 （），则 的最大值为（　） A. 4　　B. 5　　C. 6　　D. 7 解：在同一直角坐标系中先画两条直线 、，再画指数曲线 （）. 三条曲线两两的位置关系要定准：两条直线交于 ； 由 知 与 交于 ，且 时 ；又 时 ， 时 ，故 与 的交点落在 内. 按「取下方」的规则分段：在 左侧，最低的是 ；在 与 之间，最低的是 ；在 右侧，最低的是 . 于是 的图象从左到右依次由 、、 三段拼成，在 处取到最大值 . 答案：C. 注：三个函数的情形必须把三条曲线都画准，尤其是交点的相对位置. 本题的换轨点是 与 ，最大值出现在右端的换轨点 处，而不是在某个函数的顶点——这是 型题最容易找错位置的地方. 7、高斯函数、小数部分函数与符号函数 7.1　高斯函数（取整函数） 函数 称为高斯函数，也叫取整函数，其中 表示不超过 的最大整数. 例如 ，，. 注意 而不是 ——「不超过」意味着取左边那个整数. 这是本题材第一大易错点. 性质 内容 定义域与值域 定义域 ，值域 单调性 不减函数： 时 平移 （） 相加 相乘（） 其中「相加」那条是判断取整不等式选项的总钥匙，用拆分法一眼可证：设 ，，则 ，，，故 ，而 ，取其整部分得 ，即 . 7.2　小数部分函数 函数 称为小数部分函数，值域为 . 它的图象是「锯齿」：在每个 上是一条从 到 的斜线段，左端实心、右端空心. 由 得 ，故最小正周期为 . 上：高斯函数的阶梯图象，每过整数跳 1；下：小数部分函数的锯齿图象，周期为 1 7.3　符号函数 函数 称为符号函数，定义为： 条件 函数值 它的作用是把「正负零」三种状态一次取出，值域为 ，是奇函数，图象是两条水平射线加原点处一个孤立点. 符号函数：值为 1、-1 的两条水平射线，原点处单独一点取 0 7.4　例题 例 11、设 表示不大于 的最大整数，则对任意实数 ，有（　） A. 　　 B. 　　 C. 　　 D. 解：逐个判断，A、B、C 都用反例否定. A：取 ，则 ，而 ，不相等. 错的根源是 时要再减 . B：取 ，则 ，而 ，不相等. C：取 ，则 ，而 ，故 ，方向反了. D：在性质表的「相加」一条中，把 换成 、 换成 ，得 ，移项即 ，对任意实数都成立. 答案：D. 注：A 项是「负数取整」的典型错误，把[-1.5]误当成 ；C 项的错误在于把不等号方向记反了——和的取整不小于取整之和，这是「相加」那条性质的方向，务必记牢. 8、类周期函数与倍增函数 8.1　三种模型 普通的周期函数是「每右移 个单位，图象原样重复」. 把「原样重复」换成「放大」或「抬高」，就得到下面三类： 类型 条件 图象的变化 倍增（纵向） ， 每右移 个单位，纵坐标变为原来的 倍 倍增（横纵） ，， 横坐标每扩大为原来的 倍，纵坐标变为 倍 类周期（抬高） ， 每右移 个单位，纵坐标上移 个单位 时图象逐段抬高， 时逐段压低（ 时为周期函数）——所以这类函数的图象不是简单重复，但每一段上的形状完全相同，只是整体平移，并没有被伸缩. 倍增：每右移 1 个单位纵坐标乘以 2，各段形状相同、幅度倍增 类周期（抬高型）：每右移 1 个单位纵坐标上移 2，各段整体抬升 8.2　解题三步 ① 定基准段：题目一定给出某个区间上的解析式，这是唯一的「模板」. ② 写出第 段的解析式：若 ，则在 上，. 这一步只做「平移 + 乘系数」. ③ 比较各段最值：求最值或数交点时，不必画出全部图象——只要比较各段的最值，看哪一段先触及临界值. 最容易出错的是②：把 写成 ，或把系数 写成 或 . 8.3　例题 例 12、设函数 的定义域为 ，满足 ，且当 时，. 若对任意 ，都有 ，则 的取值范围是（　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 解：由 知，图象每右移 个单位，纵坐标变为原来的 倍. 基准段是 上的 ，它在 处取最小值 . 按 8.2 的②写出各段：在 上，，其最小值为 ，即 时为 ； 时为 ； 时为 ； 时为 . 可见 ，故第 段（即 ）会跌破 ，而左边的各段都在这条线之上. 在第 段上解 ，即 ，整理得 ，解得 或 . 于是在 上仍有 ，在 上 . 要使 上恒有 ，必须 . 答案：B. 注：本题的关键是先定出在哪一段跌破临界值. 若只画到第二段就下结论，会误以为临界值在第 段上取到，从而错选 A. 另外，各段最小值 的绝对值依次翻倍（即 、、、），所以越往右越危险，临界段一定不在最左边. 9、倍缩函数 9.1　定义 设函数 的定义域为 . 若存在区间 ，使 在 上的值域为 （其中 ），则称 为区间 上的「 倍缩函数」. 时值域就是 本身. 此时若 递增，则 满足 、（两个不动点）；若 递减，则 、（两端互换），不可混用. 9.2　翻译成方程 「倍缩」的实质是：区间长度按比例 缩短，即 在 上的振幅为 ，是原区间长度的 倍. 在 上的单调性 值域的写法 等价条件 单调递增 且 单调递减 且 两行的区别只在端点对应关系. 递增时两个条件都能写成同一个方程 ，于是问题化为「方程 有两个不等实根、且两根都在定义域内」；递减时两条件不是同一个方程，必须把 、 联立求解. 所以先判单调性、再选对应那一行，是这类题不走弯路的前提. 递增型倍缩：a、b 是方程 f(x)= 的两个不等实根，值域长度减半 9.3　例题 例 13、设函数 的定义域为 ，若存在 ，使 在 上的值域为 （其中 ），则称 为区间 上的「 倍缩函数」. （1）证明：函数 为区间 上的「 倍缩函数」； （2）若存在 ，使函数 为 上的「 倍缩函数」，求实数 的取值范围. 解：（1） 在 上单调递增，故在 上单调递增，其值域为 . 取 ，验证端点：，，即值域恰为 . 故 为区间 上的「 倍缩函数」. （2）因为 在 上单调递增， 在 上单调递增，所以 在其定义域上单调递增. 由 9.2 的表， 为 上的「 倍缩函数」等价于 且 ，且 . 即 是方程 的两个不等实根. 化简：，即 . 令 ，则关于 的方程 有两个不等的正实根，故 ，且两根之和 、两根之积 ，解得 . 当 时，两个正根 对应 ，故 恒有意义. 所以 的取值范围是 . 注：第（2）问有三处关口. 一是必须先判单调性才能用「、」，若 递减则两端点要交换；二是换元后要求「两个不等的正实根」，除了 还必须补上 （保证两根之积为正），漏了就多出一段 的错解；三是最后要检验 在两根处有意义. 9.4　递减型：端点错位 递减时段点对应是反的：左端点 的函数值最大、要等于 ；右端点 的函数值最小、要等于 . 递减型倍缩：左端点的函数值对应 mb、右端点对应 ma，值域从 ma 到 mb 两个条件 与 不是同一个方程，必须联立，通常用「两式相减」或「两式相比」消去 ，再看能否与 相容. 处理递减型的固定流程： ① 判断 在目标区间上是否真的递减（含参数的往往要先分段）； ② 按表取递减那一行，写出 、； ③ 联立两式，消元后与 对照，无解即「不存在」，有解再回代检验区间是否落在递减段内. 最常见的一类错误：不管单调性，一律去解 . 这样得到的根只能对应递增段，放到递减段上就张冠李戴了——9.3 的例 13 与下面的例 14 恰好构成对照. 例 14、给定常数 ，以及关于 的函数 . 是否存在实数 （），使 为区间 上的「 倍缩函数」？若存在，求出 ；若不存在，请说明理由. 解： 时，「 倍缩」要求 在 上的值域就是 本身. 先定区间位置. 恒成立，故值域 ，由 等于值域得 . 又 的定义域为 ， 不能跨过 ，故 . 再看单调性. 在 上递减，故 在 上递增，零点在 . 于是 在 上 ，，递减；在 上 ，，递增. 所以 与点 的位置关系决定一切，分三种情形. 情形一：. 此时 在区间内部， 是最小值，值域含 . 但 中 ，不含 ，矛盾. 故无解. 情形二：. 此时 在 上递减，值域为 . 要求它与 相等，得 且 ，即 ，. 两式化为 与 . 相减得 ，即 ，与 矛盾. 故此时无解. 情形三：. 此时 在 上递增，值域为 . 要求 、，即 是方程 的两个不等实根，且两根都在 内. 该方程化为 ，它在 上有两个不等实根的条件是：判别式 、对称轴 、端点值 （恒成立），解得 . 此时两根为 ，取 ，. 还需确认 ：记 ，则 ，代入得 ，成立. 综上：当 时存在，，；当 时不存在. 注：本题的价值全在情形二与情形三的对照. 情形二是递减段，两个条件错位，联立后直接推出 ，无解；情形三是递增段，两个条件同形，化为一个方程 才有解. 若一上来就解 而不分段，会解出情形三的根并误当作通解，从而漏掉「 且区间必须落在 内」这个限制. 另外情形一必须单独排除——带绝对值的函数，只要区间内含内层函数的零点，最小值就恒为 ，而 的下端 、不含 ，两者直接冲突，这一点不排掉就会得出错误结论. 1 学科网（北京）股份有限公司 $