专题01 空间直线与平面（知识&考点&公式&13高频&4易错&3重难&4模型，期中知识清单）高二数学上学期沪教版

专题01 空间直线与平面 目 录 识记类 思维导图 知识清单(6类) 考点清单(5类) 公式清单(8类) 辨析清单(6类) 题型类 高频题型清单(13类) 易错题型清单(4类) 重难题型清单(3类) 答题类 解题模型清单(4类) 答题技巧清单 知识点01 平面及其基本性质 1.平面 （1）平面的概念 与平面几何中的点与直线一样,平面也是一个从实际生活中抽象出来的数学概念. （2）平面的表示方法 平面通常用一个小写希腊字母表示,如平面等,有时也可以用一个或多个大写英文字母表示,如平面M、平面等.为了叙述方便,我们一般用大写的英文字母等表示点,用小写的英文字母等表示直线, （3）平面的画法 习惯上,我们用一个平行四边形来表示平面.当平面是水平放置时,通常把这个平行四边形的锐角画成45°左右，且横边长约为邻边长的2倍;当平面是竖直放置时,通常将平行四边形的一边画成竖向.如果一个平面被另一个平面遮挡住,应将被遮挡的部分画成虚线，以增强立体感,如图 2.点与直线、点与平面的位置关系 （1）点与直线、点与平面的位置关系的三种表示 位置关系 符号表示 图形表示 点与直线 点在直线上,也称直 线经过点 点不在直线上，也称 直线不经过点 点与平面 点在平面上,也称平 面经过点 点不在平面上,也称 平面不经过点 （2）公理 1 文字语言表示 符号表示 图形表示 如果一条直线上有两 点在一个平面上，那 么这条直线上所有的 点都在这个平面上 （3）公理2及其推论 文字语言表示 符号表示 图形表示 公理2 不在同一直线上的三点确定 一个平面 、、 三点不共线 有且只有一个平面 ，使 ， 推论1 一条直线和这条直线外的一点确定一个平面 存在唯一的平面 ，使得 ， 推论2 两条相交直线确定一个平面 存在唯一的平面 ，使得 推论3 两条平行直线确定一个平面 存在唯一的平面 ，使得 ， 3.平面与平面之间的位置关系 （1）平面与平面之间的位置关系的两种表示 位置关系 文字语言表示 符号表示 图形表示 相交 平面a与平面β相交于一条公共直线 平行 平面a与平面β没有公共点 或 （2）公理 3 文字语言表示 符号表示 图形表示 如果两个不同的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 4.斜二测画法 斜二测画法是一种常用的工程制图方法,通过将物体投影到斜平面上进行绘制,可以更清晰地表现物体的形状和结构.斜二测画法是人为规定的,并没有计算原理.在画法中,垂直于轴的线段倾斜 45°且长度要减半等规定，只是为了让人能对平面图形产生更好的立体感,从而达到作图目的.斜二测画法是作空间几何直观图的一种有效方法,是空间几何直观图的画法基础 （1）用斜二测画法画空间图形直观图的方法与步骤 ①画轴:在已知平面图形中取互相垂直的轴和轴,两轴相交于点〇,建立直角坐标系.在画直观图时,画出对应的 '轴和 轴,两轴相交于点 O' ,且使 ②画线:已知图形中平行于轴或轴的线段,在直观图中分别画成平行于轴或轴的线段,已知图形中平行于轴的线段,在直观图中保持原长度不变,平行于轴的线段,长度为原来的一半,对于一般线段,要在原来的图形中从线段的两个端点引垂线,再按上述要求画出这些垂线,确定端点，从而画出线段. ③擦去辅助线:图画好后,要擦去辅助线, （2）画空间几何体直观图的方法与步骤 ①画轴:与平面图形的直观图画法相比多了一个轴,直观图中与之对应的是轴 ②画底面:平面表示水平平面,平面表示竖直平面 ③画侧棱:已知图形中平行于轴(或在轴上)的线段,在其直观图中平行性和长度都不变 ④成图:去掉辅助线,将被遮挡的部分改为虚线 知识点02直线与直线的位置关系 1.公理 4 文字语言表示 符号表示 图形表示 平行于同一条直线的 两条直线互相平行 若 ，且 ，则 2.等角定理及其推论 （1）等角定理 文字语言表示 符号表示 图形表示 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等 在 与 中， ，且方向相同， （2）等角定理的两个推论 文字语言表示 符号表示 图形表示 推论1 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补 在中或 推论2 如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或 直角)相等 则 3.空间四边形 由空间不共面四点首尾相接所成的四边形叫做空间四边形 知识点03 异面直线 1.异面直线 （1）定义 不同在任何一个平面上的两条直线叫做异面直线 （2）画法(通常用平面衬托) 2.异面直线判定定理 （1）定理 过平面外一点与平面上一点的直线,和此平面上不经过该点的任何一条直线都是异面直线 （2）图形语言 3.两条异面直线所成的角 （1）定义 两条异面直线平移到相交位置时所得到的锐角或直角，称为这两条异面直线所成的角. （2）范围 两条异面直线所成的角的范围是 知识点04 直线与平面的位置关系 1.直线与平面的位置关系 （1）直线与平面的位置关系 位置关系 公共点个数 图形语言 符号语言 直线在平面上 有无数个公共点 直线和平面相交 只有一个公共点 直线和平面平行 没有公共点 2.直线与平面平行及其判定 （1）直线与平面平行的定义按照直线与平面的公共点的个数来划分了空间直线与平面的位置关系,其中,当直线与平面没有公共点时,我们说直线与平面平行. （2）直线与平面平行的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 如果不在平面上的一条直线与这个平面上的一条直线平行，那么该直线与这个平面平行 直线 不在平面 上｝ 3.直线与平面平行的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 如果一条直线与一个平面平 行,过这条直线的一个平面与此平面相交,那么其交线必与该直线平行 、、 ｝ 4.直线与平面垂直的有关概念 定义 如果一条直线与平面上的任意一条直线都垂直,就说这条直线与这个平面互相垂直 记法 有关概念 直线叫做平面的垂线(或者法线),与的交点叫做垂足，平面叫做直线的垂面 图示 画直线与平面垂直的示意图时,通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直 5.直线与平面垂直的判定定理 文字语言 如果一条直线与一个平面上的两条相交直线都垂直,那么此直线与该平面垂直 图形语言 符号语言 作用 证明线面垂直的主要工具 6.直线与平面垂直的性质定理 文字语言 垂直于同一个平面的两条直线互相平行 符号语言 图形语言 →揭示了“平行”与“垂直”之间的内在联系 作用 ①线面垂直→线线平行;②作平行线 7.点、直线与平面的距离 过平面外任意给定的一点M,有且只有一条直线与平面垂直,从而把点 M与垂足N之间的距离叫做点 M 到平面的距离,如图1.利用线面平行和线面垂直的性质定理可以证明，如果一条直线平行于一个平面。,那么直线l上任意两点到平面的距离都相等,从而就可以把直线上一点M到平面的距离定义为直线到与它平行的平面的距离,如图2. 8.直线与平面所成的角 （1）有关概念及定义 ①斜线:一条直线和一个平面虽然相交,但不与这个平面垂直,称之为斜交、如图1,此时直线称为平面的斜线,②斜足:直线与平面的交点A称为斜足 ③投影:如图2,在直线上任取一个不同于斜足的点P,过点 P作平面α的垂线,垂足记为 0.连接 OA,直线 OA 叫做斜线在平面a上的投影(也称射影).线段PA的投影是线段 OA. ④斜线与平面所成的角的定义:平面的一条斜线和它在平面上的投影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角 （2）范围 ①约定:如果一条直线垂直于平面,我们说它们所成的角是直角;如果一条直线和平面平行或在该平面上,就说二者所成的角是 0°的角 ②范围：直线与平面所成的角 的取值范围是 或 ．特别地，平面的斜线与该平面所成角的范围是 ． 9.三垂线定理 （1）定理 平面上的一条直线和这个平面的一条斜线垂直的充要条件是它和这条斜线在平面上的投影垂直 （2）定理中的三种垂直关系 关系 线面垂直 线射垂直 线斜垂直 文字语言 直线与平面垂直 平面内的直线和 平面一条斜线的 射影垂直 平面内的直线和 平面的一条斜线 垂直 图形语言 符号语言 10.外心、内心与垂心 （1）是所在平面外一点，若点到三个顶点的距离相等，则点在平面ABC上的射影是的外心． （2）是所在平面外一点，若点到三边的距离相等，则点在平面ABC上的射影0是的内心． （3）是所在平面外一点，若点PA、PB、PC两两垂直，则点在平面ABC上的射影是的垂心． 知识点05 平面与平面的位置关系 1.两个平面的位置关系 位置关系 图形语言 符号语言 公共点个数 两平面平行 0个 两平面相交 无数个(共线) 2.两个平面平行的判定定理 文字语言 如果一个平面上的两条相交直线与另一个平面平行,那么这两个平面平行 符号语言 图形语言 简记 若线面平行,则面面平行 3.两个平面平行的性质定理 文字语言 两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行 符号语言 图形语言 作用 判断空间中直线与直线平行的重要依据 简记 若面面平行,则线线平行. 知识点06 异面直线的距离 1.异面直线公垂线定理 （1）内容：对于任意给定的两条异面直线，存在唯一的一条直线与这两条直线都垂直并且相交。 （2）公垂线 与两条异面直线都垂直且相交的直线称为这两条异面直线的公垂线。 （3）公垂线段 公垂线的两个垂足之间的线段称为异面直线的公垂线段。 （4）两条异面直线的距离 两条异面直线的公垂线段的长度叫做两条异面直线的距离。 考点01 空间点、线、面的基本事实与推论 考点内容：平面的3条基本事实；确定平面的3个推论；点、直线、平面的符号表示；三点共线、三线共点、四点共面的判定；异面直线的定义与判定。 常见考法： ①判断命题真假，重点辨析"三点确定一个平面"（必须不共线）； ②证明四点共面、三线共点，用基本事实完成逻辑推导； ③识别异面直线，区分异面、相交、平行三种位置关系； ④用符号语言书写点、线、面的位置关系。 考点02 空间线线、线面、面面的位置关系 考点内容：线线：平行、相交、异面；线面：平行、相交、直线在平面内；面面：平行、相交；平行与垂直的判定定理、性质定理；线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的互推关系。 常见考法： ①选择题判断平行、垂直命题正误，排查遗漏前提（如直线在平面内）； ②解答题证明线线平行、线面平行、面面平行； ③解答题证明线线垂直、线面垂直、面面垂直； ④利用性质定理进行平行与垂直的相互转化。 考点03 空间角：线线角、线面角、二面角 考点内容：异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的定义；三类角的取值范围；几何法找角；向量法利用方向向量、法向量计算夹角。 常见考法： ①几何作图：作出异面直线角、线面角、二面角的平面角； ②向量建系，代入夹角公式求角度大小； ③已知角度反求线段长度、动点坐标； ④判断二面角为锐角或钝角，确定余弦值正负。 考点04 空间距离：点点、点线、点面、线面、面面距离 考点内容：点点距离；点到直线距离；点到平面距离公式；线面距离、面面距离（仅适用于平行情形）；异面直线距离；向量法求距离。 常见考法： ①直接用点面距离公式求解，是高频大题考点； ②将线面距离、面面距离转化为点到平面距离； ③结合等体积法求垂线段长度，求解点面距离； ④求解异面直线之间的距离。 考点05 空间立体几何存在性与探索问题 考点内容：假设动点存在，设参数，结合平行、垂直、角度、距离条件列方程；根据方程解的存在性判定点是否存在；限定动点在棱、线段上，控制参数范围。 常见考法： ①是否存在点使得线面平行、面面垂直； ②是否存在点满足指定线面角、二面角； ③是否存在点满足指定距离条件； ④求出动点位置，写出参数取值并验证合理性。 序号 名称 公式（几何语言） 说明 1 向量数量积 用于计算向量夹角，垂直等价条件： 2 异面直线夹角 ， 为两条直线的方向向量，必须加绝对值 3 线面角公式 ， 为直线方向向量，为平面法向量 4 二面角公式 为两个平面法向量，正负由二面角锐钝决定 5 点到平面距离 为平面内任一点，为平面外点，结果非负 6 两点间距离 空间两点坐标代入，计算向量模长 7 向量平行条件 坐标对应成比例，分母为0时对应分子也为0 8 向量垂直条件 数量积等于0，无需考虑比例关系 辨析01区分"异面直线"与"不共面直线" 空间两条直线只有共面（平行、相交）和异面两类；"没有公共点"仅能推出平行或异面，平行直线是共面直线，异面直线永远无公共点且不平行，不能把无交点直接等同于异面直线。 辨析02区分线面平行的前提条件 成立的前提是；若直线在平面内，即便直线与平面内某条直线平行，也不能判定线面平行；很多错题会漏掉"直线在平面外"这一关键条件。 辨析03区分"线面垂直"与"线线垂直" 一条直线垂直平面，必然垂直平面内所有直线；但一条直线垂直平面内一条直线，不能推出线面垂直；必须垂直平面内两条相交直线，"相交"这个条件不能替换成两条平行线。 辨析04区分二面角与法向量夹角 两个平面法向量的夹角，不一定等于二面角；二面角可以是锐角或钝角，法向量夹角可能互补，必须观察几何体图形，再确定余弦值取正还是取负，不能直接照搬向量夹角结果。 辨析05区分线面角与向量夹角 直线方向向量与平面法向量的夹角，并不是线面角；线面角满足，很多同学误写成，公式极易记混。 辨析06区分平行前提下的距离转化 只有直线与平面平行、两个平面互相平行时，才能把线面距离、面面距离转化为点面距离；若二者相交，不存在线面距离与面面距离，不能强行套用点面距离公式。 【题型一】空间中的点（线）共面问题 例1．如图，在四棱锥中，，，，是的中点，分别在上，且．证明：四点共面； 变式1-1．在长方体中，直线与平面的交点为M，O为线段的中点，则下列结论不正确的是（   ） A．三点共线 B．M，O，，A四点共面 C．B，，O，M四点共面 D．A，O，C，M四点共面 变式1-2．给出下列说法： ①不共面的四点中，任意三点不共线； ②和同一条直线相交的两条直线在同一平面内； ③三条两两相交的直线在同一平面内； ④有三个不同公共点的两个平面重合；⑤依次首尾相接的四条线段不一定共面．其中正确的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式1-3．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，为的中点，为的中点．证明：点在平面内． 【题型二】斜二测画法中有关量的计算 例2．如图，矩形是由斜二测画法得到的水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，则原图形面积为________． 变式2-1．如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中，，则平面四边形的周长为______．    变式2-2．如图，一个水平放置的直角梯形由斜二测画法得到的直观图是等腰梯形，其中，，则原梯形中长度为__________. 变式2-3．如图，是用斜二测画法得到的直观图，其中，则直线与直线所成的夹角大小是______． 【题型三】异面直线问题 例3．如图，在直三棱柱中，，，分别为，的中点，则异面直线与所成角的大小为（     ） A． B． C． D． 变式3-1．已知正方体，下列直线与所成角为的是（   ） A． B． C． D． 变式3-2．已知四面体满足，，则直线与直线所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 变式3-3．如图，在空间四边形中，，分别是棱，的中点，对角线，，求异面直线与所成角的大小． 【题型四】证明线面平行 例4．如图，在直三棱柱中，，，是棱上一点（不包含端点），是的中点.若是的中点，求证：平面. 变式4-1．如图，在正方体中，点G，E，F，P分别为棱，，，的中点，点M是棱上的一点，且，求证：平面. 变式4-2．如图，在正方体中，分别是、的中点． (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的大小． 变式4-3．如图，等腰梯形中，， ，，垂足为，将沿翻折，得到四棱锥.在四棱锥中，点，分别在线段，上，且.    (1)若，求直线BC与直线PA所成角的余弦值. (2)求证：平面. 【题型五】证明线面垂直 例5．如图，已知矩形所在的平面，分别为的中点，，，． (1)求直线与平面所成角大小； (2)求证：平面． 变式5-1．在正方形中，、分别是、的中点，是的中点．现在沿、及把这个正方形折起，使、、三点重合，重合后的点记为，那么（     ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 变式5-2．已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为，的中点，D为棱上的点，． (1)证明：平面； (2)证明：； 变式5-3．如图，在直三棱柱中，，、分别是棱、上的点（点不在的端点处），且，为的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面． 【题型六】求点面距离 例6．如图，在长方体中，，. (1)证明：平面. (2)求点到平面的距离. 变式6-1．已知点A和点B到平面的距离分别为3和1，则线段AB的中点M到平面的距离是__________． 变式6-2．如图，已知P是平面ABC外一点，PA⊥平面ABC． (1)若AC⊥BC，证明：BC⊥PC； (2)若AB=AC=BC=PA=，求点A到平面PBC的距离． 变式6-3．如图，四边形是圆柱的轴截面，点在底面圆上，，点是线段的中点. (1)证明：平面； (2)若直线与圆柱底面所成角为，求点到平面的距离. 【题型七】线面垂直证明线线垂直 例7．如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，，平面平面 (1)求证：； (2)在线段上是否存在点，使得？说明理由． 变式7-1．《九章算术·商功》记载：“斜解立方，得两堑堵；斜解堑堵，其一为阳马，其一为鳖臑．”其中，“阳马”特指底面为矩形，且一条侧棱垂直于底面的四棱锥（即直四棱锥）．今有一阳马如图所示，其中平面，，若与所成角的余弦值为，则（    ）. A． B． C． D． 变式7-2．如图，在三棱锥中，平面平面.求证； 变式7-3．是矩形平面外一点，分别是的中点，    (1)求证：平面， (2)若SD⊥平面，求证：⊥. 【题型八】线面角问题 例8．如图所示正方体中，与平面所成角的大小是______. 变式8-1．在三棱锥中，底面，，，，为平面内一点，且，则直线与底面所成角的正弦值为（     ） A． B． C． D． 变式8-2．在直四棱柱中，底面是菱形，边长为1，，，为的中点． (1)证明：； (2)求与面所成角的余弦值． 变式8-3．《九章算术》中有这样一段话：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”，这里所谓的“阳马”，就是底面是矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，四棱锥为阳马，底面，，，，分别为，的中点． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的大小． 【题型九】证明面面平行 例9．在正方体中，E为的中点． (1)求证：平面AEC； (2)取中点F，求证：平面平面． 变式9-1．如图，在边长为的正方体中，点分别在，上，，求证：平面平面． 变式9-2．如图，在边长为3的正方体中，点，分别在，上，，求证： (1)直线与直线异面； (2)平面平面. 变式9-3．如图，在矩形中，分别为上的点，，将矩形沿折起，使点落在的位置，落在的位置，得到四边形，已知不在平面上． (1)证明：四点共面； (2)证明：平面平面． 【题型十】二面角问题 例10．如图，在菱形中，，，将沿翻折至，连接，． (1)证明：； (2)若二面角的大小为，求的长． 变式10-1．在长方体中，，，，则二面角的大小为______． 变式10-2．如图，三棱锥中，，，为的中点，于点，连接，则二面角的大小为______． 变式10-3．如图，是三棱锥的高，，，，为中点． (1)证明：平面； (2)若，求平面与平面的夹角的余弦值． 【题型十一】证明面面垂直 例11．如图，四边形是圆柱的轴截面，是底面圆周上异于，的一点，则下列各组四棱锥的表面中，不满足互相垂直的一组是（    ） A．平面与平面 B．平面与平面 C．平面与平面 D．平面与平面 变式11-1．如图，已知垂直于正方形所在的平面，连接、、，、，则一定互相垂直的平面有（    ） A．8对 B．7对 C．6对 D．5对 变式11-2．如图，在五面体中，⊥平面，，，，点为中点．求证：平面平面； 变式11-3．如图所示，在四棱锥中，底面是正方形，是正方形的中心，底面，是的中点．    (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； 【题型十二】面面垂直证线面垂直 例12．如图，在三棱柱中，平面平面，，，，D为AB的中点.求证：； 变式12-1．如图，已知三棱台的高为为的中点，，平面平面.求证：平面； 变式12-2．如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD为梯形，，平面平面PBC. (1)若平面PBC与平面PAD相交于直线，求证：； (2)求证：. 变式12-3．如图，矩形所在平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于、的点． (1)证明：平面平面； (2)若是线段的中点，求证：平面． 【题型十三】求异面直线的距离 例13．如图，正方体的棱长为1，则异面直线与的距离为（    ）    A． B． C． D． 变式13-1．正方体的棱长为2，则异面直线AC与的距离是_________． 变式13-2．正四面体的棱长为2，点分别在棱上，则线段长度的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 变式13-3．如图，在空间四边形ABCD中，，，二面角的平面角等于120°.求直线AC与BD之间的距离. 【题型一】混淆线面平行的判定定理与性质定理 判定定理是由线线平行推导线面平行，条件为直线在平面外；性质定理是由线面平行推导线线平行，需要作辅助平面得到交线。做题不要颠倒推导方向，证明线面平行不能直接拿线面平行去证线线平行，同时不能忽略直线在平面外这个前提条件。 例1．如图，在正方体中，M，N分别是，的中点. (1)求证：平面； (2)若在棱上有一点P，满足平面，请你求出的值. 变式1-1．已知四棱锥的底面是平行四边形，E为的中点，F在上，平面，则________． 变式1-2．如图，四棱锥中，底面为梯形，，，，点在棱上. (1)当为的中点时，求证：平面； (2)若平面，求的值. 变式1-3．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，分别是的中点. (1)求证：平面； (2)在上取一点（不与重合），设过点和的平面交平面于，求证：. 【题型二】运用线面垂直判定定理，遗漏"两条相交直线"条件 证明线面垂直，直线必须垂直平面内两条相交直线。如果仅垂直平面内两条互相平行的直线，是无法证明线面垂直的。选择题常以此设置陷阱，大题书写步骤中，务必写明两条直线相交这一关键条件，不能省略。 例2．如图，的外接圆⊙O的半径为，所在的平面，，，，且，． (1)求证：平面BCDE； (2)求几何体ABCDE的体积． 变式2-1．如图，四棱柱中，底面四边形为菱形，，，，点E在线段上． (1)证明：平面； (2)当为何值时，平面，并写出其证明过程． 变式2-2．已知四棱锥的底面为矩形，平面，为的中点，平面平面． (1)求证：平面； (2)求证：平面． 变式2-3．如图，四棱锥中，平面，，，，分别为线段，的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面． 【题型三】运用面面平行判定定理，遗漏"两条相交直线"条件 证明两个平面平行，需要一个平面内两条相交直线同时平行于另一个平面。仅一个平面内两条平行直线平行另一平面，不能推出面面平行。答题时必须标注两直线相交，避免因为缺少条件造成逻辑推导错误。 例3．如图是四棱锥的平面展开图，其中四边形为正方形，点，，，分别为，，，的中点，则在原四棱锥中，不正确的是（   ） A．平面平面 B．平面 C．平面 D．平面平面 变式3-1．如图是正方体的平面展开图．在这个正方体中， ①与平行；②与垂直；③与平面平行；④平面与平面平行．以上四个命题中，正确命题的序号是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 变式3-2．如图，在正方体中，点分别为棱的中点，点是棱上的一点，且． (1)求证：平面； (2)已知点是棱上的一点，且，求证：平面平面． 变式3-3．如图，正三角形和平行四边形在同一个平面内，AB，DE的中点分别为F，G.将沿直线AB翻折到，设CE的中点为H.求证：平面平面. 【题型四】使用面面垂直性质定理，忽略寻找交线直接套用 面面垂直的性质定理，只有在一个平面内垂直于两平面交线的直线，才垂直另一个平面。很多同学直接在平面内随便取一条直线就判定垂直另一平面，忽略交线条件。解题要先找出交线，再验证直线与交线垂直。 例4．如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，侧面ADP是正三角形，侧面ADP⊥底面ABCD，M是DP的中点．证明：平面CDP．    变式4-1．在三棱锥中，平面平面，平面平面，，，则下列错误的是（ ） A． B．点到平面的距离为 C．平面 D．平面平面 变式4-2．如图，在三棱锥中，平面平面，和都是边长为2的正三角形． (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 变式4-3．如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，平面平面，，，E为PD的中点． (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值． 【题型一】平行垂直证明的综合 例1．如图所示，在四棱锥中，底面，四边形是直角梯形，，，，是的中点. (1)求证：平面平面 (2)求二面角的余弦值. (3)点在直线上，且平面，求出的长. 变式1-1．如图，在正三棱柱中，点分别是的中点，下列结论正确的个数是（   ）    ①平面；②；③平面；④与相交 A．1 B．2 C．3 D．4 变式1-2．如图，已知直三棱柱中，为等腰直角三角形，，且，，，分别为，，的中点． (1)求证：∥平面； (2)求证：平面． 变式1-3．如图，在四棱锥中，平面ABCD，，. (1)求证：平面平面PAC； (2)设M是PA上任意一点，证明：； (3)设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得平面CEF？并说明理由. 【题型二】平行、垂直的存在性问题 例2．如图，在四棱锥中，底面是且边长为的菱形，侧面为正三角形，且其所在平面垂直于底面． (1)求证：； (2)若为边的中点，则能否在棱上找到一点，使平面平面？并证明你的结论． 变式2-1．已知直角梯形中，，，，，，为的中点，，如图，将四边形沿向上翻折，使得平面平面．在上是否存在一点，使得平面？ 变式2-2．四棱锥的底面是边长为1的正方形，如图所示，点是棱上一点，，若且满足平面，则______. 变式2-3．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，侧面底面，M是的中点．    (1)求证：平面； (2)在棱上是否存在点N使平面平面成立？如果存在，求出；如果不存在，说明理由． 【题型三】线面角、二面角的存在性问题 例3．如图，在四棱柱中，各棱长均为1，，. (1)求证：； (2)求点到平面的距离； (3)侧棱上是否存在一点E，使得与平面所成角的正弦值为?若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由， 变式3-1．如图，已知三棱台中，平面平面，是以为直角顶点的等腰直角三角形，且. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的大小； (3)在线段上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在，求出线段的长，若不存在，请说明理由. 变式3-2．已知在长方形中，，点是的中点，沿折起平面，使平面平面. (1)求证：在四棱锥中，； (2)在线段上是否存在点，使二面角的余弦值为？若存在，找出点的位置；若不存在，请说明理由. 变式3-3．如图，三棱锥的体积为，，，为的中点 (1)求证：平面平面 (2)线段上是否存在点使得与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 模型01线面平行证明模型 ①在平面内寻找一条直线，证明该直线与已知直线平行，可借助中位线、平行四边形、比例线段证明线线平行； ②写明已知直线在平面外，找到的直线在平面内； ③套用线面平行判定定理：平面外一条直线与平面内一条直线平行，则直线平行于平面； ④整理条件，得出直线的结论。 例1．如图，在四棱台中，上、下底面均为正方形，底面，，，，点为棱的中点.    求证：平面； 变式1-1．如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，分别为CD，PA的中点.证明：平面PBC； 变式1-2．如图，在四棱锥中，，，是的中点．求证：平面； 变式1-3．金刚石也被称作钻石，是天然存在的最硬的物质，可以用来切割玻璃，也用作钻探机的钻头．河南某实业集团股份有限公司是国内人造金刚石的排头兵，人造金刚石年生产能力达15亿克拉，是国内同行业第一，世界第三金刚石生产基地．金刚石呈现如图所示的“正八面体”外形．正八面体由八个全等的等边三角形围成，且对角面（如）都是正方形．证明：平面；    模型02线面垂直证明模型 ①在平面内找出两条相交直线，标记出两直线的交点； ②结合勾股定理、等腰三角形三线合一、面面垂直性质等，证明已知直线分别垂直这两条相交直线； ③确认两条直线属于该平面且二者相交，补齐定理全部条件； ④根据线面垂直判定定理，推出这条直线垂直于该平面。 例2．如图，在正四棱柱中，，，为线段中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面. 变式2-1．如图，三棱柱中，为正三角形，侧棱垂直于底面，为中点，则下列说法不正确的是（   ） A．与不垂直 B．平面 C．平面 D． 变式2-2．在正四棱台中，E，F分别为，的中点，则不正确的是（   ） A． B． C．平面 D．平面 变式2-3．如图，在五面体中，四边形是正方形，平面， ，. (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)证明:平面. 模型03求二面角大小模型 ①定位二面角的棱，在棱上选取合适的点； ②分别在两个半平面内，过棱上该点作棱的两条垂线，两条垂线形成的角就是二面角的平面角； ③在构造出的平面角所在三角形中，利用勾股、余弦定理计算平面角大小； ④判断平面角属于锐角还是钝角，写出二面角最终结果。 例3．如图，在三棱锥中，，，，平面平面，则二面角的正切值的最小值为__________. 变式3-1．已知圆锥的顶点为S，O为底面圆心，母线SA，SB互相垂直且的面积为3，直线SA与圆锥底面所成角为，则二面角的大小为（   ） A． B． C． D． 变式3-2．如图，长方体中，是边长为1的正方形，与平面所成的角为，则直线与直线的夹角余弦值为__________：二面角的平面角的正切值为__________. 变式3-3．如图，在圆柱中，是底面圆的一条直径，和是两条母线，是底面圆上异于的一点，是线段的中点． (1)求证：直线平面； (2)若，求二面角的大小． 模型04点到平面距离求解模型 ①将所求点作为三棱锥的顶点，平面内的三角形作为三棱锥的底面； ②换底，选取容易算出面积的面当作底面，求出三棱锥的体积； ③利用三棱锥体积公式，变形得到高； ④计算底面三角形面积，代入公式求出高，即为点到平面的距离。 例4．如图，在三棱锥中，，，，，求点到平面的距离. 变式4-1．如图，在正四棱台中，． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离． 变式4-2．如图，在直三棱柱中，，，D，E分别为，的中点．    (1)证明：平面； (2)设，求直线到平面的距离． 变式4-3．如图，在直三棱柱中，是上的点，且平面. (1)求证：平面； (2)若，求点到平面的距离. 技巧 一句话要点 共面证明 证明四点共面优先用两条相交/平行直线确定平面，再证其余点落在平面内，紧扣基本事实 平行证明 线线平行→线面平行→面面平行，正向推导；证明线面平行务必写明直线不在平面内 垂直证明 证线面垂直，一定要找到平面内两条相交直线与已知直线垂直，"相交"二字不能省略 建系技巧 优先选取三条两两垂直的棱建空间直角坐标系，保证坐标轴两两垂直，减少坐标计算错误 求平面法向量 待定系数法列方程组，自由变量直接赋值为1，快速求出一个法向量即可，不用化简为单位向量 求空间角 异面角、线面角一律加绝对值，只保留锐角；二面角看图定正负，不盲目套用公式 距离计算 所有距离公式都要带绝对值，结果一定是非负数；平行距离统一转为点到平面距离计算 存在性问题 先假设点存在，设动点坐标参数，列式求解；有合理解则存在，无解则不存在，最后带回验证 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 空间直线与平面 目 录 识记类 思维导图 知识清单(6类) 考点清单(5类) 公式清单(8类) 辨析清单(6类) 题型类 高频题型清单(13类) 易错题型清单(4类) 重难题型清单(3类) 答题类 解题模型清单(4类) 答题技巧清单 知识点01 平面及其基本性质 1.平面 （1）平面的概念 与平面几何中的点与直线一样,平面也是一个从实际生活中抽象出来的数学概念. （2）平面的表示方法 平面通常用一个小写希腊字母表示,如平面等,有时也可以用一个或多个大写英文字母表示,如平面M、平面等.为了叙述方便,我们一般用大写的英文字母等表示点,用小写的英文字母等表示直线, （3）平面的画法 习惯上,我们用一个平行四边形来表示平面.当平面是水平放置时,通常把这个平行四边形的锐角画成45°左右，且横边长约为邻边长的2倍;当平面是竖直放置时,通常将平行四边形的一边画成竖向.如果一个平面被另一个平面遮挡住,应将被遮挡的部分画成虚线，以增强立体感,如图 2.点与直线、点与平面的位置关系 （1）点与直线、点与平面的位置关系的三种表示 位置关系 符号表示 图形表示 点与直线 点在直线上,也称直 线经过点 点不在直线上，也称 直线不经过点 点与平面 点在平面上,也称平 面经过点 点不在平面上,也称 平面不经过点 （2）公理 1 文字语言表示 符号表示 图形表示 如果一条直线上有两 点在一个平面上，那 么这条直线上所有的 点都在这个平面上 （3）公理2及其推论 文字语言表示 符号表示 图形表示 公理2 不在同一直线上的三点确定 一个平面 、、 三点不共线 有且只有一个平面 ，使 ， 推论1 一条直线和这条直线外的一点确定一个平面 存在唯一的平面 ，使得 ， 推论2 两条相交直线确定一个平面 存在唯一的平面 ，使得 推论3 两条平行直线确定一个平面 存在唯一的平面 ，使得 ， 3.平面与平面之间的位置关系 （1）平面与平面之间的位置关系的两种表示 位置关系 文字语言表示 符号表示 图形表示 相交 平面a与平面β相交于一条公共直线 平行 平面a与平面β没有公共点 或 （2）公理 3 文字语言表示 符号表示 图形表示 如果两个不同的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 4.斜二测画法 斜二测画法是一种常用的工程制图方法,通过将物体投影到斜平面上进行绘制,可以更清晰地表现物体的形状和结构.斜二测画法是人为规定的,并没有计算原理.在画法中,垂直于轴的线段倾斜 45°且长度要减半等规定，只是为了让人能对平面图形产生更好的立体感,从而达到作图目的.斜二测画法是作空间几何直观图的一种有效方法,是空间几何直观图的画法基础 （1）用斜二测画法画空间图形直观图的方法与步骤 ①画轴:在已知平面图形中取互相垂直的轴和轴,两轴相交于点〇,建立直角坐标系.在画直观图时,画出对应的 '轴和 轴,两轴相交于点 O' ,且使 ②画线:已知图形中平行于轴或轴的线段,在直观图中分别画成平行于轴或轴的线段,已知图形中平行于轴的线段,在直观图中保持原长度不变,平行于轴的线段,长度为原来的一半,对于一般线段,要在原来的图形中从线段的两个端点引垂线,再按上述要求画出这些垂线,确定端点，从而画出线段. ③擦去辅助线:图画好后,要擦去辅助线, （2）画空间几何体直观图的方法与步骤 ①画轴:与平面图形的直观图画法相比多了一个轴,直观图中与之对应的是轴 ②画底面:平面表示水平平面,平面表示竖直平面 ③画侧棱:已知图形中平行于轴(或在轴上)的线段,在其直观图中平行性和长度都不变 ④成图:去掉辅助线,将被遮挡的部分改为虚线 知识点02直线与直线的位置关系 1.公理 4 文字语言表示 符号表示 图形表示 平行于同一条直线的 两条直线互相平行 若 ，且 ，则 2.等角定理及其推论 （1）等角定理 文字语言表示 符号表示 图形表示 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等 在 与 中， ，且方向相同， （2）等角定理的两个推论 文字语言表示 符号表示 图形表示 推论1 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补 在中或 推论2 如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或 直角)相等 则 3.空间四边形 由空间不共面四点首尾相接所成的四边形叫做空间四边形 知识点03 异面直线 1.异面直线 （1）定义 不同在任何一个平面上的两条直线叫做异面直线 （2）画法(通常用平面衬托) 2.异面直线判定定理 （1）定理 过平面外一点与平面上一点的直线,和此平面上不经过该点的任何一条直线都是异面直线 （2）图形语言 3.两条异面直线所成的角 （1）定义 两条异面直线平移到相交位置时所得到的锐角或直角，称为这两条异面直线所成的角. （2）范围 两条异面直线所成的角的范围是 知识点04 直线与平面的位置关系 1.直线与平面的位置关系 （1）直线与平面的位置关系 位置关系 公共点个数 图形语言 符号语言 直线在平面上 有无数个公共点 直线和平面相交 只有一个公共点 直线和平面平行 没有公共点 2.直线与平面平行及其判定 （1）直线与平面平行的定义按照直线与平面的公共点的个数来划分了空间直线与平面的位置关系,其中,当直线与平面没有公共点时,我们说直线与平面平行. （2）直线与平面平行的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 如果不在平面上的一条直线与这个平面上的一条直线平行，那么该直线与这个平面平行 直线 不在平面 上｝ 3.直线与平面平行的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 如果一条直线与一个平面平 行,过这条直线的一个平面与此平面相交,那么其交线必与该直线平行 、、 ｝ 4.直线与平面垂直的有关概念 定义 如果一条直线与平面上的任意一条直线都垂直,就说这条直线与这个平面互相垂直 记法 有关概念 直线叫做平面的垂线(或者法线),与的交点叫做垂足，平面叫做直线的垂面 图示 画直线与平面垂直的示意图时,通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直 5.直线与平面垂直的判定定理 文字语言 如果一条直线与一个平面上的两条相交直线都垂直,那么此直线与该平面垂直 图形语言 符号语言 作用 证明线面垂直的主要工具 6.直线与平面垂直的性质定理 文字语言 垂直于同一个平面的两条直线互相平行 符号语言 图形语言 →揭示了“平行”与“垂直”之间的内在联系 作用 ①线面垂直→线线平行;②作平行线 7.点、直线与平面的距离 过平面外任意给定的一点M,有且只有一条直线与平面垂直,从而把点 M与垂足N之间的距离叫做点 M 到平面的距离,如图1.利用线面平行和线面垂直的性质定理可以证明，如果一条直线平行于一个平面。,那么直线l上任意两点到平面的距离都相等,从而就可以把直线上一点M到平面的距离定义为直线到与它平行的平面的距离,如图2. 8.直线与平面所成的角 （1）有关概念及定义 ①斜线:一条直线和一个平面虽然相交,但不与这个平面垂直,称之为斜交、如图1,此时直线称为平面的斜线,②斜足:直线与平面的交点A称为斜足 ③投影:如图2,在直线上任取一个不同于斜足的点P,过点 P作平面α的垂线,垂足记为 0.连接 OA,直线 OA 叫做斜线在平面a上的投影(也称射影).线段PA的投影是线段 OA. ④斜线与平面所成的角的定义:平面的一条斜线和它在平面上的投影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角 （2）范围 ①约定:如果一条直线垂直于平面,我们说它们所成的角是直角;如果一条直线和平面平行或在该平面上,就说二者所成的角是 0°的角 ②范围：直线与平面所成的角 的取值范围是 或 ．特别地，平面的斜线与该平面所成角的范围是 ． 9.三垂线定理 （1）定理 平面上的一条直线和这个平面的一条斜线垂直的充要条件是它和这条斜线在平面上的投影垂直 （2）定理中的三种垂直关系 关系 线面垂直 线射垂直 线斜垂直 文字语言 直线与平面垂直 平面内的直线和 平面一条斜线的 射影垂直 平面内的直线和 平面的一条斜线 垂直 图形语言 符号语言 10.外心、内心与垂心 （1）是所在平面外一点，若点到三个顶点的距离相等，则点在平面ABC上的射影是的外心． （2）是所在平面外一点，若点到三边的距离相等，则点在平面ABC上的射影0是的内心． （3）是所在平面外一点，若点PA、PB、PC两两垂直，则点在平面ABC上的射影是的垂心． 知识点05 平面与平面的位置关系 1.两个平面的位置关系 位置关系 图形语言 符号语言 公共点个数 两平面平行 0个 两平面相交 无数个(共线) 2.两个平面平行的判定定理 文字语言 如果一个平面上的两条相交直线与另一个平面平行,那么这两个平面平行 符号语言 图形语言 简记 若线面平行,则面面平行 3.两个平面平行的性质定理 文字语言 两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行 符号语言 图形语言 作用 判断空间中直线与直线平行的重要依据 简记 若面面平行,则线线平行. 知识点06 异面直线的距离 1.异面直线公垂线定理 （1）内容：对于任意给定的两条异面直线，存在唯一的一条直线与这两条直线都垂直并且相交。 （2）公垂线 与两条异面直线都垂直且相交的直线称为这两条异面直线的公垂线。 （3）公垂线段 公垂线的两个垂足之间的线段称为异面直线的公垂线段。 （4）两条异面直线的距离 两条异面直线的公垂线段的长度叫做两条异面直线的距离。 考点01 空间点、线、面的基本事实与推论 考点内容：平面的3条基本事实；确定平面的3个推论；点、直线、平面的符号表示；三点共线、三线共点、四点共面的判定；异面直线的定义与判定。 常见考法： ①判断命题真假，重点辨析"三点确定一个平面"（必须不共线）； ②证明四点共面、三线共点，用基本事实完成逻辑推导； ③识别异面直线，区分异面、相交、平行三种位置关系； ④用符号语言书写点、线、面的位置关系。 考点02 空间线线、线面、面面的位置关系 考点内容：线线：平行、相交、异面；线面：平行、相交、直线在平面内；面面：平行、相交；平行与垂直的判定定理、性质定理；线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的互推关系。 常见考法： ①选择题判断平行、垂直命题正误，排查遗漏前提（如直线在平面内）； ②解答题证明线线平行、线面平行、面面平行； ③解答题证明线线垂直、线面垂直、面面垂直； ④利用性质定理进行平行与垂直的相互转化。 考点03 空间角：线线角、线面角、二面角 考点内容：异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的定义；三类角的取值范围；几何法找角；向量法利用方向向量、法向量计算夹角。 常见考法： ①几何作图：作出异面直线角、线面角、二面角的平面角； ②向量建系，代入夹角公式求角度大小； ③已知角度反求线段长度、动点坐标； ④判断二面角为锐角或钝角，确定余弦值正负。 考点04 空间距离：点点、点线、点面、线面、面面距离 考点内容：点点距离；点到直线距离；点到平面距离公式；线面距离、面面距离（仅适用于平行情形）；异面直线距离；向量法求距离。 常见考法： ①直接用点面距离公式求解，是高频大题考点； ②将线面距离、面面距离转化为点到平面距离； ③结合等体积法求垂线段长度，求解点面距离； ④求解异面直线之间的距离。 考点05 空间立体几何存在性与探索问题 考点内容：假设动点存在，设参数，结合平行、垂直、角度、距离条件列方程；根据方程解的存在性判定点是否存在；限定动点在棱、线段上，控制参数范围。 常见考法： ①是否存在点使得线面平行、面面垂直； ②是否存在点满足指定线面角、二面角； ③是否存在点满足指定距离条件； ④求出动点位置，写出参数取值并验证合理性。 序号 名称 公式（几何语言） 说明 1 向量数量积 用于计算向量夹角，垂直等价条件： 2 异面直线夹角 ， 为两条直线的方向向量，必须加绝对值 3 线面角公式 ， 为直线方向向量，为平面法向量 4 二面角公式 为两个平面法向量，正负由二面角锐钝决定 5 点到平面距离 为平面内任一点，为平面外点，结果非负 6 两点间距离 空间两点坐标代入，计算向量模长 7 向量平行条件 坐标对应成比例，分母为0时对应分子也为0 8 向量垂直条件 数量积等于0，无需考虑比例关系 辨析01区分"异面直线"与"不共面直线" 空间两条直线只有共面（平行、相交）和异面两类；"没有公共点"仅能推出平行或异面，平行直线是共面直线，异面直线永远无公共点且不平行，不能把无交点直接等同于异面直线。 辨析02区分线面平行的前提条件 成立的前提是；若直线在平面内，即便直线与平面内某条直线平行，也不能判定线面平行；很多错题会漏掉"直线在平面外"这一关键条件。 辨析03区分"线面垂直"与"线线垂直" 一条直线垂直平面，必然垂直平面内所有直线；但一条直线垂直平面内一条直线，不能推出线面垂直；必须垂直平面内两条相交直线，"相交"这个条件不能替换成两条平行线。 辨析04区分二面角与法向量夹角 两个平面法向量的夹角，不一定等于二面角；二面角可以是锐角或钝角，法向量夹角可能互补，必须观察几何体图形，再确定余弦值取正还是取负，不能直接照搬向量夹角结果。 辨析05区分线面角与向量夹角 直线方向向量与平面法向量的夹角，并不是线面角；线面角满足，很多同学误写成，公式极易记混。 辨析06区分平行前提下的距离转化 只有直线与平面平行、两个平面互相平行时，才能把线面距离、面面距离转化为点面距离；若二者相交，不存在线面距离与面面距离，不能强行套用点面距离公式。 【题型一】空间中的点（线）共面问题 例1．如图，在四棱锥中，，，，是的中点，分别在上，且．证明：四点共面； 【答案】 在四棱锥中，取的中点，连接， 由分别是的中点，得， 又，则且， 而，，于是，且， 即四边形为平行四边形，则， 所以四点共面． 【分析】取的中点，连接，由三角形中位线定理得，再根据线段间的关系得到，，从而得到四边形为平行四边形，即得，最后利用平行线的传递性得到，即可证得结论； 【详解】略 变式1-1．在长方体中，直线与平面的交点为M，O为线段的中点，则下列结论不正确的是（   ） A．三点共线 B．M，O，，A四点共面 C．B，，O，M四点共面 D．A，O，C，M四点共面 【答案】C 【分析】由长方体性质易知四点共面且是异面直线，再根据与、平面、平面的位置关系知在平面与平面的交线上，同理判断共线，即可判断各选项的正误. 【详解】因为，则四点共面.因为，则平面， 又平面，则点在平面与平面的交线上， 同理，也在平面与平面的交线上， 所以三点共线，M，O，，A四点共面，故选项A、B正确； 三点均在平面内，而点A不在平面内， 所以直线AO与平面相交且点O是交点，所以点M不在平面内， 即四点不共面，故选项C错误； 点M在直线上，点O在直线上，所以A，O，C，M四点都在平面， 所以A，O，C，M四点共面，故选项D正确. 故选：C 变式1-2．给出下列说法： ①不共面的四点中，任意三点不共线； ②和同一条直线相交的两条直线在同一平面内； ③三条两两相交的直线在同一平面内； ④有三个不同公共点的两个平面重合；⑤依次首尾相接的四条线段不一定共面．其中正确的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】对于①，假设不共面的四点中，存在三点共线，则该直线与第四点在同一平面内，即四点共面，与已知矛盾，①正确； 对于②，三棱锥中，直线与直线都相交，而直线不在同一平面内，②错误； 对于③，三棱锥的三条侧棱所在直线两两相交，而这三条直线不共面，③错误； 对于④，两个相交平面有无数个不同公共点，而这两个平面不重合，④错误； 对于⑤，空间四边形的四条边首尾相接，因此依次首尾相接的四条线段不一定共面，⑤正确， 所以所给说法正确的个数为2. 变式1-3．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，为的中点，为的中点．证明：点在平面内． 【答案】证明：因为底面是平行四边形，所以 又为的中点，为的中点， 所以在中，由三角形中位线性质可得：，所以，因为两条平行线确定一个平面，所以，，，四点共面，即点在平面内. 【分析】先利用平行四边形得到，再利用三角形中位线得到，结合平行线的传递性即可证明. 【详解】略 【题型二】斜二测画法中有关量的计算 例2．如图，矩形是由斜二测画法得到的水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，则原图形面积为________． 【答案】 【详解】由题意可知，直观图是一个矩形， 因为，， 所以直观图的面积 根据斜二测画法的性质，原平面图形的面积与直观图面积满足关系， 所以原图形的面积 则原图形面积为． 变式2-1．如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中，，则平面四边形的周长为______．    【答案】20 【分析】根据斜二测画法的规则，结合直观图中矩形的性质及边角关系，还原出原平面四边形的几何特征及各边长度，进而求得周长 【详解】由题意可知，直观图为矩形，且，． 由图可知，在轴上，在轴上． 因为四边形是矩形，所以，即轴． 在中，，， 所以，． 根据斜二测画法的规则可知原图形中， 点在轴上，、点在轴上，且． ， ， ． 直观图中且，还原后且． 直观图中且，还原后且． 在中，由勾股定理得：． 所以．又因为， 所以平面四边形的周长为． 变式2-2．如图，一个水平放置的直角梯形由斜二测画法得到的直观图是等腰梯形，其中，，则原梯形中长度为__________. 【答案】 【分析】过点作，构造直角三角形，利用勾股定理求出的长，再根据斜二测画法的规则还原原长即可. 【详解】 过点作，垂足为， 因为，，四边形为等腰梯形， 所以，所以， 所以原梯形中的长度为. 变式2-3．如图，是用斜二测画法得到的直观图，其中，则直线与直线所成的夹角大小是______． 【答案】 【详解】因为，所以设， 根据斜二测画法的规则，原图形中，，，，且． 如图建立平面直角坐标系， 设，， 设直线与直线所成的夹角为， 则， ，. 故直线与直线所成的夹角大小是. 【题型三】异面直线问题 例3．如图，在直三棱柱中，，，分别为，的中点，则异面直线与所成角的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取的中点，连接，，通过证明四边形为平行四边形将异面直线平移至，从而在中求解线线角. 【详解】取的中点，连接，. 因为为的中点，为的中点， 所以在中，为中位线， 所以且. 又因为在直三棱柱中，且， 且为的中点，即， 所以且. 所以四边形为平行四边形， 所以. 所以异面直线与所成的角等于直线与所成的角，即（或其补角）. 因为，所以为等边三角形， 又为的中点， 所以平分， 所以. 故异面直线与所成角的大小为. 变式3-1．已知正方体，下列直线与所成角为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以与所成的角为， 又，所以与所成的角为． 变式3-2．已知四面体满足，，则直线与直线所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意，构造长方体，通过平移得到两异面直线的夹角或其补角，借助于余弦定理求解即得. 【详解】因四面体满足，， 则可将其补形为长方体，设， 则，解得， 在长方体中，因，可得，则， 故与的夹角即与所成角或其补角. 设，在中，， 由余弦定理，， 故与所成角的余弦值为. 变式3-3．如图，在空间四边形中，，分别是棱，的中点，对角线，，求异面直线与所成角的大小． 【答案】 【分析】取中点，连接，根据已知及异面直线所成角的定义，应用余弦定理求角的大小． 【详解】如图，取中点，连接，又分别是的中点， 所以，则异面直线与所成角为或其补角， 由， 则， 又异面直线所成角范围为，则异面直线与所成角为． 【题型四】证明线面平行 例4．如图，在直三棱柱中，，，是棱上一点（不包含端点），是的中点.若是的中点，求证：平面. 【答案】证明: 取的中点，连接， 因为是的中点，所以且， 直三棱柱中且， 又是的中点，所以且， 故且， 所以四边形是平行四边形，则， 因为平面，平面，所以平面. 【分析】取的中点，连接，证明四边形是平行四边形得到，利用线面平行的判定定理即可证明. 【详解】略. 变式4-1．如图，在正方体中，点G，E，F，P分别为棱，，，的中点，点M是棱上的一点，且，求证：平面. 【答案】证明: 连接、分别交于点H、O，连接， 在正方体中，且， 所以，则， 同理可得，所以，所以， 又平面，平面，所以平面. 【分析】利用三角形相似得到比例关系，进而可得线线平行，结合判定定理可证结论. 【详解】略. 变式4-2．如图，在正方体中，分别是、的中点． (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的大小． 【答案】(1)如图所示，连接， 因为分别为的中点，所以， 又平面，平面，所以 平面. (2) 【分析】（1）连接，证明，再根据线面平行的判定定理即可得证； （2）先说明 或其补角即为异面直线与所成角，进而可得出答案 【详解】（1）略. （2）因为 且，所以四边形是平行四边形，所以， 又，所以或其补角即为异面直线与所成的角， 因为，所以， 即异面直线与所成角的大小为. 变式4-3．如图，等腰梯形中，， ，，垂足为，将沿翻折，得到四棱锥.在四棱锥中，点，分别在线段，上，且.    (1)若，求直线BC与直线PA所成角的余弦值. (2)求证：平面. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）构造平行四边形，将平移至，把异面直线所成角转化为，再用余弦定理计算余弦值； （2）通过在、上取点构造辅助线，证明平面平面，再由面面平行的性质得平面. 【详解】（1）    在线段上取点，使得 ，则四边形是平行四边形，故， 连接，故是异面直线所成角（或补角），，， 由勾股定理，. 由余弦定理得， 故异面直线所成角的余弦值是. （2）    若分别是上的点，且， 连接，又， 所以，即四点共面， 由平面，平面，则平面， 同理可证平面，又，且都在平面内， 所以平面平面，平面，故平面. 【题型五】证明线面垂直 例5．如图，已知矩形所在的平面，分别为的中点，，，． (1)求直线与平面所成角大小； (2)求证：平面． 【答案】(1) (2)证明：如图，取的中点，连接，， 因为平面，平面，所以， 因为四边形为矩形，所以， 又，平面，所以平面， 而平面，所以， 由（1）知为等腰直角三角形，所以， 因为，平面，所以平面． 又因为，且， 所以四边形是平行四边形， 所以，所以平面． 【详解】（1）因为平面，所以是在平面内的射影， 所以即为与平面所成角， 又因为平面，所以， 又，， 所以，， 所以， 所以直线与平面所成角大小为； （2）略 变式5-1．在正方形中，、分别是、的中点，是的中点．现在沿、及把这个正方形折起，使、、三点重合，重合后的点记为，那么（     ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 【答案】D 【分析】先根据折叠前垂直关系推出折叠后的垂直关系，再利用线面垂直判定定理证得选项D正确，找出矛盾可排除选项A、B、C. 【详解】折叠前，在正方形中，， ，折叠后重合为点， 垂直关系保留，如图，, 又，平面， ∴平面，选项D正确； 选项A，假设平面，则， 与已知矛盾，A错误； 选项B，∵平面，∴①， 假设平面，则，与条件① 矛盾，B错误； 选项C，同理，假设平面，则， 与条件①矛盾，C错误； 变式5-2．已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为，的中点，D为棱上的点，． (1)证明：平面； (2)证明：； 【答案】(1)因为为正方形，所以， 又，且，平面， 所以平面， 因为直三棱柱，所以，所以平面. (2)取中点G，连接，如图所示， 因为E、G分别为的中点，所以， 则平面， 因为平面，所以， 因为，所以， 则，则，所以， 因为平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，且平面， 所以平面， 因为D为棱上的点，所以平面， 所以． 【分析】（1）根据条件，可得，根据线面垂直的判定定理，可证平面，即可得证； （2）如图作出辅助线，根据线面垂直的性质定理，可证，根据三角形全等，可证，根据线面垂直的判定及性质定理，可证平面，结合线面的位置关系，即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 变式5-3．如图，在直三棱柱中，，、分别是棱、上的点（点不在的端点处），且，为的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面． 【答案】(1)在直三棱柱中，平面，平面， ， ，且平面， 平面. (2)根据（1）得平面， 平面， ， 在中，， 为的中点， 连接，得，且，即四边形为平行四边形， ， 平面，平面， 平面． 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理即可证明； （2）根据线面平行的判定定理即可证明. 【详解】（1）略 （2）略 【题型六】求点面距离 例6．如图，在长方体中，，. (1)证明：平面. (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)因为是长方体，所以上下底面平行且全等，对应边互相平行，故 又因为平面，平面，所以平面. (2). 【分析】（1）利用长方体的结构特征得到，再结合线面平行的判定定理即可证得结论； （2）利用等体积法建立关于距离的方程，分别求出底面和的面积代入求解. 【详解】（1）略. （2）设点到平面的距离为, 由题意知，在长方体中，，,所以，, 因为平面，平面 ，所以, 在中，, 同理，平面 ，平面 ，所以, 在中，， 在中，， 在中，因为 ，， 取的中点，连接，则，且， 在中，， 所以， 在中，，所以， 因为平面，所以， 又因为，所以， 即，解得. 所以点到平面的距离为. 变式6-1．已知点A和点B到平面的距离分别为3和1，则线段AB的中点M到平面的距离是__________． 【答案】1或2 【分析】分点A和点B在平面同侧和异侧两种情况进行求解. 【详解】过点作，过点作，则， 如图1，当点A和点B在平面同侧时， 线段AB的中点M到平面的距离， 如图2，当点A和点B在平面异侧时， 过点作的平行线，延长交于点，延长交于点， 则， 其中， 线段AB的中点M到平面的距离为， 综上，线段AB的中点M到平面的距离为1或2. 变式6-2．如图，已知P是平面ABC外一点，PA⊥平面ABC． (1)若AC⊥BC，证明：BC⊥PC； (2)若AB=AC=BC=PA=，求点A到平面PBC的距离． 【答案】(1)∵平面，平面，∴， 又∵，，平面， ∴平面； 又∵PC平面， ∴BC⊥PC； (2) 【分析】（1）由线面垂直证明线线垂直； （2）利用等积法求点A到平面PBC的距离． 【详解】（1）略 （2）∵PA⊥平面ABC，AB平面ABC， ∴PA⊥AB， ∴PB=， 同理=， ∴是等腰三角形，． ∵，, 即 ， 解得． 变式6-3．如图，四边形是圆柱的轴截面，点在底面圆上，，点是线段的中点. (1)证明：平面； (2)若直线与圆柱底面所成角为，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明：取中点，连接，，如图所示， 为中点，则，又，得， 由，，得， 所以四边形为平行四边形，， 又平面，平面，所以平面． (2) 【分析】（1）取中点为，通过证明，得证平面． （2）通过平面，得到到平面的距离，再结合（1）的结论即可求解. 【详解】（1）略 （2）， 可得：，得. 由题意平面，平面， 所以，又，平面， 所以平面，即到平面的距离为， 又点是线段的中点， 所以点到平面的距离为， 由（1）平面, 所以点到平面的距离为. 【题型七】线面垂直证明线线垂直 例7．如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，，平面平面 (1)求证：； (2)在线段上是否存在点，使得？说明理由． 【答案】(1)因为底面为菱形，所以， 又平面平面，所以平面， 又平面平面平面，所以． (2)存在，为线段中点， 连接，因为底面为菱形，， 所以，为等边三角形，又为线段中点， 故，又，所以， 因为平面，平面，所以， 又平面平面，所以平面． 因为平面，所以，所以当为线段中点时，． 【分析】（1）先由菱形得线线平行，从而推出线面平行；再根据线面平行的性质，由线在另一平面内推出它与两平面交线平行； （2）构造辅助线，利用菱形几何特征和中点性质，证明一条线与另一条线垂直，再由线面垂直的判定与性质推出目标线线垂直． 【详解】（1）略； （2）当为线段中点时，使得，略． 变式7-1．《九章算术·商功》记载：“斜解立方，得两堑堵；斜解堑堵，其一为阳马，其一为鳖臑．”其中，“阳马”特指底面为矩形，且一条侧棱垂直于底面的四棱锥（即直四棱锥）．今有一阳马如图所示，其中平面，，若与所成角的余弦值为，则（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将条件转化到同一个三角形中，进而通过三角形的三边关系进行求解 【详解】因为四边形为矩形且，所以四边形是正方形，，，； 又因为与所成角的余弦值为，所以与所成角的余弦值为； 因为平面，⊆平面，所以，， 又因为，⊆平面,所以平面， 又因为⊆平面，所以； 在直角三角形中，因为，所以； 所以在直角三角形中，，所以. 变式7-2．如图，在三棱锥中，平面平面.求证； 【答案】取的中点，连接， 因为， 所以， 所以， 因为为的中点， 所以，， 又，平面，， 则平面， 又平面，所以； 【分析】结合等腰三角形性质及线面垂直的判定定理证明平面，然后利用线面垂直的性质定理可得. 【详解】略 变式7-3．是矩形平面外一点，分别是的中点，    (1)求证：平面， (2)若SD⊥平面，求证：⊥. 【答案】(1)如图，连接， 因为矩形中，为的中点，故与相交于点， 且为的中点， 是的中点，故， 因为平面，平面，所以平面；    (2)因为SD⊥平面，平面，所以⊥， 四边形为矩形，故⊥， 因为，平面，所以⊥平面， 因为平面，所以⊥. 【分析】（1）作出辅助线，由线线平行得到线面平行； （2）先得到⊥，再结合矩形，证明线面垂直，得到结论 【详解】（1）略 （2）略 【题型八】线面角问题 例8．如图所示正方体中，与平面所成角的大小是______. 【答案】/ 【分析】连接，找出直线在平面内的射影，确定直线与平面所成的角，再利用根据直角三角形的性质，求得其正弦值，进而求出角的大小. 【详解】如图，连接，交于点，连接，则是的中点，且， 又平面，平面，所以， 又，平面，平面， 所以平面，故为与平面所成的角， 在中，，所以， 即与平面所成角的大小为. 变式8-1．在三棱锥中，底面，，，，为平面内一点，且，则直线与底面所成角的正弦值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定为的外心，利用正弦定理求得外接圆半径即的长度，再结合线面角的定义计算所求角的正弦值． 【详解】已知为平面内一点，且， 所以为的外心， 设的外接圆半径为， 根据正弦定理，在中，， 因为，， 所以，即． 因为底面，底面， 故，且在底面内的投影为， 因此直线与底面所成的角为． 在中，，， 故． 则直线与底面所成角的正弦值为． 变式8-2．在直四棱柱中，底面是菱形，边长为1，，，为的中点． (1)证明：； (2)求与面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明：已知是直四棱柱， 则平面， 平面， ． ∵四边形是菱形， ， 又平面， 平面， 平面， ． (2) 【分析】（1）根据直棱柱和菱形对角线垂直，易证平面，即可得到线线垂直； （2）由（1）知平面，可得为与面所成的角，利用余弦定理以及勾股定理求出相应三角形的边长，即可求出的余弦值． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知，平面， 为与面所成的角， 已知，， 由余弦定理可得， 所以，则． 在中，， 所以， 在中，， 在中，， 所以在中，， 则与面所成角的余弦值为． 变式8-3．《九章算术》中有这样一段话：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”，这里所谓的“阳马”，就是底面是矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，四棱锥为阳马，底面，，，，分别为，的中点． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)设中点为，连接，.如图， 因为为中点，所以，平面，平面，所以平面. 又为中点，四边形为矩形，所以，平面，平面，所以平面. 又，平面，，所以平面平面. 又平面，平面，所以. 又，，平面，，所以平面. 所以平面，又面，所以. 又，， 在中，，，所以. 又为中点，所以. 又，平面，，所以平面. (2) 【分析】（1）先根据面面平行的判定定理证明平面平面，再证平面，从而平面，再根据线面垂直的性质证明，再证，即可得线面垂直. （2）构造直线与平面所成的角，利用三角形的边角关系求角即可. 【详解】（1）略 （2）连接，交于，连接，. 则为中点，所以. 又平面，所以平面. 所以即为直线与平面所成的角. 在中，，，， 所以，所以. 即直线与平面所成的角为. 【题型九】证明面面平行 例9．在正方体中，E为的中点． (1)求证：平面AEC； (2)取中点F，求证：平面平面． 【答案】(1)连接，交于点，连接. ∵ 四边形为正方形， ∴ 为的中点. 又∵ 为的中点， ∴ 为的中位线，∴ . ∵ 平面，平面， ∴ 平面. (2)∵ 为的中点，为的中点，在正方体中，且， ∴ 且，即且. 又∵ 且， ∴ 且，四边形为平行四边形， ∴ . ∵ 平面，平面， ∴ 平面. 由(1)可知平面，且平面. ∵ ，均在平面内； ∴ 平面平面. 【分析】(1) 依据线面平行的判定定理，通过构造三角形中位线得到平面内与平行的直线，完成证明. (2) 依据面面平行的判定定理，证明平面内两条相交直线分别平行于平面，进而证明两平面平行. 【详解】（1）略 （2）略 变式9-1．如图，在边长为的正方体中，点分别在，上，，求证：平面平面． 【答案】证明: 在边长为的正方体中，， 因此，， 因为且，所以四边形是平行四边形，故. 又平面，平面，所以平面. 因为且，所以四边形是平行四边形，故， 同理可知平面. 因为，且都在平面内， 所以平面平面. 【分析】结合正方体棱长与已知的，根据线面平行判定定理证明平面，同理证明平面，再结合面面平行判定定理证明即可. 【详解】略. 变式9-2．如图，在边长为3的正方体中，点，分别在，上，，求证： (1)直线与直线异面； (2)平面平面. 【答案】(1)由直线平面， 又平面， 所以直线与直线异面； (2)由，得，在正方体中，且， 所以且，所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面， 又且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面. 【分析】（1）利用异面直线的判定定理即可得证； （2）利用面面平行的判定定理即可得证. 【详解】（1）略 （2）略 变式9-3．如图，在矩形中，分别为上的点，，将矩形沿折起，使点落在的位置，落在的位置，得到四边形，已知不在平面上． (1)证明：四点共面； (2)证明：平面平面． 【答案】(1) 证明：由得， 由两平行直线确定一个平面，可知四点共面． (2) 证明：由平面，平面，得平面， 由，平面，平面，得平面， 由，平面，平面，得平面平面． 【分析】（1）由结合基本事实证明即可； （2）由面面平行的判定定理证明即可. 【详解】（1）略 （2）略 【题型十】二面角问题 例10．如图，在菱形中，，，将沿翻折至，连接，． (1)证明：； (2)若二面角的大小为，求的长． 【答案】(1)取的中点，连接，则 ， 所以 因为平面， 所以平面. 又平面，所以. (2) 【分析】（1）由线面垂直的判定定理证得平面，从而证得； （2）由二面角的定义，作出二面角的平面角，再根据余弦定理求得的长． 【详解】（1）略 （2）因为， 所以是二面角的平面角，所以. 中，， 所以， 所以. 所以. 中，. 所以. 变式10-1．在长方体中，，，，则二面角的大小为______． 【答案】/ 【分析】先连接，过点作于，连接，再根据线面垂直的判定和性质证明，从而得到二面角的平面角，进而根据三角形的面积公式，勾股定理，及三角函数的定义即可求解． 【详解】连接，过点作于，连接， 在长方体中，有平面， 由平面，则， 又，，且平面，所以平面， 又平面，则， 所以是二面角的平面角． 在中，有，，则， 所以，即， 在中，有，所以， 所以二面角的大小为． 变式10-2．如图，三棱锥中，，，为的中点，于点，连接，则二面角的大小为______． 【答案】/ 【分析】利用两个平面垂直的判定定理和性质结合题目条件即可求出二面角的大小. 【详解】因为，为中点，所以； 又因为，为中点，所以， 因为，平面，因此平面， 因为平面，所以， 又，且，平面，因此平面， 因为平面，且平面，而平面是平面的一部分， 因此平面平面，故二面角为直二面角，大小为. 变式10-3．如图，是三棱锥的高，，，，为中点． (1)证明：平面； (2)若，求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1)由已知得底面，而底面，所以． 由，得， 代入已知条件得． 因为，所以． 而，平面，，所以平面． (2)． 【分析】（1）由是三棱锥的高得底面，故；利用向量关系或边长计算证得，结合，根据线面垂直判定定理可证平面； （2）以为原点，结合，，两两垂直建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，再利用向量夹角公式计算平面与平面夹角的余弦值. 【详解】（1）略. （2）因为底面，底面，所以， 故，，两两垂直．以为坐标原点，的方向为轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系． 由题设得，，，是线段的中点， 设，代入中点公式，解得，，故. 所以，，． 设平面的法向量为，则，即， 令得． 设平面的法向量为，则，即， 令得． 记平面与平面的夹角为， 则． 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 【题型十一】证明面面垂直 例11．如图，四边形是圆柱的轴截面，是底面圆周上异于，的一点，则下列各组四棱锥的表面中，不满足互相垂直的一组是（    ） A．平面与平面 B．平面与平面 C．平面与平面 D．平面与平面 【答案】D 【详解】对于A，由题意，平面，因为平面， 所以平面平面，故A错误； 对于B，由题意，平面，因为平面， 所以平面平面，故B错误； 对于C，因为为底面直径，所以， 又因为平面，平面， 所以，又因为，且平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面，故C错误； 对于D，在圆柱内，明显平面底面，与平面不垂直，故D正确. 变式11-1．如图，已知垂直于正方形所在的平面，连接、、，、，则一定互相垂直的平面有（    ） A．8对 B．7对 C．6对 D．5对 【答案】B 【详解】依题意可知，平面，平面，平面都垂直于平面，平面平面，平面平面，平面平面，平面平面，共7对． 变式11-2．如图，在五面体中，⊥平面，，，，点为中点．求证：平面平面； 【答案】取的中点为，连接，如图， 因为平面，平面，故， 而，为的中点，所以， 又，平面， 所以平面， 因为、分别为、所在棱的中点， 所以，， 又，， 所以，， 故四边形为平行四边形，则， 所以平面， 又平面，所以平面平面． 【分析】取的中点为，连接，根据线面垂直的判定定理可证明平面，再证明，可得平面，根据面面垂直的判定定理即可证明. 【详解】略. 变式11-3．如图所示，在四棱锥中，底面是正方形，是正方形的中心，底面，是的中点．    (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； 【答案】(1)如图所示，连接，作出符合题意的图形， 因为、分别为、中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面． (2)因为底面，底面，所以． 在正方形中，， 因为，，平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面. 【详解】（1）略 （2）略 【题型十二】面面垂直证线面垂直 例12．如图，在三棱柱中，平面平面，，，，D为AB的中点.求证：； 【答案】取中点，连接、， 因为，， 所以为等边三角形，所以. 因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面. 因为平面，所以. 因为D，E分别为AB，AC的中点，所以. 因为，所以. 因为，，平面， 所以平面. 因为平面， 所以. 【分析】取中点，连接、，由条件可得平面及，进而可得平面，再用线面垂直的性质可得线线垂直． 【详解】略 变式12-1．如图，已知三棱台的高为为的中点，，平面平面.求证：平面； 【答案】由，，， 故与全等，故， 又因为为的中点，故， 又因为平面平面，平面平面， 且平面，故平面； 【分析】利用面面垂直的性质定理即可得证. 【详解】略 变式12-2．如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD为梯形，，平面平面PBC. (1)若平面PBC与平面PAD相交于直线，求证：； (2)求证：. 【答案】(1)证明：由平面平面PAD，得平面PAD， 又平面PBC，且平面PBC与平面PAD相交于直线，所以 (2)证明：在平面PAB内作于， 平面平面PBC，平面平面平面PAB， 平面平面PBC，则， 又平面平面ABCD，则， 又且都在平面PAB内，故平面PAB， 又平面PAB，则 【分析】（1）由线面平行的性质定理进行证明； （2）由面面垂直的性质定理进行证明． 【详解】（1）略 （2）略 变式12-3．如图，矩形所在平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于、的点． (1)证明：平面平面； (2)若是线段的中点，求证：平面． 【答案】(1)矩形所在平面与半圆弧所在平面垂直，即平面平面， 平面平面，，平面， 所以平面，且平面，所以， 因为，所以， 又是上异于，的点，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. (2)由是的中点，连接交于点，连接，如图所示： 由中位线定理得；又平面，平面， 所以平面． 【分析】（1）通过证明平面，再证明平面平面； （2）利用中位线定理和直线与平面平行的判定定理证明即可． 【详解】（1）略 （2）略 【题型十三】求异面直线的距离 例13．如图，正方体的棱长为1，则异面直线与的距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先证明平面，故问题可转化为求直线与平面的距离，再证明平面，由此可求结论. 【详解】因为，平面，平面，所以平面， 所以异面直线与的距离与直线与平面的距离相等， 即点到平面的距离，如图连接，交于，则， 因为平面，平面，所以    又因为，平面， 所以平面，所以线段长为点到平面的距离， 又因为，所以异面直线的距离为，则C正确. 故选：C 变式13-1．正方体的棱长为2，则异面直线AC与的距离是_________． 【答案】/ 【分析】如图，取的中点，连接交于点，连接，可知异面直线与的距离为点到平面的距离，根据三棱锥等体积法计算即可得出结果. 【详解】 取的中点，连接交于点，连接 则点为线段的中点，为的中位线，又， 有，且， 所以异面直线与的距离为到平面的距离， 即点到平面的距离，设该距离为， 由题意得，， 由，得， 解得,故异面直线AC与的距离是：. 变式13-2．正四面体的棱长为2，点分别在棱上，则线段长度的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【详解】如图，将正四面体放于正方体中，使分别为相对两面的对角线， 由于异面直线间公垂线段最短， 当分别为的中点时，易知为的公垂线，且其长度等于正方体的棱长， 由图可知正方体的棱长为， 则线段长度的最小值为. 变式13-3．如图，在空间四边形ABCD中，，，二面角的平面角等于120°.求直线AC与BD之间的距离. 【答案】 【分析】根据垂直关系找出异面直线AC与BD的公垂线段，求出线段长度即异面直线的距离. 【详解】如图： 取BD的中点E. 因为，，所以，， 从而二面角的平面角为， 又平面，所以平面. 在中，作，垂足为F，则EF为异面直线AC与BD的公垂线段. 由，， 可得，. 因为二面角的平面角， 所以由余弦定理，得 . 由三角形面积公式，得. 所以，即为所求异面直线的距离. 【题型一】混淆线面平行的判定定理与性质定理 易错警示 判定定理是由线线平行推导线面平行，条件为直线在平面外；性质定理是由线面平行推导线线平行，需要作辅助平面得到交线。做题不要颠倒推导方向，证明线面平行不能直接拿线面平行去证线线平行，同时不能忽略直线在平面外这个前提条件。 例1．如图，在正方体中，M，N分别是，的中点. (1)求证：平面； (2)若在棱上有一点P，满足平面，请你求出的值. 【答案】(1) 因为分别是，的中点，所以. 因为平面，而不在平面内， 所以平面. (2) 【分析】（1）要证明线面平行，则需要证明线线平行即可得到线面平行. （2）在线段上取一点，使得为靠近的四分之一处的点，根据线面平行的判定证明即可. 【详解】（1）略 （2）设交于点，在线段上取一点，使得为靠近的四分之一处的点. 连接，在中，因为， 所以，又平面，而不在平面内， 所以平面，符合题意，此时. 变式1-1．已知四棱锥的底面是平行四边形，E为的中点，F在上，平面，则________． 【答案】 【分析】利用三角形相似和线面平行的判定定理求解. 【详解】 如图所示，连接和相交于点，连接， 因为，所以和相似，且相似比为：，所以，则， 又因为平面，平面，平面平面， 所以， 所以和相似，所以 . 变式1-2．如图，四棱锥中，底面为梯形，，，，点在棱上. (1)当为的中点时，求证：平面； (2)若平面，求的值. 【答案】(1)取棱的中点，记为点，连接、、， 在中，因为点、分别是、的中点， 所以是的中位线， 由此可得：，且， 已知底面为梯形，，，， 所以，且， 综合上述两点，可得，且， 因此，四边形是平行四边形， 所以， 因为平面，平面， 所以由线面平行的判定定理可得：平面. (2)2 【分析】（1）取的中点，利用中位线定理和底面梯形的平行关系构造出平行四边形，从而证得线线平行，进而由线面平行的判定定理得证； （2）连接交于点，利用线面平行的性质定理证得，再结合底面梯形相似比求出，最后在中利用平行线分线段成比例定理求得. 【详解】（1）略 （2）连接，交于点，连接， 因为底面中， 所以，， 因此， 根据相似三角形对应边成比例，可得： ， 即，所以， 即， 因为平面，平面平面，且平面， 所以由线面平行的性质定理可得：， 在中， 因此有：， 即，那么， 所以. 变式1-3．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，分别是的中点. (1)求证：平面； (2)在上取一点（不与重合），设过点和的平面交平面于，求证：. 【答案】(1) 取的中点，连接，如图所示. 因为分别是的中点， 所以中，，且. 因为四边形为平行四边形，所以，且. 所以且 所以四边形为平行四边形，所以 又在平面内，在平面外， 所以平面. (2) 连接交于点，连接，如图所示. 因为四边形是平行四边形，所以是的中点. 又因为是的中点，在中，根据三角形中位线定理可得. 因为平面在平面外， 根据线面平行的判定定理，得知平面. 因为过点和的平面交平面于，且平面， 根据线面平行的性质定理可得，. 【分析】（1）根据线面平行的判定定理，要判定平面，只需判定平行于平面内的一条直线即可证明. （2）根据线面平行的判定定理和线面平行的性质定理进行证明. 【详解】（1）略 （2）略 【题型二】运用线面垂直判定定理，遗漏"两条相交直线"条件 易错警示 证明线面垂直，直线必须垂直平面内两条相交直线。如果仅垂直平面内两条互相平行的直线，是无法证明线面垂直的。选择题常以此设置陷阱，大题书写步骤中，务必写明两条直线相交这一关键条件，不能省略。 例2．如图，的外接圆⊙O的半径为，所在的平面，，，，且，． (1)求证：平面BCDE； (2)求几何体ABCDE的体积． 【答案】(1)证明：所在的平面，， 平面，又平面，，又，， ，， 又的半径为，为圆的直径， ，又平面，平面， ，又.平面，平面， 平面； (2)． 【分析】（1）由题可得为圆的直径，进而可得平面，然后利用面面垂直的判定定理即得； （2）利用锥体的体积公式即得． 【详解】（1）略 （2），，，，， 因为，平面，平面， 所以平面，所以点到平面的距离即点到平面的距离. 因为平面，平面，所以， 又如图可知为直径，所以，，平面， 所以平面. ， 即几何体的体积为． 变式2-1．如图，四棱柱中，底面四边形为菱形，，，，点E在线段上． (1)证明：平面； (2)当为何值时，平面，并写出其证明过程． 【答案】(1)∵底面是菱形，， ． ，，，， ． 同理，． 又平面，平面，平面， 平面． (2)当时，平面，证明如下： 当时，点为的中点． 连接交于点，则是的中点． 连接，则． 又平面，平面， 所以平面． 【分析】（1）由勾股定理证明，，并根据线面垂直的判定定理证明平面； （2）当时，根据线面判定定理结合条件可证平面． 【详解】（1）略 （2）略 变式2-2．已知四棱锥的底面为矩形，平面，为的中点，平面平面． (1)求证：平面； (2)求证：平面． 【答案】(1)连接，设，连接， 因为是矩形，所以是的中点， 在中，为的中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面； (2)因为是矩形，所以， 因为平面，平面， 所以平面， 因为平面，平面平面， 所以， 因为平面，平面， 所以， 因为是矩形，所以， 因为且平面， 所以平面，故平面. 【分析】（1）连接，设，连接，根据线面平行的判定定理证明即可； （2）由线面平行的性质可得，由线面垂直的判定定理可得平面，进而可证平面. 【详解】（1）略 （2）略 变式2-3．如图，四棱锥中，平面，，，，分别为线段，的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面． 【答案】(1)证明：连接， 因为，，为线段的中点， 所以四边形是平行四边形，是平行四边形， 设，连接，则是的中点， 又为线段的中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面. (2)证明：因为是平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以， 所以， 因为，四边形是平行四边形，所以四边形是菱形， 所以， 又，，平面， 所以平面． 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明即可. （2）根据线面垂直的判定定理证明即可. 【详解】（1）略 （2）略 【题型三】运用面面平行判定定理，遗漏"两条相交直线"条件 易错警示 证明两个平面平行，需要一个平面内两条相交直线同时平行于另一个平面。仅一个平面内两条平行直线平行另一平面，不能推出面面平行。答题时必须标注两直线相交，避免因为缺少条件造成逻辑推导错误。 例3．如图是四棱锥的平面展开图，其中四边形为正方形，点，，，分别为，，，的中点，则在原四棱锥中，不正确的是（   ） A．平面平面 B．平面 C．平面 D．平面平面 【答案】D 【分析】先把平面展开图还原为四棱锥，由面面平行的判定可判断A；易知四个侧面两两相交，据此可判断D；再根据线面平行的判定判断BC即可． 【详解】把平面展开图还原为四棱锥如图所示，则， 又平面，平面， 所以平面． 同理可证平面， 又，，平面， 所以平面平面，故选项A正确； 平面，平面，平面，平面是四棱锥的四个侧面， 则它们两两相交，故选项D错误； ，平面，平面， 平面，同理平面，故选项B，C正确． 故选：D． 变式3-1．如图是正方体的平面展开图．在这个正方体中， ①与平行；②与垂直；③与平面平行；④平面与平面平行．以上四个命题中，正确命题的序号是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】C 【分析】将正方体的展开图还原成直观图，结合线面平行、面面平行的判定逐项判断即可. 【详解】由展开图得到正方体的直观图，如图： 观察直观图知，与是异面直线，①错误；与平行，②错误； 由四边形是平行四边形，得，又平面，平面，则平面，③正确； 由，又平面，平面，得平面， 同理平面，又平面，因此平面平面，④正确. 变式3-2．如图，在正方体中，点分别为棱的中点，点是棱上的一点，且． (1)求证：平面； (2)已知点是棱上的一点，且，求证：平面平面． 【答案】(1) 连接、分别交于点H、O，连接， 在正方体中，且， 所以，则， 同理可得，所以，所以， 又平面，平面，所以平面. (2) 连接，因为点分别为棱的中点，则， 因为，，则， 可得，则， 且平面，平面，则平面， 取的中点，连接， 因为分别为的中点，则， 又因为分别为的中点，则，， 且，，则，， 可知为平行四边形，则，可得， 且平面，平面，则平面， 又因为，平面，所以平面平面. 【分析】（1）作辅助线，利用三角形相似得到比例关系，进而可得线线平行，结合判定定理可证结论. （2）作辅助线，根据题意可证平面，平面，进而可得面面垂直. 【详解】（1）略 （2）略 变式3-3．如图，正三角形和平行四边形在同一个平面内，AB，DE的中点分别为F，G.将沿直线AB翻折到，设CE的中点为H.求证：平面平面. 【答案】证明： 因为四边形为平行四边形，F、G分别为的中点， 所以四边形为平行四边形，所以. 因为平面，平面，所以平面. 又H、G分别为的中点，所以. 平面，平面，所以平面， 因为FD、平面，， 所以平面平面. 【详解】略. 【题型四】使用面面垂直性质定理，忽略寻找交线直接套用 易错警示 面面垂直的性质定理，只有在一个平面内垂直于两平面交线的直线，才垂直另一个平面。很多同学直接在平面内随便取一条直线就判定垂直另一平面，忽略交线条件。解题要先找出交线，再验证直线与交线垂直。 例4．如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，侧面ADP是正三角形，侧面ADP⊥底面ABCD，M是DP的中点．证明：平面CDP．    【答案】 证明：因为侧面ADP为正三角形，且M是DP的中点，所以， 又底面ABCD为正方形，所以． 因为平面平面ABCD，且平面平面，平面ABCD， 所以平面ADP， 又平面ADP，所以， 因为，且CD，平面CDP， 所以平面CDP． 【分析】利用面面垂直的性质证明线面垂直，然后根据线面垂直的判定定理可得平面CDP． 【详解】略 变式4-1．在三棱锥中，平面平面，平面平面，，，则下列错误的是（ ） A． B．点到平面的距离为 C．平面 D．平面平面 【答案】D 【分析】先证明平面，判断C；进而根据线面垂直性质判断A；取中点，连接，证明平面并求解的长度判断B；根据二面角的平面角的大小判断D. 【详解】在平面内取一点，作，，垂足分别为， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，因为平面，所以 同理：平面， 因为平面 所以平面，故C选项正确； 又平面，所以，故A选项正确； 对于B，取中点，连接，因为，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，即点到平面的距离为的长度， 因为，所以，故B选项正确； 对于D，因为平面，平面，所以， 所以为二面角的平面角， 因为，，所以， 所以平面平面不成立，故错误. 变式4-2．如图，在三棱锥中，平面平面，和都是边长为2的正三角形． (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点，通过证明平面，结合线面垂直的性质可证； （2）过作平面，垂足为，连接得即为直线与平面所成的角，再结合等体积法求解即可. 【详解】（1）证明：取中点，连接， 因为，是的中点，所以． 又，是的中点，所以． 又，平面， 所以平面，又平面，所以． （2）解：由（1）知， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以 因为和都是边长为2的等边三角形， 所以， 过作平面，垂足为，连接， 则即为直线与平面所成的角， 因为， 取中点，连接，则， 因为， 所以，解得， 所以，即直线与平面所成角的正弦值. 变式4-3．如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，平面平面，，，E为PD的中点． (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据菱形性质得到是等边三角形，取的中点，连接，得，再由面面垂直性质定理得到平面，再结合题中条件利用线面垂直判定定理得证；（2）建立空间直角坐标系，写出各点坐标，利用空间向量法求出平面与平面的法向量，计算夹角余弦值 【详解】（1）因为底面为菱形，，所以是等边三角形，， 取的中点，连接， 在菱形中，，所以是等边三角形，则， 又因为平面平面，且平面平面， 平面， 所以平面. （2）由（1）知平面，以A为原点，所在直线为x轴，过A作的垂线为 y轴，所在直线为z轴建立空间直角坐标系. 因为，所以， 因为E为PD的中点，所以， ，设平面的法向量为， 则，取，得. ，设平面的法向量为， 则，取，得， 二面角为钝角， 故， 所以二面角的余弦值为. 【题型一】平行垂直证明的综合 例1．如图所示，在四棱锥中，底面，四边形是直角梯形，，，，是的中点. (1)求证：平面平面 (2)求二面角的余弦值. (3)点在直线上，且平面，求出的长. 【答案】(1)证明： 四边形是直角梯形，， ，， 平面，平面， ，又，，平面， 平面，又平面， 平面平面 (2) (3) 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理即可得证； （2）由可知平面得，，即为二面角的平面角，在中利用余弦定理即可求解； （3）连接交于O，过O作交于，连接，，进而得平面，由结合即可求解. 【详解】（1）略； （2）由可知平面， ，平面，，， 为二面角的平面角， ，， ， 二面角的余弦值为 （3）连接交于O，过O作交于，连接， 由平面，平面，得平面 ，， 又，， 变式1-1．如图，在正三棱柱中，点分别是的中点，下列结论正确的个数是（   ）    ①平面；②；③平面；④与相交 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】取的中点，证明，结合线面平行判定定理证明平面，即可判断①；若，则，连接，为的中点，证明，设，，求，推出矛盾②；根据线面垂直判定定理证明结论即可判断③；证明，，由此即可判断④. 【详解】对于①，取的中点D，连接，在中，由P为的中点， 得，且，在直三棱柱中，， 由Q为棱的中点，得，且，则， 四边形为平行四边形，因此，又平面，平面，则平面，①正确， 对于②，为的中点，若，则，连接，为的中点， 则，又平面，则平面，平面， 于是，设，则，， ，与矛盾，因此不成立，②错误； 对于③，在直三棱柱中，平面，又平面，则， 由，D为中点，得，由①知，则，， 又，平面，因此平面，③正确； 对于④，由为的中点，四边形为矩形，得点为的中点，又为的中点， 则，又分别为的中点，则， 即，因此四边形为平行四边形，与相交，④正确.    变式1-2．如图，已知直三棱柱中，为等腰直角三角形，，且，，，分别为，，的中点． (1)求证：∥平面； (2)求证：平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）求出直线的方向向量和平面的法向量，证方向向量与法向量垂直； （2）利用向量证明，，再利用线面垂直判定定理证明. 【详解】（1）以为原点，，，所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 令，则，，，，，， ，平面的法向量为， ，平面， 平面． （2），， ， ，，， ，． 平面， 平面． 变式1-3．如图，在四棱锥中，平面ABCD，，. (1)求证：平面平面PAC； (2)设M是PA上任意一点，证明：； (3)设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得平面CEF？并说明理由. 【答案】(1)证明：由题意，因为平面，又由平面，所以， 又，且都在平面内，所以平面， 又平面，所以平面平面PAC； (2)证明：由（1）平面，因为， 所以平面，而平面，所以； (3)为中点.证明：当为中点时，平面，理由如下， 如图，取中点，连接， 证明：为中点，为的中点，故， 平面，且平面，故平面. 【分析】（1）分别证得和，由线面垂直的判定定理证得平面，再根据面面垂直的判定定理证明即可； （2）根据平面及得平面，进而利用线面垂直性质定理证明即可； （3）取中点，连接，证得，根据线面平行的判定定理，即可证得平面. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【题型二】平行、垂直的存在性问题 例2．如图，在四棱锥中，底面是且边长为的菱形，侧面为正三角形，且其所在平面垂直于底面． (1)求证：； (2)若为边的中点，则能否在棱上找到一点，使平面平面？并证明你的结论． 【答案】(1) 设为的中点，连接，，如图． ∵为正三角形， ∴． 在菱形中，， ∴为正三角形，又为的中点， ∴． 又，面 ∴平面． ∵平面，∴； (2) 当为的中点时，满足平面平面． 证明如下： 在中，． 又平面，平面 ∴平面，同理，平面 在菱形中，． 平面，平面 ∴平面， 又平面，平面，， ∴平面平面． 由（1）得平面，而平面， ∴平面平面， ∴平面平面． 【分析】（1）设为的中点，连接，，通过证明可得平面，进而可得结论； （2）当为的中点时，使平面平面，通过，可证明面面平行，进而可得面面垂直. 【详解】（1）略 （2）略 变式2-1．已知直角梯形中，，，，，，为的中点，，如图，将四边形沿向上翻折，使得平面平面．在上是否存在一点，使得平面？ 【答案】为的中点时，平面. 【分析】通过构造平行四边形的方法，结合线面平行的判定定理来确定点的位置. 【详解】当点为的中点时，平面，证明如下： 由已知， 所以四边形为矩形， 所以，， 已知，点为的中点，则， 又，， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又平面，平面， 所以平面， 所以在上存在一点，使得平面. ’ 变式2-2．四棱锥的底面是边长为1的正方形，如图所示，点是棱上一点，，若且满足平面，则______. 【答案】 【分析】连接BD，交AC于点O，连接OE，利用中位线性质和线面平行的判定证明平面ACE，结合平面ACE，则证明平面平面ACE，再利用利用面面平行的性质则有，即可得到答案. 【详解】连接BD，交AC于点O，连接OE，由是正方形，得， 在线段PE取点G，使得，如下图所示： 由，得， 连接BG，FG，则， 由平面，平面，得平面， 而平面，，平面， 因此平面平面，又平面平面， 平面平面，则， 所以. 故答案为：. 变式2-3．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，侧面底面，M是的中点．    (1)求证：平面； (2)在棱上是否存在点N使平面平面成立？如果存在，求出；如果不存在，说明理由． 【答案】(1) 由侧面是正三角形，M是的中点，得， 由正方形，得，而平面平面，平面平面， 且平面，则平面，又平面，于是， 而平面， 所以平面. (2)存在，. 【分析】（1）利用面面垂直的性质得平面，再利用线面垂直的性质判定推理作答. （2）取的中点，的中点，连接，再作出直二面角，并探讨线段长度关系，借助比例式求解作答. 【详解】（1）略 （2）取的中点，的中点，连接，连接，连接，连接，    于是，由正方形，得，则，令， 显然是正的中心，，， 又平面平面，平面平面，则平面， 平面，即有，而平面， 则平面，平面，在平面内过作交于， 显然，而平面，因此平面， 连接并延长交于，连接，于是平面平面， 过作，则有，，， ，，则，又，， 从而点是线段的中点，，过作交于， 于是，即，显然，因此， 所以在棱上存在点N使平面平面成立，. 【题型三】线面角、二面角的存在性问题 例3．如图，在四棱柱中，各棱长均为1，，. (1)求证：； (2)求点到平面的距离； (3)侧棱上是否存在一点E，使得与平面所成角的正弦值为?若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由， 【答案】(1)证明：如图，连接，，，记，连接. 因为，，，故， 所以， 因为为正方形，则O为的中点， 所以，且下底面也是正方形，故. 因为平面，平面，且， 所以平面，又平面， 所以. (2)； (3)不存在，理由如下： 假设存在满足条件的点，由（2）知：，即. 过E作，垂足为F，连接，则点F在的延长线上，. 设，则，， 从而，解得. 因为点E在棱上，则， 所以假设不成立，即不存在点E，使得与平面所成角的正弦值为. 【分析】（1）连接，，，记，连接，利用三角形全等得，根据等腰三角形、正方形性质有、，最后由线面垂直的判定和性质证结论. （2）连接，利用等体积法有，结合线面平行求到平面的距离即可； （3）假设点存在，过E作，垂足为F，连接，应用勾股定理求长，结合E在棱上判断存在性即可. 【详解】（1）略 （2）连接. 因为四边形是边长为1的正方形， 所以. 因为，且，所以. 由（1）知：，则， 所以，则，且. 因为平面，平面，且， 所以平面. 设点到平面的距离为d，又， 所以，解得. 因为平面，所以点E到平面的距离为. （3）略 变式3-1．如图，已知三棱台中，平面平面，是以为直角顶点的等腰直角三角形，且. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的大小； (3)在线段上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在，求出线段的长，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明：在三棱台中，，， 在等腰梯形中，， 由余弦定理得：， 则，即， 而平面平面，平面平面平面， 所以平面. (2) (3)存在，线段的长为，理由如下： 三棱台侧棱延长线交于一点，由（1）得为正三角形， 由平面，平面，得平面平面，取中点， 则，而平面平面，平面，则平面， 作交于，则平面，而平面，则， 作于，连接，即在平面上的射影， 又，平面，则平面， 又平面，于是，为二面角的平面角， 若存在使得二面角的大小为，即， 设，则，， 即，解得，，， 因此，， 所以存在满足题意的点. 【分析】（1）借助余弦定理证得，再利用面面垂直的性质推理得证. （2）作出线面角，利用定义法求出大小. （3）延长棱台侧棱还原成棱锥，再利用面面角的定义计算推理即可. 【详解】（1）略 （2）过，垂足为， 因为平面，又平面，所以， 又，，平面， 所以平面，平面， 得  又，平面， 则平面，为与平面所在角，， 因此，所以与平面所成角为. （3）略 变式3-2．已知在长方形中，，点是的中点，沿折起平面，使平面平面. (1)求证：在四棱锥中，； (2)在线段上是否存在点，使二面角的余弦值为？若存在，找出点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) 连接,为的中点，，, 为长方形,中，, 在中，, 同理,,, 在折叠后的图形中： 平面平面，平面平面，,平面, 又平面，, 又，平面,平面,,平面， 又平面,, (2)当点为线段靠近的四等分点时，二面角的余弦值为. 理由如下： 由（1）可知：、均为等腰直角三角形，过点作底边的高，交于点，以为原点建立空间直角坐标系，如图所示： 则,,,, 易知平面的一个法向量为， 假设在线段上存在点，使二面角的余弦值为， 设,则 设平面的一个法向量为， 取，则，， 即当点为线段靠近的四等分点时，二面角的余弦值为. 【分析】（1）、先在长方形中证明；再根据面面垂直的性质定理证明平面,得到；然后利用线面垂直的判定证明平面，进而证明; （2）、以中点为坐标原点建立空间直角坐标系，设表示出，再分别求出平面、平面的法向量，然后利用向量形式表示二面角的余弦值，进而求出最终确定的位置； 【详解】（1）略 （2）略 变式3-3．如图，三棱锥的体积为，，，为的中点 (1)求证：平面平面 (2)线段上是否存在点使得与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)设点到平面的距离为， 因为，，所以，   因为，所以，   因为，所以平面，因为平面， 所以平面平面． (2)存在， 【分析】（1）利用三棱锥的体积为，先证明平面，再利用面面垂直的判定定理证明即可； （2）取的中点为，连接，，作交于，连接，先证明为与平面所成的角，设，则， ，由列方程，解得，即可求解. 【详解】（1）略 （2）取的中点为，连接，，作交于，连接， 因为为中点，则，所以， 因为平面，所以平面，平面， 所以为与平面所成的角.   因为为等腰三角形，，， 所以，，所以， 又，平面，所以为等腰直角三角形 . 设，则，，， ， ， ，即，解得，（舍）  ， 所以，当时，与平面所成的角的正弦值为. 模型01线面平行证明模型 ①在平面内寻找一条直线，证明该直线与已知直线平行，可借助中位线、平行四边形、比例线段证明线线平行； ②写明已知直线在平面外，找到的直线在平面内； ③套用线面平行判定定理：平面外一条直线与平面内一条直线平行，则直线平行于平面； ④整理条件，得出直线的结论。 例1．如图，在四棱台中，上、下底面均为正方形，底面，，，，点为棱的中点.    求证：平面； 【答案】证明:连接交于点，如图所示： 由是正方形得为的中点， 因为为的中点，所以为的中位线， 于是，又因为平面，平面， 所以平面. 【分析】要证明线面平行，需要通过证明线线平行得到线面平行，即证明. 【详解】略. 变式1-1．如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，分别为CD，PA的中点.证明：平面PBC； 【答案】取PB中点，连接，由分别为的中点， 得且，且， 则，且，因此四边形为平行四边形， 则，而平面平面， 所以平面. 【分析】利用线面平行的判定定理，结合三角形中位线的性质及平行四边形的性质推理得证. 【详解】略 变式1-2．如图，在四棱锥中，，，是的中点．求证：平面； 【答案】取的中点，连接，． 因为是的中点，所以，． 又因为，，所以且． 所以四边形为平行四边形．所以． 又因为平面，平面， 所以平面． 【分析】取的中点，连接，，进而可证为平行四边形，进而利用线线平行可证线面平行. 【详解】略. 变式1-3．金刚石也被称作钻石，是天然存在的最硬的物质，可以用来切割玻璃，也用作钻探机的钻头．河南某实业集团股份有限公司是国内人造金刚石的排头兵，人造金刚石年生产能力达15亿克拉，是国内同行业第一，世界第三金刚石生产基地．金刚石呈现如图所示的“正八面体”外形．正八面体由八个全等的等边三角形围成，且对角面（如）都是正方形．证明：平面；    【答案】 由题意可知，对角面是正方形，所以， 又因为平面，平面， 所以平面. 【分析】由题意可知对角面是正方形，则，然后由线面平行的判定定理可证得结论. 【详解】略 模型02线面垂直证明模型 ①在平面内找出两条相交直线，标记出两直线的交点； ②结合勾股定理、等腰三角形三线合一、面面垂直性质等，证明已知直线分别垂直这两条相交直线； ③确认两条直线属于该平面且二者相交，补齐定理全部条件； ④根据线面垂直判定定理，推出这条直线垂直于该平面。 例2．如图，在正四棱柱中，，，为线段中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面. 【答案】(1)连接交于点，连接， 因为分别为的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面. (2)因为正四棱柱中，，，为线段中点， 所以， 因为，所以， 因为，所以平面. 【分析】（1）作中位线，利用线线平行证明线面平行. （2）利用勾股定理得到，证得线面垂直. 【详解】（1）略 （2）略 变式2-1．如图，三棱柱中，为正三角形，侧棱垂直于底面，为中点，则下列说法不正确的是（   ） A．与不垂直 B．平面 C．平面 D． 【答案】D 【分析】假设，则有，与矛盾判断A；根据，，结合线面垂直判定定理判断B；根据，结合线面平行判定定理判断C；假设，则有，显然矛盾判断D. 【详解】对于A，为正三角形，为中点，所以， 假设，又，平面， 所以平面，又平面，所以 因为三棱柱中，侧棱垂直于底面，即平面， 又平面，所以， 因为在中，不能同时成立，故矛盾，假设不成立， 所以与不垂直，A选项正确； 对于B选项，因为平面，平面，所以， 又，，平面，所以平面，B选项正确； 对于C，由,平面,平面,所以平面，C选项正确； 对于D，在直三棱柱中，，若，则，显然不成立， 故假设错误，即与不平行，D选项错误. 故选：D 变式2-2．在正四棱台中，E，F分别为，的中点，则不正确的是（   ） A． B． C．平面 D．平面 【答案】B 【分析】将正四棱台补成正四棱锥，根据空间线面的位置关系逐一判断. 【详解】如图，将正四棱台补成正四棱锥，点是正四棱锥的顶点，是正方形的中心， 连接， 对于A，因为分别是的中点，所以，又，所以，故A正确； 对于B，因为与所成角为，又，所以与所成角为， 因为，所以与所成角为，故B错误； 对于C，因为，平面，平面，所以平面，故C正确； 对于D，因为平面，平面，所以， 又，，所以， 又是平面内两条相交直线，所以平面，即平面，故D正确. 变式2-3．如图，在五面体中，四边形是正方形，平面， ，. (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)证明:平面. 【答案】(1) (2) 证明：过点作，交于点， 则．由，可得， 从而，又，所以平面. 【分析】（1）利用平行关系找出异面直线所成的角,即可由三角形的边角关系求解； （2）根据线面垂直的判定证明. 【详解】（1）因为四边形是正方形，所以． 故为异面直线与所成的角． 因为平面，平面，所以．故． 在中， ， ，故． 所以异面直线与所成角的余弦值为． （2）略 模型03求二面角大小模型 ①定位二面角的棱，在棱上选取合适的点； ②分别在两个半平面内，过棱上该点作棱的两条垂线，两条垂线形成的角就是二面角的平面角； ③在构造出的平面角所在三角形中，利用勾股、余弦定理计算平面角大小； ④判断平面角属于锐角还是钝角，写出二面角最终结果。 例3．如图，在三棱锥中，，，，平面平面，则二面角的正切值的最小值为__________. 【答案】 【分析】过点P作,则O点为AB的中点，再过作于，利用线面 垂直的性质与判定确定为二面角的平面角，结合中位线的性质及三角 形三边关系确定最小值即可. 【详解】 过点P作,则O点为AB的中点，且平面平面， 平面平面，平面，所以平面， 又平面，所以， 过作于，连接， 因为平面，， 所以平面， 又平面，所以， 所以为二面角的平面角， 在中，,， 因为，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为2. 故答案为：. 变式3-1．已知圆锥的顶点为S，O为底面圆心，母线SA，SB互相垂直且的面积为3，直线SA与圆锥底面所成角为，则二面角的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二面角的平面角的概念，做出二面角的平面角，求出各边长，在求出二面角的平面角的正弦值，可求得二面角的大小. 【详解】取的中点，连接， 因为，为的中点，则， 由垂径定理可得，所以二面角的平面角为， 因为平面，平面，则， 因为，，则为等腰直角三角形， 所以，则，，， 因为平面，则为直线SA与圆锥底面所成角，即， 则在中，，故， 所以， 因为，故，即二面角的大小为. 故选：B. 变式3-2．如图，长方体中，是边长为1的正方形，与平面所成的角为，则直线与直线的夹角余弦值为__________：二面角的平面角的正切值为__________. 【答案】 /0.5 【详解】 如图，连接. 由于，则为直线与直线所成的夹角. 因为平面，平面，故. 底面是边长为的正方形，因此，. 因为平面，在底面的投影为，所以与平面所成角. 在中，，得，则. 在中，，直线与直线的夹角余弦值为. 取中点，连接、. 等腰中，；等腰中，， 因此是二面角的平面角. ，，且平面，故. 在中，， 即二面角的平面角的正切值为. 变式3-3．如图，在圆柱中，是底面圆的一条直径，和是两条母线，是底面圆上异于的一点，是线段的中点． (1)求证：直线平面； (2)若，求二面角的大小． 【答案】(1) 连接，令，连接，则是、的中点， 在中是线段中点，是的中点， ∴，又平面，平面， ∴直线平面； (2) 【分析】（1）利用中位线构建平行关系，在平面找到一条线和平行，结合线面平行的判定证明； （2）过作，交的延长线于，连接，可得二面角的平面角，进而得解. 【详解】（1）略 （2）如图，作出符合题意的图形， 过作，交的延长线于，连接， 由题知，，则，则， 显然平面，平面，则， 又，平面，，则平面， 由平面，则， 结合可知，二面角的平面角为， 而，，在直角三角形中，， 则，故二面角的大小是. 模型04点到平面距离求解模型 ①将所求点作为三棱锥的顶点，平面内的三角形作为三棱锥的底面； ②换底，选取容易算出面积的面当作底面，求出三棱锥的体积； ③利用三棱锥体积公式，变形得到高； ④计算底面三角形面积，代入公式求出高，即为点到平面的距离。 例4．如图，在三棱锥中，，，，，求点到平面的距离. 【答案】 【分析】变换图形位置，使在水平位置，作平面，以点为一顶点，三条棱在上，且以为体对角线补成长方体，求出，即得与平面所成的角，从而可求点面距离. 【详解】变换图形位置，使在水平位置，因，过点作平面的垂线， 以点为一顶点，三条棱分别在上，且以为体对角线补成长方体 设，在长方体中易得，则， 故，即得，故， 易得平面，则即与平面的所成角， 故点到平面的距离为. 变式4-1．如图，在正四棱台中，． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明：连接交于点，连接， 是正四棱台的对角面与下底面和上底面的交线，则， 又，所以，即， 所以是平行四边形，所以，， 又平面，平面，所以平面； (2). 【分析】（1）连接交于点，连接，证明，然后得证线面平行； （2）由等体积法计算：. 【详解】（1）略 （2）由（1）平面，所以， 正四棱台中，， 作于，则是正四棱台的高，正四棱台中，，，则， ， 所以， 又，是中点，所以， 由（1）知，而， 所以， 设点到平面的距离为，则，， 所以点到平面的距离为. 【点睛】 变式4-2．如图，在直三棱柱中，，，D，E分别为，的中点．    (1)证明：平面； (2)设，求直线到平面的距离． 【答案】(1)如图1，连接， 图1 在中，分别为,中点， ∴．                ∵平面，平面， ∴平面． (2)1 【分析】（1）利用三角形的中位线证得线线平行，进而根据线面平行的判定定理得出线面平行 （2）利用第一问的线面平行性质将“线面距离”转化为“点面距离”，再通过作辅助线构建垂直关系，找出并计算出垂线段DF的长度. 【详解】（1）略 （2）， 在中，，， 过点作，如图2，则有，且为的中点，          图2 则点为中点，，， 因为是直三棱柱，所以平面， 因为平面，所以， 平面， 所以平面， 由上知平面， 所以到面的距离即为． 变式4-3．如图，在直三棱柱中，是上的点，且平面. (1)求证：平面； (2)若，求点到平面的距离. 【答案】(1) 因平面，平面，则， 又，故， 又三棱柱是直三棱柱，所以， 又易知与相交，且平面， 所以平面. (2) 【分析】（1）利用线面垂直性质以及线面垂直判定定理证明即可； （2）易知点到平面的距离等于点到平面的距离，即为. 【详解】（1）略 （2）因为矩形，所以点到平面的距离等于点到平面的距离. 由已知条件平面，即点到平面的距离等于. 在中，, 故 技巧 一句话要点 共面证明 证明四点共面优先用两条相交/平行直线确定平面，再证其余点落在平面内，紧扣基本事实 平行证明 线线平行→线面平行→面面平行，正向推导；证明线面平行务必写明直线不在平面内 垂直证明 证线面垂直，一定要找到平面内两条相交直线与已知直线垂直，"相交"二字不能省略 建系技巧 优先选取三条两两垂直的棱建空间直角坐标系，保证坐标轴两两垂直，减少坐标计算错误 求平面法向量 待定系数法列方程组，自由变量直接赋值为1，快速求出一个法向量即可，不用化简为单位向量 求空间角 异面角、线面角一律加绝对值，只保留锐角；二面角看图定正负，不盲目套用公式 距离计算 所有距离公式都要带绝对值，结果一定是非负数；平行距离统一转为点到平面距离计算 存在性问题 先假设点存在，设动点坐标参数，列式求解；有合理解则存在，无解则不存在，最后带回验证 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $