31.1.2 圆的确定（教学课件）数学新教材沪教版五四制九年级下册

31.1.2 圆的确定 第三十一章 圆 沪教版九年级下册 学习目标 1.探究：过一点、两点、三点作圆的规律；掌握定理：不在同一直线上的三点确定一个圆，理解 “确定”= 有且只有。 一 2. 理解三角形外接圆、内接三角形、外心概念；知道外心是三角形三边垂直平分线交点，掌握三类三角形外心位置：锐角△在内部、直角△在斜边中点、钝角△在外部。 3. 会尺规作图：作三角形外接圆；会利用垂直平分线找残圆的圆心。 二 1 情境引入 目录 3 典例分析 5 归纳总结 4 巩固练习 6 感受中考 7 小结梳理 8 布置作业 2 合作探究 情景引入 圆的确定 请欣赏下列两幅图，并思考两幅图中的圆各有什么共性？ A A B 过一点的圆 过两点的圆 三个圆都过点A 三个圆都过两点A、B 合作探究 圆的确定 过一点能画多少个圆？它们的圆心和半径都是确定的吗？ A 过一点可以画无数个圆，它们的圆心和半径都不确定。 合作探究 圆的确定 过两点能画多少个圆？它们的圆心有规律吗？ 过两点可以画无数个圆，它们的圆心都在这两点连线的垂直平分线上。 A B 为什么呢？ 例题讲解 圆的确定 例1 已知平面上有两个不同的点A、B. 问：同时经过点A、B的圆有 多少个？并说明理由. 解 如图，假设⊙O同时经过点A、B， 由圆的定义，得OA=OB，于是，圆心O在线段AB的垂直平分线上; 反过来，在线段AB的垂直平分线上任意取一点O，都有OA=OB，因此以点O为圆心、以OA为半径作圆，则O必经过点B; 因此，同时经过点A、B的圆有无数个，这些圆的圆心都在线段AB的垂直平分线上 A B 合作探究 圆的确定 在平面上，同时经过三点的圆是否仍然有无数个？对应的圆心位置又如何？ A、B、C三点不在同一直线上 A B A、B、C三点不在同一直线上 不在同一直线上三个点确定一个圆，圆心是任意两点连线的垂直平分线的交点； 因为AB、BC的垂直平分线没有交点，所以同一直线上三个点不能确定一个圆。 合作探究 圆的确定 已知：平面上给定的三个不同的点A、B、C不在同一直线上. 求证：存在一个圆同时经过A、B、C三点，并且这样的圆只有一个. A B 分析 A、B、C三点两两连线可组成△ABC. 反过来，同时经过A、B、C三点的圆的圆心到这三点的距离相等，所以它一定在线段AB、BC、CA的垂直平分线上，即为△ABC三边的垂直平分线交点. 所以，同时经过A、B、C三点的圆只有一个. 因为△ABC的三边的垂直平分线交于一点O，所以有OA=OB=OC，这表明A、B、C三点都在以点O为圆心、以OA为半径的圆上； 定理：经过不在同一直线上的三个点，可以作一个并且只能作一个圆。即不在同一直线上的三点确定一个圆。 合作探究 圆的确定 “确定”一个圆 圆心确定 半径确定 有且只有一个圆 合作探究 圆的确定 （1）以定点A为圆心，3cm 为半径； （2）过定点A、B，且半径为3cm； （3）过同一直线上的三点； （4）矩形的四个顶点. 能 不能 不能 能 A B 思考：下列条件中，能确定一个圆的有哪些？ 新课讲解 圆的确定 知识点：一个三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫作这个三角形的________. A B 三角形外接圆的圆心叫作三角形的______. 相应地，这个三角形叫作这个圆的____________. 三角形的外心是三角形______________的交点。 外接圆 内接三角形 外心 各边中垂线 三角形的外心到三角形______________的距离相等。 各顶点 例题讲解 圆的确定 例2 已知：△ABC 是直角三角形，∠C=90°. 求证：△ABC 的外心是斜边AB 的中点. 证明 如图,设斜边AB的中点为M,连接CM,则线段CM是斜边AB上的中线. A B C ·M 根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，得到AM=BM=CM，这说明A、B、C 三点在 总结： 直角三角形的外心是直角三角形斜边的中点。 以点M 为圆心、MC为半径的圆上，即M 是△ABC 的外心. 例题讲解 圆的确定 作法 如图所示, (1)作线段AB的垂直平分线l₁； A B C ·O (2)作线段AC的垂直平分线l₂,设l₂与l₁相交于点O； 总结： (1)钝角三角形的外心在三角形的外部. (3)以点O为圆心、以OA为半径作⊙0. ⊙O就是所求作的圆. l₁ l2 (2)因为三角形三边的垂直平分线交于同一点，所以在确定外心时只要作其中两边的垂直平分线即可. 例3 已知钝角∆ABC，用直尺和圆规作出这个三角形的外接圆. 合作探究 圆的确定 A B C ·O 总结： (1)锐角三角形的外心在三角形的内部。 l₁ l2 (2)直角三角形的外心是直角三角形斜边的中点。 思考： 画图试一试，锐角三角形的外心在三角形的哪里？ (3)钝角三角形的外心在三角形的外部。 A B C ·M A B C ·O l₁ l2 巩固练习 圆的确定 A B C ·O D E 1. 求边长为2的等边三角形ABC 的外接圆半径 解析 如图所示, 作∆ABC 的高CD、BE交于点O； ∵∆ABC是等边三角形 ∴BD=，∠OBD=∠ABC=30° ∴r=OB=. 总结： 等边三角形的外心是三角形三条高的交点，也是三条中线的交点，还是三条角平分线的交点。 巩固练习 圆的确定 2. 如图是⊙O的一部分弧，用直尺和圆规找出圆弧的圆心O，并将圆补完成． 解析 如图所示, (1)在弧上任取三点A、B、C,并顺次连接得到∆ABC; (2)作线段AB的垂直平分线l₁，AC的垂直平分线l₂, 则l₁与 l₂交点即为圆心O; 以点O为圆心、以OA为半径即可作⊙0. A 　· ·B　 ·C　 l₁ l2 ·O　 巩固练习 圆的确定 ３. 如图是一个半径未知的圆，怎样用一张A4纸(边缘完整)和一把有刻度的直尺确定该圆半径的近似值(结果精确到1mm)?说明你的操作步骤和理由. 解析 如图所示, (1)在A４纸上描出该圆； (2)用直尺任意画出两条弦AB、BC； (3)将圆折叠使点A与点B重合，折痕即为AB的垂直平分线；再将圆折叠一次得到BC的垂直平分线； 则两条折痕的交点即为圆心O，测量AO的长度即可量出该圆的半径长。 A B C ·O 小结梳理 圆的确定 中考链接 2.（湖南湘西·中考真题）如图，⊙O 是等边∆ABC 的外接圆，其半径为4．过点B 作BE⊥AC于点E，点P 为线段BE 上一动点（点P 不与B，E 重合），则CP+BP 的最小值为__________． 【提示】如图所示，过点P 作PD⊥AB 于D，连接CO并延长交于AB 于点F， 则有CP+BP=CP+PD 所以CF 的长为其最小值. 圆的确定 6 中考链接 1.（2025.南京.中考真题）下列图形中，一定有外接圆的是（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 A 圆的确定 作业布置 必做题：31.1 第4 题. 圆的确定 作业布置 1. 三角形的外心是（    ） A．三角形三条中线的交点 B．三角形三条高的交点 C．三角形三边垂直平分线的交点 D．三角形三个内角平分线的交点 选做题： 圆的确定 作业布置 2. 如图，点A，B，C均在直线l 上，点P 在直线l 外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（      ）个。 选做题： 圆的确定 沪教版九年级下册 谢谢观看！ $