专题1.2 锐角三角函数的计算（8大题型+高效培优讲义）数学新教材浙教版九年级下册

的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题1.2锐角三角函数的计算 内容总览 1教学目标、教学重难点 知识点01特殊角的三角函数值 2.知识清单 题型01特殊三角形的三角函数 题型02持殊角三角函数值的混合运算 题型03由特殊角的三角函数值判断三角形形状 锐角三角函数的计算 题型04根据特殊角三角函数值求角的度数 3.题型精讲 题型05已知角度比较三角函数值的大小 题型06利用同角三角函数关系求值 题型07互余两角三角函数的关系 题型08三角函数综合 基础自测 4.强化训练 能力提升 教学目标 教学重难点 1.熟记30°、45°、60°特殊角的正弦、余弦、正切值，能够结合三角板自主推导，理 解特殊角三角函数值的由来，同时学会用计算器求一般锐角的三角函数值，掌握度分 秒的输入。 教学目标 2.能熟练运用特殊角三角函数值直接计算代数式，也可借助计算器，根据三角函数 值反向求出对应的锐角，会将小数度数转化为度、分、秒，分清正向计算与逆运算。 3.能够结合特殊角或者计算器算出的数据，将斜坡、高度测量等实际问题转化为直 角三角形模型，体会数形结合思想，提升运用三角函数解决问题的能力。 1.重点 教学重难点 (1)牢记30°、45°、60特殊角三角函数值，熟练完成含特殊角的三角函数计算；掌 1/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 握计算器操作，实现已知锐角求三角函数值，熟悉度分秒输入与结果近似取值。 (2)会利用计算器第二功能键，依据三角函数值反求锐角度数，并且做好度、分、 秒之间换算：结合直角三角形，灵活选用特殊角或者计算器计算来完成边角运算。 2.难点 (1)容易记混30°、45°、60°对应的sim、cos值，分不清正弦与余弦大小变化规律； 使用计算器时容易漏掉第二功能键，角度模式选错造成计算出错。 (2)在综合性应用题中，难以快速判断选用特殊角三角函数还是计算器求值；遇到 非直角三角形，不能及时构造直角三角形，容易在建模与计算时思路混乱。 知识清单 知识点01特殊角的三角函数值 三角函数 30° 45° 60° sin a √ 2 cosQ 2 tan a 3 1 【即学即练】1.等腰直角三角形中，一个锐角的余弦值为() B.号 3 c D. 5 2 2.如图，在边长为1的正方形网格中，点A,B,C,D均在格点上，AB,CD相交于点E,则©os∠AEC 的值为 C B 3.计算： 0)cos450-tan30°sin60°+c0s30°sin60°， 2 2/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (②)V1-tan60'-2sin45°+(cos45y°+1 tan60°-√2· 题型精讲 题型01特殊三角形的三角函数 【奥创】(2s7九年数上疗随碳练》在RA4c中，2C-9心m 2,则anB的值为 C. D.5 【变式1】(2026云南大理二模)如图，AB是⊙0的直径，弦CD1AB,垂足为E,若∠BOC=60°，则 cos∠A的值等于() D B A 1 B② 2 2 c.2 D. 3 ，弦 B OC=OD CD⊥AB .∠BOD=∠BOC=60°， 由圆周角定理得：∠B1D=BOD=30。 3/16 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ 【变式2】(26-27九年级上·河北石家庄阶段检测)sin60°= c0s30°= 【变式3】(2026广东东莞二模)如图，Rta0AB中，∠0AB=90,点A坐标为(N5,,B为，x轴上的 点，则OB= B 题型02特殊角三角函数值的混合运算 【典例1】(2026天津西青·二模)计算V2cos45°-sin30°的值等于() A.0 B. C.1 D.√2 【变式1】(2026天津和平·三模)3tan30°-tan45°+2sin60°的值等于() A.+月 2 B.2W5-2 2 C.25 D.25-1 【变式2】(26-27九年级上山东东营阶段检测)计算：sin260°+sin230°= 【变式3】(26-27九年级上江苏苏州阶段检测)计算：V3tan30°-cos60°+sin45°， 题型03 由特殊角的三角函数值判断三角形形状 【奥例】(2025九年级全国专想练习》在8C中，∠么∠B都是能角，且sm4=5 ,tanB=V5,则 △ABC的形状是() A.直角三角形 B.钝角三角形 C.等边三角形 D.不能确定 【变式1】(2-23八年级上全国期中)若(3anA-3+2cosB-V月=0，则A4BC() A.是直角三角形 B.是等边三角形 C.是含有60°的任意三角形 D.是顶角为钝角的等腰三角形 变式2)】(2026九年级下辽宁沈阳专题练习在。4C中，B部是锐角，9mA=目 2 4/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 tanB=√3，则△ABC是_三角形. [变式325-26九年级上甘肃天水期中)在。BC中，者sm1 ∠A ∠B为锐角)，则△ABC的形状是 题型04根据特殊角三角函数值求角的度数 【典例1】(26-27九年级上山东淄博阶段检测)在Rt△ABC中，∠C=90°，若tanA=V5,则∠A= A.30° B.45° C.60° D.90° 【变式】2627九年级上黑龙江哈尔滨阶段检测)已知为锐角，且si咖(e-109)上 2,则a等于 A.60° B.70° C.80° D.90° 【变式2】(26-27九年级上浙江杭州阶段检测)若c0sB=5 ,则锐角∠B= 【变式3】(26-27九年级上·湖南岳阳·阶段检测)在△ABC中，∠A,∠B均为锐角，且满足 （tanB-l}2+ cos 4=0 题型05 己知角度比较三角函数值的大小 【典例1】(26-27九年级上山东淄博开学考试)当锐角A<45°时，cosA的值() A.f号 8大号 C小手9 D.太干 【变式1】(2026九年级下北京西城专题练习)线段AB长为1，以AB为直径作⊙0，在⊙0上取点C (不与A、B重合)，连接BC,设∠BAC=C,下列结论中一定正确的是() A.sina cosa B.cosa<sina C.sina<tana D.cosa<tana 【变式2】(25-26九年级上安徽六安期末)比较大小：sin41° c0s41°.（填“>=”或 <2”) 【变式3】(25-26九年级上山东泰安期中)将c0s36°，sin53°，c0s54°用“>”号连接起来为 5/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型06利用同角三角函数关系求值 【典例1】（25-26九年级上江苏无锡阶段检测)若A为锐角，且si血A= ,则tanA的值为() 4 A.4 B.3 c.5 D.3 【变式1】(25-26九年级上江苏·寒假作业)已知a为锐角，下列结论：(1)sina+cosa=1;(2) sina=cos(90°-a):(3)ana=cos:(4)sina-y=1-sina.其中正确结论的序号是（) sina A.(1)(3)(4)B.(2)(4) C.(2)(3)(4) D.(3)(4) 【变式2】(26-27九年级上：黑龙江哈尔滨阶段检测)阅读下面材料，$加30= 2'cos30=V3 ，则 sin30+cos sin45 2,cos45= 2,则sin245°+cos245°=1，已知∠4为锐角(cosA>0)且 2 sin A= 3,则cosA= 【变式3】(26-27九年级上江苏苏州阶段检测)计算题： (1)计算： 2sin60°-V3 os60°+tan245°.tan260°： 2 (2)已知a、B是锐角，请化简：sin2a+sin2B-sin2asin2B+cos2acos2B. 题型07互余两角三角函数的关系 【典例1】(26-27九年级上山东淄博阶段检测)若a,B为锐角，且sinC=cosP,则+B的值 () A.小于90° B.等于90° C.大于90° D.无法确定 【变式1】(25-26九年级上·四川内江：期中)下列结论中正确的有() ①sin30°+sin30°=sin60°；②sin45°=cos45°；③cos25°=sin65°；④若∠A为锐角，且sinA=cos28°， 则∠A=62° A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6/16 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ 【变式2】(2026安徽滁州一模)在RtA4BC中，∠C=90o,若sin4=V2 3,则cosB的值为 【变式3】(25-26九年级下广西崇左阶段检测)已知a为锐角，si血(90-)+cosa=V5,则a=一 题型08 三角函数综合 【典例1】(2425九年级下河北秦皇岛阶段检测)如图，已知四边形ABCD内接于圆O,∠BAC=35°， ∠CAD=70°，若BC=3,则CD的长可能是() A.2 B.4 C.6 D.8 【变式1】(2025：陕西宝鸡二模)如图，在平面直角坐标系中，等边△AOB和菱形OBCD的边AO、OD 都在x轴上， 反比例函数y-（k≠0)的图象经过点C.已知C的长度为2，则k的值为 B 【变式2】(2025四川乐山一模)如图，点E是矩形ABCD中CD边上的一点，△BCE沿BE折叠为 sina-cosa1 △BFE'点F落在AD上.若∠DpE的大小为a,且满足cosa+2sind10:则am∠BEC的值为 7/16 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式3】(2026福建莆田·模拟预测)如图，△ABC中，点D在边BC上，连接AD,线段AD绕点A逆 时针旋转物到E应D的时对应点E在C,连接'且8m一5DE, 4 B D (I)判断△ADE的形状，并说明理由： (2)若DE2=BD.CE,求∠BAC的度数. 强化训练 基础自测 一、单选题 1.(2026天津和平·三模)V3sin60°-tan45°的值等于() A.0 B.2 C. D.5-1 2.(25-26九年级上·上海期中)己知△ABC中，∠C=90°，BC=3,AB=4,那么下列说法正确的是 () 3 3 A.sinA= B.COsA= D.cosB= 5 C.cotB=4 3 4 2,sinC=4 ?。(25-26九年级上江苏南通阶段检测)知图，AMC中，cos日=2 1C=5,则A4Bc的面积 是() C 21 A.2 B.12 C.14 D.21 4.(2425九年级下黑龙江绥化期中)如图，三角形纸片ABC中，∠BAC=90°，AB=3,AC=4,沿过 8/16 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ 点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与AC 的交点为E,则tan∠DEA=() B 25 > A.24 B.24 c. D. 5.(2024九年级上山东青岛专题练习)在如图所示8×8的网格中，小正方形的边长为1，点A、B、C、 D都在格点上，AB与CD相交于点E,则∠AED的正切值是() B A.2 B. D. 5 6.(25-26九年级上辽宁沈阳期末)如图，∠M0N=60°，以0为圆心，2为半径画弧，分别交OM, ON于点A,B,再分别以A,B为圆心，√6为半径画弧，两弧在∠MON内部相交于点C,作射线OC, 连接AC,BC,则下列结论正确的是()I A.∠ACB=45 B.OC长为23 C. △40C的面积为5 D.tan∠Bco=S M A D 由题意得： OA=OB=2 AC=BC=6 9/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.OC垂直平分AB, :OCLAB.BD-1AB, .∠M0N=60°， .△AOB是等边三角形， .AB=OA=2, BD=1, .CD=BC2-BD2=5,OD=OB2-BD2=3, :.OC=CD+OD=V5+V3,故B错误，不符合题意： 8c0cx0*(5+同)k1=5, 2 ,故C错误，不符合题意： 在 tABCD中，tan∠BCO=tan∠BCD=BD-1=V5 CD5=5,故D正确，符合题意： 无法证明∠ACB=45°，故A错误； 故选：D 二、填空题 7.(25-26八年级上江苏准安·期中)如图，△ABC三个顶点都在格点上，已知小方格的边长为1，则 tan B 8. (25-26九年级上山东青岛阶段检测)在Rt△ABC中，∠C=90°，若2AC=V5AB,则∠A=°. 9，.(2526九年级上全国课后作业)已知2，p为能角，且sm(0-a）)-号如B=} cos(90°-B)_ cosa 10(2,6九年级上山东日照期末)如图，A1BC中，mC-手D是边C上一点：将。4CD沿D胜 折得到△AED,使线段AE、BC相交于点F,若CF=10,EF=4,则AC=一· 10116 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E 三、解答题 4 1,(2025九年级全国专题练习)如图所示，在R△ABC中，∠C=90,simA=5,B=15~求AABC 的周长和tanA的值. B A C 12.(25-26九年级上·河北沧州阶段检测)如图.在△ABC中，AD⊥BC于点D,若 AD=4,BC=6,tan C=2 (1)求CD的长： (2)求cosB的值， 13.(25-26九年级上江苏无锡期末)计算： (1)2cos245°-sin60cos30°-tan45° (2)(3-π)°+4cos45°-V⑧ 14.(24-25九年级上·北京海淀·期中)在学习《解直角三角形》一章时，小明同学对互为倍数的两个锐角 的正切进行了一些研究. ()尝试：由于an60°=一，tan30°=一，发现结论：tan2A_2tanA;(填“=或“≠”) (②)实践探究：如下图，在R△4BC中，∠C=90,AC=2,BC=1,求an2A的值； 2 11/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 以下是小明的想法：我应该构造包含2∠A的直角三角形：延长CA至点D,使得DA=AB,连接BD,所 以∠DA,印转化为求∠D的正切准。访拔小明的思路求解如4 D A (3)利用上面的方法，计算tanl5° 15.(2025·山东临沂·二模)【阅读理解】 小明用了如下的方法计算出tanl5°的值. 如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，作线段AB的垂直平分线交BC于点D,连接AD,则 BD=AD,∠ADC=30°.设AC=k,则AD=BD=2k,DC=V3k. 2-V5 tan B=tan15= =2-V5 2k+V3k(2+V3)2-V⑤) D M 图1 图2 【拓展应用】 如图2，矩形ABCD为某建筑物的主视图，小丽在该建筑物的右侧点M处用地面测角仪（忽略其高度，下 同)测得顶点C的仰角Q为18.4°，由于某个原因，BM的长度无法测量，于是小丽又到它的左侧点N处 测得ND的坡度为V6:1,同时测得AW的长度为5米. (I)请模仿小明的方法，求出tan2a的值： ②求出BM的长度.（结果精确到01·参考数据：sn184 25,0s184P24 25,tan18.4 3, V6≈2.449). 能力提升 一、单选题 12116 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1,（26-27九年级上江苏苏州阶段检测)已知∠A为锐角，且sim4 2,则() A.0°<∠A<30° B.0°<∠A≤30° C.30°≤∠A≤90° D.30°≤∠A<90° 2.(26-27九年级上山东泰安·阶段检测)下列各式中不成立的是() A.sin260°+sin230°=1 B.cos45°=sin45o C.tan45°>sin45o D.sin30°+cos30°=1 3.(26-27九年级下·全国单元测试)如图，某商场有一自动扶梯，其倾斜角为28°，高为7米.用计算器 求AB的长，下列按键顺序正确的是() B 7米 28° A A.①8s②⑧© B.⑦⊙②⑧G c.⑦8a②(8（© p.⑦⊙@②⑧© 4.(2026江苏扬州三模)如图，在△ABC中，∠A=90,∠B=30°，AB=12,根据作图痕迹可得CD的 长为() A.3 B.4 c.6 D.8 5.(2026四川广元三模)如图，已知AB是⊙0的直径，弦AC、BD相交于P点，若∠APB=120°.则 CD B的值为() B A.2 B. 2 c.2 D. 13116 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 二、填空题 6.(26-27九年级上·上海杨浦阶段检测)计算：cos212°+sin12°= 7（2627九年级上山东湄博期中)已知。为锐角，且c0sa+10)=5 ,则a 度】 8Q627九年级上山东济宁价段检测在C中，苦动1月 为锐角)，则∠C=° 9.(2026江苏扬州模拟预测)如图，在3×3的正方形网格中，A,B,C是正方形网格的格点，连接 AC,AB,则tan∠BAC的值是 10.(2022新疆伊犁三模)如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,点E在BC的延长 线上，连接DE,点F是DE的中点，连接OF交CD于点G,连接CF,若CE=4,OF=6.则下列结论： ①GF=2:②0D=20G:③an∠CDE= 040r=∠0F=90:@点D到cr的距离为85.共 8V5 中正确的结论是 三、解答题 11.(26-27九年级上山东淄博阶段检测)计算： (1)2sin230°+cos245°+sin60°tan45°， (2(V2-1°+v8-6sin45+(-1)20" 12.(26-27九年级上江苏苏州阶段检测)己知关于x的方程2x-(V5+小x+m=0的两根为sin0和cos0, 8为锐角.求： tane.sin cos (1) tan-1 1-tang的值； (2)m的值： 14116 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)方程的两根及此时的8的值； 13.(26-27九年级上山东东营阶段检测)如图，根据图中数据完成填空，并按要求答题： B 1 CI V3 A C21A 4 图① 图② 图③ 图④ (1)sin2+cos2= sin2+cos2= (2)观察上述等式，猜想：在Rt△ABC中，∠C=90°，则有sin2A+cos2A= (3)如图④，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,C,利用三角函数的定义和 勾股定理，证明你的猜想. ④若0r<∠A<90:且sinA-cosA= 25,求sinA+cosA的值。 14.(26-27九年级上山东淄博阶段检测)观察下列等式： 2,sin60°=V ①sin30°= 2:②sin45°=V2 2，c0s45°= 2:③c0s30°= 2，c0s60°= 2 (1)根据上述规律，计算sin'a+sin2(90°-a）=[注：sin'a=(sina)]. (2)求sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°的值 15.(26-27九年级下·全国单元测试)【阅读理解】如图，在直角三角形中，由锐角三角函数的定义我们 容易得到以下结论： 6 a B sinA=a ① →sinA=cosB Cos B=a sind_a.c=a=tand; ② cosA c bb 15116 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ tan= 0 b ⊙ →tan A.tan B=1, b tan B= a 【牛刀小试】 0记知∠A∠B=0,且n4-兮则mB 5cosA+2sinA (②)已知∠A为锐角，且tan4=4,求3cosA-sinA的值： (3)试求出tanl°.tan2°.tan3°.tan4°.tan86°.tan87°.tan88°.tan89°的值. 16116 专题1.2 锐角三角函数的计算 教学目标 1. 熟记30°、45°、60°特殊角的正弦、余弦、正切值，能够结合三角板自主推导，理解特殊角三角函数值的由来，同时学会用计算器求一般锐角的三角函数值，掌握度分秒的输入。 2. 能熟练运用特殊角三角函数值直接计算代数式，也可借助计算器，根据三角函数值反向求出对应的锐角，会将小数度数转化为度、分、秒，分清正向计算与逆运算。 3. 能够结合特殊角或者计算器算出的数据，将斜坡、高度测量等实际问题转化为直角三角形模型，体会数形结合思想，提升运用三角函数解决问题的能力。 教学重难点 1.重点 （1）牢记30°、45°、60°特殊角三角函数值，熟练完成含特殊角的三角函数计算；掌握计算器操作，实现已知锐角求三角函数值，熟悉度分秒输入与结果近似取值。 （2）会利用计算器第二功能键，依据三角函数值反求锐角度数，并且做好度、分、秒之间换算；结合直角三角形，灵活选用特殊角或者计算器计算来完成边角运算。 2.难点 （1）容易记混30°、45°、60°对应的sin、cos值，分不清正弦与余弦大小变化规律；使用计算器时容易漏掉第二功能键，角度模式选错造成计算出错。 （2）在综合性应用题中，难以快速判断选用特殊角三角函数还是计算器求值；遇到非直角三角形，不能及时构造直角三角形，容易在建模与计算时思路混乱。 知识点01 特殊角的三角函数值 三角函数 30° 45° 60° 1 【即学即练】1．等腰直角三角形中，一个锐角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查特殊角的三角函数，根据题意得到等腰直角三角形一个锐角的余弦值为，计算求解即可． 【详解】解：∵在等腰直角三角形中，两锐角相等，且等于， 等腰直角三角形一个锐角的余弦值． 故选：A． 2．如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，，相交于点E，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理和逆定理，等腰直角三角形的性质和判定，余弦的定义，取格点，连接、，由得到，证明是等腰直角三角形，且，根据余弦的定义即可得解． 【详解】解：取格点，连接、，如图， 由图可知：在正方形网格中，， ， 小正方形的边长为1， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形，且 ∴ ∴． 故答案为：． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将特殊角的三角函数值代入，然后根据二次根式混合法则计算即可求解； （2）先将特殊角的三角函数值代入，然后根据二次根式混合法则计算即可求解； 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型01 特殊三角形的三角函数 【典例1】（26-27九年级上·北京·随堂练习）在中，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦的定义可得的度数，进而可得的度数，再由正切的定义可得答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（2026·云南大理·二模）如图，是的直径，弦，垂足为，若，则的值等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，先根据等腰三角形的三线合一可得，再根据圆周角定理求出，然后根据特殊角的三角函数值求解即可. 【详解】解：如图，连接， ∵，弦， ∴， 由圆周角定理得：， ∴. 【变式2】（26-27九年级上·河北石家庄·阶段检测）________，________． 【答案】 【分析】直接写出特殊锐角的三角函数值即可． 【详解】解：根据特殊锐角三角函数值，可得，． 【变式3】（2026·广东东莞·二模）如图，中，，点A坐标为，B为x轴上的点，则______． 【答案】 【分析】过点A作于点D，根据，得，利用特殊角的余弦函数求解即可． 【详解】解：过点A作于点D， 点A坐标为， 故， ， ， ， ， ， 解得． 题型02 特殊角三角函数值的混合运算 【典例1】（2026·天津西青·二模）计算的值等于（     ） A．0 B． C．1 D． 【答案】B 【详解】解： ． 【变式1】（2026·天津和平·三模）的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解： ． 【变式2】（26-27九年级上·山东东营·阶段检测）计算：_______________． 【答案】1 【详解】解： ． 【变式3】（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 题型03 由特殊角的三角函数值判断三角形形状 【典例1】（2025九年级·全国·专题练习）在中，都是锐角，且，则的形状是（   ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查特殊角的三角函数值与三角形形状的判定，掌握利用特殊角的三角函数值求出角的度数，进而判断三角形形状是解题的关键． 根据特殊角的三角函数值求出和的度数，再判断三角形的形状． 【详解】解：，且是锐角， ； ，且是锐角， ；则， 三个角都为， 是等边三角形． 故答案为：C． 【变式1】（22-23八年级上·全国·期中）若，则（　　） A．是直角三角形 B．是等边三角形 C．是含有60°的任意三角形 D．是顶角为钝角的等腰三角形 【答案】A 【分析】由已知可得，，从而可得，进而可得的形状． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形． 故选：A． 【点睛】本题考查平方的非负性，绝对值的非负性，直角三角形的判定，特殊角的三角函数值． 【变式2】（2026九年级下·辽宁沈阳·专题练习）在中，、都是锐角，，，则是______三角形． 【答案】等边 【分析】先根据特殊角的三角函数值得到和的度数，再利用三角形内角和定理求出的度数，最后根据三角形的分类判断三角形类型． 【详解】解：在中，，都是锐角，，， ，， ， 的三个内角都是， 因此是等边三角形． 【变式3】（25-26九年级上·甘肃天水·期中）在中，若（其中，为锐角），则的形状是______． 【答案】钝角三角形或等腰三角形 【分析】此题主要考查了非负数的性质以及特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．由非负数的性质求出 和 的值，再根据三角函数值确定角 和 的度数，结合三角形内角和定理判断形状． 【详解】解：∵， ∴， ， ∴，， ，为锐角， ∴，， ∴的度数是， 所以 是钝角三角形或等腰三角形， 故答案为：钝角三角形或等腰三角形． 题型04 根据特殊角三角函数值求角的度数 【典例1】（26-27九年级上·山东淄博·阶段检测）在中，，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵在中，， ∴为锐角， 又∵， ∴． 【变式1】（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知为锐角，且，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据特殊角三角函数值，结合已知条件，得到的值并求出． 【详解】解：由，根据特殊角三角函数值得： ， 解得， 经检验是锐角，符合题意． 故选：B． 【变式2】（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）若，则锐角________． 【答案】/30度 【详解】∵为锐角，且， ∴． 【变式3】（26-27九年级上·湖南岳阳·阶段检测）在中，，均为锐角，且满足，则__________． 【答案】/度 【分析】根据平方和绝对值的非负性，得到两个式子分别等于0，求出和的值，再结合特殊锐角的三角函数值得到，的度数，最后利用三角形内角和计算． 【详解】解：∵ ，，， ∴ ，， 即 ，， ∵ ，均为锐角， ∴ ，， ∴ ． 题型05 已知角度比较三角函数值的大小 【典例1】（26-27九年级上·山东淄博·开学考试）当锐角时，的值（     ） A．小于 B．大于 C．小于 D．大于 【答案】B 【分析】在锐角范围内，余弦值随角度的增大而减小． 【详解】解：∵， ∴锐角时，的值大于． 故选：B． 【变式1】（2026九年级下·北京西城·专题练习）线段长为1，以为直径作，在上取点C（不与A、B重合），连接．设，下列结论中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用圆周角定理确定，得到α为的锐角，再结合锐角三角函数的性质逐一判断选项即可． 【详解】解：∵为的直径，点C在上且不与A，B重合， ∴，可得，即α为锐角， 根据锐角三角函数定义，可得， ∵， ∴，， ∴，即，故C选项正确； 对其余选项验证： 当时，，故A选项错误， 当时，，故B选项错误， 当α趋近于时，趋近于1，趋近于0，此时，故D选项错误． 【变式2】（25-26九年级上·安徽六安·期末）比较大小：__________．（填“>”“=”或“<”） 【答案】< 【分析】本题主要考查了正弦、余弦的性质，掌握当锐角时，正弦的函数值随角度的增大而增大，余弦的函数值随角度的增大而减小是解题的关键． 根据正弦、余弦的性质求解即可． 【详解】解：∵正弦的函数值随角度的增大而增大，余弦的函数值随角度的增大而减小， ∴， ∴，即． 故答案为：<． 【变式3】（25-26九年级上·山东泰安·期中）将，，用“＞”号连接起来为______． 【答案】 【分析】本题考查了已知角度比较三角函数值的大小．通过互余角的三角函数关系将余弦值转化为正弦值，再利用正弦函数在锐角范围内的性质进行比较大小，即可作答． 【详解】解：依题意，，， ∵在锐角范围内，正弦函数值随角度的增大而增大，且， ∴， 即， 故答案为：． 题型06 利用同角三角函数关系求值 【典例1】（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）若A为锐角，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理. 先解得到，则可设，利用勾股定理求出，则． 【详解】解：如图，在中，，， ∴可设， ∴， ∴． 故选：A． 【变式1】（25-26九年级上·江苏·寒假作业）已知为锐角，下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）．其中正确结论的序号是（　　） A．（1）（3）（4） B．（2）（4） C．（2）（3）（4） D．（3）（4） 【答案】C 【分析】本题主要考查了同角三角函数的关系及互余两角三角函数的关系，掌握锐角三角函数的概念是解题的关键．根据同角三角函数的关系及互余两角三角函数的关系进行判断即可． 【详解】解：为锐角， ． 对于（1）：取，，故（1）错误； 对于（2）：根据互余关系，恒成立，故（2）正确； 对于（3）：根据正切定义，恒成立，故（3）正确； 对于（4）：因为，所以，所以，故（4）正确． 综上，正确的结论为：（2）（3）（4）． 故选：C． 【变式2】（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）阅读下面材料，，则，则，已知为锐角且，则___________． 【答案】 【分析】由题干给出的例子归纳得到，代入已知的值，结合即可求出结果． 【详解】解：由题干给出的例子可归纳得：任意锐角满足 ∵， ∴． 【变式3】（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）计算题： (1)计算：； (2)已知、是锐角，请化简：． 【答案】(1)3 (2)1 【分析】（1）把、对应的特殊角三角函数值代入原式，再按照有理数混合运算顺序计算． （2）先分组提取公因式，再利用同角三角函数平方关系逐步化简求值． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型07 互余两角三角函数的关系 【典例1】（26-27九年级上·山东淄博·阶段检测）若，为锐角，且，则的值（     ） A．小于 B．等于 C．大于 D．无法确定 【答案】B 【分析】利用互余两角三角函数关系，，结合锐角范围内余弦函数单调递减，由推出，进而求出两角之和． 【详解】解：若，为锐角，则． ， ． 都是锐角，也属于锐角范围，锐角范围内余弦函数一一对应， ， ． 【变式1】（25-26九年级上·四川内江·期中）下列结论中正确的有（     ） ①；②；③；④若为锐角，且，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查三角函数的基本性质，包括特殊角的值和余角恒等式． 通过直接计算和恒等式变换判断各结论的正确性． 【详解】解：∵ ， ∴，故①错误； ，故②正确； ∵ ，即根据一个角的正弦等于这个角的余角的余弦， ∴ ，故③正确； ∵ ，且为锐角，，结合根据一个角的正弦等于这个角的余角的余弦， ∴ ， ∴ ，故④正确； 综上，正确的结论有②、③、④，共3个， 故选：C． 【变式2】（2026·安徽滁州·一模）在中，，若，则的值为 ______ ． 【答案】 【分析】运用一个锐角的余弦值等于它的余角的正弦值即可得解． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴． 【变式3】（25-26九年级下·广西崇左·阶段检测）已知α为锐角，，则____． 【答案】 【分析】根据和已知条件求出的值即可得到答案． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， ∵α为锐角， ∴． 题型08 三角函数综合 【典例1】（24-25九年级下·河北秦皇岛·阶段检测）如图，已知四边形内接于圆O，，，若，则的长可能是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了同弧或等弧所对的圆周角相等，以及三角函数综合，解题的关键在于熟练掌握相关知识．连接，作于点，利用同弧或等弧所对的圆周角相等，以及三角函数综合，得到，再结合特殊角的三角函数值求解，即可解题． 【详解】解：连接，作于点， ，， 又，， ，， ，， ， ， 整理得， ，， ， ， 故选：B． 【变式1】（2025·陕西宝鸡·二模）如图，在平面直角坐标系中，等边和菱形的边、都在x轴上，反比例函数的图象经过点C．已知的长度为2，则k的值为______． 【答案】 【分析】过点C作轴于点E，根据等边三角形的性质和菱形的性质，得到，，再利用锐角三角函数求出，进而得到，即可求出k的值． 【详解】解：过点C作轴于点E， ∵等边和菱形的边、都在x轴上，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，菱形的性质，三角函数的应用，平行线的性质，求反比例函数解析式，熟练掌握性质和三角函数是解题的关键． 【变式2】（2025·四川乐山·一模）如图，点是矩形中边上的一点，沿折叠为，点落在上．若的大小为，且满足，则的值为_______． 【答案】2 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，锐角三角函数的计算，掌握锐角三角函数的计算方法是关键． 根据矩形，折叠的性质得到，，由锐角三角函数的计算得到，则，由此得到，结合正切值的计算即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵折叠， ∴，， 在中，， ∴ ， ∴， 整理得，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2 ． 【变式3】（2026·福建莆田·模拟预测）如图，中，点在边上，连接AD，线段绕点逆时针旋转得到，点的对应点在上，连接，且． (1)判断的形状，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)解：是等边三角形，理由如下： 过点A作于点F， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形． (2) 【分析】（1）过点A作于点F，根据三角形面积公式，得，得到，继而得到，根据等边三角形的判定求解即可； （2）先证明，再根据三角形外角性质，解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：根据（1）得是等边三角形， ， ， ， ， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 一、单选题 1．（2026·天津和平·三模）的值等于（     ） A．0 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】将特殊角的三角函数值，代入后按实数运算法则计算即可得到结果. 【详解】解：原式 . 2．（25-26九年级上·上海·期中）已知中，，，，那么下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查锐角三角函数、勾股定理，熟知锐角三角函数的定义是解答的关键．根据勾股定理求得，再根据锐角三角函数的定义逐一判断选项． 【详解】解：如图， ∵中，，，， ∴ ． 对于A：，错误，不符合题意； 对于B：，错误，不符合题意； 对于C：，错误，不符合题意； 对于D：，正确，符合题意． 故选：D． 3．（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）如图，中，，则的面积是（    ） A． B．12 C．14 D．21 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形的知识，作出，求得相关线段的长度是解决问题的关键． 根据已知作出三角形的高线，进而得出，，，的长，即可得出三角形的面积． 【详解】解：过点作， ∵中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ 故选C． 4．（24-25九年级下·黑龙江绥化·期中）如图，三角形纸片中，，，，沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点处；再折叠纸片，使点与点重合，若折痕与的交点为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，求正切值；掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键． 由题意可知，，，由证即，设，则，，在中运用勾股定理解得，在中代入可求解． 【详解】解：由题意可知：，，，， ， ， ， ， 设， 则，， 在中， ， ， 解得：， 在中，； 故答案为：C． 5．（2024九年级上·山东青岛·专题练习）在如图所示的网格中，小正方形的边长为1，点A、B、C、D都在格点上，与相交于点，则的正切值是（　　） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形，如图，取格点K，连接，．观察图形可知，，，推出，解直角三角形求出即可． 【详解】解：如图，取格点K，连接，，则， 观察图形可得：，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 6．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，，以为圆心，为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，为半径画弧，两弧在内部相交于点，作射线，连接，则下列结论正确的是（   ）\ A． B．长为 C．的面积为 D． 【答案】D 【分析】本题考查了求角的正切值、等边三角形的判定与性质、勾股定理、线段垂直平分线的判定等知识，熟练掌握角的正切的定义是解题关键．连接，交于点，先得出垂直平分，再证出是等边三角形，则可得，然后利用勾股定理可得，最后根据角的正切的定义求解即可得． 【详解】解：如图，连接，交于点， 由题意得：，， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴，， ∴，故B错误，不符合题意； ，故C错误，不符合题意； ∴在中，，故D正确，符合题意； 无法证明，故A错误； 故选：D． 二、填空题 7．（25-26八年级上·江苏淮安·期中）如图，三个顶点都在格点上，已知小方格的边长为1，则_____． 【答案】2 【分析】本题考查了正切的定义，根据网格线的特点可得，，，进而可知是直角三角形，再利用正切的定义即可解答． 【详解】解：由勾股定理可得：，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， 故答案为：2． 8．（25-26九年级上·山东青岛·阶段检测）在中，，若，则_____． 【答案】30 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，灵活运用特殊角的三角函数值求角度是解题的关键． 由，则，即，再根据特殊角的三角函数值即可解答． 【详解】解：∵， ∴． ∵在中，， ∴， ∴． 故答案为30． 9．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知为锐角，且，则_______． 【答案】 【分析】本题考查了互为余角的三角函数关系，解题的关键是熟练掌握一个锐角的正弦等于它余角的正弦，一个锐角的余弦等于它余角的正弦. 根据互为余角的三角函数关系，将转化为将转化为再代入已知数值求解. 【详解】解：． 又，． 故答案为： 10．（25-26九年级上·山东日照·期末）如图，中，，是边上一点，将沿翻折得到，使线段、相交于点，若，，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，作出合适的辅助线构造直角三角形是解题的关键．过点作交于点，根据锐角三角函数的定义设，，结合勾股定理求出，，根据折叠的性质得出，设，结合勾股定理列出方程，即可求解． 【详解】解：过点作交于点，如图： 在中，，，， 故设，， 则， 解得（负值舍去）， 故，， 根据题意可得， 故设， 则，， 在中，， 即， 解得， 即． 故答案为：． 三、解答题 11．（2025九年级·全国·专题练习）如图所示，在中，，，．求的周长和的值． 【答案】， 【分析】本题考查了解直角三角形和勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题关键． 先根据锐角三角函数的定义求，再利用勾股定理求，最后根据周长公式和正切的定义求出答案即可． 【详解】解：在中，，，， ， ， 的周长为， ． 12．（25-26九年级上·河北沧州·阶段检测）如图．在中，于点D，若． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，正确求出的长是解题的关键． （1）直接在中根据正切的定义求解即可； （2）先求出的长，再利用勾股定理求出的长，最后根据余弦的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵在中，， ∴； （2）解：由（1）得， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 13．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查特殊角的三角函数值的计算，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． （1）根据特殊角的三角函数值的计算； （2）根据零指数幂，特殊角的三角函数值，二次根式的性质化简，化简计算即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： 14．（24-25九年级上·北京海淀·期中）在学习《解直角三角形》一章时，小明同学对互为倍数的两个锐角的正切进行了一些研究． (1)尝试：由于_____，_____，发现结论：______；（填“=”或“≠”） (2)实践探究：如下图，在中，，，，求的值； 以下是小明的想法：我应该构造包含的直角三角形：延长CA至点D，使得，连接BD，所以，即转化为求的正切值．请按小明的思路求解． (3)利用上面的方法，计算． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题围绕互为倍数的锐角正切值展开，需运用特殊角三角函数值、勾股定理及几何构造法解决三小问： （1）通过特殊角和的正切值计算，比较与的关系； （2）构造含的直角三角形，利用等腰三角形性质和勾股定理求； （3）将转化为的半角，借鉴（2）的构造方法计算． 【详解】（1），． 令，则． ， ． ， 故． （2） 在中，，，， 由勾股定理得：． 延长至点，使， 则． ， 为等腰三角形，． 是的外角， 故， 即． 在中， ． ． （3） ，参考（2）的构造方法： 在中，，， 设，则， 由勾股定理得． 延长至点，使， 则． 同理，，故为等腰三角形，， 且， 即． 在中，． ． 【点睛】本题通过特殊角验证、几何构造（等腰三角形）和勾股定理，解决了互为倍数的锐角正切值问题．第（1）问通过特殊角对比否定等式；第（2）问构造半角对应的等腰三角形，转化为直角三角形正切计算；第（3）问将转化为的半角，复用（2）的方法求解．核心思想是“化归”，即将未知角的正切转化为已知直角三角形的边长比． 15．（2025·山东临沂·二模）【阅读理解】 小明用了如下的方法计算出的值． 如图，在中，，，作线段的垂直平分线交于点，连接，则，．设，则，．．    【拓展应用】 如图，矩形为某建筑物的主视图，小丽在该建筑物的右侧点处用地面测角仪（忽略其高度，下同）测得顶点的仰角为，由于某个原因，的长度无法测量，于是小丽又到它的左侧点处测得的坡度为，同时测得的长度为米． (1)请模仿小明的方法，求出的值； (2)求出的长度．（结果精确到．参考数据：，，，）． 【答案】(1) (2)BM的长度为36.7米 【分析】（1）设 ，根据 与边的关系设出 ，再设 ，在 中利用勾股定理求出 关于 的表达式，最后根据正切函数的定义求出 的值． （2）利用矩形对边相等的性质得到 ，再根据 中 与边的关系求出 的长度． 【详解】（1）解：作线段的垂直平分线EF，连结，如图示：    ∵垂直平分， ∴． ∴． ∴． 由题意得：，． 设，则．设， 在中，由勾股定理得：， 解得：． ∴． （2）解：∵的坡度为， ∴． ∵， ∴． ∵四边形ABCD为矩形， ∴． 在中， ∵， ∴． 答：BM的长度为36.7米． 【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、坡度的概念以及三角函数的应用．解题的关键在于通过作辅助线构造等腰三角形，利用相关性质和定理建立边与角的关系，再结合已知条件逐步求解． 一、单选题 1．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）已知为锐角，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵为锐角， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． 2．（26-27九年级上·山东泰安·阶段检测）下列各式中不成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】代入特殊锐角的三角函数值计算验证各选项． 【详解】解：A、，成立，不符合题意； B、∵，，∴，成立，不符合题意； C、，，，∴，成立，不符合题意； D、∵，∴该式不成立，符合题意． 3．（26-27九年级下·全国·单元测试）如图，某商场有一自动扶梯，其倾斜角为，高为7米．用计算器求的长，下列按键顺序正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正弦的定义结合计算器的使用方法求解即可． 【详解】解：， ，故选B． 4．（2026·江苏扬州·三模）如图，在中，，根据作图痕迹可得的长为（     ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】利用角平分线的定义及三角函数求解． 【详解】解：∵， ∴，， 由作图知，平分， ∴， ∴， ∴． 5．（2026·四川广元·三模）如图，已知是的直径，弦、相交于点，若．则 的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，证明，得到，再根据直径所对圆周角是得到，利用三角函数求解即可； 【详解】连接， ，， ， ， 是的直径， ， ， ， ， ． 二、填空题 6．（26-27九年级上·上海杨浦·阶段检测）计算：__________． 【答案】 【分析】作，其中，，表示出，再结合勾股定理即可作答． 【详解】解：作，其中，， 如图， ∴，， ∴， ∵在中，， ∴， 即． 7．（26-27九年级上·山东淄博·期中）已知为锐角，且，则________度． 【答案】20 【分析】结合为锐角的取值范围，利用特殊角的余弦值确定的度数，进而求解的值． 【详解】解：∵为锐角 ∴ ∴ ∵，且 ∴ ∴． 8．（26-27九年级上·山东济宁·阶段检测）在中，若（其中，为锐角），则______． 【答案】 【分析】利用非负数的性质拆分等式得到两个三角函数值，结合锐角特殊三角函数值求出的度数，再通过三角形内角和定理计算的度数． 【详解】解：∵，，且两者的和为0， ∴，， ∴，， ∵为锐角， ∴，， ∵三角形内角和为， ∴． 9．（2026·江苏扬州·模拟预测）如图，在的正方形网格中，是正方形网格的格点，连接，则的值是______． 【答案】 【分析】过作于，先求出，最后根据tan求解即可． 【详解】解：过作于， 由网格可得：，， ， ， ． 10．（2022·新疆伊犁·三模）如图，在正方形中，对角线与相交于点O，点E在的延长线上，连接，点F是的中点，连接交于点G，连接，若，．则下列结论：；；；；⑤点D到的距离为．其中正确的结论是 _____． 【答案】 【分析】由正方形，得是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，可得，故①正确，②错误； 中，，故③正确，，，故④不正确； 求出面积为8，设点D到CF的距离为x，则，可得点D到CF的距离为，故⑤正确． 【详解】解：∵在正方形中，对角线与相交于点O， ∴O是中点， ∵点F是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，，故①正确； ∵在正方形中， ∴是等腰直角三角形， 而， ∴是等腰直角三角形， ∴，故②错误； ∵， 在正方形中，，， ∴在中，,故③正确， ∵F是斜边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴，故④不正确； 在中， , ∴, ∵的面积为，F是斜边的中点， ∴面积为8， 设点D到的距离为x，则， ∴，解得， ∴点D到的距离为，故⑤正确． 【点睛】本题考查正方形的性质及应用，涉及三角形的中位线定理、等腰直角三角形性质、锐角三角函数、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、点到直线的距离、勾股定理等知识，解题的关键是求出△DCF面积，用等面积法解决问题． 三、解答题 11．（26-27九年级上·山东淄博·阶段检测）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式． 12．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）已知关于的方程的两根为和，为锐角．求： (1)的值； (2)的值； (3)方程的两根及此时的的值； 【答案】(1) (2) (3)，，此时或 【分析】（1）先对原式进行化简，再结合三角函数关系求解． （2）先对进行展开，再结合韦达定理求出的值． （3）先将的值代入原方程，再求解方程的两根，最后根据三角函数值求出的值． 【详解】（1） ． （2）， ， ． （3）， ，解得，， ①当，时，， ②当，时，． 13．（26-27九年级上·山东东营·阶段检测）如图，根据图中数据完成填空，并按要求答题： (1)_______________；_______________； (2)观察上述等式，猜想：在中，，则有_______________． (3)如图④，在中，，，，的对边分别是，，，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想． (4)若，且，求的值． 【答案】(1)1；1 (2)1 (3)证明：如图④， 根据正弦、余弦的定义得： 根据勾股定理得：， ∴， ∴． (4) 【分析】（1）根据正弦、余弦的定义求出、、、 的值，代入、计算即可得答案． （2）根据正弦、余弦的定义求出，，，观察即可可猜想． （3）根据正弦、余弦的定义求出，再根据勾股定理得，代入计算即可得． （4）根据完全平方公式计算得，把，代入计算即可． 【详解】（1）解：如图①、图②， 根据正弦、余弦的定义得： ，，， ， ∴，． （2）解：如图③， 根据正弦、余弦的定义得： ， 根据（1）得： ，， 根据上述计算，可猜想：． （3）略 （4）解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴的值为． 14．（26-27九年级上·山东淄博·阶段检测）观察下列等式： ①，；②，；③，． (1)根据上述规律，计算 [注：]． (2)求的值 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）根据所给等式总结即可； （2）根据（1）中结论计算即可． 【详解】（1）解：①∵，， ∴； ②∵， ∴， ∴； ； （2）解：∵， ∴ ． 15．（26-27九年级下·全国·单元测试）【阅读理解】如图，在直角三角形中，由锐角三角函数的定义我们容易得到以下结论： ① ②； ③． 【牛刀小试】 (1)已知，且，则__________； (2)已知为锐角，且，求的值； (3)试求出的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据即可求解； （2）由得，再代入，即可求解； （3）将原式化简为，根据，即可求解． 【详解】（1）解：，且， ； （2）， ， ； （3） ． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $