专题1.1 锐角三角函数（9大题型+高效培优讲义）数学新教材浙教版九年级下册

的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题1.1锐角三角函数 内容总览 1教学目标、教学重难点 知识点01锐角三角函数 2.知识清单 题型01正弦概念的辨析 题型02求角的正弦值 题型03已知正弦求边长 锐角三角函数 题型04余弦概念的辨析 题型05求角的余弦值 3.题型精讲 题型06已知余弦求边长 题型07正切概念的辨析 题型08求角的正切值 题型09已知正切求边长 基础自测 4.强化训练 能力提升 教学目标 教学重难点 1.借助相似直角三角形进行探究，认识正弦、余弦、正切的定义，明白当锐角固 教学目标 定，直角三角形对应边之比不变，能准确找出锐角的对边、邻边、斜边，写出对应的 1/19 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 sinA、cosA、tana. 2. 了解锐角三角函数的内涵，能根据直角三角形三边长度求出一个锐角的正弦、余 弦、正切值，初步感知角度与比值之间的对应关系。 3.在概念探究中体会数形结合，通过观察、比较、推理发展几何直观，能区分三个 三角函数，为特殊角三角函数、解直角三角形后续内容做好铺垫。 1.重点 (1)正弦、余弦、正切的概念，读懂三角函数符号，在直角三角形中找准目标锐角 的对边、邻边与斜边，依据定义正确计算三个三角函数的值，厘清三者之间的区别。 (2)理解相似三角形在概念推导中的作用，知道三角函数只是边长比值而非线段本 身，能在标准摆放的直角三角形中快速完成边角转化，完成基础求值练习。 教学重难点 2.难点 (1)理解锐角三角函数的函数意义，不容易接受“三角函数是角度和比值的对 应”，很容易把siA直接当成某条边的长度，难以理解三角形放大缩小比值不变。 (2)当直角三角形摆放方向改变、锐角位置变化时，学生容易混淆对边和邻边；面 对同一个锐角，不能根据已知条件灵活选用正弦、余弦或者正切列式。 知识清单 知识点01锐角三角函数 在Rt△ABC中，∠C=90,则∠A的三角函数为 定 义 表达式 取值范围 关系 正弦 ∠A的对边 0<sinA<1 sin A= 斜边 sinA=a (∠A为锐角) sinA=cos B 余弦 cos4= ∠A的邻边 b cosA= 0<cos4<1 cos A=sin B 斜边 c (∠A为锐角) sin2A+cos24=1 正切 ∠A的对边 tanA= tan 4>0 1 tan A= ∠A的邻边 b tan A=- (∠A为锐角) tan B 【即学即练】1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6,AB=10,则cosB的值是() 2/19 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B B. 4 2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D,AB=5,AC=3,则cos∠ACD= D 3,在桌上放一块平面镜，让手电筒的一束光斜射到平面镜上，在墙壁上就会出现一个明亮的光斑.如图， 4=∠2，若an∠A0D=3 ,OB=8,则BC=—· 墙 光斑 平面镜 D 桌子 B 题型精讲 题型01正弦的概念辨析 【典例1】(24-25九年级上·安徽安庆阶段检测)如图，点A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点 C,CD⊥AB于点D,下列用线段比表示sinC的值，错误的是() D 3/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 CD AC AD BD A. BC B. AB C. AC D. BC 【变式1】(23-24九年级上·全国单元测试)在Rt△4BC中，∠C=90°，若△ABC的三边都缩小5倍，则 sinA的值() A.放大5倍 B.缩小5倍 C.不变 D.无法确定 AC 【变式2】(26-27九年级下全国课后作业)在R△4BC中，∠C=900,则AB表示(） A.sinA B.sinB C.sinC D.以上都不对 【变式3】(2025·新疆阿克苏·三模)如图所示，某停车场入口的栏杆AB,从水平位置绕点O旋转到 AB的位置，已知AO的长为4米.若栏杆的旋转角∠AOA'=a,则栏杆A端升高的高度可用三角函数表 示为 米 A O..B B 题型02求角的正弦值 【典例1】(26-27九年级上·河北石家庄阶段检测)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4,AB=5, 则sinA的值是() B A.3 【变式1】(2425九年级下·福建厦门阶段检测)如图，在菱形ABCD中，O,E分别是AC,AD的中点， 连接OE,若AB=10,AC=12,则sinLAOE的值为() 4/19 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ E C 3 A.5 B D.3 【变式2】(26-27九年级下·全国课后作业)如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D,CE⊥AB于点E.下 列关于sinA的表示方法，正确的是 (填写所有正确的序号)· BC AC BD AD AE CE ①B②瓷®9：@B@B:@AC,⑦C B 【变式3】(2026江苏徐州模拟预测)《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章 给出计算弧田面积所用公式为：弧田面积一2（弦×矢+矢2），弧田（如图）是由圆弧和其所对的弦所围 成，公式中“弦”指圆弧所对弦长AB,“矢”等于半径长与圆心O到弦的距离之差.在如图所示的弧田 中，“弦”为8，“矢”为2，则sin∠OAB的值为 B 由题意可得 0 AB=8,HC=2 设OA=x,则OC=x, .OH=x-2, 5/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .OH⊥AB,OC为半径， :.AH=BH-TAB-4, 在RIAOHA中， 由勾股定理得AH2+OH2=OA, .42+(x-2}2=x2, 解得x=5, .0A=5,0H=5-2=3, sin∠OAB=OH_3 OA5· 题型03 已知正弦值求边长 【典例1】(2627九年缓上全国单元测试)在AMBC中，∠C-90,AB=10:s血4=则C的长为 () A.2V万 B.6 C.8 D.10 【变式1】(2026陕西商洛二模)如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是△ABC的中线，AE⊥BC于点 E.若AB=8,AD=5,则AE的长为() DE A.5 B.6 c. 24 D.4 武2(25-26九年级上河周期末)如图，AM8C中，C=90p:mA=}8C=6。则4 长为 C B 【变式3】(2025九年级全国专题练习)如图，在△ABC中，∠C=90,DE1AB,垂足为E.若 6/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4B=8,sin∠BDE=A,则BC的长为 D 题型04余弦的概念辨析 【典例1】(25-26九年级上全国课后作业)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90,BD1AC于点D.下列 不能表示cosA的是() D AB 8 CD BD A. AC AB C.BC D.BC 【变式1】(2425九年级上：湖南常德·期末)将Rt△ABC的斜边和直角边都扩大到原来的n倍，那么锐角 A的三角函数值() 1 A.都扩大到原来的n倍 B.都缩小到原来的 n C.没有变化 D.只有tanA发生变化 【变式2】(25-26九年级上全国单元复习)比较大小：cos45° cos55°（用“>”或“<”填空） 【变式3】(25-26九年级上河北课后作业)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高， 下列线段的比值等于cosA的值的有一个 (1)D AC BD CD D 题型05求角的余弦值 7/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ 【典例1】(26-27九年级下·全国课后作业)在△ABC中，∠C=90°，则下列等式不成立的是() A.sinA=BC AB B.sinB=AC AB C.cos4= BC D.cosB=BC AB 【变式1】(26-27九年级下·全国单元测试)我国魏晋时期的数学家赵爽在为天文学著作《周髀算经》作 注解时，用4个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形，这个图被称为“弦图”，它体现 了中国古代数学的成就.如图，已知大正方形ABCD的面积是100，小正方形EFGH的面积是4，那么 cos∠ADF=() D A. B C.1 D.5 【变式2】(26-27九年级下·全国课后作业)在Rt△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,C. 已知a=6,b=8,则cosA的值为_ 【变式3】(2026宁夏吴忠·二模)如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦.若AD=BD,则 coS∠DCB= D B 题型06 已知余弦求边长 【典例1少(2026广东深圳三模)在R人4BC中，∠A=909·B=2:cosB=2 13,则BC的长为 () A.5 B.12 C.13 D.15 【变式1】(26-27九年级上湖南株洲阶段检测)如图，在菱形ABCD中，DE1AB c0s4=3 ’AE=3, 8/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则BE的长是() D B A.5 B.2 C. D.2N5 【变式2】(2026-上海闵行·一模)在Rt△4BC中，∠C=90,BC=12,∠B的余弦值是4，那么AB的长 是 【变式3】(2025九年级上·上海徐汇·专题练习)如图，在直角坐标平面内，点P与原点O的距离OP=3, 2 线段OP与x轴正半轴的夹角为。，且cosa=3,则点P的坐标是 题型07正切的概念辨析 AC 【典例1】(26-27九年级下·全国：单元测试)在Rt△4BC中，若∠C=90,则BC表示∠B的（) A.正弦 B.正切 C.余弦 D.坡角 【变式1】(25-26九年级上甘肃天水期末)如图，在△ABC中，∠C=90°，则下列各式中正确的是 () A b B a A.c=b.cosB B.a=b.tan B C.b=c.sinB D.b=c.tan B 【变式2】(26-27九年级下·全国课后作业)如图，工件上有一V形槽截面，AC=BC,测得上口宽 AB=20,V形角∠ACB=40°，V形槽的深为CD,则下列关系式正确的是() 9/19 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A D B C A.CD= 20 tan20° B.CD=20tan20° C.CD=10 tan20° D. CD=l0tan20° 【变式3】(2025九年级全国专题练习)在Rt△ABC中，∠C=90°，若△ABC的三边都扩大为原来的30 倍，则锐角A的三角函数：①sinA;②cosA;③tanA.其中函数值不发生变化的是 (填序 号)· 题型08求角的正切值 【典例1】(26-27九年级下·全国单元复习)在Rt△ABC中，∠C=90°，若AC=4BC,则tanA的值为 () B.4 D.15 415 【变式1】(26-27九年级下·全国期末)如图，数轴上的点A表示的数是1，在Rt△AB0中，B0=1,以 A为圆心，AB的长为半径画弧交数轴于点C,连接BC,则tan/OBC等于() B -1CO A.2 B.√2+1 C.2 D.2-1 【变式2】(26-27九年级上上海杨浦阶段检测)在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AC=2,AB=5,则 tan∠CBA= 【变式3】(2026九年级上~全国：专题练习)如图，在Rt△4BC中，∠ACB=90, tan∠BAC= 3,将 AD AABC绕点A逆时针方向旋转9O,得到△4BC,连接BB,交AC于点D,则DC的值为 10119 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型09已知正切值求边长 【奥例】（2627元年缓上江苏准安阶段检测)如图。在RAAC中，∠C=9心：MC-g:m4 4, 则AB的长为() 40 A.10 B.6 D. 【变式1】(2026浙江杭州模拟预测)如图是由四个全等的叶片组成的风车，点A是风车中心，其中一 个时片中4DBC:CDL4C,DLB已知AB长为cm:am☑4CB=头.则D的长为( B.5 C. p. 25 A.4 【变式2】（25-26九年级上河北有家庄期末)在R△ABC中，∠C=90P,AC-8anA 4,则AB= 【变式3】(25-26九年级上：四川巴中·期中)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB,AC=3cm, tanB= 3 ,则BC=—AB=—CD= 11/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 强化训练 基础自测 一、 单选题 C(2026广东广州三模)在Rt△ABC中，∠A=90P,B2o8:日 13,则BC的长为() A.13 B.12 c.10 D.5 2.(2026吉林长春·一模)五一假期，长春西湖公园迎来了一批露营爱好者.某爱好者搭建一种“天幕” (如图①)，其截面示意图是轴对称图形（如图②），对称轴是垂直于地面的支杆AB所在的直线，撑开 的遮阳面AC和AD的长均为3.8米.若∠CAD的度数为Q,则此“天幕”的宽度CD是() C-- B ① ② A.3.8sina米B.3.8cosa米 C.7.6sin 2米 D.7.6cos 2米 3(2026广东广州二模)如图，直线y= =12-5与x轴、y轴分别交于AB两点，则co∠0AB的值为 () A B B.3 e D.R 12119 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.(2026山西临汾三模)如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，点A,B,C,D都在小正方形 的顶点上，AB与CD相交于点P,则sin∠BPC的值为() B 3V10 3 A. B. 10 2 c.v 2 D.3 ▣廊坊二模)如图，C0是。4BC中B边上的中线，且CD:0已知B: △ABC的外角平分线BE交AC的延长线于点E,则CE的长为() A.5 B.6 C.7 D.8 二、填空题 6.(25-26九年级上河北邯郸期未)在R1△ABC中，∠C=90°，AB=7,AC=3,则cosA= 7.(2026辽宁沈阳·一模)如图为人行天桥的示意图，若高BC长为10米，斜道AC长为30米，则sn∠A 的值为 A B 8.(2025九年级全国专题练习)如图，在△ABC中，∠C=90°，DE1AB,垂足为E.若 3 AB=8,sin∠BDE=4,则BC的长为 B 13119 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ 9.(25-26九年级上山东淄博期中)如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，若 △ABC的三个顶点都在网格的格点上，则sin∠ACB的值为 10.(24-25九年级上山东威海·阶段检测)如图，在△ABC中，∠ABC=90°，D为BC的中点，点E在 AB上，AD,CE交于点F,AE=EF=4,FC=9,则coS∠ACB的值为 E D 三、解答题 11.(25-26九年级上山西晋城阶段检测)如图，在△ABC中，∠C=90°，D为边BC上的一点，AC=4, tan∠ADC=2 (1)求DC的长. (2)若BD-CD=2,求sinB的值、 12.(25-26九年级下浙江温州开学考试)在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2，,AD是BC边上的中线， tan∠BAD=l,DE是△ADC的高线. D (1)求cosC的值. (2)求AE的长. 13.(2026北京·一模)如图，在四边形ABCD中，BA=BC,E是AB的中点，DB,CE交于点F, 14119 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 DF=FB,AFDC C B E (I)求证：四边形AFCD是菱形： (2)若AF=2' cos∠AFE=4,求C的长 14.(25-26八年级下·山东济南期中)【知识再现】 6 a B B 图① 图② 图③ 如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c. sind=a,sinB=b C ..c=-a b ,C= sinA sinB’ a b sinA sinB' 【拓展探究】 a b c ()如图②，在锐角。ABC中，∠A'∠B'∠C的对边分别为a:b:c·请探究simA,sinB'sinC之间的 关系，并写出探究过程： 【解决问题】 (2)如图③，为测量点A到河对岸点B的距离，选取与点A在河岸同一侧的点C,测得AC=40m, ∠A=105°，∠C=30°.请用拓展探究中的结论，求点A到点B的距离. 能力提升 15119 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 一、单选题 1.(26-27九年级上江苏常州阶段检测)在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1,AC=2,那么tanB的值 是() A.2 B.I c. 5 2W5 D. 2 5 5 2.(26-27九年级上山东济宁·阶段检测)如图，△ABC的三个顶点都在方格纸的格点上，则osC的值是 ( B 4 A. D. W5 5 5 3.(26-27九年级下·全国课后作业)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=41,BC=40,下列锐角三 角函数表示正确的是() 的 41 40 A. sin 4=40 41 B.COs=40 41 C.tanA=9 40 D.tan B=40 9 4.(2022四川绵阳模拟预测)如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分 线交BC于点E'M、N为垂足，若BD 2'DE=2,EC= 2,则tanB+tanC的值是（) B 4 A. B.5 c.3 5.(25-26九年级上四川南充阶段检测)如图，在矩形ABCD中，AB=15,BC=25,将△ABC沿AC折 16119 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 叠到△AB'C的位置，B'C交AD于点E,则tan∠ECD的值为() B A 8 A.17 8 B. c 15 7 0.15 二、填空题 1 6.(26-27九年级下全国课后作业)在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=15, tan= 8,则4B的长为 7.(26-27九年级上·黑龙江哈尔滨阶段检测)如图，点E为正方形ABCD的边AD上一点，连接BE, 3 sim∠4BE=亏，AF是AABE的中线，若A=5,则DE的长为 E F 8.(26-27九年级上广东深圳自主招生)在△4BC中，已知a=10,b=3+2,c=V3-V2,则 bsinB csinC= 9.(26-27九年级下·全国课后作业)如图，在边长相同的小正方形网格中，点A,B,C,D都在这些 小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P,则tan∠APD的值为. B 10.(26-27九年级上四川成都-阶段检测)如图，RtAAOB中，∠AOB=90°，顶点A,B分别在反比例 图数-名x>0与y-(:<0)的象上，则m∠B10的值为 17119 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 VA 三、解答题 11.(2026九年级上全国专题练习)在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5,BC=3,求cosA. 12（267九4级上箱建泉州阶段拉测》如图。在R△ABCc中，∠B=90,MD子分∠B4C:smC 5 AC=5 (1)求BC的长： (2)求tan∠BAD的值， 12627九年级上河北石家庄价段脸测如周，在等要=角形AC中，AB=AC-5,。心s4号， BD⊥AC,垂足为点D, B D (1)求AD的长： (2)求tanC的值. 14.(26-27九年级上浙江宁波阶段检测)如图，以△ABC的边AC为直径作⊙0，交BC边于点D,过点 C作CE∥AB交OO于点E,连接AD,DE,∠B=∠ADE A E B D 18119 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求证：AC=BC: (2)若tanB=2,CD=3,求AB的长. 15.(2627九年级下·全国课后作业)在学习北师版九年级下册第一章时，小华同学对一个角与其倍角的 三角函数值是否具有关系产生了浓厚的兴趣，并进行了研究. B B A 图① 图② a)【实践探究】在解决“如图O,若在R△ABC中，∠C=90°，AC=2,BC=1,求tan2的值”这一 问题时，小华想胸适包合4的直角三角形，延长C4到点D使DM0:造拉BD则D-4, A 即转化为求D的正切值.请按小华的思路求出an)的值. 2)【拓展延伸】如图②，若在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3tan1= 3,则： ①tan2A的值为_： ②tan3A的值为_. 19119 专题1.1 锐角三角函数 教学目标 1. 借助相似直角三角形进行探究，认识正弦、余弦、正切的定义，明白当锐角固定，直角三角形对应边之比不变，能准确找出锐角的对边、邻边、斜边，写出对应的sinA、cosA、tanA。 2. 了解锐角三角函数的内涵，能根据直角三角形三边长度求出一个锐角的正弦、余弦、正切值，初步感知角度与比值之间的对应关系。 3. 在概念探究中体会数形结合，通过观察、比较、推理发展几何直观，能区分三个三角函数，为特殊角三角函数、解直角三角形后续内容做好铺垫。 教学重难点 1.重点 （1）正弦、余弦、正切的概念，读懂三角函数符号，在直角三角形中找准目标锐角的对边、邻边与斜边，依据定义正确计算三个三角函数的值，厘清三者之间的区别。 （2）理解相似三角形在概念推导中的作用，知道三角函数只是边长比值而非线段本身，能在标准摆放的直角三角形中快速完成边角转化，完成基础求值练习。 2.难点 （1）理解锐角三角函数的函数意义，不容易接受“三角函数是角度和比值的对应”，很容易把sinA直接当成某条边的长度，难以理解三角形放大缩小比值不变。 （2）当直角三角形摆放方向改变、锐角位置变化时，学生容易混淆对边和邻边；面对同一个锐角，不能根据已知条件灵活选用正弦、余弦或者正切列式。 知识点01 锐角三角函数 在中，，则的三角函数为 定 义 表达式 取值范围 关 系 正弦 (∠A为锐角) 余弦 (∠A为锐角) 正切 (∠A为锐角) 【即学即练】1．如图，在中，，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵在中，，，， ∴． 2．如图，在中，，于，，，则_________； 【答案】 【分析】本题考查锐角三角函数的定义，余角和补角，勾股定理，利用勾股定理求得的长度，然后根据同角的余角相等求得，再利用锐角三角函数的定义即可求得答案． 【详解】解：∵在中，，于，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．在桌上放一块平面镜，让手电筒的一束光斜射到平面镜上，在墙壁上就会出现一个明亮的光斑．如图，，若，，则_____． 【答案】6 【分析】根据余角的性质及已知条件推导出， 再根据锐角三角函数的定义在中计算的长即可． 【详解】由题意可知，法线垂直于平面镜， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴ ∴． 题型01 正弦的概念辨析 【典例1】（24-25九年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，点A为边上的任意一点，作于点C，于点D，下列用线段比表示的值，错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查锐角三角函数的定义．根据在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， A、在中，故A正确； B、在中，故B正确； C、在中，故C正确； D、在中，故D错误； 故选：D． 【变式1】（23-24九年级上·全国·单元测试）在中，，若的三边都缩小5倍，则的值（ ） A．放大5倍 B．缩小5倍 C．不变 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义：在中，．锐角A的对边a与斜边c的比叫做的正弦，记作．直接利用锐角的正弦的定义求解． 【详解】解：∵， ∴的对边与斜边的比， ∵的三边都缩小5倍， ∴的对边与斜边的比不变， ∴的值不变． 故选：C． 【变式2】（26-27九年级下·全国·课后作业）在中，，则表示（     ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】B 【分析】结合直角三角形中锐角三角函数的定义，判断给定边的比值对应的三角函数名称即可． 【详解】解：在中，， 为斜边， 的对边为， ． 【变式3】（2025·新疆阿克苏·三模）如图所示，某停车场入口的栏杆，从水平位置绕点O旋转到的位置，已知的长为4米．若栏杆的旋转角，则栏杆A端升高的高度可用三角函数表示为______米． 【答案】 【详解】利用正弦的定义求解即可． 解：如图，过点作，垂足为，则为栏杆A端升高的高度， 米， 米， ， 米． 题型02 求角的正弦值 【典例1】（26-27九年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，在中，，，，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：在中，，，， 根据勾股定理得，， ∴． 【变式1】（24-25九年级下·福建厦门·阶段检测）如图，在菱形中，分别是的中点，连接，若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，由菱形性质得出及长，利用勾股定理求，由三角形中位线性质得出，进而求解． 【详解】解：连接，如图， ∵四边形是菱形， ∴，，， 在中，， ∵O、E分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴． 【变式2】（26-27九年级下·全国·课后作业）如图，在中，于点D，于点E．下列关于的表示方法，正确的是__________（填写所有正确的序号）． ①，②，③；④，⑤；⑥，⑦． 【答案】④⑦/⑦④ 【详解】解：∵于点D，于点E． ∴， 在中，； 在中，． 综上可知，正确的有④⑦． 【变式3】（2026·江苏徐州·模拟预测）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用公式为：弧田面积（弦矢矢），弧田（如图）是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．在如图所示的弧田中，“弦”为，“矢”为，则的值为_______． 【答案】 【分析】作于点，交圆弧于点，利用垂径定理和勾股定理构建方程求出，，利用正弦函数的定义即可求解． 【详解】解：如图，作于点，交圆弧于点， 由题意可得， 设，则， ∴， ∵，为半径， ∴， 在中， 由勾股定理得， ∴， 解得， ∴，， ∴． 题型03 已知正弦值求边长 【典例1】（26-27九年级上·全国·单元测试）在中，，，，则的长为（     ） A． B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】已知直角三角形斜边与一锐角的正弦值，利用锐角正弦的定义建立边的关系求解． 【详解】解：在中，． ，，， ． 【变式1】（2026·陕西商洛·二模）如图，在中，，是的中线，于点．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解法一：利用直角三角形斜边中线的性质得出，利用勾股定理得出，利用的正弦函数得出，求出的长即可；解法二：同理求出，，利用等面积法得出，求出的长即可． 【详解】解：解法一：是的中线，， ， ，， ， ， ， ． 解法二：是的中线，， ， ， ， ∵， ，即， ． 【变式2】（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，中，，，则的长为_____． 【答案】 【分析】本题考查了锐角三角函数，勾股定理，由正弦的定义可得，即得，再根据勾股定理解答即可求解，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】（2025九年级·全国·专题练习）如图，在中，，垂足为E．若，则BC的长为_______． 【答案】6 【分析】本题主要考查了解直角三角形，熟知正弦的定义是解题的关键． 根据同角的余角相等可得，那么两角的正弦值相等，由此可求出的长． 【详解】解： ． ， ， ， ， 故答案为：． 题型04 余弦的概念辨析 【典例1】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在Rt中，于点．下列不能表示的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可推出、、均为直角三角形，再在三个直角三角形中分别表示出即可. 【详解】解：如图，、、均为直角三角形， A、在中，故A可以表示； B、在中，故B可以表示； C、不能表示 D、，，，在中，，故D可以表示； 故选：C. 【点睛】本题考查了余弦的概念，熟练掌握余弦概念辨析是解题关键． 【变式1】（24-25九年级上·湖南常德·期末）将的斜边和直角边都扩大到原来的倍，那么锐角的三角函数值（   ） A．都扩大到原来的倍 B．都缩小到原来的 C．没有变化 D．只有发生变化 【答案】C 【分析】本题主要考查了锐角三角形函数值的知识点，解题的关键理解锐角三角函数的概念． 根据锐角三角函数的概念：锐角的各个三角函数值等于锐角所在直角三角形的边的比值，求解即可． 【详解】解：∵锐角的各个三角函数值等于锐角所在直角三角形的边的比值， ∴的斜边和直角边都扩大到原来的倍，锐角的三角函数值不变， 故选：C． 【变式2】（25-26九年级上·全国·单元复习）比较大小：_____（用“＞”或“＜”填空） 【答案】 【分析】本题主要考查了余弦的性质， 根据锐角三角函数值都是正值．当角度在0°～90°间变化时，余弦值随着角度的增大而减小即可得结论． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：. 【变式3】（25-26九年级上·河北·课后作业）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，下列线段的比值等于cosA的值的有______个 （1） ；（2）；（3）；（4）． 【答案】3 【分析】根据锐角三角函数关系的定义分析得出答案． 【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高， ∴∠A＋∠ACD＝90°，∠ACD＋∠BCD＝90°， ∴∠A＝∠BCD， ∴cosA＝＝＝． 故（1），（2），（4）正确． 故答案为：3． 【点睛】考查了锐角三角函数关系，正确把握锐角三角函数定义是解题关键． 题型05 求角的余弦值 【典例1】（26-27九年级下·全国·课后作业）在中，，则下列等式不成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据各个三角函数的定义即可解答． 【详解】解：在中，， 斜边为，， C选项中，与不符， C选项等式不成立． 【变式1】（26-27九年级下·全国·单元测试）我国魏晋时期的数学家赵爽在为天文学著作《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形，这个图被称为“弦图”，它体现了中国古代数学的成就．如图，已知大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，那么（     ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】根据两个正方形的面积可得，，设，得到，由勾股定理得，解方程可得x的值，从而解决问题． 【详解】解：∵大正方形的面积是100， ∴． ∵小正方形的面积是4， ∴小正方形的边长为2， ∴， 设， 则， ∵正方形， ∴， ∴， ∴ ∴， 解得或（负值舍去）， ∴，， ∴． 【变式2】（26-27九年级下·全国·课后作业）在中，，，的对边分别为，，．已知，，则的值为_______． 【答案】或 【分析】结合边与角的对应规则确定直角位置，通过勾股定理求出斜边，再依据锐角余弦的定义计算的值． 【详解】解：如图： 此时， ∴， ∴； 如图： 此时， ∴， ∴． 综上所述，的值为或． 【变式3】（2026·宁夏吴忠·二模）如图，是的直径，是的弦．若，则________． 【答案】 【分析】先由是的直径推出，再由等弧所对的圆周角相等，推出，求即可． 【详解】解：为的直径， ∵， ， ． 题型06 已知余弦求边长 【典例1】（2026·广东深圳·三模）在中，，，，则的长为（     ） A．5 B．12 C．13 D．15 【答案】C 【分析】本题考查直角三角形中锐角三角函数的定义，利用余弦的定义列等式即可直接求出的长度． 【详解】解：∵在中，， 根据锐角余弦的定义可得 ， 又∵，， 代入得 ∴． 【变式1】（26-27九年级上·湖南株洲·阶段检测）如图，在菱形中，，，，则的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据锐角三角函数定义得出的长，然后利用菱形的性质得的长，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， 解得， ∵四边形是菱形， ∴， ∴． 【变式2】（2026·上海闵行·一模）在中，的余弦值是，那么的长是___________． 【答案】16 【分析】本题考查了已知角的余弦值求边长．根据余弦定义，在直角三角形中，锐角的余弦值等于邻边与斜边的比，即 ，再把代入计算，即可作答． 【详解】解：∵的余弦值是，， ∴， ∵， ∴， 解得， 故答案为：16． 【变式3】（2025九年级上·上海徐汇·专题练习）如图，在直角坐标平面内，点P与原点O的距离，线段OP与x轴正半轴的夹角为，且，则点P的坐标是_________ 【答案】 【分析】本题考查了余弦的定义和勾股定理，熟知余弦的定义是解题的关键． 作轴于点B，如图，先根据余弦的定义求出，再利用勾股定理求出，进而得解． 【详解】解：作轴于点B，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴点的坐标是． 故答案为：． 题型07 正切的概念辨析 【典例1】（26-27九年级下·全国·单元测试）在中，若，则表示的（     ） A．正弦 B．正切 C．余弦 D．坡角 【答案】B 【分析】根据正切的定义求解可得． 【详解】解：∵在中，， ∴的对边为，邻边为． ∴，即表示的正切． 【变式1】（25-26九年级上·甘肃天水·期末）如图，在中，，则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查锐角三角函数的定义及运用，解题的关键是熟练掌握在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．根据锐角三角函数的定义解答即可． 【详解】解：∵， A、 ，∴，故A错误； B、 ，∴，故B错误； C、，∴，故C正确； D、，∴，故D错误． 故选：C． 【变式2】（26-27九年级下·全国·课后作业）如图，工件上有一形槽截面，，测得上口宽，形角，形槽的深为，则下列关系式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由等腰三角形的性质可得，，再结合正切的定义计算即可得出结果． 【详解】解：由题意可得， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【变式3】（2025九年级·全国·专题练习）在中，，若的三边都扩大为原来的30倍，则锐角的三角函数：①；②；③．其中函数值不发生变化的是___________（填序号）． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，牢记锐角三角函数的定义是解题的关键． 三角函数值仅与角的大小有关，与三角形的边长无关．因此三角函数值不变． 【详解】解：在中，，当三边都扩大为原来的倍时，所得三角形与原三角形相似，对应角相等，故锐角的大小不变． 根据三角函数的定义，、和的值只取决于的大小，与边长无关，因此函数值均不发生变化． 故答案为：①②③． 题型08 求角的正切值 【典例1】（26-27九年级下·全国·单元复习）在中，，若，则的值为（     ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，在中，，， ∴． 【变式1】（26-27九年级下·全国·期末）如图，数轴上的点表示的数是1，在中，，以为圆心，的长为半径画弧交数轴于点，连接，则等于（     ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】利用勾股定理求出的长，进而求出，，即可解决问题． 【详解】解：∵数轴上的点A表示的数是1，，且， ∴， ∴， ∴． 【变式2】（26-27九年级上·上海杨浦·阶段检测）在中，，，，则__________． 【答案】 【详解】解：如图， ∵在中，，，， ∴． 【变式3】（2026九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，，将绕点A逆时针方向旋转，得到，连接，交于点D，则的值为______． 【答案】5 【分析】作，设，则，，根据旋转可得，推出，；设，则，，推出，即可求解； 【详解】解：作，如图所示： ∵， ∴设，则， ∴． ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴设，则， ∴， ∴， ∴，， ∴． 题型09 已知正切值求边长 【典例1】（26-27九年级上·江苏淮安·阶段检测）如图，在中，，，，则的长为（     ） A．10 B．6 C． D． 【答案】A 【分析】先根据正切定义求得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴． 【变式1】（2026·浙江杭州·模拟预测）如图是由四个全等的叶片组成的风车，点A是风车中心，其中一个叶片中，，，已知长为，，则的长为（   ） A．4 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】利用正切的定义结合已知条件求得的长度，再用勾股定理求出的长度，由平行线的性质可得到，从而得到，同理利用正切的定义和勾股定理即可求得目标结果． 【详解】解：在中，， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴，即， ∴， ∴． 【变式2】（25-26九年级上·河北石家庄·期末）在中，，则___________． 【答案】10 【分析】本题主要考查勾股定理，正切值的计算，利用正切定义求出，再应用勾股定理求． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴， 故答案为：10． 【变式3】（25-26九年级上·四川巴中·期中）如图，在中，，，，，则____，____，_____．   【答案】 /4厘米 /5厘米 【分析】本题考查了解直角三角形，根据正切的定义求得，进而勾股定理求得，再根据等面积法，即可求解． 【详解】解：∵中，，，， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ 故答案为：，，． 一、单选题 1．（2026·广东广州·二模）在中，，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据定义得到与、的关系，代入已知条件即可求出的长． 【详解】解：∵在中，，根据锐角余弦的定义，得， 又∵，， ∴， ∴ ． 2．（2026·吉林长春·一模）五一假期，长春西湖公园迎来了一批露营爱好者．某爱好者搭建一种“天幕”（如图①），其截面示意图是轴对称图形（如图②），对称轴是垂直于地面的支杆所在的直线，撑开的遮阳面和的长均为米．若的度数为，则此“天幕”的宽度是（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】令和相交于点，根据题意得到，求出，即可得到答案． 【详解】解：令和交于， ，， ，， ， ， ． 3．（2026·广东广州·二模）如图，直线与轴、轴分别交于、两点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出直线与坐标轴交点、的坐标，得出、的长，利用勾股定理求出的长，最后根据余弦的定义即可求解． 【详解】解：令，则，解得， ，即． 令，则， ，即． 在中，由勾股定理得：． ． 4．（2026·山西临汾·三模）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D都在小正方形的顶点上，与相交于点P，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由网格可知：，，，则有，，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：如图， 由网格可知：，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 5．（2026·河北廊坊·二模）如图，是中边上的中线，且．已知，，的外角平分线交的延长线于点，则的长为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】由已知条件可得，从而求出，的长，过点作的延长线于点，利用角平分线的性质得，再利用即可求出的长． 【详解】解：，是中边上的中线， ，， ， ， ， ，， ， ， 过点作于点， 的外角平分线交的延长线于点，， ， ， ． 二、填空题 6．（25-26九年级上·河北邯郸·期末）在中，，则______________． 【答案】 【分析】本题考查了余弦，理解其定义是解题的关键． 根据锐角三角函数的定义解题即可． 【详解】解：由题意知 ． 故答案为： ． 7．（2026·辽宁沈阳·一模）如图为人行天桥的示意图，若高长为10米，斜道长为30米，则的值为______． 【答案】 【详解】解：∵高长为10米，斜道长为30米， ∴． 8．（2025九年级·全国·专题练习）如图，在中，，垂足为E．若，则BC的长为_______． 【答案】6 【分析】本题主要考查了解直角三角形，熟知正弦的定义是解题的关键． 根据同角的余角相等可得，那么两角的正弦值相等，由此可求出的长． 【详解】解： ． ， ， ， ， 故答案为：． 9．（25-26九年级上·山东淄博·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，若的三个顶点都在网格的格点上，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理及逆定理，求一个角的正弦值，如图，连接，根据勾股定理及逆定理判断出是直角三角形，最后根据正弦函数的定义求解． 【详解】解：如图，连接， 由勾股定理得，，， ， 是直角三角形， ， 故答案为：． 10．（24-25九年级上·山东威海·阶段检测）如图，在中，，为的中点，点在上，，交于点，，，则的值为_______． 【答案】/ 【分析】本题考查解直角三角形，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识．如图，延长到，使得，连接．利用全等三角形的性质证明，，利用勾股定理求出，即可解决问题． 【详解】解：如图，延长到，使得，连接． ，，， ， ，， ∵， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题 11．（25-26九年级上·山西晋城·阶段检测）如图，在中，，为边上的一点，，． (1)求的长． (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，熟知锐角三角函数是解题的关键． （1）根据正切的定义解即可得到答案； （2）根据（1）所求可得的长，进而可得的长，再利用勾股定理求出的长，最后根据正弦的定义可得答案． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴． 在中，， ∴． 12．（25-26九年级下·浙江温州·开学考试）在中，，，是边上的中线，，是的高线． (1)求的值． (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先解直角三角形求出，然后勾股定理求出，然后根据余弦的定义求解即可； （2）解直角三角形求出，进而根据线段的和差求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴在中，． ∵是边上的中线， ∴，． 在中，， ∴； （2）解：∵是的高线， ∴在中，． ∴． 13．（2026·北京·一模）如图，在四边形中，，E是的中点，，交于点F，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵， ∴是的中点， 又为的中点， ∴是的中位线， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形； 设与交于点，则， 又，， ∴， ∴， 又三点在同一条直线上， ∴，即， ∴四边形是菱形； (2) 【分析】（1）证明是的中位线，得，又，可得四边形是平行四边形，得；再证明，得，可证明四边形是菱形； （2）过点作于点，根据求出，，由勾股定理得出，在中，由勾股定理得． 【详解】（1）略 （2）解：过点作于点，如图， 由（1）得四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， 在中，． 14．（25-26八年级下·山东济南·期中）【知识再现】 如图①，在中，，，，的对边分别为． ， ， ， 【拓展探究】 (1)如图②，在锐角中，，，的对边分别为，，．请探究，之间的关系，并写出探究过程； 【解决问题】 (2)如图③，为测量点到河对岸点的距离，选取与点在河岸同一侧的点，测得，，．请用拓展探究中的结论，求点到点的距离． 【答案】(1)；见解析 (2) 【分析】（1）过点C作于点D，过点A作于点E，利用正弦定义表示，得到，同理得到，则问题可证； （2）先求出，再利用（1）中结论求解即可． 【详解】（1）证明：过点C作于点D，过点A作于点E， 在和中，， ， ， 同理可证：， ； （2）解：在中，，， ∴， 由（1）可知， 即， 解得：． 答：点到点的距离是． 一、单选题 1．（26-27九年级上·江苏常州·阶段检测）在中，，，，那么的值是（     ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵在中，，，， ∴． 2．（26-27九年级上·山东济宁·阶段检测）如图，的三个顶点都在方格纸的格点上，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先利用勾股定理求出，然后根据余弦的定义求解． 【详解】解：， ∴． 3．（26-27九年级下·全国·课后作业）如图，在中，，，，下列锐角三角函数表示正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：在中，，，， 根据勾股定理得，， ∴，，，． 4．（2022·四川绵阳·模拟预测）如图，在 中， 的垂直平分线交 于点 ，的垂直平分线交 于点 ， 、为垂足，若，，，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由勾股定理逆定理得出是直角三角形是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质得出的长，利用勾股定理逆定理得出是直角三角形，进而利用正切定义解答即可． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∵的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点， ∴，， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴ ． 5．（25-26九年级上·四川南充·阶段检测）如图，在矩形ABCD中，，，将沿AC折叠到的位置，交AD于点E，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用矩形对边平行及折叠性质证得，从而得出，设，在中利用勾股定理构建方程求解的长，最后根据正切定义计算即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，，，， ， 由折叠的性质可得， ，即， ， 设，则， 在中，由勾股定理得， 即， 解得，即， ． 二、填空题 6．（26-27九年级下·全国·课后作业）在中，，，，则的长为___________． 【答案】17 【分析】先由锐角正切的定义结合已知条件求出直角边的长度，再通过勾股定理计算斜边的长度． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴． ∴． 7．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，点为正方形的边上一点，连接，，是的中线，若，则的长为______________． 【答案】 【分析】根据正方形性质得出，，利用直角三角形斜边中线性质得出，利用三角函数定义求出，利用勾股定理求出，进而可求出的长． 【详解】解：∵点为正方形的边上一点， ∴，， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 8．（26-27九年级上·广东深圳·自主招生）在中，已知，，，则_________________． 【答案】 【分析】先通过边长验证角为直角，再利用正弦定理对进行边角转化计算． 【详解】解：∵，，， ∴， 是直角三角形，其中是斜边， ∴ ． 9．（26-27九年级下·全国·课后作业）如图，在边长相同的小正方形网格中，点，，，都在这些小正方形的顶点上，与相交于点，则的值为___________． 【答案】 【分析】连接交于点，连接，由正方形的性质，相似三角形的判定和性质，得到，推出，根据条件求出，再根据，即可． 【详解】解：如图①，连接交于点，连接， 由题意，得四边形是正方形， ，，，，， 由题意，得， ， ， ， ， 在中，， ， ． 10．（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）如图，中，，顶点，分别在反比例函数与的图象上，则的值为________． 【答案】 【分析】过点、分别作轴的垂线，构造“一线三垂直”模型，利用反比例函数的几何意义求出两个小直角三角形的面积，通过证明三角形相似得出对应边之比，最后根据正切定义求解. 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点， 点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上， ，， 轴，轴， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 在中，. 三、解答题 11．（2026九年级上·全国·专题练习）在中，，，，求． 【答案】 【分析】画出图形，先由勾股定理求出，再根据三角函数的定义求解． 【详解】解：如图， ∵在中，，，， ∴， ∴． 12．（26-27九年级上·福建泉州·阶段检测）如图，在中，，平分，，． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角函数先求出的值，再根据勾股定理求出的长； （2）过点D作，根据角平分线的性质得到，用证明，根据全等的性质和勾股定理求出的值，代入求解即可． 【详解】（1）解：在中，，，， ， ， 在中，，，， 由勾股定理得：； （2）解：过点D作交于点E，则，如下图所示， 平分，，， ，， ， ， ， 在中，，， 由勾股定理得：， 即， ， 整理得：， 解得：， ． 13．（26-27九年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，在等腰三角形中，，，，垂足为点． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦的定义，代入已知线段长求出的长； （2）先由勾股定理求出的长，再算出的长度，最后根据正切的定义求出的值． 【详解】（1）解：，垂足为点， ， 在中，， ，， ； （2）解：在中， 由勾股定理得：， ，， ， 在中，， ． 14．（26-27九年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，以的边为直径作，交边于点，过点作交于点，连接，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）首先根据平行线的性质可得，根据“同弧或等弧所对的圆周角相等”可得，然后结合，可证明，进而证明结论； （2）首先根据“直径所对的圆周角为直角”可得，结合易得；设，则，，在中由勾股定理解得的值，可确定的长度，然后在中利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵为直径， ∴，即， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， 在中，由勾股定理可得， ∴，整理可得， 解得，（不合题意，舍去）， ∴， ∴在中，． 15．（26-27九年级下·全国·课后作业）在学习北师版九年级下册第一章时，小华同学对一个角与其倍角的三角函数值是否具有关系产生了浓厚的兴趣，并进行了研究． (1)【实践探究】在解决“如图①，若在中，，，，求的值”这一问题时，小华想构造包含的直角三角形，延长到点，使，连接，则，即转化为求的正切值．请按小华的思路求出的值． (2)【拓展延伸】如图②，若在中，，，，则： ①的值为 ； ②的值为 ． 【答案】(1) (2)①；② 【详解】（1）解：在中，，，， ， ， ，， ． （2）解：①如图，作的垂直平分线交于点，连接，则， ∴， ， 在中，，，， ∴， ， ， 设，则， 在中，， ∴， 解得，即， ， ． ②如图，作交于点，使， ∴， 则， 设，则， ， 设点到，边上的距离为， ∴， ∵， ，即， ， 在中，， 即， 解得，（不合题意，舍去）， ∴， ∴， ． 2 / 37 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