精品解析：吉林吉林市第二十九中学2026-2027学年上学期八年级数学期中试题

二十九中学校2026-2027年上学期 期中考试八年级数学学科 一、单选题（每小题3分，共18分） 1. 下列“慢行通过，注意危险，禁止行人通行，禁止非机动车通行”四个交通标志图（黑白阴影图片）中为轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知等腰三角形的两边长分别为5cm、2cm，则该等腰三角形的周长是（　　） A. 7cm B. 9cm C. 12cm或者9cm D. 12cm 3. 如图，，，那么（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则（ ） A. 60° B. 90° C. 120° D. 150° 5. 具备下列条件的中，不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，用直尺和圆规作“一个角等于已知角”的原理是：因为，所以．由这种作图方法得到的和全等的依据是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 若点P在线段AB的垂直平分线上，PA=5，则PB=____________________． 8. 如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成，在中，已知直角边，，则______． 9. 自行车生产厂家把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是利用三角形的 ________． 10. 如图，是某款婴儿车的几何示意图，若，，，则的度数是__________°． 11. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，，则点的坐标是________． 三、解答题（12-14每小题6分，15-17每小题7分，18-19每小题8分，20-21每小题10分，22题12分，共87分） 12. 如图，已知，．求证：． 13. 已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，AE平分∠DAC，∠B=50°，求∠AEC的度数. 14. 如图，，且．求证：． 15. 在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）作出关于轴对称的； （2）将向右平移个单位，作出平移后的； （3）观察和，它们是否关于某直线对称？若是，请在图上画出这条对称轴． 16. 如图，在中，平分交于点D，平分交于点E． （1）若，，求的度数； （2）若，求的度数． 17. 如图，在中，，为的中线，以点圆心，长为半径画弧，与、分别交于点、，连接，． （1）判断与是否全等？并说明理由： （2）若，求的度数． 18. 某校八年级学生到野外活动，为测量一池塘两端A，B的距离，甲、乙两位同学分别设计出如下两种方案： 甲方案 乙方案 如图1，先在平地取一个可直达，的点，再连接，，并分别延长至，至，使，，最后测出的长即为，的距离． 如图2，过点作，再由点观测，在的延长线上取一点，使，这时只要测出的长即为，的距离． （1）以上两位同学所设计的方案，可行的有______； （2）请你选择一种可行的方案，说说它可行的理由． 19. 如图，，点在边上，和相交于点． （1）求证：； （2）若，求的度数． 20. 如图所示，在平面直角坐标系中，， （1）点A在的正半轴运动，点B在的正半轴上，且， ①求证：： ②求的值； （2）点A在的正半轴运动，点B在的负半轴上，且， ①求的值； ②点A的坐标为，求点B的坐标． 21. 【模型解读】 角平分线在数学中都占据着重要的地位，需要掌握其各类模型及相应的辅助线作法． 【模型证明】 常见模型1 条件：如图，为的角平分线，，垂足为点A，，垂足为点B． 结论：，． 常见模型2 条件：如图，在中，，为的角平分线，过点，垂足为点E． 结论：，且（当是等腰直角三角形时，有）． 常见模型3 条件：如图，是的角平分线，． 结论：． 根据模型3的条件，请证明上述结论． 【模型运用】 如图，，分别为和的平分线，，则，，的数量关系是 ． 【解决问题】 如图，是一个四边形人工湖，，米，米，甲、乙两人同时从点C出发，甲沿方向以2米/秒的速度前进，乙沿方向以1米/秒的速度前进，30秒后，甲、乙分别到达E，F处，此时测得，，此时甲、乙两人的距离为 米． 22. 如图①，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为． （1）如图①，当时，________cm，当时，________cm． （2）如图①，求当为何值时，的面积等于面积的一半； （3）如图②，在中，，，，，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发．沿着边运动，回到点停止，在两点运动过程中的某一时刻，恰好，直接写出点的运动速度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 二十九中学校2026-2027年上学期 期中考试八年级数学学科 一、单选题（每小题3分，共18分） 1. 下列“慢行通过，注意危险，禁止行人通行，禁止非机动车通行”四个交通标志图（黑白阴影图片）中为轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得出答案． 【详解】A．不是轴对称图形，故本选项错误； B．是轴对称图形，故本选项正确； C．不是轴对称图形，故本选项错误； D．不是轴对称图形，故本选项错误． 故选B． 2. 已知等腰三角形的两边长分别为5cm、2cm，则该等腰三角形的周长是（　　） A. 7cm B. 9cm C. 12cm或者9cm D. 12cm 【答案】D 【解析】 【分析】由等腰三角形的两边长分别为5cm和2cm，分别从若2cm为腰长，5cm为底边长与若2cm为底边长，5cm为腰长去分析求解即可求得答案． 【详解】若2cm为腰长，5cm为底边长， ∵2+2=4＜5，不能组成三角形， ∴不合题意，舍去； 若2cm为底边长，5cm为腰长， 则此三角形的周长为：2+5+5=12cm． 故选D． 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质与三角形的三边关系．此题比较简单，注意掌握分类讨论思想的应用． 3. 如图，，，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角的定义及性质，先求出的度数，再由三角形外角的定义及性质计算即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图： ， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故选：B． 4. 如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则（ ） A. 60° B. 90° C. 120° D. 150° 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用全等图形的性质得出，进而得出答案． 【详解】解：如图所示： 由题意可得：， 则， ∵， ∴． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了全等图形，正确掌握全等三角形的性质是解题关键． 5. 具备下列条件的中，不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，掌握“三角形的内角和是”是解决本题的关键．利用三角形的内角和定理和已知条件，计算出最大的角再判断的形状． 【详解】解：A．，即，，为直角三角形，不符合题意； B．，即，，为直角三角形，不符合题意； C．，即，同A选项，不符合题意； D．，即，三个角没有角，故不是直角三角形，符合题意． 故选：D． 6. 如图，用直尺和圆规作“一个角等于已知角”的原理是：因为，所以．由这种作图方法得到的和全等的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据作图得到OD=OC=OD′=OC′，CD=C′D′，然后根据全等三角形的判定方法求解． 【详解】解：由作法得OD=OC=OD′=OC′，CD=C′D′， 所以根据“SSS”可判断△D′O′C′≌△DOC． 故选：D． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定与性质． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 若点P在线段AB的垂直平分线上，PA=5，则PB=____________________． 【答案】5 【解析】 【详解】试题解析：∵点P在线段AB的垂直平分线上， ∴PB=PA=5． 考点：线段垂直平分线的性质． 8. 如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成，在中，已知直角边，，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据“赵爽弦图”的示意图是由四个全等的直角三角形围成，得出，则，代入数值计算，即可作答． 【详解】解：∵“赵爽弦图”的示意图是由四个全等的直角三角形围成， ∴， ∴， 故答案为：2． 9. 自行车生产厂家把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是利用三角形的 ________． 【答案】 稳定性 【解析】 【详解】解：三角形本身具有稳定性，生活中利用这一特性，将自行车梁做成三角形支架，因此这是利用三角形的稳定性． 10. 如图，是某款婴儿车的几何示意图，若，，，则的度数是__________°． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是平行线的性质，三角形的外角的性质，先证明，，再利用三角形的外角的性质解答即可． 【详解】∵，，， ∴，， ∴． 故答案为： 11. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，，则点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解题的关键． 过点作轴交轴于点，过点作轴交轴于点，相交于点，进而得出，可得到及的长，即可得到答案． 【详解】解：如图，过点作轴交轴于点，过点作轴交轴于点，相交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为： ． 三、解答题（12-14每小题6分，15-17每小题7分，18-19每小题8分，20-21每小题10分，22题12分，共87分） 12. 如图，已知，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．利用证明即可证明． 【详解】略 13. 已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，AE平分∠DAC，∠B=50°，求∠AEC的度数. 【答案】115° 【解析】 【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠BAD，然后求出∠DAC，再根据角平分线的定义求出∠DAE，然后求出∠BAE，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠AEC=∠BAE+∠B代入数据计算即可得解． 【详解】∵AD⊥BC，∠B=50°， ∴∠BAD=90°-∠B=90°-50°=40°， ∵∠BAC=90°， ∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=90°-40°=50°， ∵AE平分∠DAC， ∴∠DAE=∠DAC=×50°=25°， ∴∠BAE=40°+25°=65°， ∴∠AEC=∠BAE+∠B=65°+50°=115°． 【点睛】考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，是基础题，熟记概念与定理并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键． 14. 如图，，且．求证：． 【答案】 证明：， ∴， ∵， ∴， ， ， ， ∴ 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，由等腰三角形的性质可得，由平行线的性质得，即得，进而由即可求证，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】略． 15. 在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）作出关于轴对称的； （2）将向右平移个单位，作出平移后的； （3）观察和，它们是否关于某直线对称？若是，请在图上画出这条对称轴． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据关于轴对称的图形特征可以画出； （2）根据平移的坐标变换可以画出； （3）观察（1）（2）所得三角形可得与 关于直线成轴对称，然后画出图形． 【小问1详解】 解：由图可知，，，， ∵是关于轴对称的图形， ∴，，，依次连接，，，得到， ∴即为所求． 【小问2详解】 解：∵，，， 当向右平移个单位后，，，， ∴依次连接，，，得到，即为所求． 【小问3详解】 解：由图形可得：与关于对称． 16. 如图，在中，平分交于点D，平分交于点E． （1）若，，求的度数； （2）若，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由角平分线的定义求出．再根据三角形外角的性质即可得到的度数； （2）由角平分线的定义得到．再根据三角形外角的性质得到．即可得到，再根据三角形内角和定理求出答案即可； 本题考查了三角形外角的性质、三角形内角和定理、角平分线的相关计算等知识，熟练掌握三角形外角的性质、三角形内角和定理是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵平分交于点D，， ∴． ∵是的外角，， ∴； 【小问2详解】 ∵平分交于点D，平分交于点E， ∴． ∵是的外角，， ∴． ∴ ∵， ∴． 17. 如图，在中，，为的中线，以点圆心，长为半径画弧，与、分别交于点、，连接，． （1）判断与是否全等？并说明理由： （2）若，求的度数． 【答案】（1） 解：与全等，理由如下： 在中，，为的中线， ，， 由作图可知：， 在与中， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，理解等腰三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． （1）根据等腰三角形性质得，，由作图可知，由此可依据判定与全等； （2）根据得，进而得，再根据得，由三角形内角和定理得，由此可得出的度数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ， 在中，， ， ， ， 在中，， ， ， ． 18. 某校八年级学生到野外活动，为测量一池塘两端A，B的距离，甲、乙两位同学分别设计出如下两种方案： 甲方案 乙方案 如图1，先在平地取一个可直达，的点，再连接，，并分别延长至，至，使，，最后测出的长即为，的距离． 如图2，过点作，再由点观测，在的延长线上取一点，使，这时只要测出的长即为，的距离． （1）以上两位同学所设计的方案，可行的有______； （2）请你选择一种可行的方案，说说它可行的理由． 【答案】（1）甲方案、乙方案 （2） 甲方案：在和中， ， ： 乙方案：， ． 在和中， ， ． ． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是： （1）根据全等三角形的判定与性质可解答甲、乙； （2）甲方案利用“”，证明，测出的长即为，B的距离；乙方案利用“”，证明，测出的长即为，的距离． 【小问1详解】 解：根据“”证明，可得，所以甲方案可行； 根据“”证明，可得，所以方案乙可行， 【小问2详解】 略 19. 如图，，点在边上，和相交于点． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵AE和BD相交于点O， ． 在和中， ， ． 又， ， ∴，即． 在和中， ， ． （2）． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质： （1）根据即可证明两三角形全等； （2）由（1）可知，根据平角的定义求出的度数，从而可求出的度数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知， ， ， ， ， ． 20. 如图所示，在平面直角坐标系中，， （1）点A在的正半轴运动，点B在的正半轴上，且， ①求证：： ②求的值； （2）点A在的正半轴运动，点B在的负半轴上，且， ①求的值； ②点A的坐标为，求点B的坐标． 【答案】（1） ①证明：如图，过点P作轴于E，作轴于F， ∴， ∵， ∴， 在Rt和Rt， ， ∴RtRt(HL)， ∴， ∴， ∴； ②8 （2）①8；②点B的坐标为 【解析】 【分析】（1）①过点P作轴于E，作轴于F，根据点P的坐标可得，然后利用“HL”证明Rt和Rt全等，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，再根据垂直的定义证明； ②根据全等三角形对应边相等可得，再表示出PE、PF，然后列出方程整理即可得解； （2）①根据全等三角形对应边相等可得，再表示出PE、PF，然后列出方程整理即可得解； ②求出AE的长度，再根据全等三角形对应边相等可得，然后求出OB，再写出点B的坐标即可． 【小问1详解】 ①略． ②解：∵RtRt， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 （2）解：①如图，过点P作轴于E，作轴于F， 同理得RtRt(HL)， ∴， ∵， ∴， ∴； ②∵，轴于E，作轴于F， ∴四边形OEPF是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵RtRt， ∴， ∴， ∴点B的坐标为． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质、正方形的判定与性质等知识，本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型． 21. 【模型解读】 角平分线在数学中都占据着重要的地位，需要掌握其各类模型及相应的辅助线作法． 【模型证明】 常见模型1 条件：如图，为的角平分线，，垂足为点A，，垂足为点B． 结论：，． 常见模型2 条件：如图，在中，，为的角平分线，过点，垂足为点E． 结论：，且（当是等腰直角三角形时，有）． 常见模型3 条件：如图，是的角平分线，． 结论：． 根据模型3的条件，请证明上述结论． 【模型运用】 如图，，分别为和的平分线，，则，，的数量关系是 ． 【解决问题】 如图，是一个四边形人工湖，，米，米，甲、乙两人同时从点C出发，甲沿方向以2米/秒的速度前进，乙沿方向以1米/秒的速度前进，30秒后，甲、乙分别到达E，F处，此时测得，，此时甲、乙两人的距离为 米． 【答案】模型证明： 证明：如图，作于，于， 则， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴； 模型运用：； 解决问题：50 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 模型证明：作于，于，则，，证明，即可得证； 模型运用：在上截取点，使得，连接，由角平分线的定义可得，证明，得出，，再证明，得出，即可得证； 解决问题：由题意可得米，米，延长至点，使得，连接，证明，得出米，，，再证明，即可得解． 【详解】模型证明：略 模型运用：如图，在上截取点，使得，连接， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； 解决问题：由题意可得：米，米，米，米， ∴米，米， 如图，延长至点，使得，连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴米，，， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴米， 即此时甲、乙两人的距离为米． 故答案为：50． 22. 如图①，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为． （1）如图①，当时，________cm，当时，________cm． （2）如图①，求当为何值时，的面积等于面积的一半； （3）如图②，在中，，，，，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发．沿着边运动，回到点停止，在两点运动过程中的某一时刻，恰好，直接写出点的运动速度． 【答案】（1）； （2）或 （3）运动的速度为或 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质及三角形面积、一元一次方程的几何应用，分类讨论思想，掌握全等三角形的性质及分情况讨论是解题的关键． （1）当时，点P在线段上；当时，，点在线段上，分别求解即可； （2）分两种情况讨论：①点P在上；②点P在上，利用三角形面积分别求解即可； （3）根据题意分两种情况进行分析，利用全等三角形的判定与性质得出点所走的路程，进而可求出的运动时间，即的运动时间，再利用速度路程时间求解即可． 【小问1详解】 解：当时，点在线段上， ∵点速度为， ∴． 当时，， 点在线段上， ∴． 故答案为：；； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵的面积等于面积的一半， ∴． ①当点在上时， ， ∴， ． ②当点在上时， 过点作于点D， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ． 故答案为：或； 【小问3详解】 解：①当点在上，点在上，时， ， ∴； ②当点P在上，点Q在上，时，     ， ∴点P的路程为，点Q的路程为， ∴． ∴运动的速度为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $