2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第二章 一元二次函数、方程和不等式 1 2.3 二次函数与一元二次方程、不等 式 2 01 知识绘 02 易错记 03 重难斩 3 知识点1 一元二次不等式的有关概念 基本点 1.一元二次不等式的定义 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.一元二次 不等式的一般形式是<m></m>或<m></m>，其中<m></m>,<m></m>,<m></m>均为常数，<m></m>.<m></m> 理解 （1）这里的“元”是指不等式中所要求解的未知数.一元就是指未知数的个数为1，这里即<m></m>，但不等式 中也可以包含其他字母，如<m></m>，<m></m>，<m></m>等，这里的<m></m>，<m></m>，<m></m>为系数，即为常数. （2）“次”是指不等式的最高次项的次数，这里的最高次项为<m></m>，次数为2，即二次.注意二次项系数不 为0，即<m></m>，若<m></m>为0，则二次项不存在，不等式实质为一元一次不等式<m></m>或<m></m>（其中 <m></m>）.在解题时要注意，若未说明二次项系数不为0，则需分类讨论，求不等式的解. 4 2.一元二次不等式的解与解集 使一元二次不等式成立的<m></m>的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的 解集. 划重点（1）定义的简单应用：判断一个不等式是不是一元二次不等式，应严格按照定义去判断，即未知数只有 1个，未知数的最高次数是2，且最高次项的系数不能为0. （2）解集是解的集合，故一元二次不等式的解集一定要写成集合的形式,即<m></m>或 <m></m>. . . 5 知识点2 四个二次的关系 基本点 一般地，对于二次函数,我们把使的实数叫做二次函数 的零点，一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点. 一元二次函数的零点，一元二次方程的根，二次函数的图象，一元二次不等式的解集之间的关系即为四个 二次之间的关系. 一元二次不等式与对应的二次函数 、对应的方程 之间的关系（其中 ）如表所示： 6 的图象 __________________ __________________ _________________ 的根 有两个不相等的实数根 , 有两个相等的实数根 没有实数 根 的零点 有两个零点, 有一个零点 没有零点 的解集 或 的解集 7 一元二次方程的根对应二次函数图象与轴交点的横坐标，一元二次不等式的解集对应二次函数图象在 轴 上方或下方的部分，或与轴的交点，因此根据二次函数图象的开口方向及与 轴交点的情况可以确定一元二次 不等式的解集，这样就形成了二次函数图象与一元二次方程相结合解一元二次不等式的方法. 理解 方法 （1）对一切都成立的条件为 对一切 都成立的条件为 （2）零点不是“点”，而是函数的图象与 轴交点的横坐标,也是方程的解，是一个实数. 求解方程 根的方法： （1）公式法： . （2）配方法：方程化为顶点式 . （3）十字相乘法. 8 例 求方程 的根. 【解】方法一（公式法） ， 所以， . 方法二（配方法），所以，所以，即， . 方法三（十字相乘法），所以， . 9 知识点3 一元二次不等式的求解过程 重点 当时，解形如或 的一元二次不等式，一般可分为以下三步： （1）计算 ，判断并确定对应方程 的根； （2）画出对应函数图象的简图； （3）由图象得出不等式的解集. 具体类型分析如表所示，其中，当时，，是一元二次方程 的两个实数根， 且. 注意 （1）这里只给出了不等式中二次项系数的情况.若,只要在不等式两边同乘 ，然后把不等 号的方向改变一下，就可化为 的四种形式中的一种. 10 （2）结合对应的二次函数的图象分析含参数的一元二次不等式时，参数可能会出现在二次项系数中、判别式中、 两根之中，都需要分别讨论后写出解集. 或 或 11 易错点 忽略对二次项系数的讨论致错 重点 例1 解关于的不等式 . 【解】（1）当时，原不等式的解集为 . （2）当时，原不等式可化为，方程的解为， . ①当 时， 原不等式的解集为 ; ②当 时， 若，则原不等式的解集为，若，则原不等式的解集为 ， 12 若，则原不等式的解集为 . 综上，当 时， 原不等式的解集为 ； 当时，原不等式的解集为 ； 当 时， 原不等式的解集为 ； 当时，原不等式的解集为 ； 当 时， 原不等式的解集为 . 在处理二次项系数含参数的问题时，要注意对二次项系数进行讨论.二次项系数不为0是“二次”的 前提.分类应做到使所给参数 的集合的并集为全集，交集为空集，只有这样才能达到“既不重复又不遗漏”. 14 能力进阶 要点1 解不含参数的一元二次不等式 基本点 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 （1）对不等式变形，使不等号一边为0且二次项系数大于0，即<m></m>， <m></m>，其中<m></m>； （2）计算对应方程根的判别式，求出相应的一元二次方程的实数根，或根据判别式说明方程没有实数根； （3）画出对应函数的大致图象，根据函数图象写出不等式的解集. 15 例1 解下列不等式： （1） ； 【解】，方程的两根为， . 作出函数 的大致图象，如图①所示. 由图①可得原不等式的解集为 . 16 （2） ； 【答案】原不等式等价于，，解方程，得， ， 作出二次函数的大致图象，如图②所示，由图②可得原不等式的解集为 或 . 17 （3） ； 【答案】， 方程有两个相等的实根.作出二次函数 的大 致图象，如图③所示，由图③可得原不等式的解集为 . （4） . 【答案】原不等式可化为 . ， 方程 无实根， 原不等式的解集为 . 18 要点2 解含参数的一元二次不等式 重点 若一元二次不等式含有参数，且能求出对应方程的两根，则在写解集时要结合两根的大小进行讨论.若二次 项系数含有参数，则需对二次项系数分等于0、大于0、小于0三种情况进行讨论. 对参数的讨论是根据解题需要自然引出的，并非一开始就对参数加以分类讨论. 例2 解下列关于 的不等式: （1） ; 【解】方程的两根为， . 由题可知，函数的图象开口向上，则当时，原不等式的解集为 ；当 时，原不等式的解集为 ；当时，原不等式的解集为 . 19 （2） ； 【答案】由题意得 . ①当，即 时， 方程无实根，所以原不等式的解集为 . ②当，即或 时， 方程的两个根为， ， 所以当时，原不等式的解集为；当或 时，原不等式的解集为 ；当时，原不等式的解集为 . 20 （3） . 【答案】原不等式等价于 . ①当时，不等式可化为，所以原不等式的解集为 . ②当时，不等式可化为，此时，所以原不等式的解集为 . ③当时，不等式可化为.当时，，原不等式的解集为 ；当 时，，原不等式的解集为；当时， ，原不等式的解集为 . 综上，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为 ；当 时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当 时， 原不等式的解集为 . 21 要点3 其他不等式的求解 重点 例3（1）［山西晋城2025高一调研］对于实数，规定表示不大于的最大整数，如， ， 那么不等式 的解集为_____________. 【解析】由得，，解得 ， 所以或，故，所以原不等式的解集为 . （2）［辽宁沈阳五校协作体2025高一联考］关于的不等式 的解集为_____________________ __________. 或 【解析】原不等式可化为 ， 即，可得 ， 解得或，所以原不等式的解集为或 . 22 要点4 一元二次不等式与对应函数、方程的关系 重点 （1）一元二次不等式的解集的端点值是一元二次方程 的根， 也是函数的图象与 轴交点的横坐标. （2）二次函数的图象在轴上方的部分对应的值，满足不等式 ； 图象在轴下方的部分对应的值，满足不等式 . 23 例4 不等式的解集为，则函数 的图象大致为( ) A A. B. C. D. 【解析】因为的解集为 ， 所以方程的两根为,，且 ， 故函数 的图象开口向下， 且与轴的交点的坐标为和 ，故A选项的图象符合. 24 例5 ［江苏南通2024高一学情检测］已知关于的不等式的解集为，求关于 的不 等式 的解集. 【解】的解集为 ， 和是方程 的两根. 由一元二次方程根与系数的关系得解得 代入所求不等式，得 . 由，即 ， 解得或 . 的解集为 . 25 一元二次不等式与对应函数、方程之间相互依存、相互转化. 26 高分突破 要点5 解高次不等式 重难点 求解高次不等式一般利用“数轴标根法”，也叫“穿针引线法”.其步骤如下： ①根据不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得不等号右侧为0，并分解左侧因式（一定要保证 的系数 为正数）. ②将不等号换成等号解出对应一元高次方程的所有根. ③在数轴上从左到右依次标出各根. ④画穿根线:以数轴为标准，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过“次右根”上去，如此一 上一下依次穿过各根.但要注意偶次根不穿过，即“奇过偶不过”. ⑤观察不等号，若不等号为“ ”，则取数轴上方穿根线以内的范围;若不等号为“ ”，则取数轴下方穿根线 以内的范围. 27 例6 求不等式 的解集. 【思路分析】利用不等式的性质可将高次不等式转化为不等式组；也可将不等式因式分解，由不等式的性 质用列表法求解；还可以求出相应方程的根，由“穿针引线法”求解. 【解】方法一：原不等式可化为 或 解得或 即或 . 故原不等式的解集为或 . 28 方法二：原不等式可化为 . - - - - - - - - 由表可知，原不等式的解集为或 . 29 方法三：方程的根为,, . 将, ,4标在数轴上，然后用一条光滑的曲线从数轴右端的上方起，依次穿过这些根，如图所示，则不等式 的解集即为曲线在数轴上方的部分对应的 的取值范围. 故原不等式的解集为或 . 30 要点6 解分式不等式 重难点 解分式不等式的思路 通过移项、通分等方法先将分母和分子都转化成因式形式，进一步将分式不等式转化为整式同解不等式 （组），再求解. 将分式不等式转化为整式同解不等式（组）的变形如表所示（其中<m></m>与<m></m>为关于<m></m>的表达式）<m></m> 31 分式不等式 同解不等式（组） 与或同解;与 同解 与或同解;与 同解 与 同解 与 同解 例7 解下列不等式： （1） ； 【解】（提示:要注意这种形式的分式不等式转化为整式不等式后，分母不能取0，但分子可以）原不等式等价 于解得，所以原不等式的解集为 . （2） . 【答案】原不等式等价于 ， 即，即有 ， 解得或，所以原不等式的解集为或 . 33 形如的分式不等式，可同解变形为，故可转化为解 . 34 要点7 二次函数的零点分布问题 难点 解决有关根的分布问题的注意点 （1）画出符合题意的草图，转化为函数问题. （2）结合草图考虑四个方面：①判别式<m></m> 与0的大小；②对称轴与所给端点的关系；③端点的函数值与0的 关系；④开口方向. （3）写出由题意得到的不等式，并验证图象是否符合题意. 注意：在写不等式时要注意条件的完备性. 二次函数<m></m>表示关于<m></m>的函数式，<m></m>表示当<m></m>时的函数值，<m></m>,<m></m> 同理<m></m>的两个零点<m></m>，<m></m>的分布情况如表所示（只讨论<m></m>的情况，<m></m>可变形为<m></m>的情况）： 35 根的分布，为常数 图象 满足的条件 ______________________ _________________________ 36 根的分布，为常数 图象 满足的条件 _________________________ __________________________ __________________________ 续表 37 根的分布，为常数 图象 满足的条件 只有一根在 之间 __________________________ 当时，或 __________________________ 当时，或 续表 38 根的分布，为常数 图象 满足的条件 ________________________ 续表 39 例8 已知关于的方程 ． （1）当 为何值时，方程的一个根大于1，另一个根小于1？ 【解】如图①，二次函数的图象开口向上，对称轴为直线 . 图① 由方程的一个根大于1，另一个根小于1，得，解得，所以 的取值范围是 ． 40 （2）当为何值时，方程的一个根大于 且小于1，另一个根大于2且小于3？ 图② 【答案】由方程的一个根大于 且小于1，另一个根大于2且小于3，作出 满足题意的二次函数 的大致图象，如图②. 由图②知解得 ， 所以的取值范围是 ． （3）当 为何值时，方程的两个根都大于0？ 【答案】方程的两个根都大于0，则解得，所以 的取值范围是 ． 41 要点8 不等式恒（能）成立问题 重难点 角度1 在实数集上恒成立 不等式对任意实数恒成立，即不等式的解集为，对于一元二次不等式 ，它的解集 为的条件为对于一元二次不等式，它的解集为 的条件为 若未说明不等式为一元二次不等式，则它的解集为 的条件为 或 例9 ［陕西部分学校2025高一期中］不等式对恒成立，则实数 的取值范围为 __________. 【解析】①当时， 恒成立； ②当时，只需解得 . 综上可得，实数的取值范围为 . 42 角度2 在某范围内恒成立 （1）当时，不等式在某范围内恒成立，等价于函数 在给定范 围的两端点处的函数值同时小于（小于等于）0；当时，不等式 在某范围内恒成立， 等价于函数 在给定范围的两端点处的函数值同时大于（大于等于）0.其他情况可结合函数图象 及性质进行细致分析. （2）若不等式中的参数容易分离出来，也可考虑使用分离参数法求其取值范围. 43 例10 ［四川内江六中2024高一期中］已知在时恒成立，则 的取值范围为__________. 【解析】方法一：在时恒成立,则解得 . 方法二：由在 时恒成立, 可得 , 令, , 由二次函数的图象和性质可知,所以 . 44 角度3 在某范围内能成立 例11 ［山东德州2025高一期中］若，使成立，则实数 的取值范围 是( ) A A. B. C. D. 【解析】设函数 ， 因为，使 成立， 所以在时的最大值 . 因为二次函数的图象开口向上，图象的对称轴方程为 ， 且，所以当时，函数取得最大值，最大值 ，解 得 . 45 要点9 一元二次不等式的实际应用 重点 与一元二次不等式有关的实际应用问题，经常涉及物价、路程、产值、环保等最值问题，也可涉及角度、 面积、体积、造价的最优化问题.解答这类问题的关键是确立相应的函数解析式，然后应用函数、方程和不等式 的有关知识加以综合解答.步骤如下： （1）理解题意，搞清量与量之间的关系； （2）建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题； 46 （3）解不等式，得到实际问题的解. 例12 ［广东部分学校2025高一联考］如图所示，某花卉基地计划在三块完全相同的矩形花卉四周（阴影部分） 铺设宽度相同的观赏通道.已知三块花卉的面积均为.若矩形花卉的长比宽至少多 ，则花卉宽的取值范 围为_______________. 47 【解析】设矩形花卉的宽为 ， 因为三块花卉的面积均为，则矩形花卉的长为 ， 又矩形花卉的长比宽至少多，所以，即，即 ，解得 ， 所以花卉宽的取值范围是 . 例13 ［吉林长春2025高一月考］某商品的成本价为80元/件，售价为100元/件时，每天售出100件，若售价降低 成（1成,），售出商品的数量就增加 成，售价需要高于成本价． （1）设该商品一天的营业额为元，求与 之间的函数关系式； 【解】若售价降低成，则商品售价为 （元/件）， 售出商品数量为件 ， 所以该商品一天的营业额 . 又因为售价需要高于成本价，所以，解得 ， 所以 . 49 （2）若要求该商品一天的营业额至少为10 260元，求 的取值范围． 【答案】该商品一天的营业额 ， 令，化简得 ， 解得，又 ， 所以的取值范围为 ． 50 A组·学业基础 1.〈要点1〉［江苏扬州2025高一期中］不等式 的解集为( ) B A. B. C. D. 【解析】由，可得，即，解得 ，所以不等式 的解集为 . 51 2.〈要点1〉［福建泉州2025高一期中］不等式 的解集是( ) D A. B. C. D. 【解析】由，即，解得或 ， 即不等式的解集是 .故选D. 52 3.〈要点2〉（多选）［山西大同一中2024高一月考］若关于的不等式 的解集中恰有两 个整数，则 的值可能为( ) BCD A. B. C. D.1 【解析】不等式可化为，显然 . 当时，原不等式的解集为，由于解集中恰有两个整数，则 ，解得 ；当时，原不等式的解集为，由于解集中恰有两个整数，则 ， 解得 . 综上，的取值范围是.故选 ． 53 4.〈要点3〉［云南昆明2025高一期末］不等式 的解集为( ) B A. B. C. D. 【解析】不等式可化为，即，解得 .故选B. 54 5.〈要点4〉不等式的解集为，则函数 的图象大致为( ) B A. B. C. D. 【解析】由题意得，，为方程 的两根， 故，，即， ， 的图象开口向下，其图象的对称轴为直线，与轴交点纵坐标为 .故选B. 55 6.〈要点4〉关于的不等式的解集为，则不等式 的解集为 ( ) D A. B. C. D. 【解析】因为的解集为，所以，是方程 的两根， 由根与系数的关系得 得，，则不等式可化为 ， 即，解得，所以不等式的解集是 . 故选D. 56 7.〈易错点〉若关于的不等式的解集为，则实数 的取值范围是____________ ___. 【解析】当，即时，原不等式可化为，恒成立，满足不等式解集为；当 ，即 时，若不等式的解集是 ， 则解得 . 综上，的取值范围是 . 57 8.〈要点3〉［黑龙江黑河2025高一段考］设表示不超过的最大整数，如， ，则不等式 的解集是_____________. 【解析】等价于，解得，所以 . 58 9.〈要点2〉［广西南宁2025高一月考］解关于的不等式 . 【解】不等式可化为 ， 当时，不等式的解集为 ； 当时，不等式的解集为 ； 当时，不等式的解集为 . 59 10.〈要点2〉已知，解关于的不等式 . 【解】，即 . 当，即时，不等式化为，解得 . 当时，有，解方程，得或 . ①由题知，当，即时，，有 ， 解不等式，得或 ； ②当，即时，有 ， 解不等式，得 . 综上，当时，所求不等式的解集为 ； 当时，所求不等式的解集为 ； 当时，所求不等式的解集为 . 60 B组·应考能力 11.〈要点5，6〉不等式 的解集为( ) A A. B. C. D. 【解析】不等式转化为 ， 等价于 如图，由“数轴标根法”可知，不等式的解集为 .故选A. 61 12.〈要点8〉［江西南昌2025高一月考］若关于的不等式在时有解，则实数 的取 值范围是( ) A A. B. C.或 D.或 【解析】令，，所以当或 时， 取得最大值为0， 由于关于的不等式在 时有解， 所以，，解得 . 62 13.〈要点9〉［河南驻马店2025高一月考］某网店销售一批新款削笔器，每个削笔器的最低售价为15元.若按最 低售价销售，每天能卖出30个，若一个削笔器的售价每提高1元，日销售量将减少2个.为了使这批削笔器每天获 得400元以上（不含400元）的销售收入，则这批削笔器的销售单价 （单位：元）的取值范围是( ) B A. B. C. D. 【解析】由题意得，即 ， 解得 ， 又， ， 故应将这批削笔器的销售价格定在每个15元到20元之间（包括15元但不包括20元）， 才能使这批削笔器每天获得400元以上（不含400元）的销售收入.故选B. 63 14.〈要点6〉［湖南邵阳2025高一期中］不等式 的解集为_________________. 【解析】由得，即 故或，故不等式的解集为 . 64 15.〈要点5，6〉不等式 的解集为____________________. 【解析】由，得 ， 根据“数轴标根法”可得或 . 由，得 ， 即 ， 所以 解得或或 . 所以原不等式的解集为 . 65 16.〈要点7〉［北京朝阳区2024高一期中］二次函数的图象与 轴的两个交点的横坐标 分别为，，且，如图所示，则实数 的取值范围为_ _____________. 【解析】由题图可得当时，，解得，当时， ，解得 ，所以实数的取值范围是 . 66 17.〈要点8〉［天津西青区2025高一期中］已知关于的不等式对任意恒成立，则 的取值范围是_____________. 【解析】当时，恒成立，则 符合题意； 当时，解得 ， 所以的取值范围是 . 67 18.〈要点8〉已知当时，不等式恒成立，则 的取值范围为____________ ______. 【解析】由题意，知当时，不等式恒成立可转化为关于 的函数 在时恒成立，当时，，解得；当 时， ，解得，所以的取值范围为 . 68 19.〈要点7〉已知下列两个说法：①有两个不相等的负根；② 无实数 根.若说法①和说法②中有且只有一个成立，求实数 的取值范围. 【解】若 有两个不相等的负根， 则解得 . 若 无实数根， 则，解得 . 由题意得两个说法中有且只有一个成立.若说法①成立，说法②不成立，则 ；若说法①不成立，说法②成 立，则 . 综上，实数的取值范围为 . 69 C组·素养培优 20.［武汉大学强基计划］设实数，满足，则 的最小值为( ) C A.0 B.2 C. D. 【解析】设，则 . ， ，等式两边同时平方得 ， ， . 设，则， ， 即 ， 解得或 （舍去）， 的最小值是 . 故选C． 70 21.［广东肇庆高一竞赛］已知关于的不等式的解集是 ，则 的取值范围是________________. 【解析】由题可知，且，是一元二次方程 的两个根，即 ，解得或（舍去），所以 . 又，，所以 . 由于，且，所以 . 71 $