2.2 基本不等式 课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第二章 一元二次函数、方程和不等式 1 2.2 基本不等式 2 01 知识绘 02 易错记 03 重难斩 3 知识点1 重要不等式与基本不等式 基本点 1.定义 <m></m>,<m></m>,有<m></m>,当且仅当<m></m>时，等号成立.<m></m> 证明1 <m></m>，当<m></m>时，<m></m>;当<m></m>时，<m></m>.所以<m></m>， 即<m></m>（当且仅当<m></m>时，等号成立）. 4 特别地，如果,,我们用，分别代替中的，，可得 ，当且仅当 时，等号成立. 证明2 方法一（几何法）： 如图，是圆的直径，点在上，设，，过点作垂直于的弦，连接， . 在和中，因为 ， ，所以 .又 ，所以，， . 因为，所以（当且仅当点与点重合，即 时，等号成立）. 5 方法二（作差法）： （当且仅当，即 时，等号成立）. 重要不等式 基本不等式 符号语言 适用范围 , ， 等号成立条件 当且仅当 时 当且仅当 时 文字语言 两数的平方和不小于它们积的二倍 两个正数的算数平均数不小于它们的几何平均数 常用变形 ； ； 注：正数,的算数平均数是,几何平均数是 . 上述不等式中, 的取值可以是具体的数，也可以是代数式. 6 求甚解 如何理解不等式 中“当且仅当”的含义？ （1）当时，取等号，即 ； （2）仅当时，取等号，即 . 2.基本不等式的常用结论 （1）（,同号且均不为0），当且仅当时，等号成立；（, 异号且均不为0）， 当且仅当 时，等号成立. （2），当且仅当时，等号成立；，当且仅当 时，等号成立. 7 知识点2 最值定理 难点 已知, ，则 （1）如果为定值，那么当时，有最小值 （简记：积定和最小）.即若两个正数的积为定 值，则当这两个正数相等时，它们的和取最小值. （2）如果为定值，那么当时，有最大值 （简记：和定积最大）.即若两个正数的和为定 值，则当这两个正数相等时，它们的积取最大值. 在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件：一正、二定、三相等.这三个条件缺一不可. 一正：各项必须为正数. 二定：积或和为定值.积为定值时和有最小值；和为定值时积有最大值. 三相等：等号能否取到. 另外，在连续使用基本不等式求最值时，取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次等号成立的字母的 取值存在且一致. 8 知识点3 一个不等式链 基本点 ，当且仅当时等号成立，其中,，， 分别叫 做正数,的调和平均数、几何平均数、算术平均数、平方平均数. 证明 ①由， ， 得 , ，当且仅当 时，等号成立. 9 ②，当且仅当 时，等号成立，知识点1已证. ③ . （当且仅当 时，等号成立）, , （当且仅当 时，等号成立）. 这个不等式链揭示了两正数的倒数和、积、和、平方和之间的不等关系，当某一部分为定值时，其余三部 分都能取到最值，且都在两数相等时取等号，利用这个不等式链往往能使复杂问题简单化，要在理解的基础上 记忆和应用. 10 其几何意义如图所示. <m></m> 拓展 常用变形 ①<m></m>; ②<m></m>; <m></m>;<m></m>. 11 知识点4 基本不等式的推广 拓展点 1.两个负数的基本不等式 若<m></m>,<m></m>，则有<m></m>,<m></m>，<m></m>，故<m></m>，当且仅当 <m></m>,即<m></m>时，等号成立. 2.三个正数的基本不等式 若<m></m>,<m></m>,<m></m>， 则有<m></m> 12 当且仅当<m></m>时,等号成立.其中，不等式①表明三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.<m></m> 总结 设<m></m>,<m></m>,<m></m>都是正数，则有 （1）若<m></m>（定值），则当<m></m>时，<m></m>有最小值<m></m>. （2）若<m></m>（定值），则当<m></m>时，<m></m>有最大值<m></m>. 3.<m></m>个正数的基本不等式 对于<m></m>个正数<m></m>,<m></m>,<m></m>,<m></m> ,<m></m>，它们的算术平均数不小于它们的几何平均数，即 <m></m>（当且仅当<m></m>时，等号成立）. 13 易错点1 忽略变量的取值范围致错 基本点 例1 设函数，求 的取值范围. 【错解】由基本不等式可得，当且仅当,即时，等号成立，所以 . 【错因分析】解答过程忽略对 符号的讨论. 【正解】①当时，，当且仅当,即时，等号成立，此时 ； ②当时，可知，，当且仅当,即 时，等号成 立，此时 . 综上，或 . 14 运用基本不等式求最值时，解题错误的真正原因是忽视前提“一正、二定、三相等”，这三个条件 缺一不可. “一正”是首先要判断变量（含变量的代数式）是不是正数，若是正数，则可直接用基本不等式求解；若不 是正数，则需先变形为正数，再利用基本不等式求解. 15 易错点2 多次应用基本不等式致错 难点 例2 ［天津静海区2025高一段考］已知正实数，满足，则 的最小值为_________. 【错解】由题可知，所以的最小值为 . 【错因分析】错解的原因是没有验证等号成立的条件，利用了两次基本不等式，若等号成立，则应该满足 且，即且，此时不满足题干中的 ，所以等号不成立. 【正解】因为 ， 且正实数，满足 ， 则 ， 当且仅当，即 时，等号成立， 即 ， 所以的最小值为 . 16 注意在多次使用基本不等式求最值的问题中，等号成立的条件需同时满足. 17 能力进阶 要点1 利用基本不等式求最值 重点 在利用基本不等式求两数和或积的最值时，若“一正、二定、三相等”中的条件不满足，则需要对条件作出 调整和转化，使其满足上述条件，方可利用基本不等式. 常见的变形方法 （1）拆项裂项：当分子的次数高于分母的次数时，将分式拆分成整式与“真分式”的和，再根据分式分母的 形式对整式进行凑项，为应用基本不等式创造条件. （2）并项分组：①使分组后的各组可以应用基本不等式得出最值；②分组后先对每一组应用基本不等式， 然后在组与组之间应用基本不等式，得出最值. （3）配式（系数） 使匹配后的和式中各部分乘积为定值；②使匹配后的积式中各部分之和为定值. 18 角度1 和为定值求积的最值 例1 已知，求 的最大值. 【解】，， ， ， 当且仅当，即 时取等号， 的最大值为 . 19 角度2 积为定值求和的最值 例2（1）已知，求代数式 的最小值. 【解】（提示:利用配凑法，转化为积为定值求和的最值问题）, , , 当且仅当，即 时取等号， 当 时，原代数式取得最小值5. 20 （2）已知,求代数式 的最大值. 【答案】,, , ,当且仅当，即 时取等号， , . 故当时， 取得最大值1. 21 角度3 假分式及真分式的最值 分式求最值时，需要先对式子进行适当变形，使分式转化为可用基本不等式解决的类型. 例3 求 的最小值． 【解】因为，所以，令， ，所以 ， 当且仅当,即，时等号成立，所以 ． 22 角度4 常数代换法与消元法 （1）常数代换法：当已知一个整式为定值求一个分式的最值或已知一个分式 为定 值求一个整式 的最值时，可优先考虑用“1”的代换寻找整式与分式的关系，使得相乘后的式子可利用 基本不等式求得定值. （2）消元法：求二元代数式最值时，可以用代入消元法转化，但要注意根据被代换的变量的范围，对保留 下的变量的范围加以限制. 例4 已知,，且，求 的最小值. 【思路分析】要求 的最小值，根据基本不等式，应构建某个积为定值，这需要对条件进行必要的变形， 可利用“1”的代换或消元法等. 23 【解】方法一（“1”的代换）： ，.,，,当且仅当 ， 即时取等号，则 . 又，, ， 当,时， 取得最小值16. 方法二（消元法）： 由，得 . ,，， . ， , 当且仅当，即时取等号，此时，则 , 当,时， 取得最小值16. 24 角度5 已知同时含有与的式子求 的最值 已知,,,, . 当满足（为非零常数）时，需要通过消元，将 转换成关于一个变量的式子,再通 过配凑法，来找到乘积为定值的情况. 当满足时，可通过变形得到,再根据“1”的代换,可求 的最值. 25 例5 ［广西南宁2025高一月考］已知，，且，则 的最小值为_________. 【解析】根据 ， 得 . 当时，不符合题意，故 , 则，得 . 方法一： ， 当且仅当,即, 时，等号成立. 故的最小值为 . 26 方法二： ，当且仅当 ， 即, 时，等号成立， 故的最小值为 . 27 例6 ［陕西安康2025高一期中］若正实数，满足，则 的最小值是____. 16 【解析】方法一：因为,， ， 所以，则 ， 当且仅当，即, 时，等号成立. 故 的最小值为16. 方法二：当时，,等式不成立，故.因为,所以，所以 . 故，当且仅当, 时，等号成立. 故 的最小值为16. 28 高分突破 要点2 利用基本不等式证明不等式 重难点 证明问题的两种常用解题策略 （1）执因索果：从命题的已知条件出发，利用已知的定义或定理，逐步推导，从而导出最后要证明的命题， 适用于所给条件与结论间有直接联系的问题. （2）执果索因：从需要证明的命题出发，分析使命题成立的充分条件，逐步寻找使命题成立的条件，直至 所寻求的条件显然成立，适用于所给条件与结论间的联系不明确的问题. 29 例7 ［陕西西安碑林区2024高一期中］设， 均为正实数． （1）求证： . 【证明】，，， ． 要证，即证 ． ， ，即 ， 当且仅当 时等号成立． 30 （2）若，证明： ． 【答案】，，且 ， ，且 ， 则， . 由（1）得 ， ，当且仅当 ， 即 时等号成立． 31 要点3 与基本不等式有关的恒成立问题 重难点 不等式恒成立问题的实质是已知不等式的解集求不等式中参数的取值范围，在满足条件的情况下可以把参 数分离出来. 常见求解策略是将问题转化为求最值问题，即恒成立；恒成立 .但要 注意函数中自变量的取值范围. 32 例8 若不等式（实数）对一切正实数恒成立，求实数 的取值范围. 【解】若（实数 ）对一切正实 数 恒成立， 则 . 又 ， 当且仅当 ， 即 时，等号成立， 故，解得 ， 所以实数的取值范围为 . 要点4 基本不等式在实际中的应用 重点 利用基本不等式解决实际问题时，应先仔细阅读题目信息，理解题意，明确其中的数量关系，并引入变量， 依题意列出相应的函数关系式，然后用基本不等式求解. 例9 ［湖南长沙一中2024高一阶段检测］某动物园要围成四间相同面积的长方形虎笼，一面 可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成. 【解】设每间虎笼设计为长，宽，每间虎笼的面积为，则 . 34 （1）现有长为 的钢筋网，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？ 【答案】由条件知，即 . ，， ， ，得，即，当且仅当 时，等号成立. 由解得 故每间虎笼设计为长，宽 时，可使每间虎笼面积最大. （2）若使每间虎笼面积为 ，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成的四间虎笼的钢筋网总长最小？ 【答案】由条件知 ， 设钢筋网总长为，则 . ,,，，当且仅当 时， 等号成立. 由解得 故每间虎笼设计为长，宽 时，可使钢筋网总长最小. 36 要点5 与三个实数有关的最值问题 难点 例10 ［上海浦东新区2025高一期中］若正实数,,满足，则当最大时， 的最 大值是( ) A A. B.1 C. D.2 37 【解析】由，可得 ， 则 . 因为,，所以 ， 当且仅当 ， 即 时，等号成立. 故当时， 取得最大值，最大值为3, 此时 ， 即当,,时，取得最大值 . 38 A组·学业基础 1.〈要点1〉已知实数，，，则 的最小值是( ) B A. B. C.3 D.2 【解析】，， ， . 当且仅当，即， 时取等号.故选B. 39 2.〈要点1〉［安徽部分学校2025高一联考］已知，且，则 的最小值为 ( ) B A.10 B.9 C.8 D.7 【解析】因为，所以 ， 则由题意得， ， 当且仅当，即， 时取等号.故选B. 40 3.〈要点1〉［贵州贵阳第一中学2025高一质监］若，，且，则 的最小值为 ( ) B A.0 B. C. D.4 【解析】因为，所以，，又因为，，所以 ， ， 又 ， 因为，， ， 由基本不等式可得 ， 所以，当且仅当， 时等号成立， 所以的最小值为 .故选B. 41 4.〈要点1〉［四川绵阳中学2025高一期末］已知，，且，则 的最小值是( ) D A. B.5 C. D.7 【解析】，，，可得， ， ， 当且仅当，即时，等号成立， 的最小值为7.故选D. 42 5.〈要点1〉［天津河东区2025高一段考］的最小值是___，此时 的值是___. 4 1 【解析】，，当且仅当，即 时，等号成立.故的最小值为4，此时 . 43 6.〈易错点1〉［福建莆田2025高一期中］已知，则 的最大值为___. 0 【解析】因为，所以，故 ， . 因为，所以，当且仅当，即 时取等号.则 ,故 的最大值为0. 44 7.〈易错点2〉已知，，，则 的最小值为___. 【解析】 . ，， ， ， ，且, . ，当且仅当时，等号成立， 的最小值 是 . 45 8.〈要点1〉［甘肃兰州2025高一期中］ 的最小值为___. 8 【解析】当时， ， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立，故 的最小值为8. 46 9.〈要点1〉［山东淄博2024高一月考］已知，求 的最大值. 【解】， ， ， 当且仅当，即时取等号，故的最大值为 . 47 B组·应考能力 10.〈要点4〉校庆当天，学校需要用围栏围起一个面积为225平方米的矩形（图中小矩形）场地用来 展示校友的书画作品．它的南、北两侧以及东、西两侧都留有宽为2米的自由活动区域，则整个书 画展区域（图中大矩形）面积的最小值是( ) C A.360平方米 B.384平方米 C.361平方米 D.400平方米 【解析】设小矩形的长为米，则宽为米，大矩形的长为米，宽为 米，所以大矩形的面积 （平方米），当且仅当，即 时取等号，所以大矩形面积的最小值为361 平方米．故选C. 48 11.〈要点5〉若，，均为正实数，则 的最大值为( ) C A. B. C. D. 【解析】因为，，均为正实数，所以， ， 所以，当且仅当 时等号成立.故选C. 49 12.〈要点3〉（多选）［四川眉山2024高一月考］已知正实数，满足 ，若不等式 恒成立，则实数 的值可以为( ) BC A. B. C.1 D.3 【解析】 ， ， 而，，则，当且仅当，且 时等号成立，则 ，故选 . 50 13.〈要点3〉［浙江丽水五校2025高一联考］若，恒成立，则 的最大值为____. 27 【解析】由于，所以， ， 故 ， 当且仅当，即 时等号成立， 故 的最大值为27. 51 14.〈要点2〉设，，均为正数，且 ． 证明： 【证明】由（当且仅当时取等号），（当且仅当 时取等号）， （当且仅当 时取等号）， 得 ． 由题设得 ， 即 . （1） ； 【答案】 ， 即（当且仅当 时取等号）. （2） . 【答案】，即（当且仅当 时取等号）． 52 15.〈要点4〉某校决定在学校门口借助一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面为24平方米，且背面靠墙的长 方体形状的校园应急室.由于此应急室的后背靠墙，无需建造费用，公司甲给出的报价如下：屋子前面新建墙体 的报价为每平方米400元，左、右两面新建墙体的报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计14 400 元.设屋子的左、右两面墙的长度均为米，公司甲的报价为 元. （1）试求关于 的函数解析式. 【解】由题意，得 . 53 （2）现有公司乙也要参与此应急室的建造竞标，其给出的整体报价为 元，若采用最低价中标规 则，则哪家公司能竞标成功？请说明理由. 【解】对于公司甲： ， 当且仅当，即 时取等号， 即当左、右两面墙的长度均为4米时，公司甲的报价最低，最低价为28 800元. 对于公司乙： 当时， ， 即公司乙的最高报价为22 600元. 因为 ， 所以无论 取何值，公司甲的报价都比公司乙高，故公司乙能竞标成功. 54 C组·素养培优 16.［广东肇庆2024高一竞赛］最早发现勾股定理的人是我国西周时期的数学家商高，根据记载，商高曾经和周 公讨论过这个定理的有关问题.如果一个直角三角形的斜边长等于 ，那么当这个直角三角形周长取最大值时， 其面积为( ) C A. B.1 C.2 D.6 【解析】设该直角三角形的斜边为，则，设两直角边分别为，，则 ，因为 ，所以，即，当且仅当，且 ，即 时，等号成立. 因为，，所以，所以的最大值为4，该直角三角形周长 ，故这个 直角三角形周长取最大值时，，此时三角形的面积为 .故选C. 55 17.（多选）［湖南邵阳2024高一竞赛］已知，均为正实数，且 ，则( ) ACD A.的最大值为 B.的最小值为 C.的最小值为 D.的最小值为 【解析】因为，均为正实数，且，所以，当且仅当 时，等号成立，故A正确； （提示：常数代换法） ， 当且仅当，即， 时，等号成立，故B错误； 56 （提示：消元法），当，时， 有最 小值，最小值为 ，故C正确； （提示：常数代换法） ， 当且仅当，即，时，等号成立，故D正确.故选 . $