2.1 等式性质与不等式性质 课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第二章 一元二次函数、方程和不等式 1 2.1 等式性质与不等式性质 2 01 知识绘 02 易错记 03 重难斩 3 知识点1 不等式的概念 基本点 1.不等关系 在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、大与小、长与短、高与矮、远 与近、快与慢、涨与跌、轻与重、不超过或不少于等.类似于这样的问题，反映在数量关系上，就是相等与不等. 相等用等式表示，不等用不等式表示. 4 2.不等式的概念 我们用数学符号“<m></m>”“<m></m> ”“<m></m> ”“<m></m> ”或“<m></m> ”连接两个数或两个代数式，以表示它们之间的不等关系.含有这些 不等号的式子叫做不等式. 文字语言与数学符号间的常见转换如表所示： 数学符号 文字语言 大于 小于 大于或等于；至少；不少于 小于或等于；至多；不多于 5 求甚解 “不等关系”与“不等式” 不等关系强调的是关系，可用符号“<m></m> ”“<m></m> ”“<m></m>”“<m></m> ”“<m></m> ”表示，而不等式则是表示两者的不等关系的式子， 可用“<m></m>”“<m></m>”“<m></m>”“<m></m>”“<m></m>”等式子表示. <m></m> 方法 （1）用不等式（组）表示不等关系的步骤 ①审清题意，明确表示不等关系的关键词语：至多、至少、大于等； ②适当地设未知数表示变量； ③用不等号表示关键词语，并连接变量，得出不等式. （2）用不等式（组）表示不等关系时的注意点 ①要恰当地进行语言的转换，即文字语言、符号语言、图形语言之间的转换. ②要准确地使用不等号，同时要注意实际情境对表示变量的字母的取值范围的限制. 6 知识点2 实数， 大小的比较 基本点 数轴上的点与实数一一对应，且右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大，所以关于实数, 大小的 比较，如表所示： 文字语言 符号表示 如果，那么 是正数； 如果，那么 等于零； 如果，那么 是负数. 反之亦然 ; ； <m></m> 应用 7 作差和作商是解决不等式问题的常用方法. （1）比较两个实数，的大小，可以用作差法，其实质是判定 与0的大小关系.0是正数与负数的分界点， 它为实数比较大小提供了“标杆”. （2）对同号的两数比较大小可用作商法，其实质是判定 与1的大小关系. 求甚解“ ”是等价符号，在表格中，右边的式子反映了实数的运算性质，左边的式子反映的是实数的大小顺序， 二者结合起来就是实数的运算性质与大小顺序之间的关系. 8 知识点3 不等式的性质 基本点 性质1（对称性）<m></m>.<m></m> 回顾 等式的性质 性质<m></m>. 性质<m></m>,<m></m>. 性质<m></m>. 性质<m></m>. 性质<m></m>,<m></m>. 性质1,2反映了相等关系自身的特性，性质3，4，5反映了等式在运算中保持的不变性. 性质2（传递性）<m></m>，<m></m>. 性质3（可加性）：如果<m></m>,那么<m></m>. 9 推论（移项法则） . 性质4（可乘性）： . 性质5（同向可加性）： . 性质6（同向同正可乘性）： . 性质7（正数乘方性） . 推论（正数开方性）. 强调 10 在使用不等式的性质时，一定要搞清它们成立的前提，不可强化或弱化成立的条件.例如： ①在应用传递性时，如果两个不等式中有一个带等号而另一个不带等号，那么等号是传递不过去的.如， ， ②在乘法法则中，要特别注意“乘数的符号”.如，当时，有；若无 这个条件，则 就是错误结论因为当时， . 11 ③性质中的, 可以是实数,也可以是式子. 划重点 （1）性质3说明不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向.性质3是不等式移项 法则的基础，不等式移项法则是指可以将不等式中任何一项改变符号后移到不等号的另一边. （2）性质4证明过程中的关键步骤是根据“同号相乘得正，异号相乘得负”的法则来完成的.一定要注意性质 4中的符号，因为 的符号不同，结论恰好相反. （3）性质5中，同向不等式可相加，但不能相减，即由，，可以得出 ，但不能得 出 . （4）性质6是同向不等式相乘法则的依据，可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相乘，即若 ，, ，，，则 . 12 （5）在不等式的性质中，对表达不等式性质的各不等式，要注意“箭头”是单向的还是双向的，即符号“ ” 表示等价关系，可以互相推出;而符号“ ”只能由左边推出右边，即该性质不具备可逆性.尤其在证明不等式时， 要注意是否可逆. （6）应用性质7时，一方面要注意，另一方面也要注意的取值.例如当,, 时， 若用性质7，则会出现，即 的错误结论. 13 知识点4 不等式性质的拓展 拓展点 （1）如果,,那么 . （2）如果,,那么. 拓展 （1）倒数法则 ①如果，那么 . ②如果，那么 . ③如果,那么 . 综合①②可知，如果且，那么 . 由倒数法则还可以得到 . 14 （2）绝对值平方性质 <m></m>或<m></m>或<m></m>. 划重点 已知<m></m>克糖水中有<m></m>克糖<m></m>，再往糖水中加入<m></m>克糖<m></m>（假设全部溶解）,糖水更甜了．这 个事实可以表示为一个不等式<m></m>，该不等式常被称为“糖水不等式”，该不等式可用来 快速判断常见的一些数据的大小，如<m></m> . 15 易错点 扩大取值范围致错 重点 例1 已知,，求 的取值范围. 【错解】由得，再结合 ，根据不等式同向可加性，可得 ，即.同理可得，故.所以 的取值范围是 . 16 【错因分析】不等式的性质5（同向可加性）不具有可逆性，多次使用可能会扩大取值范围（所推得的不等 关系仍然成立，但并不是准确的取值范围）. . 17 【正解】设 ， 则解得 又，，所以.所以 的取值范围是 . 求取值范围时，尽量避免多次使用不具有可逆性的条件，要利用整体代换的思想解决问题. 18 能力进阶 要点1 用不等式（组）表示不等关系 基本点 例1 ［河南洛阳2025高一月考］某杂志以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本，据市场调查，若单价每提高 0.1元，销售量就相应减少2 000本.设提价后该杂志的单价为 元，则不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可 以用不等式表示为______________________. 【解析】若提价后该杂志的单价为元，则销售量为 万本， 则提价后销售的总收入为 万元， 所以不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以用不等式表示为 . 19 要点2 比较代数式的大小 重点 比较大小的几种常用方法 （1）作差法： ①作差：对要比较大小的两个代数式作差. ②变形：对差进行变形，常用的变形手段有因式分解、配方、有理化、通分等. ③判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号. ④得出结论. （2）作商法：直接作商与1比较大小，注意两式的符号． （3）平方法:比较无理式的大小时，可先将无理式平方,然后借助作差法或作商法进行比较. （4）不等式的性质法． 20 例2 （多选）［湖南长沙2025高一月考］实数，，，满足 ，则下列不等式正确的是 ( ) BD A. B. C. D. 【解析】依题意可知， . 对于A，由，得 ，故A错误； 对于B，由，，得 ，故B正确； 对于C，令，，，，则 ，故C错误； 对于D，因为，，所以，，所以 ，故D正确. 故选 . 21 例3（1）设，比较与 的大小. 【解】（提示：作差法）两代数式作差得 . ①当时，， . ②当，且时，， . ③当时，， . 综上，当时，;当，且时，;当时， . （2）设，比较与 的大小. （提示：作商法），，，， ，两式作商得 ， . 22 （3）设，比较与 的大小. （提示：平方法）设， . 则 ， ， ， 即 ， 故，即，故 . 23 要点3 证明不等式 基本点 例4 ［山东部分学校2025高一联考］设,，求证： . 【证明】因为,，所以,，所以 ，所以 ． 24 高分突破 要点4 利用不等式的性质求取值范围 重点 （1）同向不等式具有可加性及同向同正不等式具有可乘性，但是不能相减或相除，应用时，要充分利用所 给条件进行适当变形来求范围，注意变形的等价性. （2）不等式两边同时乘一个正数，不等号方向不变；不等式两边同时乘一个负数，不等号方向改变，求解 时，应明确所乘数的正负. 例5（1）已知,，求与 的取值范围; 【解】,，,， . ， . 又，，即 . 的取值范围是，的取值范围是 . 25 （2）已知,，求 的取值范围; 【答案】， . 又， ， 即 . 的取值范围是 . 26 （3）已知,，求 的取值范围. 【答案】， . ①当时， ； ②当时， . 由①②得 ， 即的取值范围是 . 要点5 不等式在实际中的应用 重点 例6 小齐、小港两人同时相约两次到同一水果店购买葡萄，小齐每次购买3千克葡萄，小港每次购买50元葡萄， 若这两次葡萄的单价不同，则( ) B A.小齐两次购买的平均价格比小港低 B.小港两次购买的平均价格比小齐低 C.小齐与小港两次购买的平均价格一样 D.小齐与小港两次购买的平均价格无法比较 【解析】设两次葡萄的单价分别为元/千克和元/千克，且 ，则小齐两次均购买3千克葡萄，平均价格为 （元/千克）,小港两次均购买50元葡萄，平均价格为 （元/千克）．因为 ，所以小港两次购买葡萄的平均价格比小齐低．故选B. 28 要点6 利用待定系数法求取值范围 难点 已知两个关于实数，的代数式的取值范围，而求另一个关于， 的代数式的取值范围的方法：根据条件 ，确定，，，，，，，，，均为实数 的 取值范围时，首先采用待定系数法，令 , 为实数 ，然后通过对 应系数的关系建立方程组求得 和 的值，进而求出 的取值范围. 29 例7 ［山东青岛2024高一月考］已知实数，满足，，则 的取值范围为 ________________________. 【解析】设 ，则 解得所以.因为， ，所以 ，，所以 . 故的取值范围为 . 30 A组·学业基础 1.〈要点2〉（多选）［山东潍坊2024高一期中］已知 ，则下列不等式中不正确的有( ) ABD A. B. C. D. 【解析】因为，所以 ，故A错误； 因为，所以 ，故B错误； 因为，，所以 ，故C正确； 当时，，故D错误.故选 . 31 2.〈要点2〉［辽宁沈阳2024高一月考］已知，，设， ，则( ) C A. B. C. D. 【解析】因为， ，所以 ，当且仅当且 时等号成立，所以 ，故选C. 32 3.〈要点1〉用一段长的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长，要求菜园的面积不小于 ，若 靠墙的一边长 ，则其中的不等关系用不等式表示为_ _________________． 【解析】因为矩形菜园靠墙的一边长，而墙长为，所以 ，则菜园的另一条边长为 ．菜园面积，根据题意有，即 ，故不等关系可用不 等式表示为 33 4.〈要点2〉如果，，那么，， 从小到大的顺序是__________. 【解析】因为三个式子很明显都是负数，所以，所以；同理，所以 .综 上， . 34 5.〈要点2〉［广西来宾2025高一月考］设，，，则， 的大小关系为 _______. 【解析】，，因为 ，所以 ，所以，即 . 35 6.〈易错点〉［上海浦东新区2025高一期末］已知对于实数，，满足，，则 的最大值为___. 7 【解析】因为，，所以， . 设 ， 则所以 则 ， 由于， ， 所以 ， 即.故 的最大值为7. 36 B组·应考能力 7.〈要点5〉［河南部分名校2024高一联考］新学期开学之际，某校计划用不超过1 500元的资金购买单价分别 为120元的篮球和140元的足球．已知该校要至少购买8个篮球，且至少购买2个足球，则不同的选购方式有 ( ) D A.6种 B.7种 C.8种 D.5种 【解析】设购买的篮球个数为，足球个数为，且，，根据题意可得 解得符合题 意的有序实数对可以是，，，， ，共5种不同的购买方式.故选D. 37 8.〈要点4〉（多选）［浙江温州中学2025高一期中］已知， ，则( ) BCD A.的最小值是4 B.的最小值是1 C.的最大值是8 D.的最大值是 【解析】对于A，，则，又，所以，所以 的最小值是5，故 A错误； 对于B，，则，又，所以，所以 的最小值是1，故B正确； 对于C，因为，，所以，即，所以 的最大值是8，故C正确； 对于D，，则，又，所以，所以，所以的最大值是 ，故 D正确.故选 . 38 9.〈要点6〉已知实数，满足，，则 的取值范围是_ _______________. 【解析】设 ， 所以 解得 所以 . 因为， ， 39 所以 ， ， 所以 ， 即 ， 所以的取值范围是 . 40 10.〈要点3〉已知，，求证： . 【证明】因为，所以 . 又因为，所以 ， 所以，所以 ， 所以，所以 . 41 11.〈要点4〉已知，，分别求，及 的取值范围. 【解】因为， ， 所以 ， 即，故的取值范围是 . 又， , 所以 ， 故,即的取值范围是 . 因为 ， 所以 . 又，故 ， 即，即的取值范围是 . 42 C组·素养培优 12.［北京大学自主招生］已知某个三角形的两条高的长度分别为10和20，则它的第三条高 的长度的取值范围 为( ) C A. B. C. D.前三个答案均错误 【解析】设三角形的三边长分别为，，，边长为，，的边对应的高分别为10，20， ， 则（提示：等面积法）．又，所以， ．故选C. 43 $