专题12 抛物线及其标准方程（重难点讲义）数学人教A版选择性必修第一册

专题12 抛物线及其标准方程 重点目标： 1. 掌握抛物线的定义，理解“到定点与定直线距离相等”的核心条件，明确定点、定直线的几何含义. 2. 熟记抛物线四种标准方程形式，掌握焦点位置、开口方向、准线方程的对应规律，能快速匹配图像与方程. 3. 理解抛物线参数的几何意义，熟练掌握参数、焦点坐标、准线方程的互化计算. 4. 熟练运用定义法、待定系数法求解抛物线标准方程，掌握不同开口方向的方程设元技巧. 5. 能利用抛物线定义进行距离转化、基础求值，解决选择填空高频基础题型，适配必考考点. 难点目标： 1. 精准区分椭圆、抛物线、抛物线的轨迹定义差异，突破三类圆锥曲线定义混淆的核心难点. 2. 熟练辨析四种标准方程的易错点，能根据隐含条件快速判断抛物线开口方向，规避方程设错问题. 3. 掌握抛物线定义的拔高应用，灵活进行“点点距离、点线距离”转化，求解最值、轨迹问题. 4. 掌握含参抛物线方程的参数分析方法，根据参数取值判断焦点、准线及图像变化规律. 5. 综合运用抛物线定义与方程，结合几何性质解决中档大题、基础综合题型. 1、 重点知识 （一）抛物线教材标准定义 · 平面内与一个定点和一条定直线（）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线. 1. 定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线. 2. 核心等量关系：设抛物线上任意一点，则恒有（为点P到准线的距离）. 3. 定义成立前提：不在直线上，若，轨迹为过点F且垂直于的直线，而非抛物线. 4. 几何地位：抛物线是离心率的圆锥曲线，区别于椭圆、抛物线. （二）参数p的核心几何意义 1. ，表示焦点到准线的距离，是抛物线唯一核心参数. 2. 越大，抛物线开口越开阔；越小，抛物线开口越狭窄. 3. 焦点到顶点距离、顶点到准线距离均为. （三）四种标准方程与对应性质（必考表格核心） 1. 开口向右：，焦点，准线. 2. 开口向左：，焦点，准线. 3. 开口向上：，焦点，准线. 4. 开口向下：，焦点，准线. （四）方程快速判断规律 1. 一次项定轴：变量为一次项，焦点、对称轴在该变量对应的坐标轴上. 2. 符号定方向：一次项系数为正，开口向正半轴；系数为负，开口向负半轴. 3. 二次项恒正：标准方程中二次项永远为正，无负二次项形式. （五）抛物线方程常用求法 4. 定义法：根据动点满足“点到焦点距离=点到准线距离”，直接列式化简求轨迹方程. 5. 待定系数法：已知开口方向，对应设出标准方程，代入点坐标求解参数. 6. 通用设法：未知开口方向时，对称轴为x轴设；对称轴为y轴设，规避分类讨论. 2、 难点知识 （一）核心易错难点（选择填空高频陷阱） 1. 轨迹判定陷阱：忽略条件，误将直线轨迹判定为抛物线. 2. 方程形式误区：混淆与型方程，导致焦点坐标轴、开口方向判断完全错误. 3. 参数取值误区：默认，解题中出现参数正负混淆，准线方程符号写错. 4. 圆锥曲线混淆：记错三类曲线定义，椭圆和为定值、抛物线差绝对值为定值、抛物线距离相等，极易混淆. （二）定义拔高转化难点 1. 距离等价转化：利用，实现“焦点距离”与“到准线距离”自由转化，简化线段求值. 2. 最短距离模型：抛物线上动点到定点、焦点、准线的距离最值，通过定义转化为垂直距离秒杀. 3. 轨迹隐形条件：结合定义挖掘隐藏抛物线轨迹，解决几何动点轨迹压轴小题. （三）含参抛物线综合难点 1. 参数范围分析：含参抛物线方程，根据参数正负判断开口方向、焦点位置、准线位置. 2. 定点问题：动抛物线恒过定点，通过分离参数、赋值法求解定点坐标. 3. 多情况分类：无明确开口方向时，分类讨论对称轴、开口正负四种情况，避免漏解. （四）深度拓展拔高知识 1. 焦半径公式拓展：以为例，抛物线上点，焦半径，快速求解焦点距离. 2. 通径结论：抛物线通径长为，是抛物线最短焦点弦，高考多选常用结论. 3. 圆锥曲线体系对比：唯一离心率的曲线，无中心、无渐近线，区别于椭圆抛物线. 4. 定义最值模型：高考高频“抛物线上一点到焦点+定点距离最值”，利用准线转化数形结合求解. 5. 直线与抛物线基础位置关系：联立方程判别式判断相交、相切、相离，为后续几何性质大题铺垫. （五）本节高频失分点汇总 1. 混淆对应的标准方程，焦点与准线坐标轴判断错误. 2. 忽略抛物线定义前提，轨迹判断失误. 3. 记错四种标准方程符号与对应开口方向，基础计算丢分. 4. 不会利用定义转化距离，复杂题型只会硬算，解题效率低. 5. 含参抛物线不分类讨论开口方向，答案遗漏情况. 6. 混淆椭圆、抛物线、抛物线核心定义与参数特征. 题型01 抛物线的定义及应用 【典例1】已知抛物线：的焦点为，若上的一点到直线的距离为8，则______． 【变式1】已知抛物线：的焦点为，点在上，且位于第一象限，，则点的坐标为______． 【典例2】若点满足方程，则点P的轨迹是______． 【变式2】已知动点满足，则动点的轨迹是____________（从“直线，圆，椭圆，双曲线，抛物线”中选一个作答） 题型02 求抛物线的标准方程 角度1：根据已知几何条件求抛物线方程 【典例】根据下列条件分别求出抛物线的标准方程： (1)焦点在轴上，焦点到准线的距离为； (2)经过点； (3)焦点为直线与坐标轴的交点． 【变式】根据下列条件，求抛物线的标准方程，并画图： (1)准线方程为； (2)焦点在x轴上且其到准线的距离为6； (3)对称轴是x轴，顶点到焦点的距离等于2； (4)对称轴是y轴，经过点． 角度2：定义法求抛物线方程 【典例】若点P到定点的距离比它到定直线的距离小1，则点P的轨迹方程是（   ） A． B． C． D．或 【变式】方程可以化简为（ ） A． B． C． D． 题型03 根据抛物线的方程求参数 【典例】已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式】设是抛物线上一点，是抛物线的焦点，若，，则（   ） A． B． C． D． 题型04 与抛物线有关的最值问题 角度1：抛物线上的点到定点的距离及最值 【典例】已知抛物线，点P为抛物线上一点，，则的最小值为______. 【变式】已知P是抛物线上的一个动点，Q是圆上的一个动点．则线段长度的最小值为（   ） A．2 B． C． D． 角度2：抛物线上的点到定点和焦点距离的和最值 【典例】已知，，为抛物线上一动点，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式】已知点是抛物线：上任意一点，是抛物线的焦点，点，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 角度3：抛物线上的点到定点和焦点距离的差最值 【典例】点是抛物线的焦点，直线为抛物线的准线，点为直线上一动点，点在以为圆心，为半径的圆上，点在抛物线上，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式】已知抛物线上有一点，过点作的垂线，垂足为，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型05与抛物线有关的轨迹问题 【典例】已知圆N：，直线，圆M与圆N外切，且与直线相切，则点M的轨迹方程为_____________． 【变式】在平面坐标系中，动点P和点满足，则动点的轨迹方程为_____________． 题型06与抛物线有关的实际应用问题 【典例】某隧道断面呈抛物线形，路面净宽，拱顶中心距路面垂直高度为，采用双向双车道设计，单侧单车道宽度为，车道外两侧路肩为人行道，车辆不得占用．现右侧车道临时封闭，拟利用原左侧车道及同侧人行道区域，临时布设双向行车道．根据现行国家强制性标准，货车最大车宽限值为（冷藏货车可放宽至），最大车高限值为；两车相邻行驶时，车身水平安全间隙不小于；车顶与隧道内壁的垂直安全距离不小于．若后视镜等外伸部件不计，计算限高值时，限高值结果保留两位小数且只舍不入，该临时通行方案是否需要限高？若需限高，则最大安全限高值约为（     ）    A．无需限高 B．需限高，限高约 C．需限高，限高约 D．需限高，限高约 【变式】如图是一座抛物线型拱桥，当水面在时，拱顶离水面2m，水面宽4m.当水位下降，水面宽为8m时，拱顶到水面的距离是__________m. 题型07抛物线及标准方程的综合 【典例】已知抛物线与椭圆有相同的焦点，点是椭圆的右顶点． (1)求椭圆离心率； (2)已知点，，若椭圆上存在一点，满足，求的值； (3)若直线与交于、两点，且为直角，求证：直线恒过定点． 【变式】设椭圆，抛物线的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，并且经过点，过的焦点F作直线l，与交于A，B两点， (1)求的标准方程； (2)设M是准线上一点，直线MF的斜率为，MA、MB的斜率依次为、，请探究：与的关系； (3)若l与交于C，D两点，为的左焦点，求的最小值． 【巩固训练】 1．已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 2．已知抛物线上的一点到其焦点F的距离为3，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 3．已知顶点在坐标原点、准线方程为的抛物线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 4．已知抛物线的焦点为F，点，若点A为抛物线任意一点，当取最小值时，点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．已知点与抛物线上一点，若点到直线的距离为，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 6．彩凤穿花纹是中国传统瓷器经典装饰纹样．某彩凤穿花纹碗如图1所示，其轴截面（不含碗的底座）如图2所示，已知该碗的底座高为1cm，曲线，均是焦点到准线的距离为5cm的抛物线的一部分，则该碗的高度为（    ） A．8cm B．10cm C．9cm D．11cm 7．（多选）点在抛物线上，为坐标原点，，则下列结论正确的是（   ） A．的准线为 B．直线与相切 C．的焦点为 D．焦点到准线距离为 8．（多选）设抛物线的焦点为F，点在抛物线C上，且则抛物线C的方程可以为 （ ） A． B． C． D． 9．已知圆N：，直线，圆M与圆N外切，且与直线相切，则点M的轨迹方程为_____________． 10．已知抛物线上有两点，且直线过点． (1)求抛物线的标准方程； (2)若抛物线上有一点，纵坐标为4，抛物线上另有两点，且直线与的斜率满足重心的横坐标为4，求直线的方程． 【强化训练】 1．设为抛物线：的焦点，过且斜率为1的直线交抛物线于，两点，则（    ） A．10 B．8 C．6 D． 2．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，是坐标原点，若的面积为，则（    ） A．2 B．3 C． D．4 3．已知点在抛物线上，若抛物线的焦点到准线的距离为2，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D． 4．设P是抛物线上的一个动点，F为抛物线的焦点，已知点A的坐标为，则的最小值为（ ） A．8 B．10 C．12 D．14 5．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有，已知行车道总宽度，那么车辆通过隧道的限制高度为（    ） A． B． C． D． 6．（多选）已知直线过抛物线的焦点F，且与抛物线C交于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为M，N，则下列说法正确的是（    ） A．抛物线的方程为 B．线段的中点到y轴的距离为 C．线段的长度为 D． 7．（多选）在平面直角坐标系中，，F为抛物线的焦点，点P在C上，轴于A，则（    ） A．当时，的最小值为3 B．当时，的最小值为4 C．当时，的最大值为1 D．当轴时，为定值 8．在平面直角坐标系中，若的坐标，满足方程，则点的轨迹是__________（填曲线的类型，填方程不给分）. 9．已知点分别是抛物线和圆上的动点，点到直线的距离为，则的最小值为____． 10．已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且． (1)求抛物线的标准方程． (2)直线：与抛物线交于，两点，直线外一点，若（为坐标原点），直线是否恒过点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 抛物线及其标准方程 重点目标： 1. 掌握抛物线的定义，理解“到定点与定直线距离相等”的核心条件，明确定点、定直线的几何含义. 2. 熟记抛物线四种标准方程形式，掌握焦点位置、开口方向、准线方程的对应规律，能快速匹配图像与方程. 3. 理解抛物线参数的几何意义，熟练掌握参数、焦点坐标、准线方程的互化计算. 4. 熟练运用定义法、待定系数法求解抛物线标准方程，掌握不同开口方向的方程设元技巧. 5. 能利用抛物线定义进行距离转化、基础求值，解决选择填空高频基础题型，适配必考考点. 难点目标： 1. 精准区分椭圆、抛物线、抛物线的轨迹定义差异，突破三类圆锥曲线定义混淆的核心难点. 2. 熟练辨析四种标准方程的易错点，能根据隐含条件快速判断抛物线开口方向，规避方程设错问题. 3. 掌握抛物线定义的拔高应用，灵活进行“点点距离、点线距离”转化，求解最值、轨迹问题. 4. 掌握含参抛物线方程的参数分析方法，根据参数取值判断焦点、准线及图像变化规律. 5. 综合运用抛物线定义与方程，结合几何性质解决中档大题、基础综合题型. 1、 重点知识 （一）抛物线教材标准定义 · 平面内与一个定点和一条定直线（）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线. 1. 定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线. 2. 核心等量关系：设抛物线上任意一点，则恒有（为点P到准线的距离）. 3. 定义成立前提：不在直线上，若，轨迹为过点F且垂直于的直线，而非抛物线. 4. 几何地位：抛物线是离心率的圆锥曲线，区别于椭圆、抛物线. （二）参数p的核心几何意义 1. ，表示焦点到准线的距离，是抛物线唯一核心参数. 2. 越大，抛物线开口越开阔；越小，抛物线开口越狭窄. 3. 焦点到顶点距离、顶点到准线距离均为. （三）四种标准方程与对应性质（必考表格核心） 1. 开口向右：，焦点，准线. 2. 开口向左：，焦点，准线. 3. 开口向上：，焦点，准线. 4. 开口向下：，焦点，准线. （四）方程快速判断规律 1. 一次项定轴：变量为一次项，焦点、对称轴在该变量对应的坐标轴上. 2. 符号定方向：一次项系数为正，开口向正半轴；系数为负，开口向负半轴. 3. 二次项恒正：标准方程中二次项永远为正，无负二次项形式. （五）抛物线方程常用求法 4. 定义法：根据动点满足“点到焦点距离=点到准线距离”，直接列式化简求轨迹方程. 5. 待定系数法：已知开口方向，对应设出标准方程，代入点坐标求解参数. 6. 通用设法：未知开口方向时，对称轴为x轴设；对称轴为y轴设，规避分类讨论. 2、 难点知识 （一）核心易错难点（选择填空高频陷阱） 1. 轨迹判定陷阱：忽略条件，误将直线轨迹判定为抛物线. 2. 方程形式误区：混淆与型方程，导致焦点坐标轴、开口方向判断完全错误. 3. 参数取值误区：默认，解题中出现参数正负混淆，准线方程符号写错. 4. 圆锥曲线混淆：记错三类曲线定义，椭圆和为定值、抛物线差绝对值为定值、抛物线距离相等，极易混淆. （二）定义拔高转化难点 1. 距离等价转化：利用，实现“焦点距离”与“到准线距离”自由转化，简化线段求值. 2. 最短距离模型：抛物线上动点到定点、焦点、准线的距离最值，通过定义转化为垂直距离秒杀. 3. 轨迹隐形条件：结合定义挖掘隐藏抛物线轨迹，解决几何动点轨迹压轴小题. （三）含参抛物线综合难点 1. 参数范围分析：含参抛物线方程，根据参数正负判断开口方向、焦点位置、准线位置. 2. 定点问题：动抛物线恒过定点，通过分离参数、赋值法求解定点坐标. 3. 多情况分类：无明确开口方向时，分类讨论对称轴、开口正负四种情况，避免漏解. （四）深度拓展拔高知识 1. 焦半径公式拓展：以为例，抛物线上点，焦半径，快速求解焦点距离. 2. 通径结论：抛物线通径长为，是抛物线最短焦点弦，高考多选常用结论. 3. 圆锥曲线体系对比：唯一离心率的曲线，无中心、无渐近线，区别于椭圆抛物线. 4. 定义最值模型：高考高频“抛物线上一点到焦点+定点距离最值”，利用准线转化数形结合求解. 5. 直线与抛物线基础位置关系：联立方程判别式判断相交、相切、相离，为后续几何性质大题铺垫. （五）本节高频失分点汇总 1. 混淆对应的标准方程，焦点与准线坐标轴判断错误. 2. 忽略抛物线定义前提，轨迹判断失误. 3. 记错四种标准方程符号与对应开口方向，基础计算丢分. 4. 不会利用定义转化距离，复杂题型只会硬算，解题效率低. 5. 含参抛物线不分类讨论开口方向，答案遗漏情况. 6. 混淆椭圆、抛物线、抛物线核心定义与参数特征. 题型01 抛物线的定义及应用 【典例1】已知抛物线：的焦点为，若上的一点到直线的距离为8，则______． 【答案】5 【详解】抛物线：的准线为直线， 由上的一点到直线的距离为8，得点到直线的距离为5， 由抛物线定义得. 【变式1】已知抛物线：的焦点为，点在上，且位于第一象限，，则点的坐标为______． 【答案】 【详解】∵ 抛物线的标准形式为， ∴ ，解得，故抛物线的准线方程为. ∵ 点在抛物线上，由抛物线的定义可知， 又，代入得，解得. ∵ 点位于第一象限，将代入抛物线方程，得，即，解得， ∴ 点的坐标为. 【典例2】若点满足方程，则点P的轨迹是______． 【答案】抛物线 【分析】根据轨迹方程所代表的意义判断点的轨迹满足曲线的定义. 【详解】由得， 等式左边表示点和点的距离，等式的右边表示点到直线的距离. 整个等式表示的意义是点到点的距离和到直线的距离相等， 其轨迹为抛物线. 故答案为：抛物线 【变式2】已知动点满足，则动点的轨迹是____________（从“直线，圆，椭圆，双曲线，抛物线”中选一个作答） 【答案】直线 【详解】将变形为． 等式左侧表示动点到定点的距离； 等式右侧，即，可理解为动点到定直线的距离． 因为定点在定直线上， 所以动点的轨迹是经过点与该直线垂直的直线． 题型02 求抛物线的标准方程 角度1：根据已知几何条件求抛物线方程 【典例】根据下列条件分别求出抛物线的标准方程： (1)焦点在轴上，焦点到准线的距离为； (2)经过点； (3)焦点为直线与坐标轴的交点． 【答案】(1)或． (2)或． (3)或． 【分析】（1）根据条件可设方程为，结合焦点到准线的距离可得结果； （2）根据点坐标确定抛物线开口方向，分类讨论，设出标准方程，代入坐标可得结果； （3）求直线与坐标轴交点，分类讨论可得结果. 【详解】（1）已知抛物线的焦点在轴上，可设方程为， 由焦点到准线的距离为5，知，， 所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为或． （2）因为点在第三象限，所以设所求抛物线的标准方程为或． 若抛物线的标准方程为，则由，解得； 若抛物线的标准方程为，则由，解得． 故所求抛物线的标准方程为或． （3）对于直线方程，令，得；令，得，所以抛物线的焦点为或． 当焦点为时，，所以，此时抛物线的标准方程为． 当焦点为时，，所以，此时抛物线的标准方程为． 故所求抛物线的标准方程为或． 【变式】根据下列条件，求抛物线的标准方程，并画图： (1)准线方程为； (2)焦点在x轴上且其到准线的距离为6； (3)对称轴是x轴，顶点到焦点的距离等于2； (4)对称轴是y轴，经过点． 【答案】(1)抛物线的方程是；其图象如下： (2)抛物线的方程是或；其图象如下： (3)抛物线的方程是或；其图象如下： (4)抛物线的方程是，其图象如下： 【分析】（1）根据抛物线的准线方程为，得到且焦点在y轴上求解； （2）根据焦点在x轴上且其到准线的距离为6，得到求解； （3）根据对称轴是x轴，顶点到焦点的距离等于2，得到求解； （4）根据对称轴是y轴，设抛物线方程为，将点代入求解. 【详解】（1）解：因为抛物线的准线方程为， 所以，p=3， 所以抛物线的方程是；其图象如下： （2）因为焦点在x轴上且其到准线的距离为6， 所以， 所以抛物线的方程是或；其图象如下： （3）因为对称轴是x轴，顶点到焦点的距离等于2 所以，p=4， 所以抛物线的方程是或；其图象如下： （4）因为对称轴是y轴， 设抛物线方程为， 因为抛物线经过点， 所以，解得， 所以抛物线的方程是，其图象如下： 角度2：定义法求抛物线方程 【典例】若点P到定点的距离比它到定直线的距离小1，则点P的轨迹方程是（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据抛物线的定义即可求解. 【详解】因为点在直线的右侧，且点P到点的距离比它到直线的距离小1， 所以点P到的距离与它到直线的距离相等，故P点的轨迹为抛物线，且顶点在原点，开口向右， 所以，故点P的轨迹方程为． 【变式】方程可以化简为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】等式两边同时平方，化简即可. 【详解】由，两边同时平方有， 故选：B. 题型03 根据抛物线的方程求参数 【典例】已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标和准线方程，由条件结合抛物线定义列方程求结论. 【详解】由题意可得抛物线的焦点的坐标为，准线方程为， 根据抛物线的定义可得， 则. 【变式】设是抛物线上一点，是抛物线的焦点，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】不妨设点在第一象限，过点作轴，求出点的坐标，代入抛物线方程，结合可求得的值. 【详解】不妨设点在第一象限，过点作轴，如下图所示：    因为，，则， ， 易知点，结合图形可知， 将点的坐标代入抛物线方程得，整理得， 因为，解得. 故选：A. 题型04 与抛物线有关的最值问题 角度1：抛物线上的点到定点的距离及最值 【典例】已知抛物线，点P为抛物线上一点，，则的最小值为______. 【答案】 【分析】利用两点间距离公式，再结合点在抛物线上来消元，即可利用二次函数求出最小值. 【详解】 设，则由题意得：， 因为点P为抛物线上一点，所以， 代入可得：， 所以当时，的最小值为， 故答案为： 【变式】已知P是抛物线上的一个动点，Q是圆上的一个动点．则线段长度的最小值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】设，可得，利用两点之间的距离公式可得，结合二次函数的单调性即可判断出结论． 【详解】如图，作出符合题意的图形，设， 则，， 当且仅当时取等号，此时， ，. 角度2：抛物线上的点到定点和焦点距离的和最值 【典例】已知，，为抛物线上一动点，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据抛物线定义可得，进而可解. 【详解】由抛物线的方程为，其焦点坐标为，准线为， 所以为抛物线的焦点， 因为在抛物线内部，作出示意图如下， 过点作准线的垂线，垂足为， 由抛物线定义可知，， 当且仅当三点共线时等号成立. 【变式】已知点是抛物线：上任意一点，是抛物线的焦点，点，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【详解】由题意可知：抛物线的焦点为，准线为：， 设点到抛物线的准线：的距离为， 则，等号在时成立， 所以的最小值为9. 角度3：抛物线上的点到定点和焦点距离的差最值 【典例】点是抛物线的焦点，直线为抛物线的准线，点为直线上一动点，点在以为圆心，为半径的圆上，点在抛物线上，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义可得，利用，从而得到，即可求解. 【详解】 如图，过点P作于点N，根据抛物线的定义可得：， 所以，而 所以. 当且仅当点Q、点N、点M在同一条直线上时等号成立，所以有最大值1. 故选：B 【变式】已知抛物线上有一点，过点作的垂线，垂足为，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据抛物线的定义进行求解即可. 【详解】记的焦点为，由抛物线定义可知， 于是， 当且仅当依次共线且在之间时等号成立． 此时取最大值为3. 题型05与抛物线有关的轨迹问题 【典例】已知圆N：，直线，圆M与圆N外切，且与直线相切，则点M的轨迹方程为_____________． 【答案】 【分析】设动圆的半径为r，则点M到l＇：与点M到点N的距离相等，都是，再利用抛物线的定义求解. 【详解】由题意得，直线l：，且圆N：， 设圆M半径为r，则点M到l＇：与点M到点N的距离相等，都是， 故点M的轨迹是以N为焦点，以l＇为准线的抛物线，故方程为． 故答案为： 【变式】在平面坐标系中，动点P和点满足，则动点的轨迹方程为_____________． 【答案】 【分析】直接用坐标表示向量的数量积和模，化简即可得． 【详解】由题意， 由得， 化简得． 故答案为：． 题型06与抛物线有关的实际应用问题 【典例】某隧道断面呈抛物线形，路面净宽，拱顶中心距路面垂直高度为，采用双向双车道设计，单侧单车道宽度为，车道外两侧路肩为人行道，车辆不得占用．现右侧车道临时封闭，拟利用原左侧车道及同侧人行道区域，临时布设双向行车道．根据现行国家强制性标准，货车最大车宽限值为（冷藏货车可放宽至），最大车高限值为；两车相邻行驶时，车身水平安全间隙不小于；车顶与隧道内壁的垂直安全距离不小于．若后视镜等外伸部件不计，计算限高值时，限高值结果保留两位小数且只舍不入，该临时通行方案是否需要限高？若需限高，则最大安全限高值约为（     ）    A．无需限高 B．需限高，限高约 C．需限高，限高约 D．需限高，限高约 【答案】B 【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，求出抛物线方程，然后计算两车相邻行驶时，最左侧车身对应的抛物线上点的纵坐标，由此可得结论. 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则是抛物线上的点，设抛物线方程为， 则，， 抛物线方程为， 是车宽，是两车相邻行驶时，车身水平安全间隙，由题意设，， 则点横坐标为，把代入抛物线方程得，， 因此车身高度至多为( )， 所以需限高，限高约    【变式】如图是一座抛物线型拱桥，当水面在时，拱顶离水面2m，水面宽4m.当水位下降，水面宽为8m时，拱顶到水面的距离是__________m. 【答案】8 【分析】建立适当的直角坐标系，求出抛物线的标准方程，据题意求解即可. 【详解】以拱顶为原点，过拱顶的水平切线为轴建立直角坐标系（如图）， 设抛物线的标准方程为， 由题意可知点在抛物线上， 所以，则， 所以抛物线的标准方程为， 当水位下降，水面宽为8m时，， 设点，则， 所以，所以拱顶到水面的距离是8. 故答案为：8. 题型07抛物线及标准方程的综合 【典例】已知抛物线与椭圆有相同的焦点，点是椭圆的右顶点． (1)求椭圆离心率； (2)已知点，，若椭圆上存在一点，满足，求的值； (3)若直线与交于、两点，且为直角，求证：直线恒过定点． 【答案】(1) (2) (3)由（1）知．设，， 因为为直角，所以，即， 其中、均与不重合． 若与轴平行，设，则、关于轴对称， 设，， 由得，结合，解得，， 此时与重合，不合题意， 故不与轴平行，可设． 代入椭圆方程，整理得． 因为直线与椭圆交于、两个不同的点， 所以判别式，即． 所以， ，且，． 于是 ， 即，因式分解得，解得或． 当时，直线恒过点，而在椭圆上，所以、中恰有一点与重合，不存在，不符合题意，舍去； 当时，，判别式恒成立， 直线与椭圆恒有两个不同的交点，且直线不经过点，符合题意． 所以直线恒过定点． 【分析】（1）根据抛物线方程确定焦点坐标，再根据同焦点可得椭圆方程与离心率； （2）根据，可得为线段的中点，结合中点公式及点在椭圆上，可得解； （3）分情况讨论当与轴平行及不平行时直线的方程，联立直线与椭圆，结合韦达定理及向量垂直的坐标表示可得解. 【详解】（1）抛物线的焦点为， 因为抛物线与椭圆有相同的焦点，所以椭圆的半焦距． 又，所以， 所以椭圆方程为， 所以椭圆的离心率； （2）因为，即为线段的中点． 又，，所以． 由点在椭圆上，得，即，解得． 又，所以； （3）略. 【变式】设椭圆，抛物线的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，并且经过点，过的焦点F作直线l，与交于A，B两点， (1)求的标准方程； (2)设M是准线上一点，直线MF的斜率为，MA、MB的斜率依次为、，请探究：与的关系； (3)若l与交于C，D两点，为的左焦点，求的最小值． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）设出抛物线方程，根据其过点，待定系数，即可求得抛物线方程； （2）设出直线的方程以及点的坐标，利用韦达定理结合斜率公式，求得以及，即可判断； （3）根据（2）中所求求得，再联立直线方程和椭圆方程，利用韦达定理和弦长公式求得，构造面积之比关于参数的函数，求函数最小值即可. 【详解】（1）根据题意，设抛物线方程为，又其过点， 故可得，解得，故抛物线的方程为：. （2）根据（1）中所求可得，点的坐标为，的准线方程为， 故可设的坐标为，又直线的斜率不为零，故设其方程为， 联立抛物线方程可得：，设坐标为， 故可得； 因为 ； 又，则. （3）由（2）中所求可得：； 联立直线方程与椭圆方程可得： ，设的坐标为， 故可得， 则； 又因为四点共线，故 ，当且仅当时取得等号. 即的最小值为. 【巩固训练】 1．已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【分析】利用抛物线的定义求解即可. 【详解】因为抛物线的焦点，准线方程为，点在上， 所以到准线的距离为， 又到直线的距离为， 所以，故. 故选：D. 2．已知抛物线上的一点到其焦点F的距离为3，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】由抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离列方程求解. 【详解】由抛物线可得，即，因此其准线方程为， 已知点到焦点的距离为3，则点到准线的距离也为3， 即 ，解得. 3．已知顶点在坐标原点、准线方程为的抛物线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线标准方程及准线方程的定义可得. 【详解】因为抛物线准线方程为， 所以可设抛物线的标准方程为，其准线方程为， 则，即， 所以抛物线的标准方程为. 故选：B 4．已知抛物线的焦点为F，点，若点A为抛物线任意一点，当取最小值时，点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设点A在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义把问题转化为求取得最小值，数形结合求解即可. 【详解】设点A在准线上的射影为D，如图，    则根据抛物线的定义可知， 求的最小值，即求的最小值， 显然当D，B，A三点共线时最小， 此时点的横坐标为1，代入抛物线方程可知. 故选：B. 5．已知点与抛物线上一点，若点到直线的距离为，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设点到准线的距离为，则点到准线的距离为，根据题意，转化为，结合，即可求解. 【详解】由抛物线，可得抛物线的焦点为，准线方程为， 设点到准线的距离为，则点到直线的距离为， 过点作和的垂线，垂足为，如图所示， 由抛物线的定义，可得， 因为，，可得， 所以，即的最小值是. 故选：B. 6．彩凤穿花纹是中国传统瓷器经典装饰纹样．某彩凤穿花纹碗如图1所示，其轴截面（不含碗的底座）如图2所示，已知该碗的底座高为1cm，曲线，均是焦点到准线的距离为5cm的抛物线的一部分，则该碗的高度为（    ） A．8cm B．10cm C．9cm D．11cm 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，求出抛物线方程，利用方程求点的坐标即可得解. 【详解】如图，以该抛物线的顶点为坐标原点建立平面直角坐标系，则该抛物线的方程为． 设，，易得，，则， 所以该碗的高度为． 7．（多选）点在抛物线上，为坐标原点，，则下列结论正确的是（   ） A．的准线为 B．直线与相切 C．的焦点为 D．焦点到准线距离为 【答案】BCD 【分析】利用题目条件解出抛物线方程后逐一分析选项. 【详解】将点代入抛物线方程，得： ， 解得，因此抛物线的方程为， 根据抛物线的性质：焦点为，准线为，焦点到准线的距离为， A选项：抛物线的准线为，不是，A错误； B选项：求直线方程：，斜率，直线方程为， 联立抛物线方程，消去得， ，直线与抛物线只有一个交点，因此直线与相切，B正确； C选项：抛物线的焦点为，C正确； D选项：焦点到准线的距离为，D正确. 8．（多选）设抛物线的焦点为F，点在抛物线C上，且则抛物线C的方程可以为 （ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据点在抛物线上、抛物线定义可得答案. 【详解】由题意得，解得，或， 当时，抛物线方程为； 当时，抛物线方程为. 故选：BC. 9．已知圆N：，直线，圆M与圆N外切，且与直线相切，则点M的轨迹方程为_____________． 【答案】 【分析】设动圆的半径为r，则点M到l＇：与点M到点N的距离相等，都是，再利用抛物线的定义求解. 【详解】由题意得，直线l：，且圆N：， 设圆M半径为r，则点M到l＇：与点M到点N的距离相等，都是， 故点M的轨迹是以N为焦点，以l＇为准线的抛物线，故方程为． 故答案为： 10．已知抛物线上有两点，且直线过点． (1)求抛物线的标准方程； (2)若抛物线上有一点，纵坐标为4，抛物线上另有两点，且直线与的斜率满足重心的横坐标为4，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，设直线的方程为，联立直线与抛物线方程，再由，即可得到结果； （2）根据题意，由三角形重心坐标公式结合，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）    由题意知直线的斜率不可能为0， 设，直线的方程为， 由得，，即， 即，即， 将代入，得， 则，则， 则，由，解得， 故所求抛物线的标准方程为． （2）    由抛物线方程可得点坐标为，设， 则 ， 则，且，则， 故．又， 则，又，可得直线的中点坐标为， 故由点斜式得直线的方程为5），即． 【强化训练】 1．设为抛物线：的焦点，过且斜率为1的直线交抛物线于，两点，则（    ） A．10 B．8 C．6 D． 【答案】B 【分析】根据题意依次求得与直线的方程，联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理与抛物线的焦点弦公式即可得解. 【详解】因为为抛物线：的焦点，则，， 又直线过且斜率为1，交抛物线于，两点，所以直线的方程为， 联立，消去，得， 显然，所以， 则. 故选：B. 2．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，是坐标原点，若的面积为，则（    ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】D 【分析】由焦点坐标得出，从而得出抛物线方程，设出的坐标，结合三角形面积公式计算出坐标值，进而利用两点间距离公式求解． 【详解】    ， ，即，抛物线的方程为． 设，则的面积为： ，解得，将代入，解得， ． 故答案为：D． 3．已知点在抛物线上，若抛物线的焦点到准线的距离为2，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】根据抛物线的定义和点到直线的公式可得目标代数式的几何意义，故可求其最小值. 【详解】因为抛物线的焦点到准线的距离为2，所以． 表示点到轴的距离与 到直线的距离之和的倍， 点到轴的距离等于点到准线的距离减1， 设抛物线的焦点为，则点到轴的距离等于， 故， 设点到直线的距离为， 如图，由图知， 所以的最小值为， 故选：D． 4．设P是抛物线上的一个动点，F为抛物线的焦点，已知点A的坐标为，则的最小值为（ ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义及数形结合即可得解. 【详解】过作，交抛物线准线于，且交抛物线于点，如图， 由抛物线可得准线方程为， 由抛物线定义知，， 因为， 所以当点运动到时，即三点共线时，的最小值为，此时. 故选：B 5．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有，已知行车道总宽度，那么车辆通过隧道的限制高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，即可得到抛物线方程，然后代入计算，即可得到结果. 【详解】 取隧道截面，以抛物线的顶点为原点，对称轴为轴，建立直角坐标系， 则，设抛物线方程为 ，将点代入抛物线方程， 可得，则抛物线方程为，行车宽度，将代入抛物线方程， 可得，所以限度为. 故选：B 6．（多选）已知直线过抛物线的焦点F，且与抛物线C交于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为M，N，则下列说法正确的是（    ） A．抛物线的方程为 B．线段的中点到y轴的距离为 C．线段的长度为 D． 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，求出焦点F的坐标判断A；联立直线l与抛物线C的方程，利用韦达定理，结合抛物线定义、向量垂直的坐标表示判断BCD作答. 【详解】显然抛物线的焦点F在x轴上，直线与x轴交于点， 即，则，解得，抛物线的方程为，准线方程为，A正确； 由消去并整理得：，设， 则有，线段的中点横坐标为，因此线段的中点到y轴的距离为，B错误； ，因此线段的长度为，C正确； 显然点，， 则， 即，因此，D正确. 故选：ACD 7．（多选）在平面直角坐标系中，，F为抛物线的焦点，点P在C上，轴于A，则（    ） A．当时，的最小值为3 B．当时，的最小值为4 C．当时，的最大值为1 D．当轴时，为定值 【答案】BCD 【分析】根据抛物线的定义结合图象一一计算可得； 【详解】解：对于A：时抛物线，焦点，点在抛物线外， 所以，当且仅当、、三点共线且在之间时取等号（如下图所示），故A错误； 对于B、C：当时抛物线，焦点，准线方程为，点在抛物线内， 设与准线交于点，则，所以， 当且仅当、、三点共线且在之间时取等号（如下图所示），故B正确；   ， 当且仅当、、三点共线且在之间时取等号（如下图所示），故C正确； 对于D：抛物线，焦点，准线方程为， 当，此时，则，解得， 即或，如图取，则，， 所以，故D正确；    故选：BCD 8．在平面直角坐标系中，若的坐标，满足方程，则点的轨迹是__________（填曲线的类型，填方程不给分）. 【答案】直线 【分析】利用两点间的距离公式及点到直线间的距离公式，即可求解. 【详解】由， 得， 所以等式左边表示点到点的距离， 右边表示点到直线的距离，两距离相等， 而点在直线上， 所以点的轨迹是垂直直线于点的直线. 故答案为：直线. 9．已知点分别是抛物线和圆上的动点，点到直线的距离为，则的最小值为____． 【答案】 【分析】分别画出抛物线和圆图象，由抛物线定义以及圆上点与圆外一点距离的最值问题即可求得结果. 【详解】如图所示：      由圆的标准方程为可知圆心，半径为， 抛物线的焦点为，准线方程为， 由抛物线定义可知， 圆外一点到圆上点的距离满足，即； 所以 ， 当且仅当三点共线时，等号成立； 即的最小值为． 故答案为： 10．已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且． (1)求抛物线的标准方程． (2)直线：与抛物线交于，两点，直线外一点，若（为坐标原点），直线是否恒过点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1)； (2)直线过定点. 【分析】（1）利用代入法，结合抛物线定义进行求解即可； （2）直线方程与抛物线方程联立，根据角相等的性质、斜率公式、一元二次方程根与系数的关系进行求解即可. 【详解】（1）因为点在抛物线上，且， 所以有，因此抛物线的标准方程为； （2）设，， 直线方程与抛物线方程联立，得 ， 因为，． 因为，所以， 所以． 则，即． 当时，，即； 当时，，符合题意，即． 综上，直线过定点． / 学科网（北京）股份有限公司 $