专题24.3 圆周角（高效培优讲义）数学新教材沪科版九年级下册
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内容正文：
专题24.3 圆周角
教学目标
1.理解圆周角的概念，理解圆周角定理及其推论；
2.运用圆周角定理及其推论解几何问题；
3.理解圆内接四边形、多边形的外接圆的概念 ；
4.熟练运用圆内接四边形的性质解决几何相关问题。
教学重难点
1.重点
理解圆周角的概念，理解和运用圆周角定理解几何问题；理解圆内接四边形的概念；理解多边形的外接圆的概念 。
2.难点
掌握半圆或直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径；熟练运用圆内接四边形的性质解决几何相关问题。
知识点01 圆周角定理
顶点在圆上,并且两边都与圆还有另一个公共点的角叫做圆周角。
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.
推论1:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,相等的圆周角所对的弧也相等
推论2:半圆或直径所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径
【即学即练】
1.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝35°，则∠BOC的度数为（ ）
A．60° B．65° C．70° D．75°
【答案】C
【分析】根据圆周角定理，可直接得出答案。
【详解】解：∵∠BAC=35°，
∴∠BOC=70°。
故答案为：C.
2.如图，在中，弦、相交于点，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据三角形外角的性质即可得到∠A+∠B=52°，进而运用圆周角定理结合题意即可求解。
【详解】解：∵，
∴∠A+∠B=52°，
∵∠B=∠C，，
∴∠C=29°，
故答案为：C
3.如图，小华同学设计了一个圆的直径的测量器．标有刻度的两把尺子，在点被钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把点靠在圆周上，尺子与圆交于点，尺子与圆交于点，读得为个单位长度，为个单位长度．则圆的直径为（ ）
A．个单位长度 B．个单位长度
C．个单位长度 D．个单位长度
【答案】D
【分析】连接FE，利用圆周角定理可知FE为圆的直径，结合勾股定理即可求解．
【详解】解：连接FE，如图所示：
∵OE⊥OF，
∴FE为圆的直径．
在Rt△FOE中，OE=6，OF=8，
由勾股定理得
故答案为：D.
知识点02 圆内接四边形
定义：一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆的内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.
定理：圆内接四边形的对角互补
几何语言：∠ABC+∠ADC=180°，∠A+∠C=180°
圆内接四边形的对角互补，且任何一个外角都等于它的内对角.
几何语言：∠A=∠DCE
【即学即练】
1.如图，在的内接四边形中，点在的延长线上．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】圆的内接四边形对角互补，故∠A+∠BCD=180°.∠BCE+∠BCD=180°， 根据同角的补角相等，可得∠A=∠BCE=50°.也可以直接根据推论，圆内接四边形的外角等于内对角得出∠BCE=∠A=50°.
【详解】解： 在⊙O的内接四边形ABCD中，∠A+∠BCD=180°
又∵∠BCE+∠BCD=180°
∴∠BCE=∠A=50°
故答案为：D.
2.四边形ABCD的内角，∠A，∠B，∠C，∠D度数之比如下，则四边形是圆内接四边形的是（ ）
A．4：2：2：5 B．3：1：2：5 C．4：1：1：5 D．3：1：2：4
【答案】D
【分析】由圆内接四边形的性质可得∠A+∠C＝∠B+∠D＝180°，据此判断.
【详解】解：∵圆的内接四边形对角互补，
∴∠A+∠C＝∠B+∠D＝180°，
∴∠A：∠B：∠C：∠D的可能的值是3：1：2：4.
故答案为：D.
3.如图，四边形是的内接四边形，若，，则所对圆心角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】连接OD，OC，根据四边形内角性质可得∠ADC=122°，再根据三角形内角和定理可得，再根据圆周角定理即可求出答案.
【详解】解：连接OD，OC
∵∠B+∠ADC=180°
∴∠ADC=180°-58°=122°
∵
∴
故答案为：D
题型01 圆周角定理
【典例1】如图，A，B，C，D是⊙O上四点，连结AD，AC，BD，BC．图中相等的角是 (不再添加其他字母)．
【答案】∠A=∠B，∠C=∠D
【分析】根据在同圆中，等弧所对的圆周角相等即可得出答案.
【详解】解：∵，
∴∠C=∠D；
∵，
∴∠A=∠B.
故答案为：∠A=∠B，∠C=∠D.
【变式1】如图，点在上，，则（ ）
A．48° B．24° C．22° D．21°
【答案】D
【分析】根据弧、弦的关系结合AB=CD可得，由圆周角定理可得∠AOB=2∠CED，据此计算.
【详解】解： 点在上，，
故答案为：D.
【变式2】如图，△ 内接于⊙O， 是⊙O的直径，∠ .则∠ 的度数是 （ ）
A．36° B．33° C．30° D．27°
【答案】A
【分析】首先连接BD，由CD是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可求得∠CBD的度数，继而求得∠D的度数，然后由圆周角定理，求得∠A的度数．
【详解】连接BD，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CBD＝90°，
∵∠BCD＝54°，
∴∠D＝90°−∠BCD＝36°，
∴∠A＝∠D＝36°．
故答案为：A．
【变式3】如图，在中，弦AB，CD相交于点P.若，，则的度数是 .
【答案】32°
【分析】根据三角形外角的性质可求出，再根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等可得答案．
【详解】解：∵，，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：．
题型02 圆内接四边形
【典例2】如图，点A是中优弧的中点，，C为劣弧上一点，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据等弧所对的圆周角相等得∠ADB=∠ABD=70°，根据三角形的内角和定理得∠A=40°，进而根据圆内接四边形的对角互补可求∠BCD的度数.
【详解】解：∵点A是中优弧的中点，
∴
∴，
∴，
∵四边形内接于，
∴，
∴.
故答案为：C.
【变式1】如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝90°，BC＝2，CD＝3，则⊙O的直径长为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【分析】连接，先根据圆周角定理即可得到，进而结合题意运用勾股定理即可求解。
【详解】解：连接，如图所示：
，
∴是的直径，
，
，
，
故答案为：C
【变式2】如图，四边形ABCD是圆的内接四边形，∠BAD=108°，E 是BC延长线上一点，若∠ECF=60°，则∠DCF等于（ ）
A．30° B．48° C．54° D．60°
【答案】B
【分析】由圆内接四边形的任意一个角等于它的内对角∠DCE=∠BAD=108°，然后根据角平分线的定义来求∠DCF的大小。
【详解】解：∵ 四边形ABCD是圆的内接四边形，∠BAD=108°，E 是BC延长线上一点 ∴∠DCE=∠BAD=108° ∵ ∠ECF=60° ∴∠DCF=∠DCE-∠ECF=48°
故答案为：B.
【变式3】 如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝∠ADC，BD平分∠ABC．若AB＝3，BC＝4，BD的长为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】B
【分析】过点C作交BD于点H，根据圆的内接四边形对角互补得∠ABC＝∠ADC=90°，由BD平分∠ABC ，得到，所以，进而根据圆周角定理等腰直角三角形性质及勾股定理可算出BD的长.
【详解】解：四边形ABCD内接于⊙O，
∠ABC+∠ADC=180°，
又∠ABC＝∠ADC，
∠ABC＝∠ADC=90°，
AB＝3，BC＝4，
BD平分∠ABC ，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
过点C作交BD于点H，
，
，
，
..
故答案为：B.
1.如图，为半圆直径，、为圆周上两点，且，与交于点，则图中与相等的角有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】D
【分析】首先与∠BCE相等的角有对顶角∠DCA．由于AB是圆 O的直径，可得∠ADB=90°；已知AD=DE，根据垂径定理可知OD⊥AE；根据等角余角相等，可得出∠DCA=∠ADO=∠DAO；易证得△OAD≌△OED，因此∠DAB=∠ADO=∠ODE=∠DEO；因此与∠BCE相等的角有5个：∠DCA、∠OAD、∠ODA、∠ODE、∠OED．
【详解】解：∵在△ADO和△DOE中
∴△OAD≌△ODE(SSS),
∴∠DAB=∠EDO，∠ADO=∠DEO，
∵AO=DO，
∴∠DAB=∠ADO，
∴∠DAB=∠ADO=∠ODE=∠DEO；
∵AB是直径，
∴
∵AD=DE，
∴∠ABD=∠DBE，
∴
∴∠DAB=∠BCE，
∵∠DCA=∠BCE（对顶角相等）
∴∠DCA=∠DAB=∠ADO=∠ODE=∠DEO，
则与∠ECB相等的角有5个．
故选D．
2.下列说法：①相等的弦所对的圆心角相等；②等圆中相等的圆心角所对的弧相等；③同圆中等弧所对的圆心角相等.其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．③
【答案】C
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系进行判断即可．
【详解】①∵在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，故不正确；②等圆中相等的圆心角所对的弧相等，正确；③同圆中等弧所对的圆心角相等，正确.
故选C.
3.如图，在⊙O中，若C是的中点，则图中与∠BAC相等的角有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【详解】解：∵点C是弧BD的中点，
∴，
∴∠BAC=∠CAD，
∠BAC=∠BDC，
∠CAD=∠CBD，
∴∠CAD=∠BDC=∠CBD=∠BAC，
于是图中与∠BAC相等的角共有3个，
故选C．
4.如图，点A，B，C均在⊙上，当时，的度数是（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
【答案】D
【分析】在优弧AB上任意找一点D，根据三角形的内角和得到∠AOC=100°，根据圆周角定理得到∠D=∠AOC=50°，即可根据圆内接四边形的对角互补得到结论．
【详解】
解：在优弧AB上任意找一点D，连接AD，CD，
∵OA=OC，∠OAC=40°，
∴∠OAC=∠OCA=40°，
∴∠AOC=180°-40°-40°=100°，
∴∠D=∠AOC=50°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠D+∠B=180°，
∴∠B=180°-50°=130°，
故选：D．
5.如图，是的直径，是上位于异侧的两点．下列四个角中，一定与互余的角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴∠BAD+∠B=90°，∵∠ACD=∠B，∴∠BAD+∠ACD=90°，故选D.
6.如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若∠BAD＝105°，则∠DCE的大小是( )
A．115° B．105° C．100° D．95°
【答案】B
【分析】根据圆内接四边形的对角互补得到∠BAD+∠BCD=180°，而∠BCD与∠DEC为邻补角，得到∠DCE=∠BAD=105°．
【详解】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
而∠BCD+∠DCE=180°，
∴∠DCE=∠BAD，
而∠BAD=105°，
∴∠DCE=105°．
故选：B．
7.如图，是的直径，点C、D都在上，若点A是的中点，，，则的长为（ ）
A． B．6 C． D．8
【答案】D
【分析】本题考查了垂径定理、解直角三角形，正确作出辅助线是解题的关键．
连接、，根据垂径定理得，可得出，再根据同弧所对的圆心角是圆周角的两倍得出，易得出，然后根据正弦的定义即可得出，最后根据直径是半径的2倍，即可得出答案．
【详解】解：连接、，
点A是的中点，
，设垂足为点，
，
，
和所对的弧都是，
，
，且，
，
，
，
在中，,，，，
，
是的直径，
，
故选D．
8.如图， AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AC，OC，OD，若∠A＝20°，则∠COD的度数为（ ）
A．40° B．60° C．80° D．100°
【答案】C
【分析】利用圆周角与圆心角的关系得出∠COB=40°，再根据垂径定理进一步可得出∠DOB=∠COB，最后即可得出答案.
【详解】∵∠A=20°，
∴∠COB=2∠A=40°，
∵CD⊥AB，OC=OD，
∴∠DOB=∠COB=40°，
∴∠COD=∠DOB+∠COB=80°.
故选：C.
9.如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆⊙O的直径，且AB=，AC=5，AD=4，则⊙O的直径AE= ．
【答案】.
【详解】由圆周角定理可知，∠E=∠C，
∵∠ABE=∠ADC=90°，∠E=∠C，
∴△ABE∽△ACD.
∴AB:AD=AE:AC，
∵AB=4，AC=5，AD=4，
∴4:4=AE:5，
∴AE=5，
故答案为5.
10.如图，已知锐角三角形内接于半径为2的，于点，，则 ．
【答案】1
【分析】连接OB和OC，根据圆周角定理得出∠BOC的度数，再依据等腰三角形的性质得到∠BOD的度数，结合直角三角形的性质可得OD.
【详解】解：连接OB和OC，
∵△ABC内接于半径为2的圆O，∠BAC=60°，
∴∠BOC=120°，OB=OC=2，
∵OD⊥BC，OB=OC，
∴∠BOD=∠COD=60°，
∴∠OBD=30°，
∴OD=OB=1，
故答案为：1.
11.如图，中，，，求的度数．
【答案】
【分析】根据同圆或等圆中等弧所对圆周角相等，得出，再利用三角形内角和定理求出即可．
此题主要考查圆周角的性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟知同圆或等圆中等弧所对圆周角相等．
【详解】∵，
，
．
12.如图所示，四边形内接于，．
求证：
(1)；
(2)是的直径．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接，根据圆周角定理得，再由可计算出，则，然后根据圆心角、弧、弦的关系即可得到；
（2）根据三角形内角和定理可计算出，则根据圆周角的推理即可得到为的直径．
【详解】（1）证明：连接，如图，
，
而，
，
，
，
；
（2），，
，
为的直径．
13.如图，已知，以边为直径画交边于点E，点E为的中点．若，求的度数．
【答案】
【分析】本题主要考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质．连结，可得，从而得到，即可求解．
【详解】解：如图，连结，
∵边为的直径，
∴．
，
∵点E是的中点，
∴．
∴，
，
∴．
14.如图所示，△ABC内接于⊙O，AD是△ABC的边BC上的高，AE是⊙O的直径，连接BE. 求证：△ABE∽△ADC .
【答案】见解析
【分析】由AE是⊙O的直径可得∠ABE是直角，所以∠ABE=∠ADC，由∠C、∠E是同弧 所对的圆周角可得∠C=∠E，所以△ABE与△ADC相似．
【详解】证明：∵AE是⊙O的直径，
∴∠ABE=90°，
∵AD是△ABC的边BC上的高，
∴∠ADC=90°，
∴∠ABE=∠ADC．
又∵同弧所对的圆周角相等，
∴∠BEA=∠DCA．
∴△ABE ∽△ADC．
15.已知P是上一点，过点P不过圆心的弦，在劣弧和优弧上分别有动点A、B（不与P、Q重合），连接、，若．
(1)如图1，当，，时，求的半径；
(2)如图2，连接，交于点M，点N在线段上（不与P、M重合），连接、，若，探究直线与的位置关系，并证明．
【答案】(1)；
(2)平行，证明见解析．
【分析】（1）连接，首先根据已知条件求出，进而判断出为直径，然后再根据勾股定理求出的长度，即可求出的半径；
（2）连接、、，延长交于点，根据圆周角定理可得，再结合已知条件可得，根据已知条件可得，进而求得，再根据三线合一得到，最后根据平行线的判定定理证出结论．
【详解】（1）解：如图所示，连接，
∵ ，，
∴，
∴为直径，
∵，，
∴在中根据勾股定理得：
，
∴或（舍去），
∴半径为．
（2）解：直线与的位置关系为：，
证明：连接、、，交于点F，延长交于点E，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，（三线合一），
∴，
∴．
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专题24.3 圆周角
教学目标
1.理解圆周角的概念，理解圆周角定理及其推论；
2.运用圆周角定理及其推论解几何问题；
3.理解圆内接四边形、多边形的外接圆的概念 ；
4.熟练运用圆内接四边形的性质解决几何相关问题。
教学重难点
1.重点
理解圆周角的概念，理解和运用圆周角定理解几何问题；理解圆内接四边形的概念；理解多边形的外接圆的概念 。
2.难点
掌握半圆或直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径；熟练运用圆内接四边形的性质解决几何相关问题。
知识点01 圆周角定理
顶点在圆上,并且两边都与圆还有另一个公共点的角叫做圆周角。
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.
推论1:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,相等的圆周角所对的弧也相等
推论2:半圆或直径所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径
【即学即练】
1.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝35°，则∠BOC的度数为（ ）
A．60° B．65° C．70° D．75°
2.如图，在中，弦、相交于点，，，则（ ）
A． B． C． D．
3.如图，小华同学设计了一个圆的直径的测量器．标有刻度的两把尺子，在点被钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把点靠在圆周上，尺子与圆交于点，尺子与圆交于点，读得为个单位长度，为个单位长度．则圆的直径为（ ）
A．个单位长度 B．个单位长度
C．个单位长度 D．个单位长度
知识点02 圆内接四边形
定义：一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆的内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.
定理：圆内接四边形的对角互补
几何语言：∠ABC+∠ADC=180°，∠A+∠C=180°
圆内接四边形的对角互补，且任何一个外角都等于它的内对角.
几何语言：∠A=∠DCE
【即学即练】
1.如图，在的内接四边形中，点在的延长线上．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2.四边形ABCD的内角，∠A，∠B，∠C，∠D度数之比如下，则四边形是圆内接四边形的是（ ）
A．4：2：2：5 B．3：1：2：5 C．4：1：1：5 D．3：1：2：4
3.如图，四边形是的内接四边形，若，，则所对圆心角为（ ）
A． B． C． D．
题型01 圆周角定理
【典例1】如图，A，B，C，D是⊙O上四点，连结AD，AC，BD，BC．图中相等的角是 (不再添加其他字母)．
【变式1】如图，点在上，，则（ ）
A．48° B．24° C．22° D．21°
【变式2】如图，△ 内接于⊙O， 是⊙O的直径，∠ .则∠ 的度数是 （ ）
A．36° B．33° C．30° D．27°
【变式3】如图，在中，弦AB，CD相交于点P.若，，则的度数是 .
题型02 圆内接四边形
【典例2】如图，点A是中优弧的中点，，C为劣弧上一点，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝90°，BC＝2，CD＝3，则⊙O的直径长为（ ）
A．2 B． C． D．
【变式2】如图，四边形ABCD是圆的内接四边形，∠BAD=108°，E 是BC延长线上一点，若∠ECF=60°，则∠DCF等于（ ）
A．30° B．48° C．54° D．60°
【变式3】 如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝∠ADC，BD平分∠ABC．若AB＝3，BC＝4，BD的长为（ ）
A．4 B． C． D．
1.如图，为半圆直径，、为圆周上两点，且，与交于点，则图中与相等的角有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
2.下列说法：①相等的弦所对的圆心角相等；②等圆中相等的圆心角所对的弧相等；③同圆中等弧所对的圆心角相等.其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．③
3.如图，在⊙O中，若C是的中点，则图中与∠BAC相等的角有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4.如图，点A，B，C均在⊙上，当时，的度数是（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
5.如图，是的直径，是上位于异侧的两点．下列四个角中，一定与互余的角是（ ）
A． B． C． D．
6.如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若∠BAD＝105°，则∠DCE的大小是( )
A．115° B．105° C．100° D．95°
7.如图，是的直径，点C、D都在上，若点A是的中点，，，则的长为（ ）
A． B．6 C． D．8
8.如图， AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AC，OC，OD，若∠A＝20°，则∠COD的度数为（ ）
A．40° B．60° C．80° D．100°
9.如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆⊙O的直径，且AB=，AC=5，AD=4，则⊙O的直径AE= ．
10.如图，已知锐角三角形内接于半径为2的，于点，，则 ．
11.如图，中，，，求的度数．
12.如图所示，四边形内接于，．
求证：
(1)；
(2)是的直径．
13.如图，已知，以边为直径画交边于点E，点E为的中点．若，求的度数．
14.如图所示，△ABC内接于⊙O，AD是△ABC的边BC上的高，AE是⊙O的直径，连接BE. 求证：△ABE∽△ADC .
15.已知P是上一点，过点P不过圆心的弦，在劣弧和优弧上分别有动点A、B（不与P、Q重合），连接、，若．
(1)如图1，当，，时，求的半径；
(2)如图2，连接，交于点M，点N在线段上（不与P、M重合），连接、，若，探究直线与的位置关系，并证明．
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