专题24.4 直线与圆的位置关系（高效培优讲义）数学新教材沪科版九年级下册

专题24.4 直线与圆的位置关系 教学目标 1.运用点到直线的距离d与半径r，来判定直线与圆的三种位置关系； 2. 探究、理解切线的判定定理和性质定理； 3. 掌握圆的切线的判定和性质，并能利用其解决实际问题； 4.学会经过一个点作圆的切线。 5.掌握切线长的定义；掌握切线长定理的条件和结论，并会运用定理；能运用切线长定理解决圆的实际问题。 6.理解三角形的内切圆概念；作出三角形的内切圆，理解三角形的内切圆的步骤；能根据三角形的内切圆求与内切圆相关的问题。 教学重难点 1.重点 运用点到直线的距离d与半径r，来判定直线与圆的三种位置关系；探究、理解切线的判定判定定理；掌握切线长定理的条件和结论，并会运用定理；作出三角形的内切圆，理解三角形的内切圆的步骤。 2.难点 掌握圆的切线的判定、性质、切线长定理解决实际问题；能根据三角形的内切圆求与内切圆相关的问题。 知识点01 直线与圆的位置关系 如果直线与圆有两个公共点,这时直线与圆的位置关系叫做相交，这条直线叫做圆的割线。 如果直线与圆只有一个公共点,这时直线与圆的位置关系叫做相切，这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点。 如果直线与圆没有公共点，这时直线与圆的位置关系叫做相离. 直线与圆的位置关系： 直线与圆的位置关系（d与r的关系） 小结：判断直线与圆的位置关系时，通常要得到圆心到直线的距离d和圆的半径r，然后再利用d与r的大小关系进行判断． 直线与圆的位置关系： ①当d＞r时，直线与圆相离； ②当d=r时，直线与圆相切； ③当d＜r时，直线与圆相交． 【即学即练】 1.如图，若的半径为6，圆心O到一条直线的距离为3，则这条直线可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，当d＞r时，直线与圆相离；当d=r时，直线与圆相切；当d＜r时，直线与圆相交，结合题意观察图形，可得答案. 【详解】解：∵的半径为6，圆心O到一条直线的距离为3，， ∴这条直线与圆相交， 由图可知只有直线与圆相交， 故答案为：B. 2.已知的直径为12，点O到直线l上一点的距离为，则直线l与的位置关系（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【答案】D 【分析】设圆的半径为r，直线到圆心的距离为d，当d＞r时，直线与圆相离；当d=r时，直线与圆相切；当d＜r时，直线与圆相交；此题给的是点O到直线l上一点的距离，而无法确定点O到直线l的距离，故不能判断直线与圆的位置关系. 【详解】解：∵的直径为12， ∴的半径为6， ∵点O到直线l上一点的距离为，无法确定点O到直线l的距离， ∴不能确定直线l与的位置关系， 故答案为：D. 3.在中，，以点C为圆心，R为半径作圆．若与边只有一个公共点，则R的取值范围是（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】利用点与圆的位置，直线与圆的位置关系求解即可。 【详解】解：如图，过点C作于点D． ，． ①如果以点C为圆心，R为半径的圆与斜边相切，则．此时． ②当时，圆与边也只有一个公共点． 综上，或． 故答案为：D． 知识点02 圆的切线 当直线I与⊙O相切时,切点为A,连接OA、这时,如在直线l上任取一个不同于点A的点P,连接OP ,因为点P在⊙O外,所以OP>OA.这就是说,OA是点О到直线l上任一点的连线中最短的,故OA⊥l. 切线性质 圆的切线垂直于经过切点的半径. 如图，l是⊙O的切线，OA为半径，∴OA⊥l 切线判定定理：经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 判断直线m是圆的切线吗？ 不是，未经过半径外端点 不是，未垂直 不是，未经过半径外端点 圆的切线必须满足： “经过半径的外端”和“垂直于这条半径”，两个条件缺一不可。 切线的判定 辅助线作法: 1、有交点，连半径，证垂直 2、无交点，作垂直，证半径 【即学即练】 1.如图，与相切于点，，，则长为（　　） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】利用切线的性质得到再利用直角三角形中30°角所对的边是斜边的一半定理即可求解. 【详解】 与相切于点，，， ， 故答案为：A. 2.如图，若以平行四边形一边AB为直径的圆恰好与对边CD相切于点D．则∠C＝（　　） A．30° B．40° C．45° D．60° 【答案】C 【分析】根据圆的性质和切线的性质可证明△AOD为等腰直角三角形，再根据平行四边形的性质得∠A=∠C，即可求解. 【详解】解：∵以AB为直径的圆恰好与对边CD相切于点D， ∴ ∴为等腰直角三角形， ∴ ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴ 故答案为：C. 3.如图，点P为⊙O外一点，过点P作⊙O的切线PA、PB，记切点为A、B，点C为⊙O上一点，连接AC、BC．若∠ACB＝62°，则∠APB等于（　　） A．68° B．64° C．58° D．56° 【答案】D 【分析】圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，这是圆周角定理；圆的内接四边形对角和是180度，反过来四边形对角和是180°那么四点共圆，这两个定理都是有关圆的角度证明时经常用到的。 【详解】解：∵ 圆周角∠ACB＝62° ∴（圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半） ∴ ∵PA、PB是⊙O的切线 ， ∴ ∴P、A、B、O四点共圆（四边形对角互补，那么四点共圆） ∴(圆的内接四边形对角和是180度) ∴ 故答案为：D 知识点03 切线长定理 过圆外一点能够作圆的两条切线. 切线上一点到切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长. 切线长与切线的有什么区别呢？ ①切线是直线，不能度量； ②切线长是线段的长，可以度量，这条线段的两个端点分别是圆外一点P和切点A（B）；切线长是线段PA和PB的长度。 切线长定理：过圆外一点作圆的两条切线,两条切线长相等,圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角. 几何语言： PA、PB是圆O的切线 PA =PB, ∠APO=∠BPO 【即学即练】 1.如图，，分别切于B，C两点，若，则的度数为（　　） A．32° B．52° C．64° D．72° 【答案】B 【分析】根据切线长性质得AB=AC，且OB⊥AB，由角的和差算出∠ABC的度数，进而根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可算出∠A的度数. 【详解】解：∵，分别切于B，C两点， ∴，， 则：， ∵ ∴， ∴， ∴， 故答案为：B. 2.如图，P是⊙O外一点，PA，PB分别和⊙O切于A，B两点，C是弧AB上任意一点，过点C作⊙O的切线分别交PA，PB于点D，E.若△PDE的周长为12，则PA的长为（　　） A．12 B．6 C．8 D．4 【答案】B 【分析】根据切线长定理可得PA=PB，DA=DC，EB=EC，再利用三角形的周长公式及等量代换可得PD+DE+PE=2PA=12，最后求出PA=6即可。 【详解】∵PA，PB分别和⊙O切于A，B两点， ∴PA=PB， ∵DE是O的切线， ∴DA=DC，EB=EC， ∵△PDE的周长为12， 即PD+DE+PE =PD+DC+EC+PE =PD+AD+EB+PE =PA+PB =2PA =12， ∴PA=6. 故答案为：B. 3.如图，的内切圆与、、分别相切于点、、，且，，，则阴影部分（即四边形）的面积是（　　） A．4 B．6.25 C．7.5 D．9 【答案】A 【分析】根据勾股定理的逆定理判断出△ABC是直角三角形，且∠A=90°，根据切线的性质可得∠AFO=∠AEO=90°，再结合OF=OE可判断出四边形OFAE是正方形，设OE=r，根据切线长定理得BD=BF=5-r，CD=CE=12-r，根据BD+CD=AB建立方程，求解得出r的值，最后根据正方形的面积计算方法即可算出四边形AEOF的面积. 【详解】解：∵，， ∴ ∴为直角三角形， ∵与分别相切于点、 ∴ ，， ∴四边形是正方形 设 则 ∵的内切圆与、、分别相切于点、、 ∴， ∴ ∴ ∴阴影部分的面积是： 故答案为：A. 知识点04 三角形的内切圆 与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心。 这个三角形叫做圆的外切三角形. 三角形的内心到三角形的三边距离相等. 【即学即练】 1.根据尺规作图的痕迹，可以判定点O为 的内心的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】三角形的内心为三角形的三个角的角平分线的交点，即可求解。 【详解】解：由于三角形的内心是三角形角平分线的交点，由基本作图知选项C中尺规作图作的是 ､ 的平分线，所以点O为 的内心， 故答案为：C． 2.如图所示，已知⊙I是△ABC的内切圆，点I是内心，若∠A＝35°，则∠BIC等于（　　） A．35° B．70° C．145° D．107.5° 【答案】D 【分析】根据三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB=145°，根据内心的概念可得∠IBC=∠ABC，∠ICB=∠ACB，据此可得∠IBC+∠ICB的度数，然后利用内角和定理进行求解. 【详解】解：∵∠A＝35°， ∴ ∵点I是 的内心， ∴ 即 ∠BIC 107.5° 故答案为：D. 3.如图，是的内切圆，若的周长为18，面积为9，则的半径是（　　） A．1 B． C．1.5 D．2 【答案】A 【分析】利用“内切圆的半径=”求解即可。 【详解】根据内切圆的半径r=，可得： 的半径=， 故答案为：A. 题型01 直线与圆的位置关系 【典例1】如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的取值范围是（　　） A．8≤AB≤10 B．8＜AB≤10 C．4≤AB≤5 D．4＜AB≤5 【答案】A 【分析】由题意可求得大圆的直径是10，当AB是大圆的直径时，与圆由两个公共点，且AB最长是10；当AB与小圆相切时，AB与小圆只有一个公共点，用勾股定理可求得此时AB的长是8，；综合这两种情况可求得AB的范围是8≤AB≤10. 【详解】当AB与小圆相切， ∵大圆半径为5，小圆的半径为3， ∴AB=2 =8. ∵大圆的弦AB与小圆有公共点，即相切或相交， ∴8≤AB≤10. 故答案为：A. 【变式1】已知的半径为5，直线与有2个公共点，则点到直线的距离可能是（　　） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】A 【分析】设⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，当d＜r时，直线与⊙O相交；当d=r时，直线与⊙O相切，当d＞r时，直线与⊙O相离，据此解答即可. 【详解】解：∵的半径为5，直线与有2个公共点， ∴点到直线的距离. 故答案为：A. 【变式2】如图，直线 与x轴、y 轴分别相交于点A、B两点，圆心P的坐标为（2，0）.⊙P与y轴相切于点O，若将⊙P沿x轴向左移动，当⊙P与该直线相交时，横坐标为整数的点P的个数是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】⊙P沿x轴向左移动，分别与直线AB相切于点M、N，且圆心分别为点P1、P2，则MP1=NP2=OP=2，分别令直线解析式中的x=0、y=0，求出y、x，得到点A、B的坐标，求出AO、BO的值，根据tan∠OAB的值可得∠OAB的度数，求出AP1，OP1，得到点P1的坐标，同理可得P2的坐标，据此解答. 【详解】解：根据题意，⊙P沿x轴向左移动，分别与直线 相切于点M、N，且圆心分别为点 、 ，如下图： ∴ ，且将⊙P沿x轴向左移动，当⊙P与该直线相交时，横坐标为整数的点P，再点 和 之间 直线 与x轴、y 轴分别相交于点A、B两点 ∴ ， ∴ ， ∴ ∴ ∴ ∴ ，即 ∵ ∴ ∴ ，即 ∴符合题意要求的点P坐标为： ， ， ， ， ， ， ∴当⊙P与该直线相交时，横坐标为整数的点P的个数是：7. 故答案为：C. 【变式3】如图，在中，为边上的中线，，以点B为圆心，r为半径作．如果与中线有且只有一个公共点，那么的半径r的取值范围为　 　． 【答案】或 【分析】根据三角函数可得BC、AC的值，根据直角三角形斜边上的中线性质，可求得CD、BD的值，根据三角形面积公式可求CD边上的高，再根据直线与圆的位置关系即可求解。 【详解】解：在中，为边上的中线，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴边的高， ∵与中线有且只有一个公共点， ∴的半径r的取值范围为或． 故答案为：或． 题型02 圆的切线 【典例2】如图，是的直径，是的切线，为切点，与交于点，连接若，则的度数为　 　 ． 【答案】80° 【分析】先利用切线的性质及三角形的内角和求出∠B=180°-∠CAB-∠C=40°，再利用圆周角的性质可得∠AOD=2∠B=80°. 【详解】∵是的切线， ∴∠CAB=90°， ∵， ∴∠B=180°-∠CAB-∠C=40°， ∴∠AOD=2∠B=80°， 故答案为：80°. 【变式1】如图，为的直径，P为延长线上的一点，过P作的切线，A为切点，，则的半径等于　 　. 【答案】3 【分析】连接OA，根据切线的性质得∠PAO=90°，在Rt△PAO中，根据勾股定理建立方程可求出OA的长. 【详解】解：连接OA， ∵是的切线， ∴， ， 在中， ， 即， ∴， 解得， 故答案为：3. 【变式2】如图，PA、PB分别切⊙O于点A，B，点E是⊙O上一点，且，则的度数为　 　． 【答案】80° 【分析】连接AO、BO，先利用圆周角的性质求出，再利用切线的性质和四边形的内角和求出∠P的度数即可。 【详解】解：连接AO、BO， PA、PB分别切⊙O于点A，B， 故答案为：80°． 【变式3】如图，是的外接圆，是的直径，过O作于点E，延长至点D，连接，使． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 【答案】（1）见详解；（2）4 【分析】（1）连接OC，根据垂直的定义可得∠DEC=90°，求得∠D+∠DCE=90°，根据等腰三角形的性质可得∠A=∠ACO，从而得出OC⊥CD，根据切线的判定定理即证； （2）由勾股定理求出OD，根据 可求出CE，再利用垂径定理即可得解. 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线． （2）解：∵， ∴， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴． 题型03 切线长定理 【典例3】如图，P为圆O外一点， 分别切圆O于 两点，若 ，则 （　　）. A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】由切线长定理“从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等”可求解. 【详解】∵P为圆O外一点，PA，PB分别切圆O于A，B两点，若PA=5， ∴PB=PA=5， 故答案为：D. 【变式1】如图，PA，PB分别与半径为3的⊙O相切于点A，B，直线CD分别交PA，PB于点C，D，并切⊙O于点E，当PO＝6时，△PCD的周长为　 　． 【答案】 【分析】连接OB，由切线的性质可得∠PBO=90°，在Rt△POB中，运用勾股定理算出PB，由切线长定理可得PA=PB=，DB=DE，CE=CA，然后根据三角形周长的计算方法、等量代换及线段的和差可将△PCD的周长转化为PA+PB，从而代入即可求出答案. 【详解】解：如图，连接OB， ∵PB是圆O的切线，且B为切点， ∴∠PBO=90°， 在Rt△POB中， ∵PO=6，OB=3， ∴PB=， ∵PA、PB分别与圆O相切于点A、B， ∴PA=PB=， ∵DB、DE分别与圆O相切于点B、E， ∴DB=DE， 同理CE=CA， ∵CD=DE+CE， ∴CD=DB+CA， ∴△PCD的周长为：PD+PC+CD=PD+DE+CE+PC=PD+DB+CA+PC=PA+PB=. 故答案为：. 【变式2】如图，分别与⊙O相切于E、F、G三点，且，cm，cm，则的长等于（　　） A．7cm B．6cm C．5cm D．11cm 【答案】C 【分析】由AB∥CD可得，由切线长定理可得，BE=BF，CG=CF，从而求出∠BOC=90°，利用勾股定理求出BC=5，则，即可得解. 【详解】解：∵， ∴， ∵、分别与⊙O相切于点E、点F， ∴，， 同理，， ∴， ∴， ∵cm， cm， ∴（cm）， ∴cm， 故答案为：C. 【变式3】将一把直尺，一块含有的直角三角板和一张光盘如图摆放，已知点A为三角板角与直尺的交点，点B为直尺与光盘的交点，，则光盘直径是　 　. 【答案】 【分析】设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，由切线长定理知AB=AC=2，OA平分∠BAC，则∠OAB=60°，然后根据三角函数的概念进行计算. 【详解】解：设三角板与圆的切点为C，连接，如图所示： 由切线长定理知，平分， ∴， 在中，， ∴光盘的直径为， 故答案为：. 题型04 三角形的内切圆 【典例4】已知的内心为P，则下列说法错误的是（　　） A． B．P在的内部 C．P为三个内角平分线的交点 D．P到三边距离相等 【答案】A 【分析】三角形的内心是三个内角的角平分线的交点，内心到三角形三条边的距离相等，据此判断. 【详解】解：A、三角形内心到三角形三条边的距离相等，并不是到三个顶点的距离相等，故符合题意； B、三角形的内心是三个内角的角平分线的交点，所以P在△ABC的内部，故不符合题意； C、三角形的内心是三个内角的角平分线的交点，故不符合题意； D、三角形内心到三角形三条边的距离相等，故不符合题意. 故答案为：A. 【变式1】正三角形的内切圆与外接圆面积之比为　 　． 【答案】1：4 【分析】正三角形的内切圆与外接圆的半径就是正三角形的边心距与半径，根据正三角形的性质可得正三角形的边心距与半径的比为1：2，进而根据圆的面积计算方法可求出答案. 【详解】解：∵正三角形的内切圆与外接圆的半径就是正三角形的边心距与半径， 又∵正三角形的边心距与半径的比为1：2， ∴正三角形的内切圆与外接圆面积之比为1：4， 故答案为：1：4. 【变式2】如图，△ABC是一张周长为18cm的三角形纸片，BC=5cm，⊙O是它的内切圆，小明用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为（　　） A．13cm B．8cm C．6.5cm D．随直线MN的变化而变化 【答案】B 【分析】根据切线长定理得到BD=BG，CP=CG，MH=MD，NH=NP，根据三角形的周长公式计算． 【详解】解：如图： 由切线长定理得，BD=BG，CP=CG，MH=MD，NH=NP， ∴BD+CP=BG+CG=5， ∴AD+AP=18−10=8， ∴△AMN的周长=AM+MN+AN=AM+MD+AN+NP=AD+AP=8. 故答案为：B. 【变式3】如图，已知圆O为的内切圆，切点分别为D、E、F，且，，，则的半径r为　 　． 【答案】2 【分析】连接OA，OB，OC，OD，OE，OF，根据勾股定理逆定理可得△ABC为直角三角形，再根据三角形内切圆性质可得，且OD=OE=OF=r，根据三角形面积可得，又因为，代入相应值计算即可求出答案. 【详解】解：连接OA，OB，OC，OD，OE，OF ∵ ∴ ∴△ABC为直角三角形 ∵圆O为的内切圆，切点分别为D、E、F ∴，且OD=OE=OF=r ∴ ∵ 即 解得：r=2 故答案为：2 1.以坐标原点O为圆心，作半径为1的圆，若直线与⊙O相交，则b的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出直线与圆相切，且函数经过一、二、四象限，和当直线与圆相切，且函数经过二、三、四象限b的值，则相交时b的值在相切时的两个b之间． 【详解】当直线与圆相切，且函数经过一、二、四象限时如图 在中，令x=0,y=b，则与y轴的交点为（0,b） 令y=0,x=b，则与x轴的交点为（b,0） 则OA=OB，即△AOB是等腰直角三角形 连接圆心O和切点C，则OC=1 ∴△BOC也是等腰直角三角形 ∴BC=OC=1 ∴BO= 同理当直线与圆相切，且函数经过二、三、四象限时，b=-， ∴直线与⊙O相交，则b的取值范围是 故选D． 2.下列直线是圆的切线的是（    ） A．经过半径外端的直线 B．垂直于半径的直线 C．与圆有公共点的直线 D．圆心到直线的距离等于这个圆的半径长的直线 【答案】D 【分析】根据圆的切线的判定定理进行判断即可. 【详解】解：A. 经过半径外端的直线，但直线不一定垂直半径，故不能判断该直线是圆的切线； B. 垂直于半径的直线，但直线不是经过半径外端，故不能判断该直线是圆的切线； C. 与圆有公共点的直线，直线与圆相交也有公共点，故不能判断该直线是圆的切线； D. 圆心到直线的距离等于这个圆的半径长的直线，能判断该直线是圆的切线. 故选D. 3.如图，、是的两条弦，，过点C的切线与的延长线交于点D，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接OC，可知∠OCD＝90°，而∠A＝35°，利用圆周角定理可求∠COD，进而可求∠D． 【详解】解：连接OC， ∵CD是切线， ∴∠OCD＝90°， ∵∠A＝30°， ∴∠COD＝2∠A＝60°， ∴∠D＝∠OCD -∠COD =90°﹣60°＝30°． 故选：A． 4.如图，点A是⊙O上一点，AB切⊙O于点A，连接OB交⊙O于点C，若∠B＝36°，则∠ACO的度数为（　　） A．63° B．54° C．60° D．126° 【答案】A 【分析】根据切线的性质可得OA⊥AB，进而根据直角三角形的两锐角互余求得∠AOC，根据半径相等，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵AB切⊙O于点A， ∴OA⊥AB， ∵∠B＝36°， ∴∠AOC＝90°﹣∠B＝54°， ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA＝＝＝63°， 故选：A. 5.如图，PA，PB分别切⊙O于A，B两点，已知圆的半径为4，劣弧的度数为120°，Q是圆上的一动点，则PQ长的最大值是（　　） A．12 B．12 C．8 D．4 【答案】B 【分析】当PQ是直径时，PQ长取最大值，连接OA，求出即可. 【详解】当PQ是直径时，PQ长取最大值， 连接OA， ∵劣弧的度数为120°， ∴ ∵圆的半径为4， ∴ ∴ ∴ 故选B． 6.已知⊙O的面积为9πcm2，若圆心O到直线的距离为3cm，则直线与⊙O的位置关系是(　 　) A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定 【答案】A 【详解】设圆的半径是r，根据圆的面积公式求出半径,再和点到直线的距离比较即可. 解：设设圆的半径是r，则πr2=9π. ∴r=3 ∵圆心O到直线的距离为3cm， ∵3=3，即：r=d， ∴直线l与⊙O的位置关系是相切， 故选A. 7.如图，已知直线的解析式是，并且与轴、轴分别交于A、B两点．一个半径为1.5的⊙C，圆心C从点（0，1.5）开始以每秒0.5个单位的速度沿着轴向下运动，当⊙C与直线相切时，则该圆运动的时间为（　　） A．3秒或6秒 B．6秒 C．3秒 D．6秒或16秒 【答案】D 【详解】如图， ∵x=0时，y=-4， y=0时，x=3， ∴A（3，0）、B（0，-4）， ∴AB=5， 当C在B上方，直线与圆相切时，连接CD， 则C到AB的距离等于1.5， ∴CB=1.5÷sin∠ABC=1.5×=2.5； ∴C运动的距离为：1.5+（4-2.5）=3，运动的时间为：3÷0.5=6； 同理当C在B下方，直线与圆相切时， 连接CD，则C运动的距离为：1.5+（4+2.5）=8，运动的时间为：8÷0.5=16． 故选D． 8.如图，∠BAC＝36°，点O在边AB上，⊙O与边AC相切于点D，交边AB于点E，F，连接FD，则∠AFD等于（    ） A．27° B．29° C．35° D．37° 【答案】A 【分析】连接OD，根据切线的性质得到∠ADO＝90°，根据直角三角形的性质得到∠AOD＝90°﹣36°＝54°，根据圆周角定理即可得到结论． 【详解】解：连接OD， ∵⊙O与边AC相切于点D， ∴∠ADO＝90°， ∵∠BAC＝36°， ∴∠AOD＝90°﹣36°＝54°， ∴， 故选：A． 9.如图，已知分别与的边、的延长线、的延长线相切，则等于(      ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设切点分别为，根据切线长定理可得，根据四边形内角和可得，即可求解． 【详解】解：与的边、的延长线、的延长线相切，设切点分别为， ∴，   ． 故选C． 10.已知的半径为，圆心到直线的距离为，则直线和的公共点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据当圆的半径大于圆心到直线的距离时，直线与圆相交，即可得出直线和的公共点的个数． 【详解】∵的半径为，圆心到直线的距离为， ∴直线与圆相交， ∴直线和的公共点个数为2． 故选：C． 11.如图等边，以为直径的交于点，交于，于，下列结论正确的是： ．①是中点；②；③是的切线；④． 【答案】①②③④ 【分析】连接AP．根据圆周角定理、等腰三角形的“三线合一”的性质推知点P是线段BC的中点，同理证得点E是线段AC的中点；然后由三角形中位线定理，圆心角、弧、弦间的关系来证明；连接OP，由切线的判定证得OP⊥PF即可． 【详解】连接AP． ∵AB是⊙O的直径， ∴∠APB=90°（直径所对的圆周角是直角），即AP⊥BC； 又∵AB=AC， ∴点P是线段BC的中点， 故①正确； 同理，点E是线段AC的中点， ∴AE=EC， 故④正确； ∵连接PE． 点P、E分别是线段BC、AC的中点，BC=AC=AB（等边三角形的三条边相等）， ∴PE=AB（三角形中位线定理），BP=BC=AB， ∴BP=PE（等量代换）， ∴， 故②正确； 连接OP． ∵点P是线段BC的中点，点O是线段AB的中点， ∴OP是△ABC的中位线， ∴OP//AC； 又∵PF⊥AC， ∴PF⊥OP， ∵点P在⊙O上， ∴PF是⊙O的切线； 故③正确． 综上所述，正确的结论有①②③④． 故答案为①②③④． 12.如图，在中，，⊙过点A、C，与交于点D，与相切于点C，若，则 【答案】/64度 【分析】根据同弧对应的圆心角是圆周角的2倍计算出，再根据，内错角得到答案． 【详解】如下图所示，连接OC 从图中可以看出，是圆弧对应的圆周角，是圆弧对应的圆心角 得． ∵BC是圆O的切线 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 13.如图是的弦，交于点，过点的切线交的延长线于点．若的半径为，则的长为 ．    【答案】2 【分析】根据切线的性质可得，从而可得，再根据垂直定义可得，从而可得，然后利用等腰三角形的性质，以及等角的余角相等，对顶角相等可得，从而可得，最后在中，利用勾股定理进行计算即可解答． 【详解】解：与相切于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， 在中，， ， ， ． 故答案为：2． 14.如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，且∠D=2∠CAD． （1）求∠D的度数； （2）若CD=2，求BD的长． 【答案】（1）45°；（2）． 【分析】（1）根据等腰三角形性质和三角形外角性质求出∠COD=2∠A，求出∠D=∠COD，根据切线性质求出∠OCD=90°，即可求出答案； （2）求出OC=CD=2，根据勾股定理求出BD即可． 【详解】（1）∵OA=OC， ∴∠A=∠ACO， ∴∠COD=∠A+∠ACO=2∠A， ∵∠D=2∠A， ∴∠D=∠COD， ∵PD切⊙O于C， ∴∠OCD=90°， ∴∠D=∠COD=45°； （2）∵∠D=∠COD，CD=2， ∴OC=OB=CD=2， 在Rt△OCD中，由勾股定理得：22+22=（2+BD）2， 解得：BD=． 15.如图，中，，以为直径的与，分别交于点和点，过点作，垂足为． (1)求证：是的切线； (2)若，，求半径． 【答案】(1)证明见解析； (2)的半径为． 【分析】（）连接，，由圆周角定理得，又，则通过等腰三角形的性质得，然后由中位线定理可得，最后由平行线的性质即可求证； （）过点作，垂足为，易证四边形是矩形，从而得出，设的半径为，然后利用垂径定理表示出，最后在中利用勾股定理列出关于的方程进行计算即可解答． 【详解】（1）证明：连接，， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：过点作，垂足为， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 设的半径为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴的半径为． 16.已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C作⊙O的切线DC交BA的延长线于点D，连接BC． (1)如图①，连接AC，若，求∠ACD的大小； (2)如图②，E为上一点，连接OE，CE，若四边形ODCE为平行四边形，求∠B的大小． 【答案】(1)25° (2)22.5° 【分析】连接OC，根据AB为⊙O的直径，可得∠ACB=90°，再由CD是⊙O的切线，可得∠BCO=∠ACD，即可求解； （2）连接OC，根据四边形ODCE为平行四边形，可得OE∥CD，OD∥CE，从而得到∠COE=90°，再由OB=OC，可得∠OCE=∠E=45°，然后根据圆周角定理，即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接OC， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∵CD是⊙O的切线， ∴OC⊥CD，即∠OCD=90°， ∴∠BCO=∠ACD， ∵OB=OC， ∴∠B=∠BCO， ∴∠ACD=∠B=25°； （2）解：如图，连接OC， ∵四边形ODCE为平行四边形， ∴OE∥CD，OD∥CE， ∵OC⊥CD， ∴OC⊥OE，即∠COE=90°， ∵OE=OC， ∴∠OCE=∠E=45°， ∴∠AOC=∠OCE=45°， ∴． 17.如图，四边形ABCD为菱形，以AD为直径作⊙O交AB于点F，连接DB交⊙O于点H，E是BC上一点，且BE＝BF，连接DE． （1）求证DE是⊙O的切线； （2）若BF＝1，BD=，则菱形ABCD的面积为 ．    【答案】（1）见解析；（2）5 【分析】（1）根据菱形性质得出AB＝BC＝CD＝DA，AD∥BC，∠DAB＝∠C，可证△DAF≌△DCE，可得∠DFA=∠DEC，证出∠ADE=∠DEC=90°，即OD⊥DE，DE是⊙O的切线． （2）在Rt△ADF和Rt△BDF中，可得AD2-（AD-BF）2=DB2-BF2，解方程可求出AD的长即可． 【详解】（1）证明：连接DF， ∵四边形ABCD为菱形， ∴AB＝BC＝CD＝DA，AD∥BC，∠DAB＝∠C， ∵BF＝BE， ∴AB−BF＝BC−BE，即AF＝CE， 在△DAF和△DCE中， ， ∴△DAF≌△DCE（SAS）， ∴∠DFA＝∠DEC， ∵AD是⊙O的直径， ∴∠DFA＝90°， ∴∠DEC＝90° ∵AD∥BC， ∴∠ADE＝∠DEC＝90°， ∴OD⊥DE， ∵OD是⊙O的半径， ∴DE是⊙O的切线；    （2）解：∵AD是⊙O的直径， ∴∠DFA＝90°， ∴∠DFB＝90°， 在Rt△BDF中，BF＝1，BD=， ∴DF2＝BD2−BF2＝5﹣1＝4， ∴DF＝2， 在Rt△ADF中，AD2＝DF2+AF2， ∴AB2＝22+（AB﹣1）2， 解得AB=， ∴S菱形ABCD＝AB•DF=＝5． 故答案为5． 18.点的“值”定义如下：若点为圆上任意一点，线段长度的最大值与最小值之差即为点的“值”，记为.特别的，当点，重合时，线段的长度为0. 当⊙的半径为2时： （1）若点，，则_________，_________； （2）若在直线上存在点，使得，求出点的横坐标； （3）直线与轴，轴分别交于点，.若线段上存在点，使得，请你直接写出的取值范围. 【答案】（1）1；4（2）-1或-（3） 【分析】（1）根据定义求解即可； （2）根据定义知：满足dP=2的点位于一点O为圆心，半径为1的圆周上，设P（a，2a+2），由PO=1，建立方程求解即可； （3）根据题意可知，满足2≤dP＜3的点位于以点O为圆心，外径为，内径为1的圆环内． 分别求出当线段与外环相切或内切时， b的值即可． 【详解】解：（1）dC=1，dD=4； （2）根据题意，满足dP=2的点位于一点O为圆心，半径为1的圆周上． ∵点P在直线y=2x+2上，∴设P（a，2a+2）． ∵PO=1，∴a2+（2a+2）2=1，解得a=-1或a= ，∴xP=-1或． （3）．解析如下： 根据题意，满足2≤dP＜3的点位于以点O为圆心，外径为，内径为1的圆环内． 当线段与外环相切时，解得b=； 当线段与内环相切时，解得b=. 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题24.4 直线与圆的位置关系 教学目标 1.运用点到直线的距离d与半径r，来判定直线与圆的三种位置关系； 2. 探究、理解切线的判定定理和性质定理； 3. 掌握圆的切线的判定和性质，并能利用其解决实际问题； 4.学会经过一个点作圆的切线。 5.掌握切线长的定义；掌握切线长定理的条件和结论，并会运用定理；能运用切线长定理解决圆的实际问题。 6.理解三角形的内切圆概念；作出三角形的内切圆，理解三角形的内切圆的步骤；能根据三角形的内切圆求与内切圆相关的问题。 教学重难点 1.重点 运用点到直线的距离d与半径r，来判定直线与圆的三种位置关系；探究、理解切线的判定判定定理；掌握切线长定理的条件和结论，并会运用定理；作出三角形的内切圆，理解三角形的内切圆的步骤。 2.难点 掌握圆的切线的判定、性质、切线长定理解决实际问题；能根据三角形的内切圆求与内切圆相关的问题。 知识点01 直线与圆的位置关系 如果直线与圆有两个公共点,这时直线与圆的位置关系叫做相交，这条直线叫做圆的割线。 如果直线与圆只有一个公共点,这时直线与圆的位置关系叫做相切，这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点。 如果直线与圆没有公共点，这时直线与圆的位置关系叫做相离. 直线与圆的位置关系： 直线与圆的位置关系（d与r的关系） 小结：判断直线与圆的位置关系时，通常要得到圆心到直线的距离d和圆的半径r，然后再利用d与r的大小关系进行判断． 直线与圆的位置关系： ①当d＞r时，直线与圆相离； ②当d=r时，直线与圆相切； ③当d＜r时，直线与圆相交． 【即学即练】 1.如图，若的半径为6，圆心O到一条直线的距离为3，则这条直线可能是（　　） A． B． C． D． 2.已知的直径为12，点O到直线l上一点的距离为，则直线l与的位置关系（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 3.在中，，以点C为圆心，R为半径作圆．若与边只有一个公共点，则R的取值范围是（　　） A． B． C．或 D．或 知识点02 圆的切线 当直线I与⊙O相切时,切点为A,连接OA、这时,如在直线l上任取一个不同于点A的点P,连接OP ,因为点P在⊙O外,所以OP>OA.这就是说,OA是点О到直线l上任一点的连线中最短的,故OA⊥l. 切线性质 圆的切线垂直于经过切点的半径. 如图，l是⊙O的切线，OA为半径，∴OA⊥l 切线判定定理：经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 判断直线m是圆的切线吗？ 不是，未经过半径外端点 不是，未垂直 不是，未经过半径外端点 圆的切线必须满足： “经过半径的外端”和“垂直于这条半径”，两个条件缺一不可。 切线的判定 辅助线作法: 1、有交点，连半径，证垂直 2、无交点，作垂直，证半径 【即学即练】 1.如图，与相切于点，，，则长为（　　） A．2 B．4 C． D． 2.如图，若以平行四边形一边AB为直径的圆恰好与对边CD相切于点D．则∠C＝（　　） A．30° B．40° C．45° D．60° 3.如图，点P为⊙O外一点，过点P作⊙O的切线PA、PB，记切点为A、B，点C为⊙O上一点，连接AC、BC．若∠ACB＝62°，则∠APB等于（　　） A．68° B．64° C．58° D．56° 知识点03 切线长定理 过圆外一点能够作圆的两条切线. 切线上一点到切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长. 切线长与切线的有什么区别呢？ ①切线是直线，不能度量； ②切线长是线段的长，可以度量，这条线段的两个端点分别是圆外一点P和切点A（B）；切线长是线段PA和PB的长度。 切线长定理：过圆外一点作圆的两条切线,两条切线长相等,圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角. 几何语言： PA、PB是圆O的切线 PA =PB, ∠APO=∠BPO 【即学即练】 1.如图，，分别切于B，C两点，若，则的度数为（　　） A．32° B．52° C．64° D．72° 2.如图，P是⊙O外一点，PA，PB分别和⊙O切于A，B两点，C是弧AB上任意一点，过点C作⊙O的切线分别交PA，PB于点D，E.若△PDE的周长为12，则PA的长为（　　） A．12 B．6 C．8 D．4 3.如图，的内切圆与、、分别相切于点、、，且，，，则阴影部分（即四边形）的面积是（　　） A．4 B．6.25 C．7.5 D．9 知识点04 三角形的内切圆 与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心。 这个三角形叫做圆的外切三角形. 三角形的内心到三角形的三边距离相等. 【即学即练】 1.根据尺规作图的痕迹，可以判定点O为 的内心的是（　　） A． B． C． D． 2.如图所示，已知⊙I是△ABC的内切圆，点I是内心，若∠A＝35°，则∠BIC等于（　　） A．35° B．70° C．145° D．107.5° 3.如图，是的内切圆，若的周长为18，面积为9，则的半径是（　　） A．1 B． C．1.5 D．2 题型01 直线与圆的位置关系 【典例1】如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的取值范围是（　　） A．8≤AB≤10 B．8＜AB≤10 C．4≤AB≤5 D．4＜AB≤5 【变式1】已知的半径为5，直线与有2个公共点，则点到直线的距离可能是（　　） A．3 B．5 C．7 D．9 【变式2】如图，直线 与x轴、y 轴分别相交于点A、B两点，圆心P的坐标为（2，0）.⊙P与y轴相切于点O，若将⊙P沿x轴向左移动，当⊙P与该直线相交时，横坐标为整数的点P的个数是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式3】如图，在中，为边上的中线，，以点B为圆心，r为半径作．如果与中线有且只有一个公共点，那么的半径r的取值范围为　 　． 题型02 圆的切线 【典例2】如图，是的直径，是的切线，为切点，与交于点，连接若，则的度数为　 　 ． 【变式1】如图，为的直径，P为延长线上的一点，过P作的切线，A为切点，，则的半径等于　 　. 【变式2】如图，PA、PB分别切⊙O于点A，B，点E是⊙O上一点，且，则的度数为　 　． 【变式3】如图，是的外接圆，是的直径，过O作于点E，延长至点D，连接，使． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 题型03 切线长定理 【典例3】如图，P为圆O外一点， 分别切圆O于 两点，若 ，则 （　　）. A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1】如图，PA，PB分别与半径为3的⊙O相切于点A，B，直线CD分别交PA，PB于点C，D，并切⊙O于点E，当PO＝6时，△PCD的周长为　 　． 【变式2】如图，分别与⊙O相切于E、F、G三点，且，cm，cm，则的长等于（　　） A．7cm B．6cm C．5cm D．11cm 【变式3】将一把直尺，一块含有的直角三角板和一张光盘如图摆放，已知点A为三角板角与直尺的交点，点B为直尺与光盘的交点，，则光盘直径是　 　. 题型04 三角形的内切圆 【典例4】已知的内心为P，则下列说法错误的是（　　） A． B．P在的内部 C．P为三个内角平分线的交点 D．P到三边距离相等 【变式1】正三角形的内切圆与外接圆面积之比为　 　． 【变式2】如图，△ABC是一张周长为18cm的三角形纸片，BC=5cm，⊙O是它的内切圆，小明用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为（　　） A．13cm B．8cm C．6.5cm D．随直线MN的变化而变化 【变式3】如图，已知圆O为的内切圆，切点分别为D、E、F，且，，，则的半径r为　 　． 1.以坐标原点O为圆心，作半径为1的圆，若直线与⊙O相交，则b的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.下列直线是圆的切线的是（    ） A．经过半径外端的直线 B．垂直于半径的直线 C．与圆有公共点的直线 D．圆心到直线的距离等于这个圆的半径长的直线 3.如图，、是的两条弦，，过点C的切线与的延长线交于点D，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4.如图，点A是⊙O上一点，AB切⊙O于点A，连接OB交⊙O于点C，若∠B＝36°，则∠ACO的度数为（　　） A．63° B．54° C．60° D．126° 5.如图，PA，PB分别切⊙O于A，B两点，已知圆的半径为4，劣弧的度数为120°，Q是圆上的一动点，则PQ长的最大值是（　　） A．12 B．12 C．8 D．4 6.已知⊙O的面积为9πcm2，若圆心O到直线的距离为3cm，则直线与⊙O的位置关系是(　 　) A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定 7.如图，已知直线的解析式是，并且与轴、轴分别交于A、B两点．一个半径为1.5的⊙C，圆心C从点（0，1.5）开始以每秒0.5个单位的速度沿着轴向下运动，当⊙C与直线相切时，则该圆运动的时间为（　　） A．3秒或6秒 B．6秒 C．3秒 D．6秒或16秒 8.如图，∠BAC＝36°，点O在边AB上，⊙O与边AC相切于点D，交边AB于点E，F，连接FD，则∠AFD等于（    ） A．27° B．29° C．35° D．37° 9.如图，已知分别与的边、的延长线、的延长线相切，则等于(      ) A． B． C． D． 10.已知的半径为，圆心到直线的距离为，则直线和的公共点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．无法确定 11.如图等边，以为直径的交于点，交于，于，下列结论正确的是： ．①是中点；②；③是的切线；④． 12.如图，在中，，⊙过点A、C，与交于点D，与相切于点C，若，则 13.如图是的弦，交于点，过点的切线交的延长线于点．若的半径为，则的长为 ．    14.如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，且∠D=2∠CAD． （1）求∠D的度数； （2）若CD=2，求BD的长． 15.如图，中，，以为直径的与，分别交于点和点，过点作，垂足为． (1)求证：是的切线； (2)若，，求半径． 16.已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C作⊙O的切线DC交BA的延长线于点D，连接BC． (1)如图①，连接AC，若，求∠ACD的大小； (2)如图②，E为上一点，连接OE，CE，若四边形ODCE为平行四边形，求∠B的大小． 17.如图，四边形ABCD为菱形，以AD为直径作⊙O交AB于点F，连接DB交⊙O于点H，E是BC上一点，且BE＝BF，连接DE． （1）求证DE是⊙O的切线； （2）若BF＝1，BD=，则菱形ABCD的面积为 ．    18.点的“值”定义如下：若点为圆上任意一点，线段长度的最大值与最小值之差即为点的“值”，记为.特别的，当点，重合时，线段的长度为0. 当⊙的半径为2时： （1）若点，，则_________，_________； （2）若在直线上存在点，使得，求出点的横坐标； （3）直线与轴，轴分别交于点，.若线段上存在点，使得，请你直接写出的取值范围. 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $