第2章·分式·期中复习·培优讲义（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年湘教版八年级数学上册
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内容正文：
第2章·分式·期中复习·培优讲义
（知识梳理+典例+练习）·2026年湘教版八年级数学上册
🍔 思维导图
🍟 课程目标
· 理解分式的概念，掌握分式有意义、无意义及值为零的条件
· 掌握分式的基本性质，会约分、通分，能判断最简分式
· 熟练进行分式的加减乘除混合运算与化简求值
· 会解可化为一元一次方程的分式方程，理解增根与无解问题
· 能列分式方程解决行程、工程、经济等实际问题
· 掌握零指数幂、负整数指数幂与科学记数法
🍗 知识梳理
✅️ 1.分式的概念与性质
分式：形如的式子（B中含字母）；有意义条件B≠0，值为0条件A=0且B≠0
基本性质：=（C≠0），分子分母同乘（除）同一个不为零的整式
约分：分子分母同除以公因式，化为最简分式；通分：化为同分母
最简分式：分子分母没有公因式的分式；最简公分母：各分母所有因式的最高次幂的积
概念辨析例题：若分式的值为0，则x的值是（ ）A．x=1 B．x=-1 C．x=±1 D．x≠1
答案：B
解析：分式值为0需分子为0且分母不为0。分子x2-1=0得x=±1，但当x=1时分母x-1=0，分式无意义，故x=-1。故选B。
✅️ 2.分式的运算
同分母分式相加减：分母不变，分子相加减；异分母先通分再加减
分式乘法：分子乘分子，分母乘分母，先约分再乘
分式除法：除以一个分式等于乘以它的倒数
混合运算：先乘除后加减，有括号先算括号，注意结果化为最简分式
概念辨析例题：计算：-。
答案：1
解析：同分母分式相加减，分母不变分子相加减：-==1。注意结果需化简。
✅️ 3.分式方程
分式方程：分母中含有未知数的方程；解法：去分母化为整式方程
去分母：两边同乘最简公分母，注意常数项也要乘
增根：使最简公分母为0的根，必须检验（代入最简公分母≠0）
无解：整式方程无解，或解为增根被舍去；含参问题需讨论
概念辨析例题：解方程：=。
答案：x=5，经检验是原方程的解
解析：两边同乘(x-1)(x+1)：2(x+1)=3(x-1)，解得2x+2=3x-3，x=5。检验：当x=5时(x-1)(x+1)=24≠0，所以x=5是原方程的解。
✅️ 4.分式方程的应用
行程问题：速度=，列方程利用时间或速度相等关系
工程问题：工作效率=，通常设工作总量为1
经济问题：利润=售价-进价，利润率=
列方程后必须检验：既要检验是否为增根，又要检验是否符合实际意义
概念辨析例题：甲、乙两地相距300千米，一辆汽车从甲地到乙地，若每小时比原计划多行10千米，可提前1小时到达，求原计划的速度。
答案：原计划速度为50千米/时
解析：设原计划速度为x千米/时，则实际速度为(x+10)千米/时。由时间关系列方程：-=1，解得x=50（另一根-60舍去），经检验符合题意。
✅️ 5.幂运算与科学记数法
零指数幂：a0=1（a≠0）；负整数指数幂：a-n=（a≠0）
科学记数法：绝对值小于1的数写成a×10-n（1≤a<10）
还原小数：指数为-n时小数点向左移n位
实数的混合运算：先乘方开方，再乘除，后加减
概念辨析例题：计算：(-2)0+()-2。
答案：10
解析：(-2)0=1，()-2==9，原式=1+9=10。
🧀 知识总结表
核心概念
定义/公式
注意事项
分式有意义
分母B≠0
与整式区分：分母含字母
分式值为0
A=0且B≠0
两个条件缺一不可
基本性质
A/B=(A×C)/(B×C)
C必须不为0
最简公分母
各因式最高次幂的积
去分母时各项都要乘
增根
使公分母为0的根
必须检验舍去
📩 核心考点
【考点1】分式的概念与性质（第1-12题）
· 有意义看分母，值为0看分子且分母非0
· 约分通分依据基本性质
· 最简分式看分子分母有无公因式
1．（2026八年级下·全国·专题练习）下列各式中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25八年级下·山西长治·期末）下列分式是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25八年级上·湖南邵阳·阶段检测）要使分式有意义，则x的取值应满足（ ）
A． B． C． D．
4．（2026·天津河北·一模）计算的结果等于（ ）．
A．3 B． C． D．
5．（26-27八年级上·全国·单元测试）已知，则________．
6．（25-26八年级上·广东广州·期中）已知分式，当x______时，分式无意义；当x______时，分式的值为0．
7．（23-24八年级下·山西朔州·阶段检测）分式与的最简公分母是______________．
8．（23-24八年级上·吉林·阶段检测）若是偶数，代数式的值是整数，则可以取的所有数值之和为________．
9．（25-26八年级上·广西来宾·期中）写出一个使分式有意义的的值，可以是___________．
10．（24-25八年级上·河南驻马店·期末）若使分式有意义，x应满足的条件是：_________．
11．（25-26八年级上·四川南充·周测）若分式有意义，则的取值范围是______．
12．（23-24八年级下·广东广州·期中）已知，．先化简再求代数式的值．
【考点2】分式运算与化简（第13-21题）
· 异分母先通分，乘除先约分
· 混合运算注意运算顺序
· 化简求值先化简再代入
13．（2024·天津西青·一模）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
14．（24-25八年级上·全国·期末）已知，则的值是（ ）
A． B． C． D．
15．（25-26九年级下·黑龙江绥化·期中）化简：=___________．
16．（25-26九年级上·黑龙江绥化·阶段检测）化简：__________．
17．（25-26八年级上·黑龙江伊春·期末）若，则的值为______．
18．（25-26八年级上·重庆江津·期中）如果一个四位自然数M的千位数字a与个位数字d的和恰好是M的百位数字b与十位数字c的和的2倍，则称这个M为“好数”．
（1）最小的“好数”M为________；
（2）若记，且能被6整除，则M的最大值为________．
19．（2025·陕西·模拟预测）先化简，再从中选择一个合适的数作为的值代入求值．
20．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）先化简，再求代数式的值，其中．
21．（24-25八年级下·河南洛阳·期末）计算化简
(1)计算：
(2)化简：
【考点3】分式方程（第22-37题）
· 去分母要乘每一项
· 解后必须检验增根
· 含参问题讨论增根与无解
22．（24-25八年级上·河北保定·期末）若关于的方程的解为正数，则的取值范围是（ ）
A．且 B．
C． D．且
23．（25-26八年级下·河南周口·期中）若关于x的分式方程 无解，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
24．（23-24八年级上·河北保定·期末）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为；把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍．根据题意列方程为，其中x表示（ ）
A．快马的速度 B．慢马的速度 C．规定的时间 D．以上都不对
25．（25-26八年级上·山东德州·阶段检测）若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是（ ）
A． B．且 C．且 D．
26．（25-26八年级上·河北唐山·期中）现用甲、乙两种型号机器人搬运物资，甲型机器人比乙型机器人每小时多搬运物资，甲型机器人搬运物资所用时间与乙型机器人搬运物资所用时间相等．问乙型机器人每小时搬运多少千克物资？两个人分别列方程如下：
嘉嘉：设甲型机器人搬运物资用时小时，可列方程为．
琪琪：设乙型机器人每小时搬运物资，可列方程为．
下列判断正确的是（ ）
A．嘉嘉对，琪琪错 B．嘉嘉错，琪琪对
C．嘉嘉、琪琪都对 D．嘉嘉、琪琪都错
27．（23-24八年级上·江苏南通·阶段检测）若且a、b为正整数，当分式方程的解为整数时，所有符合条件的b的值和为（ ）
A．277 B．240 C．272 D．256
28．（23-24八年级上·重庆渝北·期末）若数a使得关于x的分式方程有正数解，且使得关于y的不等式组有解，那么符合条件的所有整数a的和为______．
29．（湖北省襄阳华侨城实验学校2023-2024学年九年级8班上学期数学周测（18）??）若实数m使关于x的分式方程有正整数解，且使关于y的一元一次不等式组有且只有4个整数解，则符合条件的所有整数的和为________．
30．（2025·四川成都·模拟预测）当_____时，分式的值为．
31．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）小丽和小颖相约周末到影院看电影，她们的家分别距离影院和．两人各自从家中同时出发，已知小丽和小颖的速度之比是，结果小丽比小颖晚到达影院，则小丽的速度是________．
32．（24-25八年级下·四川成都·阶段检测）使得关于的不等式组有解，且使分式方程有非负整数解的所有的整数的和是______.
33．（2024·重庆渝北·二模）若关于x的不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是______．
34．（24-25八年级上·山东烟台·期中）若关于的分式方程无解，则的值为______．
35．（25-26八年级上·安徽铜陵·期末）某班学生周末乘汽车到游览区游览，游览区距学校．一部分学生乘慢车先行，出发后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达游览区．已知快车的速度是慢车速度的1.5倍，求慢车的速度？设慢车的速度为，则可列方程为____________
36．（25-26九年级上·黑龙江绥化·期末）关于的方程的解为正数，则的取值范围为______．
37．（25-26八年级上·吉林长春·期末）“激情全运会，活力大湾区．”第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕．本届运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”深受大家喜爱．在某文创商店，每件“喜洋洋”的价格比“乐融融”多30元，用880元购买“喜洋洋”吉祥物的数量是用290元购买“乐融融”吉祥物数量的2倍，求“喜洋洋”和“乐融融”两种吉祥物的单价．
【考点4】幂运算与科学记数法（第38-52题）
· 负指数先取倒数
· 零指数底数非0
· 科学记数法还原注意小数位
38．（23-24八年级上·江西宜春·期末）下列计算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
39．（25-26八年级下·福建泉州·期末）“主频”是指的时钟频率，它的高低在很大程度上反映了速度的快慢．某款的主频是，意味着它执行一个基本动作的时间大约是秒．将数据用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
40．（25-26八年级上·江西赣州·期末）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
41．（24-25八年级上·云南红河·期末）细胞是一切生物体结构和功能的基本单位，细胞的结构主要有细胞膜、细胞质和细胞核三个部分，在电子显微镜下观察细胞，可以区分为膜相结构和非膜相结构，细胞膜是细胞表面的一层薄膜，它的厚度大约是纳米（即米）．将用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
42．（2026·河南南阳·模拟预测）芯片是承载集成电路的硅片，是电子设备的核心，负责运算、存储与控制指令．某芯片的电路宽度约为，则数据用小数表示为（ ）
A． B．0.000008 C． D．0.0000008
43．（23-24七年级下·广东深圳·期中）杭州亚运会主火炬以零碳甲醇作为燃料，在亚运史上首次实现废碳再生、循环内零碳排放．甲醇的密度很小，甲醇的质量约为，将用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
44．（24-25九年级下·吉林松原·期中）下列运算中，正确的有（ ）
①．②．③．④．
A．①③ B．②④ C．①② D．③④
45．（25-26六年级下·山东威海·期末）已知与的和是单项式，则的值是（ ）
A． B． C． D．
46．（23-24九年级下·江苏南京·期中）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
47．（23-24九年级上·重庆·阶段检测）计算：______．
48．（24-25七年级下·山东青岛·期末）计算：_____．
49．（24-25七年级下·江苏南京·阶段检测）嫦娥六号探测器在近月轨道时飞行大约需要，数据用科学记数法表示为__________．
50．（23-24七年级下·浙江金华·阶段检测）若，，则__________________．
51．（数学（河南卷）-学易金卷：2025年中考第三次模拟考试）计算：_______．
52．（2023·重庆渝北·一模）计算：=______．
📊 课后巩固
🍬 复习建议
· 分式概念题紧扣分母含字母这一关键，判断有意义与值为0的条件
· 约分通分多练，通分时最简公分母要取全
· 分式混合运算分步书写，先乘除后加减，结果化为最简
· 分式方程解后必检验，实际应用题还要检验是否符合题意
· 幂运算注意符号与法则，混合运算按顺序计算
【作业1】（25-26八年级上·重庆·期中）计算：______．
【作业2】（23-24八年级上·湖北武汉·期末）我国的泉州湾跨海大桥是世界首座跨海高铁大桥，其创新采用的“石墨烯重防腐涂装体系”，将实现30年超长防腐寿命的突破．石墨烯作为本世纪发现的最具颠覆性的新材料之一，其理论厚度仅有，请将用科学记数法表为_____．
【作业3】（24-25八年级上·河南信阳·阶段检测）（1）计算：；
（2）分解因式：．
【作业4】（22-23七年级下·浙江温州·期中）计算：
(1)
(2)
【作业5】（24-25九年级上·全国·阶段检测）计算：．
【作业6】（24-25八年级下·江苏扬州·期末）中华优秀传统文化源远流长，是中华文明的智慧结晶《孙子算经》、《周髀算经》是我国古代较为普及的算书，书中许多问题浅显有趣．某书店的《孙子算经》单价是《周髀算经》单价的倍，用元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》少买本．求《周髀算经》的单价为多少元？
【作业7】（24-25八年级下·河南开封·期中）计算下列各题
(1)
(2)
【作业8】（23-24八年级下·贵州毕节·期末）（1）解分式方程：；
（2）若，，且，求的取值范围．
【作业9】（23-24八年级下·江苏扬州·阶段检测）解分式方程：
(1)；
(2)．
【作业10】（25-26八年级上·山东德州·期末）（1）因式分解：；
（2）解分式方程：．
【作业11】（25-26八年级下·四川成都·期中）按要求完成各题
(1)分解因式：
(2)解不等式组：
(3)解方程：．
【作业12】（23-24七年级下·广东深圳·期中）计算或化简
(1)
(2)
(3)
(4)简便运算：．
【作业13】（24-25七年级下·广西梧州·期末）解不等式和分式方程：
(1)解不等式：；
(2)解分式方程：．
【作业14】（25-26八年级下·山西临汾·阶段检测）综合与探究
如何设计奖品购买及兑换方案？
素材1
某文具店销售某种钢笔与笔记本，已知钢笔的单价是笔记本的2倍，用120元购买笔记本的数量比用160元购买钢笔的数量多8件．
素材2
某学校花费550元购买该文具店的钢笔和笔记本作为奖品颁发给“优秀学生”，两种奖品的购买数量共70件．
素材3
学校花费550元后，文具店赠送张兑换券（如图）用于商品兑换．兑换后，笔记本与钢笔的数量相同．
根据以上素材，解决下列问题．
(1)求钢笔与笔记本的单价．
(2)求购买钢笔和笔记本数量的方案．
(3)若兑换所得的笔记本和钢笔的总价不超过550元，则符合条件的兑换券是多少张？兑换方式是怎样的？
【作业15】（24-25八年级上·山东德州·期末）【项目式学习】根据以下素材，探索完成任务．
【素材1】在入夏之际，我县某奶茶品牌店推出两款爆款水果茶“满杯杨梅”和“芝士杨梅”．每杯“芝士杨梅”的售价比“满杯杨梅”贵2元，购买1杯“芝士杨梅”和2杯“满杯杨梅”共需53元．
【素材2】某天销售“芝士杨梅”共获利润400元，“满杯杨梅”共获利润480元，其中每杯“芝士杨梅”和每杯“满杯杨梅”的利润比为，“满杯杨梅”比“芝士杨梅”多卖20杯．
【问题解决】
任务1：每杯“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的售价是多少？
任务2：每杯“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的利润是多少？
【作业16】（24-25七年级下·浙江宁波·期末）解方程（组）：
(1)
(2)
【作业17】（24-25七年级下·江苏盐城·阶段检测）计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
【作业18】（2023九年级上·上海·竞赛）解方程组．
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第2章·分式·期中复习·培优讲义
（知识梳理+典例+练习）·2026年湘教版八年级数学上册
参考答案与试题解析
🍔 思维导图
🍟 课程目标
· 理解分式的概念，掌握分式有意义、无意义及值为零的条件
· 掌握分式的基本性质，会约分、通分，能判断最简分式
· 熟练进行分式的加减乘除混合运算与化简求值
· 会解可化为一元一次方程的分式方程，理解增根与无解问题
· 能列分式方程解决行程、工程、经济等实际问题
· 掌握零指数幂、负整数指数幂与科学记数法
🍗 知识梳理
✅️ 1.分式的概念与性质
分式：形如的式子（B中含字母）；有意义条件B≠0，值为0条件A=0且B≠0
基本性质：=（C≠0），分子分母同乘（除）同一个不为零的整式
约分：分子分母同除以公因式，化为最简分式；通分：化为同分母
最简分式：分子分母没有公因式的分式；最简公分母：各分母所有因式的最高次幂的积
概念辨析例题：若分式的值为0，则x的值是（ ）A．x=1 B．x=-1 C．x=±1 D．x≠1
答案：B
解析：分式值为0需分子为0且分母不为0。分子x2-1=0得x=±1，但当x=1时分母x-1=0，分式无意义，故x=-1。故选B。
✅️ 2.分式的运算
同分母分式相加减：分母不变，分子相加减；异分母先通分再加减
分式乘法：分子乘分子，分母乘分母，先约分再乘
分式除法：除以一个分式等于乘以它的倒数
混合运算：先乘除后加减，有括号先算括号，注意结果化为最简分式
概念辨析例题：计算：-。
答案：1
解析：同分母分式相加减，分母不变分子相加减：-==1。注意结果需化简。
✅️ 3.分式方程
分式方程：分母中含有未知数的方程；解法：去分母化为整式方程
去分母：两边同乘最简公分母，注意常数项也要乘
增根：使最简公分母为0的根，必须检验（代入最简公分母≠0）
无解：整式方程无解，或解为增根被舍去；含参问题需讨论
概念辨析例题：解方程：=。
答案：x=5，经检验是原方程的解
解析：两边同乘(x-1)(x+1)：2(x+1)=3(x-1)，解得2x+2=3x-3，x=5。检验：当x=5时(x-1)(x+1)=24≠0，所以x=5是原方程的解。
✅️ 4.分式方程的应用
行程问题：速度=，列方程利用时间或速度相等关系
工程问题：工作效率=，通常设工作总量为1
经济问题：利润=售价-进价，利润率=
列方程后必须检验：既要检验是否为增根，又要检验是否符合实际意义
概念辨析例题：甲、乙两地相距300千米，一辆汽车从甲地到乙地，若每小时比原计划多行10千米，可提前1小时到达，求原计划的速度。
答案：原计划速度为50千米/时
解析：设原计划速度为x千米/时，则实际速度为(x+10)千米/时。由时间关系列方程：-=1，解得x=50（另一根-60舍去），经检验符合题意。
✅️ 5.幂运算与科学记数法
零指数幂：a0=1（a≠0）；负整数指数幂：a-n=（a≠0）
科学记数法：绝对值小于1的数写成a×10-n（1≤a<10）
还原小数：指数为-n时小数点向左移n位
实数的混合运算：先乘方开方，再乘除，后加减
概念辨析例题：计算：(-2)0+()-2。
答案：10
解析：(-2)0=1，()-2==9，原式=1+9=10。
🧀 知识总结表
核心概念
定义/公式
注意事项
分式有意义
分母B≠0
与整式区分：分母含字母
分式值为0
A=0且B≠0
两个条件缺一不可
基本性质
A/B=(A×C)/(B×C)
C必须不为0
最简公分母
各因式最高次幂的积
去分母时各项都要乘
增根
使公分母为0的根
必须检验舍去
📩 核心考点
【考点1】分式的概念与性质（第1-12题）
· 有意义看分母，值为0看分子且分母非0
· 约分通分依据基本性质
· 最简分式看分子分母有无公因式
1．（2026八年级下·全国·专题练习）下列各式中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】约分
【分析】本题考查分式的基本性质，通过对分子分母提取公因式进行化简，再与各选项对比即可得出正确答案．
【详解】解：
．
故选：A．
2．（24-25八年级下·山西长治·期末）下列分式是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】最简分式
【分析】本题考查了最简分式的概念及判断方法，解题的关键是掌握最简分式的定义（分子与分母没有公因式的分式），并能对分式的分子和分母进行因式分解以寻找公因式．
明确最简分式的定义：分子与分母没有公因式．对每个选项的分子和分母进行因式分解．检查分子分母是否存在公因式，若没有则为最简分式．
【详解】解：的分子分母有公因数 2，可化简为，因此不是最简分式，A错误．
的分母可因式分解为，分子分母有公因式，可化简为，因此不是最简分式，B错误．
的分母可提取公因式a，化为，分子分母有公因式a，可化简为，因此不是最简分式，C错误．
的分母无法因式分解，分子分母没有公因式，因此是最简分式，D正确．
故选：D．
3．（24-25八年级上·湖南邵阳·阶段检测）要使分式有意义，则x的取值应满足（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】分式有意义的条件
【分析】本题考查分式有意义的条件，解题的关键是熟练运用分式有意义的条件．根据分式有意义的条件即可求出答案．
【详解】解：由题意可知：，
∴，
故选：C．
4．（2026·天津河北·一模）计算的结果等于（ ）．
A．3 B． C． D．
【答案】D
【知识点】通分、异分母分式加减法、约分
【详解】解：，
，
，
，
，
．
5．（26-27八年级上·全国·单元测试）已知，则________．
【答案】
【知识点】分式的求值
【分析】根据已知条件得到的值，再利用整体代入法将已知代数式的值代入所求式子计算，即可得到结果.
【详解】解：，
，
将，代入得：
.
6．（25-26八年级上·广东广州·期中）已知分式，当x______时，分式无意义；当x______时，分式的值为0．
【答案】 2
【知识点】分式值为零的条件、分式无意义的条件
【分析】本题考查分式无意义以及为0的条件，掌握分式无意义以及为0的条件是解题的关键．
分式无意义：分母为0；分式是值为0：分子为0，分母不为0，据此求解即可．
【详解】解：要使无意义，则，解得；
要使的值为0，则，解得；
故答案为：；．
7．（23-24八年级下·山西朔州·阶段检测）分式与的最简公分母是______________．
【答案】
【知识点】最简公分母
【分析】本题考查了最简公分母，通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母，由此即可得出答案，熟练掌握最简公分母的定义是解此题的关键．
【详解】解：分式与的最简公分母是，
故答案为：．
8．（23-24八年级上·吉林·阶段检测）若是偶数，代数式的值是整数，则可以取的所有数值之和为________．
【答案】
【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值
【分析】本题考查了分式的值，正确理解题意是解答本题的关键．根据分式的值为整数，的值为偶数，可得或，求出的值，即可求出结果．
【详解】解：分式的值为整数，的值为偶数，
或，
或或或，
可以取的所有数值之和为，
故答案为：．
9．（25-26八年级上·广西来宾·期中）写出一个使分式有意义的的值，可以是___________．
【答案】2（答案不唯一）
【知识点】分式有意义的条件
【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是分式的分母不能为零是解题的关键．
先根据分式有意义的条件确定x的取值范围，进而完成解答．
【详解】解：要使分式有意义，则分母，解得，
所以的值可以是 2（答案不唯一）．
故答案为：2（答案不唯一）．
10．（24-25八年级上·河南驻马店·期末）若使分式有意义，x应满足的条件是：_________．
【答案】
【知识点】分式有意义的条件
【分析】本题考查分式有意义的条件：分母不能为零．根据分式有意义的条件列不等式求解．
【详解】解：由题意可得：，
解得：，
故答案为：．
11．（25-26八年级上·四川南充·周测）若分式有意义，则的取值范围是______．
【答案】
且 且
【知识点】分式除法、分式有意义的条件
【分析】本题考查分式有意义的条件，熟练掌握分母不为0时，分式有意义是解题关键；
找出分式中的分母以及除数部分，然后当其不为0时，即可求解．
【详解】解：原式中作分母，作除数，
∴要使原分式有意义，故 ，，，
∴ ，，，
∴ 且 且 ，
故答案为： 且 且 ．
12．（23-24八年级下·广东广州·期中）已知，．先化简再求代数式的值．
【答案】，4
【知识点】同分母分式加减法
【分析】此题考查了分母分式的加法，
首先利用同分母分式的加法法则求解，然后将，代入求解即可．
【详解】∵，
∴
．
【考点2】分式运算与化简（第13-21题）
· 异分母先通分，乘除先约分
· 混合运算注意运算顺序
· 化简求值先化简再代入
13．（2024·天津西青·一模）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】异分母分式加减法
【分析】本题考查了异分母分式的相加减，将原式通分，相减后再约分即可得出结果．
【详解】解：
．
故选：D．
14．（24-25八年级上·全国·期末）已知，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分式化简求值
【分析】本题主要考查了分式的求值．根据，然后整体代值计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
故选：A．
15．（25-26九年级下·黑龙江绥化·期中）化简：=___________．
【答案】
【知识点】异分母分式加减法、约分、分式化简求值、分式加减乘除混合运算
【分析】 本题为分式化简，先通分合并括号内的整式与分式，再将除法转化为乘法，约分后得到最简形式．
【详解】解：原式 ，
，
，
，
，
，
，
．
16．（25-26九年级上·黑龙江绥化·阶段检测）化简：__________．
【答案】
【知识点】分式加减乘除混合运算
【分析】本题考查分式的运算，首先将分母因式分解，然后约去公因式，再通分计算．
【详解】原式 =
=
=
=
=
= ．
故答案为： ．
17．（25-26八年级上·黑龙江伊春·期末）若，则的值为______．
【答案】/0.2
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、通过对完全平方公式变形求值、分式的求值
【分析】本题考查分式的运算，完全平方公式．由，利用完全平方公式求出的值，再求出，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，即，
∴
∵，
∴．
故答案为：．
18．（25-26八年级上·重庆江津·期中）如果一个四位自然数M的千位数字a与个位数字d的和恰好是M的百位数字b与十位数字c的和的2倍，则称这个M为“好数”．
（1）最小的“好数”M为________；
（2）若记，且能被6整除，则M的最大值为________．
【答案】
【知识点】整式的加减运算、新定义下的实数运算、分式的求值
【分析】本题考查了数字类规律、分式的运算等知识，读懂题意是解题的关键．
（1）根据新定义依次确定出各个数位上的数字即可得答案；
（2）根据新定义先确定出千位上的数字．再根据题意验证其他数位上的数字，可求得答案．
【详解】解：（1）M为最小的“好数”，
千位数字a最小取1，百位b最小，取0．
设十位c最小也取0，
此时不符题意，
当时，．
，
最小的“好数”M为．
（2）能被6整除，
是6的倍数．
M的值为最大，
千位数字a最大取9．
依题意得，
的和为偶数，．
可能为9，7，5，3，1．
当个位d最大也取9，
则，不是6的倍数，
故d不是9；
当个位d取7时，
，是6的倍数，
故d可是7．
能被6整除，则为4的正约数，可取1, 2, 4，对应可取0, 1, 3.
为使最大，应取；
．
则M的最大值为．
故答案为∶ ，．
19．（2025·陕西·模拟预测）先化简，再从中选择一个合适的数作为的值代入求值．
【答案】，时，原式
【知识点】分式化简求值、分式有意义的条件
【分析】本题考查了分式的化简求值、分式有意义的条件，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．先计算括号内的分式减法，再计算分式的除法，然后根据分式有意义的条件选择代入计算即可得．
【详解】解：原式
．
∵，即，
∴选择代入得：原式．
20．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）先化简，再求代数式的值，其中．
【答案】，
【知识点】运用平方差公式进行运算、分式化简求值
【分析】本题考查了分式的化简求值，平方差公式．熟练掌握先计算括号里的，然后进行除法运算是解题的关键．
先计算括号里的，然后进行除法运算可得化简结果，最后代值求解即可．
【详解】解：
，
将代入，原式．
21．（24-25八年级下·河南洛阳·期末）计算化简
(1)计算：
(2)化简：
【答案】(1)
(2)
【知识点】实数的混合运算、求一个数的立方根、分式加减乘除混合运算、零指数幂
【分析】本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算．也考查了实数的运算，涉及立方根，零指数幂，绝对值．
（1）根据立方根的定义、零指数幂和绝对值的意义计算，然后进行有理数的加减运算；
（2）先把括号内通分，再进行同分母的减法运算，然后把除法运算化为乘法运算后约分即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【考点3】分式方程（第22-37题）
· 去分母要乘每一项
· 解后必须检验增根
· 含参问题讨论增根与无解
22．（24-25八年级上·河北保定·期末）若关于的方程的解为正数，则的取值范围是（ ）
A．且 B．
C． D．且
【答案】A
【知识点】根据分式方程解的情况求值、解分式方程（化为一元一次）
【分析】本题考查分式方程，解题的关键是掌握分式方程的求解方法，先对分式方程去分母，再根据题意进行计算，即可得到答案．
【详解】解：分式方程去分母得：，即，
解得：，
根据题意得：，且，
解得：，且．
故选：A．
23．（25-26八年级下·河南周口·期中）若关于x的分式方程 无解，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【知识点】分式方程无解问题
【分析】分式方程无解的原因是整式方程的解为原分式方程的增根，增根使原方程分母为0，先确定增根，再代入整式方程求的值即可．
【详解】解：方程两边同乘去分母得
展开化简得
∵ 原分式方程无解
∴ 原方程分母为0，即整式方程的解为增根
把代入得
解得．
24．（23-24八年级上·河北保定·期末）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为；把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍．根据题意列方程为，其中x表示（ ）
A．快马的速度 B．慢马的速度 C．规定的时间 D．以上都不对
【答案】C
【知识点】分式方程的行程问题
【分析】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意和方程中式子的意义．
根据是表示快马的速度是慢马的2倍，则是表示慢马的速度，是表示快马的速度，所以是表示慢马的时间，是表示慢马的时间，即可求解．
【详解】解：设规定时间为x天，则快马所需的时间为天，慢马所需的时间为天，由题意得：，
∴x表示规定的时间．
故选：C．
25．（25-26八年级上·山东德州·阶段检测）若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是（ ）
A． B．且 C．且 D．
【答案】B
【知识点】根据分式方程解的情况求值
【分析】先解分式方程得到含的的表达式，再根据解为正数、分式方程分母不为0列不等式，求解得到的取值范围．
【详解】解：原方程为
方程两边同乘，得
，
整理得，
解得，
方程的解为正数，
，即，解得，
又分式方程有意义，分母不能为0，
，即，解得，
的取值范围是且．
26．（25-26八年级上·河北唐山·期中）现用甲、乙两种型号机器人搬运物资，甲型机器人比乙型机器人每小时多搬运物资，甲型机器人搬运物资所用时间与乙型机器人搬运物资所用时间相等．问乙型机器人每小时搬运多少千克物资？两个人分别列方程如下：
嘉嘉：设甲型机器人搬运物资用时小时，可列方程为．
琪琪：设乙型机器人每小时搬运物资，可列方程为．
下列判断正确的是（ ）
A．嘉嘉对，琪琪错 B．嘉嘉错，琪琪对
C．嘉嘉、琪琪都对 D．嘉嘉、琪琪都错
【答案】A
【知识点】列分式方程、分式方程的工程问题
【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．嘉嘉设时间为变量，方程正确；琪琪设乙的速度为变量，但方程中甲的速度表示错误，应为乙的速度加，而非减．
【详解】解：∵甲型机器人比乙型每小时多搬运，且甲搬时间等于乙搬时间．嘉嘉设甲搬用时小时，则甲速度为，乙速度为，由速度差得方程：，化简为，解得，验证：甲速度，乙速度，差，符合题意，∴嘉嘉正确．
琪琪设乙每小时搬运，则甲速度应为，但琪琪列方程为，其中甲速度误为，解该方程得，不合理，∴琪琪错误．
故嘉嘉对、琪琪错．
故选：A．
27．（23-24八年级上·江苏南通·阶段检测）若且a、b为正整数，当分式方程的解为整数时，所有符合条件的b的值和为（ ）
A．277 B．240 C．272 D．256
【答案】C
【知识点】根据分式方程解的情况求值
【分析】此题考查了分式方程的解的含义，正确的计算与检验是解本题的关键．把代入方程，再解方程可得，且，；，再分类讨论即可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴，
两边都乘以，得
，
解得，且，；，
∴且，
解得：，，
∵正整数使关于的分式方程的解为整数，
∴，
∴或15或39或65或195，
即或5或29或55或185，
其中不符合题意，
∴，
故选C．
28．（23-24八年级上·重庆渝北·期末）若数a使得关于x的分式方程有正数解，且使得关于y的不等式组有解，那么符合条件的所有整数a的和为______．
【答案】4
【知识点】根据分式方程解的情况求值、由不等式组解集的情况求参数
【分析】主要考查了解一元一次不等式组、解分式方程，根据分式方程的解为正数解，求出且，根据关于y的不等式组有解，得出，从而可得符合题意的整数的值有，，即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：解分式方程得：，
分式方程的解为正数解，
且，
解不等式组得，
关于y的不等式组有解，
，
解得：，
符合题意的整数的值有，，
符合条件的所有整数的和为，
故答案为：．
29．（湖北省襄阳华侨城实验学校2023-2024学年九年级8班上学期数学周测（18）??）若实数m使关于x的分式方程有正整数解，且使关于y的一元一次不等式组有且只有4个整数解，则符合条件的所有整数的和为________．
【答案】10
【知识点】求一元一次不等式组的整数解、根据分式方程解的情况求值、由不等式组解集的情况求参数
【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法、分式方程的解法等知识点，根据仅有4个整数解，求出m的范围；解分式方程，根据m的范围，确定符合条件的m值即可．
【详解】解：
解得：
仅有4个整数解，
，
，
解得：
方程有正整数解，
，且是2的倍数，
，
，
，
满足条件的整数m为：
和为．
故答案为：10．
30．（2025·四川成都·模拟预测）当_____时，分式的值为．
【答案】0
【知识点】解分式方程（化为一元一次）
【分析】本题考查了解分式方程，根据题意得，求解并检验即可，掌握解分式方程的方法是解题的关键．
【详解】解：根据题意得：，
∴，
解得：，
检验：把代入得：，
∴分式方程的解为：，
故答案为：0．
31．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）小丽和小颖相约周末到影院看电影，她们的家分别距离影院和．两人各自从家中同时出发，已知小丽和小颖的速度之比是，结果小丽比小颖晚到达影院，则小丽的速度是________．
【答案】
【知识点】分式方程的行程问题
【分析】本题利用路程、速度、时间的关系，根据已知速度比设未知数，由小丽比小颖晚到达得到时间差的等量关系，列分式方程求解即可，找到正确的等量关系是解题关键．
【详解】解：设小丽的速度为，则小颖的速度为
根据题意得：
解得
经检验是原分式方程的解，符合题意
则小丽的速度为
32．（24-25八年级下·四川成都·阶段检测）使得关于的不等式组有解，且使分式方程有非负整数解的所有的整数的和是______.
【答案】
【知识点】求一元一次不等式组的整数解、解分式方程（化为一元一次）、求不等式组的解集
【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，分式方程的解法及非负整数，根据不等式组有解可解得的取值范围，再根据分式方程有非负整数解，得是非负整数，，据此分类讨论解题，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：，
解不等式得，
解不等式得，
即
∵关于的不等式组有解，
∴，
∴，
，
∵分式方程有非负整数解，，
∴是非负整数，，
∵，
∴或，
∴非负整数解的所有的整数的和为，
故答案为：．
33．（2024·重庆渝北·二模）若关于x的不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是______．
【答案】
【知识点】根据分式方程解的情况求值、由一元一次不等式组的解集求参数
【分析】本题主要考查分式方程的解、一元一次不等式组的解集等知识点，熟练掌握一元一次不等式组和分式方程的解法以及分式方程的增根情况是解题的关键．解不等式组再结合解集为可得，解分式方程可得且，据此求得整数a的值即可解题．
【详解】解：，
解①得：，
，
，
解②得：，
关于x的不等式组的解集为，
，
解得，
，
，
整理得，
关于y的分式方程的解为非负整数，且a为整数，
，且a的取值为、3、和，
所有满足条件的整数a的值之和是．
故答案为：6．
34．（24-25八年级上·山东烟台·期中）若关于的分式方程无解，则的值为______．
【答案】或
【知识点】分式方程无解问题
【分析】本题主要考查了分式方程无解的问题，熟知分式方程无解的两种情形是解题的关键．分式方程无解分两种情况，一是化为整式方程，该整式方程无解，二是方程有增根，据此分两种情况求解即可．
【详解】解：方程两边都乘，得，，
即，
当时，这个方程无解，此时，
关于的分式方程有增根，
或，即或，
当时，代入，得，此方程无解，
当时，代入，得，解得，
综上所述，的值是或，
答案为：或．
35．（25-26八年级上·安徽铜陵·期末）某班学生周末乘汽车到游览区游览，游览区距学校．一部分学生乘慢车先行，出发后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达游览区．已知快车的速度是慢车速度的1.5倍，求慢车的速度？设慢车的速度为，则可列方程为____________
【答案】
【知识点】列分式方程
【分析】设慢车速度为，则快车速度为，根据“慢车行驶全程的时间 - 快车行驶全程的时间 = 慢车先行的时间”这一等量关系列方程．
【详解】解：设慢车的速度为，则快车的速度为.
∴慢车行驶全程的时间为，快车行驶全程的时间为.
由此可列方程：
36．（25-26九年级上·黑龙江绥化·期末）关于的方程的解为正数，则的取值范围为______．
【答案】且
【知识点】根据分式方程解的情况求值、求一元一次不等式的解集
【分析】本题主要考查了根据分式方程的解的情况求参数，先解分式方程，得到，再根据解为正数且方程不能有增根，列式求解即可．
【详解】解：
去分母得，
去括号得，
移项，合并同类项得，
∵关于的方程的解为正数，
∴，
∴；
又∵原方程不能有增根，
∴，
∴，
∴，
综上所述，且，
故答案为：且．
37．（25-26八年级上·吉林长春·期末）“激情全运会，活力大湾区．”第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕．本届运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”深受大家喜爱．在某文创商店，每件“喜洋洋”的价格比“乐融融”多30元，用880元购买“喜洋洋”吉祥物的数量是用290元购买“乐融融”吉祥物数量的2倍，求“喜洋洋”和“乐融融”两种吉祥物的单价．
【答案】购买一个“喜洋洋”的单价为88元，购买一个“乐融融”的单价为58元
【知识点】解分式方程（化为一元一次）、分式方程的经济问题
【分析】本题考查分式解应用题，读懂题意，找准等量关系列出分式方程求解是解决问题的关键．
设购买一个“乐融融”的单价为元，则购买一个“喜洋洋”的单价为元．由用880元购买“喜洋洋”吉祥物的数量是，用290元购买“乐融融”吉祥物数量是，然后根据题意列出分式方程，求解后验根即可得到答案．
【详解】解：设购买一个“乐融融”的单价为元，则购买一个“喜洋洋”的单价为元．
根据题意得，
解得．
经检验，是原方程的解，且符合题意．
（元），
答：购买一个“喜洋洋”的单价为88元，购买一个“乐融融”的单价为58元．
【考点4】幂运算与科学记数法（第38-52题）
· 负指数先取倒数
· 零指数底数非0
· 科学记数法还原注意小数位
38．（23-24八年级上·江西宜春·期末）下列计算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂相乘、同底数幂的除法运算、合并同类项、幂的乘方运算
【分析】本题考查幂的运算，合并同类项，根据相关运算法则，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、，选项错误；
B、不是同类项，不能合并，选项错误；
C、，选项正确；
D、，选项错误；
故选C．
39．（25-26八年级下·福建泉州·期末）“主频”是指的时钟频率，它的高低在很大程度上反映了速度的快慢．某款的主频是，意味着它执行一个基本动作的时间大约是秒．将数据用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数
【详解】解：．
40．（25-26八年级上·江西赣州·期末）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂相乘、积的乘方运算、同底数幂的除法运算、合并同类项
【分析】本题考查整式的运算，需根据同类项合并法则、同底数幂的乘除法法则、积的乘方法则逐一判断选项的正误．
【详解】解：A、不是同类项，不能合并，原计算错误，不符合题意；
B、，原计算错误，不符合题意；
C、，原计算错误，不符合题意；
D、，原计算正确，符合题意；
故选D．
41．（24-25八年级上·云南红河·期末）细胞是一切生物体结构和功能的基本单位，细胞的结构主要有细胞膜、细胞质和细胞核三个部分，在电子显微镜下观察细胞，可以区分为膜相结构和非膜相结构，细胞膜是细胞表面的一层薄膜，它的厚度大约是纳米（即米）．将用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数
【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．科学记数法表示时关键要正确确定的值以及的值．
【详解】解：根据科学记数法要求的小数点从原位置移动到7后面，动了有9位，从而用科学记数法表示为，
故选：B．
42．（2026·河南南阳·模拟预测）芯片是承载集成电路的硅片，是电子设备的核心，负责运算、存储与控制指令．某芯片的电路宽度约为，则数据用小数表示为（ ）
A． B．0.000008 C． D．0.0000008
【答案】D
【知识点】还原用科学记数法表示的小数
【详解】解：∵，
∴，
故选：D．
43．（23-24七年级下·广东深圳·期中）杭州亚运会主火炬以零碳甲醇作为燃料，在亚运史上首次实现废碳再生、循环内零碳排放．甲醇的密度很小，甲醇的质量约为，将用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数
【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
【详解】解：，
故选：C．
44．（24-25九年级下·吉林松原·期中）下列运算中，正确的有（ ）
①．②．③．④．
A．①③ B．②④ C．①② D．③④
【答案】A
【知识点】同底数幂相乘、积的乘方运算、同底数幂的除法运算、幂的乘方运算
【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键．
根据同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法法则逐项判断即可．
【详解】解：①，故①正确，符合题意；
②，故②错误，不符合题意；
③，故③正确，符合题意；
④，故④错误，不符合题意．
综上，正确的运算为①和③．
故选 A．
45．（25-26六年级下·山东威海·期末）已知与的和是单项式，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】已知同类项求指数中字母或代数式的值、代入消元法、负整数指数幂
【分析】根据同类项定义“相同字母的指数相等”列方程组求解和，再计算即可．
【详解】解：∵与的和是单项式，
∴，
解得，
∴．
46．（23-24九年级下·江苏南京·期中）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的除法运算、合并同类项、幂的乘方运算
【分析】本题考查了运用合并同类项、同底数幂除法、幂的乘方等知识点，灵活运用相关运算法则是解题的关键．
运用合并同类项、同底数幂除法、幂的乘方逐项判断即可．
【详解】解：A. ，故选项A错误，不符合题意；
B. ，故选项B正确，符合题意；
C. 与不是同类项，不能合并，故选项C错误，不符合题意；
D. ，故选项D错误，不符合题意．
故选：B．
47．（23-24九年级上·重庆·阶段检测）计算：______．
【答案】/
【知识点】二次根式的乘法、零指数幂
【分析】此题考查了二次根式的乘法和零指数幂，根据二次根式的乘法和零指数幂运算法则求解即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
48．（24-25七年级下·山东青岛·期末）计算：_____．
【答案】
【知识点】负整数指数幂、零指数幂
【分析】本题考查了含负整数指数幂和零指数幂的运算，熟练掌握知识点是解题的关键．
分别计算负整数指数幂和零指数幂，再进行加法计算即可．
【详解】解：，
故答案为：．
49．（24-25七年级下·江苏南京·阶段检测）嫦娥六号探测器在近月轨道时飞行大约需要，数据用科学记数法表示为__________．
【答案】
【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：，
故答案为：．
50．（23-24七年级下·浙江金华·阶段检测）若，，则__________________．
【答案】/0.25
【知识点】同底数幂除法的逆用
【分析】本题考查同底数幂的除法的逆运算，，根据同底数幂的除法逆用可直接进行求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
51．（数学（河南卷）-学易金卷：2025年中考第三次模拟考试）计算：_______．
【答案】3
【知识点】实数的混合运算、负整数指数幂、零指数幂
【分析】本题考查实数的混合运算，掌握负指数幂，零次幂的计算是关键．
先计算负整数次幂和零次幂，再进行加减运算．
【详解】解：
，
故答案为：3．
52．（2023·重庆渝北·一模）计算：=______．
【答案】
【知识点】实数的混合运算、求一个数的立方根、零指数幂
【分析】本题考查实数的运算．根据立方根的运算及非零数的零指数幂为1即可．
【详解】
．
故答案为：．
📊 课后巩固
🍬 复习建议
· 分式概念题紧扣分母含字母这一关键，判断有意义与值为0的条件
· 约分通分多练，通分时最简公分母要取全
· 分式混合运算分步书写，先乘除后加减，结果化为最简
· 分式方程解后必检验，实际应用题还要检验是否符合题意
· 幂运算注意符号与法则，混合运算按顺序计算
【作业1】（25-26八年级上·重庆·期中）计算：______．
【答案】
【知识点】求一个数的立方根、零指数幂
【分析】本题考查了零指数幂和立方根．先化简零指数幂，立方根，再运算减法，即可作答．
【详解】解：，
故答案为：．
【作业2】（23-24八年级上·湖北武汉·期末）我国的泉州湾跨海大桥是世界首座跨海高铁大桥，其创新采用的“石墨烯重防腐涂装体系”，将实现30年超长防腐寿命的突破．石墨烯作为本世纪发现的最具颠覆性的新材料之一，其理论厚度仅有，请将用科学记数法表为_____．
【答案】
【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数
【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：．
故答案为：．
【作业3】（24-25八年级上·河南信阳·阶段检测）（1）计算：；
（2）分解因式：．
【答案】（1）；（2）
【知识点】有理数的加减混合运算、综合提公因式和公式法分解因式、负整数指数幂、零指数幂
【分析】本题考查有理数的加减、零指数幂、负整数指数幂、因式分解等知识，熟练掌握相关运算法则是解答的关键．
（1）先根据零指数幂、负整数指数幂、绝对值运算，再加减运算求解即可；
（2）先提出公因式a，再利用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
．
【作业4】（22-23七年级下·浙江温州·期中）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)11
(2)
【知识点】计算多项式乘多项式、负整数指数幂、零指数幂
【分析】本题考查了负整数指数幂以及零指数幂，多项式乘以多项式，熟练掌握以上运算法则是解题的关键．
（1）根据乘方，负整数指数幂以及零指数幂进行计算即可求解；
（2）根据多项式乘以多项式进行计算，然后合并同类项即可求解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【作业5】（24-25九年级上·全国·阶段检测）计算：．
【答案】6
【知识点】实数的混合运算、负整数指数幂、零指数幂
【分析】本题考查了实数的混合运算，零指数幂和负整数指数幂的意义，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．先算负整数指数幂、零指数幂，乘方和开方，再算加减．
【详解】解：原式
．
【作业6】（24-25八年级下·江苏扬州·期末）中华优秀传统文化源远流长，是中华文明的智慧结晶《孙子算经》、《周髀算经》是我国古代较为普及的算书，书中许多问题浅显有趣．某书店的《孙子算经》单价是《周髀算经》单价的倍，用元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》少买本．求《周髀算经》的单价为多少元？
【答案】《周髀算经》单价为元
【知识点】分式方程的经济问题
【分析】本题考查了分式方程的应用，正确找到等量关系列出方程是解题的关键．设《周髀算经》单价为元，则《孙子算经》单价为元，根据题意列出分式方程，解方程，最后检验，即可求解．
【详解】解：设《周髀算经》单价为元，则《孙子算经》单价为元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：《周髀算经》单价为元．
【作业7】（24-25八年级下·河南开封·期中）计算下列各题
(1)
(2)
【答案】(1)1
(2)
【知识点】二次根式的混合运算、负整数指数幂、零指数幂
【分析】本题考查了二次根式的混合运算、零指数幂、负整数指数幂，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）利用二次根式的性质化简，再合并即可；
（2）利用二次根式运算、零指数幂、负整数指数幂的法则计算，再合并即可；
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【作业8】（23-24八年级下·贵州毕节·期末）（1）解分式方程：；
（2）若，，且，求的取值范围．
【答案】（1）无解；（2）
【知识点】解分式方程（化为一元一次）、求一元一次不等式的解集
【分析】本题主要考查了解分式方程，解一元一次不等式．
（1）按照解分式方程的步骤解分式方程即可．
（2）根据，代入A，B，得出关于x的一元一次不等式，解一元一次不等式即可求解．
【详解】解：（1）方程两边都乘，得．
解这个方程，得．
检验：当时，，
所以是原方程的增根．
∴原分式方程无解．
（2），
即，
解得．
【作业9】（23-24八年级下·江苏扬州·阶段检测）解分式方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)原方程无解
【知识点】解分式方程（化为一元一次）
【分析】本题考查了解分式方程，
（1）先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得；
（2）先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得．
【详解】（1）
去分母得，
解得
检验：将代入
∴原方程的解为；
（2）
去分母得，
解得
检验：将代入
∴是方程的增根，
∴原方程无解．
【作业10】（25-26八年级上·山东德州·期末）（1）因式分解：；
（2）解分式方程：．
【答案】（）；
（）．
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、提公因式法分解因式、解分式方程（化为一元一次）
【分析】本题考查解分式方程，因式分解，熟练掌握解方程及因式分解的方法是解题的关键．
()提公因式后利用平方差公式因式分解即可；
()利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可．
【详解】（）解：
；
（）解：．
去分母，得，
整理，得，
解得，
检验：当时，，
所以是分式方程的根．
【作业11】（25-26八年级下·四川成都·期中）按要求完成各题
(1)分解因式：
(2)解不等式组：
(3)解方程：．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、解分式方程（化为一元一次）、求不等式组的解集
【分析】（1）本题考查因式分解．先利用完全平方公式分解，再利用平方差公式继续分解到不能再分解即可．
（2）本题考查一元一次不等式组的解法．先分别解出两个一元一次不等式的解集，再取两个解集的公共部分，即可得到不等式组的解集．
（3）本题考查分式方程的解法．先将分式方程去分母转化为整式方程，解整式方程后检验分母是否不为零，即可得到原方程的解．
【详解】（1）解：
（2）解：
解不等式①∶
移项得
合并同类项得
系数化为1得
解不等式②∶两边同乘2得
移项得
合并同类项得
系数化为1得
所以原不等式组的解集为．
（3）解：原方程为
因式分解分母得
方程两边同乘得∶
整理得
移项合并同类项得
解得
检验∶当时，
所以原分式方程的解为．
【作业12】（23-24七年级下·广东深圳·期中）计算或化简
(1)
(2)
(3)
(4)简便运算：．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)1
【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算、负整数指数幂、零指数幂
【分析】本题主要考查了平方差公式和完全平方公式，幂的混合计算，零指数幂，负整数指数幂：
（1）先计算零指数幂，负整数指数幂和乘方，再计算加减法即可得到答案；
（2）先计算幂的乘方和积的乘方，再计算同底数幂除法，最后合并同类项即可得到答案；
（3）根据平方差公式和完全平方公式计算即可得到答案；
（4）先把原式变形为，再利用平方差公式求解即可得到答案．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
【作业13】（24-25七年级下·广西梧州·期末）解不等式和分式方程：
(1)解不等式：；
(2)解分式方程：．
【答案】(1)
(2)
【知识点】解分式方程（化为一元一次）、求一元一次不等式的解集
【分析】本题考查解一元一次不等式，解分式方程，熟练掌握解不等式和分式方程的步骤，是解题的关键：
（1）去分母，去括号，移项，合并，系数化1，进行求解即可；
（2）去分母，将方程化为整式方程，求解后，进行检验即可．
【详解】（1）解：去分母，得：，
去括号，得：，
移项，合并，得：，
系数化1，得：；
（2）解：去分母，得：，
解得：；
经检验，是原方程的解．
∴原方程的解为．
【作业14】（25-26八年级下·山西临汾·阶段检测）综合与探究
如何设计奖品购买及兑换方案？
素材1
某文具店销售某种钢笔与笔记本，已知钢笔的单价是笔记本的2倍，用120元购买笔记本的数量比用160元购买钢笔的数量多8件．
素材2
某学校花费550元购买该文具店的钢笔和笔记本作为奖品颁发给“优秀学生”，两种奖品的购买数量共70件．
素材3
学校花费550元后，文具店赠送张兑换券（如图）用于商品兑换．兑换后，笔记本与钢笔的数量相同．
根据以上素材，解决下列问题．
(1)求钢笔与笔记本的单价．
(2)求购买钢笔和笔记本数量的方案．
(3)若兑换所得的笔记本和钢笔的总价不超过550元，则符合条件的兑换券是多少张？兑换方式是怎样的？
【答案】(1)笔记本的单价为5元，钢笔的单价为10元
(2)购买钢笔的数量为40支，笔记本数量为30本
(3)文具店赠送2张或5张兑换券，①1张兑换券兑换钢笔，1张兑换券兑换笔记本；②3张兑换券兑换钢笔，2张兑换券兑换笔记本
【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、分式方程的经济问题
【分析】（1）设笔记本的单价为元，则钢笔的单价为元，根据题意列出分式方程，解方程即可得出结果；
（2）设购买钢笔的数量为支，笔记本的数量为本，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得出结果；
（3）当购买钢笔的数量为40支，笔记本数量为30本时，设有张兑换券兑换钢笔，则有张兑换券兑换笔记本．根据题意得，整理得，求出．结合，均为正整数，且为偶数（2的倍数），计算即可得出结果．
【详解】（1）解：设笔记本的单价为元，则钢笔的单价为元．
根据题意，得，
解得．
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
∴．
答：笔记本的单价为5元，钢笔的单价为10元．
（2）解：设购买钢笔的数量为支，笔记本的数量为本．
根据题意，得，
解得，
答：购买钢笔的数量为40支，笔记本数量为30本．
（3）解：当购买钢笔的数量为40支，笔记本数量为30本时，设有张兑换券兑换钢笔，则有张兑换券兑换笔记本．
根据题意，得，
整理，得．
∵，
∴，
∴．
∵，均为正整数，且为偶数（2的倍数），
∴可取1，3，5，
当时，，则，成立；
当时，，则，成立；
当时，，则，成立．
根据题意可知，当时，兑换所得的笔记本和钢笔的总价为800元，不合题意，
∴文具店赠送2张或5张兑换券，
兑换方式：①1张兑换券兑换钢笔，1张兑换券兑换笔记本；②3张兑换券兑换钢笔，2张兑换券兑换笔记本．
【作业15】（24-25八年级上·山东德州·期末）【项目式学习】根据以下素材，探索完成任务．
【素材1】在入夏之际，我县某奶茶品牌店推出两款爆款水果茶“满杯杨梅”和“芝士杨梅”．每杯“芝士杨梅”的售价比“满杯杨梅”贵2元，购买1杯“芝士杨梅”和2杯“满杯杨梅”共需53元．
【素材2】某天销售“芝士杨梅”共获利润400元，“满杯杨梅”共获利润480元，其中每杯“芝士杨梅”和每杯“满杯杨梅”的利润比为，“满杯杨梅”比“芝士杨梅”多卖20杯．
【问题解决】
任务1：每杯“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的售价是多少？
任务2：每杯“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的利润是多少？
【答案】任务1：每杯“满杯杨梅”的售价是17元，每杯“芝士杨梅”的售价是19元；任务2：每杯“满杯杨梅”的利润是8元，每杯“芝士杨梅”的利润是10元
【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)、分式方程的经济问题
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用．
任务1：设每杯“满杯杨梅”的售价是x元，则每杯“芝士杨梅”的售价是元，依题意得，，计算求解，然后作答即可；
任务2：设每杯“满杯杨梅”的利润是元，则每杯“芝士杨梅”的利润是元，根据“满杯杨梅”比“芝士杨梅”多卖20杯，列出分式方程，然后计算求解即可．
【详解】解：任务1：设每杯“满杯杨梅”的售价是x元，则每杯“芝士杨梅”的售价是元，
依题意得，，
解得：，
，
答：每杯“满杯杨梅”的售价是17元，每杯“芝士杨梅”的售价是19元；
任务2：设每杯“满杯杨梅”的利润是元，则每杯“芝士杨梅”的利润是元，
由题意得：，
解得：，
经检验：是原方程的解，
（元）
（元），
答：每杯“满杯杨梅”的利润是8元，每杯“芝士杨梅”的利润是10元．
【作业16】（24-25七年级下·浙江宁波·期末）解方程（组）：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【知识点】代入消元法、解分式方程（化为一元一次）
【分析】本题考查了解分式方程，解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解题关键．
（1）利用代入消元法解二元一次方程组，即可求解；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】（1）解：，
由②可得，，
将③代入①得，，
解得：，
把代入③得，
∴原方程组的解为；
（2）解：
去分母得：，
解得：，
经检验，是分式方程的解．
【作业17】（24-25七年级下·江苏盐城·阶段检测）计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)4
(2)
(3)
(4)
【知识点】计算单项式乘多项式及求值、运用平方差公式进行运算、负整数指数幂、零指数幂
【分析】本题考查整式的运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键：
（1）去绝对值，进行零指数幂和负整数指数幂的运算，再进行加减运算即可；
（2）利用平方差公式进行计算即可；
（3）利用单项式乘以多项式的法则进行计算即可；
（4）利用平方差公式和单项式乘以多项式的法则，进行计算即可．
【详解】（1）解：原式；
（2）原式；
（3）原式；
（4）原式．
【作业18】（2023九年级上·上海·竞赛）解方程组．
【答案】
【知识点】解分式方程（化为一元一次）
【分析】此题考查了解分式方程组．假设，得到，，，则，，解得：，即可求出方程组的解．
【详解】解：假设，
两边同乘以得到，
，
整理得到①，
同理得到，②，③，
则原方程组可以化为：
①＋②＋③得到：④，
④－①得到，，
④－②得到，，
④－③得到，，
，即可得到，
，即可得到，
代入方程得出：，
解得：，
则，，
经检验，它们都是方程组的解．
原方程组的解为：．
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