期中综合复习·满分压轴讲义（第1～3章）（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年湘教版八年级数学上册

期中综合复习·满分压轴讲义（第1~3章） （知识梳理+典例+练习）·2026年湘教版八年级数学上册 参考答案与试题解析 🍔 思维导图 🍟 课程目标 · 掌握分式的加减乘除混合运算与化简求值，能灵活运用分式基本性质进行变形 · 掌握二次根式的性质与混合运算，能正确进行化简、比较与分母有理化 · 掌握因式分解的常用方法，能熟练运用提公因式与公式法分解因式 · 掌握幂的运算法则及其逆用，能解决幂运算相关的综合问题 · 能将分式方程、不等式、方程组等知识综合运用，解决代数综合问题 🍗 知识梳理 ✅️ 1.分式运算与分式方程 分式的基本性质：分子与分母同乘（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变；据此进行约分与通分，结果化为最简分式 分式的运算：同分母分式相加减，分母不变、分子相加减；异分母分式先通分再加减；乘法先约分后相乘，除法变为乘法，注意运算顺序与符号 分式方程：去分母化为一元一次方程求解，解后必须检验，舍去使分母为零的增根 概念辨析例题：下列各式中，是分式的是（　　）A．　B．　C．　D．+1 答案：C 解析：分母中含有字母的式子叫作分式。、、+1 的分母均为常数，不是分式； 的分母含字母 x，是分式，故选C。 ✅️ 2.二次根式与实数 二次根式的性质：=|a|；=（a≥0，b≥0）；=（a≥0，b>0） 化简与运算：被开方数不含分母、不含能开得尽方的因数或因式，即为最简二次根式；合并同类二次根式时只合并系数、被开方数不变 分母有理化：利用平方差公式将分母中的根号化去，如 = 概念辨析例题：下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）A．　B．　C．　D． 答案：C 解析：最简二次根式须满足被开方数不含分母、不含能开得尽方的因数或因式。 含分母，=2，=|a|，均不符合； 满足条件，故选C。 ✅️ 3.因式分解与整式 提公因式法：各项系数的最大公因数与相同字母最低次幂的积作为公因式，如 ma+mb=m(a+b) 公式法：a2-b2=(a+b)(a-b)；a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2 十字相乘法：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)；分解因式必须分解到不能再分解为止 概念辨析例题：下列变形中，属于因式分解的是（　　）A．x(a-b)=ax-bx　B．x2-1=(x+1)(x-1)　C．(x+1)(x-1)=x2-1　D．x2-2x+1=x(x-2)+1 答案：B 解析：因式分解是把一个多项式化成几个整式的积的形式。A、C 属于整式乘法，D 的结果不是整式乘积，B 符合因式分解的定义，故选B。 ✅️ 4.幂运算与方程不等式综合 幂的运算：am·an=am+n，=am-n（a≠0），(am)n=amn，(ab)n=an bn；注意法则的逆用 分式方程与不等式：含参数的方程或不等式，根据解的情况（为正数、无解、整数解等）建立方程或不等式求参数 代数综合：将幂运算、因式分解、分式化简等知识综合运用，解决求值、比较大小、规律探索等问题 概念辨析例题：若 am=2，an=3，则 am+n 的值为（　　）A．5　B．6　C．　D． 答案：B 解析：由同底数幂的乘法法则的逆用，am+n=am·an=2×3=6，故选B。 🧀 知识总结表 核心概念 关键公式/法则 注意事项 分式 （b≠0） 分母不为零 二次根式 =|a|，= 被开方数≥0 因式分解 a2-b2=(a+b)(a-b) 分解要彻底 幂的运算 am·an=am+n 底数相同 📩 核心考点 【考点1】分式运算与分式方程（第1-11题） · 分式混合运算按“先乘除、后加减、有括号先算括号”的顺序，把除法变乘法并约分 · 分式化简求值先化为最简分式再代入求值，注意整体代入技巧 · 解分式方程必须检验增根；由解的情况求参数时转化为方程或不等式求解 1．设，则的整数部分等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】分式加减混合运算 【分析】此题主要考查了整数问题的综合应用．由于， 由此可以得到， 然后即可求出的整数部分． 【详解】解：当，3，…，2011， 因为， 所以， ， …， ， ． 于是有， 故的整数部分等于4． 故选：A． 2．已知a是实数，并且，则代数式的值是（    ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【答案】D 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、分式化简求值 【分析】本题考查了求代数式的值等知识．根据题意得到，，把所求代数式变形为再整体代入，化简即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ． 故选：D 3．若，则（   ） A．6 B．9 C．12 D．81 【答案】B 【知识点】含乘方的分式乘除混合运算、分式乘方 【分析】先计算分式的乘方，再把所给的等式利用分式的乘除混合运算法则化简，然后结合积的乘方运算法则即可求解． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， ∴． 4．对于正数，规定，例如：，，则的值为（    ） A．2025 B．2024 C． D． 【答案】D 【知识点】分式化简求值 【分析】本题考查分式的化简求值，正确找到规律是解题的关键．观察式子，发现规律，根据规律化简所求式子即可． 【详解】解：根据题意得， 则， ， 故选：D． 5．方程的解为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键，通过观察分母关系，将方程化简为整式方程求解，并验证分母不为零，即可得到答案． 【详解】解：， 原方程可化简为：， 去分母得：， 解得：， 检验：当时，， 则是原方程的解． 故选：C． 6．已知，，，，（n为正整数，且），则计算的结果为_____． 【答案】 【知识点】分式乘除混合运算、分式加减乘除混合运算、数字类规律探索 【分析】本题考查了分式的运算，找规律及周期问题，根据题意分别求出，，，的值，发现，说明该组数列是以周期3为循环，再根据题中得，说明该乘积有675个的乘积，将相乘得，此时原式为． 【详解】解：由题意知，前四项分别为，，，， ∴数列以周期3为循环， ∵周期为3，且， ∴该乘积可视为675组的乘积， ∴， ∴． 故答案为：． 7．甲杯子里盛有浓度的盐水，乙杯子里盛有浓度的盐水．第一次：从甲杯中倒出一部分盐水到乙杯，搅拌均匀；第二次：再从乙杯中倒回同样重量的盐水到甲杯．甲杯盐水浓度恰好为，则第一次从甲杯倒出了______千克盐水． 【答案】30 【知识点】分式方程的其它实际问题 【分析】设第一次从甲杯倒出了x千克盐水，由题意得，据此求解即可． 【详解】解：设第一次从甲杯倒出了x千克盐水， 第一次倒出后甲杯剩余千克盐水，溶质为千克， 乙杯加入x千克后，总质量为千克，溶质为千克， 此时乙杯浓度为：； 从乙杯倒回x千克盐水到甲杯，这部分盐水中的溶质为：， 此时甲杯的总溶质为：， 甲杯总质量回到40千克，且浓度为，所以总溶质也等于千克， 由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意． ∴第一次从甲杯倒出了30千克盐水． 8．观察下列各等式，并回答问题：，，，…（n是正整数）． (1)填空： ； (2)计算： ； (3)若与互为相反数，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】异分母分式加减法、分式化简求值、有理数四则混合运算、数字类规律探索 【分析】本题考查了分式的裂项，绝对值的性质及有理数的运算． （1）通过观察已知等式可发现规律：（n为正整数），当时即可得出答案； （2）根据上述观察到的规律，可得（n为正整数）； （3）先根据绝对值的性质求出a，b的值，再将a，b的值代入原式并裂项，最后化简计算原式的值即可． 【详解】（1）解：根据题中所给出的式子表示规律可得，． 故答案为：． （2）解：由（1）及题中式子表示规律可得：． 故答案为： （3）解：∵与互为相反数， ∴， ∴，，即，， ∴原式 ． 9．阅读：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，这样的分式就是真分式，我们知道，假分数可以化为带分数，例如：．类似地，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，例如：；． 请根据上述材料，解答下列问题： (1)填空：①分式是______分式（填“真”或“假”）． ②把下列假分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式：______ (2)把分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式，并求x取何整数时，这个分式的值为整数． (3)一个三位数m，个位数字是百位数字的两倍．另一个两位数n，十位数字与m的百位数字相同，个位数字与m的十位数字相同．若这个三位数的平方能被这个两位数整除，求满足条件的两位数n． 【答案】(1)①真，② (2)，当x为1，2，4，5时，分式的值为整数 (3)36 【知识点】分式的判断、求使分式值为整数时未知数的整数值、分式化简求值、整式加减的应用 【分析】本题考查了分式的分类，分式的变形与化简，整除问题及方程与不等式的应用． （1）①由分子的次数小于分母的次数可得分式是真分式； ②将式子根据题意进行化简即可； （2）先将式子化简为，根据题意可知2能被整除，从而得出x的值； （3）设m的百位数字为a，十位数字为b，则m的个位数字为，n的十位数字为a，个位数字为b，列出m和n的表达式，再根据题意列出的式子，由题意可得为整数，用列举法列出a的值验证符合b的值，随即求出满足条件的两位数n． 【详解】（1）解：①∵分子的次数小于分母的次数， ∴分式是真分式， 故答案为：真； ②原式， 故答案为：． （2）解：原式， ∵x为整数，要使这个分式的值为整数，即2能被整除， ∴或2或4或5． （3）解：设m的百位数字为a，十位数字为b，则m的个位数字为，n的十位数字为a，个位数字为b， ∴，， ∴ ， 由题意可得，，，且a，b均为整数， ∵这个三位数的平方能被这个两位数整除， ∴为整数，即为整数， 当时，，没有满足题意的b值， 当时，，没有满足题意的b值， 当时，，， 当时，，没有满足题意的b值， 综上所述，满足条件的两位数n为36． 10．定义：若分式A与分式B的差等于它们的积．即，则称分式B是分式A的“友好分式”．如与．因为，．所以是的“友好分式”． (1)填空：分式______分式的“友好分式”．（填“是”或“不是”） (2)已知分式是分式A的“友好分式”． ①求分式A的表达式； ②若整数x使得分式A的值是正整数，直接写出分式A的值； (3)若关于x的分式是关于x的分式的“友好分式”，求的最小值． 【答案】(1)是 (2)①；②A的值为1或3或4 (3) 【知识点】分式除法、异分母分式加减法、分式化简求值、分式加减乘除混合运算 【分析】（1）根据“友好分式”的定义进行判断即可； （2）①根据分式是分式A的“友好分式”，得出，利用分式混合运算法则求出A即可； ②根据整除的定义进行求解即可； （3）设关于的分式的“友好分式”为M，求出，根据关于的分式是关于的分式的“友好分式”，得出，求出，代入，求出分式的最小值即可． 【详解】（1）解：∵， ， ∴， ∴分式是分式的“友好分式”； 故答案为：是． （2）解：①∵分式是分式A的“友好分式”， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ ． ②∵， ∵整数x使得分式A的值是正整数， ∴，，2， 当时，， 当时，， 当时，， 综上分析可知：A的值为1或3或4． （3）解：设M是关于的分式的“友好分式”，则： ， ∴ ， ∵关于x的分式是关于x的分式的“友好分式”， ∴， 整理得：， 解得：， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴ 即的最小值为． 【点睛】本题主要考查了分式混合运算的应用，新定义运算，解方程组，代数式求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算． 11．已知：、、，求的值． 【答案】0 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查解分式方程，解题的关键是掌握分式的性质，将原方程进行变形． 通过取倒数将原方程变形为，，，解分式方程得出x，y，z的值，然后代入代数式计算即可． 【详解】解：由可知，即， 同理可得出，， 解三元一次方程组 解得： ∴ 【考点2】二次根式与实数（第12-24题） · 化简二次根式先看被开方数能否开得尽方，化到最简后再合并同类二次根式 · 分母有理化常乘以其有理化因式，利用平方差公式化简 · 比较二次根式大小可用平方法、作差法等，注意符号 12．a、b是两个任意实数，则下列不等式中不成立的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、利用二次根式的性质化简、通过对完全平方公式变形求值 【分析】对于A，通过，即可判断；对于B、通过，结合即可判断；对于C、通过，结合，分当时， 当时进行判断即可；对于D，取即可判断． 【详解】解：A、∵， ∴ ∵ ∴， ∴， ∴，故A不符合题意； B、， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故B不符合题意； C、 ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，则， 当时，则， ∵此时， ∴， 综上，， ∴， ∴，故C不符合题意； D、取，， 不满足，故D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了完全平方公式的变形，平方的非负性，化简绝对值，化简二次根式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 13．当时，代数式的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、运用完全平方公式进行运算、二次根式的混合运算 【分析】由的表达式推导二次恒等式，用降次法化简代数式后计算乘方． 【详解】解： ， ∴， 两边平方得， 展开得， 整理得， ∴， 将代入，得， ∴， ∴ 原式． 14．如果，那么的算术平方根是（    ） A．1 B． C．7 D． 【答案】A 【知识点】二次根式有意义的条件、分式有意义的条件、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查的是函数有意义条件，算术平方根，熟练掌握二次根式有意义条件，分式有意义条件，是解题的关键． 根据二次根式有意义条件得，，得，解得，根据分式有意义条件得，解得，求出，，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，，． ∴． ∴． 解得． ∴． ∴． ∴， ∴的算术平方根是． 故选：A． 15．已知，那么的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用二次根式的性质化简、比较二次根式的大小 【分析】本题主要考查了二次根式的比较大小，二次根式的分母有理化，解题的关键是掌握倒数法比较大小． 先对每个数的倒数进行分母有理化，再比较大小，根据倒数大的反而小，即可求解． 【详解】解：， ， ， ∴， ∴， 故选：A． 16．已知：，则的值为______． 【答案】 【知识点】二次根式有意义的条件、已知条件式，化简求值、二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、二次根式的混合运算、代数式求值等知识点，确定x、y的值是解题的关键． 先根据二次根式有意义的条件确定的值，再代入方程确定的值，然后代入代数式运用二次根式的运算法则计算即可． 【详解】解：∵， ∴且，解得． 将代入原方程，得， ∴． ∴ ． 故答案为：． 17．规律探究：设，，，…，则的值为_____． 【答案】 【知识点】数字类规律探索、二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查数字的变化规律和二次根式的化简求值，先根据已知规律求出的表达式，再将展开，利用裂项相消法计算即可． 【详解】解：∵， ， ， …， ∴ ∴， ∴ ． 故答案为：． 18．计算： ________． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算、积的乘方的逆用、二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，平方差公式，积的乘方的逆应用，解题的关键是掌握利用平方差公式求解． 先利用积的乘方的逆应用进行整理，再利用平方差公式进行求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 19．观察下列等式，解答后面的问题： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… (1)根据以上的规律，写出第8个等式________________； (2)利用上面的规律比较大小：________（填＞、＜或＝）； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】运用平方差公式进行运算、实数的大小比较、分母有理化、与实数运算相关的规律题 【分析】本题考查二次根式的混合运算， （1）根据平方差公式计算，即可得出规律； （2）根据题意给出规律，比较它们倒数的大小即可求出答案； （3）根据题意给出的规律进行化简后即可求出答案． 【详解】（1）解：根据题意：第8个等式， 故答案为：； （2）解：∵， ， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （3）解：∵ ∴原式 ． 20．知识与方法的类比，是数学探索发展的核心途径，更是发现问题、推导新结论的重要思想工具．在代数运算与恒等变形中，整体思想是破解复杂问题的关键技巧：通过将重复出现的代数式、关联的数量关系看成一个整体，运用整体设元、整体代入等策略，能大幅简化运算，让常规思路难以解决的问题找到简便方法． 材料1：分解因式； 解：将“”看成一个整体，令； 原式； 例2：当，时，．若为定值，则，当且仅当时，有最小值．如：若，则，，当且仅当，即时取得最小值2． 请根据阅读材料，利用整体思想解答下列问题： (1)因式分解：； (2)①若，则的最小值为______； ②若，的最小值为______． (3)已知，，且，求的最小值． 【答案】(1) (2)①；② (3)的最小值为 【知识点】利用二次根式的性质化简、完全平方公式分解因式、分式加减乘除混合运算 【分析】（1）令，原式变为，可化为，再根据完全平方公式求解即可； （2）①变形为，再根据材料2的方法求解即可； ②先化简原式，令，则原式变为再根据材料2的方法求解即可； （3）由，得到，再通过变形得到，根据材料2的方法求解即可； 【详解】（1）解：令， ∴原式 ； （2）解：①， ∵， ∴， 由材料2可得， ， 当且仅当，即时，取得最小值2， ∴的最小值为； ② ， 令， 则原式， 由材料2可得，， 当且仅当，即（满足）时，取最小值， ∴的最小值为； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 当且仅当，即等号成立，此时， ∴的最小值为． 21．【材料1】：处理分数（式）的某问题时，取倒数是一种有用的方法．可以用“两个正数比较大小，倒数大的反而小”这个道理比较两个正数的大小，比如，请比较与的大小：解：与都为正数，且 ，（两个正数比较大小，倒数大的反而小）当然，我们也可以用“两个正数比较大小，平方大的数就大”比较两个正数的大小，比如，请比较与的大小：解：与都为正数，且，（两个正数比较大小，平方大的数就大） 【材料2】：在处理无理数的问题时，灵活运用平方差公式是一种非常有用的方法．比如化简二次根式时：；这里运用了平方差公式，使得这些无理数通过平方后转化成了有理数．请利用上面信息，解决下面问题： (1)化简∶ ； (2)请你灵活运用上面介绍的方法，比较每组中两个无理数的大小． 与； 与； (3)已知，求、的值． 【答案】(1) (2) ； (3) ， 【知识点】运用平方差公式进行运算、实数的大小比较、已知条件式，化简求值、分母有理化 【分析】（1）利用题干给出的分母有理化的方法化简即可； （2）取倒数比较正数大小求解即可；运用平方比较正数大小的方法求解即可； （3）分别两式相乘和两式相除，得到与的数量关系，解关于、的方程组即可． 【详解】（1） 解： ； （2） 解： ，， ，， ， ， 与 两个数均为正数，， 根据两个正数比较大小，倒数大的反而小，得； ，， ， ，即， 与 两个数均为正数，， 根据两个正数比较大小，平方大的数就大，得； （3） 解：， 得，， 整理得， 得，， 整理得， 两边平方得， 整理得， 将代入得 ， 化简得， ， ，解得， ， 即，． 22．计算: 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，二次根式的化简，解题的关键是掌握二次根式的运算法则． 先对各个二次根式化简，再利用二次根式的加减运算法则进行求解即可． 【详解】解： ． 23．阅读下列材料，然后解答问题． 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简．如，．以上这种化简的步骤叫做分母有理化． (1)仿照上面的解题过程，化简：　　　　　　． (2)计算：． (3)有一个长方形的面积为，其一边长为，求该长方形的周长． 【答案】(1) (2)2024 (3) 【知识点】分母有理化、二次根式的混合运算 【分析】本题考查分母有理化．二次根式的混合运算，平方差公式，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）分子分母分别乘即可； （2）每一个分母都乘以它的有理化因式化简后合并，再利用平方差公式计算即可； （3）先根据已知条件结合二次根式的混合运算法则求出另一边的长，再计算长方形的周长即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解：长方形的另一边长为： ， 该长方形的周长为： ． 24．阅读材料：我们学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现：当时，有，当且仅当时取等号． 请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，的最小值为______，此时_____； (2)当时，求的最小值，并求此时的值； (3)如图，某兴趣小组计划开垦矩形地块种植农作物，四边用木栏围住，已知木栏总长为，求矩形地块面积的最大值，并求此时矩形地块的长与宽的值． 【答案】(1)2，1 (2)的最小值为5， (3)矩形地块面积的最大值为，此时矩形地块的长与宽的值均为 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、二次根式的应用 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，矩形面积的计算，解题的关键是理解题意，准确计算． （1）根据题目中给出的信息进行解答即可； （2）先将变形得到，然后根据题目中给出的信息进行解答即可； （3）由 ，可得，根据四边形的面积为，求出最大值，再进一步求解可得矩形地块的长与宽． 【详解】（1）解：当时，， 当时，即1，取最小值，最小值为2， 故答案为：2，1； （2）解：， ， 的最小值为5 此时，． （3）设，则， ， ， ， ， ． ∴矩形地块面积的最大值为． 此时矩形地块的长与宽的值均为． 【考点3】因式分解与整式（第25-35题） · 因式分解顺序：一提公因式、二套公式、三十字相乘，最后检查是否分解彻底 · 用完全平方公式变形求值时，注意 a2+b2=(a+b)2-2ab 等整体变形 · 因式分解在简算中的应用：凑成完全平方或平方差后整体求值 25．已知整式，其中，，，，为正整数，为整数，且，下列说法： ①满足条件的所有整式中，没有单项式； ②当时，满足条件的所有整式中，能进行因式分解的有个； ③所有满足条件的整式共有个． 其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断是否是因式分解、整式的判断 【分析】由题意可得的值可能是，，，再逐项判断即可求解 【详解】解：∵，，，，为正整数，为整数，且， ∴ ∴的值可能是，，， ∵，，为正整数， ∴若整式为单项式，只能是，其中， 此时，解得，不为整数，与条件矛盾，所以不存在满足条件的单项式，故①正确； 当时，整式为，由可得： 当时，，，此时整式有个； 当时，，，此时整式有个； 当时，，，此时整式有个； 当时，，，此时整式有个； 当时，，，此时整式有个； ∴当时，满足条件的整式共有个； 当时，整式为，由可得： 当时，， 若，则，，此时整式有个； 若，则，，此时整式有个； 若，则，，此时整式有个； 若，则，，此时整式有个； ∴当时，满足条件的整式共有个； 当时，， 若，则，，此时整式有个； 若，则，，此时整式有个； ∴当时，满足条件的整式共有个； 当时，， 若，则，，此时整式有个， ∴当时，满足条件的整式共有个； ∴当时，满足条件的整式共有个，其中能进行因式分解的有，，，，，共个，故②错误； 当时，整式为，由可得： 当时，， 若，则， 若，则，，此时整式有个； 若，则，，此时整式有个； ∴当时，满足条件的整式共有个； 若，则，此时无解， ∴当时，满足条件的整式共有个； ∴当时，满足条件的整式共有个； ∴当时，满足条件的整式共有个， 综上，所有满足条件的整式共有个，故③错误， ∴正确的个数有个． 26．已知正整数、、、满足，且，关于这个四元二次方程下列说法正确的个数是（    ） ①，，，是该四元方程的一组解； ②连续的四个奇数一定是该四元方程的解； ③若，则该四元方程有10组解； ④若，则该四元方程有504组解． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】二元一次方程的解、因式分解的应用、判断是否是方程的解 【分析】①将，，，代入方程进行判断即可；②取特殊值，，，，，代入方程进行判断即可；③将方程化为，根据正整数、、、满足，得到当时，恒成立，再根据，得到当时，有10组解，再根据也是方程的一组解，判断③；根据当，，推出，进而推出总共有502组解，结合也是方程的一组解，判断④即可． 【详解】解：当，，，时， 方程左边， 方程右边， 方程左右两边相等，故，，，是该四元方程的一组解；故①正确； 当，，，时， 方程左边， 方程右边， 方程左右两边不相等，故，，，不是该四元方程的一组解，即四个连续的奇数不一定是该四元方程的一组解；故②错误； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵正整数、、、满足， ∴，， ∴， 又∵， ∴当，即时，恒成立，满足题意， ∵， ∴当时，或或或，共4组解； 当时， 或或，共3组解； 当时，或，共2组解； 当时，，共1组解； 此时共有组解； 又∵当时，此时， 方程左边等于右边，故也是方程的一组解，故③错误； 由③可知：当时， ∵， ∴， ∴， ∵是正整数，且， ∴当时，； 当时，， 当时，； 总共有502组解； 又∵不满足已知条件，故④错误； 综上，正确的只有①． 27．数学家康托尔创立了集合论，集合论的产生丰富了现代计数方法．记为集合的元素个数，为集合S的子集个数，若集合A，B，C满足：①，；②，则的最大值是（    ） A．1 B．2025 C．2024 D．2023 【答案】C 【知识点】因式分解的应用、幂的乘方运算 【分析】本题考查集合元素个数与子集个数的关系，熟练掌握集合的相关性质是解题的关键． 先利用集合元素个数与子集个数的关系，将等式转化为2的幂次方程，求出和的值，再结合集合交集、并集的容斥关系，求的最大值． 【详解】解：设，， ∵若集合有个元素，则其子集个数为， ∴，，，， 由题意得， 化简左边：，故， 分情况讨论： 1. 若，提取得，括号内为奇数（偶数+1），无法等于偶数，矛盾， 2. 若，提取得，括号内为奇数（奇数+偶数），无法等于偶数，矛盾， ∴，此时左边，故， 即，， 要使最大，需让的元素尽可能多， ∵， 由上述信息得，结合，若的元素尽可能多， 则考虑的情况，，此时，故， 由容斥原理：， ∴， 若假设，因为 ，则且，此时，由容斥原理，即，解得，又因为且，则，即，产生矛盾，故假设不成立； 故的最大值为． 28．已知正整数a，b，c，d，e，f满足，且，关于这个六元方程下列说法正确的个数是（    ） ①，，，，，是该六元方程的一组解； ②连续的六个正整数一定是该六元方程的解； ③若，则该六元方程有21组解； ④若，则该六元方程有28组解． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】二元一次方程的解、综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，二元一次方程的解，解题的关键在于能够正确理解题意，以及方程的解得含义．把，，，，，分别代入方程的左边和右边，可判断①；设最小的数为n，分别计算方程的左边和右边，可判断②；原方程变形为，由正整数a，b，c，d，e，f满足，可得，据此可判断③；根据③的结论可得，据此可判断④． 【详解】解：当，，，，，时， 左边， 右边， ∴左边右边， ∴，，，，，是该六元方程的一组解，故①正确； 设最小的数为n， 左边， 右边， ∴左边右边， ∴连续的六个正整数一定是该六元方程的解，故②正确； ∵正整数a，b，c，d，e，f满足， ∴根据②可得4组连续整数123456，234567，345678，456789是方程的解， ∵， ∴ ∴， ∵正整数a，b，c，d，e，f满足， ∴， ∴， ∴， 即a，b和c，d和e，f分别是三对连续正整数， ∴若， 当时，此时或或或，4组； 当时，此时或或，3组； 当时，此时或，2组； 当时，此时，1组； 即，有组； 同理若，有6组；若，有3组；若，有1组； ∴共有组， 即若，则该六元方程有20组解，故③不正确； ∵， 由③得：， ∴ ∴， ∵a，c，e均为正整数，且， ∴若， 当时，， 当时，， ……， 当时，，有12组， ……， 共有组， 即若，则该六元方程有30组解，故④不正确． 故选：B 29．已知多项式（为常数），下列说法： ①当时，无论取何值，都有； ②若且，则； ③若，则不存在整数，使得． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【知识点】利用平方根解方程、综合提公因式和公式法分解因式、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了因式分解的应用，进行配方成完全平方形式，结合平方的非负性求解题目，做题的关键是配方． 结合已知，依次对各个选项进行配方成完全平方形式，结合平方的非负性进行判断即可． 【详解】解：对于①：， ∵，， ∴当时，，故①正确； 对于②：∵，， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，故②正确； 对于③：∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴不存在整数，使得，故③正确． 故选：D． 30．已知实数p，q满足，，且，则_________． 【答案】 【知识点】因式分解的应用 【分析】将已知等式变形构造出关于和的关系式，利用因式分解结合得到的值，再整体代入计算． 【详解】解：∵ ， ∴ ； ∵ ，等式两边同乘得 ， ∴ ； ∴ ， 移项整理得 ， 因式分解得 ， 即 ； ∵ ， ∴ ； ∴ ， 代入得 ． 31．计算：_____． 【答案】 【知识点】因式分解的应用、十字相乘法 【分析】本题考查了利用因式分解进行简便计算，设，可得：原式，把分子进行因式分解，约去分子、分母的公因式，再把代入化简后的代数式求值即可． 【详解】解：设， ， ， 原式． 故答案为：． 32．一个四位正整数，其各个位上数字均不相同且不为零．若其千位数字是十位数字的整数倍，百位数字是个位数字的整数倍，那么称这个四位正整数叫“间倍数”，例如满足，，则是“间倍数”．已知“间倍数”，且均为整数，若无论两位数是什么数，“间倍数”都能被整除，且，“间倍数”为______． 【答案】、 【知识点】因式分解的应用、数字类规律探索 【分析】本题考查新定义、有理数的混合运算、因式分解，解题的关键是读懂题意，理解“间倍数”的概念． 根据题意求得，根据都能被整除，得或或，再根据，分类求得或，结合是四位数，分类讨论求解即可得到答案． 【详解】解： ， ∵无论两位数是什么数，“间倍数”都能被整除， 能被整除，即能被整除， ， 或或，满足能被整除，即能被整除， ∵， 当时，，则， ， ∴两位数， ∵，且是四位数， 当时，即，若，则，得； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，得，不满足数字各不相同的条件，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，，则， ， ∴两位数， ∵，且是四位数， 当时，即，若，则，得； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，得，不满足数字各不相同的条件，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 综上所述，符合题意的“间倍数”为、， 故答案为：、． 33．若一个四位正整数，它的千位数字和百位数字之和为7的倍数，十位数字和个位数字之和为8的倍数，则称这个四位数为“七上八下数”．比如：数字1653，因为，，所以1653是“七上八下数”．若数字是“七上八下数”，其中，，，．记，，若为完全平方数，且是3的倍数，则________，满足条件的__________． 【答案】 9 4317 【知识点】整式加减的应用、平方差公式分解因式、数字问题(二元一次方程组的应用)、不等式的性质 【分析】本题考查了整式加减的应用、因式分解、解二元一次方程组、不等式的性质，理解“七上八下数”的定义是解题的关键．根据“七上八下数”的定义以及为完全平方数，分析得出数字的四位数形式为，则有是8的倍数，结合为完全平方数得出，此时，；根据题意可得是7的倍数，得出或，由是3的倍数，得到或，再利用平方差公式和二元一次方程组的知识，分类讨论求出的值，即可得出数字的值． 【详解】解： ， ①若，即， 则， 由题意得，此时是8的倍数， 又， ， 或， 或， 当，，不是平方数，舍去； 当，，不是平方数，舍去； ②若，即， 则， 由题意得，此时是8的倍数， 又， ， 或， 或， 当，，不是平方数，舍去； 当，，是平方数，此时，； 由题意得，是7的倍数， ，， ， 或， 或， 是3的倍数，即是3的倍数， 或， 或或或， 当，则， 解得，此时，不符合题意，舍去； 当，则， 解得，此时，符合题意，此时； 当，则， 解得，此时，不符合题意，舍去； 当，则， 解得，此时，不符合题意，舍去； 综上所述，，． 故答案为：9；4317． 34．将多项式变形为的形式，这样的方法叫做配方法．利用配方法和非负数的性质可以求出多项式的最大（小）值．例如：， ， ，当时，多项式有最小值． 已知，为实数，多项式展开后的一次项系数为，多项式展开后的一次项系数为，且，均为正整数，则当时，的最大值为______． 【答案】3 【知识点】完全平方公式分解因式、计算多项式乘多项式 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，非负数的性质，多项式乘以多项式，根据题意得出，，进而根据，可得，然后得出，根据配方法，即可求解． 【详解】解：∵ ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴当时，的最大值为， 故答案为：3． 35．数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为（x，y均为自然数．） (1)指导教师将学生的发现过程进行整理，部分信息如下（n为正整数）； N 奇数 4的倍数 表示结果 … … 一般结论 _____________ 按上表规律，完成下列问题： ①（_________） （________）； ②______________________； (2)若x，y均为奇数，设，其中k，m均为自然数，试说明：整数为4的倍数； (3)兴趣小组还猜测：像2，6，10，14，…，这些形如（n为正整数）的正整数N不能表示为（x，y均为自然数）．请判断兴趣小组猜测是否正确．若正确，请给出证明；若不正确，请举出反例． 【答案】(1)①8，6；② (2)见解析 (3)兴趣小组猜测正确，证明见解析 【知识点】平方差公式分解因式、数字类规律探索 【分析】（1）①根据规律即可求解；②根据规律即可求解； （2）利用平方差公式变形分析，进一步证明即可． （3）假设，其中x，y均为自然数．再分下列三种情形分析即可． 【详解】（1）解：①由规律可得，； ②由规律可得，． （2）解：若x，y均为奇数，设，其中k，m均为自然数， 则 ， ∵k，m均为自然数， ∴、为整数， ∴整数为4的倍数． （3）证明：兴趣小组猜测正确．理由如下： 假设，其中x，y均为自然数． 分下列三种情形分析： ①若x，y均为偶数，设，其中k，m均为自然数， 则，为4的倍数． 这与不是4的倍数相矛盾，故x，y不可能均为偶数；                          ②若x，y均为奇数，由（2）知，为4的倍数． 这与不是4的倍数相矛盾，故x，y不可能均为奇数；                       ③若x，y一个是奇数一个是偶数，则为奇数． 这与是偶数相矛盾，故x，y不可能一个是奇数另一个是偶数． 综上，形如（n为正整数）的正整数N不能表示为． 【考点4】幂运算与方程不等式综合（第36-45题） · 幂运算逆用：由 am、an 求 am+n、amn 等，先化为同底数 · 含参数分式方程与不等式：由解的情况（为正、无解、整数解）列方程或不等式 · 新定义运算按定义转化为常规代数运算，注意运算顺序 36．关于的方程的解为正整数，且关于的不等式组，有解且最多有个整数解，则满足条件的所有整数值之和为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由不等式组解集的情况求参数、根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查了分式方程的解，一元一次不等式组的整数解，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．先表示出分式方程的解，由分式方程的解为正整数确定出的值，再表示出不等式组的解集，由不等式组最多有个整数解，即可得到的取值范围，从而得出满足条件的所有整数的值，进而得解． 【详解】解：方程 ，整理得 ， ， 为正整数且， 为的正因数，即，，，， ，，， 当时，，分母为零，故舍去， 可能值为，，， 不等式组 ， 解第一个不等式得， 解第二个不等式得， 不等式组的解为 不等式组有解且最多有个整数解， ， 满足条件的所有整数有，， 满足条件的整数值之和为 故选：A． 37．已知实数a，b，c满足，，，则的值为__ ． 【答案】2 【知识点】同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用、同底数幂除法的逆用 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方的逆运算等知识﹒根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方的逆运算将变形为结合已知条件求出，即可求出﹒ 【详解】解：∵，，， ∴， ∴﹒ 故答案为：2 38．若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围为________． 【答案】 且 【知识点】根据分式方程解的情况求值、解分式方程（化为一元一次）、求一元一次不等式的解集 【分析】先求出分式方程的解，结合为正数且，求出的取值范围． 【详解】解：， 两边同乘以，得， 去括号，得， 移项并合并同类项，得， 解得， ∵为正数，且， ∴，且， ∴且． 39．我们规定：一个四位数，若满足，则称这个四位数为“两倍数”．例如：四位数5211，因，所以5211是“两倍数”．按照这个规定，最小的“两倍数”是_________；一个“两倍数”，去掉个位数字得到一个新的数，记，若是11的倍数，则满足条件的中，的最大值与最小值之差为_________． 【答案】 1011 7 【知识点】新定义下的实数运算、因式分解的应用、列代数式、整式加减的应用、有理数四则混合运算 【分析】要求最小的“两倍数”，令，，则，可令，，则M的最小值是1011；，整理化简得，，则，得是11的倍数，考虑b、d的取值范围，则或17；因为，所以，则的取值有以下5种情况：，；，；，；，；，；于是的取值可求得． 【详解】解：四位数中，，， 要求最小的两倍数，则， ∵， ∴， 要求最小的两倍数，则尽可能小，取， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴M的最小值是1011； ， ∵， ∴， ∴， ∵是11的倍数， ∴是11的倍数， ∵， ∴，即， ∵是11的倍数， ∴或； ∵，且最大都是9， ∴， ∴，即； 若，即时， ∴， 又， ∴可取0，1，2，3， ∴当时，，且，； 当时，，且，； 当时，，且，； 当时，，且，； 若，则，且， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，，，； 当时，（不合题意，舍去）， ∴的最大值为7，最小值为0， ∴的最大值与最小值之差为． 40．若，，，则a，b，c的大小关系是______（用“”表示）． 【答案】 【知识点】同底数幂乘法的逆用、运用平方差公式进行运算、有理数大小比较、零指数幂 【分析】本题主要考查实数的0次幂、平方差公式、实数的奇偶次幂，熟练掌握并运用实数的0次幂、平方差公式、实数的奇偶次幂是解题的关键． 首先根据任何数的0次幂都是1对a进行计算，再利用平方差公式对b进行化简计算，最后结合实数的奇偶次幂对c进行化简计算，再比较结果即可得到答案． 【详解】解：∵， ， ， ∴， 故答案为：． 41．阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，例如，，求证：．证明： 左边右边． 阅读材料二：基本不等式，当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具．例如：在的条件下，，∴，当且仅当，即时，有最小值，最小值为2．请根据阅读材料解答下列问题 (1)若正数x，则的最小值为______． (2)若正数a，b满足，，n为的最小值，求； (3)若正数a，b满足，若不等式恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】异分母分式加减法、利用二次根式的性质化简、负整数指数幂、求不等式组的解集 【分析】（1）根据材料2即可求解； （2）先根据分式的性质以及恒等式变形求得的值，再根据负指数幂即可求解； （3）根据题意可得，进而解不等式组，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴的最小值为 故答案为：． （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ （3）∵正数a，b满足， ∴ ∵不等式恒成立， ∴ ∴①或② ∴解不等式组①无解，解不等式组②得 【点睛】本题主要考查了不等式恒成立与最值关系的转化，二次根式的性质化简，分式的加减运算，负整数指数幂，理解题意，利用好不等式的性质是解题的关键 42．已知正数，，，，满足，． (1)当，时，请用含的式子表示； (2)已知，，满足； ①求证：； ②若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) ①证明：由得， ，． 因为， 所以， 整理得，． 因为为正数， 所以， 所以， 即， 所以． ②解：由得， ． 又因为，， 所以， 即， 整理得，． 因为为正数， 所以． 又因为， 所以． 【知识点】完全平方公式分解因式、分式加减乘除混合运算、求一元一次不等式的解集、代入消元法 【分析】本题主要考查了列代数式，能根据，，，，之间的关系进行巧妙的化简转换是解题的关键．（1）将，的值代入，再用含的式子表示即可． （2）①将进行变形，结合即可解决问题． ②先对不等式进行化简，再结合前面的结论求出的取值范围即可． 【详解】（1）解：当，时， ，， 所以， 整理得，， 所以． （2）略 43．我们把形如（、不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”． 例如：为“十字分式方程”，可化为，，． 再如：为“十字分式方程”，可化为，，． 应用上面的结论，解答下列问题： (1)若为“十字分式方程”，则________，________； (2)请利用上述方法求“十字分式方程”的解； (3)若“十字分式方程”的两个解分别为，，求的值． 【答案】(1)， (2)， (3) 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查解分式方程，理解题中解方程的方法是解答的关键． （1）仿照题中求解方法解方程即可； （2）先将方程转化为，再仿照题中求解方法解方程即可； （3）根据“十字分式方程”的解可得，，进而利用完全平方公式求解即可． 【详解】（1）解：为“十字分式方程”， ， ，； 故答案为：，； （2）解：为“十字分式方程”， ∴方程可化为， ， 或， ，； （3）解：“十字分式方程”即的两个解分别为，， ，， ． 44．先化简，再求值：，其中是不等式组的整数解． 【答案】； 【知识点】分式化简求值、求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题考查分式的化简求值及一元一次不等式组的整数解，先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据是不等式组的整数解求出的值，再把的值代入化简后的代数式进行计算即可．熟知分式混合运算的法则是解题的关键． 【详解】解：原式 由①得， 由②得， ∵分式有意义 ∴． 把代入上式得： 原式 45．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币，小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n倍．”小玲对小倩说：“你若给我n元，我的钱数将是你的2倍．”其中n为正整数．求n的可能值的个数． 【答案】n的可能值有4个 【知识点】二元一次方程的解、求使分式值为整数时未知数的整数值、和差倍分问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次不定方程的运用，难度较大，解题关键是理解题意，根据题意求方程组，注意消元思想和分类讨论思想的运用． 设小倩同学有x元，小玲同学有y元，根据题意可得方程组：，消去x，可整理得：，由n为正整数分析，即可求得结果． 【详解】解：设小倩同学有x元，小玲同学有y元，x，y均为非负整数， 由题意可得方程组：， 将代入②中得，消去x得： 即： ∵为正整数 ∴的值分别为1，3，5，15， ∴y的值只能为4，5，6，11， ∴当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 综上可得：n的值分别为8，3，2，1； 即n的可能值有4个． 📊 课后巩固 🍬 复习建议 · 分式部分多练混合运算与化简求值，运算顺序和符号是高频失分点 · 二次根式熟记性质公式，化简务必化到最简，注意被开方数的取值范围 · 因式分解按“一提二套三十字”顺序，分解后回乘检验 · 幂运算善用逆用变形，遇到整体求值问题先找相同底数 · 综合题先审清条件，将方程、不等式、式变形知识串联，分步书写 【作业1】已知关于x的方程解为正数，则k的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数、根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查了分式方程的求解及根据方程解的情况确定参数的取值范围，先将分式方程化为同分母形式，转化为整式方程求解x关于k的表达式，再根据解为正数和分母不为零的条件列不等式求k的取值范围． 【详解】解：∵方程， 又∵， ∴， ∴原方程化为， 左边合并：，即， 两边同乘得：， 解得， ∵解为正数， ∴，即， ∴， 又∵分母， ∴，即， ∴， 综上，且， 故选：D． 【作业2】为了让孩子了解蔬菜的种植，阿昌爸爸给阿昌规划了一块如图所示的矩形菜地．菜地内有两个相邻的正方形，若两个正方形的面积分别为和，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求一个数的算术平方根、二次根式的混合运算 【分析】根据正方形的面积公式求出两个正方形的边长，再根据长方形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵图中两个正方形的面积分别为和， ∴这两个正方形的边长分别为和， ∴阴影部分的面积：． 【作业3】观察下列二次根式的化简 ， ， ，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用二次根式的性质化简、数字类规律探索 【分析】根据题目中给定的计算方法求出，再进行求解即可． 【详解】解：由题意可知：， ， ， 由此可知：， ∴， ∴， 故选：． 【点睛】此题考查了数字类规律探究、二次根式化简中的简便运算．熟练掌握题目中给定的计算方法是解题的关键． 【作业4】下列因式分解中正确分解的个数是（   ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】十字相乘法、完全平方公式分解因式、提公因式法分解因式、平方差公式分解因式 【分析】本题考查因式分解，根据提取公因式法计算即可判断①，根据平方差公式计算即可判断②，根据十字相乘法因式分解判断③，④不能完全平方公式，据此判断，即可求解． 【详解】解：∵①，提取公因式正确； ②，平方差公式正确； ③，因式分解正确； ④，∵； ∴正确的有3个． 故选：C． 【作业5】已知有序代数式串：，对其进行如下操作： 第1次操作：用第二个式子除以第一个式子得到一个新代数式，将得到的代数式作为新代数式串的最后一项，即得到新的代数式串：，，；第2次操作：用第三个式子除以第二个式子得到一个新代数式，将得到的代数式作为新代数式串的最后一项，即得到新的代数式串：，，，；依次进行上述操作，下列说法： ①第3次操作后得到的代数式串为：，，，，； ②第次操作后得到的新代数式与第次操作后得到的新代数式相同； ③第次操作后得到的代数式串之积为； 其中正确的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【知识点】分式除法 【分析】本题主要考查规律类探索、分式的除法，准确找出代数式串变化的规律是解题的关键．根据所给操作规则找出所得代数式串的变化规律，利用规律逐项判断即可． 【详解】解：由题意知，第3次操作时，用第四个式子除以第三个式子得到新代数式，，将得到的代数式作为新代数式串的最后一项，即得到新代数式串： ，，，，，故①正确； 依次类推，第4次操作后得到新代数式串：，，，，，， 第5次操作后得到新代数式串：，，，，，，， 第6次操作后得到新代数式串：，，，，，，，， 第7次操作后得到新代数式串：，，，，，，，，， …… 观察可知，从第7次操作开始，第次操作与第次操作后得到的新代数式相同，因此第次操作得到的新代数式与第次、第次操作后得到的新代数式相同，与第次操作后得到的新代数式不同，故②错误； 观察可知，从第5次操作开始，新代数串按照，，，，，的顺序循环出现，且每个循环中代数式的乘积为， 第次操作后所得新代数式串中有个代数式，， 前个代数式的积为，第至第个代数式的积为， 第次操作后得到的代数式串之积为，故③正确， 综上所述，说法正确的有个， 故选：B． 【作业6】已知，则的值为__________． 【答案】2 【知识点】利用二次根式的性质化简、通过对完全平方公式变形求值、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了二次根式的非负性，二次根式的性质，非负数的性质，掌握非负数之和等于时，各项都等于是解题的关键． 将方程整理成完全平方形式，利用非负数的性质求出和的值，然后代入，进行求值即可． 【详解】解：由 ， 移项得 ， 即 ． ， ， ， ， 解得 ，． 则 ． 故答案为：． 【作业7】对于两个实数a、b，若分式有意义且，则称是的一个“优界数”，并规定的所有优界数的取值范围叫做的“优界域”，例如：当时，由且，解得，所以6的“优界域”为，当时，的“优界域”为______________；已知实数，关于的分式方程的解为，若是的优界数，则的取值范围为______________． 【答案】 ； ，且． 【知识点】分式有意义的条件、根据分式方程解的情况求值、解分式方程（化为一元一次）、求一元一次不等式的解集 【分析】（1）仿照例题求解即可； （2）解分式方程得到，根据分式方程有解为，得到，再结合优界数的定义，得到，且，根据的符号分两种情况求解即可． 【详解】解：当时， ， ， ， 又， ， 的“优界域”为； 解分式方程，得， 分式方程的解为， ，且， ， ， 是的优界数， ，且， ，且， 当时，，解得：，不符合题意； 当时，，解得：，此时； 的取值范围为，且． 【作业8】设（n为正整数），则的值_________1（填“＞”，“=”或“＜”） 【答案】＜ 【知识点】因式分解在有理数简算中的应用、有理数的乘方运算、数字类规律探索 【分析】本题考查数式规律问题、因式分解的应用，先化简已知式，再利用拆项法求代数式值即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ． 故答案为：＜． 【作业9】已知，的值是 _________． 【答案】2049 【知识点】分式的求值 【分析】本题主要考查了分式的求值，根据已知条件式可知，，则可求出，进而推出；把所求式子变形为，进一步变形可得，据此代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴ ∴ ， 故答案为：2049． 【作业10】已知最简二次根式与是同类二次根式，则__________． 【答案】 【知识点】已知最简二次根式求参数、同类二次根式 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义和最简二次根式的定义，根据同类二次根式的定义，两个最简二次根式的被开方数必须相等，因此列出方程，求解后得到或，但需验证二次根式是否为最简形式，由此排除不满足条件的值即可． 【详解】解：由于两个二次根式均为最简二次根式且是同类二次根式， 被开方数相等，即， 整理得， ， 解得或， 当时，，不是最简二次根式，不符合题意，故舍去； 当时，和，均为最简二次根式，符合题意； ． 故答案为：． 【作业11】对于一个四位自然数M，各个数位上的数字均不为0，若它的千位数字比个位数字多4，百位数字与十位数字之和是4的整数倍，则称M为“巳巳如意数”．如：四位数7313，∵，∴7313是“巳巳如意数”；四位数，∵，∴不是“巳巳如意数”，则最小的“巳巳如意数”为______ ；一个“巳巳如意数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，将M的千位数字与十位数字交换位置，百位数字与个位数字交换位置，得到一个新的四位数，记，，若能被4整除，则满足条件的M的最大值为___ ． 【答案】 【知识点】二元一次方程的解、求一元一次不等式的整数解、整式的加减运算、求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】根据定义设四位“巳巳如意数”，根据题意可得，（为正整数），根据，得出的最小值为，进而求得百位和十位数字，即可求得最小的“巳巳如意数”；根据定义得出，求得，令，根据能被4整除得出能被4整除，进而根据最大，需尽可能大，进而将的值，从大到小进行验证，即可求解． 【详解】解：根据定义，设四位“巳巳如意数”，其中的整数，满足：，即；（为正整数）， ∴， ∴． 要使四位数最小，需千位尽可能小， 若，则，不符合各数位不为0的要求； 最小，得；接下来百位尽可能小，最小，由是4的倍数，得最小 因此最小的“巳巳如意数”为． ∵ ∴交换数位后得新数， 则： 故，代入得： ∴ ∵能被4整除， 令，即能被4整除． 要使最大，需尽可能大，从最大开始验证： ，，式子为，，​不可能为整数，无解； ，，式子为​，代入 当时，，能被4整除，符合条件． 要使最大，尽可能大，，最大，得，因此． 综上，答案为和． 【作业12】证明：若a、b、c为三个互不相等的正实数， 【答案】 证明：∵a、b、c为三个互不相等的正实数， ∴ ， ∵、 、 为三个互不相等的正实数， ∴ 、、 互不相等， ∴，，， ∴， ∴． 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查了无理数的大小比较、二次根式的混合运算、完全平方公式等知识点，掌握运用作差法比较无理数大小是解题的关键． 运用作差法列式，然后再运用二次根式的混合运算法则以及完全平方公式说明其大于零即可证明结论． 【详解】略 【作业13】已知，求式子的值． 【答案】 【知识点】已知条件式，化简求值 【分析】由非负性可得，，再将二次根式进行化简代入求值即可． 【详解】解：由题意得， ，， 解得，， 原式 ． 【点睛】此题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的性质是解答此题的关键． 【作业14】先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【知识点】分式化简求值 【分析】先对分式进行化简，然后再代入求值． 【详解】解： ， 将代入上式得， 原式． 【作业15】若一个数是一个整数的平方，则称这个数是完全平方数，类似地，多项式及称做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式． 原式； 例如：求代数式的最小值． 原式．可知当时，有最小值，最小值是． (1)用配方法分解因式：； (2)当x为何值时，多项式有最大值，并求出这个最大值． (3)求使得是完全平方数的所有整数m的积． 【答案】(1) (2)当时，多项式有最大值13 (3)84 【知识点】因式分解的应用、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了完全平方公式在因式分解中的应用，掌握公式的形式是解题关键． （1）把变形为即可求解； （2）将原式配方为，根据平方非负性即可求解； （3）将原式因式分解变形为，分类讨论求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； ∵， ∴， ∴当时，多项式有最大值13． （3）解：设， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以 因为（因为为完全平方数），且m与k都为整数， 所以①，，解得：，； ②，，解得：，； ③，，解得：，； ④，，解得：，． 所以所有m的积为． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中综合复习·满分压轴讲义（第1~3章） （知识梳理+典例+练习）·2026年湘教版八年级数学上册 🍔 思维导图 🍟 课程目标 · 掌握分式的加减乘除混合运算与化简求值，能灵活运用分式基本性质进行变形 · 掌握二次根式的性质与混合运算，能正确进行化简、比较与分母有理化 · 掌握因式分解的常用方法，能熟练运用提公因式与公式法分解因式 · 掌握幂的运算法则及其逆用，能解决幂运算相关的综合问题 · 能将分式方程、不等式、方程组等知识综合运用，解决代数综合问题 🍗 知识梳理 ✅️ 1.分式运算与分式方程 分式的基本性质：分子与分母同乘（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变；据此进行约分与通分，结果化为最简分式 分式的运算：同分母分式相加减，分母不变、分子相加减；异分母分式先通分再加减；乘法先约分后相乘，除法变为乘法，注意运算顺序与符号 分式方程：去分母化为一元一次方程求解，解后必须检验，舍去使分母为零的增根 概念辨析例题：下列各式中，是分式的是（　　）A．　B．　C．　D．+1 答案：C 解析：分母中含有字母的式子叫作分式。、、+1 的分母均为常数，不是分式； 的分母含字母 x，是分式，故选C。 ✅️ 2.二次根式与实数 二次根式的性质：=|a|；=（a≥0，b≥0）；=（a≥0，b>0） 化简与运算：被开方数不含分母、不含能开得尽方的因数或因式，即为最简二次根式；合并同类二次根式时只合并系数、被开方数不变 分母有理化：利用平方差公式将分母中的根号化去，如 = 概念辨析例题：下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）A．　B．　C．　D． 答案：C 解析：最简二次根式须满足被开方数不含分母、不含能开得尽方的因数或因式。 含分母，=2，=|a|，均不符合； 满足条件，故选C。 ✅️ 3.因式分解与整式 提公因式法：各项系数的最大公因数与相同字母最低次幂的积作为公因式，如 ma+mb=m(a+b) 公式法：a2-b2=(a+b)(a-b)；a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2 十字相乘法：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)；分解因式必须分解到不能再分解为止 概念辨析例题：下列变形中，属于因式分解的是（　　）A．x(a-b)=ax-bx　B．x2-1=(x+1)(x-1)　C．(x+1)(x-1)=x2-1　D．x2-2x+1=x(x-2)+1 答案：B 解析：因式分解是把一个多项式化成几个整式的积的形式。A、C 属于整式乘法，D 的结果不是整式乘积，B 符合因式分解的定义，故选B。 ✅️ 4.幂运算与方程不等式综合 幂的运算：am·an=am+n，=am-n（a≠0），(am)n=amn，(ab)n=an bn；注意法则的逆用 分式方程与不等式：含参数的方程或不等式，根据解的情况（为正数、无解、整数解等）建立方程或不等式求参数 代数综合：将幂运算、因式分解、分式化简等知识综合运用，解决求值、比较大小、规律探索等问题 概念辨析例题：若 am=2，an=3，则 am+n 的值为（　　）A．5　B．6　C．　D． 答案：B 解析：由同底数幂的乘法法则的逆用，am+n=am·an=2×3=6，故选B。 🧀 知识总结表 核心概念 关键公式/法则 注意事项 分式 （b≠0） 分母不为零 二次根式 =|a|，= 被开方数≥0 因式分解 a2-b2=(a+b)(a-b) 分解要彻底 幂的运算 am·an=am+n 底数相同 📩 核心考点 【考点1】分式运算与分式方程（第1-11题） · 分式混合运算按“先乘除、后加减、有括号先算括号”的顺序，把除法变乘法并约分 · 分式化简求值先化为最简分式再代入求值，注意整体代入技巧 · 解分式方程必须检验增根；由解的情况求参数时转化为方程或不等式求解 1．设，则的整数部分等于（    ） A． B． C． D． 2．已知a是实数，并且，则代数式的值是（    ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 3．若，则（   ） A．6 B．9 C．12 D．81 4．对于正数，规定，例如：，，则的值为（    ） A．2025 B．2024 C． D． 5．方程的解为（　　） A． B． C． D． 6．已知，，，，（n为正整数，且），则计算的结果为_____． 7．甲杯子里盛有浓度的盐水，乙杯子里盛有浓度的盐水．第一次：从甲杯中倒出一部分盐水到乙杯，搅拌均匀；第二次：再从乙杯中倒回同样重量的盐水到甲杯．甲杯盐水浓度恰好为，则第一次从甲杯倒出了______千克盐水． 8．观察下列各等式，并回答问题：，，，…（n是正整数）． (1)填空： ； (2)计算： ； (3)若与互为相反数，求的值． 9．阅读：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，这样的分式就是真分式，我们知道，假分数可以化为带分数，例如：．类似地，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，例如：；． 请根据上述材料，解答下列问题： (1)填空：①分式是______分式（填“真”或“假”）． ②把下列假分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式：______ (2)把分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式，并求x取何整数时，这个分式的值为整数． (3)一个三位数m，个位数字是百位数字的两倍．另一个两位数n，十位数字与m的百位数字相同，个位数字与m的十位数字相同．若这个三位数的平方能被这个两位数整除，求满足条件的两位数n． 10．定义：若分式A与分式B的差等于它们的积．即，则称分式B是分式A的“友好分式”．如与．因为，．所以是的“友好分式”． (1)填空：分式______分式的“友好分式”．（填“是”或“不是”） (2)已知分式是分式A的“友好分式”． ①求分式A的表达式； ②若整数x使得分式A的值是正整数，直接写出分式A的值； (3)若关于x的分式是关于x的分式的“友好分式”，求的最小值． 11．已知：、、，求的值． 【考点2】二次根式与实数（第12-24题） · 化简二次根式先看被开方数能否开得尽方，化到最简后再合并同类二次根式 · 分母有理化常乘以其有理化因式，利用平方差公式化简 · 比较二次根式大小可用平方法、作差法等，注意符号 12．a、b是两个任意实数，则下列不等式中不成立的是（    ）． A． B． C． D． 13．当时，代数式的值是（     ） A． B． C． D． 14．如果，那么的算术平方根是（    ） A．1 B． C．7 D． 15．已知，那么的大小关系是（    ） A． B． C． D． 16．已知：，则的值为______． 17．规律探究：设，，，…，则的值为_____． 18．计算： ________． 19．观察下列等式，解答后面的问题： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… (1)根据以上的规律，写出第8个等式________________； (2)利用上面的规律比较大小：________（填＞、＜或＝）； (3)计算：． 20．知识与方法的类比，是数学探索发展的核心途径，更是发现问题、推导新结论的重要思想工具．在代数运算与恒等变形中，整体思想是破解复杂问题的关键技巧：通过将重复出现的代数式、关联的数量关系看成一个整体，运用整体设元、整体代入等策略，能大幅简化运算，让常规思路难以解决的问题找到简便方法． 材料1：分解因式； 解：将“”看成一个整体，令； 原式； 例2：当，时，．若为定值，则，当且仅当时，有最小值．如：若，则，，当且仅当，即时取得最小值2． 请根据阅读材料，利用整体思想解答下列问题： (1)因式分解：； (2)①若，则的最小值为______； ②若，的最小值为______． (3)已知，，且，求的最小值． 21．【材料1】：处理分数（式）的某问题时，取倒数是一种有用的方法．可以用“两个正数比较大小，倒数大的反而小”这个道理比较两个正数的大小，比如，请比较与的大小：解：与都为正数，且 ，（两个正数比较大小，倒数大的反而小）当然，我们也可以用“两个正数比较大小，平方大的数就大”比较两个正数的大小，比如，请比较与的大小：解：与都为正数，且，（两个正数比较大小，平方大的数就大） 【材料2】：在处理无理数的问题时，灵活运用平方差公式是一种非常有用的方法．比如化简二次根式时：；这里运用了平方差公式，使得这些无理数通过平方后转化成了有理数．请利用上面信息，解决下面问题： (1)化简∶ ； (2)请你灵活运用上面介绍的方法，比较每组中两个无理数的大小． 与； 与； (3)已知，求、的值． 22．计算: 23．阅读下列材料，然后解答问题． 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简．如，．以上这种化简的步骤叫做分母有理化． (1)仿照上面的解题过程，化简：　　　　　　． (2)计算：． (3)有一个长方形的面积为，其一边长为，求该长方形的周长． 24．阅读材料：我们学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现：当时，有，当且仅当时取等号． 请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，的最小值为______，此时_____； (2)当时，求的最小值，并求此时的值； (3)如图，某兴趣小组计划开垦矩形地块种植农作物，四边用木栏围住，已知木栏总长为，求矩形地块面积的最大值，并求此时矩形地块的长与宽的值． 【考点3】因式分解与整式（第25-35题） · 因式分解顺序：一提公因式、二套公式、三十字相乘，最后检查是否分解彻底 · 用完全平方公式变形求值时，注意 a2+b2=(a+b)2-2ab 等整体变形 · 因式分解在简算中的应用：凑成完全平方或平方差后整体求值 25．已知整式，其中，，，，为正整数，为整数，且，下列说法： ①满足条件的所有整式中，没有单项式； ②当时，满足条件的所有整式中，能进行因式分解的有个； ③所有满足条件的整式共有个． 其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 26．已知正整数、、、满足，且，关于这个四元二次方程下列说法正确的个数是（    ） ①，，，是该四元方程的一组解； ②连续的四个奇数一定是该四元方程的解； ③若，则该四元方程有10组解； ④若，则该四元方程有504组解． A．1 B．2 C．3 D．4 27．数学家康托尔创立了集合论，集合论的产生丰富了现代计数方法．记为集合的元素个数，为集合S的子集个数，若集合A，B，C满足：①，；②，则的最大值是（    ） A．1 B．2025 C．2024 D．2023 28．已知正整数a，b，c，d，e，f满足，且，关于这个六元方程下列说法正确的个数是（    ） ①，，，，，是该六元方程的一组解； ②连续的六个正整数一定是该六元方程的解； ③若，则该六元方程有21组解； ④若，则该六元方程有28组解． A．1 B．2 C．3 D．4 29．已知多项式（为常数），下列说法： ①当时，无论取何值，都有； ②若且，则； ③若，则不存在整数，使得． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 30．已知实数p，q满足，，且，则_________． 31．计算：_____． 32．一个四位正整数，其各个位上数字均不相同且不为零．若其千位数字是十位数字的整数倍，百位数字是个位数字的整数倍，那么称这个四位正整数叫“间倍数”，例如满足，，则是“间倍数”．已知“间倍数”，且均为整数，若无论两位数是什么数，“间倍数”都能被整除，且，“间倍数”为______． 33．若一个四位正整数，它的千位数字和百位数字之和为7的倍数，十位数字和个位数字之和为8的倍数，则称这个四位数为“七上八下数”．比如：数字1653，因为，，所以1653是“七上八下数”．若数字是“七上八下数”，其中，，，．记，，若为完全平方数，且是3的倍数，则________，满足条件的__________． 34．将多项式变形为的形式，这样的方法叫做配方法．利用配方法和非负数的性质可以求出多项式的最大（小）值．例如：， ， ，当时，多项式有最小值． 已知，为实数，多项式展开后的一次项系数为，多项式展开后的一次项系数为，且，均为正整数，则当时，的最大值为______． 35．数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为（x，y均为自然数．） (1)指导教师将学生的发现过程进行整理，部分信息如下（n为正整数）； N 奇数 4的倍数 表示结果 … … 一般结论 _____________ 按上表规律，完成下列问题： ①（_________） （________）； ②______________________； (2)若x，y均为奇数，设，其中k，m均为自然数，试说明：整数为4的倍数； (3)兴趣小组还猜测：像2，6，10，14，…，这些形如（n为正整数）的正整数N不能表示为（x，y均为自然数）．请判断兴趣小组猜测是否正确．若正确，请给出证明；若不正确，请举出反例． 【考点4】幂运算与方程不等式综合（第36-45题） · 幂运算逆用：由 am、an 求 am+n、amn 等，先化为同底数 · 含参数分式方程与不等式：由解的情况（为正、无解、整数解）列方程或不等式 · 新定义运算按定义转化为常规代数运算，注意运算顺序 36．关于的方程的解为正整数，且关于的不等式组，有解且最多有个整数解，则满足条件的所有整数值之和为（ ） A． B． C． D． 37．已知实数a，b，c满足，，，则的值为__ ． 38．若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围为________． 39．我们规定：一个四位数，若满足，则称这个四位数为“两倍数”．例如：四位数5211，因，所以5211是“两倍数”．按照这个规定，最小的“两倍数”是_________；一个“两倍数”，去掉个位数字得到一个新的数，记，若是11的倍数，则满足条件的中，的最大值与最小值之差为_________． 40．若，，，则a，b，c的大小关系是______（用“”表示）． 41．阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，例如，，求证：．证明： 左边右边． 阅读材料二：基本不等式，当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具．例如：在的条件下，，∴，当且仅当，即时，有最小值，最小值为2．请根据阅读材料解答下列问题 (1)若正数x，则的最小值为______． (2)若正数a，b满足，，n为的最小值，求； (3)若正数a，b满足，若不等式恒成立，求实数m的取值范围． 42．已知正数，，，，满足，． (1)当，时，请用含的式子表示； (2)已知，，满足； ①求证：； ②若，求的取值范围． 43．我们把形如（、不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”． 例如：为“十字分式方程”，可化为，，． 再如：为“十字分式方程”，可化为，，． 应用上面的结论，解答下列问题： (1)若为“十字分式方程”，则________，________； (2)请利用上述方法求“十字分式方程”的解； (3)若“十字分式方程”的两个解分别为，，求的值． 44．先化简，再求值：，其中是不等式组的整数解． 45．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币，小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n倍．”小玲对小倩说：“你若给我n元，我的钱数将是你的2倍．”其中n为正整数．求n的可能值的个数． 📊 课后巩固 🍬 复习建议 · 分式部分多练混合运算与化简求值，运算顺序和符号是高频失分点 · 二次根式熟记性质公式，化简务必化到最简，注意被开方数的取值范围 · 因式分解按“一提二套三十字”顺序，分解后回乘检验 · 幂运算善用逆用变形，遇到整体求值问题先找相同底数 · 综合题先审清条件，将方程、不等式、式变形知识串联，分步书写 【作业1】已知关于x的方程解为正数，则k的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【作业2】为了让孩子了解蔬菜的种植，阿昌爸爸给阿昌规划了一块如图所示的矩形菜地．菜地内有两个相邻的正方形，若两个正方形的面积分别为和，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【作业3】观察下列二次根式的化简 ， ， ，则（    ）． A． B． C． D． 【作业4】下列因式分解中正确分解的个数是（   ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【作业5】已知有序代数式串：，对其进行如下操作： 第1次操作：用第二个式子除以第一个式子得到一个新代数式，将得到的代数式作为新代数式串的最后一项，即得到新的代数式串：，，；第2次操作：用第三个式子除以第二个式子得到一个新代数式，将得到的代数式作为新代数式串的最后一项，即得到新的代数式串：，，，；依次进行上述操作，下列说法： ①第3次操作后得到的代数式串为：，，，，； ②第次操作后得到的新代数式与第次操作后得到的新代数式相同； ③第次操作后得到的代数式串之积为； 其中正确的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【作业6】已知，则的值为__________． 【作业7】对于两个实数a、b，若分式有意义且，则称是的一个“优界数”，并规定的所有优界数的取值范围叫做的“优界域”，例如：当时，由且，解得，所以6的“优界域”为，当时，的“优界域”为______________；已知实数，关于的分式方程的解为，若是的优界数，则的取值范围为______________． 【作业8】设（n为正整数），则的值_________1（填“＞”，“=”或“＜”） 【作业9】已知，的值是 _________． 【作业10】已知最简二次根式与是同类二次根式，则__________． 【作业11】对于一个四位自然数M，各个数位上的数字均不为0，若它的千位数字比个位数字多4，百位数字与十位数字之和是4的整数倍，则称M为“巳巳如意数”．如：四位数7313，∵，∴7313是“巳巳如意数”；四位数，∵，∴不是“巳巳如意数”，则最小的“巳巳如意数”为______ ；一个“巳巳如意数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，将M的千位数字与十位数字交换位置，百位数字与个位数字交换位置，得到一个新的四位数，记，，若能被4整除，则满足条件的M的最大值为___ ． 【作业12】证明：若a、b、c为三个互不相等的正实数， 【作业13】已知，求式子的值． 【作业14】先化简，再求值：，其中． 【作业15】若一个数是一个整数的平方，则称这个数是完全平方数，类似地，多项式及称做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式． 原式； 例如：求代数式的最小值． 原式．可知当时，有最小值，最小值是． (1)用配方法分解因式：； (2)当x为何值时，多项式有最大值，并求出这个最大值． (3)求使得是完全平方数的所有整数m的积． 学科网（北京）股份有限公司 $