专题6.5 二次函数与一元二次方程的关系（9大题型+高效培优讲义）数学新教材苏科版九年级下册

专题4.4 二次函数与一元二次方程的关系 教学目标 1. 理解二次函数图像与x轴交点和一元二次方程根的对应关系。 2. 会借助二次函数图像判断一元二次方程根的情况，能求方程近似根。 3. 体会数形结合思想，构建二次函数与一元二次方程的知识体系，提升数学应用意识。 教学重难点 1.重点 （1） 掌握二次函数与一元二次方程的内在联系，明确函数图像与x轴交点横坐标即为方程的根。 （2）学会运用二次函数图像的相关特征分析并解决一元二次方程的相关问题。 2.难点 （1）难以透彻理解抛物线与x轴位置关系和一元二次方程根的情况的深层关联。 （2）运用二者的联系解决综合问题时，难以灵活转化思路，熟练运用数形结合思想。 知识点01 二次函数与坐标轴的交点 二次函数与坐标轴的交点知识总结 1. 与y轴的交点： - 求法：令x=0，代入y=ax²+bx+c（a≠0），得y=c，交点为(0, c)。 - 特征：必过一点，横坐标恒为0，纵坐标为常数项c。 2. 与x轴的交点： - 求法：令y=0，解一元二次方程ax²+bx+c=0，根x₁、x₂对应交点(x₁, 0)、(x₂, 0)。 - 根的情况与交点个数： - Δ＞0：2个不同交点（方程有两个不等实根）； - Δ=0：1个交点（方程有两个相等实根，为顶点）； - Δ＜0：无交点（方程无实根）。 3. 核心思想： - 转化思想：将交点问题转化为解方程问题； - 数形结合：通过函数图像直观判断交点个数与位置。 【即学即练】1．（2026·四川乐山·二模）二次函数与轴的交点坐标是（     ） A．， B．， C．， D．， 2．（26-27九年级上·全国·单元复习）抛物线与x轴的两个交点之间的距离是（     ） A． B．2 C． D．4 3．（26-27九年级上·全国·单元复习）已知二次函数的图象经过点，，该图象与轴的另一个交点为，则的长为________． 知识点02 二次函数与一元二次方程的解 二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0） 1.抛物线与x轴的交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的解. 【即学即练】4．（25-26九年级上·山西晋城·期末）设二次函数，下表列出了与的6对对应值： 0 1 2 3 4 5 13 23 根据表格中的内容，能够判断一元二次方程的一个解的大致范围是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·北京·期末）已知二次函数图象上的部分点的坐标对应值列表如下： x … 1 3 … y … 4 … 则关于x的方程的解为：________． 6．（25-26九年级下·江苏扬州·期中）如图是二次函数的图象，若关于的方程总有一正一负两个实数根，则的取值范围是__________． 知识点03 二次函数与不等式 解集分类推导 条件 不等式 ax2+bx+c>0 不等式 ax2+bx+c<0 a>0，Δ>0 x<x1​ 或 x>x2​ x1<x<x2​ a>0，Δ=0 x≠x0​（全体实数除 x0​） 无解 a>0，Δ<0 全体实数R 无解 a<0，Δ>0 x1<x<x2​ x<x1​ 或 x>x2​ a<0，Δ=0 无解 x≠x0​ a<0，Δ<0 无解 全体实数R 【即学即练】7．（25-26九年级上·北京·期中）如图，抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 8．（2026·江苏无锡·中考真题）如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，已知点，点在轴上，则不等式的解集是（     ） A．或 B．或 C． D． 9．（26-27九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是____________ 题型01 求抛物线与坐标轴的交点 【典例1】（26-27九年级上·河南商丘·阶段检测）如图，抛物线的对称轴为直线，点，点是抛物线与轴的两个交点，若点的坐标为，则点的坐标为________． 【变式1】（25-26九年级上·陕西安康·期中）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴的负半轴交于点，连接，则的面积为___________． 【变式2】（26-27九年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）已知函数的图象与坐标轴有两个交点，则的值为________． 【变式3】（26-27九年级上·湖北荆州·阶段检测）二次函数的图象与x轴交于A，B两点（A点在B点左边），与y轴交于点C，则___________． 题型02 已知二次函数的函数值求自变量的值 【典例1】（2026·安徽六安·二模）已知反比例函数与二次函数的图象交点的纵坐标为3，则的值为（    ） A．6 B． C．2 D． 【变式1】（25-26九年级上·浙江丽水·期中）根据下列表格中的对应值： x 1.98 1.99 2.00 2.01 -0.06 -0.05 -0.03 0.01 判断方程（，a，b，c为常数）一个根x的范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·辽宁大连·阶段检测）已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如表： … 0 1 2 3 … … 10 5 2 1 2 … 则当时，x的值为_____． 【变式3】（25-26九年级上·江苏扬州·期末）二次函数的图象经过点，，则关于的一元二次方程的解为 ______． 题型03 抛物线与X轴的交点问题 【典例1】（26-27九年级上·江苏常州·阶段检测）已知代数式的取值如下所示，由数据可得，关于x的一元二次方程的解是（    ） … 0 1 2 3 … … 0 0 … A． B． C． D． 【变式1】（26-27九年级上·北京·课堂例题）若二次函数的图象经过点，，则关于x的方程的实数根为（     ） A．， B．， C．， D．， 【变式2】（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）二次函数的图象与轴有________个交点． 【变式3】（2026·上海静安·三模）若函数与轴有且仅有1个交点，则的值为_________． 题型04 根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【典例1】（26-27九年级上·辽宁大连·阶段检测）已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为__________． 【变式1】（26-27九年级上·浙江温州·阶段检测）二次函数的图象如图所示，若关于的方程有两个不相等的实数根，则常数的取值范围是_________________． 【变式2】（26-27八年级上·上海虹口·阶段检测）已知二次函数的部分图像如图所示，它的顶点坐标为，如果关于的一元二次方程的一个根是，则另一个根是__________． 【变式3】（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）二次函数的部分图像如图所示，图像过点，对称轴为直线．下列结论：①；②；③若点、点，点在该函数图像上，则；④若函数的两根为和，且，则．其中一定正确的结论有______（填写序号）． 题型05 求X轴与抛物线的截线长 【典例1】（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）二次函数的图像与轴的交点为，两点，则线段长为________． 【变式1】（26-27九年级上·上海闵行·阶段检测）已知抛物线与x轴交于点A、点B（点A在点B的左侧），且，则的值是______． 【变式2】（26-27九年级上·上海杨浦·阶段检测）二次函数与轴两个交点间的距离是，那么的值为_____． 【变式3】（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知抛物线，点，是抛物线上不同的两点． （1）若，则线段的长为__________； （2）若为正整数，且线段上横坐标为整数的点恰好有5个，则的值为__________． 题型06 图象法确定一元二次方程的近似根 【典例1】（25-26九年级下·广东深圳·开学考试）根据下列表格的对应值，判断方程（为常数）一个解的范围是（    ） 3.23 3.24 3.25 3.26      -0.06 -0.02 0.03 0.09 A．3 B．3 C．3 D．3 【变式1】（26-27九年级上·山西大同·阶段检测）根据关于x的二次函数，可列表如下： x 0 1 y 2.29 则方程的一个近似解是______． 【变式2】（26-27九年级上·江西新余·阶段检测）下表是函数的部分自变量与对应的函数值，根据此表，可以判断方程的一个解可能的取值范围是_________． 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 0.48 1.28 2.12 【变式3】（25-26九年级上·浙江金华·期中）下表是函数的部分自变量与对应的函数值： x y 根据此表，可以判断方程的一 个解x 可能的取值范围是________． 题型07 图象法解一元二次不等式 【典例1】（2025九年级上·江苏泰州·专题练习）已知二次函数 的部分图象如图，若，则的取值范围是 （    ） A． B． C．或 D．或 【变式1】（25-26九年级上·河南南阳·期末）在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度厘米/天)和光照强度勒克斯)之间存在一定关系．在低光照强度范围()内，与近似成一次函数关系；在中高光照强度范围()内，与近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（    ） A．当时，随的增大而增大 B．当时， C．当时，这种植物的生长速度最快 D．当时， 【变式2】（24-25九年级上·湖南长沙·期末）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，．则不等式的解是 ________． 【变式3】（25-26九年级上·山东菏泽·期末）如图是二次函数的图象，有下列结论： ①；②当时，y随x的增大而减小；③；④方程的根是，；⑤；⑥中，其中你认为正确的结论序号是_________． 题型08 利用不等式求自变量或函数值的范围 【典例1】（2026·山东聊城·模拟预测）二次函数，当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·山西阳泉·模拟预测）已知二次函数的自变量x与函数值y的几组对应值如下表： x 0 1 5 y 0 5 9 8 5 则下列关于该二次函数的说法正确的是（    ） A．图象开口向上 B．当时，y的取值范围为 C．一元二次方程有两个相等的实数根 D．图象的对称轴是直线 【变式2】（2026·湖北武汉·一模）已知抛物线（，，是常数且）的自变量与函数的部分对应值如下表：其中．以下结论： … … … … ①； ②若抛物线经过点，，则； ③关于的方程有两个不相等的实数根； ④； ⑤当，，的最大值是，则或． 其中正确的结论是________（填写序号）． 【变式3】学习完函数的有关知识之后，小函对函数产生了浓厚的兴趣，他利用“描点法”画出函数的图象，如图，他对该函数的性质进行了探究．下面有个推断： ①该函数自变量的取值范围为； ②该函数有最小值； ③当时，随的增大而减小； ④方程有三个实数根． 其中正确的是 _____．（写序号） 题型09 根据交点确定不等式的解集 【典例1】（25-26八年级下·北京·阶段检测）二次函数的部分图象如图所示，则关于的不等式的解集是（     ） A． B． C． D．或 【变式1】（2026·内蒙古通辽·二模）一次函数与二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D．或 【变式2】（2026·重庆綦江·二模）如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是__________． 【变式3】（25-26八年级下·重庆·期末）如图，二次函数的图象与直线有两个交点，交点横坐标分别为1、3，则关于的不等式的解集为___________． 一、单选题 1．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）二次函数与轴的交点坐标是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·广东东莞·阶段检测）抛物线与x轴的交点坐标是（     ） A． B．和 C．和 D．没有交点 3．（25-26九年级上·云南德宏·期末）已知二次函数的部分图像如图所示，那么关于的一元二次方程的根为（     ） A．， B．， C．， D．， 二、填空题 4．（26-27九年级上·上海·阶段检测）抛物线向下平移3个单位后，新抛物线与轴两个交点之间的距离为________． 5．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如表： 容易看出，是它与x轴的一个交点，则抛物线的对称轴是____________________，与x轴的另一个交点的坐标为__________． 6．（26-27九年级上·河北邯郸·期中）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左边），交轴于点，线段的端点坐标分别是，．若线段与抛物线只有一个公共点，则的取值范围是_______． 三、解答题 7．（26-27九年级上·浙江宁波·阶段检测）已知抛物线的顶点坐标为，且经过点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)求该抛物线与轴的交点坐标． 8．（26-27九年级上·广东惠州·阶段检测）如图，抛物线与直线交于点，，且点在轴上． (1)求和的值； (2)结合图象写出关于的不等式的解集． 9．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知二次函数． (1)求证：该函数图象与x轴一定有两个不同的交点； (2)若该函数图象与x轴的一个交点是，求另一个交点坐标． 10．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知二次函数（m为常数）． (1)当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小，求m的值． (2)求证：无论m取何值，该函数图象与x轴都有两个交点； (3)当时，y的最大值为2，求m的值． 一、单选题 1．（2026九年级上·全国·专题练习）已知抛物线与轴的一个交点坐标为，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）如图是二次函数的图象，对称轴是直线，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）已知二次函数的图象与轴交于点，点，若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·山东泰安·阶段检测）如图所示是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③；④一元二次方程没有实数根．⑤其中正确的结论个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）已知函数的图象如图所示，下列四个结论中，正确的是（     ） A．当时，函数有最大值是4 B．图象与轴的交点为和 C．当或时，函数值随值的增大而减小 D．若直线与函数图象至少有3个公共点，则的取值范围是 二、填空题 6．（25-26九年级上·陕西宝鸡·阶段检测）已知抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，则的面积为___________． 7．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知二次函数的图象如图所示，当时，x的取值范围是______；当时，x的取值范围是______． 8．（2026·湖北省直辖县级单位·二模）抛物线 （a，b，c为常数，）经过，两点，下列四个结论： ①一元二次方程 的根为，； ②若点，在该抛物线上，则； ③对于任意实数t，总有； ④若一元二次方程（p为常数）有两实数根m，n，则． 其中正确的结论是_________．（填序号） 9．（25-26九年级上·山东烟台·阶段检测）抛物线的部分图象如图，对称轴为直线，直线与抛物线都经过点．下列说法：①；②；③关于x的一元二次方程的两根为，；④当时，二次函数有最大值．其中正确的有_______． 三、解答题 10．（26-27九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）已知二次函数（，，是常数，且）的函数值与自变量的部分对应值如表： … 0 2 3 … … 5 0 … (1)该函数图象的对称轴为直线 ； (2)关于的一元二次方程的根是 ； (3)关于的一元二次不等式的解集是 ； (4)若关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有实数根，请直接写出的取值范围 ． 11．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，一次函数的图象与二次函数的图象交于两点． (1)求一次函数的解析式； (2)当为何值时，一次函数的值大于二次函数的值？ 12．（25-26八年级下·浙江金华·期中）如图，已知抛物线经过 两点，顶点为． (1)分别求抛物线和直线的解析式； (2)请根据图象直接写出：时的取值范围； 13．（2026·山东枣庄·模拟预测）如图，抛物线经过点，． (1)写出，的关系； (2)将抛物线向右平移（）个单位长度，得到新抛物线，若点，均在抛物线上，都有，求的取值范围； (3)如果每取一个确定值，方程（为常数，且）的根都是整数，求的取值（用含的代数式表示）． 14．（2026·河南平顶山·三模）【定义】将二次函数图象上任意一点先沿x轴向右平移t个单位长度，再关于x轴对称，得到点，我们称点为点P的“衍生变换点”．连接二次函数图象上所有点的“衍生变换点”，形成的曲线被称为原二次函数的“衍生曲线”． 【探究】数学兴趣小组的同学对当时，二次函数 的“衍生曲线”进行了如下探究： 上的点的坐标 时的“衍生变换点”的坐标 (1)①表格中横线上应填__________； ②请在给出的平面直角坐标系中描点、连线，画出当时二次函数 的“衍生曲线”． (2)求出当时，函数 的“衍生曲线”的函数表达式． (3)已知点在函数 的图象上，当时，记点M的“衍生变换点”为点 若结合函数图象直接写出的取值范围． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.4 二次函数与一元二次方程的关系 教学目标 1. 理解二次函数图像与x轴交点和一元二次方程根的对应关系。 2. 会借助二次函数图像判断一元二次方程根的情况，能求方程近似根。 3. 体会数形结合思想，构建二次函数与一元二次方程的知识体系，提升数学应用意识。 教学重难点 1.重点 （1） 掌握二次函数与一元二次方程的内在联系，明确函数图像与x轴交点横坐标即为方程的根。 （2）学会运用二次函数图像的相关特征分析并解决一元二次方程的相关问题。 2.难点 （1）难以透彻理解抛物线与x轴位置关系和一元二次方程根的情况的深层关联。 （2）运用二者的联系解决综合问题时，难以灵活转化思路，熟练运用数形结合思想。 知识点01 二次函数与坐标轴的交点 二次函数与坐标轴的交点知识总结 1. 与y轴的交点： - 求法：令x=0，代入y=ax²+bx+c（a≠0），得y=c，交点为(0, c)。 - 特征：必过一点，横坐标恒为0，纵坐标为常数项c。 2. 与x轴的交点： - 求法：令y=0，解一元二次方程ax²+bx+c=0，根x₁、x₂对应交点(x₁, 0)、(x₂, 0)。 - 根的情况与交点个数： - Δ＞0：2个不同交点（方程有两个不等实根）； - Δ=0：1个交点（方程有两个相等实根，为顶点）； - Δ＜0：无交点（方程无实根）。 3. 核心思想： - 转化思想：将交点问题转化为解方程问题； - 数形结合：通过函数图像直观判断交点个数与位置。 【即学即练】1．（2026·四川乐山·二模）二次函数与轴的交点坐标是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】二次函数与轴交点的纵坐标为，令解一元二次方程即可． 【详解】解：令，得， 因式分解得， 解得， 二次函数与轴的交点坐标为，． 2．（26-27九年级上·全国·单元复习）抛物线与x轴的两个交点之间的距离是（     ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【详解】解：令，得； ∵， ∴或， 解得，， ∴抛物线与轴的两个交点为，， ∴两交点之间的距离为． 3．（26-27九年级上·全国·单元复习）已知二次函数的图象经过点，，该图象与轴的另一个交点为，则的长为________． 【答案】 【分析】将、两点坐标代入二次函数解析式，求出和的值得到完整解析式，再求函数与轴的交点坐标，最后计算的长度． 【详解】解：∵二次函数经过点，， ∴， 解得，， ∴二次函数解析式为， 当时，， 解得，， ∵点坐标为， ∴另一个交点坐标为， ∴的长为． 知识点02 二次函数与一元二次方程的解 二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0） 1.抛物线与x轴的交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的解. 【即学即练】4．（25-26九年级上·山西晋城·期末）设二次函数，下表列出了与的6对对应值： 0 1 2 3 4 5 13 23 根据表格中的内容，能够判断一元二次方程的一个解的大致范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的解的关系，解本题的关键在找出当函数值y为0时，对应的一元二次方程的一个解的取值范围． 根据二次函数图象的连续性，当两个x值对应的函数值异号时，这两个x值之间的区间内存在一元二次方程的解，通过表格数据找出y异号的x区间即可． 【详解】解：∵当时，；当时，； 又∵二次函数的图象是连续的抛物线； ∴在的区间内，存在使得，即一元二次方程的一个解的大致范围是． 故选：B 5．（25-26八年级下·北京·期末）已知二次函数图象上的部分点的坐标对应值列表如下： x … 1 3 … y … 4 … 则关于x的方程的解为：________． 【答案】， 【分析】将方程的解等价转化为二次函数中时对应的的值是解题关键，先根据表格数据求出抛物线的对称轴，再利用对称性得到时对应的所有的值即可． 【详解】解：由表格可知，二次函数经过点，，， 点与点纵坐标相等， 抛物线的对称轴为直线， 设点关于对称轴的对称点横坐标为， 则， 解得，即对称点坐标为， 当时，的值为或， 即关于的方程的解为，． 6．（25-26九年级下·江苏扬州·期中）如图是二次函数的图象，若关于的方程总有一正一负两个实数根，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】利用数形结合思想，根据交点的坐标意义求解即可； 【详解】解：根据题意，得当时，此时，与抛物线的交点坐标中一个为负，一个为零， 当时，与抛物线的交点坐标中一个为负，一个为正， 故答案为：； 知识点03 二次函数与不等式 解集分类推导 条件 不等式 ax2+bx+c>0 不等式 ax2+bx+c<0 a>0，Δ>0 x<x1​ 或 x>x2​ x1<x<x2​ a>0，Δ=0 x≠x0​（全体实数除 x0​） 无解 a>0，Δ<0 全体实数R 无解 a<0，Δ>0 x1<x<x2​ x<x1​ 或 x>x2​ a<0，Δ=0 无解 x≠x0​ a<0，Δ<0 无解 全体实数R 【即学即练】7．（25-26九年级上·北京·期中）如图，抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的对称性，二次函数与不等式，掌握数形结合思想的应用是解题的关键． 由函数图象得对称轴为，然后可得点关于的对称点的坐标，进而可得答案． 【详解】解：由函数图象得：二次函数的对称轴为直线， ∴点关于直线的对称点的坐标为， ∴关于x的不等式的解集是 故选：C． 8．（2026·江苏无锡·中考真题）如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，已知点，点在轴上，则不等式的解集是（     ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【详解】解：对于二次函数，令，则， ∴二次函数的图象与y轴的交点为， ∵对于一次函数，令，则， ∴一次函数的图象与y轴的交点为， ∵两个图象交于，两点，已知点，点在轴上， ． 则不等式可变形为， 即， ∴由图象可得，它的解集是． 9．（26-27九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是____________ 【答案】 【分析】将不等式变形为，结合函数图像，找出抛物线在直线下方部分对应的的取值范围即可． 【详解】解：∵， ∴， 抛物线与直线交于，两点， 当或时，， 观察函数图像可知，当时，抛物线的图像在直线的下方， 不等式的解集为． 题型01 求抛物线与坐标轴的交点 【典例1】（26-27九年级上·河南商丘·阶段检测）如图，抛物线的对称轴为直线，点，点是抛物线与轴的两个交点，若点的坐标为，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】抛物线与轴的两个交点、关于其对称轴（直线）对称，利用中点坐标公式由已知交点即可求出另一个交点的横坐标． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线，点、是抛物线与轴的两个交点， 、关于对称轴对称． 设，则与的中点横坐标为， 由对称轴为直线得，解得， ． 【变式1】（25-26九年级上·陕西安康·期中）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴的负半轴交于点，连接，则的面积为___________． 【答案】 【分析】令求出点坐标，令求出点坐标，确定、的长度，利用三角形面积公式求解． 【详解】解：令，得， 点的坐标为， ． 令，得， 整理得， 解得， ． 点在轴的负半轴， 点的坐标为， ． ． 【变式2】（26-27九年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）已知函数的图象与坐标轴有两个交点，则的值为________． 【答案】0或 【分析】当时，原函数为一次函数，与x轴，y轴各有一个交点，符合题意；当时，原函数是二次函数，由于该函数与y轴交于点，那么与x轴只有一个交点，据此利用判别式求解即可． 【详解】解：当时，，此时函数为一次函数， 当时，，解得，故此时函数与x轴有一个交点， 当时，，此时函数与y轴有一个交点， ∴此时原函数与坐标轴有两个交点，符合题意； 当时，原函数是二次函数， 当时，，即该函数与y轴交于点 ∵二次函数与y轴必然有一个交点， ∴当函数的图象与坐标轴有两个交点时该函数与x轴只有一个交点， ∴， 解得； 综上所述，k的值为0或． 【变式3】（26-27九年级上·湖北荆州·阶段检测）二次函数的图象与x轴交于A，B两点（A点在B点左边），与y轴交于点C，则___________． 【答案】 【分析】先求出点B和点C的坐标，再利用勾股定理计算线段的长度． 【详解】解：当时，有方程， 因式分解得， 解得或， ∵A点在B点左侧， ∴B点坐标为， 当时，代入二次函数解析式得， ∴C点坐标为， 设原点为， ∵x轴与y轴垂直， ∴， 可得，， 由勾股定理得． 题型02 已知二次函数的函数值求自变量的值 【典例1】（2026·安徽六安·二模）已知反比例函数与二次函数的图象交点的纵坐标为3，则的值为（    ） A．6 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】先求出交点坐标，再代入计算即可． 【详解】解：当时， 解得， ∴交点坐标为或， ∵， ∴反比例函数经过一、三象限， ∴交点坐标为， 将代入得， 解得：． 【变式1】（25-26九年级上·浙江丽水·期中）根据下列表格中的对应值： x 1.98 1.99 2.00 2.01 -0.06 -0.05 -0.03 0.01 判断方程（，a，b，c为常数）一个根x的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的联系，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 根据二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的联系即可得． 【详解】解：由表格可知，在内，y随x的增大而增大， 当时，， 当时，， 在内，必有一个x的值对应的函数值， 方程（，为常数）一个根x的范围是， 故选：D． 【变式2】（25-26九年级上·辽宁大连·阶段检测）已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如表： … 0 1 2 3 … … 10 5 2 1 2 … 则当时，x的值为_____． 【答案】4或0 【分析】本题考查用待定系数法求函数表达式、已知函数值求二次函数自变量的值，先利用待定系数法求得二次函数表达式为，再把代入求解即可． 【详解】解：把点、、代入得， ，解得， ∴二次函数表达式为， 当时，， 解得，， 当时，x的值为4或0， 故答案为：4或0． 【变式3】（25-26九年级上·江苏扬州·期末）二次函数的图象经过点，，则关于的一元二次方程的解为 ______． 【答案】， 【详解】本题考查了二次函数与一元二次方程，根据二次函数的图象经过点，，可以得到方程解为，，然后将所求方程变形，即可求得所求方程的解，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 【解答】解：∵二次函数的图象经过点，， ∴当时，可以得到方程解为或， ∵方程可以转化为方程， ∴或， 解得：，， 故答案为：，． 题型03 抛物线与X轴的交点问题 【典例1】（26-27九年级上·江苏常州·阶段检测）已知代数式的取值如下所示，由数据可得，关于x的一元二次方程的解是（    ） … 0 1 2 3 … … 0 0 … A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据表中的对应值得到当时，；当时，，则根据一元二次方程解的定义可得到方程的解． 【详解】解：∵， ∴， 由表中数据得当时，； 当时， 所以方程的解为． 【变式1】（26-27九年级上·北京·课堂例题）若二次函数的图象经过点，，则关于x的方程的实数根为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】先把代入二次函数中解得，再将代入方程求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点， ∴，解得， 将代入方程， 得， 移项得， 开方得， ∴，． 【变式2】（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）二次函数的图象与轴有________个交点． 【答案】 2 【分析】判断二次函数图象与轴的交点个数，可转化为判断一元二次方程的实数根个数，通过判别式即可得出结果. 【详解】令，得到一元二次方程 ，其中，，， ∴ ， ∴ 该一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴ 二次函数的图象与轴有个交点. 【变式3】（2026·上海静安·三模）若函数与轴有且仅有1个交点，则的值为_________． 【答案】0或 【分析】本题需分类讨论函数类型，分时函数为一次函数、时函数为二次函数两种情况，分别根据一次函数和二次函数与轴交点的性质求解的值即可． 【详解】解：分两种情况讨论： 当时，函数解析式为，是一次函数，一次函数的图象与轴有且仅有一个交点，符合题意，因此满足条件． 当时，函数是二次函数，若二次函数的图象与轴有且仅有一个交点，则根的判别式． 对于一元二次方程，其中，，，可得： 令，即， 解得，即或，均满足，符合题意． 综上，的值为或或． 题型04 根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【典例1】（26-27九年级上·辽宁大连·阶段检测）已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为__________． 【答案】 【分析】由图知，抛物线与x轴交于，代入求出a的值，再解方程即可． 【详解】解：由图知，抛物线与x轴交于点， 将代入，得， ∴， ∴原方程为， 解得：． 【变式1】（26-27九年级上·浙江温州·阶段检测）二次函数的图象如图所示，若关于的方程有两个不相等的实数根，则常数的取值范围是_________________． 【答案】 【分析】将方程 的根的问题转化为二次函数 的图象与直线 的交点问题，结合图象中顶点的纵坐标进行求解． 【详解】解：关于 的方程 有两个不相等的实数根， 等价于二次函数 的图象与直线 有两个不同的交点． 由图象可知，抛物线开口向下，且顶点的纵坐标为 ． ∴ 当直线 位于抛物线顶点下方时，即 时，直线与抛物线有两个不同的交点． ∴ 的取值范围是 ． 【变式2】（26-27八年级上·上海虹口·阶段检测）已知二次函数的部分图像如图所示，它的顶点坐标为，如果关于的一元二次方程的一个根是，则另一个根是__________． 【答案】 【分析】由二次函数图象的顶点坐标确定对称轴，利用抛物线的对称性可知两根关于对称轴对称，即两根之和的一半等于对称轴的横坐标，代入已知根求解即可． 【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵关于的一元二次方程的两个根分别是，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式3】（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）二次函数的部分图像如图所示，图像过点，对称轴为直线．下列结论：①；②；③若点、点，点在该函数图像上，则；④若函数的两根为和，且，则．其中一定正确的结论有______（填写序号）． 【答案】①④/④① 【分析】本题考查二次函数的图象与性质．根据抛物线的对称轴可判断①正确；根据抛物线的对称性，求得图象也过点，据此可判断②错误；先求得关于直线的对称点为，时，随着的增大而增大，据此可判断③错误；方程有两根，可看作直线与抛物线有两个交点，根据二次函数的图象与性质即可求出答案． 【详解】解：①由题意可知：对称轴， ， ，故①正确； ②图象过点，对称轴为直线， 图象也过点，即当时，， ，即，故②错误； ③关于直线的对称点为， 由图可知：时，随着的增大而增大， 由于， ，故③错误； ④设，， 由图象可知：直线与抛物线有两个交点， 方程的两根为和， ，故④正确； 综上，正确的只有①④， 故答案为：①④． 题型05 求X轴与抛物线的截线长 【典例1】（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）二次函数的图像与轴的交点为，两点，则线段长为________． 【答案】5 【分析】求出二次函数，当时x的值，即可得出答案． 【详解】解：， ， ， 或， ， 线段长为． 【变式1】（26-27九年级上·上海闵行·阶段检测）已知抛物线与x轴交于点A、点B（点A在点B的左侧），且，则的值是______． 【答案】 【分析】先令得到一元二次方程，利用结合根与系数的关系列方程求解． 【详解】解：令，得一元二次方程 ， 设点，点，且， 故是一元二次方程的两个根， ，， 由题意得，且， ∴ ， 整理得 ，即 ， 解得 ． 【变式2】（26-27九年级上·上海杨浦·阶段检测）二次函数与轴两个交点间的距离是，那么的值为_____． 【答案】1或 【分析】设二次函数与轴交点横坐标为，根据根与系数的关系得到，根据交点距离得到，利用完全平方公式变形列方程求解，验证判别式后得到结果． 【详解】解：设二次函数与轴交点的横坐标为， 当时，， ∴， ∵ 两个交点间的距离为， ∴ ， 两边平方得， 由完全平方公式变形得， ∴， 整理得， 解得或， 验证判别式：， 当时，，符合题意， 当时，，符合题意， 综上所述，的值为或． 【变式3】（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知抛物线，点，是抛物线上不同的两点． （1）若，则线段的长为__________； （2）若为正整数，且线段上横坐标为整数的点恰好有5个，则的值为__________． 【答案】 3或4 【分析】将代入抛物线方程，利用根与系数的关系求出线段的长，再根据对称范围上整数点的个数列不等式求解． 【详解】解：（1）当时，抛物线方程为， 令，得，整理得， ∵，， ∴． （2）令，代入抛物线方程得，整理得， 由根与系数的关系得，， ∴， ∵抛物线的对称轴为：直线， 线段的横坐标范围为：， 已知范围中心为整数，恰好包含5个整数点， 可得：且，同时， 化简得，即， ∵为正整数， ∴或． 题型06 图象法确定一元二次方程的近似根 【典例1】（25-26九年级下·广东深圳·开学考试）根据下列表格的对应值，判断方程（为常数）一个解的范围是（    ） 3.23 3.24 3.25 3.26      -0.06 -0.02 0.03 0.09 A．3 B．3 C．3 D．3 【答案】C 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，方程的解就是二次函数与x轴交点的横坐标，只需找出函数值由负变正对应的x范围即可． 【详解】令（，，，为常数）， ∵当时，， 当时，， ∴当时，必然取到0， 即方程的一个解的范围是：． 【变式1】（26-27九年级上·山西大同·阶段检测）根据关于x的二次函数，可列表如下： x 0 1 y 2.29 则方程的一个近似解是______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】方程的解对应二次函数的函数值为0时的自变量取值，通过表格中相邻自变量对应的函数值的符号变化，定位解所在的区间，即可得到近似解． 【详解】解：一元二次方程的解就是二次函数中函数值时对应的自变量的值， ∵ 由表格数据，当时，对应的函数值，当时，对应的函数值， ∴ 二次函数的函数值在的区间内从负值逐渐变化为正值，必然存在某一个使得，即方程的解落在的范围内． ∴ 方程可取的近似解为． 【变式2】（26-27九年级上·江西新余·阶段检测）下表是函数的部分自变量与对应的函数值，根据此表，可以判断方程的一个解可能的取值范围是_________． 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 0.48 1.28 2.12 【答案】 【详解】解：由表可知，当时，；当时，，由于二次函数的图象是连续的，函数值由负变正，说明方程的一个解在2.6和2.7之间，即． 【变式3】（25-26九年级上·浙江金华·期中）下表是函数的部分自变量与对应的函数值： x y 根据此表，可以判断方程的一 个解x 可能的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查观察图表得知函数值情况，一元二次方程的根，二次函数与一元二次方程的关系．通过观察函数值的变化，当时，时，因此方程根在和之间． 【详解】解：由表可知，当时，；当时，， 由于二次函数图象是连续的，函数值由负变正，说明方程的一个解在和之间，即， 故答案为：． 题型07 图象法解一元二次不等式 【典例1】（2025九年级上·江苏泰州·专题练习）已知二次函数 的部分图象如图，若，则的取值范围是 （    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，利用二次函数图象解不等式，掌握相关知识是解决问题的关键．求时，的取值范围，就是二次函数的图象在轴下方时对应的的范围． 【详解】解：∵二次函数的部分图象交轴于点， ∴时，的取值范围是， 故选：B． 【变式1】（25-26九年级上·河南南阳·期末）在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度厘米/天)和光照强度勒克斯)之间存在一定关系．在低光照强度范围()内，与近似成一次函数关系；在中高光照强度范围()内，与近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（    ） A．当时，随的增大而增大 B．当时， C．当时，这种植物的生长速度最快 D．当时， 【答案】C 【分析】本题考查一次函数与二次函数的实际应用，涉及函数的增减性、函数与方程和不等式的对应关系．关键是再结合分段函数的图象和性质逐一分析选项： 【详解】解：选项A：当时，根据抛物线的对称性，对称轴为直线，且开口向下， 当时，随增大而增大；当时，随增大而减小，故A错误； 选项B：当时，一次函数的最小值为，最大值为， ∴有一个的解； 又当时，随增大而减小，当时，， ∴有一个的根， 时有两个解，故B错误； 选项C：根据图象，当时，随增大而增大；当时，随增大而减小， 当时，生长速度最快，故C正确； 选项D：根据图象，函数值时，的取值范围是，并非，故D错误． 故选：C． 【变式2】（24-25九年级上·湖南长沙·期末）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，．则不等式的解是 ________． 【答案】或 【分析】利用图象找到抛物线在直线上方时的的取值范围，即可得解． 【详解】解：抛物线与直线的两个交点坐标分别为，， 由图象可知，抛物线在直线上方时的的取值范围为或， 即不等式的解是或． 【变式3】（25-26九年级上·山东菏泽·期末）如图是二次函数的图象，有下列结论： ①；②当时，y随x的增大而减小；③；④方程的根是，；⑤；⑥中，其中你认为正确的结论序号是_________． 【答案】①③⑤⑥ 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数和轴交点问题，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据二次函数的图象可知，，即可判定①；根据二次函数的对称轴，即可判定②和③；根据当时，可判定④和⑤，根据和当时，可判断⑥． 【详解】解：二次函数的图象， 二次函数的图象开口向上，故；与轴交于负半轴，故， ，故①正确； 二次函数的图象对称轴为直线，开口向上， 当时，随的增大而增大，故②错误； 二次函数的图象对称轴为直线， ，即，故③正确； 根据图象可得二次函数的图象与轴的一个交点横坐标大于， ∵二次函数具有对称性，对称轴为直线， ∴二次函数的图象与轴的另一个交点横坐标小于， 方程的根不是，，故④错误； 由图象可得，当时，，故⑤正确； 根据上述说明，可得当时，，故⑥正确 故答案为：①③⑤⑥． 题型08 利用不等式求自变量或函数值的范围 【典例1】（2026·山东聊城·模拟预测）二次函数，当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先对二次函数配方，确定其开口方向、对称轴和顶点坐标，再结合给定的取值范围，计算端点和顶点的函数值，即可得到的取值范围． 【详解】解： ∵二次项系数， ∴抛物线开口向下，函数有最大值，对称轴为直线． ∵在内， ∴当时，取得最大值，即． 当时，； 当时，； ∴． 综上，当时，的取值范围是． 【变式1】（2026·山西阳泉·模拟预测）已知二次函数的自变量x与函数值y的几组对应值如下表： x 0 1 5 y 0 5 9 8 5 则下列关于该二次函数的说法正确的是（    ） A．图象开口向上 B．当时，y的取值范围为 C．一元二次方程有两个相等的实数根 D．图象的对称轴是直线 【答案】C 【分析】先利用表格中函数值相等的点得到对称点，求出对称轴，再代入点坐标求出二次函数解析式，最后逐一判断各选项正误． 【详解】解：∵时，时， ∴二次函数图象的对称轴为直线，故选项D错误． ∵时， ∴． 将，代入得， 又∵对称轴公式为直线， ∴． 联立方程得 解得， ∴二次函数解析式为． ∵， ∴图象开口向下，选项A错误． 当时，时取得最大值，端点时， ∴的取值范围是，选项B错误． ∵二次函数顶点坐标为， ∴直线与二次函数图象只有一个交点，即一元二次方程有两个相等的实数根，选项C正确． 【变式2】（2026·湖北武汉·一模）已知抛物线（，，是常数且）的自变量与函数的部分对应值如下表：其中．以下结论： … … … … ①； ②若抛物线经过点，，则； ③关于的方程有两个不相等的实数根； ④； ⑤当，，的最大值是，则或． 其中正确的结论是________（填写序号）． 【答案】①③④ 【分析】根据表格数据得到抛物线对称轴，求出与的关系，结合的范围判断开口方向与的符号，再利用二次函数的性质、一元二次方程根的判别式、不等式的性质逐一分析每个结论，判断其正确性． 【详解】解：当和时，均有， 点和点关于抛物线的对称轴对称， 抛物线的对称轴为， ∵， ∴， ∴抛物线解析式为， 由表格可知，当时，， ， ， 又∵当时，， ∴抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大， ∴抛物线开口向下，即， ∵，， ∴， ，故正确； ∵抛物线开口向下，对称轴为， ∴点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为， ，开口向下的抛物线，离对称轴越远，函数值越小， ，故错误； 由题意得， ， ∴， 将代入得， ， 当时，， 将代入得，， 将代入得，， ， ，，即， 方程有两个不相等的实数根，故正确； ∵抛物线对称轴为， 和关于对称轴对称， ， ∵是的函数值， ∴， ， 将代入得，， ，即 解得， ∴ ，即，故正确； 当时，， 将代入得，， ∵， ∴， ∵时的最大值为， ∴在取值范围内不包含顶点， 当取值在顶点左侧时，即，则最大值在处， ∴ 解得， 若区间在顶点右侧，即，则最大值在处， ∴ 解得， 或，故错误， 综上所述，正确的结论是①③④． 【变式3】学习完函数的有关知识之后，小函对函数产生了浓厚的兴趣，他利用“描点法”画出函数的图象，如图，他对该函数的性质进行了探究．下面有个推断： ①该函数自变量的取值范围为； ②该函数有最小值； ③当时，随的增大而减小； ④方程有三个实数根． 其中正确的是 _____．（写序号） 【答案】①④ 【分析】根据函数的图象与函数的关系式综合进行判断即可． 【详解】解：由函数的图象可得，图象与轴无交点，即， 故函数自变量的取值范围为，故①说法正确； 根据图象可知，函数值可以是或负数，因此②说法不正确； 由函数的图象可知，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，故③说法不正确； 根据函数的图象可直观看出该函数与直线，有三个交点，如图： 即方程有三个实数根，故④说法正确； 综上，正确的结论有：①④． 题型09 根据交点确定不等式的解集 【典例1】（25-26八年级下·北京·阶段检测）二次函数的部分图象如图所示，则关于的不等式的解集是（     ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】由函数图象得对称轴为，然后可得点关于的对称点的坐标，即可求解． 【详解】解：由函数图象得：二次函数 的对称轴为， ∴点关于的对称点的坐标为， ∴关于 的不等式的解集是 ． 【变式1】（2026·内蒙古通辽·二模）一次函数与二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】观察图象得，当或时，二次函数的图象在一次函数图象的上方，由此即可得出结果． 【详解】解：观察图象得，当或时，二次函数的图象在一次函数图象的上方， 即当或时，， 不等式的解集为或． 【变式2】（2026·重庆綦江·二模）如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是__________． 【答案】或 【详解】解：∵， ∴， ∴不等式的解集是或． 【变式3】（25-26八年级下·重庆·期末）如图，二次函数的图象与直线有两个交点，交点横坐标分别为1、3，则关于的不等式的解集为___________． 【答案】 【分析】将不等式变形为，即求二次函数图象在一次函数图象上方（包括交点）时自变量的取值范围． 【详解】解：关于的不等式可变形为， 该不等式的解集即为二次函数的图象在一次函数的图象上方（包括交点）时自变量的取值范围， 由图象可知，二次函数与一次函数交点的横坐标分别为，， 当时，二次函数的图象在一次函数的图象上方， 关于的不等式的解集为． 一、单选题 1．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）二次函数与轴的交点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】与轴交点的横坐标为，代入解析式计算纵坐标即可． 【详解】解：将代入，得 ， 即二次函数与轴的交点坐标为． 2．（26-27九年级上·广东东莞·阶段检测）抛物线与x轴的交点坐标是（     ） A． B．和 C．和 D．没有交点 【答案】C 【分析】令，求出x的值，即可得出抛物线与x轴的交点坐标． 【详解】解：当时，， 解得，， 所以抛物线与x轴的交点坐标为和． 3．（25-26九年级上·云南德宏·期末）已知二次函数的部分图像如图所示，那么关于的一元二次方程的根为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】解：由二次函数可知，其对称轴为直线． 图像显示抛物线与轴的一个交点为，且抛物线关于对称轴对称， 抛物线与轴的另一个交点与关于直线对称． 设另一个交点的横坐标为，则， 解得． 关于的一元二次方程的根为，． 二、填空题 4．（26-27九年级上·上海·阶段检测）抛物线向下平移3个单位后，新抛物线与轴两个交点之间的距离为________． 【答案】 【分析】先根据平移规则得到新抛物线，令得到一元二次方程，利用根与系数关系求出两根和、两根积，代入距离公式算出交点距离是． 【详解】解：∵ 原抛物线解析式为 ，向下平移 3 个单位，遵循上加下减， ∴ 新抛物线解析式为， 即 令 ，则 ， 两边同时除以 2 得：． 设方程两根为，由一元二次方程根与系数的关系： ∴ ． ∴ ， ． ∴ 新抛物线与轴两个交点之间的距离为 ． 5．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如表： 容易看出，是它与x轴的一个交点，则抛物线的对称轴是____________________，与x轴的另一个交点的坐标为__________． 【答案】 直线 【分析】根据二次函数的对称性求解即可． 【详解】解：抛物线上值相等的两个点关于对称轴对称， 由表格可知其经过，， ∴对称轴为直线， 是它与轴的一个交点， 与轴的另一个交点的坐标为． 6．（26-27九年级上·河北邯郸·期中）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左边），交轴于点，线段的端点坐标分别是，．若线段与抛物线只有一个公共点，则的取值范围是_______． 【答案】或或 【分析】先求直线与抛物线的交点，再判断交点横坐标是否落在线段的横坐标范围内；讨论时按的正负与临界值（含端点与相切的情形）分类，相切记作一个公共点． 【详解】解：由， 令，得， 两边同乘，得， 即，解得或， 故，． 令，得，故． 当时，、重合于原点，而原点不在抛物线上，线段与抛物线没有公共点，不合题意． 当时，直线过、，设直线的解析式为． 把、的坐标分别代入，得 解得，， 故直线的解析式为． 线段上点的横坐标范围：当时为；当时为． 联立直线与抛物线，得， 两边同乘并整理，得． 判别式． 当时，，直线与抛物线没有交点，不合题意； 当时，交点横坐标为． ①当时，线段上点的横坐标范围为． 其中，不在该范围内； 而在该范围内，当且仅当， 即． 当时，两边平方得， 即，． 而时，故，即． 于是当时恰有个公共点；当时没有公共点，不合题意． ②当时，线段上点的横坐标范围为． 在该范围内，当且仅当， 即． 当时，而，该不等式不成立； 当时两边平方得，即， 而时，故，即； 故当时在范围内． 而在该范围内，当且仅当， 即，得． 当时，此时、，故，即， 又，故，即； 当时． 于是当时没有公共点，不合题意； 当时恰有个公共点； 当时有个公共点，不合题意； 当时，，直线与抛物线相切于，且，恰有个公共点； 综上，线段与抛物线只有一个公共点时， 的取值范围是或或． 当时，、， 此时，满足， 线段与抛物线恰有一个公共点（如图）． 三、解答题 7．（26-27九年级上·浙江宁波·阶段检测）已知抛物线的顶点坐标为，且经过点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)求该抛物线与轴的交点坐标． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）设二次函数顶点式，代入已知点求解系数，得到解析式； （2）令解一元二次方程，所得根为交点横坐标，即得交点坐标． 【详解】（1）解：抛物线顶点坐标为， 设二次函数解析式为， 将点代入解析式，得 ， 解得， 二次函数解析式为， 整理得； （2）解：令，则， 化简得， 因式分解得， ， 该抛物线与轴的交点坐标为和． 8．（26-27九年级上·广东惠州·阶段检测）如图，抛物线与直线交于点，，且点在轴上． (1)求和的值； (2)结合图象写出关于的不等式的解集． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先联立抛物线解析式和一次函数解析式求出点B的坐标，再根据图象法找到抛物线图象在一次函数图象上方时自变量的取值范围即可； 【详解】（1）解：把代入，得， 解得， 把代入，得， 解得； （2）解：由（1）知，抛物线解析式为，直线解析式为， 联立，得， 解得， 当时，， 当时，， ∴， ∵由函数图象可知，当抛物线在一次函数图象上方时，自变量的取值范围为或， ∴不等式的解集为或． 9．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知二次函数． (1)求证：该函数图象与x轴一定有两个不同的交点； (2)若该函数图象与x轴的一个交点是，求另一个交点坐标． 【答案】(1)证明：在二次函数中， ，，， . ∵， ∴，即， ∴该函数图象与轴一定有两个不同的交点； (2)另一个交点坐标为. 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式的范围即可证明结论； （2）根据函数图象与x轴的一个交点是得到，解方程即可求出答案. 【详解】（1）略 （2）解：∵二次函数，该函数图象与x轴的一个交点是， ∴ 解得 ∴二次函数为 当时，， 解得， ∴该函数图象与x轴的另一个交点坐标为. 10．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知二次函数（m为常数）． (1)当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小，求m的值． (2)求证：无论m取何值，该函数图象与x轴都有两个交点； (3)当时，y的最大值为2，求m的值． 【答案】(1) (2)证明：∵二次函数对应的一元二次方程为， ∴，，， ， ， 无论取何值，该方程有两个不相等的实数根， ∴无论取何值，该函数图象与轴都有两个交点． (3)的值为或 【分析】（1）根据二次函数的对称轴解答即可； （2）根据一元二次方程中根的判别式解答即可； （3）根据二次函数的性质可知在区间内，最大值在或处取得，把或和代入函数，求得的值，再验证即可． 【详解】（1）解：∵二次函数， ∴，图象开口向上，对称轴为直线， ∵当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小， ∴对称轴为直线， ∴，解得． （2）略 （3）解：∵二次函数，，图象开口向上， ∴在区间内，最大值在或处取得， 当，时，， 解得：， 当时，对称轴，区间在对称轴左侧，函数递减，最大值在，符合； 时，对称轴，区间在对称轴右侧，函数递增，最大值应该在，所以舍去； 当，时，， 解得：， 时，对称轴，区间在对称轴右侧，函数递增，最大值在，符合； 时，对称轴，区间在对称轴左侧，函数递减，最大值应该在，所以舍去， 综上：的值为或． 一、单选题 1．（2026九年级上·全国·专题练习）已知抛物线与轴的一个交点坐标为，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先把代入中得到，再把作为整体求解即可． 【详解】解：把代入中得， ， ． 2．（26-27九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）如图是二次函数的图象，对称轴是直线，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数图象判定，的符号，利用对称轴公式确定，关系，结合特殊点坐标判断代数式符号． 【详解】解：∵抛物线开口向下， 又∵抛物线与 轴交于正半轴 ， ∴， ∵对称轴为直线， ∴，故选项正确； ∵， ∴， ∴，故选项错误； ∵抛物线与 轴有两个交点， ∴，故选项错误 ； 由图象可知，当 时，， ∴，故选项错误； 故选． 3．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）已知二次函数的图象与轴交于点，点，若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出二次函数的对称轴，利用抛物线与轴两交点关于对称轴对称的关系，结合的取值范围推导的范围， 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， ∵点，是函数图象与轴的交点， ∴这两点关于对称轴对称，即， ∴ ∵， ∴， ∴． 4．（23-24九年级上·山东泰安·阶段检测）如图所示是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③；④一元二次方程没有实数根．⑤其中正确的结论个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】图象开口方向判断出，由对称轴得出，抛物线与y轴的交点判断，抛物线与轴交点的个数确定，再结合抛物线的部分图象和其顶点，且与轴的一个交点在点和之间，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：由抛物线开口向下可知， 对称轴为直线， ，即， 抛物线与轴交点在轴上方， ， ，故①错误； 抛物线与轴的一个交点在和之间，对称轴为， 抛物线与轴的另一个交点在和之间， 当时，， 即， ， ， 即，故②正确； 顶点坐标为， ， ， ，故③正确； 抛物线开口向下，顶点纵坐标为， 函数最大值为， ， 抛物线与直线无交点， 方程无实数根，故④正确； 当时，取最大值， 对于任意实数，都有， ， 即， 当时，，故⑤错误； 综上所述，正确的结论有②③④，共3个． 5．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）已知函数的图象如图所示，下列四个结论中，正确的是（     ） A．当时，函数有最大值是4 B．图象与轴的交点为和 C．当或时，函数值随值的增大而减小 D．若直线与函数图象至少有3个公共点，则的取值范围是 【答案】C 【分析】将函数解析式化为顶点式，求出对称轴、顶点坐标及与轴交点坐标，结合图象分析函数的增减性、最值及直线与图象交点个数即可判断 【详解】解：， 函数图象关于直线对称，翻折后的顶点坐标为， 令，则，解得 ，， 图象与轴交点为和，故B错误； 由图象可知，当或时，图象呈下降趋势，即随的增大而减小，故C正确； 当时，，但函数图象两端向上无限延伸，无最大值，故A错误； 若直线与函数图象至少有个公共点，观察图象可知，故D错误； 故选：C． 二、填空题 6．（25-26九年级上·陕西宝鸡·阶段检测）已知抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，则的面积为___________． 【答案】28 【分析】先求出抛物线与轴、轴的交点坐标，得到的长度和点到轴的距离，再代入三角形面积公式计算． 【详解】解：当时，， 整理得， 解得，， ∵点在点左侧， ∴，， ∴， 当时，， ∴，即点到轴的距离， ∴． 7．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知二次函数的图象如图所示，当时，x的取值范围是______；当时，x的取值范围是______． 【答案】 或 【分析】根据抛物线图象与x轴交于，利用图象法直接可得出当与时，x的取值范围． 【详解】解：∵抛物线图象与x轴交于 ，，又抛物线开口向上， ∴由图象可得，当时，x的取值范围是， 当时，x的取值范围是或． 8．（2026·湖北省直辖县级单位·二模）抛物线 （a，b，c为常数，）经过，两点，下列四个结论： ①一元二次方程 的根为，； ②若点，在该抛物线上，则； ③对于任意实数t，总有； ④若一元二次方程（p为常数）有两实数根m，n，则． 其中正确的结论是_________．（填序号） 【答案】①③④ 【分析】利用抛物线与轴交点和一元二次方程的关系，抛物线的对称性，增减性，最值性质以及根与系数的关系，逐一验证每个结论即可． 【详解】解：∵抛物线经过，两点， ∴一元二次方程的根为，，结论①正确； 抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下，当时，随的增大而减小， ∵点关于对称轴的对称点坐标为，且， ∴，结论②错误； ∵抛物线开口向下，顶点是抛物线上的最高点，顶点横坐标为， ∴对任意实数，都有，不等式两边同时减，得 ，因此对任意实数，总有，结论③正确； 将方程整理为， 若方程的两实数根为，，由根与系数的关系可得， 由对称轴公式， 整理得， 即，结论④正确； 综上所述，正确的有①③④． 9．（25-26九年级上·山东烟台·阶段检测）抛物线的部分图象如图，对称轴为直线，直线与抛物线都经过点．下列说法：①；②；③关于x的一元二次方程的两根为，；④当时，二次函数有最大值．其中正确的有_______． 【答案】①③ 【分析】由图象可知，，则有，然后根据二次函数的图象与性质可进行排除答案． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①是正确； ∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴，故②错误； ∵抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点为， ∴根据二次函数的对称性可知：抛物线与x轴的另一个交点为， ∴关于x的一元二次方程的两根为，，故③正确； ∵直线经过点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，y有最大值，故④错误； 综上所述：正确的有①③． 三、解答题 10．（26-27九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）已知二次函数（，，是常数，且）的函数值与自变量的部分对应值如表： … 0 2 3 … … 5 0 … (1)该函数图象的对称轴为直线 ； (2)关于的一元二次方程的根是 ； (3)关于的一元二次不等式的解集是 ； (4)若关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有实数根，请直接写出的取值范围 ． 【答案】(1) (2)， (3)或 (4) 【分析】（1）根据抛物线的对称性进行求对称轴； （2）由表格数据可得方程的一个根，再根据抛物线的对称性求出另一个根； （3）根据表格数据确定抛物线的开口方向，然后借助抛物线求不等式解集； （4）求出临界点的函数值，然后利用待定系数法求出函数解析式，求出最低点纵坐标，利用数形结合的思想即可求解． 【详解】（1）解：由表格数据可得， 当时，；当时，，根据抛物线的对称性可得， 该抛物线的对称轴为直线； （2）解：由表格数据可得， 当时，， ∴关于的一元二次方程的一个根是， 由抛物线的对称轴，得， 解得， ∴关于的一元二次方程的根是，； （3）解：由表格数据可得，该抛物线开口向上， 当时，， 由抛物线的对称轴，得， 解得， ∴当时，， ∴关于的一元二次不等式的解集为或； （4）解：由（2）可知，当时，； 由（3）可知，当时，， 将代入得， ， 解得， ∴， 当时，， ∴若关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有实数根，则直线与抛物线有交点， ∴． 11．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，一次函数的图象与二次函数的图象交于两点． (1)求一次函数的解析式； (2)当为何值时，一次函数的值大于二次函数的值？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入求解即可； （2）联立与求出交点横坐标，进而根据函数图象作答即可． 【详解】（1）解：将代入得， 解得：， ∴； （2）解：联立与得， 解得：， 结合函数图象可知，当时，一次函数的值大于二次函数的值． 12．（25-26八年级下·浙江金华·期中）如图，已知抛物线经过 两点，顶点为． (1)分别求抛物线和直线的解析式； (2)请根据图象直接写出：时的取值范围； 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）用待定系数法即可求解两函数的解析式； （2）观察图象即可求解． 【详解】（1）解：把 代入，得， 解得， ∴该抛物线解析式是：， 把 代入，得， 解得， ∴该直线的解析式是； （2）解：由图象得到：当或时，二次函数的值大于一次函数的值． 13．（2026·山东枣庄·模拟预测）如图，抛物线经过点，． (1)写出，的关系； (2)将抛物线向右平移（）个单位长度，得到新抛物线，若点，均在抛物线上，都有，求的取值范围； (3)如果每取一个确定值，方程（为常数，且）的根都是整数，求的取值（用含的代数式表示）． 【答案】(1)； (2)； (3)，，． 【分析】（1）已知抛物线与轴的两个交点，设交点式解析式并展开为一般式，对比系数即可得到与的关系． （2）先由交点坐标求出原抛物线的对称轴，结合平移规律得到新抛物线的对称轴；根据开口向下的二次函数的增减性，将函数值大小关系转化为点到对称轴的距离关系，列不等式求解的取值范围． （3）将方程的整数根转化为抛物线与直线交点的横坐标为整数，利用抛物线的对称性，结合的条件枚举整数根，代入解析式求出对应的值． 【详解】（1）解：抛物线经过点，， 设抛物线解析式为． ． ∵， ∴； （2）解：抛物线经过点，， 原抛物线的对称轴为直线． 抛物线向右平移个单位长度得到抛物线， 抛物线的对称轴为直线． ， 抛物线开口向下，点到对称轴距离越远，函数值越小． 点，在抛物线上，且， ． ． ， ， ． ①当时，， 解得， ． ②当时，， 解得． 综上，的取值范围为； （3）解：由（1）得抛物线解析式为． 抛物线的对称轴为直线． 方程的根都是整数， 抛物线与直线的交点横坐标为整数，且关于直线对称． ， 整数根的可能情况为重根，或两根为和，或两根为和． 当时，， ． 当时，， ． 当时，， ． 的取值为，，． 14．（2026·河南平顶山·三模）【定义】将二次函数图象上任意一点先沿x轴向右平移t个单位长度，再关于x轴对称，得到点，我们称点为点P的“衍生变换点”．连接二次函数图象上所有点的“衍生变换点”，形成的曲线被称为原二次函数的“衍生曲线”． 【探究】数学兴趣小组的同学对当时，二次函数 的“衍生曲线”进行了如下探究： 上的点的坐标 时的“衍生变换点”的坐标 (1)①表格中横线上应填__________； ②请在给出的平面直角坐标系中描点、连线，画出当时二次函数 的“衍生曲线”． (2)求出当时，函数 的“衍生曲线”的函数表达式． (3)已知点在函数 的图象上，当时，记点M的“衍生变换点”为点 若结合函数图象直接写出的取值范围． 【答案】(1)① ②函数图象如图所示： (2) (3)或或 ． 【分析】（1）①根据新定义求解即可；②描点、连线即可； （2）由图象可得，函数 的“衍生曲线”为抛物线，顶点坐标为，再设出顶点式，代入求解即可； （3）由题意得，，则，即，即或，再借助函数图象求解即可． 【详解】（1）解：①由题意得，的时的“衍生变换点”的坐标为，即； ②函数图象略； （2）解：由图象可得，函数 的“衍生曲线”为抛物线，顶点坐标为 设表达式为， 代入可得，， 解得 ∴表达式为； （3）解：由题意得，， ∴， ∴，即或， 当时，即，解得或； 当时，即，解得 s ∴由函数图象可得，的解集为或或，即时，或或． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $