专题6.4 用二次函数解决问题（6大题型+高效培优讲义）数学新教材苏科版九年级下册

专题6.4 用二次函数解决问题 教学目标 1. 能分析实际情境中的数量关系，建立合适的二次函数模型。 2. 会运用二次函数的性质（顶点、最值）解决利润、面积、运动等实际问题。 3. 体会数学建模思想，提升将实际问题转化为数学问题的能力与应用意识。 教学重难点 1.重点 （1）掌握从实际问题中抽象数量关系、构建二次函数模型的方法。 （2）熟练运用二次函数的顶点特征求实际问题中的最大（小）值。 2.难点 （1） 难以精准提炼实际问题中的变量关系，建立符合题意的二次函数表达式。 （2）求解时易忽略自变量的实际取值范围，导致结果不符合现实情境。 知识点01 二次函数的应用 二次函数的应用知识总结 1. 核心应用场景： - 最值问题：解决利润最大、产量最优、用料最省、高度/距离最值等 - 实际建模：根据实际情境（如抛体运动、增长率、几何图形面积）建立二次函数关系式，转化为数学问题求解。 2. 解题步骤： - 审题：明确变量关系，确定自变量取值范围（需符合实际意义）。 - 建模：设合适的函数解析式（顶点式、一般式、交点式按需选择）。 - 求解：代入已知条件求参数，利用顶点或单调性求目标值。 - 检验：验证结果是否符合实际情境，舍去不合理解。 3. 关键技巧与思想： - 解析式选择：最值问题优先用顶点式 y=a(x-h)2+k ，已知交点用交点式 y=a(x-x1)(x-x2) 。 - 数形结合：通过函数图像分析自变量取值范围与最值的合理性。 - 实际约束：忽略不符合实际的解（如负数、超出定义域的数值）。 【即学即练】1．（26-27九年级上·北京西城·阶段检测）水火箭从地面竖直向上弹出，水火箭在空中的高度（米）与时间（秒）之间的函数关系式为．当水火箭达到最高点时，其运动时间为（     ） A．秒 B．秒 C．秒 D．秒 【答案】C 【分析】将高度函数整理为二次函数一般式，结合开口方向，通过对称轴公式计算最高点对应时间. 【详解】解：， ∵ ， ∴ 抛物线开口向下，顶点处取得最大值. 将，代入，得. 2．（26-27九年级上·天津南开·开学考试）如图，用长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度是），围成中间有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽是（单位：），面积是（单位：）． （1）写出与的函数关系式_______________，的取值范围为_______________； （2）如果要围成面积为的花圃，则的长为__________米． 【答案】 9 【分析】（1）根据题目数量关系列函数表达式即可； （2）将代入（1）中表达式即可求解． 【详解】解：（1）由，得， 则， ∵， ∴， ∴， ∴S与x的函数关系式为； （2）若，则， 解得：，， ∵， 所以， 即当的长为9米时，花圃的面积为162平方米． 3．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）现在，租赁汽车已成为外出旅行时的一种重要的交通方式．某租赁公司拥有辆小型汽车，公司平均每日的各项支出共元．当每辆车的日租金为元时，可全部租出；当每辆车的日租金每增加元，未租出的车将增加辆．设该租赁公司每日租出辆，其日收益为元． (1)求与之间的函数关系式； (2)当每日租出多少辆时，租赁公司日收益最大？最大是多少元？ (3)试说明该租赁公司的日收益能否为元？ 【答案】(1)（且为整数） (2)每日租出辆时，租赁公司日收益最大，最大收益为元 (3)根据题意，当租赁公司的日收益为元时， ， 解得，， 为非负整数， 或均不符合题意， 租赁公司的日收益不能为元． 【分析】（1）根据日租金收入每辆车的日租金日租出车辆的数量，日收益日租金收入平均每日的各项支出，据此可求函数关系式； （2）根据 二次函数的性质进行求解即可； （3）令租赁公司的日收益为元，列方程求解，并由为正整数，可得答案． 【详解】（1）解：根据题意得：． 即与之间的函数关系式为（且为整数）； （2）解：在中，，， 当时，取最大值，最大值是， 每日租出辆时，租赁公司日收益最大，最大收益为元． （3）略 题型01 图形问题 【典例1】（2026九年级上·全国·专题练习）如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙长）围成一个矩形羊圈并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料），设． (1)由题意可知，则_______________（用含的代数式表示）； (2)设矩形羊圈的面积为，请写出与的关系式，并写出的取值范围； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据栅栏总长列式得出表达式即可； （2）根据矩形面积公式求出与的关系式，根据，及外墙长列不等式组解决即可． 【详解】（1）解：； （2）解：由题意得：， 外墙长且， ， 解得：， 与的关系式为． 【变式1】（26-27九年级上·河北邯郸·阶段检测）某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边由长为米的篱笆围成．已知墙长为米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为米． (1)若平行于墙的一边长不小于米， ①求面积与的函数关系式，并求出自变量的取值范围； ②这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由； (2)当这个苗圃园的面积不小于平方米时，直接写出的取值范围________． 【答案】(1)①， ②这个苗圃园的面积有最大值和最小值，最大值为平方米，最小值为88平方米 (2) 【分析】（1）①根据矩形的面积公式求出解析式，再根据限定条件求出自变量的取值范围即可； ②根据二次函数的性质作答即可； （2）求出时x的值，再根据二次函数的性质作答即可． 【详解】（1）解：①设苗圃园的面积为y， ∴ ， ∵，且， 解得：， ∴， ②∵， ∴苗圃园的面积y有最大值， ∴当时，y取得最大值，此时平方米； ∵ 当时，平方米； （2）解：当时， 解得：， ∵， ∴时，， ∵， ∴当这个苗圃园的面积不小于平方米时，． 【变式2】（26-27九年级上·辽宁沈阳·阶段检测）如图，要修建一个中间设有一道隔墙的矩形菜园，菜园一边靠墙，墙长18米，菜园另三边和中间隔墙共用33米长的篱笆搭建．为方便进出，在下方两个小矩形的边上各预留一个1.5米宽的门，门的位置不使用篱笆，设的长为x米，矩形菜园的面积为S平方米． (1)用含x的代数式表示________，求面积S与x的函数关系式； (2)求当x为何值时，S取最大值，最大值为多少？ 【答案】(1)， (2)当时，取最大值，最大值为108 【分析】（1）根据篱笆总长列方程：三条竖直段（、中间隔墙、）各长米，水平段扣除两个1.5米宽的门后使用篱笆，总长33米，由此表示，再用矩形面积公式得与的关系． （2）将关于的二次函数配方为顶点式，结合确定的取值范围，在范围内求最大值． 【详解】（1）解：篱笆用于、、中间隔墙和（扣除两个门）， ， ， ． （2）解：， 墙长18米，， ，解得， 又， ，解得， ， ，抛物线开口向下，对称轴为， 当时，取最大值108． 【变式3】（26-27九年级上·广东东莞·阶段检测）【综合与实践】 【问题情境】 王老师家有一块长米、宽米的长方形菜地，如图，以前由于没有对其进行规划，导致每次浇水、施肥、摘菜很不方便，经常都会弄得一脚泥． 【问题提出】 为了改变这种局面，王老师打算在菜地里修建小路． 【方案设计】 方案一：如图，在地块中间修建一个长为米，宽为米的长方形菜地，周围一圈是小路； 方案二：如图，在地块中间修建三条等宽的道路，一条横向、两条纵向，其余是菜地． 【问题解决】 (1)方案一中，求小路的面积； (2)方案二中，若设道路的宽为米，求菜地面积（单位：）关于的函数表达式； (3)已知王老师在劳作时，只能覆盖道路两侧米内（含米）的菜地．在方案二中，若要求道路宽度满足王老师的劳作需求，请直接写出道路宽度（单位：米）的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据小路面积等于总面积减去菜地面积，即可求解； （2）设道路的宽为米，根据长方形面积公式，列出函数关系式，即可求解； （3）先列出关于x的不等式组，再求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得 （2）解：设道路的宽为米，根据题意得： ， 即菜地面积关于的函数表达式； （3）解：根据题意得：， 解得． 题型02 图形运动问题 【典例1】（26-27九年级上·山东德州·阶段检测）如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边向B以的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边向C以的速度移动（不与点C重合），如果P、Q分别从A、B同时出发，设运动的时间为，四边形的面积为． (1)求y与x之间的函数关系式；写出自变量x的取值范围； (2)当四边形的面积等于时，求x的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先根据，的长度以及点P和点Q的速度求出x的取值范围，再根据代入计算即可得出y与x之间的函数关系式； （2）根据题意得，因式分解法解方程即可求出答案． 【详解】（1）解：，，故， 设运动的时间为，则，， ∴， ∴ ， 即． （2）解：根据题意：， 整理得：， 解得：，， 即当四边形的面积等于时， x的值为或． 【变式1】（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）在矩形中，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果分别从同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒． (1)填空： （用含的代数式表示）； (2)当为何值时，的长度等于？ (3)是否存在的值，使的面积最大，若存在，请求出此时的值与最大面积；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)或 (3)存在，当时，的面积最大，则． 【分析】（1）根据P、Q两点的运动速度可得、的长度； （2）根据勾股定理可得，代入相应数据解方程即可； （3）根据三角形的面积代入相应线段的长即可得到函数解析式，根据二次函数的最值求解即可． 【详解】（1）解：∵点从点开始沿边向终点以的速度移动， ∴, ∵点从点开始沿边向终点以的速度移动， ∴， ∴； （2）解：根据勾股定理可得， ∴ 解得：或， ∴当或时，的长度等于； （3）解：由题可得：， ∵， ∴当时，的面积最大，则． 【变式2】（26-27九年级上·四川绵阳·阶段检测）如图，四边形为直角梯形，，，．点M从O出发以每秒2个单位长度的速度向A运动；点N从B同时出发，以每秒1个单位长度的速度向C运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作垂直x轴于点P，连接AC交NP于Q，连接． (1)点________（填M或N）能到达终点； (2)求的面积S与运动时间t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，当t为何值时，S的值最大； 【答案】(1)M (2)，当时，S的值最大为 【分析】（1）利用速度公式可计算出点M到点A和点N到点C的时间，从而可判断点M能到达终点； （2）经过t秒时可得，根据推出的值．求出S与t的函数关系式后根据t的值求出S的最大值． 【详解】（1）解：点M需要秒运动到点A，点N需要秒运动到点C， 所以点M能到达终点； （2）解：经过t秒时，， 则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当时，S的值最大为． 【变式3】（26-27九年级上·广东广州·阶段检测）如图，正方形的边长为，点从点出发，沿边以的速度向终点移动；同时点从点出发，沿边以的速度向终点移动．当一点到达终点时，另一点也随之停止运动．连接、、，设运动时间为秒． (1)当t为何值时，的面积为？ (2)在运动过程中，的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值及此时的值；若不存在，请说明理由． (3)在运动过程中，设的面积为，的面积为，令，是否存在某一时刻，使得有最大值？若存在，请求出这个最大值以及此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2)解：当时，y取得最小值，且最小值为．理由如下： 设的面积为， ， ， 根据题意，得 ， ， ∴有最小值，当时，y取得最小值，且最小值为． (3) 存在，当时，有最大值，且最大值为 【分析】（1）设运动时间为秒．根据题意，得，，根据三角形的面积，列式解答即可； （2）设的面积为，根据题意得，得到，根据二次函数的性质解答即可； （3）根据题意，得，设，根据函数的最值，解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，正方形的边长为，点从点出发，沿边以的速度向终点移动；同时点从点出发，沿边以的速度向终点移动．设运动时间为秒． ，，， ， 的面积为， ， ， ， 整理，得， 解得， 当点Ｍ在上运动时，经历时间长为：， 都符合要求， 故当或时，的面积为； （2）略； （3）解：当时，有最大值，且最大值为．理由如下： 根据题意，得的面积为，的面积为，令， ，， ， ， 时，两个三角形不存在， ∴， 设， ， ∴有最大值，且当时，取得最大值，函数的最大值为4， 取得最小值，此时最小值为， 取得最小值，此时最小值为， 取得最大值，此时最大值为， 取得最大值，此时最大值为， ∴当时，有最大值，且最大值为． 题型03 拱桥问题 【典例1】（26-27九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段检测）如图①是一座抛物线型拱桥，图②是其侧面部分示意图，在正常水位时水面的宽为，如果水位上升，就达到警戒水位，此时水面的宽为． (1)建立适当的平面直角坐标系，求此抛物线的函数表达式； (2)在（1）的条件下，现有一棱长为的封闭正方体铁制集装箱，从上游漂流到拱桥处，其吃水深度（集装箱浸在水下的部分）为，集装箱正面朝前从桥正中心径直通过，其上表面与水面平行． ①在正常水位时，此集装箱能否顺利通过这座拱桥，为什么？ ②由于连日暴雨，水面快速上涨到警戒水位，若要此集装箱能顺利通过这座拱桥，需要增加吃水深度，求至少要增加多少吃水深度？ 【答案】(1)抛物线的函数表达式为（）． (2)①能顺利通过．②至少要增加的吃水深度． 【分析】（1）以中点为原点、直线为轴、过拱顶且垂直于的直线为轴建立坐标系；用待定系数法设，代入、两点坐标求参数； （2）利用解析式计算拱顶及集装箱顶部到水面的高度并比较． 【详解】（1）解：以的中点为原点，直线为轴，过拱顶且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，则，． 设抛物线的函数表达式为． ∵正常水位时水面宽为，警戒水位比正常水位高时水面宽为， ∴，，且点、都在抛物线上． ∴ 解得，． ∴抛物线的函数表达式为（）． （2）解：①集装箱为棱长的正方体，吃水深度为， ∴露出水面的高度为，即集装箱顶部距水面． 在正常水位时，拱顶距水面；在集装箱宽度范围内（距桥中心不超过），拱高最低处为时，． ∴集装箱顶部低于拱顶，能顺利通过． ②警戒水位时水面上升，拱顶距警戒水面；在集装箱宽度范围内拱高最低处为时，距警戒水面． 集装箱顶部距警戒水面仍为，故不能直接通过． 设需增加吃水深度，则集装箱顶部距警戒水面变为． 需满足，解得． ∴至少要增加的吃水深度． 【变式1】（26-27九年级上·上海闵行·阶段检测）九（1）班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践到应用的过程． (1)实践：他们对一条公路上横截面为抛物线的单向双车道的隧道进行测量，测得一隧道的路面宽为．隧道顶部最高处P距地面，并画出了隧道截面图．建立了如图所示的直角坐标系，请你求出抛物线的解析式； (2)应用：按规定机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为．为了确保安全，问该隧道能否让最宽，最高的两辆厢式货车居中并列行驶（两车并列行驶时不考虑两车间的空隙）？并说明理由． 【答案】(1) (2)隧道能让最宽，最高的两辆厢式货车居中并列行驶．理由如下： 当最宽，最高的两辆厢式货车居中并列行驶时， ∴，， ∴将代入解析式得：； ∴， ∴隧道能让最宽，最高的两辆厢式货车居中并列行驶． 【分析】（1）利用顶点式求出二次函数解析式即可； （2）根据已知条件可知当时，正好是汽车宽度，求出此时抛物线的纵坐标，然后判断是否满足题意即可解答． 【详解】（1）解：根据坐标系可知此函数顶点坐标为，且图象过点， 设抛物线的解析式为：， ∴， 解得：， ∴． （2）略 【变式2】（26-27九年级上·四川南充·阶段检测）综合与实践 如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？ 素材 图中有一座拱桥，图是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽，拱顶离水面．据调查，该河段水位在此基础上再涨达到最高． 素材 为迎佳节，拟在图桥洞前面的桥拱上悬挂长的灯笼，如图．为了安全，灯笼底部距离水面不小于；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布． 问题解决 (1)确定桥拱形状：在图中建立合适的平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式． (2)探究悬挂范围：在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围． 【答案】(1)直角坐标系见详解， (2)， 【分析】（1）以拱顶为原点建立平面直角坐标系，这样抛物线的顶点就是，已知水面宽，拱顶离水面，那么抛物线过点，据此求解即可； （2）分析安全条件，该河段水位再涨达到最高，灯笼底部距离水面不小于，灯笼长，分析悬挂点的纵坐标需满足的条件即可． 【详解】（1）解：以拱顶为原点，建立如图1所示的平面直角坐标系，则顶点为，且过点， 设抛物线的解析式为：，把点代入得：， ∴， ∴抛物线的函数表达式为：； （2）解：∵该河段水位再涨达到最高，灯笼底部距离水面不小于，灯笼长， ∴当悬挂点的纵坐标， 即悬挂点的纵坐标的最小值是， 当时，， ∴， ∴悬挂点的横坐标的取值范围是：． 【变式3】（26-27九年级上·内蒙古通辽·阶段检测）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计高架桥的限高及车道方案？ 素材1 图1高架桥是一段抛物线结构，图2是它的示意图．经测量，高架桥跨度，最高点离地面，桥的两端点，距离地面． 素材2 如图3，某道路规划部门计划在左侧公路分为非机动车道、机动车道一、机动车道二及绿化带（位于桥的正中间）四部分，原计划设计非机动车道宽，机动车道、宽均为．为了保证车辆的行驶安全，高架下方需要设置限高标志以警示车辆驾驶员．（限高即图中的高度，精确到） 问题解决： (1)确定模型：在图2中建立适当的平面直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式； (2)探究原计划限高：如图3，点为高架桥的最高点，在（1）的条件下，计算∶ ①绿化带的宽度； ②确定机动车道一的限高高度． 【答案】(1)如图，以的中点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系， 抛物线的函数表达式为（答案不唯一）； (2)①绿化带的宽度为；②机动车道一的限高高度为 【分析】（1）根据对称性建立坐标系，利用待定系数法求函数解析式； （2）根据函数解析式求出函数值即可． 【详解】（1）解：建立平面直角坐标系略， 由题意得，顶点坐标为，设抛物线的函数表达式为， 由图可得，，， ，， 代入到，得， 解得：， 抛物线的函数表达式为（答案不唯一）； （2）解：①如图， 由题意得，，， ， 绿化带的宽度为； ②， 点在（1）中所在坐标系的横坐标为， 当时，， ． 即机动车道一的限高高度为． 题型04 销售问题 【典例1】（26-27九年级上·浙江宁波·阶段检测）某商店经销一种健身球，已知这种健身球的成本价为每个元，市场调查发现，该种健身球每天的销售量（个）与销售单价（元）有如下关系：（），设这种健身球每天的销售利润为元． (1)如果销售单价定为元，那么该种健身球每天的销售量是__________个． (2)求与之间的函数表达式． (3)当该种健身球销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2) （） (3) 当销售单价定为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元 【分析】（1）把代入，即可求出销售单价定为元时每天的销售量； （2）当销售单价为元时，单件的销售利润为元，根据销售利润销售量单件销售利润，即可求出与之间的函数表达式； （3）根据与之间的函数表达式求出抛物线的对称轴，根据二次函数的性质可知当时，值最大，把代入函数表达式即可求出最大利润． 【详解】（1）解：当时， 可得：， 销售单价定为元时，该种健身球每天的销售量是个； （2）解：当销售单价为元时，单件的销售利润为元， 根据题意可得：； （3）解：∵， ∴对称轴为， ， 抛物线开口向下， 当时，随的增大而增大， ， 当时，值最大，最大值为， 答：当销售单价定为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元． 【变式1】（26-27九年级上·天津河北·阶段检测）某公司生产一种产品，成本为每件30元．当售价为50元/件时，每天可售出200件.经调查发现：售价每降低1元，每天可多售出20件．设每件售价降低x元（），每天的销售量为y件，每天的利润为元． (1)直接写出与的函数关系式； (2)求与的函数关系式，并求当为何值时最大，最大利润是多少； (3)若该公司要求每天至少售出300件，此时售价应定为多少元可使利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)（） (2)（）；当时最大，最大利润为元 (3)售价定为元时利润最大，最大利润为元 【分析】（1）根据销量随降价的变化规律列函数关系式即可； （2）利用总利润、单件利润、销售量的关系构建二次函数，再结合二次函数性质求最大值即可； （3）先由销量限制确定x的取值范围，再根据二次函数的增减性求最大利润即可． 【详解】（1）解：∵ 原销量为200件，售价每降低1元多售出20件，降价x元， ∴每天的销售量为y 与的函数关系式，即（）． （2）解：∵ 单件利润为元，销量为件， ∴ （）， ∵， ∴ 抛物线开口向下，函数有最大值． 对称轴为， ∵ ， ∴ 当时，W取得最大值． 最大值为（元）． （3）解：由题意得，即，解得， 又∵ ， ∴ ， ∵开口向下，对称轴为， ∴在范围内，W随x的增大而减小． ∴当时，W取得最大值，最大值为4500元． 此时售价为（元）． 答：售价应定为45元时利润最大，最大利润为4500元． 【变式2】（26-27九年级上·山东济宁·阶段检测）某乡镇企业积极响应国家乡村全面振兴号召，依托本地特色资源，计划投资生产某种产品．投产第一年企业需要至少生产13万件产品，受产能限制，产量不超过24万件，并且生产的产品能全部售出．经调研，投产第一年该产品的总成本y（万元）与产量x（万件）之间近似满足二次函数关系，部分数据见表： 产量x（万件） … 15 18 20 … 总成本y（万元） … 285 336 360 … （总利润＝总销售额－总成本） (1)求投产第一年该产品的总成本y与产量x之间的函数关系式； (2)投产第一年，如果该产品每件售价为20万元，生产该产品多少万件时，总利润最大？最大总利润是多少？ 【答案】(1) (2)生产24万件时总利润最大，最大总利润是96万元． 【分析】（1）选取表格中两组产量与总成本的对应值代入二次函数解析式，解方程组求出系数,，再验证第三组数据符合即可； （2）根据总利润的计算公式列出利润关于产量的函数关系式，结合自变量的取值范围，利用二次函数的性质求最大值． 【详解】（1）解：将和代入， 得 ， 解得， ∴总成本与产量的函数关系式为； （2）解：设总利润为万元，由题意得，总销售额为万元， ， ∵二次项系数，对称轴为直线，且， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，取得最大值， 最大值为（万元）， 答：生产24万件时总利润最大，最大总利润是96万元． 【变式3】（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）大蒜是我国重要经济蔬菜，依托冷库储存错峰销售是农户、经销商增收致富的重要方式．某农产品经销商张经理在大蒜上市初期，以6元/千克的市场价收购2000千克大蒜存入冷库．经市场调研得到如下规律： ①大蒜市场价格持续上涨，每日每千克涨价元； ②冷库存放期间，每日固定支出管理费、水电费等合计170元； ③大蒜会自然损耗，平均每天有5千克大蒜损坏，无法售卖； ④这批大蒜在冷库中最多储存90天． 设这批大蒜存放x天后一次性全部出售（x为非负整数，），完成下列探究问题： (1)探究一：建立销售金额函数模型. 存放x天后，大蒜的销售单价为 元，可出售大蒜的质量为 千克；销售总金额y（元）与存放天数x之间的函数关系式为 ；（用含x的代数式表示） (2)探究二：定量探究目标利润存放天数. 若张经理想要获得5100元的销售利润，请求出大蒜的存放天数．（利润=销售总金额收购总成本冷库储存总费用）． (3)探究三：最值探究最优销售方案. 写出利润W（元）关于存放天数x的函数关系式，并探究：存放多少天出售可获得最大利润？最大利润为多少元？ (4)拓展探究: 若冷库升级设备，每日储存费用降低a元（），其余条件不变，最终最大利润可提升至10800元，求a的值． 【答案】(1)；；； (2)30天 (3)，存放90天，最大利润9900元； (4) 【分析】（1）根据题干信息可得大蒜销售单价与可出售大蒜质量，结合销售额等于数量乘以单价可得函数解析式； （2）根据利润为元，可得，再进一步求解即可； （3）根据利润，再利用二次函数的性质求解即可； （4）建立关系式，进一步求解即可. 【详解】（1）解：∵大蒜市场价格持续上涨，每日每千克涨价元； ∴销售单价为元， ∵大蒜会自然损耗，平均每天有5千克大蒜损坏，无法售卖， ∴可出售大蒜质量为千克， ∴． （2）解：收购总成本元，储存总费用元， 利润． 令， 即， 解得或． 因，舍去， 故存放30天出售可获得5100元利润． （3）解：． 因为抛物线开口向下，对称轴为直线， 而位于对称轴左侧，W随x的增大而增大， 所以当时W最大，最大值为（元）． 即存放90天出售，可获得最大利润9900元． （4）解：∵ ∴． 因为，顶点横坐标， 最大值仍在处取得： 最大利润为：． ∴， 解得． 题型05 投球问题 【典例1】（26-27九年级上·福建龙岩·阶段检测）一小球从斜坡上的点处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数刻画．若小球到达最高点的坐标为． (1)求抛物线的函数解析式（不写自变量x的取值范围）； (2)求小球在斜坡上的落点A的坐标； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由最高点坐标知抛物线顶点为且经过原点，用顶点式设解析式、代入原点求待定系数； （2）落点既在抛物线上又在斜坡所在直线上，把两式联立求解（舍去表示抛出点的解）即可． 【详解】（1）解：由题意，抛物线经过原点，且最高点（顶点）坐标为， 设抛物线的解析式为． 抛物线经过点， ，即，解得． 抛物线的解析式为，化为一般式得． （2）解：设落点的坐标为，点既在抛物线上，也在斜坡所在直线上，联立得 ， 移项整理得，即． 解得（舍去），． 当时，． 小球在斜坡上的落点的坐标为． 【变式1】（26-27九年级上·四川德阳·阶段检测）在一场篮球赛中，运动员小杨在距篮下米处跳起投篮，球运行的路线呈抛物线形，当球运行的水平距离为米时，到达最高点，此时球离地面的距离是米，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为米．如图建立平面直角坐标系． (1)求此抛物线的表达式； (2)如果小杨的身高是米，在这次跳投中，球在头顶上方米，那么球出手时，他跳离地面的高度是多少米？ 【答案】(1)抛物线表达式为 (2)球出手时，他跳离地面的高度是米 【分析】（1）根据题中建立的平面直角坐标系，将二次函数经过的点的坐标找出来，再利用待定系数法求解； （2）根据题意，小杨所在位置为轴处，令求出球出手时的高度，即可求出小杨跳离地面的高度． 【详解】（1）解：由题意知，抛物线经过点， 其中点为抛物线的顶点， ∴设抛物线表达式为， 将代入中，得， 解得， ∴抛物线表达式为． （2）解：令，则， （米）， ∴球出手时，他跳离地面的高度是米． 【变式2】（26-27九年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，排球运动员小丽站在点O处练习发球，将球从点O的正上方2米的点A处发出，把球看成点，其运行的高度y（米）与运行的水平距离x（米）满足关系式，已知球网与点O的水平距离为9米，高度为2.43米，球场的边界距点O的水平距离为18米． (1)当时，求y与x的函数关系式． (2)当时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由． 【答案】(1) (2)能越过球网且不会出界，理由如下： 由（1）可知：当时，y与x的函数关系式为， 由题意可把代入得：， ∴球能越过球网， 当时，则有， 解得：（不符合题意，舍去）， ∵， ∴， ∴球不会出界． 【分析】（1）由题意可知：，当时，则有，然后根据待定系数法进行求解即可； （2）根据题意可把，分别代入进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知：， 当时，则有， 把代入得：， 解得：， ∴y与x的函数关系式为； （2）略 【变式3】（26-27九年级上·内蒙古赤峰·阶段检测）篮球是学生非常喜爱的运动项目之一．篮圈中心距离地面的竖直高度是，小石站在距篮圈中心水平距离处的点练习定点投篮，篮球从小石正上方出手到接触篮球架的过程中，其运行路线可以看作是抛物线的一部分．当篮球运行的水平距离是（单位：）时，球心距离地面的竖直高度是（单位：）．在小石多次的定点投篮练习中，记录了如下两次训练： (1)第一次训练时，篮球的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离 竖直高度 ①由表中数据可知，小张第一次练习投篮的出手高度是______，球运行过程中的最高高度是______． ②结合表中数据，求与满足的函数解析式； ③小石第一次投篮练习能否投进，请说明理由； (2)第二次训练时，小石通过调整出手高度的方式将球投进．篮球出手后运行路线的形状与第一次相同，达到最高点时，篮球的位置恰好在第一次最高点的正上方．如果小石在进行第二次训练时，在他正前方米处的教练准备起跳拦截，教练起跳后伸直手臂手尖离地的最大高度是米，那么教练能否成功拦截小石这次投篮？请说明理由．（篮球半径忽略不计） 【答案】(1)①；； ②或； ③答：不能投进，理由如下： 当时， ， ∴小石第一次投篮练习不能投进； (2)答：教练不能成功拦截小石这次投篮，理由如下： 由题意得：第二次训练的抛物线形状与第一次相同，对称轴相同， 设第二次训练的抛物线解析式为：， 当时， ， 解得：， 即：第二次训练的抛物线解析式为：， 当时， ， ∴教练不能成功拦截小石这次投篮. 【分析】（1）①根据表格即可得出结论； ②根据表格数据用待定系数法求出解析式即可； ③把代入解析式求出值，然后再与比较即可得出结论； （2）由题意得：第二次训练的抛物线形状与第一次相同，对称轴相同，用待定系数法求解析式，把代入求出值，然后再与比较即可得出结论. 【详解】（1）①解：由表格可知：当时，；的最大值是， ∴小石第一次练习投篮的出手高度是，球运行过程中的最高高度是． ②由表格可知：抛物线的顶点， 设与满足的函数解析式为：， ∵在抛物线上， ∴，解得：， 即：； ③见答案（略） （2）见答案（略） 题型06 喷水问题 【典例1】（25-26九年级上·陕西安康·期中）某地消防中队在一座废弃高楼上开展消防技能比赛，在距离地面的点处和其正下方的点处各设置了一个火源，消防员站在水平地面上的点处拿着水枪向处喷水（水流出口与地面的距离忽略不计），水流路径为抛物线的一部分．据录像资料显示，水流路径的最高点到高楼的水平距离为，到水平地面的距离为．待处火熄灭后，消防员前进至点处，调整水枪，使水流刚好落在点处．已知点到高楼的距离为，且两次灭火时水流路径的最高点到高楼的水平距离相等，建立如图所示的平面直角坐标系，其中水流的高度为，水流到高楼的水平距离为． (1)求消防员灭处的火源时，水流路径所在抛物线的解析式； (2)若消防员灭、两处的火源时，水流路径所在抛物线的形状相同，求、两点之间的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，设顶点式，利用待定系数法将代入即可得到答案； （2）根据题意，设第二次灭火时水流所在抛物线的解析式为，把代入求出解析式，再求出点的坐标，即可求解； 【详解】（1）解：由题意可知消防员灭处的火源时水流路径所在抛物线的最高点的坐标为，， 则设消防员灭处的火源时水流路径所在抛物线的表达式为， 将代入得， 解得， 故消防员灭处的火源时水流路径所在抛物线的表达式为； （2）消防员灭、两处的火源时水流路径所在抛物线的形状相同，且两次灭火时水流路径的最高点到高楼的水平距离相等， 可设灭处的火源时，水流路径所在抛物线的表达式为， 抛物线过点， ， 解得， 故灭处火源时，水流路径所在抛物线的表达式为， 令，则， ， ． 【变式1】（26-27九年级上·全国·期末）第33届奥运会上我国网球选手郑钦文荣获女子单打冠军，创造了历史，各地迅速掀起网球训练热潮．某网球训练营教练自制一种网球发球器（图①），已知该发球器的网球出口C离地竖直高度米．如图②，网球在最大力量和最小力量发射出去的路线可以抽象为两条抛物线的一部分，最小力量发球得到的抛物线可以看作由最大力量发球得到的抛物线向左平移得到，最大力量发球得到的抛物线最高点D离出球口的水平距离为2米，高出出球口0.5米． (1)求最大力量时，网球射出去得到的抛物线的函数解析式，并求出网球射出的最大射程； (2)求最小力量时，网球射出的最大射程． 【答案】(1)，网球射出的最大射程为6米 (2)最小力量时网球射出的最大射程为2米 【分析】（1）根据题意可得点的坐标，把对应的函数解析式设为顶点式，利用待定系数法求出对应的函数解析式，再求出时的值即可得到答案； （2）根据对称性得到点的对称点为，那么最小力量发射出网球得到的抛物线是由最大力量发射出网球得到的抛物线向左平移4米得到的，据此可得答案． 【详解】（1）解：由题意，得是最大力量时网球发射出去得到的抛物线的顶点，则设其函数解析式为． ∵抛物线经过点， ， ， ∴最大力量时网球发射出去得到的抛物线的函数解析式为． 当时，， 解得，（舍去）， ∴网球射出的最大射程为6米． （2）解：∵最大力量时网球发射出的抛物线的函数解析式为， ∴对称轴为直线， ∴点的对称点为， ∴最小力量发射出网球得到的抛物线是由最大力量发射出网球得到的抛物线向左平移4米得到的， ∴将点A向左平移4米得到点B的坐标为，即最小力量时网球射出的最大射程为2米． 【变式2】（26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测）综合与实践 【主题】优化洒水车为公路两侧绿化带浇水效率 【问题背景】如图1，洒水车沿着平行于公路绿化带方向行驶，同时向右侧绿化带浇水．数学兴趣小组的同学想了解洒水车要如何控制行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水能浇灌到整个绿化带，为解决这个问题，数学兴趣小组同学通过建立数学模型进行探索． 【数学建模】如图2，建立平面直角坐标系，可以把洒水车喷出水的内、外边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；喷水口H离地竖直高度为，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度，表示洒水车和绿化带之间的距离．内边缘抛物线是由外边缘抛物线向左平移得到，外边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口． 【解决问题】 (1)直接写出外边缘抛物线的函数解析式 ，此时喷出水的最大射程为 ； (2)请求出内边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； (3)要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2)点B的坐标为； (3) 【分析】（1）易得的顶点A的坐标，用顶点式表示出的分析式，进而把点H的坐标代入可得a的值，取，可得的长度； （2）设出平移后的分析式，进而把点H的坐标代入可得m的值，取，求得相应的x的值可得抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； （3）要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，点D与点B重合或点F在上，分别求得对应的的长，可得的取值范围． 【详解】（1）解：由题意得：点是外边缘抛物线的顶点， 设， 抛物线过点， ， ， 外边缘抛物线的函数解析式为：， 当时，， 解得：，（舍去）， 喷出水的最大射程为； （2）解：由左右平移得到， 设， 经过点， ， 解得：，（舍去）， ， 把代入，得：， 解得：，（舍去）， 点B的坐标为； （3）解：要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带， 点D与点B重合或点F在上， 当点D与点B重合时，， 当点F在上时，， 解得：，（不合题意，舍去）， ， ， 的取值范围是． 【变式3】（2026·陕西西安·模拟预测）【项目式学习】 项目主题：无人机灌溉研究 项目背景：无人机灌溉技术在现代农业中逐渐普及，它能高效、精准地为农作物供水，减少水资源浪费，提升灌溉效率，助力农业现代化发展． 驱动问题：如何优化无人机灌溉方案，实现更高效、精准的灌溉？ 建立模型：如图1，是无人机启动时喷洒的截面示意图，点是喷水口，，此时无人机的喷水口距地面均为，以的中点O为坐标原点，所在直线为x轴，过点O且垂直于的直线为y轴，建立平面直角坐标系．喷水口喷出的水流形状是分别以为顶点、形状相同的两条抛物线，它们与y轴均交于点． (1)如图1，求点A所在抛物线的函数表达式； (2)为了精准灌溉，需要调整无人机喷水口的竖直高度（抛物线形状不变）．如图2，当无人机的喷水口上升到距地面时，求此时地面上喷洒覆盖区域的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先根据题意得出点的坐标为，进而设点所在抛物线的函数表达式为， 代入，待定系数法求得抛物线的函数表达式； （2）根据已知条件可得所在抛物线表达式为，根据无人机相对高度对应的点坐标代入，求出表达式．求出与轴交点的坐标，由于覆盖区域关于轴对称，用求出的横坐标的绝对值乘以，得到喷洒水覆盖区域宽度． 【详解】（1）解：，点与点到点的距离相等， ， 点的坐标为． ， 点的坐标为． 设点所在抛物线的函数表达式为， 将点代入得． 解得． 点所在抛物线的函数表达式为． （2）解：当无人机的喷水口上升到距地面时， ∴点 点所在抛物线的函数表达式为 当时， 解得：或（舍去） ∴ 答：此时地面上喷洒覆盖区域的长为． 一、单选题 1．（26-27九年级上·全国·单元复习）水火箭从地面竖直向上弹出，水火箭在空中的高度h（米）与时间t（秒）之间的函数关系式为．当水火箭达到最高点时，其运动时间为（     ） A．1秒 B．2秒 C．3秒 D．4秒 【答案】B 【分析】根据关系式可知抛物线开口向下，再求出对称轴即可． 【详解】解：，， ∴当时，水火箭达到最高点． 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）中国传统手工艺品，如中国结，油纸伞，团扇等，是古代先民智慧和勤劳的结晶，是中华传统文化的表达方式之一，也是各地传统风俗的体现．某工艺品店出售某种手工团扇，若每个获利x元，一天可售出个，为了使一天出售该种手工艺品的总利润y（元）最大，则x的值为（     ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【分析】根据利润（售价进价）销售量列出y关于x的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：由题意得， 整理得， ∵ 该二次函数的二次项系数 ， ∴ 函数图象开口向下，有最大值， 配方得， ∴ 当时，取得最大值. 3．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端点安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心距离为，则水管的长度是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设抛物线解析式为，将与代入解析式，求得a的值，再令，求得y的值，即可得出答案． 【详解】解：设抛物线解析式为， 由题意知，抛物线顶点坐标为，与x轴的一个交点坐标为， ， 解得， ， 当时，， 水管的长度是． 4．（25-26九年级下·辽宁大连·期末）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于，两点，点在点的左侧．若点在轴上，点在抛物线上，且以，，，为顶点的四边形是平行四边形，则符合条件的点有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据题意分三种情况讨论，然后根据平行四边形的性质求解即可． 【详解】解：∵抛物线与轴交于点， ∴当时， ∴ ∵以，，，为顶点的四边形是平行四边形，点在轴上，点在抛物线上， ∴当是对角线时，和互相平分， ∴， ∴ ∴ 将代入得， 解得或 ∴； 当是对角线时，和互相平分， ∴， ∴ ∴ 同理可得； 当是对角线时，和互相平分， ∴， ∴ ∴； 由图像可得，直线与抛物线有两个不同的交点， ∴此时有两个符合条件的点P， 综上所述，符合条件的点有3个． 5．（2026·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在中，，，，动点从点出发沿边向终点匀速运动，同时动点从点出发，沿边向终点匀速运动，两动点运动到各自终点停止运动．若，两点每秒运动的路程相同，点运动的路程为，的面积为，则下列图象能反映与之间函数关系的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据勾股定理求出的长，分三段讨论： 时，在上，在上；时，在上，在上；时，在上，到达点停止．分别求出与的函数关系式，结合图象即可判断． 【详解】解：在 中，，，， ，，． 分三种情况讨论： ①当时，点在上，点在上，，， 过点作于点， 则， ， 此时图象为开口向上的抛物线，当 时，； ②当时，点在上，点在上，过点作于点 ，， ∴， ， 此时图象为开口向下的抛物线，当时，；当时，； ③当时，点在上，点到达点停止运动， 此时（即变为），， 以为底，为高， ， 此时图象为线段， 当时，； 当时，． 综上所述，图象D符合题意． 二、填空题 6．（26-27九年级上·浙江绍兴·开学考试）一种礼炮的升空高度与飞行时间的关系式是．若这种礼炮在升空到最高点时引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为________________． 【答案】 4 【分析】将给定二次函数配方为顶点式，二次项系数小于0，开口向下，顶点横坐标即为所求引爆时间． 【详解】解：， ∵， ∴当，即时，有最大值，最大值为18， ∴从点火升空到引爆需要的时间为． 7．（2026·广东佛山·模拟预测）某商店销售一种玩具，每件的进货价为40元，经市场调研，当该玩具每件的销售价为50元时，每天可销售200件；当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件，现该商店决定涨价销售，若该玩具每件销售价不低于57元，则销售该玩具每天获得的利润w最大为____元． 【答案】 【分析】根据每件利润乘以总销售量得到利润的二次函数解析式，再结合二次函数的性质和给定的自变量取值范围求解最大利润． 【详解】解∶设每件玩具涨价x元， 则利润， ∵每件销售价不低于57元销售， ∴，解得， ∵，抛物线开口向下，当时，w随x的增大而减小， ∴当时，w有最大值，为， ∴最大利润w为2210元． 8．（26-27九年级上·全国·课后作业）大自然中有一种神奇的鱼——射水鱼，它能以极快的速度从口中射出水柱击落昆虫来捕食，射出的水柱呈抛物线形．如图，以射水鱼所在的位置为原点O建立平面直角坐标系，设水柱距水面的高度为，与射水鱼的水平距离为，y与x的函数表达式为，水柱的最大高度为．一只昆虫位于点处，水柱形成的时间忽略不计，射水鱼从原点O出发，需要水平向右游动________的距离才能击中昆虫． 【答案】或 【分析】首先确定原始抛物线的解析式为，设需要水平向右游动的距离才能击中昆虫，得到平移后的抛物线解析式为，把代入解析式求解即可． 【详解】解：根据题意，得y与x的函数表达式为，水柱的最大高度为， 故抛物线的解析式为， 由抛物线经过原点， ， 解得， 故抛物线的解析式为． 当时，， 故点不在抛物线上， 设需要水平向右游动的距离才能击中昆虫， 故平移后的抛物线解析式为， 把代入解析式，得， 整理，得， 或， 解得或， 故需要水平向右游动或的距离才能击中昆虫． 9．（26-27九年级上·辽宁鞍山·开学考试）如图，与关于轴对称，且，一条平行于轴的直线与和共有四个交点，从左到右依次记为，当时，则___________． 【答案】3 【分析】设点的纵坐标为，先分别求出点的坐标，再根据求出的值，由此即可得． 【详解】解：由题意，设点的纵坐标为， 令得：， 解得或， ∴，， ∴， ∵与关于轴对称， ∴点与点关于轴对称，点与点关于轴对称， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 10．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，学校要在校园内建一个矩形的开心农场，其中一边紧靠围墙，且的长不能超过，其余三边用长的铁质栅栏围成．有下列结论： ①的长可以为； ②当农场的面积为时，满足条件的的长只有一个值； ③农场面积的最大值为． 其中，正确的是______（只需填序号）． 【答案】② 【分析】设边长为，则边长为，当时，解方程即可判断①；根据开心农场面积为，列出一元二次方程，解方程，即可判断②；设矩形菜园的面积为，根据题意列出二次函数关系式，根据二次函数的性质，结合的取值范围即可判断③． 【详解】解：设边长为，则边长为， 当时， 解得， 的长不能超过， ，故①不正确； 开心农场面积为， 解得， 又∵， ， 满足条件的的长只有一个值，故②正确； 由题意得，设矩形开心农场的面积为， 根据题意得，， ，， 当时，有最大值，最大值为不可能为，故③不正确； 综上所述，正确的是②． 三、解答题 11．（26-27九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）某店统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个． (1)求该店该品牌头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率； (2)若此种头盔的进价为300元/个，测算在市场中，当售价为400元/个时，月销售量为60个，若在此基础上售价每上涨2元/个，则月销售量将减少1个，为使月销售利润最大，该品牌头盔的实际售价应定为每个多少元？ 【答案】(1)该店该品牌头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率为． (2)该品牌头盔的实际售价应定为每个410元时，月销售利润最大． 【分析】（1）设平均月增长率为未知数，根据4月销量与6月销量的数量关系列一元二次方程求解． （2）以售价为自变量，月销售利润为因变量，结合销量与售价的变化关系构建二次函数，利用二次函数的性质求最大值对应的售价． 【详解】（1）解：设该店该品牌头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率为，根据题意， 得， 整理得， 解得，， ∵月增长率为正数， ∴不符合题意，舍去． 答：该店该品牌头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率为； （2）解：设该品牌头盔的实际售价为每个元，月销售利润为元．单个头盔的利润为元． ∵售价每上涨2元，月销售量减少1个，当售价为400元时月销量为60个， ∴月销售量为个， ， 解不等式组得， 根据题意，得． ∵， ∴抛物线开口向下，当时，取得最大值．将，代入，得， ∵， ∴该售价符合实际销售的取值范围． 答：该品牌头盔的实际售价应定为每个410元时，月销售利润最大． 12．（26-27九年级上·浙江衢州·阶段检测）如图所示，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． (1)求A、B、C三点的坐标． (2)在抛物线上是否存在一点M，使得的面积是面积的2倍．若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）求出时y的值可得点C的坐标，求出时x的值可得点A和点B的坐标； （2）根据（1）所求求出的面积，则可得到的面积，根据三角形的面积公式求出点M的纵坐标即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，当时，，则， 当时，则，解得，则； （2）解：由（1）得， ∴ ， ∴ ， ∵的面积是面积的2倍， ∴， ∴ ，即， ∴，即， 在中，当时，，此时方程无解，不符合题意； 在中，当时，，解得， ∴点的坐标为或． 13．（26-27九年级上·浙江杭州·开学考试）如图，某农户计划用篱笆围成一个矩形场地养殖家禽，为充分利用现有资源，该矩形场地一面靠墙（墙的长度为），另外三面用篱笆围成，中间再用篱笆把它分成三个面积相等的矩形分别养殖不同的家禽，计划购买篱笆的总长度为，设矩形场地的长为，面积为． (1)求关于的函数表达式． (2)矩形场地的总面积为，求出的值． (3)当为何值时，矩形场地的总面积最大？最大面积为多少？ 【答案】(1) (2)的值为12 (3)当时，矩形场地的总面积最大，最大面积为64 【分析】（1）先表示出矩形的宽，再根据矩形的面积公式列式化简即可； （2）把代入表达式，得到一元二次方程，解方程，注意舍去不合题意的解； （3）把表达式先配方，写成顶点式，根据二次函数的性质，解答即可． 【详解】（1）解：由题意得，垂直于墙的篱笆共有4段，总长为，所以矩形的宽为， 则S关于x的函数表达式为：； （2）当时，， 解这个方程得：， ， 不合题意，舍去， 的值为12； （3）由（1）得， 配方得：， 因为，抛物线开口向下， 所以当时，S有最大值，最大值为64． 14．（26-27九年级上·广东·阶段检测）投掷铅球时，铅球的运动轨迹可以看作抛物线的一部分．如图，某人掷铅球时，铅球距地面的高度与距投掷点的水平距离之间的函数表达式为． (1)当投掷的距离为时，求的值； (2)当时，铅球距地面高度的最大值与最小值之差为，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据可知当投掷的距离为时，铅球落地，即时，，然后将点代入二次函数解析式即可求出的值． （2）根据函数图象，分三种情况求解，即对称轴在4的右侧；对称轴在2的左侧；对称轴在2和4之间，然后结合二次函数的图象和性质分别求出最大值和最小值，结合已知条件列出方程求解并进行取舍即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意可知，当投掷的距离为时，铅球落地，即时，， 将点代入，得：， 解得． （2）解：， ∴抛物线的对称轴直线为， 分三种情况：①当对称轴时，即， 当时，y随着x的增大而增大， 即当时，， 当时，， 根据题意可知：， 解得， ②当对称轴时，即，在时，y随着x的增大而减小， 此时即当时，， 当时，， 根据题意可知：， 解得，（舍去） ③当时，即， 当时离对称轴直线较时离对称轴直线远时， 则当时，， 即当时，， 根据题意可知：， 解得(舍去)或． 当时离对称轴直线较时离对称轴直线近时， 则当时， 当时，， 根据题意可知：， 解得（舍）或（舍）． 综上：或． 15．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线，已知点． (1)求抛物线的解析式； (2)是线段上的一个动点，过点作轴，延长交抛物线于点，求线段的最大值及此时点的坐标； (3)在轴上是否存在一点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)最大值为2，的坐标为 (3)存在． 设点， 如图，过点作于点，连接，则， ， ， ∴， ∴ ． ∵，，， ∴， ． 由的面积，得， 即 化简，得， 解得（不符合题意，舍去）， ． 设点与点关于原点对称，则， ． 综上所述，点的坐标为或． 【分析】（1）根据对称轴，利用待定系数法即可求解； （2）根据对称轴得出点坐标，由点、的坐标得直线的解析式为，设点，则点，进而求解； （3）根据三角形的面积，可得关于的方程，然后解方程，可得答案 【详解】（1）解：点的坐标为 ． 抛物线过点，对称轴是直线， ， 解得， 抛物线的解析式为． （2）抛物线对称轴为直线，点的坐标为， 点的坐标为． ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为． 设点， 则点， ． ， 当时，线段的值最大，最大值为2，此时点的坐标为； （3）略． 一、单选题 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，用12米长的木条做一个有一条横档的矩形窗子，为使透进的光线最多，选择窗子的高（木条粗细忽略不计）为（     ） A．1米 B．2米 C．3米 D．4米 【答案】C 【分析】设长为米，由图可得，横档的长为米，表示出透光面积并结合二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设长为米， 由图可得，横档的长为米， ∴透光面积为 ， ， 当时，取得最大值，最大值为． 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，已知正方形的边长是1，正方形的顶点分别在，，，上．设正方形的面积是S，的长是x，则下列说法正确的是（   ） A．当时，S有最小值 B．当时，S有最大值 C．S随x的增大而减小 D．S随x的增大而增大 【答案】A 【分析】根据全等三角形的判定定理得到，根据全等三角形的性质得到，利用勾股定理，在中，，所以，再利用二次函数求最值即可． 【详解】解：四边形为正方形，四边形也是正方形， ，， ，， ， 在和中， ， ， ，， 在中，， 面积，， ， 当时，S有最小值. 3．（2026·广东广州·二模）已知抛物线与轴交于，两点，且．若点在该抛物线上，则下列判断正确的是（     ） A．当时， B．当时， C．当时，该抛物线的顶点到达最高处 D．该抛物线与没有交点 【答案】A 【分析】根据抛物线开口方向，结合与x轴交点性质、顶点坐标特征、联立方程判断交点个数，逐一分析选项即可． 【详解】解：∵抛物线 的二次项系数 ∴抛物线开口向下，且与轴交于，，， 对选项A：点在抛物线上，当时，，A正确； 对选项B：当时，可得或，B错误； 对选项C：将抛物线配方得 ，顶点纵坐标为， ∵，当时顶点纵坐标最小，该抛物线的顶点没有到达最高处，C错误； 对选项D：联立与， 消去整理得 ， 该方程判别式 ，总有实数根， ∴抛物线与直线总有交点，D错误． 4．（2026·山东济南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，，是轴上的两点，是函数图像上一动点，连接，．则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设点P的坐标为，利用两点间距离公式可得，再代入中整理成顶点式，最后根据二次函数的性质求最值即可． 【详解】解：设点P的坐标为， ∵，是轴上的两点， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，的最小值为36，即选项B符合题意． 5．（24-25九年级下·湖南湘潭·自主招生）如图，在等边中，，点从出发，沿路线以每秒1个单位的速度运动，同时点从出发，沿路线以相同速度运动，当P、Q两点相遇同时停止运动．设两点运动时间为秒的面积为，则下列图象能表示与之间的函数关系的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分时，当时，分别求得的面积，即可判断函数图象． 【详解】解：依题意，时，点在上，点在上，， 连接、，过点作，垂足为， ∵在等边中，， ∴，， ∴ ∵，， ∴， 函数图象为开口向上的抛物线的一部分，当时，， ∵，点，点相遇时运动时间为秒， ∴当时，点、在上，如图所示， ∴， ∴， 当时，图象为直线的一部分， 综上只有选项D的图象符合题意． 二、填空题 6．（26-27九年级上·全国·课后作业）飞机着陆后滑行的距离（单位：）关于滑行的时间（单位：）的函数解析式是，飞机着陆后到滑行停下来，滑行的时间是______，飞机滑行的距离是______． 【答案】 【分析】飞机滑行到停止时滑行距离达到最大，对二次函数配方求顶点，即可得到停止时的滑行时间和总滑行距离． 【详解】解：将函数解析式整理配方，， ∵， ∴抛物线开口向下，有最大值， ∴当时，取得最大值，此时飞机停止滑行， 即飞机着陆后停下来滑行的时间是，滑行的总距离是． 7．（2026·甘肃平凉·二模）如图1，玛曲黄河大桥位于甘肃玛曲县城南，北连玛曲县城，南通阿万仓乡，是甘肃省黄河上游的第一座桥梁，因此有“黄河第一桥”之称．如图2是它的部分示意图，可近似地用抛物线的一部分表示，若当水面宽度为时，水面到拱顶的高度为，当水位在此基础上继续上涨时，水面的宽度为______m（结果保留根号）． 【答案】 【详解】根据图示建立平面直角坐标系，设抛物线解析式为顶点式，利用已知条件求出点的坐标并代入解析式求出的值，确定函数解析式，再根据水位上涨后的高度求出对应的值，再列式求出水面宽度，即可作答． 【点睛】解：设抛物线的解析式为. 由题意可知，抛物线顶点为原点，对称轴为轴， ∵，，且点在第四象限， 根据抛物线的对称性，点的横坐标为，纵坐标为， 即； 将点代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为， 当水位上涨时，水面到拱顶的距离变为． 此时水面上点的纵坐标为， 把代入，得， 解得，， ∴水面的宽度：． 8．（26-27九年级上·全国·课后作业）廊桥是我国古老的文化遗产，抛物线形的廊桥示意图如图所示．已知抛物线的函数表达式为，为增加安全性，在该抛物线上同一高度且水平距离为米的两处安装警示灯，则警示灯离水面的距离为______米． 【答案】 【分析】抛物线对称轴为轴，由，水平距离为8米，可得点横坐标，代入解析式即可求出点纵坐标，即所求距离． 【详解】解：抛物线关于轴对称，，在抛物线上同一高度且水平距离为米， 点的横坐标为， 将代入抛物线解析式，得， 警示灯离水面的距离为米． 9．（2026·甘肃嘉峪关·二模）在北京冬奥会自由式滑雪大跳台比赛中，我国运动员的精彩表现让人叹为观止，已知运动员从高的跳台滑出后的运动路线是一条抛物线，设她与跳台边缘的水平距离为，与跳台底部所在水平面的竖直高度为，y与x的函数关系式为，当她与跳台边缘的水平距离为________m时，竖直高度达到最大值． 【答案】8 【分析】根据二次函数的性质，当二次项系数小于0时，抛物线开口向下，在顶点处取得最大值，利用顶点横坐标公式求解即可． 【详解】解：函数关系式为， ，， ∴对称轴 ， 抛物线开口向下，有最大值 当时，竖直高度达到最大值 当她与跳台边缘的水平距离为时，竖直高度达到最大值． 10．（2026·辽宁本溪·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点，，与轴交于点，若点在第二象限的抛物线上，则的面积为_____． 【答案】 【分析】先求出，对称轴为直线，从而可得点和点关于对称轴对称，轴，求出，即可得出，最后由三角形面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：在中，当时，，即， ∵抛物线解析式为， ∴对称轴为直线， ∵点在第二象限的抛物线上，， ∴点和点关于对称轴对称，轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 三、解答题 11．（26-27九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）某店统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个． (1)求该店该品牌头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率； (2)若此种头盔的进价为300元/个，测算在市场中，当售价为400元/个时，月销售量为60个，若在此基础上售价每上涨2元/个，则月销售量将减少1个，为使月销售利润最大，该品牌头盔的实际售价应定为每个多少元？ 【答案】(1)该店该品牌头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率为． (2)该品牌头盔的实际售价应定为每个410元时，月销售利润最大． 【分析】（1）设平均月增长率为未知数，根据4月销量与6月销量的数量关系列一元二次方程求解． （2）以售价为自变量，月销售利润为因变量，结合销量与售价的变化关系构建二次函数，利用二次函数的性质求最大值对应的售价． 【详解】（1）解：设该店该品牌头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率为，根据题意， 得， 整理得， 解得，， ∵月增长率为正数， ∴不符合题意，舍去． 答：该店该品牌头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率为； （2）解：设该品牌头盔的实际售价为每个元，月销售利润为元．单个头盔的利润为元． ∵售价每上涨2元，月销售量减少1个，当售价为400元时月销量为60个， ∴月销售量为个， ， 解不等式组得， 根据题意，得． ∵， ∴抛物线开口向下，当时，取得最大值．将，代入，得， ∵， ∴该售价符合实际销售的取值范围． 答：该品牌头盔的实际售价应定为每个410元时，月销售利润最大． 12．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）为弘扬桐城派文化，让更多游客了解六尺巷，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款定制“一纸书来只为墙”的主题团扇的成本价是元，当售价为元时，每天可以售出件，经调查发现，售价每降价元，每天可以多售出件．设该款主题团扇售价为元． (1)每天售出的数量是________件． (2)文旅公司每天售卖该款主题团扇的利润为元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)当售价为元时，每天的利润最大，最大利润是元 【分析】（1）根据原来每天售出的件，再加上多售出的件数即可得到答案； （2）根据“销售利润=每件的利润×销售数量”即可列出二次函数关系式，再根据二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：售价从元降到元，降价金额为元， ∵每降价元多售件， ∴多售出的数量为件， ∴每天售出的数量为：（件）； （2）解：根据题意得： ， ∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为， 当时，取得最大值，最大值为， 答：当售价为元时，每天的利润最大，最大利润是元． 13．（2026·江苏淮安·中考真题）“运河三千里，醉美是淮安．”“常盈桥”是里运河上一座古朴典雅的人行景观桥，桥身呈对称分布．如图，桥拱可以看成抛物线形，跨径为，拱高为． (1)建立恰当的平面直角坐标系，求出抛物线对应的函数表达式． (2)当桥拱下的水面宽为时，求此时拱顶到水面的距离． 【答案】(1)建立平面直角坐标系如图： 抛物线表达式为 (2)拱顶到水面的距离为 【分析】（1）以点D为坐标原点，射线方向为x轴正方向，射线方向为y轴正方向建立平面直角坐标系，再由待定系数法求解即可； （2）当桥拱下的水面宽为时，则水面上的点的横坐标为，将代入，求出水面距离的高度，即可求解拱顶到水面的距离． 【详解】（1）解：以点D为坐标原点，射线方向为x轴正方向，射线方向为y轴正方向建立平面直角坐标系，如图： 由题意得，， 则， 设抛物线表达式为， 代入，可得 解得 ∴抛物线的表达式为； （2）解：当桥拱下的水面宽为时，则水面上的点的横坐标为， 将代入，可得， ∴此时拱顶到水面的距离为 答：拱顶到水面的距离为． 14．（26-27九年级上·北京·期中）乒乓球作为中国的国球，是一项深受大众喜爱的体育运动，小聪和小明打球时发现乒乓球运动路线近似看成抛物线的一部分，爱思考的他俩建立如图所示的平面直角坐标系，小聪第一次发球时，乒乓球从抛出到第一次落在球桌的过程中，乒乓球的竖直高度y（单位：）与水平距离x（单位：）近似满足函数关系式． 乒乓球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离 0 40 80 120 160 竖直高度 20 35 40 35 20 (1)根据上述数据，直接写出小聪第一次发球时乒乓球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系； (2)小聪第一次发球后乒乓球第一次落在球桌时恰好在球桌边缘，第二次他发球时，乒乓球的竖直高度y（单位：）与水平距离x（单位：）近似满足函数关系式，请你判断小聪第二次发球时，乒乓球是否落在球桌内： （填“是”，“否”）． 【答案】(1)40， (2)是 【分析】（1）依据题意，由抛物线经过点和，故抛物线的对称轴为直线，由表可知当时，小聪第一次发球时乒乓球竖直高度即为最大值，则可设抛物线为，然后代入，求出a，进而可以得解； （2）根据第一次落在球桌时恰好在球桌边缘，令，求得水平距离；然后令，求得第二次的水平距离，两次比较即可得结论． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴当时，小聪第一次发球时乒乓球竖直高度为最大值，最大值为40； ∴设抛物线为， ∵抛物线经过， ∴ 解得， ∴函数关系式为； （2）解：由题意得，令 解得，（舍去）， 由题意得，令 解得，（舍去）， ∵， ∴小聪第二次发球时，乒乓球是落在球桌内． 15．（25-26九年级下·河北衡水·阶段检测）如图是一个东西走向、轮廓可看成抛物线的山坡，以水平地面为x轴，西侧的坡底O为原点建立平面直角坐标系，一个单位长度代表长，山坡外轮廓（曲线）所在抛物线的解析式为，无人机从坡底O的西侧点B处起飞，降落到点C，飞行轨迹所在抛物线的解析式为，已知无人机在与点O水平距离处，达到最大高度． (1)_______，_______； (2)求无人机起飞点B与坡底O的水平距离； (3)由于山坡上有障碍物，当无人机与山坡的竖直距离始终大于9米时，才能保证飞行安全．请判断无人机此次飞行是否安全，并说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)解：安全，理由如下： 抛物线与抛物线的距离为， 令，则其对称轴为， 当时，， ， 无人机与山坡的竖直距离始终大于9米， 无人机此次飞行安全． 【分析】（1）根据抛物线顶点式中代表顶点坐标，结合题目给出的最大高度位置读出即可； （2）把代入无人机飞行轨迹抛物线，解一元二次方程得到与x轴两个交点，取x小于0的点即为起飞点B，计算该点到原点O的水平距离即可； （3）用无人机抛物线函数减去山坡抛物线函数，得到竖直距离的二次函数，分析这个开口向上的二次函数的最小值，判断最小值是否大于9，以此判断飞行是否安全． 【详解】（1）解：无人机在与点O水平距离处，达到最大高度， ，； （2）解：由（1）得抛物线的解析式为， 令得， 化简得， 两边同时开平方得， 解得或， ， 无人机起飞点B与坡底O的水平距离为； （3）略 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题6.4用二次函数解决问题 内容总览 1教学目标、教学重难点 知识点01二次函数的应用 2.知识清单 题型01图形问题 题型02图形运动问题 用二次函数解决问题 题型03拱桥问题 3.题型精讲 题型04销售问题 题型05投球问题 题型06喷水问题 基础自测 4.强化训练 能力提升 教学目标 教学重难点 1. 能分析实际情境中的数量关系，建立合适的二次函数模型。 教学目标 2.会运用二次函数的性质（顶点、最值）解决利润、面积、运动等实际问题。 3. 体会数学建模思想，提升将实际问题转化为数学问题的能力与应用意识。 1.重点 (1)掌握从实际问题中抽象数量关系、构建二次函数模型的方法。 (2)熟练运用二次函数的顶点特征求实际问题中的最大（小）值。 教学重难点 2.难点 (1)难以精准提炼实际问题中的变量关系，建立符合题意的二次函数表达式。 (2)求解时易忽略自变量的实际取值范围，导致结果不符合现实情境。 1/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 知识清单 知识点01二次函数的应用 二次函数的应用知识总结 1.核心应用场景： -最值问题：解决利润最大、产量最优、用料最省、高度/距离最值等 -实际建模：根据实际情境（如抛体运动、增长率、几何图形面积）建立二次函数关系式，转化为数学问 题求解。 2.解题步骤： -审题：明确变量关系，确定自变量取值范围（需符合实际意义）。 -建模：设合适的函数解析式（项点式、一般式、交点式按需选择）。 -求解：代入已知条件求参数，利用顶点或单调性求目标值。 -检验：验证结果是否符合实际情境，舍去不合理解。 3.关键技巧与思想： -解析式选择：最值问题优先用顶点式y=a(x-h)+k,己知交点用交点式y=a(x-x)(x-x)。 数形结合：通过函数图像分析自变量取值范围与最值的合理性。 -实际约束：忽略不符合实际的解（如负数、超出定义域的数值）。 【即学即练】1.(26-27九年级上北京西城阶段检测)水火箭从地面竖直向上弹出，水火箭在空中的高 度h(米)与时间t(秒)之间的函数关系式为h=41-.当水火箭达到最高点时，其运动时间为() A.8秒 ，秒 C.2秒 D.4秒 2.(26-27九年级上天津南开开学考试)如图，用长为45m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度是 21m),围成中间有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB是x(单位：m),面积是s(单位：m). 21m A B (1)写出S与x的函数关系式 x的取值范围为 (2)如果要围成面积为162m的花圃，则AB的长为 米 3.(25-26九年级上陕西安康阶段检测)现在，租赁汽车已成为外出旅行时的一种重要的交通方式.某 2/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ 租赁公司拥有20辆小型汽车，公司平均每日的各项支出共6250元.当每辆车的日租金为500元时，可全部 租出；当每辆车的日租金每增加50元，未租出的车将增加1辆.设该租赁公司每日租出x辆，其日收益为 y元 (1)求y与x之间的函数关系式： (2)当每日租出多少辆时，租赁公司日收益最大？最大是多少元？ (3)试说明该租赁公司的日收益能否为4500元？ 题型精讲 题型01 图形问题 【典例1】(2026九年级上·全国·专题练习)如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙 长30m)围成一个矩形羊圈ABCD(BC>AB)并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材 料)，设AB=m D B E F (I)由题意可知CD=AB=x,则BC= (用含x的代数式表示)： (2)设矩形羊圈的面积为S,请写出S与x的关系式，并写出x的取值范围； 【变式1】(26-27九年级上·河北邯郸阶段检测)某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其 中一边靠墙，另外三边由长为30米的篱笆围成.已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的 一边长为x米。 18m 苗圃园 (1)若平行于墙的一边长不小于8米， ①求面积)与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围： ②这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由； (2)当这个苗圃园的面积不小于100平方米时，直接写出x的取值范围」 【变式2】(26-27九年级上·辽宁沈阳·阶段检测)如图，要修建一个中间设有一道隔墙的矩形菜园ABCD 3/23 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 菜园一边靠墙，墙长18米，菜园另三边和中间隔墙共用33米长的篱笆搭建.为方便进出，在下方两个小 矩形的边上各预留一个1.5米宽的门，门的位置不使用篱笆，设AB的长为x米，矩形菜园ABCD的面积为 S平方米。 墙长18米 A 门 (I)用含x的代数式表示BC= 求面积S与x的函数关系式： (②)求当x为何值时，S取最大值，最大值为多少？ 【变式3】(26-27九年级上广东东莞阶段检测)【综合与实践】 【问题情境】 王老师家有一块长6米、宽4米的长方形菜地，如图1，以前由于没有对其进行规划，导致每次浇水、施肥、 摘菜很不方便，经常都会弄得一脚泥， 6 图1 图2 图3 【问题提出】 为了改变这种局面，王老师打算在菜地里修建小路 【方案设计】 方案一：如图2，在地块中间修建一个长为5米，宽为3米的长方形菜地，周围一圈是小路： 方案二：如图3，在地块中间修建三条等宽的道路，一条横向、两条纵向，其余是菜地. 【问题解决】 (1)方案一中，求小路的面积； (2)方案二中，若设道路的宽为x米，求菜地面积y(单位：m)关于x的函数表达式： (3)已知王老师在劳作时，只能覆盖道路两侧15米内（含1.5米）的菜地.在方案二中，若要求道路宽度满 足王老师的劳作需求，请直接写出道路宽度x(单位：米)的取值范围. 题型02 图形运动问题 4/23 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【典例1】(26-27九年级上山东德州阶段检测)如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=12mm, BC=24mm,动点P从点A开始沿边AB向B以2mm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开 始沿边BC向C以4mm/s的速度移动（不与点C重合），如果P、Q分别从A、B同时出发，设运动的时 间为xs,四边形APQC的面积为ymm2 (I)求y与x之间的函数关系式；写出自变量x的取值范围： (2)当四边形AP2C的面积等于112mm2时，求x的值. 【变式1】(26-27九年级上浙江杭州阶段检测)在矩形ABCD中，AB=10©m,BC=12cm,点P从点A 开始沿边AB向终点B以2cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以4cm/s的速 度移动.如果P、Q分别从AB同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动.设运动时间为t秒， B ()填空：B2=_cm,PB=_cm(用含1的代数式表示)； (2)当t为何值时，P2的长度等于10cm? (3)是否存在t的值，使△BP的面积S最大，若存在，请求出此时t的值与最大面积；若不存在，请说明理 由. 【变式2】(26-27九年级上·四川绵阳阶段检测)如图，四边形0ABC为直角梯形，A(4,0),B(3,4), C(0,4).点M从O出发以每秒2个单位长度的速度向A运动：点N从B同时出发，以每秒1个单位长度 的速度向C运动.其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动.过点N作NP垂直x轴于点 P,连接AC交NP于O,连接MQ 5/23 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 N←-B O-→MP (①)点 (填M或N)能到达终点； (2)求△AQM的面积S与运动时间t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，当t为何值时，S的值最大： 【变式3】(26-27九年级上·广东广州阶段检测)如图，正方形ABCD的边长为8cm,点M从点B出发， 沿BC边以2cmIs的速度向终点C移动；同时点N从点C出发，沿CD边以2cm/s的速度向终点D移动. 当一点到达终点时，另一点也随之停止运动.连接AM、MN、AN,设运动时间为t秒. B M (I)当t为何值时，△CMN的面积为6cm? (2)在运动过程中，△AMN的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值及此时t的值：若不存在，请说明 理由 (3)在运动过程中， 设，CMw的面积为S,△MN的面积为S,令k=是 三，是否存在某一时刻，使得k有 最大值？若存在，请求出这个最大值以及此时的值：若不存在，请说明理由. 题型03 拱桥问题 【典例1】(26-27九年级上湖北省直辖县级单位·阶段检测)如图①是一座抛物线型拱桥，图②是其侧面 部分示意图，在正常水位时水面AB的宽为l6m,如果水位上升3m,就达到警戒水位CD,此时水面CD 的宽为8m 图① 图② 6/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)建立适当的平面直角坐标系，求此抛物线的函数表达式： (2)在(1)的条件下，现有一棱长为4m的封闭正方体铁制集装箱，从上游漂流到拱桥处，其吃水深度（集 装箱浸在水下的部分)为3.2m,集装箱正面朝前从桥正中心径直通过，其上表面与水面平行. ①在正常水位时，此集装箱能否顺利通过这座拱桥，为什么？ ②由于连日暴雨，水面快速上涨到警戒水位CD,若要此集装箱能顺利通过这座拱桥，需要增加吃水深度， 求至少要增加多少吃水深度？ 【变式1】(26-27九年级上·上海闵行阶段检测)九(1)班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数 问题，他们经历了实践到应用的过程. 6.25 10 (1)实践：他们对一条公路上横截面为抛物线的单向双车道的隧道进行测量，测得一隧道的路面宽为10m 隧道顶部最高处P距地面6.25m,并画出了隧道截面图.建立了如图所示的直角坐标系，请你求出抛物线 的解析式： (2)应用：按规定机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为0.5m.为了确保 安全，问该隧道能否让最宽3m,最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶（两车并列行驶时不考虑两车间 的空隙)？并说明理由， 【变式2】(26-27九年级上四川南充阶段检测)综合与实践 如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？ 图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意 素材1 图，某时测得水面宽20m,拱顶离水面5m.据调 20m 查，该河段水位在此基础上再涨1.8m达到最高， 图1 图2 为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂40cm长 的灯笼，如图3.为了安全，灯笼底部距离水面不小 桥拱 40cm 安全 素材2 于1m；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距 距离 最高水位 均为1.6m;为了美观，要求在符合条件处都挂上灯 图3 笼，且挂满后成轴对称分布」 7/23 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 问题解决 (1)确定桥拱形状：在图2中建立合适的平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式. (2)探究悬挂范围：在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的 取值范围。 【变式3】(26-27九年级上·内蒙古通辽阶段检测)根据以下素材，探索完成任务. 如何设计高架桥的限高及车道方案？ 图1高架桥是一段抛物线结构，图2是它的示意 图.经测量，高架桥跨度24m,最高点离地面9m 桥的两端点M,Q距离地面3m. M 9m 素材1 3m 24m 图2 图1 如图3，某道路规划部门计划在左侧公路分为非机 动车道、机动车道一、机动车道二及绿化带（位于 桥的正中间)四部分，原计划设计非机动车道AC 机 素材2 宽3m,机动车道CD、DE宽均为3.5m.为了保证 动 M 动 动车道 车辆的行驶安全，高架下方需要设置限高标志以警 绿化带 A C D 示车辆驾驶员.（限高即图中BC的高度，精确到 图3 0.1m) 问题解决： ()确定模型：在图2中建立适当的平面直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式： (2)探究原计划限高：如图3，点N为高架桥的最高点，在(1)的条件下，计算： ①绿化带的宽度： ②确定机动车道一的限高高度. 题型04销售问题 【典例1】(26-27九年级上·浙江宁波阶段检测)某商店经销一种健身球，已知这种健身球的成本价为每 个22元，市场调查发现，该种健身球每天的销售量（个）与销售单价x(元)有如下关系：y=-2x+200 8/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (22≤x≤50)，设这种健身球每天的销售利润为w元. (1)如果销售单价定为30元，那么该种健身球每天的销售量是 (2)求w与x之间的函数表达式 (3)当该种健身球销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【变式1】(26-27九年级上·天津河北阶段检测)某公司生产一种产品，成本为每件30元.当售价为50 元/件时，每天可售出200件经调查发现：售价每降低1元，每天可多售出20件.设每件售价降低x元( 0≤x≤20)，每天的销售量为y件，每天的利润为W元. (1)直接写出y与x的函数关系式： (2)求W与x的函数关系式，并求当x为何值时W最大，最大利润是多少： (3)若该公司要求每天至少售出300件，此时售价应定为多少元可使利润最大？最大利润是多少？ 【变式2】(26-27九年级上山东济宁·阶段检测)某乡镇企业积极响应国家乡村全面振兴号召，依托本地 特色资源，计划投资生产某种产品.投产第一年企业需要至少生产I3万件产品，受产能限制，产量不超过 24万件，并且生产的产品能全部售出.经调研，投产第一年该产品的总成本y(万元)与产量x(万件) 之间近似满足二次函数关系y=-x+bx+c(13≤x≤24)，部分数据见表： 产量x(万 15 18 20 件) 总成本y(万 285 336 360 元) (总利润=总销售额一总成本) (I)求投产第一年该产品的总成本y与产量x之间的函数关系式： (2)投产第一年，如果该产品每件售价为20万元，生产该产品多少万件时，总利润最大？最大总利润是多 少？ 【变式3】(26-27九年级上·安徽合肥阶段检测)大蒜是我国重要经济蔬菜，依托冷库储存错峰销售是农 户、经销商增收致富的重要方式.某农产品经销商张经理在大蒜上市初期，以6元/千克的市场价收购2000 千克大蒜存入冷库.经市场调研得到如下规律： ①大蒜市场价格持续上涨，每日每千克涨价02元： ②冷库存放期间，每日固定支出管理费、水电费等合计170元： ③大蒜会自然损耗，平均每天有5千克大蒜损坏，无法售卖： ④这批大蒜在冷库中最多储存90天. 9/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设这批大蒜存放x天后一次性全部出售(x为非负整数，0≤x≤90)，完成下列探究问题： (1)探究一：建立销售金额函数模型 存放x天后，大蒜的销售单价为元，可出售大蒜的质量为千克：销售总金额y(元)与存放天数x之间的 函数关系式为y=_；(用含x的代数式表示) (2)探究二：定量探究日标利润存放天数 若张经理想要获得5100元的销售利润，请求出大蒜的存放天数.（利润=销售总金额一收购总成本一冷库 储存总费用)· (3)探究三：最值探究最优销售方案， 写出利润W(元)关于存放天数x的函数关系式，并探究：存放多少天出售可获得最大利润？最大利润为 多少元？ (4)拓展探究： 若冷库升级设备，每日储存费用降低a元(a>0),其余条件不变，最终最大利润可提升至10800元，求 a的值. 题型05 投球问题 【典例1】(26-27九年级上·福建龙岩·阶段检测)一小球M从斜坡OA上的点O处抛出，球的抛出路线是 抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡O4可以用一次函数)=3x刻画.若小球到达最 高点的坐标为(3,6). M B O (I)求抛物线的函数解析式（不写自变量x的取值范围）； (2)求小球在斜坡上的落点A的坐标： 【变式1】(26-27九年级上·四川德阳·阶段检测)在一场篮球赛中，运动员小杨在距篮下4米处跳起投篮， 球运行的路线呈抛物线形，当球运行的水平距离为2.5米时，到达最高点，此时球离地面的距离是3.5米， 然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3.05米.如图1建立平面直角坐标系. 10/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 YA 13.5米 3.05米 ←2.5米> -4米 (1)求此抛物线的表达式： (2)如果小杨的身高是1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米，那么球出手时，他跳离地面的高度是 多少米？ 【变式2】(26-27九年级上浙江宁波阶段检测)如图，排球运动员小丽站在点O处练习发球，将球从点 O的正上方2米的点A处发出，把球看成点，其运行的高度y(米)与运行的水平距离x(米)满足关系式 y=a(x-6)}+h,已知球网与点0的水平距离为9米，高度为2.43米，球场的边界距点0的水平距离为 18米. y(米) 球网 边界 6 18x(米) (1)当h=2.9时，求y与x的函数关系式 (2)当h=2.9时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由， 【变式3】(26-27九年级上·内蒙古赤峰·阶段检测)篮球是学生非常喜爱的运动项目之一，篮圈中心距离 地面的竖直高度是3.05m,小石站在距篮圈中心水平距离6.5m处的点A练习定点投篮，篮球从小石正上方 出手到接触篮球架的过程中，其运行路线可以看作是抛物线的一部分，当篮球运行的水平距离是x(单位： m)时，球心距离地面的竖直高度是少（单位：m).在小石多次的定点投篮练习中，记录了如下两次训 练： VA 3.05m 77777 6.5m 7777777 ()第一次训练时，篮球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离x/m 0 3 4 6 11/23 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 竖直高度y/m 2.0 2.7 3.2 3.5 3.6 3.5 3.2 ①由表中数据可知，小张第一次练习投篮的出手高度是 m,球运行过程中的最高高度是 m ②结合表中数据，求'与x满足的函数解析式： ③小石第一次投篮练习能否投进，请说明理由： (②)第二次训练时，小石通过调整出手高度的方式将球投进.篮球出手后运行路线的形状与第一次相同，达 到最高点时，篮球的位置恰好在第一次最高点的正上方.如果小石在进行第二次训练时，在他正前方08 米处的教练准备起跳拦截，教练起跳后伸直手臂手尖离地的最大高度是2.5米，那么教练能否成功拦截小 石这次投篮？请说明理由，（篮球半径忽略不计） 题型06 喷水问题 【典例1】(25-26九年级上·陕西安康·期中)某地消防中队在一座废弃高楼上开展消防技能比赛，在距离 地面l0m的点A处和其正下方的点B处各设置了一个火源，消防员站在水平地面上的点C处拿着水枪向A 处喷水（水流出口与地面的距离忽略不计），水流路径为抛物线的一部分.据录像资料显示，水流路径的 最高点到高楼的水平距离为4m,到水平地面的距离为12m.待A处火熄灭后，消防员前进至点D处，调 整水枪，使水流刚好落在点B处.已知点D到高楼的距离为12m,且两次灭火时水流路径的最高点到高楼 的水平距离相等，建立如图所示的平面直角坐标系，其中水流的高度为火m）,水流到高楼的水平距离为 x(m) y/m DC x/m (1)求消防员灭A处的火源时，水流路径所在抛物线的解析式： (2)若消防员灭A、B两处的火源时，水流路径所在抛物线的形状相同，求A、B两点之间的距离」 【变式1】(26-27九年级上·全国期末)第33届奥运会上我国网球选手郑钦文荣获女子单打冠军，创造 了历史，各地迅速掀起网球训练热潮.某网球训练营教练自制一种网球发球器（图①），已知该发球器的 网球出口C离地竖直高度0C=1.5米.如图②，网球在最大力量和最小力量发射出去的路线可以抽象为两 条抛物线的一部分，最小力量发球得到的抛物线可以看作由最大力量发球得到的抛物线向左平移得到，最 大力量发球得到的抛物线最高点D离出球口的水平距离为2米，高出出球口0.5米. 12/23 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 0.51 BM O A 图① 图② (I)求最大力量时，网球射出去得到的抛物线的函数解析式，并求出网球射出的最大射程OA； (2)求最小力量时，网球射出的最大射程OB 【变式2】(26-27九年级上湖北武汉·阶段检测)综合与实践 【主题】优化洒水车为公路两侧绿化带浇水效率 【问题背景】如图1，洒水车沿着平行于公路绿化带方向行驶，同时向右侧绿化带浇水.数学兴趣小组的 同学想了解洒水车要如何控制行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水能浇灌到整个绿化带，为 解决这个问题，数学兴趣小组同学通过建立数学模型进行探索. 【数学建模】如图2，建立平面直角坐标系，可以把洒水车喷出水的内、外边缘抽象为平面直角坐标系中 两条抛物线的部分图象；喷水口H离地竖直高度OH为m,把绿化带横截面抽象为矩形DEFG,其水平 宽度DE=3m,竖直高度EF=1m,OD表示洒水车和绿化带之间的距离.内边缘抛物线y2是由外边缘抛 物线y向左平移得到，外边缘抛物线y最高点A离喷水口的水平距离为4m,高出喷水口1m. 4 A H 0 BD C 图1 图2 【解决问题】 (1)直接写出外边缘抛物线的函数解析式，此时喷出水的最大射程OC为_： (2)请求出内边缘抛物线2与x轴的正半轴交点B的坐标： (3)要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出OD的取值范围。 【变式3】(2026陕西西安模拟预测)【项目式学习】 项目主题：无人机灌溉研究 项目背景：无人机灌溉技术在现代农业中逐渐普及，它能高效、精准地为农作物供水，减少水资源浪费， 提升灌溉效率，助力农业现代化发展， 13123 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 驱动问题：如何优化无人机灌溉方案，实现更高效、精准的灌溉？ 建立模型：如图1，是无人机启动时喷洒的截面示意图，点A,B是喷水口，AB=80cm,此时无人机的喷 水口A,B距地面均为300cm,以AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴，过点O且垂直于AB的直 线为y轴，建立平面直角坐标系.喷水口A,B喷出的水流形状是分别以A,B为顶点、形状相同的两条抛物 线，它们与y轴均交于点C,OC=300cm A 300cm 300cm 地面 YP 地面 图1 图2 (1)如图1，求点A所在抛物线的函数表达式： (②)为了精准灌溉，需要调整无人机喷水口A,B的竖直高度（抛物线形状不变）.如图2，当无人机的喷水 口A,B上升到距地面400cm时，求此时地面上喷洒覆盖区域PQ的长， 强化训练 基础自测 一、 单选题 1.(26-27九年级上·全国·单元复习)水火箭从地面竖直向上弹出，水火箭在空中的高度h(米)与时间t (秒)之间的函数关系式为h=4t-2.当水火箭达到最高点时，其运动时间为（) A.1秒 B.2秒 C.3秒 D.4秒 2.(26-27九年级上·全国课后作业)中国传统手工艺品，如中国结，油纸伞，团扇等，是古代先民智慧 和勤劳的结晶，是中华传统文化的表达方式之一，也是各地传统风俗的体现.某工艺品店出售某种手工团 扇，若每个获利x元，一天可售出（⑧-x)个，为了使一天出售该种手工艺品的总利润y(元）最大，则x的 值为() A.4 B.5 C.6 D.8 3.(25-26九年级上·陕西安康·阶段检测)如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心0竖直安装一根水管， 14/23 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ 在水管的顶端A点安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为2处达到最高，高度 为5m,水柱落地处离池中心距离为6m,则水管的长度OA是() 2 15 C. 5 A. B.5m D.m 4.(25-26九年级下辽宁大连期未)如图，抛物线y=m2+2ax+c(a>0)与y轴交于点C,与x轴交于A, B两点，A点在B点的左侧.若点E在x轴上，点P在抛物线上，且以A,C,E,P为顶点的四边形是 平行四边形，则符合条件的点P有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.(2026黑龙江齐齐哈尔中考真题)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8,BC=6,动点P从点 B出发沿边BA向终点A匀速运动，同时动点Q从点A出发，沿边AC→CB向终点B匀速运动，两动点运 动到各自终点停止运动.若P,Q两点每秒运动的路程相同，点Q运动的路程为x(x>O),△BP的面积 为y,则下列图象能反映y与x之间函数关系的是() B 24 19.2 16 16 A B D 814x 84 81014 81014x 二、填空题 6.(26-27九年级上浙江绍兴开学考试)一种礼炮的升空高度h(m)与飞行时间(s)的关系式是 15123 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ h=-+8t+2.若这种礼炮在升空到最高点时引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为 S. 7.(2026广东佛山模拟预测)某商店销售一种玩具，每件的进货价为40元，经市场调研，当该玩具每 件的销售价为50元时，每天可销售200件；当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件， 现该商店决定涨价销售，若该玩具每件销售价不低于57元，则销售该玩具每天获得的利润"最大为 元 8.(26-27九年级上全国课后作业)大自然中有一种神奇的鱼一一射水鱼，它能以极快的速度从口中射 出水柱击落昆虫来捕食，射出的水柱呈抛物线形.如图，以射水鱼所在的位置为原点O建立平面直角坐标 系，设水柱距水面的高度为dm,与射水鱼的水平距离为xdm,y与x的函数表达式为y=a(x-2+k, 、16 水柱的最大高度为6dm一只昆虫位于点43,3)处， 水柱形成的时间忽略不计，射水鱼从原点O出发， 需要水平向右游动 dm的距离才能击中昆虫. VA 9.(26-27九年级上辽宁鞍山开学考试)如图，片与2关于y轴对称，且=(x+(x<0),一条平行 于x轴的直线与y和共有四个交点，从左到右依次记为AB、C、D,当AB=BC=CD时，则AD= 10.(26-27九年级上全国课后作业)如图，学校要在校园内建一个矩形的开心农场，其中一边AD紧靠 围墙，且AD的长不能超过28m,其余三边AB,BC,CD用60m长的铁质栅栏围成.有下列结论： ①AB的长可以为l5m; ②当农场ABCD的面积为200m时，满足条件的AB的长只有一个值； ③农场ABCD面积的最大值为450m. 16123 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 其中，正确的是 (只需填序号). 围墙 三、解答题 11.(26-27九年级上·辽宁铁岭·阶段检测)某店统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4 月份销售150个，6月份销售216个 (1)求该店该品牌头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率： (2)若此种头盔的进价为300元/个，测算在市场中，当售价为400元/个时，月销售量为60个，若在此基础 上售价每上涨2元个，则月销售量将减少1个，为使月销售利润最大，该品牌头盔的实际售价应定为每个 多少元？ 12.(26-27九年级上·浙江衢州阶段检测)如图所示，已知抛物线y=x-1与x轴交于A、B两点，与y 轴交于点C B (1)求A、B、C三点的坐标. (2)在抛物线上是否存在一点M,使得△ABM的面积是△ACB面积的2倍.若存在，请求出M点的坐标；否 则，请说明理由， 13.(26-27九年级上浙江杭州开学考试)如图，某农户计划用篱笆围成一个矩形场地养殖家禽，为充分 利用现有资源，该矩形场地一面靠墙（墙的长度为l8m)，另外三面用篱笆围成，中间再用篱笆把它分成 三个面积相等的矩形分别养殖不同的家禽，计划购买篱笆的总长度为32m,设矩形场地的长为m，面积 为Sm2 18m xm (1)求S关于x的函数表达式. 17123 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)矩形场地的总面积为60m2,求出x的值 (3)当x为何值时，矩形场地的总面积最大？最大面积为多少？ 14.(26-27九年级上广东·阶段检测)投掷铅球时，铅球的运动轨迹可以看作抛物线的一部分.如图，某 人掷铅球时，铅球距地面的高度y(m)与距投掷点的水平距离x(m)之间的函数表达式为 4 y=ax2+ x+2a<0 ◆y/m x/m (I)当投掷的距离为8m时，求a的值； (2)当2≤x≤4时，铅球距地面高度的最大值与最小值之差为0.4m,求a的值. 15.(2026九年级上·全国专题练习)如图，抛物线y=x2+br+C与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C, 抛物线的对称轴是直线x=一2，已知点B(1,0,C(0,-2): /B F (1)求抛物线的解析式： (2)E是线段AC上的一个动点，过点E作ED⊥x轴，延长DE交抛物线于点F,求线段EF的最大值及此 时点E的坐标； (3)在y轴上是否存在一点P,使得∠OAP+∠OAC=60°？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由. 能力提升 一、单选题 1.(26-27九年级上全国课后作业)如图，用12米长的木条做一个有一条横档的矩形窗子，为使透进的 18123 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 光线最多，选择窗子的高AB(木条粗细忽略不计)为() B A.1米 B.2米 C.3米 D.4米 2.(26-27九年级上全国课后作业)如图，已知正方形ABCD的边长是1，正方形EFGH的顶点分别在 AB,BC,CD,AD上.设正方形EFGH的面积是S,AE的长是x,则下列说法正确的是() G E A,当x=2时，S有最小值 B.当x=2时，S有最大值2 C.S随x的增大而减小 D.S随x的增大而增大 3.(2026广东广州二模)己知抛物线y=-x2+2c+1与x轴交于(：，0)，(，0)两点，且x<x.若点 A(m,m)在该抛物线上，则下列判断正确的是(） A.当n>0时，x<m<x B.当n<0时，m< C.当k=0时，该抛物线的顶点到达最高处 D.该抛物线与y=-x+1没有交点 4.(2026山东济南中考真题)如图，在平面直角坐标系xOy中，A3,0),B(9,0)是x轴上的两点，P是 函数= 3x图像上一动点，连接AP'BP·则P+BP的最小值为(） O A B A.30 B.36 C.42 D.63 19123 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.(2425九年级下·湖南湘潭自主招生)如图，在等边△ABC中，AB=4,点P从A出发，沿A-B-C 路线以每秒1个单位的速度运动，同时点Q从A出发，沿A-C-B路线以相同速度运动，当P、Q两点相 遇同时停止运动.设两点运动时间为1秒(>0)，△APO的面积为S,则下列图象能表示S与1之间的函数关系 的是() P S 43 4V3 23 B.2√3 468秒) 2468秒) S S 43 /3 C.23 D 23 824名8秒) 2 46 8秒) 二、填空题 6.(26-27九年级上全国课后作业)飞机着陆后滑行的距离w(单位：m)关于滑行的时间t(单位：s ）的函数解析式是w=601- ?,飞机若陆后到滑行停下来，滑行的时间是一。飞机滑行的距离是 3 m. 7.(2026甘肃平凉·二模)如图1，玛曲黄河大桥位于甘肃玛曲县城南，北连玛曲县城，南通阿万仓乡， 是甘肃省黄河上游的第一座桥梁，因此有“黄河第一桥”之称.如图2是它的部分示意图，可近似地用抛 物线的一部分表示，若当水面宽度AB为10m时，水面到拱顶的高度CO为4m,当水位在此基础上继续上 涨lm时，水面的宽度为m(结果保留根号)， 20123 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0 A 图1 图2 8.(26-27九年级上·全国·课后作业)廊桥是我国古老的文化遗产，抛物线形的廊桥示意图如图所示.己 知物线的西数衣达式为y=和+0，为塔加安全生，在该粒物线上同一高度且水平距离为g米的 40 C,D两处安装警示灯，则警示灯D离水面AB的距离为—米. 0 9.(2026甘肃嘉峪关·二模)在北京冬奥会自由式滑雪大跳台比赛中，我国运动员的精彩表现让人叹为观 止，己知运动员从2高的跳台滑出后的运动路线是一条抛物线，设她与跳台边缘的水平距离为m,与跳 1 台底部所在水平面的竖直高度为m,y与x的函数关系式为y= x2+x+2(0≤x≤20.5)，当她与跳台边 16 缘的水平距离为」 m时，竖直高度达到最大值. ◆y/m 跳台 205m 10.(2026辽宁本溪二模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2r+3与x轴相交于点A,B, 与y轴交于点C,若点D(m,3)在第二象限的抛物线上，则△ACD的面积为一· D 21123 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 三、解答题 11.(26-27九年级上辽宁铁岭阶段检测)某店统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4 月份销售150个，6月份销售216个. (1)求该店该品牌头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率： (2)若此种头盔的进价为300元/个，测算在市场中，当售价为400元/个时，月销售量为60个，若在此基础 上售价每上涨2元/个，则月销售量将减少1个，为使月销售利润最大，该品牌头盔的实际售价应定为每个 多少元？ 12.(25-26九年级上安徽合肥期中)为弘扬桐城派文化，让更多游客了解六尺巷，某文旅公司推出多款 文创产品.已知某款定制“一纸书来只为墙”的主题团扇的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以 售出60件，经调查发现，售价每降价0.5元，每天可以多售出5件.设该款主题团扇售价为x元， (1)每天售出的数量是 _件 (2)文旅公司每天售卖该款主题团扇的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 13.(2026江苏准安·中考真题)“运河三千里，醉美是淮安.”“常盈桥”是里运河上一座古朴典雅的 人行景观桥，桥身呈对称分布.如图，桥拱ACB可以看成抛物线形，跨径AB为30m,拱高CD为6m (1)建立恰当的平面直角坐标系，求出抛物线对应的函数表达式， (2)当桥拱ACB下的水面宽为28m时，求此时拱顶C到水面的距离。 14.(26-27九年级上·北京·期中)乒乓球作为中国的国球，是一项深受大众喜爱的体育运动，小聪和小明 打球时发现乒乓球运动路线近似看成抛物线的一部分，爱思考的他俩建立如图所示的平面直角坐标系，小 聪第一次发球时，乒乓球从抛出到第一次落在球桌的过程中，乒乓球的竖直高度y(单位：Cm)与水平距 离x(单位：cm)近似满足函数关系式y=a(x-h)+k(a<0) 乒乓球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离x/cm 0 40 80 120 160 22123 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 竖直高度y/cm 20 35 40 35 20 y个 40 20 20406080100120140160180200交 -20 ()根据上述数据，直接写出小聪第一次发球时乒乓球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系 y=a(x-h)+k(a<0): (②)小聪第一次发球后乒乓球第一次落在球桌时恰好在球桌边缘，第二次他发球时，乒乓球的竖直高度y (单位：cm)与水平距离x(单位：cm)近似满足函数关系式y=0.005(x-70)+36,请你判断小聪第 二次发球时，乒兵乓球是否落在球桌内：一（填“是”，“否”）， 15.(25-26九年级下·河北衡水·阶段检测)如图是一个东西走向、轮廓可看成抛物线的山坡，以水平地面 为x轴，西侧的坡底O为原点建立平面直角坐标系，一个单位长度代表1m长，山坡外轮廓（曲线OA)所 在物线乙的解析式为=和2 4,无人机从坡底O的西侧点B处起飞，降落到点C,飞行轨迹所在 港物线L,的解析式为y=一动女一+，已知无人机在与点0水平距亮45m处，达到发大高位05m →东 BO (1)h= k= (2)求无人机起飞点B与坡底O的水平距离： (3)由于山坡上有障碍物，当无人机与山坡的竖直距离始终大于9米时，才能保证飞行安全.请判断无人机 此次飞行是否安全，并说明理由， 23123