专题6.3 确定二次函数的表达式（5题型+高效培优讲义）数学新教材苏科版九年级下册

专题6.3 确定二次函数的表达式 教学目标 1. 理解待定系数法确定二次函数表达式的基本原理，掌握设一般式、顶点式、交点式的方法。 2. 能根据已知条件（三点、顶点、与坐标轴交点等）灵活选择恰当的表达式形式求解。 3. 经历“设—代—解—写”的完整过程，体会方程思想与数形结合思想在函数学习中的应用。 教学重难点 重点： 1. 运用待定系数法求二次函数表达式的一般步骤与规范操作。 2. 根据已知条件合理设出二次函数表达式（一般式、顶点式或交点式）。 教学难点： 1. 在具体问题中判断并选择最恰当的表达式形式，以简化运算过程。 2. 将实际问题中的条件准确转化为待定系数的方程（组），并完成求解与还原。 知识点01 用待定系数法求二次函数的表达式 一、三种表达式形式及选用策略 设解析式时，需根据已知条件“对号入座”，以简化运算： 1. 一般式： y=ax2+bx+c（a≠0）。 适用：已知抛物线上任意三点坐标。这是通法，但需解三元一次方程组。 2. 顶点式：y=a(x-h)2+k（a≠0）。 适用：已知顶点坐标、对称轴或最值。只需再代入另一点求出a即可，计算量较小。 3. 交点式：y=a(x-x1)(x-x2)（a≠0）。 适用：已知抛物线与x轴的两个交点坐标。同样只需代入第三点求a。 二、待定系数法通用步骤 口诀：设、代、解、写。 1. 设：根据上述策略设出含待定系数的表达式。 2. 代：将已知点的坐标代入，得到方程或方程组。 3. 解：解方程（组），求出待定系数的值。 4. 写：将求出的系数代回所设表达式，并注明a≠0。 【即学即练】 1．（26-27九年级上·上海杨浦·阶段检测）将抛物线的图象先向左平移个单位，再向上平移个单位，得到的抛物线的解析式是__________． 【答案】 【分析】先将原抛物线解析式化为顶点式，再根据二次函数图象平移的“左加右减，上加下减”规则计算得到新抛物线的解析式． 【详解】解：先将原抛物线配方化为顶点式，， ∵抛物线向左平移3个单位，再向上平移2个单位， ∴根据平移规则，对自变量左移加，对常数项上移加， 可得． 2．（26-27九年级上·广东东莞·阶段检测）已知二次函数的图象经过，两点． (1)求该抛物线的表达式； (2)求该二次函数的对称轴和顶点坐标； 【答案】(1) (2)对称轴为直线，顶点坐标为 【分析】（1）根据待定系数法代入已知点的坐标，即可得到该抛物线的表达式； （2）将该二次函数的表达式转化为顶点式，即可得到对称轴和顶点坐标． 【详解】（1）解：将，代入， 得， 解得：， ∴该抛物线的表达式为； （2）解：， ∴该二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为． 3．（26-27九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）已知二次函数图象上的部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表： … … … … 根据以上信息回答下列问题： (1)二次函数图象的顶点坐标是________，的值为________； (2)求二次函数的表达式； (3)当时，二次函数的最小值是，则的值为________． 【答案】(1)； (2) (3)或 【分析】（1）观察表格中纵坐标相同的点，根据二次函数的对称性分析即可． （2）根据顶点坐标以及表格中的坐标进行求解即可． （3）根据对称轴以及的取值范围来讨论函数的最小值即可． 【详解】（1）解：当和时，， 对称轴为这两点横坐标的中点，即， 在对称轴处取得最值，此时， ∴顶点坐标为， ∵二次函数图象关于对称轴对称， 点与点关于对称轴对称， ∴． （2）解：由（1）知，二次函数图象的顶点坐标为， 设二次函数的表达式为， 将点代入，得： ， ， ∴， 即． （3）解：当，最小值是0， 时：，可得：， 即，解得：， ∵抛物线开口向下，对称轴，在上最小值为0， ∴端点落在或； ①取值范围内右端点，得，此时的取值范围为，在对称轴左侧，函数递增， 最小值在，，舍去； ②取值范围内左端点，此时的取值范围为， 时，取值范围内函数递增，最小值0，符合； ③取值范围内右端点，得，此时的取值范围为， 时，，取值范围内函数递减，最小值0，符合； ④取值范围内左端点，此时的取值范围，时，，函数递减， ，，最小值不是0，舍去， ∴或． 题型01 利用平移求二次函数的解析式 【典例1】（26-27九年级上·宁夏吴忠·阶段检测）将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度得到的解析式为______． 【答案】 【分析】根据平移规则：左加右减，上加下减，进行求解即可． 【详解】解：由题意，平移后的解析式为． 【变式1】（26-27九年级上·山东德州·阶段检测）将抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位后所得到新抛物线的解析式为________． 【答案】 【详解】解：将抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位后所得到新抛物线的解析式为． 【变式2】（26-27九年级上·上海静安·阶段检测）将二次函数图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位后，所得图象的函数表达式是_______________． 【答案】 【分析】根据二次函数图象的平移规则“左加右减，上加下减”计算即可． 【详解】解：将二次函数图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位后，所得图象的函数表达式是． 【变式3】（2026·四川宜宾·模拟预测）将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的新抛物线的顶点和抛物线的顶点重合，则的值为________． 【答案】 【分析】先对原抛物线配方得到原顶点坐标，根据平移规律得到平移后的顶点坐标，再写出抛物线的顶点式，展开对比系数得到和的值，最后再计算即可． 【详解】解：对抛物线配方化为顶点式， ， ∴原抛物线的顶点坐标为． 将原抛物线的顶点式向右平移个单位长度，即顶点的横坐标加；向下平移个单位长度，即顶点的纵坐标减， ∴得到平移后的新顶点坐标为． ∵新抛物线顶点与顶点重合， ∴的顶点为， 写出的顶点式：， 展开得， 对比得，， ∴． 题型02 利用顶点式求二次函数的解析式 【典例2】（26-27九年级上·广东广州·阶段检测）已知二次函数图象的顶点坐标是，且过点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)为任意实数，试判断点是否在这个二次函数的图象上． 【答案】(1)； (2)点在这个二次函数的图象上． 【分析】（1）根据顶点坐标设二次函数顶点式，再将代入求出的值，即可得解； （2）将代入函数解析式判断即可． 【详解】（1）解：二次函数图象的顶点坐标是， 设抛物线的解析式为， 把代入解析式： 解得：， 抛物线的解析式为：． （2）解：把代入得，， 故点在这个二次函数的图象上． 【变式1】（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知二次函数图象与y轴交于点，顶点为． (1)求该二次函数解析式． (2)将抛物线先向右平移个单位长度，再向上平移2个单位长度，函数图象恰好经过原点，求的值． 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）先通过配方得到顶点，进而得到平移后的解析式，将原点坐标代入求的值． 【详解】（1）解：顶点为， 设二次函数解析式为， 代入点得，， 解得， 该二次函数解析式为； （2）解：由题意可得：，即， 图象恰好经过原点， ， 解得或， 的值为3． 【变式2】（26-27九年级上·广东惠州·阶段检测）已知一条抛物线的顶点坐标是，并经过点， (1)求这条抛物线的函数解析式． (2)判断点是否在该抛物线上，并说明理由． 【答案】(1) (2) 点不在该抛物线上． 理由：∵抛物线的解析式为， ∴将代入解析式，得， ∵， ∴点不在该抛物线上． 【分析】（1）根据抛物线顶点坐标设顶点式，代入点的坐标求出系数，整理得到函数解析式； （2）将点的横坐标代入抛物线解析式，计算对应函数值，与点的纵坐标比较，判断点是否在抛物线上． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的解析式为， ∵抛物线经过点， ∴将，代入解析式，得， 解得， ∴抛物线的函数解析式为，即 （2）略 【变式3】（26-27九年级上·山东滨州·阶段检测）已知二次函数的图象经过点、、． (1)求该二次函数的解析式； (2)求该抛物线的对称轴、顶点坐标，并写出当x取何值时，y随x的增大而增大． 【答案】(1) (2) 对称轴为直线，顶点坐标为；当时，随的增大而增大 【分析】 （1）用待定系数法，结合已知三点坐标求解二次函数解析式． （2）利用二次函数的性质求对称轴、顶点坐标，判断增减性． 【详解】（1）解： ∵二次函数的图象经过点、， ∴设该二次函数的解析式为（）． 将代入解析式， 得 ， 解得． ∴该二次函数的解析式为． （2）解：∵二次函数图象与轴交于、， ∴对称轴为直线． 将代入， 得 ， ∴顶点坐标为． ∵，抛物线开口向上， ∴当时，随的增大而增大． 题型03 利用一般式求二次函数的解析式 【典例3】（26-27九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）已知二次函数的图象经过点、和，求这个二次函数的解析式． 【答案】 【分析】设二次函数的解析式为，利用待定系数法求解． 【详解】解：设二次函数的解析式为， 将点、和代入得， ，解得：， ∴ 二次函数的解析式为． 【变式1】（26-27九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）已知二次函数的图象经过点、、，求这个二次函数的解析式． 【答案】 【分析】利用待定系数法解答即可． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点、、， ∴， 解得， ∴这个二次函数的解析式为． 【变式2】（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知抛物线经过点，，，求该抛物线的表达式． 【答案】 【分析】设抛物线一般式，代入三个已知点的坐标，列方程组求解系数即可得表达式． 【详解】解：设抛物线的表达式为， 将，，分别代入表达式，得 ， 解得， ∴该抛物线的表达式为． 【变式3】（26-27九年级上·甘肃定西·阶段检测）已知二次函数的图象经过点，，． (1)求该二次函数的解析式； (2)当时，求函数的最大值和最小值． 【答案】(1) (2) 最大值为，最小值为 【分析】（1）将三个已知点的坐标代入二次函数一般式，列方程组求解待定系数，，，再回代即可； （2）先确定抛物线的开口方向与对称轴，结合的取值范围，比较顶点和取值范围两端点的函数值，得到最值． 【详解】（1）解：把点，，代入解析式，得 ， 解得， ∴该二次函数的解析式为； （2）解：由（1）得该二次函数的解析式为， ∴，抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴当时，函数取得最大值，最大值为； 当时，； 当时，； ∵， ∴函数的最小值为； 综上所述，当时，函数的最大值为，最小值为． 题型04 利用交点式求二次函数的解析式 【典例4】（2026九年级上·全国·专题练习）一条抛物线与轴交于点，，并经过点，求这条抛物线的函数解析式． 【答案】 【详解】解：∵抛物线与轴交于点，， ∴设抛物线的解析式为， 把代入得：， 解得． ∴抛物线解析式为，即． 【变式1】（26-27九年级上·广东汕头·阶段检测）已知二次函数的图象顶点为．且过点， (1)求该抛物线的解析式． (2)直接写出x为何值时，y随着x的增大而减小． 【答案】(1) (2)时，y随x的增大而减小 【分析】（1）利用待定系数法即可解答； （2）根据二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：根据题意可设抛物线的解析式为， 把代入得，解得， 所以抛物线的解析式为． （2）解：， ∴抛物线开口向下， ∴时，y随x的增大而减小． 【变式2】（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知二次函数的图象交x轴于点和，与y轴交于点． (1)试求该二次函数的表达式； (2)当时，求出y的取值范围． 【答案】(1)该二次函数的表达式为 (2)当时，的取值范围是 【分析】（1）已知二次函数与x轴的两个交点，设交点式代入C点坐标求解系数，即可得到函数表达式； （2）先确定抛物线的对称轴与开口方向，找到顶点的最大值，再结合范围内的增减性和端点函数值，确定y的取值范围． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象交x轴于点和， ∴设该二次函数的表达式为； 将代入表达式，得， 解得， ∴二次函数的表达式为，即． （2）解：∵二次函数的图象交x轴于点和， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下， 当时，取得最大值. 将代入，得； 当时，； 当时，； ∴在范围内，的取值范围是． 【变式3】（25-26九年级上·河南周口·期中）已知二次函数的图像经过． (1)求该二次函数的解析式； (2)若点是该函数图象上的一点，当时，求n的取值范围． 【答案】(1) (2)当时， 【分析】本题考查了二次函数，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，根据二次函数的对称性和增减性，求二次函数的最值，是解题的关键． （1）根据抛物线与x轴的两个交点，设解析式为，再将代入求解； （2）求出抛物线的顶点坐标，找出最大值，再由对称性求出或时的y值，即得． 【详解】（1）设二次函数解析式为， 将代入， 得， 解得， ∴解析式为． （2）∵， ∴顶点坐标为，开口向下， 当时，y最大值为4； 当或时，， ∴当时，． 题型05 利用翻折或对称求二次函数的解析式 【典例5】（2025·浙江·模拟预测）已知抛物线，将抛物线C平移得到抛物线，若两条抛物线关于直线对称，则平移的方法是（    ） A．将抛物线C向右平移4个单位 B．将抛物线C向右平移5个单位 C．将抛物线C向右平移6个单位 D．将抛物线C向右平移7个单位 【答案】C 【分析】本题主要考查了函数图象的平移，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．找一个点，经过平移后这个点与直线对称，抛物线C与y轴的交点为，与A点以对称轴对称的点是，若将抛物线C平移到，就是要将B点平移后以对称轴与A点对称，则B点平移后坐标应为，因此将抛物线C向右平移6个单位． 【详解】解：抛物线， 抛物线对称轴为， 抛物线与y轴的交点为， 则与A点以对称轴对称的点是， 若将抛物线C平移到，并且C，关于直线对称， 就是要将B点平移后以对称轴与A点对称， 则B点平移后坐标应为， 因此将抛物线C向右平移6个单位． 故选：C ． 【变式1】（25-26九年级上·江苏苏州·期中）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象沿轴翻折，所得抛物线相应的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查二次函数图象与几何变换，正解掌握平移规律是解题的关键． 将二次函数图象沿x轴翻折，相当于对每个点进行坐标变换，即点变为，因此新函数表达式可通过将原函数中的y替换为并求解得到． 【详解】∵将二次函数的图象沿轴翻折， ∴ ∴所得抛物线相应的函数表达式为． 故答案为：． 【变式2】（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图1，抛物线与轴分别交于点，，与轴交于点，点是坐标平面内一点，点坐标为. (1)求抛物线的解析式； (2)连接，若点在抛物线上且，求点的坐标； (3)如图2，将抛物线当时的函数图象记为，将图象在轴上方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新图象.若经过点的一次函数的图象与图象在第四象限内恰有两个公共点，直接写出的取值范围. 【答案】(1) (2)或 (3)且 【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可； （2）如图1中，作于．由，推出，由，，推出，推出，设交轴于，则，可得直线的解析式为，利用方程组即可求出点坐标，同法求出； （3）当直线经过，时，则有，解得，可得一次函数的解析式为，同理求出当直线经过，时， 一次函数的解析式为，观察图象即可解决问题． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴分别交于点，， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：如图1中，作于． ， ∴ ， ，， ， ； 当点D在x轴上方时，设交轴于， ∴， ∴， ∴； 设直线的解析式为， 把，代入，得， 解得， 直线的解析式为， 联立，解得或， ． 当点在轴下方时（即在点的位置时），同理可求得直线的解析式为， 联立，解得或． ； 综上所述，点D的坐标为或； （3）解：如图2中， 当直线经过，时，则有， 解得， 一次函数的解析式为， 在中，当时，， 当直线经过，时，则有， 解得， 一次函数的解析式为， 观察图象可知当且时，直线经过点的一次函数的图象与图象在第四象限内恰有两个公共点． 【变式3】（25-26九年级上·山西朔州·阶段练习）阅读与思考 下面是小樱同学的数学学习笔记，请认真阅读，并完成相应的任务． 镜面抛物线 【概念理解】我们把对称轴相同，且关于轴对称的两条抛物线称为“镜面抛物线”，例如，抛物线的“镜面抛物线”为． 【解决问题】问题1抛物线的“镜面抛物线”为___________． 问题2如图1，求证：抛物线的“镜面抛物线”为． 证明：设抛物线的“镜面抛物线”为，根据“镜面抛物线”的概念可得， 将代入，得 任务： (1)问题1中，材料中的“ ”处应填___________． (2)请补全问题2中的证明过程． (3)如图2，抛物线的“镜面抛物线”为，直线交于点，交于点，点与点，点与点关于轴对称，点与点，点与点关于抛物线的对称轴对称．若四边形是正方形，则的值为___________． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到二次函数的图象和性质、新定义、正方形的性质等，综合性强，解题的关键是掌握二次函数相关的性质，能熟练准确进行相关运算． （1）求出抛物线关于轴对称后抛物线解析式即可解答． （2）将代入即可证明． （3）根据题意可得抛物线的对称轴为直线，根据点的横坐标为2，得出点的横坐标为，则．从而得出点的纵坐标分别为1和，则，将代入求解即可． 【详解】（1）解：， 故抛物线的顶点坐标为，与y轴的交点是， ∴抛物线关于轴对称后的顶点坐标为，与y轴的交点是，开口方向变为向上，则， ∴抛物线关于轴对称后抛物线为， 故抛物线的“镜面抛物线”为． （2）解：将代入，得， 即． ， ， 抛物线的“镜面抛物线”为． （3）解：抛物线的对称轴为直线． 点的横坐标为2， 点的横坐标为， ． 两点关于轴对称， 点的纵坐标分别为1和， ， 将代入，得，解得． 一、单选题 1．（26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测）若点在二次函数的图象上，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数图象上的点的坐标满足函数解析式的性质，代入求的值． 【详解】解：将点代入，得， 解得． 2．（24-25九年级上·云南德宏·期末）已知二次函数的图象经过，两点，则该二次函数的解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：将，代入， 得，解得， ∴该二次函数的解析式为． 3．（2026·陕西西安·三模）已知一个二次函数的自变量与函数的几组对应值如表： … … … … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（     ） A．函数图象开口向下 B．对称轴为直线 C．当时，函数值随的增大而减小 D．函数的最小值等于 【答案】D 【分析】先选取表格中三个点代入解析式求出系数，得到顶点式后根据函数性质逐一判断选项即可． 【详解】解：选取表格中三组对应值，，代入， 得， 解得， ∴二次函数解析式为，配方得， 选项A：∵，∴抛物线开口向上，故A错误，该选项不符合题意； 选项B：对称轴为直线，故B错误，该选项不符合题意； 选项C：∵开口向上，对称轴为，∴当时，随的增大而增大，因此时，随的增大而增大，故C错误，该选项不符合题意； 选项D：∵抛物线开口向上，顶点纵坐标为，∴函数的最小值为，故D正确，该选项符合题意． 二、填空题 4．（26-27九年级上·湖北孝感·阶段检测）二次函数图象经过，求二次函数解析式．__________________ 【答案】 【分析】已知二次函数与x轴的两个交点坐标，可利用交点式设解析式，代入第三个点的坐标求出未知系数，整理即可得到解析式． 【详解】解：∵二次函数图象经过和 ∴设二次函数解析式为，其中 把代入解析式得： 解得 ∴二次函数解析式为 展开整理得． 5．（2025九年级·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，已知一条抛物线经过，其对称轴为直线，且其顶点在直线上，则该抛物线的表达式为________________． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的解析式求解，掌握利用对称轴设顶点式，结合顶点在直线上和已知点求参数是解题的关键． 由对称轴设抛物线顶点式，利用顶点在直线上求出顶点纵坐标，再代入已知点求解参数． 【详解】解：设抛物线表达式为， 对称轴为，顶点坐标为， 顶点在直线 上，代入 ： ， 所以顶点为，即， 表达式为 ， 抛物线经过点 ，代入： ， ， ， 解得， 因此抛物线表达式为， 故答案为：． 6．（25-26九年级上·山东烟台·期中）已知一条抛物线经过，，，四点，则此抛物线的解析式为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质、待定系数法求二次函数解析式，利用点求出常数项，由点B和点C纵坐标相同得出对称轴为，从而得到一次项系数与二次项系数的关系，再代入点坐标求出a和b的值，即可获得答案． 【详解】解：设该抛物线解析式为， 将点代入，得，即， ∴该函数解析式为， 由于点和点的纵坐标相同，故点B与点C关于抛物线的对称轴对称， ∴该函数图像的对称轴为， 又∵抛物线的对称轴公式为， ∴， 将点代入解析式，得，即， 将代入，可得，即， 解得， ∴， ∴该抛物线的解析式为． 故答案为：． 三、解答题 7．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知二次函数，当时，函数值是4；当时，函数值是． (1)求这个二次函数的表达式． (2)求该抛物线的顶点坐标． 【答案】(1) (2)该抛物线的顶点坐标为 【分析】（1）把时，函数值是4；当时，函数值是分别代入列出方程组，解出即可得二次函数的表达式． （2）把（1）的二次函数表达式配方后得，即可得抛物线的顶点坐标． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得： ∴， ∴二次函数的表达式为． （2）解：根据（1）得：二次函数的表达式为， 配方得， ∴该抛物线的顶点坐标为． 8．（26-27九年级上·上海·阶段检测）用“描点法”画二次函数的图象时，列出了如下表格： x … 1 4 7 … … 3 0 3 15 … (1)求该二次函数的表达式，并写出顶点坐标； (2)向左或右平移该抛物线后经过点，求平移的方向和距离． 【答案】(1)二次函数的表达式为，顶点坐标为． (2)向左平移3个单位长度，或向右平移1个单位长度． 【分析】（1）选取表格中三组对应值，通过待定系数法列方程组求解二次函数系数，再配方得到顶点坐标． （2）根据抛物线左右平移时形状不变、顶点纵坐标不变的性质，设平移后顶点式解析式，代入已知点坐标求解平移方向与距离． 【详解】（1）解：将，，代入得 ， 解得， ∴该二次函数的表达式为， 配方得， ∴顶点坐标为． （2）解：设平移后的抛物线解析式为， ∵平移后的抛物线经过点， 代入得， 整理得， 解得，， ∵原抛物线顶点横坐标为， ∴当时，平移距离为，方向向左； 当时，平移距离为，方向向右． 综上所述，抛物线向左平移3个单位长度，或向右平移1个单位长度． 9．（26-27九年级上·天津和平·阶段检测）已知一个二次函数的图象经过点，，． (1)求这个函数的解析式； (2)对称轴为直线 ，顶点坐标为 ； (3)随的增大而减小时自变量的取值范围为 ； (4)当时，的取值范围为 ； (5)请直接回答取什么值时，函数值大于零． 【答案】(1) (2)； (3) (4) (5) 【分析】（1）利用待定系数法即可求出二次函数的解析式． （2）根据二次函数的解析式，确定二次函数的系数，利用即可求出对称轴；利用配方法将二次函数的标准形式转化为形式，即可求出顶点坐标． （3）根据二次函数判断其开口方向，再利用对称轴即可判断随的增大而减小时自变量的取值范围． （4）根据二次函数的开口方向和顶点坐标，即可确定的最大值，结合的取值范围将代入函数式即可求出的最小值，从而判断在时，的取值范围． （5）令，求出二次函数与轴交点的值，结合即可判断取值范围． 【详解】（1）解：二次函数的图象经过点，，， ，解得． 二次函数的解析式为． （2）解：， 对称轴为直线． ， ， 顶点坐标为． （3）解：， ， 二次函数的开口方向向下， 随的增大而减小， 的取值范围在对称轴的右边，即． （4）解：二次函数的开口方向向下，顶点坐标为， 二次函数有最大值，且最大值为4， 在取值范围内， ． 当时，， 当时，， ． 时，． （5）解：令， 或， ， ． 10．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知抛物线过，两点，其中m是常数． (1)求该抛物线的对称轴． (2)当时，抛物线对应的二次函数的最大值为． （ⅰ）求二次函数的表达式． （ⅱ）若，是抛物线上两个不同的点，，求证：． 【答案】(1) 直线； (2) （ⅰ）； （ⅱ）证明：∵，是抛物线上不同的点， ∴两点关于抛物线的对称轴对称， ∵抛物线对称轴为直线， ∴，即； ∵点在抛物线上， ∴； ∵， ∴且. 左边， 右边， ∴ 左边右边，即成立． 【分析】（1）根据对称性求出对称轴即可； （2）①根据增减性，结合（1）中对称轴，进行求解即可；②根据对称性得到，根据点在抛物线上，得到，进行推导即可. 【详解】（1）解：∵抛物线过点，两点， ∴抛物线的对称轴为直线； （2）解：（ⅰ）由（1）知，二次函数图象的对称轴为直线， ∴， ∴， ∵，抛物线开口向下， ∴当时，二次函数取得最大值， 将代入，得 ， 将代入上式，解得， ∴， ∴二次函数的表达式为； （ⅱ）略 一、单选题 1．（26-27九年级上·江苏南通·阶段检测）若抛物线经过，，三点，则抛物线对应的函数解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线与x轴的交点坐标，设抛物线解析式为，问题随之得解． 【详解】解：∵抛物线经过，， ∴设解析式为， 将代入得：， 解得， ∴． 2．（26-27九年级上·湖北十堰·阶段检测）老师在画二次函数（为常数，的图象时列表如下： x ⋯ 0 1 y ⋯ 0 m 下列说法不正确的是（   ） A．图象的对称轴为直线 B． C．当时，随的增大而增大 D．图象开口向下 【答案】C 【分析】对于A，与的函数值相等即可得到对称轴；对于B，把代入求值即可；对于C，根据对称轴，结合二次函数的性质判断；对于D，利用待定系数法求出的值，然后判断即可． 【详解】与的函数值均为， 二次函数对称轴为，A正确； ∴与时，函数值相等，即， ，B正确； ∵当时，，当时，， 代入得， 解得， ∴，图象开口向下，故D正确； ∵开口向下且对称轴为， 当时，随的增大而减小，故C错误． 二、填空题 3．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）抛物线与轴交于点，过点的直线轴，且与抛物线的另一交点为，则此抛物线的解析式为______． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式；由抛物线与y轴交于点可求出c的值；直线过点C且平行于x轴，故可求得直线与抛物线的另一交点D的坐标，代入抛物线方程可求出b的值，从而求得抛物线的解析式． 【详解】解：∵抛物线与y轴交于点， ∴当时，，即， 即， ∵过点的直线轴，且与抛物线的另一交点为， ∴, 即， ∵点D在抛物线上， ∴， ∴， 故抛物线解析式为． 故答案为：． 4．（22-23九年级上·四川广安·开学考试）已知抛物线上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表： … 0 1 2 3 … … 3 0 3 … 有以下几个结论：①抛物线的开口向下；②当时，x的取值范围是或；③方程的根为0和2；④抛物线的对称轴为直线；其中正确的_____．（填序号） 【答案】②③ 【分析】本题主要考查抛物线与轴的交点，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的图象和性质．根据表格中的、的对应值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据二次函数的图形与性质求解可得． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 将、、代入得： ， 解得：， 抛物线的解析式为， 由知抛物线的开口向上，故①错误； 当时，，解得或，故②正确； 当时，，解得或， 方程的根为0和2，故③正确； 抛物线的对称轴为直线，故④错误； 故答案为：②③． 三、解答题 5．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知二次函数图象的顶点坐标，且经过点． (1)求这个二次函数表达式； (2)将二次函数先向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度，求平移后的抛物线解析式． 【答案】(1)（或） (2) 【分析】（1）已知顶点坐标，设二次函数顶点式，代入已知点求系数； （2）通过平移顶点坐标得到新抛物线顶点，结合二次项系数不变求解析式． 【详解】（1）解:∵二次函数图象的顶点坐标为. ∴设二次函数表达式为（）. 将点代入表达式,得. 解得. ∴二次函数表达式为,即. （2）解:∵抛物线平移时,顶点同步平移且二次项系数不变，原抛物线的顶点坐标为， ∴将顶点向上平移2个单位长度,再向右平移1个单位长度,得新顶点坐标为,即， ∴平移后的抛物线解析式为． 6．（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）已知二次函数的图像经过点，，． (1)求这个二次函数的表达式； (2)写出该抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标，并判断有最高点还是最低点； (3)写出该抛物线向左平移1个单位长度再向下平移4个单位长度后的抛物线表达式． 【答案】(1) ； (2) 开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，有最高点； (3) ． 【分析】（1）设二次函数一般式，代入三个已知点坐标，解方程组求得系数； （2）由二次项系数符号判断开口方向，结合对称轴公式求对称轴，代入计算得顶点坐标，进而判断最值点类型； （3）将原解析式化为顶点式，按平移规则对解析式变形求解． 【详解】（1）解： 设二次函数的表达式为（）， ∵图像经过点， ∴ ∵图像经过点和， ∴ 解得， ∴二次函数的表达式为； （2）解：， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， 将代入， 得， ∴顶点坐标为， ∵抛物线开口向下， ∴抛物线有最高点； （3）解：将原解析式化为顶点式： 向左平移1个单位长度，得， 再向下平移4个单位长度，得， ∴平移后的抛物线表达式为． 7．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知二次函数（为常数，）． (1)若该二次函数的图象经过，求该二次函数的表达式； (2)当时，的最小值为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）待定系数法求函数解析式； （2）确定抛物线的对称轴，利用对称轴确定函数的增减性，然后利用最值求出参数． 【详解】（1）解：将代入二次函数解析式得， ， 解得， ∴； （2）解：二次函数的对称轴为直线， ∵， ∴， ∴当时，随的增大而减小， ∴当时，函数的最小值为， 即， 解得． 8．（26-27九年级上·福建厦门·阶段检测）已知抛物线经过和，交轴于点． (1)求这条抛物线的解析式与顶点坐标； (2)点和在该抛物线上，试比较的大小； (3)点是抛物线上的动点，点是直线上的点，请判断是否存在以点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式为，顶点坐标为； (2) (3)存在，符合条件的点坐标为、、、 【分析】（1）根据待定系数法求出二次函数解析式，再将其化为顶点式即可； （2）根据二次函数解析式可知抛物线开口向上，点到对称轴的距离越远，函数值越大，进而计算点到对称轴的距离的平方与点到对称轴的距离的平方的差值即可； （3）求出，设，，分两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：将和代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为， ∴顶点坐标为； （2）解：由（1）知， ∴抛物线开口向上， ∴点到对称轴的距离越远，函数值越大， ∵顶点坐标为， ∴对称轴为直线， ∵点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为， 且， ∴到对称轴的距离始终比到对称轴的距离更远， ∴； （3）解：当时，即， 设，， 当为边时，且， 可知、横坐标相等，纵坐标差为2， ①且， 解得， 对应（舍去）、 ②且， 解得、， 对应、； 当为对角线：平行四边形对角线互相平分，中点为， 因此中点也为， 得，， 解得， 对应（舍去）、． 综上所述，符合条件的点坐标为、、、． 9．（2026·海南·三模）已知抛物线 与 轴交于点和点，与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)已知点为第一象限抛物线上一点，横坐标为， ①如图1，连接 、 ，若点为顶点时，求 的面积； ②如图2，连接 交直线于点，求的最大值； (3)将抛物线向下平移个单位（ ），得到图形，当 时，图形与直线有且只有一个公共点，结合函数图象，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)①3；② (3)或 【分析】（1）把点，的坐标代入，即可求解； （2）①先求得点，的坐标，利用割补法即可求解； ②过点作轴，交于点，先求得直线的解析式为，设，则，再证明，即可求解； （3）分图形与直线只有一个交点，图形与直线有两个交点，即可求解． 【详解】（1）解：把，代入，得， 解得， ∴该抛物线的解析式为． （2）解：①∵抛物线，点为抛物线的顶点， ∴， ∵抛物线与轴交于点， 当时，， ∴， 过点作轴于点， ∵，，， ∴． ②如图，过点作轴，交于点， 设直线的解析式为， 把，代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∵轴， ∴轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的最大值为． （3）解：设点为抛物线的顶点，对称轴与交于点， 如图，当图形与直线只有一个交点时， 设平移后抛物线解析式为， 由（2）②得直线的解析式为， 联立得， ∴，整理得， ∵图形与直线有且只有一个公共点， ∴， 解得； ②如图，当图形与直线有两个交点时， ∵抛物线的对称轴为，对称轴与交于点， ∴， 由（2）可知，抛物线的顶点为， ∴当顶点从点平移到点的过程中，即时，时，图形与直线有且只有一个公共点， ∴， 如图，当时，即从顶点与点重合到图形与直线只有一个交点时，时，图形与直线有两个公共点，不符合题意； 如图，当时，图形与直线没有交点，不符合题意； 综上所述，的取值范围为或． 10．（2026·江苏镇江·二模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线（）与y轴交于点，顶点为，将该抛物线沿射线方向平移得抛物线，抛物线的顶点为Q． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)若抛物线与x轴交于B、C两点，且，则点Q的坐标为_________； (3)点E是抛物线对称轴右侧图像上一点，点F在抛物线上，若四边形是面积为6的平行四边形，求点Q的坐标； (4)如图2，抛物线与抛物线交于点M，连接、，若，则点Q的横坐标为_________． 【答案】(1) (2) (3)或 (4) 【分析】（1）由题意可得且，得到，再将点代入，求出即可； （2）设抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位得抛物线，得到抛物线的解析式为，设，求出，根据，利用，即可解答； （3）求出直线的解析式为，根据四边形是面积为6的平行四边形，可得，如图，设直线交轴于点，过点作直线的垂线，交直线于点，设直线与轴交点为，求出，易证是等腰直角三角形，得到，求出，进而得到，直线的解析式为，联立，求出，根据点向右平移个单位，再向上平移个单位得到点，同理（2）得到抛物线的解析式为，即可求解； （4）由（3）知直线的解析式为，设，联立，求出，易得是直角三角形，由，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得且， 则， ∴， 将点代入，则， ∴， ∴抛物线对应的函数表达式为； （2）解：∵点，点，且，将抛物线沿射线方向平移得到抛物线， ∴设抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位得到抛物线， ∵抛物线：， ∴抛物线的解析式为， ∵抛物线与x轴交于B、C两点， 令，设， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点坐标； （3）解：设直线的解析式为，则，解得， ∴直线的解析式为， ∵四边形是面积为6的平行四边形， ∴， 如图，设直线交轴于点，过点作直线的垂线，交直线于点，设直线与轴交点为， ∴， ∴， 令，解得，则， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴直线的解析式为， 联立，解得或， ∵点E是抛物线对称轴右侧图像上一点， ∴， ∵点，点，且， ∴点向右平移个单位，再向上平移个单位得到点， ∵， ∴点向右平移个单位，再向上平移个单位得到点， ∴，即， 同理（2）设抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位得到抛物线， ∴抛物线的解析式为， 将代入，则， ∴， 解得或， ∴抛物线的解析式为或， ∴点Q的坐标为或； （4）解：由（3）知直线的解析式为， 设， ∴抛物线的解析式为， 联立，则， 整理得，即， 解得或（与点重合，舍去）， 当时，， ∴， ∵，即， ∴是直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得（点，点重合，舍去），或或（舍去）， ∴点Q的横坐标为． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题63确定二次函数的表达式 内容总览 1.教学目标教学重难点 知识点01用待定系数法求二次函数的表达式 2.知识清单 题型01利用平移求二次函数的解析式 确定二次函数的表达式 题型02利用顶点式求二次函数的解析式 题型03利用一般式求二次函数的解析式 3.题型精讲 题型04利用交点式求二次函数的解析式 题型05利用翻折或对称求二次函数的解析式 基础自测 4.强化训练 能力提升 教学目标 教学重难点 1.理解待定系数法确定二次函数表达式的基本原理，掌握设一般式、顶点式、交点式 的方法。 2.能根据已知条件（三点、顶点、与坐标轴交点等）灵活选择恰当的表达式形式求 教学目标 解。 3.经历“设一代一解一写”的完整过程，体会方程思想与数形结合思想在函数学习中 的应用。 重点： 1.运用待定系数法求二次函数表达式的一般步骤与规范操作。 2.根据已知条件合理设出二次函数表达式（一般式、顶点式或交点式）。 教学重难点 教学难点： 1.在具体问题中判断并选择最恰当的表达式形式，以简化运算过程。 2.将实际问题中的条件准确转化为待定系数的方程（组），并完成求解与还原。 1/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 知识清单 知识点01用待定系数法求二次函数的表达式 一、三种表达式形式及选用策略 设解析式时，需根据已知条件“对号入座”，以简化运算： 1.一般式：y=ax2+br+c(a≠0)。 适用：已知抛物线上任意三点坐标。这是通法，但需解三元一次方程组。 2. 顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0)。 适用：已知顶点坐标、对称轴或最值。只需再代入另一点求出α即可，计算量较小。 3.交点式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)。 适用：己知抛物线与x轴的两个交点坐标。同样只需代入第三点求a。 二、待定系数法通用步骤 口诀：设、代、解、写。 1.设：根据上述策略设出含待定系数的表达式。 2.代：将己知点的坐标代入，得到方程或方程组。 3.解：解方程（组），求出待定系数的值。 4. 写：将求出的系数代回所设表达式，并注明α≠0。 【即学即练】 1.(26-27九年级上·上海杨浦阶段检测)将抛物线y=x2+2x-3的图象先向左平移3个单位，再向上平 移2个单位，得到的抛物线的解析式是 2.(26-27九年级上广东东莞阶段检测)己知二次函数y=-x2+bx+c的图象经过(-山，-2)，(L,6)两点. (1)求该抛物线的表达式： (2)求该二次函数的对称轴和项点坐标： 3.(26-27九年级上内蒙古呼和浩特·阶段检测)已知二次函数y=+bx+C图象上的部分点的横坐标x, 纵坐标y的对应值如下表： -3 -2 0 m 0 -12 根据以上信息回答下列问题： (1)二次函数图象的顶点坐标是 -,m的值为 (2)求二次函数的表达式： (3)当k≤x≤k+2时，二次函数y=+bx+C的最小值是0，则k的值为 2/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型精讲 题型01利用平移求二次函数的解析式 【典例1】(26-27九年级上宁夏吴忠阶段检测)将抛物线y=2x先向左平移2个单位长度，再向下平移 4个单位长度得到的解析式为 【变式1】(26-27九年级上山东德州阶段检测)将抛物线y=2x+4x-1向右平移3个单位，再向下平移 2个单位后所得到新抛物线的解析式为 【变式2】(26-27九年级上上海静安阶段检测)将二次函数y=2x-4x+5图象向左平移1个单位，再向 下平移2个单位后，所得图象的函数表达式是 【变式3】(2026四川宜宾模拟预测)将抛物线C:y=-x-4x-3先向右平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度得到的新抛物线的顶点和抛物线C2:y=2x+mx+n的顶点重合，则m+n的值为 题型02利用顶点式求二次函数的解析式 【典例2】(26-27九年级上·广东广州阶段检测)已知二次函数图象的顶点坐标是(-1,2)，且过点(0，-2)】 (1)求这个二次函数的表达式： (②)m为任意实数，试判断点P(m-l,-4m+2)是否在这个二次函数的图象上. 【变式1】(26-27九年级上安徽合肥阶段检测)已知二次函数y=+br+C图象与y轴交于点A(0,), 顶点为B(-1,2) (1)求该二次函数解析式。 (②)将抛物线先向右平移n(n>0)个单位长度，再向上平移2个单位长度，函数图象恰好经过原点，求n的值. 【变式2】(26-27九年级上广东惠州阶段检测)已知一条抛物线的顶点坐标是(-1,4)，并经过点A(0,5), (1)求这条抛物线的函数解析式. (②)判断点P(-1,8)是否在该抛物线上，并说明理由。 【变式3】(26-27九年级上山东滨州阶段检测)已知二次函数y=a2+bx+c的图象经过点A(-1,0)、 3/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B(3,0)、C(0,-3). (1)求该二次函数的解析式： (2)求该抛物线的对称轴、顶点坐标，并写出当x取何值时，y随x的增大而增大. 题型03利用一般式求二次函数的解析式 【典例3】(26-27九年级上黑龙江大庆阶段检测)已知二次函数的图象经过点(0,3、(1,0)和(3,12)，求 这个二次函数的解析式。 【变式1】(26-27九年级上·黑龙江大庆阶段检测)已知二次函数y=a2+bx+c的图象经过点(0，)、 (1,0)、（-1,4),求这个二次函数的解析式.。 【变式2】(26-27九年级上安徽合肥阶段检测)已知抛物线经过点(~1,3)，(2,3)，(0，)，求该抛物线的 表达式。 【变式3】(26-27九年级上甘肃定西阶段检测)己知二次函数y=a2+bx+c的图象经过点(1,0)， (-1,4),(03) (1)求该二次函数的解析式： (2)当-2≤x≤2时，求函数的最大值和最小值. 题型04利用交点式求二次函数的解析式 【典例4】(2026九年级上全国专题练习)一条抛物线与x轴交于点A(1,0),B(3,0),并经过点C(0,6), 求这条抛物线的函数解析式. 【变式1】(26-27九年级上广东汕头·阶段检测)已知二次函数的图象顶点为P(-2,2).且过点A(0,-2), (1)求该抛物线的解析式。 (2)直接写出x为何值时，y随着x的增大而减小. 【变式2】(26-27九年级上浙江杭州阶段检测)已知二次函数的图象交x轴于点A(-1,0)和B(3,0),与y 轴交于点C(0,6)」 (I)试求该二次函数的表达式： (2)当0<x<4时，求出y的取值范围 4/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式3】(25-26九年级上河南周口期中)己知二次函数y=ar2+br+c(a≠0)的图像经过 A(-1,0),B(3,0),C(0,3). (1)求该二次函数的解析式： (②)若点P(m,n)是该函数图象上的一点，当-1≤m≤3时，求n的取值范围. 题型05利用翻折或对称求二次函数的解析式 【典例5】(2025浙江·模拟预测)已知抛物线C:y=x+4x-10,将抛物线C平移得到抛物线C,若两 条抛物线关于直线x=1对称，则平移的方法是() A.将抛物线C向右平移4个单位 B.将抛物线C向右平移5个单位 C.将抛物线C向右平移6个单位 D.将抛物线C向右平移7个单位 【变式1】(25-26九年级上江苏苏州：期中)在平面直角坐标系中，将二次函数y=x-4的图象沿x轴翻 折，所得抛物线相应的函数表达式为 【变式2】(25-26九年级上江苏苏州期中)如图1，抛物线y=ax2+bx+3与x轴分别交于点A(-,0), B(3,0),与y轴交于点C,点P是坐标平面内一点，点P坐标为，-2) 图1 图2 备用图 (1)求抛物线的解析式： (2)连接OP,若点D在抛物线上且∠DBO+∠POB=90°，求点D的坐标： (3)如图2，将抛物线y=a2+br+c当-1≤x≤4时的函数图象记为4，将图象4在x轴上方的部分沿x轴翻 折，图象的其余部分保持不变，得到一个新图象'2若经过点P的一次函数y=mx+n的图象与图象2在第 四象限内恰有两个公共点，直接写出的取值范围， 【变式3】(25-26九年级上山西朔州阶段练习)阅读与思考 下面是小樱同学的数学学习笔记，请认真阅读，并完成相应的任务. 镜面抛物线 5/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ 【概念理解】我们把对称轴相同，且关于x轴对称的两条抛物线称为“镜面抛物线”，例如，抛物线 y=x2-x+1的“镜面抛物线”为y=-x2+x-l 【解决问题】问题1抛物线y=-x-6x-3的“镜面抛物线”为 问题2如图1，求证：抛物线y=ar+br+c(a≠0)的“镜面抛物线”为y=-ar2-bx-c 图1 证明：设抛物线y=ax2+br+C的“镜面抛物线”为y=ax+bx+G,根据“镜面抛物线”的概念可得 4=-4,-6=-b,49-h2-4c-b2 2a12a'4a 4a, -6=-b 将a=-a代入2a=2a,得b=b,… 任务： (1)问题1中，材料中的“”处应填 (2)请补全问题2中的证明过程. (3)如图2，抛物线为=a2-6x+2的“镜面抛物线”为，直线x=2交为于点A,交于点B,点A与 点B,点C与点D关于x轴对称，点A与点C,点B与点D关于抛物线的对称轴对称.若四边形ABDC是 正方形，则a的值为 y. 图2 6/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 强化训练 基础自测 一、单选题 1.(26-27九年级上湖北武汉阶段检测)若点（山，-）在二次函数y=a2的图象上，则a的值是() A.1 B.-1 C.2 D.-2 2.(2425九年级上云南德宏期末)已知二次函数y=x+bx+c的图象经过L,2),（-1,4)两点，则该二 次函数的解析式为() A.y=x2+x+2 B.y=x2-x+2 C.y=x2+2x-1 D.y=x2-2x+1 3.(2026陕西西安·三模)已知一个二次函数y=x+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如表： -2 0 3 6 -4 -6 -4 则下列关于这个二次函数的结论正确的是() A.函数图象开口向下 B.对称轴为直线x=1 C.当x>2时，函数值随x的增大而减小 5 D.函数的最小值等于一4 二、填空题 4.(26-27九年级上湖北孝感阶段检测)二次函数图象经过A(-1,0),B(0,-2),C(4,0),求二次函数解析 式. 5.(2025九年级全国专题练习)在平面直角坐标系中，已知一条抛物线经过（山，-），其对称轴为直线 7/11 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x=2,且其顶点在直线y=-2x+2上，则该抛物线的表达式为 6.(25-26九年级上山东烟台期中)已知一条抛物线经过A(0,10),B(m+2,川，C(4-m,n),D(3,)四 点，则此抛物线的解析式为 三、解答题 7.(26-27九年级上安徽合肥阶段检测)已知二次函数y=x2+br+C,当x=1时，函数值是4，当x=2 时，函数值是3 (1)求这个二次函数的表达式 (2)求该抛物线的顶点坐标. 8.(26-27九年级上·上海阶段检测)用“描点法”画二次函数y=+br+C(a≠0)的图象时，列出了如 下表格： -1 17 y=ax2+bx+c 3 03 15 (1)求该二次函数的表达式，并写出顶点坐标： 115 (2)向左或右平移该抛物线后经过点28 求平移的方向和距离。 9.(26-27九年级上·天津和平·阶段检测)己知一个二次函数y=a2+bx+c的图象经过点A(-1,0), B(0,3),C(2,3)」 (1)求这个函数的解析式： (2)对称轴为直线_，顶点坐标为： (3)y随x的增大而减小时自变量x的取值范围为_： (④当-2≤x≤2时，y的取值范围为_： (⑤)请直接回答x取什么值时，函数值y大于零. 10.(26-27九年级上浙江杭州阶段检测)已知抛物线y=a2+hr-3(a≠0)过A(1,m）,B(3,m两点，其 中是常数， (1)求该抛物线的对称轴。 (②)当a<0时，抛物线对应的二次函数的最大值为-2a-1. (i)求二次函数的表达式. (i)若P(飞，)'Q(k,m)是抛物线上两个不同的点，n≠ n头0求证：5-少-5-3 nx-3 8/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 能力提升 一、单选题 1.(26-27九年级上江苏南通阶段检测)若抛物线经过(0,2)，（山，0），（-1,0)三点，则抛物线对应的函数 解析式为() A.y=2x2+2 B.y=2x2-2 C.y=-2x2+2 D.y=-2x2-2 2.(26-27九年级上·湖北十堰阶段检测)老师在画二次函数y=ax+br-2(a,b为常数，a≠0)的图象 时列表如下： -4 -3 2 -1 0 1 y -18 -8 -2 -8 下列说法不正确的是() A.图象的对称轴为直线x=-1 B.m=-2 C.当x<0时，y随x的增大而增大 D.图象开口向下 二、填空题 3.(25-26九年级上江苏苏州期中)抛物线y=2x2+bx+c与y轴交于点C(0,1),过点C的直线MNIx 轴，且与抛物线的另一交点为D(-2,),则此抛物线的解析式为一· 4.(22-23九年级上四川广安·开学考试)已知抛物线y=心2+bx+C上部分点的横坐标x与纵坐标y的对 应值如表： 0 23 3 y 0 -1 3 有以下几个结论：①抛物线的开口向下；②当y>0时，x的取值范围是x<0或x>2;③方程 ax2+bx+c=0的根为0和2：④抛物线y=+bx+c的对称轴为直线x=-1:其中正确的，（填序 号) 三、解答题 5.(26-27九年级上浙江杭州阶段检测)已知二次函数图象的顶点坐标(，3)，且经过点(1，-)： (1)求这个二次函数表达式： 9/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ (2)将二次函数先向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度，求平移后的抛物线解析式： 6.(26-27九年级上上海金山阶段检测)己知二次函数的图像经过点A(-1,0),B(0,3),C(2,3). (1)求这个二次函数的表达式： (2)写出该抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标，并判断有最高点还是最低点； (3)写出该抛物线向左平移1个单位长度再向下平移4个单位长度后的抛物线表达式. 7.(26-27九年级上浙江杭州阶段检测)己知二次函数y=a2-2x+2-a(a为常数，a<0). (①)若该二次函数的图象经过(2，-5)，求该二次函数的表达式； (2)当0≤x≤2时，y=ax2-2x+2-a的最小值为-8，求a的值. 8.(26-27九年级上福建厦门阶段检测)己知抛物线y=a2+bx-2经过A(-1,0)和B(2,0),交y轴于点 C (1)求这条抛物线的解析式与顶点坐标： (2②)点M(m,n)和N(m+2,0)在该抛物线上，试比较n,o的大小： (3)点P是抛物线上的动点，点是直线y=x上的点，请判断是否存在以点P,Q,O,C为顶点的四边形为平 行四边形？若存在，求出所有满足条件的点Q坐标；若不存在，请说明理由. 9.(2026海南三模)已知抛物线y=a2+2x+c与x轴交于点A(-l,0)和点B(3,0),与y轴交于点C. B 图1 图2 (1)求该抛物线的解析式： (2)已知点M为第一象限抛物线上一点，横坐标为m, ①如图1，连接BM、CM，若点M为顶点时，求△BCM的面积； DM ②如图2，连接OM交直线BC于点D,求OD的最大值： (3)将抛物线向下平移n个单位(n>0),得到图形G,当1≤x≤3时，图形G与直线BC有且只有一个 公共点，结合函数图象，请直接写出n的取值范围， 10.(2026江苏镇江二模)如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C:y=+bx+c(a≠0)与y 10/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 轴交于点A(0,-2),顶点为P(山，-)，将该抛物线C沿射线AP方向平移得抛物线C2,抛物线C,的顶点为 Q D A 图1 图2 (1)求抛物线C对应的函数表达式： (2)若抛物线C2与x轴交于B、C两点，且BC=2,则点Q的坐标为 (3)点E是抛物线C对称轴右侧图像上一点，点F在抛物线C2上，若四边形APFE是面积为6的平行四边 形，求点Q的坐标： (4)如图2，抛物线C与抛物线C2交于点M,连接AM、QM,若AM⊥OM,则点O的横坐标为 11/11