专题6.2 二次函数的图象与性质（9大题型+高效培优讲义）数学新教材苏科版九年级下册

专题6.2 二次函数的图象与性质 教学目标 1. 会画二次函数y=ax2+bx+c的图象，掌握其顶点坐标、对称轴等特征。 2. 能结合图象分析a、b、c对图象的影响，理解增减性、最值等性质。 3. 体会数形结合思想，获得用图象研究函数的经验，提升直观想象能力。 教学重难点 1.重点 （1）掌握二次函数y=ax2+bx+c的图象特征，包括开口方向、对称轴、顶点坐标等核心要素。 （2）理解并运用二次函数的性质，如增减性、最值，解决简单问题。 2.难点 （1） 理解二次函数图象的对称性，以及对称轴位置与a、b的“左同右异”关系 （2）灵活运用配方法或公式法求顶点坐标，并将其与最值、增减性等性质关联应用。 知识点01 二次函数的图象 1.二次函数（）的图象是一条抛物线，它关于轴对称，顶点是坐标原点.当时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点；当时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点. 2. 二次函数（）的图象的顶点坐标是 （m，0） ，对称轴是直线.图象的开口方向：当时，开口向上；当时，抛物线开口向下. 3. 二次函数（）的图象的顶点坐标是 （m，k） ，对称轴是直线.图象的开口方向：当时，开口向上；当时，抛物线开口向下. 4. 二次函数（）的图象是一条抛物线，它de 对称轴是直线，顶点坐标是 ，当时，抛物线开口向上，顶点是抛物线上的最低点；当时，抛物线开口向下，顶点是抛物线上的最高点. 【即学即练】1．（26-27九年级上·广东湛江·阶段检测）对于抛物线，以下说法正确的是（     ） A．开口向下 B．对称轴为直线 C．顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】B 【分析】利用抛物线顶点式的性质判断各选项． 【详解】解：∵抛物线解析式为． ∴，抛物线开口向上，A错误． 对称轴为直线，B正确． 顶点坐标为，C错误． ∵抛物线开口向上，对称轴为直线． ∴当时，随的增大而增大，D错误． 2．（26-27九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）已知抛物线，下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．当时，函数值随的增大而减小 D．若，，是该图象上的三个点，则 【答案】D 【详解】解：由得，，抛物线开口向下，故A错误． 对称轴为直线，故B错误． ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大， 则当时，随增大而增大，故C错误． 点、、到对称轴直线的距离分别为、、， ∵抛物线开口向下，点到对称轴的距离越近，函数值越大， ∴，故D正确． 3．（2026九年级上·全国·专题练习）已知二次函数． (1)用配方法将其化为 的形式； (2)指出该函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标； (3)当 时，求函数的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)开口向上，对称轴， 顶点坐标 (3)最大值，最小值 【详解】（1） ； （2），所以开口向上，对称轴， 顶点坐标， （3）开口向上，对称轴，， 当时，最小值为； 当时，最大值为8； 综上，当 时，函数最大值 ，最小值． 知识点02 二次函数的图象与系数的关系 二次函数（）的系数与图象的关系 （1）的符号由抛物线的开口方向决定： ，； （2）的符号由抛物线的对称轴的位置及的符号共同决定：对称轴在轴左侧同号，对称轴在轴右侧异号； （3）的符号由抛物线与轴的交点的位置决定：与轴正半轴相交，与轴负半轴相交 【即学即练】4．（26-27九年级上·山东济宁·阶段检测）二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③；④；⑤若m为任意实数，则，其中正确结论有______．（填写序号） 【答案】①②③⑤ 【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与坐标轴交点位置确定 的符号及关系；利用对称轴公式判断的值；利用对称性判断时的函数值符号；利用时函数取得最大值判断不等式关系 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下，则 ∵对称轴为直线 ∴，即 ∴，且，故结论③正确 ∵抛物线与轴交于正半轴 ∴ ∴，故结论①正确 抛物线的对称轴为直线 ∴与关于直线对称 由图象可知，当时， ∴当时，，故结论②正确 ∵时， ∴ ∴，故结论④错误 ∵当时，函数取得最大值 ∴对于任意实数，都有 ∴ ∴，故结论⑤正确 综上所述，正确的结论有①②③⑤． 5．（26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，函数的图象过点和．请思考下列判断： ①；②；③； ④； ⑤若，点，，在抛物线上，且满足，则．其中正确的是__________．（填序号） 【答案】①②④⑤ 【分析】对于①，由二次函数的开口方向与对称轴位置确定、的符号；对于②，观察时，函数图象的位置即可；对于③，将点和代入解析式，化简可得；对于④，将③的结论代入可得，原式；对于⑤，先计算出抛物线的对称轴，再结合函数的图象与性质将比较函数值大小转化为到对称轴的距离问题，解不等式得出的取值范围． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下， ∴， ∵对称轴在轴右侧， ∴， ∴， ∴，故①正确； 由图可知，当时，抛物线在轴下方， ∴，故②正确； ∵二次函数的图象过点， ∴，即， 又∵二次函数的图象过点， ∴， 将代入，得， 整理，得， 由图可知，， ∴， ∴，故③错误； ， ∵， ，， ∴， ∵二次函数的图象交轴于正半轴， ∴，即， ∴，即，故④正确； 对于⑤：∵， ∴二次函数的对称轴为直线， 又∵二次函数的图象开口向下， ∴点离对称轴越近，对应的函数值越大， ∵， ∴， 不等式两边平方，得， 解得，故⑤正确； 综上，正确的结论为①②④⑤． 6．（26-27九年级上·上海杨浦·阶段检测）某二次函数的部分图象如上图所示： ①；②；③；④．以上结论中正确的是 _______________． 【答案】③④ 【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点位置，确定的符号及数量关系，结合对称性求出另一交点坐标，逐一判断即可． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向上， ， 抛物线与轴交于负半轴， ， 对称轴为直线， ， ， ， ， ，故①错误． 对称轴为直线，与轴的一个交点为， 另一个交点为， 当时，，故②错误． ， ， ，故③正确． ，， ， ， ， ， ， ， ，故④正确． 综上所述，正确的结论是③④． 题型01 二次函数y=ax²的图象和性质 【典例1】（26-27九年级上·广东东莞·阶段检测）关于二次函数的图象，下列说法错误的是（     ） A．顶点坐标为 B．当时，随增大而增大 C．对称轴是轴 D．有最大值0 【答案】B 【详解】解：∵ 二次函数解析式为， ∴二次项系数 ，顶点坐标为，对称轴为轴， ∵ ， ∴ 抛物线开口向下，当时，有最大值， ∵ 开口向下，对称轴为轴， ∴ 当时，随的增大而减小，故选项A，C，D正确，B错误． 【变式1】（26-27九年级上·宁夏固原·阶段检测）抛物线，，的共同性质是（     ） A．开口向上 B．顶点都是 C．都有最高点 D．当时，随的增大而增大 【答案】B 【分析】型二次函数的顶点均为，其余性质与的符号相关． 【详解】解：由于三个抛物线的解析式均为的形式，则顶点均为； 抛物线，二次项系数大于，开口向上，有最低点，当时，随的增大而增大； 抛物线，二次项系数小于，开口向下，有最高点，当时，随的增大而减小； 抛物线，二次项系数大于，开口向上，有最低点，当时，随的增大而增大； 综上所述，三个抛物线共同性质的是顶点均为，即B选项符合题意． 【变式2】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知点都在抛物线上，则的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， ， ， ， . 【变式3】（26-27九年级上·甘肃兰州·阶段检测）下列说法错误的是（     ） A．二次函数中，当时，y随x的增大而增大； B．二次函数中，当时，y有最大值0； C．二次函数中，a越大，图像开口越小，a越小，图像开口越大； D．不论a是正数还是负数，抛物线的顶点一定是坐标原点． 【答案】C 【分析】根据二次函数的图象和性质一一判断即可． 【详解】解：∵二次函数中，对称轴为轴． ∴当时，随的增大而增大，A正确． ∵二次函数中，开口向下，顶点为原点． ∴当时，有最大值，B正确． ∵抛物线开口大小由决定，越大开口越小，越小开口越大． ∴当时，越大开口越大，与C中描述不符，C错误． ∵抛物线的顶点坐标为． ∴不论是正数还是负数，顶点都是坐标原点，D正确． 题型02 二次函数的y=ax²+k的图象和性质 【典例1】（26-27九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）抛物线 的开口方向和顶点坐标分别是（     ） A．向上， B．向下， C．向上， D．向下， 【答案】B 【分析】抛物线解析式为的形式，可直接结合二次项系数符号和代入计算判断开口方向与顶点坐标． 【详解】解：抛物线解析式为， ∵， ∴抛物线开口向下， 当时，， ∴顶点坐标为． 【变式1】（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）已知抛物线过、两点，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：点在二次函数图象上，则点的横纵坐标满足二次函数的解析式． 由于抛物线过、两点，则把、分别代入得，，然后计算即可得到与的大小关系． 【详解】解：把、分别代入得， ， ∴ ， ∴， ∴，即． 故选C． 【变式2】（26-27九年级上·重庆铜梁·阶段检测）关于二次函数的图像，下列说法正确的是（     ） A．开口向下 B．最低点是 C．对称轴是直线 D．当时，随的增大而增大 【答案】D 【详解】解：由解析式可知，二次项系数为，顶点坐标为，对称轴为y轴， ∴当时，随的增大而增大， ∴四个选项中，只有D选项中的说法正确，符合题意． 【变式3】（26-27九年级上·广东惠州·阶段检测）对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（     ） A．开口向下 B．顶点坐标为 C．当时，函数有最大值3 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】B 【详解】解：∵二次函数中， ∴图象开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线， ∴当时，函数有最大值， 当时，随的增大而减小， ∴选项A、C、D正确，B错误． 题型03 二次函数y=a（x-h）²的图象和性质 【典例1】（26-27九年级上·山东德州·阶段检测）关于二次函数的图象，下列说法正确的是（     ） A．对称轴为 B．可以由向左平移2个单位得到 C．当时，y随x的增大而增大 D．抛物线最低点是 【答案】B 【分析】根据二次函数的性质判断即可． 【详解】解：中，， ∴开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线， ∴A、D错误， ∵将向左平移2个单位，得， ∴B正确， ∵开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， ∴时，并非随的增大而一直增大，C错误． 【变式1】（26-27九年级上·山东济宁·阶段检测）若抛物线的图象上有三个点，则的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线的开口方向与对称轴，利用点到对称轴的水平距离比较函数值大小． 【详解】解：抛物线开口向上，对称轴为直线， 点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为， ∵， ∴． 【变式2】（26-27九年级上·湖北咸宁·阶段检测）对于抛物线，下列结论： ①开口向下；②顶点坐标为； ③y有最大值，最大值为0；④当时，y随x的增大而增大． 其中正确的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】抛物线解析式为顶点式，可结合二次函数性质判断各结论． 【详解】解：①∵， ∴抛物线开口向下，故①正确； ②∵抛物线解析式为， ∴顶点坐标为，对称轴为直线，故②错误； ③∵抛物线开口向下，顶点坐标为， ∴有最大值，最大值为，故③正确； ④∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大，故④正确； 综上所述，正确结论共3个． 【变式3】（26-27九年级上·河南周口·阶段检测）已知二次函数（h为常数），当自变量x的值满足时，与其对应的函数值y的最大值为，则h的值为（     ） A．1或6 B．3或6 C．1或3 D．4或6 【答案】A 【分析】先根据二次函数的性质得到当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小，再分若，则当时，y最大，若，则当时，y最大，若，则最大值为0，三种情况根据最大值为进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴二次函数（h为常数）当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小， 若，则当时，y最大，即，解得（舍去），； 若，则当时，y最大，即，解得，（舍去）； 若，则最大值为0，与题意不符； 由上可得，h的值是6或1． 题型04 二次函数y=a（x-h）²+k的图象和性质 【典例1】（26-27九年级上·上海·阶段检测）抛物线，下列说法中错误的是（     ） A．该抛物线开口向下 B．对称轴是直线 C．顶点为 D．在对称轴右侧，图像是上升的 【答案】D 【分析】利用抛物线顶点式中、、的几何意义解题． 【详解】解：抛物线解析式为， ∵， ∴抛物线开口向下，故A正确； 该抛物线对称轴为直线，顶点坐标为，故B、C正确； ∵抛物线开口向下， ∴在对称轴右侧，随的增大而减小，图象下降，D错误． 【变式1】（26-27九年级上·四川遂宁·阶段检测）已知点是抛物线上的两点，则的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【详解】解：由得抛物线对称轴为直线． ∵，即点、到对称轴的距离相等， ∴点、关于抛物线对称轴对称， ∴． 【变式2】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知二次函数，当时，y随着x的增大而增大，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：抛物线的对称轴为直线，开口向上， 当时，随的增大而增大， ∵当时，随的增大而增大， ∴， 解得. 【变式3】（26-27九年级上·江苏南通·阶段检测）已知二次函数（为常数），当自变量的值满足时，其对应的函数值y的最小值是，则常数的值为（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】抛物线开口向上，顶点纵坐标小于给定区间的最小值，故对称轴不在给定区间内，分对称轴在区间左侧、右侧两种情况求解． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，的最小值为． ∵当时，的最小值为，且， ∴不在的范围内． 当时，在中，随的增大而增大， ∴时取最小值， 代入得， 整理得， 解得，（不符合，舍去）． 当时，在中，随的增大而减小， ∴时取最小值， 代入得， 整理得， 解得（不符合，舍去），． 综上可知，常数的值为或． 题型05 二次函数图象的平移 【典例1】（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）将抛物线向左平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的表达式为______． 【答案】 【分析】先将原抛物线配方化为顶点式，再根据二次函数平移的“左加右减，上加下减 ”的规律计算得到新抛物线表达式. 【详解】解：∵，根据平移规律，向左平移2个单位，自变量加2，向上平移2个单位，常数项加2， ∴平移后抛物线的表达式为， 整理得. 【变式1】（26-27九年级上·山东德州·阶段检测）将二次函数的图象向右平移3个单位，再向下平移1个单位后的解析式为_____________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴将二次函数的图象向右平移3个单位，再向下平移1个单位后的解析式为． 【变式2】（26-27九年级上·河北邯郸·阶段检测）在平面直角坐标系中，把抛物线先向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为________ 【答案】 【分析】根据二次函数平移法则进行计算，得出平移后的二次函数表达式． 【详解】解：， ∵先向下平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度， ∴． 【变式3】（26-27九年级上·上海浦东新·阶段检测）抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的新抛物线的顶点A关于直线对称的点坐标是_________． 【答案】 【分析】根据抛物线的平移规律“上加下减，左加右减”得到平移后的解析式，再找到顶点的对称点解答即可． 【详解】解：抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的新抛物线的表达式为， 则新抛物线的顶点的坐标为， 点关于直线对称的点坐标是，即. 题型06 把y=ax²+bx+c化成顶点式 【典例1】（26-27九年级上·广东江门·阶段检测）将二次函数化成顶点式的形式后________． 【答案】 【分析】利用配方法将二次函数一般式化为顶点式，即可得到的值． 【详解】解：对二次函数配方得：， ∴． 【变式1】（26-27九年级上·江苏南通·阶段检测）二次函数的顶点坐标是______． 【答案】 【分析】将二次函数通过配方转化为，从而得到顶点坐标． 【详解】解： ， ∴二次函数的顶点坐标为． 【变式2】（26-27九年级上·山东临沂·阶段检测）函数的对称轴是________，顶点坐标是( )，最大值__________． 【答案】 直线 【分析】将二次函数一般式配方化为顶点式，即可得到对应结果． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴是直线；顶点坐标为； ∵抛物线，开口向下， ∴抛物线的最大值为顶点的纵坐标， ∴抛物线的最大值为． 【变式3】（26-27九年级上·辽宁葫芦岛·阶段检测）已知二次函数，当时，函数的最大值与最小值的差为__________． 【答案】 【分析】先将二次函数配方得到对称轴和开口方向，对称轴在给定区间内，开口向下时顶点处取最大值，离对称轴更远的端点处取最小值，计算最值后求差即可． 【详解】解：二次函数， 抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，二次函数取得最大值， 当时，， 当时，， ， 二次函数的最小值为， 最大值与最小值的差为． 题型07 画y=ax²+bx+c的图象 【典例1】（26-27九年级上·湖北咸宁·阶段检测）已知二次函数． (1)填写表中横线处的数值： x … 0 1 2 3 … … _______ _______ _______ _______ … (2)根据上表，在如图所示的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； (3)根据表格、图象可知，当时，y的取值范围是________； (4)根据图象可知，当x________时，y随x的增大而减小． 【答案】(1) x … 0 1 2 3 … … __ __2___ __3__ __2__ … (2) (3) (4) 【分析】（1）把对应的x值代入二次函数解析式，然后求出对应的y值，然后填表即可． （2）描点，连线即可画出二次函数即可． （3）结合函数图象求解即可． （4）结合函数图象求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 填表略； （2）解：画图略； （3）解：根据点和，则抛物线对称轴直线为：， 故抛物线顶点坐标为， 结合函数图象可知：当时，． （4）解：由（3）可知：抛物线对称轴直线为， 故当，y随x的增大而减小． 【变式1】（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）已知二次函数的自变量与函数的几组对应值如表： … … … …    (1)在给定的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象； (2)下列关于该二次函数的说法中，正确的是________（填序号）． ①；②；③当时，有最大值为；④当时，的值随值的增大而增大． (3)若将二次函数的图象关于轴对称，得到新的二次函数，两个二次函数最高点之间的距离是多少？ 【答案】(1)二次函数图象，如图所示： (2)②③ (3)2 【分析】（1）先描点，再连线即可作图象； （2）根据函数图象分析即可； （3）先根据函数图象得出二次函数的顶点坐标为，然后根据对称性得出新二次函数的顶点坐标，最后求出结果即可． 【详解】（1）略 （2）解：由函数图象可得，抛物线开口向下，故，故①错误； 由函数图象可得，抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴，故②正确； 由图象可得，当时，有最大值为，故③正确； 由图象可得，当时，的值随值的增大而减小，故④错误； 综上，正确的有②③； （3）解：根据函数图象可得，顶点坐标为， ∵将二次函数的图象关于轴对称，得到新的二次函数， ∴新的二次函数的顶点坐标为， ∴两个函数图象最高点坐标分别为，， ∴两个二次函数最高点之间的距离是． 【变式2】（26-27九年级上·福建莆田·阶段检测）已知抛物线图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表所示： x … 0 2 4 6 … y … … (1)将表格补充完整，并在平面直角坐标系中，画出该抛物线的大致图象； (2)根据函数图象写出顶点坐标、对称轴，以及图象的开口方向； (3)填空：当时，则y的取值范围是______． 【答案】(1)表格如下： x … 0 2 4 6 … y … 2 3 2 … 作图如下： (2)解：由题意知，顶点坐标：，对称轴：直线；开口方向：向下； (3)解：由图知，当时，y的取值范围是． 【分析】（1）将、、分别代入解析式计算，进而补充表格并作图即可； （2）直接根据函数图象作答即可； （3）直接根据函数图象作答即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 当时，， 补充表格及作图略； （2）略； （3）略． 【变式3】（26-27九年级上·河南信阳·阶段检测）已知二次函数． (1)用配方法将其化成顶点式_______，顶点坐标是_______； (2)选取适当数据填入下表，并在如图所示平面直角坐标系内描点，画出该函数图象； x … … y … … (3)若该抛物线上两点、的横坐标满足，则与的大小关系为_______． 【答案】(1)， (2) x … … y … … (3) 【分析】（1）将解析式化为顶点式，结合二次函数的性质即可得出结果； （2）由（1）可得对称轴为直线，故选取，，，，这五个关于对称轴对称的整点，先求出当，，，，时对应的的值，再填入表格，最后描点、连线即可； （3）根据二次函数的图象即可得出结果． 【详解】（1）解：， 故用配方法将其化成顶点式，顶点坐标是； （2）解：由（1）可得对称轴为直线， 故选取，，，，这五个关于对称轴对称的整点， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， x … … y … … 图略； （3）解：∵该抛物线上两点、的横坐标满足， ∴由该抛物线的图象可得． 题型08 y=ax²+bx+c的图象与性质 【典例1】（26-27九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）已知抛物线，下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．当时，函数值随的增大而减小 D．若，，是该图象上的三个点，则 【答案】D 【详解】解：由得，，抛物线开口向下，故A错误． 对称轴为直线，故B错误． ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大， 则当时，随增大而增大，故C错误． 点、、到对称轴直线的距离分别为、、， ∵抛物线开口向下，点到对称轴的距离越近，函数值越大， ∴，故D正确． 【变式1】（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）对于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．抛物线的开口向下 B．当时，随的增大而增大 C．二次函数的最小值是 D．抛物线的对称轴是直线 【答案】D 【分析】将二次函数配方为顶点式，再结合二次函数的性质判断各选项. 【详解】解：， 、∵， ∴抛物线开口向上，故错误； 、∵抛物线开口向上， ∴当时，随的增大而增大，故错误； 、二次函数的最小值为，故错误； 、抛物线的对称轴为直线，故正确． 【变式2】（26-27九年级上·河南周口·阶段检测）对于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的对称轴为直线 C．抛物线的顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而增大 【答案】B 【详解】解：将抛物线解析式配方得， ∵二次项系数， ∴抛物线开口向上，A选项错误； 抛物线的对称轴为直线，B选项正确； 抛物线的顶点坐标为，C选项错误； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大，D选项错误． 【变式3】（26-27九年级上·四川德阳·阶段检测）对于二次函数，下列说法正确的是（     ） A．开口向上 B．对称轴为直线 C．当时，y随x的增大而减小 D．函数的最小值是4 【答案】C 【详解】解：， ∵，∴抛物线开口向下，A错误； ∵抛物线的顶点式为，∴对称轴为直线，B错误； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线，∴当时，随的增大而减小，C正确； ∵抛物线开口向下，顶点坐标为，∴函数有最大值4，无最小值，D错误． 题型09 二次函数与各项系数符号 【典例1】（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知二次函数的图象如图，其中，的值可能是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】观察抛物线开口方向、对称轴位置及与轴交点位置. 【详解】解：抛物线开口向下， ， 对称轴在轴右侧， ，即， ， 抛物线与轴交点在轴上方， ， 综上，，. 【变式1】（26-27九年级上·重庆·开学考试）如图，二次函数的图象与轴交于，对称轴为直线，以下结论正确的是（     ） A． B． C． D．（为实数） 【答案】D 【分析】二次函数图象开口向上，，与y轴交于负半轴，，对称轴在y轴左侧，，可以判断A选项是否正确；根据对称轴，可以判断B选项是否正确；根据二次函数图象的对称性和当时，可以判断C选项是否正确；根据时y有最小值，可以判断D选项是否正确． 【详解】解：由图象可知，，， ∵对称轴在轴左边， ∴， ∴， ，故A选项不符合题意； ， ， ，故B选项不符合题意； 当时，，根据二次函数图象的对称性可知，当时，， ，故C选项不符合题意； 当时，函数有最小值， （m为实数），D选项符合题意． 【变式2】（2026·江苏徐州·二模）如图为二次函数的图象，其与轴交于和两点．①；②；③对称轴为直线；④：上述结论正确的有________（填序号）． 【答案】③④ 【分析】对于①，由图可知，，，，则；对于②，结合图可知，当时，，则；对于③，利用对称轴公式进行计算即可；对于④，由和可得，则． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线过点和， ∴对称轴为直线，故③正确， ∴，即， ∵抛物线交轴于负半轴， ∴， ∴，故①错误， 由图可知，当时，， ∴，故②错误， ∵抛物线过点， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴，故④正确， 综上，正确的结论为③④． 【变式3】（25-26九年级上·内蒙古赤峰·阶段检测）二次函数的图象如图所示，则下列结论： ①，②，③，④，⑤（）（）中正确的是__________． 【答案】①②③④ 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴位置、与坐标轴的交点位置判断的符号及关系，利用，时的函数值及对称轴公式进行推导验证各结论． 【详解】解：①抛物线开口向下， ， 对称轴在轴右侧， ，即异号， ． 抛物线与轴交点在轴上方， ， ，故①正确； ②当时，图象在轴下方， ， ，故②正确； ③对称轴为直线， ，即，由②知， ， ， ，故③正确； ④对称轴为直线， 与关于对称轴对称， 当时，， 当时，，故④正确； ⑤抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，取最大值， ， ， ，故⑤错误． 综上所述，正确的结论是①②③④． 一、单选题 1．（25-26九年级上·湖北孝感·期末）二次函数 图象的顶点所在的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】先根据顶点式得到顶点坐标，再根据坐标符号判断顶点所在象限即可． 【详解】解：可写为， 该二次函数图象的顶点坐标为， 顶点横坐标，纵坐标， 顶点在第二象限． 2．（25-26八年级下·重庆·期中）若点，在二次函数的图象上，则，的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的函数值比较，可直接将点的横坐标代入函数解析式，得到和的表达式，再根据的条件比较大小． 【详解】解：将代入得：， 将代入得， ， ， 即． 3．（2026·四川甘孜·中考真题）对于抛物线，以下说法正确的是（     ） A．开口向下 B．对称轴为直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小 【答案】B 【分析】根据抛物线顶点式的性质，分别判断开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性，即可得到正确选项． 【详解】解：∵抛物线解析式为 ∴ ∴抛物线开口向上，故A错误 对称轴为直线，故B正确 顶点坐标为，故C错误 ∵抛物线开口向上，对称轴为直线 ∴当时，随的增大而增大，故D错误． 4．（26-27九年级·全国·暑假作业）如图，四边形是正方形，且点、恰好在抛物线上，点在轴上，则的长为（     ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】根据正方形的性质求出直线的解析式，然后联立方程求出交点坐标，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：根据正方形的性质可得， ∴直线的解析式为， 联立， 解得或， ∴， ∴， 在正方形中， ∴． 5．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）将函数的图象先向右平移再向下平移，所得函数图象的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用“左加右减自变量，上加下减常数项”的平移规则，得到平移后解析式的特征，即可判断正确选项． 【详解】解：原函数为，设向右平移个单位，再向下平移个单位， 平移规则为右减自变量，下减常数项， 平移后解析式为，满足，． 选项A：，得，，符合向右平移再向下平移的要求，正确； 选项B：常数项为，不符合要求，错误； 选项C：平方项底数为，，属于向左平移，不符合要求，错误； 选项D：平方项底数为，，未进行向右平移，不符合要求，错误． 二、填空题 6．（25-26八年级下·福建福州·阶段检测）二次函数的最小值是____________． 【答案】1 【分析】直接根据顶点式即可得出答案． 【详解】解：二次函数， ，开口向上，顶点为， 故函数的最小值为． 7．（2026·江苏·二模）二次函数，当时，随的增大而增大，写出一个符合条件的的值_______． 【答案】（答案不唯一，任意负数均可） 【分析】根据顶点式得到对称轴，结合给定的增减性判断的取值范围，即可写出符合条件的的值． 【详解】解：二次函数解析式为， ∴对称轴为直线， 当时，随的增大而增大， 二次函数图象开口向下， ， （答案不唯一）． 8．（2026·吉林长春·模拟预测）已知、是抛物线上的两点．若且，则________．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】根据点在抛物线上得到与的表达式，对和作差，结合已知条件和判断差的符号，即可比较和的大小． 【详解】解：∵，是抛物线上的两点， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴，即， ∴． 故答案为：． 9．（2026·浙江·模拟预测）同一平面直角坐标系中，抛物线与关于原点成中心对称，则代数式的值为______． 【答案】 【分析】设为上任一点，它关于原点成中心对称的点为，根据抛物线与关于原点成中心对称，在抛物线上，得， 从而或，求解即可． 【详解】解：设为上任一点，它关于原点成中心对称的点为， 那么在抛物线上， 代入可得， 整理得， ∴或， ∴． 10．（26-27九年级·全国·暑假作业）如图，在平面直角坐标系中，A，B是x轴上方抛物线上的两个点，C，D是x轴上的两个点．若四边形是边长为4的正方形，则c的值为_______ 【答案】8 【分析】根据二次函数的对称性及正方形的性质求出点A的坐标，代入计算即可． 【详解】解：如图， ∵A，B是x轴上方抛物线上的两个点，抛物线的对称轴为直线， ∴A，B关于y轴对称， ∵四边形是边长为4的正方形， ∴，， 即， 将代入得：， 解得：． 三、解答题 11．（25-26九年级上·河北张家口·期末）已知抛物线． (1)判断点是否在此抛物线上． (2)若点，在该函数图象上，试比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)点在此抛物线上 (2)，见解析 【分析】本题主要考查二次函数的性质． （1）判断点是否在抛物线上，只需将点的横坐标代入抛物线解析式，看得到的纵坐标是否与该点的纵坐标相等； （2）比较函数值的大小，可根据抛物线的开口方向和点离对称轴的远近进行判断，即可得出答案． 【详解】（1）解：把点代入抛物线解析式中， 当时，， 点在此抛物线上； （2）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下， ∵，抛物线上离对称轴越远的点函数值越大， ∴’． 12．（26-27九年级·全国·暑假作业）已知二次函数图像经过点． (1)判断这个函数图像的开口方向； (2)点在这个函数图像上，求m的值． 【答案】(1)开口向上 (2) 【分析】本题考查了二次函数的性质． （1）先将点的坐标代入二次函数解析式求出的值，根据的正负判断函数图像的开口方向； （2）将点的坐标代入已确定的二次函数解析式，计算求出的值. 【详解】（1）解：将点代入中 得 即 解得 因为 所以这个函数图像的开口向上 （2）解：由（1）可知二次函数解析式为 将点代入中 得 解得. 13．（26-27九年级·全国·暑假作业）已知函数是关于的二次函数. (1)求满足条件的值； (2)当为何值时，此抛物线有最低点？这时，当取何值时，随的增大而减小； (3)当为何值时，此抛物线有最高点？最高点的坐标是多少？这时，当取何值时，随的增大而增大. 【答案】(1)或 (2)当时，抛物线有最低点，当时，随的增大而减小 (3)当时，抛物线有最高点，最高点坐标为，当时，随的增大而增大 【详解】（1）解：∵函数是关于的二次函数， ∴， 解得：或， ∴满足条件的值为． （2）解：当时，函数为，开口向上，此时抛物线有最低点，当时，随的增大而减小． （3）解：当时，函数为，开口向下，此时抛物线有最高点，最高点坐标为，当时，随的增大而增大． 14．（26-27九年级·全国·暑假作业）已知二次函数． (1)在如图的坐标系中描点，画出该二次函数的图象； (2)写出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标； (3)若，求y的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)对称轴为直线，顶点坐标为 (3) 【分析】（1）根据列表，描点，连线的步骤画出图象； （2）根据二次函数的图象及性质即可解答； （3）求出当和时的函数值，结合函数图象即可解答． 【详解】（1）解：列表： x … 0 1 2 3 4 … … 2 0 2 … 描点，连线 （2）解：该二次函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为． （3）解：当时，， 当时，， ∴由图象可得时，． 一、单选题 1．（2026·江苏南京·三模）若二次函数(为常数)的图像与轴有两个不同的交点，则该函数图像的顶点在(    ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】先根据二次函数顶点式确定顶点坐标，再利用判别式求出的取值范围，最后根据坐标符号判断顶点所在象限． 【详解】解：∵二次函数解析式为顶点式， ∴函数顶点坐标为． ∵二次函数图像与轴有两个不同交点，将解析式展开得， ∴判别式， 解得． ∵， ∴，顶点横坐标为正，纵坐标为负， ∴顶点坐标在第四象限． 2．（2026·广东·二模）对于抛物线，下列说法正确的是（     ）． A．图象与轴无交点 B．当时，随的增大而增大 C．当时，有最小值 D．图象的顶点坐标为 【答案】C 【分析】根据二次函数的顶点式的性质，逐项分析，即可求解． 【详解】解：对于抛物线，顶点坐标为，对称轴为直线； ∵， ∴抛物线的开口向上， 对A选项：令，则，即抛物线与轴交点为，故A选项说法错误，不符合题意； 对B选项：当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，故B选项说法错误，不符合题意； 对C选项：当时，有最小值；故C选项说法正确，符合题意； 对D选项：抛物线的顶点坐标为，故D选项说法错误，不符合题意． 3．（2026·河南周口·二模）已知二次函数（，m，n为实数），当时，；当时，．下列说法正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据已知的两组，的对应值代入二次函数解析式，消去参数，整理得到关于的表达式，再将各选项的代入即可判断的正负，得到正确结论． 【详解】解：∵二次函数（，m，n为实数），当时，；当时，， ∴， 两式消去可得：， 解得：， A、若，，故A错误； B、若，，B错误； C、若，，C正确； D、若，，D错误． 4．（2026·江苏泰州·二模）下列函数中，其图像不经过第二象限，且与x轴有且只有一个公共点的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题需结合函数性质，根据两个要求逐一筛选：①图像不经过第二象限；②与轴有且只有一个公共点，即可得到答案． 【详解】解：选项A．：∵该一次函数与轴只有一个交点，满足条件②；当时，，存在的点，图像经过第二象限，不满足条件①，排除A； 选项B．：∵该二次函数是顶点式，顶点为，顶点在轴上，因此与轴有且只有一个公共点，满足条件②；又∵对任意，，可得，因此图像不经过第二象限，满足条件①，符合要求； 选项C．：∵顶点为，与轴只有一个交点，满足条件②；当时，，存在的点，图像经过第二象限，不满足条件①，排除C； 选项D．：∵反比例函数的图像与轴没有交点，不满足条件②，排除D． 5．（2026·广东深圳·三模）当两条曲线关于某直线对称时，我们把这两条曲线叫做关于直线的对称曲线．如果抛物线与抛物线是关于轴的对称曲线，则的值为（     ） A．3 B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据二次函数的性质与图象的轴对称变换，得出两条关于轴对称的抛物线开口大小方向一致，顶点关于轴对称，先求出的顶点坐标，再得到对称顶点，对应得到和的值，即可计算出结果 【详解】解：抛物线与抛物线是关于轴的对称曲线， 二者开口大小方向一致，顶点坐标关于轴对称， 对配方得 ， 的顶点坐标为， 点关于轴对称的点的坐标为，即的顶点坐标为， 又的顶点式为，其顶点坐标为， ，， 二、填空题 6．（2026·甘肃武威·一模）二次函数的顶点坐标是 ____． 【答案】 【分析】根据二次函数顶点式的性质，直接可得顶点坐标． 【详解】解：∵二次函数解析式为顶点式为， ∴顶点坐标为． 7．（2026·宁夏吴忠·三模）将抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，则平移后的抛物线的顶点坐标为_________． 【答案】 【分析】先根据顶点式得到原抛物线的顶点坐标，再根据点平移的规律计算得到平移后的顶点坐标即可． 【详解】解：抛物线是顶点式，可得原抛物线的顶点坐标为， 将顶点向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度， 平移后的顶点横坐标为，纵坐标为， 因此平移后的抛物线的顶点坐标为． 8．（2026·甘肃武威·一模）已知点与在函数的图像上，则、的大小关系为______． 【答案】 【分析】根据函数解析式得出抛物线的对称轴以及开口方向，然后根据两点距对称轴的距离判断大小即可． 【详解】解：根据解析式可知抛物线对称轴为，开口向下， ∴两点离对称轴越远函数值越小， ∵， ∴． 9．（25-26九年级下·四川绵阳·开学考试）如图，二次函数的图象经过正方形的三个顶点，则的值为_______． 【答案】2 【分析】由题意易得点C、B关于y轴对称，点，进而根据正方形的性质可得点，然后代入二次函数解析式进行求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∴C、B关于y轴对称， ∵四边形是正方形， ∴，与相互平分， 令时，则有， ∴点， ∴， ∴点， 把点C代入得：，解得：或， ∵， ∴． 10．（25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）如图，抛物线与轴交于点，顶点在轴的正半轴上，连接，若是等腰直角三角形，则的值为___． 【答案】/0.5 【分析】求出抛物线的顶点坐标及与y轴的交点坐标，再根据列式求解． 【详解】解：的顶点坐标为， 将代入，得：， 结合图象可得，， 是等腰直角三角形，， ， ， 解得． 三、解答题 11．（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）已知二次函数的表达式为：，写出该二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． (1)开口方向： ； (2)对称轴： ； (3)顶点坐标： ． 【答案】(1)向上 (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数顶点式性质解答即可﹒ （1）根据，即可得到抛物线开口向上； （2）由抛物线顶点式即可得到对称轴为直线； （3）由抛物线顶点式即可得到顶点坐标为﹒ 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线开口向上﹒ 故答案为：向上； （2）解：由抛物线解析式可得到抛物线对称轴为直线﹒ 故答案为：； （3）解：由抛物线解析式可得到抛物线顶点坐标为﹒ 故答案为： 12．（25-26八年级下·全国·课后作业）在平面直角坐标系中画出的图象． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查作二次函数的图像，作图的基本步骤，列表、描点、再用平滑的曲线连接是解题的关键． 根据题意，列表、描点、再用平滑的曲线连接即可． 【详解】解：列表 0 1 2 3 1 1 描点，再用平滑的曲线连接如图： 13．（2026九年级下·全国·专题练习）二次函数的顶点为． … 0 1 2 3 … … 0 4 3 0 … (1)补全表格，在所给的平面直角坐标系中，画出它的图象； (2)抛物线的顶点的坐标是___________； (3)当___________时，随的增大而减小； (4)当时，的取值范围是___________． 【答案】(1)见解析 (2) (3) (4)或 【分析】本题考查了二次函数的图像绘制、顶点坐标求解、增减性判断及函数值对应自变量范围的确定，解题的关键是掌握二次函数的表达式变形（配方法）、图像性质（开口方向、对称轴）及数形结合思想的应用． （1）补全表格需将代入函数表达式求值；画图需先确定顶点、与坐标轴交点等关键点，再用平滑曲线连接． （2）求顶点坐标可通过配方法将函数化为顶点式，即可得解． （3）先判断抛物线开口方向（由的符号确定），再确定对称轴，根据开口方向判断增减性区间． （4）先求出和对应的自变量的值，再结合函数图像确定满足的取值范围． 【详解】（1）解：补全表格：将代入，得，故表格中对应的值为3；   … 0 1 2 3 … … 0 3 4 3 0 … 画图步骤：先确定关键点（顶点、与轴交点和、与轴交点及），再用平滑的抛物线将这些点依次连接，即得函数图像． （2）解：用配方法变形函数表达式：   ，   二次函数顶点式的顶点为，故顶点的坐标为， 故答案为：． （3）解：由可知，抛物线开口向下；   由顶点式可知对称轴为直线，开口向下时，对称轴右侧随的增大而减小，即， 故答案为：． （4）解：当时，，解得，；   当时，，化简得，解得，；   结合抛物线图像（开口向下，顶点），可知当时，的取值范围是 或， 故答案为：或． 14．（25-26九年级下·全国·单元测试）如图，点、、、在函数的图像上，且点、和点、分别关于轴对称，点的横坐标为，点的纵坐标为． (1)求点的纵坐标和点的横坐标，并写出点、的坐标 (2)在原图中，利用对称性，直接找特殊点，画出二次函数的图像． 【答案】(1)点的纵坐标为，点的横坐标为，， (2)图见解析 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数图象的性质是解决本题的关键． （1）根据点在函数的图像上，可得点的坐标，再根据点的纵坐标为和点、分别关于轴对称即可得解； （2）根据二次函数的对称性进行画图即可． 【详解】（1）解：点在函数的图像上， 当时，， ， 点的纵坐标为， 点、关于轴对称， , 点在函数的图像上，点、关于轴对称， 当时，， 解得， 、， 点的横坐标为； （2）解：∵和关于x轴对称， ∴画图如下所示 15．（25-26九年级下·全国·课堂例题）如图，点、在的图象上．直线与轴交于点，连接、． (1) _______； _______； (2)求直线的函数表达式； (3)当 时， 的取值范围为_____． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】此题主要考查了运用待定系数法求函数解析式，二次函数的图象及性质，熟练求解直线的解析式是解题的关键． （1）将点代入求出的值，再将点代入求解即可； （2）运用待定系数法求出直线的解析式即可； （3）观察图象，利用数形结合法求解即可； 【详解】（1）解：∵点在的图象上， ∴， 解得， ∴， 当时，； 故答案为：；； （2）解：∵，， 设直线的解析式为， 把，点坐标代入得， 解得，， ∴直线的解析式为：； （3）解：对于抛物线， ∵， ∴当时，有最小值为0， ∵，， ∴当时，y的取值范围为． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.2 二次函数的图象与性质 教学目标 1. 会画二次函数y=ax2+bx+c的图象，掌握其顶点坐标、对称轴等特征。 2. 能结合图象分析a、b、c对图象的影响，理解增减性、最值等性质。 3. 体会数形结合思想，获得用图象研究函数的经验，提升直观想象能力。 教学重难点 1.重点 （1）掌握二次函数y=ax2+bx+c的图象特征，包括开口方向、对称轴、顶点坐标等核心要素。 （2）理解并运用二次函数的性质，如增减性、最值，解决简单问题。 2.难点 （1） 理解二次函数图象的对称性，以及对称轴位置与a、b的“左同右异”关系 （2）灵活运用配方法或公式法求顶点坐标，并将其与最值、增减性等性质关联应用。 知识点01 二次函数的图象 1.二次函数（）的图象是一条抛物线，它关于轴对称，顶点是坐标原点.当时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点；当时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点. 2. 二次函数（）的图象的顶点坐标是 （m，0） ，对称轴是直线.图象的开口方向：当时，开口向上；当时，抛物线开口向下. 3. 二次函数（）的图象的顶点坐标是 （m，k） ，对称轴是直线.图象的开口方向：当时，开口向上；当时，抛物线开口向下. 4. 二次函数（）的图象是一条抛物线，它de 对称轴是直线，顶点坐标是 ，当时，抛物线开口向上，顶点是抛物线上的最低点；当时，抛物线开口向下，顶点是抛物线上的最高点. 【即学即练】1．（26-27九年级上·广东湛江·阶段检测）对于抛物线，以下说法正确的是（     ） A．开口向下 B．对称轴为直线 C．顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而减小 2．（26-27九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）已知抛物线，下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．当时，函数值随的增大而减小 D．若，，是该图象上的三个点，则 3．（2026九年级上·全国·专题练习）已知二次函数． (1)用配方法将其化为 的形式； (2)指出该函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标； (3)当 时，求函数的最大值和最小值． 知识点02 二次函数的图象与系数的关系 二次函数（）的系数与图象的关系 （1）的符号由抛物线的开口方向决定： ，； （2）的符号由抛物线的对称轴的位置及的符号共同决定：对称轴在轴左侧同号，对称轴在轴右侧异号； （3）的符号由抛物线与轴的交点的位置决定：与轴正半轴相交，与轴负半轴相交 【即学即练】4．（26-27九年级上·山东济宁·阶段检测）二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③；④；⑤若m为任意实数，则，其中正确结论有______．（填写序号） 5．（26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，函数的图象过点和．请思考下列判断： ①；②；③； ④； ⑤若，点，，在抛物线上，且满足，则．其中正确的是__________．（填序号） 6．（26-27九年级上·上海杨浦·阶段检测）某二次函数的部分图象如上图所示： ①；②；③；④．以上结论中正确的是 _______________． 题型01 二次函数y=ax²的图象和性质 【典例1】（26-27九年级上·广东东莞·阶段检测）关于二次函数的图象，下列说法错误的是（     ） A．顶点坐标为 B．当时，随增大而增大 C．对称轴是轴 D．有最大值0 【变式1】（26-27九年级上·宁夏固原·阶段检测）抛物线，，的共同性质是（     ） A．开口向上 B．顶点都是 C．都有最高点 D．当时，随的增大而增大 【变式2】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知点都在抛物线上，则的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【变式3】（26-27九年级上·甘肃兰州·阶段检测）下列说法错误的是（     ） A．二次函数中，当时，y随x的增大而增大； B．二次函数中，当时，y有最大值0； C．二次函数中，a越大，图像开口越小，a越小，图像开口越大； D．不论a是正数还是负数，抛物线的顶点一定是坐标原点． 题型02 二次函数的y=ax²+k的图象和性质 【典例1】（26-27九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）抛物线 的开口方向和顶点坐标分别是（     ） A．向上， B．向下， C．向上， D．向下， 【变式1】（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）已知抛物线过、两点，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．不能确定 【变式2】（26-27九年级上·重庆铜梁·阶段检测）关于二次函数的图像，下列说法正确的是（     ） A．开口向下 B．最低点是 C．对称轴是直线 D．当时，随的增大而增大 【变式3】（26-27九年级上·广东惠州·阶段检测）对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（     ） A．开口向下 B．顶点坐标为 C．当时，函数有最大值3 D．当时，y随x的增大而减小 题型03 二次函数y=a（x-h）²的图象和性质 【典例1】（26-27九年级上·山东德州·阶段检测）关于二次函数的图象，下列说法正确的是（     ） A．对称轴为 B．可以由向左平移2个单位得到 C．当时，y随x的增大而增大 D．抛物线最低点是 【变式1】（26-27九年级上·山东济宁·阶段检测）若抛物线的图象上有三个点，则的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（26-27九年级上·湖北咸宁·阶段检测）对于抛物线，下列结论： ①开口向下；②顶点坐标为； ③y有最大值，最大值为0；④当时，y随x的增大而增大． 其中正确的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3】（26-27九年级上·河南周口·阶段检测）已知二次函数（h为常数），当自变量x的值满足时，与其对应的函数值y的最大值为，则h的值为（     ） A．1或6 B．3或6 C．1或3 D．4或6 题型04 二次函数y=a（x-h）²+k的图象和性质 【典例1】（26-27九年级上·上海·阶段检测）抛物线，下列说法中错误的是（     ） A．该抛物线开口向下 B．对称轴是直线 C．顶点为 D．在对称轴右侧，图像是上升的 【变式1】（26-27九年级上·四川遂宁·阶段检测）已知点是抛物线上的两点，则的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 【变式2】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知二次函数，当时，y随着x的增大而增大，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式3】（26-27九年级上·江苏南通·阶段检测）已知二次函数（为常数），当自变量的值满足时，其对应的函数值y的最小值是，则常数的值为（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 题型05 二次函数图象的平移 【典例1】（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）将抛物线向左平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的表达式为______． 【变式1】（26-27九年级上·山东德州·阶段检测）将二次函数的图象向右平移3个单位，再向下平移1个单位后的解析式为_____________． 【变式2】（26-27九年级上·河北邯郸·阶段检测）在平面直角坐标系中，把抛物线先向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为________ 【变式3】（26-27九年级上·上海浦东新·阶段检测）抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的新抛物线的顶点A关于直线对称的点坐标是_________． 题型06 把y=ax²+bx+c化成顶点式 【典例1】（26-27九年级上·广东江门·阶段检测）将二次函数化成顶点式的形式后________． 【变式1】（26-27九年级上·江苏南通·阶段检测）二次函数的顶点坐标是______． 【变式2】（26-27九年级上·山东临沂·阶段检测）函数的对称轴是________，顶点坐标是( )，最大值__________． 【变式3】（26-27九年级上·辽宁葫芦岛·阶段检测）已知二次函数，当时，函数的最大值与最小值的差为__________． 题型07 画y=ax²+bx+c的图象 【典例1】（26-27九年级上·湖北咸宁·阶段检测）已知二次函数． (1)填写表中横线处的数值： x … 0 1 2 3 … … _______ _______ _______ _______ … (2)根据上表，在如图所示的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； (3)根据表格、图象可知，当时，y的取值范围是________； (4)根据图象可知，当x________时，y随x的增大而减小． x … 0 1 2 3 … … __ __2___ __3__ __2__ … 【变式1】（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）已知二次函数的自变量与函数的几组对应值如表： … … … …    (1)在给定的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象； (2)下列关于该二次函数的说法中，正确的是________（填序号）． ①；②；③当时，有最大值为；④当时，的值随值的增大而增大． (3)若将二次函数的图象关于轴对称，得到新的二次函数，两个二次函数最高点之间的距离是多少？ 【变式2】（26-27九年级上·福建莆田·阶段检测）已知抛物线图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表所示： x … 0 2 4 6 … y … … (1)将表格补充完整，并在平面直角坐标系中，画出该抛物线的大致图象； (2)根据函数图象写出顶点坐标、对称轴，以及图象的开口方向； (3)填空：当时，则y的取值范围是______． x … 0 2 4 6 … y … 2 3 2 … 【变式3】（26-27九年级上·河南信阳·阶段检测）已知二次函数． (1)用配方法将其化成顶点式_______，顶点坐标是_______； (2)选取适当数据填入下表，并在如图所示平面直角坐标系内描点，画出该函数图象； x … … y … … (3)若该抛物线上两点、的横坐标满足，则与的大小关系为_______． x … … y … … x … … y … … 题型08 y=ax²+bx+c的图象与性质 【典例1】（26-27九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）已知抛物线，下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．当时，函数值随的增大而减小 D．若，，是该图象上的三个点，则 【变式1】（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）对于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．抛物线的开口向下 B．当时，随的增大而增大 C．二次函数的最小值是 D．抛物线的对称轴是直线 【变式2】（26-27九年级上·河南周口·阶段检测）对于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的对称轴为直线 C．抛物线的顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而增大 【变式3】（26-27九年级上·四川德阳·阶段检测）对于二次函数，下列说法正确的是（     ） A．开口向上 B．对称轴为直线 C．当时，y随x的增大而减小 D．函数的最小值是4 题型09 二次函数与各项系数符号 【典例1】（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知二次函数的图象如图，其中，的值可能是（     ） A．， B．， C．， D．， 【变式1】（26-27九年级上·重庆·开学考试）如图，二次函数的图象与轴交于，对称轴为直线，以下结论正确的是（     ） A． B． C． D．（为实数） 【变式2】（2026·江苏徐州·二模）如图为二次函数的图象，其与轴交于和两点．①；②；③对称轴为直线；④：上述结论正确的有________（填序号）． 【变式3】（25-26九年级上·内蒙古赤峰·阶段检测）二次函数的图象如图所示，则下列结论： ①，②，③，④，⑤（）（）中正确的是__________． 一、单选题 1．（25-26九年级上·湖北孝感·期末）二次函数 图象的顶点所在的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（25-26八年级下·重庆·期中）若点，在二次函数的图象上，则，的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法确定 3．（2026·四川甘孜·中考真题）对于抛物线，以下说法正确的是（     ） A．开口向下 B．对称轴为直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小 4．（26-27九年级·全国·暑假作业）如图，四边形是正方形，且点、恰好在抛物线上，点在轴上，则的长为（     ） A．2 B． C．4 D． 5．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）将函数的图象先向右平移再向下平移，所得函数图象的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（25-26八年级下·福建福州·阶段检测）二次函数的最小值是____________． 7．（2026·江苏·二模）二次函数，当时，随的增大而增大，写出一个符合条件的的值_______． 8．（2026·吉林长春·模拟预测）已知、是抛物线上的两点．若且，则________．（填“”、“”或“”） 9．（2026·浙江·模拟预测）同一平面直角坐标系中，抛物线与关于原点成中心对称，则代数式的值为______． 10．（26-27九年级·全国·暑假作业）如图，在平面直角坐标系中，A，B是x轴上方抛物线上的两个点，C，D是x轴上的两个点．若四边形是边长为4的正方形，则c的值为_______ 三、解答题 11．（25-26九年级上·河北张家口·期末）已知抛物线． (1)判断点是否在此抛物线上． (2)若点，在该函数图象上，试比较与的大小，并说明理由． 12．（26-27九年级·全国·暑假作业）已知二次函数图像经过点． (1)判断这个函数图像的开口方向； (2)点在这个函数图像上，求m的值． 13．（26-27九年级·全国·暑假作业）已知函数是关于的二次函数. (1)求满足条件的值； (2)当为何值时，此抛物线有最低点？这时，当取何值时，随的增大而减小； (3)当为何值时，此抛物线有最高点？最高点的坐标是多少？这时，当取何值时，随的增大而增大. 14．（26-27九年级·全国·暑假作业）已知二次函数． (1)在如图的坐标系中描点，画出该二次函数的图象； (2)写出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标； (3)若，求y的取值范围． x … 0 1 2 3 4 … … 2 0 2 … 一、单选题 1．（2026·江苏南京·三模）若二次函数(为常数)的图像与轴有两个不同的交点，则该函数图像的顶点在(    ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2026·广东·二模）对于抛物线，下列说法正确的是（     ）． A．图象与轴无交点 B．当时，随的增大而增大 C．当时，有最小值 D．图象的顶点坐标为 3．（2026·河南周口·二模）已知二次函数（，m，n为实数），当时，；当时，．下列说法正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（2026·江苏泰州·二模）下列函数中，其图像不经过第二象限，且与x轴有且只有一个公共点的是（     ） A． B． C． D． 5．（2026·广东深圳·三模）当两条曲线关于某直线对称时，我们把这两条曲线叫做关于直线的对称曲线．如果抛物线与抛物线是关于轴的对称曲线，则的值为（     ） A．3 B．0 C．1 D．2 二、填空题 6．（2026·甘肃武威·一模）二次函数的顶点坐标是 ____． 7．（2026·宁夏吴忠·三模）将抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，则平移后的抛物线的顶点坐标为_________． 8．（2026·甘肃武威·一模）已知点与在函数的图像上，则、的大小关系为______． 9．（25-26九年级下·四川绵阳·开学考试）如图，二次函数的图象经过正方形的三个顶点，则的值为_______． 10．（25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）如图，抛物线与轴交于点，顶点在轴的正半轴上，连接，若是等腰直角三角形，则的值为___． 三、解答题 11．（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）已知二次函数的表达式为：，写出该二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． (1)开口方向： ； (2)对称轴： ； (3)顶点坐标： ． 12．（25-26八年级下·全国·课后作业）在平面直角坐标系中画出的图象． 0 1 2 3 1 1 13．（2026九年级下·全国·专题练习）二次函数的顶点为． … 0 1 2 3 … … 0 4 3 0 … (1)补全表格，在所给的平面直角坐标系中，画出它的图象； (2)抛物线的顶点的坐标是___________； (3)当___________时，随的增大而减小； (4)当时，的取值范围是___________． … 0 1 2 3 … … 0 3 4 3 0 … 14．（25-26九年级下·全国·单元测试）如图，点、、、在函数的图像上，且点、和点、分别关于轴对称，点的横坐标为，点的纵坐标为． (1)求点的纵坐标和点的横坐标，并写出点、的坐标 (2)在原图中，利用对称性，直接找特殊点，画出二次函数的图像． 15．（25-26九年级下·全国·课堂例题）如图，点、在的图象上．直线与轴交于点，连接、． (1) _______； _______； (2)求直线的函数表达式； (3)当 时， 的取值范围为_____． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $