第21章 专题二 二次函数在自变量取值范围内的增减性与最值+专题三 二次函数的图象与字母系数之间的关系——全国中考热点（Word试题）

专题二 二次函数在自变量取值范围内的增减性与最值 【1题答案】 【答案】 ①. 减小 ②. 0 ③. 2 ④. -1 ⑤. 5 ⑥. 增大 ⑦. 2 ⑧. 2 ⑨. 3 ⑩. 5 ⑪. 1 ⑫. 1 ⑬. 3 ⑭. 5 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，先将二次函数配方，确定开口方向、对称轴和顶点，再根据的取值范围与对称轴的位置关系，判断增减性，进而求解各范围内的最值． 【详解】解：已知 ∵ ∴ 抛物线开口向上，对称轴是直线，顶点坐标是 性质：当时，随的增大而减小；当时， 随的增大而增大． （1）∵范围在对称轴的左侧， ∴随的增大而减小 ∴ 当取最大值时， 有最小值为2； 当取最小值时， 有最大值为5； 故答案为：① 减小； ② ； ③ ； ④ ； ⑤． （2）∵范围在对称轴的右侧， ∴随的增大而增大 ∴当取最小值时，有最小值为； 当取最大值时，有最大值为； 故答案为：⑥增大；⑦ ；⑧；⑨；⑩ ． （3）∵对称轴在范围之内，且抛物线开口向上， ∴当 时， 有最小值为； ∵离对称轴越远函数值越大，比较端点距离： ，，因为，所以离对称轴更远， ∴当时，有最大值为． 故答案为：⑪ ；⑫ ；⑬；⑭． 【2题答案】 【答案】10 【解析】 【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以求得m的值，本题得以解决． 【详解】∵二次函数y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1， ∴该函数开口向上，对称轴为x＝2， ∵当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣4x+5有最大值m， ∴当x＝﹣1时，该函数取得最大值，此时m＝（﹣1﹣2）2+1＝10， 故答案为：10． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 【3题答案】 【答案】0＜m≤3． 【解析】 【分析】根据对称轴的左侧的增减性，可得m＞0，根据增减性，可得对称轴大于或等于，可得答案． 【详解】∵当x时，y的值随x值的增大而减小，∴抛物线开口向上，m＞0，且对称轴≥，解得：m≤3． 故答案为0＜m≤3． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，利用二次函数的增减性得出抛物线的开口方向且≥是解题的关键． 【4题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】先求得抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线与x轴的交点坐标，画出草图，利用数形结合，即可求解． 【详解】解：y=x2−2x−3=(x-1)2-4， ∴对称轴为直线x=1， 令y=0，则(x-1)2-4=0， 解得x=-1或3， ∴抛物线与x轴的交点坐标为(-1，0)，(3，0)， 二次函数y=x2−2x−3的图象如图： 由图象知． 故选：B． 视频 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．利用数形结合解题是关键． 【5题答案】 【答案】B 【解析】 【详解】试题解析：由题可知，二次函数开口向下，对称轴为 ，所以在对称轴的左侧， 随 的增大而增大，那么 ，又 ，所以取值范围是 . 故本题应选B. 【6题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的最值，结合二次函数图象的开口方向、对称轴以及增减性进行解答即可． 【详解】二次函数 的大致图象如下： ①当时, 当时，取最小值，即， 解得：（正数舍去）， 当时，取最大值，即， 解得：或(均不合题意，舍去)； ②当时, 当时，取最小值，即， 解得：（正数舍去）， 当时，取最大值，即, 解得： 或时，取最小值， 时取最大值， ， ， ， ∴此种情形不合题意， 所以， 故选：D． 【7题答案】 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的区间最值，掌握二次函数的图像性质和利用顶点、对称点分析区间最值的方法是解题的关键． 先将函数配方，得到对称轴和顶点，解方程求函数值为的点，结合最值条件，确定区间需包含对称轴且不超出函数值为的左端点，进而确定的范围． 【详解】解：，对称轴为​，顶点为，开口向上； 令，解得或； 最小值为​，说明必须包含对称轴，故； 最大值为，右端点已满足，需保证区间内无大于的函数值，故； 综上，的取值范围为​． 专题三 二次函数的图象与字母系数之间的关系 ——全国中考热点 类型一 二次函数图象与系数的关系 （2025·贵州） 【1题答案】 【答案】三 【解析】 【分析】根据二次函数的图象及性质判断及c的符号，从而得出点P 所在象限． 【详解】∵抛物线的开口向上， ∴ ， ∵对称轴在y轴右边， ∴a，b异号即b＜0， ∵抛物线与y轴的交点在负半轴， ∴ ， ∴ ＜0， ∴点P（ab，c）在第三象限． 故答案为：三． 【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，解题的关键是掌握开口方向、对称轴、y轴的交点与系数的关系． 【2题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线开口方向，对称轴的位置以及与y轴的交点可以对A进行判断；根据抛物线与x轴的交点情况可对B进行判断；时，，可对C进行判断；根据抛物线与直线无交点，可对D进行判断． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ∴，故选项A正确，该选项不符合题意； ∵由图可知，抛物线与x轴有两个交点， ∴，即， 故选项B正确，该选项不符合题意； ∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点在和之间， ∴抛物线与x轴的另一个交点在和之间， ∴时，， 即， ∵， ∴， 故选项C错误，该选项符合题意； ∵抛物线开口向下，顶点为， ∴函数有最大值n， ∴抛物线与直线无交点， ∴一元二次方程无实数根，即无实数根 故选项D正确，该选项不符合题意． 【3题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的性质求解即可. 【详解】①∵抛物线开口向上，且与y轴交点为(0,-1) ∴a＞0，c＜0 ∵对称轴＞0 ∴b＜0 ∴ ∴①正确； ②对称轴为x=t,1＜t＜2，抛物线与x轴的交点为x1,x2. 其中x1为（m,0）, x2.为(n,0) 由图可知2＜m＜3，可知n>-1， 则当x=-1时，y＞0， 则 则②错误； ③由图可知c=-1 △=b2—4a(c+1)=b2,且b≠0 ∴③错误 ④由图可知，对称轴x= 且1＜＜2 ∴ 故④正确； 故选D. 【点睛】本题考查的是二次函数，熟练掌握二次函数的图像是解题的关键. （2025·广西） 【4题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴无交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】抛物线开口向上，则a＞0，故①正确； 由图象可知：抛物线与x轴无交点，即Δ=b2-4ac＜0，故②错误； 由图象可知：抛物线过点（1，1），（3，3），即当x=1时，y=a+b+c=1，当x=3时，ax2+bx+c=9a+3b+c=3，则8a+2b=2，即b=1-4a，4a+b=1，故③正确； 点（1，1），（3，3）在直线y=x上，由图象可知，当1＜x＜3时，抛物线在直线y=x的下方，则ax2+（b-1）x+c＜0的解集为1＜x＜3，故④正确； 故答案为：C． 【点睛】此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定． 【5题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．根据二次函数与一元二次方程的关系判断①，由抛物线对称轴及二次函数性质判定②，根据抛物线平移特征判断③，根据平移特征和抛物线性质判定④． 【详解】解：①抛物线，，为常数，经过，两点， 一元二次方程的根为：，，则结论①正确； ②抛物线的对称轴为直线， 当时的函数值与的函数值相等， ， 当，随的增大而减小， ， ，②结论错误； ③当时，，则抛物线顶点的纵坐标为：，且， 将抛物线向下平移个单位得到新的抛物线解析式为： ，由二次函数图象特征可知，的图象位于轴下方，顶点恰好在轴上，即恒成立， 对于任意实数总有，即，③正确； ④将抛物线向下平移个单位长度得到抛物线解析式为，函数对应的一元二次方程， 若方程的根为整数，则其根只能是，或，或，对应的值只有三个，则结论④错误． 综上，结论正确的有①③． 故选：． 类型二 两函数图象共存 【6题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】根据题干中的函数图象，可知，然后即可得到函数的图象的开口方向，对称轴所在的位置和与y轴的交点位置，从而可以判断哪个选项符合题意． 【详解】解：由图象得， 二次函数图象开口向上， ∴二次项系数， 一次函数的图象过第一、二、四象限， ∴， ∴， ∴函数的图象开口向上，对称轴在y轴右侧，与y轴交于负半轴， 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，判断a、b、c的符号，利用一次函数和二次函数的性质解答． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题二 二次函数在自变量取值范围内的增减性与最值 1. 已知二次函数． （1）若，y随x的增大而________；当________时，y有最小值为________；当________时，y有最大值为________． （2）若，y随x的增大而________；当________时，y有最小值为________；当________时，y有最大值为________． （3）若，当________时，y有最小值为________；当________时，y有最大值为________． 2. 当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣4x+5有最大值m，则m＝_____． 3. 二次函数y＝mx2﹣2x+1，当x<时，y的值随x值的增大而减小，则m的取值范围是_____． 4. 已知二次函数y=x2−2x−3的自变量x1，x2，x3对应的函数值分别为y1，y2，y3．当−1<x1<0，1<x2<2，x3>3时，y1，y2，y3三者之间的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 已知二次函数y＝－x2＋2x，当－1＜x＜a时，y随x的增大而增大，则实数a的取值范围是 (　　) A. a＞1 B. －1＜a≤1 C. a＞0 D. －1＜a＜2 6. 二次函数，当且时，y的最小值为，最大值为，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 7. 已知函数在上的最大值是1，最小值是，求m的取值范围． 专题三 二次函数的图象与字母系数之间的关系 ——全国中考热点 类型一 二次函数图象与系数的关系 （2025·贵州） 1. 已知二次函数的图象如图所示，则点在第______象限． 2. 二次函数的顶点坐标为，其部分图象如图所示．以下结论错误的是（ ） A. B. C. D. 关于x的方程无实数根 3. 如图，是二次函数图象的一部分，下列结论中： ①；②；③有两个相等的实数根；④.其中正确结论的序号为（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①④ （2025·广西） 4. 已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④不等式的解集为，正确的结论个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 抛物线（，，为常数，）经过，两点，下列四个结论： ①一元二次方程的根为，； ②若点，在该抛物线上，则； ③对于任意实数，总有； ④对于的每一个确定值，若一元二次方程（为常数，）的根为整数，则的值只有两个．其中正确的结论有几个（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 类型二 两函数图象共存 6. 已知二次函数和一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $