21.2.3 二次函数表达式的确定+微课堂 函数值的大小比较（Word试题）-【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（沪科版·新教材）

21.2.3 二次函数表达式的确定 01基础达标 知识点一 设一般式 【1题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】利用待定系数法即可求出抛物线的解析式． 【详解】解：设所求函数的解析式为y=ax2+bx+c， 把（-1，-5），（0，-4），（1，1）分别代入， 得：解得 所求的函数的解析式为y=2x2+3x-4． 故选D 【点睛】本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，同时还考查了方程组的解法等知识． 【2题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数解析式的求法，重难点在于利用图象与坐标轴的交点坐标，通过待定系数法确定二次函数的表达式． 【详解】解：由图象可知，二次函数过点， 设二次函数表达式为， 将点代入可得 解得 ∴二次函数解析式为 整理可得． 【3题答案】 【答案】（1） ①. 上 ②. （2） ①. 1 ②. -3 ③. 5 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的对称性，由表格中值相等的两点横坐标计算对称轴，再根据随的变化趋势判断开口方向； （2）利用待定系数法，将已知点的坐标代入二次函数解析式，解方程组得到，的值，再将代入解析式计算的值． 【详解】解：（1）由表格可知，点与点是二次函数图象上关于对称轴对称的点， 根据二次函数的对称性，对称轴为直线， 在对称轴的左侧，当从0增大到1时，从1减小到，故该二次函数图象开口向上. （2）将点与点代入 得   整理得   解得  因此二次函数解析式为   当时， . 知识点二 设顶点式或者交点式 【4题答案】 【答案】 【解析】 【分析】利用二次函数的顶点式设出函数表达式，再代入图象上的点求出表达式中的参数，进而得二次函数解析式． 【详解】解：由图象可设二次函数表达式为， 将点和代入可得 ， 解得 ∴二次函数解析式为． 【5题答案】 【答案】 【解析】 【分析】本题已知二次函数图象上两个点的坐标，将两点坐标代入函数解析式，得到关于和的二元一次方程组，解方程组即可得到函数解析式． 【详解】解：将和分别代入（），得 ， 整理得， 解得： ∴函数解析式为． 【6题答案】 【答案】 【解析】 【详解】解：设所求二次函数的解析式为 ∵图象的对称轴是，且函数有最大值为2 ∴ ∵图象与x轴的一个交点是 ∴ ∴ ∴所求二次函数的解析式为 易错点 未分类讨论 【7题答案】 【答案】或 【解析】 【分析】首先由抛物线经过点B（3，0），与y轴交于点C，且BC=3，求出C点的坐标，然后设其解析式为交点式用待定系数法求得二次函数的解析式． 【详解】∵抛物线与y轴交于点C,B(3,0),且BC=3， C(0,3),或C(0,−3). 抛物线过A(−1,0)和B(3,0)两点 设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x−3). 当C(0,3)时， 3=a×(0+1)(0−3)， a=−1. 故抛物线的解析式为y=−(x+1)(x−3)； 当C(0,−3)时， −3=a×(0+1)(0−3)， a=1. 故抛物线的解析式为y=(x+1)(x−3) 所以抛物线的解析式为y=−(x+1)(x−3)或y=(x+1)(x−3). 【点睛】本题考查的知识点是待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是熟练的掌握待定系数法求二次函数解析式. 02能力提升 【8题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】连接交于，根据正方形的性质得到，求出，，再利用待定系数法求解析式即可． 【详解】解：连接交于，如图所示： ∵正方形的边长为1， ∴，，，，B、C两点关于对称， ∴， ∴，， ∵ A、B、C三个顶点都在抛物线上，O点在原点，B、C两点关于对称， ∴为抛物线顶点， ∴设抛物线表达式为， 把代入可得， 解得， ∴抛物线表达式为， 故选：B． 【9题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】利用平移的规律:左加右减，上加下减.并用规律求函数解析式，再因为关于x轴对称的两个抛物线，自变量x的取值相同，函数值y互为相反数，由此可直接得出抛物线的解析式． 【详解】解：抛物线向左平移1个单位长度，得到抛物线：，即抛物线：; 由于抛物线与抛物线关于轴对称，则抛物线的解析式为：. 故选：A． 【点睛】主要考查了函数图象的平移、对称，要求熟练掌握平移的规律:左加右减，上加下减.并用规律求函数解析式以及关于x轴对称的两个抛物线，自变量x的取值相同，函数值y互为相反数． 【10题答案】 【答案】y＝－4x2－16x－12 【解析】 【详解】∵抛物线的对称轴为直线x==﹣2， ∴抛物线的顶点坐标为(﹣2,4)， 又∵抛物线过点(﹣3,0)， ∴， 解得：a=﹣4，c=﹣12， 则抛物线的解析式为y＝－4x2－16x－12 故答案为y＝－4x2－16x－12 【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数解析式，解此题的关键在于先根据顶点坐标与函数系数的关系，求得顶点坐标，再用待定系数法求函数解析式即可． （瑶海区期中） 【11题答案】 【答案】y＝（x﹣4）2 【解析】 【分析】设原来的抛物线解析式为：y=ax2．利用待定系数法确定函数关系式；然后利用平移规律得到平移后的解析式，将点P的坐标代入即可． 【详解】设原来的抛物线解析式为：y＝ax2（a≠0）． 把P（2，2）代入，得2＝4a， 解得a＝． 故原抛物线解析式是：y＝x2． 设平移后的抛物线解析式为：y＝（x﹣b）2． 把P（2，2）代入，得2＝（2﹣b）2． 解得b＝0（舍去）或b＝4． 所以平移后抛物线的解析式是：y＝（x﹣4）2． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征．利用待定系数法确定原来函数关系式是解题的关键． （2025·湖南） 【12题答案】 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】熟练掌握运用待定系数求二次函数解析式和二次函数的图像特征是本题的关键． （1）用待定系数法求出函数解析式即可得到答案； （2）先求出对称轴为，再根据图象经过点且点A不在坐标轴上，得到即可得到答案． 【小问1详解】 解：当时，图象经过点， ∴，解得． 【小问2详解】 解：∵函数图象过点和， ∴函数图象的对称轴为直线， ∵函数图象过点和， ∴根据函数图象的对称性可得， ∵， ∴． 03思维拓展 （2025·江西） 【13题答案】 【答案】（1）①3；② （2）的长为6，抛物线的解析式为（） 【解析】 【分析】（1）当点在上运动时，利用勾股定理表示出，进而得到正方形面积与时间的函数关系； （2）当点在上运动时，是关于的二次函数，需结合图象中的关键点（起点、顶点、终点）利用待定系数法求解析式，最后通过函数值求出运动时间，结合速度求出线段的长． 【小问1详解】 解：①当时，点在上，此时， 在中，由勾股定理可得， ∵正方形的面积 ∴； ②当点由点运动到点时，， 在中，由勾股定理可得， ∵正方形的面积， ∴关于的函数解析式为． 【小问2详解】 解：设，将点代入， 得，解得， ∴， 令，则 解得， ∴当点由点运动到点时，关于的函数解析式为， ∴，即线段的长为． 微课堂 函数值的大小比较 【示例】 【1题答案】 【答案】 ①. ②. ③. 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，可分别通过代入计算比较、利用二次函数增减性比较、利用点到对称轴的距离与函数值的关系比较三种思路求解与的大小关系。 【详解】解：方法（代入法）： 将代入得 将代入得 ，． 方法（增减性法）： 由可知，抛物线开口向上，对称轴为直线， 点关于对称轴对称的点为， ∵点和点都在对称轴的右侧，且对称轴右侧随的增大而增大， 又，． 方法（距离比较法）： 开口向上的抛物线上，点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大， 已知，即点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，因此． 【变式1】 【2题答案】 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握其性质是解题的关键．通过求二次函数的对称轴，比较各点到对称轴的距离，结合开口方向判断函数值大小． 【详解】解：二次函数的二次项系数，因此抛物线开口向下． 对称轴为． 点和点到对称轴的距离均为和，关于对称轴对称， 故． 点到对称轴的距离为，距离最大，由于开口向下，函数值最小， 故． 因此，． 故答案为：． 【变式2】 【3题答案】 【答案】 【解析】 【分析】将，，代入解析式，可求，，的值，即可比较，，的大小． 【详解】解：当时，， 当时，， 当时，， ， ． 【变式3】 【4题答案】 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线解析式可得抛物线开口向上，对称轴为直线，根据各点到对称轴距离的大小求解． 【详解】解：∵函数（）， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ，，， 且 ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 21.2.3 二次函数表达式的确定 01基础达标 知识点一 设一般式 1. 已知二次函数的图象经过点（-1，-5），（0，-4）和（1，1），则这二次函数的表达式为（　　） A. y=-6x2+3x+4 B. y=-2x2+3x-4 C. y=x2+2x-4 D. y=2x2+3x-4 2. 已知二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 3. 二次函数（，是常数，）中的，的部分对应值如下表： -1 0 1 2 3 1 -1 -1 （1）根据以上信息，可知抛物线开口向__________，对称轴为__________． （2）__________，__________，__________． 知识点二 设顶点式或者交点式 4. 二次函数的图象如图所示，则其解析式为_________． 5. 已知二次函数（），当时，；当时，，则函数的解析式为________． 6. 已知二次函数图象的对称轴是，且函数有最大值为2， 图象与x轴的一个交点是，求这个二次函数的解析式. 易错点 未分类讨论 7. 已知抛物线过和两点，与轴交于点，且，则抛物线的解析式________． 02能力提升 8. 如图正方形的边长为1， A、B、C三个顶点都在抛物线上，O点在原点，那么抛物线表达式为（ ） A. B. C. D. 9. 将抛物线向左平移1个单位长度，得到抛物线，抛物线与抛物线关于轴对称，则抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数y＝ax2＋4ax＋c的最大值为4，且图象过点(－3，0)，则该二次函数的解析式为____________． （瑶海区期中） 11. 已知二次函数的图象经过点P（2，2），顶点为O（0，0），将该图象向右平移，当它再次经过点P时，求所得抛物线的函数表达式． （2025·湖南） 12. 已知点和在二次函数（a，b是常数，）的图象上． （1）当时，求a和b的值． （2）若二次函数的图象经过点，且点A不在坐标轴上，当时，求n的取值范围． 03思维拓展 （2025·江西） 13. 在中，，D为上一点，，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形．设点P的运动时间为，正方形的面积为S． （1）如图1，当点P由点C运动到点B时， ①当时，________； ②S关于t的函数解析式为_______________． （2）当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．请根据图象信息，求S关于t的函数解析式及线段的长． 微课堂 函数值的大小比较 【示例】 1. 已知函数图象上有两点，，试确定，的大小关系． 方法1（代入法） 把，分别代入中，比较得________． 方法2（增减性法） 点A关于对称轴对称的点为，抛物线的开口向上，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，比较得________． 方法3（距离比较法） 对称轴为，开口方向向上，在图象上的两点，离对称轴距离的大小关系为，即A点离对称轴近，比较得________． 【变式1】 2. 已知，，是二次函数的图象上的三个点，则，，的大小关系为_____． 【变式2】 3. 若二次函数的图象经过，，三点，则，，的大小关系为_______． 【变式3】 4. 已知点，，在函数（）上，则，，的大小关系是___________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $