专题1.3 反比例函数的应用（7大题型+高效培优讲义）数学新教材湘教版九年级下册

专题1.3 反比例函数的应用 教学目标 1. 能够分析生活、物理情境中的变量关系，识别总量不变时的反比例关系，建立反比例函数模型，使用待定系数法求出对应的函数解析式。 2. 会结合反比例函数图象与性质分析、解答实际问题，读懂实际背景下函数图象的含义，能根据题意确定自变量符合现实意义的取值范围。 3. 经历从实际问题抽象成数学模型的全过程，感受数形结合思想，提升分析、解决实际问题的能力，体会反比例函数在现实场景中的实用价值。 教学重难点 1.重点 （1）根据固定总量类实际问题建立反比例函数模型，正确写出函数表达式，能直接利用反比例函数解析式求出指定自变量或对应的函数值，完成基础计算。 （2）借助反比例函数图象与性质分析实际情境，读懂图象信息，结合题目的限制条件进行简单方案判断，熟练把反比例函数知识运用到行程、压强等典型应用题中。 2.难点 （1）从文字较长的实际背景中提炼数量关系，准确判断两个变量是否构成反比例关系，容易混淆正比例与反比例模型，难以快速找到恒定不变的总量。 （2）忽略实际问题自变量取值必须大于0等现实约束，不会结合函数增减性解决“至少”“最多”这类不等式型实际问题，难以灵活实现实际情境、解析式、图象三者转化。 知识点01 利用反比例函数解决实际问题 1.基本思路：建立函数模型，即在实际问题中求得函数解析式，然后应用函数的图象和性质等知识解决问题. 2.一般步骤如下：（1）审清题意，根据常量、变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系 数用字母表示. （2）由题目中的已知条件，列出方程，求出待定系数. （3）写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围. （4）利用函数解析式、函数的图象和性质等去解决问题. 【即学即练】1．压力F、压强p、受力面积S之间的关系为，当压力F一定时，另外两个变量的函数图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据压力F、压强p、受力面积S之间的关系为，变形即可得答案. 【详解】解：由得：， ∴当压力F一定时，变量与满足反比例函数，图象是反比例函数图形，故D正确. 2．在某闭合电路中，通过电路的电流I（单位：A）与电阻R（单位：）的数据如下表所示． … 4 5 6 … … 30 a 20 … 已知I是R的反比例函数，则表格中a的值为_________． 【答案】24 【分析】根据待定系数法求出与的函数关系式，再计算的值． 【详解】解：∵是的反比例函数， ∴设 将，代入，得， ∴关于的函数关系式为， 当时，， 解得， ∴． 3．某广告公司制作某种定制纪念品．纪念品的平均总成本包括材料成本和制作成本，其中材料成本固定不变，制作成本与生产数量成反比．该公司为两个客户定制生产了两批，得到如下数据： 生产数量（件） 平均总成本（元） (1)设平均总成本为元，生产数量为件，求与之间的函数表达式； (2)下一位客户要将平均总成本控制在元以内，请问至少需要生产多少件？ 【答案】(1)（为正整数） (2)至少需要生产34件 【分析】（1）根据平均总成本的组成设出含待定系数的函数式，代入已知数据求解系数． （2）根据平均总成本的限制列不等式，结合生产数量为正整数求最小值． 【详解】（1）解：∵平均总成本由固定的材料成本和与生产数量成反比的制作成本组成， ∴设（）． 将，和，分别代入，得 ， 解得，． ∴与的函数表达式为（为正整数）． （2）根据题意，得． ∵， ∴， 解得． ∵为正整数， ∴的最小值为34． 答：至少需要生产34件． 题型01 利润问题 【典例1】（26-27九年级上·湖南衡阳·阶段检测）某电子商城推出分期付款购买电脑的活动，一台电脑的售价为万元，前期付款元，后期每个月分别付相同的数额，则每个月的付款数额（元）与付款月数（取正整数）之间的函数解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：一台电脑的售价为万元，前期付款元之后每个月付款元，付款月数为， ， ， （取正整数）． 【变式1】（25-26九年级下·全国·课后作业）根据某商场对一款运动鞋四天中的售价与销量关系的调查知销量y（双）是售价x（元/双）的反比例函数（统计数据如表所示）．已知该运动鞋的进价为180元/双，要使该款运动鞋每天的销售利润达到2400元，则其售价应定为______元/双． 售价x/（元/双） 200 240 250 400 销量y/双 30 25 24 15 【答案】300 【分析】本题考查的是反比例函数的实际应用，先求解，再由，再解方程并检验即可； 【详解】解：由题中表格数据，得， ∴， 由题意，得， 把代入，得， 解得， 经检验，是该方程的根， 所以其售价应定为300元/双． 故答案为：. 【变式2】（2026·江苏南京·一模）某工厂经过调研，发现该厂某产品的月需求量（单位：万件）是销售单价x（单位：元）的反比例函数，其图像如图所示．该产品的月供应量（单位：万件）是销售单价x的一次函数，若销售单价为20元，则月供应量为10万件；若销售单价为40元，则月供应量为30万件．当该产品的月需求量和月供应量相等时，其销售单价为______元． 【答案】 30 【分析】根据待定系数法分别求出月需求量、月供应量关于销售单价x的函数，然后令求解即可. 【详解】解：设， 把代入，得， ∴， 设， 把，；，分别代入，得， 解得， ∴， 当时，， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴当该产品的月需求量和月供应量相等时，其销售单价为30元. 【变式3】（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）三原小磨香油久负盛名，以其香味浓郁，营养价值高，深受消费者的喜爱．某超市销售一批三原小磨香油，在销售过程中发现，在一定范围内，该小磨香油的日销售量y（单位：瓶）与每瓶的利润x（单位：元）之间满足反比例函数关系，且当时，． (1)求y关于x的函数表达式；（无需写出自变量的取值范围） (2)当该小磨香油的日销售量为瓶时，该小磨香油每瓶的利润为多少元？ 【答案】(1) (2)该小磨香油每瓶的利润为元 【分析】本题考查待定系数法求反比例函数，反比例函数的性质，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）设反比例函数为，由题意当时，，代入即可解得； （2）当时，代入反比例函数解析式求得值即可． 【详解】（1）解：设反比例函数解析式为， 由题意当时，，代入得： ， ， ∴反比例函数解析式为； （2）解：当时，代入得： ， 答：该小磨香油每瓶的利润为元． 题型02 工程问题 【典例1】（24-25七年级上·山东临沂·期末）全学科阅读工程开展以来，各学校充实了图书角，七年级同学们积极阅读了名著《西游记》，每天阅读的页数和读完全书需要的天数y之间的关系如下表：用式子表示与的关系_____． 每天看的页数 12 15 20 30 ．．． 需要的天数 75 60 45 30 ．．． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数关系的实际应用，解题的关键是判断出每天阅读的页数与读完需要的天数之间的数量关系． 通过计算表格中每组数据每天看的页数与需要天数的乘积，发现乘积为定值，从而确定与的关系． 【详解】计算表格中每天看的页数与需要天数的乘积： 可以发现每天阅读的页数与读完需要的天数的乘积始终是900，根据反比例函数关系，可得． 故答案为：． 【变式1】（2026·四川成都·三模）成都天府绿道要修一段步道，工程总量固定，每天修建的长度米和修建天数天成反比例函数关系．若每天修40米，需要6天完工；若每天修建30米，则需要________天完工． 【答案】 【分析】结合已知条件求出工程总长度，再用总长度除以每天修建的长度，即可得到所需天数，用到反比例函数两变量乘积为定值的性质． 【详解】解 ∵每天修建的长度和修建天数成反比例函数关系 ∴设， 可得，其中为工程总长度 将，代入式子 得， 即工程总长度为（米） 当时， 代入得 解得 答：需要天完工． 【变式2】（24-25九年级上·陕西西安·阶段检测）某工程队接到一项开挖水渠的工程，所需天数（单位：天）是每天完成的工程量（单位：）的反比例函数，其图象经过点．已知该工程队每台挖掘机每天能够开挖水渠，若要求该工程队恰好天完成此项任务，则需要几台这样的挖掘机？ 【答案】需要台这样的挖掘机 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是理解题意，求出反比例函数的解析式．设与的函数关系式为，将点代入求出该函数解析式，令，求出，即可求解． 【详解】解：设与的函数关系式为， 点在该函数图象上， ， ， 与的函数关系式为， 当时，， ， （台）． 答：需要台这样的挖掘机． 【变式3】（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段检测）某工程队修建一条村村通公路，所需天数y（单位：天）与每天修建该公路长度x（单位：米）是反比例函数关系，已知该函数关系的图象经过点，如图． (1)求y与x之间的函数表达式（不用写出自变量的取值范围）； (2)其它条件不变，求该工程队每天修建该公路30米要比每天修建20米提前多少天完成此项工程？ 【答案】(1) (2)该工程队每天修建该公路30米要比每天修建20米提前20天完成此项工程 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数的应用，正确求出反比例函数解析式是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可得出与之间的函数表达式； （2）将及代入（1）中求得的解析式，求出值，作差后即可得出答案． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数表达式为， ∵该函数关系的图象经过点， ∴， ∴， ∴y与x之间的函数表达式为； （2）解：当时，， 当时，， ∵， ∴该工程队每天修建该公路30米要比每天修建20米提前20天完成此项工程． 题型03 行程问题 【典例1】（25-26九年级上·山东青岛·阶段检测）已知老李家距离鱼菜共生田地米，骑自行车从老李家匀速骑行到田地的速度（米/分钟）关于骑车时间（分钟）的函数图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数图象的判断，正确得出函数表达式是解题关键．根据题意得出，可判断速度（米/分钟）关于骑车时间（分钟）的函数图象为反比例函数图像，即为双曲线，根据A、D选项中点的坐标即可得答案． 【详解】解：∵老李家距离鱼菜共生田地米， ∴，即， ∴速度（米/分钟）关于骑车时间（分钟）的函数图象为反比例函数图像，即为双曲线， ∴B、C选项不符合题意， 在A选项中，时，，则，故不符合题意， 在D选项中，时，，则，故符合题意， 故选：D． 【变式1】（25-26九年级上·山东青岛·期末）为了保障高速公路行车安全，交通部门常用“区间测速”来判断车辆是否超速．所谓区间测速，是在同一路段上设置两个监控点，根据车辆通过前后两个监控点的时间来计算其在该路段上的平均行驶速度．在某高速公路限速区间段，汽车的平均行驶速度与行驶时间之间满足反比例函数关系（如图）．根据我国《道路交通安全法实施条例》规定，高速公路小型载客汽车最高车速不得超过，最低车速不得低于（避免因车速过慢引发追尾等事故）．已知小明的爸爸驾驶小汽车以符合限速规定的速度通过该区间段，则他所用的时间可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，解题的关键在于熟练掌握反比例函数的关系式和图像性质以及路程公式． 根据反比例函数的图像性质和路程与速度时间之间的关系，分别求出最高车速的时间以及最低车速的时间，即可求出答案． 【详解】解：由题图得，限速区间段的总路程为， ∵最高车速为， ∴在最高车速下的行驶时间， 同理可得，在最低车速下的行驶时间为， ∴通过这段限速区间的行驶时间应该在之间． ， ∴选项C符合题意． 故选：C． 【变式2】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）随着第九届亚冬会倒计时，哈尔滨迎来了旅游高峰，一艘松花江观光船从地驶往地，速度（公里/时）与时间（时）成反比例关系，其图象如图所示，则A、B两地的距离为_____公里． 【答案】10 【分析】本题考查了反比例函数的性质. 根据作答即可. 【详解】∵速度（公里/时）与时间（时）成反比例关系，即 ∴ 故答案为：10 【变式3】（2025九年级上·北京·专题练习）小明从家到学校，路程为1200米，步行的速度v（米/分钟）与所用时间t（分钟）成反比例关系． (1)写出v与t之间的函数关系式； (2)若小明步行的速度是60米/分钟，求他从家到学校需要多少时间？ 【答案】(1) (2)20分钟 【分析】本题考查了反比例函数的应用，将实际问题转化为函数问题是解题的关键． （1）根据路程速度时间的关系求解即可； （2）将代入（1）中的关系式求解即可． 【详解】（1）解：因为路程 = 速度×时间，已知路程为1200米， 所以，即（）； （2）解：当时，，解得． 所以他从家到学校需要20分钟． 题型04 物理问题 【典例1】（26-27九年级上·全国·单元测试）汽车油箱内的油量多少主要根据如图所示的电路进行转化后显示，在不考虑其他因素影响的条件下，油箱内油的体积V与电路中总电阻是反比例函数关系，已知测得当体积V为时，电路中总电阻为，则V与的函数解析式是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据反比例函数的定义设出与的反比例关系式，再将已知的、代入求出比例系数，即可得到对应的函数解析式． 【详解】解：设函数解析式为()，依题意得： ， 解得：， 因此与的函数解析式为． 【变式1】（26-27九年级上·河北邯郸·阶段检测）综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度与液体密度（，）成反比例函数关系，其图象如图所示，下列说法正确的是（     ） A．当液体密度时，浸在液体中的高度 B．当浸在液体中的高度满足时，该液体密度 C．当液体密度时，浸在液体中的高度 D．当液体密度满足时，浸在液体中的高度 【答案】B 【详解】解：由题意知，浸在液体中的高度与液体密度（，）成反比例函数关系， ∴设， 将点代入得，， ∴， 当液体密度时，浸在液体中的高度，∴选项A错误； 当浸在液体中的高度满足时，当时，对应的液体密度为，∴该液体密度，∴选项B正确； 当液体密度时，当时，对应的液体高度为，∴浸在液体中的高度，∴选项C错误； 当液体密度满足时，当时，对应的液体高度为，∴浸在液体中的高度，∴选项D错误． 【变式2】（26-27九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）在对物体做功一定的情况下，此物体在力的方向上发生的位移单位：与力单位：成反比例函数关系，其图象如图所示，则当力为时，此物体在力的作用下的位移是__________________ 【答案】12 【分析】先根据反比例函数图象上点的坐标特点求出反比例函数的解析式，再把代入计算即可得． 【详解】解：∵力单位：与此物体在力的作用下的位移单位：成反比例函数关系， ∴设其函数关系式为， 将点代入得：， ∴这个反比例函数的解析式为， 把代入得：， 即当力为时，此物体在力的作用下的位移是． 【变式3】（26-27九年级上·河北沧州·阶段检测）在物理实验课上，小高正在探究“电压一定时，通过导体的电流与导体电阻的关系”．他搭建了一个电路，保持定值电阻两端的电压(伏特)不变，通过更换不同的定值电阻(欧姆)，记录下对应的电流表读数(安培)．已知该电路允许的最大电流为安培．记录的数据如下表所示： 电阻(欧姆) 电流(安培) (1)根据表中的实验数据，可以将电流与电阻看成________函数关系，其函数解析式为________； (2)如果小高想在电路中接入一个阻值为欧姆的电阻进行实验，请通过计算说明这样做是否安全(即电流是否会超过电路允许的最大值安培)？如果不安全，接入的电阻最小应为多少欧姆？ 【答案】(1)反比例，． (2)不安全（此时电流为安培，超过安培）；接入的电阻最小应为欧姆． 将代入， 得（安培）． ， 接入欧姆电阻时电流超过电路允许的最大值，不安全． 若电流不超过安培，则， 解得． 接入的电阻最小应为欧姆． 【分析】（1）由与的乘积为定值判断二者成反比例函数关系，并用表中数据求出，得解析式； （2）将代入解析式算出电流，与安培比较判断安全性，再由反求最小电阻． 【详解】（1）解：电压保持不变， 电流与电阻的乘积为定值，即与成反比例函数关系． 取表中时，得（伏特）． 函数解析式为． （2）略 题型05 图形问题 【典例1】（2026·河南驻马店·三模）现在，很多人在休闲时间外出旅游，为携带方便，人们通常会利用真空压缩袋压缩衣物以减小体积，同一件羽绒服质量不变，其体积与密度之间具有反比例函数关系，其图象关系如图所示．下列说法中正确的是（   ） A．当羽绒服的体积为时，其密度为 B．当羽绒服的密度增大时，羽绒服的体积在减小 C．羽绒服的密度每增加，羽绒服的体积就减小 D．当羽绒服的密度由增加到时，羽绒服的体积增大了 【答案】B 【分析】根据图象得出相关信息，将体积与密度之间的关系式列出来，将对应值代入求解即可． 【详解】解：∵体积与密度之间具有反比例函数关系， ∴设体积与密度之间的反比例关系式为， 将点代入得，解得； ∴体积与密度之间的反比例关系式为， A，通过图象可知，当羽绒服的体积为，其密度为，不符合题意； B，根据图象可知，体积随着密度的增加而减小，符合题意； C，由图可知，当密度为时，体积为，当密度为时，则体积为， ；当密度为时，则体积为，， 实际减小的非，不符合题意； D，根据图象可知，体积随着密度的增加而减小，密度增大体积应该是减小，不符合题意． 【变式1】（2026·广东河源·二模）/跨学科/在二胡演奏中，当弦的张力、线密度等条件不变时，弦的振动频率（单位：）与振动弦长（单位：）近似成反比例函数关系，其图像如图所示．根据图像，下列结论正确的是（     ） A．该函数图像满足的表达式为 B．当振动弦长为时，振动频率为 C．当振动弦长时，振动频率 D．该函数图像与坐标轴有一个交点 【答案】B 【分析】首先结合图像确定该反比例函数的解析式，然后结合反比例函数的图像与性质，逐一分析判断即可． 【详解】解：设弦的振动频率与振动弦长的函数关系为， 由图可知，该函数图像经过点，即， 解得， ∴该函数图像满足的表达式为，故选项A错误，不符合题意； 当振动弦长为时，振动频率，B选项正确，符合题意； ∵， ∴该函数图像在第一象限内，随的增大而减小， 当振动弦长时，振动频率， 故选项C错误，不符合题意； 该反比例函数的图像只会与坐标轴无限接近，不会与坐标轴相交， 故D选项错误，不符合题意． 【变式2】（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）某区举行初中生科学素养测评，其中甲、乙、丙、丁四所学校测评成绩的优秀率与该校参加测评人数的情况可用图中四个点描述，乙、丁两所学校对应的点恰在同一反比例函数的图象上．这四所学校本次测评成绩优秀人数最多的是______． 【答案】丙 【分析】结合图象可知：优秀的人数为，乙、丁两所学校对应的点恰在同一反比例函数（设函数解析式为）的图象上，，则乙、丁两所学校对应的优秀人数相等；甲、丙的点分别与反比例函数图象对比，反比例函数图象上方的点的横纵坐标之积大于，反比例函数图象下方的点的横纵坐标之积小于，据此作答即可． 【详解】解：优秀人数等于参加测评的人数乘以优秀率，结合图象可知：优秀的人数为，乙、丁两所学校对应的点恰在同一反比例函数的图象上， 设该反比例函数解析式为，即有， 即可知反比例函数上所有的横纵坐标之积都为， ∴乙、丁两所学校对应的优秀人数相等； 如图， 结合图中阴影三角形的面积可知：反比例函数图象上方的点的横纵坐标之积大于，图象下方的点的横纵坐标之积小于， 则有丙点的横纵坐标之积大于，甲点的横纵坐标之积小于， 综上：这四所学校本次测评成绩优秀人数最多的是丙学校． 【变式3】（26-27九年级上·广东广州·阶段检测）为应对华南地区台风季的强降雨，广州市某区建有一个地下雨水调蓄池，雨季时蓄水防涝，旱季时排空清淤．已知一蓄水池每小时的排水量与排完水池中的水所用的时间之间成反比例函数关系，其图象如图所示． (1)求与之间的函数表达式（不要求写自变量的取值范围）； (2)若要排完水池中的水，那么每小时的排水量应该是多少？ (3)如果每小时排水量不超过，那么水池中的水至少要多少小时才能排完？ 【答案】(1) (2) (3)水池中的水至少要小时排完 【分析】（1）运用待定系数法即可求解； （2）把代入反比例函数，即可求解； （3）根据题意可知，再根据反比例函数的性质解不等式即可． 【详解】（1）解：根据图象可知是反比例函数，设，点在函数图象上， ∴， 解得， ∴函数的解析式． （2）解：当时，， ∴每小时的排水量应该是． （3）解：∵， ∴， 由函数图象可得，随着的增大而减小， ∴解得， ∴水池中的水至少要小时排完． 题型06 表格问题 【典例1】（26-27九年级上·北京海淀·阶段检测）清明前后，杭州西湖龙井茶区开始手工炒制新茶．按《西湖龙井茶手工炒制技术规程》，青锅的每锅投叶量“根据手的大小和个人习惯掌握”，特级、一级鲜叶每锅，二级、三级，辉锅每锅．某茶作坊当天采下的一批鲜叶，炒茶师傅估算：这批鲜叶若交给手掌大小不同、习惯不同的师傅炒制，每锅投叶量不同，炒完这批鲜叶所需的锅数也不同，记录如表： 每锅投叶量x（克） 100 121 150 181 200 241 需要锅数y（锅） 36 30 24 20 18 15 根据表中数据，y与x之间的函数关系最接近（     ） A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．二次函数关系 D．反比例函数关系 【答案】D 【分析】结合总鲜叶量固定的实际背景，验证与的乘积是否近似为定值． 【详解】解：分别计算表中每组与的乘积： ． ． ． ． ． ． 与的乘积近似为定值，符合反比例函数关系． 【变式1】（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，古代工匠在制作杆秤时，需校准刻度以确保称量准确．他们在秤纽（支点O）左侧固定位置B处悬挂物体A，右侧通过调整秤砣的重量y（单位：斤）及其悬挂位置与秤纽的距离x（单位：寸），使秤杆平衡（秤杆平衡时，秤砣重秤砣距秤纽距离物体重物体距秤纽距离）．工匠发现，若固定物体A的重量和位置B，改变秤砣与秤纽的距离x，观察所需的秤砣重量y的变化情况，记录数据如下： x（寸） … 5 6 10 12 15 … y（斤） … 12 10 6 5 4 … 观察表中的数据，当秤砣与秤纽的距离x为20寸时，秤砣重量y（斤）的值是（     ） A．2 B．3 C．20 D．30 【答案】B 【分析】计算表格的数据可得，无论和取何值，它们的乘积始终等于，由此计算即可得出结果． 【详解】解：由表格的数据可得， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 由此可得，无论和取何值，它们的乘积始终等于， 当时，， ∴， ∴当秤砣与秤纽的距离x为20寸时，秤砣重量y（斤）的值是． 【变式2】（26-27九年级上·全国·单元测试）在化学中，当溶液质量m（单位：g）一定时，溶液密度（单位：）与溶液体积V（单位：）存在反比例函数关系，下表是实验中的几组数据： （单位：） 0.8 1.25 1.6 2 2.5 V（单位：） 125 80 62.5 50 40 则溶液密度与溶液体积V之间的函数解析式为_______． 【答案】 【分析】已知与成反比例函数关系，先设反比例函数一般形式，代入已知数据求比例系数，验证后即可得到解析式． 【详解】解：∵与成反比例函数关系，且溶液质量为定值， ∴设函数解析式为， 任取一组已知数据代入， 取，， 可得， 验证其余数据，可得每组与的乘积均为， 符合， ∴与之间的函数解析式为． 【变式3】（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）小孙同学学习了小孔成像的科学原理后，在实验室做小孔成像实验，当像距（小孔到像的距离）和物体高度不变时，得到像高（单位：）与物距（小孔到物体的距离）（单位：）的几组数据． 像高（单位：） 1.5 2 3 5 物距（单位：） 8 6 4 (1)像高与物距之间成 关系，并求出该函数关系式； (2)当像高为时，物距是多少厘米？ (3)因为实验器材限制，物距不能超过，则像高的范围是 ． 【答案】(1)反比例， (2)物距是5厘米 (3) 【分析】（1）计算表格内每组、的乘积，乘积为定值，根据反比例函数定义判定为反比例关系，设反比例解析式，代入一组数据求出，即可解答． （2）把代入已经求出的反比例函数解析式，解方程求出对应的，即为物距． （3）反比例函数，时随增大而减小，结合，求出的取值范围． 【详解】（1）解：计算表格中每组x，y的乘积： ， ， ， ． 每组对应的物距和像高的乘积是固定不变的常数12． 根据反比例函数定义：若两个变量x，y满足（为不等于0的常数），则是的反比例函数． 因此与成反比例关系． 设像高关于物距的函数关系式为． ，，检验表格中其他数据也符合关系式． 像高关于物距的函数关系式为． （2）解：当时，， 解得． 物距是厘米． （3）解：函数，，时，随增大而减小． 已知，当时，． ． 题型07 分段函数问题 【典例1】（2026·内蒙古通辽·模拟预测）如图，为提升校园绿化质量，园艺师傅对花坛绿植进行药液喷洒养护，已知喷雾阶段土壤表层每立方厘米药液浓度与时间成正比例，喷雾结束后与成反比例．当每立方厘米药液浓度低于时，对绿植的养护效果消失，则下列说法中正确的是（     ） A．喷洒阶段的函数解析式为 B．喷洒完成后，当时，药液浓度为 C．土壤表层药液浓度为的时间点只有个 D．从喷洒开始到养护效果完全消失，共经过 【答案】D 【分析】分别求出两段函数的解析式，再逐一进行判断即可. 【详解】解：设喷洒阶段的函数解析式为，喷洒完成后的函数解析式为， 把分别代入，得，， ∴喷洒阶段的函数解析式为，喷洒完成后的函数解析式为，故选项A错误； 当时，，故喷洒完成后，当时，药液浓度为，故选项B错误； 由图象可知土壤表层药液浓度为的时间点有2个，故选项C错误； 当时，；当时，， 从喷洒开始到养护效果完全消失，共经过；故选项D正确. 【变式1】（26-27九年级上·全国·单元复习）经统计，某段高架桥上车辆的行驶速度随高架桥上每百米车的数量（辆）的变化而变化，其关系如图所示，当时，与成反比例函数关系，要使车速不低于，则高架桥上每百米车的数量（为整数）的取值范围是____． 【答案】 【分析】先利用图象求出区间对应的反比例函数解析式，再结合车速不低于的约束，分区间推导每百米车辆数的合理取值范围． 【详解】解：设反比例函数的表达式为，将代入得，车速不低于，即，分两种情况讨论： ①由图可知，当时，，所有的整数都满足条件； ②由图可知，当时，，，即，所有的整数都满足条件． 综上所述，高架桥上每百米车的数量的取值范围是（为整数）． 【变式2】（24-25九年级下·福建福州·阶段检测）家用电灭蚊器的发热部分使用了发热材料，它的电阻R（单位：）随温度T（单位：在一定范围内变化的大致图象如图所示．通电后，发热材料的温度在由室温上升到的过程中，电阻与温度成反比例关系，且在温度达到时，电阻下降到最小值；随后电阻随温度升高而增加，温度每上升，电阻增加．家用电灭蚊器在使用过程中，若发热材料的电阻不超过，则T的取值范围是_________． 【答案】 【分析】根据图象特征，分和两段求出与的函数关系式，再分别令，求出的值，根据函数图象求解的取值范围，最后合并结果． 【详解】解：当时，设与的函数关系式为 ， ∵图象过点， ∴，解得， ∴， 当时，， 当时， ∵温度每上升，电阻增加， ∴； 若发热材料的电阻不超过，即， 当时，令，解得， ∴根据图象可得； 当时，令，解得， ∴根据图象可得， 综上所述，的取值范围是． 【变式3】（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图所示为某新款饮水机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示． (1)求开机后第一个周期内，加热阶段和水温下降阶段的函数表达式； (2)生活委员到校打开电源，请通过计算说明：当第一节课下课时（），同学们能否喝到不高于的温水． 【答案】(1)加热阶段的函数表达式为，水温下降阶段的函数表达式为 (2)同学们能喝到不高于的温水 【分析】（1）根据题意，利用待定系数法求解即可； （2）判断出时，饮水机处于第4个周期的第10分钟，则此时处于水温下降阶段，将代入反比例函数表达式求出函数值，再与比较即可． 【详解】（1）解：由题意可知，加热阶段与是一次函数关系． 设加热阶段的函数表达式为． 因为初始水温为， 所以． 因为每分钟上升， 所以． 所以加热阶段的函数表达式为． 当时，， 解得． 所以加热阶段的函数表达式为． 由题意可知，水温下降阶段与成反比例关系． 设水温下降阶段的函数表达式为． 因为图象经过点， 所以， 解得． 所以水温下降阶段的函数表达式为． 当时，， 解得． 所以水温下降阶段的函数表达式为． 综上：加热阶段的函数表达式为， 水温下降阶段的函数表达式为； （2）解：从到经过的时间为：1小时10分钟分钟． 由（1）可知，一个周期的时间为20分钟．． 所以时，饮水机处于第4个周期的第10分钟． 因为， 所以此时处于水温下降阶段． 将代入，得． 因为， 所以同学们能喝到不高于的温水． 答：同学们能喝到不高于的温水． 1．函数与的图象交于点，则代数式的值是（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，由题意可得，，将所求代数式变形为，整体代入计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵函数与的图象交于点， ∴，， ∴，， ∴， 故选：A． 2．如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于A、B两点，点A的横坐标为．当时，的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查由函数图像解不等式，熟练掌握不等式与函数图像的关系是解决问题的关键．根据不等式与函数图像的关系，当时，的取值范围是指反比例函数在一次函数上方图像对应的的取值范围，数形结合即可得到答案． 【详解】解：由图可知，正比例函数的图像与反比例函数的图像相交于两点，点的横坐标为， ∴点的横坐标为， 当或时，有反比例函数图像在一次函数图像上方， 即当时，的取值范围是或， 故选：C． 3．一篇文章，佳豪输入完成时间y（分）与每分钟输入字数x之间的关系如图所示，佳豪原来30分钟输入完成，改变输入方法后，佳豪每分钟输入100个字，则改变输入方法后（   ） A．提前了5分钟 B．提前了10分钟 C．提前了15分钟 D．落后了5分钟 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据录入的时间录入总量录入速度即可得出函数关系式，再将代入函数关系式可得变输入方法后所用时间，前后时间进行比较即可得出结论． 【详解】解：设， 把代入得，， ∴， ∴y与x的函数表达式为， 将代入得，， （分钟）， ∴改变输入方法后提前了15分钟． 故选：C． 4．如图，一次函数与反比例函数的图象的一个交点为，与轴交于点，为轴上的一点，且，则点的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积，掌握交点坐标满足两个函数解析式是解答本题的关键． 利用待定系数法求出一次函数的解析式，即可求出点坐标，设点的坐标为，可得为代入面积公式求值即可． 【详解】解：将代入， 可得：， ∴， 将代入， 可得：， ∴， ∴点坐标为， 根据为轴上的一点，可设点的坐标为， 即， ∴， 解得：，， ∴点的坐标为或． 故选：C． 5．如图，在常温常压时用电热水壶加热一壶水，水的温度与时间x（分钟）近似满足一次函数关系，当水温达到时停止加热，将茶叶放入热水壶，在一定时间内，茶水的温度与时间x（分钟）近似满足反比例函数关系，已知该种茶水在时适宜饮用，在时饮用口感最佳．若按照上述程序冲泡一壶该种茶水，并从开始加热时计时，下列说法正确的是（   ） A．加热4分钟时水温上升了 B．加热5分钟时水沸腾 C．若在口感最佳时饮用，需要等待的时间是21分钟 D．该种茶水适宜饮用的时间范围是第12分钟~第20分钟 【答案】D 【分析】本题考查了函数图象，反比例函数的应用、一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据函数图象的信息得加热4分钟时水温上升了，再分别求出反比例函数、一次函数的解析式，再根据该种茶水在时适宜饮用，在时饮用口感最佳．代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：没加热前的水温是， 则 ∴加热4分钟时水温上升了， 故A选项不符合题意； ∵在常温常压时用电热水壶加热一壶水，水的温度与时间x（分钟）近似满足一次函数关系 ∴设解析式为，把代入， 得 解得， ∴， 当时，则， ∴， 故B选项不符合题意； 茶水的温度与时间x（分钟）近似满足反比例函数关系， ∴设解析式为 把代入， 得， ∴ ∵在时饮用口感最佳． ∴ ∴ 则在口感最佳时饮用，需要等待的时间是15分钟， 故C选项不符合题意； ∵该种茶水在时适宜饮用， ∴ ∴该种茶水适宜饮用的时间范围是第12分钟~第20分钟 故D选项符合题意； 故选：D． 6．已知蓄电池的电压（单位：）为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则蓄电池的电压 ． 【答案】36 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，先设出电流（单位：A）与电阻（单位：）的函数关系式为，利用待定系数法求出，即可得到答案． 【详解】解：设电流与电阻的函数关系式为． 把代入中，得， 解得， 故答案为：36． 7．如图，一次函数与反比例函数在第一象限内交于点，则当时，的解集为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，运用数形结合的思想分析问题是解题关键．根据，结合图像得出答案． 【详解】解：由图像可知，当时，一次函数的图象在反比例函数图象的上面， ∴当时，，即 ∴的解集为． 故答案为：． 8．弹簧秤是根据胡克定律并利用物体的重力来测量物体质量的．胡克定律为：在弹性限度内，弹簧弹力F的大小与弹簧伸长（或压缩）的长度x成正比，即，其中k为常数，是弹簧的劲度系数；质量为m的物体重力为，其中g为常数．如图，一把弹簧秤在不挂任何物体时弹簧的长度为6厘米．在其弹性限度内：当所挂物体的质量为0.5千克时，弹簧长度为6.5厘米，那么，当弹簧长度为6.8厘米时，所挂物体的质量为 千克． 【答案】0.8 【分析】本题主要考查了胡克定律的应用，熟练掌握胡克定律（其中为弹力，为劲度系数，为弹簧伸长或压缩量 ）及重力与质量的关系是解题的关键．先根据已知条件求出弹簧的劲度系数，再利用胡克定律求出弹簧长度为厘米时所挂物体的质量． 【详解】解：不挂物体时弹簧长度厘米，挂质量千克物体时，弹簧长度厘米，则弹簧伸长量(厘米)． 物体重力（为常量），根据胡克定律，可得，即，解得． 当弹簧长度厘米时，弹簧伸长量(厘米)． 设此时所挂物体质量为千克，则，因为，所以，两边同时除以，得． 故答案为： ． 9．如图，直线与双曲线相交于，两点，若，点的横坐标与纵坐标均为整数，点在轴上，若点到点的距离与点到点的距离和最小，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，一次函数与几何综合，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则此时点到点的距离与点到点的距离和最小，利用待定系数法可得反比例函数解析式为，设，根据题意可得为整数，则，，求出直线的解析式，进而求出直线与x轴的交点坐标即可得到答案． 【详解】解；如图所示，作点关于轴的对称点，连接交轴于点， 根据轴对称的性质，此时点到点的距离与点到点的距离和最小， 将代入双曲线中，得， ∴反比例函数解析式为 设， 点的横坐标与纵坐标均为整数， ∴为整数， （舍去）或， ， 设直线的解析式为， 将，代入，可得 解得， ∴直线的解析式为， 在中，令，得， ， 故答案为：． 10．如图，直线与反比例函数（为常数且）的图象交于，两点，与轴交于点．若点在轴上，且，则 ． 【答案】2或6 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，由题意可求得，待定系数法求出反比例函数的解析式为，求出，，设点的坐标为，结合，得出，求解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：把点代入可得：， ∴， ∴， 把代入反比例函数解析式可得， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 联立， 解得：或， ∴， 当时，，即， 设点的坐标为， ∵， ∴， 解得：或， ∴或， ∴或， 故答案为：2或6． 11．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，. (1)求的值和一次函数的表达式. (2)根据图象，当时，直接写出不等式的解集. 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查反比例函数与一次函数图象的交点问题、 待定系数法求函数表达式，利用数形结合思想求解是解答的关键． （1）利用待定系数法求解函数表达式即可； （2）根据两图象的交点，找到一次函数图象位于反比例函数图象上方部分的点的横坐标的范围即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得，解得， 反比例函数的表达式为， ，解得， ， ∵，在一次函数的图象上， ∴，解得， ∴一次函数的表达式为； （2）解：由图象知，当，一次函数图象位于反比例函数图象上方， ∴不等式的解集为． 12．如图是某型号冷柜循环制冷过程中温度随时间变化的部分示意图.该冷柜的工作过程是：当冷柜温度达到时开始制冷，温度开始逐渐下降；当温度下降到时停止制冷，温度开始逐渐上升；当温度上升到时，再次开始制冷，按照以上方式循环工作.通过研究发现，当时，温度是时间的一次函数；当时，温度是时间的反比例函数. (1)求当时的反比例函数关系式，并求出的值； (2)若规定温度不高于的时间为有效制冷时间，那么在一次循环制冷过程中，有效制冷时间是多少？ 【答案】(1)， (2)有效制冷时间是9分钟 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合运用，熟练掌握待定系数法求函数解析式，反比例函数与一次函数的图象和性质，函数与方程的关系，是解题的关键． （1）由函数图象可知当时间为时，温度与时间之间是反比例函数关系，由图象上点求出反比例函数的关系式，再由反比例函数关系式求出当时的t的值即可； （2）求出一次函数的解析式，分别求出时一次函数中与反比例函数中的x值，即可求解． 【详解】（1）解：设当时的反比例函数关系式为， 由图象可知，点在函数图象上， ， 解得，， 当时的反比例函数关系式为． 当时，， 解得，； （2）解：当时，， 解得：， 设当时的一次函数关系式为， 由图象可知，点，点在函数图象上， 则， 解得： 当时的一次函数关系式为， 当时，， 解得，， （分钟）． 答：在一次循环制冷过程中，有效制冷时间是9分钟． 13．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于B，C两点，与x轴，y轴分别交于D，A两点． (1)与的数量关系为________； (2)若的面积为4． ①求线段的长； ②求k的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）分别过B，C两点作y轴，x轴的垂线，交y轴，x轴于N，M两点，与的延长线交于点F，则四边形为矩形，从而可证明，再证明，即可得出结论； （2）①过点O作于点E，利用等腰三角形的性质与直角三角形的性质求得，再利用三角形的面积求解即可； ②由（1）知：，四边形MONF为正方形，可求得，设点C的纵坐标为m，则点B的横坐标也为m，，根据，得，解得：，则可求得点B的坐标为，再代入求解即可． 【详解】（1）解：如图，分别过B，C两点作y轴，x轴的垂线，交y轴，x轴于N，M两点，与的延长线交于点F，则四边形为矩形， 设点B的坐标为，点C的坐标为， 点B，C为一次函数图象与反比例函数图象的交点， 令，化简得，即， ， ，即，则四边形为正方形， 一次函数的图象与x轴，y轴分别交于D，A两点， 令，则，令，则， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）解：①如图，过点O作于点E， 由（1）知， ∴， ∴； ∵， ∴， ． 又的面积为4， ， 即， ；              ②由（1）知：，四边形为正方形， ， ， 设点C的纵坐标为m，则点B的横坐标也为m， ， ， 即， 解得：， 把代入，得， 点B的坐标为， 把代入， ． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数交点问题，一次函数与反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题的关键． 14．通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标数随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标数随时间（分）变化的函数图象如图所示．当和时，图象是线段：当时，图象是双曲线的一部分，根据函数图象回答下列问题： (1)当时，求注意力指标数随时间（分）的函数解析式： (2)张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要20分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于36？请说明理由． 【答案】(1) (2)张老师能经过适当安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于．理由见解析 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的实际应用，掌握待定系数法是解题关键． （1）求解反比例函数的解析式为：，进一步可得的坐标；当时，设的解析式为，代入两点的坐标即可求解； （2）分别求解当时，；当时，；即可判断； 【详解】（1）解：设反比例函数的解析式为：， 由得， ∴反比例函数为：， 当时，， ∴， ∴， 当时，设的解析式为， ∴， ∴． ∴． （2）解：张老师能经过适当安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于． 理由：当时，，解得； 当时，反比例函数解析为， 当时，，解得． ∴当时，注意力指标数都不低于． 而， ∴张老师能经过适当安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于． 15．数学兴趣小组了解到一款如图1所示的电子托盘秤，它是通过所称重物调节可变电阻的大小，从而改变电路中的电流，最终通过显示器显示物体质量．已知可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间的关系如图2所示，电流（单位：）与可变电阻之间关系为． (1)小组先探究函数的图象与性质，并根据与之间关系得到如下表格： 0 1 2 3 4 5 6 7 ．．． 2 1.5 1.2 0.75 0.6 ．．． ①表格中的___________； ②请在图3中画出对应的函数图象； (2)该小组综合图2和图3发现，随着的增大而___________；（填“增大”或“减小”） (3)若将该款电子秤中的电路电流范围设定为（单位：），判断该电子托盘秤能否称出质量为的物体的质量？请说明理由． 【答案】(1)①1；②见解析 (2)增大 (3)该电子托盘秤不能称出质量为的物体的质量 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是关键． （1）①依据题意，将代入中，进而计算可以得解； ②依据题意，根据表格数据描点即可得解； （2）依据题意，根据图象，可得R随着m的增大而减小，又I随R的增大而减小，进而可以判断得解； （3）依据题意，设（，b为常数） 将，代入，得，求出k，b后可得，再结合，进而可以得，故可判断得解． 【详解】（1）解：①由题意，将代入中， ∴， ． 故答案为：1． ②图象如下图所示，即为所求． ； （2）解：由题意，根据图象，可得R随着m的增大而减小， 又∵I随R的增大而减小， ∴I随着m的增大而增大． 故答案为：增大． （3）解：不能，理由如下： 由题意，设（，b为常数） 将，代入，得， ∴ ∴． 又∵， ∴． ∵由（2）知I随着m的增大而增大， ∴当时，． ∴该电子托盘秤不能称出质量为的物体的质量． 一、单选题 1．（26-27九年级上·安徽淮北·阶段检测）老李计划寻找一片空地打造稻鱼共生基地，已知老李家离这片空地300米，则老李从家骑自行车匀速行驶到空地的速度v（米/分钟）关于骑车时间t（分钟）的函数图象可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求解，结合，可得答案. 【详解】解：∵老李家距离空地米， ∴，即， ∴速度（米/分钟）关于骑车时间（分钟）的函数图象为反比例函数图像，即为双曲线， ∴A、C选项不符合题意， ∵，， ∴B选项符合题意，D选项不符合题意. 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）某数学兴趣小组根据所学函数的经验，发现：当做功一定时，功率（单位：）与做功的时间（单位：）近似存在反比例函数关系．如表是他们实验的几组数据： （单位：） （单位：） 则功率与做功的时间之间的函数模型是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用反比例函数的表达式特征排除错误选项，通过待定系数法计算比例系数，验证后确定函数解析式． 【详解】解：∵功率与做功时间近似存在反比例函数关系， ∴设函数解析式为（为常数，）， ∵选项中的函数为正比例函数形式，不符合反比例关系， ∴排除， 将，代入，得， ∴函数解析式为，对应选项，代入其余各组值验证，计算所得值均与实验值近似相符． 3．（26-27九年级上·四川绵阳·阶段检测）如图，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点并将其吊起来．在中点的左侧距离中点处挂一个重的物体，在中点右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态，弹簧秤与中点的距离（单位：）及弹簧秤的示数（单位：）满足．若弹簧秤的示数F不超过，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据杠杆平衡条件得到，进而求出的取值范围． 【详解】解：由题意，木杆水平平衡，根据杠杆平衡条件：， 代入，， 得：， ， 由题意，弹簧秤示数，即：， ，不等式两边同乘，不等号方向不变， ， ， 又木杆长，为中点， 右侧最大力臂， 的取值范围是：． 4．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）将一定体积的面团做成拉面，面条的总长度与粗细（横截面面积）之间的函数关系如图所示．下列说法错误的是（     ） A．该函数表达式为 B．当时， C．当面条的总长度不超过3200时， D．当时， 【答案】C 【分析】利用待定系数法求出函数解析式，根据反比例函数的性质逐项判断. 【详解】解：设函数表达式为 图象过点 ，故 A 说法正确； 当 时，，故 B 说法正确； 当 时，，解得 ，故 C 说法错误； 当 时， 随 的增大而减小，且 ，故 D 说法正确. 5．（2026·广西防城港·一模）为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的．环保局要求该企业立即整改，在15天内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度与时间（天）的变化规律如图所示，其中线段表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为．从第3天起，所排污水中硫化物的浓度与时间满足下面表格中的关系． 时间天 3 5 6 9 硫化物的浓度 4.5 2.7 2.25 1.5 则下列说法错误的是（    ） A．在整改过程中，当时，硫化物的浓度与时间的函数表达式为 B．在整改过程中，当时，硫化物的浓度与时间的函数表达式为 C．该企业所排污水中硫化物的浓度可在第10天降为 D．该企业所排污水中硫化物的浓度不可能在15天以内实现不超过最高允许的的要求 【答案】D 【分析】待定系数法求出直线和反比例函数的解析式，再根据选项逐一进行判断即可. 【详解】解：当时，设函数关系式为， 把代入，得，解得， ∴当时，硫化物的浓度与时间的函数表达式为；故A正确； 当时，由表格可知的值保持不变，设，把代入，得； ∴当时，硫化物的浓度与时间的函数表达式为，故B正确； 当时，， ∴该企业所排污水中硫化物的浓度可在第10天降为；故C正确； 当时，， ∴该企业所排污水中硫化物的浓度能在15天以内实现不超过最高允许的的要求；故D错误； 二、填空题 6．（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）一定质量的二氧化碳气体，其密度与体积之间成反比例关系，其图象如图所示．当时，密度的值为__________． 【答案】 2.5 【分析】根据图象上的点坐标求出反比例函数的系数，确定函数解析式，再代入的值求解． 【详解】解：设与的函数关系式为， 图象经过点，即当时，， ∴， ∴与的函数关系式为， 当时，， 故的值为 2.5． 7．（25-26九年级下·陕西宝鸡·期中）机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是其载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度，则当其载重后总质量时，它的最快移动速度________． 【答案】4 【分析】由题意易得该函数的解析式为，然后问题可求解． 【详解】解：设该反比例函数的解析式为，由题意得：， ∴， ∴当时，则． 8．（23-24九年级下·山东临沂·期中）为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，某工厂自2019年1月开始限产进行治污改造，其月利润y（万元）与月份x之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图象的一部分，治污完成后是一次函数图象的一部分，下列结论正确的是________．（填写编号即可） ①4月份的利润为50万元 ②治污改造完成后每月利润比前一个月增加30万元 ③治污改造完成前后共有4个月的利润低于100万元 ④9月份该厂利润达到200万元    【答案】①②④ 【分析】此题主要考查了一次函数与反比例函数的应用，正确得出函数解析是解题关键．直接利用已知点求出一次函数与反比例函数的解析式进而分别分析得出答案即可． 【详解】解：①、设反比例函数的解析式为， 把代入得，， ∴反比例函数的解析式为：， 当时，， ∴4月份的利润为50万元，故正确，符合题意； ②、治污改造完成后，从4月到6月，利润从50万到110万，故每月利润比前一个月增加30万元，故正确，符合题意； ③、当时，则， 解得：， 则只有3月，4月，5月共3个月的利润低于100万元，故错误，不符合题意． ④、设一次函数解析式为：， 则， 解得：， 故一次函数解析式为：， 故时，， 则9月份该厂利润达到200万元，故正确，符合题意． 故答案为：①②④． 9．（26-27九年级上·全国·单元复习）某蓄水池的排水管的平均排水量为每小时8立方米，6小时可以将满池水全部排空．现在平均排水量为每小时立方米，那么将满池水排空所需要的时间为（小时），写出时间（小时）与之间的函数解析式：________．如果要在4小时内排完，那么平均每小时排水量至少为________立方米． 【答案】 12 【分析】先计算蓄水池总蓄水量，再根据总水量、每小时排水量、排空时间的关系推导函数解析式，最后根据要求的排空时间计算最低每小时排水量． 【详解】∵原排水管平均排水量为每小时立方米，小时可以排空满池水， ∴蓄水池的总蓄水量为立方米． 根据总蓄水量=每小时排水量×排空总时间，可得， 整理得与的函数解析式为． 若要在小时内排完，即满足， 代入解析式得， ∵为排水量，， ∴不等式两边同乘，不等号方向不变，可得， 解得， 即平均每小时排水量至少为立方米． 10．（2026·山东威海·三模）老李的鱼菜共生系统内装有恒温装置，如图是某天恒温装置从开启到关闭及关闭后，温度与时间的变化图像，其中段是恒温阶段，段是恒温系统关闭阶段，是反比例函数图像的一部分，下列说法中：①恒温系统设定的温度为；②的值为；③温度在的时间有；④恒温系统在一天内保持温度不低于的时间有．其中说法正确的是________（填序号）． 【答案】①③④ 【分析】水平线段代表恒温阶段，对应值就是恒温系统设定的温度；将点坐标代入反比例解析式中求出即可；恒温区间终点时间减去起点时间即可得出恒温持续时长；分别在升温一次函数和降温反比例函数两段求出对应的横坐标，后用右端点减去左端点即可得到恒温系统在一天内保持温度不低于的总时长． 【详解】解：段是恒温阶段，对应的纵坐标为， 恒温系统设定的温度为，故①正确； 由题意得段过，代入得，解得，故②错误； 段温度在， 温度在的时间有，故③正确； 如图， 由题意得段过，， 设线段的表达式为，（）， 把，代入得，解得， 故线段的表达式为，（）， 令得，解得， 令，解得， 恒温系统在一天内保持温度不低于的时间有，故④正确． 三、解答题 11．（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）在力（单位：）的作用下，若物体在力的方向上发生位移（单位：），则力所做的功（单位：）满足．当为定值时，与之间的函数关系如图所示． (1)写出关于的函数解析式； (2)在做功相同的情况下，要使物体在力的作用下的位移小于，求力的范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将图象上点的坐标代入公式，直接计算功即可； （2）根据位移小于列出不等式，结合的隐含条件求解出力的取值范围即可． 【详解】（1）小题详解：由且为定值，得，即是的反比例函数， 图象过点，代入得，所以． 故，自变量取值范围为（力是正数）． （2）小题详解：由题意，即， 因为，两边同乘不变号：，所以． 即在做功相同（都是）的情况下，要使位移小于，所施加的力应大于． 【点睛】注意：反比例函数中，所以解不等式时可以直接去分母；若忽略这个隐含条件，容易得出错误的“或”． 12．（22-23九年级上·湖南怀化·期末）某校九年级组织学生到商场参加社会实践活动，他们参与了某种品牌运动鞋的销售工作，已知该运动鞋每双的进价为120元，为寻求合适的销售价格进行了4天的试销，试销情况如下表所示： 第1天 第2天 第3天 第4天 售价（元/双） 150 200 250 300 销售量/（双） 40 30 24 20 (1)观察表中数据，，满足什么函数关系？请求出函数解析式； (2)若商场计划品牌运动鞋每天的销售利润为3000元，则其售价应定为多少元一双？ 【答案】(1)反比例函数关系， (2)240元 【分析】（1）由表中数据得出，即可得出结果； （2）由题意得出方程，解方程即可，注意检验． 【详解】（1）解：由表中数据得：， ， 是的反比例函数， 故所求函数关系式为； （2）解：由题意得：， 把代入得：， 解得：； 经检验，是原方程的根； 答：若商场计划每天的销售利润为3000元，则其单价应定为240元． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用、列分式方程解应用题；根据题意得出函数关系式和列出方程是解决问题的关键． 13．（22-23九年级上·广西南宁·阶段检测）受新冠肺炎疫情的影响，某化工厂从2022年1月开始产量下降．借此机会，为了贯彻“发展循环经济，提高工厂效益”的绿色发展理念；管理人员对生产线进行为期5个月的升级改造，改造期间的月利润与时间成反比例函数；从6月初开始恢复全面生产后，工厂每月的利润都比前一个月增加10万元．设2022年1月为第1个月，第x（x为正整数）个月的利润为y万元，其图象如图所示，试解决下列问题： (1)分别直接写出该化工厂对生产线进行升级改造前后，y与x的函数表达式，并写出自变量范围； (2)到第几个月时，该化工厂月利润才能再次达到100万元？ (3)当月利润少于50万元时，为该化工厂的资金紧张期，问该化工厂资金紧张期共有几个月？ 【答案】(1) (2)13 (3)5 【分析】（1）根据题意利用待定系数法即可得到函数解析式； （2）把代入即可得到结论； （3）对于，当时，得，得到时，，对于，当时，得到，于是得到结论． 【详解】（1）当时，由月利润与时间成反比例函数，设函数解析式为：， 由图可知：在函数图像上， ， ， 当时， 当时，设函数为， 由从6月初开始恢复全面生产后，工厂每月的利润都比前一个月增加10万元， ， 由图可知，过点， ， ， ， 综上：， （2）在函数中，令，得， 解得：， 答：到第13个月时，该化工厂月利润再次达到100万元． （3）在函数中， 当时，， ∵，y随x的增大而减小， ∴当时，， 在函数中， 当时，得 解得： ∴且x为整数； ∴x可取3，4，5，6，7；共5个月． 答：该化工厂资金紧张期共有5个月 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，一次函数的应用，正确的理解题意是解题的关键． 14．（26-27九年级上·安徽合肥·期中）生物实践小组搜集了某种植园温室大棚智能控制系统测试阶段时的温度变化，并绘制出大棚内的温度随时间（时）变化的图象，如图所示，点表示智能控制系统在0时启动，此时大棚内的温度为，线段表示升温阶段，线段表示恒温阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段，点表示24时温度降到． (1)求线段及双曲线段的函数解析式（写出自变量取值范围）； (2)求该大棚在时内，温度不低于的时长， 【答案】(1)线段的函数解析式为；段的函数解析式为 (2)12小时 【分析】（1）利用待定系数法求出对应的函数解析式，再求出点C的横坐标即可得到答案； （2）把分别代入到两个函数解析式中求出对应的x的值即可得到答案． 【详解】（1）解：设线段所在直线的解析式为． 将和代入，得， 解得， 线段的函数解析式为． 设双曲线段的函数解析式为， 将代入，得， ∴双曲线段的函数解析式为， 在中，当时，， ， 段的函数解析式为； （2）解：令， 解得， 段温度为的时刻为15时． 令， 解得， 段温度为的时刻为3时， （小时）， 答：温度不低于的时长为12小时． 15．（26-27九年级上·河北邯郸·阶段检测）综合与实践 如图，在左边托盘中放置一个固定的重物，在右边托盘中放置一定质量的砝码（可左右移动），可使得仪器左右平衡．改变托盘与点的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到如下表： 托盘与点的距离 托盘中的砝码质量    (1)依据实验得出与的对应点，请你在本题图中画出函数图像，并求出函数解析式； (2)当砝码质量为时，求托盘与点的距离； (3)当托盘向左移动时，为使得仪器在移动前后均保持左右平衡，托盘中的砝码质量需增加至移动前的两倍，求在移动前托盘中的砝码质量． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据表格中的数据，描点，连线即可得函数图像，根据图像可得y是关于x的反比例函数，利用待定系数法求解即可； （2）当时，，求解即可； （3）设移动前托盘B中的砝码质量为，托盘B与点O的距离为，利用反比例函数的性质建立方程，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：描点连线，函数图像如图所示， 由图象可得y与x之间是反比例函数关系， 设， 当时，， ，即， ； （2）解：当时，代入得，， 解得， 当砝码质量为时，托盘B与点O的距离是. （3）解：设移动前托盘B中的砝码质量为，托盘B与点O的距离为， ，， 解得：． 在移动前托盘B中的砝码质量为. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.3 反比例函数的应用 教学目标 1. 能够分析生活、物理情境中的变量关系，识别总量不变时的反比例关系，建立反比例函数模型，使用待定系数法求出对应的函数解析式。 2. 会结合反比例函数图象与性质分析、解答实际问题，读懂实际背景下函数图象的含义，能根据题意确定自变量符合现实意义的取值范围。 3. 经历从实际问题抽象成数学模型的全过程，感受数形结合思想，提升分析、解决实际问题的能力，体会反比例函数在现实场景中的实用价值。 教学重难点 1.重点 （1）根据固定总量类实际问题建立反比例函数模型，正确写出函数表达式，能直接利用反比例函数解析式求出指定自变量或对应的函数值，完成基础计算。 （2）借助反比例函数图象与性质分析实际情境，读懂图象信息，结合题目的限制条件进行简单方案判断，熟练把反比例函数知识运用到行程、压强等典型应用题中。 2.难点 （1）从文字较长的实际背景中提炼数量关系，准确判断两个变量是否构成反比例关系，容易混淆正比例与反比例模型，难以快速找到恒定不变的总量。 （2）忽略实际问题自变量取值必须大于0等现实约束，不会结合函数增减性解决“至少”“最多”这类不等式型实际问题，难以灵活实现实际情境、解析式、图象三者转化。 知识点01 利用反比例函数解决实际问题 1.基本思路：建立函数模型，即在实际问题中求得函数解析式，然后应用函数的图象和性质等知识解决问题. 2.一般步骤如下：（1）审清题意，根据常量、变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系 数用字母表示. （2）由题目中的已知条件，列出方程，求出待定系数. （3）写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围. （4）利用函数解析式、函数的图象和性质等去解决问题. 【即学即练】1．压力F、压强p、受力面积S之间的关系为，当压力F一定时，另外两个变量的函数图象可能是（     ） A． B． C． D． 2．在某闭合电路中，通过电路的电流I（单位：A）与电阻R（单位：）的数据如下表所示． … 4 5 6 … … 30 a 20 … 已知I是R的反比例函数，则表格中a的值为_________． 3．某广告公司制作某种定制纪念品．纪念品的平均总成本包括材料成本和制作成本，其中材料成本固定不变，制作成本与生产数量成反比．该公司为两个客户定制生产了两批，得到如下数据： 生产数量（件） 平均总成本（元） (1)设平均总成本为元，生产数量为件，求与之间的函数表达式； (2)下一位客户要将平均总成本控制在元以内，请问至少需要生产多少件？ 题型01 利润问题 【典例1】（26-27九年级上·湖南衡阳·阶段检测）某电子商城推出分期付款购买电脑的活动，一台电脑的售价为万元，前期付款元，后期每个月分别付相同的数额，则每个月的付款数额（元）与付款月数（取正整数）之间的函数解析式为（     ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级下·全国·课后作业）根据某商场对一款运动鞋四天中的售价与销量关系的调查知销量y（双）是售价x（元/双）的反比例函数（统计数据如表所示）．已知该运动鞋的进价为180元/双，要使该款运动鞋每天的销售利润达到2400元，则其售价应定为______元/双． 售价x/（元/双） 200 240 250 400 销量y/双 30 25 24 15 【变式2】（2026·江苏南京·一模）某工厂经过调研，发现该厂某产品的月需求量（单位：万件）是销售单价x（单位：元）的反比例函数，其图像如图所示．该产品的月供应量（单位：万件）是销售单价x的一次函数，若销售单价为20元，则月供应量为10万件；若销售单价为40元，则月供应量为30万件．当该产品的月需求量和月供应量相等时，其销售单价为______元． 【变式3】（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）三原小磨香油久负盛名，以其香味浓郁，营养价值高，深受消费者的喜爱．某超市销售一批三原小磨香油，在销售过程中发现，在一定范围内，该小磨香油的日销售量y（单位：瓶）与每瓶的利润x（单位：元）之间满足反比例函数关系，且当时，． (1)求y关于x的函数表达式；（无需写出自变量的取值范围） (2)当该小磨香油的日销售量为瓶时，该小磨香油每瓶的利润为多少元？ 题型02 工程问题 【典例1】（24-25七年级上·山东临沂·期末）全学科阅读工程开展以来，各学校充实了图书角，七年级同学们积极阅读了名著《西游记》，每天阅读的页数和读完全书需要的天数y之间的关系如下表：用式子表示与的关系_____． 每天看的页数 12 15 20 30 ．．． 需要的天数 75 60 45 30 ．．． 【变式1】（2026·四川成都·三模）成都天府绿道要修一段步道，工程总量固定，每天修建的长度米和修建天数天成反比例函数关系．若每天修40米，需要6天完工；若每天修建30米，则需要________天完工． 【变式2】（24-25九年级上·陕西西安·阶段检测）某工程队接到一项开挖水渠的工程，所需天数（单位：天）是每天完成的工程量（单位：）的反比例函数，其图象经过点．已知该工程队每台挖掘机每天能够开挖水渠，若要求该工程队恰好天完成此项任务，则需要几台这样的挖掘机？ 【变式3】（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段检测）某工程队修建一条村村通公路，所需天数y（单位：天）与每天修建该公路长度x（单位：米）是反比例函数关系，已知该函数关系的图象经过点，如图． (1)求y与x之间的函数表达式（不用写出自变量的取值范围）； (2)其它条件不变，求该工程队每天修建该公路30米要比每天修建20米提前多少天完成此项工程？ 题型03 行程问题 【典例1】（25-26九年级上·山东青岛·阶段检测）已知老李家距离鱼菜共生田地米，骑自行车从老李家匀速骑行到田地的速度（米/分钟）关于骑车时间（分钟）的函数图象为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·山东青岛·期末）为了保障高速公路行车安全，交通部门常用“区间测速”来判断车辆是否超速．所谓区间测速，是在同一路段上设置两个监控点，根据车辆通过前后两个监控点的时间来计算其在该路段上的平均行驶速度．在某高速公路限速区间段，汽车的平均行驶速度与行驶时间之间满足反比例函数关系（如图）．根据我国《道路交通安全法实施条例》规定，高速公路小型载客汽车最高车速不得超过，最低车速不得低于（避免因车速过慢引发追尾等事故）．已知小明的爸爸驾驶小汽车以符合限速规定的速度通过该区间段，则他所用的时间可能为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）随着第九届亚冬会倒计时，哈尔滨迎来了旅游高峰，一艘松花江观光船从地驶往地，速度（公里/时）与时间（时）成反比例关系，其图象如图所示，则A、B两地的距离为_____公里． 【变式3】（2025九年级上·北京·专题练习）小明从家到学校，路程为1200米，步行的速度v（米/分钟）与所用时间t（分钟）成反比例关系． (1)写出v与t之间的函数关系式； (2)若小明步行的速度是60米/分钟，求他从家到学校需要多少时间？ 题型04 物理问题 【典例1】（26-27九年级上·全国·单元测试）汽车油箱内的油量多少主要根据如图所示的电路进行转化后显示，在不考虑其他因素影响的条件下，油箱内油的体积V与电路中总电阻是反比例函数关系，已知测得当体积V为时，电路中总电阻为，则V与的函数解析式是（） A． B． C． D． 【变式1】（26-27九年级上·河北邯郸·阶段检测）综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度与液体密度（，）成反比例函数关系，其图象如图所示，下列说法正确的是（     ） A．当液体密度时，浸在液体中的高度 B．当浸在液体中的高度满足时，该液体密度 C．当液体密度时，浸在液体中的高度 D．当液体密度满足时，浸在液体中的高度 【变式2】（26-27九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）在对物体做功一定的情况下，此物体在力的方向上发生的位移单位：与力单位：成反比例函数关系，其图象如图所示，则当力为时，此物体在力的作用下的位移是__________________ 【变式3】（26-27九年级上·河北沧州·阶段检测）在物理实验课上，小高正在探究“电压一定时，通过导体的电流与导体电阻的关系”．他搭建了一个电路，保持定值电阻两端的电压(伏特)不变，通过更换不同的定值电阻(欧姆)，记录下对应的电流表读数(安培)．已知该电路允许的最大电流为安培．记录的数据如下表所示： 电阻(欧姆) 电流(安培) (1)根据表中的实验数据，可以将电流与电阻看成________函数关系，其函数解析式为________； (2)如果小高想在电路中接入一个阻值为欧姆的电阻进行实验，请通过计算说明这样做是否安全(即电流是否会超过电路允许的最大值安培)？如果不安全，接入的电阻最小应为多少欧姆？ 题型05 图形问题 【典例1】（2026·河南驻马店·三模）现在，很多人在休闲时间外出旅游，为携带方便，人们通常会利用真空压缩袋压缩衣物以减小体积，同一件羽绒服质量不变，其体积与密度之间具有反比例函数关系，其图象关系如图所示．下列说法中正确的是（   ） A．当羽绒服的体积为时，其密度为 B．当羽绒服的密度增大时，羽绒服的体积在减小 C．羽绒服的密度每增加，羽绒服的体积就减小 D．当羽绒服的密度由增加到时，羽绒服的体积增大了 【变式1】（2026·广东河源·二模）/跨学科/在二胡演奏中，当弦的张力、线密度等条件不变时，弦的振动频率（单位：）与振动弦长（单位：）近似成反比例函数关系，其图像如图所示．根据图像，下列结论正确的是（     ） A．该函数图像满足的表达式为 B．当振动弦长为时，振动频率为 C．当振动弦长时，振动频率 D．该函数图像与坐标轴有一个交点 【变式2】（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）某区举行初中生科学素养测评，其中甲、乙、丙、丁四所学校测评成绩的优秀率与该校参加测评人数的情况可用图中四个点描述，乙、丁两所学校对应的点恰在同一反比例函数的图象上．这四所学校本次测评成绩优秀人数最多的是______． 【变式3】（26-27九年级上·广东广州·阶段检测）为应对华南地区台风季的强降雨，广州市某区建有一个地下雨水调蓄池，雨季时蓄水防涝，旱季时排空清淤．已知一蓄水池每小时的排水量与排完水池中的水所用的时间之间成反比例函数关系，其图象如图所示． (1)求与之间的函数表达式（不要求写自变量的取值范围）； (2)若要排完水池中的水，那么每小时的排水量应该是多少？ (3)如果每小时排水量不超过，那么水池中的水至少要多少小时才能排完？ 题型06 表格问题 【典例1】（26-27九年级上·北京海淀·阶段检测）清明前后，杭州西湖龙井茶区开始手工炒制新茶．按《西湖龙井茶手工炒制技术规程》，青锅的每锅投叶量“根据手的大小和个人习惯掌握”，特级、一级鲜叶每锅，二级、三级，辉锅每锅．某茶作坊当天采下的一批鲜叶，炒茶师傅估算：这批鲜叶若交给手掌大小不同、习惯不同的师傅炒制，每锅投叶量不同，炒完这批鲜叶所需的锅数也不同，记录如表： 每锅投叶量x（克） 100 121 150 181 200 241 需要锅数y（锅） 36 30 24 20 18 15 根据表中数据，y与x之间的函数关系最接近（     ） A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．二次函数关系 D．反比例函数关系 【变式1】（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，古代工匠在制作杆秤时，需校准刻度以确保称量准确．他们在秤纽（支点O）左侧固定位置B处悬挂物体A，右侧通过调整秤砣的重量y（单位：斤）及其悬挂位置与秤纽的距离x（单位：寸），使秤杆平衡（秤杆平衡时，秤砣重秤砣距秤纽距离物体重物体距秤纽距离）．工匠发现，若固定物体A的重量和位置B，改变秤砣与秤纽的距离x，观察所需的秤砣重量y的变化情况，记录数据如下： x（寸） … 5 6 10 12 15 … y（斤） … 12 10 6 5 4 … 观察表中的数据，当秤砣与秤纽的距离x为20寸时，秤砣重量y（斤）的值是（     ） A．2 B．3 C．20 D．30 【变式2】（26-27九年级上·全国·单元测试）在化学中，当溶液质量m（单位：g）一定时，溶液密度（单位：）与溶液体积V（单位：）存在反比例函数关系，下表是实验中的几组数据： （单位：） 0.8 1.25 1.6 2 2.5 V（单位：） 125 80 62.5 50 40 则溶液密度与溶液体积V之间的函数解析式为_______． 【变式3】（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）小孙同学学习了小孔成像的科学原理后，在实验室做小孔成像实验，当像距（小孔到像的距离）和物体高度不变时，得到像高（单位：）与物距（小孔到物体的距离）（单位：）的几组数据． 像高（单位：） 1.5 2 3 5 物距（单位：） 8 6 4 (1)像高与物距之间成 关系，并求出该函数关系式； (2)当像高为时，物距是多少厘米？ (3)因为实验器材限制，物距不能超过，则像高的范围是 ． 题型07 分段函数问题 【典例1】（2026·内蒙古通辽·模拟预测）如图，为提升校园绿化质量，园艺师傅对花坛绿植进行药液喷洒养护，已知喷雾阶段土壤表层每立方厘米药液浓度与时间成正比例，喷雾结束后与成反比例．当每立方厘米药液浓度低于时，对绿植的养护效果消失，则下列说法中正确的是（     ） A．喷洒阶段的函数解析式为 B．喷洒完成后，当时，药液浓度为 C．土壤表层药液浓度为的时间点只有个 D．从喷洒开始到养护效果完全消失，共经过 【变式1】（26-27九年级上·全国·单元复习）经统计，某段高架桥上车辆的行驶速度随高架桥上每百米车的数量（辆）的变化而变化，其关系如图所示，当时，与成反比例函数关系，要使车速不低于，则高架桥上每百米车的数量（为整数）的取值范围是____． 【变式2】（24-25九年级下·福建福州·阶段检测）家用电灭蚊器的发热部分使用了发热材料，它的电阻R（单位：）随温度T（单位：在一定范围内变化的大致图象如图所示．通电后，发热材料的温度在由室温上升到的过程中，电阻与温度成反比例关系，且在温度达到时，电阻下降到最小值；随后电阻随温度升高而增加，温度每上升，电阻增加．家用电灭蚊器在使用过程中，若发热材料的电阻不超过，则T的取值范围是_________． 【变式3】（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图所示为某新款饮水机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示． (1)求开机后第一个周期内，加热阶段和水温下降阶段的函数表达式； (2)生活委员到校打开电源，请通过计算说明：当第一节课下课时（），同学们能否喝到不高于的温水． 1．函数与的图象交于点，则代数式的值是（    ） A． B． C． D．2 2．如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于A、B两点，点A的横坐标为．当时，的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 3．一篇文章，佳豪输入完成时间y（分）与每分钟输入字数x之间的关系如图所示，佳豪原来30分钟输入完成，改变输入方法后，佳豪每分钟输入100个字，则改变输入方法后（   ） A．提前了5分钟 B．提前了10分钟 C．提前了15分钟 D．落后了5分钟 4．如图，一次函数与反比例函数的图象的一个交点为，与轴交于点，为轴上的一点，且，则点的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 5．如图，在常温常压时用电热水壶加热一壶水，水的温度与时间x（分钟）近似满足一次函数关系，当水温达到时停止加热，将茶叶放入热水壶，在一定时间内，茶水的温度与时间x（分钟）近似满足反比例函数关系，已知该种茶水在时适宜饮用，在时饮用口感最佳．若按照上述程序冲泡一壶该种茶水，并从开始加热时计时，下列说法正确的是（   ） A．加热4分钟时水温上升了 B．加热5分钟时水沸腾 C．若在口感最佳时饮用，需要等待的时间是21分钟 D．该种茶水适宜饮用的时间范围是第12分钟~第20分钟 6．已知蓄电池的电压（单位：）为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则蓄电池的电压 ． 7．如图，一次函数与反比例函数在第一象限内交于点，则当时，的解集为 ． 8．弹簧秤是根据胡克定律并利用物体的重力来测量物体质量的．胡克定律为：在弹性限度内，弹簧弹力F的大小与弹簧伸长（或压缩）的长度x成正比，即，其中k为常数，是弹簧的劲度系数；质量为m的物体重力为，其中g为常数．如图，一把弹簧秤在不挂任何物体时弹簧的长度为6厘米．在其弹性限度内：当所挂物体的质量为0.5千克时，弹簧长度为6.5厘米，那么，当弹簧长度为6.8厘米时，所挂物体的质量为 千克． 9．如图，直线与双曲线相交于，两点，若，点的横坐标与纵坐标均为整数，点在轴上，若点到点的距离与点到点的距离和最小，则点的坐标为 ． 10．如图，直线与反比例函数（为常数且）的图象交于，两点，与轴交于点．若点在轴上，且，则 ． 11．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，. (1)求的值和一次函数的表达式. (2)根据图象，当时，直接写出不等式的解集. 12．如图是某型号冷柜循环制冷过程中温度随时间变化的部分示意图.该冷柜的工作过程是：当冷柜温度达到时开始制冷，温度开始逐渐下降；当温度下降到时停止制冷，温度开始逐渐上升；当温度上升到时，再次开始制冷，按照以上方式循环工作.通过研究发现，当时，温度是时间的一次函数；当时，温度是时间的反比例函数. (1)求当时的反比例函数关系式，并求出的值； (2)若规定温度不高于的时间为有效制冷时间，那么在一次循环制冷过程中，有效制冷时间是多少？ 13．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于B，C两点，与x轴，y轴分别交于D，A两点． (1)与的数量关系为________； (2)若的面积为4． ①求线段的长； ②求k的值． 14．通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标数随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标数随时间（分）变化的函数图象如图所示．当和时，图象是线段：当时，图象是双曲线的一部分，根据函数图象回答下列问题： (1)当时，求注意力指标数随时间（分）的函数解析式： (2)张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要20分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于36？请说明理由． 15．数学兴趣小组了解到一款如图1所示的电子托盘秤，它是通过所称重物调节可变电阻的大小，从而改变电路中的电流，最终通过显示器显示物体质量．已知可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间的关系如图2所示，电流（单位：）与可变电阻之间关系为． (1)小组先探究函数的图象与性质，并根据与之间关系得到如下表格： 0 1 2 3 4 5 6 7 ．．． 2 1.5 1.2 0.75 0.6 ．．． ①表格中的___________； ②请在图3中画出对应的函数图象； (2)该小组综合图2和图3发现，随着的增大而___________；（填“增大”或“减小”） (3)若将该款电子秤中的电路电流范围设定为（单位：），判断该电子托盘秤能否称出质量为的物体的质量？请说明理由． 一、单选题 1．（26-27九年级上·安徽淮北·阶段检测）老李计划寻找一片空地打造稻鱼共生基地，已知老李家离这片空地300米，则老李从家骑自行车匀速行驶到空地的速度v（米/分钟）关于骑车时间t（分钟）的函数图象可能为（     ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）某数学兴趣小组根据所学函数的经验，发现：当做功一定时，功率（单位：）与做功的时间（单位：）近似存在反比例函数关系．如表是他们实验的几组数据： （单位：） （单位：） 则功率与做功的时间之间的函数模型是（     ） A． B． C． D． 3．（26-27九年级上·四川绵阳·阶段检测）如图，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点并将其吊起来．在中点的左侧距离中点处挂一个重的物体，在中点右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态，弹簧秤与中点的距离（单位：）及弹簧秤的示数（单位：）满足．若弹簧秤的示数F不超过，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 4．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）将一定体积的面团做成拉面，面条的总长度与粗细（横截面面积）之间的函数关系如图所示．下列说法错误的是（     ） A．该函数表达式为 B．当时， C．当面条的总长度不超过3200时， D．当时， 5．（2026·广西防城港·一模）为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的．环保局要求该企业立即整改，在15天内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度与时间（天）的变化规律如图所示，其中线段表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为．从第3天起，所排污水中硫化物的浓度与时间满足下面表格中的关系． 时间天 3 5 6 9 硫化物的浓度 4.5 2.7 2.25 1.5 则下列说法错误的是（    ） A．在整改过程中，当时，硫化物的浓度与时间的函数表达式为 B．在整改过程中，当时，硫化物的浓度与时间的函数表达式为 C．该企业所排污水中硫化物的浓度可在第10天降为 D．该企业所排污水中硫化物的浓度不可能在15天以内实现不超过最高允许的的要求 二、填空题 6．（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）一定质量的二氧化碳气体，其密度与体积之间成反比例关系，其图象如图所示．当时，密度的值为__________． 7．（25-26九年级下·陕西宝鸡·期中）机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是其载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度，则当其载重后总质量时，它的最快移动速度________． 8．（23-24九年级下·山东临沂·期中）为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，某工厂自2019年1月开始限产进行治污改造，其月利润y（万元）与月份x之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图象的一部分，治污完成后是一次函数图象的一部分，下列结论正确的是________．（填写编号即可） ①4月份的利润为50万元 ②治污改造完成后每月利润比前一个月增加30万元 ③治污改造完成前后共有4个月的利润低于100万元 ④9月份该厂利润达到200万元    9．（26-27九年级上·全国·单元复习）某蓄水池的排水管的平均排水量为每小时8立方米，6小时可以将满池水全部排空．现在平均排水量为每小时立方米，那么将满池水排空所需要的时间为（小时），写出时间（小时）与之间的函数解析式：________．如果要在4小时内排完，那么平均每小时排水量至少为________立方米． 10．（2026·山东威海·三模）老李的鱼菜共生系统内装有恒温装置，如图是某天恒温装置从开启到关闭及关闭后，温度与时间的变化图像，其中段是恒温阶段，段是恒温系统关闭阶段，是反比例函数图像的一部分，下列说法中：①恒温系统设定的温度为；②的值为；③温度在的时间有；④恒温系统在一天内保持温度不低于的时间有．其中说法正确的是________（填序号）． 三、解答题 11．（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）在力（单位：）的作用下，若物体在力的方向上发生位移（单位：），则力所做的功（单位：）满足．当为定值时，与之间的函数关系如图所示． (1)写出关于的函数解析式； (2)在做功相同的情况下，要使物体在力的作用下的位移小于，求力的范围． 12．（22-23九年级上·湖南怀化·期末）某校九年级组织学生到商场参加社会实践活动，他们参与了某种品牌运动鞋的销售工作，已知该运动鞋每双的进价为120元，为寻求合适的销售价格进行了4天的试销，试销情况如下表所示： 第1天 第2天 第3天 第4天 售价（元/双） 150 200 250 300 销售量/（双） 40 30 24 20 (1)观察表中数据，，满足什么函数关系？请求出函数解析式； (2)若商场计划品牌运动鞋每天的销售利润为3000元，则其售价应定为多少元一双？ 13．（22-23九年级上·广西南宁·阶段检测）受新冠肺炎疫情的影响，某化工厂从2022年1月开始产量下降．借此机会，为了贯彻“发展循环经济，提高工厂效益”的绿色发展理念；管理人员对生产线进行为期5个月的升级改造，改造期间的月利润与时间成反比例函数；从6月初开始恢复全面生产后，工厂每月的利润都比前一个月增加10万元．设2022年1月为第1个月，第x（x为正整数）个月的利润为y万元，其图象如图所示，试解决下列问题： (1)分别直接写出该化工厂对生产线进行升级改造前后，y与x的函数表达式，并写出自变量范围； (2)到第几个月时，该化工厂月利润才能再次达到100万元？ (3)当月利润少于50万元时，为该化工厂的资金紧张期，问该化工厂资金紧张期共有几个月？ 14．（26-27九年级上·安徽合肥·期中）生物实践小组搜集了某种植园温室大棚智能控制系统测试阶段时的温度变化，并绘制出大棚内的温度随时间（时）变化的图象，如图所示，点表示智能控制系统在0时启动，此时大棚内的温度为，线段表示升温阶段，线段表示恒温阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段，点表示24时温度降到． (1)求线段及双曲线段的函数解析式（写出自变量取值范围）； (2)求该大棚在时内，温度不低于的时长， 15．（26-27九年级上·河北邯郸·阶段检测）综合与实践 如图，在左边托盘中放置一个固定的重物，在右边托盘中放置一定质量的砝码（可左右移动），可使得仪器左右平衡．改变托盘与点的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到如下表： 托盘与点的距离 托盘中的砝码质量    (1)依据实验得出与的对应点，请你在本题图中画出函数图像，并求出函数解析式； (2)当砝码质量为时，求托盘与点的距离； (3)当托盘向左移动时，为使得仪器在移动前后均保持左右平衡，托盘中的砝码质量需增加至移动前的两倍，求在移动前托盘中的砝码质量． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $