2.2 基本不等式 课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

2.2 基本不等式 复习导入 前面我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式： 有当且仅当时，等号成立. 特别地，如果，，我们用分别代替上式中的，可得 (1) 当且仅当时，等号成立. 通常称不等式(1)为基本不等式.其中，叫做正数的算术平均数.叫做正数的几何平均数. 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 新知探索 上面通过考察的特殊情形获得了基本不等式.能否直接利用不等式的性质推导出基本不等式呢？下面我们来分析一下. 要证 ① 只要证 ② 要证②，只要证 ③ 要证③，只要证 ④ 要证④，只要证 ⑤ 显然，⑤成立，当且仅当时，⑤中的等号成立. 基本不等式及其推导   例析 例.已知都是正数，求证： (1)如果积等于定值，那么当时，和有最小值； (2)如果和等于定值，那么当时，积有最大值 证明：∵都是正数，∴ (1)当积等于定值时，∴ 当且仅当时，上式等号成立. 于是，当时，和有最小值. (2)当和等于定值时， ∴ 当且仅当上式等号成立.于是，当时，积有最大值 积定和最小，和定积最大. ①各项皆为正数； ②和或积为定值； ③注意等号成立的条件. 一“正” 二“定” 三“相等” 利用基本不等式求最值时，要注意 已知 x, y 都是正数, P, S 是常数. (1) xy=P  x+y≥2 P(当且仅当 x=y 时, 取“=”号). (2) x+y=S  xy≤ S2(当且仅当 x=y 时, 取“=”号). 1 4 归纳总结 例析 例1.已知求的最小值. 解：∵∴ 当且仅当即时，等号成立，因此所求的最小值为2. 变式1：把 改为 ，求最值。 变式2：把 改为 ，求最值。 练习 练习 ［素养小结］ 利用基本不等式求最值,必须按照“一正,二定,三相等”的原则. ①一正:基本不等式成立的前提条件为, ; ②二定:化不等式的一边为定值; ③三相等:必须存在取等号的条件,即等号成立的条件. 以上三点缺一不可. 课 中 探 究 10 探究点一 对基本不等式的理解 例1 若,且 ，则下列结论正确的是( ) D A. B. C. D. [解析] 当时，，A错误； 当,时，满足 ，但，B错误； 当,时，满足，但 ，C错误； 因为，所以,，所以，当且仅当 时等号成立，D正确．故选D． 课 中 探 究 11 探究点二 求简单代数式的最值 例2 若，求 的最小值. 解：因为，所以 ， 所以 ，当且仅当，即 时取等号，故 的最小值为 ． 课 中 探 究 12 变式（1） （多选题）下列说法中正确的是( ) AD A.若,,则 B.若，则 C.若,,则 D.若,,,则 课 中 探 究 13 [解析] ,,,当且仅当 时,等号成立,故A正确; ， ，当且仅当 ，即时取等号，显然不成立，故B错误; ,, 当时,不成立,故C错误; ,, ,,当且仅当时,等号成立, 故D正确.故选 . 课 中 探 究 14 （2）[2024·北京丰台区高一期中] 设，则 的最小值为___， 此时 的值是___. 6 2 [解析] ，，当且仅当，即 时取等号， 当时， 取得最小值6. 课 中 探 究 15 $