1.1 集合的概念(两课时) 课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

1.1 集合的概念 复习引入 我们知道方程在有理数范围内无解，但在实数范围内有解.在平面内，所有到定点距离等于定长的点组成了一个圆；而在空间中，所有到定点的距离等于定长的点组成了一个球面.因此，明确研究对象、确定研究范围是研究数学问题的基础.为了简洁、准确地表述数学对象及研究范围，我们需要使用集合的语言和工具. 在小学和初中，我们已经接触过一些集合.例如，自然数（0,1,2,3，……）的集合，同一平面内到定点的距离等于定长的点（圆）的集合等.为了有效地使用集合语言，我们需要进一步了解集合的有关知识.下面从集合的含义开始. 探索新知 思考1：看下面的例1——例6，哪些例子可以组成集合？集合里面的元素分别是什么？（日常生活实例） （1）1~10之间的所有偶数； （2）立德中学今年入学的全体高一学生； （3）所有的正方形； （4）到直线的距离等于定长的所有点； （5）方程的所有实数根； （6）地球上的四大洋. 可以，2,4,6,8,10. 可以，立德中学今年入学的全体高一学生. 可以，所有的正方形. 可以，与平行的直线. 可以，1和2. 可以，太平洋、北冰洋、大西洋、印度洋. 探索新知 一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）. 思考2： （1）1,3,5,7,9,…是“1~10之间的所有偶数”这一集合里面的元素吗？ （2）“较小的数”能组成一个集合吗？ 不是 不能；因为集合的元素具有确定性. 思考3：集合和集合一样吗？ 一样，因为集合的元素具有无序性. 思考4：1,2,1,3,4这五个数组成的集合中有几个元素？ 4个，因为集合的元素具有互异性. 探索新知 集合中元素的三个特性：确定性、无序性、互异性. 只要构成集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的. 探索新知 常用数集的记法： :自然数集（非负整数集） ：正整数集 整数集 有理数集 实数集 我们通常用大写拉丁字母…表示集合,用小写拉丁字母…表示元素. 如果是集合的元素,就说属于集合记作;如果不是集合的元素,就说不属于集合记作. （教材P5，练习1） 判断下列元素的全体是否组成集合，并说明理由： （1）A，B是平面内的定点，在平面内与A，B等距离的点； （2）高中学生中的游泳能手。 练习 【诊断分析】 1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）中国著名的科学家可以组成一个集合.( ) × [解析] 中国著名的科学家是不确定的,不能组成集合. （2）参加2023年杭州亚运会乒乓球比赛的球队可以组成一个集合.( ) √ [解析] 参加2023年杭州亚运会乒乓球比赛的球队是确定的,可以组成一个集合. （3）不超过2024的非负数可以组成一个集合.( ) √ [解析] 任给一个实数,可以明确地判断 是不是“不超过2024的非负数”,故不超过 2024的非负数可以组成一个集合. 课 前 预 习 8 2.某中学2023级高一年级共8个班，这8个班组成一个集合 . （1）高一（2）班、高二（8）班是集合 中的元素吗? 解：因为集合是由2023级高一年级的8个班组成的,所以高一（2）班是集合 中 的元素,高二（8）班不是集合 中的元素. （2）若,,则元素, 有什么关系?为什么? 解：,是高一年级的8个班中两个不同的班.因为集合 中的元素具有互异性,所 以与 是不同的班. 课 前 预 习 9 探究点一 元素与集合的含义 例1（1） 下列各项中，不可以组成集合的是( ) C A.所有的正数 B.方程 的实数根 C.接近于0的数 D.不等于0的偶数 （2）（多选题）下列各组对象可以组成集合的是( ) ACD A.二十四节气 B.2024年高考数学难题 C.中国科学院院士（截至2023年8月） D.中国的自治区 课 中 探 究 10 例2（1） 用符号“ ”或“ ”填空：0___；___；2.4___；___ ；4 ___ . [解析] 因为是自然数集，是有理数集，是整数集，所以, , ,, . （2）已知集合是由形如（其中, ）的数组成的,则下列数中属 于集合 的是______.（填序号） ；；； . ①② 课 中 探 究 11 ［素养小结］ （1）判断元素能否组成集合，关键是集合中元素的确定性，即能否找到一个明 确的评判标准来衡量元素是否为集合中的元素，若标准明确则可以组成集合， 否则不可以. （2）判断一个元素是否属于某一集合，就是判断这个元素是否满足该集合元素 的条件.若满足，就是“属于”关系；若不满足，就是“不属于”关系.特别注意，符 号“ ”与“ ”只表示元素与集合的关系. 课 中 探 究 12 变式（1） （多选题）下列说法正确的是( ) AC A. 中最小的数是1 B.若，则 C.若，，，则 的最小值是3 D. 的实数解组成的集合中含有2个元素 [解析] 对于A，中最小的数是1，故A正确； 对于B，，且 ，故B错误； 对于C，若，，，则的最小值是 ，故C正确； 对于D， 的实数解组成的集合中含有一个元素2，故D错误．故选 . 课 中 探 究 13 （2）设集合满足：；②若，则.已知，则 中 必含有的元素是_____________. ，，， [解析] 由，得； 由，得； 由 ，得； 由，得. 所以中必含有的元素是，， ，3. 课 中 探 究 14 探索新知 常用数集的记法： :自然数集（非负整数集） ：正整数集 整数集 有理数集 实数集 我们可以用自然语言描述一个集合.除此之外，还可以用什么方式来表示集合呢？ 我们通常用大写拉丁字母…表示集合,用小写拉丁字母…表示元素. 如果是集合的元素,就说属于集合记作;如果不是集合的元素,就说不属于集合记作. 探索新知 “地球上的四大洋”组成的集合可以表示为；“方程的所有实数根”组成的集合可以表示为 列举法：把集合中的所有元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法. 注：二元方程组的解集，函数图象上的点构成的集合都是点的集合，一定要写成实数对的形式，元素与元素之间用“，”隔开.如. 例析 例1.用列举法表示下列集合： (1)小于10的所有自然数组成的集合； (2)方程的所有实数根组成的集合. 解：(1)设小于10的所有自然数组成的集合为A， 那么A= (2)设方程的所有实数根组成的集合为B, 那么B= 思考5：尝试用列举法表示的解集.你有什么发现？ 探索新知 不等式的解是,因为满足的实数解有无数个，所以 的解集无法用列举法表示.但是，我们可以利用解集中元素的共同特征，即：是实数，且,把解集表示为 又比如，奇数集的共同特征是除以2的余数为1，即 描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法. 注：(1)先看竖线前的代表元素，明确研究的对象；再看竖线后的共同特征; (2)若需要多层次描述属性，可选用“且”“或”连接； (3)若描述部分出现元素记号以外的参数，则要说明参数的含义或指出取值范围. 思考5：尝试用列举法表示的解集.你有什么发现？ 例析 例2.试分别用描述法和列举法表示下列集合： (1)方程的所有实数根组成的集合A； (2)由大于10且小于20的所有整数组成的集合B. 解：(1)设,则是一个实数，且.因此，用描述法表示为 方程有两个实数根，因此，用列举法表示为 (2)设,则是一个整数，即且因此，用描述法表 示为 大于10且小于20的整数有11,12,13,14,15,16,17,18,19，因此，用列举法表示为 例析 我们约定，如果从上下文的关系看，是明确的，那么可以省略，只写其元素. 例如，集合也可表示为；集合也可表示为. 教材P5，练习 练习 探究点三 集合的表示 角度一 列举法表示集合 例4 用列举法表示下列集合. （1）中国的直辖市组成的集合; 解：中国的直辖市组成的集合为{北京市，天津市，上海市，重庆市}. （2）15的正约数组成的集合; 解：15的正约数组成的集合为 . （3）方程 的所有实数解组成的集合; 解：由得或,所以方程的所有实数解组成的集合为 . 课 中 探 究 22 （4）直线与 的交点组成的集合； 解：由解得即两直线的交点为 , 故所求集合为 . （5）满足且 的数组成的集合. 解：因为，，所以， ，0，1，2，3，所以所求集合 为，，0，1，2， . 课 中 探 究 23 ［素养小结］ 用列举法表示集合应注意的三点： （1）应先弄清集合中的元素是什么，是数还是点，还是其他元素； （2）集合中的元素一定要写全，但不能重复； （3）若集合中的元素是点，则应将有序实数对用小括号括起来表示一个元素. 课 中 探 究 24 角度二 描述法表示集合 例5 用描述法表示下列集合. （1）二次函数的函数值组成的集合 ； 解：函数值组成的集合就是的取值组成的集合，所以， }. （2）被3除余2的正整数组成的集合 ； 解：设被3除余2的正整数为,则,,所以, }. （3）正奇数组成的集合 . 解：正奇数可用式子,表示,所以, . 课 中 探 究 25 变式 用适当的方法表示下列集合. （1）绝对值小于5的全体实数组成的集合； 解：绝对值小于5的全体实数组成的集合可表示为 ． （2）由所有小于13的既是奇数又是素数的自然数组成的集合； 解：小于13的既是奇数又是素数的自然数有4个，分别为3,5,7,11，故所求集合 可用列举法表示为 ． （3）除以3余1的所有整数组成的集合； 解：除以3余1的所有整数组成的集合可表示为， }. 课 中 探 究 26 （4）抛物线 上点的纵坐标组成的集合； 解：设抛物线上点的纵坐标组成的集合为，则， }. （5）二次函数 的图象上所有的点组成的集合． 解：二次函数 的图象上所有的点组成的集合中，代表元素为有 序实数对，其中，满足 ，由于点有无数个，故可用描 述法表示为， }． ［素养小结］ （1）用描述法表示集合，应先弄清集合的属性，是数集、点集还是其他的类型. 一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序实数对来代表其元素. （2）若描述部分出现元素记号以外的字母时，则要对新字母说明其含义或指出 其取值范围. 课 中 探 究 27 探究点二 集合中元素的特性 例3（1） 英文单词 的所有字母组成的集合中共有( ) A A.6个元素 B.7个元素 C.8个元素 D.9个元素 [解析] 的所有字母组成的集合是由,,,,, 组成的，共有6个元素.故选A. （2）已知集合,,，且，则 ( ) D A. B.或 C.3 D. [解析] 由集合,,，得，解得 且 ，显然. 由，得，又，故 ， 当时，,,，符合题意，所以 .故选D. 课 中 探 究 28 变式（1） 已知集合中含有三个元素,,1,集合中含有三个元素 , ,,且与中的元素相同,则实数 的值为____. [解析] 与中的元素相同,或解得 . 当时,不符合集合中元素的互异性, . 课 中 探 究 29 （2）若集合中只含有一个元素，则 的值为_________． 或 [解析] 由题意知 只有一个实数根. ①当时，即为，解得 ，此时集合 即为，故 ； ②当时，由，得，此时集合 即为 ，故. 所以的值为或 . 课 中 探 究 30 ［素养小结］ （1）对于求集合中字母参数的问题,常根据集合中元素的确定性得出字母的所 有可能取值,再利用集合中元素的互异性进行检验. （2）在利用集合中元素的特性解题时常用分类讨论思想,注意分类的标准要明确. 课 中 探 究 31 课堂小结 1.集合的概念； 2.集合中元素的特性； 3.集合与元素的关系； 4.常用数集； 5.集合的表示方法. 练习 练习 $