13.3.2 三角形的外角课件 2026-2027学年人教版数学八年级上册

# 人教版八年级上册 13.3.2 三角形的外角 专项练习 （全文约1500字\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC\(\because \angle A=50^\circ，\therefore \angle P=25^\circ\)\angle PCD=\dfrac12\angle ACD\)可直接打印） ## 知识要点速记 1. **三角形外角定义**：三角形的一边与另一边的延长线组成的角\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC\(\because \angle A=50^\circ，\therefore \angle P=25^\circ\)\angle PCD=\dfrac12\angle ACD\)叫做三角形的外角。 一个三角形有6个外角\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC\(\because \angle A=50^\circ，\therefore \angle P=25^\circ\)\angle PCD=\dfrac12\angle ACD\)每个顶点处有2个外角（对顶角相等）\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC\(\because \angle A=50^\circ，\therefore \angle P=25^\circ\)\angle PCD=\dfrac12\angle ACD\)通常每个顶点只取一个外角研究。 2. **外角定理（核心）**：三角形的外角等于与它**不相邻的两个内角的和**。 符号语言：在$\triangle ABC$中\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC\(\because \angle A=50^\circ，\therefore \angle P=25^\circ\)\angle PCD=\dfrac12\angle ACD\)延长$BC$到$D$\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC\(\because \angle A=50^\circ，\therefore \angle P=25^\circ\)\angle PCD=\dfrac12\angle ACD\)$\angle ACD=\angle A+\angle B$。 3. **推论**：三角形的外角大于任意一个与它不相邻的内角。即$\angle ACD>\angle A$\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC\(\because \angle A=50^\circ，\therefore \angle P=25^\circ\)\angle PCD=\dfrac12\angle ACD\)$\angle ACD>\angle B$。 4. **三角形外角和**：三角形三个外角的和等于$\boldsymbol{360^\circ}$。 5. **解题常用搭配** - 外角 + 内角和$180^\circ$； - 外角 + 角平分线； - 外角 + 直角三角形互余； ⚠️易错提醒：外角是和**不相邻**的两个内角相加\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC\(\because \angle A=50^\circ，\therefore \angle P=25^\circ\)\angle PCD=\dfrac12\angle ACD\)不能包含相邻内角；相邻内角和外角互补（和为$180^\circ$）。 ## 一\(50^\circ\(\because BP、CP\)70^\circ\)基础过关（判断+填空+选择） ### 判断题（对√\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC\(\because \angle A=50^\circ，\therefore \angle P=25^\circ\)\angle PCD=\dfrac12\angle ACD\)错×） 1. 三角形的外角等于两个内角的和。（） 2. 三角形的外角一定大于任何一个内角。（） 3. 三角形的一个外角和它相邻的内角互补。（） 4. 一个三角形一共有3个外角。（） 5. 三角形的三个外角之和是$360^\circ$。（） ### 填空题 6. 在$\triangle ABC$中\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC\(\because \angle A=50^\circ，\therefore \angle P=25^\circ\)\angle PCD=\dfrac12\angle ACD\)延长$BC$至$D$\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC\(\because \angle A=50^\circ，\therefore \angle P=25^\circ\)\angle PCD=\dfrac12\angle ACD\)$\angle A=40^\circ$\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC\(\because \angle A=50^\circ，\therefore \angle P=25^\circ\)\angle PCD=\dfrac12\angle ACD\)$\angle B=50^\circ$\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC\(\because \angle A=50^\circ，\therefore \angle P=25^\circ\)\angle PCD=\dfrac12\angle ACD\)则外角$\angle ACD=$______$^\circ$。 7. 三角形一个外角是$120^\circ$\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC\(\because \angle A=50^\circ，\therefore \angle P=25^\circ\)\angle PCD=\dfrac12\angle ACD\)和它相邻的内角等于______$^\circ$。 8. 已知三角形一个外角为$105^\circ$\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC\(\because \angle A=50^\circ，\therefore \angle P=25^\circ\)\angle PCD=\dfrac12\angle ACD\)其中一个不相邻内角是$42^\circ$\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC\(\because \angle A=50^\circ，\therefore \angle P=25^\circ\)\angle PCD=\dfrac12\angle ACD\)则另一个不相邻内角为______$^\circ$。 9. 三角形三个外角的和等于______$^\circ$。 10. 在$\triangle ABC$中\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC\(\because \angle A=50^\circ，\therefore \angle P=25^\circ\)\angle PCD=\dfrac12\angle ACD\)$\angle A=35^\circ$\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC\(\because \angle A=50^\circ，\therefore \angle P=25^\circ\)\angle PCD=\dfrac12\angle ACD\)$\angle B=60^\circ$\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC\(\because \angle A=50^\circ，\therefore \angle P=25^\circ\)\angle PCD=\dfrac12\angle ACD\)则与$\angle C$相邻的外角为______$^\circ$。 ### 选择题 11. 在$\triangle ABC$中\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC\(\because \angle A=50^\circ，\therefore \angle P=25^\circ\)\angle PCD=\dfrac12\angle ACD\)延长$AB$到$D$\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC\(\because \angle A=50^\circ，\therefore \angle P=25^\circ\)\angle PCD=\dfrac12\angle ACD\)$\angle A=50^\circ$\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC\(\because \angle A=50^\circ，\therefore \angle P=25^\circ\)\angle PCD=\dfrac12\angle ACD\)$\angle C=70^\circ$\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC\(\because \angle A=50^\circ，\therefore \angle P=25^\circ\)\angle PCD=\dfrac12\angle ACD\)则$\angle CBD=$（） A.$50^\circ$ B.$70^\circ$ C.$120^\circ$ D.$130^\circ$ 12. 若三角形的一个外角小于与它相邻的内角\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC\(\because \angle A=50^\circ，\therefore \angle P=25^\circ\)\angle PCD=\dfrac12\angle ACD\)则这个三角形是（） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定 13. 如图\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC\(\because \angle A=50^\circ，\therefore \angle P=25^\circ\)\angle PCD=\dfrac12\angle ACD\)在$\triangle ABC$中\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC\(\because \angle A=50^\circ，\therefore \angle P=25^\circ\)\angle PCD=\dfrac12\angle ACD\)下列角度关系正确的是（） A.$\angle 1=\angle A+\angle B$ B.$\angle 1=\angle B$ C.$\angle 1=\angle A$ D.$\angle 1=\angle A-\angle B$ 14. 三角形的外角不可能是（） A.锐角 B.直角 C.钝角 D.平角 ## 二\(50^\circ\(\because BP、CP\)70^\circ\)中档解答题 15. 如图\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC\(\because \angle A=50^\circ，\therefore \angle P=25^\circ\)\angle PCD=\dfrac12\angle ACD\)在$\triangle ABC$中\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC\(\because \angle A=50^\circ，\therefore \angle P=25^\circ\)\angle PCD=\dfrac12\angle ACD\)延长$BC$到点$D$\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC\(\because \angle A=50^\circ，\therefore \angle P=25^\circ\)\angle PCD=\dfrac12\angle ACD\)$\angle A=55^\circ$\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC\(\because \angle A=50^\circ，\therefore \angle P=25^\circ\)\angle PCD=\dfrac12\angle ACD\)$\angle B=45^\circ$\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC\(\because \angle A=50^\circ，\therefore \angle P=25^\circ\)\angle PCD=\dfrac12\angle ACD\)求外角$\angle ACD$的度数。 16. 已知：三角形一个外角是$130^\circ$\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC\(\because \angle A=50^\circ，\therefore \angle P=25^\circ\)\angle PCD=\dfrac12\angle ACD\)和它不相邻的一个内角是$60^\circ$\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC\(\because \angle A=50^\circ，\therefore \angle P=25^\circ\)\angle PCD=\dfrac12\angle ACD\)求另外两个内角的度数。 17. 在$\triangle ABC$中\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC\(\because \angle A=50^\circ，\therefore \angle P=25^\circ\)\angle PCD=\dfrac12\angle ACD\)$AD$平分$\angle BAC$\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC\(\because \angle A=50^\circ，\therefore \angle P=25^\circ\)\angle PCD=\dfrac12\angle ACD\)$\angle B=40^\circ$\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC\(\because \angle A=50^\circ，\therefore \angle P=25^\circ\)\angle PCD=\dfrac12\angle ACD\)$\angle ADC=80^\circ$\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC\(\because \angle A=50^\circ，\therefore \angle P=25^\circ\)\angle PCD=\dfrac12\angle ACD\)求$\angle BAC$的度数。 18. 在$\triangle ABC$中\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC\(\because \angle A=50^\circ，\therefore \angle P=25^\circ\)\angle PCD=\dfrac12\angle ACD\)$\angle A:\angle B:\angle C=2:3:4$\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC\(\because \angle A=50^\circ，\therefore \angle P=25^\circ\)\angle PCD=\dfrac12\angle ACD\)求与$\angle A$相邻的外角的度数。 ## 三\(50^\circ\(\because BP、CP\)70^\circ\)拓展提升题 19. 如图\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC\(\because \angle A=50^\circ，\therefore \angle P=25^\circ\)\angle PCD=\dfrac12\angle ACD\)$\triangle ABC$中\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC\(\because \angle A=50^\circ，\therefore \angle P=25^\circ\)\angle PCD=\dfrac12\angle ACD\)$BP$平分$\angle ABC$\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC\(\because \angle A=50^\circ，\therefore \angle P=25^\circ\)\angle PCD=\dfrac12\angle ACD\)$CP$平分外角$\angle ACD$\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC\(\because \angle A=50^\circ，\therefore \angle P=25^\circ\)\angle PCD=\dfrac12\angle ACD\)$\angle A=50^\circ$\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC\(\because \angle A=50^\circ，\therefore \angle P=25^\circ\)\angle PCD=\dfrac12\angle ACD\)求证：$\angle P=\dfrac12\angle A$\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC\(\because \angle A=50^\circ，\therefore \angle P=25^\circ\)\angle PCD=\dfrac12\angle ACD\)并求出$\angle P$度数。 20. 已知：如图\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC\(\because \angle A=50^\circ，\therefore \angle P=25^\circ\)\angle PCD=\dfrac12\angle ACD\)求星形图$\angle A+\angle B+\angle C+\angle D+\angle E$的度数（利用外角转化）。 ## 参考答案 1. ×（缺少“不相邻”） 2. ×（外角小于相邻钝角内角） 3. √ 4. ×（一共6个外角） 5. √ 6. $90$ 7. $60$ 8. $63$ 9. $360$ 10. $95$ 11. C 12. C 13. A 14. D 15. 解：根据三角形外角定理 $\angle ACD=\angle A+\angle B=55^\circ+45^\circ=100^\circ$ 答：$\angle ACD=100^\circ$。 16. 解：和外角相邻内角：$180^\circ-130^\circ=50^\circ$ 外角等于两个不相邻内角之和\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC\(\because \angle A=50^\circ，\therefore \angle P=25^\circ\)\angle PCD=\dfrac12\angle ACD\) 另一个不相邻内角：$130^\circ-60^\circ=70^\circ$ 答：另外两个内角为$50^\circ\(50^\circ\(\because BP、CP\)70^\circ\)70^\circ$。 17. 解：$\angle ADC$是$\triangle ABD$的外角 $\angle ADC=\angle B+\angle BAD$ $\angle BAD=\angle ADC-\angle B=80^\circ-40^\circ=40^\circ$ $\because AD$平分$\angle BAC$ $\therefore \angle BAC=2\angle BAD=80^\circ$ 答：$\angle BAC=80^\circ$。 18. 解：设$\angle A=2x\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC\(\because \angle A=50^\circ，\therefore \angle P=25^\circ\)\angle PCD=\dfrac12\angle ACD\)\angle B=3x\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC\(\because \angle A=50^\circ，\therefore \angle P=25^\circ\)\angle PCD=\dfrac12\angle ACD\)\angle C=4x$ $2x+3x+4x=180^\circ\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC\(\because \angle A=50^\circ，\therefore \angle P=25^\circ\)\angle PCD=\dfrac12\angle ACD\)9x=180^\circ\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC\(\because \angle A=50^\circ，\therefore \angle P=25^\circ\)\angle PCD=\dfrac12\angle ACD\)x=20^\circ$ $\angle A=40^\circ$\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC\(\because \angle A=50^\circ，\therefore \angle P=25^\circ\)\angle PCD=\dfrac12\angle ACD\)相邻外角$=180^\circ-40^\circ=140^\circ$ 答：与$\angle A$相邻外角是$140^\circ$。 19. 解： $\because \angle ACD=\angle A+\angle ABC$\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC\(\because \angle A=50^\circ，\therefore \angle P=25^\circ\)\angle PCD=\dfrac12\angle ACD\)$\angle PCD=\angle P+\angle PBC$ $\because BP\(50^\circ\(\because BP、CP\)70^\circ\)CP$是角平分线 $\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC\(\because \angle A=50^\circ，\therefore \angle P=25^\circ\)\angle PCD=\dfrac12\angle ACD\)\angle PCD=\dfrac12\angle ACD$ $\dfrac12(\angle A+\angle ABC)=\angle P+\dfrac12\angle ABC$ 化简得：$\angle P=\dfrac12\angle A$ $\because \angle A=50^\circ\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC\(\because \angle A=50^\circ，\therefore \angle P=25^\circ\)\angle PCD=\dfrac12\angle ACD\)\therefore \angle P=25^\circ$ 答：$\angle P=25^\circ$。 20. 解：利用外角\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC\(\because \angle A=50^\circ，\therefore \angle P=25^\circ\)\angle PCD=\dfrac12\angle ACD\)把分散的角集中到一个三角形中\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC\(\because \angle A=50^\circ，\therefore \angle P=25^\circ\)\angle PCD=\dfrac12\angle ACD\) 最终$\angle A+\angle B+\angle C+\angle D+\angle E=180^\circ$。 答：和为$180^\circ$。 ## 解题小结 1. 核心公式：外角=不相邻两内角之和；外角＞任一不相邻内角；外角+相邻内角=$180^\circ$； 2. 看到外角优先用外角定理\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC\(\because \angle A=50^\circ，\therefore \angle P=25^\circ\)\angle PCD=\dfrac12\angle ACD\)比内角和计算更快； 3. 经典模型：**内外角平分线模型** $\angle P=\dfrac12\angle A$\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC\(\because \angle A=50^\circ，\therefore \angle P=25^\circ\)\angle PCD=\dfrac12\angle ACD\)选择填空直接用； 4. 多角求和（五角星\(50^\circ\(\because BP、CP\)70^\circ\)折线图）\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC\(\because \angle A=50^\circ，\therefore \angle P=25^\circ\)\angle PCD=\dfrac12\angle ACD\)常用外角把角转移\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC\(\because \angle A=50^\circ，\therefore \angle P=25^\circ\)\angle PCD=\dfrac12\angle ACD\)汇聚到同一个三角形。 下一节是**多边形及其内角和**\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC\(\because \angle A=50^\circ，\therefore \angle P=25^\circ\)\angle PCD=\dfrac12\angle ACD\)需要我继续出13.4的专项练习吗？ 人教版数学（新教材）八年级上册 13.3.2 三角形的外角 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/28 第十三章 三角形 我命由我不由天，是魔是仙，我自己说了算。少年不必畏惧难题与非议，沉下心勤学笃行，不认命、不服输，用汗水改写前路，活出属于自己的光彩。 理解并掌握三角形的外角的概念，能够在复杂图形中找出外角. 掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和及三角形的内角和． 会利用三角形的外角性质解决问题. 同学们，假设现在我们在一个巨大的三角形广场游玩.从顶点 A 出发，依次沿着 AB、BC、CA 边走回起点，这三次转身的角度藏着什么秘密？今天，就让我们一起探索三角形外角的性质！ A B C 情境导入 知识回顾 1. 三角形内角和定理是什么？ 三角形的内角和等于180° 2.在△ABC中，∠A=80°，∠B=52°，则∠C = . 3.在△ABC中，∠A=70°，∠B=50°，则∠C = . 60° 48° 4 新知导入 如图，把△ABC 的一边 BC 延长，得到∠ACD. 外角 B A C D 三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角. 5 探究新知 外角 B A C D E 外角 1.延长 AC 到 E，∠BCE 是不是△ABC 的一个外角？ 是 2.∠DCE 是不是△ABC 的一个外角？ 不是 三角形的外角应具备的条件: ① 角的顶点是三角形的顶点 ② 角的一边是三角形的一边 ③ 另一边是三角形中一边的延长线 6 1.下图中 是三角形的一个外角的是( ) D A. B. C. D. 返回 举一反三 7 2.如图， 的外角是_______、_______. 返回 举一反三 8 练一练 F A B C D E 如图，∠BEC 是哪个三角形的外角？∠AEC 是哪个三角形的外角？∠EFD 是哪个三角形的外角？说一说图中还有外角吗？ ∠BEC 是△AEC 的外角； ∠AEC 是△BEC 的外角； ∠EFD 是△BEF 和△DCF的外角. 9 探究新知 A B C 三角形共有几个外角？ 每一个三角形都有 6 个外角． 每一个顶点相对应的外角都有 2个， 且这2个角为对顶角. 10 探究新知 如图，在△ABC 中，∠A = 70°，∠B = 60°， ∠ACD是 △ABC的一个外角，能由∠A，∠B求出∠ACD的度数吗？如果能， ∠ACD 与∠A，∠B 有什么关系呢？ 60° 70° B A C D ∠ACD = 180° -∠ACB = 180° - (180°-∠A -∠B) = ∠A +∠B = 130° . ∠ACD =∠A +∠B 11 探究新知 【思考】任意一个三角形的外角与其不相邻的两个内角是否都具有这种关系？ 三角形的外角 A C B D 相邻的内角 不相邻的内角 证明： ∵∠A +∠B+∠ACB=180°，∠BCD +∠ACB=180° ∴∠A+∠B=∠BCD. 归纳总结 一般地，由三角形内角和定理可以推出下面的推论： 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 符号语言 ∵∠ACD 是△ABC 的外角， ∴∠ACD = ∠A +∠B. D C B A 推论是由定理直接推出的结论．和定理一样，推论可以作为进一步推理的依据. 探究新知 由推论可知 ∠ACD =∠A+∠B D C B A ∵∠A＞0，∠B＞0， ∴∠ACD＞∠A，∠ACD＞∠B. 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角. 例题练习 如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC 的三个外角，它们的和是多少？ D C B A 1 3 2 E F 解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得 ∠BAE =∠2 +∠3， ∠CBF =∠1 +∠3， ∠ACD =∠1 +∠2， ∴∠BAE +∠CBF +∠ACD = 2(∠1 +∠2 +∠3). 由∠1 +∠2 +∠3 = 180°，得，∠BAE +∠CBF +∠ACD = 2× 180°=360°. 你还有其他解法吗？ 例题练习 如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC 的三个外角，它们的和是多少？ 解法二：如图，∠BAE+∠1=180 ° ① ， ∠CBF +∠2=180 ° ②， ∠ACD +∠3=180 ° ③， 又知∠1+ ∠2+ ∠3=180 °， ①+ ②+ ③得， ∠BAE + ∠CBF + ∠ACD +(∠1+ ∠2+ ∠3) = 540 °， 所以，∠BAE + ∠CBF + ∠ACD = 540 °- 180°= 360°. D C B A 1 3 2 E F 归纳总结 三角形的每个顶点处有两个外角，它们相等，所以每个顶点处只取一个外角(按同一个方向取三个角)，把它们的和叫做三角形的外角和. 三角形的外角和等于 360°. D C B A 1 3 2 E F 17 3.如图， ， ，则 的度数是( ) A A. B. C. D. 返回 举一反三 18 5.如图，若 ，则 的度数为( ) B A. B. C. D. 返回 4.［保定期中］某建筑工具是如图所示的人字架， 若 ，则比 大( ) B A. B. C. D. 举一反三 19 返回 6. 如图，，点，， 在同一直线上，若 ， ，则 的度数是( ) B A. B. C. D. 举一反三 20 小结 定义：三角形的一边与另外一边的延长线所组成的角 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 三角形外角和：三角形的外角和等于360° 三角形的外角 谢谢观看 THANKS $