福建省南安第一中学2026-2027学年高三上学期第一次阶段考数学试题

南安一中2026-2027学年度高三年第一次阶段考 数学科试卷 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合,若,则( ). A. B. 0 C. 1 D. 或0 2. 的值为( ) A. B. C. D. 3.已知幂函数在上单调递减,则( ) A. B. C. D. 4. 已知函数,若,则( ). A. 1 B. 3 C. 5 D. 6 5. 在平面直角坐标系中,角与的终边关于直线对称,的终边经过点,则的值为( ). A. B. C. D. 6. 设,,,则的最小值为( ) A. B. C. D. 3 7. 直线是曲线和的公切线,则斜率的最小值为( ) A. 1 B. C. D. 8. 若集合S,T中至少有2个元素,且S,T满足:①对于任意的,若,则;②对于任意的,若,则.若S有3个元素,则T可能有( ) A.2个元素 B.3个元素 C.4个元素 D.5个元素 二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9. 已知实数满足,则( ) A. B. C. D. 10. 如图是函数的部分图象,则下列结论正确的是( ) A. B. 的图象关于中心对称 C. 在上单调递增 D. 的图象向左平移个单位长度后为奇函数 11. 对于函数,下面说法正确的有( ) A.当时,函数有两个零点 B.当时,函数不存在极值点 C.当最小值为时, D.当时,函数在区间单调递减 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12. 已知,,,,则等于. 13.已知为上的奇函数,且,当时,,则. 14. 函数,若在上无零点,则的取值范围是. 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. (1)当时,求的单调区间; (2)若是函数的一个极值点,求在区间上的最小值. 16. 某校要在一条水泥路边安装路灯,其中灯杆的设计如图所示,为地面,,为路灯灯杆,,,在处安装路灯,且路灯的照明张角,现已知m,m. (1)当,重合时,求路灯在路面的照明宽度; (2)求此路灯在路面上的照明宽度的最小值. 17.在中,角A,B,C所对的边分别为,且. (1)求B; (2)已知D为边AB上的一点,且. ( )若,,求AC的长;( )求的取值范围. 18. 已知函数. (1)若,求的单调区间; (2)若有且仅有1个零点,求的值; (3)若存在,使得对任意恒成立,证明:. 19. 已知函数的定义域是D.对于,定义集合. (1)若,求; (2)对于集合A,若对任意都有,则称A是对称集.若D是对称集,证明:“函数是偶函数”的充要条件是“对任意,是对称集”; (3)若函数的定义域为,对任意,.试求b的取值范围,使得对于任意,都有. 第1页/共4页 学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司 南安一中2026-2027学年度高三年第一次阶段考数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B B C C D C B B BC AC BCD 7. 【详解】设直线与切于,与切于. 求导得,,因此公切线斜率, 整理得①. 的切线方程为;的切线方程为. 同一直线截距相等,消去同类项得②,将①代入②, 得关于的函数. 对求导得,令,得, 当时,,单调递减;当时,,单调递增. 因此时取最小值,即. 8. B【详解】若S有3个元素,不妨设,其中, 由①知,则必有 由②知,,显然有, 若,则,此时中有元素,则符合, 此时T中有3个元素; 若,则有即, 此时中有3个元素,综上T中有3个元素.故选:B 10. AC【详解】对于A,由得,由得, 由得,故, 化简得,由图可知该函数的周期,故,解得,所以,故A正确; 对于B,由,得不是函数的对称中心,故B错误; 对于C,由,可得, 由,得函数在上单调递增,故C正确; 对于D,的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象,此时为偶函数,故D错误. 11. 【详解】函数的定义域为,, 当时,,解得, 不妨取,当时,,函数在上单调递减, 当时,,函数在上单调递增, , 易知当时,函数,此时函数只有一个零点,故A错误; 当时,若,因,则,,则在上单调递增,无极值点;若,因,则,,则在上单调递减,无极值点;综上,当时,函数不存在极值点,故B正确; 由A项分析可知,当最小值为时,有, ,即,令,则,即, 令,,当时,,当时, 所以在上单调递增,在上单调递减,则,的解为,即,,此时,即,故C正确; 当时,函数 由,可得,即函数的定义域为, 则,因, 则, 故当时,,即在上单调递减,故D正确. 12. 13.【详解】因为函数是奇函数,所以, 所以,即,所以函数是周期的函数, ,因为,所以, 所以. 14.【详解】由题意得,得,由,得,因为在上无零点,所以(),解得(),当时,,当时,,当时,无解,因为,所以或, 所以的取值范围是 15. 【小问1详解】当时,, 求导得分 令,即,整理得, 解得或分 当时,,函数单调递减;当时,,函数单调递增;当时,,函数单调递减分 故的增区间为,减区间为和分 【小问2详解】对求导得, 因为是的极值点, 故, 代入得,解得分 此时,, 令,解得或,两点均属于区间分 单调性分析: 当时,,单调递减; 当时,,单调递增; 当时,,单调递减分 由单调性可知,最值出现在端点和极值点处,计算如下: , , , , 比较得最小值为分 16. 【小问1详解】当,重合时,由余弦定理知 分 所以, 分 因为,所以 因为,所以, 分 因为,所以分 ∴在中,由正弦定理可知,,解得m分 【小问2详解】易知到地面的距离分 所以,所以分 由余弦定理可知,,分 当且仅当时“=”成立.所以,解得m分 17.【小问1详解】由题意知,又由正弦定理得,所以分 又,所以,所以,所以,分 因为,所以,所以,又因为,所以分 【小问2详解】( )因为,根据余弦定理得,所以,分 因为,所以,分 在中,由正弦定理知,,即,所以, 进而,分 所以故分 ( )因为,所以分 在中,由正弦定理得,所以 又在中,;分 所以,分 因为,所以,所以, 所以的取值范围是分 18.【小问1详解】当时,,定义域为, 求导得到分 令,则当时, 所以在内单调递减,且分 即在内单调递减,且,所以当时,,函数单调递增;当时,,函数单调递减;综上所述,单调递增区间为 ,单调递减区间为分 (2)因为有且仅有1个零点,所以方程有且仅有1个解,即有且仅有1个解分 令, ,则分 令,则,所以在区间 上单调递增,又因为,所以当 时,,即,单调递减;当 时,,即,单调递增,所以函数在处取得极小值也是最小值分 当时,,时,,因为有且仅有1个解,所以分 (3)因为对任意恒成立,所以,即, 因此,要证,只需证明即可分 对函数求导得到,令,则, 所以在区间单调递减,即在区间单调递减且存在唯一点,满足,即,分 在内函数单调递增,内函数单调递减, 所以当时取得极大值也是最大值. 因此分 令,则, 当时,,单调递增,当时,,单调递减,故在时取得最大值, 因此分 所以,所以, 故得证分 19.【小问1详解】 分 【小问2详解】必要性:因为是偶函数,所以任意,, 对任意,若,即,则, 所以,所以对任意,是对称集分 充分性:若对任意,是对称集, 因为对任意,,所以,即①, 又,所以,即②. 由①②得,对任意,, 所以函数是偶函数. 分 综上,“函数是偶函数”的充要条件是“对任意,是对称集”,得证. 【小问3详解】因为对于任意,都有, 所以若,则,即若,则, 所以,所以在上单调不减,分 所以恒成立. 分 . 当时,,等号仅当时成立,所以单调递增,而,所以对任意,; 分 当时,若满足,即时,,而,因此当时,,不合题意 综上,的取值范围为分 第 1 页 共 8页 高三上一阶数学答案 学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司 $