6.5 二次函数与一元二次方程之间的关系（第2课时）（教学课件）数学新教材苏科版九年级下册

6.5 二次函数与一元二次方程（2） 第六章 二次函数 学 习 目 标 1 2 进一步理解二次函数图象与一元二次方程根之间的关系． 掌握利用二次函数图象求一元二次方程近似根的方法（中点逼近法）的一般步骤． 3 能根据要求控制误差，求出满足误差要求的近似根． 知识回顾 二次函数 y＝ax2＋bx＋c与一元二次方程 ax2＋ bx＋c＝0有怎样的关系？ 二次函数 y＝ax2＋bx＋c 中，当 y＝0时，x 的值 一元二次方程 ax2＋ bx＋c＝0的解 二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象 与 x 轴的公共点的横坐标 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解 “数” “形” 问题引入 二次函数 y＝x2＋2x－5 的图象与 x 轴交点的横坐标是哪个方程的根？ 根据图象，你能说出这个方程的根吗？ y＝x2＋2x－5 3 -1 -2 1 2 -1 -2 O 1 2 x y 3 -3 4 4 -4 -3 -4 -5 -6 M N 二次函数 y＝x2＋2x－5 的图象与 x 轴交点的横坐标是一元二次方程 x2＋2x－5＝0的根． 借助二次函数图象，只能说出这个方程根的取值范围． 从图可以看出，二次函数 y＝x2＋2x－5 的图象与 x 轴有两个公共点，它们分别位于点 (1，0) 与 (2，0) 之间，点(－4，0) 与 (－3，0) 之间，所以一元二次方程 x2＋2x－5＝0 有两个实数根 x1，x2，分别介于实数1与2之间，－4与－3之间． 新知探究 y＝x2＋2x－5 3 -1 -2 1 2 -1 -2 O 1 2 x y 3 -3 4 4 -4 -3 -4 -5 -6 M N 根据二次函数 y＝x2＋2x－5 的图象，知道了方程 x2＋2x－5＝0 的一个根在1与2之间，但这还不够精确，如何缩小范围呢？ 如图，在1与2之间取它们的“中点”，即1.5， 当自变量 x＝1 时，函数值 y＝－2＜0； 当自变量 x＝1.5 时，函数值 y＝0.25＞0． 所以函数图象与 x 轴的公共点的横坐标在 1 与 1.5 之间，即 1＜x1＜1.5． 注意两端函数值一正一负 新知探究 y＝x2＋2x－5 3 -1 -2 1 2 -1 -2 O 1 2 x y 3 -3 4 4 -4 -3 -4 -5 -6 M N 根据二次函数 y＝x2＋2x－5 的图象，知道了方程 x2＋2x－5＝0 的一个根在1与2之间，但这还不够精确，如何缩小范围呢？ 在 1 与 1.5 之间取它们的“中点”，即 1.25， 当自变量 x＝1.25 时，函数值 y＜0； 当自变量 x＝1.5 时，函数值 y＞0． 所以 1.25＜x1＜1.5． 继续下去，可得 1.375＜x1＜1.5，1.4375＜x1＜ 1.5，…，由此，不断缩小根所在的范围． 新知探究 　　在解决实际问题时，需要根据要求取一元二次方程的根的近似值．例如，如果将 1.4 375看作方程 x2＋2x－5＝0 在 1与 2之间的根的近似值，那么该近似值与 x 之间的误差小于 1.5 减去1.4 375，即误差小于0.0625． 讨论归纳 1．画图：画出二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象； 2．定位：根据图象与 x 轴公共点的位置，确定一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的根 分别在哪两个连续整数之间（保证两端函数值异号）； 3．试值（中点逼近法）：取中点，计算中点处的函数值，和两端点的函数值的正 负比较，取异号的一端，重复前面的步骤，不断缩小根所在的范围，直到区间长 度≤允许的误差； 4．定根：结合精度要求，选取合适数值作为方程 ax2＋bx＋c＝0 根的近似值． 如何利用二次函数图象求一元二次方程近似根？ 新知应用 利用二次函数的图象，求方程 x2＋2x－5＝0的另一个介于－4与－3之间的根的近似值（误差小于0.1）． y＝x2＋2x－5 3 -1 -2 1 2 -1 -2 O 1 2 x y 3 -3 4 4 -4 -3 -4 -5 -6 M N 解：如图，在－4与－3之间取它们的“中点”， 即－3.5， 当自变量 x＝－3 时，函数值 y＝－2＜0； 当自变量 x＝－3.5 时，函数值 y＝0.25＞0． 所以函数图象与 x 轴的公共点的横坐标在 －3.5与－3 之间，即 －3.5＜x2＜－3． 新知应用 利用二次函数的图象，求方程 x2＋2x－5＝0的另一个介于－4与－3之间的根的近似值（误差小于0.1）． 在－3.5与－3之间取它们的“中点”,即－3.25， 当自变量 x＝－3.25时，函数值 y＜0； 当自变量 x＝－3.5时，函数值 y＞0． 所以－3.5＜x2＜－3.25． 继续下去，可得－3.5＜x2＜－3. 375，－3.5＜x2 ＜－3.4 375． 此时误差小于－3.4375减去－3.5，即误差小于 0.0 625＜0.1． 因此可取x2≈－3.44作为此方程介于－4与－3之间的近似根，误差小于0.1． 新知巩固 利用二次函数的图象，求方程 x2＋x－3＝0 的根的近似值(误差小于0.1) . y＝x2＋x－3 3 -1 -2 1 2 -1 -2 O 1 2 x y 3 -3 4 4 -4 -3 -4 解：如图，函数 y＝x2＋x－3图象与 x 轴的公共点 的横坐标分别在1与2和－3与－2之间，即1＜x1＜2， －3＜x2＜－2．下面分别对 x1和x2取近似值． 当x＝1.5时，函数值 y＝0.75＞0； 当x＝1时，函数值 y＝－1＜0，所以 1＜x1＜1.5． 在1与1.5之间取它们的“中点”，即1.25． 当x＝1.25时，函数值 y＜0； 当x＝1.5时，函数值 y＞0，所以1.25＜x1＜1.5． 继续下去，可得1.25＜x1＜1.375，1.25＜x1＜1.3125 此时误差小于1.3125减去1.25，即误差小于 0.0625． 因此可取 x1≈1.3．同法可取 x2≈－2.3． 综上：x1≈1.3， x2≈－2.3 课堂小结 6.5 二次函数与一元二次方程（2） 基本原理：二次函数 y＝ax2＋bx＋c与 x 轴交点横坐标 ↔方程 ax2＋bx＋c＝0的根 一般步骤：① 画图；② 定位；③ 试值；④ 定根 数学思想：数形结合、逐步逼近 感谢聆听！ $