专题04 圆的再认识（期中复习讲义）九年级数学上学期新教材青岛版

专题04 圆的再认识 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 圆的基本概念与对称性 / 考点二 垂径定理及其推论 考点三 圆心角、弧、弦的关系定理 /考点四 圆周角定理及其推论 考点五 直线和圆的位置关系 /考点六 正多边形和圆、弧长和扇形面积 05 重难题型突破 题型一. 垂径定理及其推论计算 /题型二. 圆心角、弧、弦之间关系的证明与计算（常考） 题型三. 圆周角定理及推论求角度 /题型四. 直径所对圆周角直角模型综合（重难点） 题型五.三角形内切圆与外接圆 /题型六. 圆内接四边形性质求角（常考） 题型七.切线的性质和判定综合 /题型八.切线长定理 题型九.弧长与扇形面积综合求解 /题型十.圆与三角形的综合问题 题型十一.圆与四边形的综合问题 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 《圆的再认识》在期中命题中，基础考点集中在垂径定理、圆周角定理及其推论、圆内接四边形性质、点与圆、直线与圆的位置关系，高频压轴考点为切线的判定与性质；题型搭配稳定，选择、填空以角度、弦长、半径计算为主，属基础、中档题，解答题常设置切线证明结合线段或面积计算的综合大题，整体难度梯度清晰，侧重几何推理与辅助线构造，较少过度综合相似、三角函数，重点考查圆本身性质的规范书写与应用。 识记 记住圆、弧、弦、圆心角、圆周角等相关概念；熟记垂径定理、圆周角定理及其推论、圆内接四边形性质、切线判定与性质、点和直线与圆的位置关系结论，能准确识别圆的基本图形。 理解 明白垂径定理 “垂直弦、平分弦、平分弧” 之间的逻辑关系；理解圆周角与圆心角的数量关系、直径所对圆周角特征；能区分切线判定两种思路，清楚定理适用条件，能看懂基础圆几何图形中的边角联系。 应用 会利用垂径定理构造直角三角形求弦长、半径；能借助圆周角、圆内接四边形进行角度转化计算；能规范完成切线证明，结合勾股定理求解线段长；能解决圆与简单几何结合的中档解答题，合理添加半径、直径等辅助线。 考点一 圆的基本概念与对称性 1. 核心定义：圆是平面内到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的集合；圆心确定位置，半径确定大小。 2. 弦与弧：连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦是直径（圆中最长的弦）；圆上任意两点间的部分叫弧，大于半圆的是优弧，小于半圆的是劣弧，能够完全重合的两条弧叫等弧。 3. 对称性：圆既是轴对称图形（任意一条直径所在直线都是对称轴），又是中心对称图形（圆心是对称中心），还具有旋转不变性。 4. 点与圆的位置关系：设点到圆心的距离为d，圆半径为r，则d>r时点在圆外；d=r时点在圆上；d<r时点在圆内。 ⚠️避坑指南 ① 直径是弦，但弦不一定是直径；半圆是弧，但弧不一定是半圆，长度相等的弧不一定是等弧（必须能完全重合）。 ② 圆的对称轴是直径所在的直线，不是直径本身，圆有无数条对称轴，不能说“只有两条互相垂直的对称轴”。 ③ 判断点与圆的位置关系时，必须严格比较d与r的大小，注意区分“点到圆心的距离”和“点到圆上点的最短距离”。。 考点二 垂径定理及其推论 1. 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 2. 核心推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。 3. 计算模型：垂径定理常与勾股定理结合，构造“半径r、弦心距d、半弦长a”的直角三角形，满足关系：，已知任意两个量可求第三个量。 4. 辅助线做法：遇弦常作圆心到弦的垂线段（弦心距），或连接圆心与弦的端点，构造直角三角形求解。 ⚠️避坑指南 ① 垂径定理的前提是“直径垂直于弦”，两个条件缺一不可；推论中“被平分的弦不能是直径”，因为任意两条直径都互相平分，但不一定垂直。 ② 一条弦（非直径）对应两条弧（优弧和劣弧），定理中“平分弦所对的弧”指同时平分优弧和劣弧，不要遗漏。 ③ 计算时注意半弦长是弦长的一半，不要直接用弦长代入勾股定理；注意弦心距是圆心到弦的距离，不是圆心到弦上某一点的距离。。 考点三 圆心角、弧、弦的关系定理 1. 定理内容：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。 2. 推论：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦这三组量中，只要有一组量相等，其余各组量都分别相等。 3. 圆心角与弧的度数关系：圆心角的度数等于它所对弧的度数。 4. 应用场景：证明线段相等、弧相等、角相等的重要依据，常与垂径定理结合使用。 ⚠️避坑指南 ① 定理的前提是“在同圆或等圆中”，缺少这个前提，即使圆心角相等，所对的弧、弦也不一定相等（半径不同的圆中，圆心角相等但弧长、弦长都不同）。 ② 相等的弧的度数相等，反过来，度数相等的弧不一定是等弧（只有在同圆或等圆中，度数相等的弧才是等弧）。 ③ 注意区分“弦相等”和“弦心距相等”，在同圆或等圆中，弦相等则弦心距也相等，反之亦然。 考点四 圆周角定理及其推论 1. 圆周角定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。 2. 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 3. 核心推论： ① 同弧或等弧所对的圆周角相等； ② 半圆（或直径）所对的圆周角是直角（90°）；90°的圆周角所对的弦是直径； ③ 圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。 4. 应用场景：角度计算、证明直角、判断直径、圆内接四边形相关计算。 ⚠️避坑指南 ① 圆周角必须满足两个条件：顶点在圆上，两边都与圆相交，缺一不可；顶点在圆内或圆外的角不是圆周角。 ② 定理中“同弧或等弧”所对的圆周角相等，注意不是“同弦”，因为一条弦（非直径）对应两条弧，所对的圆周角有两种（相等或互补）。 ③ 看到直径要想到所对的圆周角是直角，看到90°的圆周角要想到所对的弦是直径，这是常见的辅助线思路；圆内接四边形的外角等于内对角，不要和“对角互补”混淆。 考点五 直线和圆的位置关系 1.直线和圆的位置关系（设圆半径为r，圆心到直线的距离为d）： ① 相交：d < r，直线与圆有两个公共点，这条直线叫圆的割线； ② 相切：d = r，直线与圆有唯一公共点，这条直线叫圆的切线，唯一公共点叫切点； ③ 相离：d > r，直线与圆没有公共点。 2. 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 3. 切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。 4. 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 5. 三角形的外接圆与内切圆： ① 外接圆：经过三角形三个顶点的圆，圆心是三角形三边垂直平分线的交点（外心），外心到三个顶点的距离相等； ② 内切圆：与三角形三边都相切的圆，圆心是三角形三个内角平分线的交点（内心），内心到三边的距离相等。 ⚠️避坑指南 ① 判断直线与圆的位置关系时，是比较圆心到直线的距离d和半径r，不是直线上某一点到圆心的距离。 ② 切线的判定定理需要同时满足“经过半径外端”和“垂直于半径”两个条件，缺一不可；证明切线时，若直线与圆有公共点，连接半径证垂直；若没有公共点，作垂线证等于半径。 ③ 切线长是“从圆外一点到切点的线段长度”，不是切线本身（切线是直线，不可度量）。 ④ 外心是三边垂直平分线的交点，到顶点距离相等；内心是角平分线交点，到三边距离相等，不要混淆两者的定义和性质。 考点六 正多边形和圆、弧长和扇形面积 1. 正多边形和圆： ① 正多边形的外接圆（或内切圆）的圆心叫正多边形的中心； ② 正多边形外接圆的半径叫正多边形的半径； ③ 正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫正多边形的中心角，正n边形的中心角为：； ④ 正多边形的内切圆半径叫正多边形的边心距。 2. 弧长公式：半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长为： 3. 扇形面积公式： ① 已知圆心角n°和半径R： ② 已知弧长l和半径R： 4. 圆锥的侧面积和全面积： ① 圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的半径等于圆锥的母线长l，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长（r为底面半径）； ② 圆锥侧面积：； ③ 圆锥全面积： ⚠️避坑指南 ① 正多边形的中心角等于它的外角，不要和内角混淆；计算正多边形的边长、边心距时，常构造由半径、边心距、半边长组成的直角三角形，结合勾股定理或三角函数求解。 ② 弧长公式中n是圆心角的度数，不带单位；扇形面积公式有两个，根据已知条件灵活选择，注意弧长公式和扇形面积公式的分母不同（弧长分母是180，扇形面积分母是360），不要混淆。 ③ 圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的半径是圆锥的母线长，不是圆锥的高；圆锥的母线长l、底面半径r、高h满足勾股定理：，不要记错三者的关系。 题型一 垂径定理及其推论计算 典例1 （26-27九年级上·黑龙江·期中）如图，为的直径，弦于点E，若，则的长为（     ） A．5 B．8 C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据垂径定理及勾股定理进行求解即可． 【详解】解：连接，如图， ∵为的直径，弦于点， ∴， ∵，， ∴ ∴的半径， ∴， 在中， ∵，， ∴， ∴． 💡破题要诀 见到弦长优先作垂直于弦的半径或弦心距，构造直角三角形，结合勾股定理求解，留意平分弦（不是直径）这条前提条件，注意分类讨论弦在圆心两侧的情况。 迁移应用 2 1．如图，在中，弦，，，且与位于圆心的同侧．若与之间的距离为2，则的半径为（     ） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】C 【分析】过圆心作弦的垂线，利用垂径定理和勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：过点 O作 于点 E，交 于点 F，连接 ， ∵，， ， ， 设，则， 在中，， 在中，， ， ， 解得：， ， 即的半径为10． 2．（25-26九年级上·广西南宁·期中）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的圆的一部分．如果是中弦的中点，经过圆心交于点，并且米，米．则的半径为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理及推论的应用、勾股定理，由是中弦的中点，则，所以，故有，（米），设的半径为米，则（米），然后通过勾股定理即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵是中弦的中点， ∴， ∴， ∴，（米）， 设的半径为米，则（米）， ∵， ∴， ∴， 故选：． 3．如图，的直径与弦相交于点，且，若，则的半径为___________． 【答案】 【分析】过点O作于点E，连接，根据垂径定理得出，根据等腰三角形的判定和性质得出，整理得出，最后求出结果即可． 【详解】解：过点O作于点E，连接，如图所示： 则， ∵， ， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴，负值舍去， 即的半径为． 4．（26-27九年级上·甘肃·期中）甘肃定西通渭县的传统水磨，以水流推动水轮带动磨盘磨面．水轮整体为圆盘形，垂直于水面安装，运行时部分浸入水中．其几何示意图如图所示，已知水轮圆心O位于水面上方，水面截水轮所得弦的长为1米，水轮半径为3米，C为水轮最低点．求点C 到弦所在直线的距离． 【答案】米 【分析】连接交于点，由题意得出，推出，由垂径定理得，最后用勾股定理解即可． 【详解】解：连接交于点， 点为水轮的最低点， ， ， 由题知，， ， ， 米． 5．（25-26九年级上·陕西安康·期中）如图，已知是的弦，请用尺规作图法作的直径，保证直径过弦的中点，且点D在劣弧上．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】解：由题意，作图如下： 线段即为所求． 【分析】作线段的垂直平分线即可. 【详解】略 题型二 圆心角、弧、弦之间关系的证明与计算 典例1 （25-26九年级上·云南昆明·期中）如图，是的直径，，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了弧与圆心角之间的关系，根据等弧所对的圆心角相等得到，再由对顶角相等得到，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的直径，即点O是与的交点， ∴， ∴， 故选：D． 💡破题要诀 在同圆或等圆中，弧、弦、圆心角三者知一推二，想要证弦相等可转证弧或圆心角相等，计算角度时找准对应的等量弧，不要忽略 “同圆或等圆” 这个大前提。 迁移应用 1．（25-26九年级上·河南信阳·期中）如图，是的直径，．若，则的度数为（    ） A．140° B．70° C．65° D．55° 【答案】B 【分析】本题考查了在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角相等，熟练掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角相等的性质是解答本题的关键．由在同圆中等弧所对的圆心角相等得从而求得答案． 【详解】解：是的直径，， ， ， 故选：B． 2．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，、、均为半径，，，点为弧中点，则________．    【答案】/度 【分析】本题主要考查了弧与圆心角的关系，角的和差等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 先求得的度数，然后根据等弧所对的圆心角相等得到，进而可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵点为弧中点， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，点A、B、C在上，D是的中点，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，连接，求出，再利用圆周角定理可得结论． 【详解】解：如图，连接． ∵D是的中点， ∴，， ∴， ∴． 4．如图，是的三等分点，连结分别交于点．    (1)求出的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2) ∵，， ∴， ∴， ∴，同理， ∵C，D是的三等分点， ∴， ∴． 【分析】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，解题的关键是： （1）连接，，根据圆心角、弧、弦的关系求出，得到，即可求解； （2）根据三角形内角和求出，得到，同理得到，根据得到，继而可得结果． 【详解】（1）解：证明：连接，，如图，    ∵在中，半径，C、D为以O为圆心的弧的三等分点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）略 题型三 圆周角定理及推论求角度 典例1 如图，在中，弦所对应的圆周角，则圆心角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理．根据圆周角定理进行计算，即可解答． 【详解】解：， ， 故选：B． 💡破题要诀 优先找同弧或者等弧，把圆周角和圆心角互相转化，圆周角等于所对圆心角的一半，多个角分散时统一转到同一段弧上倒角，分清角对着哪条弧，避免找错弧。 迁移应用 1．如图，点A，B，P在上，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理和平行线的性质．根据圆周角定理求得，再根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 2．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，是的直径，的度数是，的度数是，且，，则的度数为______． 【答案】 【分析】此题主要考查了圆周角定理，垂径定理，熟练掌握圆周角定理，垂径定理是解决问题的关键；过点作于点，的延长线交于点，过点作于点，的延长线交于点，根据垂径定理得：，的度数的度数，然后可得点在同一条直线上，同理：的度数的度数，点在同一条直线上，进而根据圆周角定理可进行求解． 【详解】解：过点作于点，的延长线交于点，过点作于点，的延长线交于点，如图所示： 根据垂径定理得：，的度数的度数， 是线段的垂直平分线， ， 根据等腰三角形性质得：， ， ， ， ， ∴点在同一条直线上， 同理：的度数的度数，点在同一条直线上， 的度数为的度数的度数）， 根据圆周角定理得：的度数． 故答案为：． 3．如图，为的直径，C，D为圆上的两点，，弦，相交于点E．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， 由圆周角定理得：， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查的是圆周角定理，平行线的性质，圆心角、弧、弦的关系定理，灵活运用相关的定理是解题的关键．根据平行线的性质得到，根据圆周角定理得到，进而得到，根据圆心角、弧、弦的关系定理证明． 【详解】略 题型四 直径所对圆周角直角模型综合 典例1 （25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，点C，D在以为直径的半圆上，与的度数之和为，延长与交于点E，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了直径所对的圆周角为直角，圆心角、弧的关系，圆周角定理，掌握相关知识是解题的关键．根据圆周角定理及邻补角定义求出，根据圆周角、弧的关系求出，根据三角形内角和定理、对顶角性质求出，再根据四边形内角和是求解即可． 【详解】解：如图，连接、，交于点，设圆心为，连接， 是半圆的直径， ， ， 与的度数之和为， ∴， ， ， ， 故选：C． 💡破题要诀 题目出现直径，立刻联想直径所对圆周角是 90°，连接端点构造直角，再结合勾股、相似、三角函数解题；反过来，若圆中直角，优先考虑斜边是不是直径。 迁移应用 1．（25-26九年级上·河南信阳·期中）如图，是的直径，点和点是上的两点且位于直径的两侧，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直径所对的圆周角为90度，同弧所对的圆周角相等，三角形的内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先根据直径所对的圆周角为90度，可判断，再根据同弧所对的圆周角相等，可得，然后根据三角形的内角和即可求解． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ． 故选：B． 2．（25-26九年级上·四川泸州·期中）如图，的半径为2，点A为上一点，半径弦于D，如果，那么的长是______． 【答案】1 【分析】本题考查了圆周角定理、垂径定理、直角三角形30度的性质，解题的关键是熟记圆周角定理． 由于，根据圆周角定理可求，又，根据垂径定理可知，在，利用直角三角形30度的性质易求． 【详解】解：∵， ∴， ∵弦，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：1． 3．如图，为的直径，弦与交于点E，连接、，，． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）由，，根据三角形内角和定理求得． （2）先利用垂径定理得出，，由为的直径，且，求得，由，，求得，则，所以，求得． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴的度数是． （2）连接，作于点M， 则，， ∵为的直径，且， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长是6． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理的应用，含度角的直角三角形，用勾股定理解三角形，利用垂径定理求值，圆周角定理等知识，解题关键是正确地添加辅助线． 题型五 三角形内切圆与外接圆 典例1 （25-26九年级上·江苏淮安·期中）在中，，是的内切圆，连接、，则C的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的内切圆与内心，三角形内角和定理，先由三角形内角和定理求出的度数，再由是的内切圆得到，最后根据三角形内角和定理即可求出． 【详解】解：∵， ， ∵是的内切圆， ， ， ， 故选： C． 💡破题要诀 外接圆圆心是三边垂直平分线交点（外心），到三顶点距离相等；内切圆圆心是三条角平分线交点（内心），到三边距离相等，直角三角形外心在斜边中点，内切圆半径公式按需选用。 迁移应用 1．（24-25九年级上·山东聊城·期中）如图，的内切圆与各边分别相切于点，则点是的（    ） A．重心 B．内心 C．外心 D．以上选项都不正确 【答案】C 【分析】本题考查三角形的外接圆与外心，三角形的内切圆与内心，关键是掌握三角形外心的定义．由三角形外心的定义，即可得到答案． 【详解】解：∵是的外接圆， ∴点O是的外心． 故选：C． 2．（24-25九年级上·北京·期中）如图，为的内切圆，点为切点，若，，则的面积为 _______． 【答案】 【分析】根据题意，连接，根据内切圆的性质可得四边形是正方形，则，根据切线的性质可得，，设的半径为，则，运用勾股定理可得，则有，，由几何图形面积的计算公式即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是直角三角形的内切圆，点为切点， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴矩形形是正方形， ∴， ∵点为切点， ∴，， 设的半径为，则， ∴， ∴， ∴，， ∴的面积， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查圆与三角形的综合，切线长定理，特殊四边形的判定和性质，勾股定理，掌握三角形内切圆的性质是解题的关键． 3．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，内接于，．连接并延长，交于点． (1)求证：垂直平分； (2)若的半径为5，，求的长． 【答案】(1) 证明：如图1，连接、， ∵内接于， ∴， ∵， ∴， ∵到线段两端点距离相等的点在垂直平分线上， ∴垂直平分； (2) 【分析】本题考查了外心，垂径定理，勾股定理，垂直平分线的判定与性质等知识．对知识的熟练掌握与灵活运用是解题的关键． （1）如图，连接、，由内接于，可知，再证明，进而可知垂直平分； （2）由（1）知，，，由垂径定理可得，，由勾股定理得，，则，然后根据求解即可． 【详解】（1）略； （2）解：由（1）知，，， 由垂径定理可得，， 由勾股定理得，， ∴， 由勾股定理得，， ∴的长为． 题型六 圆内接四边形性质求角 典例1 （25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，四边形是的内接四边形，E在的延长线上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键． 设，则，再由圆内接四边形的性质得出x的值，进而可得出结论． 【详解】解：∵， 设，则． ， ∴， 解得， ， ，， ． 故选：D． 💡破题要诀 圆内接四边形对角互补，外角等于内对角，求角度优先用这两个关系，经常和圆周角搭配倒角，看清是内角还是外角，不要搞反互补、相等关系。 迁移应用 1．（25-26九年级上·江西南昌·期中）如图，四边形是的内接四边形，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形对角互补，根据圆周角定理可得，再根据圆内接四边形对角互补，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴ 故选：D． 2．（25-26九年级上·吉林长春·期中）如图，四边形内接于，它的一个外角，分别连结、，若，则的大小是______度． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，等边对等角，同弧或等弧所对的圆周角相等，已知圆内接四边形求角度等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 先根据圆内接四边形的性质求出，再根据得出，故可根据三角形内角和定理求出，再由圆周角定理求出． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，是的直径，，与分别交于点，，且，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的值． 【答案】(1) 证明：， ， ， ， ， 四边形是的内接四边形， ∴ 又∵ ， ， ； (2) 【分析】本题考查了圆内接四边形对角互补，等腰三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，正弦的定义． （1）根据得出，根据平行线的性质得出，根据圆内接四边形对角互补得出，进而得出，即可得证 （2）证明，根据相似三角形的性质可得，进而求得，再根据平行线的性质可得，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知，， ， 是的直径， ， ， ，， ， ， 即， ， ， ， ， ． 题型七 切线的性质和判定综合 典例1 （25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，，是的切线，，为切点，是的直径，．则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查切线的性质，切线长定理，三角形内角和定理，根据切线及，得到，根据切线长定理得到，结合三角形内角和定理求解即可得到答案； 【详解】解：∵是的切线，， ∴， ∵，是的切线，，为切点， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 💡破题要诀 判定切线分两种思路：有交点就连半径证垂直，无交点就作垂直证半径；已知切线，马上连接切点和圆心得到垂直，垂直关系是切线题型的核心突破口。 迁移应用 1．（24-25九年级上·河北邯郸·期中）如图，是的直径，是延长线上的一点，切于点，，则的半径等于（    ） A． B．3 C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查切线的性质，勾股定理；由切线的性质构造直角三角形，再利用勾股定理列方程即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵切于点， ∴． 设半径为， 在中， ， 解得． 所以的半径等于． 故选：C． 2．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，、分别切于点、，若，则的大小为_____． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，切线的性质，四边形内角和定理，掌握切线的性质，圆周角定理是关键． 连接，根据圆周角定理得到，由切线的性质得到，由四边形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵所对圆周角是，所对圆心角是， ∴， ∵、分别切于点、， ∴， 在四边形中，， 故答案为：． 3．（25-26九年级上·福建南平·期中）如图，为的切线，为切点，直线交于点，过点作的垂线，垂足为点，交于点．求证：与相切． 【答案】 证明：如图，连接， ∵是的切线， ∴ ， ∴， ∵， ， ∴， ∴垂直平分， ∴， 在和中， ， ∴，   ∴， ∴， ∵是半径， ∴ 与相切． 【分析】本题考查了切线的判定和性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质等，连接，由切线的性质得，由等腰三角形的性质得垂直平分，得到，进而可证，得到，即可求证，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】略 题型八 切线长定理 典例1 （25-26九年级上·北京·期中）如图，是的内切圆，切点分别为．若，则的周长为（   ） A．8 B．10 C．20 D．36 【答案】D 【分析】本题主要考查了切线长定理，根据切线长定理可得，再根据三角形周长计算公式求解即可． 【详解】解：∵是的内切圆，切点分别为， ∴， ∵， ∴， ∴的周长， 故选：D． 💡破题要诀 从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，该点与圆心连线平分两条切线的夹角，解题时标记相等线段、相等角，常用来转化线段、证明全等或者等腰。 迁移应用 1．（25-26九年级上·北京·期中）如图，，分别与相切于点，，点为上的点，过点的切线分别交，于点，．若的周长为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查切线长定理．根据切线长定理得到，，再根据三角形周长公式计算，即可得到答案． 【详解】解：∵、分别切于、两点， ∴， 同理可得：， ∵的周长为， ∴， ∴， 故选A． 2．（25-26九年级上·广东惠州·期中）如图，的内切圆分别与、相切于点、点，若，则的长为________． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，切线长定理．设，根据切线长定理得出，，进而运用勾股定理列式计算，即可得出的长． 【详解】解：记与相切于点，连接，如图所示： 设， ∵的内切圆分别与、相切于点、点， ∴,，， 则， 在中，， ∴， 解得， 即的长度为． 故答案为：． 3．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，是的内切圆，与分别相切于点D、E、F，，． (1)求的三个内角的大小： (2)设的半径为1，求的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题主要考查多边形内角和定理，切线长定理等知识，掌握切线长定理是关键． （1）根据相切的性质得到，再根据四边形内角和，三角形内角和定理的计算即可求解； （2）根据题意得到四边形是正方形，由切线长定理得到，设，则，结合含30度角的三角形的性质得到，由此即可得到，则得到的值，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：∵相切， ∴， 在四边形中，， ∴， 同理，， 在中，， ∴； （2）解：∵， ∴四边形是正方形， ∴， 设，则， 在中，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∴， ∴． 题型九 弧长与扇形面积综合求解 典例1 （25-26九年级上·山东潍坊·期中）如图，已知扇形的圆心角，为弧的中点，以为直径作半圆，得到甲、乙两个新图形（阴影部分），则阴影部分甲的面积与乙的面积的大小关系是（  ） A．甲乙 B．甲乙 C．甲乙 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了扇形面积公式和圆的面积公式，熟练掌握扇形面积公式（）与圆的面积公式，并通过“作差法”（用公共空白部分关联甲、乙面积）比较大小是解题的关键．设扇形半径为定值，分别表示出甲、乙的面积，通过计算比较大小． 【详解】解：设． ∵扇形的圆心角为，是弧中点， ∴扇形的圆心角为，半径为； 以为直径的半圆半径为． ∵，， ∴比较与即可． ∵，， ∴， ∴． 故选：． 💡破题要诀 先找准对应圆心角和半径，分清是求弧长、扇形面积还是弓形面积，弓形面积用扇形加减三角形面积，注意圆心角单位是角度，看清题目要求结果保留 π 还是求值。 迁移应用 1．如图是的小正方形网格，小正方形的边长为2，点A和B是格点，连接AB，在网格中画出以AB为直径的半圆，圆心为点O，点C是格点且在半圆上，连接BC，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求扇形面积，勾股定理与网格问题，连接，证明，进而根据三角形的面积公式和扇形面积公式进行计算即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵小正方形的边长为2， ∴ ∴， ∴图中阴影部分的面积是 故选：A． 2．（25-26九年级上·贵州遵义·期中）如图，正五边形的边长为4，以顶点为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的周长为______． 【答案】 【分析】本题考查正多边形和圆，弧长的计算，掌握正五边形的性质，正五边形内角的计算方法以及扇形周长的计算方法是正确解答的关键．根据正五边形的内角和定理求出正五边形的一个内角的度数，再根据弧长的计算方法进行计算即可． 【详解】解：∵正五边形的边长为4， ∴，， ∴的长为， 阴影部分的周长为， 故答案为：． 3．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，为的直径，过圆上一点作的切线交的延长线于点，过点作交于点，连接． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的长度，并直接写出图中阴影部分的面积． 【答案】(1) 直线与相切，理由如下： 如图，连接， 切于， ， 即， ， ， ∵， ，， ， 在和中， ， ， ， 即， 过圆心， 直线与相切； (2)； 【分析】本题考查了切线的性质和判定，切线长定理，全等三角形的性质和判定，勾股定理，解直角三角形； （1）连接，根据切线的性质得出，根据平行线的性质求出，，求出，根据全等三角形的判定定理得出，根据全等三角形的性质得出，根据切线的判定定理证明即可； （2）设的半径为，根据勾股定理得出，求出，根据推出，代入求出即可．由可得，进而得到，最后根据求阴影部分面积． 【详解】（1）略 （2）设的半径为， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， ∵， ， ，，， ， 解得：， 答：的长是． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 切于，直线与相切， ∴， ∴ ． 4．（25-26九年级上·河北衡水·期中）如图，用一个圆心角为的扇形围成一个无底的圆锥，圆锥的母线长为． (1)求圆锥的侧面积和底面圆的半径； (2)求从A点出发沿圆锥侧面绕一圈回到B点的最短路径的长．（保留一位小数，，） 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了垂径定理、圆锥、解直角三角形的应用和扇形弧长和面积的计算，理解题意是解决本题的关键． （1）根据圆锥的母线长为，可得扇形的半径为，则可算出扇形的面积和弧长，进而即可算出底面圆的半径； （2）连接，过点O作，垂足为C，先求出的值再利用垂径定理求解即可． 【详解】（1）解：∵圆锥的母线长为， ∴扇形的半径为， ∴扇形的面积为：， ∴圆锥的侧面积为，扇形的弧长为， ∴圆锥底面圆的周长， ∴圆锥底面圆的半径； （2）解：如图，连接，过点O作，垂足为C， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴最短路径长为． 题型十 圆与三角形的综合问题 典例1 （25-26九年级上·江苏泰州·期中）如图，中，，，，点、分别是、的中点，以为直径的交于点、，则的长度为（　） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理、三角形中位线定理、垂径定理及相似三角形的性质，解题思路是先求斜边和中位线的长度，再求点到的距离，最后利用勾股定理和垂径定理求；考查的知识点有勾股定理、三角形中位线定理、垂径定理，用到的思想是转化思想，方法是几何图形中的长度计算方法，技巧是利用垂径定理将的长度转化为，解题关键是求出点到的距离，易错点是忽略垂径定理的应用导致无法将与建立联系． 【详解】解：∵中，，，， ∴， ∵点、分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴的直径为5，半径， 过点作于，连接， ∵， ∴， ∵是的中位线， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， 故选D． 💡破题要诀 以圆的性质提供角相等、垂直、等线段条件，结合三角形全等、相似、勾股、三角函数，多倒角找等角，有切线、直径、圆周角时优先激活对应圆模型。 迁移应用 1．如图，在中，，，点为的中点，为上一动点，过、、三点交于点，连接，则的最小值为（    ）    A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆周角定理可求知FE是⊙O的直径，从而可知点C在⊙O上．根据圆周角定理即可求出∠PEF的度数．由于△FEP是等腰直角三角形，从而可知EF＝EP，所以求出EP的范围即可． 【详解】解：连接PC ∵AC＝BC， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∵点P是AB的中点， ∴CP平分∠ACB， ∴∠ACP＝45°， ∵， ∴∠ACP＝∠PEF＝45°， ∵ ∴EF是⊙O的直径 ∴∠EPF＝90° ∴△EFP是等腰直角三角形， ∴FE＝PE 当PE⊥BC时， 此时PE＝AC＝4， 当P与C或B重合时， 此时PE＝4， ∴4≤PE≤4， ∴4≤EF≤8 ∴EF的最小值为4 故选C    【点睛】本题考查圆的综合问题，涉及圆周角定理，等腰直角三角形的性质，动点问题等知识，综合程度较高，综合考查学生灵活运用知识的能力． 2．如图，经过的直角顶点，交于点，交于点，交于点，且满足，，则的半径为__________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、勾股定理、正方形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上性质． 过点O作于点M，于点N，于点P，连接，由弦心距和垂径定理得出，，推出小是的内切圆，四边形是正方形，得，，，是等腰直角三角形，则，，设，求出，，然后在，由勾股定理列出一元二次方程，解之取符合题意的值，即可解决问题． 【详解】解：如图，过点O作于点M，于点N，于点P，连接， ∵弦， ∴，， ∴小是的内切圆，四边形是正方形， ∴，，，是等腰直角三角形， ∴，， 设， ∵， ∴，， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴的半径为， 故答案为：． 3．（25-26九年级上·陕西安康·期中）如图，在中，直径垂直弦于点，为的半径，且点是的中点，连接交于点，交于点． (1)若，，求的长； (2)连接，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据垂径定理得，；在和中，由得，即；在中，由勾股定理建立方程，解方程即可求解． （2）在中由三角形内角和定理得，由点是的中点，得圆心角，再利用平角的知识可得的度数． 【详解】（1）解：∵为的半径，且点是的中点， ∴，，， ∵直径垂直弦于点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 设的半径为，则, 即， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， ∴． （2）解：∵直径垂直弦于点， ∴， 在中， 即， ∵点是的中点， ∴， ∴，， ∵， ∴． 题型十一 圆与四边形的综合问题 典例1 如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，则∠E的度数为______度． 【答案】50 【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数，由圆周角定理得出∠DCE的度数，根据三角形外角的性质即可得出结论． 【详解】∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝105°， ∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣105°＝75°， ∵，∠BAC＝25°， ∴∠DCE＝∠BAC＝25°， ∴∠E＝∠ADC﹣∠DCE＝75°﹣25°＝50°， 故答案为：50． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的问题，掌握圆内接四边形的性质、圆周角定理、三角形外角的性质是解题的关键． 💡破题要诀 融合圆内接四边形、切线、垂径等圆性质，搭配平行四边形、菱形、矩形性质，一边找边、角等量关系，一边用圆的倒角、等线段转化，多注意对角互补、平行线带来的等角。 迁移应用 1．如图1，在菱形中，，是的外接圆，E是上一动点，连接并延长交于M，连接并延长交于N， (1)求证：是的切线； (2)如图2，当E是中点时，求图中阴影部分面积； (3)当时，求的长． 【答案】(1) 证明：如图，连接， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵是的外接圆， ∴垂直平分， ∴， ∴， 即， ∵是的半径， ∴是的切线； (2) (3) 【分析】（1）连接，证明是等边三角形，可得，然后根据是的外接圆，可得，从而得到，即可求证； （2）连接，设交于点F，根据垂径定理和圆周角定理可得，，从而得到，再根据图中阴影部分面积为，即可求解； （3）过点M作于点H，证明，可得，可证明，从而得到，然后在中，解直角三角形可得，，从而得到，再利用勾股定理解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接，设交于点F， 由（1）得：是等边三角形，， ∴， ∵E是中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴图中阴影部分面积为； （3）解：如图，过点M作于点H， ∵四边形是的内接四边形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆的综合题，涉及了切线的判定，圆内接四边形的性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，垂径定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握切线的判定，圆内接四边形的性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，垂径定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识是解题的关键． 2．圆内接四边形若有一组邻边相等，则称之为等邻边圆内接四边形． (1)如图1，四边形为等邻边圆内接四边形，，，则________； (2)如图2，四边形内接于，为的直径，，，若四边形为等邻边圆内接四边形，求的长； (3)如图3，四边形为等邻边圆内接四边形，，为的直径，且．设，四边形的周长为，试确定与的函数关系式，并求出的最大值． 【答案】(1) (2)或 (3)， 【分析】（1）利用圆周角定理可得，再根据圆心角、弧、弦的关系可得答案； （2）首先利用勾股定理求出和、的长，再分类讨论，第一种情况是，第二种情况是，结合三角函数以及勾股定理进行列式作答即可； （3）连接、交于点H，过点O作于G，利用三角函数表示出的长，进而得出，再根据三角形中位线定理可得的长，即可解决问题． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴ 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵为的直径，，， ∴， ①当时，连接，如图： ∵，为的直径， ∴， ∴，垂直平分． ∴ ∴； ②当时，连接，过点作，交于点．如图： 此时为等腰直角三角形，． 在中，∵，， ∴ ∴ 在中，∵，， ∴， ∴． 综上可知，或； （3）如图，连接，． ∵，， ∴垂直平分 ∵为中点， ∴为的中位线，有，． 设， 则，，， 在中， 在中， 于是有： 整理得，， ∴ 当时， 【点睛】本题是圆的综合题，涉及勾股定理、圆周角定理、圆心角、弧、弦的关系、三角函数、三角形中位线定理等知识，综合性较强，难度较大，熟练掌握圆的性质是解题的关键． 3．已知矩形，，，点O是的中点，以为直径作圆，点是圆上的点．    (1)如图1，连接，若是圆O的切线， ①求证：； ②设与交于点F，求的长． (2)若动点G从点B向C运动，连接，作四边形关于直线对称图形四边形，如图2．求点G在运动过程中线段扫过的面积． 【答案】(1) ①∵矩形，，点O是的中点， ∴， ∴是圆O的切线， ∵是圆O的切线。 ∴； ② (2) 【分析】（1）①易证是圆O的切线，根据切线长定理即可得证； ②连接，证明，然后在直角三角形中，根据勾股定理构建方程求解即可； （2）求出当B、G重合时，G、C重合时点旋转的角度是，再根据线段扫过的面积是计算即可． 【详解】（1）①略 ②连接，则， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 则在直角三角形中，，根据勾股定理可得：， 解得：， 即；      （2）当B、G重合时，如图， ∵， ∴，    当G、C重合时，如图， ∵， ∴点旋转的角度是， ∵， ∴线段扫过的面积是．    【点睛】本题考查了矩形的性质、切线长定理、切线的判定、旋转的性质和解直角三角形等知识，正确理解题意、熟练掌握相关图形的性质定理是解题关键． 基础固本练（限时：30分钟） 1．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在半径为4的中，圆心角，则弦的长为（     ） A． B． C．4 D．8 【答案】A 【分析】根据，的半径为4，可得，是直角三角形，再根据勾股定理即可计算出弦的长． 【详解】解：∵ ，的半径为4， ∴，是直角三角形， ∴， ∴弦的长为． 2．（25-26九年级上·广东惠州·期中）在数学综合与实践课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A，B，连接，作的垂直平分线交于点D，交弧于点C，测出，，则圆形工件的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理等知识．由垂径定理，可得出的长；设圆心为O，连接，在中，可用半径表示出的长，进而可根据勾股定理求出圆形工件的半径． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴直线经过圆心， 设圆心为，连接，如图． 中，， 根据勾股定理得：， 即：， 解得：； 故圆形工件的半径为， 故选：A． 3．（25-26九年级上·重庆铜梁·期中）如图，为的直径，，是上的两点，若，则的大小为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握圆周角定理．连接，由圆周角定理可得，，再由直角三角形锐角互余求解即可． 【详解】解：连接． 是直径， ， ， ， 故选：B． 4．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）如图，顶点A、B、C均在上，，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理及等腰三角形的性质和三角形内角和定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．先利用圆周角定理可得：，再结合已知可得，然后再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理，进行计算即可解答． 【详解】解：由圆周角定理可知：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 5．（25-26九年级上·河北沧州·期中）如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以为圆心，长度分别为半径，已知扇面宣传板的面积为，若，则扇面宣传板所对的圆心角的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查由扇形面积公式求角度，熟记扇形面积公式是解决问题的关键； 利用，再由扇形面积公式代值计算即可求解． 【详解】解：设扇面宣传板所对的圆心角为， 则，， ∵， ∴， 解得， 即扇面宣传板所对的圆心角为， 故选：C． 6．（25-26九年级上·辽宁盘锦·期中）下列命题中，不正确的是________ ①圆心角相等，所对的弧相等  ②平分弦的直径垂直于弦  ③长度相等的弧是等弧 ④等弧所对的圆周角相等  ⑤同圆或等圆中，长度相等的弧所对的圆周角相等． 【答案】①②③ 【详解】解：①只有在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧才相等，本命题缺少前提条件，故①不正确； ②平分非直径的弦的直径垂直于弦，若被平分的弦是直径，两条直径互相平分但不一定垂直，本命题缺少限制条件，故②不正确； ③能够完全重合的弧才是等弧，长度相等的弧不一定能完全重合，故③不正确； ④等弧可以完全重合，必在同圆或等圆中，根据圆周角定理，等弧所对的圆周角相等，故④正确； ⑤同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，根据圆周角定理，等弧所对的圆周角相等，故⑤正确． 综上所述，不正确的是①②③． 7．（25-26九年级上·宁夏固原·期中）如图，AB是的直径，弦，点在圆上且，则直径______． 【答案】 【分析】本题考查圆周角定理，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明是等边三角形．连接，证明是等边三角形，可得结论． 【详解】解：如图，连接． ∵，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的直径． 故答案为：． 8．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）一个圆锥的侧面积为，其底面圆的半径为，则该圆锥的母线长为______ 【答案】 【分析】本题考查的知识点是圆锥的侧面积公式，解题关键是熟练掌握圆锥的侧面积公式． 利用圆锥的侧面积公式，其中为侧面积，为底面半径，为母线长，代入已知数值即可求解． 【详解】解：设圆锥的母线长为， 根据圆锥侧面积公式得， 化简得， 解得． 故答案为：． 9．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，点C，D在以为直径的半圆O上，且，若，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，圆心角、弧、弦的关系，三角形内角和定理，关键是掌握圆心角和它所对的弧的度数相等． 连接，由平行线的性质推出，由等腰三角形的性质推出，由三角形内角和定理求出，得到的度数． 【详解】解：连接， ∵， ， ， ， ， ∴的度数， 故答案为： 10．（24-25九年级上·广东江门·期中）圆锥的底面半径，高，则圆锥的侧面积是_______． 【答案】 【分析】该题考查了勾股定理和圆锥侧面积公式，根据勾股定理先求出圆锥母线长．再根据圆锥侧面积公式求解即可． 【详解】解：由勾股定理得圆锥母线长． ∵圆锥底面周长，即圆锥侧面展开图的弧长为， ∴圆锥的侧面积． 故答案为：． 11．（25-26九年级上·宁夏固原·期中）已知：如图，、、、是上的点，． 求证：． 【答案】 证明：， ， 即． ∴． 【分析】本题考查的是弧，弦，圆心角之间的关系定理，证明即可得到结论，熟练掌握弧，弦，圆心角之间的关系是解题关键． 【详解】略 12．（25-26九年级上·吉林长春·期中）如图，点、、是半径为2的上的三点，．求弦的长． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，用勾股定理解三角形，圆与三角形的综合(圆的综合问题)等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 先连接，，由圆周角定理即可求得，又由，利用勾股定理即可求得弦的长． 【详解】解：连接，， ∵， ∴， ∵， ∴． 13．（24-25九年级上·广东东莞·期中）如图，四边形内接于⊙O，为⊙O的直径，平分． (1)判断的形状，并说明理由； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 是等腰直角三角形，理由如下： ∵平分． ∴， ∴； ∵为的直径， ∴， ∴是等腰直角三角形； (2) 【分析】本题考查了半圆（直径）所对的圆周角是直角，勾股定理等知识点，熟记结论即可； （1）由平分．推出，进而得，结合为⊙O的直径，推出即可求解； （2）求出；即可求出； 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴； ∵为的直径， ∴； ∵， ∴； 14．（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，是的弦，，半径，分别与弦，垂直，垂足分别为，，，交于点，交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：四边形是菱形． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵半径分别与弦垂直， ∴， ∴， ∴； (2) 证明：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵半径分别与弦垂直， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为菱形． 【分析】本题考查弧，弦，圆心角之间的关系，垂径定理，菱形的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据弧，弦，角之间的关系以及垂径定理，即可得证； （2）先证明四边形为平行四边形，等积法推出，即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 15．（25-26九年级上·河南周口·期中）如图，是的直径，C是上一点，过点C的切线交的延长线于点D，连接， ． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：连接， 是的切线， ，即， ∵是的直径， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； (2)2 【分析】本题考查圆的切线长定理、等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握圆的切线长定理是解题的关键． （1）连接，根据圆的切线长定理及圆周角定理得到，根据等边对等角证明即可； （2）设，则，根据勾股定理得，解方程即可． 【详解】（1）略 （2）解：，设， 则 在中， 即 解得或（舍去） ． 综合进阶练（限时：60分钟） 1．（25-26九年级上·陕西安康·期中）如图，四边形内接于，，连接，．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接、、、，根据圆周角定理推出，，进而解题． 【详解】解：连接、、、， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，、为弦，为直径，于E，于F，与相交于G．已知的半径为5，，则的长度为（　　） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查了利用垂径定理求值，用勾股定理解三角形，相似三角形的判定与性质综合等知识点，解题关键是熟练掌握和应用相关的性质定理． 先利用垂径定理求得，再利用勾股定理求得，进而求得AC，然后证得三角形相似即可求得和，最后证得，即可求得，利用即可求得． 【详解】解：∵，， ∴， 设， ∵的半径为5， ∴，， 在中，， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴， 在中，， ∵于F， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 故选：D． 3．（25-26九年级上·陕西安康·期中）如图，是的直径，点C、D都在上，且在的异侧，连接交于点Q，连接．若，，，则的半径为___________． 【答案】 【分析】连接，三角形的外角求出，圆周角定理求出，进而求出的长即可． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴的半径为2． 4．（25-26九年级上·河南焦作·期中）如图，半圆的直径，将半圆绕点旋转，得到半圆，交于点，若，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】/ 【分析】本题考查了圆周角定理、勾股定理、含的直角三角形的性质和等边三角形的判定和性质，作出正确的辅助线是解决本题的关键． 连接，，过点作，根据勾股定理求出的长，进而证明为等边三角形，则可以根据圆周角定理和含的直角三角形的性质可求出，再根据求解即可． 【详解】解：连接，，过点作，如图， 由旋转可得，， 为直径， ， ， ， ∴为等边三角形， ， ，， 在中，， ， 故答案为：． 5．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，四边形是的内接四边形，且对角线经过的圆心，过点作，与的延长线交于点，且平分． (1)求证：； (2)过点作于点，连接，若的半径为，求的长． 【答案】(1)证明：是的直径， ， ， 平分， ， ， ， ， ； (2) 【分析】（1）根据圆周角定理可得，则，根据角平分线的定义可得，由，推出，即可得证； （2）由题意可得，，则，根据得到，推出，证明四边形是矩形，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由题意可得，， ， ， ， ， ， ，即， ，， 四边形是矩形， ． 6．（25-26九年级上·辽宁盘锦·期中）如图，在中，C是弧的中点，于点D，于点E． (1)求证：； (2)若D、E分别是、的中点，连接、，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)证明：是弧AB的中点， ， ， ， ， 在和 中， 由，， ． (2)四边形是菱形 证明：如图连接、 由圆的性质知 ，由D、E分别是、的中点，得， 由知， 在和中， 由， ， ， 同理可证， ， 综上可得 ，故四边形是菱形． 【分析】（1）由C是弧的中点得到，故可证明，从而；（2）通过中点及圆的性质可知四边形四条边都相等，而四条边都相等的四边形是菱形． 【详解】（1）略 （2）略 7．（25-26九年级上·宁夏固原·期中）如图，经过原点且与两坐标轴分别交于点和点，点的坐标为，点的坐标为， (1)求证：线段为的直径； (2)求圆心的坐标． 【答案】(1) 证明：∵， ∴是的直径； (2) 【分析】题目主要考查圆周角定理，垂径定理的性质，熟练掌握是解题关键． （1）由圆周角定理可直接证明； （2）根据题意得出，，过点作于点，过点作于点，再由垂径定理得出，，即可得出点的坐标． 【详解】（1）略 （2）解：∵点的坐标为，点的坐标为， ∴，， 过点作于点，过点作于点， ∴，， ∴圆心的坐标为． 8．（25-26九年级上·重庆开州·期中）如图，是的内接三角形，是直径，是的中点，交的延长线于． (1)求证：是的切线； (2)点是上一点，连接，，以为圆心，长为半径画圆弧，使点在该圆弧上，再将分别沿，向内翻折，若，求图中阴影部分的面积和．（结果保留） 【答案】(1) 证明：如图，连接， 是的内接三角形，是直径， ， 在中，， 是的中点， ，是的半径， 根据圆周角和圆心角定理得， 交的延长线于， ， ， 在中，， ， 又是的半径， 是的切线； (2) 【分析】本题主要考查勾股定理，圆的切线判定以及扇形面积的计算，掌握圆的切线的判定与扇形的面积计算是解题的关键． （1）通过连接，利用圆周角定理、平行线性质等证明，从而判定直线是圆的切线； （2）连接，先根据已知条件判断是等腰直角三角形，再利用勾股定理求出，进而计算，最后求出阴影部分面积． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， 点是上一点，以为圆心，长为半径画圆弧，使点在该圆弧上， ， 是的内接三角形，是直径，， ，， 是等腰直角三角形， ， 是等腰直角三角形， 由勾股定理得， ，， 又， ． 9．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图1，为的直径，为上一点，和过点的切线互相垂直，垂足为． (1)求证：平分； (2)如图2，延长交直线于点，连接．若，求与、组成的图形的面积． 【答案】(1) 证明：如图1，连接， ∵和过点C的切线互相垂直，垂足为D， ∴， ， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴平分． (2) 【分析】本题考查圆的切线性质、角平分线的判定、矩形的判定与性质、勾股定理、等边三角形判定及扇形面积计算，解题中用到转化思想（将圆的性质转化为线段 / 角度关系）、勾股定理法（计算线段长度）、面积割补法（求阴影面积），解题关键是利用切线性质与矩形判定关联线段，结合圆的直径性质与勾股定理计算长度，通过面积割补求图形面积． （1）连接，由切线性质得，结合，证平分． （2）证四边形为矩形，用勾股定理求线段长，判定为等边三角形，通过 “面积减扇形面积” 得图形面积． 【详解】（1） 略 （2）解：如图2，作于点F， ∵，， ∴ ， ∵四边形是矩形， ∴为的直径，, , ∴， ∴， ∵ ， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴与、组成的图形的面积是． 10．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，已知P为锐角内部一点，过点P作于点B，于点C，以为直径作，交直线于点D，连接，，交于点． (1)求证：； (2)连接，，当，时，在点P的整个运动过程中， ①若，求的长； ②若是以为腰的等腰三角形时，求所有满足条件的的长； (3)当点P与点C重合，如图设连接与的另一交点为F，若点F是线段的中点，则______． 【答案】(1) 证明：，， ， ， 又， ； (2)①；②当或6时，为等腰三角形 (3) 【分析】（1）由、知，据此得，根据即可得证； （2）①由题易得，先求，再求即可；②分两种情形：，，分别求解即可． （3）证明，则可得，设，则，，连接、，易得四边形是矩形，，连接，易证垂直平分，则，分别用k表示出、，建立方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：①如图， ， ， 在中， ， ∴， 在中，, ∵， ∴ 解得（负值舍去）； ②当时， 则， ， ， ， ， ， ， 在中，， ∴， 解得（负值舍去）， ； 当时， 过B作于点H， ，， ， ， ∴， 则， ， 解得（负值舍去），， 设，则， ∵， ∴四边形是矩形， ，， ，且， ， ， ， ， ， 解得， ， 综上所述，当或6时，为等腰三角形； （3）解：，， ， ， 设，则， ， 连接、， 则， 四边形是矩形， ，， ， ， ， 连接， ， ， 是中点， 垂直平分， ，即， 解得负值舍去， 故答案为： 【点睛】本题考查圆周角定理、相似三角形的判定与性质，三角函数，矩形的性质和判定，垂直平分线的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 圆的再认识 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 圆的基本概念与对称性 / 考点二 垂径定理及其推论 考点三 圆心角、弧、弦的关系定理 /考点四 圆周角定理及其推论 考点五 直线和圆的位置关系 /考点六 正多边形和圆、弧长和扇形面积 05 重难题型突破 题型一. 垂径定理及其推论计算 /题型二. 圆心角、弧、弦之间关系的证明与计算（常考） 题型三. 圆周角定理及推论求角度 /题型四. 直径所对圆周角直角模型综合（重难点） 题型五.三角形内切圆与外接圆 /题型六. 圆内接四边形性质求角（常考） 题型七.切线的性质和判定综合 /题型八.切线长定理 题型九.弧长与扇形面积综合求解 /题型十.圆与三角形的综合问题 题型十一.圆与四边形的综合问题 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 《圆的再认识》在期中命题中，基础考点集中在垂径定理、圆周角定理及其推论、圆内接四边形性质、点与圆、直线与圆的位置关系，高频压轴考点为切线的判定与性质；题型搭配稳定，选择、填空以角度、弦长、半径计算为主，属基础、中档题，解答题常设置切线证明结合线段或面积计算的综合大题，整体难度梯度清晰，侧重几何推理与辅助线构造，较少过度综合相似、三角函数，重点考查圆本身性质的规范书写与应用。 识记 记住圆、弧、弦、圆心角、圆周角等相关概念；熟记垂径定理、圆周角定理及其推论、圆内接四边形性质、切线判定与性质、点和直线与圆的位置关系结论，能准确识别圆的基本图形。 理解 明白垂径定理 “垂直弦、平分弦、平分弧” 之间的逻辑关系；理解圆周角与圆心角的数量关系、直径所对圆周角特征；能区分切线判定两种思路，清楚定理适用条件，能看懂基础圆几何图形中的边角联系。 应用 会利用垂径定理构造直角三角形求弦长、半径；能借助圆周角、圆内接四边形进行角度转化计算；能规范完成切线证明，结合勾股定理求解线段长；能解决圆与简单几何结合的中档解答题，合理添加半径、直径等辅助线。 考点一 圆的基本概念与对称性 1. 核心定义：圆是平面内到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的集合； 确定位置， 确定大小。 2. 弦与弧：连接圆上任意两点的线段叫 ，经过圆心的弦是直径（圆中最长的弦）；圆上任意两点间的部分叫弧，大于半圆的是 ，小于半圆的是 ，能够完全重合的两条弧叫等弧。 3. 对称性：圆既是轴对称图形（任意一条直径所在直线都是对称轴），又是中心对称图形（圆心是对称中心），还具有旋转不变性。 4. 点与圆的位置关系：设点到圆心的距离为d，圆半径为r，则d>r时点在圆外；d=r时点在圆上；d<r时点在圆内。 ⚠️避坑指南 ① 直径是弦，但弦不一定是直径；半圆是弧，但弧不一定是半圆，长度相等的弧不一定是等弧（必须能完全重合）。 ② 圆的对称轴是直径所在的直线，不是直径本身，圆有无数条对称轴，不能说“只有两条互相垂直的对称轴”。 ③ 判断点与圆的位置关系时，必须严格比较d与r的大小，注意区分“点到圆心的距离”和“点到圆上点的最短距离”。。 考点二 垂径定理及其推论 1. 垂径定理：垂直于弦的直径 这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 2. 核心推论：平分弦（不是直径）的直径 于弦，并且平分弦所对的两条弧；弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。 3. 计算模型：垂径定理常与勾股定理结合，构造“半径r、弦心距d、半弦长a”的直角三角形，满足关系：，已知任意两个量可求第三个量。 4. 辅助线做法：遇弦常作圆心到弦的垂线段（弦心距），或连接圆心与弦的端点，构造直角三角形求解。 ⚠️避坑指南 ① 垂径定理的前提是“直径垂直于弦”，两个条件缺一不可；推论中“被平分的弦不能是直径”，因为任意两条直径都互相平分，但不一定垂直。 ② 一条弦（非直径）对应两条弧（优弧和劣弧），定理中“平分弦所对的弧”指同时平分优弧和劣弧，不要遗漏。 ③ 计算时注意半弦长是弦长的一半，不要直接用弦长代入勾股定理；注意弦心距是圆心到弦的距离，不是圆心到弦上某一点的距离。。 考点三 圆心角、弧、弦的关系定理 1. 定理内容：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧 ，所对的弦 。 2. 推论：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦这三组量中，只要有一组量相等，其余各组量都分别相等。 3. 圆心角与弧的度数关系：圆心角的度数等于它所对 的度数。 4. 应用场景：证明线段相等、弧相等、角相等的重要依据，常与垂径定理结合使用。 ⚠️避坑指南 ① 定理的前提是“在同圆或等圆中”，缺少这个前提，即使圆心角相等，所对的弧、弦也不一定相等（半径不同的圆中，圆心角相等但弧长、弦长都不同）。 ② 相等的弧的度数相等，反过来，度数相等的弧不一定是等弧（只有在同圆或等圆中，度数相等的弧才是等弧）。 ③ 注意区分“弦相等”和“弦心距相等”，在同圆或等圆中，弦相等则弦心距也相等，反之亦然。 考点四 圆周角定理及其推论 1. 圆周角定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。 2. 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 。 3. 核心推论： ① 所对的圆周角相等； ② 半圆（或直径）所对的圆周角是直角 ；90°的圆周角所对的弦是 ； ③ 圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。 4. 应用场景：角度计算、证明直角、判断直径、圆内接四边形相关计算。 ⚠️避坑指南 ① 圆周角必须满足两个条件：顶点在圆上，两边都与圆相交，缺一不可；顶点在圆内或圆外的角不是圆周角。 ② 定理中“同弧或等弧”所对的圆周角相等，注意不是“同弦”，因为一条弦（非直径）对应两条弧，所对的圆周角有两种（相等或互补）。 ③ 看到直径要想到所对的圆周角是直角，看到90°的圆周角要想到所对的弦是直径，这是常见的辅助线思路；圆内接四边形的外角等于内对角，不要和“对角互补”混淆。 考点五 直线和圆的位置关系 1.直线和圆的位置关系（设圆半径为r，圆心到直线的距离为d）： ① 相交： ，直线与圆有两个公共点，这条直线叫圆的割线； ② 相切： ，直线与圆有唯一公共点，这条直线叫圆的切线，唯一公共点叫切点； ③ 相离： ，直线与圆没有公共点。 2. 切线的判定定理：经过半径的外端并且 于这条半径的直线是圆的切线。 3. 切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。 4. 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的 相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 5. 三角形的外接圆与内切圆： ① 外接圆：经过三角形三个顶点的圆，圆心是三角形三边垂直平分线的交点（外心），外心到三个顶点的距离相等； ② 内切圆：与三角形三边都相切的圆，圆心是三角形三个内角平分线的交点（内心），内心到三边的距离相等。 ⚠️避坑指南 ① 判断直线与圆的位置关系时，是比较圆心到直线的距离d和半径r，不是直线上某一点到圆心的距离。 ② 切线的判定定理需要同时满足“经过半径外端”和“垂直于半径”两个条件，缺一不可；证明切线时，若直线与圆有公共点，连接半径证垂直；若没有公共点，作垂线证等于半径。 ③ 切线长是“从圆外一点到切点的线段长度”，不是切线本身（切线是直线，不可度量）。 ④ 外心是三边垂直平分线的交点，到顶点距离相等；内心是角平分线交点，到三边距离相等，不要混淆两者的定义和性质。 考点六 正多边形和圆、弧长和扇形面积 1. 正多边形和圆： ① 正多边形的外接圆（或内切圆）的圆心叫正多边形的中心； ② 正多边形外接圆的半径叫正多边形的半径； ③ 正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫正多边形的中心角，正n边形的中心角 ； ④ 正多边形的内切圆半径叫正多边形的边心距。 2. 弧长公式：半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长为： 3. 扇形面积公式： ① 已知圆心角n°和半径R： ② 已知弧长l和半径R： 4. 圆锥的侧面积和全面积： ① 圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的半径等于圆锥的母线长l，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长（r为底面半径）； ② 圆锥侧面积：； ③ 圆锥全面积： ⚠️避坑指南 ① 正多边形的中心角等于它的外角，不要和内角混淆；计算正多边形的边长、边心距时，常构造由半径、边心距、半边长组成的直角三角形，结合勾股定理或三角函数求解。 ② 弧长公式中n是圆心角的度数，不带单位；扇形面积公式有两个，根据已知条件灵活选择，注意弧长公式和扇形面积公式的分母不同（弧长分母是180，扇形面积分母是360），不要混淆。 ③ 圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的半径是圆锥的母线长，不是圆锥的高；圆锥的母线长l、底面半径r、高h满足勾股定理：，不要记错三者的关系。 题型一 垂径定理及其推论计算 典例1 （26-27九年级上·黑龙江·期中）如图，为的直径，弦于点E，若，则的长为（     ） A．5 B．8 C． D． 💡破题要诀 见到弦长优先作垂直于弦的半径或弦心距，构造直角三角形，结合勾股定理求解，留意平分弦（不是直径）这条前提条件，注意分类讨论弦在圆心两侧的情况。 迁移应用 1．如图，在中，弦，，，且与位于圆心的同侧．若与之间的距离为2，则的半径为（     ） A．8 B．9 C．10 D．12 2．（25-26九年级上·广西南宁·期中）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的圆的一部分．如果是中弦的中点，经过圆心交于点，并且米，米．则的半径为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 3．如图，的直径与弦相交于点，且，若，则的半径为___________． 4．（26-27九年级上·甘肃·期中）甘肃定西通渭县的传统水磨，以水流推动水轮带动磨盘磨面．水轮整体为圆盘形，垂直于水面安装，运行时部分浸入水中．其几何示意图如图所示，已知水轮圆心O位于水面上方，水面截水轮所得弦的长为1米，水轮半径为3米，C为水轮最低点．求点C 到弦所在直线的距离． 5．（25-26九年级上·陕西安康·期中）如图，已知是的弦，请用尺规作图法作的直径，保证直径过弦的中点，且点D在劣弧上．（不写作法，保留作图痕迹） 题型二 圆心角、弧、弦之间关系的证明与计算 典例1 （25-26九年级上·云南昆明·期中）如图，是的直径，，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 💡破题要诀 在同圆或等圆中，弧、弦、圆心角三者知一推二，想要证弦相等可转证弧或圆心角相等，计算角度时找准对应的等量弧，不要忽略 “同圆或等圆” 这个大前提。 迁移应用 1．（25-26九年级上·河南信阳·期中）如图，是的直径，．若，则的度数为（    ） A．140° B．70° C．65° D．55° 2．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，、、均为半径，，，点为弧中点，则________．    3．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，点A、B、C在上，D是的中点，若，求的度数． 4．如图，是的三等分点，连结分别交于点．    (1)求出的度数； (2)求证：． 题型三 圆周角定理及推论求角度 典例1 如图，在中，弦所对应的圆周角，则圆心角的度数为（   ） A． B． C． D． 💡破题要诀 优先找同弧或者等弧，把圆周角和圆心角互相转化，圆周角等于所对圆心角的一半，多个角分散时统一转到同一段弧上倒角，分清角对着哪条弧，避免找错弧。 迁移应用 1．如图，点A，B，P在上，若，，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，是的直径，的度数是，的度数是，且，，则的度数为______． 3．如图，为的直径，C，D为圆上的两点，，弦，相交于点E．求证：． 题型四 直径所对圆周角直角模型综合 典例1 （25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，点C，D在以为直径的半圆上，与的度数之和为，延长与交于点E，则的度数为（   ） A． B． C． D． 💡破题要诀 题目出现直径，立刻联想直径所对圆周角是 90°，连接端点构造直角，再结合勾股、相似、三角函数解题；反过来，若圆中直角，优先考虑斜边是不是直径。 迁移应用 1．（25-26九年级上·河南信阳·期中）如图，是的直径，点和点是上的两点且位于直径的两侧，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·四川泸州·期中）如图，的半径为2，点A为上一点，半径弦于D，如果，那么的长是______． 3．如图，为的直径，弦与交于点E，连接、，，． (1)求的度数； (2)若，求的长． 题型五 三角形内切圆与外接圆 典例1 （25-26九年级上·江苏淮安·期中）在中，，是的内切圆，连接、，则C的度数为（    ） A． B． C． D． 💡破题要诀 外接圆圆心是三边垂直平分线交点（外心），到三顶点距离相等；内切圆圆心是三条角平分线交点（内心），到三边距离相等，直角三角形外心在斜边中点，内切圆半径公式按需选用。 迁移应用 1．（24-25九年级上·山东聊城·期中）如图，的内切圆与各边分别相切于点，则点是的（    ） A．重心 B．内心 C．外心 D．以上选项都不正确 2．（24-25九年级上·北京·期中）如图，为的内切圆，点为切点，若，，则的面积为 _______． 3．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，内接于，．连接并延长，交于点． (1)求证：垂直平分； (2)若的半径为5，，求的长． 题型六 圆内接四边形性质求角 典例1 （25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，四边形是的内接四边形，E在的延长线上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 💡破题要诀 圆内接四边形对角互补，外角等于内对角，求角度优先用这两个关系，经常和圆周角搭配倒角，看清是内角还是外角，不要搞反互补、相等关系。 迁移应用 1．（25-26九年级上·江西南昌·期中）如图，四边形是的内接四边形，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·吉林长春·期中）如图，四边形内接于，它的一个外角，分别连结、，若，则的大小是______度． 3．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，是的直径，，与分别交于点，，且，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的值． 题型七 切线的性质和判定综合 典例1 （25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，，是的切线，，为切点，是的直径，．则的度数为（  ） A． B． C． D． 💡破题要诀 判定切线分两种思路：有交点就连半径证垂直，无交点就作垂直证半径；已知切线，马上连接切点和圆心得到垂直，垂直关系是切线题型的核心突破口。 迁移应用 1．（24-25九年级上·河北邯郸·期中）如图，是的直径，是延长线上的一点，切于点，，则的半径等于（    ） A． B．3 C．4 D． 2．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，、分别切于点、，若，则的大小为_____． 3．（25-26九年级上·福建南平·期中）如图，为的切线，为切点，直线交于点，过点作的垂线，垂足为点，交于点．求证：与相切． 题型八 切线长定理 典例1 （25-26九年级上·北京·期中）如图，是的内切圆，切点分别为．若，则的周长为（   ） A．8 B．10 C．20 D．36 💡破题要诀 从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，该点与圆心连线平分两条切线的夹角，解题时标记相等线段、相等角，常用来转化线段、证明全等或者等腰。 迁移应用 1．（25-26九年级上·北京·期中）如图，，分别与相切于点，，点为上的点，过点的切线分别交，于点，．若的周长为，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·广东惠州·期中）如图，的内切圆分别与、相切于点、点，若，则的长为________． 3．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，是的内切圆，与分别相切于点D、E、F，，． (1)求的三个内角的大小： (2)设的半径为1，求的值． 题型九 弧长与扇形面积综合求解 典例1 （25-26九年级上·山东潍坊·期中）如图，已知扇形的圆心角，为弧的中点，以为直径作半圆，得到甲、乙两个新图形（阴影部分），则阴影部分甲的面积与乙的面积的大小关系是（  ） A．甲乙 B．甲乙 C．甲乙 D．无法确定 💡破题要诀 先找准对应圆心角和半径，分清是求弧长、扇形面积还是弓形面积，弓形面积用扇形加减三角形面积，注意圆心角单位是角度，看清题目要求结果保留 π 还是求值。 迁移应用 1．如图是的小正方形网格，小正方形的边长为2，点A和B是格点，连接AB，在网格中画出以AB为直径的半圆，圆心为点O，点C是格点且在半圆上，连接BC，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·贵州遵义·期中）如图，正五边形的边长为4，以顶点为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的周长为______． 3．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，为的直径，过圆上一点作的切线交的延长线于点，过点作交于点，连接． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的长度，并直接写出图中阴影部分的面积． 4．（25-26九年级上·河北衡水·期中）如图，用一个圆心角为的扇形围成一个无底的圆锥，圆锥的母线长为． (1)求圆锥的侧面积和底面圆的半径； (2)求从A点出发沿圆锥侧面绕一圈回到B点的最短路径的长．（保留一位小数，，） 题型十 圆与三角形的综合问题 典例1 （25-26九年级上·江苏泰州·期中）如图，中，，，，点、分别是、的中点，以为直径的交于点、，则的长度为（　） A． B．1 C． D． 💡破题要诀 以圆的性质提供角相等、垂直、等线段条件，结合三角形全等、相似、勾股、三角函数，多倒角找等角，有切线、直径、圆周角时优先激活对应圆模型。 迁移应用 1．如图，在中，，，点为的中点，为上一动点，过、、三点交于点，连接，则的最小值为（    ）    A．4 B． C． D． 2．如图，经过的直角顶点，交于点，交于点，交于点，且满足，，则的半径为__________． 3．（25-26九年级上·陕西安康·期中）如图，在中，直径垂直弦于点，为的半径，且点是的中点，连接交于点，交于点． (1)若，，求的长； (2)连接，，求的度数． 题型十一 圆与四边形的综合问题 典例1 如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，则∠E的度数为______度． 💡破题要诀 融合圆内接四边形、切线、垂径等圆性质，搭配平行四边形、菱形、矩形性质，一边找边、角等量关系，一边用圆的倒角、等线段转化，多注意对角互补、平行线带来的等角。 迁移应用 1．如图1，在菱形中，，是的外接圆，E是上一动点，连接并延长交于M，连接并延长交于N， (1)求证：是的切线； (2)如图2，当E是中点时，求图中阴影部分面积； (3)当时，求的长． 2．圆内接四边形若有一组邻边相等，则称之为等邻边圆内接四边形． (1)如图1，四边形为等邻边圆内接四边形，，，则________； (2)如图2，四边形内接于，为的直径，，，若四边形为等邻边圆内接四边形，求的长； (3)如图3，四边形为等邻边圆内接四边形，，为的直径，且．设，四边形的周长为，试确定与的函数关系式，并求出的最大值． 3．已知矩形，，，点O是的中点，以为直径作圆，点是圆上的点．    (1)如图1，连接，若是圆O的切线， ①求证：； ②设与交于点F，求的长． (2)若动点G从点B向C运动，连接，作四边形关于直线对称图形四边形，如图2．求点G在运动过程中线段扫过的面积． 基础固本练（限时：30分钟） 1．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在半径为4的中，圆心角，则弦的长为（     ） A． B． C．4 D．8 2．（25-26九年级上·广东惠州·期中）在数学综合与实践课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A，B，连接，作的垂直平分线交于点D，交弧于点C，测出，，则圆形工件的半径为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·重庆铜梁·期中）如图，为的直径，，是上的两点，若，则的大小为（  ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）如图，顶点A、B、C均在上，，则为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·河北沧州·期中）如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以为圆心，长度分别为半径，已知扇面宣传板的面积为，若，则扇面宣传板所对的圆心角的度数为（　　） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·辽宁盘锦·期中）下列命题中，不正确的是________ ①圆心角相等，所对的弧相等  ②平分弦的直径垂直于弦  ③长度相等的弧是等弧 ④等弧所对的圆周角相等  ⑤同圆或等圆中，长度相等的弧所对的圆周角相等． 7．（25-26九年级上·宁夏固原·期中）如图，AB是的直径，弦，点在圆上且，则直径______． 8．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）一个圆锥的侧面积为，其底面圆的半径为，则该圆锥的母线长为______ 9．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，点C，D在以为直径的半圆O上，且，若，则的度数为______． 10．（24-25九年级上·广东江门·期中）圆锥的底面半径，高，则圆锥的侧面积是_______． 11．（25-26九年级上·宁夏固原·期中）已知：如图，、、、是上的点，． 求证：． 12．（25-26九年级上·吉林长春·期中）如图，点、、是半径为2的上的三点，．求弦的长． 13．（24-25九年级上·广东东莞·期中）如图，四边形内接于⊙O，为⊙O的直径，平分． (1)判断的形状，并说明理由； (2)若，，求的长． 14．（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，是的弦，，半径，分别与弦，垂直，垂足分别为，，，交于点，交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：四边形是菱形． 15．（25-26九年级上·河南周口·期中）如图，是的直径，C是上一点，过点C的切线交的延长线于点D，连接， ． (1)求证：； (2)若，，求的长． 综合进阶练（限时：60分钟） 1．（25-26九年级上·陕西安康·期中）如图，四边形内接于，，连接，．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，、为弦，为直径，于E，于F，与相交于G．已知的半径为5，，则的长度为（　　） A． B．2 C． D．3 3．（25-26九年级上·陕西安康·期中）如图，是的直径，点C、D都在上，且在的异侧，连接交于点Q，连接．若，，，则的半径为___________． 4．（25-26九年级上·河南焦作·期中）如图，半圆的直径，将半圆绕点旋转，得到半圆，交于点，若，则图中阴影部分的面积为______． 5．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，四边形是的内接四边形，且对角线经过的圆心，过点作，与的延长线交于点，且平分． (1)求证：； (2)过点作于点，连接，若的半径为，求的长． 6．（25-26九年级上·辽宁盘锦·期中）如图，在中，C是弧的中点，于点D，于点E． (1)求证：； (2)若D、E分别是、的中点，连接、，判断四边形的形状，并说明理由． 7．（25-26九年级上·宁夏固原·期中）如图，经过原点且与两坐标轴分别交于点和点，点的坐标为，点的坐标为， (1)求证：线段为的直径； (2)求圆心的坐标． 8．（25-26九年级上·重庆开州·期中）如图，是的内接三角形，是直径，是的中点，交的延长线于． (1)求证：是的切线； (2)点是上一点，连接，，以为圆心，长为半径画圆弧，使点在该圆弧上，再将分别沿，向内翻折，若，求图中阴影部分的面积和．（结果保留） 9．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图1，为的直径，为上一点，和过点的切线互相垂直，垂足为． (1)求证：平分； (2)如图2，延长交直线于点，连接．若，求与、组成的图形的面积． 10．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，已知P为锐角内部一点，过点P作于点B，于点C，以为直径作，交直线于点D，连接，，交于点． (1)求证：； (2)连接，，当，时，在点P的整个运动过程中， ①若，求的长； ②若是以为腰的等腰三角形时，求所有满足条件的的长； (3)当点P与点C重合，如图设连接与的另一交点为F，若点F是线段的中点，则______． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $