专题4.2 等差数列（高效培优讲义）数学人教A版高二选择性必修第二册

专题4.2 等差数列 教学目标 1. 能够准确理解等差数列、公差的定义，熟记等差数列的符号表示，掌握等差数列通项公式；能利用定义判断一个数列是否为等差数列，会用通项公式求等差数列的项、项数、公差。 2. 通过生活实例、数学实例抽象出等差数列概念的过程，培养数学抽象、归纳概括的核心素养；借助通项公式的推导（累加法），提升逻辑推理与规范书写数学过程的能力，体会递推、化归的思想。 3. 感受等差数列 “后项减前项为定值” 的均匀变化特点，体会等差数列模型在实际生活中的应用价值；通过情境例题，激发自主探究数列规律的兴趣，养成严谨的推理习惯。 4. 能够运用等差数列的定义、通项公式解决基础辨析题、计算题；初步学会建立等差数列模型，解决简单的实际问题。 教学重难点 1.重点 等差数列的概念、公差的含义；等差数列的通项公式 an=a1+(n−1)d；利用定义判定等差数列；通项公式的直接应用（知三求一）。 2.难点 等差数列定义中 “从第二项起，每一项与它前一项的差是同一个常数” 的准确理解；通项公式的推导（累加法）；公差d可以是正数、负数、0 的辨析；灵活利用通项公式处理含参数的等差数列问题。 知识点01 等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示． 等差中项 如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项，即． 【即学即练】 1．若数列是等差数列，则数列，，（    ） A．不是等差数列 B．是递增数列 C．是等差数列 D．是递减数列 【答案】C 【详解】设等差数列的公差为，则， ， 所以数列，，是等差数列. 知识点02 等差数列的通项公式 等差数列的通项公式 首相为，公差为的等差数列的通项公式为：， 根据等差数列定义可得：，所以， ， ， …… 当n=1时，上式也成立 所以归纳得出等差数列的通项公式为：（）． 等差数列通项公式的推广 已知等差数列中，第项为，公差为，则． 【即学即练】 1．数列满足递推关系，，则数列的通项公式为_______． 【答案】 【详解】由，得， 令，即，且， 所以是公差为的等差数列， 又，因此， 所以，. 知识点03 等差数列的性质 等差数列中，公差为，则 ①若，且，则， 特别地，当时． ②下标成公差为的等差数列的项，，，…组成的新数列仍为等差数列，公差为． ③若数列也为等差数列，则，，（k，b为非零常数）也是等差数列． ④仍是等差数列． ⑤数列（为非零常数）也是等差数列． 【即学即练】 1．已知数列满足，若数列是递减数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知：， 两边除以：， 令，则.当，， ， ， 代入原式：，代入通项，满足. ，是首项，公差的等差数列. 数列递减，即. 知识点04 等差数列的前n项和公式 等差数列的前项和公式 等差数列的前项和的有关性质 等差数列中，公差为，则 ①连续项的和依然成等差数列，即，，，…成等差数列，且公差为． ②若项数为，则，， ③若项数为，则，，，， 【即学即练】 1．数列中，，则数列的前2026项和______. 【答案】 【详解】因为， 所以 . 题型01 等差数列的通项公式及其应用 等差数列通项公式的求法与应用技巧 （1）等差数列的通项公式可由首项与公差确定，所以要求等差数列的通项公式，只需求出首项与公差即可． （2）等差数列的通项公式中共含有四个参数，即，，，，如果知道了其中的任意三个数，那么就可以由通项公式求出第四个数，这一求未知量的过程，我们通常称之为“知三求一”． （3）通项公式可变形为，可把看作自变量为的一次函数． 【典例1】已知数列满足，，数列前项和． (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列、的通项公式； (3)设，求的前项和，判断的单调性，并写出的取值范围． 【答案】(1)证明：因为，，易知，. 两边取倒数得，，所以. 又，所以数列是首项为1，公差为2的等差数列. (2)， (3)，单调递增，的取值范围为 【详解】（1）略 （2）由（1）知，，所以. 当时，. 当时， . 满足上式， 所以. 综上，， （3）. 所以 . ， 所以单调递增. 单调递增，，， 所以的取值范围为. 综上，，单调递增，的取值范围为. 【变式1】（多选）记数列的前n项和为，若，，则下列选项正确的有（   ） A．数列为等差数列 B． C．的最大值是2 D． 【答案】AD 【详解】设，则， 又， 故是首项为，公差为的等差数列，故A正确； ，故， ，故不恒成立，故B错误； ，时，，故的最大值为5，故C错误； ，且时，， 故，故D正确． 【变式2】已知数列中，，的前项和为，且数列是公差为的等差数列，则________________________． 【答案】 【详解】，故数列是首项为，公差为的等差数列， ，故， 时， ， 满足上式， 故． 题型02 等差中项及应用 若a，A，b成等差数列，则；反之，由也可得到a，A，b成等差数列，所以A是a，b的等差中项． 【典例1】已知等差数列满足，，则（   ） A．1 B．0 C．-1 D．2 【答案】C 【详解】由题意可得， 又，所以，解得. 【变式1】在等差数列中，已知，为方程的两实根，则等于（   ） A．7 B．6 C． D．3 【答案】C 【详解】因为，为方程的两实根，可得， 由等差数列的性质，可得. 【变式2】在等差数列中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】利用等差数列的性质可得. 题型03 等差数列的实际应用 （1）解决实际应用问题，首先要认真领会题意，根据题目条件，寻找有用的信息．若一组数按次序“定量”增加或减少时，则这组数成等差数列． 合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键，在解题过程中，一定要分清首项、项数等关键的问题． （2）能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系，抽象出数列的模型，并能用有关知识解决相应的问题，是数学建模的核心素养的体现． 【典例1】某网店的衣服从小到大有S，M，L，XL，XXL，XXXL，XXXXL，共7个尺码，其中L码最适合体重65kg的人，XXXXL码最适合体重95kg的人，且相邻两个尺码最适合的人的体重之差相等，则相邻两个尺码最适合的人的体重之差的绝对值为（    ） A．7.5kg B．6.5kg C．7kg D．6kg 【答案】A 【详解】设该网店的衣服7个尺码最适合的人的体重从小到大为数列，则为等差数列， ，，所以该数列的公差， 故相邻两个尺码最适合的人的体重之差的绝对值为7.5kg. 【变式1】已知数列，的通项公式分别为，，由，的公共项从小到大排列得到的数列为，则（   ） A．1941 B．1961 C．1981 D．2001 【答案】C 【详解】由题可知是首项为1，公差为4的等差数列，是首项为1，公差为5的等差数列， 则这两个数列的公共项从小到大排列构成的新数列是首项为1，公差为20的等差数列，故. 故选：C. 【变式2】已知定义在的函数，满足，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，等式两边同时除以， 得到. 设，则，且. 所以是以0为首项，为公差的等差数列. 所以该数列的通项公式为. 所以. 所以. 故选：B. 题型04 等差数列性质的应用 等差数列运算的两种常用思路 （1）基本量法：根据已知条件，列出关于，的方程（组），确定，，然后求其他量． （2）巧用性质法：观察等差数列中项的序号，若，且，则． 【典例1】等差数列的前项和为，，则_____________． 【答案】 【详解】因为为等差数列，所以，所以 因此. 【变式1】已知等差数列，，，若，则（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】C 【详解】由，，得等差数列的公差为， 所以，所以， 又数列的公差不为，所以数列为单调数列， 所以结合，可得，故． 【变式2】与的公共项从小到大构成新数列，则的最小项为______. 【答案】 【详解】是以13为首项，14为公差的等差数列，. 令， 根据在上单调递减，上单调递减， 又时，，时，，最小值为. 题型05 等差数列前项和的有关计算 等差数列中的基本计算 （1）利用基本量求值： 等差数列的通项公式和前项和公式中有五个量和，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量和的方程组，解出和，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想． （2）结合等差数列的性质解题： 等差数列的常用性质：若，则，常与求和公式结合使用 【典例1】已知是等差数列的前n项和，若，则，求为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【详解】对于等差数列（），其前项和满足公式，因此. 根据等差数列下标和性质：若且，则，因此. 将、代入前项和表达式：， 代入化简： ，解得. 【变式1】已知等差数列、的前n项和分别为、，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题知，设， 则，， 故． 【变式2】已知等差数列的首项，公差为．记的前n项和为，． (1)求通项及； (2)若公差，求所有的正整数，使得为中的某一项. 【答案】(1)，或， (2) 【详解】（1）因为， 所以，即， 所以或， 当时，则， 当时，得，所以. （2）当公差时，，则， 因此有， 故若使得为中的某一项，则必为整数，而对正整数,， 结合的取值可为、，，，，，，可得或， 则或， 当时，不是中的一项， 当时，是中的第8项， 所以只有符合题意. 题型06 等差数列前项和的比值问题 设，的前项和为，，则 【典例1】已知等差数列 与等差数列 的前 项和分别记为 ，，若 ，则 的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，， 所以 ． 【变式1】已知等差数列和的前n项和分别为和，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为为等差数列，所以； 因为为等差数列，所以且； 又因为，所以，即， 则. 【变式2】已知等差数列和的前项和分别为和，且，则____________． 【答案】 【详解】. 题型07 等差数列前项和的最值问题 （1）等差数列前项和最大（小）值的情形 ①若，，则存在最大值，即所有非负项之和． ②若，，则存在最小值，即所有非正项之和． （2）求等差数列前项和最值的方法 ①寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用 或来寻找．②运用二次函数求最值． 【典例1】已知数列 的前 项和为 . (1)写出数列的前项: ； (2)求前 项和 的最小值； (3)求出 的通项公式. 【答案】(1)，， (2) (3) 【详解】（1）已知数列 的前 项和为 ， 所以， ， . （2）已知数列 的前 项和为 ， 所以的对称轴为，又因为，所以当或 时，取最小值， 由于，， 所以的最小值为， （3）当时， ， 当时，， 所以. 【变式1】已知数列，都是等差数列，公差分别为，，数列满足， (1)数列是不是等差数列？若是，证明你的结论；若不是，请说明理由； (2)若，的公差都等于2，，求数列前项和的最小值． 【答案】(1)证明：数列是等差数列. 理由如下：由数列满足， 可得， 因为数列都是等差数列，公差分别为，， 所以， 又因为和都为常数，所以为常数， 所以数列是等差数列. (2) 【详解】（1）略 （2）解：由题意知，数列的公差，且， 所以， 又由数列的公差，且， 所以， 所以， 令，即，解得， 因为，所以时，；当时，， 所以数列的前18项均为负数，从第19项开始为正数， 所以当时，前项和取得最小值，且， 所以数列前项和的最小值为. 【变式2】已知是等差数列，是的前项和，且满足，． (1)求数列的通项公式； (2)求的最大值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设公差为 ，则 ，解得， 故 . （2），， 当 时， 取得最大值 . 题型08 求数列的前项和 已知等差数列，求绝对值数列的有关问题是一种常见的题型，解决此类问题的核心便是去掉绝对值，此时应从其通项公式入手，分析哪些项是正的，哪些项是负的，即找出正、负项的“分界点”． 【典例1】已知等差数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列前项和. 【答案】(1)（）. (2)（）. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由题意， 解得，， 所以（）. （2）设， 所以，所以数列是以为首项，2为公差的等差数列． 再设（）. 当，时， ； 当，时， ． 所以 （）. 【变式1】已知数列的前n项和为，数列是以-5为首项，1为公差的等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由 ，得 . 当 时： 又 ， 故 （2） 因为，所以 所以 当 当 【变式2】记为等差数列的前n项和，已知. (1)求的通项公式； (2)求数列的前10项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设等差数列的公差为，则根据题目条件有， 解得，， 因此数列的通项公式为. （2）当时，，因此当时，，当时，， 设为数列的前项和， 则， 因为， 故. 题型09 等差数列片段和的性质 连续项的和依然成等差数列，即，，，…成等差数列，且公差为． 【典例1】记为等差数列的前项和，若，，则______________． 【答案】 【详解】若为等差数列，其前项和满足：仍成等差数列， 所以，则 解得. 【变式1】设数列的前项和为，，且对任意的都有.若存在，使得，则实数等于______. 【答案】15或-14 【详解】由前项和定义：，已知，因此. 已知对任意，， 当时，有，两式相减得： ，因此数列的奇数项、偶数项均为公差为2的等差数列. 由，得，可得通项： 奇数项：， 偶数项：. 根据，分两种情况： 情况1：为奇数，设，则，得. 此时为偶数，分组求和： ， 令，得方程，解得正根，因此. 情况2：为偶数，设，则，得. 此时为奇数，分组求和得：， 代入，得方程，解得正根，因此. 综上，或. 【变式2】等差数列中，前项和为104，其中奇数项之和为40，且，则数列公差为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】前项中，奇数项共项，偶数项共项， 由前项和为，奇数项和为， 因此偶数项和为， 设等差数列的公差为， 每一个偶数项比对应前一个奇数项多1个公差，共组， 因此， 由，得， 两式相减， 因此数列公差为. 题型10 等差数列的奇数项与偶数项和 （1）若项数为，则，， （2）若项数为，则，，，， 【典例1】已知数列满足，． (1)证明：数列为等差数列； (2)求数列的前n项和； (3)若将数列中满足的项，（）称为数列中的相同项，将数列的前20项中所有的相同项都剔除，求数列的前20项中余下项的和． 【答案】(1) 数列满足，， 设，则， 有， 所以 ， 所以数列是首项为3，公差为3的等差数列，即数列为等差数列； (2) (3) 【详解】（1）略 （2）由（1）可知，， 设，同理可证数列是首项为12，公差为9的等差数列，即， 当时，前项包含个奇数项和个偶数项； 所以， 将代入可得， 当时， ， 将代入可得， 所以； （3）由（2）可知，列举出数列的前20项为： 奇数项：， 偶数项：， 相同的项为：， 数列的前20项中余下项的和为. 【变式1】已知数列满足，， (1)求； (2)当为奇数时，求数列的前项和 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以数列构成首项为，公差为的等差数列， 所以. （2）由，所以数列构成首项为，公差为的等差数列，得到， 设， 则， 又，所以为奇数时， 【变式2】已知数列对于任意，都有，若，则（     ） A．9 B．12 C．16 D．18 【答案】A 【详解】因为，，不妨令，由得：， 即， 所以数列是以为公差的等差数列， 因此. 1．等差数列，，，，，则是这个数列的第（    ）项 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由等差数列前几项可得，该等差数列首项为，公差为， 则该等差数列通项公式， 令，则，则是这个数列的第项. 2．设是数列的前项和，且，则的通项公式为________． 【答案】 【详解】由题得，， 所以， 当时，， 所以. 3．若等差数列的首项，前项和，则______． 【答案】 【详解】因为是等差数列，所以，解得. 4．已知数列中，，；数列为等差数列，且满足：，． (1)求数列的通项公式； (2)令，若数列为严格减数列，求实数的取值范围． 【答案】(1)​ (2)​ 【详解】（1）由，得，又，所以数列是首项为2、公比为2的等比数列． 因此，故． （2）由第（1）问得，由得． 设等差数列的公差为，则，所以． 因为，所以． 数列为严格减数列的充要条件是对任意，均有，即． 因为，所以，且当时取到最小值，故上述不等式对所有正整数恒成立的充要条件为． 5．已知数列满足，且． (1)证明：数列是等差数列； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1)对递推式两边同时除以， 可得，即， 又首项，因此数列是以1为首项，2为公差的等差数列. (2) 【详解】（1）略 （2）由（1）知，等差数列的通项为， 因此，所以， 所以，即数列是首项为、公差为的等差数列， 故数列的前n项和为. 6．已知在正项数列中，且，其中为数列的前n项和． (1)求证：是等差数列，并求的通项公式； (2)若数列，求数列的最大值； (3)若，，求数列的前n项和． 【答案】(1)当时，由前项和定义得：， 已知，则， 是正项数列，故，，则， 又，故是首项为1，公差为1的等差数列， 由等差数列通项得，故， 当时，， 当时，，符合上式， 故． (2) (3) 【详解】（1）略，． （2），则，令，则， 解得， 故时，，数列递增； 时，，数列递减； 故数列先增后减，最大值为第3项，． （3）由得，两式相减得：， 即的奇数项、偶数项分别构成公差为2的等差数列， 由，则， ①当为偶数时，设， 奇数项共项，首项1，公差2，和为； 偶数项共项，首项0，公差2，和为； 故； ②当为奇数时，， 则， 综上可得． 7．设数列满足递推关系：且， (1)设，求证：数列是等差数列； (2)求出数列的通项公式； (3)设，求数列的前项和 【答案】(1)证明： ∵， ∴，即， ∴数列是等差数列，且公差，其首项为； (2)； (3)． 【详解】（1）略 （2）由（1）可知，则； （3）由（2）可知， 则， ∴． 8．已知数列，满足，，. (1)证明：数列为等差数列； (2)求数列的前项和； (3)求满足中的最小值. 【答案】(1)由， 因为，所以， 则，又， 所以数列是以2为首项，以1为公差的等差数列. (2) (3)2025 【详解】（1）略 （2）由（1）知，， 所以， 则. （3）由（2）知，， 由，得，即， 则满足中的最小值为2025. 9．已知数列满足，，令． (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式． 【答案】(1)证明：由于， 故， 因此数列是公差为的等差数列． (2) 【详解】（1）略 （2）由题设可得，故， 所以，解得． 10．已知等差数列的前n项和为，且，. (1)求的通项公式及前n项和； (2)求数列的前20项和. 【答案】(1)， (2)106 【详解】（1）因为，所以， 设等差数列的公差为d，则， 从而，故， . （2）因为公差，所以数列是递增数列，令，解得， 所以当时，；当时，；当时，， 由（1）知，， 所以， 因为，所以. 1．设是等差数列的前项和，是数列的前项和.若，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设等差数列的公差为， 因为，可得，解得， 所以，所以， 则， 所以是以为首项，为公差的等差数列. 所以. 2．在数列中，，若，，则n的值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【详解】，，， 即，，则有，， 又时，成立， 所以，， 又，，，整理得， 解得或（舍）， 则. 3．若方程的四个根组成一个首项为的等差数列，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设两个二次方程 、 的根分别为和， 由韦达定理可得：，，因此四个根的和为. 因为已知四个根组成一个首项的等差数列，设公差为， 由等差数列前项和公式：，解得 . 因此四个根按顺序为：​。 根据两组根的和都为，可知配对方式只能是​和​为一组、和为另一组. 由韦达定理，两根之积分别对应和，则可取，. ​ 故. 4．与的公共项从小到大构成新数列，则的通项公式为________________.则的最小项的值为____________. 【答案】 【详解】取得， 则为2的倍数，即为偶数， 则为偶数， 令，代入得， ，即通项公式为； 当时，，此时，反之，当时，， 则的最小值在取到， 当时， 有， ，， 则， 当时，， 故的最小值为. 5．已知公差为的等差数列的前项和为，且，若对于任意，恒成立，则符合条件的公差的一个取值为_________． 【答案】（答案不唯一，均可） 【详解】由得，解得， 由得，即，解得. 6．已知数列满足，，若数列满足，则数列的前n项和=____________ 【答案】 【详解】由题意得：，所以， 所以，即，， 所以数列是以首项为，公差为的等差数列， 所以，所以， 所以， 所以， 所以. 7．记是数列的前项和，，且数列是等差数列． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，得， 所以， 所以， 所以数列是首项为，公差为的等差数列. 所以， 所以. 当时，， 所以； ，符合上式， 所以. （2）， 所以， . 所以 . 8．已知数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前20项和的值. 【答案】(1) (2)440 【详解】（1）当时，， 当时，， 当时，， 所以数列的通项公式为 （2）令，则， 所以当时，，当时，， 所以 . 9．在数列中，，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）在数列中，，，则，即， 因此数列是公差为的等差数列， 又，则， 所以数列的通项公式. （2）由（1）知， 所以数列的前项和． 10．已知等差数列中，，为其前项和，． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前2026项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设等差数列公差为，①， ②． 联立①，②解得，，的通项公式． （2）， ． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.2 等差数列 教学目标 1. 能够准确理解等差数列、公差的定义，熟记等差数列的符号表示，掌握等差数列通项公式；能利用定义判断一个数列是否为等差数列，会用通项公式求等差数列的项、项数、公差。 2. 通过生活实例、数学实例抽象出等差数列概念的过程，培养数学抽象、归纳概括的核心素养；借助通项公式的推导（累加法），提升逻辑推理与规范书写数学过程的能力，体会递推、化归的思想。 3. 感受等差数列 “后项减前项为定值” 的均匀变化特点，体会等差数列模型在实际生活中的应用价值；通过情境例题，激发自主探究数列规律的兴趣，养成严谨的推理习惯。 4. 能够运用等差数列的定义、通项公式解决基础辨析题、计算题；初步学会建立等差数列模型，解决简单的实际问题。 教学重难点 1.重点 等差数列的概念、公差的含义；等差数列的通项公式 an=a1+(n−1)d；利用定义判定等差数列；通项公式的直接应用（知三求一）。 2.难点 等差数列定义中 “从第二项起，每一项与它前一项的差是同一个常数” 的准确理解；通项公式的推导（累加法）；公差d可以是正数、负数、0 的辨析；灵活利用通项公式处理含参数的等差数列问题。 知识点01 等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示． 等差中项 如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项，即 ． 【即学即练】 1．若数列是等差数列，则数列，，（    ） A．不是等差数列 B．是递增数列 C．是等差数列 D．是递减数列 知识点02 等差数列的通项公式 等差数列的通项公式 首相为，公差为的等差数列的通项公式为：， 根据等差数列定义可得：，所以， ， ， …… 当n=1时，上式也成立 所以归纳得出等差数列的通项公式为： （）． 等差数列通项公式的推广 已知等差数列中，第项为，公差为，则 ． 【即学即练】 1．数列满足递推关系，，则数列的通项公式为_______． 知识点03 等差数列的性质 等差数列中，公差为，则 ①若，且，则， 特别地，当时． ②下标成公差为的等差数列的项，，，…组成的新数列仍为等差数列，公差为． ③若数列也为等差数列，则，，（k，b为非零常数）也是等差数列． ④仍是等差数列． ⑤数列（为非零常数）也是等差数列． 【即学即练】 1．已知数列满足，若数列是递减数列，则（    ） A． B． C． D． 知识点04 等差数列的前n项和公式 等差数列的前项和公式 等差数列的前项和的有关性质 等差数列中，公差为，则 ①连续项的和依然成等差数列，即，，，…成等差数列，且公差为． ②若项数为，则，， ③若项数为，则，，，， 【即学即练】 1．数列中，，则数列的前2026项和______. 题型01 等差数列的通项公式及其应用 等差数列通项公式的求法与应用技巧 （1）等差数列的通项公式可由首项与公差确定，所以要求等差数列的通项公式，只需求出首项与公差即可． （2）等差数列的通项公式中共含有四个参数，即，，，，如果知道了其中的任意三个数，那么就可以由通项公式求出第四个数，这一求未知量的过程，我们通常称之为“知三求一”． （3）通项公式可变形为，可把看作自变量为的一次函数． 【典例1】已知数列满足，，数列前项和． (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列、的通项公式； (3)设，求的前项和，判断的单调性，并写出的取值范围． 【变式1】（多选）记数列的前n项和为，若，，则下列选项正确的有（   ） A．数列为等差数列 B． C．的最大值是2 D． 【变式2】已知数列中，，的前项和为，且数列是公差为的等差数列，则________________________． 题型02 等差中项及应用 若a，A，b成等差数列，则；反之，由也可得到a，A，b成等差数列，所以A是a，b的等差中项． 【典例1】已知等差数列满足，，则（   ） A．1 B．0 C．-1 D．2 【变式1】在等差数列中，已知，为方程的两实根，则等于（   ） A．7 B．6 C． D．3 【变式2】在等差数列中，，，则（    ） A． B． C． D． 题型03 等差数列的实际应用 （1）解决实际应用问题，首先要认真领会题意，根据题目条件，寻找有用的信息．若一组数按次序“定量”增加或减少时，则这组数成等差数列． 合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键，在解题过程中，一定要分清首项、项数等关键的问题． （2）能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系，抽象出数列的模型，并能用有关知识解决相应的问题，是数学建模的核心素养的体现． 【典例1】某网店的衣服从小到大有S，M，L，XL，XXL，XXXL，XXXXL，共7个尺码，其中L码最适合体重65kg的人，XXXXL码最适合体重95kg的人，且相邻两个尺码最适合的人的体重之差相等，则相邻两个尺码最适合的人的体重之差的绝对值为（    ） A．7.5kg B．6.5kg C．7kg D．6kg 【变式1】已知数列，的通项公式分别为，，由，的公共项从小到大排列得到的数列为，则（   ） A．1941 B．1961 C．1981 D．2001 【变式2】已知定义在的函数，满足，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 题型04 等差数列性质的应用 等差数列运算的两种常用思路 （1）基本量法：根据已知条件，列出关于，的方程（组），确定，，然后求其他量． （2）巧用性质法：观察等差数列中项的序号，若，且，则． 【典例1】等差数列的前项和为，，则_____________． 【变式1】已知等差数列，，，若，则（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【变式2】与的公共项从小到大构成新数列，则的最小项为______. 题型05 等差数列前项和的有关计算 等差数列中的基本计算 （1）利用基本量求值： 等差数列的通项公式和前项和公式中有五个量和，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量和的方程组，解出和，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想． （2）结合等差数列的性质解题： 等差数列的常用性质：若，则，常与求和公式结合使用 【典例1】已知是等差数列的前n项和，若，则，求为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式1】已知等差数列、的前n项和分别为、，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知等差数列的首项，公差为．记的前n项和为，． (1)求通项及； (2)若公差，求所有的正整数，使得为中的某一项. 题型06 等差数列前项和的比值问题 设，的前项和为，，则 【典例1】已知等差数列 与等差数列 的前 项和分别记为 ，，若 ，则 的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知等差数列和的前n项和分别为和，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知等差数列和的前项和分别为和，且，则____________． 题型07 等差数列前项和的最值问题 （1）等差数列前项和最大（小）值的情形 ①若，，则存在最大值，即所有非负项之和． ②若，，则存在最小值，即所有非正项之和． （2）求等差数列前项和最值的方法 ①寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用 或来寻找．②运用二次函数求最值． 【典例1】已知数列 的前 项和为 . (1)写出数列的前项: ； (2)求前 项和 的最小值； (3)求出 的通项公式. 【变式1】已知数列，都是等差数列，公差分别为，，数列满足， (1)数列是不是等差数列？若是，证明你的结论；若不是，请说明理由； (2)若，的公差都等于2，，求数列前项和的最小值． 【变式2】已知是等差数列，是的前项和，且满足，． (1)求数列的通项公式； (2)求的最大值． 题型08 求数列的前项和 已知等差数列，求绝对值数列的有关问题是一种常见的题型，解决此类问题的核心便是去掉绝对值，此时应从其通项公式入手，分析哪些项是正的，哪些项是负的，即找出正、负项的“分界点”． 【典例1】已知等差数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列前项和. 【变式1】已知数列的前n项和为，数列是以-5为首项，1为公差的等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和 【变式2】记为等差数列的前n项和，已知. (1)求的通项公式； (2)求数列的前10项和. 题型09 等差数列片段和的性质 连续项的和依然成等差数列，即，，，…成等差数列，且公差为． 【典例1】记为等差数列的前项和，若，，则______________． 【变式1】设数列的前项和为，，且对任意的都有.若存在，使得，则实数等于______. 【变式2】等差数列中，前项和为104，其中奇数项之和为40，且，则数列公差为（    ） A． B． C． D． 题型10 等差数列的奇数项与偶数项和 （1）若项数为，则，， （2）若项数为，则，，，， 【典例1】已知数列满足，． (1)证明：数列为等差数列； (2)求数列的前n项和； (3)若将数列中满足的项，（）称为数列中的相同项，将数列的前20项中所有的相同项都剔除，求数列的前20项中余下项的和． 【变式1】已知数列满足，， (1)求； (2)当为奇数时，求数列的前项和 【变式2】已知数列对于任意，都有，若，则（     ） A．9 B．12 C．16 D．18 1．等差数列，，，，，则是这个数列的第（    ）项 A． B． C． D． 2．设是数列的前项和，且，则的通项公式为________． 3．若等差数列的首项，前项和，则______． 4．已知数列中，，；数列为等差数列，且满足：，． (1)求数列的通项公式； (2)令，若数列为严格减数列，求实数的取值范围． 5．已知数列满足，且． (1)证明：数列是等差数列； (2)求数列的前n项和． 6．已知在正项数列中，且，其中为数列的前n项和． (1)求证：是等差数列，并求的通项公式； (2)若数列，求数列的最大值； (3)若，，求数列的前n项和． 7．设数列满足递推关系：且， (1)设，求证：数列是等差数列； (2)求出数列的通项公式； (3)设，求数列的前项和 8．已知数列，满足，，. (1)证明：数列为等差数列； (2)求数列的前项和； (3)求满足中的最小值. 9．已知数列满足，，令． (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式． 10．已知等差数列的前n项和为，且，. (1)求的通项公式及前n项和； (2)求数列的前20项和. 1．设是等差数列的前项和，是数列的前项和.若，则等于（ ） A． B． C． D． 2．在数列中，，若，，则n的值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 3．若方程的四个根组成一个首项为的等差数列，则（     ） A． B． C． D． 4．与的公共项从小到大构成新数列，则的通项公式为________________.则的最小项的值为____________. 5．已知公差为的等差数列的前项和为，且，若对于任意，恒成立，则符合条件的公差的一个取值为_________． 6．已知数列满足，，若数列满足，则数列的前n项和=____________ 7．记是数列的前项和，，且数列是等差数列． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 8．已知数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前20项和的值. 9．在数列中，，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 10．已知等差数列中，，为其前项和，． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前2026项和． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $