专题31.1.3 弧、弦、圆心角（高效培优讲义）数学新教材沪教版九年级下册

专题31.1 弧、弦、圆心角 教学目标 1. 了解弧、优弧、劣弧、等弧、弦、圆心角等概念； 2. 理解圆心角、弧、弦之间的关系的定理及推论； 3. 应用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系求解或证明． 教学重难点 重点： 1. 弧、弦、圆心角等概念； 2. 圆心角、弧、弦之间的关系； 难点： 圆心角、弧、弦之间的关系的综合应用。 知识点01 基本概念 1. 弦 (1)以圆上任意两点为端点的线段叫作弦； (2)经过圆心的弦称为直径,直径是圆内最长的弦； (3)最短的弦 过圆内一点最短的弦是与过该点的直径相垂直的弦。如图（1）中，过点P最长的弦是直径AB，最短的弦是EF。 2. 弧 (1)圆上任意两点间的部分称为圆弧，简称弧。如图（2），是圆上A,B两点之间的部分(图中绿色的部分)，不是两点之间的线段。 (2)直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧称为半圆。半圆属于弧。 (3)小于半圆的弧称为劣弧，通常用两个端点表示如图（2）中的、；大于半圆的弧称为优弧，通常用弧上的三个点表示，如图（2）中的； 3. 等圆与等弧 (1)能够重合的两个圆叫作等圆，半径相等的圆是等圆。 (2)能够重合的两条弧叫作等弧，等弧的半径相等，弧长也相等。 4. 圆心角 顶点在圆心的角称为圆心角，如图（2）中的∠AOB是所对的圆心角，圆心角∠BOC是所对的圆心角。 弧的度数即为它所对圆心角的度数，1°的圆心角所对的弧称为1°的弧。 【即学即练】 1. 如图，、是⊙O的直径，弦，弧的度数为，求的度数． 知识点02 弧、弦、圆心角关系定理及推论 1. 圆的对称性 既是轴对称图形还是旋转对称图形。在平面上，一个圆绕着它的圆心旋转任意角度后与它自身重合。当旋转角度等于180°时，我们得到以下定理： 定理 圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心. 2. 弧、弦、圆心角关系定理 定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 这个定理用符号语言表示为： ∵∠AOB=∠A´OB´， ∴=，AB=A´B´ 推论：在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦也相等。 推论：在同圆或等圆中,相等的弦所对的劣弧相等，所对的优弧也相等。 【即学即练】 2. 在中，圆心角，则弦与弦的关系是（     ） A． B． C． D．不能确定 题型01 概念辨析 【典例1】下列说法正确的是（     ） A．过圆心的线段是直径 B．圆既是轴对称图形又是中心对称图形 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．半圆是弧，弧也是半圆 【变式1】下列说法：①三点确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③同圆或等圆中，等弧所对的弦相等；④长度相等的弧称为等弧；其中正确的个数共有（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式2】下列说法正确的是（   ） A．圆的周长都相等 B．圆上任意两点间的部分叫做圆弧 C．顶点在圆上的角叫做圆心角 D．由一条弧和经过这条弧的两个端点的两条线段组成的图形叫做扇形 【变式3】下列说法： ①三点确定一个圆； ②相等的圆心角所对的弧相等； ③同圆或等圆中，等弧所对的弦相等； ④长度相等的弧称为等弧． 正确的个数共有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型02 与弧、弦有关的大小比较 【典例1】如图，在⊙O中，，则下列结论正确的是(   ) A．AB>2CD B．AB＝2CD C．AB<2CD D．以上都不正确 【变式1】如图，在三个等圆上各有一条劣弧：弧AB、弧CD、弧EF，如果，那么AB+CD与EF的大小关系是（　　） A．AB+CD=EF B．AB+CD＜EF C．AB+CD＞EF D．大小关系不确定 【变式2】如图，、、是半径为的上三点，若，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【变式3】如图，以为圆心的，、三等分，连、，下列结论错误的是（    ） A． B．若，则 C． D． 题型03 圆心角 【典例1】下列图形中的角是圆心角的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】如图，为的弦，，则所对的圆心角等于（     ）． A． B． C． D． 【变式2】如图，在中，AB是弦，C是上一点．若，，则所对的圆心角度数为（    ） A． B． C． D． 【变式3】如图，AB为的直径，点C，D在上．若，则的度数是（    ） A．15° B．20° C．25° D．30° 题型04 弧、弦、圆心角之间的关系 【典例1】如图，点，，，在上，．求证： 【变式1】如图，是的半径，且，D、E分别是的中点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【变式2】如图所示，以平行四边形的顶点为圆心，为半径作圆，分别交，于点，，延长交于点． (1)求证：； (2)连接，若四边形是菱形，，则阴影部分的面积为__________． 【变式3】如图，在中，，． (1)求证：； (2)若，求的半径． 【变式4】如图，已知AB是⊙O的直径，M，N分别是AO，BO的中点，CM⊥AB，DN⊥AB．求证： ． 题型05 作辅助线——弦心距 【典例1】如图，与是的两条弦，，，垂足分别是E，F．，分别叫作弦，的弦心距． (1)若，求证：． (2)若，求证：，． 【变式1】如图，分别为的两条弦，于M，于N，且，则下列结论中，正确的个数为（　　） ①；②；③． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式2】已知：如图，在中，，弦与弦相交于点P．求证：圆心O到弦，的距离相等． 【变式3】如图，的弦的延长线交于点P，连接，且平分．求证：． 【变式4】已知:如图， O的弦AB与CD相交于点E，AB=CD. 求证：AE=DE. 1．下列说法中，不正确的是（    ） A．在同圆或等圆中，若两弧相等，则它们所对的弦相等 B．在同一个圆中，若弦长等于半径，则该弦所对的劣弧的度数为60° C．在同一个圆中，若两弧不等，则优弧所对的圆心角较大 D．若两弧的度数相等，则这两条弧是等弧 2. 如图， 是的直径，， 若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 2.如图，在三个等圆上各有一条劣弧：弧AB、弧CD、弧EF，如果，那么AB+CD与EF的大小关系是（　　） A．AB+CD=EF B．AB+CD＜EF C．AB+CD＞EF D．大小关系不确定 3.结合各自对应图形，给出的相应推理中，其中正确的是（    ） ∵ ∴ （1） ∵ ∴ （2） P ∵∠APD=∠BPC ∴ （3） ∵ ∴ （4） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4.如图，在中，，D、E分别是半径与的中点，连接，，则下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，已知、是的直径，，，则 6. 如图，经过五边形的四个顶点，若，所对的圆心角的度数为 ． 7. 如图，在中，，，以点C为圆心、为半径的圆交于点D，求弦所对圆心角的度数． 8. 如图，都是的弦，，则与相等吗？为什么？ 9. 如图，点，，，在上，．求证：． 10. 如图，为的弦，半径分别交于点，且．求证：． 1．下列说法：（1）直径是弦；（2）弦是直径；（3）半圆是弧，但弧不一定是半圆；（4）半径相等的两个圆是等圆；（5）长度相等的两条弧是等弧．其中错误的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．在中，AB，CD为两条弦，下列说法：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．把一张半径为的圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则劣弧的长为（    ） A． B． C． D． 4．如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转一个角度，使点O的对应点D落在弧上．点B的对应点为C．连接BC．则BC的长度是（　　） A．4 B． C．2 D．3 5. 一条弦把圆分成1：2两部分，那么这条弦所对的圆心角的度数为_____． 6．如图，在正方形纸片ABCD中，EF∥AD，M，N是线段EF的六等分点，若把该正方形纸片卷成一个圆柱，使点A与点D重合，此时，底面圆的直径为10cm，则圆柱上M，N两点间的距离是____cm． 7．已知：如图，点P是⊙O外的一点，PB与⊙O相交于点A、B，PD与⊙O相交于C、D，AB=CD． 求证：（1）PO平分∠BPD； （2）PA=PC． 8. 如图，在中，，截三边所得的弦长，求∠AOC度数 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题31.1 弧、弦、圆心角 教学目标 1. 了解弧、优弧、劣弧、等弧、弦、圆心角等概念； 2. 理解圆心角、弧、弦之间的关系的定理及推论； 3. 应用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系求解或证明． 教学重难点 重点： 1. 弧、弦、圆心角等概念； 2. 圆心角、弧、弦之间的关系； 难点： 圆心角、弧、弦之间的关系的综合应用。 知识点01 基本概念 1. 弦 (1)以圆上任意两点为端点的线段叫作弦； (2)经过圆心的弦称为直径,直径是圆内最长的弦； (3)最短的弦 过圆内一点最短的弦是与过该点的直径相垂直的弦。如图（1）中，过点P最长的弦是直径AB，最短的弦是EF。 2. 弧 (1)圆上任意两点间的部分称为圆弧，简称弧。如图（2），是圆上A,B两点之间的部分(图中绿色的部分)，不是两点之间的线段。 (2)直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧称为半圆。半圆属于弧。 (3)小于半圆的弧称为劣弧，通常用两个端点表示如图（2）中的、；大于半圆的弧称为优弧，通常用弧上的三个点表示，如图（2）中的； 3. 等圆与等弧 (1)能够重合的两个圆叫作等圆，半径相等的圆是等圆。 (2)能够重合的两条弧叫作等弧，等弧的半径相等，弧长也相等。 4. 圆心角 顶点在圆心的角称为圆心角，如图（2）中的∠AOB是所对的圆心角，圆心角∠BOC是所对的圆心角。 弧的度数即为它所对圆心角的度数，1°的圆心角所对的弧称为1°的弧。 【即学即练】 1. 如图，、是⊙O的直径，弦，弧的度数为，求的度数． 【答案】 【分析】连接，由弧的度数为，得到，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求出，再由，即可得到． 【详解】解：连接，如图， ∵弧的度数为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵弦， ∴． 知识点02 弧、弦、圆心角关系定理及推论 1. 圆的对称性 既是轴对称图形还是旋转对称图形。在平面上，一个圆绕着它的圆心旋转任意角度后与它自身重合。当旋转角度等于180°时，我们得到以下定理： 定理 圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心. 2. 弧、弦、圆心角关系定理 定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 这个定理用符号语言表示为： ∵∠AOB=∠A´OB´， ∴=，AB=A´B´ 推论：在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦也相等。 推论：在同圆或等圆中,相等的弦所对的劣弧相等，所对的优弧也相等。 【即学即练】 2. 在中，圆心角，则弦与弦的关系是（     ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】作的平分线构造等圆心角，得到等弦，结合三角形三边关系比较弦长大小． 【详解】解：如图，作的平分线，交于点，连接、、、， 则， ∵， ∴， ∵在同圆中，相等的圆心角所对的弦相等， ∴， 在中，， ∴，即． 题型01 概念辨析 【典例1】下列说法正确的是（     ） A．过圆心的线段是直径 B．圆既是轴对称图形又是中心对称图形 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．半圆是弧，弧也是半圆 【答案】B 【分析】根据圆相关定义逐项判断即可． 【详解】解：A．过圆心且两端都在圆上的线段是直径，故原说法不正确，不符合题意； B．圆的对称轴为任意过圆心的直线，对称中心为圆心，既是轴对称图形又是中心对称图形，故原说法正确，符合题意； C．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故原说法不正确，不符合题意； D．半圆是弧，但弧包含优弧、劣弧、半圆，弧不一定是半圆，故原说法不正确，不符合题意； 【变式1】下列说法：①三点确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③同圆或等圆中，等弧所对的弦相等；④长度相等的弧称为等弧；其中正确的个数共有（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】本题考查确定圆的条件，圆的认识，圆心角，弧，弦的关系以及垂径定理，根据确定圆的条件，圆心角，弧，弦之间的关系以及垂径定理一一判断即可． 【详解】解：①不在同一直线上的三点确定一个圆，故原说法错误； ②在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故原说法错误； ③同圆或等圆中，等弧所对的弦相等，正确； ④能够重合的弧称为等弧，长度相等的弧不一定是等弧，故原说法错误； ∴正确的只有③，共1个． 故选：D． 【变式2】下列说法正确的是（   ） A．圆的周长都相等 B．圆上任意两点间的部分叫做圆弧 C．顶点在圆上的角叫做圆心角 D．由一条弧和经过这条弧的两个端点的两条线段组成的图形叫做扇形 【答案】B 【分析】本题考查了圆的概念理解，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据圆的周长、圆弧、圆心角、扇形的定义分别判断即可． 【详解】解：A、半径相等的圆的周长相等，原说法错误，不符合题意； B、圆上任意两点间的部分叫做圆弧，正确，符合题意； C、顶点在圆心的角叫做圆心角，原说法错误，不符合题意； D、由一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫扇形，原说法错误，不符合题意； 故选：B． 【变式3】下列说法： ①三点确定一个圆； ②相等的圆心角所对的弧相等； ③同圆或等圆中，等弧所对的弦相等； ④长度相等的弧称为等弧． 正确的个数共有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查确定圆的条件，圆的认识，圆心角，弧，弦的关系，根据确定圆的条件，圆心角，弧，弦之间的关系，等弧的定义一一判断即可． 【详解】解：①三点确定一个圆；错误，条件是三个点不在同一直线上； ②相等的圆心角所对的弧相等；错误，条件是在同圆或等圆中； ③同圆或等圆中，等弧所对的弦相等；正确； ④长度相等的弧称为等弧，错误，长度相等的弧不一定是等弧． 故选：A． 题型02 与弧、弦有关的大小比较 【典例1】如图，在⊙O中，，则下列结论正确的是(   ) A．AB>2CD B．AB＝2CD C．AB<2CD D．以上都不正确 【答案】C 【详解】试题分析：首先取的中点E，连接AE，BE，由在⊙O中， =2，可证得==，即可得AE=BE=CD，然后由三角形的三边关系，求得答案． 解：取的中点E，连接AE，BE， ∵在⊙O中，=2， ∴==， ∴AE=BE=CD， ∵在△ABE中，AE+BE＞AB， ∴2CD＞AB． 故选C． 【变式1】如图，在三个等圆上各有一条劣弧：弧AB、弧CD、弧EF，如果，那么AB+CD与EF的大小关系是（　　） A．AB+CD=EF B．AB+CD＜EF C．AB+CD＞EF D．大小关系不确定 【变式2】如图，、、是半径为的上三点，若，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，垂径定理和勾股定理，连接，，证明四边形是菱形，是等边三角形，根据性质和勾股定理即可求解，熟练掌握菱形的判定与性质，垂径定理和勾股定理是解题的关键． 【详解】连接，， ∵， ∴四边形是菱形，是等边三角形， ∴，， ∴， 在中，， 由勾股定理得：， ∴， 故选：． 【变式3】如图，以为圆心的，、三等分，连、，下列结论错误的是（    ） A． B．若，则 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角性质，圆心角、弧、弦的关系，垂径定理．根据圆心角、弧、弦的关系得到弧相等，再利用等边三角形的性质得到，再利用垂径定理得到弧相等进而得到平行线，据此逐一判断即可． 【详解】解：由题意得， ∴，， ∴，故D选项的结论错误； ∵， ∴，故选项的结论正确； 如图，连接 ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴，故选项的结论正确； 作半径，如图， ∴， ∴， ∴， ∴，故选项的结论正确； 故选：D． 题型03 圆心角 【典例1】下列图形中的角是圆心角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆心角的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．顶点在圆心上，是圆心角，故本选项符合题意； B．顶点在圆上，是圆周角，故本选项不符合题意； C．顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意； D．顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意； 故选：A． 【变式1】如图，为的弦，，则所对的圆心角等于（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据圆的半径相等确定的度数，然后根据三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：，都是的半径， ， ， ， 所对的圆心角等于． 【变式2】如图，在中，AB是弦，C是上一点．若，，则所对的圆心角度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆心角的定义，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题关键是掌握圆心角的定义． 根据等腰三角形的性质求出，，再根据三角形内角和定理求出，再求出答案即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【变式3】如图，AB为的直径，点C，D在上．若，则的度数是（    ） A．15° B．20° C．25° D．30° 【答案】B 【分析】连接AC，由AB是圆的直径可得∠ACB=90°，由∠BCD=100°可得∠ACD=10°，再由圆周角定理可得结论． 【详解】解：如图，连接OC， ∵OD=OC=OB ∴∠ODC=∠OCD，∠OCB=∠OBC ∵∠BCD=∠OCD+∠OCB=100°， ∴∠ODC+∠OBC=100° ∴∠DOB=360°-100°-100°=160° ∴∠AOD==20°． 故选∶B． 题型04 弧、弦、圆心角之间的关系 【典例1】如图，点，，，在上，．求证： 证明：∵点，，，在上，， ∴， ∴， ∴. 【变式1】如图，是的半径，且，D、E分别是的中点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明：∵， ∴ ， ∵D、E分别是的中点，是的半径， ∴， 又∵， ∴， ∴； (2)解：连接， ∵D是的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴ ，即 【变式2】如图所示，以平行四边形的顶点为圆心，为半径作圆，分别交，于点，，延长交于点． (1)求证：； (2)连接，若四边形是菱形，，则阴影部分的面积为__________． (1)证明：连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，作于， 四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ， ，， ， ， ． 【变式3】如图，在中，，． (1)求证：； (2)若，求的半径． 【答案】(1)证明：， ， 又∵， 为等边三角形， ， ． （2）解：延长，交于点， 由（1）得， ∵， ∴， ∴平分， ， ∴， 同理可得， 在中，， ，即的半径为． 【变式4】如图，已知AB是⊙O的直径，M，N分别是AO，BO的中点，CM⊥AB，DN⊥AB．求证： ． 【答案】 证明：连结OC、OD，如图， ∵AB是⊙O的直径，M，N分别是AO，BO的中点， ∴OM=ON， ∵CM⊥AB，DN⊥AB， ∴∠OMC=∠OND=90°， 在Rt△OMC和Rt△OND中， ， ∴Rt△OMC≌Rt△OND（HL）， ∴∠COM=∠DON， ∴ = ． 【分析】连结OC、OD，由M，N分别是AO，BO的中点得到OM=ON，再根据“HL”可判断Rt△OMC≌Rt△OND，则∠COM=∠DON，然后根据圆心角、弧、弦的关系得到 = ． 【详解】略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，圆心角、弧、弦的关系，在同圆等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等． 题型05 作辅助线——弦心距 【典例1】如图，与是的两条弦，，，垂足分别是E，F．，分别叫作弦，的弦心距． (1)若，求证：． (2)若，求证：，． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴． (2)证明：∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∵ ∴，， ∴，． 【变式1】如图，分别为的两条弦，于M，于N，且，则下列结论中，正确的个数为（　　） ①；②；③． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【详解】解：∵分别为的两条弦，， ∴，故③正确； ∵，于M，于N， ∴，故①②正确． 综上可知，正确的有3个． 故选：D． 【变式2】已知：如图，在中，，弦与弦相交于点P．求证：圆心O到弦，的距离相等． 【答案】证明：如图，连接，作于点F，于点E，则， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点A、D都在上， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴圆心O到弦的距离相等． 【变式3】如图，的弦的延长线交于点P，连接，且平分．求证：． 【答案】 证明：过点O作于点于点H，连接． 平分， ， ∵ ， 又， ， ． 【变式4】已知:如图， O的弦AB与CD相交于点E，AB=CD. 求证：AE=DE. 证明：连接OA,OB,OC,OD过点O分别作OM⊥AB,ON⊥CD垂足为M，N ∵AB=CD，OA=OB=OC=OD ∴∆OAB≌∆OCD ∴OM=ON ∴易证∆OMA≌∆ODN，∆OME≌∆ONE ∴MA=DN，EM=EN ∴， ∴． 1．下列说法中，不正确的是（    ） A．在同圆或等圆中，若两弧相等，则它们所对的弦相等 B．在同一个圆中，若弦长等于半径，则该弦所对的劣弧的度数为60° C．在同一个圆中，若两弧不等，则优弧所对的圆心角较大 D．若两弧的度数相等，则这两条弧是等弧 【答案】D 【分析】圆心角、弧、弦的关系是在同圆或等圆中发生的，因此在大小不等的两圆中，即使位于两圆中的两弧的度数相等，这两条弧也不是等弧，由此可知答案． 【详解】A. 在同圆或等圆中，若两弧相等，则它们所对的弦相等，此项说法正确，不符合题意； B.在同一个圆中，若弦长等于半径，则该弦所对的劣弧的度数为60°，此项说法正确，不符合题意； C. 在同一个圆中，若两弧不等，则优弧所对的圆心角较大，此项说法正确，不符合题意； D.在大小不等的两圆中，即使位于两圆中的两弧的度数相等，这两条弧也不是等弧，符合题意． 故选：D． 2. 如图， 是的直径，， 若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，圆心角，根据圆周角定理求出的度数，然后根据同弧所对圆心角相等求出的度数，然后根据平角定义即可求解 【详解】解∶∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选∶D． 2.如图，在三个等圆上各有一条劣弧：弧AB、弧CD、弧EF，如果，那么AB+CD与EF的大小关系是（　　） A．AB+CD=EF B．AB+CD＜EF C．AB+CD＞EF D．大小关系不确定 【答案】C 【详解】如图，在弧EF上取点M，使，∴AB=MF，∵，∴ ，∴CD=EM，在△MEF中，MF+ME>EF，∴AB+CD>EF，故选C. 3.结合各自对应图形，给出的相应推理中，其中正确的是（    ） ∵ ∴ （1） ∵ ∴ （2） P ∵∠APD=∠BPC ∴ （3） ∵ ∴ （4） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据弧、弦、圆心角的关系，即可判断． 【详解】（1）在⊙O中，∵，∴，∴（1）正确； （2）与不是同圆或等圆中的弧，由推不出，∴（2）不正确； （3）∵∠APD和∠BPC不是圆心角，不能判定∴（3）不正确； （4）弦与弦不是同圆或等圆中的弦，∴；（4）不正确 故选：A 【点睛】本题考查弧、弦与圆心角的关系，解题的关键是熟练掌握弧、弦、圆心角的关系进行判断正误． 4.如图，在中，，D、E分别是半径与的中点，连接，，则下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在中，根据弧、弦、圆心角的关系可判断A选项，证明可判断B、C选项，根据已知条件，不能证明，可判断D选项． 【详解】解：在中，， ，故A选项不符合题意； 在与中，， ， ，，故C选项不符合题意； D、E分别是半径的中点, ， 在与中， ， ， ，，故B选项不符合题意； 和不一定相等， 和不一定垂直，故D选项符合题意． 故选：D． 5．如图，已知、是的直径，，，则 【答案】/64度 【分析】根据等弦所对圆心角相等，即可求解，解题的关键是：找到等弦所对的圆心角． 【详解】解：∵ ， 又， ， ， 故答案为：． 6. 如图，经过五边形的四个顶点，若，所对的圆心角的度数为 ． 【答案】40 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．连接，如图，利用等腰三角形的性质得，则根据三角形内角和定理得到，则，于是得到的度数为． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， 即所对的圆心角的度数为， 故答案为：40． 7. 如图，在中，，，以点C为圆心、为半径的圆交于点D，求弦所对圆心角的度数． 【答案】 【分析】由直角三角形的性质得出，由等腰三角形的性质得出，由三角形内角和定理求出即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 8. 如图，都是的弦，，则与相等吗？为什么？ 【答案】与相等， 理由如下： ∵， ∴， ∴ ∴. 9. 如图，点，，，在上，．求证：． 【答案】证明：∵点，，，在上，且， ∴， ∴， 即， ∴ ． 10. 如图，为的弦，半径分别交于点，且．求证：． 【答案】证明：如解图，连接， ， ． ， ． 在和中， ， ． 1．下列说法：（1）直径是弦；（2）弦是直径；（3）半圆是弧，但弧不一定是半圆；（4）半径相等的两个圆是等圆；（5）长度相等的两条弧是等弧．其中错误的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】（1）直径的两个端点在圆上，符合弦的概念．（2）弦是连接圆上两点间的线段，只有过圆心的弦才是直径．（3）半圆是弧，但弧不一定是半圆．比半圆大的弧是优弧，比半圆小的弧是劣弧．（4）由等圆的定义判定，（5）等弧是能完全重合的两条弧，长度相等的两条弧不一定能重合． 【详解】解：（1）根据弦的概念，直径是一条线段，且两个端点在圆上，满足弦是连接圆上两点的线段这一概念，所以（1）正确； （2）弦是连接圆上两点的线段，只有过圆心的弦才是直径，其它的弦不是直径，所以（2）错误； （3）圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫半圆，所以半圆是弧．但比半圆大的弧是优弧，比半圆小的弧是劣弧，不是所有的弧都是半圆．所以（3）正确； （4）由等圆的定义可知，半径相等的两个圆面积相等、周长相等，所以为等圆，所以（4）正确； （5）等弧是能完全重合的弧，只有长度相等的两条弧不一定能重合．所以（5）错误． 故选：B． 2．在中，AB，CD为两条弦，下列说法：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据圆心角、弧、弦的关系逐一分析即可． 【详解】①若，则，正确； ②若，则，故不正确； ③由不能得到，故不正确； ④若，则，故正确； 故选B． 3．把一张半径为的圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则劣弧的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求弧长，解直角三角形．连接，，过点O作于点E，根据题意可得，进而得，从而，进而根据弧长公式求解即可． 【详解】解：连接，，过点O作于点E， 由题意可得：， ∴在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：A 4．如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转一个角度，使点O的对应点D落在弧上．点B的对应点为C．连接BC．则BC的长度是（　　） A．4 B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】如图，连接OD，BD．首先证明O，D，C共线，进而利用三角函数解答即可． 【详解】如图，连接OD，BD． 由题意：OA＝OD＝AD， ∴△AOD是等边三角形， ∴∠ADO＝∠AOD＝60°， ∵∠ADC＝∠AOB＝120°， ∴∠ADO+∠ADC＝180°， ∴O，D，C共线， ∵∠AOD＝∠DOB＝60°，OD＝OB， ∴△OBD是等边三角形， ∴∠BDO＝60°， ∵DC＝DB， ∴∠DCB＝∠DBC＝30°， ∴∠OBC＝90°， ∴BC＝OB＝2， 故选：C． 5. 一条弦把圆分成1：2两部分，那么这条弦所对的圆心角的度数为_____． 【答案】120°． 【分析】先求出这条弦所对圆心角的度数，然后分情况讨论这条弦所对圆周角的度数． 【详解】解：如图，连接OA、OB． 弦AB将⊙O分为1：2两部分， 则∠AOB＝×360°＝120°； 6．如图，在正方形纸片ABCD中，EF∥AD，M，N是线段EF的六等分点，若把该正方形纸片卷成一个圆柱，使点A与点D重合，此时，底面圆的直径为10cm，则圆柱上M，N两点间的距离是____cm． 【答案】5 【详解】解：根据题意可得弧MN的长等于圆周长， ∴∠MON=120°， 作OP⊥MN于点M， 由等腰三角形的性质可得∠MOP=60°， 又∵OM=5，即可求得PM=, MN=. 7．已知：如图，点P是⊙O外的一点，PB与⊙O相交于点A、B，PD与⊙O相交于C、D，AB=CD． 求证：（1）PO平分∠BPD； （2）PA=PC． 【答案】 （1）过点O作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E、F， ∵AB=CD，OA=OB=OC=OD ∴∆AOB≌∆COD ∴OE=OF， ∴PO平分∠BPD； （2）在Rt△POE与Rt△POF中， ∵OP=OP，OE=OF， ∴Rt△POE≌Rt△POF， ∴PE=PF， ∵AB=CD，OE⊥AB，OF⊥CD，E、F分别为垂足， ∴AE=AB， CF=CD， ∴AE=CF， ∴PE﹣AE=PF﹣CF，即PA=PC． 8. 如图，在中，，截三边所得的弦长，求∠AOC度数 【答案】125 【详解】解：过点O作OM⊥DE于M，OK⊥FG于K，OP⊥HI于P，如图， ∵ ∴OM=OK=OP， ∴OA平分∠BAC，OC平分∠ACB， ∴∠OAC+∠OCA=（∠BAC+∠ACB）=（180°∠B）=90°， ∴∠AOC=180°（∠OAC+∠OCA） =180° =125°． 故答案为：125． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $