专题31.1.1-2 点和圆的位置关系及圆的确定（高效培优讲义）数学新教材沪教版九年级下册

的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题31.1-2点和圆的位置关系及圆的确定 内容总览 1教学目标、重点、难点 圆的有关性质 点和圆的位置关系 知识清单 (一) 圆的确定 圆的概念 点和圆的位置关系辨析 点与圆的最值问题 常见题型 圆的确定 三角形的外接圆 利用”一中同长也”解题 教学目标 教学重难点 1.理解圆的静态、动态定义；掌握点与圆的三种位置关系： 2.掌握定理：不在同一直线上的三点确定一个圆；理解三角形外接圆、外心、内接三 教学目标 角形概念，会画三角形外接圆，知道外心是三边垂直平分线交点；清楚共线三点不能 确定圆： 3.能利用圆的半径都相等进行简单的证明、角度、线段长度计算。 重点：点和圆的位置关系判定(d与r); 不在同一直线上三点确定一个圆，三角形外心的概念： 难点： 教学重难点 钝角三角形外心在外部： 同圆或者等圆中圆的半径都相等，学生容易漏掉这个基本条件。 知识清单 1/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 知识点01点和圆的位置关系 1.圆的定义 平面上到一个定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫作圆，这个定点叫作圆心，定长称为半径 以点0为圆心的圆简称“圆0”，记作“⊙0”.P是⊙0上一点，则线段OP的长是半径 ⊙0也可以看作把线段OP绕端点0旋转一周，端点P运动所形成的轨迹， 2.圆、圆内、圆外 在圆所在的平面上，以圆周为分界线，含圆心的部分称为圆的内部（简称“圆内”），不含圆心的部分称为圆 的外部（简称“圆外”）. 圆内 圆外 3.点和圆的位置关系 般来说，对于给定的一个圆，平面上的点与该圆的位置关系有三种：点在圆内、点在圆上、点在圆外 记⊙O的半径为r点P到圆心O的距离为d. 如果点P在圆内，那么0sd<r:如果0sd<r,那么点P在圆内. 如果点P在圆上，那么d=r;如果d=r,那么点P在圆上 如果点P在圆外，那么d>r;如果d>r那么点P在圆外 【即学即练】 1.如图，⊙0的半径r=5,圆心O到直线1的距离OD=3.在直线1上有P,Q,R三点，并且PD=4, QD>4,RD<4.那么，P,Q,R三点与圆分别有怎样的位置关系？ 2/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 知识点02. 圆的确定 1.过一点的圆 经过一点能画无数个圆。 2.过两点的圆 经过两点能画无数个圆，圆心的轨迹是以这两点为端点的线段垂直平分线。 3.过三点的圆 定理：经过不在同一直线上的三个点，可以作一个并且只能作一个圆，即不在同一直线上的三点确定一个 圆。 4.三角形外接圆 经过三角形三个顶点的圆叫作这个三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形的外心，相应地，这个三角形 叫作这个圆的内接三角形，即三角形内接于它的外接圆。 三角形的外心是三角形三边中垂线的交点。 锐角三角形的外心在三角形的内部：钝角三角形的外心在三角形的外部： 直角三角形的外心是斜边的中点。 【即学即练】 2.如图，已知点A、B是平面内两点，线段a长度一定，在平面内作⊙O使得它过点A、B且半程长为@ (尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的作图说明)· A B a 3.已知直角△ABC的斜边长为6，则这个三角形的外接圆的半径等于 题型精讲 题型01圆的概念辨析 【典例1】到已知点O的距离等于5cm的所有点组成的图形是以 为圆心， 长为半径 的圆. 【变式1】设AB=3cm,画图说明：到点A的距离小于2cm,且到点B的距离大于2cm的所有点组成的 图形 3/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式2】设AB=2Cm,作图说明满足下列要求的图形： (1)到点A和点B的距离都等于1.5cm的所有点组成的图形. (2)到点A的距离小于1.5cm且到点B的距离小于lCm的所有点组成的图形. 【变式3】在同一平面内，已知点O到直线MN的距离为5，以点O为圆心，r为半径画圆.探究、归纳： M N (1)当r= 时，⊙0上有且只有一个点到直线MN距离等于3： (2)当r= 时，⊙O上有且只有三个点到直线MN距离等于3： (3)随着r的变化，⊙0上到直线MN的距离等于3的点的个数有哪些变化？求出相对应的r的值或取值范围 (不必写出计算过程)· 题型02点和圆的位置关系辨析 【典例1】已知⊙0的直径为2cm,点P到圆心0的距离为2cm,则点P在⊙0() A.外 B.内 C.上 D.无法确定 【变式1】在平面直角坐标系中，以原点0为圆心，5为半径作圆，点P的坐标是(4,3)，则点P与⊙0的 位置关系是() A.点P在⊙O内 B.点P在⊙0外 C.点P在⊙0上 D.无法确定 【变式2】已知⊙0的直径为8，若OP=4.5,则点P在⊙0一：若0P=4,则点P在⊙0 若OP,则点P在⊙0内. 【变式3】如图，在△ABC中，∠BAC=90,AB=3,AC=4,AD是高线，以点A为圆心作⊙A,使B,D,C 三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则OA的半径r的取值范围是 4/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 【变式4】如图，在平面直角坐标系中，方程c-a+0y-b=r2表示圆心是(a,b),半径是r的圆，其中 a>0,b>0 y (x-a)2+(y-b)2=r2 e (1)请写出方程(x+3)2+(0y-4)2=25表示的圆的半径和圆心的坐标： (2)判断原点(0,0)和第(1)问中圆的位置关系. 题型03点到圆的最值问题 【典例1】圆外点P到⊙0的最小距离是1，最大距离是7，则⊙0半径为 【变式1】已知A为⊙0内一点，若点A到⊙0上的点的最短距离为2，最长离为4，则⊙0半径为 () A.4 B.3 C.2 D.1 【变式2】平面上有⊙0及一点P,P到⊙0上一点的距离最长为6cm,最短为2cm,则⊙0的半径为 ()cm A.4 B.2或4 C.3或2 D.4或3 【变式3】如图，已知空间站A与星球B距离为4，信号飞船C在星球B附近沿圆形轨道行驶，B,C之间 的距离为b.数据S表示飞船C与空间站A的实时距离，那么S的最小值是() 5/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A A.a B.a-b C.a+b D.b 题型04圆的确定 【典例1】下列命题不正确的是() A.过一点有无数个圆 B.直角三角形的外接圆的直径为直角三角形的斜边 C.过三点能作一个圆 D.三角形的外心是三角形三边的中垂线的交点 【变式1】下列说法错误的是() A.平面内不共线的三个点可以作一个圆 B.已知平面内两点可以作无数个圆 C.己知圆心和半径可以作一个圆 D.平面内任意三点可以作一个圆 【变式2】已知线段AB=7,经过A、B两点且半径为5的圆有() A.0个 B.1个 C.2个 D.无数个 【变式3】如图，点A,B,C均在直线1上，点P在直线1外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的 个数为() P A.3个 B.4个 C.2个 D.0个 题型05三角形的外接圆 【典例1】点I是△ABC的外心，则点I是△ABC的() A.三条垂直平分线交点 B.三条角平分线交点 6/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.三条中线交点 D.三条高的交点 【变式1】如果一个三角形的外心在三角形的外部，那么这个三角形一定是() A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定 【变式2】已知一个三角形的三边长分别为5、5、8，则其外接圆的半径为」 【变式3】以线段MN为斜边的直角三角形直角顶点的轨迹是 【变式4】如图，已知△ABC,请用尺规作图法作△ABC的外心P.(保留作图痕迹) 题型06利用圆的半径都相等来解题 【典例1】如图，已知AC是⊙O的直径，点B在圆周上（不与A、C重合），点D在AC的延长线上，连接 BD交⊙O于点E,若∠AOB=3∠ADB,则() E A.DE=EB B.√2DE=EB C.3 DE=DO D.DE=OB 【变式1】如图所示：点M、G、D在半圆O上，四边形OEDF、HMNO均为矩形，EF=b,NH=c,则b与c 之间的大小关系是b (填<、=、>) G 【变式2】如图，在OO中，直径为MN,正方形ABCD的四个顶点分别在半径OM、OP以及OO上，并 且∠POM=45°，若AB=1. 7/13 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求OD的长： (2)求⊙0的半径. 【变式3】如图，直线I经过⊙0的圆心O,且与⊙0交于A、B两点，点C在⊙0上，且∠AOC=30°，点P 是直线I上的一个动点（与圆心O不重合），直线CP与⊙0相交于点Q.是否存在点P,使得QP=QO:若 存在，求出相应的∠OCP的大小：若不存在，请简要说明理由. 强化训练 基础自测 1.早在2000多年前的战国时期，《墨经》一书中就给出了圆的描述性定义：“圆（这里读yuan),一中 同长也”这就是说.圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合，其中，定点是 2.下列说法中正确的是() A.经过一个定点，以定长为半径只能作一个圆 B.经过两个定点，以定长为半径只能作一个圆 C.经过三个定点，只能作一个圆 D.经过三角形的三个顶点，只能作一个圆 3.已知ABCD为平面内不重合的四个点，且这四点不在同一直线上，它们可以确定圆的个数不可能 8/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ 是() A.1 B.2 C.3 D.4 4.已知⊙A的半径为5，点P在⊙A内，则PA的长5，（填“>”“<"或“=”） 5.已知⊙0的圆心在坐标原点，半径r=2,下列各点在圆外的是（) A.(0,2) B.（-1,) c.（5,- 32 o. 6.在直角坐标平面内，⊙0的半径为8，圆心0的坐标为(-山，5)，试判断点P(3,-2)与⊙0的位置关系. 7.设AB=3cm,画图说明：到点A的距离小于或等于2cm,且到点B的距离大于或等于2cm的所有点组 成的图形， 8如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm,求该半圆的半径长。 9.如图，在平面直角坐标系中，A、B、C是⊙M上的三个点，A(0,4)B(4,4八C(6,2) (1)圆心M的坐标为一；请在图中标出圆心的位置. (2)判断点D(4,-3)与⊙M的位置关系，并写出过程. 10.定义：平面直角坐标系xOy中，过二次函数图象与坐标轴所有交点的圆，称为该二次函数的坐标圆 y=x2-4x+3 9/13 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ (1)已知点P(2,2),以P为圆心，V5为半径作圆，请判断⊙P是不是二次函数y=x2-4x+3的坐标圆，并说 明理由； (2)已知二次函数y=x2-4x+4图象的顶点为A,交y轴于点C,则该二次函数的坐标圆的圆心为P在 (3)求△POA周长最小值， 能力提升 1.下列条件中，能确定唯一一个圆的是() A.以点O为圆心 B.以5cm长为半径 C.以点0为圆心，5cm长为半径 D.以上都不对 2.如图，已知点P、Q,且№=3cm.请在下列方格纸上画出图形，并用阴影部分将图形表示出来，（注： 方格纸中每格长度代表lcm,不要求写作法.) 画图要求如下：到点P的距离小于或等于2cm,且到点Q的距离小于或等于5cm的点的集合. P -------- 【点睛】本题主要考查了勾股定理及圆的集合定义，就是到定点的距离等于定长的点的集合， 3.如图，在Rt△ABC中，点M是斜边BC的中点，以AM为边作正方形AMEF,下列三角形中，外心不 是点M的是() A B M C E A.△ABC B.△AEC C.△ACF D.ABCE 10113 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.如图，A为⊙0上一动点，D为圆外一点，AD交⊙0于点B,OD交⊙0于点C,延长D0交O0于点 E zD B A (1)若∠AOD=90°，AD=8,B恰为AD的中点，则OD的长为 (2)若∠AOE=99°，BD=OA,则∠D的度数为 5.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、P的坐标分别为(L,0),(2,3),(3,).若点C在第一象 限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P是△ABC的外心，则点C的坐标为 A 6.已知直线1：y=x+4,点A(0,2),点B(2,0),设点P为直线1上一动点，当P的坐标为时， 过P,A,B三点不能作出一个圆. 7.如图，已知在⊙O中，直径N=20,正方形ABCD的四个顶点分别在半径OM,OP以及⊙O上，并且 ∠POM=45°，求AB的长。 B CO 8.如图，∠A=∠B=50°，P为AB中点，点M为射线AC上（不与点A重合）的任意点，连接MP,并使MP 的延长线交射线BD于点N,设∠BPN=Q. (1)求证：△APM≌△BPN; (2)当MN=2BN时，求Q的度数： (3)若△BPN的外心在该三角形的内部，直接写出a的取值范围. 11/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 9.在等腰梯形ABCD中，ADBC,AD=3,AB=CD=4,BC=5,∠B的平分线交DC于点E,交AD的延 长线于点F (1)如图(1)，若∠C的平分线交BE于点G,写出图中所有的相似三角形（不必证明）： (2)在(1)的条件下求BG的长： (3)若点P为BE上动点，以点P为圆心，BP为半径的⊙P与线段BC交于点O(如图(2))，请直接 写出当BP取什么范围内值时，①点A在⊙P内：②点A在⊙P内而点E在⊙P外. A 0 G 图(1) 图(2) 10.【问题提出】 (1)如图1，BDCE是△ABC的高，M是BC的中点.点B、C、D、E是否在以点M为圆心的同一个圆 上？为什么？则点A、D、O、卫四点也在同一个圆上.请对教材原题或小明提出的问题进行解答.（选择 一个解答即可) 小明在完成此题解答后提出：如图2，若BDCE的交点为点O, E D M 图1 图2 【直接应用】 (2)如图，等边三角形ABC中，AB=6,P为AB边上一动点，PD⊥BC,PE⊥AC,垂足分别为D、E. 12/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则DE的最小值为_· B D 【拓展应用】 (3)如图，已知正方形ABCD的边长为2，E是BC边上的动点，BF⊥AE交CD于点F,垂足为G,连 接CG,则求CG的最小值： 问题解决： D G E 13113 专题31.1-2 点和圆的位置关系及圆的确定 教学目标 1.理解圆的静态、动态定义；掌握点与圆的三种位置关系； 2.掌握定理：不在同一直线上的三点确定一个圆；理解三角形外接圆、外心、内接三角形概念，会画三角形外接圆，知道外心是三边垂直平分线交点；清楚共线三点不能确定圆； 3.能利用圆的半径都相等进行简单的证明、角度、线段长度计算。 教学重难点 重点：点和圆的位置关系判定（d 与 r）； 不在同一直线上三点确定一个圆，三角形外心的概念； 难点： 钝角三角形外心在外部； 同圆或者等圆中圆的半径都相等，学生容易漏掉这个基本条件。 知识点01 点和圆的位置关系 1. 圆的定义 平面上到一个定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫作圆，这个定点叫作圆心，定长称为半径. 以点O为圆心的圆简称“圆0”,记作“⊙0”.P是⊙0上一点，则线段OP的长是半径. ⊙O也可以看作把线段OP绕端点O旋转一周，端点P运动所形成的轨迹. 2. 圆、圆内、圆外 在圆所在的平面上，以圆周为分界线，含圆心的部分称为圆的内部(简称“圆内”),不含圆心的部分称为圆的外部(简称“圆外”). 3. 点和圆的位置关系 一般来说，对于给定的一个圆，平面上的点与该圆的位置关系有三种：点在圆内、点在圆上、点在圆外. 记⊙O的半径为r,点P到圆心O的距离为d. 如果点P在圆内，那么0≤d<r；如果0≤d<r,那么点P在圆内. 如果点P在圆上，那么d=r；如果d=r,那么点P在圆上. 如果点P在圆外，那么d>r；如果d>r,那么点P在圆外. 【即学即练】 1. 如图，的半径，圆心O到直线l的距离．在直线l上有P，Q，R三点，并且，，．那么，P，Q，R三点与圆分别有怎样的位置关系？ 【答案】点P在圆上；点Q在圆外；点R在圆内； 【分析】连接，利用勾股定理计算的长度，即可作出判断． 【详解】解：连接，如图， ∵圆心O到直线l的距离， ∴， 在中，，则点P在圆上； 在中，，则点Q在圆外； 在中，，则点R在圆内； 知识点02 圆的确定 1. 过一点的圆 经过一点能画无数个圆. 2. 过两点的圆 经过两点能画无数个圆，圆心的轨迹是以这两点为端点的线段垂直平分线。 3. 过三点的圆 定理：经过不在同一直线上的三个点，可以作一个并且只能作一个圆，即不在同一直线上的三点确定一个圆。 4. 三角形外接圆 经过三角形三个顶点的圆叫作这个三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形的外心，相应地，这个三角形叫作这个圆的内接三角形，即三角形内接于它的外接圆。 三角形的外心是三角形三边中垂线的交点。 锐角三角形的外心在三角形的内部；钝角三角形的外心在三角形的外部； 直角三角形的外心是斜边的中点。 【即学即练】 2. 如图，已知点、是平面内两点，线段长度一定，在平面内作使得它过点、且半程长为（尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的作图说明）． 【答案】 如下图：即为所求： 【分析】本题主要考查了作图，画圆，作线段垂直平分线，连接，作的垂直平分线，以点A为圆心线段a为半径画弧交于点O，再以点O为圆心线段为半径作圆即为所求． 【详解】略 3. 已知直角的斜边长为6，则这个三角形的外接圆的半径等于______． 【答案】3 【分析】根据直角三角形的外接圆圆心为斜边的中点，计算圆的半径为3． 【详解】∵直角的斜边长为6， ∴这个三角形的外接圆的半径等于3， 故答案为：3． 题型01 圆的概念辨析 【典例1】到已知点的距离等于的所有点组成的图形是以__________为圆心，__________长为半径的圆． 【答案】 点 【分析】圆的定义是在同一平面内到定点距离等于定长的所有点组成的图形，所以到定点O的距离等于的所有点组成的图形是圆． 【详解】解：根据圆的定义可知，到定点O的距离等于的所有点组成的图形是以点O为圆心，为半径的圆． 故答案为：点O，． 【点睛】本题考查了圆的定义，根据定义可知，初中阶段所研究的圆，指的是圆周，而不是圆面． 【变式1】设，画图说明：到点A的距离小于，且到点B的距离大于的所有点组成的图形． 【答案】 证明：如图所示，分别以A、B圆心，以2cm为半径画圆， 到点A的距离小于2cm的点在圆A的内部，到点B的距离大于2cm的点在圆B的外部， 即到点A的距离小于2cm，且到点B的距离大于2cm的所有点组成的图形为图中的阴影部分（不包括阴影的边界）． 【分析】分别以A、B圆心，以2cm为半径画圆，根据题意即可得． 【详解】略 【点睛】本题考查了圆的认识，解题的关键是掌握圆的基本认识． 【变式2】设，作图说明满足下列要求的图形： (1)到点A和点B的距离都等于的所有点组成的图形． (2)到点A的距离小于且到点B的距离小于的所有点组成的图形． 【答案】(1) 如图1， 分别以点为圆心，为半径画和，它们的交点为所求； (2) 以A点为圆心，为半径画；以B点为圆心，为半径画， 如图2，和相交于P和Q，与的公共部分（不含边界线）为所求． 【变式3】在同一平面内，已知点到直线的距离为5，以点为圆心，为半径画圆．探究、归纳： (1)当________________时，上有且只有一个点到直线距离等于3； (2)当________________时，上有且只有三个点到直线距离等于3； (3)随着的变化，上到直线的距离等于3的点的个数有哪些变化？求出相对应的的值或取值范围（不必写出计算过程）． 【答案】(1)2 (2)8 (3)当，无距离等于3的点，当，有且只有一个距离为3的点，当，有且只有两个距离为3的点，当，有三个，当，有四个 【分析】本题主要考查了点与圆的关系，掌握分类讨论思想成为解题的关键． （1）根据垂线段最短，则要使上有且只有一个点到直线l的距离等于3，则该点是点O到直线l的垂线段与圆的那个交点，此时圆的半径是； （2）根据点O到直线l的距离为5，要使上有且只有三个点到直线l的距离等于3，则需要在此直线的两侧分别有一条和该直线的距离是3的直线分别和圆相交、相切．此时圆的半径是； （3）结合上述两种特殊情况分、、、、五种情况即可解答． 【详解】（1）解：如图：上有且只有一个点到直线距离等于3，即． 故答案为：2． （2）解：如图：上有且只有三个点到直线距离等于3，即． 故答案为8． （3）（3）当时，上没有点到直线l的距离等于3， 当时，上有且只有1个点到直线l的距离等于3， 当时，上有且只有2个点到直线l的距离等于3， 当时，上有且只有3个点到直线l的距离等于3， 当时，上有且只有4个点到直线l的距离等于3． 题型02 点和圆的位置关系辨析 【典例1】已知的直径为，点到圆心的距离为，则点在（     ） A．外 B．内 C．上 D．无法确定 【答案】A 【分析】当点到圆心距离大于半径时，点在圆外；当点到圆心距离等于半径时，点在圆上；当点到圆心距离小于半径时，点在圆内． 【详解】解：∵的直径为， ∴半径， ∵点到圆心的距离， ∴， ∴点在外． 【变式1】在平面直角坐标系中，以原点O为圆心，5为半径作圆，点P的坐标是，则点P与的位置关系是（     ） A．点P在内 B．点P在外 C．点P在上 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据点P坐标算出的长度d，设圆的半径为r，，则点在圆上． 【详解】解：， 的半径， ， 在上． 【变式2】已知的直径为8，若，则点P在_______；若，则点P在_______；若______，则点P在内． 【答案】 外 上 【分析】先求出的半径，再比较与半径的大小，根据点和圆的位置关系即可求解． 【详解】解：的直径为， 的半径， 当时， ， 点在外； 当时， ， ∴点在上； 当点在内时，根据点与圆的位置关系可得． 【变式3】如图，在中，是高线，以点为圆心作，使B，D，C三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则的半径的取值范围是_______． 【答案】 【分析】先利用勾股定理求出长，再利用等面积法求出高；算出B、D、C三点到圆心的距离，根据“至少一点在圆内，至少一点在圆外”列条件求半径取值范围． 【详解】解：，，， ， ， ． 可得三点到点距离：，，． 要使，，三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外： 当，三点都不在圆内，不符合题意； 当，三点都不在圆外，不符合题意； 当时，，点在内；，点在外，满足条件． 的半径的取值范围为． 【变式4】如图，在平面直角坐标系中，方程表示圆心是，半径是的圆，其中，． (1)请写出方程表示的圆的半径和圆心的坐标； (2)判断原点和第（1）问中圆的位置关系． 【答案】(1)半径为5，圆心 (2)在圆上 【分析】（1）根据题目所给的“在平面直角坐标系中，方程表示圆心是，半径是的圆”即可直接得出答案； （2）将原点的坐标代入，即可判断出点与圆的位置关系． 【详解】（1）解：在平面直角坐标系中，方程表示圆心是，半径是的圆， 将化成， 表示的圆的半径为5，圆心的坐标为； （2）解：将原点代入， 左边右边， 原点在表示的圆上． 【点睛】此题主要考查对未学知识以新定义形式出现的题型，读懂题意，根据新定义解决问题是本题的关键． 题型03 点到圆的最值问题 【典例1】圆外点到的最小距离是1，最大距离是7，则半径为_______． 【答案】 【分析】点在外，过点和圆心的直线与相交．两个交点到的距离分别为最小距离和最大距离．二者的差为圆的直径，据此计算半径即可． 【详解】解：∵点是外的点， ∴点到的最大距离与最小距离的差为的直径， ∴的直径为， ∴的半径为． 【变式1】已知A为⊙O内一点，若点A到⊙O上的点的最短距离为2，最长离为4，则⊙O半径为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】画出图形，根据图形和题意得出AC的长是A到⊙O的最长距离，AB的长是A到⊙O的最短距离，据此可求出⊙O的直径，即可求出圆的半径． 【详解】解：∵点A在⊙O外，点A与⊙O上的点的最短距离为2，最长距离为4， ∴⊙O的直径＝4+2＝6， ∴圆的半径是3． 故选：B． 【变式2】平面上有及一点P，P到上一点的距离最长为，最短为，则的半径为（     ）． A．4 B．2或4 C．3或2 D．4或3 【答案】B 【分析】根据点P在内或外分类讨论，由最长最短距离与圆直径的关系计算半径即可． 【详解】当点P在外时， ∵ 点P到上点的最长距离为，最短距离为， ∴ 的直径为 ，半径为 ． 当点P在内时， ∵ 点P到上点的最长距离为，最短距离为， ∴的直径为 ，半径为 ． 因此的半径为或． 【变式3】如图，已知空间站A与星球B距离为a，信号飞船C在星球B附近沿圆形轨道行驶，B，C之间的距离为b．数据S表示飞船C与空间站A的实时距离，那么S的最小值是（    ） A．a B． C． D．b 【答案】B 【分析】此题主要考查线段长度的最值， 只有空间站A与星球B、飞船C在同一直线上，且点C在之间时，S取到最小值，据此求解即可． 【详解】解：空间站A与星球B、飞船C在同一直线上时，S取到最小值． 故选：B． 题型04 圆的确定 【典例1】下列命题不正确的是（    ） A．过一点有无数个圆 B．直角三角形的外接圆的直径为直角三角形的斜边 C．过三点能作一个圆 D．三角形的外心是三角形三边的中垂线的交点 【答案】C 【详解】解：∵过一点可以作无数个圆，∴A正确； ∵直角三角形的外接圆圆心是斜边中点，直径是斜边，∴B正确； ∵过三点不一定能作圆，当三点共线时无法作圆，∴C不正确； ∵三角形的外心是三边中垂线的交点，∴D正确． 【变式1】下列说法错误的是（     ） A．平面内不共线的三个点可以作一个圆 B．已知平面内两点可以作无数个圆 C．已知圆心和半径可以作一个圆 D．平面内任意三点可以作一个圆 【答案】D 【分析】不共线三点确定一个圆，据此逐一判断即可得出答案． 【详解】解：平面内不共线的三点可作一个圆，共线三点不可作圆，故A选项正确，D选项错误， 已知平面内两点时，圆心可在两点连线的垂直平分线上任意选取，可作无数个圆，故B选项正确， 已知圆心和半径可确定一个圆，故C选项正确． 【变式2】已知线段，经过、两点且半径为5的圆有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【答案】C 【分析】本题考查的是确定圆的条件，熟记圆心的确定方法是解题的关键． 经过两点、的圆的圆心在线段的垂直平分线上，且圆心到、的距离等于半径，利用勾股定理计算圆心到中点的距离，判断是否存在这样的圆． 【详解】解：如图， 分别以、为圆心、5为半径作圆，两圆相交于点C、D， 然后分别以C、D为圆心，5为半径作圆，则和为所求． 故选：C． 【变式3】如图，点A，B，C均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（     ） A．3个 B．4个 C．2个 D．0个 【答案】A 【分析】根据不共线三点确定一个圆可得，直线上任意2个点加上点可以画出一个圆，据此列举所有可能即可求解． 【详解】解：依题意，，；，；，加上点可以画出一个圆， ∴共有3个． 题型05 三角形的外接圆 【典例1】点是的外心，则点是的（    ） A．三条垂直平分线交点 B．三条角平分线交点 C．三条中线交点 D．三条高的交点 【答案】A 【分析】根据线段垂直平分线性质定理的逆定理，即可解答． 【详解】解：点I是的外心，则点I是的三条垂直平分线交点， 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，线段垂直平分线的判定定理，熟练掌握线段垂直平分线性质定理的逆定理是解题的关键． 【变式1】如果一个三角形的外心在三角形的外部，那么这个三角形一定是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查三角形的外心，根据外心的形成和性质直接判断即可． 【详解】解：三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点，该点是到三角形三个顶点的距离相等， 如果一个三角形的外心在三角形的外部，说明有一个圆周角大于． 故选：C 【变式2】已知一个三角形的三边长分别为、、，则其外接圆的半径为_________． 【答案】 【分析】在 中， ， ，过点 作 于点 ，根据等腰三角形“三线合一”的性质得出，利用勾股定理求出，利用三角形外接圆圆心在各边的垂直平分线上，可知圆心在底边的高所在直线上，设半径后利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图，在 中， ， ，过点 作 于点 ， ∵ ， ， ∴ ， 垂直平分 ， ∴ ， ∵三角形外接圆圆心在三角形任意一边的垂直平分线上， ∴外接圆圆心 在射线上，连接，设外接圆半径为 ，则 ， ∴ ， 在 中， ， ∴， 解得：．即外接圆的半径为． 【变式3】以线段MN为斜边的直角三角形直角顶点的轨迹是________． 【答案】以MN为直径圆（除M、N两点外） 【分析】根据直角三角形的性质，斜边即为外接圆的直径，故可确定答案． 【详解】根据直角三角形的性质，斜边即为外接圆的直径， 故以线段MN为斜边的直角三角形直角顶点的轨迹是以线段MN中点为圆心，MN为直径的圆（不包含M、N两点）． 故答案为：以MN为直径圆（除M、N两点外）． 【点睛】本题考查了直角三角形的外接圆，确定直角三角形外接圆的圆心位置是解题的关键． 【变式4】如图，已知，请用尺规作图法作的外心P．（保留作图痕迹） 【答案】 如图，点即为所求： 【分析】本题考查了尺规作线段的垂直平分线，三角形的外心的定义，熟练掌握三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点是解题的关键． 根据外心的定义可得外心P是三角形三边垂直平分线的交点，即作出的垂直平分线，交点即为所求． 【详解】略 题型06 利用圆的半径都相等来解题 【典例1】如图，已知AC是⊙O的直径，点B在圆周上（不与A、C重合），点D在AC的延长线上，连接BD交⊙O于点E，若∠AOB=3∠ADB，则（　　） A．DE=EB B．DE=EB C．DE=DO D．DE=OB 【答案】D 【详解】解：连接EO. ∴∠B=∠OEB， ∵∠OEB=∠D+∠DOE，∠AOB=3∠D， ∴∠B+∠D=3∠D， ∴∠D+∠DOE+∠D=3∠D， ∴∠DOE=∠D， ∴ED=EO=OB， 故选D. 【变式1】如图所示：点M、G、D在半圆O上，四边形OEDF、HMNO均为矩形，EF=b，NH=c，则b与c之间的大小关系是b________c（填＜、=、＞）   【答案】= 【分析】根据矩形的两条对角线相等,即可作出判断. 【详解】 连OM,OD. 四边形OEDF是矩形. 同理 故答案为:=. 【变式2】如图，在中，直径为，正方形的四个顶点分别在半径、以及上，并且，若． (1)求的长； (2)求的半径． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由四边形为正方形，得，则，又，，求出； （2）连接，构造直角三角形，求出和的长，然后利用勾股定理即可求出圆的半径． 【详解】（1）解：∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， 在中，； （2）解：， 连接，如图， ∵， ∴在中，， 即⊙O的半径为． 【变式3】如图，直线l经过⊙O的圆心O，且与⊙O交于A、B两点，点C在⊙O上，且∠AOC=30°，点P是直线l上的一个动点（与圆心O不重合），直线CP与⊙O相交于点Q．是否存在点P，使得QP=QO；若存在，求出相应的∠OCP的大小；若不存在，请简要说明理由． 【答案】40°、20°、100°． 【分析】点P是直线l上的一个动点，因而点P与线段AO有三种位置关系，在线段AO上，点P在OB上，点P在OA的延长线上．分这三种情况进行讨论即可． 【详解】①根据题意，画出图(1)， 在△QOC中，OC=OQ， ∴∠OQC=∠OCP， 在△OPQ中，QP=QO， ∴∠QOP=∠QPO， 又∵∠AOC=30°， ∴∠QPO=∠OCP+∠AOC=∠OCP+30°， 在△OPQ中，∠QOP+∠QPO+∠OQC=180°， 即（∠OCP+30°）+（∠OCP+30°）+∠OCP=180°， 整理得，3∠OCP=120°， ∴∠OCP=40°． ②当P在线段OA的延长线上（如图2） ∵OC=OQ， ∴∠OQP=（180°﹣∠QOC）×①， ∵OQ=PQ， ∴∠OPQ=（180°﹣∠OQP）×②， 在△OQP中，30°+∠QOC+∠OQP+∠OPQ=180°③， 把①②代入③得∠QOC=20°，则∠OQP=80° ∴∠OCP=100°； ③当P在线段OA的反向延长线上（如图3）， ∵OC=OQ， ∴∠OCP=∠OQC=（180°﹣∠COQ）×①， ∵OQ=PQ， ∴∠P=（180°﹣∠OQP）×②， ∵∠AOC=30°， ∴∠COQ+∠POQ=150°③， ∵∠P=∠POQ，2∠P=∠OCP=∠OQC④， ①②③④联立得 ∠P=10°， ∴∠OCP=180°﹣150°﹣10°=20°． 故答案为40°、20°、100°． 1．早在2000多年前的战国时期，《墨经》一书中就给出了圆的描述性定义：“圆（这里读），一中同长也”这就是说．圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合．其中，定点是___________． 【答案】圆心 【分析】本题考查了圆的基本概念辨析，根据圆是平而内到定点的距离等于定长的点的集合，则定点是圆心，即可作答． 【详解】解：∵圆是平而内到定点的距离等于定长的点的集合， ∴定点是圆心， 故答案为：圆心 2．下列说法中正确的是（　　） A．经过一个定点，以定长为半径只能作一个圆 B．经过两个定点，以定长为半径只能作一个圆 C．经过三个定点，只能作一个圆 D．经过三角形的三个顶点，只能作一个圆 【答案】D 【分析】本题考查了确定圆的条件，掌握相关知识点是解题关键．根据定点和定长与圆的关系，逐项分析即可． 【详解】解：A、经过一个定点，以定长为半径，由于圆心不确定，即可以作无数个圆，原说法错误，不符合题意； B、经过两个定点，以定长为半径，圆心在两个定点所连线段的垂直平分线上，即能作0个或1个或2个圆，原说法错误，不符合题意； C、经过不在同一条直线上的三个定点，只能作一个圆，原说法错误，不符合题意； D、经过三角形的三个顶点，只能作一个圆，原说法正确，符合题意； 故选：D． 3．已知为平面内不重合的四个点，且这四点不在同一直线上，它们可以确定圆的个数不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了确定圆的条件，根据题意分两种情况讨论（）有三点共线；（）任意三点不共线，解题的关键是了解不在同一直线上的三点确定一个圆． 【详解】解：∵四点不在同一直线上， ∴根据题意分两种情况讨论：（）若有三点共线，则过其中三点作圆，可作个圆； （）若任意三点不共线，则过其中三点作圆，可作或个圆； ∴确定圆的个数为、或，不可能为， 故选：． 4．已知的半径为5，点P在内，则的长_______5．（填“>”“<”或“=”） 【答案】 【分析】已知的半径和点的位置，根据点与圆的位置关系的判定规则即可得到结论． 【详解】解：∵点与圆的位置关系规则为：点在圆内时，点到圆心的距离小于圆的半径， ∵的圆心为，半径为，点在内， ∴． ５.　已知的圆心在坐标原点，半径，下列各点在圆外的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A、到圆心的距离为，等于半径，点在圆上，故A选项不符合题意； B、到圆心的距离为，，点在圆内，故B选项不符合题意； C、到圆心的距离为，等于半径，点在圆上，故C选项不符合题意； D、到圆心的距离为，，点在圆外，故D选项符合题意． ６．在直角坐标平面内，的半径为，圆心的坐标为，试判断点与的位置关系． 【答案】在圆外 【分析】确定的长度，然后与半径比较即可得出点与的位置关系． 【详解】解：∵圆心的坐标为，点， ∴， ∵， ∴， ∴在圆外． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系、坐标与图形性质的知识，解题的关键是能够求得线段OP的长，难度不大． ７．设AB=3cm，画图说明：到点A的距离小于或等于2cm，且到点B的距离大于或等于2cm的所有点组成的图形． 【答案】见解析 【分析】根据圆的定义解答即可． 【详解】图中阴影部分即为所求图形 【点睛】本题考查了圆的认识，关键是了解圆的定义． ８.如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为，求该半圆的半径长。 【答案】C 【分析】连接、、，证明，得出，设，则，根据勾股定理求出，列出关于a的方程，求出即可． 【详解】解：连接、、，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴，， ∵在和中， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得： ， ∵小正方形的面积为， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得：（舍去），， ， 即该半圆的半径为． ９．如图，在平面直角坐标系中，A、B、C是上的三个点，． (1)圆心的坐标为______；请在图中标出圆心的位置． (2)判断点与的位置关系，并写出过程． 【答案】(1)， 画图如下： (2)点D在内，证明如下： 解：圆的半径， 线段， 点D在内． １０.定义：平面直角坐标系xOy中，过二次函数图象与坐标轴所有交点的圆，称为该二次函数的坐标圆． (1)已知点，以P为圆心，为半径作圆，请判断是不是二次函数的坐标圆，并说明理由； (2)已知二次函数图象的顶点为A，交y轴于点C，则该二次函数的坐标圆的圆心为 P在__________上； (3)求 周长最小值． 【答案】(1) 是二次函数的坐标圆，理由为： 当时，，当时，解方程得，， ∴二次函数的图象与x轴的交点坐标为，，与y轴的交点坐标为， ∵，，， ∴， 故是二次函数的坐标圆； (2)线段的垂直平分线 (3)6 【分析】（1）先求得该二次函数的图象与x轴、y轴的交点坐标，再利用两点坐标距离公式和圆的定义判断三个点是否在上，进而根据题中定义作出判断； （2）根据题中定义和圆的定义，结合线段垂直平分线的性质，进而可得到结论； （3）连接，的周长为，当点C、P、共线时取等号，进而可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵已知二次函数图象的顶点为A，交y轴于点C， ∴该二次函数的坐标圆的圆心P满足， ∴该二次函数的坐标圆的圆心P在线段的垂直平分线上， 故答案为：线段的垂直平分线； （3）解：连接，则， ∴的周长为，当点C、P、共线时取等号， ∵，， ∴，， ∴周长最小值为6． 1．下列条件中，能确定唯一一个圆的是（   ） A．以点为圆心 B．以长为半径 C．以点为圆心，长为半径 D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查了确定圆的条件，确定圆要首先确定圆的圆心，然后也要确定半径． 确定一个圆有两个重要因素，一是圆心，二是半径，据此可以得到答案． 【详解】解：∵圆心确定，半径确定后才可以确定圆， ∴C选项正确， 故选：C． 2．如图，已知点P、Q，且．请在下列方格纸上画出图形，并用阴影部分将图形表示出来．（注：方格纸中每格长度代表，不要求写作法．） 画图要求如下：到点P的距离小于或等于，且到点Q的距离小于或等于的点的集合． 【答案】见解析 【分析】到点的距离小于或等于就是作以为圆心为半径的圆（含边界），到点Q的距离小于或等于的点的集合是以点为圆心为半径的圆（含边界），再用阴影画出其公共部分即可． 【详解】解：如图所示：（阴影部分含边界）， 【点睛】本题主要考查了勾股定理及圆的集合定义，就是到定点的距离等于定长的点的集合． 3. 如图，在中，点是斜边的中点，以为边作正方形，下列三角形中，外心不是点的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，直角三角形的性质，勾股定理，正方形的性质，连接，根据点是斜边的中点，得到，得到点是的外心，根据正方形的性质得到，求得，得到点是的外心，点是的外心，由于，得到点不是的外心，证得，是解题的关键． 【详解】解：连接，如图所示： 在中，点是斜边的中点， ， 点是的外心， 四边形是正方形， ， ， 点是的外心，点是的外心， 在等腰中，，则由勾股定理可得， ， 点不是的外心， 故选：C． 4．如图，A为上一动点，D为圆外一点，AD交于点B，OD交于点C，延长DO交于点E． (1)若，B恰为AD的中点，则OD的长为________． (2)若，则的度数为________． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形斜边中线定理，三角形外角和及圆内三角形的综合运用等，熟练掌握圆的基本性质是解题的关键． （1）根据直角三角形斜边中线定理可求的长，根据半径相等求得，进而根据勾股定理即可求解； （2）根据等腰三角形的性质可得，设未知数x表示，根据三角形外角和定理可得从而求解。 【详解】（1）解：如图①，连接OB． ，B为AD的中点， ．又． 在中，由勾股定理，得． 故答案为：． （2）如图②，连接OB． ， 和均为等腰三角形．设，则，， 解得，即． 故答案为：． 5．如图，在平面直角坐标系中，点A、B、P的坐标分别为 ，， ．若点C在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P是的外心，则点C的坐标为______． 【答案】或或 【分析】如图所示，以P为圆心，以的长为半径画圆，在圆上的格点即为所求． 【详解】解：如图所示，以P为圆心，以的长为半径画圆， 在圆上的格点有，，， ∵P是的外心，即点C在圆P上，且点C在第一象限， ∴点C的坐标为或或， 故答案为：或或． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，三角形外接圆，熟知点C在圆P上是解题的关键． 6．已知直线l：y=x+4，点A（0，2），点B（2，0），设点P为直线l上一动点，当P的坐标为______时，过P，A，B三点不能作出一个圆． 【答案】(−1, 3) 【分析】由而在同一直线上的三个点不能画一个圆可知，当P，A，B三点共线时，过P，A，B三点不能作出一个圆．为此，先利用待定系数法求出直线AB的解析式，再与y=x-4联立，两直线的交点坐标即为所求． 【详解】解：设直线AB的解析式为y=kx+b， ∵A(0,2)，点B(2,0)， ∴， 解得， ∴y=−x+2. 解方程组，得， ∴当P的坐标为(−1, 3)时，过P，A，B三点不能作出一个圆. 故答案为(−1, 3). 【点睛】本题考查确定圆的条件和一次函数的性质，解题的关键是掌握确定圆的条件和一次函数的性质. 7．如图，已知在⊙O中，直径MN=20，正方形ABCD的四个顶点分别在半径OM，OP以及⊙O上，并且∠POM=45°，求AB的长。 【分析】点A在圆上，则OA＝OM＝１０ 【详解】解：连接， 四边形是正方形， ，， ， ， ∴， ， ， ， 在中，， ∵AO=MN=10 ∴， 解得：， 故选：A． 8. 如图，∠A=∠B=50°，P为AB中点，点M为射线AC上（不与点A重合）的任意点，连接MP，并使MP的延长线交射线BD于点N，设∠BPN=α． （1）求证：△APM≌△BPN； （2）当MN=2BN时，求α的度数； （3）若△BPN的外心在该三角形的内部，直接写出α的取值范围． 【答案】 （1）证明：∵P是AB的中点， ∴PA=PB， 在△APM和△BPN中， ， ∴△APM≌△BPN； （2）由（1）得：△APM≌△BPN， ∴PM=PN， ∴MN=2PN， ∵MN=2BN， ∴BN=PN， ∴α=∠B=50°； （3）∵△BPN的外心在该三角形的内部， ∴△BPN是锐角三角形， ∵∠B=50°， ∴40°＜∠BPN＜90°，即40°＜α＜90°． 9．在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，AB＝CD＝4，BC＝5，∠B的平分线交DC于点E，交AD的延长线于点F． （1）如图（1），若∠C的平分线交BE于点G，写出图中所有的相似三角形（不必证明）； （2）在（1）的条件下求BG的长； （3）若点P为BE上动点，以点P为圆心，BP为半径的⊙P与线段BC交于点Q（如图（2）），请直接写出当BP取什么范围内值时，①点A在⊙P内；②点A在⊙P内而点E在⊙P外． 【详解】解：（1）△ABF∽△GBC，△FDE∽△CGE∽△BCE．理由如下： ∵AD∥BC，AB=CD, ∴∠AFB＝∠EBC，∠ABC＝∠DCB， ∵BF平分∠ABC, CG平分∠BCD, ∴∠ABF＝∠BCG=∠ABC＝∠DCB， ∴△ABF∽△GBC； ∵DF∥BC， ∴△FDE∽△BCE； ∵∠AFB＝∠DCG=∠ABC＝∠DCB，∠DEF＝∠CEG， ∴△FDE∽△CGE. ∴△FDE∽△CGE∽△BCE． （2）∵BE平分∠B， ∴∠ABE＝∠EBC， ∵AD∥BC， ∴∠AFB＝∠EBC， ∴∠ABE＝∠AFB， ∴AB＝AF． ∴AF＝4，DF＝1． ∵AD∥BC， ∴DF：BC＝DE：EC， ∴DE＝，CE＝． ∵AD∥BC，AB＝CD， ∴∠BCD＝∠ABC． ∵CG平分∠BCD，BE平分∠ABC， ∴∠CBG＝∠BCG， ∴BG＝CG． 设BG＝CG＝x，则由△FDE∽△CGE，得 DF：CG＝DE：GE， ∴GE＝x． 又由△CGE∽△BCE，得 EC2＝EG•EB， 即＝x•（x+x）， ∴x＝， 即BG＝． （3）①连接AP，当BP＝AP时，点A在圆P上，此时△ABP∽△ABF，求得BP＝， 即BP＞AP时，点A在⊙P内． ∴当＜BP≤时，点A在⊙P内． ②根据①求得BE＝， ∴BP＜BE，即BP＜时，点A在⊙P内而点E在⊙P外 ∴当＜BP＜时，点A在⊙P内而点E在⊙P外． 【点睛】此题综合考查了相似三角形的判定和性质以及点和圆的位置关系与数量之间的联系． 10. 【问题提出】 （1）如图1，是的高，M是的中点．点B、C、D、E是否在以点M为圆心的同一个圆上？为什么？则点A、D、O、E四点也在同一个圆上．请对教材原题或小明提出的问题进行解答．（选择一个解答即可） 小明在完成此题解答后提出：如图2，若的交点为点O， 【直接应用】 （2）如图，等边三角形中，，P为边上一动点，，垂足分别为D、E．则的最小值为 ． 【拓展应用】 （3）如图，已知正方形的边长为2，是边上的动点，交于点，垂足为，连接，则求的最小值； 问题解决： 【答案】 （1）证明：点B、C、D、E四点也在同一个圆上，理由如下： 如图：连接， ∵M是的中点， ∴ ∵、是的高， ∴均为直角三角形 ∴ ∴ ∴点B、C、D、E四点也在同一个圆上； 点A、D、O、E四点在同一个圆上，理由如下： 如图，连接，取的中点N，连接， 则 ， ∵、是的高， ∴均为直角三角形 ∴， ∴， ∴点A、D、O、E四点在同一个圆上； （2）如图，连接，设中点为O，连接， ∵ ∴P，D，C，E四点共圆，为直径，O为圆心， ∴， ， ∴， 设圆O的半径为r， 如图：过O作， ∴， ∴，即， 要使最小，则的半径r最小，故直径最小． 当时，运用等边三角形的性质及勾股定理可得， ∴ ∴． （3）取的中点，连接， 根据题意得：点的运动轨迹是以中点为圆心，为半径的弧， 、为定值，当、、共线时，取得最小值， 四边形是正方形， ，． 是的中点， ． 在中，， 的最小值为． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $