专题31.1.5 圆周角（高效培优讲义）数学新教材沪教版九年级下册

专题31.1.5 圆周角 教学目标 1. 理解圆周角的定义，能区分圆周角与圆心角； 2. 掌握圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半； 3. 掌握圆周角定理两个推论： 同弧或等弧所对的圆周角相等； 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90° 的圆周角所对的弦是直径； 4. 会运用圆周角定理及推论进行角度计算、简单证明。 教学重难点 重点： 圆周角定理及其两个推论，利用定理进行角度计算、证明。 难点： 准确识别同弧，分清 “是哪条弧所对” 的圆周角，避免错找弧； 灵活添加辅助线，构造直径所对直角来解题。 知识点01 圆周角定理 1. 圆周角定义 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫作圆周角.圆周角的两边所夹的弧称为该圆周角所对的弧，但 同一条弧对应的圆周角不唯一.如图31-1-25,圆周角 ∠AC1B、∠AC2B、∠AC3B所对的弧均为, 所对的圆周角则为 ∠AC1B、∠AC2B、∠AC3B. 2. 圆周角定理 圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半. 如图31-1-26,已知：在⊙0中，所对的圆周角是∠BAC,所对的圆心角是∠BOC. 则有∠BAC=2∠BOC. 知识点02 圆周角定理的推论 1. 同弧所对的圆周角 推论1 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆 周角所对的弧相等. 2. 直径对的圆周角 推论2 半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是 直径 【即学即练】 1. 如图，在中，，是上一点，则______． 2. 如图已知：⊙O的弦AB与弦CD相交于点E,且AC=DB. 则有EB=EC. 题型01 利用圆周角定理计算角的度数 【典例1】如图，，，三点在上，且，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式1】如图，是的直径，弦，若，则的度数为（     ） A．25° B．50° C．60° D．65° 【变式2】已知为上三个不同的点，且，则的度数是_________． 【变式3】如图，中，，点C、D是弧上任两点，则的度数是________°． 题型02 同弧或等弧所对的圆周角 【典例1】如图，四边形的四个顶点都在上，找出图中与，，分别相等的角． 【变式1】如图，等腰内接于，点为左侧圆周上一点，且，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式2】如图，以的边为直径画半圆，与，分别交于点D、E，．求证：． 【变式3】如图，点都在上，．求证：． 【变式4】如图1，为的内接三角形，点为延长线上一点，点在上（与点位于弦的两侧）． (1)若，，求的度数； (2)作图：在图2中，请用无刻度的直尺和圆规在上找出点，使得． 题型03 直径所的圆周角 【典例1】如图，是的直径，弦交于点，连接、．若，则（     ） A． B． C． D． 【典例2】如图，在中，以为直径的分别与、交于点、，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 【变式1】如图，为的直径，点A，D在上，并在的两侧，连接，，，．若，，垂足为E． (1)求的度数； (2)若，求线段的长． 【变式2】如图，是的直径，C是上一点，D是弧的中点．求证：． 【变式3】如图，为的直径，弦于点，是弧上一点；延长，交于点，连结，，与交于点． (1)若，用含的代数式表示； (2)如图2，连结，，若，求证：． 题型04 90°的圆周角所对的弦是直径 【典例1】小星用直角三角尺检查某种半圆形工业配件是否合格．下列配件中，合格的是（   ） A． B． C． D． 【典例2】如图，是等腰三角形，，D是的中点，点A，B，D在同一个圆上，求证：是圆的直径． 【变式1】在中，，则外接圆的半径是（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式2】如图，过原点，分别与轴、轴交于点和点，点在上，已知的半径为4，则圆心A的坐标是____  ． 【变式3】如图，中，，D是延长线上一点，．连接，交的外接圆于点E．E是的中点时，求证：是的直径． 【变式4】如图，在正方形中，E是上一点，连接．过点A作，垂足为F，经过点C、D、F，与相交于点G． 求证：； 题型05 圆内的相似图形 【典例1】如图，延长弦、弦，交于圆外一点A，连接． (1)证明：； (2)若，求． 【变式1】如图，的直径与弦交于点求的长．    【变式2】如图，是的直径，弦平分，过点D分别作，垂足分别为E，F，与交于点G，的延长线交于点H，连接，． (1)求证：； (2)若的半径是5，，求的长． 【变式3】如图1，在中，，是的外接圆，点在上且． (1)求证：； (2)在图2中，求作的内心（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (3)在（2）的条件下，若，求的长． 1．如图，是的直径，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．如图，四个边长为1的小正方形讲成一个大正方形，A，，是小正方形顶点，的半径为1，是上的点，且位于右上方的小正方形内，则等于（   ） A． B． C． D．1 3．如图，点A、B、C、D、E 都在上，是直径，，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 4．如图，的直径与弦相交于点，连接，，，，若，，则（     ） A． B． C． D． 5．如图，A、B、C点在圆O上，若，则______． 6．如图，四边形内接于以为直径的，若平分，则线段的长是_____． 7．如图，四边形是的内接四边形，的半径为4，的长为，则的大小是______． 8．如图，在中，，，上的高．则外接圆的半径长为_________． 9．请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中，圆内多边形是矩形，请作出该圆的圆心；点 即为所求； (2)在图2中，圆内正多边形是正五边形，请作出垂直的直径．线段 即为所求． 10．如图，是半圆O的直径，，D是上任意一点，求的度数． 11．如图，正方形内接于，过点作边的垂线交于点，连接，求的度数． 12．如图，在四边形中，，E 是的中点， 的角平分线过点 E．连接， 的面积为S，由A，E，D三点确定的圆的周长为l． (1)若四边形的面积等于 60，求S的值． (2)若 求l的值． 1．如图，是的两条直径，E是劣弧的中点，连接，．若，则的度数为 A．32° B．33° C．34° D．35° 2．如图，四边形内接于，是的直径，连接，若，，则的半径长为（   ）    A．2 B．6 C．4 D．8 3．如图，在中，是弦，是弧上一点．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，为的直径，为直径两侧上两点，连接，，过点作于点，若，则的度数为________． 5．如图，四边形内接于，若，则的度数是_______． 6．如图，在四边形中，是两条对角线，，则的度数为______． 7. 如图，△ABC内接于⊙O，设∠B＝α，请用无刻度的直尺按要求作图（保留作图痕迹）． (1)在图①中画一个度数是2α的圆心角； (2)在图②中作出∠C的余角． 8．如图，在以为直径的中，弦于点H，弦交于点F，连接，已知． (1)求的半径． (2)若，求的长． 9. 如图，点A，B，C，D均在圆上，，平分，，四边形的周长为，求图中阴影部分的面积． 10. 如图，在中，，点在边上，的外接圆交于点E，，过点作垂直于点，延长交于点 (1)求证：； (2)求证： 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题31.1.5 圆周角 教学目标 1. 理解圆周角的定义，能区分圆周角与圆心角； 2. 掌握圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半； 3. 掌握圆周角定理两个推论： 同弧或等弧所对的圆周角相等； 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90° 的圆周角所对的弦是直径； 4. 会运用圆周角定理及推论进行角度计算、简单证明。 教学重难点 重点： 圆周角定理及其两个推论，利用定理进行角度计算、证明。 难点： 准确识别同弧，分清 “是哪条弧所对” 的圆周角，避免错找弧； 灵活添加辅助线，构造直径所对直角来解题。 知识点01 圆周角定理 1. 圆周角定义 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫作圆周角.圆周角的两边所夹的弧称为该圆周角所对的弧，但 同一条弧对应的圆周角不唯一.如图31-1-25,圆周角 ∠AC1B、∠AC2B、∠AC3B所对的弧均为, 所对的圆周角则为 ∠AC1B、∠AC2B、∠AC3B. 2. 圆周角定理 圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半. 如图31-1-26,已知：在⊙0中，所对的圆周角是∠BAC,所对的圆心角是∠BOC. 则有∠BAC=2∠BOC. 知识点02 圆周角定理的推论 1. 同弧所对的圆周角 推论1 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆 周角所对的弧相等. 2. 直径对的圆周角 推论2 半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是 直径 【即学即练】 1. 如图，在中，，是上一点，则______． 【答案】 【分析】根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半进行求解即可． 【详解】∵， ∴优弧所对应的圆心角为， 根据圆周角定理得： ∴优弧所对应的圆周角为 ． 2. 如图已知：⊙O的弦AB与弦CD相交于点E,且AC=DB. 则有EB=EC. 证明 连接BC. ∵ AC=DB, ∴ =. ∵ ∠ABC是所对的圆周角，∠DCB是 所对的圆周角. ∴ ∠ABC=∠DCB, 即∠EBC=∠ECB. ∴ EB=EC. 题型01 利用圆周角定理计算角的度数 【典例1】如图，，，三点在上，且，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆周角定理（同弧所对的圆周角等于圆心角的一半）即可求解． 【详解】解：，分别是的圆周角和圆心角， ． 【变式1】如图，是的直径，弦，若，则的度数为（     ） A．25° B．50° C．60° D．65° 【答案】B 【分析】利用垂径定理得出弧相等，结合圆周角定理求出圆心角度数． 【详解】解：连接， 是的直径， ， ， ， ， ， ． 【变式2】已知为上三个不同的点，且，则的度数是_________． 【答案】或 【分析】点的位置未确定，需分点在优弧和点在劣弧两种情况，根据圆周角度数等于所对弧度数的一半计算． 【详解】解：∵点是上任意不同于的点，位置不确定，分两种情况讨论 ①当点在优弧上时， ∵圆周角的度数等于它所对弧度数的一半， ∴ ②当点在劣弧上时 ∵所对的弧为优弧，优弧的度数为 ∴ 综上，的度数为或 【变式3】如图，中，，点C、D是弧上任两点，则的度数是________°． 【答案】 【分析】根据圆周角定理得到，再求它们的和即可． 【详解】解：∵，和都是所对的圆周角，点C、D是弧上任两点， ∴， ∴． 题型02 同弧或等弧所对的圆周角 【典例1】如图，四边形的四个顶点都在上，找出图中与，，分别相等的角． 【答案】，， 【分析】同弧所对的圆周角相等． 【详解】解：与所对的弧为，所以；与所对的弧为，所以；与所对的弧为，所以． 【变式1】如图，等腰内接于，点为左侧圆周上一点，且，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质求出，再根据等边对等角和三角形内角和定理求出，最后根据同弧所对的圆周角相等即可得到的度数． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ． 【变式2】如图，以的边为直径画半圆，与，分别交于点D、E，．求证：． 【答案】证明：∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 【变式3】如图，点都在上，．求证：． 【答案】 证明：点都在上， ∵， ∴， ∴， 同理：， 在和中 ， ∴． 【变式4】如图1，为的内接三角形，点为延长线上一点，点在上（与点位于弦的两侧）． (1)若，，求的度数； (2)作图：在图2中，请用无刻度的直尺和圆规在上找出点，使得． 【答案】(1) (2) 如图，作的角平分线交圆于点，点即为所求；   【分析】本题主要考查了圆周角定理的推论（同弧所对圆周角相等）和角平分线的作法， （1）根据同弧所对圆周角相等可得，，结合已知即可求出， （2）由（1）可知，进而可得，即是的角平分线，由此即可作图， 【详解】（1）解：∵，， ， 又， ， ∵ ∴. （2）略 题型03 直径所的圆周角 【典例1】如图，是的直径，弦交于点，连接、．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，由是的直径得，再根据同弧所对圆周角相等和直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：连接，如图， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴． 【典例2】如图，在中，以为直径的分别与、交于点、，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：连接， · ∵以为直径的分别与、交于点、， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴； (2) 【分析】（1）证明垂直平分，即可得到结论； （2）求出，证明，则，代入数据即可求出答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵ ∴ ∵， ∴， ∵以为直径的分别与、交于点、， ∴ ∴ ∴ ∴， ∴， 解得 【变式1】如图，为的直径，点A，D在上，并在的两侧，连接，，，．若，，垂足为E． (1)求的度数； (2)若，求线段的长． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）由直径所对的圆周角等于90度得出，证明是等腰直角三角形，即可得出，由同弧所对的圆周角相等即可求出的度数． （2）连接，由等腰直角三角形的性质以及勾股定理得出，证明，由相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：是的直径， ． ， ， 是等腰直角三角形， ， ∵， ． （2）连接，如答图． 是等腰直角三角形， ， 是的直径， ． ， ， ． ， ， ． ， ． 【变式2】如图，是的直径，C是上一点，D是弧的中点．求证：． 【答案】 证明：如图，连接， ∵是的直径， ∴，即， ∵D是弧的中点，为半径， ∴， ∴． 【分析】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理平行线判定定理． 连接，根据是的直径，可得，再由D是弧的中点，可得，即可求． 【详解】略 【变式3】如图，为的直径，弦于点，是弧上一点；延长，交于点，连结，，与交于点． (1)若，用含的代数式表示； (2)如图2，连结，，若，求证：． 【答案】(1) (2) 证明：，且由（1）得， ， ， ，且由（1）得， ， 【分析】（1）利用垂径定理得即可求解； （2）由得，再通过圆周角定理的推论证得即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）略 【点睛】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理的推论，全等三角形的判定与性质，直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握与圆相关的定理知识是解题关键． 题型04 90°的圆周角所对的弦是直径 【典例1】小星用直角三角尺检查某种半圆形工业配件是否合格．下列配件中，合格的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据的圆周角所对的弦是直径，只有选项A中的工件合格． 【典例2】如图，是等腰三角形，，D是的中点，点A，B，D在同一个圆上，求证：是圆的直径． 【答案】 证明：如图，连接， ∵，D是的中点， ∴， ∴， ∵点A，B，D在同一个圆上， ∴是圆的直径． 【变式1】在中，，则外接圆的半径是（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】直径所对的圆周角为，又知，所以所对的边为圆的直径．再用勾股定理求出所需的边长即可． 【详解】解：，，， ， ， 是外接圆的直径， 外接圆半径． 【变式2】如图，过原点，分别与轴、轴交于点和点，点在上，已知的半径为4，则圆心A的坐标是____  ． 【答案】 【分析】如图，连接，证明为的直径，可得，，，可得，，进一步可得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴为的直径， ∵的半径为4， ∴，，， ∴，， ∵为的中点， ∴，即． 【变式3】如图，中，，D是延长线上一点，．连接，交的外接圆于点E．E是的中点时，求证：是的直径． 证明：∵点E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∴， ∴是的直径； 【变式4】如图，在正方形中，E是上一点，连接．过点A作，垂足为F，经过点C、D、F，与相交于点G． 求证：； 【答案】证明：在正方形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型05 圆内的相似图形 【典例1】如图，延长弦、弦，交于圆外一点A，连接． (1)证明：； (2)若，求． 【答案】(1) 证明：∴， ∴； (2)10 【分析】（1）根据圆周角定理可得，再由，即可证得； （2）根据，可得，即可求解． 本题主要考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握圆周角定理，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴ ∴． 【变式1】如图，的直径与弦交于点求的长．    【答案】2+或2﹣ 【分析】连接，设，则，根据同弧所对的圆周角相等，得，根据相似三角形的性质可得，即，然后解一元二次方程即可． 【详解】解：如图，连接    设，则， 根据同弧所对的圆周角相等，得 ， 根据相似三角形的性质得， 即， 所以， 整理得， 解得， 即EC的长为或． 【变式2】如图，是的直径，弦平分，过点D分别作，垂足分别为E，F，与交于点G，的延长线交于点H，连接，． (1)求证：； (2)若的半径是5，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明，即可得出结论； （2）证明，利用对应边对应成比例，求出的长，利用垂径定理得到，即可得解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵弦平分， ∴，， ∴为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵是的直径， ∴，，， ∴的度数相同， ∴， ∴， ∴， ∵的半径是5， ∴， ∴， ∴，解得：或（舍去） ∴． 【变式3】如图1，在中，，是的外接圆，点在上且． (1)求证：； (2)在图2中，求作的内心（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (3)在（2）的条件下，若，求的长． 【答案】(1) 证明：， ． ，， ． ． (2) 如图，点即为所求． (3)5 【分析】本题主要考查圆的相关知识，涉及同弧所对的圆周角相等、等腰三角形的性质、三角形内心的概念以及相似三角形的判定与性质．熟练运用相关知识点是正确解答此题的关键． （1）要证明，可通过证明，利用同弧所对的圆周角相等以及已知条件进行角度转化． （2），根据三角形内心是三角形三条角平分线的交点，利用尺规作角平分线的方法来作出的内心． （3），通过证明，利用相似三角形的性质得到对应边成比例，从而求出的长． 【详解】（1）略 （2）解：， 是的平分线， 作的角平分线，两条角平分线的交点即为的内心． 作法：以为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于两点，再分别以这两点为圆心，大于这两点距离一半的长为半径画弧，两弧相交于一点，过和这个交点作射线；交于点． （3）解：，． 是的内心， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 1．如图，是的直径，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，根据同弧或等弧所对的圆周角是圆心角的一半，进行作答即可． 【详解】解：∵是的直径，， ∴． 故选：B． 2．如图，四个边长为1的小正方形讲成一个大正方形，A，，是小正方形顶点，的半径为1，是上的点，且位于右上方的小正方形内，则等于（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，圆周角定理，根据同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半得到即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：B． 3．如图，点A、B、C、D、E 都在上，是直径，，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键. 连接，根据平行线的性质求出根据圆周角定理得到进而求出，再根据圆内接四边形的性质计算即可. 【详解】解：如图, 连接, ， ， ∵是的直径, ， ， ∵四边形为的内接四边形， ， ， 故选: . 4．如图，的直径与弦相交于点，连接，，，，若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意易得，，然后可得，进而根据三角形外角的性质进行求解即可． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 5．如图，A、B、C点在圆O上，若，则______． 【答案】36 【分析】根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，由此可求出的度数． 【详解】解：与是同弧所对的圆心角与圆周角， ， ， ． 6．如图，四边形内接于以为直径的，若平分，则线段的长是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，直径定理，锐角三角函数，解题的关键是掌握以上性质． 过点作于点，根据直径得出直角，根据圆周角定理和角平分线的定义得出相等的角和边，然后利用锐角三角函数进行求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴，， ∴， ∴， 根据同弧所对的圆周角相等得，， ∴， ∴， 故答案为：． 7．如图，四边形是的内接四边形，的半径为4，的长为，则的大小是______． 【答案】/45度 【分析】连接，，根据弧长公式求出，再根据圆周角定理求出． 【详解】解：如图，连接，， 设， ∵的长为， ∴， ∴， ∴， ∴． 8．如图，在中，，，上的高．则外接圆的半径长为_________． 【答案】/ 【分析】此题考查三角形与外接圆，解三角形的运用，解题关键在于能够熟练运用三角函数求解一些简单的直角三角形的计算问题．作的外接圆，设圆心为O，过点A作直径交于G，连接，先求出，再由，即可求出直径，由此即可解题． 【详解】解：作的外接圆，设圆心为O，过点A作直径交于G，连接，如图所示： 则，， 是的高， 在中，，， ， ， 在中，， ， ， ， 即外接圆的半径长为 故答案为：． 9．请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中，圆内多边形是矩形，请作出该圆的圆心；点 即为所求； (2)在图2中，圆内正多边形是正五边形，请作出垂直的直径．线段 即为所求． 【答案】(1)点为所求． (2)即为所求． 【分析】本题考查了矩形的性质，垂径定理，圆周角定理；熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）连接，，交点即为圆心． （2）延长交于点，作射线交圆于点，则即为所求． 【详解】（1）解：如图1，连接，，相交于点，则点即为所求． （2）解：如图2，延长交于点，作射线交圆于点，则即为所求． 10．如图，是半圆O的直径，，D是上任意一点，求的度数． 【答案】 【分析】根据是半圆的直径得到，通过直角三角形中两个锐角互余、圆的内接四边形的对角互补即可得到． 【详解】解：∵是半圆的直径， ∴， ∵， ∴， ∴． 11．如图，正方形内接于，过点作边的垂线交于点，连接，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查圆内接正方形的性质与角度计算，关键是利用正方形内接圆的圆心为对角线中点、垂径定理确定线段关系，易错点是圆心位置与线段中点的对应关系混淆；思路是求出圆内接正方形的中心角度数，再根据垂径定理求出，由圆周角定理得出答案． 【详解】解：如图，连接、， ∵四边形是圆内接正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 12．如图，在四边形中，，E 是的中点， 的角平分线过点 E．连接， 的面积为S，由A，E，D三点确定的圆的周长为l． (1)若四边形的面积等于 60，求S的值． (2)若 求l的值． 【答案】(1)30 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，90度的圆周角所对的弦是直径等等： （1）如图所示，延长交于F，证明得到，，再根据图形面积之间的关系即可求出答案； （2）先证明，再证明，得到，则，可得即为A、D、E三点确定的圆的直径，则． 【详解】（1）解：如图所示，延长交于F， ∵， ∴， ∵E 是的中点， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴； ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴即为A、D、E三点确定的圆的直径， ∴． 1．如图，是的两条直径，E是劣弧的中点，连接，．若，则的度数为 A．32° B．33° C．34° D．35° 【答案】C 【分析】连接OE，由题意易得，则有，然后可得，进而根据圆周角定理可求解． 【详解】解：连接OE，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∵E是劣弧的中点， ∴， ∴ 2．如图，四边形内接于，是的直径，连接，若，，则的半径长为（   ）    A．2 B．6 C．4 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查圆内接四边形的性质，直径的性质，含角直角三角形的性质， 首先由圆内接四边形的性质得到，然后由直径的性质得到，然后利用含角直角三角形的性质求解即可． 【详解】∵四边形内接于， ∴ ∵是的直径， ∴ ∴ ∴． ∴的半径长为4． 故选：C． 3．如图，在中，是弦，是弧上一点．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，掌握圆周角定理是解题的关键． 根据等边对等角的性质可得，根据同弧或等弧所对圆周角是圆心角的一半，可得，由即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵所对应的圆心角是，所对的圆周角是， ∴， ∴， 故选：C ． 4．如图，为的直径，为直径两侧上两点，连接，，过点作于点，若，则的度数为________． 【答案】 【分析】根据直径得出的度数为，根据圆周角定理求出的度数为，的度数为，最后根据圆周角定理进行求解即可． 【详解】解：∵为的直径， ∴的度数为， ∵， ∴， ∵， ∴的度数为， ∴的度数为， ∴． 5．如图，四边形内接于，若，则的度数是_______． 【答案】/度 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴， ∴ 6．如图，在四边形中，是两条对角线，，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理及应用，熟练掌握圆周角定理是解题的关键，由，可得四点共圆，从而得到，进而得到答案． 【详解】解：∵， ∴四点共圆， ∴， ∴， 故答案为： 7. 如图，△ABC内接于⊙O，设∠B＝α，请用无刻度的直尺按要求作图（保留作图痕迹）． (1)在图①中画一个度数是2α的圆心角； (2)在图②中作出∠C的余角． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据同弧所对的圆心角等于其所对的圆周角的2倍，分别连接OC、OA，可得∠COA＝2α； （2）连接OA，延长OA交圆于P连接PC，根据直径所对的圆周角是直角可得∠PCA＝90°，可得∠PCB是∠ACB的余角． 【详解】（1）如图①，连接OA、OC， ∵∠ABC和∠AOC是所对的圆周角和圆心角，∠B＝α， ∴∠AOC=2∠ABC=2α． ∴∠AOC即为所求． （2）如图②，连接OA，延长OA交圆于P，连接PC， ∵AP为直径， ∴∠ACP=90°， ∴∠ACB+∠PCB=90°， ∴∠PCB是∠ACB的余角， ∴∠PCB即为所求． 8．如图，在以为直径的中，弦于点H，弦交于点F，连接，已知． (1)求的半径． (2)若，求的长． 【答案】(1)5 (2)6 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）连接，设半径，由垂径定理可得，从而得到，由勾股定理进行计算即可得出答案； （2）由（1）得：直径，证明出，从而得到，最后由勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：连接， 设半径， 为的直径， ， ， 解得：， 的半径为5； （2）解：为的直径， ， ， ， ， ， ， ， ． 9. 如图，点A，B，C，D均在圆上，，平分，，四边形的周长为，求图中阴影部分的面积． 【答案】 【分析】设的中点为O，连接，证明得，证明，都是等边三角形可得，作于点H，求出，然后根据求解即可． 【详解】解：如图，设的中点为O，连接， 因为， 所以，， 因为平分， 所以， 所以，， 所以为圆的直径，点O为圆心， 因为，， 所以是等边三角形， 所以， 同理可证，，都是等边三角形， 所以， 因为四边形的周长为， 所以， 所以半径为， 作于点H，则， 所以 所以， 所以， 因为， 所以． 10. 如图，在中，，点在边上，的外接圆交于点E，，过点作垂直于点，延长交于点 (1)求证：； (2)求证： 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (2)证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 2 / 37 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