专题31.1.4 垂径定理（高效培优讲义）数学新教材沪教版九年级下册

专题31.4 垂径定理 教学目标 1. 理解垂径定理分清条件（垂直弦、过圆心）和结论（平分弦、平分弦所对的两条弧）； 2. 能识别垂径定理的基本图形，会构造直角三角形，结合勾股定理进行线段长度、半径、弦心距、弦长的求解计算； 3. 能用垂径定理进行简单的证明。 教学重难点 重点： 垂径定理内容、基本图形；利用垂径定理 + 勾股定理计算弦长、半径、弦心距； 难点： 学会连半径、作弦心距的辅助线思路，转化为直角三角形问题，感受转化思想。 知识点 垂径定理 1. 轴对称性 定理：圆是轴对称性图形，经过圆心的任意一条直线都是它的对称轴。 2. 垂径定理 （1）定理：如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的弧。 简称：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧。 符号语言： 如图31-1-18，∵CD是直径，AB是弦，CD⊥AB垂足为E， ∴AE=BE， 或者，∵OD⊥AB ∴∴AE=BE， （2）垂径定理的逆命题 如图31-1-19和31-1-20，如果圆的一条直径CD平分一条弦AB（弦AB不是直径），那么这条直径CD垂直于弦AB，并且平分这条弦所对弧。 3. 垂径三角形 如图，由半径OB（r）、弦心距OD（d）、弦长一半BD（）组成的三角形叫作垂径三角形。r,d,l之间满足的关系是， 4. 圆的平行弦 （1）圆的两条平行弦所夹的弧相等。 如图AB、CD是圆的两条平行弦，过点O作MN⊥CD于点E，交AB于点F，则由垂径定理有，，所以-，即 （2）两条平行弦之间的距离（d=||） 【即学即练】 2. 如图，的直径，弦，E是劣弧上一点，连接交于点P，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 题型01 基本性质辨析 【典例1】下列语句中不正确的有（   ） ①长度相等的弧是等弧  ②垂直于弦的直径平分弦  ③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴 ④不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆  ⑤半圆是圆中最长的弧 A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【变式1】下列说法正确的是（     ） A．平分弦的直径垂直于弦 B．同一平面内三点确定一个圆 C．相等的圆周角所对的弧相等 D．任何三角形有且只有一个外接圆 【变式2】如图，是的直径，弦于点，连接、，下列结论中不一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式3】已知∠AOB，作图． 步骤1：在OB上任取一点M，以点M为圆心，MO长为半径画半圆，分别交OA、OB于点P、Q； 步骤2：过点M作PQ的垂线交    于点C； 步骤3：画射线OC． 则下列判断：①=；②MC∥OA；③OP=PQ；④OC平分∠AOB，其中正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 题型02 利用垂径定理进行计算 【典例1】如图，的直径垂直于弦，垂足为点M，，，则的长为（     ） A．6 B．4 C．3 D．2 【变式1】如图，是的弦，半径于点．若，，则的长是（     ） A．1 B． C．2 D．3 【变式2】如图，是的直径，弦于点，连接，若，，则的长为______（结果保留）． 【变式3】如图，是的两条弦，，垂足为D，若的直径为，则的长为______． 题型03 利用方程思想求圆的半径长 【典例1】如图，是的半径，是的弦，且于点．若，则半径的长是__________． 【变式1】如图，为四边形的外接圆，，若D是的中点，且，，则的半径为______， ______． 【变式2】如图，是的一条弦，点是的中点，连接并延长交劣弧于点，连接，． (1)判断与的位置关系，并说明理由． (2)若，，求的面积． 【变式3】如图，的直径与弦相交于点，且，若，则的半径为___________． 题型04 圆的平行弦的问题 【典例1】在中，圆心O到两平行弦的距离分别为6、8，则两平行弦间的距离等于________． 【变式1】如图，在中，弦，，，且与位于圆心的同侧．若与之间的距离为2，则的半径为（     ） A．8 B．9 C．10 D．12 【变式2】1．如图所示，以的顶点A为圆心，为半径作圆，分别交，于点，延长交于点G． (1)求证：； (2)若，，求阴影部分弓形的面积． 【变式3】如图，在中，半径，弦平行于直径，且到直径的距离为．点是上不与A、B重合的一点，则的度数为_____． 题型05 利用垂径定理推理和证明 【典例1】如图，点、、、都在圆上，是的直径，交于点． (1)求证：； (2)若，，求． 【变式1】如图，是的一条弦，于点，交于点，点在上，连接． (1)若点是的中点，求证：； (2)若，，求的半径． 【变式2】如图，，是上的两点，，，是的中点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若点是上的点，直接写出的最大值为________． 【变式3】如图，点、、、都在圆上，是的直径，交于点． (1)求证：； (2)若，，求． 【变式4】如图，的直径，弦，E是劣弧上一点，连接交于点P，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 题型06 垂径定理的实际应用 【典例1】《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．如图，已知弦尺，弓形高寸（注：1尺=10寸），则这块圆柱形木材的直径是_____寸． 【变式1】如图，一个底部呈球形的烧瓶，其球形部分的直径为，瓶内液体的最大深度为，则截面圆中弦的长为___________． 【变式2】如图1，赵州桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约1400年，历经无数次洪水冲击和地震却安然无恙．如图2，一圆弧形桥拱的圆心为点E，拱桥的水面跨度，桥拱到水面的最大高度为． (1)求桥拱的半径长； (2)若水面上涨后跨度变为，求水面上涨了多少米． 【变式3】小浩在学习了圆的有关性质后，为验证自己的学习成果，打算只用一张矩形纸条和刻度尺测量家中的碗口直径．如图，将纸条拉直并紧贴碗口，纸条的上下边沿分别与碗口相交于，，，四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．求碗口的直径（忽略碗壁厚度）． 1. 下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点确定一个圆；③正六边形是轴对称图形；④垂直于弦的直径平分这条弦并且平分这条弦所对的两条弧．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2. 如图，是圆的直径，为的弦，，垂足为，下面结论正确的有（    ）    ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．已知等腰△ABC的三个顶点都在半径为5的⊙O上，如果底边BC的长为8，那么BC边上的高为（　　） A．2 B．5 C．2或8 D．4 4．如图，半径，直线，垂足为H，且l交于A，B两点，，将直线l沿所在直线向下平移，若l恰好与相切时，则平移的距离为（    ） A． B． C． D． 5．桥洞是拱桥桥梁下方的孔洞结构，是桥梁工程的重要组成部分，如图所示，桥洞可看作是一段圆弧，桥洞下方水面为6米，拱顶到水面的距离为9米，则桥洞的半径为（   ） A．米 B．米 C．米 D．5米 6．如图，是的半径，弦于点D，连接．若的半径为，的长为，则的长是______． 7．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，1）、B（0，﹣1），以点A为圆心，AB为半径作圆，交x轴于点C、D，则CD的长是____． 8．如图，⊙的半径于点，连接并延长交⊙于点，连接.若,则的长为 ___ . 9. 如图，在以点O为圆心的两个同心圆（两圆的圆心均为点O）中，大圆的弦交小圆于点C，D． (1) 求证：． (2) 若大圆的半径，小圆的半径，且圆心 O 到直线的距离为 3，求的长． 10．如图，在半径为的中，弦与相交于点，求的长． 11．已知：如图，线段与相交于点，且．求证：． 12．如图1是博物馆展出的古代车轮实物，《周礼·考工记》记载：“……故兵车之轮六尺有六寸，田车之轮六尺有三寸……”据此，我们可以通过计算车轮的半径来验证车轮类型，请将以下推理过程补充完整． 如图2所示，在车轮上取A，B两点，设所在圆的圆心为O，半径为． 作弦AB的垂线OC，D为垂足，则___________． 经测量，，则___________；用含r的代数式表示___________． 在中，由勾股定理可列出关于r的方程：___________．解得． 通过换算，车轮直径约为六尺六寸，可验证此车轮为___________之轮．（填“兵车”或“田车”） 1．下列命题中原命题和逆命题都正确的个数是（   ） ①相等的弦所对的弧相等； ②平分弦的直径垂直于弦； ③三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等； ④在同一个圆中，弧是弧的2倍，则弦是弦的2倍； ⑤直角三角形的斜边就是它外接圆的直径． A．5 B．4 C．3 D．2 2．如图，已知和是的两条等弦，，，垂足分别为点，，，的延长线交于点，连接．则下列说法：①；②；③；④．其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图，在⊙O中，CD是直径，且CD⊥AB于P，则下列结论中①AP=PB；②PO=PD；③∠BOD=2∠ACD；④AP2=PC•PD，正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4. 如图，以点P为圆心的圆弧与x轴交于A、B两点，点P的坐标为，点B的坐标为，则点A的坐标为（　　） A． B． C． D． 5．如图，为弧的中点，于点，于点，交于点，，则________． 6．如图，是的弦，半径交弦于点，交于点，若，，，则圆心到的距离为_______． 7．如图是一种机械传动装置示意图，的半径为，点固定在上，连杆定长，点随着的转动在轨道上运动，交于点，当点与点重合时，点与点重合．在一个停止状态时，与交于点，测得，，此时的长为________． 8．是内一点，过点的最长弦为，最短弦为，则的长为______． 9．是的弦，，垂足为M，连接．若中有一个角是30°，，则弦的长为_________． 10．如图，，是两条互相垂直的弦，于点，于点，连接．若，，则的长为________． 11.如图，AB，CD是半径为15的⊙O的两条弦，AB＝24，CD＝18，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上任意一点，则PA＋PC的最小值为_____． 12．如图，是的直径，C是延长线上一点，点D在上，且，的延长线交于点E，． (1)求的度数； (2)若圆的半径为6，求的长． 13. 如图，为的一条弦，连接并延长交于点，为上一点，连接，交于点，连接．若，且． (1)求证：为中点； (2)求的长． 14. 甘肃定西通渭县的传统水磨，以水流推动水轮带动磨盘磨面．水轮整体为圆盘形，垂直于水面安装，运行时部分浸入水中．其几何示意图如图所示，已知水轮圆心O位于水面上方，水面截水轮所得弦的长为1米，水轮半径为3米，C为水轮最低点．求点C 到弦所在直线的距离． 15. 如图，在⊙O上依次有A、B、C三点，BO的延长线交⊙O于E，，过点C作CD∥AB交BE的延长线于D，连AD交⊙O于点F． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）连接OA、OF． ①当∠ABC＝　 　°时，点F为 的中点； ②若∠AOF＝3∠FOE且AF＝3，则⊙O的半径是　 　． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题31.4 垂径定理 教学目标 1. 理解垂径定理分清条件（垂直弦、过圆心）和结论（平分弦、平分弦所对的两条弧）； 2. 能识别垂径定理的基本图形，会构造直角三角形，结合勾股定理进行线段长度、半径、弦心距、弦长的求解计算； 3. 能用垂径定理进行简单的证明。 教学重难点 重点： 垂径定理内容、基本图形；利用垂径定理 + 勾股定理计算弦长、半径、弦心距； 难点： 学会连半径、作弦心距的辅助线思路，转化为直角三角形问题，感受转化思想。 知识点 垂径定理 1. 轴对称性 定理：圆是轴对称性图形，经过圆心的任意一条直线都是它的对称轴。 2. 垂径定理 （1）定理：如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的弧。 简称：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧。 符号语言： 如图31-1-18，∵CD是直径，AB是弦，CD⊥AB垂足为E， ∴AE=BE， 或者，∵OD⊥AB ∴∴AE=BE， （2）垂径定理的逆命题 如图31-1-19和31-1-20，如果圆的一条直径CD平分一条弦AB（弦AB不是直径），那么这条直径CD垂直于弦AB，并且平分这条弦所对弧。 3. 垂径三角形 如图，由半径OB（r）、弦心距OD（d）、弦长一半BD（）组成的三角形叫作垂径三角形。r,d,l之间满足的关系是， 4. 圆的平行弦 （1）圆的两条平行弦所夹的弧相等。 如图AB、CD是圆的两条平行弦，过点O作MN⊥CD于点E，交AB于点F，则由垂径定理有，，所以-，即 （2）两条平行弦之间的距离（d=||） 【即学即练】 2. 如图，的直径，弦，E是劣弧上一点，连接交于点P，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：是的直径，， 垂直平分， ，， ． ， ． (2)的长为6或8 【分析】（1）由垂径定理可知垂直平分，故，再根据等腰三角形三线合一知，又由对顶角相等即可证明； （2）连接，，根据已知条件可说明，解直角三角形可得，设，则，在中，根据勾股定理列式即可解答． 【详解】（1）略； （2）解：如图，连接，． ， ． 由（1）得， ， ． ， ， ． ， ， ． 由（1）知， 设，则． 在中，由勾股定理可得， 即， 解得或， 的值为或， ，， 或8， 即的长为6或8． 题型01 基本性质辨析 【典例1】下列语句中不正确的有（   ） ①长度相等的弧是等弧  ②垂直于弦的直径平分弦  ③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴 ④不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆  ⑤半圆是圆中最长的弧 A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆的相关概念辨析，根据等弧的定义可判断①；根据垂径定理可判断②；根据对称轴的定义可判断③；根据确定圆的条件可判断④；根据优弧比半圆长可判断⑤． 【详解】解：①同圆或等圆中长度相等的弧是等弧，原说法错误； ②垂直于弦的直径平分弦，原说法正确； ③圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，原说法错误； ④不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，原说法正确； ⑤半圆不是圆中最长的弧，原说法错误； ∴说法不正确的有3个， 故选：C． 【变式1】下列说法正确的是（     ） A．平分弦的直径垂直于弦 B．同一平面内三点确定一个圆 C．相等的圆周角所对的弧相等 D．任何三角形有且只有一个外接圆 【答案】D 【分析】错误选项均缺少对应结论成立的限定条件，可据此判断正误． 【详解】解：A、若被平分的弦是直径，平分该弦的直径不一定与它垂直，错误； B、同一平面内，若三点共线，则无法确定一个圆，错误； C、若不在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧不相等，错误； D、三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三个顶点距离相等，故任何三角形有且只有一个外接圆，正确． 【变式2】如图，是的直径，弦于点，连接、，下列结论中不一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：直径垂直于弦于点， ，，，故选项A，B，D正确；无法得出，故C错误． 【变式3】已知∠AOB，作图． 步骤1：在OB上任取一点M，以点M为圆心，MO长为半径画半圆，分别交OA、OB于点P、Q； 步骤2：过点M作PQ的垂线交    于点C； 步骤3：画射线OC． 则下列判断：①=；②MC∥OA；③OP=PQ；④OC平分∠AOB，其中正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】试题分析：根据垂径定理可知PC=CQ，则①正确；由OQ为直径可得出OA⊥PQ，结合MC⊥PQ可得出OA∥MC，结论②正确；根据平行线的性质可得出∠POQ=∠CMQ，结合圆周角定理可得出∠COQ=∠POQ，OC平分∠AOB，结论④正确；由于∠AOB的度数未知，不能得出OP=PQ，即结论③错误．故正确的结论有3个，故选C． 题型02 利用垂径定理进行计算 【典例1】如图，的直径垂直于弦，垂足为点M，，，则的长为（     ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】由垂径定理结合勾股定理求解即可． 【详解】解：连接，如图所示： 是的直径，且， ， 由垂径定理可得，且， 在中，由勾股定理可得． 【变式1】如图，是的弦，半径于点．若，，则的长是（     ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】连接，由垂径定理可得，再由勾股定理可得，最后根据即可求出． 【详解】解：如图所示，连接， ∴， ∵是的弦，半径， ∴， ∴， ∴． 【变式2】如图，是的直径，弦于点，连接，若，，则的长为______（结果保留）． 【答案】 【分析】连接，证明是等边三角形，得到；由垂径定理得到的长，利用等边三角形的性质和勾股定理求出的长，再利用弧长公式求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴； ∵是的直径，弦于点， ∴，， ∴， ∴， ∴的长． 【变式3】如图，是的两条弦，，垂足为D，若的直径为，则的长为______． 【答案】 【分析】由垂径定理求出，再由勾股定理求出，则，然后由勾股定理求出即可． 【详解】解：连接，如图所示：    ∵，， ∴，， ∵的直径为10， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：. 题型03 利用方程思想求圆的半径长 【典例1】如图，是的半径，是的弦，且于点．若，则半径的长是__________． 【答案】10 【分析】根据垂径定理求出的长，设半径为，表示出的长，在中利用勾股定理建立方程求解． 【详解】解：，， ， 设的半径为，则， ， ， 在中，由勾股定理得， ， 解得， ． 【变式1】如图，为四边形的外接圆，，若D是的中点，且，，则的半径为______， ______． 【答案】 5 【分析】连接并延长交于点，连接，设的半径为，在中，由勾股定理列式计算求得半径的长；在和中，利用垂径定理和勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：连接并延长交于点，连接， 设的半径为，则 ，， ∵，， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 解得，即的半径为； ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得① ， 在中，由勾股定理得② ， 得 ， 解得， ∴， ∴． 【变式2】如图，是的一条弦，点是的中点，连接并延长交劣弧于点，连接，． (1)判断与的位置关系，并说明理由． (2)若，，求的面积． 【答案】(1)解：， 理由如下： 如下图所示，连接， 、是的半径， ， 是等腰三角形， 点是的中点， ， ； (2) 【分析】（1）连接，根据圆的性质可知是等腰三角形，根据等腰三角形的三线合一定理可证； （2）设的半径为，则有，利用勾股定理可得，解方程求出的值，即为的长度，根据三角形的面积公式即可求出结果． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知， 是的垂直平分线， ， ， 设的半径为， 则， ， ， 在中，， ， 解得：， ， ． 【变式3】如图，的直径与弦相交于点，且，若，则的半径为___________． 【答案】 【分析】过点O作于点E，连接，根据垂径定理得出，根据等腰三角形的判定和性质得出，整理得出，最后求出结果即可． 【详解】解：过点O作于点E，连接，如图所示： 则， ∵， ， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴，负值舍去， 即的半径为． 题型04 圆的平行弦的问题 【典例1】在中，圆心O到两平行弦的距离分别为6、8，则两平行弦间的距离等于________． 【答案】14或2 【分析】分弦与在圆心O的异侧和同侧，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当弦与在圆心O的异侧时，如图1所示， 过O作， ∵， ∴， 根据题意得：， 此时两平行弦间的距离； 当弦与在圆心O的同侧时，如图2所示，同理可得： ， 综上，两平行弦间的距离等于14或2． 【变式1】如图，在中，弦，，，且与位于圆心的同侧．若与之间的距离为2，则的半径为（     ） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】C 【分析】过圆心作弦的垂线，利用垂径定理和勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：过点 O作 于点 E，交 于点 F，连接 ， ∵，， ， ， 设，则， 在中，， 在中，， ， ， 解得：， ， 即的半径为10． 【变式2】1．如图所示，以的顶点A为圆心，为半径作圆，分别交，于点，延长交于点G． (1)求证：； (2)若，，求阴影部分弓形的面积． 【答案】(1) 证明：连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】本题考查圆的有关知识，解直角三角形，等边三角的判定及性质，关键是掌握：在同圆或等圆中相等的圆心角对的弧相等；正确表示出阴影的面积． （1）利用平行四边形的性质证得，，再通过等腰三角形的性质得到，从而证得，然后由圆心角定理证得； （2）利用平行四边形的性质可得，进而证得是等边三角形，再通过扇形面积计算公式求得扇形的面积，然后通过割补法计算阴影部分弓形的面积． 【详解】（1）略 （2）解：如图，作于， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴°， ∵， ∴是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ． 【变式3】如图，在中，半径，弦平行于直径，且到直径的距离为．点是上不与A、B重合的一点，则的度数为_____． 【答案】或 【分析】过点O作于点F，连接，利用 确定，确定弧所对的圆心角，利用圆周角定理解答即可． 本题考查了平行线间的距离，圆周角定理，圆的性质，余弦函数，熟练掌握定理和三角函数是解题的关键． 【详解】解：过点O作于点F，连接， ∵半径，弦平行于直径，且到直径的距离为． ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 当点E在优弧上时，； 当点E在劣弧上时，； 故答案为：或． 题型05 利用垂径定理推理和证明 【典例1】如图，点、、、都在圆上，是的直径，交于点． (1)求证：； (2)若，，求． 【答案】(1)证明：∵交于点， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）根据垂径定理：垂直于弦的半径平分弦所对的弧．在同圆中，等弧对等弦即可求证； （2）根据直径所对圆周角是直角得，为的中位线得，由勾股定理得出， ． 【详解】（1）略 （2）解：∵点在圆上，是的直径， ∴． ∵交于点， ∴，， ∵， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴． 又∵， ∴在中，， ∴， ∴ ， 即． 【变式1】如图，是的一条弦，于点，交于点，点在上，连接． (1)若点是的中点，求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明：∵， ∴， 又∵点是的中点， ∴， ∴, ∴ 即， ∴ (2) 【分析】（1）根据垂径定理和弧的中点得出相等的弧，然后根据相等的弧所对的弦相等，得出结论； （2）连接，利用垂径定理求出相关线段的长度，利用半径表示出相关线段的长度，再根据勾股定理列出方程求解． 【详解】（1）证明：略； （2）解：如图所示，连接， ∵， ∴，， ∴， 由勾股定理得， 即， 解得． 【变式2】如图，，是上的两点，，，是的中点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若点是上的点，直接写出的最大值为________． 【答案】(1)证明：如图，连接， ，是的中点， ， 又， 和均为等边三角形， ，， ， 四边形是菱形； (2) 【分析】（1）由是的中点，可得，进而证明和均为等边三角形，推出，即可证明四边形是菱形； （2）连接交于点E，延长交于点D，此时取最大值．由菱形的对角线互相垂直且平分，求出，再利用勾股定理、垂径定理求出，最后根据三角形面积公式求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接交于点E，延长交于点D，此时取最大值． ， ，， 由（1）知四边形是菱形， ，， ，， ， ． 即的最大值为． 【变式3】如图，点、、、都在圆上，是的直径，交于点． (1)求证：； (2)若，，求． 【答案】(1)证明：∵点、、在上，于点， ∴， ∵， ∴为的中位线， ∴． (2) 【分析】（1）由垂径定理，结合三角形中位线的性质，即可证得结论； （2）由直径所对的圆周角为直角，可得，由垂径定理可得，根据勾股定理可得，从而可得，，根据勾股定理可得，从而可得． 【详解】（1）略 （2）解：∵点在圆上，是的直径， ∴， ∵点在上，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型06 垂径定理的实际应用 【典例1】《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．如图，已知弦尺，弓形高寸（注：1尺=10寸），则这块圆柱形木材的直径是_____寸． 【答案】 【分析】设圆的半径为寸，在中，利用勾股定理列方程求出半径，进而求出直径 ． 【详解】解：尺寸，则寸， 设圆的半径为寸， ， （寸）， 在中，， 由勾股定理得 ， ， 解得， 直径为（寸） ． 【变式1】如图，一个底部呈球形的烧瓶，其球形部分的直径为，瓶内液体的最大深度为，则截面圆中弦的长为___________． 【答案】 【分析】根据直径求出半径，利用垂径定理确定半径与弦垂直，构建直角三角形，结合勾股定理求解弦长的一半，进而得出弦长． 【详解】解：设圆心为，连接， 球形部分的直径为， 半径， 为瓶内液体的最大深度， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得， ， ， 故截面圆中弦的长为． 【变式2】如图1，赵州桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约1400年，历经无数次洪水冲击和地震却安然无恙．如图2，一圆弧形桥拱的圆心为点E，拱桥的水面跨度，桥拱到水面的最大高度为． (1)求桥拱的半径长； (2)若水面上涨后跨度变为，求水面上涨了多少米． 【答案】(1)桥拱的半径为50米； (2)水面上涨的高度为10米． 【分析】（1）设圆的半径是r米，根据求解； （2）如图2，由垂径定理求出，由勾股定理求出，得出即可． 【详解】（1）解：设圆的半径是r米， 则由垂径定理知，于F，点F是的中点， ∴，， 由勾股定理知，， 则：， 解得：； 即桥拱的半径为50米； （2）解：设水面上涨后水面跨度为60米，交于H，连接，如图2所示， 则米， ∴（米）， ∵（米）， ∴（米）； 答：水面上涨的高度为10米． 【变式3】小浩在学习了圆的有关性质后，为验证自己的学习成果，打算只用一张矩形纸条和刻度尺测量家中的碗口直径．如图，将纸条拉直并紧贴碗口，纸条的上下边沿分别与碗口相交于，，，四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．求碗口的直径（忽略碗壁厚度）． 【答案】 【分析】过点作于点，的延长线交于点，连接，．先根据垂径定理求解，然后设，再对和运用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，的延长线交于点，连接，． ，， ， ，． 设， ． ， ， ， 解得，即， ， 碗口的直径为． 1. 下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点确定一个圆；③正六边形是轴对称图形；④垂直于弦的直径平分这条弦并且平分这条弦所对的两条弧．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查的是圆的基本概念辨析，掌握圆、确定圆的条件、正多边形的性质、垂径定理的概念是解题的关键． 利用圆的概念、确定圆的条件、正多边形的性质、垂径定理判断即可． 【详解】解：直径是弦，则①正确； 经过不在同一直线上的三个点一定可以作圆，则②错误； 正六边形是轴对称图形，则③正确； 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分这条弦所对的两条弧，则④正确； 故选C． 2. 如图，是圆的直径，为的弦，，垂足为，下面结论正确的有（    ）    ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据圆心角、弧、弦的关系及垂径定理对各小项进行逐一分析即可． 【详解】解：∵是圆的直径，为的弦，，垂足为， ∴垂直平分， ∴，故①正确； ，故②正确； ，故③正确； 由已知条件得不出，故④错误； ∴正确的结论有个． 故选：C． 【点睛】本题考查的是垂径定理及圆心角、弧、弦的关系，解答此题的关键是熟知以上知识． 3．已知等腰△ABC的三个顶点都在半径为5的⊙O上，如果底边BC的长为8，那么BC边上的高为（　　） A．2 B．5 C．2或8 D．4 【答案】C 【详解】解：分为两种情况：①如图1，当圆心在三角形的内部时，连接AO并延长交BC于D点，连接OB，∵AB=AC，∴弧AB=弧AC，根据垂径定理得AD⊥BC，则BD=4，在Rt△ODB中，由勾股定理得：OB2=OD2+BD2，∵OB=5，BD=4，∴OD=3，∴高AD=5+3=8； ②当圆心在三角形的外部时，如图2， 三角形底边BC上的高AD=5﹣3=2． 所以BC边上的高是8或2，故选C． 点睛：本题综合考查了垂径定理和勾股定理在圆中的应用，因三角形与圆心的位置不明确，注意分情况讨论． 4．如图，半径，直线，垂足为H，且l交于A，B两点，，将直线l沿所在直线向下平移，若l恰好与相切时，则平移的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，由垂径定理和勾股定理得，当点H平移到点C时，直线与圆相切，求得． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， ∵将直线l沿所在直线向下平移，若l恰好与相切时， ∴， 即直线在原有位置向下移动后与圆相切． 故选：B． 【点睛】本题利用了垂径定理，勾股定理，及切线的概念求解，正确掌握各定理并应用是解题的关键． 5．桥洞是拱桥桥梁下方的孔洞结构，是桥梁工程的重要组成部分，如图所示，桥洞可看作是一段圆弧，桥洞下方水面为6米，拱顶到水面的距离为9米，则桥洞的半径为（   ） A．米 B．米 C．米 D．5米 【答案】D 【分析】根据垂径定理得出米，设桥洞的半径为r，则：米，根据勾股定理列出关于r的方程，解方程即可． 【详解】解：∵， ∴（米）， 设桥洞的半径为r，则：米， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， 即桥洞的半径为5米． 6．如图，是的半径，弦于点D，连接．若的半径为，的长为，则的长是______． 【答案】3 【分析】根据垂径定理可得的长，根据勾股定理可得结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了垂径定理和勾股定理．垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧． 7．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，1）、B（0，﹣1），以点A为圆心，AB为半径作圆，交x轴于点C、D，则CD的长是____． 【答案】 【分析】根据题意在中求出，利用垂径定理得出结果． 【详解】由题意，在中，，， 由垂径定理知，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理及垂径定理，熟练掌握垂径定理是解决本题的关键． 8．如图，⊙的半径于点，连接并延长交⊙于点，连接.若,则的长为 ___ . 【答案】 【详解】解：连接BE ∵⊙的半径,AB=2 ∴ 且 , 若设⊙的半径为，则. 在△ACO中,根据勾股定理有, 即， 解得：. ∴. ∵是⊙的直径， ∴ . 故答案为： 9. 如图，在以点O为圆心的两个同心圆（两圆的圆心均为点O）中，大圆的弦交小圆于点C，D． (1) 求证：． (2) 若大圆的半径，小圆的半径，且圆心 O 到直线的距离为 3，求的长． 【答案】(1) 证明：如图，过点 O 作于点E． ∵， ∴． ∴． ∴． (2) 【分析】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． （1）过点O作于点E，根据垂径定理，垂直平分和，即，，进而即可得出结论； （2）连接，利用勾股定理计算和的长度，进而求的长度． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接． ∵， ∵， 10．如图，在半径为的中，弦与相交于点，求的长． 【答案】 【分析】本题考查圆和锐角三角函数，解题的关键是掌握垂径定理和解直角三角形的方法．过点O作于点F，于点G，连接、、，根据垂径定理得到的长，用勾股定理求出的长，得到是等腰直角三角形，，再利用含角的直角三角形性质求出的长，在中用勾股定理求出的长，即可得到结果． 【详解】解：如图，过点作于点F，于点G，连接、、， 则，， ∴， 在中，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴． 11．已知：如图，线段与相交于点，且．求证：． 【答案】 证明：过点作于点， 则， ∵， ∴， ∴， 即． 【分析】本题考查等腰三角形三线合一，垂径定理，熟练掌握相关性质是解决问题的关键．利用三线合一可得，利用垂径定理可得，两式相减即可证明． 【详解】略． 12．如图1是博物馆展出的古代车轮实物，《周礼·考工记》记载：“……故兵车之轮六尺有六寸，田车之轮六尺有三寸……”据此，我们可以通过计算车轮的半径来验证车轮类型，请将以下推理过程补充完整． 如图2所示，在车轮上取A，B两点，设所在圆的圆心为O，半径为． 作弦AB的垂线OC，D为垂足，则___________． 经测量，，则___________；用含r的代数式表示___________． 在中，由勾股定理可列出关于r的方程：___________．解得． 通过换算，车轮直径约为六尺六寸，可验证此车轮为___________之轮．（填“兵车”或“田车”） 【答案】，，，，兵车 【分析】根据垂径定理，进行作答即可． 【详解】解：根据垂直弦的直径平分弦可知：， ∵， ∴，， ∴， 解得：， ∴此车轮为：兵车之轮； 故答案为：，，，，兵车． 【点睛】本题考查垂径定理．熟练掌握：垂直于弦的直径，平分弦，是解题的关键． 1．下列命题中原命题和逆命题都正确的个数是（   ） ①相等的弦所对的弧相等； ②平分弦的直径垂直于弦； ③三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等； ④在同一个圆中，弧是弧的2倍，则弦是弦的2倍； ⑤直角三角形的斜边就是它外接圆的直径． A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【详解】解：①原命题：相等的弦所对的弧相等．错误，未限定同圆或等圆，且一条弦对应两条弧，相等的弦所对的弧不一定相等． 故①不符合要求． ②原命题：平分弦的直径垂直于弦．错误，若被平分的弦为直径，结论不成立． 故②不符合要求． ③原命题：三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等．正确． 逆命题：到三角形三个顶点距离相等的点是三角形的外心．正确． 故③符合要求． ④原命题：在同一个圆中，弧是弧的倍，则弦是弦的倍．错误，弦长与弧的长度不成正比，例如弧对应的弦长小于弧弦长的倍． 故④不符合要求． ⑤原命题：直角三角形的斜边就是它外接圆的直径．正确． 逆命题：若三角形的一边是它外接圆的直径，则这个三角形是直角三角形．正确． 故⑤符合要求． 综上，符合条件的命题共个． 2．如图，已知和是的两条等弦，，，垂足分别为点，，，的延长线交于点，连接．则下列说法：①；②；③；④．其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题．连接，，由可得，再证明和即可判断相关结论. 【详解】解：连接，， ∵， ∴，故①正确； ∵，， ∴，， ∴. ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴，，故④正确； ∵， ∴，故③正确. 综上，四个选项都正确， 故选：D． 3．如图，在⊙O中，CD是直径，且CD⊥AB于P，则下列结论中①AP=PB；②PO=PD；③∠BOD=2∠ACD；④AP2=PC•PD，正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】①根据垂径定理即可判断;②无法判断; ③根据垂径定理以及三角形外角的性质即可判断；④根据相似三角形的性质即可判断. 【详解】①项，因为弦CD⊥AB于点E，根据垂径定理，，故①项正确； ②项，不能判断和的关系，故②项错误； ③项，根据垂径定理，有， 则 故③项正确； ④项，连接AD, ； 故④项正确. 综上所述，①③④正确. 故选:C. 4. 如图，以点P为圆心的圆弧与x轴交于A、B两点，点P的坐标为，点B的坐标为，则点A的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考了垂径定理，连接，过点P作于点，由垂径定理可得，根据坐标可得，从而得到即可求出点A的坐标． 【详解】解：连接，过点P作于点D， ∴， ∵点P的坐标为，点B的坐标为， ∴，， ∴， ∴点A的坐标为． 故选：C． 5．如图，为弧的中点，于点，于点，交于点，，则________． 【答案】2 【分析】连接，由垂径定理可得，再证明，即可得出结果． 【详解】解：连接，如图， ∵于点， ∴， ∵为弧的中点， ∴， ∴， ∵于点， ∴， ∵， ∴， ∴． 6．如图，是的弦，半径交弦于点，交于点，若，，，则圆心到的距离为_______． 【答案】 【分析】设交于点，连接，由垂径定理可得，则，设，在和中，由勾股定理列式计算可得的值，进而可得的长． 【详解】解：设交于点，连接， ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得，， 在中，由勾股定理得，， ∴， 解得， ∴， 即圆心到10的距离为． 7．如图是一种机械传动装置示意图，的半径为，点固定在上，连杆定长，点随着的转动在轨道上运动，交于点，当点与点重合时，点与点重合．在一个停止状态时，与交于点，测得，，此时的长为________． 【答案】 【分析】根据垂径定理得出，进而求出，利用勾股定理求出，再次利用勾股定理即可求出． 【详解】解：如图，连接，过点作于，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵的半径为，即 ∴， ∴． 8．是内一点，过点的最长弦为，最短弦为，则的长为______． 【答案】 【分析】圆内过点的最长弦为圆的直径，最短弦是过点且垂直于该直径的弦，利用垂径定理和勾股定理即可求解． 【详解】解：∵圆内最长的弦为直径，最短的弦是过点且与直径垂直的弦， ∴的直径为，半径为，最短弦长为， ∵根据垂径定理，最短弦被点平分， ∴最短弦一半的长度为， ∴由勾股定理得． 9．是的弦，，垂足为M，连接．若中有一个角是30°，，则弦的长为_________． 【答案】12或4 【分析】分∠OAM=30°，∠AOM=30°，两种情况分别利用正切的定义求解即可. 【详解】解：∵OM⊥AB， ∴AM=BM， 若∠OAM=30°， 则tan∠OAM=， ∴AM=6， ∴AB=2AM=12； 若∠AOM=30°， 则tan∠AOM=， ∴AM=2， ∴AB=2AM=4. 故答案为：12或4. 【点睛】本题考查了垂径定理，三角函数，解题时要根据题意分情况讨论. 10．如图，，是两条互相垂直的弦，于点，于点，连接．若，，则的长为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂径定理及勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．利用垂径定理求出、的长度，结合勾股定理得出的长度． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴在中，， 故答案为： 11.如图，AB，CD是半径为15的⊙O的两条弦，AB＝24，CD＝18，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上任意一点，则PA＋PC的最小值为_____． 【答案】 【分析】由于A、B两点关于MN对称，因而PA＋PC＝PB＋PC，即当B、C、P在一条直线上时，PA＋PC的值最小，即BC的值就是PA＋PC的最小值． 【详解】解：连接BC，OB，OC，作CH垂直于AB于H． ∵AB＝24，CD＝18，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F， ∴BE＝AB＝12，CF＝CD＝9， ∴，， ∴CH＝OE＋OF＝9＋12＝21， BH＝BE＋EH＝BE＋CF＝12＋9＝21， 在Rt△BCH中，根据勾股定理得：， 即PA＋PC的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查垂径定理以及最短路径问题，灵活根据垂径定理确定最短路径是解题关键． 12．如图，是的直径，C是延长线上一点，点D在上，且，的延长线交于点E，． (1)求的度数； (2)若圆的半径为6，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，利用半径相等和等腰三角形的性质求得，从而利用三角形的外角的性质求解； （2）过点作于点，根据垂径定理得，再根据含30度角的直角三角形的性质得到，然后由勾股定理求出，最后根据线段的和差即可求解． 【详解】（1）解：连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，过点作于点， ∴， ∵，圆的半径为6，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 13. 如图，为的一条弦，连接并延长交于点，为上一点，连接，交于点，连接．若，且． (1)求证：为中点； (2)求的长． 【答案】(1)证明：∵是的直径， ∴即， ∵， ∴， ∴，即为中点； (2) 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角可得，结合已知可得，根据垂径定理即可得证； （2）先根据得，接着设，在中根据勾股定理进行列式，得，解出，从而可由三角形中位线的性质推出，最后在中利用勾股定理即可作答． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， 设， 则， 在中，， ∴， 解得， ∴，， ∴ ∵是直径， ∴， ∴在中，． 14. 甘肃定西通渭县的传统水磨，以水流推动水轮带动磨盘磨面．水轮整体为圆盘形，垂直于水面安装，运行时部分浸入水中．其几何示意图如图所示，已知水轮圆心O位于水面上方，水面截水轮所得弦的长为1米，水轮半径为3米，C为水轮最低点．求点C 到弦所在直线的距离． 【答案】米 【分析】连接交于点，由题意得出，推出，由垂径定理得，最后用勾股定理解即可． 【详解】解：连接交于点， 点为水轮的最低点， ， ， 由题知，， ， ， 米． 15. 如图，在⊙O上依次有A、B、C三点，BO的延长线交⊙O于E，，过点C作CD∥AB交BE的延长线于D，连AD交⊙O于点F． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）连接OA、OF． ①当∠ABC＝　 　°时，点F为 的中点； ②若∠AOF＝3∠FOE且AF＝3，则⊙O的半径是　 　． 【答案】（1）证明见解析；（2）①72；②3． 【分析】（1）先根据圆的性质得：∠CBD＝∠ABD，由平行线的性质得：∠ABD＝∠CDB，根据直径和等式的性质得 ，则AB＝BC，即可得出结论； （2）①由题意得出∠AOF＝∠EOF＝m，证出∠ABE＝∠ADE＝m，则∠OAF＝∠OFA＝∠EOF+∠ADE＝2m，由三角形内角和定理得出方程，解方程即可； ②先设∠FOE＝x，则∠AOF＝3x，根据∠ABC+∠BAD＝180°，列方程求出x的值，证△AOF是等边三角形，得出OF＝AF＝3即可． 【详解】（1）证明：∵ ， ∴∠CBD＝∠ABD， ∵CD∥AB， ∴∠ABD＝∠CDB， ∴∠CBD＝∠CDB， ∴CB＝CD， ∵BE是⊙O的直径， ∴， ∴AB＝BC＝CD， ∵CD∥AB， ∴四边形ABCD是菱形； （2）解：如图所示： ①F为的中点，则∠AOF＝∠EOF， 设∠AOF＝∠EOF＝m， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD，∠ABE＝∠ADE， ∵∠AOD＝2∠ABE， ∴∠ABE＝∠ADE＝m， ∴∠OAF＝∠OFA＝∠EOF+∠ADE＝2m， ∵∠AOF+∠OAF+∠OFA＝180°， ∴2m+2m+m＝180°， ∴m＝36°， ∴∠ABE＝72°， 即∠ABC＝72°时，点F为的中点， 故答案为：72； ②∵∠AOF＝3∠FOE， 设∠FOE＝x，则∠AOF＝3x， ∠AOD＝∠FOE+∠AOF＝4x， ∵OA＝OF， ∴∠OAF＝∠OFA＝ (180°﹣3x)， ∵OA＝OB， ∴∠OAB＝∠OBA＝2x， ∴∠ABC＝4x， ∵BC∥AD， ∴∠ABC+∠BAD＝180°， ∴4x+2x+ (180°﹣3x)＝180°， 解得：x＝20°， ∴∠AOF＝3x＝60°， ∵OA＝OF， ∴△AOF是等边三角形， ∴OF＝AF＝3， 即⊙O的半径是3； 故答案为：3．    【点晴】本题考查平行四边形和菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，圆周角定理等知识，解题的关键是学会设未知数，列方程求角的度数，证明三角形是等边三角形是解题的突破点，是属于中考常考题型． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $