专题01 三角形（知识&考点&公式&4高频&3易错&3重难&10模型，期中知识清单）八年级数学上学期新教材苏科版

专题01 三角形 目 录 识记类 思维导图 知识清单(10类) 考点清单(7类) 辨析清单(14类) 题型类 高频题型清单(16类) 易错题型清单(5类) 重难题型清单(3类) 答题类 解题模型清单(10类) 答题技巧清单 知识点01 三角形三边关系 1.三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边． 2.三角形的两边差小于第三边． 3.三条线段能组成三角形的条件：如果三条线段中任意两条线段的和大于第三条线段，那么这三条线段能组成三角形；反之，则不能组成三角形． 4.在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． 5.特别提醒：在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略． 知识点02 三角形的角平分线、中线和高 1.三角形的高：从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线画垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． 2.三角形的角平分线：三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线． 3.三角形的中线：三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． 4.三角形的重心：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心． 5.三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段． 6.三角形高的位置：锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点；直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，三条高的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点． 知识点03 全等三角形的概念与性质 1.全等三角形的概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。 2.全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。 知识点04 全等三角形的判定 1.两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）． 数学语言表达：如图所示，AB=A′B′，∠B=∠B′，BC=B′C′，则△ABC≌△A′B′C′. 2.两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）． 数学语言表达：如图所示，∠B=∠B′，BC=B′C′，∠C=∠C′，则△ABC≌△A′B′C′. 3.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）． 数学语言表达：如图所示，∠A=∠A′，∠B=∠B′，BC=B′C′，则△ABC≌△A′B′C′. 4.三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）． 数学语言表达：如图所示，AB=A′B′，AC=A′C′，BC=B′C′，则△ABC≌△A′B′C′. 5.斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 数学语言表达：如图所示，AB=A′B′，BC=B′C′，则△ABC≌△A′B′C′. 知识点05 三角形的稳定性 三角形具有形状唯一、不易变形的特性即为三角形的稳定性，三角形具有稳定性。 知识点06 线段垂直平分线的性质 1.线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 2.线段的垂直平分线的作法 如图，已知线段，用尺规作它的垂直平分线．步骤如下： 第一步：分别以和为圆心，以的长度为半径作弧，两弧相交于点和点； 第二步：作直线． 点是直线上一点，则线段．    3.线段垂直平分线性质定理的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 4.三角形三边的垂直平分线的性质定理:三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等. 知识点07 角平分线的性质 1.角平分线的性质：角平分线上任意一点到角的两边的距离相等。 即若OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，且PD⊥OB于点D，PE⊥OA于点E，则有PD＝PE 。 2.作已知角的角平分线： 步骤一：以角的顶点为圆心，一定长度为半径画圆弧，交角的两边与点M和点N。 步骤二：以点M和点N 为圆心， 大于MN的长度为半径画圆弧，两弧交于点P。 步骤三：连接OP即为角平分线 步骤一 步骤二 步骤三 3.角平分线性质定理的逆定理：角的内部到角两边距离相等的点一定在角平分线上。 数学语言： 点P在∠AOB的内部，PE⊥OA于E，PD⊥OB于D，且PE＝PD，则点P在∠AOB的平分线上。 即：∵PE⊥OA于E，PD⊥OB于D，且PE＝PD ∴∠AOC＝∠BOC 知识点08 等腰三角形 1.定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形. 2.等腰三角形的性质 ①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”； ②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）. 3.等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）. 知识点09 等边三角形 1.定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形. 2.等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.　　 3.等边三角形的判定： ①三条边都相等的三角形是等边三角形； ②三个角都相等的三角形是等边三角形； ③有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形. 知识点10 直角三角形的性质 1.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 2.直角三角形的性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 考点01 三角形三边关系的应用 考点内容：两边之和大于第三边；两边之差小于第三边；三条线段构成三角形的条件． ①判断三条线段能否组成三角形（只需验证较短两边之和大于最长边）； ②已知两边长，求第三边的取值范围：|a－b|＜c＜a＋b； ③等腰三角形中已知两边求周长（或已知周长求边长），需要分类讨论； ④结合周长（或边长的奇偶性、整数条件）求边长、周长的最值及可能取值． 易错提醒：求出结果后一定要用三边关系检验，防止“隐藏的定时炸弹”． 考点02 三角形的高、中线与角平分线 考点内容：三角形的高、中线、角平分线的定义与画法；三条高的位置；三角形的重心． ①识别三角形的中线、角平分线、高，并进行相关计算（角相等、线段相等、垂直关系）； ②判断锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中三条高（或三条高所在直线）的位置及交点位置； ③利用中线、重心解决线段相等或等分问题； ④已知一边上的高求角或求边时，注意按高的位置（内部／外部）分类讨论． 考点03 全等三角形的判定与性质 考点内容：全等三角形的性质；全等三角形的判定定理；全等的基本图形；全等的书写规范． ①直接判定全等，给出一组条件，添加一个条件，使两个三角形全等； ②利用全等求线段长、求角度，先证全等→转化对应边、对应角，进行计算；常和平行线、角平分线、垂直、对顶角一起结合； ③证明线段相等、证明角相等，常用路径：证所在两个三角形全等； ④模型类全等，一线三等角、手拉手旋转全等、角平分线模型、倍长中线模型、截长补短法等等； ⑤多步证明，连续全等，第一组全等得到条件，作为第二组全等的已知条件，层层推导； ⑥动点全等，点在线段上运动，设时间t，用t表示线段，分类讨论，满足全等条件求． 考点04 垂直平分线的性质定理与逆定理 考点内容：线段垂直平分线的性质定理；线段垂直平分线的逆定理；三角形三边垂直平分线；尺规作图． ①直接用性质求线段长度、周长，题目给出垂直平分线，直接转化线段，进行周长代换； ②利用逆定理判定垂直平分线； ③求角度，由PA=PB得到等腰三角形，等边对等角，结合外角、内角和计算角度； ④尺规作图题； ⑤最短路径，垂直平分线经常和将军饮马结合：利用PA=PB实现线段转化； ⑥综合证明题，和全等、等腰三角形结合；先用垂直平分线得等线段，再证全等/等腰． 考点05 角平分线的性质定理与逆定理 考点内容：角平分线的性质定理；角平分线的逆定理；三角形三条角平分线；尺规作图． ①直接用性质求垂线段长度、面积，看到角平分线+两条垂线，直接换等长线段； ②逆定理判定角平分线，题目给出两条垂线段相等，证明射线平分角； ③角度计算，角平分线直接等分角度，常和平行线、外角、三角形内角和、垂直一起求角度； ④尺规作图题； ⑤证明题，替代全等简化步骤，有角平分线+双垂直，优先用性质定理，不用反复证AAS全等，节省步骤； ⑥角平分线模型： （1）角平分线+平行线 → 等腰三角形（角分平，等腰现） （2）角平分线+垂线 → 三线合一，等腰三角形（角分垂，等腰归） （3）双角平分线模型：两内角平分线、一内一外角平分线求夹角． 考点06 等腰（等边）三角形的性质与判定 考点内容：等腰三角形性质；等腰三角形判定；等边三角形性质；等边三角形判定． ①角度计算，已知顶角或者底角求另外的角； ②边长、周长计算，给两边长求周长，分类讨论谁是腰、谁是底；一定要检验三角形三边关系，舍去不能构成三角形的情况； ③三线合一直接用在证明、计算，看到等腰+底边中点 / 垂直 / 角平分线，直接转化另外两个条件； 常用来证垂直、证平分线段、平分角，简化全等证明； ④判定等腰三角形，思路：证明两个角相等（等角对等边）； ⑤等边三角形，手拉手旋转全等经常以等边三角形为背景； ⑥等腰三角形存在性： ⑦折叠问题，折叠产生等线段、等角，形成隐藏等腰三角形，求角度或者边长。 考点07 直角三角形的性质 考点内容：斜边中线定理；30°角性质． ①看到直角+斜边中点，立刻得到三条线段相等，构造等腰三角形，用来求边长、转化角度； ②30°、60°直角三角形边长计算。 辨析01 三角形的三条重要线段都是线段，不是直线或射线 三角形的三条中线、三条高线、三条角平分线都是线段．不要与“角的平分线”（射线）混淆；三角形的高是顶点与垂足之间的线段，钝角三角形中有两条高的垂足落在对边的延长线上． 辨析02 三条高的位置因三角形的形状而不同 锐角三角形的三条高都在三角形内部，相交于三角形内一点；直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，三条高的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点． 辨析03 “两边之差小于第三边”中的“差”要取绝对值 三角形任意两边的差小于第三边，由于两边的大小关系未定，计算时应取长边与短边之差，即 |a－b|＜c．（不要用“任意一边减另一边”造成负数比较） 辨析04 判断三条线段能否组成三角形，不必列出三个不等式 只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段（最长边）的长度，即可判定这三条线段能构成一个三角形；否则不能构成三角形． 辨析05 求出边长（周长）后必须用三边关系检验 这是“隐藏的定时炸弹”．如等腰三角形已知两边求周长时，必须检验三边能否构成三角形，不能构成三角形的要舍去． 辨析06 等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形 等边三角形是底边和腰相等的等腰三角形．按边的相等关系分类时，三角形分为“三边都不相等的三角形”和“等腰三角形”两类，等腰三角形再分为“底边和腰不相等的等腰三角形”和“等边三角形”． 辨析07 SAS能证明两个三角形全等，SSA不能证明两个三角形全等 SAS要求相等的角必须是两条已知边的夹角，SSA可以画出两种不一样的三角形，不能判定全等。 辨析08 乱用HL，非直角三角形不能使用HL判定 HL是直角三角形专属判定定理，前提必须先说明两个三角形是直角三角形。一般三角形不能用HL证明两个三角形全等。 辨析09 全等书写时，对应顶点不按顺序写 全等式字母顺序自带对应关系，顺序写错，后面找对应边、对应角全部出错，大题会扣分。 辨析10 看到面积相等/周长相等，直接判定全等 全等三角形面积、周长相等；反过来不成立。同底等高的三角形面积相等，但边长不一定相同，不一定重合。 辨析11 三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性 三边的长度确定时，三角形的形状和大小就唯一确定，不会再改变；而四边形等多边形在边长确定的情况下仍可能发生形变，因此不具备稳定性． 辨析12 混淆“三线合一”适用范围 只有顶角平分线、底边上的高、底边上的中线三者重合。底角的角平分线、腰上的高、腰上的中线，不具备“三线合一”. 辨析13 误用等边对等角、等角对等边（跨三角形使用） 等边对等角、等角对等边的前提：在同一个三角形内！不同三角形的等边，不能直接推出等角。 辨析14 所有等腰三角形都只有1条对称轴 普通等腰三角形（腰≠底）1条；等边三角形是特殊等腰，有3条对称轴。 【题型一】三角形的三边关系 【例1】（26-27八年级上·江苏扬州·阶段检测）手工课上，小芳手里有长和的两段吸管，她想再剪一段吸管，与这两段首尾相接围成三角形．剪下的这段吸管可以长（   ） A．19 B．12 C．6 D．7 【变式1-1】（26-27八年级上·湖北武汉·阶段检测）下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（     ） A．3，4，5 B．6，7，13 C．11，10，22 D．4，4，9 【变式1-2】（26-27八年级上·天津滨海新区·阶段检测）三角形的三边长分别为，，，则的取值范围是______． 【变式1-3】（26-27八年级上·四川广安·阶段检测）已知的三边长分别为a，b，c． (1)若，，c为奇数，求的周长； (2)化简：． 【题型二】大边（角）对大边（角） 【例2】（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，已知，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26八年级上·云南昭通·期中）在中，如果，那么，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（26-27八年级上·江苏淮安·阶段检测）如图，若，则________（填“”、“”或“”）． 【变式2-3】（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，已知：与相交于点，，，求证：． 【题型三】根据三角形的中线求面积 【例3】（26-27七年级上·重庆开州·阶段检测）如图，的面积为18，D、E、F分别是线段、、的中点，则图中阴影部分的面积为（     ） A．3 B．3.5 C．4.5 D．5 【变式3-1】（26-27九年级上·陕西安康·阶段检测）如图，在中，是边上的中线，是线段的中点，连接，若阴影部分的面积为2，则的面积是（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式3-2】（26-27八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在中，D是的中点，E是的中点，若，则___________． 【变式3-3】（26-27八年级上·云南文山·阶段检测）等高三角形的定义：若两个或多个三角形有一条高相等，则称它们为等高三角形．等高三角形的面积比等于对应底边长的比． (1)如图1，点M在边上，连接，则把分成和．已知，求分别与，的面积比． (2)如图2，是的两条中线，与相交于点O，若，求四边形的面积． 【题型四】三角形的重要线段 【例4】（26-27八年级上·福建厦门·阶段检测）在中，作出边上的高，正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式4-1】（26-27八年级上·广东汕头·阶段检测）如图，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（     ） A． B． C． D． 【变式4-2】（26-27八年级上·福建厦门·阶段检测）如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长多4，，则的长为_______________． 【变式4-3】（26-27八年级上·湖北黄石·阶段检测）如图，在中，，，分别为边上的高和中线，且． (1)求的长； (2)求和的周长之差； (3)若E为边的三等分点，连接，与交于F点，记的面积为，的面积为，求的值． 【题型五】全等三角形的性质 【例5】（26-27八年级上·福建莆田·阶段检测）如图，点，在上，且．若，，则的长为__________． 【变式5-1】（26-27八年级上·黑龙江大庆·阶段检测）若，，的周长为21，，则____． 【变式5-2】（26-27八年级上·黑龙江大庆·阶段检测）已知，点、、分别与点、、对应，，，． (1)求的长； (2)求中最长边的长． 【变式5-3】（26-27八年级上·河北邯郸·阶段检测）如图，已知，点A、C、D在同一条直线上． (1)请判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，证明：C是的中点． 【题型六】全等三角形的判定 【例6】（26-27八年级上·天津滨海新区·阶段检测）如图，D、F是线段上的两点，，求证：． 【变式6-1】（26-27八年级上·宁夏吴忠·阶段检测）如图，，．求证：． 【变式6-2】（26-27八年级上·甘肃定西·阶段检测）如图，，求证：． 【变式6-3】（26-27八年级上·黑龙江大庆·阶段检测）如图，点在同一直线上，，，． (1)求证：； (2)试判断线段与的位置关系，并说明理由． 【变式6-4】（26-27九年级上·广东阳江·阶段检测）如图，在中，是边上的高，且，点E为上的一点，连接交于点F，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【题型七】三角形的稳定性 【例7】（26-27八年级上·黑龙江大庆·阶段检测）工人师傅做课桌时，常在桌腿之间斜着钉上一根木条．这样做的数学道理是（     ） A．三角形具有稳定性 B．两点确定一条直线 C．垂线段最短 D．两点之间线段最短 【变式7-1】（25-26八年级上·福建厦门·阶段检测）下列图形中，具有稳定性的是（     ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26八年级下·云南德宏·阶段检测）下列图形中，不具有稳定性的是（     ） A． B． C． D． 【变式7-3】（26-27八年级上·云南文山·阶段检测）三角形的稳定性有着广泛的应用，下列物品中，没有用到三角形稳定性的是（） A．手机支架 B．折叠马扎 C．剪叉式升降平台 D．汽车引擎盖支架 【题型八】添加条件使三角形全等 【例8】（26-27八年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，在和中，点在边上，点在边上，若，，请你从以下三个选项：①；②；③中选择一个合适的选项作为补充条件，使得． (1)你选择的补充条件是________（填序号）； (2)根据你选择的补充条件，写出的证明过程． 【变式8-1】（26-27八年级上·河南驻马店·阶段检测）如图，已知，点在线段上，且．在如下条件中任意选择一个当作额外条件，欲证．    ① ② 你选择的条件是：__________（填写序号） 证明： 【变式8-2】（25-26七年级下·宁夏银川·期末）已知：如图，点在上，． 请从①；②；③这三个选项中，选择一个作为条件，使得，并说明理由． 解：选择条件是___________．理由是： 【变式8-3】（25-26七年级下·广东佛山·期末）如图，线段、相交于点，连接、．给出下列条件： ①点为中点；②于；③；④． (1)添加2个条件：__________（填序号），使得； (2)说明（1）中结论成立的理由． 【题型九】垂直平分线的性质 【例9】（26-27八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，的垂直平分线分别交于点E，F，，，求的周长． 【变式9-1】（2026秋•高新区校级月考）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，连接AD．若△ABC的周长是13，AE=2，则△ABD的周长是 ． 【变式9-2】（26-27八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，的垂直平分线分别交，于点，的延长线交于点． (1)若，则长为______； (2)试判断点是否在的垂直平分线上，并说明理由； (3)若，，则_____． 【变式9-3】（26-27八年级上·黑龙江佳木斯·阶段检测）如图，点O，在内部，垂直平分，垂直平分，，作直线． (1)连接，，求证：； (2)求证：垂直平分． 【题型十】垂直平分线性质的逆定理 【例10】（2026八年级上·全国·专题练习）如图，在中，D是上的一点，连接，作交于点E，交于点F，且平分，连接． (1)证明：垂直平分． (2)若的周长为18，面积为24，，求的长． 【变式10-1】（26-27八年级上·江苏南通·阶段检测）如图，点在上，点在上，与交于点，，． (1)求证：； (2)求证：过点的直线垂直平分线段． 【变式10-2】（26-27八年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，在中，，，若点D在的平分线所在的直线上．当点D在的外部时，过点D作于E，作交的延长线于F，且． (1)求证：点D在的垂直平分线上； (2)的长度是________． 【变式10-3】（26-27八年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，在中，是的平分线，，垂足分别为E，F． (1)若的面积为7，，，则的长是多少？ (2)连接，求证：垂直平分． 【题型十一】角平分线的性质 【例11】（26-27八年级上·重庆渝中·阶段检测）如图，在四边形中，平分，过作于点，交延长线于点，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式11-1】（26-27八年级上·全国·周测）如图，在中，平分，，于点E，于点F，，，求的长． 【变式11-2】（26-27八年级上·全国·单元测试）如图，在中，平分，于点D，连接．若，，求的面积． 【变式11-3】（26-27八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，在中，，是的平分线，于E，F在上，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【题型十二】角平分线性质的逆定理 【例12】（26-27八年级上·湖北武汉·阶段检测）已知于E，于F，、相交于点D，若．求证：平分． 【变式12-1】（26-27八年级上·广东汕头·阶段检测）如图，在中，D是的中点，，，垂足分别是，．求证： (1)平分． (2)，求的面积． 【变式12-2】（26-27八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，于E，于F，若，， (1)求证：平分． (2)已知，，求的长． 【变式12-3】（26-27八年级上·福建厦门·阶段检测）如图，，，E是边中点，平分． (1)求证：平分； (2)，，三条线段之间有什么数量关系，请证明． 【题型十三】尺规作图 【例13】（26-27八年级上·广西南宁·期中）如图，在中，． (1)尺规作图：在边上求作一点D，连接，使得；（要求：不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，求的周长． 【变式13-1】（25-26八年级上·陕西安康·期末）如图，已知在中，，请用尺规作图法在边上求作一点，连接，使的面积是的面积的倍．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式13-2】（25-26八年级上·上海·期末）如图，三条公路两两相交于点A、B、C，现在要在公路边建一所加油站，要求加油站的位置到三条公路的距离都相等． (1)符合要求的位置有__________个； (2)请你找出所有加油站的位置（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出结论）； (3)你的作图依据是__________． 【变式13-3】（26-27八年级上·江苏扬州·阶段检测）尺规作图：（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (1)如图①，在已知的内部求作一点，使得点到三角形三条边的距离相等； (2)如图②，在边上找一点，使的周长等于； 【题型十四】等腰三角形的性质 【例14】（26-27九年级上·北京西城·开学考试）如图，将绕顶点逆时针旋转得到，且刚好经过点．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式14-1】（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，，点E在直线上，连接，．若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式14-2】（25-26八年级下·山东青岛·期末）如图，，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式14-3】（26-27八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，中，，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【题型十五】等腰三角形的判定 【例15】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，，，求证：是等腰三角形． 【变式15-1】（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，在四边形中，，过点作交于点，．求证：是等边三角形． 【变式15-2】（2026八年级上·全国·专题练习）在中，平分，是上一点，， 交于点，交的延长线于， 交的延长线于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)猜想与的大小有什么关系？并说明理由． 【变式15-3】（26-27八年级上·江苏扬州·阶段检测）已知：如图，是等腰三角形的底边上的高，，且交于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的长． 【题型十六】直角三角形的性质 【例16】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知直角三角形中角所对的直角边为，则斜边的长为（     ） A． B． C． D． 【变式16-1】（26-27九年级上·贵州贵阳·阶段检测）如图，在中，，，为的中点，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【变式16-2】（2026秋•苏州校级月考）如图，在等边△ABC中，F是AB的中点，FE⊥AC于E，如果△ABC的边长是8，则AE= ． 【变式16-3】（26-27八年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，，点M是中点，且于点N．求证：． 【题型一】忽略三角形三边关系而致错 【例1】（26-27八年级上·重庆渝中·阶段检测）如果等腰三角形的两边长分别是和，那么它的周长是________． 易错警示 对于等腰三角形不能确定哪条边是腰或底边时，要分情况讨论，还要注意判断分情况后的三条线段能否构成三角形. 【变式1-1】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）若一个等腰三角形的周长为，一边为，则腰长为_____________． 【变式1-2】（26-27八年级上·福建南平·阶段检测）等腰三角形的三边长分别为4，9，，则x的取值是_______． 【题型二】误用SSA证明两个三角形全等 【例2】（25-26八年级上·全国·课后作业）如下图，在中，，D，E分别是的中点，且．与相等吗？请说明理由． 易错警示 两边及其夹角相等的两个三角形全等，两边及期中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等. 【变式2-1】（2026•呈贡区三模）如图，AC＝EC，BC＝DC，∠ECB＝∠ACD．求证：△ABC≌△EDC． 【变式2-2】（25-26七年级下·山西太原·阶段检测）下面是某数学小组一次研究报告的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 关于“‘’非全等三角形”的研究报告研究对象：“”非全等三角形 研究思路：类比全等三角形，从定义及已有基本事实、结论出发，从相关要素之间关系的角度研究“‘’非全等三角形”的性质 研究方法：观察（测量、操作）——猜想——推理 研究内容： 【定义】：只有两边对应相等，且其中一组相等的边所对的角也对应相等的两个三角形，称为一对“”非全等三角形． 如图，与中，，，，，所以与是一对“”非全等三角形．     定义理解：如图，在等腰中，，为上一点，且，连接，那么和 ▲ （填“是”或“不是”）一对“”非全等三角形． 【性质】：如图，与是一对“”非全等三角形，，，，，则．     下面是性质的探究过程：如图，在上取点，使得，连接… 任务： (1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容：________． (2)请你阅读上述报告，补全性质的探究过程． (3)如图，已知，在上方找一点，作，使得与是一对“”非全等三角形．（要求：尺规作图，不写作法，保留痕迹，画出一种情况即可） 【题型三】直角三角形误用HL定理 【例3】（25-26八年级上·山西忻州·阶段检测）如图，已知和，，，，且，A，D，E三点在一条直线上． (1)求证：． (2)求证：． 易错警示 HL定理要求斜边+一条直角边，只看到直角，没有斜边相等就用HL定理. 【变式3-1】（25-26八年级上·浙江温州·阶段检测）如图，点在线段上，，请只添加一个合适的条件，使． (1)根据“”，需添加的条件是 ；根据“”，需添加的条件是 ． (2)请从（1）中选择一种加以证明． 【变式3-2】（25-26八年级上·河南驻马店·阶段检测）如图，，，，，分别为线段，上任意一点． (1)若点为的中点，点与点重合，请证明与全等． (2)如图，若，，则，，之间有什么数量关系？请写出解答过程． (3)如图，将“，”改为“（为锐角）”，其他条件不变．若，，则，，之间的数量关系为______．（不用写过程） 【题型四】等腰三角形忽略底角一定是锐角 【例4】（25-26八年级下·山西晋中·期末）等腰三角形的一个内角为，则它的底角度数为（     ） A． B． C． D．或 易错警示 对于等腰三角形不能确定哪个角是顶角或底角时，要分情况讨论，注意底角为锐角. 【变式4-1】（25-26八年级上·北京朝阳·期中）等腰三角形的一个内角是，则它的顶角的度数为（    ） A．或 B． C． D．或 【变式4-2】（25-26七年级下·陕西汉中·期末）已知等腰三角形的一个内角等于，则顶角等于___________． 【题型五】乱用三线合一 【例5】（26-27八年级上·江苏南京·阶段检测）如图，中，是边上的高，是边上的中线，，点是的中点． (1)求证：； (2)若，求的度数与的长． 易错警示 三线合一只针对：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合，腰上的高、腰上中线、底角平分线，不满足三线合一. 【变式5-1】（26-27八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在中，是边上的一点，，，分别是，的中点．若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【变式5-2】（26-27八年级上·江苏宿迁·阶段检测）以下说法正确的有（     ） ①三角形的中线、角平分线都是射线 ②等腰三角形的对称轴是底边上的高线 ③等腰三角形的高线、中线、角平分线互相重合 ④三角形的三条角平分线在三角形内部交于一点 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型一】等面积法的应用 【例1】（26-27八年级上·云南文山·阶段检测）如图，在中，垂足为，垂足为，若，，，则边上的高的长度是（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】（26-27八年级上·重庆九龙坡·阶段检测）如图，在中，，于点，于点，于点，若，则的值为_____． 【变式1-2】（2026八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，该三角形的面积为，是边上任意一点，于点，于点，则等于_____ ． 【题型二】全等三角形的个数 【例2】（26-27八年级上·江苏南京·单元测试）在如图所示的正方形网格中，是格点三角形（即顶点恰好是网格线的交点），则与有一条公共边且全等的所有格点三角形（不含）有（　　） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【变式2-1】（25-26八年级上·福建泉州·期中）如图1，与满足，，，，我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”．如图2，，则图中共有“伪全等三角形”（    ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【变式2-2】（26-27七年级上·山东济宁·阶段检测）如图，已知，，则图中共有全等三角形________对 【题型三】格点中的等腰三角形 【例3】（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）我们称网格线的交点为格点．如图，在6行×5列的长方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰直角三角形，则满足条件的格点C的个数是（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式3-1】（26-27八年级上·浙江杭州·阶段检测）在如图所示的方格中，点，，，均在小方格的顶点上．以其中三个点为顶点的等腰三角形个数为（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式3-2】（25-26八年级上·辽宁大连·期末）如图，在的正方形网格中，A，B两点都是网格的格点，若是等腰三角形，且点C也是该网格的格点，则点C的个数是_______． 【题型四】等腰三角形的存在性 【例4】（26-27八年级上·浙江金华·阶段检测）如图，在中，，，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿方向运动，且速度为每秒，点Q从点B开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为t秒． (1)______（用t的代数式表示）． (2)当点Q在边上运动时，出发______秒后，是等腰三角形． (3)当点Q在边上运动时，出发几秒后，是以或为底的等腰三角形？ 【变式4-1】（25-26八年级上·吉林·期末）如图:已知中，边的垂直平分线分别交，边于点E，D，且． (1)求证：是等边三角形； (2)点F在射线上，连接，当为等腰三角形时，的度数是 ． 【变式4-2】（25-26七年级下·广东深圳·期末）在中，，点为上一点． (1)如图1，点为上一点，将沿折叠使点落在点处，如果是等边三角形，那么________； (2)在（1）的条件下，点为射线上一动点，以线段为边，在其左侧作等边． ①如图2，点在射线的下方，若，请求出的值； ②如图3，记射线与线段的交点为，连接，在点的运动过程中，当为等腰三角形时，请求出的度数． 【题型五】折叠问题 【例5】（25-26八年级上·山东德州·期末）在中，，，将按如图所示的方式依次折叠； 有下面四个结论； ①平分；②；③；④的周长等于的长．其中正确结论的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式5-1】（25-26八年级上·重庆·期中）如图，在三角形纸片中，，，沿过点的直线将纸片折叠，使点落在上的点处，折痕交于点，再折叠纸片，使点与点重合，折痕交于点，交于点，若，则（　　） A．2 B．4 C．3 D．5 【变式5-2】（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在四边形中 ，，点 E 在边上，连接，将四边形 沿 折叠，使得B点落在D点处，连接，则 ________． 【题型六】最值问题 【例6】（2026·宁夏中卫·三模）如图，已知平分，，，E为上一动点．在上找一点F，使的值最小，则这个最小值为__________． 【变式6-1】如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B，C在格点上． (1)请在图中作出关于y轴对称的 (2)写出点，点C'的坐标，以为顶点的三角是________三角形； (3)点P在图中格点上，若是等腰三角形，则点P的个数是________． 【变式6-2】（25-26七年级下·甘肃酒泉·期末）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀古从军行里的一句诗，由此引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． (1)如图，若点和点分别在直线的两侧，请作出示意图，在直线上找到点，使得有最小值，并说明作图依据：________； (2)如图，若点和点在直线的同侧，请在直线上作出点，使得有最小值； (3)如图，已知，点在内部，，在射线和上分别确定点，，使的周长最小，并求出周长的最小值．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短周长用实线） 【题型一】 双内角平分线模型 【模型解读】 如图,，分别是， 的平分线，则 . 【例1】（26-27八年级上·湖北荆州·阶段检测）如图，在中，和的角平分线相交于点．若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】（26-27八年级上·重庆渝中·阶段检测）如图，在中，，的两条内角平分线、交于点，则的度数为________． 【变式1-2】（26-27八年级上·云南文山·阶段检测）如图，在中，，． (1)若，求的度数； (2)求证：． 【变式1-3】（2026八年级上·全国·专题练习）概念认识：如图①，在中，若，则叫做的“三分线”．其中，是“邻三等分线”，是“邻三等分线”． 【问题解决】 (1)如图①，是的“三等分线”，则___________ °； (2)如图②，在中，，，若的邻三等分线与的邻三等分线交于点P，则________； (3)如图③，在中，、分别是邻三等分线和邻三等分线，且，求的度数． (4)【延伸推广】在中，是的外角，的邻三等分线与的三等分线交于点P．若，，直接写出的度数．（用含x，y的代数式表示） 【题型二】内外角平分线模型 【模型解读】 如图,，分别是，的平分线，则 . 【例2】如图，在中，平分，平分外角，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26八年级上·山东烟台·期末）如图，在四边形中，，的平分线与外角的平分线相交于点，则的度数为（   ） A． B． C．25° D． 【变式2-2】如图，在中，，和的平分线交于点，得；和的平分线交于点，得；和的平分线交于点，则（     ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26七年级下·福建厦门·期末）如图，在中，和的平分线交于点，的外角平分线所在直线与的平分线相交于点，与的外角平分线相交于点，则下列结论中，错误的是（） A． B． C． D． 【题型三】双外角平分线模型 【模型解读】 如图,，分别是，的平分线，则 . 【例3】（25-26八年级上·湖北孝感·阶段检测）如图，的外角和外角的平分线交于点，已知，则的度数为（   ） A．42° B．40° C．38° D．36° 【变式3-1】（26-27八年级上·四川成都·阶段检测）已知，①如图1，若P点是和的角平分线的交点，则；②如图2，若P点是和外角的角平分线的交点，则 ；③如图3，若P点是外角和的角平分线的交点，则．上述说法不正确的个数是（     ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【变式3-2】认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题． （1）探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由． （2）探究2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由． （3）探究3：如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A又有怎样的关系？（只写结论，不需证明）结论：　　 ． 【变式3-3】（2026春•北京期末）为提升长治市某小区居民的休闲体验，物业计划在小区内的三角形休闲 广场△ABC上进行景观升级．设计师借鉴古建筑中对称、规整的布局理念，计划通过广场内角与外角平分 线形成的夹角，规划景观灯带的走向与布局．请你帮助设计师完成以下计算，为灯带施工提供数据支持． （1）如图1，在△ABC中，∠ABC＝80°，∠ACB＝50°，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，两条角平分线交于点P，求∠BPC的度数； （2）如图2，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的外角平分线相交于点D，若∠BDC＝40°，求∠A的度数． 【题型四】高分线模型 【模型解读】 条件：是高， 是角平分线.结论： 条件：是高，是角平分线，是 延长线上一点，过作 . 结论： 【例4】（26-27八年级上·四川广安·阶段检测）如图，在中，分别是的中线和高，是的角平分线． (1)若的面积为30，，求的长； (2)若，，求的大小． 【变式4-1】已知：如图，△ABC中，AD、AE分别是△ABC的高和角平分线，BF是∠ABC的平分线，BF与AE交于O，若∠ABC＝40°，∠C＝60°，求∠DAE、∠BOE的度数． 【变式4-2】（26-27八年级上·福建龙岩·阶段检测）中，为的平分线，为边上的高． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2（），试说明，，的数量关系． 【变式4-3】（26-27八年级上·广西南宁·期中）综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的角与三角形的特殊线段”为主题开展数学活动． 【图形呈现】如图，在中，是的角平分线，是边上的高． 【初步探究】 (1)若，求的度数； 【探究发现】 (2)智慧小组在进一步的探究中发现，在中，当时，，始终存在固定的数量关系，请猜想的数量关系并证明； 【变式探究】 (3)善思小组受上述探究思路的启发进行变式探究：在任意中，设，是的角平分线，点是直线上一动点（点不与点重合），过点作，垂足为，请直接写出的度数（用含的代数式表示）． 【题型五】一线三等角模型 【模型解读】在某条直线上有三个角相等，利用平角为180°与三角形内角和为180°，证得两个三角形全等。 【常见模型及证法】 同侧型一线三等角（常见）： 锐角一线三等角 直角一线三等角（“K型图”） 钝角一线三等角 条件：+ CE=DE 证明思路：+任一边相等 异侧型一线三等角： 锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角 条件：+ 任意一边相等 证明思路：+任一边相等 【例5】（2026八年级上·全国·专题练习）在中，，，直线经过点C，且于D，于E． (1)当直线绕点C旋转到图（1）的位置时， 求证：①； ②； (2)当直线绕点C旋转到图（2）的位置时，求证：； (3)当直线绕点C旋转到图（3）的位置时，请直接写出，，之间的等量关系． 【变式5-1】（26-27八年级上·新疆昌吉·阶段检测）已知，中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F． (1)如图1，证明 (2)如图1，请写出，，之间的数量关系并说明理由； (3)其他条件不变的前提下如图2，写出，，之间的数量关系并说明理由． 【变式5-2】（24-25八年级上·吉林·期末）在直角三角形中，，直线经过点． (1)当时， ①如图1，分别过点，作直线于点，直线于点．求证：； ②如图2，过点作直线于点，点与点关于直线对称，连接交直线于点，连接．请写出线段，，三者之间的数量关系，并说明理由． (2)如图3，当，时，点与点关于直线对称，连接，．点从点出发，以每秒的速度沿路径运动到终点；点以每秒的速度沿路径运动到终点．分别过点，作直线于点，直线于点．点，同时开始运动，各自达到相应的终点时停止运动，设运动时间为秒．当与全等时，直接写出的值． 【变式5-3】某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形． (1)如图1．已知：在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D、E．证明：． (2)组员小明对图2进行了探究，若，，直线l经过点A．直线l，直线l，垂足分别为点D、E．他发现线段、、之间也存在着一定的数量关系，请你直接写出段、、之间的数量关系， (3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题： 如图3，过的边、向外作正方形和正方形（正方形的4条边都相等，4个角都是直角），是边上的高，延长交于点，若，，求的长． 【题型六】截长补短模型 【模型解读】 （1）截长法 ①在线段AB（最长线段）上截取AC（某条较短线段），使得AC=EF，连接…… ②过某点作AB（最长线段）的垂线 （2）补短法 ①延长AB（某条较短线段）至点C，使得BC=EF（另外一条较短线段），连接…… ②通过旋转法，使得两条较短线段在同一直线上，半角模型中可以利用这种方法 截长：即在一条较长的线段上截取一段较短的线段 在线段上截取 补短：即在较短的线段上补一段线段使其和较长的线段相等 延长，使得 截长补短法的解题步： ①添加辅助线（截长或补短） ②连接线段，构造全等三角形 ③证明三角形全等，转移线段 【例6】（2026八年级上·全国·专题练习）截长补短法是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或者旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题．请用这两种方法分别解决下列问题： 如图①，②，已知在中，，，为上任一点．求证：． 方法一：截长法 方法二：补短法 【变式6-1】（22-23八年级上·山东济宁·期中）阅读下面文字并填空： 数学习题课上李老师出了这样一道题：“如图1，在中，平分，．求证：”． 李老师给出了如下简要分析：要证就是要证线段的和差问题，李老师采用了‘截长法’，如图2，在上截取，连接，只要证__________即可，这就将证明线段和差问题转化为证明线段相等问题，只要证出____________________，得出及__________，再证出____________________，进而得出，则结论成立． 请仿照上题方法解决以下问题： 变式应用：如图，和是等腰三角形，且，，，，以A为顶点作一个角，角的两边分别交边延长线于点E、F，连接，则之间存在什么样的关系？并说明理由． 【变式6-2】（25-26九年级上·重庆·阶段检测）如图，在等边中，延长到点，连接． (1)点是内一动点，满足，以为边作等边，点落在线段上，若，求的度数； (2)如图2，的角平分线交于，在边上取点，使得，连接，在边上取一点，使得，连接、．用等式表示线段、、三者之间的关系； (3)如图3，已知，点是内一动点且满足，当最小时，直接写出的面积． 【变式6-3】（2026春•青羊区校级期中）如图，点D是△ABC外一点，连接AD，CD，过点C作CE⊥AB， 垂足为E．AD＝7，CE＝4，AB＝13，△ADC的面积为14． （1）求证：AC是∠BAD的平分线． （2）若AB﹣AD＝2BE，求证：CD＝BC． 【题型七】倍长中线模型 【模型解读】 1. 倍长中线法：中线指的是三角形的顶点到对边中点所连线段，倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法。 在△ABC中，AD是中线，添加辅助线的方法：延长AD到点E，使得AD=DE，连接BE 证明：∵AD是中线 ∴BD=CD 在△ADC和△EDB中 ∴△ADC≌△EDB（SAS） 2. 类倍长中线法 类中线，即与中点有关的线段，三角形一边任一点与另一边中点所连线段，添加辅助线的方法与倍长中线法一样，将类中线延长一倍，构造全等三角形。 在△ABC中，AD是中线，点M是线段AB上任意一点，添加辅助线的方法：延长MD到点N，使得DN=MD，连接CN 证明：∵AD是中线 ∴BD=CD 在△BDM和△CDN中 ∴△BDM≌△CDN（SAS） 3. 间接倍长中线法 除了上述两种方法外，还有一种间接倍长中线法。在△ABC中，AD是中线，添加辅助线的方法：延长AD，过点B作BE⊥AD交AD于点E，过点C作CF⊥AD交AD于点F 证明：∵AD是中线 ∴BD=CD ∵BE⊥AD，CF⊥AD ∴∠E=∠CFD=90° 在△BED和△CFD中 ∴△BED≌△CFD（AAS） 【例7】（26-27八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在中，是边上的中线，，． (1)延长至点，使，连接．求证：； (2)求的取值范围． 【变式7-1】（26-27八年级上·广东江门·阶段检测）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，请根据小明的方法思考： (1)由已知和作图能得到的理由是___________． A．     B． C．    D． (2)求的取值范围． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 (3)如图2，是的中线，，，，，且，求的长． 【变式7-2】（2026八年级上·全国·专题练习）【初步探索】 (1)如图1，是的中线，探究与的大小关系． 小明同学探究此问题的方法是：延长至点E，使，连接，先证明，可得出结论，他的结论应是___________ 【灵活运用】 (2)如图2，是的中线，E、F分别在、上，且，求证：． 【拓展延伸】 (3)如图3，为的角平分线，直线于点A．点E为上一点（与点A不重合），周长记为a，周长记为b，比较a与b的数量关系并证明． 【变式7-3】（26-27八年级上·江苏泰州·阶段检测）按要求解答下列问题： 【发现问题】 数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，在中，是的中线，求的取值范围． 【探究方法】 (1)第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：①延长到，使得；②连接，通过三角形全等把、、转化在中；③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是_____； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形． 【问题解决】 (2)如图2，是的中线，是的中线，，下列四个选项中：正确选项的序号是______． ①；②；③；④． 【问题拓展】 (3)如图3，与互补，连接、是的中点，求证：； (4)如图4，在（3）的条件下，若，延长交于点，，，则的面积是_____． 【题型八】手拉手模型 【模型解读】 当两个三角形是以公共顶点为顶点等腰三角形时，如果这两个三角形是以公共定点为顶点的等腰三角形，则可以根据SAS连带出的一组新的全等三角形。 条件：△OAB，△OCD均为等腰三角形，且∠AOB = ∠COD 结论：（1）△OAC≌△OBD；（2）∠AEB=∠AOB；（3）OE平分∠AED 核心图形： 核心条件：OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD 【例8】（25-26七年级上·山东东营·期中）如图所示，已知和都是等边三角形，A、B、D三点在一条直线上．则下列结论：①；②；③；④是等边三角形；其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式8-1】（25-26七年级下·四川成都·期末）在中，，． (1)点是内部一点，且． ①如图1，求证：； ②如图2，当，，三点共线时，连接，若，，求的面积； (2)如图3，点是外一点，且，若的面积为8，求的长． 【变式8-2】（25-26八年级上·四川南充·期末）【问题情境】 （1）八上课本中有这样一道习题：如图1，和都是等边三角形，连接，．同学们发现以下结论：与的数量关系是 ． 【变式思考】 （2）如图2，和都是等腰直角三角形，．与交于点，请你在（1）的启发下猜想并验证：判断的大小是否随着的度数变化而变化？如果要变化；请你说理；如果不变化，请求出它的度数． 【拓展运用】 （3）如图2，在（2）的条件下，若，四边形面积的最大值为18，求的长． 【变式8-3】（25-26九年级上·辽宁鞍山·期中）点分别是等边三角形的边和上的点，且，连接． (1)如图1，若，将绕着点顺时针旋转，得到，连接和．求证： ①为等边三角形； ②探究线段，与的数量关系，并说明理由． (2)如图2，当时，若为的中点，连接，求证：． 【题型九】半角模型 【模型解读】 半角模型的特征：两个角是一半的关系，并且两个角有公共顶点，角的两边相等。 解题思路：（1）将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形； （2）证明与半角形成的三角形全等； （3）通过全等的性质得出线段之间的数量关系，从而得到结论。 口诀：大角加半角，大角两边相等，构造全等。 即已知如图：①∠2=∠AOB；②OA=OB，连接FB，将△FOB绕点O旋转至△F′OA的位置，连接F′E、FE，可得△OEF′≌△OEF。 证明：∵将△FOB绕点O旋转至△F′OA的位置 ∴△FOB≌△F′OA ∴∠3=∠4，OF=OF′ ∵∠2=∠AOB ∴∠1+∠3=∠AOB ∴∠1+∠4=∠AOB 即∠E0F′=∠2 在△OEF′和△OEF中 ∴△OEF′≌△OEF（SAS） 【例9】（26-27八年级上·江苏扬州·阶段检测）在四边形中． (1)如图，，，，分别是，上的点，且，探究图中，，之间的数量关系． 小易同学探究此问题的方法是：延长到点，使．连接，先对比与的关系，再对比与的关系，可得出、、之间的数量关系，他的结论是 ． (2)如图，在四边形中，，，、分别是，上的点，且，则上述结论是否仍然成立，请说明理由． (3)如图，在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，若，请直接写出与的数量关系是 ． 【变式9-1】（2026八年级上·全国·专题练习）【问题背景】如图1，在四边形中，，，，E，F分别是，上的点，且． (1)【初步探索】试探究线段，，之间的数量关系． (2)【探索延伸】如图2，在四边形中，，，E，F分别是，上的点，，上述结论是否仍然成立？请说明理由． 【变式9-2】（26-27八年级上·湖北黄石·阶段检测）如图，在四边形中，为钝角，为锐角，，，点E、F分别在，上，且， (1)连接，试探索线段、、之间的数量关系，并加以证明． (2)若点E在射线上，点F在延长线上，其它条件不变，（1）中结论是否依然成立？画出图形，并直接写出、、之间的数量关系． 【变式9-3】（26-27八年级上·广西南宁·阶段检测）综合与探究 已知，在四边形中，，，E、F分别是、边上的点．且．探究线段、、的数量关系． (1)为探究上述问题，小宁先画出了其中一种特殊情况，如图①当，小宁探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接，请你补全小宁的解题思路：先证明______；再证明______；即可得出线段、、之间的数量关系是______． (2)如图②，在四边形中，，，E、F分别是边、上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程． (3)在四边形中，，，E、F分别是、所在直线上的点，且．请直接写出、、线段之间的数量关系． 【题型十】角平分线+平行线模型 【模型解读】 角平分线 + 平行线 = 等腰三角形 已知，平分，，求证：。 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴。 【例10】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，是等边三角形，边长为6，和的平分线交于点F，过点F作的平行线交于点D，交于点E，则的长是_________________． 【变式10-1】（25-26八年级上·吉林白山·期末）如图，在中，，，过点的直线，与的平分线分别交于点，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】（25-26八年级下·陕西宝鸡·阶段检测）如图，在中，，和的平分线分别交于点F，G，若，，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．8 【变式10-3】（25-26八年级上·江苏镇江·期中）如图，在中，和的平分线分别交于点G、F，若，则的值为（   ） A．6 B．8 C．9 D．10 技巧 一句话要点 判断三条线段能否组成三角形——"一算一验"简化法 只验"两短边之和＞最长边"；等于或小于都不能组成三角形。 已知两边求第三边的取值范围 |a－b|＜c＜a＋b；求周长范围时两端再加 a＋b。 等腰三角形边长的"分类讨论 + 检验" 按"已知边为腰""已知边为底"分类讨论，再逐一检验三边关系，不合的舍去。 三角形高的位置——"按形状分类讨论" 锐角全在内部；直角两高与直角边重合；钝角两高在外部——按形状分类讨论。 利用稳定性判断与说理 三边确定则形状大小唯一确定；四边形等会形变，故不稳定。 公共边/公共角/对顶角/等角加（减）同角/等边加（减）同线段/角平分线/中线/垂直 通过隐含条件可得到角相等、线段相等  一线三垂直构造全等三角形 一条直线上三个直角，快速推导等角，构造AAS或ASA全等 等腰三角形中边角分类讨论 题目无图给出边长或角度时，分情况讨论，还要检验三边关系与内角和 角分平，等腰现 角平分线搭配平行线，通过等角代换，直接找出等腰三角形 角分垂，等腰归 过角平分线上一点作角平分线的垂线，延长后构造等腰三角形 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 三角形 目 录 识记类 思维导图 知识清单(10类) 考点清单(7类) 辨析清单(14类) 题型类 高频题型清单(16类) 易错题型清单(5类) 重难题型清单(6类) 答题类 解题模型清单(10类) 答题技巧清单 知识点01 三角形三边关系 1.三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边． 2.三角形的两边差小于第三边． 3.三条线段能组成三角形的条件：如果三条线段中任意两条线段的和大于第三条线段，那么这三条线段能组成三角形；反之，则不能组成三角形． 4.在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． 5.特别提醒：在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略． 知识点02 三角形的角平分线、中线和高 1.三角形的高：从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线画垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． 2.三角形的角平分线：三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线． 3.三角形的中线：三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． 4.三角形的重心：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心． 5.三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段． 6.三角形高的位置：锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点；直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，三条高的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点． 知识点03 全等三角形的概念与性质 1.全等三角形的概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。 2.全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。 知识点04 全等三角形的判定 1.两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）． 数学语言表达：如图所示，AB=A′B′，∠B=∠B′，BC=B′C′，则△ABC≌△A′B′C′. 2.两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）． 数学语言表达：如图所示，∠B=∠B′，BC=B′C′，∠C=∠C′，则△ABC≌△A′B′C′. 3.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）． 数学语言表达：如图所示，∠A=∠A′，∠B=∠B′，BC=B′C′，则△ABC≌△A′B′C′. 4.三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）． 数学语言表达：如图所示，AB=A′B′，AC=A′C′，BC=B′C′，则△ABC≌△A′B′C′. 5.斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 数学语言表达：如图所示，AB=A′B′，BC=B′C′，则△ABC≌△A′B′C′. 知识点05 三角形的稳定性 三角形具有形状唯一、不易变形的特性即为三角形的稳定性，三角形具有稳定性。 知识点06 线段垂直平分线的性质 1.线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 2.线段的垂直平分线的作法 如图，已知线段，用尺规作它的垂直平分线．步骤如下： 第一步：分别以和为圆心，以的长度为半径作弧，两弧相交于点和点； 第二步：作直线． 点是直线上一点，则线段．    3.线段垂直平分线性质定理的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 4.三角形三边的垂直平分线的性质定理:三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等. 知识点07 角平分线的性质 1.角平分线的性质：角平分线上任意一点到角的两边的距离相等。 即若OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，且PD⊥OB于点D，PE⊥OA于点E，则有PD＝PE 。 2.作已知角的角平分线： 步骤一：以角的顶点为圆心，一定长度为半径画圆弧，交角的两边与点M和点N。 步骤二：以点M和点N 为圆心， 大于MN的长度为半径画圆弧，两弧交于点P。 步骤三：连接OP即为角平分线 步骤一 步骤二 步骤三 3.角平分线性质定理的逆定理：角的内部到角两边距离相等的点一定在角平分线上。 数学语言： 点P在∠AOB的内部，PE⊥OA于E，PD⊥OB于D，且PE＝PD，则点P在∠AOB的平分线上。 即：∵PE⊥OA于E，PD⊥OB于D，且PE＝PD ∴∠AOC＝∠BOC 知识点08 等腰三角形 1.定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形. 2.等腰三角形的性质 ①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”； ②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）. 3.等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）. 知识点09 等边三角形 1.定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形. 2.等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.　　 3.等边三角形的判定： ①三条边都相等的三角形是等边三角形； ②三个角都相等的三角形是等边三角形； ③有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形. 知识点10 直角三角形的性质 1.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 2.直角三角形的性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 考点01 三角形三边关系的应用 考点内容：两边之和大于第三边；两边之差小于第三边；三条线段构成三角形的条件． 常见考法： ①判断三条线段能否组成三角形（只需验证较短两边之和大于最长边）； ②已知两边长，求第三边的取值范围：|a－b|＜c＜a＋b； ③等腰三角形中已知两边求周长（或已知周长求边长），需要分类讨论； ④结合周长（或边长的奇偶性、整数条件）求边长、周长的最值及可能取值． 易错提醒：求出结果后一定要用三边关系检验，防止“隐藏的定时炸弹”． 考点02 三角形的高、中线与角平分线 考点内容：三角形的高、中线、角平分线的定义与画法；三条高的位置；三角形的重心． 常见考法： ①识别三角形的中线、角平分线、高，并进行相关计算（角相等、线段相等、垂直关系）； ②判断锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中三条高（或三条高所在直线）的位置及交点位置； ③利用中线、重心解决线段相等或等分问题； ④已知一边上的高求角或求边时，注意按高的位置（内部／外部）分类讨论． 考点03 全等三角形的判定与性质 考点内容：全等三角形的性质；全等三角形的判定定理；全等的基本图形；全等的书写规范． 常见考法： ①直接判定全等，给出一组条件，添加一个条件，使两个三角形全等； ②利用全等求线段长、求角度，先证全等→转化对应边、对应角，进行计算；常和平行线、角平分线、垂直、对顶角一起结合； ③证明线段相等、证明角相等，常用路径：证所在两个三角形全等； ④模型类全等，一线三等角、手拉手旋转全等、角平分线模型、倍长中线模型、截长补短法等等； ⑤多步证明，连续全等，第一组全等得到条件，作为第二组全等的已知条件，层层推导； ⑥动点全等，点在线段上运动，设时间t，用t表示线段，分类讨论，满足全等条件求． 考点04 垂直平分线的性质定理与逆定理 考点内容：线段垂直平分线的性质定理；线段垂直平分线的逆定理；三角形三边垂直平分线；尺规作图． 常见考法： ①直接用性质求线段长度、周长，题目给出垂直平分线，直接转化线段，进行周长代换； ②利用逆定理判定垂直平分线； ③求角度，由PA=PB得到等腰三角形，等边对等角，结合外角、内角和计算角度； ④尺规作图题； ⑤最短路径，垂直平分线经常和将军饮马结合：利用PA=PB实现线段转化； ⑥综合证明题，和全等、等腰三角形结合；先用垂直平分线得等线段，再证全等/等腰． 考点05 角平分线的性质定理与逆定理 考点内容：角平分线的性质定理；角平分线的逆定理；三角形三条角平分线；尺规作图． 常见考法： ①直接用性质求垂线段长度、面积，看到角平分线+两条垂线，直接换等长线段； ②逆定理判定角平分线，题目给出两条垂线段相等，证明射线平分角； ③角度计算，角平分线直接等分角度，常和平行线、外角、三角形内角和、垂直一起求角度； ④尺规作图题； ⑤证明题，替代全等简化步骤，有角平分线+双垂直，优先用性质定理，不用反复证AAS全等，节省步骤； ⑥角平分线模型： （1）角平分线+平行线 → 等腰三角形（角分平，等腰现） （2）角平分线+垂线 → 三线合一，等腰三角形（角分垂，等腰归） （3）双角平分线模型：两内角平分线、一内一外角平分线求夹角． 考点06 等腰（等边）三角形的性质与判定 考点内容：等腰三角形性质；等腰三角形判定；等边三角形性质；等边三角形判定． 常见考法： ①角度计算，已知顶角或者底角求另外的角； ②边长、周长计算，给两边长求周长，分类讨论谁是腰、谁是底；一定要检验三角形三边关系，舍去不能构成三角形的情况； ③三线合一直接用在证明、计算，看到等腰+底边中点 / 垂直 / 角平分线，直接转化另外两个条件； 常用来证垂直、证平分线段、平分角，简化全等证明； ④判定等腰三角形，思路：证明两个角相等（等角对等边）； ⑤等边三角形，手拉手旋转全等经常以等边三角形为背景； ⑥等腰三角形存在性： ⑦折叠问题，折叠产生等线段、等角，形成隐藏等腰三角形，求角度或者边长。 考点07 直角三角形的性质 考点内容：斜边中线定理；30°角性质． 常见考法： ①看到直角+斜边中点，立刻得到三条线段相等，构造等腰三角形，用来求边长、转化角度； ②30°、60°直角三角形边长计算。 辨析01 三角形的三条重要线段都是线段，不是直线或射线 三角形的三条中线、三条高线、三条角平分线都是线段．不要与“角的平分线”（射线）混淆；三角形的高是顶点与垂足之间的线段，钝角三角形中有两条高的垂足落在对边的延长线上． 辨析02 三条高的位置因三角形的形状而不同 锐角三角形的三条高都在三角形内部，相交于三角形内一点；直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，三条高的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点． 辨析03 “两边之差小于第三边”中的“差”要取绝对值 三角形任意两边的差小于第三边，由于两边的大小关系未定，计算时应取长边与短边之差，即 |a－b|＜c．（不要用“任意一边减另一边”造成负数比较） 辨析04 判断三条线段能否组成三角形，不必列出三个不等式 只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段（最长边）的长度，即可判定这三条线段能构成一个三角形；否则不能构成三角形． 辨析05 求出边长（周长）后必须用三边关系检验 这是“隐藏的定时炸弹”．如等腰三角形已知两边求周长时，必须检验三边能否构成三角形，不能构成三角形的要舍去． 辨析06 等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形 等边三角形是底边和腰相等的等腰三角形．按边的相等关系分类时，三角形分为“三边都不相等的三角形”和“等腰三角形”两类，等腰三角形再分为“底边和腰不相等的等腰三角形”和“等边三角形”． 辨析07 SAS能证明两个三角形全等，SSA不能证明两个三角形全等 SAS要求相等的角必须是两条已知边的夹角，SSA可以画出两种不一样的三角形，不能判定全等。 辨析08 乱用HL，非直角三角形不能使用HL判定 HL是直角三角形专属判定定理，前提必须先说明两个三角形是直角三角形。一般三角形不能用HL证明两个三角形全等。 辨析09 全等书写时，对应顶点不按顺序写 全等式字母顺序自带对应关系，顺序写错，后面找对应边、对应角全部出错，大题会扣分。 辨析10 看到面积相等/周长相等，直接判定全等 全等三角形面积、周长相等；反过来不成立。同底等高的三角形面积相等，但边长不一定相同，不一定重合。 辨析11 三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性 三边的长度确定时，三角形的形状和大小就唯一确定，不会再改变；而四边形等多边形在边长确定的情况下仍可能发生形变，因此不具备稳定性． 辨析12 混淆“三线合一”适用范围 只有顶角平分线、底边上的高、底边上的中线三者重合。底角的角平分线、腰上的高、腰上的中线，不具备“三线合一”. 辨析13 误用等边对等角、等角对等边（跨三角形使用） 等边对等角、等角对等边的前提：在同一个三角形内！不同三角形的等边，不能直接推出等角。 辨析14 所有等腰三角形都只有1条对称轴 普通等腰三角形（腰≠底）1条；等边三角形是特殊等腰，有3条对称轴。 【题型一】三角形的三边关系 【例1】（26-27八年级上·江苏扬州·阶段检测）手工课上，小芳手里有长和的两段吸管，她想再剪一段吸管，与这两段首尾相接围成三角形．剪下的这段吸管可以长（   ） A．19 B．12 C．6 D．7 【答案】B 【分析】三角形三边关系，三角形任意两边之和大于第三边，简化为：两边之差第三边两边之和，求出取值范围后对照选项筛选符合条件的数值． 【详解】解：设剪下的吸管长为， 则， 即，选项中只有符合该范围． 【变式1-1】（26-27八年级上·湖北武汉·阶段检测）下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（     ） A．3，4，5 B．6，7，13 C．11，10，22 D．4，4，9 【答案】A 【分析】比较每组较小两边之和与最长边的大小，判断能否构成三角形. 【详解】解：A、∵，∴长为，，的小木棒能摆成三角形，符合题意； B、∵， ∴长为，，的小木棒不能摆成三角形，不符合题意； C、∵， ∴长为，，的小木棒不能摆成三角形，不符合题意； D、∵， ∴长为，，的小木棒不能摆成三角形，不符合题意. 【变式1-2】（26-27八年级上·天津滨海新区·阶段检测）三角形的三边长分别为，，，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据三角形三边的关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，进行解答，即可． 【详解】解：三角形的三边长分别为，，， ∴． 【变式1-3】（26-27八年级上·四川广安·阶段检测）已知的三边长分别为a，b，c． (1)若，，c为奇数，求的周长； (2)化简：． 【答案】(1) 的周长为. (2) 化简结果为. 【分析】（1）根据三角形的三边关系确定第三边的取值范围，再根据题意判断第三边，即可得出答案； （2）根据三角形的三边关系可得，再去掉绝对值，然后根据整式的加减计算即可． 【详解】（1）∵， ∴， 即． ∵c为奇数， ∴， 所以的周长为； （2）解：根据题意，得， ∴ ． 【题型二】大边（角）对大边（角） 【例2】（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，已知，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形中大角对大边．根据三角形中大角对大边求解． 【详解】解：在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故选：A． 【变式2-1】（25-26八年级上·云南昭通·期中）在中，如果，那么，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的概念，掌握“在三角形中，大边对大角”知识是解题的关键． 先根据三角形概念得到、、的对角分别为、、，再根据得出结论． 【详解】解：∵在中， ， 又∵、、的对角分别为、、， ∴． 故选：B． 【变式2-2】（26-27八年级上·江苏淮安·阶段检测）如图，若，则________（填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】根据大角对大边即可判断． 【详解】 解：在中，所对的边是，所对的边是 即． 【变式2-3】（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，已知：与相交于点，，，求证：． 【答案】 证明：在中， ， ， ， ， ， ， ． 【分析】本题重点考查三角形的基本性质（包括三边关系定理和内角与对边的关系），熟练掌握“大角对大边”原则和三角形不等式，并通过角度和边长的比较进行逻辑推导是解题的关键． 根据大边对大角原则证明即可． 【详解】略 【题型三】根据三角形的中线求面积 【例3】（26-27七年级上·重庆开州·阶段检测）如图，的面积为18，D、E、F分别是线段、、的中点，则图中阴影部分的面积为（     ） A．3 B．3.5 C．4.5 D．5 【答案】C 【详解】解：∵D、E分别是线段、的中点，的面积为18， ∴， ∴， ∵F是的中点， ∴． 【变式3-1】（26-27九年级上·陕西安康·阶段检测）如图，在中，是边上的中线，是线段的中点，连接，若阴影部分的面积为2，则的面积是（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】利用三角形中线平分面积的性质，建立阴影部分面积与大三角形面积的数量关系． 【详解】解：是的中线， ， 是的中点， 在中，，在中，， ， ， ， ． 【变式3-2】（26-27八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在中，D是的中点，E是的中点，若，则___________． 【答案】 【分析】根据三角形的中线平分三角形的面积可得答案． 【详解】解：∵在中，D是的中点，， ∴， ∵E是的中点， ∴． 【变式3-3】（26-27八年级上·云南文山·阶段检测）等高三角形的定义：若两个或多个三角形有一条高相等，则称它们为等高三角形．等高三角形的面积比等于对应底边长的比． (1)如图1，点M在边上，连接，则把分成和．已知，求分别与，的面积比． (2)如图2，是的两条中线，与相交于点O，若，求四边形的面积． 【答案】(1) (2)8 【分析】（1）根据题意可得，再根据等高三角形的面积比等于对应底边之比解答； （2）先根据中线的定义及等高三角形的性质得，再根据重心的性质可得，进而求出，则此题可解． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵是等高三角形， ∴； （2）解：∵是的两条中线， ∴． ∵， ∴． ∵是的两条中线， ∴点O是的重心， ∴， ∴， ∴． 【题型四】三角形的重要线段 【例4】（26-27八年级上·福建厦门·阶段检测）在中，作出边上的高，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形高的定义（从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段即为该边上的高），判断从顶点向边（或其延长线）作垂线，垂足在边（或其延长线）上的图形即可． 【详解】解：A、所作线段不垂直，故A选项错误； B、所作线段不是从点B出发，故B选项错误； C、所作线段不垂直，故C选项错误； D、所作线段是从点B出发，且垂足在的延长线上，符合边上的高的定义，故D选项正确，符合题意． 【变式4-1】（26-27八年级上·广东汕头·阶段检测）如图，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形的高、角平分线、中线的定义逐一判断即可. 【详解】解：是的中线， 为中点，即，故C正确； 是的角平分线， ，故B正确； 是的高， ， 点在上， ，故D正确； 是角平分线，无法推出，故A错误. 【变式4-2】（26-27八年级上·福建厦门·阶段检测）如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长多4，，则的长为_______________． 【答案】 【分析】根据三角形中线的定义得到，再根据三角形的周长公式和已知条件推出，据此结合可得答案． 【详解】解：∵在中，是边上的中线， ∴， ∵的周长比的周长多4， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 【变式4-3】（26-27八年级上·湖北黄石·阶段检测）如图，在中，，，分别为边上的高和中线，且． (1)求的长； (2)求和的周长之差； (3)若E为边的三等分点，连接，与交于F点，记的面积为，的面积为，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）的面积可表示为，也可表示为，由面积相等列等式，进行求解即可； （2）是边上的中线，故．的周长为，的周长为，进行相减计算即可； （3）分两种三等分情况．利用同加公共部分差不变的原理可得，，进而可得．分和两种情况，进行计算即可． 【详解】（1）解：在中，，，，，为边上的高， ， ； （2）解：为边上的中线， ， 的周长为：，的周长为：， 的周长的周长， ∴和的周长之差为； （3）解：①当时，如图1所示： 在中，，，， ， 为边上的中线， ， ， ∴， ， ， ， ∴， ； ②当时，如图2所示： 同理得：， ， ， ， ∴， ． 综上所述：的值为． 【题型五】全等三角形的性质 【例5】（26-27八年级上·福建莆田·阶段检测）如图，点，在上，且．若，，则的长为__________． 【答案】 【分析】首先利用全等三角形的性质得到，然后求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴． 【变式5-1】（26-27八年级上·黑龙江大庆·阶段检测）若，，的周长为21，，则____． 【答案】6 【分析】全等三角形对应边相等：，再根据即可求的长． 【详解】解：∵，， ∴， ∵的周长为21，即，， ∴． 【变式5-2】（26-27八年级上·黑龙江大庆·阶段检测）已知，点、、分别与点、、对应，，，． (1)求的长； (2)求中最长边的长． 【答案】(1)5 (2)8 【详解】（1）解：∵，与是对应边，， ∴； （2）解：∵，，，， ∴，，， ∴中最长边的长为8． 【变式5-3】（26-27八年级上·河北邯郸·阶段检测）如图，已知，点A、C、D在同一条直线上． (1)请判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，证明：C是的中点． 【答案】(1)，理由如下： ∵， ∴， ∴； (2)证明：∵， ∴， ∵，， ∵， ∴， ∴C是的中点． 【分析】（1）根据全等三角形对应角相等可得，由“内错角相等，两直线平行”可判定与的位置关系． （2）要证C是的中点，即证．已知，故只需再求出，由全等三角形对应边相等可得，又C在线段上，所以，代入即可得，从而证明C是中点． 【详解】（1）略 （2）略 【题型六】全等三角形的判定 【例6】（26-27八年级上·天津滨海新区·阶段检测）如图，D、F是线段上的两点，，求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴． 【分析】首先证明，再证明即可． 【详解】证明：略． 【变式6-1】（26-27八年级上·宁夏吴忠·阶段检测）如图，，．求证：． 【答案】证明：∵，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】根据等角的补角相等可推出，从而利用“角角边”证明，即可根据全等三角形对应边相等证得结论． 【详解】略 【变式6-2】（26-27八年级上·甘肃定西·阶段检测）如图，，求证：． 【答案】证明：， ， 即， 在与中， ， ． 【分析】根据证明即可． 【详解】略 【变式6-3】（26-27八年级上·黑龙江大庆·阶段检测）如图，点在同一直线上，，，． (1)求证：； (2)试判断线段与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)证明：∵， ∴（两直线平行，同位角相等）． ∵， ∴， 即． 在与中， ， ∴； (2)． 理由：由（1） ∴， ∴（同位角相等，两直线平行） 【分析】（1）根据平行条件得到，再由等式的性质得到，可利用“”证明全等； （2）由（1）结论可得，进而得到AC∥DF． 【详解】（1）略 （2）略 【变式6-4】（26-27九年级上·广东阳江·阶段检测）如图，在中，是边上的高，且，点E为上的一点，连接交于点F，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明： 是边上的高， ， 即和都是直角三角形， 在和中， ， ； (2) 【分析】（1）用证明和全等即可； （2）由和全等得即可由线段和差求解． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ，，， ，， ． 【题型七】三角形的稳定性 【例7】（26-27八年级上·黑龙江大庆·阶段检测）工人师傅做课桌时，常在桌腿之间斜着钉上一根木条．这样做的数学道理是（     ） A．三角形具有稳定性 B．两点确定一条直线 C．垂线段最短 D．两点之间线段最短 【答案】A 【详解】解：桌腿与斜钉的木条可构成三角形，利用三角形具有稳定性的性质，可使课桌结构更稳固. 【变式7-1】（25-26八年级上·福建厦门·阶段检测）下列图形中，具有稳定性的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性， ∴只有B选项中的图形具有稳定性． 【变式7-2】（25-26八年级下·云南德宏·阶段检测）下列图形中，不具有稳定性的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性进行判断． 【详解】解：三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性． A项：图形内部包含三角形结构，具有稳定性． B项：图形内部包含三角形结构，具有稳定性． C项：图形内部包含三角形结构，具有稳定性． D项：图形为四边形，不具有稳定性． 【变式7-3】（26-27八年级上·云南文山·阶段检测）三角形的稳定性有着广泛的应用，下列物品中，没有用到三角形稳定性的是（） A．手机支架 B．折叠马扎 C．剪叉式升降平台 D．汽车引擎盖支架 【答案】B 【分析】定位解题突破口为识别各物品结构中所蕴含的几何图形特性，三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性． 【详解】解：A．手机支架与桌面构成三角形，利用了三角形的稳定性； B．马扎分开后的两腿与地面构成三角形，利用了三角形的稳定性； C．剪叉式升降平台，利用了四边形的不稳定性； D．汽车引擎盖支架与引擎盖、车身构成三角形，利用了三角形的稳定性． 【题型八】添加条件使三角形全等 【例8】（26-27八年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，在和中，点在边上，点在边上，若，，请你从以下三个选项：①；②；③中选择一个合适的选项作为补充条件，使得． (1)你选择的补充条件是________（填序号）； (2)根据你选择的补充条件，写出的证明过程． 【答案】(1)③ (2)证明：在与中， ， ． 【详解】（1）解：选择③，即． （2）略 【变式8-1】（26-27八年级上·河南驻马店·阶段检测）如图，已知，点在线段上，且．在如下条件中任意选择一个当作额外条件，欲证．    ① ② 你选择的条件是：__________（填写序号） 证明： 【答案】选择的条件是：①． 证明：在和中， ， ， ， 选择的条件是：②． 证明：在和中， ， ， ， ．（二选一） 【分析】若选择①，证明，可知，得到，可知； 若选择②，证明，得到，可知． 【详解】略． 【变式8-2】（25-26七年级下·宁夏银川·期末）已知：如图，点在上，． 请从①；②；③这三个选项中，选择一个作为条件，使得，并说明理由． 解：选择条件是___________．理由是： 【答案】②， 理由：∵， ∴， ∵, ∴, 在和中 ∴； ③， 理由：∵， ∴， ∵， ∴， ∵, ∴, 在和中 ∴． 【分析】根据全等三角形的判定方法结合平行线的性质逐一判断证明即可． 【详解】选①或②，理由略． 若选①，满足的是边边角，不能判定两个三角形全等． 【变式8-3】（25-26七年级下·广东佛山·期末）如图，线段、相交于点，连接、．给出下列条件： ①点为中点；②于；③；④． (1)添加2个条件：__________（填序号），使得； (2)说明（1）中结论成立的理由． 【答案】(1)①③或③④ (2)解：添加2个条件：①③，使得， 理由如下： ∵， ∴，， ∵点为中点， ∴， ∴； 添加2个条件：③④，使得， 理由如下： ∵， ∴，， ∵， ∴． 【分析】（1）②与对顶角相等重复，不可选取，全等至少有一组边相等，故①和④必须选一个，据此求解即可； （2）添加①③利用证明；添加③④利用证明． 【详解】（1）略 （2）略 【题型九】垂直平分线的性质 【例9】（26-27八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，的垂直平分线分别交于点E，F，，，求的周长． 【答案】 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，，再结合三角形的周长计算即可． 【详解】解：，的垂直平分线分别交于点E，F， ，， ，， 的周长为． 【变式9-1】（2026秋•高新区校级月考）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，连接AD．若△ABC的周长是13，AE=2，则△ABD的周长是 ． 【答案】 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AC=2AE=4，AD=CD，再根据三角形周长公式计算得到答案． 【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，AE=2， ∴AC=2AE=4，AD=CD， ∵△ABC的周长是13， ∴AB+BC+AC=13， ∴AB+BC=13-4=9， ∴△ABD的周长为：AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC=9． 【变式9-2】（26-27八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，的垂直平分线分别交，于点，的延长线交于点． (1)若，则长为______； (2)试判断点是否在的垂直平分线上，并说明理由； (3)若，，则_____． 【答案】(1) (2)点在的垂直平分线上，理由如下： 如图，连接， 分别垂直平分， ， ， 点在的垂直平分线上； (3) 【分析】（1）根据垂直平分线的性质得到的周长等于的长； （2）连接，根据垂直平分线的性质得到，继而得到，得证结论； （3）根据垂直平分线的性质得到，，进而得到答案． 【详解】（1）解：的垂直平分线分别交于点， ， ， 的周长，即， ； （2）略； （3）解：如图，连接， 分别垂直平分， ，，且，， ，， ， ． 【变式9-3】（26-27八年级上·黑龙江佳木斯·阶段检测）如图，点O，在内部，垂直平分，垂直平分，，作直线． (1)连接，，求证：； (2)求证：垂直平分． 【答案】(1)证明：连接，如图， ∵垂直平分，垂直平分 ∴， ∴ (2)证明：∵， ∴点O在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点F在线段的垂直平分线上， 又∵点O与点F不重合，且两点确定一条直线， ∴垂直平分． 【详解】（1）见答案 （2）见答案 【题型十】垂直平分线性质的逆定理 【例10】（2026八年级上·全国·专题练习）如图，在中，D是上的一点，连接，作交于点E，交于点F，且平分，连接． (1)证明：垂直平分． (2)若的周长为18，面积为24，，求的长． 【答案】(1)证明：，， ， 平分， ， 在和中， ， ， ，， 点A和点D在的垂直平分线上， 垂直平分； (2)4 【分析】（1）根据题目条件证明，从而，，利用垂直平分线的判定即可证明； （2）由，再根据，利用面积之间的关系即可求解． 【详解】（1）略； （2）解：，的周长为18， ， 由（1）得， ，， ， ， ． 【变式10-1】（26-27八年级上·江苏南通·阶段检测）如图，点在上，点在上，与交于点，，． (1)求证：； (2)求证：过点的直线垂直平分线段． 【答案】(1)证明：在和中， ， ∴， ∴； (2)证明：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴点都在的垂直平分线上， ∴过点的直线垂直平分线段． 【分析】（）证明即可求证； （）证明，得到，再根据线段垂直平分线的判定即可求证． 【详解】（1）略 （2）略 【变式10-2】（26-27八年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，在中，，，若点D在的平分线所在的直线上．当点D在的外部时，过点D作于E，作交的延长线于F，且． (1)求证：点D在的垂直平分线上； (2)的长度是________． 【答案】(1)证明：连接           ∵点在的平分线所在的直线上，，， ∴，，           在和中， ， ∴，           ∴，           ∴点在的垂直平分线上； (2)2 【分析】（1）连接，，根据证明得，可证点D在的垂直平分线上； （2）由条件可以得出就可以得出，进而就可以求出结论． 【详解】（1）略． （2）解：在和中， ， ， ， ， ， ， ． 【变式10-3】（26-27八年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，在中，是的平分线，，垂足分别为E，F． (1)若的面积为7，，，则的长是多少？ (2)连接，求证：垂直平分． 【答案】(1) (2)证明：中，平分，， ，，, ∴点D在线段的垂直平分线上， 在和中， ， ， , ∴点A在线段的垂直平分线上， 垂直平分． 【分析】（1）根据角平分线的性质定理得，根据即可求的长； （2）证明，得，结合，由线段垂直平分线的逆定理可证明结论． 【详解】（1）解： 是的平分线，， ， ，的面积为7，，， ， ； （2）略 【题型十一】角平分线的性质 【例11】（26-27八年级上·重庆渝中·阶段检测）如图，在四边形中，平分，过作于点，交延长线于点，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵平分，，， ∴，． ∵，且已知， ∴． 在和中，， ∴， ∴． (2)的长为8 【分析】（1）首先利用角平分线的性质可得，然后利用角度关系等量代换得到，进而证明，推出． （2）首先利用角平分线的性质可得和，利用推出，得到；然后根据线段关系等量代换得到，代入数值计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵平分，，， ∴，． 在和中，， ∴， ∴． 由（1）知，， ∴． ∵，， ∴，即， ∵，， ∴． 【变式11-1】（26-27八年级上·全国·周测）如图，在中，平分，，于点E，于点F，，，求的长． 【答案】6.5 【分析】由角平分线的性质得，再由已知及线段的和即可求解． 【详解】解：平分，，， ． 又， ． 【变式11-2】（26-27八年级上·全国·单元测试）如图，在中，平分，于点D，连接．若，，求的面积． 【答案】18 【分析】过点O作于点E，根据角平分线的性质，求出，再根据三角形面积公式进行计算即可． 【详解】解：如图，过点O作于点E， 平分，， ， ． 【变式11-3】（26-27八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，在中，，是的平分线，于E，F在上，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵是的平分线，（即），， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． (2)2 【分析】（1）突破口为角平分线的性质，因为是角平分线且，所以可得，再结合，通过定理证明和全等，即可得． （2）突破口是先证明和全等，因为为公共边，，且两个三角形均为直角三角形，所以用可证全等，得到．先根据的长度计算的长度，结合（1）中的结论，即可求出的长． 【详解】（1）略． （2）解：在和中： ， ∴， ∴． 设， 由（1）的结论， ∴ 即， 解得． 即的长为2． 【题型十二】角平分线性质的逆定理 【例12】（26-27八年级上·湖北武汉·阶段检测）已知于E，于F，、相交于点D，若．求证：平分． 【答案】证明：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴平分． 【分析】先由垂直的定义得到，再证明得到，最后根据角平分线的判定即可证明结论． 【详解】略 【变式12-1】（26-27八年级上·广东汕头·阶段检测）如图，在中，D是的中点，，，垂足分别是，．求证： (1)平分． (2)，求的面积． 【答案】(1)证明：∵，， ∴， ∴和都是直角三角形， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，，且点在内部， ∴平分． (2)24 【分析】（1）先证出，则可得，再根据角平分线的判定定理即可得证； （2）先得出，再求出的面积，然后根据三角形的中线性质求解即可． 【详解】（1）略． （2）解：由（1）已证：， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵是的中点， ∴． 【变式12-2】（26-27八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，于E，于F，若，， (1)求证：平分． (2)已知，，求的长． 【答案】(1)证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴点在的角平分线上，即平分． (2)2 【分析】（1）根据，判断、是直角三角形，再根据判定定理即可判定、全等，根据全等性质得，再根据角平分线判定定理即可判定平分． （2）根据，判断、是直角三角形，再根据判定定理即可判定、全等，根据全等性质得，再根据，，进而得，，再根据即可列方程，解出即可得的长． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， 由（1）得：， ∵， ∴， ∴， ∵，，，，， ∴，， ∴，解得：， ∴的长为2． 【变式12-3】（26-27八年级上·福建厦门·阶段检测）如图，，，E是边中点，平分． (1)求证：平分； (2)，，三条线段之间有什么数量关系，请证明． 【答案】(1)证明：如图，过点E作于点F ∵， ∴ ∵平分， ∴ ∵E是边中点 ∴ ∴ ∵， ∴平分； (2)解：，理由如下： ∵平分 ∴ 又∵， ∴ ∴ ∵平分 ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴． 【分析】（1）过点E作于点F，由平行线的性质得到，然后利用角平分线的性质定理得到，等量代换得到，然后利用角平分线的判定定理证明； （2）证明，得到，证明，得到，然后等量代换证明即可． 【详解】（1）略 （2）略 【题型十三】尺规作图 【例13】（26-27八年级上·广西南宁·期中）如图，在中，． (1)尺规作图：在边上求作一点D，连接，使得；（要求：不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，求的周长． 【答案】(1)如图，即为所求； (2)8 【分析】（1）作出线段的垂直平分线与的交点即为点，根据线段的垂直平分线的性质即可得到； （2）由结合，可得，再根据三角形的周长公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，由（1）知 ∴ ∵， ∴的周长． 【变式13-1】（25-26八年级上·陕西安康·期末）如图，已知在中，，请用尺规作图法在边上求作一点，连接，使的面积是的面积的倍．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 【分析】作的平分线交于点，根据角平分线性质知点到，的距离相等，由可知的面积是的面积的倍． 【详解】解：以点为圆心，以长为半径画弧交于点；分别以点，为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点；作射线，交于点，点就是所求的点． 理由：过点作，，交射线，于点，， 由作法知，平分， ∴， ∵，，， ∴的面积是的面积的倍． 【变式13-2】（25-26八年级上·上海·期末）如图，三条公路两两相交于点A、B、C，现在要在公路边建一所加油站，要求加油站的位置到三条公路的距离都相等． (1)符合要求的位置有__________个； (2)请你找出所有加油站的位置（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出结论）； (3)你的作图依据是__________． 【答案】(1)4 (2) 如图所示，、、、即为加油站的位置， (3)角平分线的判定定理 【分析】本题考查角平分线的性质，尺规作图-作角平分线等知识，掌握角平分线的性质是解题的关键． （1）利用角平分线的性质即可得出结论； （2）利用角平分线的性质作出图形即可； （3）利用角平分线的判定解答即可． 【详解】（1）解：三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，三角形相邻两个外角（共三组）的平分线交点到三角形三边的距离相等， 故符合要求的位置有4个， 故答案为：4； （2）略 （3）解：作图的依据是角平分线的判定定理， 故答案为：角平分线的判定定理． 【变式13-3】（26-27八年级上·江苏扬州·阶段检测）尺规作图：（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (1)如图①，在已知的内部求作一点，使得点到三角形三条边的距离相等； (2)如图②，在边上找一点，使的周长等于； 【答案】(1)如图，分别作、的角平分线，交于点，根据角平分线的性质，点到、的距离相等，到、的距离也相等，因此，点到三条边的距离相等，点即为所求． (2)如图，以B、C为圆心，以相同且大于的长度为半径画弧，交于E、F，连接，交于点D，连接，点D即为所求． 【分析】（1）要求点O到三条边的距离相等，根据角平分线上的点到角的两边距离相等，可以利用三角形两个内角的角平分线交点确定所求点． （2）要求的周长等于，将周长条件转化为线段相等，得到，根据线段垂直平分线的性质，到线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，要使，则点D在线段的垂直平分线上，所以作线段的垂直平分线，它与的交点D即可满足要求． 【详解】（1）略 （2）略 【题型十四】等腰三角形的性质 【例14】（26-27九年级上·北京西城·开学考试）如图，将绕顶点逆时针旋转得到，且刚好经过点．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用旋转的性质，等边对等角，三角形的内角和定理求出，再利用三角形外角的性质即可得到答案． 【详解】解：将绕顶点逆时针旋转得到， ， ， 是的外角， ， ． 【变式14-1】（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，，点E在直线上，连接，．若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据等边对等角求出，然后利用平行线的性质求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 【变式14-2】（25-26八年级下·山东青岛·期末）如图，，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，则． 【变式14-3】（26-27八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，中，，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合的性质得出既是高也是顶角平分线，因此． 【详解】解：，， 平分（等腰三角形三线合一）， ， 又∵， ． 【题型十五】等腰三角形的判定 【例15】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，，，求证：是等腰三角形． 【答案】证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【分析】利用证明，得出，根据等角对等边得出，即可得出是等腰三角形． 【详解】略 【变式15-1】（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，在四边形中，，过点作交于点，．求证：是等边三角形． 【答案】证明：， ． 又， ． ∴， ， 是等边三角形． 【分析】根据平行线的性质和等角对等边，得出，然后根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形，即可解答． 【详解】略 【变式15-2】（2026八年级上·全国·专题练习）在中，平分，是上一点，， 交于点，交的延长线于， 交的延长线于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)猜想与的大小有什么关系？并说明理由． 【答案】(1)证明：如图所示： 平分， ， ， ，， ， ， 是等腰三角形； (2)，理由如下： 交的延长线于点， ，， ， ， ， ，，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 即． 【分析】（1）根据角平分线的定义可得，根据平行线的性质可得，，等量代换可得，得出，即可得证； （2）根据平行线的性质可得，，结合，等量代换可得，得出，进而可得，证明，得出，再根据，即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 【变式15-3】（26-27八年级上·江苏扬州·阶段检测）已知：如图，是等腰三角形的底边上的高，，且交于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明： 是等腰三角形的底边上的高， ， ， ， ， ， 是等腰三角形． (2) 【分析】（1）根据等腰三角形的性质和平行线的性质证明即可； （2）根据等腰三角形的判定和性质解答即可 【详解】（1）略 （2）解：是等腰三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【题型十六】直角三角形的性质 【例16】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知直角三角形中角所对的直角边为，则斜边的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵直角三角形中角所对的直角边为， ∴斜边长为． 【变式16-1】（26-27九年级上·贵州贵阳·阶段检测）如图，在中，，，为的中点，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由直角三角形的性质可得，则． 【详解】解：在中，点为斜边的中点， ∴， ∴． 【变式16-2】（2026秋•苏州校级月考）如图，在等边△ABC中，F是AB的中点，FE⊥AC于E，如果△ABC的边长是8，则AE= ． 【答案】2． 【分析】根据等边三角形的性质及EF⊥AC，可推出∠AFE=30°，得． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠A=60°． ∵FE⊥AC， ∴∠AFE=30°， ∵F是AB的中点，△ABC的边长是8， ∴． 故答案为：2． 【变式16-3】（26-27八年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，，点M是中点，且于点N．求证：． 【答案】证明：连接， ∵，点M是中点， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】连接，先根据斜边上的中线等于斜边的一半得到，再由等腰三角形三线合一即可证明． 【详解】略 【题型一】忽略三角形三边关系而致错 【例1】（26-27八年级上·重庆渝中·阶段检测）如果等腰三角形的两边长分别是和，那么它的周长是________． 【答案】 17 【分析】题干给出等腰三角形两边长为和，需分情况讨论腰长的取值，结合三角形三边关系排除无效情况后计算周长． 【详解】解：分两种情况讨论： 当腰长为时，三角形三边长为，，， ∵，满足三角形三边关系， ∴可构成三角形，此时周长为； 当腰长为时，三角形三边长为，，， ∵，不满足三角形两边之和大于第三边， ∴无法构成三角形，该情况舍去． 综上，该等腰三角形的周长为． 易错警示 对于等腰三角形不能确定哪条边是腰或底边时，要分情况讨论，还要注意判断分情况后的三条线段能否构成三角形. 【变式1-1】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）若一个等腰三角形的周长为，一边为，则腰长为_____________． 【答案】或 【分析】分腰长为和底边长为进行讨论即可求出答案． 【详解】解：当等腰三角形的腰长为时，则底边长为，此时三角形三边长分别为， ∵ ∴等腰三角形的腰长为符合题意； 当等腰三角形的底边长为时，则腰长为，此时三角形三边长分别为， ∵ ∴等腰三角形的腰长为符合题意； 综上可知，腰长为或． 【变式1-2】（26-27八年级上·福建南平·阶段检测）等腰三角形的三边长分别为4，9，，则x的取值是_______． 【答案】 【分析】题目未明确哪两条边为等腰三角形的腰，需分情况讨论，再结合三角形三边关系验证能否构成三角形． 【详解】解：分两种情况讨论： 若， 解方程得 此时三角形三边长为，， ∵，不满足三角形两边之和大于第三边， ∴此情况不成立，舍去； 若， 解方程得 此时三角形三边长为，， ∵，，满足三角形三边关系， ∴此情况成立； 因此的取值为． 【题型二】误用SSA证明两个三角形全等 【例2】（25-26八年级上·全国·课后作业）如下图，在中，，D，E分别是的中点，且．与相等吗？请说明理由． 【答案】 ．理由如下： ，D，E分别是的中点， ∴，， ， 在和中， ， ． 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据证明与全等即可． 【详解】略 易错警示 两边及其夹角相等的两个三角形全等，两边及期中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等. 【变式2-1】（2026•呈贡区三模）如图，AC＝EC，BC＝DC，∠ECB＝∠ACD．求证：△ABC≌△EDC． 【分析】先证∠ACB＝∠ECD，再根据“SAS”证明即可． 【解答】证明：∵∠ECB＝∠ACD， ∴∠ECB﹣∠ACE＝∠ACD﹣∠ACE， 即∠ACB＝∠ECD， ∵AC＝EC，BC＝DC， ∴△ABC≌△EDC（SAS）． 【变式2-2】（25-26七年级下·山西太原·阶段检测）下面是某数学小组一次研究报告的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 关于“‘’非全等三角形”的研究报告研究对象：“”非全等三角形 研究思路：类比全等三角形，从定义及已有基本事实、结论出发，从相关要素之间关系的角度研究“‘’非全等三角形”的性质 研究方法：观察（测量、操作）——猜想——推理 研究内容： 【定义】：只有两边对应相等，且其中一组相等的边所对的角也对应相等的两个三角形，称为一对“”非全等三角形． 如图，与中，，，，，所以与是一对“”非全等三角形．     定义理解：如图，在等腰中，，为上一点，且，连接，那么和 ▲ （填“是”或“不是”）一对“”非全等三角形． 【性质】：如图，与是一对“”非全等三角形，，，，，则．     下面是性质的探究过程：如图，在上取点，使得，连接… 任务： (1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容：________． (2)请你阅读上述报告，补全性质的探究过程． (3)如图，已知，在上方找一点，作，使得与是一对“”非全等三角形．（要求：尺规作图，不写作法，保留痕迹，画出一种情况即可） 【答案】(1)是 (2)补全过程如下： 如图，在上取点，使得，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． (3)所作图形如图所示： （答案不唯一） 【分析】（1）根据“”非全等三角形的定义进行求解即可； （2）由题意易证，则有，，然后可得，进而问题可求解； （3）作法一：先作，然后以点A为圆心，长为半径画弧，进而问题可求解； 作法二：先作，然后以点B为圆心，长为半径画弧，进而问题可求解； 作法三：先作，然后以点B为圆心，长为半径画弧，进而问题可求解； 作法四：先作，然后以点A为圆心，长为半径画弧，进而问题可求解； 作法五：先作，然后以点A为圆心，长为半径画弧，进而问题可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴在和中，，且， ∴和是一对“”非全等三角形． （2）略 （3）解：所作图形如图所示： 【题型三】直角三角形误用HL定理 【例3】（25-26八年级上·山西忻州·阶段检测）如图，已知和，，，，且，A，D，E三点在一条直线上． (1)求证：． (2)求证：． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴. (2) 证明∵， ∴，， ∵， ∴. 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质的应用． （1）要证明，需根据已知条件，结合全等三角形的判定定理来证明； （2）要证明，可利用全等三角形的性质得到对应边相等，再通过线段的等量代换得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 易错警示 HL定理要求斜边+一条直角边，只看到直角，没有斜边相等就用HL定理. 【变式3-1】（25-26八年级上·浙江温州·阶段检测）如图，点在线段上，，请只添加一个合适的条件，使． (1)根据“”，需添加的条件是 ；根据“”，需添加的条件是 ． (2)请从（1）中选择一种加以证明． 【答案】(1) (2) 选择“”，添加， 证明过程如下： ， ，即， 在和中， ； 选择“”，添加， 证明过程如下： ，， ，即， 在和中， ． 【分析】本题考查添加条件使两个三角形全等，并证明，熟记两个三角形全等的判定定理是解决问题的关键． （1）由题中条件可知，按照“”，“”，使所缺的条件添加即可得到答案； （2）由（1）中不同的判定定理及添加的条件，利用两个三角形全等的判定定理证明即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示： ，， ， 根据“”，使，需添加的条件是； 根据“”，使，需添加的条件是； 故答案为：； （2）略 【变式3-2】（25-26八年级上·河南驻马店·阶段检测）如图，，，，，分别为线段，上任意一点． (1)若点为的中点，点与点重合，请证明与全等． (2)如图，若，，则，，之间有什么数量关系？请写出解答过程． (3)如图，将“，”改为“（为锐角）”，其他条件不变．若，，则，，之间的数量关系为______．（不用写过程） 【答案】(1) 证明：点为的中点， ， ，， ， ， 在和中，， ； (2) 解：， 理由如下： ，， ， ， ， ， ， 在和中，， ， ，， ， ； (3) 解：， 理由如下： 是的外角， ， ， ， ，， ， 在和中，， ， ，， ， . 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定、三角形外角的性质，解决本题的关键是运用分类讨论思想和类比思想． 根据中点的定义可知，根据垂直的定义可知，利用可证； 根据同角的余角相等，可证，根据垂直的定义可知，利用可证，根据全等三角形对应边相等可证，，因为，等量代换可得：； 根据，，利用三角形外角的性质可得，利用可证，根据全等三角形的性质可得：． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【题型四】等腰三角形忽略底角一定是锐角 【例4】（25-26八年级下·山西晋中·期末）等腰三角形的一个内角为，则它的底角度数为（     ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】分情况讨论内角是顶角还是底角，结合三角形内角和定理排除不符合的情况，即可得到结果． 【详解】解：分两种情况讨论： 若为底角，则两个底角和为，∵三角形内角和为，，不符合题意，舍去； 若为顶角，∵等腰三角形两底角相等，三角形内角和为，∴底角度数为； 综上，该等腰三角形的底角度数为． 易错警示 对于等腰三角形不能确定哪个角是顶角或底角时，要分情况讨论，注意底角为锐角. 【变式4-1】（25-26八年级上·北京朝阳·期中）等腰三角形的一个内角是，则它的顶角的度数为（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握等腰三角形两底角相等． 由于等腰三角形的一个内角为，但未明确是顶角还是底角，因此需要分两种情况讨论：若是顶角，则顶角为；若是底角，再由三角形内角和定理求解顶角度数即可． 【详解】解：∵等腰三角形的一个内角为， ∴ 分两种情况： ① 若为顶角，则顶角度数为； ② 若为底角，则另一个底角也为， ∴ 顶角度数为：， ∴ 顶角为或， 故选：A． 【变式4-2】（25-26七年级下·陕西汉中·期末）已知等腰三角形的一个内角等于，则顶角等于___________． 【答案】 或 【分析】按是底角和顶角分类讨论，结合等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：①当的内角为底角时， 等腰三角形的两个底角相等，三角形内角和为， 顶角的度数为； ②当的内角为顶角时，顶角的度数为； 综上，顶角等于或． 【题型五】乱用三线合一 【例5】（26-27八年级上·江苏南京·阶段检测）如图，中，是边上的高，是边上的中线，，点是的中点． (1)求证：； (2)若，求的度数与的长． 【答案】(1)证明：是边上的高， ． 是边上的中线， 是的中点． 在中，． ， 是等腰三角形． 点是的中点， （等腰三角形三线合一）． (2)的度数为，的长为 【分析】（1）根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，结合已知可得，根据三线合一，即可得证； （2）根据等边对等角以及三角形外角的性质结合已知可得，进而根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得， ． 是的外角， ． ， ，且平分， ． 在中，， 故：的度数为，的长为2． 易错警示 三线合一只针对：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合，腰上的高、腰上中线、底角平分线，不满足三线合一. 【变式5-1】（26-27八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在中，是边上的一点，，，分别是，的中点．若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据等腰三角形三线合一的性质可得，在中，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出． 【详解】解：连接． ∵，E是的中点， ∴， 又∵F是的中点， ∴（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）， ∵， ∴． 【变式5-2】（26-27八年级上·江苏宿迁·阶段检测）以下说法正确的有（     ） ①三角形的中线、角平分线都是射线 ②等腰三角形的对称轴是底边上的高线 ③等腰三角形的高线、中线、角平分线互相重合 ④三角形的三条角平分线在三角形内部交于一点 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】解：①三角形的中线、角平分线都是线段，不是射线，故①错误． ②等腰三角形的对称轴是底边上的高线所在的直线，高线是线段，故②错误． ③等腰三角形底边上的高线、底边上的中线、顶角的角平分线互相重合，并非所有高线、中线、角平分线都重合，故③错误． ④三角形的三条角平分线在三角形内部交于一点，故④正确． 综上，正确的说法有1个． 【题型一】等面积法的应用 【例1】（26-27八年级上·云南文山·阶段检测）如图，在中，垂足为，垂足为，若，，，则边上的高的长度是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角形面积公式建立等量关系求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴． 【变式1-1】（26-27八年级上·重庆九龙坡·阶段检测）如图，在中，，于点，于点，于点，若，则的值为_____． 【答案】 【分析】利用三线合一性质得到，然后根据列式求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴． 【变式1-2】（2026八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，该三角形的面积为，是边上任意一点，于点，于点，则等于_____ ． 【答案】 【分析】根据三角形面积公式得到，，再结合，进而求出的值． 【详解】解：如图所示：连接， ，，，， ， ， ， ， ． 【题型二】全等三角形的个数 【例2】（26-27八年级上·江苏南京·单元测试）在如图所示的正方形网格中，是格点三角形（即顶点恰好是网格线的交点），则与有一条公共边且全等的所有格点三角形（不含）有（　　） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】A 【分析】分别以为公共边或以为公共边，找出与有一条公共边且全等的所有格点三角形即可． 【详解】解：如图，以为公共边且与全等的三角形是； 以为公共边且与全等的三角形有； 此外，没有以为公共边且满足条件的三角形， ∴与有一条公共边且全等的格点三角形有4个． 【变式2-1】（25-26八年级上·福建泉州·期中）如图1，与满足，，，，我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”．如图2，，则图中共有“伪全等三角形”（    ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】D 【分析】本题考查了新定义，全等三角形的性质，理解题意，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．根据，结合“伪全等三角形”的定义：两个三角形的两边相等，一个角相等，且这个角不是夹角，据此对图中的三角形分析判断，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴在和中，，，，符合“伪全等三角形”的定义； 在和中，，，，符合“伪全等三角形”的定义； 在和中，，，，符合“伪全等三角形”的定义； 在和中，，，，符合“伪全等三角形”的定义； 综上所述，共有4对“伪全等三角形”． 故选：D． 【变式2-2】（26-27七年级上·山东济宁·阶段检测）如图，已知，，则图中共有全等三角形________对 【答案】 【分析】根据全等三角形的判定方法可证、、，所以共有对全等三角形． 【详解】，， 是的垂直平分线， ，， 在和中，， ； 在和中，， ； 在和中，， ； 图中共有全等三角形对． 【题型三】格点中的等腰三角形 【例3】（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）我们称网格线的交点为格点．如图，在6行×5列的长方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰直角三角形，则满足条件的格点C的个数是（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质和判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想． 根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①为等腰直角三角形底边；②为等腰直角三角形其中的一条腰． 【详解】解：①为等腰直角三角形底边时，符合条件的格点有2个：、； ②为等腰直角三角形其中的一条腰时，符合条件的格点有2个：、． 如图所示，共有4个格点满足． 【变式3-1】（26-27八年级上·浙江杭州·阶段检测）在如图所示的方格中，点，，，均在小方格的顶点上．以其中三个点为顶点的等腰三角形个数为（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【详解】解：以其中三个点为顶点的等腰三角形有、、、共4个． 【变式3-2】（25-26八年级上·辽宁大连·期末）如图，在的正方形网格中，A，B两点都是网格的格点，若是等腰三角形，且点C也是该网格的格点，则点C的个数是_______． 【答案】8 【详解】解：根据等腰三角形的定义分三种情况讨论： ①当点A为顶角顶点时，如图，符合条件的点为点； ②当点B为顶角顶点时，如图，符合条件的点为点； ③当点C为顶角顶点时，如图，符合条件的点为点，，，，，； 综上所述，点C的个数是8． 【题型四】等腰三角形的存在性 【例4】（26-27八年级上·浙江金华·阶段检测）如图，在中，，，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿方向运动，且速度为每秒，点Q从点B开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为t秒． (1)______（用t的代数式表示）． (2)当点Q在边上运动时，出发______秒后，是等腰三角形． (3)当点Q在边上运动时，出发几秒后，是以或为底的等腰三角形？ 【答案】(1) (2) (3)11秒或12秒 【分析】（1）根据题意可得，再利用即可求解； （2）当点在边上运动时，，其中，根据等腰三角形的定义可得，列出关于的方程，即可求解； （3）分2种情况讨论：①是以为底的等腰三角形；②是以为底的等腰三角形，画出示意图，利用等腰三角形的性质求出点运动的路程，进而得到点运动的时间，即可解答． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴； （2）解：当点在边上运动时，，其中， ∵是等腰三角形，， ∴，即， 解得， ∴出发秒后，是等腰三角形； （3）解：①当是以为底的等腰三角形，则， ∴， ∵，   ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴点运动的路程为， ∴点运动的时间为（秒）； ②当是以为底的等腰三角形，则， ∴， ∴点运动的路程为， ∴点运动的时间为（秒）； ∴综上所述，出发11秒或12秒后，是以或为底的等腰三角形． 【变式4-1】（25-26八年级上·吉林·期末）如图:已知中，边的垂直平分线分别交，边于点E，D，且． (1)求证：是等边三角形； (2)点F在射线上，连接，当为等腰三角形时，的度数是 ． 【答案】(1) 证明：∵为的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形． (2) 【分析】本题考查垂直平分线基本性质，等边三角形的证明，等腰三角形的证明及性质，熟练掌握基本性质是解题关键； （1）根据垂直平分线基本性质可知，再通过邻补角性质可知，进而可证得是等边三角形； （2）分三种情况讨论计算，当在线段上，且时；当在的延长线上，且时；当在的延长线上，且时；分别计算即可． 【详解】（1） 略 （2）解：如图， ∵等边三角形，为的垂直平分线， ∴， 当在线段上，且时，为等腰三角形， ∴； 当在的延长线上，且时，为等腰三角形， ∴； 当在的延长线上，且时，为等腰三角形， ∴， ∴， 故的度数可以为：，，． 故答案为：，，． 【变式4-2】（25-26七年级下·广东深圳·期末）在中，，点为上一点． (1)如图1，点为上一点，将沿折叠使点落在点处，如果是等边三角形，那么________； (2)在（1）的条件下，点为射线上一动点，以线段为边，在其左侧作等边． ①如图2，点在射线的下方，若，请求出的值； ②如图3，记射线与线段的交点为，连接，在点的运动过程中，当为等腰三角形时，请求出的度数． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】（1）利用三角形内角和为求解； （2）①利用三角形内角和为求出的度数，再利用角的加减求解； ②利用三角形内角和为以及等腰三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， 在中，，， ∴． （2）解：①∵是等边三角形， ∴， ， ， ， ， ． ②解：由（1）可知和均为等边三角形 ，， ， 在和中，， ∴， ， ， ， 当时，； 当时，， ； 当时，， ∴， ∵， 在中，，与三角形的内角和为相悖，故不成立 综上，当为等腰三角形时，或． 【题型五】折叠问题 【例5】（25-26八年级上·山东德州·期末）在中，，，将按如图所示的方式依次折叠； 有下面四个结论； ①平分；②；③；④的周长等于的长．其中正确结论的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了翻折变换，等腰直角三角形的判定与性质及角平分线的定义． 根据折叠的性质得到，得到平分，可判断①；根据折叠的性质得到，，根据等腰直角三角形的性质得到，求得，由折叠的性质得到，，根据等腰直角三角形的性质得到，从而得到，进而可判断②；由，，得到，根据三角形的外角的性质得到，可判断③；根据等腰直角三角形的性质得到，根据平行线的性质得到，从而得到，于是得到，可判断④． 【详解】解：∵沿着直线折叠得到， ∴， ∴平分，故①正确； ∵沿着直线折叠得到， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵沿着折叠得到， ∴， 又∵， ∴， ∴，故②正确； ∵，， ∴， ∴，故③正确； ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确， 综上，正确的结论有①②③④，共4个， 故选：D． 【变式5-1】（25-26八年级上·重庆·期中）如图，在三角形纸片中，，，沿过点的直线将纸片折叠，使点落在上的点处，折痕交于点，再折叠纸片，使点与点重合，折痕交于点，交于点，若，则（　　） A．2 B．4 C．3 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质，等边三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，熟知这些知识是解题的关键．先根据折叠和，证得是等边三角形，再得到是含角的直角三角形，最后根据线段的关系即可求得的长． 【详解】解：由折叠性质得：，，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 在中，，， ∴，， ∴，， ∴是直角三角形， 在中，， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【变式5-2】（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在四边形中 ，，点 E 在边上，连接，将四边形 沿 折叠，使得B点落在D点处，连接，则 ________． 【答案】/度 【分析】本题主要考查等边三角形，折叠的性质，等边对等角的知识，掌握等边三角形的判定和性质是关键． 如图所示，连接，可得为等边三角形，根据折叠可得，结合角的和差计算即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴为等边三角形，，， ∵，即， ∴， ∵折叠， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型六】最值问题 【例6】（2026·宁夏中卫·三模）如图，已知平分，，，E为上一动点．在上找一点F，使的值最小，则这个最小值为__________． 【答案】4 【分析】过C点作，交于，过作，根据三角形面积公式解答即可． 【详解】解：过C点作，交于，过作， ∵平分，，， ∴， ∴的值最小， ∵，， ∴． 【变式6-1】如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B，C在格点上． (1)请在图中作出关于y轴对称的 (2)写出点，点C'的坐标，以为顶点的三角是________三角形； (3)点P在图中格点上，若是等腰三角形，则点P的个数是________． 【答案】(1) 如图，即为所求． (2)等腰直角 (3)10 【分析】本题考查作图-轴对称变换、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、勾股定理的逆定理： （1）根据轴对称的性质作图即可． （2）由图可得点，点的坐标；结合勾股定理以及勾股定理的逆定理可得结论． （3）结合等腰三角形的性质，分别讨论以为腰和以为底的情况，即可得出答案． 【详解】（1）略 （2） 由图可得，，． 由勾股定理得， ， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角． （3）解：如图，点均满足题意， ∴点P的个数是10个． 故答案为：10个． 【变式6-2】（25-26七年级下·甘肃酒泉·期末）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀古从军行里的一句诗，由此引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． (1)如图，若点和点分别在直线的两侧，请作出示意图，在直线上找到点，使得有最小值，并说明作图依据：________； (2)如图，若点和点在直线的同侧，请在直线上作出点，使得有最小值； (3)如图，已知，点在内部，，在射线和上分别确定点，，使的周长最小，并求出周长的最小值．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短周长用实线） 【答案】(1)，两点之间线段最短 (2)如图，点即为所求 (3)，6 【分析】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“将军饮马”等模型． （1）依据是两点之间线段最短得出答案； （2）作点关于直线的对称点，连接交直线于点，连接，点即为所求； （3）分别作关于、的对称点、，连接，交、于、，则的周长最小，进而根据轴对称的性质推出为等边三角形，进一步得出结果． 【详解】（1）解：连接，与直线相交于一点，则有最小值．作图依据是两点之间线段最短． 故答案为：两点之间线段最短； 图略； （2）略； （3）如图③， 作法：（Ⅰ）作关于的对称点， （Ⅱ）作点关于的对称点， （Ⅲ）连接，分别交于点M，交于N， 则的周长最小， 连接、， ∵点C和点Q关于对称， ∴，， 同理可得，，， ∴， ， ∴为等边三角形， ∴， ∴的周长． 【题型一】 双内角平分线模型 【模型解读】 如图,，分别是， 的平分线，则 . 【例1】（26-27八年级上·湖北荆州·阶段检测）如图，在中，和的角平分线相交于点．若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角平分线的定义求出的度数，再由三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：∵，，和的角平分线相交于点 ∴， ∴． 【变式1-1】（26-27八年级上·重庆渝中·阶段检测）如图，在中，，的两条内角平分线、交于点，则的度数为________． 【答案】 130 【分析】根据三角形内角和定理求出的度数，结合角平分线定义得出的度数，再利用三角形内角和定理计算． 【详解】解： ， ， 、分别平分、 ， ， ， ． 【变式1-2】（26-27八年级上·云南文山·阶段检测）如图，在中，，． (1)若，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2) 证明：， 平分，． ， 平分，． 在中， ． 在中，， ． 【分析】（1）由、可知、分别平分、，在中先用三角形内角和把表示为与的和的一半，再代入即可求得； （2）方法与（1）相同，只是把换成一般的，即得． 【详解】（1）解：，， 平分，平分，即，． 在中，． 在中，． （2）略 【变式1-3】（2026八年级上·全国·专题练习）概念认识：如图①，在中，若，则叫做的“三分线”．其中，是“邻三等分线”，是“邻三等分线”． 【问题解决】 (1)如图①，是的“三等分线”，则___________ °； (2)如图②，在中，，，若的邻三等分线与的邻三等分线交于点P，则________； (3)如图③，在中，、分别是邻三等分线和邻三等分线，且，求的度数． (4)【延伸推广】在中，是的外角，的邻三等分线与的三等分线交于点P．若，，直接写出的度数．（用含x，y的代数式表示） 【答案】(1)40 (2)92 (3)75° (4)或 【分析】（1）是“邻三分线”，是“邻三分线”时，根据三分线定义求出结果即可； （2）根据“三分线”定义求出，，再根据三角形内角和定理求出； （3）求出，根据、分别是邻三分线和邻三分线求出，，求出，再求出即可； （4）分两种情况：当是 “邻三等分线”时，当是 “邻三等分线”时，分别根据三角形外角的性质，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，，是的“三分线”， ， ； （2）解：∵在中，，， 的邻三等分线与的邻三等分线交于点P， ∴， ， ∴，， ∴； （3）解：∵， ， ∵、分别是邻三等分线和邻三等分线， ，， ， ， ； （4）解：∵，，为的外角， ∴， ∵是 “邻三等分线”， ∴， 当是 “邻三等分线”时，如图所示： ∴， ∴， ∴； 当是 “邻三等分线”时， ∴， ∴； 综上：的度数是或． 【题型二】内外角平分线模型 【模型解读】 如图,，分别是，的平分线，则 . 【例2】如图，在中，平分，平分外角，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据角平分线的定义和三角形的外角性质可推出，进而求解． 【详解】解：∵平分，平分外角， ∴， ∵， ∴，即， ∵，即， ∴． 【变式2-1】（25-26八年级上·山东烟台·期末）如图，在四边形中，，的平分线与外角的平分线相交于点，则的度数为（   ） A． B． C．25° D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形外角的性质和角平分线的定义，解题关键是利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和的关系进行转化．本题先求出，再利用即可求解． 【详解】解：如图，延长和交于点G， ∵， ∴ ， ∴， ∵的平分线与外角的平分线相交于点， ∴， ∴ 故选：C． 【变式2-2】如图，在中，，和的平分线交于点，得；和的平分线交于点，得；和的平分线交于点，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得，再结合角平分线的定义，找出角变化的规律即可求解． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∴， 同理可得， ∴， ∵， ∴． 【变式2-3】（25-26七年级下·福建厦门·期末）如图，在中，和的平分线交于点，的外角平分线所在直线与的平分线相交于点，与的外角平分线相交于点，则下列结论中，错误的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角平分线性质及三角形外角性质分别推导、、与的数量关系，并验证选项D的等式即可求解． 【详解】解：平分，平分， ，， ，， ∴， 故A正确； 平分， ， 共线，B，C，F共线， ， 在中， ，故B错误； 分别平分， ，， ，故C正确； 由上可知，，， ，故D正确． 【题型三】双外角平分线模型 【模型解读】 如图,，分别是，的平分线，则 . 【例3】（25-26八年级上·湖北孝感·阶段检测）如图，的外角和外角的平分线交于点，已知，则的度数为（   ） A．42° B．40° C．38° D．36° 【答案】B 【分析】本题考查了三角形外角性质与角平分线的综合运用，解题的关键是利用三角形内角和及外角和的关系，结合角平分线定义推导角度． 先根据角平分线定义表示出、，再由的内角和求出，进而得到外角和的一半，最后结合三角形外角和求出． 【详解】解：平分，平分， ， 在中，， ， ，， ， 又， ， 解得． 故选：B． 【变式3-1】（26-27八年级上·四川成都·阶段检测）已知，①如图1，若P点是和的角平分线的交点，则；②如图2，若P点是和外角的角平分线的交点，则 ；③如图3，若P点是外角和的角平分线的交点，则．上述说法不正确的个数是（     ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】C 【分析】利用角平分线的定义和三角形内角和定理以及外角的性质逐一判断． 【详解】解：P点是和的角平分线的交点， ，， ， ， ，①说法正确，不符合题意； P点是和外角的角平分线的交点， ，， ， ， ， ，②说法错误，符合题意；； ， ， P点是外角和的角平分线的交点， ，， ， ，③说法正确，不符合题意； 【变式3-2】认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题． （1）探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由． （2）探究2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由． （3）探究3：如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A又有怎样的关系？（只写结论，不需证明）结论：　　 ． 【分析】（1）首先根据角平分线的定义，可得，，再根据三角形内角和定理，即可求解； （2）先由角平分线得出，，再由三角形的外角的性质得出，，再根据三角形外角的性质，即可得出结论； （3）首先根据三角形的外角性质，得∠DBC＝∠A+∠ACB，∠BCE＝∠A+∠ABC，再根据角平分线的定义，可得，，再根据三角形内角和定理，即可求解． 【解答】解：（1）， 理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC与∠ACB的角平分线， ∴，， ∴， 又∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A， ∴， ∴∠BOC＝180°﹣（∠1+∠2）； （2）， 理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC与外角∠ACD的角平分线， ∴，， 又∵∠ACD是△ABC的一外角， ∴∠ACD＝∠A+∠ABC， ∴， ∵∠2是△BOC的一外角， ∴； （3）结论：． 根据三角形的外角性质，得∠DBC＝∠A+∠ACB，∠BCE＝∠A+∠ABC， ∵O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点， ∴，， ∴， ∵∠A+∠ACB+∠ABC＝180°， ∴， ∴在△OBC中，， 故答案为：． 【变式3-3】（2026春•北京期末）为提升长治市某小区居民的休闲体验，物业计划在小区内的三角形休闲 广场△ABC上进行景观升级．设计师借鉴古建筑中对称、规整的布局理念，计划通过广场内角与外角平分 线形成的夹角，规划景观灯带的走向与布局．请你帮助设计师完成以下计算，为灯带施工提供数据支持． （1）如图1，在△ABC中，∠ABC＝80°，∠ACB＝50°，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，两条角平分线交于点P，求∠BPC的度数； （2）如图2，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的外角平分线相交于点D，若∠BDC＝40°，求∠A的度数． 【分析】（1）由BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，且∠ABC＝80°，∠ACB＝50°，得∠CBP∠ABC＝40°，∠BCP∠ACB＝25°，则∠BPC＝180°﹣∠CBP﹣∠BCP＝115°． （2）由∠CBE和∠BCF是△ABC的外角，得∠ABC+∠ACB＝360°﹣（∠CBE+∠BCF），由BD平分∠CBE，CD平分∠BCF，得∠CBE＝2∠CBD，∠BCF＝2∠BCD，则∠CBE+∠BCF＝2（∠CBD+∠BCD），由∠BDC＝40°，求得∠CBD+∠BCD＝180°﹣∠BDC＝140°，则∠CBE+∠BCF＝280°，所以∠ABC+∠ACB＝80°，求得∠A＝100°． 【解答】解：（1）∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，且∠ABC＝80°，∠ACB＝50°， ∴∠ABP＝∠CBP∠ABC＝40°，∠ACP＝∠BCP∠ACB＝25°， ∵在△BPC中，∠BPC+∠CBP+∠BCP＝180°， ∴∠BPC＝180°﹣∠CBP﹣∠BCP＝180°﹣40°﹣25°＝115°， ∴∠BPC的度数是115°． （2）∵∠CBE和∠BCF是△ABC的外角， ∴∠ABC+∠CBE＝180°，∠BCF+∠ACB＝180°， ∴∠ABC+∠CBE+∠BCF+∠ACB＝360°， ∴∠ABC+∠ACB＝360°﹣（∠CBE+∠BCF）， ∵BD平分∠CBE，CD平分∠BCF， ∴∠CBE＝2∠CBD，∠BCF＝2∠BCD， ∴∠CBE+∠BCF＝2（∠CBD+∠BCD）， ∵∠BDC＝40°， ∴∠CBD+∠BCD＝180°﹣∠BDC＝140°， ∴∠CBE+∠BCF＝2×140°＝280°， ∴∠ABC+∠ACB＝360°﹣280°＝80°， ∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝100°， ∴∠A的度数是100°． 【题型四】高分线模型 【模型解读】 条件：是高， 是角平分线.结论： 条件：是高，是角平分线，是 延长线上一点，过作 . 结论： 【例4】（26-27八年级上·四川广安·阶段检测）如图，在中，分别是的中线和高，是的角平分线． (1)若的面积为30，，求的长； (2)若，，求的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由三角形的中线定理可得：，，再结合，即可求解； （2）根据三角形的外角性质可求出，根据角平分线的定义可得，最后根据三角形的内角和定理即可求解． 【详解】（1）解： 是的中线，的面积为， ，， ∵是的高，， ， ； （2）解： ，， ， 是的角平分线， ， 是的高， ， ． 【变式4-1】已知：如图，△ABC中，AD、AE分别是△ABC的高和角平分线，BF是∠ABC的平分线，BF与AE交于O，若∠ABC＝40°，∠C＝60°，求∠DAE、∠BOE的度数． 【分析】先根据三角形的内角和定理得到∠BAC的度数，再利用角平分线的性质可求出∠DAC∠BAC，而∠EAC＝90°﹣∠C，然后利用∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC进行计算即可．由三角形外角的性质求得∠AFO＝80°，利用三角形内角和定理得到∠AOF＝50°，所以对顶角相等：∠BOE＝∠AOF＝50°． 【解答】解：①在△ABC中，∵∠ABC＝40°，∠C＝60°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°． ∵AE是的角平分线， ∴∠EAC∠BAC＝40°． ∵AD是△ABC的高， ∴∠ADC＝90° ∴在△ADC中，∠DAC＝180°﹣∠ADC﹣∠C＝180°﹣90°﹣60°＝30° ∴∠DAE＝∠EAC﹣∠DAC＝40°﹣30°＝10°． ②∵BF是∠ABC的平分线，∠ABC＝40°， ∴∠FBC∠ABC＝20°， 又∵∠C＝60°， ∴∠AFO＝80°， ∴∠AOF＝180°﹣80°﹣40°＝60°， ∴∠BOE＝∠AOF＝60°． 【变式4-2】（26-27八年级上·福建龙岩·阶段检测）中，为的平分线，为边上的高． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2（），试说明，，的数量关系． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先用三角形内角和算出，角平分线得到，利用直角三角形两锐角互余算出，两角相减求出； （2）设，，先由高得到，表示出，利用角平分线得到，再用内角和表示，最后作差化简推导出． 【详解】（1）解：，， ， 为的平分线，为边上的高， ，， ， ； （2）解：设，， 为边上的高， ， ，， 为的平分线， ， ， ， ， ， ． 【变式4-3】（26-27八年级上·广西南宁·期中）综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的角与三角形的特殊线段”为主题开展数学活动． 【图形呈现】如图，在中，是的角平分线，是边上的高． 【初步探究】 (1)若，求的度数； 【探究发现】 (2)智慧小组在进一步的探究中发现，在中，当时，，始终存在固定的数量关系，请猜想的数量关系并证明； 【变式探究】 (3)善思小组受上述探究思路的启发进行变式探究：在任意中，设，是的角平分线，点是直线上一动点（点不与点重合），过点作，垂足为，请直接写出的度数（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2)， 证明：在中，由三角形内角和定理可得， 平分， ， ， ， ， ． (3) 【分析】（1）先根据三角形内角和定理求解，然后由角平分线求解，再由直角三角形的性质得到的度数，最后根据角的和差求解即可； （2）同（1）求解即可； （3）先由三角形内角和定理得到，然后根据角平分线得到，再分和两种情况讨论，根据直角三角形的性质以及三角形的外角性质求解即可． 【详解】（1）解：在中，， ， 平分， ， ， ， ， ， ． （2）略 （3）解：在中，由三角形内角和定理可得， 平分， ， ∵ ∴ ①当时， 点在点左侧时， 点在点右侧时， ②当时， 点在点左侧时， 点在点右侧时， 综上：． 【题型五】一线三等角模型 【模型解读】在某条直线上有三个角相等，利用平角为180°与三角形内角和为180°，证得两个三角形全等。 【常见模型及证法】 同侧型一线三等角（常见）： 锐角一线三等角 直角一线三等角（“K型图”） 钝角一线三等角 条件：+ CE=DE 证明思路：+任一边相等 异侧型一线三等角： 锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角 条件：+ 任意一边相等 证明思路：+任一边相等 【例5】（2026八年级上·全国·专题练习）在中，，，直线经过点C，且于D，于E． (1)当直线绕点C旋转到图（1）的位置时， 求证：①； ②； (2)当直线绕点C旋转到图（2）的位置时，求证：； (3)当直线绕点C旋转到图（3）的位置时，请直接写出，，之间的等量关系． 【答案】(1)证明：①，， ， ，， ， ∵在和中， ， ； ②， ，，； (2)证明：，， ， ， ∵在和中， ， ； ，，； (3)． 【分析】（1）①根据，，，得出，再根据即可判定；②根据全等三角形的对应边相等，即可得出，，进而得到； （2）先根据，，得到，进而得出，再根据即可判定，进而得到，，最后得出； （3）运用（2）中的方法即可得出，，之间的等量关系是：． 【详解】（1）①略，②略 （2）略 （3）解：当旋转到题图（3）的位置时，，，所满足的等量关系是：． 理由如下：，， ， ， ∵在和中， ， ， ，， ． 【变式5-1】（26-27八年级上·新疆昌吉·阶段检测）已知，中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F． (1)如图1，证明 (2)如图1，请写出，，之间的数量关系并说明理由； (3)其他条件不变的前提下如图2，写出，，之间的数量关系并说明理由． 【答案】(1)证明：由题意可得， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； (2)，理由如下： 由（1）可得， ∴，， ∴； (3)解：，理由如下： 由题意可得， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴, ∴，， ∴． 【分析】（1）由同角的余角相等可得，再利用即可证明； （2）由全等三角形的性质可得，，从而即可得解； （3）由同角的余角相等可得，再利用即可证明，从而可得，，即可得解． 【详解】（1）略； （2）略； （3）略． 【变式5-2】（24-25八年级上·吉林·期末）在直角三角形中，，直线经过点． (1)当时， ①如图1，分别过点，作直线于点，直线于点．求证：； ②如图2，过点作直线于点，点与点关于直线对称，连接交直线于点，连接．请写出线段，，三者之间的数量关系，并说明理由． (2)如图3，当，时，点与点关于直线对称，连接，．点从点出发，以每秒的速度沿路径运动到终点；点以每秒的速度沿路径运动到终点．分别过点，作直线于点，直线于点．点，同时开始运动，各自达到相应的终点时停止运动，设运动时间为秒．当与全等时，直接写出的值． 【答案】(1) ①证明：∵， ∴， ∵直线， ∴， ∴， 在和中，， ∴； ②，理由如下： 证明：点与点关于直线对称， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴； (2)或5或6.5 【分析】本题属于三角形综合题，考查的是全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． （1）①根据同角的余角相等得到，根据全等三角形的判定定理证明即可； ②由对称及可知，，，结合即可证明结论； （2）分点沿路径运动、点沿路径运动、点沿路径运动、点沿路径运动四种情况计算即可． 【详解】（1）①略 ②略 （2）解：由题意得， 由（1）可得，， ∵对称， ∴， ∴， ∴当时，， 当点沿路径运动时，， 解得，，不合题意， 当点沿路径运动时，， 解得，， 当点沿路径运动时，， 解得，， 当点沿路径运动时，， 解得，， 综上所述，当或5或6.5时，． 【变式5-3】某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形． (1)如图1．已知：在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D、E．证明：． (2)组员小明对图2进行了探究，若，，直线l经过点A．直线l，直线l，垂足分别为点D、E．他发现线段、、之间也存在着一定的数量关系，请你直接写出段、、之间的数量关系， (3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题： 如图3，过的边、向外作正方形和正方形（正方形的4条边都相等，4个角都是直角），是边上的高，延长交于点，若，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵直线l，直线l， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴ ∴，， ∴； (2) (3) 【分析】（1）根据直线l，直线l，，可得，利用可证明，根据即可得到； （2）同（1）利用可证明，根据即可得到； （3）过作于，的延长线于，可构造两组一线三直角全等模型，即：，，从而可以得到，，再根据可得，即可确定的长度； 【详解】（1）略 （2）∵直线l，直线l， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴ ∴，， ∴； （3）如图，过作于，的延长线于， ∴ ∵，， ∴ 在和中， ， ∴ ∴，， 同理可得： ∴，， 即：，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，一线三直角全等模型，线段之间的计算，构造合理的辅助线及掌握等腰直角三角形下的一线三直角全等模型是解决本题的关键． 【题型六】截长补短模型 【模型解读】 （1）截长法 ①在线段AB（最长线段）上截取AC（某条较短线段），使得AC=EF，连接…… ②过某点作AB（最长线段）的垂线 （2）补短法 ①延长AB（某条较短线段）至点C，使得BC=EF（另外一条较短线段），连接…… ②通过旋转法，使得两条较短线段在同一直线上，半角模型中可以利用这种方法 截长：即在一条较长的线段上截取一段较短的线段 在线段上截取 补短：即在较短的线段上补一段线段使其和较长的线段相等 延长，使得 截长补短法的解题步： ①添加辅助线（截长或补短） ②连接线段，构造全等三角形 ③证明三角形全等，转移线段 【例6】（2026八年级上·全国·专题练习）截长补短法是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或者旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题．请用这两种方法分别解决下列问题： 如图①，②，已知在中，，，为上任一点．求证：． 方法一：截长法 方法二：补短法 【答案】解：方法一：如图①，在上截取，使，连接． 在和中， ， ． 在中，，即， ． 方法二：如图②，延长到，使，连接． 在和中， ， ． 在中，， 即， ． 【分析】（1）截长法：在上截取，连接．在和中，、、，由证，得．在中，由三角形三边关系，其中，，代入得． （2）补短法：延长至点使，连接．在和中，、、，由证，得．在中，由三角形三边关系，其中，，代入得． 【详解】略 【变式6-1】（22-23八年级上·山东济宁·期中）阅读下面文字并填空： 数学习题课上李老师出了这样一道题：“如图1，在中，平分，．求证：”． 李老师给出了如下简要分析：要证就是要证线段的和差问题，李老师采用了‘截长法’，如图2，在上截取，连接，只要证__________即可，这就将证明线段和差问题转化为证明线段相等问题，只要证出____________________，得出及__________，再证出____________________，进而得出，则结论成立． 请仿照上题方法解决以下问题： 变式应用：如图，和是等腰三角形，且，，，，以A为顶点作一个角，角的两边分别交边延长线于点E、F，连接，则之间存在什么样的关系？并说明理由． 【答案】；；；；；； 变式应用：．理由如下： 在上截取，连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，属于截长补短类辅助线．按照题干的要求填空即可；变式应用：在上截取，连接，求得，证明，得到，，得到，证明，得到，据此求解即可． 【详解】解：如图2，在上截取，连接， 只要证即可，这就将证明线段和差问题转化为证明线段相等问题，只要证出，得出及，再证出，进而得出，则结论成立． 故答案为：；；；；；； 变式应用：略 【变式6-2】（25-26九年级上·重庆·阶段检测）如图，在等边中，延长到点，连接． (1)点是内一动点，满足，以为边作等边，点落在线段上，若，求的度数； (2)如图2，的角平分线交于，在边上取点，使得，连接，在边上取一点，使得，连接、．用等式表示线段、、三者之间的关系； (3)如图3，已知，点是内一动点且满足，当最小时，直接写出的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用等边和性质，证明，得出，结合建立方程，即可求解， （2）过点作，交于，连接，通过构造平行线与双等腰结构，得到，从而得到， 再证明．先利用等腰三角形性质和三角形的内角和证明，得是等边三角形，进而得，再证明得，从而可得点是的内角平分线的交点，由此证明，再利用等腰三角形判定证明，由此证明，可得，可得； （3）以为边向下作等边，可得，当最小时，即，最小， 进而可得，作于点，再利用勾股定理和线段和差求出，结合，由此即可解． 【详解】（1）解：∵在等边中， ∴，， ∵在等边中， ∴，， ∴， ∴， ∴ ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴ （2）解：过点作，交于，连接， 设， ∵是的角平分线， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， 又∵，，， ∴， ∴， 又∵是的角平分线， ∴点是的内角平分线的交点， ∴平分， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， ∴ （3）解：以为边在下方作等边，作于点，如图， 同理（1），易证， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴当最小时，即，最小， 此时， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 【点睛】本题主要考查了全等三角形性质和判定，等边三角形的判定和性质，勾股定理解三角形，直角三角形的性质等知识点，综合性强，通过旋转、对称等几何变换转化角度关系和线段关系是解题关键．（1）通过构造旋转全等三角形，建立角度关系求解，（2）构造平行线与双等腰结构，通过全等三角形转化线段关系，（3）旋转构造等边三角形，利用极值点定位求最优解． 【变式6-3】（2026春•青羊区校级期中）如图，点D是△ABC外一点，连接AD，CD，过点C作CE⊥AB， 垂足为E．AD＝7，CE＝4，AB＝13，△ADC的面积为14． （1）求证：AC是∠BAD的平分线． （2）若AB﹣AD＝2BE，求证：CD＝BC． 【分析】（1）过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F，根据△ADC的面积为14得CF＝4，由此得CF＝CE＝7，再根据角平分线的性质即可得出结论； （2）在AB上截取AH＝AD＝7，连接CH，则BH＝AB﹣AH＝AB﹣AD＝6，再根据AB﹣AD＝2BE得BE＝3，进而得EH＝BH＝3，由此得CE是线段BH的垂直平分线，则HC＝BC，再证明△HAC和△DAC全等得HC＝CD，据此即可得出结论． 【解答】证明：（1）过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F，如图1所示： ∵△ADC的面积为14，AD＝7， ∴AD•CF＝14， ∴CF4， ∵CE＝4， ∴CF＝CE＝4， 又∵CE⊥AB，垂足为E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，点C在∠BAD的内部， ∴点C在∠BAD的平分线上， ∴AC是∠BAD的平分线； （2）在AB上截取AH＝AD＝7，连接CH，如图所示： ∵AB＝13， ∴BH＝AB﹣AH＝AB﹣AD＝13﹣7＝6， ∵AB﹣AD＝2BE， ∴2BE＝6， ∴BE＝3， ∴EH＝BH﹣BE＝6﹣3＝3， ∴EH＝BH＝3， ∵CE⊥AB，垂足为E， ∴CE是线段BH的垂直平分线， ∴HC＝BC， 由（1）可知：AC是∠BAD的平分线， ∴∠HAC＝∠DAC， 在△HAC和△DAC中， ， ∴△HAC≌△DAC（SAS）， ∴HC＝CD， ∴CD＝BC． 【题型七】倍长中线模型 【模型解读】 1. 倍长中线法：中线指的是三角形的顶点到对边中点所连线段，倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法。 在△ABC中，AD是中线，添加辅助线的方法：延长AD到点E，使得AD=DE，连接BE 证明：∵AD是中线 ∴BD=CD 在△ADC和△EDB中 ∴△ADC≌△EDB（SAS） 2. 类倍长中线法 类中线，即与中点有关的线段，三角形一边任一点与另一边中点所连线段，添加辅助线的方法与倍长中线法一样，将类中线延长一倍，构造全等三角形。 在△ABC中，AD是中线，点M是线段AB上任意一点，添加辅助线的方法：延长MD到点N，使得DN=MD，连接CN 证明：∵AD是中线 ∴BD=CD 在△BDM和△CDN中 ∴△BDM≌△CDN（SAS） 3. 间接倍长中线法 除了上述两种方法外，还有一种间接倍长中线法。在△ABC中，AD是中线，添加辅助线的方法：延长AD，过点B作BE⊥AD交AD于点E，过点C作CF⊥AD交AD于点F 证明：∵AD是中线 ∴BD=CD ∵BE⊥AD，CF⊥AD ∴∠E=∠CFD=90° 在△BED和△CFD中 ∴△BED≌△CFD（AAS） 【例7】（26-27八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在中，是边上的中线，，． (1)延长至点，使，连接．求证：； (2)求的取值范围． 【答案】(1)解：为的中点， ． 在与中， ． (2)． 【分析】（1）采用“中线倍长”法：延长中线至使，连接，以证； （2）由全等得，在中用三边关系把转化为的取值范围． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知， ． 在中，，，． 由三角形三边关系得， 代入数值得， 即， ． 【变式7-1】（26-27八年级上·广东江门·阶段检测）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，请根据小明的方法思考： (1)由已知和作图能得到的理由是___________． A．     B． C．    D． (2)求的取值范围． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 (3)如图2，是的中线，，，，，且，求的长． 【答案】(1) (2) (3)的长是6 【分析】（1）由三角形中线的定义性质得到，然后利用证明； （2）由得到，然后利用三角形三边关系求解； （3）延长交于点F，证明，得到，最后利用全等三角形的性质求解． 【详解】（1）解：是边上的中线， ， 又， ， 由已知和作图能得到的理由是； （2）， ， 在中，， ； （3）如下图，延长交于点F， ， ， 是的中线， ， 又， ， ， , ， ． 【变式7-2】（2026八年级上·全国·专题练习）【初步探索】 (1)如图1，是的中线，探究与的大小关系． 小明同学探究此问题的方法是：延长至点E，使，连接，先证明，可得出结论，他的结论应是___________ 【灵活运用】 (2)如图2，是的中线，E、F分别在、上，且，求证：． 【拓展延伸】 (3)如图3，为的角平分线，直线于点A．点E为上一点（与点A不重合），周长记为a，周长记为b，比较a与b的数量关系并证明． 【答案】(1) (2)证明：延长至G，使得，连接，，如图： 在和中， ， ， ， 在和中 ， ， ， 在中，两边之和大于第三边， ， 又，， ； (3)①点E在点A右侧时，延长到F，使，连接，如图： 由图可得，， 在和中， ， ， ， ，，为三边， ， ， ， ，即； ②点E在点A左侧时，延长到F，使，连接，如图： 由图可得，， 在和中， ， ， ， 为三边， ， ， ， ，即， 综上所述，． 【分析】（1）根据全等三角形的判定定理和三角形的三边关系解答即可； （2）延长至G，使得，连接，，根据全等三角形的判定定理和三角形的三边关系解答即可； （3）分两种情况进行解答即可． 【详解】（1）解：延长至点E，使，连接，如图： 在和中， ， ， ， ， ； （2）略 （3）略 【变式7-3】（26-27八年级上·江苏泰州·阶段检测）按要求解答下列问题： 【发现问题】 数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，在中，是的中线，求的取值范围． 【探究方法】 (1)第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：①延长到，使得；②连接，通过三角形全等把、、转化在中；③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是_____； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形． 【问题解决】 (2)如图2，是的中线，是的中线，，下列四个选项中：正确选项的序号是______． ①；②；③；④． 【问题拓展】 (3)如图3，与互补，连接、是的中点，求证：； (4)如图4，在（3）的条件下，若，延长交于点，，，则的面积是_____． 【答案】(1) (2)①③ (3)证明：延长到点，使，连接． ∵ 是中点， ∴ ． 在和中， ， ∴ ． ∴ ，． ∴ ， ∴ ． ∵ 与互补， ∴ ． 又∵ 周角为， ∴ ， ∴ ． ∵ ，，， ∴ ． 在和中， ， ∴ ． ∴ ． ∵ ， ∴ ，即． (4) 【分析】（1）采用倍长中线法延长至使，证得到，结合，利用三角形三边关系求出，再换算得到． （2）倍长到使得，先证，再证，推出，，选出正确序号①③． （3）倍长到使，证明得到和平行关系，结合、互补推出，再证，得到，完成证明． （4）沿用第三问结论得到，推导出，代入、算出面积为 60，再由全等面积转化得到面积等于 60． 【详解】（1）解：延长到，使，连接． ∵ 是的中线， ∴ ． 在和中， ，∴ ． ∴ ． 在中，由三角形三边关系： ， ∵ ，， ∴ ，即． 又∵ ， ∴ ， ∴ ． （2）解：延长到，使，连接． ∵ 是的中线， ∴ ． 在和中， ，∴ ． ∴ ，． ∵ ， ∴ ． ∵ 是中线， ∴ ， ∴ ． ∵ ，，，， ∴ ． 在和中， ， ∴ ． ∴ ，． ∵ ， ∴ ． 综上，①③正确． （3）略． （4）解：由（3）得，，，． ∵ ，与互补， ∴ ． ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ，即． ∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． 由全等转化面积可知， ∴ ． 【题型八】手拉手模型 【模型解读】 当两个三角形是以公共顶点为顶点等腰三角形时，如果这两个三角形是以公共定点为顶点的等腰三角形，则可以根据SAS连带出的一组新的全等三角形。 条件：△OAB，△OCD均为等腰三角形，且∠AOB = ∠COD 结论：（1）△OAC≌△OBD；（2）∠AEB=∠AOB；（3）OE平分∠AED 核心图形： 核心条件：OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD 【例8】（25-26七年级上·山东东营·期中）如图所示，已知和都是等边三角形，A、B、D三点在一条直线上．则下列结论：①；②；③；④是等边三角形；其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质及全等三角形的判定及性质问题，由题中条件可得，得出对应边、对应角相等，进而得出，再由边角关系即可求解题中结论是否正确，进而可得出结论． 【详解】解：∵与为等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， 又∵， ∴， ∴，， 故①②正确； ∵， ∴， ∵， ∴， 故③正确； ∵，， ∴是等边三角形， 故④正确； 综上所述，正确的有①②③④，一共4个． 故选：D． 【变式8-1】（25-26七年级下·四川成都·期末）在中，，． (1)点是内部一点，且． ①如图1，求证：； ②如图2，当，，三点共线时，连接，若，，求的面积； (2)如图3，点是外一点，且，若的面积为8，求的长． 【答案】(1)①证明：，， ， ，， . ，， ． ②30 (2)4 【分析】（1）①利用直角的性质，通过等量代换求出，结合已知条件，利用即可证明．②利用等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质推出和相应的度数，和相应的长度，以及，根据直角三角形的面积公式即可求出的面积． （2）利用旋转的性质和已知条件，证明三点共线、以及，根据面积法即可求出的长度． 【详解】（1）①证明：略． ②解：，， ， ， 由①可得，， ， 为直角三角形， ，， ． ， ． （2）解：将绕点逆时针旋转使和重合，得到，如图所示， ，，，， 为等腰直角三角形， ， ， ， 在线段的延长线上， ， ， ． ，， ， ． 【点睛】本题考查了三角形全等，旋转的性质，等腰直角三角形的性质与判定，解题的关键在于判断三点共线，巧妙将边上的高转化为． 【变式8-2】（25-26八年级上·四川南充·期末）【问题情境】 （1）八上课本中有这样一道习题：如图1，和都是等边三角形，连接，．同学们发现以下结论：与的数量关系是 ． 【变式思考】 （2）如图2，和都是等腰直角三角形，．与交于点，请你在（1）的启发下猜想并验证：判断的大小是否随着的度数变化而变化？如果要变化；请你说理；如果不变化，请求出它的度数． 【拓展运用】 （3）如图2，在（2）的条件下，若，四边形面积的最大值为18，求的长． 【答案】（1）；（2）固定不变；（3） 【分析】本题是四边形的综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，四边形面积的最值问题，添加恰当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）证明得到； （2）设与交于点，过作于，于，先证明得到，，再由，，得到，接着证明，得到，则平分，，即固定不变． （3）如图2，在（2）的条件下，，，，根据，得到当最大时，四边形面积最大，由三边关系可知，，即当时，四边形面积最大，据此求解即可． 【详解】解：（1）如图1，∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，即， ∴ ∴， 故答案为：； （2）如图2，设与交于点，过作于，于， ∵和都是等腰直角三角形，， ∴，， ∵， 即， ∴ ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平分， ∴ ∴的大小不随着的度数变化而变化，固定不变． （3）如图2，在（2）的条件下，，，， ∴，， ∴， ∴当最大时，四边形面积最大，由三边关系可知，， 即当时，四边形面积最大， ∵四边形面积的最大值为18， ∴，解得（负值舍去）， ∵， ∴． 【变式8-3】（25-26九年级上·辽宁鞍山·期中）点分别是等边三角形的边和上的点，且，连接． (1)如图1，若，将绕着点顺时针旋转，得到，连接和．求证： ①为等边三角形； ②探究线段，与的数量关系，并说明理由． (2)如图2，当时，若为的中点，连接，求证：． 【答案】(1) ①证明：由旋转可得：，， ∴是等边三角形； ②，理由为： 在上截取，连接， ∵是等边三角形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； (2) 证明：延长到点N，使得，连接，，， ∵G是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，，，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， 过点D作于点P，过点N作于点Q， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握旋转的性质是解题的关键． （1）①根据旋转的性质，利用有一个角是的等腰三角形是等边三角形得到结论即可； ②在上截取，连接， 根据等边三角形的性质和旋转的性质证明，即可得到，然后根据线段的和差解答即可； （2）延长到点N，使得，连接，，，证明，即可得到，，，，然后证明是等边三角形，过点D作于点P，过点N作于点Q，得到，得到，即可得到，然后根据中线分出的两三角形面积相等得到结论即可． 【详解】（1）①略 ②略 （2）略 【题型九】半角模型 【模型解读】 半角模型的特征：两个角是一半的关系，并且两个角有公共顶点，角的两边相等。 解题思路：（1）将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形； （2）证明与半角形成的三角形全等； （3）通过全等的性质得出线段之间的数量关系，从而得到结论。 口诀：大角加半角，大角两边相等，构造全等。 即已知如图：①∠2=∠AOB；②OA=OB，连接FB，将△FOB绕点O旋转至△F′OA的位置，连接F′E、FE，可得△OEF′≌△OEF。 证明：∵将△FOB绕点O旋转至△F′OA的位置 ∴△FOB≌△F′OA ∴∠3=∠4，OF=OF′ ∵∠2=∠AOB ∴∠1+∠3=∠AOB ∴∠1+∠4=∠AOB 即∠E0F′=∠2 在△OEF′和△OEF中 ∴△OEF′≌△OEF（SAS） 【例9】（26-27八年级上·江苏扬州·阶段检测）在四边形中． (1)如图，，，，分别是，上的点，且，探究图中，，之间的数量关系． 小易同学探究此问题的方法是：延长到点，使．连接，先对比与的关系，再对比与的关系，可得出、、之间的数量关系，他的结论是 ． (2)如图，在四边形中，，，、分别是，上的点，且，则上述结论是否仍然成立，请说明理由． (3)如图，在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，若，请直接写出与的数量关系是 ． 【答案】(1) (2)结论仍成立，理由如下： 如图，延长到点，使，连接， ，， ． 在和中， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ． (3) 【分析】（1）延长到点，使．连接，先判定，进而得出，，再结合，判定，进而得出结论； （2）延长到点，使，连接，先判定，进而得出，，再结合，判定，进而得出结论； （3）在延长线上取一点，使得，连接，先判定，再结合，判定，最后根据，推导得出，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，延长到点，使．连接， 在和中， ， ， ，， ， ． 在和中， ， ， ． （2）略 （3）解：如图，在延长线上取一点，使得，连接， ，， ， 在和中， ， ， ，． ，， ． 在和中， ， ， ， ， ， ， 即， ． 【变式9-1】（2026八年级上·全国·专题练习）【问题背景】如图1，在四边形中，，，，E，F分别是，上的点，且． (1)【初步探索】试探究线段，，之间的数量关系． (2)【探索延伸】如图2，在四边形中，，，E，F分别是，上的点，，上述结论是否仍然成立？请说明理由． 【答案】(1) (2)仍然成立，理由如下： 延长到G，使，连接，如图2所示： ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ∴设，则， ， ， 即， ， 在和中， ， ， ， 又，． 【分析】（1）延长到G，使，连接，先证，进而依据“”判定和全等得，，再根据，，可证明，继而依据“”判定和全等得，然后根据即可得出线段，，之间的数量关系； （2）仍然成立，延长到，使，连接，先证明，而依据“”判定和全等得，，再根据可证明，继而依据“”判定和全等得，然后根据即可得出结论. 【详解】（1）解：，，之间的数量关系是：，理由如下： 延长到G，使，连接， 如图1所示： ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， 即， ， 在和中， ， ， ， 又， ； （2）略 【变式9-2】（26-27八年级上·湖北黄石·阶段检测）如图，在四边形中，为钝角，为锐角，，，点E、F分别在，上，且， (1)连接，试探索线段、、之间的数量关系，并加以证明． (2)若点E在射线上，点F在延长线上，其它条件不变，（1）中结论是否依然成立？画出图形，并直接写出、、之间的数量关系． 【答案】(1)，证明如下： 如图3，延长到H，使得， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； (2)（1）中的结论不成立，新的数量关系为：，作图如下： 【分析】（1）由，结合四边形内角和得，故．延长到H使，由，证，得且，推出．结合，得，再证，得； （2）同理在射线上截取，仍可证与，此时，等量代换得． 【详解】（1）略 （2）解：在射线上（点C的外侧）截取，连接，如图： ∵，， ∴， 又， ， 在和中， ， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ， ∴， ∴， ∴， ∵和， ∴． 【变式9-3】（26-27八年级上·广西南宁·阶段检测）综合与探究 已知，在四边形中，，，E、F分别是、边上的点．且．探究线段、、的数量关系． (1)为探究上述问题，小宁先画出了其中一种特殊情况，如图①当，小宁探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接，请你补全小宁的解题思路：先证明______；再证明______；即可得出线段、、之间的数量关系是______． (2)如图②，在四边形中，，，E、F分别是边、上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程． (3)在四边形中，，，E、F分别是、所在直线上的点，且．请直接写出、、线段之间的数量关系． 【答案】(1)，， (2)（1）中的结论仍然成立，理由如下： 如图②，延长到点G，使，连接， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． (3)或或 【分析】（1）依据题意，补全小宁的解题思路即可； （2）延长到点G，使，连接，先证明，再证明，即可得出线段、、之间的数量关系； （3）分三种情况讨论，分别采用截长补短的方法，先证明三角形全等，再进行线段的和差计算即可． 【详解】（1）解：补全小宁的解题思路：先证明；再证明；即可得出线段、、之间的数量关系是． （2）略 （3）解：或或， 理由： ①， 如图，在上截取，使，连接， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； ②， 如图，在上截取， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ③由（1）（2）可知，； ④如图，点E在延长线上，点F在延长线上，此时线段、、之间并无直接数量关系； 综上所述，线段、、之间的数量关系为或或． 【题型十】角平分线+平行线模型 【模型解读】 角平分线 + 平行线 = 等腰三角形 已知，平分，，求证：。 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴。 【例10】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，是等边三角形，边长为6，和的平分线交于点F，过点F作的平行线交于点D，交于点E，则的长是_________________． 【答案】4 【详解】解：∵是等边三角形，边长为 6， ∴，， ∵平分，平分， ∴，． ∵， ∴，， ， ∴是等边三角形， ∴，， ∴的周长． ∴的长是4． 【变式10-1】（25-26八年级上·吉林白山·期末）如图，在中，，，过点的直线，与的平分线分别交于点，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∵，， ∴． 【变式10-2】（25-26八年级下·陕西宝鸡·阶段检测）如图，在中，，和的平分线分别交于点F，G，若，，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．8 【答案】B 【分析】由和角平分线的性质可得，根据等角对等边得出，再由线段的和差关系可得的值． 【详解】解：∵， ∴， ∵和的平分线分别交于点F，G， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴. 【变式10-3】（25-26八年级上·江苏镇江·期中）如图，在中，和的平分线分别交于点G、F，若，则的值为（   ） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】本题主要考查了两直线平行内错角相等，角平分线定义，等角对等边， 先根据平行线性质和角平分线定义得，进而得出 ，然后根据得出答案． 【详解】解：∵和的平分线交于点，F， ∴， ∴， ∴， ， ∴ ． 故选：B． 技巧 一句话要点 判断三条线段能否组成三角形——"一算一验"简化法 只验"两短边之和＞最长边"；等于或小于都不能组成三角形。 已知两边求第三边的取值范围 |a－b|＜c＜a＋b；求周长范围时两端再加 a＋b。 等腰三角形边长的"分类讨论 + 检验" 按"已知边为腰""已知边为底"分类讨论，再逐一检验三边关系，不合的舍去。 三角形高的位置——"按形状分类讨论" 锐角全在内部；直角两高与直角边重合；钝角两高在外部——按形状分类讨论。 利用稳定性判断与说理 三边确定则形状大小唯一确定；四边形等会形变，故不稳定。 公共边/公共角/对顶角/等角加（减）同角/等边加（减）同线段/角平分线/中线/垂直 通过隐含条件可得到角相等、线段相等  一线三垂直构造全等三角形 一条直线上三个直角，快速推导等角，构造AAS或ASA全等 等腰三角形中边角分类讨论 题目无图给出边长或角度时，分情况讨论，还要检验三边关系与内角和 角分平，等腰现 角平分线搭配平行线，通过等角代换，直接找出等腰三角形 角分垂，等腰归 过角平分线上一点作角平分线的垂线，延长后构造等腰三角形 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $