第2章 微点集训6 用等效摆长和等效重力加速度计算周期（Word版）-【满分思维·同步精炼】2026-2027学年高中物理选择性必修第一册同步测试学生用书（人教版）

微点集训6　用等效摆长和等效重力加速度计算周期 　 用等效摆长计算周期 1.（多选）如图所示，一个光滑凹槽半径为R，弧长为L（已知R≫L）。现将一质量为m的小球从凹槽边缘由静止释放，小球以最低点为平衡位置做简谐运动。已知重力加速度大小为g，下列说法正确的是（　　） A.小球做简谐运动的机械能不守恒 B.小球做简谐运动的回复力为重力沿凹槽圆弧切线方向的分力 C.小球做简谐运动的周期为2π D.小球做简谐运动的周期为2π 2.如图所示，“杆线摆”可以绕着固定轴OO'来回摆动。摆球的运动轨迹被约束在一个倾斜的平面内，这相当于单摆在光滑斜面上来回摆动。轻杆水平，杆和线长均为L，重力加速度为g，摆角很小时，“杆线摆”的周期为（　　） A.2π B.2π C.2π D.2π 3.如图所示，在两根等长的细线下悬挂一个小球（可视为质点）组成了所谓的双线摆，若细线长为l，两线与天花板的左、右两侧夹角均为α，当小球垂直于纸面做简谐运动时，其周期为（　　） A.2π B.2π C.2π D.2π 4.（2026·江苏南通高二质检）如图所示，三根细线在O点处打结，A、B端固定在同一水平面上相距为l的两点上，使△AOB成直角三角形，∠BAO＝30°，已知OC线长也是l，下端C点系着一个小球（半径可忽略），下列说法正确的是（以下皆指摆动角度小于5°，重力加速度为g）（　　） A.让小球在纸面内振动，周期T＝2π B.让小球垂直于纸面振动，周期T＝2π C.让小球在纸面内振动，周期T＝2π D.让小球垂直于纸面振动，周期T＝2π 5.正在修建的房顶上固定的一根不可伸长的细线垂到三楼窗沿下，某同学应用单摆原理测量窗的上沿到房顶的高度，先将线的下端系上一个小球，发现当小球静止时，细线恰好与窗的上沿接触且保持竖直，他打开窗子，让小球在垂直于墙的竖直平面内摆动，如图所示，从小球第1次通过图中的B点开始计时，第21次通过B点用时30 s；小球在最低点B时，球心到窗上沿的距离为1 m，当地重力加速度g取π2 m/s2。根据以上数据，问： （1）小球运动的周期T是多少？ （2）房顶到窗上沿的高度h是多少？ 用等效重力加速度计算周期 6.（2026·浙江绍兴高二质检）周期是2 s的单摆叫秒摆。地面上某秒摆的摆长为l，振幅为A，被火星探测器携带至火星表面，已知火星表面的重力加速度为0.4g（g为地球表面的重力加速度）。如果在火星表面，仍然保持该秒摆的周期是2 s，则可以（　　） A.仅将摆长调整为2.5l B.仅将摆长调整为0.4l C.仅将振幅调整为2.5A D.仅将振幅调整为0.4A 7.（2026·江苏扬州高二质检）如图所示，一根不可伸长的细绳下端拴一小球，上端系在位于光滑斜面O处的钉子上，小球处于静止状态，细绳与斜面平行。现使小球获得一平行于斜面底边的初速度，使小球偏离平衡位置，最大偏角小于5°。已知斜面倾角为θ，悬点到小球球心的距离为L，重力加速度为g。则小球回到最低点所需的最短时间为（　　） A.π B.π C.π D.π 8.（2026·湖南长沙高二质检）某单摆如图1所示，其摆长为L，小钢球（可视为质点）带电荷量为＋Q，该单摆做简谐运动的周期为T1。保持摆长不变，若在悬挂点O处固定一个带＋Q电荷量的小钢球（可视为质点），如图2所示，该单摆做简谐运动的周期为T2。若将图1单摆置于匀强电场当中，如图3所示，电场强度大小为（k为静电力常量），方向竖直向下，该单摆做简谐运动的周期为T3。则T1、T2和T3的大小关系为（　　） A.T1＞T2＝T3 B.T1＝T2＞T3 C.T1＝T2＜T3 D.T1＜T2＝T3 9.科学家将密度为ρ（小于水的密度ρ水）的球形探测器用长为L的细绳拴住并固定在湖泊底部，用于测量记录湖水的温度、pH等数据，所在处湖水不流动。如图所示，由于受到鱼类的扰动，探测器开始在竖直面内做小角度的摆动。探测器所受阻力忽略不计，重力加速度为g，则探测器摆动的周期为（　　） A.2π B.2π C.2π D.2π 10.如图所示，在地球上同一个地区创设不同的条件进行单摆实验。图甲装置置于真空中，悬点处固定一带正电的小球，绝缘细线下端连接另一带正电小球，周期记为T1；图乙中，单摆的悬点在一向下加速的电梯顶端，周期记为T2；图丙中的摆球带正电，在如图所示的匀强磁场中进行摆动，摆球在匀强磁场中所受洛伦兹力沿半径方向，周期记为T3；图丁中的摆球带正电，在如图所示的匀强电场中进行摆动，周期记为T4。若四个单摆的摆长一样长，则周期关系正确的是（　　） A.T1＞T2＞T4＞T3 B.T2＞T1＞T3＞T4 C.T3＝T1＞T4＞T2 D.T2＞T3＝T1＞T4 学科网（北京）股份有限公司 $ 微点集训6　用等效摆长和 等效重力加速度计算周期 角度1　用等效摆长计算周期 “等效思维”在摆长测量中的应用 对于各种不同的单摆系统，周期公式T＝2π中的摆长l的意义是不同的。摆长l是指摆动圆弧的圆心到摆球重心的距离，而不一定是摆线的长。假设小球的半径r足够小，可以忽略。 模型 等效摆长 摆动条件 l等效＝lsin α 做垂直于纸面的小角度摆动 l等效＝lsin α＋l 垂直于纸面摆动 l等效＝l 纸面内摆动 左侧：l等效＝l 右侧：l等效＝l 纸面内摆动 T＝π＋π l等效＝R 当半径R远大于小球位移x时，小球做单摆运动 ｜名师点评｜ 1.BD　小球沿光滑圆弧轨道做简谐运动，过程中只有重力做功，故机械能守恒，此振动与一个摆长为R的单摆振动模型相同，重力沿凹槽圆弧切线方向的分力提供回复力，故A错误，B正确；此等效摆长为R，周期为T＝2π，故C错误，D正确。 2.A　由于摆球绕OO'为轴摆动，摆球的运动轨迹被约束在一个倾斜的平面内，则在摆角很小时，重力沿摆球摆动的切线方向的分力提供回复力，如图， “杆线摆”的摆长为l＝Lcos 30°＝L，摆球沿虚线方向等效重力G'＝Gcos 60°＝G＝mg，“杆线摆”的周期为T＝2π＝2π，故选A。 3.D　根据单摆周期公式可得T＝2π，l'＝lsin α，则T＝2π，故选D。 4.A　让小球在纸面内振动，在偏角很小时，单摆可视为做简谐运动，摆长为l，周期T＝2π，故A正确，C错误；让小球垂直于纸面振动，在偏角很小时，单摆可视为做简谐运动，由几何关系可得O点到等效悬点的距离为h＝lcos 30°·sin 30°＝l，则等效摆长为L＝h＋l＝l，周期T'＝2π＝π，故B、D错误。 5.（1）3 s　（2）3 m 解析：（1）由题意知，小球30 s内完成全振动的次数n＝×（21－1）＝10， 故小球运动的周期T＝＝3 s。 （2）设小球以窗上沿为悬点做单摆运动的周期为T1，以房顶为悬点做单摆运动的周期为T2，则由题意知T1＝2π，T2＝2π， 故T＝＋＝， 解得h＝3 m。 角度2　用等效重力加速度计算周期 等效重力加速度：等效重力加速度为单摆处于静止状态时，摆线的拉力F（相当于视重）与摆球质量m的比值，即g等＝（点电荷的库仑力等情况除外）。有关等效重力加速度的题比较复杂，但只要求出g等就可以求出对应的周期。 ｜名师点评｜ 6.B　根据单摆的周期T＝2π，单摆的周期与摆长及重力加速度有关，在地球表面上T地＝2π，在火星表面T火＝2π，根据题意可知，单摆的周期不变，故有2π＝2π，解得l'＝0.4l，A错误，B正确；根据上述分析可知，单摆的周期与振幅无关，只与摆长及重力加速度有关，C、D错误。 7.C　因为小球偏离平衡位置，最大偏角小于5°，小球的运动可以看作单摆的振动，根据等效重力作用下mgsin θ＝mg'，T＝2π ，小球回到最低点所需的最短时间为t＝＝π ，故选C。 8.B　图1中，小钢球在摆动过程中除了受细绳拉力外，只受重力，所以T1＝2π，图2中，小钢球在摆动过程中受细绳拉力、库仑力和重力，其中细绳拉力与库仑力的合力相当于图1中细绳的拉力，所以T2＝2π，图3中，小钢球在摆动过程中受细绳拉力、竖直向下的静电力和重力，其等效重力加速度为g'＝g＋＝g＋＞g，所以T3＝2π＜2π，所以有T1＝T2＞T3。故选B。 9.C　对探测器受力分析，可知探测器受竖直向下的重力G、竖直向上的浮力F浮以及细绳的拉力，因为（F浮－G）为恒力，可看作等效重力G等效，故探测器的摆动可看作单摆的摆动，又因为探测器的摆动角度很小，则探测器做简谐运动。设探测器做简谐运动的等效重力加速度为g'，根据单摆做简谐运动的周期公式可知，探测器摆动的周期为T＝2π；设探测器的体积为V，则探测器所受等效重力大小G等效＝mg'＝ρVg'，且G等效＝F浮－G＝（ρ水－ρ）Vg，联立解得T＝2π，故A、B、D错误，C正确。 10.D　题图甲中的单摆所受的库仑力和题图丙中的单摆受的洛伦兹力总是沿半径方向，不影响回复力，则T1＝T3＝2π，根据等效重力加速度的求法，在平衡位置处，对题图乙中的单摆有mg－F乙＝ma，根据牛顿第二定律得g效乙＝＝g－a，则有T2＝2π＝2π，对题图丁中的单摆有F丁＝mg＋qE，则g效丁＝＝g＋，故T4＝2π·＝2π，综上比较四个单摆的周期可知T2＞T3＝T1＞T4，故选D。 学科网（北京）股份有限公司 $