专题19 圆的综合题（3年汇编）（江苏专用）2024-2026年中考数学真题分类汇编

专题19 圆的综合题 3年真题1年模拟 考点分类 江苏考情（2024-2026） 命题规律 考点01 圆的切线的性质与判定 （2024·江苏南京·中考真题） （2026·江苏连云港·中考真题） （2025·江苏无锡·中考真题） （2024·江苏徐州·中考真题） （2024·江苏连云港·中考真题） （2026·江苏南通·中考真题） （2026·江苏无锡·中考真题） （2026·江苏扬州·中考真题） （2026·江苏宿迁·中考真题） （2026·江苏徐州·中考真题） （2026·江苏苏州·中考真题） （2026·江苏盐城·中考真题） （2025·江苏淮安·中考真题） （2025·江苏镇江·中考真题） （2025·江苏盐城·中考真题） （2025·江苏徐州·中考真题） （2025·江苏宿迁·中考真题） （2025·江苏南通·中考真题） （2025·江苏苏州·中考真题） （2025·江苏连云港·中考真题） （2024·江苏淮安·中考真题） （2024·江苏南通·中考真题） （2024·江苏宿迁·中考真题） （2024·江苏盐城·中考真题） · 情境设置：以江苏各地市中考为绝对主力，情境涵盖生活观察（自行车轮、带电粒子）、新定义问题及常规几何图形，注重真实情境与数学抽象的结合。 · 考查重点：切线的判定与性质为核心，常与圆周角定理、相似三角形、勾股定理综合，强调证明与计算的融合。 · 命题趋势：趋向"新定义+生活情境"包装，弱化单一证明，强化多知识点综合运用与尺规作图能力，突出几何直观与推理素养。 考点01 圆的切线的性质与判定 1．（2024·江苏南京·中考真题）如图，在四边形中，分别与扇形相切于点．若，则的长为（   ） A．8 B． C． D．9 【答案】D 【分析】连接，作于点，由，分别与扇形相切于点，，，得，，，，求得，再证明四边形是矩形，则，，由勾股定理得，求得，即可解答． 【详解】解：连接，作于点， 则， ，分别与扇形相切于点，，，， ，，，， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， 在中，根据勾股定理可得： ， 解得：， 故选：D． 【点睛】此题考查切线的性质定理、切线长定理、勾股定理、矩形的判定与性质等知识点，正确地作出辅助线是解答本题的关键． 2．（2026·江苏连云港·中考真题）【生活观察】 (1)小越将自行车前后轮保持一定角度推行转圈．如图1，他发现前后轮行驶路径可近似抽象为两个同心圆，车轮行驶方向与其行驶路径相切，某时刻的俯视图如图2所示．若前后轮的轴心距（前后轮所在圆的圆心的距离），前轮转向角即，则旋转半径_____． 【类比探究】 (2)小越进一步研究发现，一般家用汽车在转弯行驶时为两轮转向，即汽车的前轮各按一定的转向角行驶．与自行车的转弯行驶类似，四个车轮的行驶路径在理想状态下也可近似抽象为四个同心圆弧，车轮行驶方向与其行驶路径相切（轮胎的宽度忽略不计）． 如图3，某款家用汽车宽约为，轴心距约为．转弯时，若右前轮的转向角即，求此时左前轮的转向角的度数． （参考数据：，，，，） 【综合实践】 (3)如图4，汽车在直角处进行转弯．若（2）中的这款汽车行驶至车前轮所在圆的圆心，与直角拐点共线位置时，其俯视图如图5所示．若路宽均为，车辆左侧与实线的距离为．现右前轮欲以固定转向角转弯行驶，若能规范通过此直角弯道（四轮均不压实线），请直接写出的范围． 【答案】(1)3 (2)此时左前轮的转向角的度数约为 (3) 【分析】（1）根据题求得，根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解； （2）先求得，进而解得出，根据等角的余角相等得出，即可求解； （3）分两种情况讨论，分别求得的最小值和最大值，再求正弦，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ （2）解：由题意得，，， ， 在中， 解得： 在中 ，， 答：此时左前轮的转向角的度数约为 （3）解：如图，连接，设，交于点， 当最大时，点经过点，此时 依题意，， 设，则， 在中， ∴ 解得： ∴，, 在中， ∴ 当最小时，此时转弯后车辆的右侧紧邻道路右侧，如图，过点作垂直于道路右侧 设道路宽为，依题意， ∴ ∴ 综上所述， 3．（2025·江苏无锡·中考真题）如图，与相切于点，连接，过点作的垂线，交于点，连接，交线段于点．若，则的值为___________． 【答案】 【分析】利用平行线的判定与性质证明，再求得，再利用直角三角形的边角关系解答即可． 【详解】解：∵与相切于点B， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆的切线的性质定理，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系，熟练掌握上述定理与性质是解题的关键． 4．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，是的直径，点在的延长线上，与相切于点，若，则______°． 【答案】35 【分析】本题利用了切线的性质，三角形的外角与内角的关系，等边对等角求解．连接，构造直角三角形，利用，从而得出的度数． 【详解】解：连接， 与相切于点， ， ， ； ， ， 故答案为：35 5．（2024·江苏连云港·中考真题）【问题情境】 （1）如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转45°（如图2），这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的__________倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略； 【操作实践】 （2）如图3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边a、b、c、d之间存在某种数量关系．小昕按所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4．请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内一点P为端点的四条线段之间的数量关系； 【探究应用】 （3）如图5，在图3中“④”的基础上，小昕将绕点逆时针旋转，他发现旋转过程中存在最大值．若，，当最大时，求AD的长； （4）如图6，在中，，点D、E分别在边AC和BC上，连接DE、AE、BD．若，，求的最小值． 【答案】（1）2（2）（3）（4） 【分析】（1）利用圆与正多边形的性质分别计算两个正方形的面积可得答案； （2）如图，由，证明，再结合图形变换可得答案； （3）如图，将绕点逆时针旋转，可得在以为圆心，为半径的圆上运动，可得当与相切时，最大，再进一步解答即可； （4）如图，将沿对折，的对应点为，将沿对折，的对应点为，连接，再将沿方向平移，使与重合，如图，得，由（2）可得：，当三点共线时，最短，再进一步解答即可. 【详解】解：如图， ∵正方形，及圆为正方形的内切圆，为正方形的外接正方形， ∴设，， ∴，， ∴，， ∴大正方形面积是小正方形面积的2倍． （2）如图，∵， ∴，， ，， ∴， 如图， 结合图形变换可得：； （3）如图，∵将绕点逆时针旋转， ∴在以为圆心，为半径的圆上运动， ∵为圆外一个定点， ∴当与相切时，最大， ∴， ∴， 由（2）可得：， ∵，， ∴ ， ∴； （4）如图，将沿对折，的对应点为，将沿对折，的对应点为，连接， ∴，， 再将沿方向平移，使与重合，如图，得， 由（2）可得：， ∴当三点共线时，最短， ∵，， ∴，， ∴； ∴的最小值为； 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，轴对称的性质，平移的性质，旋转的性质，圆与正多边形的关系，切线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键. 6．（2026·江苏南通·中考真题）如图，是的直径，为上一点，过点作的切线，交的延长线于点，，垂足为． (1)求证：平分． (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴平分． (2)． 【分析】（1）连接，根据切线性质可知，再由可得，利用等角的余角相等即可得出结论． （2）利用（1）的结论结合，求出，进而求出所对圆心角度数，由此得出结论． 【详解】（1）略 （2）∵，， ∴ 又∵，， ∴， ∴， ∴的长． 7．（2026·江苏无锡·中考真题）如图，是的直径，是的弦，过点的切线交的延长线于点，． (1)求的长； (2)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用切线的性质得到，利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求得，利用直径得，勾股定理计算． （2）通过转化思想，计算． 【详解】（1）解：连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵与相切于点， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，． （2）解：连接， ，， ∴，， ， ， ． 8．（2026·江苏扬州·中考真题）如图，在中，，．以边上的点为圆心，长为半径的与边的另一交点为，为的切线． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出符合条件的（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)解：如下图所示． 作法：（1）作，边交于点； （2）作的垂直平分线，交于点； （3）连接，则；（4）以为半径作． (2) 【分析】（1）先作交于点，再作的垂直平分线，交于点，以为半径作即可； （2）由已知条件先求，进一步可求长度，长度，均可求，最后借助勾股定理可求半径长度． 【详解】（1）作图见答案， 证明：， ， 为垂直平分线， ， ， ， ， ， ， ， 为半径，点在圆上， 为切线． （2）， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即半径为． 9．（2026·江苏宿迁·中考真题）如图，点在以为直径的上，连接并延长至点，使，连接交于点，延长至点，连接，使． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：连接，如图： ∵是的直径，且点在上， ∴，即， 又∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， 在等腰中，， ∴， ∴， ∵是的直径，且点在上， ∴是的切线 (2) 【分析】（1）由是直径，根据直径所对的圆周角为直角，得到，结合条件，可知既是边上的高，又是边上的中线，由此得到，设，结合已知角的倍数关系得到，利用等腰三角形内角和求出，计算推出，根据切线的判定定理证明是的切线； （2）已经得到，设，利用勾股定理列方程，求解得到与的长度，连接，再次利用直径所对圆周角是直角，得，用直角三角形面积的两种表达方式，面积法求出线段，最后在中，再通过勾股定理计算的长． 【详解】（1）略； （2）解：设， 由（1）知，， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵，且， ∴， 解得， ∴，， 连接，如图： ∵是的直径，且点在上， ∴，即， ∵， ∴，即， 解得， ∵在中，， ∴． 【点睛】三角形同一条边上高线与中线重合，可以判定该三角形为等腰三角形，题目出现直径优先使用直径所对圆周角为直角，直角三角形可以利用面积法求斜边上的高． 10．（2026·江苏徐州·中考真题）如图，在中，，．点在边上，．以为圆心，为半径作圆，与边交于点．过作的切线，与边交于点，连接．    (1)求证：是等腰三角形； (2)随着长度的变化，是否存在最小值？是否存在最大值？若存在，求出相应的最值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明：如图，连接， 与相切于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形． (2)解：存在最小值，存在最大值，理由如下： 如图，延长到点，使，连接，， 则， ． 在中，， ， ，， ， 易知当最大时，取最小值， 当最大时，取最小值， 在中，， 易知当取最小值时，最大， 点在上，点是定点， 当点与点重合时，取最小值，如图， 此时，， 在中，， ， 即的最小值为． 在中，，， ， 即， 当取最小值时，取最大值，为． 【分析】（1）考查圆的切线性质，直角三角形两锐角互余，等腰三角形的性质与判定．连接，利用切线性质可以得到，推出与互余，再结合得到，又因为在中，与互余，因此可以推出，从而证明是等腰三角形； （2）延长到点，使，连接，则可转化为求的长，然后利用解直角三角形分析和中随的变化关系，确定当取最小值时，即点与点重合时，取得最小值，再在中使用勾股定理求得的长，进而求得的最小值，最后将勾股定理与平方差公式结合得到，利用两者之积为定值，从而求出的最大值． 【详解】（1）略． （2）略． 11．（2026·江苏苏州·中考真题）如图，是以为直径的外一点，为上的一点，是的切线，，为的中点，连接交于． (1)求证：是的切线； (2)若，． ①求的长； ②求的值． 【答案】(1)证明：为的切线， ， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵在和中， ∴， ∴． 是的半径， 为的切线． (2)；② 【分析】（1）由为的切线，得到．根据平行线的性质得到，结合，得到，从而证明，因此，即可得证结论； （2）①连接，通过解直角三角形得到，因此，由是的直径得到，在中解直角三角形即可求解； ②方法一：取的中点，连接，则，根据得到，根据三角形中位线的性质得到，．证明，得出，进而可求出，从而在中，根据正切的定义即可求解； 方法二：过点作，交的延长线于点．证明，根据相似三角形的对应边成比例求出，进而求出．再证明，求出，即可求出，从而在中，根据正切的定义即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：连接． ∵在中，，， ∴， ． ∵， ∴ 是的直径， ∴，． ∴． ②方法一：取的中点，连接，则． ， ∴． ∵点分别为的中点， 是的中位线， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ． ∴在中，． 方法二：过点作，交的延长线于点． ． ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． ， ∴． ∴在中，． 12．（2026·江苏盐城·中考真题）小明看到一个有趣的现象：在如图1所示的装置中，带电粒子绕圆运动． 【新定义】 人站在射线端点处，看向射线的延伸方向时，人的右侧称为这条射线的右侧． 一个动点，从一条确定的射线端点出发，在射线的右侧，以该射线所在的直线为切线，端点为切点，顺时针方向做圆周运动，称这个点的运动为“射线·圆”运动，这个点运动所形成的图形叫作“射线·圆”． 如图2，动点从确定的射线的端点出发，在射线的右侧，沿顺时针方向做圆周运动，圆与射线所在的直线相切于点，那么点的运动就是“射线·圆”运动，图中的圆就是“射线·圆”． 【理解】 (1)请用直尺和圆规作图，探索下列问题．（不写作法，保留作图痕迹） ①如图3，任作一条端点为的射线，再作动点关于射线的半径为的“射线·圆”． ②如图4，已知端点为的射线和直线，．动点从点出发做“射线·圆”运动，当动点落在直线上时停止运动．在直线上作出到点距离最大的点的位置． 【运用】 (2)如图5，点到直线的距离为．从点出发的动点做半径为的“射线·圆”运动，当动点落在直线上时停止运动．在动点落在直线上的所有可能的位置中，求间距最大的两个位置之间的距离． 【答案】(1)①如图即为所求； ②如图即为所求． (2) 【分析】（1）①理解“射线·圆”的两个要素是相切和右侧，以P为端点，作一条射线，反向延长该射线，过点P作这条射线的垂线，再在垂线上截取长为的线段即可得到圆心，最后画圆即可，注意圆的位置要在射线的右侧； ②当点M为“射线·圆”与直线a的切点时，的长最大，易证此时“射线·圆”的圆心，点M，N，l与a的交点组成的四边形是正方形，故补全射线l，以该交点为圆心作半径为点N到直线a的距离的圆，圆与直线a的交点即为点M的位置． （2）由题意可知“射线·圆”的圆心在以点A为圆心，为半径的圆上运动，由于点Q是顺时针旋转，所以点Q始终为与直线的交点中靠右侧的点，分两种情况讨论，当点Q在点A左侧时，过点A作直线b的垂线，只需要找到一侧点Q到该垂线的距离的最大值时的位置即可，同（1）的思路，根据图象，利用圆的性质判断出“射线·圆”与直线b相切时取得最大值，再计算对应间距即可；当点Q在点A右侧时，根据点圆最值，可知的最大值为直径，计算此时的间距，然后相加即可得到结果． 【详解】（1）解：①略； ②如答案所示，补全射线l，得到l与a的交点，以该交点为圆心，点N到直线a的距离为半径作弧，交点即为点M的位置，理由如下： 如图，补全射线l，交直线a于点A，作“射线·圆”，记圆心为O，连接，过点M作， 由题意，，设两平行线间的距离为h，则，设“射线·圆”的半径为r， 又M为“射线·圆”与直线的交点， ∴， 设，则， ∴， ∵，， 又， ∴当越大，即当越大，越大，越小， 又h是定值，， ∴当时，最大，此时，， ∴四边形是正方形，，故在直线a上作即可得到点M； （2）解：如图，设“射线·圆”的圆心为O，由题意可知，，故点O在以A为圆心，半径为的圆上运动， 当圆心O在点A的左侧时，按照题意作与直线相切，切点记为Q，作，与直线b的交点（靠近点A处）为点，作， 由图，及圆的性质可知，当在O的下方时，点始终在Q的右侧， ∴当与直线b相切时，取得最大值， 如图，作，则四边形是矩形， ∴，， ∴，， 当圆心O在点A的右侧时，由圆的性质，可知，当为直径时，的值最大，即的值最大， 此时， 故间距最大的两个位置之间的距离为． 13．（2025·江苏淮安·中考真题）如图，是半圆O的直径，点C是弦延长线上一点，连接，． (1)求证：是的切线； (2)连接，若，，求扇形的面积． 【答案】(1) 证明：∵是半圆O的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵为半径， ∴是的切线； (2) 【分析】（1）先根据圆周角定理得到，则，再由即可证明，即可证明是的切线； （2）先根据圆周角定理得到，再由扇形面积公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴扇形的面积． 【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的判定，直角三角形的性质，扇形面积的求解，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 14．（2025·江苏镇江·中考真题）如图（1），过外一点引的两条切线、，切点是、，为锐角，连接并延长与交于点，点在的延长线上，过点作的垂线，与的延长线相交于点、垂足为． (1)求证：是等腰三角形； (2)在图（2）中作，满足（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (3)已知，在你所作的中，若，求的长． 【答案】(1) 证明：∵是的两条切线，切点是， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由对顶角相等得：， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． (2) 如图，即为所作． (3) 【分析】（1）先根据切线长定理、切线的性质定理可得，，再证出，根据等腰三角形的判定可得，由此即可得证； （2）先在的延长线上作，再过点作的垂线，与的延长线相交于点、垂足为，由直角三角形的斜边中线的性质即可得； （3）过点作于点，过点作于点，先解直角三角形可得，再设，则，，，在中，利用勾股定理可得，则可得，，然后证出，根据相似三角形的性质可得的长，最后根据即可得． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，过点作于点，过点作于点， ∵是的两条切线，切点是， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴在中，，即， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴，， ∵在等腰中，，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了切线长定理、切线的性质定理、作垂线、解直角三角形、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握切线长定理和解直角三角形的方法是解题关键． 15．（2025·江苏盐城·中考真题）如图，是的弦，过点作直线，以为顶点作，分别交、于点、，若． (1)试判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若的半径为3，，求的长． 【答案】(1) 解：与相切； 理由如下：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵为半径， ∴与相切； (2) 【分析】本题考查了切线的判定，等边对等角，正切的定义，勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解题的关键． （1）连接，根据等边对等角可得，，进而根据，得出，即可得出结论； （2）根据已知可得，进而设，，在中，，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如（1）图，， ∵的半径为3， ∴ ∵，， ∴， ∴， 设，， 在中，， ∴ 解得： ∴． 16．（2025·江苏徐州·中考真题）如图，为正三角形的外接圆，直线经过点C，． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若圆的半径为2，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)直线与相切， 理由如下： 如图，连接， 是正三角形， ， 为正三角形的外接圆的圆心， ∴也是正三角形的内接圆的圆心， 平分， ， ， ， ， 是半径， 直线与相切； (2) 【分析】（1）由正三角形的性质可得，由平行线的性质可得，求出，可证直线与相切； （2）由圆周角定理得，根据阴影部分的面积等于，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接，作于点H， ， ， ． ，， ，， ， ， ． 图中阴影部分的面积为：． 【点睛】本题考查切线的判定，正三角形的性质，圆周角定理，垂径定理，圆中弓形面积的计算，熟练掌握切线的判定定理，并根据题意得到阴影部分的面积为是解题的关键． 17．（2025·江苏宿迁·中考真题）如图，点在上，点在外，线段与交于点，过点作的切线交直线于点，且． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)直线与相切， 理由， 如图，连接，， ∵直线与相切， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵是半径， ∴直线与相切； (2)． 【分析】（）连接，，由直线与相切，可得，证明，则，然后通过切线的判定方法即可求证； （）由（）得，，则，，所以，通过直角三角形性质得，由勾股定理得，最后通过即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由（）得，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，扇形面积，直角三角形性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 18．（2025·江苏南通·中考真题）如图，与相切于点，为的直径，点在上，连接，且． (1)连接，求证：； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) 证明：如图，连接， ∵与相切， ∴， ∴， 在和中 ∴ ∴， ∴； (2)． 【分析】（1）利用切线性质得，再通过证明，从而推出； （2）先结合已知角度推出相关角的度数，确定为等边三角形，求出圆的半径，再根据平行线间面积关系，将阴影部分面积转化为扇形的面积进行计算． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴为等边三角形， ∴， 由（1）可知：， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查圆的切线性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及扇形面积计算，熟练掌握圆的切线垂直于过切点的半径、全等三角形判定定理、等边三角形判定与性质及扇形面积公式是解题的关键． 19．（2025·江苏苏州·中考真题）如图，在四边形中，．以为直径的经过点D，且与边交于点E，连接． (1)求证：为的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴为的切线； (2)． 【分析】（1）只要证明，即可证明为的切线； （2）过点D作，垂足为F，在中，，，，求得，，在中，，，，求得，再根据圆内接四边形的性质结合等边对等角求得，据此求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，过点D作，垂足为F， ∵， ∴， ∴， ∵中，，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵中，，，， ∴， ∵，， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，切线的判定，解直角三角形的应用．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 20．（2025·江苏连云港·中考真题）已知是的高，是的外接圆． (1)请你在图1中用无刻度的直尺和圆规，作的外接圆（保留作图痕迹，不写作法）； (2)如图2，若的半径为，求证：； (3)如图3，延长交于点，过点的切线交的延长线于点．若，，，求的长． 【答案】(1) 如图所示，为所求： (2) 证明：如图2，作的直径，连接， ∴，， ∵是的高， ∴． ∵， ∴． ∴，即， ∴． (3) 【分析】本题考查了作三角形的外接圆，相似三角形的性质与判定，切线的性质，解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）分别作的垂直平分线交于点，以为半径作圆，即可求解． （2）作的直径，连接，证明，根据相似三角形的性质，即可求解； （3）连接，根据为的切线，得出，进而证明是等边三角形，得出，在，中分别求得，根据（2）的结论求得，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）如图3，连接， ∵为的切线， ∴． ∵，， ∴， ∴，． ∵， ∴是等边三角形，， ∴，， ∴． 在中，，，， ∴，， 在中，， 在中，， 代入，得， 即． 21．（2024·江苏淮安·中考真题）如图，在中，，以为直径作交于点，过点作，垂足为，延长交的延长线于点． (1)求证：为的切线； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查的是切线的判定和性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形． （1）连接，根据圆周角定理得到，推出，根据等腰三角形三线合一得，根据三角形的中位线可得，所以得，从而根据切线的判定可得结论； （2）证明，求出，再证明，求出，利用正弦的定义即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， 是的直径， ， ， ， ，即点D为中点， ，即点O为中点， ， ， ， 是的半径， 是的切线． （2）解：由（1）知， ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∵， ， ∴，即， ∴（负值舍去）， ∴． 22．（2024·江苏南通·中考真题）如图，中，，，，与相切于点D．    (1)求图中阴影部分的面积； (2)设上有一动点P，连接，．当的长最大时，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了切线的性质，勾股定理的逆定理，扇形的面积公式等知识，解题的关键是： （1）连接，利用勾股定理的逆定理判定得出，利用切线的性质得出，利用等面积法求出，然后利用求解即可； （2）延长交于P，连接，则最大，然后在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解∶连接，    ∵，，， ∴， ∴， ∵与相切于D， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解∶延长交于P，连接，此时最大，    由（1）知：，， ∴． 23．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在中，是直径，是弦，且，垂足为，，，在的延长线上取一点，连接，使．    (1)求证：是的切线； (2)求的长． 【答案】(1) 证明：连接，   ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； (2) 【分析】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）连接，根据等腰三角形的性质得到，等量代换得到，得到，根据切线的判定定理得到结论； （2）根据垂径定理得到，根据勾股定理得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）解：是直径，是弦，且， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 24．（2024·江苏盐城·中考真题）如图，点C在以为直径的上，过点C作的切线l，过点A作，垂足为D，连接． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1) 证明：连接，如图所示： ∵是的切线，点C在以为直径的上， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】题目主要考查切线的性质，相似三角形的判定和性质及勾股定理解三角形，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． （1）连接，根据题意得，，利用等量代换确定，再由相似三角形的判定即可证明； （2）先由勾股定理确定，然后利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， 由（1）得， ∴即， ∴， ∴的半径为． 1．（2026·江苏宿迁宿城区·中考模拟）如图，为的直径，为的弦，交于点，延长至点，连接并延长与的延长线交于点，． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）如图，连接，由得，又，故，又，故，即，因此，故为的切线； （2）设，由，得，，从而，在中，，故，在中，，，，解得，或（舍去），故． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， ， ， ， ，即，， ， 为的切线； （2）解：设， ，， ，， ， 在中，， ， 在中，，， ，解得，或（舍去）， ． 2．（2026·江苏徐州铜山区·中考模拟）如图，在中，，的平分线交于点D，点O是边上一点，以点O为圆心、长为半径作圆，恰好经过点D，交于点E． (1)求证：直线是的切线； (2)若点E为的中点，，求阴影部分的面积． 【答案】(1) 证明：如图所示，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； (2)阴影部分的面积为 【分析】本题主要考查了求不规则图形面积，解直角三角形，切线的判定等，熟知相关知识是解题的关键． （1）连接，由角平分线的定义得到，再由等边对等角得到，则，据此可证明，得到，由此可证明是的切线； （2）根据线段之间的关系证明，解直角三角形可得，则可求出，再根据列式计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵点E为的中点， ∴， ∵， ∴， 由（1）可得， 在中，， ∴， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 2 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题19圆的综合题 3年真题1年模拟 中考命题透析园 考点分类 江苏考情（2024-2026) 命题规律 (2024江苏南京·中考真题) (2026·江苏连云港·中考真 题) (2025江苏无锡·中考真 题) (2024江苏徐州中考真 题) (2024江苏连云港中考 真题) (2026~江苏南通中考 真题) (2026-江苏无锡·中考 真题) (2026江苏扬州中考 真题) (2026~江苏宿迁·中考 真题) (2026江苏徐州中考 ·情境设置：以江苏各地市中考为绝对主力，情境涵盖生活观察 真题) (2026:江苏苏州中考 (自行车轮、带电粒子)、新定义问题及常规几何图形，注重 真题) (2026江苏盐城中考 真实情境与数学抽象的结合。·考查重点：切线的判定与性质 考点01圆的切线的 真题) (2025江苏淮安·中考 为核心，常与圆周角定理、相似三角形、勾股定理综合，强调 性质与判定 真题) (2025·江苏镇江·中考 证明与计算的融合。·命题趋势：趋向”新定义+生活情境”包 真题) (2025江苏盐城中考 装，弱化单一证明，强化多知识点综合运用与尺规作图能力， 真题) (2025江苏徐州中考 突出几何直观与推理素养。 真题) (2025江苏宿迁·中考 真题) (2025·江苏南通中考 真题) (2025江苏苏州中考 真题) (2025·江苏连云港·中 考真题) (2024江苏淮安·中 考真题) (2024江苏南通中 考真题) (2024江苏宿迁·中 考真题) (2024江苏盐城·中 考真题) 1/14 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 三年真题分类园 6考点01圆的切线的性质与判定 1. (2024江苏南京·中考真题)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,AD,CD分别与扇形BAF相切于点 A,E AB=15,BC=17 ,则D的长为《) B A.8 B.8.5 C.53 D.9 2.(2026江苏连云港·中考真题)【生活观察】 2/14 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 0 B ._d A 图1 图2 图3 5m 7777777777777777 3m B 2m 图4 图5 (1)小越将自行车前后轮保持一定角度推行转圈.如图1，他发现前后轮行驶路径可近似抽象为两个同心圆， 车轮行驶方向与其行驶路径相切，某时刻的俯视图如图2所示.若前后轮的轴心距（前后轮所在圆的圆心 的距离)AB=1.5m,前轮转向角0即∠CBD=30°，则旋转半径OB=m. 【类比探究】 (2)小越进一步研究发现，一般家用汽车在转弯行驶时为两轮转向，即汽车的前轮各按一定的转向角行驶 与自行车的转弯行驶类似，四个车轮的行驶路径在理想状态下也可近似抽象为四个同心圆弧，车轮行驶方 向与其行驶路径相切（轮胎的宽度忽略不计）· 如图3，某款家用汽车宽AB约为2m,轴心距BC约为3m.转弯时，若右前轮的转向角8即 ∠ECF=20.6°，求此时左前轮的转向角∠GDH的度数. (参考数据：tan20.6°≈3 an26.6°≈ 2,sin20.6°≈ 25,tan33.6°≈2 ,，tan18.5°≈ 3) 【综合实践】 3)如图4，汽车在直角处进行转弯.若(2)中的这款汽车行驶至车前轮所在圆的圆心C，D与直角拐点 5m PO ,1m 共线位置时，其俯视图如图5所示.若路宽均为，车辆左侧与实线的距离为“.现右前轮欲以 3/14 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 固定转向角8转弯行驶，若能规范通过此直角弯道（四轮均不压实线），请直接写出s8的范围。 3.(2025江苏无锡中考真题)如图，AB与⊙0相切于点B,连接B0,过点O作BO的垂线OC,交 ⊙0 C AC OB D AB=3,OC=2 tanA 于点，连接心，交线段于点.若 ,则 的值为 4.(2024江苏徐州中考真题)如图，AB是⊙0的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D, 若∠C=20°，则∠CAD=° D 5.(2024江苏连云港中考真题)【问题情境】 (1)如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面 积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转45°（如图2），这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的 倍.由此可见，图形变化是解决问题的有效策略： 图1 图2 【操作实践】 (2)如图3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边a、b、c、d之间存在某种数量关系.小昕按所 示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4，请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内一点P为 端点的四条线段之间的数量关系； 4/14 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 合朵合关X 图3 图4 【探究应用】 (3)如图5，在图3中“④”的基础上，小昕将△PDC绕点P逆时针旋转，他发现旋转过程中∠DAP存在 最大值.若PE=8,PF=5,当∠DAP最大时，求AD的长： E 图5 (4)如图6，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D、E分别在边AC和BC上，连接DE、AE、BD.若 AC+CD=5,BC+CE=8,求AE+BD的最小值. B D C 图6 6.(2026江苏南通中考真题)如图，AB是⊙0的直径，C为⊙0上一点，过点C作⊙0的切线，交BA 的延长线于点D,CE⊥AB,垂足为E. B A E (I)求证：CA平分∠DCE 5/14 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ②若DC1=25°，4B=6,求4C的长. 7.(2026江苏无锡中考真题)如图，AB是⊙O的直径，AD是⊙O的弦，过点B的切线交AD的延长线 于点C,AD=DC=1 I)求BC的长： (2)求图中阴影部分的面积. 8.(2026江苏扬州中考真题)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC>∠BAC.以AB边上的点O为 圆心，OA长为半径的⊙O与AC边的另一交点为D,BD为⊙O的切线. B C (1)请用无刻度的直尺和圆规作出符合条件的⊙0（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）： 2)若AC=4, tan∠BAC= 2,求⊙0的半径. 9. (2026江苏宿迁中考真题)如图，点C在以AB为直径的⊙0上，连接AC并延长至点D,使 DC=4C,连接BD交O0于点E,延长BD至点F,连接MF,使∠FMD-ABD. D 6/14 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)求证：FA是⊙0的切线； (2)若FD=4,FA=8,求BE的长. 10.(2026江苏徐州中考真题)如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=5.点O在边BC上，OC=2. 以O为圆心，OC为半径作圆，与边AC交于点D.过D作⊙O的切线，与边AB交于点E,连接OE. D (I)求证：△ADE是等腰三角形； (②)随着AB长度的变化，OE+AE是否存在最小值？OE-AE是否存在最大值？若存在，求出相应的最值： 若不存在，请说明理由 11.(2026江苏苏州中考真题)如图，P是以AB为直径的⊙0外一点，C为⊙0上的一点，PA是⊙0 的切线，BCI‖OP,D为OB的中点，连接DP交OC于E. (I)求证：PC是⊙O的切线： (2)若0A=2,PA=4. ①求BC的长： ②求tan∠PEC的值. 12.(2026江苏盐城中考真题)小明看到一个有趣的现象：在如图1所示的装置中，带电粒子绕圆运动. 【新定义】 7/14 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 人站在射线端点处，看向射线的延伸方向时，人的右侧称为这条射线的右侧. 个动点，从一条确定的射线端点出发，在射线的右侧，以该射线所在的直线为切线，端点为切点，顺时 针方向做圆周运动，称这个点的运动为“射线·圆”运动，这个点运动所形成的图形叫作“射线圆”， 如图2，动点Q从确定的射线的端点P出发，在射线的右侧，沿顺时针方向做圆周运动，圆与射线所 在的直线相切于点P,那么点的运动就是“射线圆”运动，图中的圆就是“射线圆”. 1.5cm 6 图1 图2 图3 图4 图5 【理解】 ()请用直尺和圆规作图，探索下列问题.（不写作法，保留作图痕迹） ①如图3，任作一条端点为P的射线l,再作动点关于射线l的半径为l.5cm的“射线圆”. ②如图4，已知端点为N的射线I和直线a,I上a.动点M从点N出发做“射线圆”运动，当动点M落 在直线a上时停止运动.在直线a上作出到点N距离最大的点M的位置. 【运用】 (2)如图5，点A到直线b的距离为2cm.从点A出发的动点Q做半径为3cm的“射线圆”运动，当动点 Q落在直线b上时停止运动.在动点Q落在直线b上的所有可能的位置中，求间距最大的两个位置之间的 距离 13.(2025江苏淮安中考真题)如图，AB是半圆O的直径，点C是弦AD延长线上一点，连接CB、BD, ∠CBD=∠CAB (I)求证：BC是⊙O的切线： (2)连接OD,若∠CAB=30°，AB=4,求扇形OBD的面积. 8/14 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 14.(2025江苏镇江·中考真题)如图(1)，过⊙0外一点M引⊙0的两条切线MA、MB,切点是A、 B,∠AMB为锐角，连接MO并延长与⊙O交于点N,点P在MN的延长线上，过点P作MA的垂线，与 BO的延长线相交于点E、垂足为F. y M B 图(1) 图(2) ()求证：△EOP是等腰三角形： (②)在图(2)中作△EOP,满足OP=OF(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)： 3)已 sin∠AMB= 3,在你所作的△EOP中，若PF=2,求OE的长. 15.(2025·江苏盐城中考真题)如图，AB是⊙0的弦，过点B作直线EF,以O为顶点作∠AOC=90°， 分别交EF、AB于点C、D,若CB=CD E C B (1)试判断直线EF与OO的位置关系，并说明理由； @若0O的径为3，m∠0D-片，求BC的长。 16.(2025江苏徐州：中考真题)如图，⊙0为正三角形ABC的外接圆，直线CD经过点C,CD∥AB. 9/14 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A 0。 B D (I)判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由： (2)若圆的半径为2，求图中阴影部分的面积. 17.(2025江苏宿迁中考真题)如图，点A在⊙0上，点B在⊙0外，线段OB与⊙0交于点C,过点C 作OO的切线交直线AB于点D,且AD=CD. D B (1)判断直线AB与⊙O的位置关系，并说明理由： (②)若∠B=30°，CD=4,求图中阴影部分的面积. 18.(2025江苏南通中考真题)如图，PA与⊙0相切于点A,AC为⊙0的直径，点B在⊙0上，连接 PB,PC PA=PB ，且 B (I)连接OB，,求证：OB⊥PB 2)若∠APB=60°PA=2V5 求图中阴影部分的面积. 10/14 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 19.(2025江苏苏州中考真题)如图，在四边形ABCD中，BD=CD,∠C=∠BAD.以AB为直径的 ⊙0 CD AE,BE 经过点D,且与边交于点E,连接 E D O (I)求证：BC为⊙O的切线： (2)若 B=Vio,sin∠AED=id 10,求BE的长. 20.(2025江苏连云港中考真题)己知AD是△ABC的高，⊙0是△ABC的外接圆. O B B D D E 图1 图2 图3 (I)请你在图1中用无刻度的直尺和圆规，作△ABC的外接圆（保留作图痕迹，不写作法）； ②面图2，若o0的半径为R,求证：R=1CA9 2AD 6如图3，延长1D交00于点5，过点E的切线交0C的延长线于点P.若8C=7,0=35 ∠ACB=60°，求CF的长. 21.(2024江苏准安中考真题)如图，在△ABC中，BA=BC,以AB为直径作O0交AC于点D,过点 D作DE⊥BC,垂足为E,延长DE交AB的延长线于点F. 11/14 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ⊙ E (I)求证：DF为⊙O的切线： (②)若BE=l,BF=3,求sinC的值. 22.(2024江苏南通中考真题)如图，△ABC中，AB=3,AC=4,BC=5,⊙A与BC相切于点D. B D (1)求图中阴影部分的面积： (②)设OA上有一动点P,连接CP,BP.当CP的长最大时，求BP的长. 23.(2024江苏宿迁·中考真题)如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，且AB⊥CD,垂足为E, AB=20,CD=12,在BA的延长线上取一点F,连接CF,使LFCD=2LB. C B D (1)求证：CF是⊙O的切线： (2)求EF的长. 24.(2024江苏盐城中考真题)如图，点C在以AB为直径的⊙0上，过点C作⊙0的切线L,过点A作 AD⊥I,垂足为D,连接AC、BC 12/14 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 O D (I)求证：△ABC∽△ACD: (2)若AC=5,CD=4,求⊙0的半径 一年模拟练测园 1.(2026江苏宿迁宿城区中考模拟)如图，AB为⊙O的直径，AC为⊙0的弦，OD⊥AB交AC于点D, 延长AB至点F,连接FC并延长与OD的延长线交于点E,∠ECD=∠EDC. B (1)求证：EF为OO的切线： ②若osLE=,D=85,求CE的长 2.(2026江苏徐州铜山区·中考模拟)如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点 D,点O是边AB上一点，以点O为圆心、OB长为半径作圆，⊙O恰好经过点D,交AB于点E. B (I)求证：直线AC是OO的切线： 13/14 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (②)若点E为AO的中点，AD=6,求阴影部分的面积. 14/14 专题19 圆的综合题 3年真题1年模拟·答案版 考点01 圆的切线的性质与判定 1．D 2．(1)3 (2)此时左前轮的转向角的度数约为 (3) 3． 4．35 5．（1）2（2）（3）（4） 6．【答案】(1)证明：连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴平分． (2)． 【分析】（1）连接，根据切线性质可知，再由可得，利用等角的余角相等即可得出结论． （2）利用（1）的结论结合，求出，进而求出所对圆心角度数，由此得出结论． 【详解】（1）略 （2）∵，， ∴ 又∵，， ∴， ∴， ∴的长． 7．【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用切线的性质得到，利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求得，利用直径得，勾股定理计算． （2）通过转化思想，计算． 【详解】（1）解：连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵与相切于点， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，． （2）解：连接， ，， ∴，， ， ， ． 8．【答案】(1)解：如下图所示． 作法：（1）作，边交于点； （2）作的垂直平分线，交于点； （3）连接，则；（4）以为半径作． (2) 【分析】（1）先作交于点，再作的垂直平分线，交于点，以为半径作即可； （2）由已知条件先求，进一步可求长度，长度，均可求，最后借助勾股定理可求半径长度． 【详解】（1）作图见答案， 证明：， ， 为垂直平分线， ， ， ， ， ， ， ， 为半径，点在圆上， 为切线． （2）， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即半径为． 9．【答案】(1)证明：连接，如图： ∵是的直径，且点在上， ∴，即， 又∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， 在等腰中，， ∴， ∴， ∵是的直径，且点在上， ∴是的切线 (2) 【分析】（1）由是直径，根据直径所对的圆周角为直角，得到，结合条件，可知既是边上的高，又是边上的中线，由此得到，设，结合已知角的倍数关系得到，利用等腰三角形内角和求出，计算推出，根据切线的判定定理证明是的切线； （2）已经得到，设，利用勾股定理列方程，求解得到与的长度，连接，再次利用直径所对圆周角是直角，得，用直角三角形面积的两种表达方式，面积法求出线段，最后在中，再通过勾股定理计算的长． 【详解】（1）略； （2）解：设， 由（1）知，， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵，且， ∴， 解得， ∴，， 连接，如图： ∵是的直径，且点在上， ∴，即， ∵， ∴，即， 解得， ∵在中，， ∴． 【点睛】三角形同一条边上高线与中线重合，可以判定该三角形为等腰三角形，题目出现直径优先使用直径所对圆周角为直角，直角三角形可以利用面积法求斜边上的高． 10．【答案】(1)证明：如图，连接， 与相切于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形． (2)解：存在最小值，存在最大值，理由如下： 如图，延长到点，使，连接，， 则， ． 在中，， ， ，， ， 易知当最大时，取最小值， 当最大时，取最小值， 在中，， 易知当取最小值时，最大， 点在上，点是定点， 当点与点重合时，取最小值，如图， 此时，， 在中，， ， 即的最小值为． 在中，，， ， 即， 当取最小值时，取最大值，为． 【分析】（1）考查圆的切线性质，直角三角形两锐角互余，等腰三角形的性质与判定．连接，利用切线性质可以得到，推出与互余，再结合得到，又因为在中，与互余，因此可以推出，从而证明是等腰三角形； （2）延长到点，使，连接，则可转化为求的长，然后利用解直角三角形分析和中随的变化关系，确定当取最小值时，即点与点重合时，取得最小值，再在中使用勾股定理求得的长，进而求得的最小值，最后将勾股定理与平方差公式结合得到，利用两者之积为定值，从而求出的最大值． 【详解】（1）略． （2）略． 11．【答案】(1)证明：为的切线， ， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵在和中， ∴， ∴． 是的半径， 为的切线． (2)；② 【分析】（1）由为的切线，得到．根据平行线的性质得到，结合，得到，从而证明，因此，即可得证结论； （2）①连接，通过解直角三角形得到，因此，由是的直径得到，在中解直角三角形即可求解； ②方法一：取的中点，连接，则，根据得到，根据三角形中位线的性质得到，．证明，得出，进而可求出，从而在中，根据正切的定义即可求解； 方法二：过点作，交的延长线于点．证明，根据相似三角形的对应边成比例求出，进而求出．再证明，求出，即可求出，从而在中，根据正切的定义即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：连接． ∵在中，，， ∴， ． ∵， ∴ 是的直径， ∴，． ∴． ②方法一：取的中点，连接，则． ， ∴． ∵点分别为的中点， 是的中位线， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ． ∴在中，． 方法二：过点作，交的延长线于点． ． ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． ， ∴． ∴在中，． 12．【答案】(1)①如图即为所求； ②如图即为所求． (2) 【分析】（1）①理解“射线·圆”的两个要素是相切和右侧，以P为端点，作一条射线，反向延长该射线，过点P作这条射线的垂线，再在垂线上截取长为的线段即可得到圆心，最后画圆即可，注意圆的位置要在射线的右侧； ②当点M为“射线·圆”与直线a的切点时，的长最大，易证此时“射线·圆”的圆心，点M，N，l与a的交点组成的四边形是正方形，故补全射线l，以该交点为圆心作半径为点N到直线a的距离的圆，圆与直线a的交点即为点M的位置． （2）由题意可知“射线·圆”的圆心在以点A为圆心，为半径的圆上运动，由于点Q是顺时针旋转，所以点Q始终为与直线的交点中靠右侧的点，分两种情况讨论，当点Q在点A左侧时，过点A作直线b的垂线，只需要找到一侧点Q到该垂线的距离的最大值时的位置即可，同（1）的思路，根据图象，利用圆的性质判断出“射线·圆”与直线b相切时取得最大值，再计算对应间距即可；当点Q在点A右侧时，根据点圆最值，可知的最大值为直径，计算此时的间距，然后相加即可得到结果． 【详解】（1）解：①略； ②如答案所示，补全射线l，得到l与a的交点，以该交点为圆心，点N到直线a的距离为半径作弧，交点即为点M的位置，理由如下： 如图，补全射线l，交直线a于点A，作“射线·圆”，记圆心为O，连接，过点M作， 由题意，，设两平行线间的距离为h，则，设“射线·圆”的半径为r， 又M为“射线·圆”与直线的交点， ∴， 设，则， ∴， ∵，， 又， ∴当越大，即当越大，越大，越小， 又h是定值，， ∴当时，最大，此时，， ∴四边形是正方形，，故在直线a上作即可得到点M； （2）解：如图，设“射线·圆”的圆心为O，由题意可知，，故点O在以A为圆心，半径为的圆上运动， 当圆心O在点A的左侧时，按照题意作与直线相切，切点记为Q，作，与直线b的交点（靠近点A处）为点，作， 由图，及圆的性质可知，当在O的下方时，点始终在Q的右侧， ∴当与直线b相切时，取得最大值， 如图，作，则四边形是矩形， ∴，， ∴，， 当圆心O在点A的右侧时，由圆的性质，可知，当为直径时，的值最大，即的值最大， 此时， 故间距最大的两个位置之间的距离为． 13．【答案】(1) 证明：∵是半圆O的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵为半径， ∴是的切线； (2) 【分析】（1）先根据圆周角定理得到，则，再由即可证明，即可证明是的切线； （2）先根据圆周角定理得到，再由扇形面积公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴扇形的面积． 【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的判定，直角三角形的性质，扇形面积的求解，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 14．【答案】(1) 证明：∵是的两条切线，切点是， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由对顶角相等得：， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． (2) 如图，即为所作． (3) 【分析】（1）先根据切线长定理、切线的性质定理可得，，再证出，根据等腰三角形的判定可得，由此即可得证； （2）先在的延长线上作，再过点作的垂线，与的延长线相交于点、垂足为，由直角三角形的斜边中线的性质即可得； （3）过点作于点，过点作于点，先解直角三角形可得，再设，则，，，在中，利用勾股定理可得，则可得，，然后证出，根据相似三角形的性质可得的长，最后根据即可得． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，过点作于点，过点作于点， ∵是的两条切线，切点是， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴在中，，即， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴，， ∵在等腰中，，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了切线长定理、切线的性质定理、作垂线、解直角三角形、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握切线长定理和解直角三角形的方法是解题关键． 15．【答案】(1) 解：与相切； 理由如下：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵为半径， ∴与相切； (2) 【分析】本题考查了切线的判定，等边对等角，正切的定义，勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解题的关键． （1）连接，根据等边对等角可得，，进而根据，得出，即可得出结论； （2）根据已知可得，进而设，，在中，，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如（1）图，， ∵的半径为3， ∴ ∵，， ∴， ∴， 设，， 在中，， ∴ 解得： ∴． 16．【答案】(1)直线与相切， 理由如下： 如图，连接， 是正三角形， ， 为正三角形的外接圆的圆心， ∴也是正三角形的内接圆的圆心， 平分， ， ， ， ， 是半径， 直线与相切； (2) 【分析】（1）由正三角形的性质可得，由平行线的性质可得，求出，可证直线与相切； （2）由圆周角定理得，根据阴影部分的面积等于，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接，作于点H， ， ， ． ，， ，， ， ， ． 图中阴影部分的面积为：． 【点睛】本题考查切线的判定，正三角形的性质，圆周角定理，垂径定理，圆中弓形面积的计算，熟练掌握切线的判定定理，并根据题意得到阴影部分的面积为是解题的关键． 17．【答案】(1)直线与相切， 理由， 如图，连接，， ∵直线与相切， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵是半径， ∴直线与相切； (2)． 【分析】（）连接，，由直线与相切，可得，证明，则，然后通过切线的判定方法即可求证； （）由（）得，，则，，所以，通过直角三角形性质得，由勾股定理得，最后通过即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由（）得，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，扇形面积，直角三角形性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 18．【答案】(1) 证明：如图，连接， ∵与相切， ∴， ∴， 在和中 ∴ ∴， ∴； (2)． 【分析】（1）利用切线性质得，再通过证明，从而推出； （2）先结合已知角度推出相关角的度数，确定为等边三角形，求出圆的半径，再根据平行线间面积关系，将阴影部分面积转化为扇形的面积进行计算． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴为等边三角形， ∴， 由（1）可知：， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查圆的切线性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及扇形面积计算，熟练掌握圆的切线垂直于过切点的半径、全等三角形判定定理、等边三角形判定与性质及扇形面积公式是解题的关键． 19．【答案】(1) 证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴为的切线； (2)． 【分析】（1）只要证明，即可证明为的切线； （2）过点D作，垂足为F，在中，，，，求得，，在中，，，，求得，再根据圆内接四边形的性质结合等边对等角求得，据此求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，过点D作，垂足为F， ∵， ∴， ∴， ∵中，，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵中，，，， ∴， ∵，， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，切线的判定，解直角三角形的应用．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 20．【答案】(1) 如图所示，为所求： (2) 证明：如图2，作的直径，连接， ∴，， ∵是的高， ∴． ∵， ∴． ∴，即， ∴． (3) 【分析】本题考查了作三角形的外接圆，相似三角形的性质与判定，切线的性质，解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）分别作的垂直平分线交于点，以为半径作圆，即可求解． （2）作的直径，连接，证明，根据相似三角形的性质，即可求解； （3）连接，根据为的切线，得出，进而证明是等边三角形，得出，在，中分别求得，根据（2）的结论求得，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）如图3，连接， ∵为的切线， ∴． ∵，， ∴， ∴，． ∵， ∴是等边三角形，， ∴，， ∴． 在中，，，， ∴，， 在中，， 在中，， 代入，得， 即． 21．【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查的是切线的判定和性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形． （1）连接，根据圆周角定理得到，推出，根据等腰三角形三线合一得，根据三角形的中位线可得，所以得，从而根据切线的判定可得结论； （2）证明，求出，再证明，求出，利用正弦的定义即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， 是的直径， ， ， ， ，即点D为中点， ，即点O为中点， ， ， ， 是的半径， 是的切线． （2）解：由（1）知， ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∵， ， ∴，即， ∴（负值舍去）， ∴． 22．【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了切线的性质，勾股定理的逆定理，扇形的面积公式等知识，解题的关键是： （1）连接，利用勾股定理的逆定理判定得出，利用切线的性质得出，利用等面积法求出，然后利用求解即可； （2）延长交于P，连接，则最大，然后在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解∶连接，    ∵，，， ∴， ∴， ∵与相切于D， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解∶延长交于P，连接，此时最大，    由（1）知：，， ∴． 23．【答案】(1) 证明：连接，   ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； (2) 【分析】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）连接，根据等腰三角形的性质得到，等量代换得到，得到，根据切线的判定定理得到结论； （2）根据垂径定理得到，根据勾股定理得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）解：是直径，是弦，且， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 24．【答案】(1) 证明：连接，如图所示： ∵是的切线，点C在以为直径的上， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】题目主要考查切线的性质，相似三角形的判定和性质及勾股定理解三角形，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． （1）连接，根据题意得，，利用等量代换确定，再由相似三角形的判定即可证明； （2）先由勾股定理确定，然后利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， 由（1）得， ∴即， ∴， ∴的半径为． 1．【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）如图，连接，由得，又，故，又，故，即，因此，故为的切线； （2）设，由，得，，从而，在中，，故，在中，，，，解得，或（舍去），故． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， ， ， ， ，即，， ， 为的切线； （2）解：设， ，， ，， ， 在中，， ， 在中，，， ，解得，或（舍去）， ． 2．【答案】(1) 证明：如图所示，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； (2)阴影部分的面积为 【分析】本题主要考查了求不规则图形面积，解直角三角形，切线的判定等，熟知相关知识是解题的关键． （1）连接，由角平分线的定义得到，再由等边对等角得到，则，据此可证明，得到，由此可证明是的切线； （2）根据线段之间的关系证明，解直角三角形可得，则可求出，再根据列式计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵点E为的中点， ∴， ∵， ∴， 由（1）可得， 在中，， ∴， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 2 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $