专题18 圆的有关性质和计算（3年汇编）（江苏专用）2024-2026年中考数学真题分类汇编

专题18 圆的有关性质和计算 3年真题1年模拟 考点分类 江苏考情（2024-2026） 命题规律 考点01 垂径定理及其应用 （2026·江苏苏州·中考真题） （2025·江苏南通·中考真题） （2025·江苏无锡·中考真题） · 情境设置：以园林月洞门、坐标系圆等生活与几何情境为载体。 · 考查重点：垂径定理与勾股定理、坐标运算结合求弦长半径。 · 命题趋势：趋向情境化综合应用，强调定理在坐标系中的灵活运用。 考点02 圆心角、圆周角及圆内接四边形 （2026·江苏淮安·中考真题） （2026·江苏扬州·中考真题） （2026·江苏镇江·中考真题） （2026·江苏常州·中考真题） （2026·江苏徐州·中考真题） （2026·江苏宿迁·中考真题） （2026·江苏连云港·中考真题） （2025·江苏盐城·中考真题） （2025·江苏扬州·中考真题） （2025·江苏常州·中考真题） （2025·江苏淮安·中考真题） （2024·江苏镇江·中考真题） （2024·江苏常州·中考真题） （2024·江苏苏州·中考真题） （2024·江苏盐城·中考真题） （2024·江苏连云港·中考真题） （2024·江苏淮安·中考真题） （2024·江苏扬州·中考真题） （2024·江苏南京·中考真题） （2024·江苏徐州·中考真题） （2024·江苏无锡·中考真题） · 情境设置：以圆内接四边形、直径所对圆周角等基本图形为主。 · 考查重点：圆周角定理、圆内接四边形性质及角度计算。 · 命题趋势：注重多知识点融合，向探究性、综合性问题延伸。 考点03 正多边形与圆 （2026·江苏南通·中考真题） （2026·江苏宿迁·中考真题） （2025·江苏宿迁·中考真题） （2024·江苏苏州·中考真题） · 情境设置：以正五边形、正六边形内接于圆及花窗图案为背景。 · 考查重点：正多边形中心角、边角关系与弧长面积计算。 · 命题趋势：趋向与传统文化、实际图案结合的综合应用。 考点04 点与圆、直线与圆的位置关系 （2024·江苏连云港·中考真题） （2026·江苏镇江·中考真题） （2024·江苏常州·中考真题） （2026·江苏常州·中考真题） （2024·江苏苏州·中考真题） · 情境设置：以正六边形、圆形广场、木棒摆动等实际情境呈现。 · 考查重点：点线圆位置关系判断及图形平移重合等新定义。 · 命题趋势：趋向新定义题与生活情境结合，考查综合判断能力。 考点05 弧长及扇形面积 （2026·江苏扬州·中考真题） （2026·江苏连云港·中考真题） （2025·江苏盐城·中考真题） （2025·江苏无锡·中考真题） （2025·江苏常州·中考真题） （2025·江苏镇江·中考真题） （2025·江苏苏州·中考真题） （2025·江苏连云港·中考真题） （2025·江苏淮安·中考真题） （2024·江苏徐州·中考真题） （2024·江苏淮安·中考真题） （2024·江苏宿迁·中考真题） · 情境设置：以乒乓球拧拉、摩天轮、屋顶瓦片等生活情境为背景。 · 考查重点：弧长公式、扇形面积及张角等概念的计算应用。 · 命题趋势：趋向情境化建模，强调公式在实际问题中的运用。 考点06 圆锥的有关计算 （2026·江苏镇江·中考真题） （2024·江苏无锡·中考真题） （2026·江苏徐州·中考真题） （2025·江苏盐城·中考真题） （2025·江苏宿迁·中考真题） （2024·江苏南通·中考真题） （2024·江苏扬州·中考真题） （2024·江苏盐城·中考真题） · 情境设置：以圆锥帽子、扇形纸板围圆锥等制作情境为主。 · 考查重点：圆锥侧面积、底面半径与母线关系的计算。 · 命题趋势：注重公式推导与展开图联系，题型稳定基础为主。 考点01 垂径定理及其应用 1．（2026·江苏苏州·中考真题）苏州园林中的月洞门（如图①），形如满月，通过“框景”手法将自然月华与人文意境交融，核心寓意是“圆满”、“圆融”与“天人合一”．某月洞门示意图如图②所示，其内廓由，线段，，四部分构成，，分别垂直于地面．经测量，该月洞门的最高点到地面的距离为分米，分米，分米，则所在圆的半径为_________分米． 2．（2025·江苏南通·中考真题）在平面直角坐标系中，以点为圆心，为半径作．直线与交于两点，则的最小值为____________． 3．（2025·江苏无锡·中考真题）如图，是的直径，是弦延长线上的一点，且的延长线交于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 考点02 圆心角、圆周角及圆内接四边形 1．（2026·江苏淮安·中考真题）如图，是的直径，弦交于点，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏扬州·中考真题）如图，C是以为直径的上一点，点D在上，，则_______． 3．（2026·江苏镇江·中考真题）如图，为半圆的直径，点O为圆心，点C，D在半圆上．已知，则的度数为__________． 4．（2026·江苏常州·中考真题）如图，四边形内接于，连接，．若，，则的度数为__________． 5．（2026·江苏徐州·中考真题）如图，是的直径，弦，若，则__________． 6．（2026·江苏宿迁·中考真题）用半径为3，圆心角为的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径为____________． 7．（2026·江苏连云港·中考真题）【问题情境】 (1)在锐角中，求作一点P，使的值最小． 下面是小明对该问题的一种解决方法及简要说理． 如图1，以为边向外作等边三角形，再作的外接圆，连接， 与交于点P．则点P即为求作的点． 在上取一点，使，连接，在中，根据“同弧所对的圆周角相等”， 得 ① ，故是等边三角形．所以． 进而可证得．所以． 所以． 由 ② （从“两点之间线段最短”和“垂线段最短”中选择填空）可得， 的长即为的最小值． 【方法迁移】 (2)如图2，已知点A，B到直线l的距离，．在图中找一点P，使点P到点A、点B、直线l的距离之和最小，简要说明作法，并求出最小值． 【拓展应用】 (3)如图3，若村庄A，B，C，D的连线构成一个矩形，且，（）． 现要在矩形区域内铺设天然气管道，使四个村庄能够连接互通起来．请你设计管道路线总长最短的铺设方案（不需要说明理由），并直接写出路线总长（用含a，b的代数式表示）． 8．（2025·江苏盐城·中考真题）如图，四边形内接于，，连接、，则____． 9．（2025·江苏扬州·中考真题）如图，点，，在上，，则______． 10．（2025·江苏常州·中考真题）如图，是的直径，是的弦．若，，则_________． 11．（2025·江苏淮安·中考真题）探究与应用 【问题初探】（1）在等腰三角形的底边上任取一点P（不与端点重合），连接，线段有何数量关系？下面是小刚的部分思路和方法，请完成填空： 如图（1），过点A作于点D， 在中，∵，∴．    ① 在中，∵，∴ ．    ② 由①－②得：． ∵，， ∴ ． ∴． …… 根据小刚的方法，可以得到线段的数量关系是 ． 【简单应用】（2）如图（2），在等腰直角三角形中，，点D在边上，，以为边构造正方形，利用（1）中的结论求正方形的面积． 【灵活应用】（3）如图（3），是的外接圆，的平分线交于点D，连接，若，，，求的长． 【深度思考】（4）如图（4），在中，，点D、E分别在边上，且满足，交于点P，若，则的值为 ． 12．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，是的内接正n边形的一边，点C在上，，则________．    13．（2024·江苏常州·中考真题）如图，是的直径，是的弦，连接．若，则________． 14．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，是的内接三角形，若，则______． 15．（2024·江苏盐城·中考真题）如图，是的内接三角形，，连接，则________．    16．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，是圆的直径，、、、的顶点均在上方的圆弧上，、的一边分别经过点A、B，则__________．    17．（2024·江苏淮安·中考真题）如图，点P是正六边形的边的中点，一束光线从点P出发，照射到镜面上的点Q处，经反射后恰好经过顶点C，已知正六边形的边长为2，则________． 18．（2024·江苏扬州·中考真题）在综合实践活动中，“特殊到一般”是一种常用方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论． 如图，已知，， 是的外接圆，点在上（），连接、、． 【特殊化感知】 （1）如图1，若，点在延长线上，则与的数量关系为________； 【一般化探究】 （2）如图2，若，点、在同侧，判断与的数量关系并说明理由； 【拓展性延伸】 （3）若，直接写出、、满足的数量关系．（用含的式子表示） 19．（2024·江苏南京·中考真题）如图，在的内接四边形中，，对角线是的直径．求证：四边形是矩形．    20．（2024·江苏徐州·中考真题）在中，点在边上，若，则称点是点的“关联点”． (1)如图（1），在中，若，于点．试说明：点是点的“关联点”． (2)如图（2），已知点在线段上，用无刻度的直尺和圆规作一个，使其同时满足下列条件：①点为点的“关联点”；②是钝角（保留作图痕迹，不写作法）． (3)若为锐角三角形，且点为点的“关联点”．设，，用含、的代数式表示的取值范围（直接写出结果）． 21．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，是的直径，内接于，，的延长线相交于点，且． (1)求证：； (2)求的度数． 22．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，中，，D为中点，，，是的外接圆． (1)求的长； (2)求的半径． 23．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知及边上一点． (1)用无刻度直尺和圆规在射线上求作点，使得；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，以点为圆心，以为半径的圆交射线于点，用无刻度直尺和圆规在射线上求作点，使点到点的距离与点到射线的距离相等；（保留作图痕迹，不写作法） (3)在（1）、（2）的条件下，若，，求的长． 考点03 正多边形与圆 1．（2026·江苏南通·中考真题）如图，正五边形内接于，的直径为，连接，，，．小慧、小丽经过探索，分别得到以下结论．小慧：；小丽：．下列关于两人结论的判断中，正确的是（     ） A．小慧和小丽的结论都正确 B．小慧和小丽的结论都错误 C．小慧的结论正确，小丽的结论错误 D．小慧的结论错误，小丽的结论正确 2．（2026·江苏宿迁·中考真题）如图，正六边形的边长为2，连接、，以点为圆心，长为半径画，则、与围成的阴影部分面积为____________． 3．（2025·江苏宿迁·中考真题）如图，正五边形内接于，连接，则的度数为____________． 4．（2024·江苏苏州·中考真题）铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素．如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O，所在圆的圆心C恰好是的内心，若，则花窗的周长（图中实线部分的长度）______．（结果保留） 考点04 点与圆、直线与圆的位置关系 1．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，将一根木棒的一端固定在O点，另一端绑一重物．将此重物拉到A点后放开，让此重物由A点摆动到B点．则此重物移动路径的形状为（    ）    A．倾斜直线 B．抛物线 C．圆弧 D．水平直线 2．（2026·江苏镇江·中考真题）如图，正六边形的边长为1，连接并延长至点P，．M是正六边形边上的一个动点，N为该平面内一点，且满足．现有下列结论：①当点M，A重合时；②；③的最小值为1．其中所有正确结论的序号是__________． 3．（2024·江苏常州·中考真题）对于平面内有公共点的两个图形，若将其中一个图形沿着某个方向移动一定的距离后与另一个图形重合，则称这两个图形存在“平移关联”，其中一个图形叫做另一个图形的“平移关联图形”． (1)如图，是线段的四等分点．若，则在图中，线段的“平移关联图形”是________，________（写出符合条件的一种情况即可）； (2)如图，等边三角形的边长是．用直尺和圆规作出的一个“平移关联图形”，且满足（保留作图痕迹，不要求写作法）； (3)如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别是、、，以点为圆心，为半径画圆．若对上的任意点，连接所形成的图形都存在“平移关联图形”，且满足，直接写出的取值范围． 4．（2026·江苏常州·中考真题）如图，某小区有一个圆形活动广场，为丰富居民户外活动，物业向广场外围拓宽铺设宽的彩色环形塑胶跑道．改造后，含跑道的圆形活动区域的总面积为原来的4倍，求该广场原来的半径（单位：）． 5．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，中，，分别以B，C为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点D，连接，，，与交于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 考点05 弧长及扇形面积 1．（2026·江苏扬州·中考真题）“拧拉”是一种常用的乒乓球接发球技术．拧拉时，手肘保持不动，手腕绕手肘旋转划出一段圆弧．小明手腕到手肘的距离为，某次拧拉时手腕绕手肘旋转的角度为，小明手腕的运动路线长为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏连云港·中考真题）如图，扇形，点C在上．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏盐城·中考真题）如图（1）是博物馆屋顶的图片，屋顶由图（2）中的瓦片构成，瓦片横截面如图（3）所示，是以点为圆心， 为半径的弧，弦的长为，则的长是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·江苏无锡·中考真题）已知圆弧所在圆的半径为6，该弧所对的圆心角为，则这条弧的长为（　　） A． B． C． D． 5．（2025·江苏常州·中考真题）如图，的半径为2，直径、互相垂直，则弧的长是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，直线，直线分别交于点，以为圆心，长为半径画弧，分别交于直线同侧的点，，，则的长等于（   ） A． B． C． D． 7．（2025·江苏苏州·中考真题）“苏州之眼”摩天轮是亚洲最大的水上摩天轮，共设有28个回转式太空舱全景轿厢，其示意图如图所示．该摩天轮高（即最高点离水面平台的距离），圆心O到的距离为，摩天轮匀速旋转一圈用时．某轿厢从点A出发，后到达点B，此过程中，该轿厢所经过的路径（即）长度为________．（结果保留） 8．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，是的内接三角形，．若的半径为2，则劣弧的长为_______． 9．（2025·江苏镇江·中考真题）为什么变速自行车会“变速”？ 变速自行车是常用的交通工具，图（1）所示的是某型号变速自行车的基本结构，图中处分别有几个大小不同的齿轮，链条连接的两个齿轮称为主动链轮、从动链轮． ［探究]为了便于研究主动链轮与从动链轮的关系，我们先探究一组相互啮合的两个齿轮（如图（2）），通过操作发现：两个齿轮如果可以实现传动，那么两个齿轮的齿距（相邻两齿在圆上的弧长）相等，相同时间内啮合的齿数相等． （1）已知主动轮、从动轮的齿数分别为、，主动轮每分钟转圈，则每分钟啮合的齿数有_____个，从动轮每分钟转圈，则每分钟啮合的齿数有_____个，由于相同时间内啮合的齿数相等，从而可推出与的关系是_____． （2）如图（3），在主动轮与从动轮之间加入一个“惰轮”形成新的齿轮组合，已知主动轮、从动轮的齿数分别为32齿和14齿． 若主动轮的转速为每分钟70圈，求从动轮的转速，并说一说图（3）的齿轮组合在实现传动时，“惰轮”的作用是什么？ ［发现]不难发现，变速自行车中的链条作用如同“惰轮”．若骑行者每分钟蹬的圈数不变，实现自行车“变速”的方法可以是_____（写出一种即可）． 10．（2025·江苏淮安·中考真题）观察点和观察的图形在同一平面内，我们把以观察点为顶点，包含被观察图形的最小角称为从观察点观察该图形的张角．如图（1），为观察点P观察正方形的张角．如图（2），在正方形所在平面内观察这个正方形，若张角为，则观察点的位置都在图中的圆弧上．如图（3），等边三角形的边长为6，在三角形所在平面内观察这个三角形，若张角为，则所有符合条件的观察点组成的图形周长为______． 11．（2024·江苏徐州·中考真题）将圆锥的侧面沿一条母线剪开后展平，所得扇形的面积为，圆心角θ为，圆锥的底面圆的半径为______． 12．（2024·江苏淮安·中考真题）如图，是的内接三角形，，半径为3，则的长为____． 13．（2024·江苏宿迁·中考真题）已知圆锥的底面半径为3，母线长为12，则其侧面展开扇形的圆心角的度数为________°． 考点06 圆锥的有关计算 1．（2026·江苏镇江·中考真题）已知圆锥的底面圆半径为5，母线长为12，则该圆锥的侧面积为（     ） A． B． C． D． 2．（2024·江苏无锡·中考真题）已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为4，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·江苏徐州·中考真题）如图，用一张半径为的扇形纸板做一个圆锥形帽子（接缝忽略不计），若做成的圆锥形帽子的底面半径为，则该扇形纸板的面积为__________． 4．（2025·江苏盐城·中考真题）已知圆锥的侧面积为，母线长为5，则圆锥的底面半径是_____． 5．（2025·江苏宿迁·中考真题）已知圆锥的底面半径为3，高为4，则其侧面积为___________． 6．（2024·江苏南通·中考真题）已知圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积为______． 7．（2024·江苏扬州·中考真题）若用半径为的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径为____． 8．（2024·江苏盐城·中考真题）若圆锥的底面圆半径为4，母线长为5，则该圆锥的侧面积为___________． 1．（2026·江苏南通海门区·中考模拟）一个圆锥，其母线长为，底面圆半径为，则侧面展开图圆心角度数为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏宿迁泗洪县·中考模拟）如图，是的内接三角形，若，连接，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·江苏徐州铜山区·中考模拟）如图，四边形内接于，若，则______°． 4．（2026·江苏宿迁泗洪县·中考模拟）一个扇形的弧长为，圆心角为，则扇形的半径为________． 5．（2026·江苏南京·中考模拟）在正十二边形中，顺次连接某几个顶点恰好构成一个正边形，则可以是____________（写出一个）． 6．（2026·江苏宿迁宿城区·中考模拟）如图，在中，，，将绕点B顺时针旋转得到，且点落在边上，连接．若，则的长度是______． 7．（2026·江苏宿迁宿城区·中考模拟）用半径为4，圆心角为90°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为_____． 8．（2026·江苏徐州铜山区·中考模拟）小刚用一张半径为的扇形纸板做一个圆锥形小丑帽子的侧面（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形小丑帽子的底面半径为，那么这张扇形纸板的面积是________． 试卷第1页，共3页 2 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题18圆的有关性质和计算 3年真题1年模拟答案版 三年真题分类园 0考点01垂径定理及其应用 1.10 2.6 3.【答案】(1) 证明：如图，连接BC, E 是的直径， AB⊙O .∠ACB=90° .BC⊥AD, 又CD=CA, ∴BC垂直平分AD, .AB=BD: ②2v6 【分析】本题考查圆周角定理，垂直平分线的性质，勾股定理，余弦函数： (1)由直径所对的圆周角为90度，可证BC L AD,进而可得BC垂直平分AD,即可证明AB=BD; (2连接4仁：则∠EB=90,结合o∠BE-写可得BE=进而可符DE=D+BE=4再白勾股定 理计算AD即可 【详解】(1)略 (2)解：如图，连接AE, 1/14 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 是的直径， D :AB⊙O ∠AEB=90°， CoS∠ABE= BE_BE_1 AB33, ∴.BE=1, .AE2=AB2-BE2=32-12=8 由(1)得AB=BD=3, .DE=BD+BE=3+1=4, :AD=VAE2+DE2=V8+4=26 官考点02圆心角、圆周角及圆内接四边形 1.A 2.110 3. 80° 4.40°#料0度 5.25 6.1 7.(1)①∠ACD;②两点之间线段最短 (②)作法：如图，连接AB,在AB上方作等边三角形ABD,再作△ABD的外接圆，过点D作DM⊥I,垂 足为M,DM交AB于N,交圆于点P,点P即为要作的点， 2/14 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B A P E M V3+4 点P到点A、点B、直线I的距离之和最小值为 b+3a 3)管道路线总长度最短为 设计方案：如图所示，分别以边AB和边CD向矩形外侧作等边三角形ABM和等边三角形CDN,再作 △ABM和△CDN P P2 AP BP CP 的外接圆.连接M,N,分别交两圆于点和点2，其中铺设路线为， DP PP D M P P B 8.140 9.40 10.√2 5-V5 11.(1)AD+DP2,CD,AB2-AP2=BP.CP,(2)8-42(3)BD=242(4)2 12.10 13.70 14.62°拼62度 15.50 16.90 3/14 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 17.,1 10 18.)AD-D=CD:(②)AD-BD=CD(3当D在BC上时，2CD-sm号=AD-BD:当D在 AB上时，2 CD-sin号=AD+BD 19.【答案】证明：AC是⊙0的直径， ∴.∠B=∠D=90°， 在Rt△ABC和Rt△CDA中， [AC=AC AD=BC, .RiAABC≌RtACDA(H,L) .AB=CD, 又：AD=BC, ∴.四边形ABCD是平行四边形， ∠B=90° ·平行四边形ABCD是矩形， 【分析】本题考查了矩形的判定，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识. 由AC是⊙O的直径，可得∠B=∠D=90°，证明RIAABCS≌RIACDA,得到AB=CD,可证明四边形 ABCD是平行四边形，即可解答. 【详解】略 20.【答案】1) 证明：CDL AB」 .∠CD4=∠CDB=90°， ∴.∠A+∠ACD=90°， .∠ACB=90° .∠BCD+∠ACD=90° .∠A=∠BCD, .∠CD4=∠CDB=90°， 4/14 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .△ACD∽△CBD, CD AD :BD CD' .CD2=AD·DB 点D是点C的“关联点”. (2)如图： D (3)Vmn-m2<AC</mn+m2 或Vmn+m2<AC<Vm2+3mn 【分析】(I)证△ACD∽△CBD,根据“关联点”的定义即可得结论： (2)以AB为直径作⊙0，过点D作AB的垂线，交O0于P,由圆周角定理可得∠APB=90°，由(I) 可得DP2=AD·DB,以D为圆心，DP为半径作圆，在直线DP右侧的OD上取点C作△ABC即可得答案； (3)分类讨论，①当m<n时，根据第二问可得出锐角三角形时C的位置，再利用勾股定理求出临界值范 围即可，②当m<n时，同①方法. 【详解】(1)略 (2)解：如图，①作线段AB的垂直平分线，交AB于点O; ②以O为圆心，OA为半径作圆： ③过D作DP⊥AB交⊙O于点P: ④以D为圆心，DP为半径画圆，则点C在⊙D上且在直线DP右侧.连接AC、BC,△ABC即为所求， 证明：，P在以AB为直径的圆上运动， ∴.∠APB=90° 由(1)可知：DP=ADDB, DP=CD .CD2=AD.DB (3)①当m<n时， 5/14 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 如图所示，结合第(2)问，我们发现当点C在直线DP左侧、A的右侧时，△ACB是锐角三角形， AC<AC<AC? 此时 .DC2=DA.DB,DA=m,DB=n, .DC2 DC2 =mn 在Rt△ADC中，AC=VDC-DA=Vmn-m 在RIADC,中，AC,=VDC+DAP=Vmn+m ∴.Vmn-m2<AC<√mn+m2 ②当m>”时，同理可得：Vmn+m<4C<Vm+3mm 综上所述， Vmn-m2 AC<mn+m2 或Vmn+m2<AC<Vm2+3mn 【点睛】本题主要考查了尺规作图，圆周角定理、相似三角形的判定和性质、勾股定理等内容，熟练掌握 相关知识和正确理解题意是解题的关键. 21.【答案】(1) 证明：CD=DB .∠CAD=∠DAB DE AD, 6/14 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠DAB=∠E, .∠CAD=∠E, 又，∠C-∠C .△CADP△CEA, (2)450 【分析】本题主要考查了圆周角定理，相似三角形的判定以及性质，圆内接四边形的性质，等边对等角等 知识，掌握这些性质是解题的关键， (1)由等弧所对的圆周角相等可得出∠CAD=∠DAB,再由等边对等角得出∠DAB=∠E,等量代换可得 出∠CAD=∠E,又∠C=∠C,即可得出△CAD∽△CEA, (2)连接BD,由直径所对的圆周角等于90°得出∠ADB=90°，设∠CAD=∠DAB=a,即∠CAE=2a, 由相似三角形的性质可得出∠ADC=∠CAE=2a,再根据圆内接四边形的性质可得出2a+2a+90°=180° 即可得出的值，进一步即可得出答案. 【详解】(1)略 (2)连接BD,如下图： ,AB为直径， .∠ADB=90°， 设∠CAD=∠DAB=a, .∠CAE=2a, 由(1)知：△CAD∽△CEA ∴.∠ADC=∠CAE=2a. :四边形ABDC是圆的内接四边形， .∠CAB+∠CDB=180° 即2a+2a+90°=180°， 解得：a=22.5° ∠ADC=∠CAE=2×22.5°=45° C D B 7/14 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 22.【答案】1)BC=4 4w7 (2)⊙0的半径为7 【分析】本题考查相似三角形的判定及性质，解直角三角形，圆周角定理. BCBA (I)易证ABAC∽ABCD,得到BDBC,即可解答： (2)过点A作AE⊥CD,垂足为E,连接CO,并延长交O0于F,连接AF,在Rt△AED中，通过解直 =形到pEAE=:由B4C,CD行到S=5,设CD=,则AC- CE=-1,在R1a1CE中，根据勾股定理构造方程，求符CD=2,4C=25,由AC=∠1DC得到 sinZAFC=sin∠ADC,根据正弦的定义即可求解.。 【详解】(1)解：~∠BAC=∠BCD,∠B=∠B, ∴.△BAC∽△BCD BC BA BD=BC,即BC2=ABBD AB=42 ,D为AB中点， :BD=AD=4B=22, :BC=AB-BD=4W2.2W5=16 ∴.BC=4 (2)解：过点A作AE⊥CD,垂足为E,连接CO,并延长交⊙O于F,连接AF, 在 中， B cOS∠CDA= DE Rt△AED A 4 又AD=2N2, 8/14 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .DE=1. :在RAAED中，AE=VAD-DE=V万 :△BACABCD 4C-4B=反 CD BC 设CD=x,则AC=V2x,CE=CD-DE=x-l. :在RtAACE中，AC2=CE2+AE2, 2x=(x-+(万，即2+2x-8=0, 解得=2，=-4 （舍去). ..CD=2 AC=22 ..AC-AC ∴.∠AFC=∠ADC CF为⊙O的直径， ∠CAF=90°. sin∠AFC=AC CF sim∠CDA=E=V4 AD 4. ..CF=8 4 7,即⊙0的半径为7. 23.【答案】(1) 如图所示，点O即为所求 9/14 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2) 如图所示， P M (3)BM=6V5 【分析】(1)根据尺规作角等于已知角的方法即可求解： (2)根据尺规作圆，作垂线的方法即可求解； (3)根据作图可得MW⊥A0,CM=M=12,AB是直径，结合锐角三角函数的定义可得AM的值，根 据勾股定理可求出AC的值，在直角△BCM中运用勾股定理即可求解. 【详解】(1)略 (2解：连接BC,以点B为圆心，以8C为半径画弧交10于点月，以点B为圆心，以任意长为半径画 B 弧交A0于点C,D,分别以点C,D为圆心，以大于2CD为半径画弧，交于点F,连接BF并延长交 AP于点M, ,AB是直径 .∠ACB=90°，即BC⊥AP, C=BD,CF=DF 根据作图可得 MB⊥AQ ∠MB,B=90°MB AO 即 是点M到A0的距离， BC=BB Rt△BCM≌Rt△BBM(HL) CM=BM 10/14 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 点M即为所求点的位置： (3)解：如图所示， MP 根据作图可得，∠CO0=2∠CA0,MC=MW=12,MW⊥Ag,连接BC, 在RAMW中，sinA=m1_3 AM 5, :AM=5M5x12 =20 3 3 .AC=AM-CM=20-12=8, AB是直径， ∴.∠ACB=90°， .sind=BC=3 AB 5' 设BC=3x,则AB=5x, 在RtsABC中，(5x)°=(3x)+82 解得，x=2(负值舍去)， BC=3x=6, 在RiABCM中，BM=VCMP+BC=V122+6=6N5 【点睛】本题主要考查尺规作角等于已知角，尺规作垂线，勾股定理，锐角三角函数的定义等知识的综合， 掌握以上知识的综合运用是解题的关键 国角考点3正多边形与圆 1.A 11/14 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2 4vV3-2π 3.72 4.8π 园0考点04点与圆、直线与圆的位置关系 1.C 2.②③ 3.(1)CE,2 ②) 如图所示，△EBD即为所求： C B 8)0<r≤4-2W2r≥4+2V2 或 4.【答案】该广场原来的半径为3m. 【分析】先找出等量关系，再列出一元二次方程，最后求解即可. r+3)m 【详解】解：由题意可知，含跑道的圆形活动区域的半径为 根据题意，得π(+3=42 解得r=3或r=-1(不符合题意，舍去). 答：该广场原来的半径为3m. 5.【答案】(1) 证明：由作图知：BD=CD」 在△ABD和△ACD中， 「AB=AC, .BD=CD, AD=AD. 12/14 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .△ABD≌△ACD 2)BC=2V5 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是： (1) 直接利用SSS证明△ABD≌△ACD即可： (2)利用全等三角形的性质可求出∠BDA=∠CDA=60°，利用三线合一性质得出DA⊥BC,BE=CE, 在Rt△BDE中，利用正弦定义求出BE,即可求解. 【详解】(1)略 (2)解：△ABD≌AACD,∠BDC=120° ∴，∠BDA=∠CDA=60° 又：BD=CD」 .DA⊥BC,BE=CE」 BD=2, :BE=BDsm∠BDA=2x5-V5 .BC=2BE =23 自考点05弧长及扇形面积 1.B 2.A 3.D 4.B 5.c 6.C 7.40m 8.π 乃 9.[探究](1)n,,,八(2)从动轮的转速为每分钟160圈，“惰轮”的作用是使从动轮与主动 轮旋转的方向保持一致[发现]更换不同齿数的从动轮或主动轮 13/14 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 10.24元 11.1cm 2 13.90 国考点06圆锥的有关计算 1.D 2.B 3 300π 4.3 5.15m 6.12π 7.5 8.20m 一年模拟练测园 1.C 2.B 3.80 4.6 5. 3(答案不唯一，4,6,12均正确) 6.π 7.1 8.90m 14/14 专题18 圆的有关性质和计算 3年真题1年模拟 考点分类 江苏考情（2024-2026） 命题规律 考点01 垂径定理及其应用 （2026·江苏苏州·中考真题） （2025·江苏南通·中考真题） （2025·江苏无锡·中考真题） · 情境设置：以园林月洞门、坐标系圆等生活与几何情境为载体。 · 考查重点：垂径定理与勾股定理、坐标运算结合求弦长半径。 · 命题趋势：趋向情境化综合应用，强调定理在坐标系中的灵活运用。 考点02 圆心角、圆周角及圆内接四边形 （2026·江苏淮安·中考真题） （2026·江苏扬州·中考真题） （2026·江苏镇江·中考真题） （2026·江苏常州·中考真题） （2026·江苏徐州·中考真题） （2026·江苏宿迁·中考真题） （2026·江苏连云港·中考真题） （2025·江苏盐城·中考真题） （2025·江苏扬州·中考真题） （2025·江苏常州·中考真题） （2025·江苏淮安·中考真题） （2024·江苏镇江·中考真题） （2024·江苏常州·中考真题） （2024·江苏苏州·中考真题） （2024·江苏盐城·中考真题） （2024·江苏连云港·中考真题） （2024·江苏淮安·中考真题） （2024·江苏扬州·中考真题） （2024·江苏南京·中考真题） （2024·江苏徐州·中考真题） （2024·江苏无锡·中考真题） · 情境设置：以圆内接四边形、直径所对圆周角等基本图形为主。 · 考查重点：圆周角定理、圆内接四边形性质及角度计算。 · 命题趋势：注重多知识点融合，向探究性、综合性问题延伸。 考点03 正多边形与圆 （2026·江苏南通·中考真题） （2026·江苏宿迁·中考真题） （2025·江苏宿迁·中考真题） （2024·江苏苏州·中考真题） · 情境设置：以正五边形、正六边形内接于圆及花窗图案为背景。 · 考查重点：正多边形中心角、边角关系与弧长面积计算。 · 命题趋势：趋向与传统文化、实际图案结合的综合应用。 考点04 点与圆、直线与圆的位置关系 （2024·江苏连云港·中考真题） （2026·江苏镇江·中考真题） （2024·江苏常州·中考真题） （2026·江苏常州·中考真题） （2024·江苏苏州·中考真题） · 情境设置：以正六边形、圆形广场、木棒摆动等实际情境呈现。 · 考查重点：点线圆位置关系判断及图形平移重合等新定义。 · 命题趋势：趋向新定义题与生活情境结合，考查综合判断能力。 考点05 弧长及扇形面积 （2026·江苏扬州·中考真题） （2026·江苏连云港·中考真题） （2025·江苏盐城·中考真题） （2025·江苏无锡·中考真题） （2025·江苏常州·中考真题） （2025·江苏镇江·中考真题） （2025·江苏苏州·中考真题） （2025·江苏连云港·中考真题） （2025·江苏淮安·中考真题） （2024·江苏徐州·中考真题） （2024·江苏淮安·中考真题） （2024·江苏宿迁·中考真题） · 情境设置：以乒乓球拧拉、摩天轮、屋顶瓦片等生活情境为背景。 · 考查重点：弧长公式、扇形面积及张角等概念的计算应用。 · 命题趋势：趋向情境化建模，强调公式在实际问题中的运用。 考点06 圆锥的有关计算 （2026·江苏镇江·中考真题） （2024·江苏无锡·中考真题） （2026·江苏徐州·中考真题） （2025·江苏盐城·中考真题） （2025·江苏宿迁·中考真题） （2024·江苏南通·中考真题） （2024·江苏扬州·中考真题） （2024·江苏盐城·中考真题） · 情境设置：以圆锥帽子、扇形纸板围圆锥等制作情境为主。 · 考查重点：圆锥侧面积、底面半径与母线关系的计算。 · 命题趋势：注重公式推导与展开图联系，题型稳定基础为主。 考点01 垂径定理及其应用 1．（2026·江苏苏州·中考真题）苏州园林中的月洞门（如图①），形如满月，通过“框景”手法将自然月华与人文意境交融，核心寓意是“圆满”、“圆融”与“天人合一”．某月洞门示意图如图②所示，其内廓由，线段，，四部分构成，，分别垂直于地面．经测量，该月洞门的最高点到地面的距离为分米，分米，分米，则所在圆的半径为_________分米． 【答案】10 【分析】连接，过点B作于点H，交于点F，设所在圆的圆心为点O，连接，则，，，，设的半径为r，则，，根据垂径定理求出，进而在中根据勾股定理构造方程，求解即可． 【详解】解：连接，过点B作于点H，交于点F，设所在圆的圆心为点O，连接， 由题意可得，四边形，四边形都是矩形， ∴，，， 设的半径为r，则， ∴， ∵过圆心O，且， ∴， ∵在中，， ∴，解得， ∴所在的半径为10分米． 2．（2025·江苏南通·中考真题）在平面直角坐标系中，以点为圆心，为半径作．直线与交于两点，则的最小值为____________． 【答案】6 【分析】本题主要考查了一次函数的图象，垂径定理，对于，当时，得直线过定点，再求出，得点P在内部，根据过圆内定点P的所有弦中，与垂直的弦最短，得当直线与垂直时，为最小，此时，在中，由勾股定理求出，进而可得的最小值． 【详解】解：∵ ∴直线过定点， ∵点， ∴， 又∵的半径为， ∴， ∴点P在内部， 由于过圆内定点P的所有弦中，与垂直的弦最短，即当直线与垂直时，为最小，如图所示： 由垂径定理得：， ∴， 在中，，， 由勾股定理得：， ∴， 即的最小值为6． 故答案为：6． 3．（2025·江苏无锡·中考真题）如图，是的直径，是弦延长线上的一点，且的延长线交于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：如图，连接， 是的直径， ， ， 又， 垂直平分， ； (2) 【分析】本题考查圆周角定理，垂直平分线的性质，勾股定理，余弦函数： （1）由直径所对的圆周角为90度，可证，进而可得垂直平分，即可证明； （2）连接，则，结合可得，进而可得，再由勾股定理计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， 是的直径， ， ， ， ， 由（1）得， ， ． 考点02 圆心角、圆周角及圆内接四边形 1．（2026·江苏淮安·中考真题）如图，是的直径，弦交于点，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由圆周角定理可得，，作差可求出，最后利用三角形外角的性质求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴． 2．（2026·江苏扬州·中考真题）如图，C是以为直径的上一点，点D在上，，则_______． 【答案】 【分析】根据直径所对的圆周角是直角，得出，利用三角形内角和定理求出的度数，再根据圆内接四边形对角互补，即可求解． 【详解】解：是的直径， ， ， ， 四边形内接于， ， ． 3．（2026·江苏镇江·中考真题）如图，为半圆的直径，点O为圆心，点C，D在半圆上．已知，则的度数为__________． 【答案】 【分析】连接，根据圆周角定理即可得出结果. 【详解】解：连接， ∵为半圆的直径，点O为圆心，点C，D在半圆上， ∴， ∴. 4．（2026·江苏常州·中考真题）如图，四边形内接于，连接，．若，，则的度数为__________． 【答案】##40度 【分析】首先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理确定的角度，然后根据“同弧或等弧所对的圆周角相等”，即可获得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 5．（2026·江苏徐州·中考真题）如图，是的直径，弦，若，则__________． 【答案】 【分析】根据直径所对的圆周角是直角求出 ，利用三角形内角和求出 的度数，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵是的直径， ∴, ∵， ∴， ∵， ∴． 6．（2026·江苏宿迁·中考真题）用半径为3，圆心角为的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径为____________． 【答案】 【分析】根据圆锥侧面展开图的性质，扇形弧长等于圆锥底面圆的周长，设未知数列方程求解． 【详解】解：设这个圆锥底面圆的半径为，已知扇形半径为，圆心角为， 根据扇形弧长公式计算弧长得， ∵ 圆锥侧面展开后，扇形弧长等于圆锥底面圆的周长， ∴ 可得方程 ， 解得 ． 7．（2026·江苏连云港·中考真题）【问题情境】 (1)在锐角中，求作一点P，使的值最小． 下面是小明对该问题的一种解决方法及简要说理． 如图1，以为边向外作等边三角形，再作的外接圆，连接， 与交于点P．则点P即为求作的点． 在上取一点，使，连接，在中，根据“同弧所对的圆周角相等”， 得 ① ，故是等边三角形．所以． 进而可证得．所以． 所以． 由 ② （从“两点之间线段最短”和“垂线段最短”中选择填空）可得， 的长即为的最小值． 【方法迁移】 (2)如图2，已知点A，B到直线l的距离，．在图中找一点P，使点P到点A、点B、直线l的距离之和最小，简要说明作法，并求出最小值． 【拓展应用】 (3)如图3，若村庄A，B，C，D的连线构成一个矩形，且，（）． 现要在矩形区域内铺设天然气管道，使四个村庄能够连接互通起来．请你设计管道路线总长最短的铺设方案（不需要说明理由），并直接写出路线总长（用含a，b的代数式表示）． 【答案】(1)①；②两点之间线段最短 (2)作法：如图，连接，在上方作等边三角形，再作的外接圆，过点D作，垂足为M，交于N，交圆于点P，点P即为要作的点． 点P到点A、点B、直线l的距离之和最小值为； (3)管道路线总长度最短为． 设计方案：如图所示，分别以边和边向矩形外侧作等边三角形和等边三角形，再作和的外接圆．连接M，N，分别交两圆于点和点，其中铺设路线为，，，，． 【分析】（1）根据“同弧所对的圆周角相等”以及“两点之间线段最短”完成填空，即可求解； （2）连接，在上方作等边三角形，再作的外接圆，过点D作，垂足为M，交于N，交圆于点P，点P即为要作的点．证明四边形是平行四边形，利用平行，可证，根据等边三角形的性质，可求得，证明出是外接圆的直径，接着证明此时达到最小，再解，求得、，得出答案； （3）分别以边和边向矩形外侧作等边三角形和等边三角形，再作和的外接圆，连接M，N，分别交两圆于点和点，结合（2）可得出的长即为管道路线总长度的最小值，即可求解． 【详解】（1）略 （2）作法：如图1，连接，在上方作等边三角形，再作的外接圆，过点D作，垂足为M，交于N，交圆于点P，点P即为要作的点． ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 又，即， ∴， ∵，，，， ∴， ∵三角形是等边三角形，，， ∴，， ∵， ∴， ∴为的外接圆的直径， ∵，， ∴，同理， ∴此时， ∴此时点P到点A、点B、直线l的距离之和达到最小，最小值为的长． 是等边三角形， ，． 在中，， ． ∴点P到点A、点B、直线l的距离之和最小值为． （3）解：如图所示，分别以边和边向矩形外侧作等边三角形和等边三角形，再作和的外接圆．连接M，N，分别交两圆于点和点，连接，，，，设交于点，交于点，其中铺设路线为，，，，． 由（2）可知，，，，， ∴铺设的管道长度为：， ∴此时管道长度达到最小，最小值为， ∵三角形为等边三角形，， ∴，， ∵， ∴，同理可求得为， ∴， ∴管道路线总长度的最小值为． 8．（2025·江苏盐城·中考真题）如图，四边形内接于，，连接、，则____． 【答案】140 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 根据圆内接四边形的性质求出，再根据圆周角定理求出． 【详解】解：四边形内接于， ， ， 由圆周角定理得：， 故答案为：140． 9．（2025·江苏扬州·中考真题）如图，点，，在上，，则______． 【答案】40 【分析】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题关键．先根据圆周角定理可得，再根据等腰三角形的性质即可得． 【详解】解：∵点在上，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：40． 10．（2025·江苏常州·中考真题）如图，是的直径，是的弦．若，，则_________． 【答案】 【分析】根据直径所对的圆周角为，可知，求出，得到，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵是的直径， ， ∵与对应同一段弧， ， ， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角为，勾股定理，同弧所对的圆周角相等，等角对等边等性质，掌握圆周角定理的推论是解题的关键． 11．（2025·江苏淮安·中考真题）探究与应用 【问题初探】（1）在等腰三角形的底边上任取一点P（不与端点重合），连接，线段有何数量关系？下面是小刚的部分思路和方法，请完成填空： 如图（1），过点A作于点D， 在中，∵，∴．    ① 在中，∵，∴ ．    ② 由①－②得：． ∵，， ∴ ． ∴． …… 根据小刚的方法，可以得到线段的数量关系是 ． 【简单应用】（2）如图（2），在等腰直角三角形中，，点D在边上，，以为边构造正方形，利用（1）中的结论求正方形的面积． 【灵活应用】（3）如图（3），是的外接圆，的平分线交于点D，连接，若，，，求的长． 【深度思考】（4）如图（4），在中，，点D、E分别在边上，且满足，交于点P，若，则的值为 ． 【答案】（1），，，（2）（3）（4） 【分析】（1）根据三线合一、勾股定理和线段的和差关系，进行求解即可； （2）利用（1）中结论得到，进而求出，即可得出结果； （3）延长交于点，连接，利用（1）中结论得到，证明，得到，推出，代入中，进行求解即可； （4）设，根据三角形的外角结合三角形的内角和定理推出，作，垂足分别为，则：，根据，设，则，根据含30度角的直角三角形的性质，结合线段的和差关系，分别求出的长，进行求解即可． 【详解】解：（1）如图（1），过点A作于点D， 在中， ∵， ∴．① 在中， ∵， ∴．② 由①－②得：． ∵，， ∴． ∴． ∵， ∴， 故答案为：，，； （2）∵等腰直角三角形中，，， ∴， ∵， ∴； 由（1）中结论可知：，即：， ∴， ∴正方形的面积； （3）延长交于点，连接，则：， 由（1）中结论可知：，即：， ∴； ∵平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得； （4）∵， ∴， 设， 则：， ∵， ∴， ∴， 作，垂足分别为，则：， ∵， ∴设，则， 在中，， ∴，， ∴，， 同理：，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三线合一，勾股定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形等知识点，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线，构造特殊三角形和相似三角形，熟练掌握（1）中得到的结论，是解题的关键． 12．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，是的内接正n边形的一边，点C在上，，则________．    【答案】10 【分析】本题考查了正多边形和圆、圆周角定理等知识，求出中心角的度数是解题的关键．由圆周角定理得，再根据正边形的边数中心角，即可得出结论． 【详解】解：， ， ， 故答案为：10． 13．（2024·江苏常州·中考真题）如图，是的直径，是的弦，连接．若，则________． 【答案】 【分析】本题考查圆周角定理，根据同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角，结合三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：∵是的直径，，， ∴， ∴； 故答案为：． 14．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，是的内接三角形，若，则______． 【答案】##62度 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，连接，利用等腰三角形的性质，三角形内角和定理求出的度数，然后利用圆周角定理求解即可． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15．（2024·江苏盐城·中考真题）如图，是的内接三角形，，连接，则________．    【答案】50 【分析】本题考查主要考查圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，先根据圆周角定理计算出，再根据等边对等角得出，最后利用三角形内角和定理即可求出． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故答案为：50． 16．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，是圆的直径，、、、的顶点均在上方的圆弧上，、的一边分别经过点A、B，则__________．    【答案】90 【分析】本题考查圆周角定理，根据半圆的度数为，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，进行求解即可． 【详解】∵是圆的直径， ∴所对的弧是半圆，所对圆心角的度数为， ∵、、、所对的弧的和为半圆， ∴， 故答案为：90． 17．（2024·江苏淮安·中考真题）如图，点P是正六边形的边的中点，一束光线从点P出发，照射到镜面上的点Q处，经反射后恰好经过顶点C，已知正六边形的边长为2，则________． 【答案】## 【分析】延长、交于点，作于点，于点，如图所示，由正六边形的性质及等腰三角形的判定与性质得到，设，再由正六边形的性质得到相应边与角度，在中，由三角函数求出和长度，连接，如图所示，易证是矩形，得到，过点作，如图所示，由等腰三角形性质，解直角三角形得到，最后利用的性质列式求参数即可得到答案． 【详解】解：延长、交于点，作于点，于点，如图所示： 则， 在正六边形中，，则， 由反射光线的性质可知， ，即， ， ， ， 设，则， ， 六边形为正六边形， ， ， 是中点， ， 在中，，， ， 在正六边形中，，， ， ， ， 四边形是矩形， ，， 过点作，如图所示： 由等腰三角形三线合一性质可知平分，且是边上的中线， 在中，， ， ， ，则，解得， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查几何综合，涉及正六边形的性质、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定与性质、解直角三角形、矩形的判定与性质等内容，熟练掌握相关几何知识是解题的关键． 18．（2024·江苏扬州·中考真题）在综合实践活动中，“特殊到一般”是一种常用方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论． 如图，已知，， 是的外接圆，点在上（），连接、、． 【特殊化感知】 （1）如图1，若，点在延长线上，则与的数量关系为________； 【一般化探究】 （2）如图2，若，点、在同侧，判断与的数量关系并说明理由； 【拓展性延伸】 （3）若，直接写出、、满足的数量关系．（用含的式子表示） 【答案】（1）；（2）（3）当在上时，；当在上时， 【分析】（1）根据题意得出是等边三角形，则，进而由四边形是圆内接四边形，设交于点，则，设，则，分别求得，即可求解； （2）在上截取，证明，根据全等三角形的性质即得出结论； （3）分两种情况讨论，①当在上时，在上截取，证明，，得出，作于点，得出，进而即可得出结论；②当在上时，延长至，使得，连接，证明，，同①可得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴是等边三角形，则 ∵是的外接圆， ∴是的角平分线，则 ∴ ∵四边形是圆内接四边形， ∴ ∴ 设交于点，则， 设，则 在中， ∴ ∴， ∵是直径，则， 在中， ∴ ∴ （2）如图所示，在上截取， ∵ ∴ ∴是等边三角形， ∴，则 ∴ ∵四边形是圆内接四边形， ∴ ∴； ∵，， ∴是等边三角形，则 ∴， 又∵ ∴ 在中 ∴ ∴， ∴ 即； （3）解：①如图所示，当在上时， 在上截取， ∵ ∴ 又∵ ∴，则 ∴即 又∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 如图所示，作于点， 在中，， ∴ ∴ ∴，即 ②当在上时，如图所示，延长至，使得，连接， ∵四边形是圆内接四边形， ∴ 又∵ ∴，则 ∴即， 又∵ ∴ ∴ ∴， ∵ 同①可得 ∴ ∴ 综上所述，当在上时，；当在上时，． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，圆内接四边形对角互补，圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，等腰三角形的性质，熟练掌握截长补短的辅助线方法是解题的关键． 19．（2024·江苏南京·中考真题）如图，在的内接四边形中，，对角线是的直径．求证：四边形是矩形．    【答案】证明：是的直径， ，     在和中， ， ，     ， 又， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是矩形． 【分析】本题考查了矩形的判定，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识．由是的直径，可得，证明，得到，可证明四边形是平行四边形，即可解答． 【详解】略 20．（2024·江苏徐州·中考真题）在中，点在边上，若，则称点是点的“关联点”． (1)如图（1），在中，若，于点．试说明：点是点的“关联点”． (2)如图（2），已知点在线段上，用无刻度的直尺和圆规作一个，使其同时满足下列条件：①点为点的“关联点”；②是钝角（保留作图痕迹，不写作法）． (3)若为锐角三角形，且点为点的“关联点”．设，，用含、的代数式表示的取值范围（直接写出结果）． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点D是点C的“关联点”． (2)如图： (3)或 【分析】（1）证，根据“关联点”的定义即可得结论； （2）以为直径作，过点作的垂线，交于，由圆周角定理可得，由（1）可得，以为圆心，为半径作圆，在直线右侧的上取点作即可得答案； （3）分类讨论，①当时，根据第二问可得出锐角三角形时C的位置，再利用勾股定理求出临界值范围即可，②当时，同①方法． 【详解】（1）略 （2）解：如图，①作线段的垂直平分线，交于点； ②以为圆心，为半径作圆； ③过作交于点； ④以为圆心，为半径画圆，则点在上且在直线右侧．连接、，即为所求， 证明：∵在以为直径的圆上运动， ∴， 由（1）可知：， ∵， ∴． （3）①当时， 如图所示，结合第（2）问，我们发现当点C在直线左侧、A的右侧时，是锐角三角形， 此时， ∵，且，， 在中，， 在中，， ； ②当时，同理可得：； 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了尺规作图，圆周角定理、相似三角形的判定和性质、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识和正确理解题意是解题的关键． 21．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，是的直径，内接于，，的延长线相交于点，且． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1) 证明：∵ ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵ ∴， (2) 【分析】本题主要考查了圆周角定理，相似三角形的判定以及性质，圆内接四边形的性质，等边对等角等知识，掌握这些性质是解题的关键． （1）由等弧所对的圆周角相等可得出，再由等边对等角得出，等量代换可得出，又，即可得出． （2）连接，由直径所对的圆周角等于得出，设，即，由相似三角形的性质可得出，再根据圆内接四边形的性质可得出，即可得出的值， 进一步即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）连接，如下图： ∵为直径， ∴， 设， ∴， 由（1）知： ∴， ∵四边形是圆的内接四边形， ∴， 即， 解得： 22．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，中，，D为中点，，，是的外接圆． (1)求的长； (2)求的半径． 【答案】(1) (2)的半径为 【分析】本题考查相似三角形的判定及性质，解直角三角形，圆周角定理． （1）易证，得到，即可解答； （2）过点A作，垂足为E，连接，并延长交于F，连接，在中，通过解直角三角形得到，，由得到．设，则，，在中，根据勾股定理构造方程，求得，，由得到，根据正弦的定义即可求解． 【详解】（1）解：，， ． ，即 ，D为AB中点， ， ∴ ． （2）解：过点A作，垂足为E，连接，并延长交于F，连接， 在中，． 又， ． ∴在中，． ， ． 设，则，． ∵在中，， ，即， 解得，（舍去）． ，． ∵， ． 为的直径， ． ． ，即的半径为． 23．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知及边上一点． (1)用无刻度直尺和圆规在射线上求作点，使得；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，以点为圆心，以为半径的圆交射线于点，用无刻度直尺和圆规在射线上求作点，使点到点的距离与点到射线的距离相等；（保留作图痕迹，不写作法） (3)在（1）、（2）的条件下，若，，求的长． 【答案】(1) 如图所示，点O即为所求 (2) 如图所示， (3) 【分析】（1）根据尺规作角等于已知角的方法即可求解； （2）根据尺规作圆，作垂线的方法即可求解； （3）根据作图可得是直径，结合锐角三角函数的定义可得的值，根据勾股定理可求出的值，在直角中运用勾股定理即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：连接，以点为圆心，以为半径画弧交于点，以点为圆心，以任意长为半径画弧交于点，分别以点为圆心，以大于为半径画弧，交于点，连接并延长交于点， ∵是直径， ∴，即， 根据作图可得， ∴，即，是点到的距离， ∵， ∴， ∴， 点即为所求点的位置； （3）解：如图所示， 根据作图可得，，连接， ∴在中，， ∴， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， 设，则， ∴在中，， 解得，（负值舍去）， ∴， 在中，． 【点睛】本题主要考查尺规作角等于已知角，尺规作垂线，勾股定理，锐角三角函数的定义等知识的综合，掌握以上知识的综合运用是解题的关键． 考点03 正多边形与圆 1．（2026·江苏南通·中考真题）如图，正五边形内接于，的直径为，连接，，，．小慧、小丽经过探索，分别得到以下结论．小慧：；小丽：．下列关于两人结论的判断中，正确的是（     ） A．小慧和小丽的结论都正确 B．小慧和小丽的结论都错误 C．小慧的结论正确，小丽的结论错误 D．小慧的结论错误，小丽的结论正确 【答案】A 【分析】连接交于点，则，利用“同弧所对圆周角等于圆心角的一半”得到，即可算出小慧的结论是正确的；利用垂径定理可知，，则点是的中点且，，易求得，进而计算，利用“半径相等”及故“等边对等角”求得，由“三角形内角和定理”求得，则，由“对顶角相等”得，再由“三角形内角和定理”算得，从而，则：，小丽的结论正确． 【详解】 解：连接交于点， ∵正五边形内接于， ∴， ， ∴， 故小慧的结论正确； ∵， ∴，的直径为， ∴，点是的中点 ∴ ∴ 即，， ， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 又，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 故小丽的结论正确． 故选： ． 【点睛】本题考查了圆和正多边形的相关知识，圆周角定理，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，垂径定理等，熟练掌握这些知识是解决问题的关键． 2．（2026·江苏宿迁·中考真题）如图，正六边形的边长为2，连接、，以点为圆心，长为半径画，则、与围成的阴影部分面积为____________． 【答案】 【分析】阴影部分面积等于四边形面积减去扇形面积．四边形的面积通过利用六边形性质求得与的度数，证明与为直角三角形且全等，利用三角函数计算直角边长度后可得到直角三角形面积，进而得到四边形的面积． 【详解】解：如图所示，连接． 六边形是正六边形，边长为2， ， ． 又在中，，， 为等腰三角形，即， ， 同理可得，． 又在与中， ，， ， ． 在中， ， ， ． ， ， ， ， ． 3．（2025·江苏宿迁·中考真题）如图，正五边形内接于，连接，则的度数为____________． 【答案】 【分析】本题考查了圆与正多边形，正多边形的内角问题，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，熟练掌握相关计算公式是解题的关键． 先根据正五边形的内角公式求出，再由等边对等角结合三角形内角和定理求出，最后由即可求解． 【详解】解：∵正五边形内接于， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（2024·江苏苏州·中考真题）铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素．如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O，所在圆的圆心C恰好是的内心，若，则花窗的周长（图中实线部分的长度）______．（结果保留） 【答案】 【分析】题目主要考查正多边形与圆，解三角形，求弧长，过点C作，根据正多边形的性质得出为等边三角形，再由内心的性质确定，得出，利用余弦得出，再求弧长即可求解，熟练掌握这些基础知识点是解题关键． 【详解】解：如图所示：过点C作， ∵六条弧所对应的弦构成一个正六边形， ∴， ∴为等边三角形， ∵圆心C恰好是的内心， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长为：， ∴花窗的周长为：， 故答案为：． 考点04 点与圆、直线与圆的位置关系 1．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，将一根木棒的一端固定在O点，另一端绑一重物．将此重物拉到A点后放开，让此重物由A点摆动到B点．则此重物移动路径的形状为（    ）    A．倾斜直线 B．抛物线 C．圆弧 D．水平直线 【答案】C 【分析】本题考查动点的移动轨迹，根据题意，易得重物移动的路径为一段圆弧． 【详解】解：在移动的过程中木棒的长度始终不变，故点的运动轨迹是以为圆心，为半径的一段圆弧， 故选：C． 2．（2026·江苏镇江·中考真题）如图，正六边形的边长为1，连接并延长至点P，．M是正六边形边上的一个动点，N为该平面内一点，且满足．现有下列结论：①当点M，A重合时；②；③的最小值为1．其中所有正确结论的序号是__________． 【答案】②③ 【分析】连接交于G，连接，根据正六边形的性质得出，，正六边形关于直线对称，根据轴对称的性质得出，，根据含角的直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，，则当点M，A重合时，，结合，求出，即可判断结论①；连接交于H，同理可求，，证明四边形是平行四边形，得出，则，故当M和B重合时，取最小值为；当M和E重合时，取最大值为，结合，求出的最小值为，的最大值为，即可判断结论②；由②知点N在以P为圆心，大圆半径为4，小圆半径为2的圆环内运动，故当N在的延长线上，且取最小值时，取最小值，即可判断结论③． 【详解】解：连接交于G，连接， ∵正六边形的边长为1， ∴，，正六边形关于直线对称， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴当点M，A重合时，， 又， ∴，故结论①错误； 连接交于H， 同理可求，， 又， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵M是正六边形边上的一个动点， ∴当M和B重合时，取最小值为；当M和E重合时，取最大值为， 又， ∴的最小值为，的最大值为， ∴，故结论②正确； ∴点N在以P为圆心，大圆半径为4，小圆半径为2的圆环内运动， ∴当N在的延长线上，且取最小值时，取最小值， ∴的最小值为，故结论③正确， 综上，正确结论的序号是②③． 3．（2024·江苏常州·中考真题）对于平面内有公共点的两个图形，若将其中一个图形沿着某个方向移动一定的距离后与另一个图形重合，则称这两个图形存在“平移关联”，其中一个图形叫做另一个图形的“平移关联图形”． (1)如图，是线段的四等分点．若，则在图中，线段的“平移关联图形”是________，________（写出符合条件的一种情况即可）； (2)如图，等边三角形的边长是．用直尺和圆规作出的一个“平移关联图形”，且满足（保留作图痕迹，不要求写作法）； (3)如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别是、、，以点为圆心，为半径画圆．若对上的任意点，连接所形成的图形都存在“平移关联图形”，且满足，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2) 如图所示，即为所求； (3)或． 【分析】（）根据平移的性质，进行求解即可； （）延长，在射线上截取线段，分别以为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，即为所求； （）分在圆内和圆外两种情况，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵是线段的四等分点．， ∴， ∴， ∴线段的平移图形是，； 故答案为：，； （2）解：如图所示，即为所求； 由作图可知：， ∴四边形为菱形， ∴， ∵， ∴四边形为菱形， ∴， ∴即为所求； （3）解：∵点的坐标分别是、、， ∴， ∴，， ∵对上的任意点，连接所形成的图形都存在“平移关联图形”，且满足，且， ∴或， 如图，当 DE在外时,分别以点D,E为圆心,3为半径画弧,两弧交于点F,则取点F在y轴上半轴时，   ,, , ∴； 同理当在内时，分别以点D,E为圆心,3为半径画弧,两弧交于点F,则取点F在y轴下半轴时，   ,, ∴， 综上：或． 【点睛】本题考查图形的平移，点到圆上一点的最值，坐标与图形，勾股定理，菱形的判定，尺规作图等知识点，熟练掌握相关知识点，理解新定义，是解题的关键． 4．（2026·江苏常州·中考真题）如图，某小区有一个圆形活动广场，为丰富居民户外活动，物业向广场外围拓宽铺设宽的彩色环形塑胶跑道．改造后，含跑道的圆形活动区域的总面积为原来的4倍，求该广场原来的半径（单位：）． 【答案】该广场原来的半径为． 【分析】先找出等量关系，再列出一元二次方程，最后求解即可． 【详解】解：由题意可知，含跑道的圆形活动区域的半径为． 根据题意，得， 解得或（不符合题意，舍去）． 答：该广场原来的半径为． 5．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，中，，分别以B，C为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点D，连接，，，与交于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：由作图知：． 在和中， ． (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是： （1）直接利用证明即可； （2）利用全等三角形的性质可求出，利用三线合一性质得出，，在中，利用正弦定义求出，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：，， ． 又， ，． ， ， ． 考点05 弧长及扇形面积 1．（2026·江苏扬州·中考真题）“拧拉”是一种常用的乒乓球接发球技术．拧拉时，手肘保持不动，手腕绕手肘旋转划出一段圆弧．小明手腕到手肘的距离为，某次拧拉时手腕绕手肘旋转的角度为，小明手腕的运动路线长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意确定圆的半径和圆心角，利用弧长公式 进行计算即可． 【详解】解：根据题意可知，手腕的运动路线是一段圆弧， 半径，圆心角， 手腕的运动路线长：． 2．（2026·江苏连云港·中考真题）如图，扇形，点C在上．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，则，根据等边对等角与三角形内角和定理得到，，根据即可求出的度数． 【详解】解：连接，则， ∴， ， ∴． 3．（2025·江苏盐城·中考真题）如图（1）是博物馆屋顶的图片，屋顶由图（2）中的瓦片构成，瓦片横截面如图（3）所示，是以点为圆心， 为半径的弧，弦的长为，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的判定，求弧长，根据已知可得，则是等边三角形，进而根据弧长公式，即可求解． 【详解】解：依题意，， ∴是等边三角形． ∴． ∴的长为． 故选：D． 4．（2025·江苏无锡·中考真题）已知圆弧所在圆的半径为6，该弧所对的圆心角为，则这条弧的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是弧长的计算，利用弧长的计算公式计算即可．弧长公式：（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r），熟记公式是解题的关键． 【详解】解：， 故选：B． 5．（2025·江苏常州·中考真题）如图，的半径为2，直径、互相垂直，则弧的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查弧长的计算，熟练掌握弧长的计算公式是解题的关键．先利用直径、互相垂直，得出，再利用弧长公式计算即可． 【详解】解：∵直径、互相垂直， ∴， ∴的长是， 故选：C． 6．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，直线，直线分别交于点，以为圆心，长为半径画弧，分别交于直线同侧的点，，，则的长等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了弧长计算，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握相关的判定和性质是解题的关键．连接，先根据平行线的性质求出，，，根据平行线的性质得出，根据弧长公式求出结果即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵， ∴， 根据作图可知：， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴的长为． 故选：C． 7．（2025·江苏苏州·中考真题）“苏州之眼”摩天轮是亚洲最大的水上摩天轮，共设有28个回转式太空舱全景轿厢，其示意图如图所示．该摩天轮高（即最高点离水面平台的距离），圆心O到的距离为，摩天轮匀速旋转一圈用时．某轿厢从点A出发，后到达点B，此过程中，该轿厢所经过的路径（即）长度为________．（结果保留） 【答案】 【分析】本题主要考查了弧长计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键．先求出摩天轮半径，再求出，最后根据弧长公式求出结果即可． 【详解】解：∵最高点离水面平台的距离为，圆心O到的距离为， ∴摩天轮的半径为， ∵摩天轮匀速旋转一圈用时，轿厢从点A出发，后到达点B， ∴， ∴该轿厢所经过的路径长度为： ． 故答案为：． 8．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，是的内接三角形，．若的半径为2，则劣弧的长为_______． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，求弧长，先根据圆周角定理得，再结合弧长公式代入数值计算，即可作答． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，， ∴， ∴劣弧， 故答案为：． 9．（2025·江苏镇江·中考真题）为什么变速自行车会“变速”？ 变速自行车是常用的交通工具，图（1）所示的是某型号变速自行车的基本结构，图中处分别有几个大小不同的齿轮，链条连接的两个齿轮称为主动链轮、从动链轮． ［探究]为了便于研究主动链轮与从动链轮的关系，我们先探究一组相互啮合的两个齿轮（如图（2）），通过操作发现：两个齿轮如果可以实现传动，那么两个齿轮的齿距（相邻两齿在圆上的弧长）相等，相同时间内啮合的齿数相等． （1）已知主动轮、从动轮的齿数分别为、，主动轮每分钟转圈，则每分钟啮合的齿数有_____个，从动轮每分钟转圈，则每分钟啮合的齿数有_____个，由于相同时间内啮合的齿数相等，从而可推出与的关系是_____． （2）如图（3），在主动轮与从动轮之间加入一个“惰轮”形成新的齿轮组合，已知主动轮、从动轮的齿数分别为32齿和14齿． 若主动轮的转速为每分钟70圈，求从动轮的转速，并说一说图（3）的齿轮组合在实现传动时，“惰轮”的作用是什么？ ［发现]不难发现，变速自行车中的链条作用如同“惰轮”．若骑行者每分钟蹬的圈数不变，实现自行车“变速”的方法可以是_____（写出一种即可）． 【答案】［探究]（1），，（2）从动轮的转速为每分钟160圈，“惰轮”的作用是使从动轮与主动轮旋转的方向保持一致［发现] 更换不同齿数的从动轮或主动轮 【分析】本题主要考查了圆的性质，旋转的性质，比的应用，解题的关键是理解题意，找到等量关系． ［探究]（1）根据题意，列出代数式，根据等式求出比值即可； （2）借助（1）的结论，根据齿数相等，进行求解即可，观察图中圆旋转的方向，可得“惰轮”的作用； ［发现]根据齿数相等，可选择更换不同齿数的从动轮或主动轮进行变速． 【详解】解：［探究]（1）主动轮每分钟转圈，则每分钟啮合的齿数有个，从动轮每分钟转圈，则每分钟啮合的齿数有个， ∵ ∴， 故答案为：，，； （2）从动轮的转速为（圈/分钟）， “惰轮”的作用是使从动轮与主动轮旋转的方向保持一致， ∴从动轮的转速为每分钟160圈； ［发现]实现自行车“变速”的方法可以是：更换不同齿数的从动轮或主动轮． 10．（2025·江苏淮安·中考真题）观察点和观察的图形在同一平面内，我们把以观察点为顶点，包含被观察图形的最小角称为从观察点观察该图形的张角．如图（1），为观察点P观察正方形的张角．如图（2），在正方形所在平面内观察这个正方形，若张角为，则观察点的位置都在图中的圆弧上．如图（3），等边三角形的边长为6，在三角形所在平面内观察这个三角形，若张角为，则所有符合条件的观察点组成的图形周长为______． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，弧长公式，等边三角形的性质等知识点，难度较大，解题的关键是确定所有符合条件的观察点组成的图形． 先作出符合题意的图形，再根据弧长公式求解整个图形的周长即可． 【详解】解：先作出点关于的对称点，连接，以点为圆心，为半径画圆， 则， ∴， 同理作出圆， ∴点在以为弦的优弧上，如图： 延长交圆于点，当点在劣弧上时，此时不符合题意，如图； ∴点P组成的图形应去掉6段和劣弧一样的弧，如图： 作以点为圆心，为半径的圆与圆交于点，当在劣弧上也符合题意，此时， ∴点也可以在另外两段和劣弧一样的弧，如下图，整个实线图形即为所有符合条件的观察点组成的图形， ∴周长为， 故答案为：． 11．（2024·江苏徐州·中考真题）将圆锥的侧面沿一条母线剪开后展平，所得扇形的面积为，圆心角θ为，圆锥的底面圆的半径为______． 【答案】 【分析】本题考查的是圆锥的计算、扇形面积公式，熟记扇形面积公式是解题的关键．先根据扇形面积公式求出扇形的半径，再根据扇形面积公式求出弧长，最后根据圆的周长公式计算即可． 【详解】解：设扇形的半径为，弧长为， 由题意得：， 解得：（负值舍去）， 则， 解得：， ∴圆锥的底面圆的半径为：， 故答案为：． 12．（2024·江苏淮安·中考真题）如图，是的内接三角形，，半径为3，则的长为____． 【答案】 【分析】本题主要考查圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．根据圆周角定理求出，再由弧长公式计算即可． 【详解】解：， ， ． 故答案为：． 13．（2024·江苏宿迁·中考真题）已知圆锥的底面半径为3，母线长为12，则其侧面展开扇形的圆心角的度数为________°． 【答案】 【分析】本题考查圆锥的侧面积，以及扇形面积，解决本题的关键是掌握圆锥的侧面积公式，以及扇形面积公式．设侧面展开扇形的圆心角的度数为度，根据“圆锥的侧面积扇形面积”建立等式求解，即可解题． 【详解】解：设侧面展开扇形的圆心角的度数为度， 侧面展开扇形的面积为：， 解得， 故答案为：． 考点06 圆锥的有关计算 1．（2026·江苏镇江·中考真题）已知圆锥的底面圆半径为5，母线长为12，则该圆锥的侧面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆锥的侧面积公式计算即可． 【详解】解：圆锥的侧面积． 2．（2024·江苏无锡·中考真题）已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为4，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆锥的侧面积展开图公式，解题的关键是掌握圆锥的侧面积的计算公式：圆锥的侧面积底面半径母线长． 【详解】解：， 故选：B． 3．（2026·江苏徐州·中考真题）如图，用一张半径为的扇形纸板做一个圆锥形帽子（接缝忽略不计），若做成的圆锥形帽子的底面半径为，则该扇形纸板的面积为__________． 【答案】 【分析】圆锥的侧面展开图是扇形，该扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，利用扇形面积公式求解； 【详解】解：设圆锥底面半径为，扇形半径为， 由题意得，， ∴圆锥底面周长， ∴扇形面积． 4．（2025·江苏盐城·中考真题）已知圆锥的侧面积为，母线长为5，则圆锥的底面半径是_____． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥侧面积公式，根据，代入数据即可得到答案． 【详解】解：∵ ∴， ∴， 故答案为：． 5．（2025·江苏宿迁·中考真题）已知圆锥的底面半径为3，高为4，则其侧面积为___________． 【答案】 【分析】考查圆锥侧面积的计算，勾股定理，熟记侧面积计算公式是解题的关键． 根据已知和勾股定理求出母线的长，再根据圆锥侧面积公式即可求解． 【详解】解：由题意得母线长为， ∴其侧面积为， 故答案为：． 6．（2024·江苏南通·中考真题）已知圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积为______． 【答案】 【分析】本题考查求圆锥的侧面积，根据圆锥的侧面积公式进行计算即可． 【详解】解：圆锥的侧面积为； 故答案为：． 7．（2024·江苏扬州·中考真题）若用半径为的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径为____． 【答案】5 【分析】本题考查了圆锥的计算．用到的知识点为：圆锥的侧面展开图弧长等于底面周长． 根据题意得圆锥的母线长为，以及圆锥的侧面展开图的弧长，也就是圆锥的底面周长，除以即为圆锥的底面半径． 【详解】解：圆锥的侧面展开图的弧长为， ∴圆锥的底面半径为， 故答案为：5． 8．（2024·江苏盐城·中考真题）若圆锥的底面圆半径为4，母线长为5，则该圆锥的侧面积为___________． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的侧面积，熟练掌握圆锥的侧面积公式是解题的关键．根据圆锥的侧面积公式即可求解． 【详解】解：该圆锥的侧面积为． 故答案为：． 1．（2026·江苏南通海门区·中考模拟）一个圆锥，其母线长为，底面圆半径为，则侧面展开图圆心角度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】圆锥底面圆的周长等于其侧面展开扇形的弧长，圆锥母线长等于扇形的半径，利用该关系列方程即可求解圆心角度数． 【详解】解：设侧面展开图的圆心角度数为， ∵母线长为，底面圆半径为，且圆锥底面周长等于侧面展开扇形的弧长， ∴底面圆周长为，侧面展开扇形的弧长为， ∴， 解得， ∴侧面展开图圆心角度数为． 2．（2026·江苏宿迁泗洪县·中考模拟）如图，是的内接三角形，若，连接，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据圆周角定理求出的度数，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：连接， ， ． ， ， ． 3．（2026·江苏徐州铜山区·中考模拟）如图，四边形内接于，若，则______°． 【答案】80 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形对角互补是解题关键．根据圆内接四边形对角互补求解即可． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴． 故答案为：80． 4．（2026·江苏宿迁泗洪县·中考模拟）一个扇形的弧长为，圆心角为，则扇形的半径为________． 【答案】6 【分析】本题考查弧长的计算，掌握弧长的计算方法是正确计算的前提．圆心角为，半径为的扇形的弧长为，根据弧长计算公式列方程求解即可． 【详解】解：设扇形的半径为，由题意得， ， 解得， 故答案为：6． 5．（2026·江苏南京·中考模拟）在正十二边形中，顺次连接某几个顶点恰好构成一个正边形，则可以是____________（写出一个）． 【答案】 （答案不唯一，均正确） 【分析】要在正十二边形中顺次连接顶点构成正边形，必须是的不小于的正约数，据此解答即可． 【详解】解：要使得取出的顶点构成正多边形，顶点个数需要是的正因数且大于等于， 因为的正因数中大于等于的有，，，，所以，任取一个即可，这里取． 6．（2026·江苏宿迁宿城区·中考模拟）如图，在中，，，将绕点B顺时针旋转得到，且点落在边上，连接．若，则的长度是______． 【答案】 【分析】根据旋转的性质和等腰三角形的性质可得，，设，求出，，根据等腰三角形的性质可得，据此列方程即可得解． 【详解】由旋转的性质可知，，，， ， ， ， 设， ， ， ， ， ， ， ， ， 的长度是． 7．（2026·江苏宿迁宿城区·中考模拟）用半径为4，圆心角为90°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为_____． 【答案】1 【分析】设这个圆锥的底面圆半径为r，利用弧长公式得到并解关于r的方程即可． 【详解】设这个圆锥的底面圆半径为r， 根据题意得2πr=， 解得r=1， 所以这个圆锥的底面圆半径为1． 故答案为1． 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 8．（2026·江苏徐州铜山区·中考模拟）小刚用一张半径为的扇形纸板做一个圆锥形小丑帽子的侧面（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形小丑帽子的底面半径为，那么这张扇形纸板的面积是________． 【答案】 【分析】根据圆锥侧面展开图的性质，圆锥底面周长等于侧面展开扇形的弧长，先求出圆锥底面周长得到扇形弧长，再利用扇形面积公式计算即可； 【详解】解：根据圆的周长公式，可得圆锥形帽子底面周长为： 圆锥底面周长等于侧面展开扇形的弧长，因此扇形的弧长，已知扇形半径 根据扇形面积公式，得： ； 试卷第1页，共3页 2 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $