专题10 二次函数的图象、性质与应用（3年汇编）（江苏专用）2024-2026年中考数学真题分类汇编

可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题10二次函数的图象、性质与应用 3年真题1年模拟：答案版 三年真题分类园 0考点01二次函数的图象与性质 1.D 2.C 3.B 4.5 5.①③④ 21 6.4 3 7.4#拼0.75 8.(1)2 (2) 解，A=(m-4×分×(m-)=m-2m+2=(a-+1, (m-1)}≥0 (m-1)2+1>0 .△>0 ∴，该二次函数的图像与x轴有两个不同的公共点； 6P>1或P<- 9.-4≤y≤5 1/21 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 10.①②⑤ 1.002号 ,9 ②猜想0<n≤)，理由如下： :点P在直线EF上， .n=t, 9 9 t= 由(1)知：当2时，此时 F=22×2-6 9 当>2时， EF>6,此时直线EF上不存在点P使PE+PF=6, .:n 2 1 又：过点T(O,)作y轴的垂线与y=2的图像交于点E,F, 1 而y=2的最小值为y=0, n>0; ..0ns 2: +5--6时1 12.(1)8 2032成3V2 2或 ②当-4≤b≤-1或b>2时，h随b增大而增大；当-1<b≤2或b<-4时，h随b的增大而减小， .P(-2b,8-b2) ·P到直线m距离为h=8-2-2 当8-2-2b≥0时，即4≤b≤2时，h=-b-2b+8=-(b++9 ∴.当4≤b≤-1时h随b的增大而增大，-1<b≤2时h随b的增大而减小： 2/21 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 当8-B2-2b<0时，即b>2或b<-4时，h=+2b-8=(b+-9。 ∴当b<-4时h随b的增大而减小，b>2时h随b增大而增大： “综上所述，当4≤b≤-1或b>2时，h随b增大而增大：当-1<b≤2或b<-4时，h随b的增大而减小， .1 )a<0或0<a≤3或a≥写 13.①②④ 3 14.-5拼0.6 15.(1)2 2-m2 2m-2m+(m≠1且m≠士v2) g)V2<m<0 16.【答案】1)a,c的值分别为山，3 (2)-2或2 6)2-5≤n-m≤5-V2成5+2≤n-ms2+5 或 【分析】(I)利用待定系数法即可求解： (2)分p≤-山，-1<p≤1，p>1三种情况考虑即可： (3)利用求根公式表示抛物线上点的横坐标，按点与对称轴的位置分类，结合函数增减性确定代数式 n-m的取值范围。 【详解】（)解：：二次函数'=r+2x+C的图象与轴分别交于点 (-1,0)B(3,0) a-2+c=0 .9a+6+c=0, a=-1 解得c=3, 即a,c的值分别为-l,3: 3/21 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y=-x2+2x+3 (2)解：抛物线的解析式 其对称轴为直线=1，最大值为=4 当=P时，y=-p+2p+3 =p+2时，y=-p-2p+3 当 当p≤-1时，p+2≤1， 则当P≤x≤p+2时，函数值随自变量的增大而增大， :y=-p2-2p+3=3 解得P=0(舍去)或p=-2: 当1<卫≤1时，-1<p≤x≤p+2≤3，函数值随自变量先增加后减小，从而在顶点处取得最大值4，不符 合题意； 当P>1时，函数值随自变量的增大而减小，此时函数当x=P时取得最大值， :少=-p2+2p+3=3 解得p=0(舍去)或P=2: 综上，满足题意的P值为-2或2： (3)解：抛物线的对称轴为直线x=1,最大值为4，且抛物线开口向下， 当0≤t<t+1≤2时，则0≤t≤1,1≤t+1≤2， 作直线”=交抛物线于点，4，且“在4的左侧，如图，作直线=2交抛物线于点心，心，且V N 在“的左侧， 令y=-x+2x+3=1 解得=1+5或=15 4/21 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y=2N/ N2 y=1 M7 M A sM-v5,.M,+5, y=-x2+2x+3= ,解得=1+5或=1-2 N-5,2.N+2,2. .m<n,t<t+1, AM 点M在曲线段上，点N在曲线段T 段4X或4，N上， ①当点N在曲线段 1上时， Ma.a+分别人：2x32 -m2+2m+3=t 得-n2+2n+3=t+1, (n-m)(2-m-n)=1 两式相减，整理得 n-m= 2-(m+n), 当m+n取得最小值时，n-m取得最小值，当m+n取得最大值时，n-m取得最大值， 当点M在A处，点N在点“处时，m+”取得最小值，且最小值为1+1-5=一5 M 此时 n-m= =2-5 2-(-3) M 当点M在处，点N在点处时，m+”取得最大值，且最大值 -5+1-2=2-5-5,此时 5/21 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1 n-m 2-2-5-v万5-2 :2-5≤n-m≤5-V5 ②当点N在曲线段 M,心上.点M在A处，点N在点：处时， ”-m取得最大值，且为+5-（-)=2+5 当点M在M处，点N在点N处时，n-m取得最小值，且为+2-(-V5)=5+迈 :5+2≤m-ms2+5 综上， 2-3≤n-m≤√3-V2V3+V2≤n-m≤2+V3 或 17.【答案11 (2)2或1 3)整数a有4个 【分析】本题主要考查二次函数的性质和点到坐标轴的距离，以及解不等式方程. ()根据慰意代入化简得)=2(x-旷+8，结合二次函数得性质得取最小值时x的取值即可： 回结合盟或得到的-子代入-次商数化简树=2r(台2小++[侣， 利用二次函数的性质求 得a的值，进一步求得点P,即可知点P到y轴的距离： ()结合己知得等式化简得'=2-(a+3列r+a+, 结合o的范围求得a的可能值，即可得到整数a的 个数. 【详解】(1)解：有题意知y=(+旷+(x-3)'=r+2x+1+2-6x+9=2x2-4x+10 =2(x2-2x+1+8=2(x-1)2+8 当方1 时，y取得最小值8： 6/21 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)解：“点P(a,b)在双曲线y=-上， 62 a, y=-a+e-=(-+ =r-x+++r =x+任2aj*+, 1 =2 (42a 1,化解得 2×2 2 2-a-2= 0解得。=2或。，= 则点P2废P-12) .点P到y轴的距离为2或1； (3)解：y=(x-a+(x-b)} =x2-2ar+a2+x2-2bx+b2 =2x2-(2a+2b)x+a2+b .a2-2a-2b+3=0, .a2+3=2a+2b, :y=2xr-(a2+3r+a2+b 15653 7/21 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .Is- (a2+3) <3 2×2 化简得1≤a2<9, a=-2,-11,2. 则整数a有4个 国晶考点02二次函数的图象平移 1.B 2.D 3.(1)3 a (3)m<0或m≥3 4.1 考点3二次函数与一元二次方程、不等式 1.C 2.【答案】()a>2 (2)a=1 3) 证明：当x=0时， w-=-0 所以二次函数的图像不经过原点. 【分析】本题考查二次函数图像与x轴的交点问题，以及二次函数图像的性质.熟练掌握二次函数的图像 和性质是解题的关键， （1)由二次函数的图像与直线'=2 有两个交点，知函数的最小值小于20，列式计算即可： (2)根据图像与x轴有交点，△≥0，列式计算即可； 8/21 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 0,即可证明 【详解】(1)解：因为二次函 y=r2+2(a+10x+3a2-2a+3中，1>0， 所以二次函数的图像开口向上， 因为二次函数的图像与直线'=20 有两个交点， 所以函数的最小值小于2a2, 4(3a2-2a+3-4(a+1 则 -=2a2-4a+2 即2a2-4a+2<2a2, 1 解得a> 2· (2)解：因为二次函数的图像与x轴有交点， 所以A=4a+-4x1x(3a2-2a+3)=8a2+16a-8=-8a-1）≥0 所以8(a-1s0 又因为8(a-)≥0 所以8(a-=0 解得a=1. (3)略 自品考点04二次函数的实际应用 1.C 2.B 3.8 9/21 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 112 5 ,12 4. (1)扣杀球击球路线的函数表达式为y=一 x2+ +5:网前吊球击球路线的函数表达式为'=6 5: 8V3-8 (2) 5一：(3)乙能接到网前吊球的击球 5.(1)5.2,4 1 (2)y= x2+0.2x 169 3)停车距离约为5.7m 6.5 7.【答案】(1)火箭点火后13s降落伞将打开. (2)解：火箭上升过程中，不存在经过5s恰好上升75m的情形；理由如下： 当h=75时，得-t+26t+1=75, 整理，得t-26t+74=0, :△=(-26)-4×1×74=380>0 4=26±V380-13±V95 故方程的两个不相等的实数根为： 2 根据题意，火箭上升阶段的时间范围为：0≤t≤13， :13+V95>13 .t=13+V95 不在范围内，舍去： t=13-V95<13 .t=13-V95 在时间范围内， .t=13-V95≠5 故火箭上升过程中，不存在经过5s恰好上升75m的情形. 【分析】(1)将解折式配方，得4=-(-26+13-169)+1=--13+170，根据函数的性质，确定面 10/21 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 数取得最大值条件即可： (2)令函数值等于75，建立一元二次方程，求得方程的两个根，根据方程的根，判断是否有一个根是 5,求解即可. 【详解】(1)解：根据题意，得 h=-(2-26t+132-169)+1=-(t-13)}2+170 -1<0, 当t=13时，函数取得最大值， 故火箭点火后13s降落伞将打开. (2)解：略. 8.【答案】(1)建立平面直角坐标系如图： 6 抛物线表达式为y= 7万*6 39 2)拱顶c到水面的距离为75 m 【分析】(I)以点D为坐标原点，射线DB方向为x轴正方向，射线DC方向为y轴正方向建立平面直角 坐标系，再由待定系数法求解即可； ②当桥共CB下的水面宽为28m时，则水面上的点的横坐标为14，将x14代入y号2+6求 出水面距离AB的高度，即可求解拱顶C到水面的距离 【详解】(I)解：以点D为坐标原点，射线DB方向为x轴正方向，射线DC方向为y轴正方向建立平面 直角坐标系，如图： C 6 11/21 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 由题意得， D84Bx30=15(.c06 (15,0) 则 设抛物线表达式为》=r+c 152a+c=0 代入C(0,6),B(15,0)可得c=6 2 a=- 75 解得c=6 抛物线的表达式为y=一5+6 (2)解：当桥拱ACB下的水面宽为28m时，则水面上的点的横坐标为±14， 将x=14代入y=行+6，可得y= 2 ×142+6=58 75 75 58392 “此时拱顶c到水面的距离为6- 7575 (m) 392 答：拱顶c到水面的距离为75 m 9.【答案】(1)解：建立如图所示的平面直角坐标系： 5m 10m 由题恋可知，抛物线的腹点幽标是82）且经过右015) 设抛物线的解析式为'=a(x-3+2(a≠0)，其中x>0, 将点0,1.5)代入得：0-3a+2=15 12/21 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 解得4、 18: 地物线的解折式为=点-3+2(>0。 当，0时，点-3+2=0， 解得x=9或x=-3<0(不符合题意，舍去)， .9≠10」 ∴.沙包不能正好命中靶心. 19 (2)沙包达到最高点时距离地面10米 3,2) 【分析】(1)先建立平面直角坐标系，则可得抛物线的顶点坐标是 且经过点(Q,1.5) 再求出抛物 线的解析式，求出y=0时，x的值，由此即可得： (2)先建立平面直角坐标系，则可得抛物线经过点(0,1.5)，(0，) 且它的顶点的横坐标为4，再求出抛 物线的解析式，求出其最大值即可. 【详解】(1)略。 (2)解：建立如图所示的平面直角坐标系： .5m 10m 由题意可知，抛物线经过点01.5)，(0，) 且它的顶点的横坐标为4， 设抛物线的解折式为'=a,(-4+k(a,≠0），其中x>0, (0-4}a,+k=1.5 将点(0,1.5)(10,1)代入得： (10-4)2a2+k=1, 13/21 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 9÷、1 40 解得 19, k= 10 六物物线的解折式为= 40r-4+9 x>0), 19 由二次函数的性质可知，当x=4时，y取得最大值，最大值为0， 19 即沙包达到最高点时距离地面10米. 10.【答案】)a=- 21 160 17 2 ②)90≤a≤25 1 。-V17-9 6)=10或a= a=- 80 【分析】(1)根据可知当投掷的距离为8m时，铅球落地，即=8时，y=0, (8,0) ,然后将点代入二次函 数解析式即可求出a的值. 2少山腿意可知整物线对对轴直线在x=5的左侧，且当=6时。=36加+6+220，然后列图不爷式 组求解即可. (3)根据函数图象，分三种情况求解，即对称轴在4的右侧；对称轴在2的左侧；对称轴在2和4之间， 然后结合二次函数的图象和性质分别求出最大值和最小值，结合己知条件列出方程求解并进行取舍即可得 出答案 【详解】(1)解：由题意可知，当投掷的距离为8m时，铅球落地，即x=8时，y=0, 将点(8.0)代入y=ax2+4x+2a<0,得 4 0=64a+-×8+2 5 21 解得a= 160· 14/21 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)解：y=ar2+ 4 +2a<0)】 4 2 ∴抛物线的对称轴直线为x=-5= 2a 5a ,当5<x<6时，铅球处于下落状态， 2 4 ∴抛物线的对称轴直线a5,且当x=6时，y=36a+ ×6+2≥0 17 2 解得：90≤a≤ 25 (3)解：y=ar2+4 ,22 x+2=ax+- Sa 25a, 一抛物线的对称轴直线为x=-5=一2 2a 5a 分三种情况： 1)当对称轴5a ≥4时，即a≥- 10,当2≤x<4时，y随着x的增大而增大， ,8 即当x=2时，ym=4a++2=4a+3.6, 5 当x=4时，ymx=16a +16+2=16a+5.2, 16a+5.2-(4a+3.6)=0.4 根据题意可知： 1 解得a=- 10, 2)当对称轴2时，助as1 5,在2≤x≤4时，y随着x的增大而减小， 8 此时即当x=2时，nx=4a++2=4a+3.6, 5 16 当x=4时，an=16a+ +2=16a+5.2 5 4a+3.6-(16a+5.2)=0.4 根据题意可知： 15/21 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1 解得a=- 6,(舍去) 2 (3)当2< <4时，即5 5a . 2 2 当x=4时离对称轴直线x=一5a较x=2时离对称轴直线x= 5a远时， 则当x=4时，am=16a+16 +2=160+5.2 2+2- 即当品时.+号 4+2 4 根据题意可知：25a+2-(16a+5.2)=04, √17-9 -√17-9 .a= a=- 解得"80（舍去）或80 2 2 当x=4时离对称轴直线=50较x=2时离对称轴直线x= 5a近时， 则当x=2时ym=4a +写+2=40+3.6 2 （22,42 当=品时，=aa+5a -+2 +2522 根据题意可知：-25 4+2-(4a+3.6)=0.4, 解得0=5（合）减a=0《含). 2 1 1 a=- a=f7-9 综上： 10或80. 11.【答案】(1)图1的正方形面积较大 2在图3中，y=-3x-1+ 3 4 4,当x=1m时，长方形的面积有最大值为4m;在图4中， 16/21 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y=- 12 52,3 5 3， 2-4)+子，当=m时，长方形的面积有最大值为4m 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，二次函数的应用，正确掌握相 关性质内容是解题的关键. ()先运用勾股定理算出4B=VBC+AC=25(m）,再运用正方形的性质分别证明Rt△ADE∽Rt△ACB RtDEC∽RtaABC'Rta4DGRtABC'然后代入数值化简得) 25 :5,进行计算得x=30。 37m,然 后进行比较，即可作答. (2与（同理证明DEnR1CB:测长方形的面积=DE×DC=子-广+子结合二次函数 的图象性质得当x=1m时，长方形的面积有最大值为m.,然后证明RtDEC∽RtsABC, Ra1DG∽RaBC,再把数代入长方形的面积y=DE×DG,化简得=- 到+合 数的图象性质进行作答即可， 【详解】(1)解：，BC=2m,△ABC的面积为l.5m, 4c=15=1.5(m) 2+2 4B=BC+AC-2.5(m) 设正方形的边长为m, ,四边形CDEF是正方形 .DE∥CF,∠ADE=∠C=90°，DE=CD=x,AD=1.5-x, ∠A=∠A .Rt△ADE∽RtAACB DE AD 得CBAC· 17/21 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 x1.5-x 即2=1.5· 6 解得x= (m)】 ,四边形GDEF是正方形 DEGF, ∴.∠CED=∠B,∠EDC=∠A .RtADEC∽Rt△ABC, DC AC 3 得DEAB5' DC 3 即DE5, AD-AC-DC=3_3 25x, .∠A=∠A,∠AGD=∠C=90° .Rt△ADG∽RtAABC, DG BC 得DAAB· 4 即33 251 3 37(m) 解得x 630 :7237’ > .图1的正方形面积较大. (2)解：，四边形CDEF是长方形 ∴.DE∥CF,∠ADE=∠C=90°，DE=CF=x,AD=1.5-x, .∠A=∠A .RtAADE∽RtAACB; 18/21 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 、ADAC3 得DECB4' 则4D3 DC=AC-AD=6-3x 4 长方形酒疾=0E0C=6”0---经 4 3 :4 0 .开口向下， 3 当x=m时，长方形的面积有最大值为子m。 在图4中，同理得RtADEC∽RtAABC, DE AB5 得DCAC3' 3 33 .DCx DA=AC-DC2 同理得RtAADG∽RtAABC, DG BC 4 得DABA5’ DG=4DA-4 433 则 5 长方面0=. 12 25<0 开口向下， 5 3 一当x=4m时，长方形的面积有最大值为m 170 12.【答案】任务1：y=3x+ 3;任务2：w=-2x2+72x+3360(x≥10)：任务3：安排19名工人加工 “雅”服装，17名工人加工“风”服装，34名工人加工“正”服装，即可获得最大利润 【分析】题目主要考查一次函数及二次函数的应用，理解题意，根据二次函数的性质求解是解题关键 任务1：根据题意安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，得出加工“正”服装的有 19/21 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (0-x-y)人， 然后利用“正”服装总件数和“风”服装相等，得出关系式即可得出结果： 任务2：根据愚意得：“雅”服装每天获利为：100-2(x-10儿， 然后将2种服装的获利求和即可得出 结果； 任务3：根据任务2结果化为顶点式，然后结合题意，求解即可. 【详解】解：任务1：根据题意安排70名工人加工一批夏季服装， ,安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装， ∴加工“正”服装的有 70-x-人， ,“正”服装总件数和“风”服装相等， :(70-x-)x1=2y 整理得：y=方+公： 任务2：根据题意得：“雅”服装每天获利为： x[100-2(x-10)] :w=2yx24+(70-x-y）x48+x[100-20x-10] 整理得：”=(-16r+1120)+(-32x+2240)+(-22+120x) :.w=-2x+72x+360(x≥10) 任务3：由任务2得w=-2r+72x+3360=-2(x-18+4008 .当x=18时，获得最大利润， y=-x18+33, 1 7052 3 .x≠18， 开口向下， .取x=17或x=19 当x=7时，少=3，不符合题意。 20/21 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 当x=19时，y= =17,符合题意： 3 .70-x-y=34. 综上：安排19名工人加工“雅”服装，17名工人加工“风”服装，34名工人加工“正”服装，即可获得 最大利润， V一年模拟练测园 1.B 2.m<-1 3.3 4. 210 5.【答案】①y-4+28x+240(0<x≤3) (2)当x=3时，每周总利润最大，最大总利润为288元. 【分析】(1)根据题意，由总利润等于销售量乘以单件利润，可得出'与x的函数关系式： (2)将y与x的函数关系式转换为顶点式，结合0<x≤3，即可得出最大利润和所对应的售价. 【详解】(1)解：结合题意，得 y=(12-x)(20+4x)=-4x2+28x+240 放'与的两数关系式为'4+28x+2400<x≤3) （2)解.y=-4x2+28x+240=-4x二号+289 7 :0<x≤3，抛物线的对称轴为直线x=2,抛物线的开口向下： 当=3时，利相最大，我值为4 +289=288元. 21/21 专题10 二次函数的图象、性质与应用 3年真题1年模拟 考点分类 江苏考情（2024-2026） 命题规律 考点01 二次函数的图象与性质 （2026·江苏南通·中考真题） （2025·江苏南通·中考真题） （2024·江苏连云港·中考真题） （2026·江苏苏州·中考真题） （2026·江苏淮安·中考真题） （2025·江苏淮安·中考真题） （2025·江苏徐州·中考真题） （2025·江苏盐城·中考真题） （2025·江苏镇江·中考真题） （2024·江苏淮安·中考真题） （2024·江苏镇江·中考真题） （2024·江苏苏州·中考真题） （2024·江苏南京·中考真题） （2026·江苏徐州·中考真题） （2024·江苏南通·中考真题） · 情境设置：以纯数学符号与图象为主，多含参数a、b、c，结合点坐标、对称轴、顶点设问。 · 考查重点：开口方向、增减性、最值、图象与系数关系、代数式符号判断。 · 命题趋势：由单一性质判断转向多参数综合推理，强化数形结合与分类讨论。 考点02 二次函数的图象平移 （2026·江苏徐州·中考真题） （2024·江苏南通·中考真题） （2025·江苏常州·中考真题） （2024·江苏徐州·中考真题） · 情境设置：以顶点式或一般式抛物线为载体，结合坐标系平移操作。 · 考查重点：平移方向与单位对应的解析式变化，平移后顶点坐标求解。 · 命题趋势：平移与一次函数、几何图形交汇，注重变换前后关系推理。 考点03 二次函数与一元二次方程、不等式 （2026·江苏无锡·中考真题） （2025·江苏连云港·中考真题） · 情境设置：二次函数与一次函数图象交点、抛物线与x轴交点问题。 · 考查重点：交点横坐标与方程根的关系，图象位置确定不等式解集。 · 命题趋势：强化函数图象交点与方程、不等式解集的互化，突出数形结合。 考点04 二次函数的实际应用 （2026·江苏镇江·中考真题） （2025·江苏南通·中考真题） （2025·江苏连云港·中考真题） （2025·江苏盐城·中考真题） （2025·江苏徐州·中考真题） （2025·江苏宿迁·中考真题） （2026·江苏盐城·中考真题） （2026·江苏淮安·中考真题） （2026·江苏无锡·中考真题） （2026·江苏宿迁·中考真题） （2024·江苏盐城·中考真题） · 情境设置：火箭升空、桥拱、铅球、丢沙包、刹车距离、生产方案等现实情境。 · 考查重点：建立二次函数模型，求最值、范围及实际意义解释。 · 命题趋势：情境更贴近生活与跨学科，注重建模能力与方案优化决策。 考点01 二次函数的图象与性质 1．（2026·江苏南通·中考真题）二次函数的部分图象如图所示，当时，的值可以是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2025·江苏南通·中考真题）在平面直角坐标系中，五个点的坐标分别为．若抛物线经过上述五个点中的三个点，则满足题意的的值不可能为（   ） A． B． C． D． 3．（2024·江苏连云港·中考真题）已知抛物线（a、b、c是常数，）的顶点为．小烨同学得出以下结论：①；②当时，随的增大而减小；③若的一个根为3，则；④抛物线是由抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的．其中一定正确的是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 4．（2026·江苏苏州·中考真题）如图，关于的二次函数的图像为抛物线，直线与抛物线交于，两点，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，．若四边形为正方形，则_________． 5．（2026·江苏淮安·中考真题）已知二次函数（，，为常数，）的图像过点，则下列说法正确的是__________．（填写所有正确说法的序号） ①；②若，则当时，随的增大而增大；③若，则；④若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则． 6．（2025·江苏淮安·中考真题）若，则的最大值是______． 7．（2025·江苏徐州·中考真题）二次函数的最小值为_______． 8．（2025·江苏淮安·中考真题）已知二次函数（m为常数）． (1)若点在该函数图像上，则 ； (2)证明：该二次函数的图像与x轴有两个不同的公共点； (3)若该函数图像上有两个点、，当时，直接写出p的取值范围． 9．（2025·江苏盐城·中考真题）已知二次函数，当自变量满足时，的取值范围是____． 10．（2025·江苏徐州·中考真题）如图为二次函数的图象，下列代数式的值为负数的是_______（写出所有正确结果的序号）． ①a；②；③c；④；⑤． 11．（2025·江苏镇江·中考真题）在平面直角坐标系中，过点作轴的垂线与二次函数（、为常数）的图像交于点、（点在点的左侧），点在直线上，当点满足时，我们称点是该二次函数图像的生长点． (1)二次函数的图像如图所示． ①在的不同取值2、、5中，使该函数图像有生长点的的值是_____； ②已知是该函数图像的生长点，猜想的取值范围，并说明理由． (2)二次函数（h、k为常数）的图像经过点，若是该函数图像的生长点，求该函数的表达式． 12．（2024·江苏淮安·中考真题）二次函数的图像经过点，顶点为P． (1)________； (2)当时， ①若顶点P到x轴的距离为10，则________； ②直线m过点且垂直于y轴，顶点P到直线m的距离为h，随着b的增大，h的值如何变化？请描述变化过程，并说明理由； (3)若二次函数图像交x轴于B，C两点，点B坐标为，且的面积不小于20，求a的取值范围． 13．（2024·江苏镇江·中考真题）对于二次函数（a是常数），下列结论：①将这个函数的图像向下平移3个单位长度后得到的图像经过原点；②当时，这个函数的图像在函数图像的上方；③若，则当时，函数值y随自变量x增大而增大；④这个函数的最小值不大于3．其中正确的是________（填写序号）． 14．（2024·江苏苏州·中考真题）二次函数的图象过点，，，，其中m，n为常数，则的值为______． 15．（2024·江苏南京·中考真题）已知二次函数的图象经过点，它的顶点在函数的图象上． (1)当取最小值时，____________． (2)用含的代数式表示． (3)已知点都在函数的图象上，当时，结合函数的图象，直接写出的取值范围． 16．（2026·江苏徐州·中考真题）如图，二次函数的图象与轴的交点坐标分别是，． (1)求a，c的值； (2)点在该函数的图象上，当时，有最大值3，求的值； (3)点，都在该函数的图象上，若且，求的取值范围． 17．（2024·江苏南通·中考真题）已知函数（a，b为常数）．设自变量x取时，y取得最小值． (1)若，，求的值； (2)在平面直角坐标系中，点在双曲线上，且．求点P到y轴的距离； (3)当，且时，分析并确定整数a的个数． 考点02 二次函数的图象平移 1．（2026·江苏徐州·中考真题）在平面直角坐标系中，将函数的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（     ） A． B． C． D． 2．（2024·江苏南通·中考真题）将抛物线向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏常州·中考真题）如图：在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与x轴，y轴交于点A、B，点C是线段上一点，C与B不重合．二次函数（a，b，c是常数，且）的图像经过点B，顶点是C．将该二次函数的图像平移后得到新抛物线，、分别是B、C的对应点，且点落在x轴正半轴上，点的纵坐标为． (1)______； (2)求点C的坐标； (3)已知新抛物线与y轴交于点，点、在新抛物线上，若对于满足的任意实数，总成立，求实数m的取值范围． 4．（2024·江苏徐州·中考真题）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P、Q，则______． 考点03 二次函数与一元二次方程、不等式 1．（2026·江苏无锡·中考真题）如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，已知点，点在轴上，则不等式的解集是（     ） A．或 B．或 C． D． 2．（2025·江苏连云港·中考真题）已知二次函数，为常数． (1)若该二次函数的图像与直线有两个交点，求的取值范围； (2)若该二次函数的图像与轴有交点，求的值； (3)求证：该二次函数的图像不经过原点． 考点04 二次函数的实际应用 1．（2026·江苏镇江·中考真题）如图1，在矩形纸片中，，，点E，F，G，H分别在边，，，上，，，．沿，各剪去一个角，剩余部分为六边形纸片，用4张和它大小、形状完全相同的六边形纸片可不重叠、无缝隙地拼成一幅美丽图案，其示意图如图2所示．图1中的六边形的面积的最小值为（     ） A．42.5 B．36 C．33 D．27.5 2．（2025·江苏南通·中考真题）如图，在等边三角形的三边上，分别取点，使．若，的面积为，则关于的函数图象大致为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线运行，其中是铅球离初始位置的水平距离，是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度为，则铅球掷出的水平距离为________． 4．（2025·江苏盐城·中考真题）［生活观察］小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，扣杀球和网前吊球这两种击球的运动路线可以近似抽象成如下两种，如图（1）、（2）所示． ［数学建模］小明发现扣杀球的路线近似为一条直线，网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面图如图（3）所示，从点击球，击球点是拋物线的最高点，点到地面的距离，球网上端点到地面的距离，人与球网之间的距离，假设两种击球路线都经过点正上方处的点，网前吊球和扣杀球的落点分别为点、． （1）请在图（3）中建立合适的平面直角坐标系，并分别求出两种击球路线的函数表达式． ［模型应用］ （2）网前吊球的落点到球网的距离的长是_________． （3）甲在处击球，扣杀球时，羽毛球的平均速度约为．网前吊球时，羽毛球下降的高度与时间之间的关系式为．乙在看到甲击球的同时，尝试接球，从甲击球到乙能成功接球的时间至少需要．请通过计算说明，乙能接到哪种方式的击球． 5．（2025·江苏徐州·中考真题）急刹车时，停车距离是指骑车人从意识到应当刹车到车辆停下来所走的距离，记作；反应距离是指骑车人意识到应当刹车到实施刹车所走的距离，记作；刹车距离是指骑车人实施刹车到车辆停下来所走的距离，记作．已知，与骑行速度成正比，与骑行速度的平方成正比．当骑行速度为时，反应距离为，刹车距离为． (1)若骑行速度为，则_______，_______； (2)设骑行速度为，求y关于x的函数表达式； (3)当刹车距离为时，停车距离为多少（精确到）？（参考数据：，，） 6．（2025·江苏宿迁·中考真题）一块梯形木板，按如图方式设计一个矩形桌面（点在边上）．当___________时，矩形桌面面积最大． 7．（2026·江苏盐城·中考真题）2026年5月24日，神舟二十三号载人飞船发射取得圆满成功．小明所在的航模社团设计制作的火箭，它的升空高度（单位：）与飞行时间（单位：）满足函数表达式． (1)如果火箭在点火升空后到达最高点时打开降落伞，那么火箭点火后多长时间降落伞将打开？ (2)火箭上升过程中，是否存在飞行时，高度恰好为的情形？请说明理由． 8．（2026·江苏淮安·中考真题）“运河三千里，醉美是淮安．”“常盈桥”是里运河上一座古朴典雅的人行景观桥，桥身呈对称分布．如图，桥拱可以看成抛物线形，跨径为，拱高为． (1)建立恰当的平面直角坐标系，求出抛物线对应的函数表达式． (2)当桥拱下的水面宽为时，求此时拱顶到水面的距离． 9．（2026·江苏无锡·中考真题）综合与实践——丢沙包中的数学 【活动背景】小红参加了一个丢沙包的游戏，游戏要求将沙包丢向位于数米外的地面目标靶，若能命中靶心，则获得游戏奖励． 小红所在的数学兴趣小组以研究沙包的运动轨迹为主题，开展了如下综合与实践活动． 【活动过程】 活动1：发现模型 兴趣小组通过学习发现：沙包在空中的运动轨迹为抛物线（只考虑沙包受到的重力，不考虑其他外力的作用）． 活动2：应用模型 (1)如图，小红丢沙包时的出手高度为，出手点与地面目标靶靶心的水平距离为．沙包在距离出手点的水平距离为时达到最高点，最高点距离地面．请通过计算说明沙包能否正好命中靶心． (2)若将目标靶改为悬挂式，靶心距离地面． 小红出手高度仍为，出手点与靶心的水平距离仍为．小红调整发力角度，使得沙包距离出手点的水平距离为时达到最高点，这样沙包正好能命中靶心．求沙包达到最高点时距离地面多少米． 10．（2026·江苏宿迁·中考真题）投掷铅球时，铅球的运动轨迹可以看作抛物线的一部分．如图，某人掷铅球时，铅球距地面的高度与距投掷点的水平距离之间的函数表达式为． (1)当投掷的距离为时，求的值； (2)当时，铅球处于下落状态，求的取值范围； (3)当时，铅球距地面高度的最大值与最小值之差为，求的值． 11．（2025·江苏连云港·中考真题）一块直角三角形木板，它的一条直角边长，△ABC的面积为． (1)甲、乙两人分别按图1、图2用它设计一个正方形桌面，请说明哪个正方形面积较大； (2)丙、丁两人分别按图3、图4用它设计一个长方形桌面．请分别求出图3、图4中长方形的面积与的长之间的函数表达式，并分别求出面积的最大值． 12．（2024·江苏盐城·中考真题）请根据以下素材，完成探究任务． 制定加工方案 生产背景 背景1 ◆某民族服装厂安排70名工人加工一批夏季服装，有“风”“雅”“正”三种样式． ◆因工艺需要，每位工人每天可加工且只能加工“风”服装2件，或“雅”服装1件，或“正”服装1件． ◆要求全厂每天加工“雅”服装至少10件，“正”服装总件数和“风”服装相等. 背景2 每天加工的服装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂的获利情况为： ①“风”服装：24元/件； ②“正”服装：48元/件； ③“雅”服装：当每天加工10件时，每件获利100元；如果每天多加工1件，那么平均每件获利将减少2元． 信息整理 现安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，列表如下： 服装种类 加工人数（人） 每人每天加工量（件） 平均每件获利（元） 风 y 2 24 雅 x 1 正 1 48 探究任务 任务1 探寻变量关系 求x、y之间的数量关系． 任务2 建立数学模型 设该工厂每天的总利润为w元，求w关于x的函数表达式． 任务3 拟定加工方案 制定使每天总利润最大的加工方案． 1．（2026·江苏南通海门区·中考模拟）在平面直角坐标系中，将一次函数的图象向右平移个单位长度后，得到一个正比例函数的图象，则的值为（     ） A． B．12 C． D．3 2．（2026·江苏南京·中考模拟）二次函数过点，，则m的取值范围为____________． 3．（2026·江苏宿迁宿城区·中考模拟）将抛物线向下平移m个单位长度．若平移后得到的抛物线与x轴有1个公共点，则m的值是_______． 4．（2026·江苏宿迁泗洪县·中考模拟）某商店销售A，B两款商品，利润（单位：元）与销量（单位：袋）的关系分别为和．若本周销售两款商品一共30袋，则能获得的最大利润为______元． 5．（2026·江苏徐州铜山区·中考模拟）某超市销售一款水杯，每个可获利元，每周可以销售个．经调研：售价每降低元，每周可多销售个．设每个降价元（），每周总利润为元． (1)求与的函数表达式； (2)当取何值时，每周的总利润最大？最大总利润是多少？ 试卷第1页，共3页 2 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 二次函数的图象、性质与应用 3年真题1年模拟 考点分类 江苏考情（2024-2026） 命题规律 考点01 二次函数的图象与性质 （2026·江苏南通·中考真题） （2025·江苏南通·中考真题） （2024·江苏连云港·中考真题） （2026·江苏苏州·中考真题） （2026·江苏淮安·中考真题） （2025·江苏淮安·中考真题） （2025·江苏徐州·中考真题） （2025·江苏盐城·中考真题） （2025·江苏镇江·中考真题） （2024·江苏淮安·中考真题） （2024·江苏镇江·中考真题） （2024·江苏苏州·中考真题） （2024·江苏南京·中考真题） （2026·江苏徐州·中考真题） （2024·江苏南通·中考真题） · 情境设置：以纯数学符号与图象为主，多含参数a、b、c，结合点坐标、对称轴、顶点设问。 · 考查重点：开口方向、增减性、最值、图象与系数关系、代数式符号判断。 · 命题趋势：由单一性质判断转向多参数综合推理，强化数形结合与分类讨论。 考点02 二次函数的图象平移 （2026·江苏徐州·中考真题） （2024·江苏南通·中考真题） （2025·江苏常州·中考真题） （2024·江苏徐州·中考真题） · 情境设置：以顶点式或一般式抛物线为载体，结合坐标系平移操作。 · 考查重点：平移方向与单位对应的解析式变化，平移后顶点坐标求解。 · 命题趋势：平移与一次函数、几何图形交汇，注重变换前后关系推理。 考点03 二次函数与一元二次方程、不等式 （2026·江苏无锡·中考真题） （2025·江苏连云港·中考真题） · 情境设置：二次函数与一次函数图象交点、抛物线与x轴交点问题。 · 考查重点：交点横坐标与方程根的关系，图象位置确定不等式解集。 · 命题趋势：强化函数图象交点与方程、不等式解集的互化，突出数形结合。 考点04 二次函数的实际应用 （2026·江苏镇江·中考真题） （2025·江苏南通·中考真题） （2025·江苏连云港·中考真题） （2025·江苏盐城·中考真题） （2025·江苏徐州·中考真题） （2025·江苏宿迁·中考真题） （2026·江苏盐城·中考真题） （2026·江苏淮安·中考真题） （2026·江苏无锡·中考真题） （2026·江苏宿迁·中考真题） （2024·江苏盐城·中考真题） · 情境设置：火箭升空、桥拱、铅球、丢沙包、刹车距离、生产方案等现实情境。 · 考查重点：建立二次函数模型，求最值、范围及实际意义解释。 · 命题趋势：情境更贴近生活与跨学科，注重建模能力与方案优化决策。 考点01 二次函数的图象与性质 1．（2026·江苏南通·中考真题）二次函数的部分图象如图所示，当时，的值可以是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， ， 当时，随的增大而增大， 当时，， 当时，， 结合选项可知的值可以是． 2．（2025·江苏南通·中考真题）在平面直角坐标系中，五个点的坐标分别为．若抛物线经过上述五个点中的三个点，则满足题意的的值不可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，涉及抛物线的对称轴、点的对称关系及函数解析式的求解．解题关键在于利用抛物线对称轴，分析点的对称特征．分情况讨论抛物线上的点组合，再通过代入点坐标，借助待定系数法求解a的值，以此判断即可． 【详解】解：抛物线)的对称轴为直线， 当三点在抛物线 上， ， 关于对称轴对称， 将代入得， 解得， 当时，得，， 点E在抛物线上， 故抛物线同时经过三点； 当三点在抛物线上 把代入得， 解得， 当时，， 在抛物线上， 故抛物线同时过 三点； 当三点在抛物线上， 把代入得， 解得， 把点代入， 在抛物线上， 抛物线同时过三点； 综上所述，抛物线能同时经过三个点有；；且a的值分别是． 的值不可能为Ｃ． 故选：C ． 3．（2024·江苏连云港·中考真题）已知抛物线（a、b、c是常数，）的顶点为．小烨同学得出以下结论：①；②当时，随的增大而减小；③若的一个根为3，则；④抛物线是由抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的．其中一定正确的是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 【答案】B 【分析】根据抛物线的顶点公式可得，结合，，由此可判断①；由二次函数的增减性可判断②；用a表示b、c的值，再解方程即可判断③，由平移法则即可判断④． 【详解】解：根据题意可得：， ， ， 即， ， ， 的值可正也可负， 不能确定的正负；故①错误； ， 抛物线开口向下，且关于直线对称， 当时，随的增大而减小；故②正确； ， 抛物线为， ， ，故③正确； 抛物线， 将向左平移1个单位得：， 抛物线是由抛物线向左平移1个单位得到的，故④错误； 正确的有②③， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的平移，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与一元二次方程，一元二次方程的解的定义，用a表示b、c的值是本题的关键． 4．（2026·江苏苏州·中考真题）如图，关于的二次函数的图像为抛物线，直线与抛物线交于，两点，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，．若四边形为正方形，则_________． 【答案】5 【分析】先求出抛物线的顶点坐标，再由正方形的性质以及已知条件求出，然后代入抛物线的表达式解方程即可． 【详解】解：， ∴顶点为， ∵四边形为正方形，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，， ∴，关于抛物线的对称轴对称， ∴， 将点代入，则， 整理得，， 解得，（舍）， ∴． 5．（2026·江苏淮安·中考真题）已知二次函数（，，为常数，）的图像过点，则下列说法正确的是__________．（填写所有正确说法的序号） ①；②若，则当时，随的增大而增大；③若，则；④若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则． 【答案】①③④ 【分析】已知二次函数，，过点，先代入得到，再逐个验证每个说法，利用二次函数性质和代数变形推导结论． 【详解】解：①将代入，得， ∵函数图像过点， ∴，故①正确． ②，∵， ∴二次函数开口向下，对称轴为，若，则对称轴，若，则在区间，随增大而减小，如：取，，得对称轴，在时递减，故②错误． ③∵， ∴， ∴， ∵， ∴，因此，即，故③正确． ④整理方程得，方程有两个相等的实数根，因此判别式， ∴， 整理得， ∴， 因此， ∵， ∴，即，故④正确． 综上所述：①③④正确． 6．（2025·江苏淮安·中考真题）若，则的最大值是______． 【答案】 【分析】本题考查二次函数求最值，根据，得到，整体代入代数式，将代数式转化为关于的二次函数，求最值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； ∴当时，有最大值为； 故答案为：． 7．（2025·江苏徐州·中考真题）二次函数的最小值为_______． 【答案】##0.75 【分析】本题考查求二次函数的最值，将二次函数一般形式化为顶点式即可求解． 【详解】解：， 当时，二次函数取最小值，最小值为， 故答案为：． 8．（2025·江苏淮安·中考真题）已知二次函数（m为常数）． (1)若点在该函数图像上，则 ； (2)证明：该二次函数的图像与x轴有两个不同的公共点； (3)若该函数图像上有两个点、，当时，直接写出p的取值范围． 【答案】(1)2 (2) 解：， ， ， ， 该二次函数的图像与x轴有两个不同的公共点； (3)或 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根的判别式，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）将代入，解关于m的方程即可； （2）通过判别式判断二次函数图像与x轴交点情况； （3）根据二次函数的对称轴和增减性，确定p的取值范围． 【详解】（1）解：将代入，得：， 解得， 故答案为：2； （2）略 （3）解：的对称轴为直线， 二次项系数， 二次函数图像开口向上， ， 点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离， ， 即， 或． 9．（2025·江苏盐城·中考真题）已知二次函数，当自变量满足时，的取值范围是____． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 先求出抛物线的对称轴，再求出最大值和最小值即可求解的取值范围． 【详解】解：， ∴函数图象的对称轴为直线，开口向上， ∵， ∴当时，；时，，当时，， ∴的取值范围是：， 故答案为：． 10．（2025·江苏徐州·中考真题）如图为二次函数的图象，下列代数式的值为负数的是_______（写出所有正确结果的序号）． ①a；②；③c；④；⑤． 【答案】①②⑤ 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点，抛物线与x轴交点的个数确定．根据对称轴、开口方向、可判断①②；根据图象与轴的交点位置可判断③，根据图象与轴的交点个数可判断④；根据时函数的值可判断⑤． 【详解】解：①∵抛物线开口向下， ∴，符合题意； ②∵抛物线的对称轴是直线，且， ∴， ∴， 符合题意； ③∵抛物线与轴的交点在轴的正半轴， ∴，不符合题意； ④∵图象与x轴有2个交点， ∴，不符合题意； ⑤∵时，， ∴，符合题意； 故答案为：①②⑤． 11．（2025·江苏镇江·中考真题）在平面直角坐标系中，过点作轴的垂线与二次函数（、为常数）的图像交于点、（点在点的左侧），点在直线上，当点满足时，我们称点是该二次函数图像的生长点． (1)二次函数的图像如图所示． ①在的不同取值2、、5中，使该函数图像有生长点的的值是_____； ②已知是该函数图像的生长点，猜想的取值范围，并说明理由． (2)二次函数（h、k为常数）的图像经过点，若是该函数图像的生长点，求该函数的表达式． 【答案】(1)① ②猜想，理由如下： ∵点在直线上， ∴， 由（1）知：当时，此时， ∴当时，，此时直线上不存在点使， ∴； 又∵过点作轴的垂线与的图像交于点， 而的最小值为， ∴； ∴； (2)或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图像和性质，新定义，是解题的关键： （1）①令，得到，进而得到，根据新定义，进行讨论即可得出结果； ②点在直线上，得到，由①可知，再根据与的图像有2个交点，得到，即可得出结果； （2）把代入函数表达式，得到，令，得到，分3种情况求解即可． 【详解】（1）解：①当时，， ∴， ∴， ∴当时，， 此时在线段的延长线上或线段的延长线上，存在点使，满足题意； 当时，， ∴当点在线段上时，，满足题意； 当时，， ∴直线上不存在点使，不满足题意； 综上：使该函数图像有生长点的的值是； ②略 （2）∵二次函数（h、k为常数）的图像经过点， ∴； ∵是该函数图像的生长点， ∴， 当时，则：， ∴， ∴， ∴， ①当点在线段上时，则：， ∴， 解得， 把代入，得：或， 当时，，满足题意； 当时，，此时点不在线段上，不符合题意，舍去； ∴； ②当点在点的左侧时，则：， ∴， ∴， ∴， 把，代入，得：， 此时，符合题意； ∴； ③当点在点的右侧时，则：， ∴， ∴， 把，代入，得：， ∴ 此时，点不在点的右侧，不符合题意，舍去； 综上：或． 12．（2024·江苏淮安·中考真题）二次函数的图像经过点，顶点为P． (1)________； (2)当时， ①若顶点P到x轴的距离为10，则________； ②直线m过点且垂直于y轴，顶点P到直线m的距离为h，随着b的增大，h的值如何变化？请描述变化过程，并说明理由； (3)若二次函数图像交x轴于B，C两点，点B坐标为，且的面积不小于20，求a的取值范围． 【答案】(1)8 (2)①或； ②当或时，h随b增大而增大；当或时，h随b的增大而减小， ∵， ∴P到直线m距离为． 当时，即时，， ∴当时h随b的增大而增大，时h随b的增大而减小； 当时，即或时，， ∴当时h随b的增大而减小，时h随b增大而增大； ∴综上所述，当或时，h随b增大而增大；当或时，h随b的增大而减小； (3)或或 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图像和性质，是解题的关键： （1）把点代入函数解析式进行求解即可； （2）①根据顶点坐标公式，以及顶点P到x轴的距离为10，列出方程，进行求解即可；②根据题意得到，分和，两种情况进行讨论即可； （3）根据，得到，设抛物线的对称轴与x轴交点为E，则，进而得到，把和代入，求出之间的关系，代入不等式进行求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得； 故答案为：8； （2）的顶点P的坐标为， ①当时，， ∵P到x轴距离为10， ∴， ∴， ∴或（舍去） ∴或． 故答案为：或； ②略 （3）由题意知：， ∴． 如图，设抛物线的对称轴与x轴交点为E，则， ∴， 把和代入，得． ∴， ∴， 解得或或． 13．（2024·江苏镇江·中考真题）对于二次函数（a是常数），下列结论：①将这个函数的图像向下平移3个单位长度后得到的图像经过原点；②当时，这个函数的图像在函数图像的上方；③若，则当时，函数值y随自变量x增大而增大；④这个函数的最小值不大于3．其中正确的是________（填写序号）． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，一次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的性质，数形结合是解题的关键．根据平移的规律顶点平移后的函数解析式即可判断①；确定抛物线与直线没有交点，且开口向上即可判断②；利用函数的性质即可判断③；求得顶点坐标即可判断④． 【详解】解：将二次函数是常数）的图象向下平移3个单位长度后得到， 当时，， 平移后的函数的图象经过原点， 故①正确； 当时，则， 令，即， ， 抛物线与直线没有交点， 抛物线开口向上， 当时，这个函数的图象在函数图象的上方； 故②正确； 二次函数是常数）， 开口向上，对称轴为直线， 当时，函数值随自变量增大而增大， 故③错误； ， 顶点为， ， 故④正确． 故答案为：①②④． 14．（2024·江苏苏州·中考真题）二次函数的图象过点，，，，其中m，n为常数，则的值为______． 【答案】## 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，把A、B、D的坐标代入，求出a、b、c，然后把C的坐标代入可得出m、n的关系，即可求解． 【详解】解：把，，代入， 得， 解得， ∴， 把代入， 得， ∴， ∴， 故答案为：． 15．（2024·江苏南京·中考真题）已知二次函数的图象经过点，它的顶点在函数的图象上． (1)当取最小值时，____________． (2)用含的代数式表示． (3)已知点都在函数的图象上，当时，结合函数的图象，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)（且） (3) 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的特征，正确画出图象是解题的关键． （1）将顶点代入函数中，将函数转化为，求出的最小值； （2）将代入，得出的代数式； （3）分开口向上和开口向下进行讨论，分别画出图象得出结论． 【详解】（1）解：∵二次函数的顶点在上， ∴， ∴设二次函数为， 当取最小值时，，， 二次函数的图象经过点， ， 故答案为：； （2）∵图象经过点， ∴， 化简得：； （3）①当开口向上时，， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， 解得：， ∵，∴； ②当开口向下时， ∴或． 当时， 此时，，不合题意， 当时， 此时，，不合题意， 综上所述：． 16．（2026·江苏徐州·中考真题）如图，二次函数的图象与轴的交点坐标分别是，． (1)求a，c的值； (2)点在该函数的图象上，当时，有最大值3，求的值； (3)点，都在该函数的图象上，若且，求的取值范围． 【答案】(1)a，c的值分别为 (2)或2 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）分三种情况考虑即可； （3）利用求根公式表示抛物线上点的横坐标，按点与对称轴的位置分类，结合函数增减性确定代数式的取值范围． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴分别交于点，， ∴， 解得， 即a，c的值分别为； （2）解：抛物线的解析式为，其对称轴为直线，最大值为， 当时，；当时，； 当时，， 则当时，函数值随自变量的增大而增大， ∴， 解得（舍去）或； 当时，，函数值随自变量先增加后减小，从而在顶点处取得最大值4，不符合题意； 当时，函数值随自变量的增大而减小，此时函数当时取得最大值， ∴， 解得（舍去）或； 综上，满足题意的值为或2； （3）解：抛物线的对称轴为直线，最大值为4，且抛物线开口向下， 当时，则，， 作直线交抛物线于点，且在的左侧，如图，作直线交抛物线于点，且在的左侧， 令，解得或， ∴，， 令，解得或， ∴，， ∵， ∴点M在曲线段上，点N在曲线段或上， ①当点N在曲线段上时， 把，分别代入， 得， 两式相减，整理得， ∴， 当取得最小值时，取得最小值，当取得最大值时，取得最大值， 当点M在A处，点N在点处时，取得最小值，且最小值为，此时， 当点M在处，点N在点处时，取得最大值，且最大值为，此时， ∴； ②当点N在曲线段上，点M在A处，点N在点处时， 取得最大值，且为， 当点M在处，点N在点处时，取得最小值，且为， ∴； 综上，或． 17．（2024·江苏南通·中考真题）已知函数（a，b为常数）．设自变量x取时，y取得最小值． (1)若，，求的值； (2)在平面直角坐标系中，点在双曲线上，且．求点P到y轴的距离； (3)当，且时，分析并确定整数a的个数． 【答案】(1) (2)2或1 (3)整数a有4个 【分析】本题主要考查二次函数的性质和点到坐标轴的距离，以及解不等式方程． 根据题意代入化简得，结合二次函数得性质得取最小值时x的取值即可； 结合题意得到，代入二次函数中化简得，利用二次函数的性质求得a的值，进一步求得点P，即可知点P到y轴的距离； 结合已知得等式化简得，结合的范围求得a的可能值，即可得到整数a的个数． 【详解】（1）解：有题意知 ， 当时，y取得最小值8； （2）解：∵点在双曲线上， ∴， ∴ ， ∵， ∴，化解得，解得或， 则点或， ∴点P到y轴的距离为2或1； （3）解： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，化简得， ∴， 则整数a有4个． 考点02 二次函数的图象平移 1．（2026·江苏徐州·中考真题）在平面直角坐标系中，将函数的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数图象平移的“左加右减，上加下减”法则即可解答． 【详解】解：∵ 函数图象向左平移2个单位长度， ∴ 平移后表达式为． ∵ 再向下平移1个单位长度， ∴ 最终表达式为，即． 2．（2024·江苏南通·中考真题）将抛物线向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．根据平移规律，上加下减，左加右减，可得顶点式解析式． 【详解】解∶ 抛物线向右平移3个单位后得到新抛物线为， ∴新抛物线的顶点坐标为， 故选∶D． 3．（2025·江苏常州·中考真题）如图：在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与x轴，y轴交于点A、B，点C是线段上一点，C与B不重合．二次函数（a，b，c是常数，且）的图像经过点B，顶点是C．将该二次函数的图像平移后得到新抛物线，、分别是B、C的对应点，且点落在x轴正半轴上，点的纵坐标为． (1)______； (2)求点C的坐标； (3)已知新抛物线与y轴交于点，点、在新抛物线上，若对于满足的任意实数，总成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)3 (2) (3)或 【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点问题，二次函数图像的平移，二次函数的图像和性质，正确的求出二次函数的解析式，熟练掌握二次函数的图像和性质，是解题的关键． （1）求出时，函数的函数值，得到点坐标，即可得出结果； （2）根据点落在x轴正半轴上，得到点向下平移了个单位，进而得到点向下平移个单位后，与的纵坐标相同，进而求出的纵坐标，代入函数解析式，求出点坐标即可； （3）待定系数法求出二次函数的解析式，设抛物线向右平移个单位，再向下平移3个单位得到新的抛物线，得到新的抛物线的解析式为：，把点坐标代入，求出解析式，进而根据二次函数的图像和性质，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，， ∴， ∴； 故答案为：3； （2）解：∵，点的对应点落在x轴正半轴上， ∴点向下平移个单位， ∴点向下平移个单位后，与的纵坐标相同， ∵点的纵坐标为， ∴点的纵坐标为； ∵点在线段上，即点在直线上， ∴当时，， ∴； （3）解：∵，，二次函数（a，b，c是常数，且）的图像经过点B，顶点是C． ∴，把代入，得：， ∴， ∴， ∵平移后点的对应点落在x轴正半轴上， ∴设抛物线向右平移个单位，再向下平移3个单位得到新的抛物线， ∴新的抛物线的解析式为：， 把代入，得：， 解得：或（舍去）； ∴， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，点关于对称轴的对称点为， ∵对于满足的任意实数，总成立， ∴或， ∴或． 4．（2024·江苏徐州·中考真题）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P、Q，则______． 【答案】1 【分析】本题主要考查了二次函数平移规律，抛物线与x轴的交点，两点间的距离公式，解题关键是熟练掌握二次函数图象的平移规律，求出抛物线的解析式．根据二次函数图象的平移规律，求出抛物线的解析式，然后令，列出关于x的方程，解方程求出x，再根据两点间的距离公式求出答案即可． 【详解】解：将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线的解析式为： ， 令，则， 或， 解得：或， ， 故答案为：1． 考点03 二次函数与一元二次方程、不等式 1．（2026·江苏无锡·中考真题）如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，已知点，点在轴上，则不等式的解集是（     ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【详解】解：对于二次函数，令，则， ∴二次函数的图象与y轴的交点为， ∵对于一次函数，令，则， ∴一次函数的图象与y轴的交点为， ∵两个图象交于，两点，已知点，点在轴上， ． 则不等式可变形为， 即， ∴由图象可得，它的解集是． 2．（2025·江苏连云港·中考真题）已知二次函数，为常数． (1)若该二次函数的图像与直线有两个交点，求的取值范围； (2)若该二次函数的图像与轴有交点，求的值； (3)求证：该二次函数的图像不经过原点． 【答案】(1) (2) (3) 证明：当时，， 所以二次函数的图像不经过原点． 【分析】本题考查二次函数图像与轴的交点问题，以及二次函数图像的性质．熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． （1）由二次函数的图像与直线有两个交点，知函数的最小值小于，列式计算即可； （2）根据图像与x轴有交点，，列式计算即可； （3）根据当时，，即可证明． 【详解】（1）解：因为二次函数中，， 所以二次函数的图像开口向上， 因为二次函数的图像与直线有两个交点， 所以函数的最小值小于， 则， 即， 解得． （2）解：因为二次函数的图像与轴有交点， 所以， 所以， 又因为， 所以， 解得． （3）略 考点04 二次函数的实际应用 1．（2026·江苏镇江·中考真题）如图1，在矩形纸片中，，，点E，F，G，H分别在边，，，上，，，．沿，各剪去一个角，剩余部分为六边形纸片，用4张和它大小、形状完全相同的六边形纸片可不重叠、无缝隙地拼成一幅美丽图案，其示意图如图2所示．图1中的六边形的面积的最小值为（     ） A．42.5 B．36 C．33 D．27.5 【答案】C 【分析】设，用含的代数式表示六边形面积，利用二次函数性质求最小值. 【详解】解：设， ， ， 四边形是矩形， ， ， ； ， 同理； ∴ 六边形的面积 ； 点在边上， ， 即， 解得； ，且二次项系数， 当时，取得最小值 33. 2．（2025·江苏南通·中考真题）如图，在等边三角形的三边上，分别取点，使．若，的面积为，则关于的函数图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 利用等边三角形的性质得出相等的边和角，通过证明全等三角形得出对应边相等，判定是等边三角形，作垂线利用面积公式求出和的面积，即可得到函数关系式，再结合二次函数的性质判断图象即可． 【详解】解：是等边三角形， ∴， ∵ ， 即， ， ∴， 过点A作于G点，则， ∴ ∴， ∴， ∴， 过点D作于点H，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ' ， ∴y关于x的函数图象开口向上，当时，当时，当时y的最小值为， ∴选项A，C，D均不符合题意，选项B符合题意， 故选：B 3．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线运行，其中是铅球离初始位置的水平距离，是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度为，则铅球掷出的水平距离为________． 【答案】 【分析】本题考查待定系数法求抛物线解析式，二次函数与轴的交点坐标，熟练掌握待定系数法和二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．由题得，代入，得出抛物线的解析式为，令，求解即可， 【详解】解：由题意，， 得， 将代入， 得：， 解得：， ∴， 令，得， 解得：，， ∴为， 故答案为：． 4．（2025·江苏盐城·中考真题）［生活观察］小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，扣杀球和网前吊球这两种击球的运动路线可以近似抽象成如下两种，如图（1）、（2）所示． ［数学建模］小明发现扣杀球的路线近似为一条直线，网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面图如图（3）所示，从点击球，击球点是拋物线的最高点，点到地面的距离，球网上端点到地面的距离，人与球网之间的距离，假设两种击球路线都经过点正上方处的点，网前吊球和扣杀球的落点分别为点、． （1）请在图（3）中建立合适的平面直角坐标系，并分别求出两种击球路线的函数表达式． ［模型应用］ （2）网前吊球的落点到球网的距离的长是_________． （3）甲在处击球，扣杀球时，羽毛球的平均速度约为．网前吊球时，羽毛球下降的高度与时间之间的关系式为．乙在看到甲击球的同时，尝试接球，从甲击球到乙能成功接球的时间至少需要．请通过计算说明，乙能接到哪种方式的击球． 【答案】（1）扣杀球击球路线的函数表达式为；网前吊球击球路线的函数表达式为；（2）；（3）乙能接到网前吊球的击球 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，二次函数图象上点的坐标的特征，一次函数应用，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． （1）以为坐标原点，所在的中线为轴，所在的中线为轴，建立如图所示的坐标系，再利用待定系数法解答即可； （2）利用网前吊球击球路线的函数表达式求得点坐标，则可求，利用解答即可得出结论； （3）分别利用函数的解析式求得两种击球方式接球所需的时间，通过与0.5秒比较即可得出结论． 【详解】解：（1）以为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立如图所示的坐标系， 则，， 设直线的解析式为， ， ， 扣杀球击球路线的函数表达式为； 设网前吊球击球路线的函数表达式为， ， ， 网前吊球击球路线的函数表达式为； （2）令，则， ， ， ， ， ． 故答案为：； （3）对于，令，则， ， ， ， ， 扣杀球时，羽毛球的平均速度约为， （秒 ， 乙不能接到扣杀球的击球． 从点击球，击球点是抛物线的最高点， ， ， ， ， 乙能接到网前吊球的击球． 5．（2025·江苏徐州·中考真题）急刹车时，停车距离是指骑车人从意识到应当刹车到车辆停下来所走的距离，记作；反应距离是指骑车人意识到应当刹车到实施刹车所走的距离，记作；刹车距离是指骑车人实施刹车到车辆停下来所走的距离，记作．已知，与骑行速度成正比，与骑行速度的平方成正比．当骑行速度为时，反应距离为，刹车距离为． (1)若骑行速度为，则_______，_______； (2)设骑行速度为，求y关于x的函数表达式； (3)当刹车距离为时，停车距离为多少（精确到）？（参考数据：，，） 【答案】(1)， (2) (3)停车距离约为． 【分析】本题考查正比例函数与二次函数的实际应用； （1）设，，结合题意可得，，再进一步求解即可； （2）结合（1）可得：； （3）当刹车距离为时，可得，求解，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵与骑行速度成正比，与骑行速度的平方成正比．骑行速度为， ∴，， ∵当骑行速度为时，反应距离为， ∴， 解得：， ∴， 当时， ∴， ∵当骑行速度为时，刹车距离为， ∴， 解得：， ∴， 当时，． （2）解：设骑行速度为，而，， ∴y关于x的函数表达式为． （3）解：∵当刹车距离为时， ∴， 解得：，（舍去）， ∴ ∴停车距离约为． 6．（2025·江苏宿迁·中考真题）一块梯形木板，按如图方式设计一个矩形桌面（点在边上）．当___________时，矩形桌面面积最大． 【答案】5 【分析】本题考查二次函数的应用，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质．作于点H，先根据已知数据证明和是等腰直角三角形，再设，则，列出矩形桌面面积关于x的二次函数，化为顶点式，即可得出答案． 【详解】解：如图，作于点H， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， 是等腰直角三角形， ， 矩形中， 是等腰直角三角形， 设，则， 矩形桌面的面积， 当时，S取最大值， 即当时，矩形桌面面积最大． 故答案为：5． 7．（2026·江苏盐城·中考真题）2026年5月24日，神舟二十三号载人飞船发射取得圆满成功．小明所在的航模社团设计制作的火箭，它的升空高度（单位：）与飞行时间（单位：）满足函数表达式． (1)如果火箭在点火升空后到达最高点时打开降落伞，那么火箭点火后多长时间降落伞将打开？ (2)火箭上升过程中，是否存在飞行时，高度恰好为的情形？请说明理由． 【答案】(1)火箭点火后降落伞将打开． (2)解：火箭上升过程中，不存在经过恰好上升的情形；理由如下： 当时，得， 整理，得， ， 故方程的两个不相等的实数根为：， 根据题意，火箭上升阶段的时间范围为：， ， 不在范围内，舍去； ， 在时间范围内， ， 故火箭上升过程中，不存在经过恰好上升的情形． 【分析】（1）将解析式配方，得，根据函数的性质，确定函数取得最大值条件即可； （2）令函数值等于75，建立一元二次方程，求得方程的两个根，根据方程的根，判断是否有一个根是5，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得 ， ， 当时，函数取得最大值， 故火箭点火后降落伞将打开． （2）解：略． 8．（2026·江苏淮安·中考真题）“运河三千里，醉美是淮安．”“常盈桥”是里运河上一座古朴典雅的人行景观桥，桥身呈对称分布．如图，桥拱可以看成抛物线形，跨径为，拱高为． (1)建立恰当的平面直角坐标系，求出抛物线对应的函数表达式． (2)当桥拱下的水面宽为时，求此时拱顶到水面的距离． 【答案】(1)建立平面直角坐标系如图： 抛物线表达式为 (2)拱顶到水面的距离为 【分析】（1）以点D为坐标原点，射线方向为x轴正方向，射线方向为y轴正方向建立平面直角坐标系，再由待定系数法求解即可； （2）当桥拱下的水面宽为时，则水面上的点的横坐标为，将代入，求出水面距离的高度，即可求解拱顶到水面的距离． 【详解】（1）解：以点D为坐标原点，射线方向为x轴正方向，射线方向为y轴正方向建立平面直角坐标系，如图： 由题意得，， 则， 设抛物线表达式为， 代入，可得 解得 ∴抛物线的表达式为； （2）解：当桥拱下的水面宽为时，则水面上的点的横坐标为， 将代入，可得， ∴此时拱顶到水面的距离为 答：拱顶到水面的距离为． 9．（2026·江苏无锡·中考真题）综合与实践——丢沙包中的数学 【活动背景】小红参加了一个丢沙包的游戏，游戏要求将沙包丢向位于数米外的地面目标靶，若能命中靶心，则获得游戏奖励． 小红所在的数学兴趣小组以研究沙包的运动轨迹为主题，开展了如下综合与实践活动． 【活动过程】 活动1：发现模型 兴趣小组通过学习发现：沙包在空中的运动轨迹为抛物线（只考虑沙包受到的重力，不考虑其他外力的作用）． 活动2：应用模型 (1)如图，小红丢沙包时的出手高度为，出手点与地面目标靶靶心的水平距离为．沙包在距离出手点的水平距离为时达到最高点，最高点距离地面．请通过计算说明沙包能否正好命中靶心． (2)若将目标靶改为悬挂式，靶心距离地面． 小红出手高度仍为，出手点与靶心的水平距离仍为．小红调整发力角度，使得沙包距离出手点的水平距离为时达到最高点，这样沙包正好能命中靶心．求沙包达到最高点时距离地面多少米． 【答案】(1)解：建立如图所示的平面直角坐标系： 由题意可知，抛物线的顶点坐标是，且经过点， 设抛物线的解析式为，其中， 将点代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为， 当时，， 解得或（不符合题意，舍去）， ∵， ∴沙包不能正好命中靶心． (2)沙包达到最高点时距离地面米 【分析】（1）先建立平面直角坐标系，则可得抛物线的顶点坐标是，且经过点，再求出抛物线的解析式，求出时，的值，由此即可得； （2）先建立平面直角坐标系，则可得抛物线经过点，，且它的顶点的横坐标为4，再求出抛物线的解析式，求出其最大值即可． 【详解】（1）略． （2）解：建立如图所示的平面直角坐标系： 由题意可知，抛物线经过点，，且它的顶点的横坐标为4， 设抛物线的解析式为，其中， 将点，代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为， 由二次函数的性质可知，当时，取得最大值，最大值为， 即沙包达到最高点时距离地面米． 10．（2026·江苏宿迁·中考真题）投掷铅球时，铅球的运动轨迹可以看作抛物线的一部分．如图，某人掷铅球时，铅球距地面的高度与距投掷点的水平距离之间的函数表达式为． (1)当投掷的距离为时，求的值； (2)当时，铅球处于下落状态，求的取值范围； (3)当时，铅球距地面高度的最大值与最小值之差为，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据可知当投掷的距离为时，铅球落地，即时，，然后将点代入二次函数解析式即可求出a的值． （2）由题意可知抛物线对称轴直线在的左侧，且当时，，然后列出不等式组求解即可． （3）根据函数图象，分三种情况求解，即对称轴在4的右侧；对称轴在2的左侧；对称轴在2和4之间，然后结合二次函数的图象和性质分别求出最大值和最小值，结合已知条件列出方程求解并进行取舍即可得出答案. 【详解】（1）解：由题意可知，当投掷的距离为时，铅球落地，即时，， 将点代入，得： ， 解得． （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴直线为， ∵当时，铅球处于下落状态， ∴抛物线的对称轴直线，且当时，， 解得：． （3）解：， ∴抛物线的对称轴直线为， 分三种情况： （1）当对称轴时，即，当时，y随着x的增大而增大， 即当时，， 当时，， 根据题意可知：， 解得， （2）当对称轴时，即，在时，y随着x的增大而减小， 此时即当时，， 当时，， 根据题意可知：， 解得，（舍去） （3）当时，即， 当时离对称轴直线较时离对称轴直线远时， 则当时，， 即当时，， 根据题意可知：， 解得(舍去)或． 当时离对称轴直线较时离对称轴直线近时， 则当时， 当时，， 根据题意可知：， 解得(舍)或（舍）． 综上：或． 11．（2025·江苏连云港·中考真题）一块直角三角形木板，它的一条直角边长，△ABC的面积为． (1)甲、乙两人分别按图1、图2用它设计一个正方形桌面，请说明哪个正方形面积较大； (2)丙、丁两人分别按图3、图4用它设计一个长方形桌面．请分别求出图3、图4中长方形的面积与的长之间的函数表达式，并分别求出面积的最大值． 【答案】(1)图1的正方形面积较大 (2)在图3中，，当时，长方形的面积有最大值为；在图4中，，当时，长方形的面积有最大值为 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，二次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运用勾股定理算出，再运用正方形的性质分别证明，，，然后代入数值化简得，进行计算得，然后进行比较，即可作答． （2）与（1）同理证明，则长方形的面积，结合二次函数的图象性质得当时，长方形的面积有最大值为．，然后证明，，再把数值代入长方形的面积，化简得，结合二次函数的图象性质进行作答即可． 【详解】（1）解：∵，△ABC的面积为， ∴， ∴． 设正方形的边长为， ∵四边形是正方形 ∴，， ∵ ∴ 得， 即， 解得． ∵四边形是正方形 ∴， ∴ ∴， 得， 即， ∴． ， ∵ ∴， 得， 即， 解得． ∵， ∴图1的正方形面积较大． （2）解：∵四边形是长方形 ∴，， ∵ ∴； 得， 则，， ∴长方形的面积， ∵ ∴开口向下， 当时，长方形的面积有最大值为． 在图4中，同理得， 得， ∴，， 同理得， 得， 则， ∴长方形的面积， ∵ ∴开口向下， ∴当时，长方形的面积有最大值为． 12．（2024·江苏盐城·中考真题）请根据以下素材，完成探究任务． 制定加工方案 生产背景 背景1 ◆某民族服装厂安排70名工人加工一批夏季服装，有“风”“雅”“正”三种样式． ◆因工艺需要，每位工人每天可加工且只能加工“风”服装2件，或“雅”服装1件，或“正”服装1件． ◆要求全厂每天加工“雅”服装至少10件，“正”服装总件数和“风”服装相等. 背景2 每天加工的服装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂的获利情况为： ①“风”服装：24元/件； ②“正”服装：48元/件； ③“雅”服装：当每天加工10件时，每件获利100元；如果每天多加工1件，那么平均每件获利将减少2元． 信息整理 现安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，列表如下： 服装种类 加工人数（人） 每人每天加工量（件） 平均每件获利（元） 风 y 2 24 雅 x 1 正 1 48 探究任务 任务1 探寻变量关系 求x、y之间的数量关系． 任务2 建立数学模型 设该工厂每天的总利润为w元，求w关于x的函数表达式． 任务3 拟定加工方案 制定使每天总利润最大的加工方案． 【答案】任务1：；任务2：；任务3：安排19名工人加工“雅”服装，17名工人加工“风”服装，34名工人加工“正”服装，即可获得最大利润 【分析】题目主要考查一次函数及二次函数的应用，理解题意，根据二次函数的性质求解是解题关键． 任务1：根据题意安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，得出加工“正”服装的有人，然后利用“正”服装总件数和“风”服装相等，得出关系式即可得出结果； 任务2：根据题意得：“雅”服装每天获利为：，然后将2种服装的获利求和即可得出结果； 任务3：根据任务2结果化为顶点式，然后结合题意，求解即可． 【详解】解：任务1：根据题意安排70名工人加工一批夏季服装， ∵安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装， ∴加工“正”服装的有人， ∵“正”服装总件数和“风”服装相等， ∴， 整理得：； 任务2：根据题意得：“雅”服装每天获利为：， ∴， 整理得： ∴ 任务3：由任务2得， ∴当时，获得最大利润， ， ∴， ∵开口向下， ∴取或， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； ∴， 综上：安排19名工人加工“雅”服装，17名工人加工“风”服装，34名工人加工“正”服装，即可获得最大利润． 1．（2026·江苏南通海门区·中考模拟）在平面直角坐标系中，将一次函数的图象向右平移个单位长度后，得到一个正比例函数的图象，则的值为（     ） A． B．12 C． D．3 【答案】B 【分析】根据平移规律“左加右减（对x操作），上加下减（对y操作）”得到平移后的函数解析式，再结合正比例函数的定义即可求解． 【详解】解：将一次函数的图象向右平移个单位长度， ∴平移后得到的函数解析式为： ， 整理得 ， ∵平移后得到正比例函数的图象， ∴， 解得． 2．（2026·江苏南京·中考模拟）二次函数过点，，则m的取值范围为____________． 【答案】 【分析】将已知两点坐标代入二次函数解析式，联立得到方程组，用表示出二次项系数，再根据的条件解一元一次不等式，即可得到的取值范围． 【详解】解：将点，代入得， 整理得， 由得， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．（2026·江苏宿迁宿城区·中考模拟）将抛物线向下平移m个单位长度．若平移后得到的抛物线与x轴有1个公共点，则m的值是_______． 【答案】3 【分析】先根据二次函数图像平移的上加下减规律，得到平移后抛物线的解析式，再根据抛物线与x轴只有1个公共点，可得一元二次方程根的判别式，据此列方程即可求解m的值． 【详解】解：将抛物线向下平移个单位长度后，得到的抛物线解析式为， 平移后抛物线与轴有个公共点， ，即， 整理得，， 解得， 故答案为：． 4．（2026·江苏宿迁泗洪县·中考模拟）某商店销售A，B两款商品，利润（单位：元）与销量（单位：袋）的关系分别为和．若本周销售两款商品一共30袋，则能获得的最大利润为______元． 【答案】 【分析】设销售款商品袋，则销售款商品袋，根据总利润等于两款商品利润之和，列出总利润的函数解析式，再利用配方法求函数的最大值，注意为正整数. 【详解】解：设销售款商品袋，则销售款商品袋，为非负整数，且， 由题意，总利润， ∵二次项系数， ∴抛物线开口向下，函数在处取得最大值， 为非负整数， 当或时，取得最大值， 将代入得； 故能获得的最大利润为元. 5．（2026·江苏徐州铜山区·中考模拟）某超市销售一款水杯，每个可获利元，每周可以销售个．经调研：售价每降低元，每周可多销售个．设每个降价元（），每周总利润为元． (1)求与的函数表达式； (2)当取何值时，每周的总利润最大？最大总利润是多少？ 【答案】(1) (2)当时，每周总利润最大，最大总利润为元． 【分析】（1）根据题意，由总利润等于销售量乘以单件利润，可得出与的函数关系式； （2）将与的函数关系式转换为顶点式，结合，即可得出最大利润和所对应的售价． 【详解】（1）解：结合题意，得 ， 故与的函数关系式为． （2）解：， ∵，抛物线的对称轴为直线，抛物线的开口向下； ∴当时，利润最大，其值为元． 试卷第1页，共3页 2 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $