第04讲 认识反比例函数（讲义：考点整理+题型归纳+探究式学习+课后检测）2026-2027学年北师大版九年级数学下册

简一数理 初中专题讲义 第04讲 认识反比例函数 （新教材北师大版） 知识点一、反比例函数的概念 2 知识点二、反比例关系与反比例函数的区别与联系 2 知识点三、反比例函数解析式的确定方法：待定系数法 2 【题型1 用反比例函数描述数量关系】 3 【题型2 根据定义判断是否是反函数】 3 【题型3 根据反比例函数求参数】 4 【题型4 求反比例函数值】 4 【题型5 由反比例函数值求自变量】 5 【题型6 求反比例函数解析式】 6 【探究式学习】 7 【课后检测】 10 【复盘笔记】 15 知识点一、反比例函数的概念 一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数.其中x是自变量，y是函数。自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。 在中，无论变量x，y怎样变化，k的值始终等于x和y的乘积。若k=0，则=0恒成立，失去了x，y成反比的意义，所以是定义的一部分。 反比例函数的解析式也可以写成xy=k（k≠0、xy≠0）、的形式. 特别提醒：形如，，的函数不是反比例函数。 知识点二、反比例关系与反比例函数的区别与联系 联系 成反比例关系的两个量中，一个变量不一定是另一个变量的反比例函数，但在反比例函数（(k为常数，k≠0)中的两个变量必成反比例关系. 区别 反比例函数中有自变量和函数的区分，而成反比例关系的两个量没有这种区分. 知识点三、反比例函数解析式的确定方法：待定系数法 待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤： 1）设反比例函数的解析式为（k为常数，k≠0）； 2）把已知的一对x，y的值带入解析式，得到一个关于待定系数k的方程； 3）解方程求出待定系数k； 4）将所求的k值代入所设解析式中. 【题型1 用反比例函数描述数量关系】 【例1】溶液中溶质的质量分数．当某溶液中溶质质量一定时，溶质质量分数与溶液质量满足的函数关系是（     ） A．反比例函数关系 B．一次函数关系 C．正比例函数关系 D．二次函数关系 【变式1-1】从1，2，3，4中任选不同的两个数，记为a和b，则点在函数图象上的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】下面说法中错误的是（   ） A．平行四边形的面积一定，底和高成反比例 B．铺地面积一定，方砖的边长与所需的块数成反比例 C．一个圆的面积和它的半径不成比例 D．正方形的周长和它的边长成正比例 【变式1-3】若和成反比例关系，当的值分别为时，的值如表所示，则表中的值是（　　） 3 2 A． B． C．3 D．2 【题型2 根据定义判断是否是反函数】 【例2】下列说法错误的是（     ） A．若是的反比例函数，则也是的反比例函数 B．四边形的内角和与外角和相等 C．一件衣服提价后又打八折，这件衣服的价格不变 D．两组边分别相等的两个直角三角形全等 【变式2-1】下列图示中，能够正确表示函数、一次函数、正比例函数和反比例函数之间关系的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】下列函数中，y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】下列函数中：①，②，③，④（为常数，且）；属于反比例函数的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型3 根据反比例函数求参数】 【例3】若函数是反比例函数，则m的值为（     ） A． B．1 C．或1 D．0 【变式3-1】若反比例函数的图象经过点，则它的图象也一定经过的点是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】反比例函数的图象经过点，则下列说法错误的是（　　） A． B．函数图象分布在第一、三象限 C．随的增大而减小 D．当时，随的增大而减小 【变式3-3】已知点，，在下列某个函数的图象上，则这个函数是（    ） A． B． C． D． 【题型4 求反比例函数值】 【例4】下列各点不在函数图象上的是（     ） A． B． C． D． 【变式4-1】已知，则在下列点中，可能是反比例函数图像上的点是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】生物学中，细胞的相对表面积是指细胞的表面积与其体积的比率．细胞的相对表面积y与细胞的半径R是反比例函数关系，其图象如图所示，当时，则（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】定义新运算：，则对于函数，下列说法正确的是（   ） A．函数图象经过点 B．函数图象位于第一、三象限 C．当时， D．当时，y随x的增大而增大 【题型5 由反比例函数值求自变量】 【例5】若时，反比例函数中有最大值，则对于时，反比例函数中有（    ） A．最大值为 B．最大值为 C．最小值为 D．最大值为 【变式5-1】已知反比例函数，若当时，的最大值与最小值的差为，则的值为（ A． B．或 C． D．或 【变式5-2】定义：函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于1的点叫做这个函数图象的“近轴点”．例如，点是函数图象的“近轴点”．下列三个函数的图象上存在“近轴点”的是(   ) ①；②；③． A．① B．② C．③ D．①②③ 【变式5-3】如图，在平面直角坐标系中，的顶点、均在函数的图像上，顶点在函数的图像上，且轴，轴，若，则线段AB的长为（    ） A． B． C． D．2 【题型6 求反比例函数解析式】 【例5】如图，在平面直角坐标系中，一块墨迹遮挡了横轴的位置，只留下部分纵轴和部分正方形网格，该网格的每个小正方形的边长都是1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，若格点A，B在函数的图象上，则k的值为（     ） A． B． C． D． 【变式5-1】对反比例函数的图象分别进行以下三种方案的变换：方案①先向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度；方案②沿直线翻折；方案③先沿直线翻折，再向右平移1个单位长度，若要使变化后的图象经过点，则可行的方案是（     ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【变式5-2】已知反比例函数的图像经过点，则下列结论正确的是（     ） A． B．图像在第一、三象限 C．当时，y随x的增大而增大 D．点不在该图像上 【变式5-3】如图，在边长为1的正方形网格上建立平面直角坐标系，x轴，y轴都在格线上，其中反比例函数的图象被撕掉了一部分，已知点M，N在格点上，则（     ） A． B． C． D． 【探究式学习】 1．综合与实践：九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图象与性质，其探究过程如下： (1)绘制函数图象：如图．列表：下表是x与y的几组对应值，其中_________． x … 1 2 3 4 … y … 3 1 m … 描点：根据表中各组对应值，请在平面直角坐标系中描出各点． 连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请你画出函数图象． (2)观察图象并分析表格；回答下列问题： ①函数的图象是由函数的图象向________平移________个单位长度而得到． ②函数的图象关于点________成中心对称．（填点的坐标） ③当时，则y的取值范围为_________． 2．小明探究琴弦振动频率与弦长的关系．他选取两根不同材质的琴弦（记为号弦，号弦），实验中保持两根琴弦的张力相同，并利用人工智能软件测量琴弦发出声音时的振动频率，调整琴弦的弦长为（单位：）时，号弦的振动频率为（单位：），号弦的振动频率为（单位：），部分数据如下： 通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系． (1)在给出的平面直角坐标系中，画出函数的图象； (2)当频率为时，对应号弦长与号弦长的差为________（结果保留整数）； (3)通过本次实验，小明对在实验条件下琴弦振动频率与弦长的一般关系作出如下推断： 同一根琴弦，弦长越大频率越低； 两根琴弦的弦长相同时，频率差应为定值； 两根琴弦的弦长相同时，频率比应为定值； 要使号弦发出的声音比号弦发出的声音高八度（号弦的频率是号弦的频率的倍），两根琴弦的弦长比应为定值． 其中所有合理推断的序号是________． 3．综合运用 【问题背景】如下图，，是函数图象上的两点． （1）求的值； 【构建联系】 （2）连接，，，求的面积； 【深入探究】 （3）点在函数图象上，且，过点分别作两坐标轴的垂线，垂线与坐标轴围成一个矩形．是否存在不经过点的新矩形，使其周长和面积是原矩形的一半？说明理由． 【课后检测】 1．下列各点不在反比例函数图象上的是（     ） A． B． C． D． 2．若点在反比例函数的图象上，则的值是（     ） A． B． C． D． 3．下列函数中，是的反比例函数的是（ ） A． B． C． D． 4．若反比例函数的图象经过点，则该图象也一定经过点（    ） A． B． C． D． 5．用表示自变量，表示的函数，下列选项中，是的反比例函数的是（     ） A．长方形的周长是2，长为，宽为 B．正方形的边长为，面积为 C．荣荣以的速度行走，行走的时间为 ，行走的路程为 D．恒恒以的速度用爬完长为的楼梯 6．已知函数是反比例函数，则m的值为（     ） A． B． C．1 D．或1 7．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点、，且与y轴交于点C．连接，，则的面积为（　　） A．4 B．9 C．16 D．8 8．如图，直线与轴交于点，与反比例函数的图像交于点，过点作轴于点，且，则的值为（   ） A．2 B． C．4 D． 9．在平面直角坐标系中，点，点，将沿直线翻折，原点的对应点恰好落在双曲线上，则的值为（   ） A． B． C． D． 10．爱美之心人皆有之，现在许多年轻人因为生活条件好了，代步工具多了，身体肥胖成为烦恼，随着科技的进步，我国的减肥瘦身行业发展迅速，最近某药品研究所开发一种减肥新药，在临床人体试验中，测得实验人员服药后血液中药物浓度（微克／毫升）与服药时间（小时）之间的函数关系如图所示（当时，与成反比例）．根据图中信息可知，血液中药物浓度不低于微克／毫升的持续时间为（   ）． A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 11．若是反比例函数，则m的值为_______． 12．在平面直角坐标系中，对于点和，当时，；当时，，则称点是点的“演绎点”．若点是反比例函数图象上点的“演绎点”，则的值为_____． 13．已知点，在反比例函数的图象上．则__________． 14．盒子中有个小球分别记为，，，，除上面的数字外完全相同，摸一个后放回，若先后两次摸到的数为和，且点在反比例函数的图象上，记为事件．当事件概率最大时，值可以是_______________． 15．如图，在边长为1的正方形网格上建立平面直角坐标系，轴，轴都在格线上，其中反比例函数的图象被撕掉了一部分，已知点，在格点上，设点的坐标为，则___________． 16．已知与成反比例关系，当时，，求时，的值． 17．已知与成反比例，且当时，． (1)求关于的函数关系式； (2)当时，求的值． 18．如图，正方形的顶点A，B在x轴上，点，正方形的中心为点M．点E，F，G，H分别在边上，且四边形是正方形．已知反比例函数的图象经过点M，H． (1)求反比例函数的解析式； (2)求点G的坐标． 19．在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，那么称该点为“黎点”．例如，，都是“黎点”． (1)当时，双曲线上的“黎点”为_______； (2)若抛物线（a，c为常数，）上有且只有一个“黎点”，则当时，求c的值． 20．如图，点在反比例函数的图象上，过分别作轴、轴的平行线，与反比例函数的图象相交于点，，过作轴的平行线，与反比例函数的图象相交于点（其中，为常数，且）． (1)若点，，则______． (2)若点的横坐标为2，且，求与之间的数量关系． (3)延长，相交于点，当点在函数图象上运动时，的面积是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与y轴交于点A，与反比例函数交于点． (1)求b和k的值； (2)点C是x轴正半轴上一点，连接交反比例函数于点D，连接，若，求的面积； (3)在（2）条件下，一次函数与x轴交于点N，过点B的直线交反比例函数于点P，交x轴于点M，是否存在点P，使得与相似，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【复盘笔记】 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 41 页 第 1 页 共 41 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 初中专题讲义 第04讲 认识反比例函数 （新教材北师大版） 知识点一、反比例函数的概念 2 知识点二、反比例关系与反比例函数的区别与联系 2 知识点三、反比例函数解析式的确定方法：待定系数法 2 【题型1 用反比例函数描述数量关系】 3 【题型2 根据定义判断是否是反函数】 4 【题型3 根据反比例函数求参数】 7 【题型4 求反比例函数值】 9 【题型5 由反比例函数值求自变量】 11 【题型6 求反比例函数解析式】 14 【探究式学习】 17 【课后检测】 23 【复盘笔记】 41 知识点一、反比例函数的概念 一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数.其中x是自变量，y是函数。自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。 在中，无论变量x，y怎样变化，k的值始终等于x和y的乘积。若k=0，则=0恒成立，失去了x，y成反比的意义，所以是定义的一部分。 反比例函数的解析式也可以写成xy=k（k≠0、xy≠0）、的形式. 特别提醒：形如，，的函数不是反比例函数。 知识点二、反比例关系与反比例函数的区别与联系 联系 成反比例关系的两个量中，一个变量不一定是另一个变量的反比例函数，但在反比例函数（(k为常数，k≠0)中的两个变量必成反比例关系. 区别 反比例函数中有自变量和函数的区分，而成反比例关系的两个量没有这种区分. 知识点三、反比例函数解析式的确定方法：待定系数法 待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤： 1）设反比例函数的解析式为（k为常数，k≠0）； 2）把已知的一对x，y的值带入解析式，得到一个关于待定系数k的方程； 3）解方程求出待定系数k； 4）将所求的k值代入所设解析式中. 【题型1 用反比例函数描述数量关系】 【例1】溶液中溶质的质量分数．当某溶液中溶质质量一定时，溶质质量分数与溶液质量满足的函数关系是（     ） A．反比例函数关系 B．一次函数关系 C．正比例函数关系 D．二次函数关系 【答案】A 【分析】根据各种函数关系的定义判断即可． 【详解】解：设溶质质量为定值（），由题意得， ∵为定值， ∴为非零常数， ∴与满足反比例函数关系． 【变式1-1】从1，2，3，4中任选不同的两个数，记为a和b，则点在函数图象上的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查概率和反比例函数的性质，利用列举法即可求解． 【详解】解：从1，2，3，4中任选两个数，记为a和b，则点的所有可能组合有： ， 共12种等可能结果， 若点在函数图象上，则， 以上各点满足的有：，共2种， 故点在函数图象上的概率是， 故选：D． 【变式1-2】下面说法中错误的是（   ） A．平行四边形的面积一定，底和高成反比例 B．铺地面积一定，方砖的边长与所需的块数成反比例 C．一个圆的面积和它的半径不成比例 D．正方形的周长和它的边长成正比例 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的定义，能熟记反比例函数的定义是解此题的关键． 根据反比例函数与正比例函数的定义进行判断即可． 【详解】解：A．当平行四边形的面积一定时，底与高成反比例，故原说法正确，不符合题意； B．当总面积一定时，方砖的边长的平方与所需的块数成反比例，故原说法错误，符合题意； C．圆的面积，可知圆的面积与半径的平方成正比，故原说法正确，不符合题意； D．正方形的周长边长（一定），所以正方形的周长与边长成正比例，故原说法正确，不符合题意． 故选：B． 【变式1-3】若和成反比例关系，当的值分别为时，的值如表所示，则表中的值是（　　） 3 2 A． B． C．3 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了变量间成反比例关系，熟练掌握定义是解题的关键．根据反比例的定义，若和成反比例关系，则它们的乘积为定值，利用已知条件时，求出的值，再代入时的情况计算的值． 【详解】解：由反比例关系得：（为常数）， 当时，，代入得：， 当时，，代入关系式得：， 解得：， 因此，表中的值是， 故选：A． 【题型2 根据定义判断是否是反函数】 【例2】下列说法错误的是（     ） A．若是的反比例函数，则也是的反比例函数 B．四边形的内角和与外角和相等 C．一件衣服提价后又打八折，这件衣服的价格不变 D．两组边分别相等的两个直角三角形全等 【答案】D 【分析】由反比例函数可得出进而可得出也是的反比例函数，可判断A，根据多边形内角和和外角和定理即可判断B，由题意可知可判断C，根据两组边分别对应相等才能判定两个直角三角形全等，可判断D． 【详解】解：∵若y是x的反比例函数，则可设， 可得， ∴x也是y的反比例函数，∴选项A不符合题意； ∵四边形的内角和与外角和都等于，∴选项B不符合题意； ∵一件衣服提价后又打八折时，这件衣服的价格为：， ∴这件衣服的价格不变，∴选项C不符合题意； ∵两组边分别对应相等的两个直角三角形全等，选项D说法错误，∴选项D符合题意． 【变式2-1】下列图示中，能够正确表示函数、一次函数、正比例函数和反比例函数之间关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数的概念，关键是理解正比例函数、一次函数、反比例函数的概念． 【详解】解：函数包括一次函数和反比例函数， 选项不符合题意， 当一次函数中时， 一次函数包含正比例函数， 选项不符合题意． 故答案选：． 【变式2-2】下列函数中，y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的定义，形如（k为常数，）的函数叫反比例函数，根据反比例函数的定义逐项分析判断即可． 【详解】A.是反比例函数，故符合题意；     B.是正比例函数，不是反比例函数，故不符合题意； C. 不是反比例函数，故不符合题意；     D.不是反比例函数，故不符合题意； 故选：A． 【变式2-3】下列函数中：①，②，③，④（为常数，且）；属于反比例函数的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据反比例函数的定义逐一分析判断即可，形如y＝()的函数是反比例函数． 【详解】①∵， ∴，是反比例函数，符合题意； ②，不是反比例函数，不合题意； ③∵， ∴，是反比例函数，符合题意； ④（为常数，且），是反比例函数，符合题意； 是反比例函数的有①③④，共3个， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数的辨别，熟练掌握反比例函数的形式是解题的关键．y＝()的函数是反比例函数． 【题型3 根据反比例函数求参数】 【例3】若函数是反比例函数，则m的值为（     ） A． B．1 C．或1 D．0 【答案】B 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴，且， 由，得，解得或， 由，得， ∴． 【变式3-1】若反比例函数的图象经过点，则它的图象也一定经过的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用反比例函数的图象经过点，求出k的值，再分别计算选项中各点的横纵坐标之积，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征进行判断． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴k＝2×（﹣3）＝﹣6， ∵（﹣2）×（﹣3）＝6≠﹣6， （﹣3）×（﹣2）＝6≠﹣6， 1×（﹣6）＝﹣6， ,6×1＝6≠﹣6， 则它一定还经过（1，﹣6）， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【变式3-2】反比例函数的图象经过点，则下列说法错误的是（　　） A． B．函数图象分布在第一、三象限 C．随的增大而减小 D．当时，随的增大而减小 【答案】C 【分析】先求出函数解析式，再根据函数性质依次判断． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴函数图象分布在第一、三象限，在每个象限内随的增大而减小， 故A、B、D正确，C错误， 故选：C． 【点睛】此题考查待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数的性质，熟记性质是解题的关键． 【变式3-3】已知点，，在下列某个函数的图象上，则这个函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别把点，，代入各个函数进行验证判断即可． 【详解】解：A、当时，，当时，， ∴点，不能同时在函数图象上； B、当时，，当时，， 当时，， ∴有，， 此时，，符合题意， ∴点，，可同时在函数图象上； C、当时，，当时，， ∴点，不能同时在函数图象上； D、当时，，当时，， 当时，， ∵若，则， ∴，不符合题意， ∴点，，不能同时在函数图象上； 故选：B． 【点睛】本题考查了坐标与函数，会运用坐标代入法进行验证是解题的关键． 【题型4 求反比例函数值】 【例4】下列各点不在函数图象上的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将函数解析式变形为，通过验证各点横纵坐标的乘积判断点是否在图象上． 【详解】解：由得（）. ∵ 选项A中， 选项B中，均满足， ∴ 这两个点在函数图象上． ∵ 选项C中，不满足，∴ 该点不在函数图象上． ∵ 选项D中，满足， ∴ 该点在函数图象上． 【变式4-1】已知，则在下列点中，可能是反比例函数图像上的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据已知等式求出k的值，再计算反比例函数的比例系数，最后利用反比例函数图象上点的坐标满足比例系数，判断选项即可． 【详解】解：∵ ，，两边同乘，再整理得， 解得 ，， 经检验，，是方程的解， 当时，，此时反比例函数满足， 当时，，此时反比例函数满足， 依次计算各选项横纵坐标乘积： A、，不符合题意； B、，符合； C、，不符合题意； D、，不符合题意． 【变式4-2】生物学中，细胞的相对表面积是指细胞的表面积与其体积的比率．细胞的相对表面积y与细胞的半径R是反比例函数关系，其图象如图所示，当时，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用反比例函数图象过点求出反比例函数的解析式，即可求出当时，的值，最后利用反比例函数的增减性求解即可． 【详解】设反比例函数的解析式为， 由图可得反比例函数图象过点， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 当时，， 由可知，在第一象限随的增大而减小， ∴当时对应的自变量半径R的取值范围是． 【变式4-3】定义新运算：，则对于函数，下列说法正确的是（   ） A．函数图象经过点 B．函数图象位于第一、三象限 C．当时， D．当时，y随x的增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质； 根据新运算定义得出函数表达式，再利用反比例函数的性质逐一分析选项即可． 【详解】解：∵定义新运算 ∴， 对于A选项：将代入，得，故函数图象不经过点，A错误； 对于B选项：∵， ∴反比例函数的图象位于第二、四象限，B错误； 对于C选项：当时，为负数，为正数，且从增大到时，从1增大到4，即，C错误； 对于D选项：∵， ∴当时，随的增大而增大，D正确； 故选：D． 【题型5 由反比例函数值求自变量】 【例5】若时，反比例函数中有最大值，则对于时，反比例函数中有（    ） A．最大值为 B．最大值为 C．最小值为 D．最大值为 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的增减性问题，求反比例函数值，根据解析式可得反比例函数图象经过第一，三象限，且在每个象限内y随x增大而减小，则当时，，则可求出，再分别求出和时的函数值即可得到答案． 【详解】解：∵在反比例函数中，， ∴反比例函数图象经过第一，三象限，且在每个象限内y随x增大而减小， ∵当时，反比例函数中有最大值， ∴， ∴， 当时，则y的最大值为，最小值为 故选： D． 【变式5-1】已知反比例函数，若当时，的最大值与最小值的差为，则的值为（ A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的增减性、根据反比例函数的增减性质，列一元一次方程解答即可． 【详解】解：当时，在每个象限内随的增大而减小， ∴当时，有最大值，则当时，y有最小值， ∴，解得； 当时，在每个象限内随的增大而增大， ∴设时，有最小值，当时，有最大值， ∴，解得， ∴或． 故选：B． 【变式5-2】定义：函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于1的点叫做这个函数图象的“近轴点”．例如，点是函数图象的“近轴点”．下列三个函数的图象上存在“近轴点”的是(   ) ①；②；③． A．① B．② C．③ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题考查了新定义，反比例函数图象上点的坐标特点，一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，分别计算各函数与两坐标轴的交点，与增减性结合即可求解． 【详解】解：①当时，， 当时，， ， 与两坐标的交点分别为和， 当时，； 当时，； 函数的图象上不存在“近轴点”； ②中，在每一象限内随的增大而减小， 当时，， 当时，， 函数的图象上不存在“近轴点”； ③， 当时，；当时，； 函数的图象上存在“近轴点”； 故选：C． 【变式5-3】如图，在平面直角坐标系中，的顶点、均在函数的图像上，顶点在函数的图像上，且轴，轴，若，则线段AB的长为（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征．设点的横坐标为，根据函数图像上点的坐标特征可得，继而得到，，得出，，再根据，即可得解．理解和掌握函数图像上点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：延长交轴于点，延长交轴于点， ∴轴，轴， 设点的横坐标为， ∵点在函数的图像上， 当时，得， ∴， ∴点的纵坐标为，点的横坐标为， ∵顶点、均在函数的图像上， 当时，得；当时，得； ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴或（舍去）， ∴． 故选：C． 【题型6 求反比例函数解析式】 【例5】如图，在平面直角坐标系中，一块墨迹遮挡了横轴的位置，只留下部分纵轴和部分正方形网格，该网格的每个小正方形的边长都是1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，若格点A，B在函数的图象上，则k的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用网格图确定点A与点B的相对位置关系，设出点的坐标，利用反比例函数系数k的几何意义（即图象上任意一点的横纵坐标之积为定值k）建立方程求解． 【详解】解：根据图象可知，点A的横坐标为，点B的横坐标为， 设点A的坐标为，则点B的坐标为， ∵点A，B在函数的图象上， ∴，，即， 解得， ∴点A的坐标为， ∴． 【变式5-1】对反比例函数的图象分别进行以下三种方案的变换：方案①先向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度；方案②沿直线翻折；方案③先沿直线翻折，再向右平移1个单位长度，若要使变化后的图象经过点，则可行的方案是（     ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】A 【分析】将点经各方案的逆变换后，验证对应点是否在原反比例函数图象上，即可判断方案是否可行． 【详解】解：方案①的逆变换为向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度. 将逆变换得， ，满足， 方案①可行； 方案②的逆变换为沿直线轴对称. 将对称得； ，满足，方案②可行； 方案③的逆变换为向左平移1个单位长度，再沿直线轴对称； 将先左移1个单位得，再对称得； ，不满足， 方案③不可行． 【变式5-2】已知反比例函数的图像经过点，则下列结论正确的是（     ） A． B．图像在第一、三象限 C．当时，y随x的增大而增大 D．点不在该图像上 【答案】C 【分析】首先利用待定系数法求得的值，进而可得该函数解析式，结合反比例函数的图像与性质逐项分析判断即可． 【详解】解：∵反比例函数的图像经过点， ∴，即该函数解析式为， ∴该函数图像在二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大， 当时，，即点在该函数图像上， ∴选项A、B、D错误，不符合题意，选项C正确，符合题意． 【变式5-3】如图，在边长为1的正方形网格上建立平面直角坐标系，x轴，y轴都在格线上，其中反比例函数的图象被撕掉了一部分，已知点M，N在格点上，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察网格，设点、，将点、代入反比例函数得到，结合、均为正整数，且，据此解答即可． 【详解】解：观察网格，设点、， 将点、代入反比例函数得 ， 整理得， 由于点，在格点上，且在轴右侧， 则、均为正整数，且， 当时，，解得，， ∴点，， 则点，满足； ∴． 【探究式学习】 1．综合与实践：九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图象与性质，其探究过程如下： (1)绘制函数图象：如图．列表：下表是x与y的几组对应值，其中_________． x … 1 2 3 4 … y … 3 1 m … 描点：根据表中各组对应值，请在平面直角坐标系中描出各点． 连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请你画出函数图象． (2)观察图象并分析表格；回答下列问题： ①函数的图象是由函数的图象向________平移________个单位长度而得到． ②函数的图象关于点________成中心对称．（填点的坐标） ③当时，则y的取值范围为_________． 【答案】(1)0； (2)①下，1 ② ③或 【分析】（1）将代入中计算即可求出m的值；根据各点坐标描点，再用平滑曲线连接，注意x不能取0，图象分为两支，分布在y轴两侧． （2）①需将函数表达式变形为反比例函数平移形式，根据平移规律判断方向和单位． ②根据反比例函数对称中心及平移规律确定对称点坐标． ③分和两种情况，结合函数增减性求y的取值范围． 【详解】（1）解：表格中函数值m对应的x值为2，将代入中得，所以，m的值为0． （2）①∵， ∴函数的图象是由函数的图象向下平移1个单位长度而得到． ②∵函数的图象关于原点对称， ∴函数的图象关于点对称． ③当时，分两种情况： 当时，y随x的增大而减小， 当时，，当x趋近于正无穷时，y趋近于， 因此，当时，； 当时，y随x的增大而减小， 当时，，当x趋近于负无穷时，y趋近于， 因此，当时，； 综上，y的取值范围为或． 2．小明探究琴弦振动频率与弦长的关系．他选取两根不同材质的琴弦（记为号弦，号弦），实验中保持两根琴弦的张力相同，并利用人工智能软件测量琴弦发出声音时的振动频率，调整琴弦的弦长为（单位：）时，号弦的振动频率为（单位：），号弦的振动频率为（单位：），部分数据如下： 通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系． (1)在给出的平面直角坐标系中，画出函数的图象； (2)当频率为时，对应号弦长与号弦长的差为________（结果保留整数）； (3)通过本次实验，小明对在实验条件下琴弦振动频率与弦长的一般关系作出如下推断： 同一根琴弦，弦长越大频率越低； 两根琴弦的弦长相同时，频率差应为定值； 两根琴弦的弦长相同时，频率比应为定值； 要使号弦发出的声音比号弦发出的声音高八度（号弦的频率是号弦的频率的倍），两根琴弦的弦长比应为定值． 其中所有合理推断的序号是________． 【答案】(1)见解析； (2)（答案不唯一）； (3)． 【分析】（）根据画函数图象的方法及步骤即可； （）根据函数图象进行求解即可； （）根据函数图象进行分析即可． 【详解】（1）解：根据表格，描点，连线， 画图象如图， （2）解：如图， 当时，对应号弦长为，号弦长为， ∴对应号弦长与号弦长的差为， 故答案为：（答案不唯一）； （3）解：对同一根琴弦，，越大越小，即弦长越大频率越低，推断合理； 弦长相同时，频率差，随变化而变化，不是定值，推断错误； 弦长相同时，频率比，是定值，推断合理； 若，则，化简得，弦长比为定值，推断合理； 故答案为：． 3．综合运用 【问题背景】如下图，，是函数图象上的两点． （1）求的值； 【构建联系】 （2）连接，，，求的面积； 【深入探究】 （3）点在函数图象上，且，过点分别作两坐标轴的垂线，垂线与坐标轴围成一个矩形．是否存在不经过点的新矩形，使其周长和面积是原矩形的一半？说明理由． 【答案】（1）6； （2）； （3）存在不经过点P的新矩形，使得周长和面积分别是原矩形的一半，理由如下： 由（）知反比例函数的解析式为， ∴反比例函数的图象分布在第一、三象限 ∵点在函数图象上，且， ∴点P一定在第一象限， ∴原矩形的周长为，原矩形的面积为 ， 设点在第一象限，过点分别作两坐标轴的垂线，垂线与坐标轴围成一个矩形，这个矩形满足题意，则，， ∴， ∴，即， 解得或， ∴，或，， ∴或， ∴存在不经过点P的新矩形，使得周长和面积分别是原矩形的一半． 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，反比例函数与几何综合，解一元二次方程，熟知反比例函数的相关知识是解题的关键。 （1）把点A和点B的坐标代入反比例函数的解析式中可得，解方程即可得到答案； （2）过点A和点B分别作x轴的垂线，垂足分别为点C，点D，根据列式求解即可； （3）根据题意可得点P在第一象限，则，设点是第一象限内的一点，过点分别作两坐标轴的垂线，垂线与坐标轴围成一个矩形，这个矩形满足题意，则，，求出s、t的值即可得到结论； 【详解】（1）解：∵，是函数图象上的两点， ∴， 解得， 即的值为； （2）解：如图所示，过点A和点B分别作x轴的垂线，垂足分别为点C，点D， 由（1）得，，则， ∴ ； （3）略 【课后检测】 1．下列各点不在反比例函数图象上的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：反比例函数图象上的点满足． A． ，点在函数图象上． B． ，点在函数图象上． C． ，点不在函数图象上． D． ，点在函数图象上． 2．若点在反比例函数的图象上，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴，即． 3．下列函数中，是的反比例函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、，不是的形式，不是反比例函数； B、，这是的形式（），是反比例函数； C、，不是的形式，不是反比例函数； D、，不是的形式，不是反比例函数． 4．若反比例函数的图象经过点，则该图象也一定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：将点代入，得． B选项中，符合要求，其余选项横纵坐标乘积均不等于，不符合． 5．用表示自变量，表示的函数，下列选项中，是的反比例函数的是（     ） A．长方形的周长是2，长为，宽为 B．正方形的边长为，面积为 C．荣荣以的速度行走，行走的时间为 ，行走的路程为 D．恒恒以的速度用爬完长为的楼梯 【答案】D 【详解】解：A选项中，，可得，不是的反比例函数，不符合题意； B选项中，，不是的反比例函数，不符合题意； C选项中，，不是的反比例函数，不符合题意； D选项中，，是的反比例函数，符合题意． 6．已知函数是反比例函数，则m的值为（     ） A． B． C．1 D．或1 【答案】C 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴，且， ∵由，得或， 由，得， ∴． 7．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点、，且与y轴交于点C．连接，，则的面积为（　　） A．4 B．9 C．16 D．8 【答案】D 【分析】把代入反比例函数解析式，求出m，进而求出n，再将点A、B的坐标代入求出直线的解析式求面积即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象过点，， ∴， ∴， ∴， 把的坐标代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为； 当时，， ∴， ∴， ∴． 8．如图，直线与轴交于点，与反比例函数的图像交于点，过点作轴于点，且，则的值为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】先把P点的纵坐标代入一次函数中可确定P点坐标，然后把P点坐标代入双曲线中可计算出k的值． 【详解】解：∵， ∴P点的纵坐标为2， 把代入得， 所以P点坐标为， 把代入得，解得． 9．在平面直角坐标系中，点，点，将沿直线翻折，原点的对应点恰好落在双曲线上，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由折叠的性质，结合坐标与线段的关系求出点的坐标，再代入反比例函数解析式求出的值． 【详解】解：∵ ，， ∴ ，， 由折叠的性质得，， 设点的坐标为，，， ， 由①得； 由②得； ， 即， 将代入得， ， ∵， 解得， ∴，即 ， ∵ 点在双曲线上， ∴． 10．爱美之心人皆有之，现在许多年轻人因为生活条件好了，代步工具多了，身体肥胖成为烦恼，随着科技的进步，我国的减肥瘦身行业发展迅速，最近某药品研究所开发一种减肥新药，在临床人体试验中，测得实验人员服药后血液中药物浓度（微克／毫升）与服药时间（小时）之间的函数关系如图所示（当时，与成反比例）．根据图中信息可知，血液中药物浓度不低于微克／毫升的持续时间为（   ）． A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 【答案】D 【分析】使用待定系数法求出不同时段的函数解析式，并计算时，对应的的值，相减得出持续时间． 【详解】解：由题意和图象可知，当时，与成正比例；当时，与成反比例． 当时，设， 将点代入，得， ∴当时，则， 将代入，得， 当时，设， 将点代入，得， ∴当时，设， 将代入，得， 结合图象可知，血液中药物浓度不低于微克／毫升的持续时间为（小时）． 11．若是反比例函数，则m的值为_______． 【答案】 或 【分析】根据反比例函数定义，需满足自变量的次数为，且比例系数不为，据此列方程求解即可. 【详解】解：∵是反比例函数， ∴ 且， 解得或， 经检验，或均符合题意， 故或. 12．在平面直角坐标系中，对于点和，当时，；当时，，则称点是点的“演绎点”．若点是反比例函数图象上点的“演绎点”，则的值为_____． 【答案】或 【分析】根据“演绎点”的定义，分和两种情况讨论，结合点在反比例函数图象上的坐标特征列方程求解即可． 【详解】解：∵点在反比例函数上，且的横坐标为， ∴， ∵是点的“演绎点”， 当时，根据定义得， ∴，解得，符合条件； 当时，根据定义得， ∴，解得，符合条件； 综上，的值为或． 13．已知点，在反比例函数的图象上．则__________． 【答案】 【分析】先利用点的坐标求出反比例函数的比例系数，再代入点的横坐标计算的值． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴将，代入，得， ∴反比例函数解析式为， ∵点在该反比例函数图象上， ∴将，代入，得． 14．盒子中有个小球分别记为，，，，除上面的数字外完全相同，摸一个后放回，若先后两次摸到的数为和，且点在反比例函数的图象上，记为事件．当事件概率最大时，值可以是_______________． 【答案】2或 【分析】由点在反比例函数的图象上得到，画树状图得到所有等可能的结果数，及k的值的所有可能及其结果数，根据概率公式计算后求解即可． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴． 画树状图为： 由图可得共有16种等可能结果， 其中共有2种结果，则； 共有2种结果，则； 共有4种结果，则； 共有4种结果，则； 共有2种结果，则； 共有2种结果，则； 当事件概率最大时，值可以是2或． 15．如图，在边长为1的正方形网格上建立平面直角坐标系，轴，轴都在格线上，其中反比例函数的图象被撕掉了一部分，已知点，在格点上，设点的坐标为，则___________． 【答案】 【详解】解：由点的坐标为可得， 由点，在格点上可得， 解得， ． 16．已知与成反比例关系，当时，，求时，的值． 【答案】当时，的值为 【分析】先利用待定系数法求出，再求出当时，的值即可． 【详解】解：∵与成反比例关系， ∴设， ∵当时，， ∴， ∴， ∴， 当时，． 17．已知与成反比例，且当时，． (1)求关于的函数关系式； (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的定义、待定系数法求反比例函数解析式． （1）设出与成反比例的解析式，代入数值计算出比例系数即可； （2）把的值代入即可得的值． 【详解】（1）解：设 将，代入， 得， 解得， ； （2）解：当时，． 18．如图，正方形的顶点A，B在x轴上，点，正方形的中心为点M．点E，F，G，H分别在边上，且四边形是正方形．已知反比例函数的图象经过点M，H． (1)求反比例函数的解析式； (2)求点G的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正方形的性质和点D的坐标求出点A和点C的坐标，再利用中点坐标公式求出点M的坐标，最后利用待定系数法求解即可； （2）证明，得到．求出点H的坐标，得到的长，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵正方形的中心为点M， ∴，即， ∵反比例函数的图象经过点M， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：∵四边形，四边形都是正方形， ∴，，， ，， ， ， ． ∵，即轴， ∴点H的纵坐标为8， 在中，当时，， ∴ ， ， ， ． 19．在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，那么称该点为“黎点”．例如，，都是“黎点”． (1)当时，双曲线上的“黎点”为_______； (2)若抛物线（a，c为常数，）上有且只有一个“黎点”，则当时，求c的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设双曲线上的“黎点”为，把代入反比例函数解析式，求出m的值即可； （2）根据“黎点”定义得出方程有且只有一个解，根据根的判别式列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设双曲线上的“黎点”为， 则有， （负值已舍去）， 经检验，是原方程的解， ∴当时，双曲线上的“黎点”为． （2）解：∵抛物线（a，c为常数，）上有且只有一个“黎点”， ∴方程，即有且只有一个解， ， ， ， ， ． 20．如图，点在反比例函数的图象上，过分别作轴、轴的平行线，与反比例函数的图象相交于点，，过作轴的平行线，与反比例函数的图象相交于点（其中，为常数，且）． (1)若点，，则______． (2)若点的横坐标为2，且，求与之间的数量关系． (3)延长，相交于点，当点在函数图象上运动时，的面积是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)5 (2) (3)当点在函数图象上运动时，的面积为定值，定值是 【分析】（1）根据轴，结合点坐标，可设，再根据的长列出方程，解出即可得的坐标，再把的坐标代入，即可解得的值． （2）把点的横坐标代入，即可得点的坐标，再根据轴，轴，轴，即可得点与点的纵坐标相等，点与点的横坐标相等，点与点的纵坐标相等，进一步表示出点、、的坐标，即可求出、、，最后根据得，代入数据计算即可得的值． （3）设点的坐标为，根据平行线的坐标特点，即可求出点、、的坐标，进一步求出、、，可得，根据梯形面积公式求出，根据题目得，根据平行线性质得，，可证明，根据相似三角形性质得，再根据，即可得，代入数据解出即可得的面积为定值，定值是． 【详解】（1）解：∵轴，， ∴设 ， ∵， ∴，解得：， ∴， ∵在的图象上， ∴，解得：， ∴的值为5． （2）解：点的横坐标为2，且点在反比例函数的图象上， ∴点的坐标为， ∵轴，轴， ∴点与点的纵坐标相等，点与点的横坐标相等， ∴点的纵坐标为，点的横坐标为2， ∵点、在的图象上， ∴即：，， ∴，， ∵轴， ∴点与点的纵坐标相等， ∴点的纵坐标为， ∵点在的图象上， ∴，解得：， ∴， ∴，，， , ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图1， 设点的坐标为， ∵轴，轴， ∴点与点的纵坐标相等，点与点的横坐标相等， ∴点的纵坐标为，点的横坐标为， ∵点、在的图象上， ∴即：，， ∴，， ∵轴， ∴点与点的纵坐标相等， ∴点的纵坐标为， ∵点在的图象上， ∴，解得：， ∴， ∴，，， ∴，， 根据题目条件得：， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴当点在函数图象上运动时，的面积为定值，定值是． 21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与y轴交于点A，与反比例函数交于点． (1)求b和k的值； (2)点C是x轴正半轴上一点，连接交反比例函数于点D，连接，若，求的面积； (3)在（2）条件下，一次函数与x轴交于点N，过点B的直线交反比例函数于点P，交x轴于点M，是否存在点P，使得与相似，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)6 (3)存在， 【分析】（1）将点代入求出的值，确定点坐标后，将点代入函数中，求出； （2）过点作轴交于点，过点作轴交于点，可得，求出，可知轴，则的面积； （3）由题可推导出有两种情况或，当时，，求出，直线与反比例函数图象的交点即为点；当时，，求出，直线与反比例函数图象的交点即为点． 【详解】（1）解：将点代入， ， 解得， ， 将点代入函数中，可得； （2）解：， ， 过点作轴交于点，过点作轴交于点， ， ∵， ， ， ∴， ， 当时，， ， 在中，令，则， ∴， ∴轴，， ∴的面积； （3）解：存在点，使得与相似，理由如下： 当时，， ， ， ， 或， ∵，， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 令，则， ， ， ， 当时，， ， ， ， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，解得（与点B重合，舍去）或， ； 当时，， ， 解得， ， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，解得（与点B重合，舍去）或（舍）； 综上所述：． 【复盘笔记】 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 41 页 第 1 页 共 41 页 学科网（北京）股份有限公司 $