第05 讲 反比例函数的图像（讲义：考点整理+题型归纳+探究式学习+课后检测）2026-2027学年北师大版九年级数学下册
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内容正文：
简一数理 初中专题讲义
第05讲 反比例函数的图像
（新教材北师大版）
知识点一、反比例函数的图象与性质 2
知识点二、反比例系数k的几何意义 3
知识点三、反比例函数与一次函数综合 5
【题型1 判断反比例函数的图像】 6
【题型2 已知反比例函数图像判断解析式】 7
【题型3 由反比例函数的对称性求点的坐标】 9
【题型4 已知双曲线分布情况求参数范围】 9
【题型5 判断反比例函数的增减性】 10
【题型6 判断反比例函数图像所在象限】 11
【题型7 已知反比例函数增减性求参数】 12
【题型8 比较反比例函数的数值和自变量大小】 12
【题型9 已知比例系数求特定图形面积】 13
【题型10 根据图形面积求解析式】 14
【题型11 求反函数解析式】 15
【题型12 反比例函数与几何综合】 16
【题型13 反比例函数、二次函数的图像综合判断】 17
【题型14 反比例函数、一次函数的图像综合判断】 19
【题型15 一次函数与反比例函数的交点问题】 20
【题型16 一次函数与反比例函数的实际应用】 20
【题型17 一次函数与反比例函数的其他综合应用】 22
【探究式学习】 23
【课后检测】 25
【复盘笔记】 32
知识点一、反比例函数的图象与性质
性质
表达式
（为常数，）
图象
k>0
k<0
经过象限
一、三象限（x、y同号）
二、四象限（x、y异号）
增减性
在图象所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而减小
在图象所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而增大
对称性
中心对称:反比例函数的图象关于原点成中心对称,如双曲线一支上的点A(a,b)关于原点的对称点A(-a,-b)在双曲线的另一支上
轴对称:反比例函数的图象关于直线y=x或y=-x 成轴对称
图象特征
1）反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴．
2）反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线y=±x，对称中心为原点．
注意：
(1)研究反比例函数的增减性及比较两个函数值的大小时，要分象限进行研究或比较.
(2)判断某点是否在反比例函数的图象上，只需要判断该点的横、纵坐标之积是否等于k即可.
(3)因为反比例函数和正比例函数的图象都关于原点对称，所以在同一直角坐标系中，若反比例函数与正比例函数图象有两个交点，则这两个交点关于原点对称.
知识点二、反比例系数k的几何意义
当反比例函数图象与三角形、矩形结合时,可直接利用k的几何意义求解,若图形为不规则图形,则结合割补法进行求解.
（一）一点一垂线
结论：S△AOB=S△COD S△AOE=S四边形CEBD S△AOC=
（二）一点两垂线
结论：S矩形ABOE=S矩形CDOF S矩形AEFG=S矩形CGBD S ▱ABCD=
（三）两点一垂线
结论：S△ABC =2S△ABO =
如左图，已知一次函数与反比例函数交于A、B两点，且一次函数与x轴交于点C，则S△AOB=S△AOC+S△BOC
=co•|yA|+co•|yB|=co(|yA|+|yB|)
如右图，已知一次函数与反比例函数交于A、B两点，且一次函数与y轴交于点C，则S△AOB=S△AOC+S△BOC
=co•|xA|+co•|xB|=co(|xA|+|xB|)
（四）两点两垂线
【模型结论】反比例函数与正比例函数图象的交点及由交点向坐标轴所作两条垂线围成的图形面积等于2|k|
（五）两点和原点
方法一：S△AOB＝S△COD－S△AOC－S△BOD．【分割】
方法二：作AE⊥x轴于点E，交OB于点M，BF⊥x轴于点F，而S△OAM＝S四边形MEFB，则S△AOB＝S直角梯形AEFB．
方法三：S△AOB＝S四边形COFD－S△AOC－S△BOF. 【补形】
方法四：S△AOB＝S△AOD－S△BOD＝OD•（|yA|-|yB|）
方法五：S△AOB＝S△BOC－S△AOC＝OC•（|xB|-|xA|）
（六）两曲一平行
类型一 两条双曲线的k值符号相同
结论：S阴影＝|k1|-|k2| S阴影＝|k1|-|k2|
结论：S阴影＝|k1|-|k2| S阴影＝|k1|-|k2|- S直角梯形AFDE
类型二 两条双曲线的k值符号相同
结论：S△AOB＝S△ACB＝(|k1|+|k2|) S阴影＝|k1|+|k2|
知识点三、反比例函数与一次函数综合
1.自变量取值范围
当一次函数与反比例函数相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐标．针对y1>y2时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x的范围．例如，如下图，当y1>y2时，x的取值范围为x>xA或xB<x<0；同理，当y1<y2时，x的取值范围为0<x<xA或x<xB．
2.求一次函数与反比例函数的交点坐标
1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定．
①k值同号，两个函数必有两个交点；
②k值异号，两个函数可无交点，可有一个交点，可有两个交点；
2） 从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况．
【题型1 判断反比例函数的图像】
【例1】李明需要制作一个底面积为的长方体无盖纸盒，底面矩形的一边长y（单位：）与其邻边长x（单位：）之间的关系可以用图象大致表示为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】小华同学利用计算机软件练习绘制函数的图象，下列图象中可能是函数（为常数）的图象的是（ ）．
A． B．
C． D．
【变式1-2】如图，四边形是正方形，点E，G分别是边上的动点，且，分别作，，与交于点F，设，，则下列图象能反映y与x函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】函数与的图象如图所示，当（ ）时，．
A．或 B．或
C．或 D．或
【题型2 已知反比例函数图像判断解析式】
【例2】综合实践小组的同学利用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度是液体的密度的反比例函数，其图象如图所示．列说法正确的是（ ）
A．当液体密度时，浸在液体中的高度
B．当液体密度时，浸在液体中的高度
C．当浸在液体中的高度时，该液体的密度
D．当液体的密度时，浸在液体中的高度
【变式2-1】一次函数与反比例函数在同一直角坐标系内的大致图象如图，则k，b的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-2】如图是某同学利用计算机软件绘制的某函数的图像，根据图像判断可能是下列的哪一个函数（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】如图1，已知A，B是反比例函数（，）图像上的两点，轴，交y轴于点C，动点P从坐标原点O出发，沿（图中“”所示路线）匀速运动，终点为C，过P作轴，垂足为M．设三角形的面积为S，P点运动时间为t，则S关于t的函数图像大致如图2，则k的值为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【题型3 由反比例函数的对称性求点的坐标】
【例3】关于函数的图象有以下四个结论：①函数图象与坐标轴没有公共点；②函数图象关于直线对称；③函数图象关于直线对称；④函数图象关于成中心对称．其中正确的个数是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
【变式3-1】点，，在反比例函数的图象上，下列结论正确的是（ ）
A． B．若，则
C．若，则 D．随的增大而增大
【变式3-2】在下列函数中，其图象的对称轴条数最少的是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】在平面直角坐标系中，反比例函数的图像经过点，，则下列说法错误的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则、关于原点对称 D．若，，则
【题型4 已知双曲线分布情况求参数范围】
【例4】若反比例函数的图象位于第二、四象限，则k的值是（ ）
A．0 B．0或1 C．0或2 D．4
【变式4-1】如图，反比例函数的图象位于第二、四象限，则k的值可以是（ ）
A． B．0 C．2 D．5
【变式4-2】已知反比例函数（）的图象在第一、三象限，则二次函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-3】关于反比例函数，下列说法错误的是（ ）
A．若函数图象分布在第二、四象限，则
B．若点在函数图象上，且，则
C．若，则当时，的最大值为
D．若函数图象上有两点，满足且，则
【题型5 判断反比例函数的增减性】
【例5】下列函数中，当时，随的增大而减小的是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】如图是二次函数(a，b是常数)的图象，则关于反比例函数的性质，下列叙述正确的是（ ）
A．y随x的增大而减小 B．y随x的增大而增大
C．图象在第二、四象限 D．图象在第一、三象限
【变式5-2】关于反比例函数，下列说法中正确的是（ ）
A．随的增大而增大 B．当时，
C．当时，或 D．它的图象位于第一、三象限
【变式5-3】在函数（m是常数）的图象上有三点、、，已知，则下列各式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【题型6 判断反比例函数图像所在象限】
【例6】函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】关于反比例函数的描述错误的是（ ）
A．图象必经过点 B．图象位于第二、第四象限
C．当时，y随x的增大而增大 D．当时，
【变式6-2】已知点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-3】反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【题型7 已知反比例函数增减性求参数】
【例7】已知双曲线，若在每个象限内，y随x的增大而增大，则k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-1】已知，在双曲线上，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式7-2】．若点，在反比例函数的图象上，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．任意实数
【变式7-3】已知反比例函数的图象在各自的象限内，随的增大而减小，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【题型8 比较反比例函数的数值和自变量大小】
【例8】已知点，，都在同一个函数的图象上，且，，的大小关系满足，则下列选项中的函数图象符合题意的是（ ）
A． B． C． D．
【变式8-1】已知点都在反比例函数（其中是常数）的图象上，则的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式8-2】若点，，（）在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【变式8-3】已知点都在反比例函数的图像上，则的大小关系正确的是（ ）．
A． B． C． D．
【题型9 已知比例系数求特定图形面积】
【例9】如图，点、是双曲线上的点，分别过、两点向轴、轴作垂线段，若，则的值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【变式9-1】如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，点在x轴上，若四边形为矩形，则它的面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式9-2】反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点在的图象上，过点作轴于点，交的图象于点，轴于点，交的图象于点．当点的横坐标逐渐变大时，四边形的面积（ ）
A．逐渐变大 B．逐渐变小 C．不变 D．先变小再变大
【变式9-3】如图，过点作两条直线，分别交函数，的图象于点，点，连接，若轴，则的面积是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．6
【题型10 根据图形面积求解析式】
【例10】如图，点，在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上，连接，以，为边作，边与轴交于点，反比例函数的图象经过点．若，，则的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【变式10-1】、如图，在平面直角坐标系中，双曲线上有，两点，轴于点，轴于点，为的中点，，则的值为（ ）
A．8 B． C．16 D．
【变式10-2】如图，点，是反比例函数图象上的点，点，分别在轴，轴正半轴上．若四边形为菱形，轴，，则等于（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【变式10-3】如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的顶点，始终在反比例函数的图象上滑动，且斜边经过原点，与轴负半轴交于点．当的面积等于的面积时，点的坐标为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【题型11 求反函数解析式】
【例11】已知反比例函数（为常数）的图象经过二次函数的图象的顶点A，下列说法正确的是（ ）
A．点A的坐标为
B．反比例函数的表达式为
C．该二次函数的图象与轴没有交点
D．点A关于轴对称的点的坐标为
【变式11-1】如图，在平面直角坐标系中，“双曲线阶梯”的所有线段均与x轴平行或垂直，且满足， 点A， C， E， G均在双曲线 的一支上．若点A的坐标为，则第三级阶梯的高的值是（ ）
A．4 B．6 C． D．
【变式11-2】已知y是x的反比例函数，当时，，那么时，y的值为（ ）
A．2 B． C．8 D．
【变式11-3】如图，在平行四边形中，，点E是边上的动点，连接，过点A作于点F．设，则y与x之间的函数解析式为（不考虑自变量x的取值范围）（ ）
A． B． C． D．
【题型12 反比例函数与几何综合】
【例12】一等腰三角形的面积为，其腰长为cm，该腰上的高为cm，当腰长满足时，该腰上的高的值可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式12-1】如图，点为反比例函数的图象上一点，过点向坐标轴作垂线围成矩形，设的长度为，矩形的周长为，当时，的范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式12-2】如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，矩形的顶点、分别落在轴正半轴和轴正半轴上，顶点落在函数的图象上．函数的图象分别交边和边于点、，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式12-3】如图，在平面直角坐标系中，点，，将向右平移到位置，点A、O的对应点分别是C、E，函数的图象经过点C和的中点F，则k的值为（ ）
A． B． C． D．15
【题型13 反比例函数、二次函数的图像综合判断】
【例13】二次函数是常数且的图象如图所示，则直线与反比例函数的图象在同一平面直角坐标系中的位置大致为（ ）
A． B．
C． D．
【变式13-1】在同一平面直角坐标系中，抛物线（是常数，且）与双曲线的大致图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【变式13-2】已知一次函数和反比例函数的图象如图所示，则二次函数的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
【变式13-3】抛物线和双曲线（）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【题型14 反比例函数、一次函数的图像综合判断】
【例14】若二次函数的图象开口向上，则正比例函数与反比例函数在同一平面直角坐标系内的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【变式14-1】反比例函数与一次函数（k为常数，）在同一坐标系中的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
【变式14-2】在同一直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图像大致是（ ）
A． B． C． D．
【变式14-3】在同一平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象可能是（）
A． B． C． D．
【题型15 一次函数与反比例函数的交点问题】
【例15】一次函数与反比例函数交于，当时， x的取值范围是（ ）
A．或 B．或 C．或 D．
【变式15-1】正比例函数与反比例函数的图像相交于A，B两点，，，且．点，在反比例函数上，其中，则下面结论正确的是（ ）．
A． B． C． D．
【变式15-2】若双曲线与直线没有交点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式15-3】定义：在平面直角坐标系中，横、纵坐标互为相反数的点叫做自反点．下列函数的图象中不存在自反点的是（ ）
A． B． C． D．
【题型16 一次函数与反比例函数的实际应用】
【例16】实验数据显示，一般成人喝毫升某品牌白酒后开始计时，血液中酒精含量（毫克/百毫升）与时间（时）变化的图象如图（图象由线段与部分双曲线组成）所示．国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．
参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上在家喝完毫升该品牌白酒，第二天早上最早几点可以上班（ ）
A． B． C． D．
【变式16-1】某品牌自动饮水机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热．水温开始下降，此时水温（）与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热．若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A．上午8点接通电源，可以保证当天能喝到不超过的水
B．水温下降过程中，与之间的函数关系式是
C．水温从加热到需要
D．水温不低于的时间为
【变式16-2】饮水机接通电源会自动加热，加热时水温每分钟上升，温度到停止加热．然后水温开始下降，此时水温与时间成反比例函数关系，水温降至时，饮水机重复上述程序开始加热，加热时水温与时间的关系如图所示．水温从开始加热至，然后下降至这一过程中，水温不低于的时间为________．
【变式16-3】为了预防“流感”，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量与时间成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例（如图）．现测得药物燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为．研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于才有效，那么此次消毒的有效时间是______分钟．
【题型17 一次函数与反比例函数的其他综合应用】
【例17】如图，在直角坐标系第一象限内，正方形的边长为2，边在x轴上，C在反比例函数图像上，D在直线上，则b的值为________．
【变式17-1】如图，在平面直角坐标系中，点P在函数（x>0）的图象上从左向右运动，轴，交函数（）的图象于点A，轴交的延长线于点B，则的面积为______________．
【变式17-2】如图所示，已知函数和的图像交于点，，过点A作垂直于x轴于点E，，则的值是________．
【变式17-3】如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象相交于A，B两点，点C在y轴上，若的面积等于4，则k的值为__________．
【探究式学习】
1．新定义探究：函数的“迁移中心”
对于函数（a、b、h为常数，且），变形可得，称点为该函数图象的“迁移中心”．例如的迁移中心为．
(1)①函数的迁移中心是 ；
②在如图所示的平面直角坐标系中描点、连线，画出函数的大致图象（小方格的边长为1）．
观察图象可知，函数的对称中心是点 （写出点的坐标）；
(2)若函数图象的“迁移中心”为，且该函数图象由函数的图象平移得到，求此函数的解析式；
(3)若直线与（2）中函数图象交于P、Q两点，点P的横坐标为p，点Q的纵坐标为q，求代数式的值．
2．如图，在同一平面直角坐标系中，正比例函数的图象可以看作是将轴所在的直线绕着原点按逆时针方向旋转度角后得到的图形．若它与反比例函数的图象分别交于第一、三象限的点，，已知点，．
(1)无论取何值，四边形的形状一定是_____．
(2)当点的坐标为，四边形是矩形时，试求和的值．
(3)试探究：四边形能不能是菱形？若能，直接写出点的坐标；若不能，请说明理由．
【课后检测】
1．若点，都在反比例函数（为常数）的图象上，则，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．不能确定
2．反比例函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
3．函数的对称中心是（ ）
A． B． C． D．
4．若点，在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数的图象过点，则该函数的图象必在（ ）
A．第一、二象限 B．第二、四象限
C．第一、三象限 D．第一、四象限
6．如图是反比例函数的一部分图象，已知该图象过点，点P是图象上任意一点，过点P作轴，垂足为M，则的面积是（ ）
A．6 B．2.5 C．3 D．2
7．若，互为相反数，则函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
8．设反比例函数（k为常数，）．已知当时，的最大值为，则当时，的最大值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．
9．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A，C分别在轴和轴上，点，点，反比例函数的图象经过点B，则k的值为（ ）
A．9 B．12 C．16 D．
10．火力发电厂的大烟囱并不是我们所理解的排放废气的烟囱，它的专业名字叫双曲线冷却塔（如图1），它的纵截面是如图所示的轴对称图形，四边形是一个矩形，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，其中曲线和曲线分别是两个反比例函数图象的一部分，若冷却塔的高度为，，上口宽，则底部直径的长为（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数（，均为常数）的图象都经过点，当时，x的取值范围是___________．
12．如图，轴交反比例函数的图象于点A，交轴于点B，连接，，则的值是______．
13．如图，反比例函数与长方形在第一象限相交于D、E两点，，，连接，，，记、的面积分别为、．若，则的面积为_______．
14．如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，反比例函数与一次函数(k为常数)交于点和点． 则关于x的不等式的解集为________________．
15．如图，反比例函数的图象经过点，将线段沿轴向右平移至线段，点落在反比例函数的图象上，则线段扫过的面积为_________．
16．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点．
(1)求一次函数的解析式；
(2)根据图象直接写出不等式的解集；
17．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，连接、．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)求的面积．
18．如图，中，，，，动点从点出发，沿着折线匀速运动，速度为每秒1个单位长度，同时以相同的速度从出发沿射线运动．设运动时间为秒（），的面积为，的面积与的面积之比为．
(1)请直接写出、关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围；
(2)在平面直角坐标系中画出、的函数图象，并写出函数的一条性质；
(3)根据图象直接写出当时的取值范围（近似值保留小数点后1位，误差不超过）．
19．如图，已知一次函数的图象与反比例函数（）的图象交于、B两点，交y轴于点C．
(1)求反比例函数的表达式和点B的坐标；
(2)过点C的直线（）与反比例函数的图象只有一个公共点．若，则x的取值范围是_____．
20．已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点为反比例函数图象上一动点，连接，以，为邻边构造平行四边形．
(1)求的值；
(2)如图，过点作轴于点，若的边经过点时，求点坐标；
(3)如图，当点在点左侧时，若的面积为，求点坐标．
【复盘笔记】
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简一数理 初中专题讲义
第05讲 反比例函数的图像
（新教材北师大版）
知识点一、反比例函数的图象与性质 2
知识点二、反比例系数k的几何意义 3
知识点三、反比例函数与一次函数综合 5
【题型1 判断反比例函数的图像】 6
【题型2 已知反比例函数图像判断解析式】 9
【题型3 由反比例函数的对称性求点的坐标】 12
【题型4 已知双曲线分布情况求参数范围】 14
【题型5 判断反比例函数的增减性】 16
【题型6 判断反比例函数图像所在象限】 19
【题型7 已知反比例函数增减性求参数】 20
【题型8 比较反比例函数的数值和自变量大小】 22
【题型9 已知比例系数求特定图形面积】 24
【题型10 根据图形面积求解析式】 27
【题型11 求反函数解析式】 31
【题型12 反比例函数与几何综合】 34
【题型13 反比例函数、二次函数的图像综合判断】 37
【题型14 反比例函数、一次函数的图像综合判断】 40
【题型15 一次函数与反比例函数的交点问题】 42
【题型16 一次函数与反比例函数的实际应用】 45
【题型17 一次函数与反比例函数的其他综合应用】 49
【探究式学习】 52
【课后检测】 57
【复盘笔记】 75
知识点一、反比例函数的图象与性质
性质
表达式
（为常数，）
图象
k>0
k<0
经过象限
一、三象限（x、y同号）
二、四象限（x、y异号）
增减性
在图象所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而减小
在图象所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而增大
对称性
中心对称:反比例函数的图象关于原点成中心对称,如双曲线一支上的点A(a,b)关于原点的对称点A(-a,-b)在双曲线的另一支上
轴对称:反比例函数的图象关于直线y=x或y=-x 成轴对称
图象特征
1）反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴．
2）反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线y=±x，对称中心为原点．
注意：
(1)研究反比例函数的增减性及比较两个函数值的大小时，要分象限进行研究或比较.
(2)判断某点是否在反比例函数的图象上，只需要判断该点的横、纵坐标之积是否等于k即可.
(3)因为反比例函数和正比例函数的图象都关于原点对称，所以在同一直角坐标系中，若反比例函数与正比例函数图象有两个交点，则这两个交点关于原点对称.
知识点二、反比例系数k的几何意义
当反比例函数图象与三角形、矩形结合时,可直接利用k的几何意义求解,若图形为不规则图形,则结合割补法进行求解.
（一）一点一垂线
结论：S△AOB=S△COD S△AOE=S四边形CEBD S△AOC=
（二）一点两垂线
结论：S矩形ABOE=S矩形CDOF S矩形AEFG=S矩形CGBD S ▱ABCD=
（三）两点一垂线
结论：S△ABC =2S△ABO =
如左图，已知一次函数与反比例函数交于A、B两点，且一次函数与x轴交于点C，则S△AOB=S△AOC+S△BOC
=co•|yA|+co•|yB|=co(|yA|+|yB|)
如右图，已知一次函数与反比例函数交于A、B两点，且一次函数与y轴交于点C，则S△AOB=S△AOC+S△BOC
=co•|xA|+co•|xB|=co(|xA|+|xB|)
（四）两点两垂线
【模型结论】反比例函数与正比例函数图象的交点及由交点向坐标轴所作两条垂线围成的图形面积等于2|k|
（五）两点和原点
方法一：S△AOB＝S△COD－S△AOC－S△BOD．【分割】
方法二：作AE⊥x轴于点E，交OB于点M，BF⊥x轴于点F，而S△OAM＝S四边形MEFB，则S△AOB＝S直角梯形AEFB．
方法三：S△AOB＝S四边形COFD－S△AOC－S△BOF. 【补形】
方法四：S△AOB＝S△AOD－S△BOD＝OD•（|yA|-|yB|）
方法五：S△AOB＝S△BOC－S△AOC＝OC•（|xB|-|xA|）
（六）两曲一平行
类型一 两条双曲线的k值符号相同
结论：S阴影＝|k1|-|k2| S阴影＝|k1|-|k2|
结论：S阴影＝|k1|-|k2| S阴影＝|k1|-|k2|- S直角梯形AFDE
类型二 两条双曲线的k值符号相同
结论：S△AOB＝S△ACB＝(|k1|+|k2|) S阴影＝|k1|+|k2|
知识点三、反比例函数与一次函数综合
1.自变量取值范围
当一次函数与反比例函数相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐标．针对y1>y2时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x的范围．例如，如下图，当y1>y2时，x的取值范围为x>xA或xB<x<0；同理，当y1<y2时，x的取值范围为0<x<xA或x<xB．
2.求一次函数与反比例函数的交点坐标
1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定．
①k值同号，两个函数必有两个交点；
②k值异号，两个函数可无交点，可有一个交点，可有两个交点；
2） 从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况．
【题型1 判断反比例函数的图像】
【例1】李明需要制作一个底面积为的长方体无盖纸盒，底面矩形的一边长y（单位：）与其邻边长x（单位：）之间的关系可以用图象大致表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据矩形面积公式列出与的函数关系式，结合自变量的取值范围确定图象．
【详解】解：由题意得，
．
表示矩形的边长，
，
该函数图象是位于第一象限的双曲线的一支．
【变式1-1】小华同学利用计算机软件练习绘制函数的图象，下列图象中可能是函数（为常数）的图象的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查反比例函数的图象和性质．根据反比例函数图象的平移变换特点，以及代入特殊点排除错误选项即可得到答案．
【详解】解：令得，故函数过原点，所以排除；
的图象可由反比例函数向右平移个单位，再向上平移个单位得到，经过上述变化可得到选项，不能得到．
【变式1-2】如图，四边形是正方形，点E，G分别是边上的动点，且，分别作，，与交于点F，设，，则下列图象能反映y与x函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】可证明四边形是正方形，则四边形的周长为，则可得到，根据点E在上，得到，则，据此可得答案．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
又∵，
∴矩形是正方形，
∴四边形的周长为，
∵，
∴，
∵点E在上，
∴，
∴，
∴只有B选项中的函数图象符合题意．
【变式1-3】函数与的图象如图所示，当（ ）时，．
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】C
【分析】由函数图象可知，当或时，函数的图象在的图象的上方，据此即可得到答案．
【详解】解：由函数图象可知，当或时，函数的图象在的图象的上方，
∴当或时，．
【题型2 已知反比例函数图像判断解析式】
【例2】综合实践小组的同学利用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度是液体的密度的反比例函数，其图象如图所示．列说法正确的是（ ）
A．当液体密度时，浸在液体中的高度
B．当液体密度时，浸在液体中的高度
C．当浸在液体中的高度时，该液体的密度
D．当液体的密度时，浸在液体中的高度
【答案】C
【分析】根据反比例函数图象先求出函数解析式，再结合图象逐项判断即可得解．
【详解】解：设：浸在液体中的高度关于液体的密度的反比例函数解析式为，
将代入可得，
反比例函数解析式为，
根据反比例函数图象可得：
当液体密度时，浸在液体中的高度，
选项说法错误，不符合题意；
当液体密度时，浸在液体中的高度，
选项说法错误，不符合题意；
根据反比例函数图象可得，浸在液体中的高度随着液体密度变大而变小，
当浸在液体中的高度时，该液体的密度，
选项说法正确，符合题意；
根据反比例函数图象可得，
当液体的密度时，浸在液体中的高度，
选项说法错误 ，不符合题意．
故选：．
【点睛】本题考查的知识点是待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的图象与性质，解题关键是结合反比例函数图象解题．
【变式2-1】一次函数与反比例函数在同一直角坐标系内的大致图象如图，则k，b的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了反比例函数和一次函数的图象，掌握函数图象在哪个象限内与相关参数的关系是解题的关键．
先判断出一次函数与反比例函数的图象在哪个象限内，再判断出k、b的大小即可．
【详解】解：∵一次函数的图象与y轴的交点在y轴的负半轴上．
∴.
∵反比例函数的图象位于第二、四象限，
∴，
综上所述， ．
故选C．
【变式2-2】如图是某同学利用计算机软件绘制的某函数的图像，根据图像判断可能是下列的哪一个函数（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了函数的图象；能够通过函数的图象得出结论是解题的关键．由图象可知，当时，函数值不存在，当时，，当时，随的增大先增大后减小；据此即可判断．
【详解】解：A、，当时，随的增大而减小，与图象不符，不符合题意；
B、，满足图象特点，符合题意；
C、，当时，，与图象不符，不符合题意；
D、，当时，，与图象不符，不符合题意；
故选：B．
【变式2-3】如图1，已知A，B是反比例函数（，）图像上的两点，轴，交y轴于点C，动点P从坐标原点O出发，沿（图中“”所示路线）匀速运动，终点为C，过P作轴，垂足为M．设三角形的面积为S，P点运动时间为t，则S关于t的函数图像大致如图2，则k的值为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】A
【分析】当点P在上运动时，此时S随t的增大而增大，当点P从点A到点B的过程中，三角形的面积S是定值，再根据此时的面积为4，列式计算，即可求解．
【详解】解：由图1可知，点P从点A到点B的过程中，三角形的面积S是定值，
由图2可知：点P从点A到点B的过程中，，
，
解得：，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数的系数k的几何意义及反比例函数的性质，动点问题的函数图象，解题的关键是从函数图象获取相关信息．
【题型3 由反比例函数的对称性求点的坐标】
【例3】关于函数的图象有以下四个结论：①函数图象与坐标轴没有公共点；②函数图象关于直线对称；③函数图象关于直线对称；④函数图象关于成中心对称．其中正确的个数是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
【答案】B
【分析】将函数转化为平移后的反比例函数，利用反比例函数的对称性判断各结论正误．
【详解】解：函数由反比例函数向左平移3个单位得到，
当时，，即函数图象与轴有公共点，故①错误；
∵的对称中心为，对称轴为直线和，平移后对称中心、对称轴随图象同步左移3个单位，
∴平移后对称中心为，对称轴为直线和，
∴ ②③④正确，故选项B符合题意．
【变式3-1】点，，在反比例函数的图象上，下列结论正确的是（ ）
A． B．若，则
C．若，则 D．随的增大而增大
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的性质．由点在反比例函数图象上，可求出，再根据反比例函数性质逐一判断各选项．
【详解】解：点在反比例函数图象上，
，解得，
反比例函数解析式为
对于A：∵，
，故A错误；
对于B：当和同号时，函数在各自象限内随增大而增大，
但若，则，此时，故B错误；
对于C：若，则，
，，
，故C正确；
对于D：当时，函数图象在每个象限内，随的增大而增大，故D错误．
故选：C．
【变式3-2】在下列函数中，其图象的对称轴条数最少的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、反比例函数的图象与性质、二次函数的图象与性质．解决本题的关键是根据函数的图象与性质进行判断．
【详解】解：A选项：一次函数的图象是一条直线，直线有无数条对称轴；
B选项：反比例函数的图象是双曲线，有两条对称轴。
C选项：二次函数的图象是抛物线，抛物线有条对称轴；
D选项：一次函数的图象是一条直线，直线有无数条对称轴．
对称轴条数最少的是反比例函数的图象．
故选：C．
【变式3-3】在平面直角坐标系中，反比例函数的图像经过点，，则下列说法错误的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则、关于原点对称 D．若，，则
【答案】B
【分析】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征，解题的关键是掌握反比例函数的性质是解题的关键．据此进行判断即可．
【详解】解：A．∵，即与异号，
∴点，在第一、三象限或第二、四象限，
∴，原说法正确，故此选项符合题意；
B．∵，
∴，或，，
∴，则或，则，
∴反比例函数的图像在第一、三象限，
∴，原说法错误，故此选项符合题意；
C．∵，
∴，
∴，
∴，
∴、关于原点对称，原说法正确，故此选项不符合题意；
D．若，则反比例函数的图像在第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小，
∴当时，，原说法正确，故此选项不符合题意．
故选：B．
【题型4 已知双曲线分布情况求参数范围】
【例4】若反比例函数的图象位于第二、四象限，则k的值是（ ）
A．0 B．0或1 C．0或2 D．4
【答案】A
【分析】根据反比例函数的定义可得k的值，再由函数图象位于第二、四象限，即可求解．
【详解】解：∵函数为反比例函数，
∴，且，
解得：或，
又∵函数图象位于第二、四象限，
∴，即，
∴．
【变式4-1】如图，反比例函数的图象位于第二、四象限，则k的值可以是（ ）
A． B．0 C．2 D．5
【答案】D
【分析】先根据图象位置列出不等式，求出，再对照选项选出符合范围的值．
【详解】解：反比例函数图象位于第二、四象限，
，
．
【变式4-2】已知反比例函数（）的图象在第一、三象限，则二次函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先由反比例函数图象与性质确定参数范围，再由二次函数图象与性质判断选项中的图象即可．
【详解】解：反比例函数（）的图象在第一、三象限，
，
则对于二次函数，由知图象开口向上、对称轴为轴、且与轴交点在负半轴上，
观察四个选项中的图象，只有B选项符合要求．
【变式4-3】关于反比例函数，下列说法错误的是（ ）
A．若函数图象分布在第二、四象限，则
B．若点在函数图象上，且，则
C．若，则当时，的最大值为
D．若函数图象上有两点，满足且，则
【答案】B
【分析】根据反比例函数的系数的正负，结合反比例函数的图象与性质逐一判断选项，找出错误说法即可．
【详解】解：在反比例函数中，比例系数，
对选项A：∵函数图象分布在第二、四象限，
∴，解得，A说法正确；
对选项B：当，即时，在内，y随x的增大而增大，
∵，
∴；
当，即时，在内，y随x的增大而减小，
∵，
∴，题中的结论不成立，B说法错误；
对选项C：∵，
∴，
∵时，反比例函数y随x增大而减小，
∴时，时y取最大值，最大值为，C说法正确；
对选项D：∵，若，则说明时，时，
可得，即，D说法正确．
【题型5 判断反比例函数的增减性】
【例5】下列函数中，当时，随的增大而减小的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据一次函数、反比例函数及二次函数的性质，逐一判断，即可得出答案．
【详解】解：∵中，，
∴随的增大而增大，故A选项不符合题意，
∵中，，
∴当时，随的增大而增大，故B选项不符合题意.
∵二次函数中，，对称轴为直线，
∴当时，随的增大而减小，故C选项符合题意，
∵二次函数中，，对称轴为直线，
∴当时，随的增大而增大，故D选项不符合题意．
【变式5-1】如图是二次函数(a，b是常数)的图象，则关于反比例函数的性质，下列叙述正确的是（ ）
A．y随x的增大而减小 B．y随x的增大而增大
C．图象在第二、四象限 D．图象在第一、三象限
【答案】C
【详解】解：根据二次函数(a，b是常数)的图象知，，
∴，
∴，
∴反比例函数的图象在第二、四象限，在每个象限y随x的增大而增大，
观察四个选项，只有选项C符合题意．
【变式5-2】关于反比例函数，下列说法中正确的是（ ）
A．随的增大而增大 B．当时，
C．当时，或 D．它的图象位于第一、三象限
【答案】C
【分析】由反比例函数解析式得，结合其图象与性质逐一判断各选项．
【详解】解：∵反比例函数为，
∴．
∴函数图象位于第二、四象限，故D错误．
∵时，在每个象限内，随的增大而增大，
∴A中未限定象限，说法错误，故A错误．
当时，，随的增大而增大，
∵时，，
时，，
∴，故B错误．
当时，分两种情况：
①当时，随的增大而增大，
∵时，，
∴．
②当时，．
综上，或，故C正确．
【变式5-3】在函数（m是常数）的图象上有三点、、，已知，则下列各式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先判断反比例函数比例系数的符号，再结合自变量的取值范围，利用函数的增减性与象限特征比较函数值大小．
【详解】解：∵，
∴，
∴函数的图象在第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大．
∵，
∴点，在第二象限的图象上，
∴．
∵，
∴点在第四象限的图象上，
∴，
∴．
【题型6 判断反比例函数图像所在象限】
【例6】函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：当反比例函数图象在一三象限时，，则对应的一次函数图象经过第一、三、四象限，所以选项A、B错误；
C、当反比例函数图象在二四象限时， ，则对应的一次函数图象经过第一、二、四象限，所以C选项错误；D选项正确．
【变式6-1】关于反比例函数的描述错误的是（ ）
A．图象必经过点 B．图象位于第二、第四象限
C．当时，y随x的增大而增大 D．当时，
【答案】D
【详解】解：∵，，
∴双曲线过二，四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大，
当时，，
∴图象必经过点，
当时，；当时，，
故只有选项D描述错误.
【变式6-2】已知点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数的性质，需要先判断反比例函数的单调性，再根据各点横坐标的位置来比较纵坐标的大小．
【详解】解：在反比例函数中，因为，则，即，
所以该反比例函数图象在一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小，
已知点，的横坐标为负，
所以这两点在第三象限；点的横坐标为正，所以该点在第一象限，
因为第一象限的点的纵坐标大于第三象限的点的纵坐标，
所以，，。
在第三象限内，随的增大而减小，且，所以，
又因为，，所以．
故选：D．
【变式6-3】反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】对每个选项，判断反比例函数和一次函数中的的取值范围，看是否出现矛盾，从而选出正确的选项．
【详解】选项A：反比例函数中的，一次函数中的，出现矛盾，不符合题意；
选项B：反比例函数中的，一次函数中的，出现矛盾，不符合题意；
选项C：反比例函数中的，一次函数中的，没有矛盾，符合题意；
选项D：反比例函数中的，一次函数中的，出现矛盾，不符合题意．
【题型7 已知反比例函数增减性求参数】
【例7】已知双曲线，若在每个象限内，y随x的增大而增大，则k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据反比例函数增减性与比例系数的关系列不等式求解．
【详解】解：∵ 双曲线在每个象限内，随的增大而增大，
∴ ，
解得．
【变式7-1】已知，在双曲线上，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查反比例函数的增减性和一元一次不等式的解法．由点，点的横坐标特点及已知条件可以判断两点分别位于第二、四象限，从而根据反比例函数的增减性推出比例系数小于，求得的取值范围．
【详解】解：点的横坐标为，点的横坐标为，
，在y轴的两侧，
又，点，点在上，
点，点分别位于第二、四象限，
根据反比例函数的增减性，的比例系数小于，即，
解得．
【变式7-2】．若点，在反比例函数的图象上，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．任意实数
【答案】C
【分析】利用反比例函数的性质，时图象在第二、四象限，每个象限内y随x增大而增大，结合两点横坐标的大小关系，分象限讨论求解a的取值范围．
【详解】解：∵反比例函数，
∴函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，且每个象限内y随x的增大而增大，
∵，即，
若两点在同一象限，根据y随x增大而增大，可得，与已知矛盾，
∴两点不在同一象限，即点P在第二象限，点Q在第四象限，
可得不等式组，，
解得，
故选：C．
【变式7-3】已知反比例函数的图象在各自的象限内，随的增大而减小，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质，当比例系数大于时，函数图象在第一、三象限，且在各自象限内随的增大而减小，得出，然后求解即可，掌握反比例函数的性质是解题的关键．
【详解】解：∵反比例函数在各自象限内随的增大而减小，
∴，
∴，
故选：．
【题型8 比较反比例函数的数值和自变量大小】
【例8】已知点，，都在同一个函数的图象上，且，，的大小关系满足，则下列选项中的函数图象符合题意的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：A选项：代入横坐标得，，，满足，不符合题意．
B选项：代入横坐标得，，，满足，不符合题意．
C选项：代入横坐标得，，，满足，符合题意．
D选项：代入横坐标得，，，满足，不符合题意．
【变式8-1】已知点都在反比例函数（其中是常数）的图象上，则的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将各点代入反比例函数解析式，用含的式子表示,,，结合比较大小．
【详解】解：∵点、、在反比例函数的图象上，
∴，，，
∵，
∴，又，
∴，
∴．
【变式8-2】若点，，（）在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：将点A，B，C的横坐标分别代入，得，，．
∵，
∴，，
∴．
【变式8-3】已知点都在反比例函数的图像上，则的大小关系正确的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将三个点坐标代入反比例函数中，得到、、的表达式，即可比较、、的大小．
【详解】解：将三个点坐标代入反比例函数中，得到：
，
，
，
∵，
∴的值是正数，、为负数，
∴最大，
∵、分子相同且同为负数，的分母比的分母大，
∴，
∴、、的大小关系为，
∴选择D选项．
【题型9 已知比例系数求特定图形面积】
【例9】如图，点、是双曲线上的点，分别过、两点向轴、轴作垂线段，若，则的值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】C
【分析】利用反比例函数系数的几何意义，得出 及 的值，进而求解．
【详解】解：点、是双曲线 上的点，
过点、向坐标轴作垂线所围成的矩形面积均为，
，，
，
，，
．
【变式9-1】如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，点在x轴上，若四边形为矩形，则它的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】延长交轴于点，然后分别证明四边形、四边形是矩形，再利用反比例函数系数的几何意义，分别得到四边形的面积为，四边形的面积为，即可得到矩形的面积．
【解答】解：延长交轴于点，如图，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∵点在双曲线上，点在双曲线上，
∴四边形的面积为，四边形的面积为，
∴矩形的面积为．
【变式9-2】反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点在的图象上，过点作轴于点，交的图象于点，轴于点，交的图象于点．当点的横坐标逐渐变大时，四边形的面积（ ）
A．逐渐变大 B．逐渐变小 C．不变 D．先变小再变大
【答案】C
【分析】根据反比例函数的解析式和矩形、三角形的面积公式把四边形的面积用含的代数式表示出来，即可得到结果．
【详解】解：点在的图象上，
，
，
设点的坐标为，则点的横坐标为，点的纵坐标为，
点、都在函数上，
点的坐标为，点的坐标为，
，，
，
点的横坐标逐渐变大时，四边形的面积不变．
【变式9-3】如图，过点作两条直线，分别交函数，的图象于点，点，连接，若轴，则的面积是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．6
【答案】C
【分析】连接，，设交轴于点，根据平行线的性质和等底等高的两个三角形面积相等得到 ，再根据反比例函数比例系数k的几何意义得到，
，进而求解即可．
【详解】连接，，设交轴于点．
∵轴，点在轴上，
∴．
∵轴，
∴轴．
∵点在图象上，点在图象上，
∴，．
∴．
【题型10 根据图形面积求解析式】
【例10】如图，点，在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上，连接，以，为边作，边与轴交于点，反比例函数的图象经过点．若，，则的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【分析】由平行四边形性质得，，证得，结合及反比例函数的几何意义求解．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，
点，在轴上，
，
点在轴上，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
点在反比例函数的图象上，
．
【变式10-1】、如图，在平面直角坐标系中，双曲线上有，两点，轴于点，轴于点，为的中点，，则的值为（ ）
A．8 B． C．16 D．
【答案】D
【分析】由得，即得，进而得到，再结合图象的位置即可求解．
【详解】解：∵轴于点，轴于点，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴，
∵,
∴，
又∵，
∴，
解得，
∵双曲线的一支位于第二象限，
∴，
∴．
【变式10-2】如图，点，是反比例函数图象上的点，点，分别在轴，轴正半轴上．若四边形为菱形，轴，，则等于（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【分析】连接，过点B作轴于点E，由菱形的性质及面积可得，证得四边形为矩形，即可得出答案．
【详解】解：连接交于点，过点B作轴于点E，
∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵轴，轴，，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∴．
【变式10-3】如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的顶点，始终在反比例函数的图象上滑动，且斜边经过原点，与轴负半轴交于点．当的面积等于的面积时，点的坐标为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据三角形的面积公式可证明，由反比例函数的对称性可推出，则是的中位线，据此可证明轴，可证明是等腰直角三角形，得到，则，据此可得答案．
【详解】解：∵的面积等于的面积，且，
∴，
∴；
∵斜边经过原点，
∴由反比例函数的对称性可得点A与点C关于原点对称，
∴，
∴是的中位线，
∴，
∴，即轴，
∵在等腰直角三角形中，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵点的坐标为，
∴，
∴，
∵反比例函数的图象经过第二、四象限，
∴，
∴．
【题型11 求反函数解析式】
【例11】已知反比例函数（为常数）的图象经过二次函数的图象的顶点A，下列说法正确的是（ ）
A．点A的坐标为
B．反比例函数的表达式为
C．该二次函数的图象与轴没有交点
D．点A关于轴对称的点的坐标为
【答案】B
【分析】本题主要考查二次函数的性质、反比例函数的表达式以及关于轴对称的点的坐标特征，解题关键是会求顶点坐标．先求出二次函数的顶点坐标，再代入反比例函数求出表达式，然后逐一分析选项．
【详解】A．，点的坐标为，故错误，本选项不符合题意；
B．将点代入反比例函数，解得，故正确，故本选项符合题意；
C．当时，有，该二次函数的图象与轴有两个交点，故错误，本选项不符合题意；
D．点关于轴对称的点的坐标为，故错误，本选项不符合题意．
故选B．
【变式11-1】如图，在平面直角坐标系中，“双曲线阶梯”的所有线段均与x轴平行或垂直，且满足， 点A， C， E， G均在双曲线 的一支上．若点A的坐标为，则第三级阶梯的高的值是（ ）
A．4 B．6 C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了双曲线的解析式、点的坐标与线段长度等知识点，求得双曲线的解析式是解题的关键．
把点A的坐标代入可得双曲线的解析式，结合已知的线段长度求出点E、点G的横坐标，代入解析式可得点E、点G的纵坐标，然后作差即可解答．
【详解】解：∵点在双曲线上，
∴，
∴双曲线，
∵“双曲线阶梯”的所有线段均与x轴平行或垂直，且满足，
∴点E的横坐标为，点G的横坐标为，
∴点E的纵坐标为，点G的纵坐标为，
∴，
故选：B．
【变式11-2】已知y是x的反比例函数，当时，，那么时，y的值为（ ）
A．2 B． C．8 D．
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数的定义，利用待定系数法求函数解析式是解题的关键．
根据待定系数法，可得反比例函数解析式，再把自变量的值代入求值即可．
【详解】解：设反比例函数为，
当时，，
∴，
解得：．
∴反比例函数为．
当时，．
故选：B．
【变式11-3】如图，在平行四边形中，，点E是边上的动点，连接，过点A作于点F．设，则y与x之间的函数解析式为（不考虑自变量x的取值范围）（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题重点考查平行四边形的性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、根据面积等式求函数关系式等知识与方法，作于点H，则，由，求得，由平行四边形的性质得，所以，由于点F，，得，则y，于是得到问题的答案．
【详解】解：作于点H，则，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴点E到的距离等于，
∴，
∵于点F，，
∴，
∴y，
故选：C．
【题型12 反比例函数与几何综合】
【例12】一等腰三角形的面积为，其腰长为cm，该腰上的高为cm，当腰长满足时，该腰上的高的值可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】根据三角形面积公式建立与的数量关系，结合的取值范围推导的取值范围，匹配选项即可．
【详解】解：由三角形面积公式得，
∴ ，即．
∵，
∴ ，
即．
选项中只有符合该范围．
【变式12-1】如图，点为反比例函数的图象上一点，过点向坐标轴作垂线围成矩形，设的长度为，矩形的周长为，当时，的范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由题意得矩形的周长为，得到当且仅当即时，取得最小值为24；据此求解即可．
【详解】解：∵的长度为，
∴点的横坐标为，
∴点的纵坐标为，
∴矩形的周长为，
∵，
∴当且仅当即时，取得最小值为24；
当时，；
当时，；
∴当时，的范围是．
【变式12-2】如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，矩形的顶点、分别落在轴正半轴和轴正半轴上，顶点落在函数的图象上．函数的图象分别交边和边于点、，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，设，则点的纵坐标为，点的横坐标为，代入反比例函数中得，，结合三角形面积的计算列式求解即可．
【详解】解：如图，连接，
∵四边形是矩形，
∴，
∵顶点落在函数的图象上，
∴设，
∵函数的图象分别交边和边于点、，
∴点的纵坐标为，点的横坐标为，
在反比例函数中，当时，，
解得，，则，
当时，，则，
∴，，
∴ ．
【变式12-3】如图，在平面直角坐标系中，点，，将向右平移到位置，点A、O的对应点分别是C、E，函数的图象经过点C和的中点F，则k的值为（ ）
A． B． C． D．15
【答案】D
【分析】根据图形的平移，设平移距离为，分别表示点的坐标，由中点坐标的计算得到，把点C，F代入计算即可求解．
【详解】解：点，，
∴，
∵将向右平移到位置，设平移距离为，
∴，
∴，
∵点F是线段的中点，
∴点F的横坐标为，纵坐标为，
∴，
∵点C，F在反比例函数的图象上，
∴，即，
解得， ．
【题型13 反比例函数、二次函数的图像综合判断】
【例13】二次函数是常数且的图象如图所示，则直线与反比例函数的图象在同一平面直角坐标系中的位置大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】首先根据抛物线的对称轴为直线得到，求出，，然后判断一次函数图象；由二次函数当时，，得到，然后判断反比例函数图象．
【详解】解：∵抛物线对称轴为直线，，
∴，
∴
∴，
∴，
∴，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴，
，
∴直线的图象经过第一、三、四象限；
由二次函数图象可知，当时，，即，
，
∴反比例函数的图象分别位于第一、三象限．
综上，只有C选项符合题意．
【变式13-1】在同一平面直角坐标系中，抛物线（是常数，且）与双曲线的大致图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据二次函数对称轴公式计算抛物线的对称轴为，确定其在轴左侧，据此排除对称轴位置不符的选项A、D；再分和两种情况讨论：当时，反比例函数图象应在一、三象限，且抛物线开口向上、与轴交于负半轴；当时，反比例函数图象在二、四象限，抛物线开口向下且与轴交于正半轴，由此确定答案．
【详解】解：对于抛物线，对称轴为直线，
∴抛物线对称轴一定在轴左侧，故选项A，D错误；
当时，，则双曲线在第一、三象限，抛物线交轴负半轴，故选项B错误；
当时，，则双曲线在第二、四象限，抛物线交轴正半轴，故选项C符合题意．
【变式13-2】已知一次函数和反比例函数的图象如图所示，则二次函数的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据一次函数和反比例函数的图象经过的象限可判断出的符号，则可确定二次函数的开口方向，对称轴的位置和与y轴的交点位置，据此结合函数图象可得答案．
【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限，
∴；
∵反比例函数的图象经过第二、四象限，
∴，
∴，
∴，
∴二次函数的图象与y轴交于y轴的正半轴，对称轴在y轴左侧，且开口向下，
∴四个选项中只有B选项中的函数图象符合题意．
【变式13-3】抛物线和双曲线（）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据函数图象判断的取值，利用数形结合即可求解．
【详解】解：A、由反比例函数图象得，，由抛物线得，可得抛物线和双曲线（）的图象不可能在同一坐标系中，故选项A不符合题意；
B、由反比例函数图象得，，由抛物线得，，则可得抛物线和双曲线（）的图象不可能在同一坐标系中，故选项B不符合题意；
C、由反比例函数图象得，，由抛物线得，，则可得抛物线和双曲线（）的图象不可能在同一坐标系中，故选项C不符合题意；
D、由反比例函数图象得，，由抛物线得，，则可得抛物线和双曲线（）的图象可能在同一坐标系中，故选项D符合题意．
【题型14 反比例函数、一次函数的图像综合判断】
【例14】若二次函数的图象开口向上，则正比例函数与反比例函数在同一平面直角坐标系内的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据二次函数的图象开口向上，可得，再根据正比例函数和反比例函数的图象性质求解即可．
【详解】解：二次函数的图象开口向上，可得，
，
正比例函数的图象经过一、三象限，反比例函数的图象在一、三象限，
选项C符合题意．
【变式14-1】反比例函数与一次函数（k为常数，）在同一坐标系中的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据当和时，和图象的位置逐项判断即可．
【详解】解：∵当时，过一、二、三象限，经过点，过一、三象限；
当时，过一、二、四象限，过二、四象限．
∴选项A：由图象可知，且经过点，但的，不符合条件；
选项B：由的图象可知，不经过点，不符合条件；
选项C：由的图象可知，经过点，的，符合条件；
选项D：由的图象可知，不经过点，不符合条件．
【变式14-2】在同一直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图像大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据一次函数图象与反比例函数图象与系数的关系逐一判断即可求解．
【详解】解：A、观察反比例函数图象得：，
此时一次函数的图象过第二，三，四象限，二者一致，故本选项符合题意；
B、观察一次函数的图象得：，
此时一次函数的图象过第二，三，四象限，相矛盾，故本选项不符合题意；
C、观察一次函数的图象得：，
此时一次函数的图象过第一，二，三象限，相矛盾，故本选项不符合题意；
D、观察一次函数的图象得：，
此时一次函数的图象过第一，二，三象限，相矛盾，故本选项不符合题意；
【变式14-3】在同一平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象可能是（）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据的符号确定反比例函数图象所在象限及一次函数图象经过的象限即可．
【详解】解：当时，反比例函数的图象在第一、三象限，一次函数的图象经过第一、三、四象限，故A符合题意；
当时，反比例函数的图象在第二、四象限，一次函数的图象经过第一、二、四象限，此时均不符合题意．
【题型15 一次函数与反比例函数的交点问题】
【例15】一次函数与反比例函数交于，当时， x的取值范围是（ ）
A．或 B．或 C．或 D．
【答案】B
【分析】不等式表示一次函数值小于反比例函数值，结合两个交点坐标及对应函数图象即可得到的取值范围．
【详解】解：∵反比例函数的图象过点，
∴，
∴反比例函数的表达式为，其函数图象分别位于第二、四象限；
把，代入，得，
解得，即一次函数的表达式为．
∴反比例函数与一次函数的图象如图所示：
由图象可知，当时，的取值范围是或．
【变式15-1】正比例函数与反比例函数的图像相交于A，B两点，，，且．点，在反比例函数上，其中，则下面结论正确的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先利用正比例函数与反比例函数交点的中心对称性质求出的符号，再根据时，反比例函数的单调性判断和的大小关系．
【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的交点关于原点中心对称
∴， 代入 得： ，
∵在反比例函数上，
∴，
∴，即
∵时，反比例函数在第一象限内，随的增大而减小，，
∴．
【变式15-2】若双曲线与直线没有交点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】联立两个函数解析式，根据方程无实数解列出不等式，即可求解的取值范围．
【详解】解：联立，可得，
整理得．
由分式有意义的条件可知，
∴，
∴，
∵双曲线与直线没有交点，
∴方程无实数解，
∴
∴
又∵，
∴．
【变式15-3】定义：在平面直角坐标系中，横、纵坐标互为相反数的点叫做自反点．下列函数的图象中不存在自反点的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据自反点定义，自反点坐标满足，若函数图象不存在自反点，则联立函数与得到的方程无实数解，联立方程判断解的情况即可得到结果.
【详解】解：∵自反点的横纵坐标互为相反数，
∴若函数存在自反点，则联立与函数方程有实数解；
对选项A：解，得，
解得，方程有解，存在自反点；
对选项B：联立，得，
即，方程有实根，存在自反点；
对选项C：联立，得，
整理得，
判别式，方程无实根，不存在自反点；
对选项D：联立，得，
整理得，
判别式，方程有实根，存在自反点；
∴不存在自反点的是选项C.
【题型16 一次函数与反比例函数的实际应用】
【例16】实验数据显示，一般成人喝毫升某品牌白酒后开始计时，血液中酒精含量（毫克/百毫升）与时间（时）变化的图象如图（图象由线段与部分双曲线组成）所示．国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．
参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上在家喝完毫升该品牌白酒，第二天早上最早几点可以上班（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题为一次函数和反比例函数的应用，涉及待定系数法等知识点．掌握自变量、函数值等知识是解题的关键．
首先求得线段所在直线的解析式，然后求得点A的坐标，得到求解反比例函数的解析式；把代入反比例函数解析式可求得时间，结合规定可进行判断．
【详解】解：设直线的解析式为，
直线过，
，
，
直线的解析式为，
当时，，即，
设双曲线的解析式为，
将点代入得：，
；
当时，，
从晚上经过9小时到第二天早上，即可以上班．
故选B．
【变式16-1】某品牌自动饮水机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热．水温开始下降，此时水温（）与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热．若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A．上午8点接通电源，可以保证当天能喝到不超过的水
B．水温下降过程中，与之间的函数关系式是
C．水温从加热到需要
D．水温不低于的时间为
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的应用，数形结合是解决本题的关键．该题为反比例函数与一次函数的实际应用的典型题目——浓度、温度问题，先利用待定系数法求函数的解析式，再利用解析式求得对应信息．
【详解】A、根据题意可得与的函数关系式是，令，则，
，即饮水机每经过，要重新从开始加热一次从点至，经过的时间为，，而水温加热到，需要的时间为，故时，饮水机第三次从开始加热了，令，则，即时，饮水机的水温为，故A选项不符合题意；
B、由题意可得点在反比例函数的图像上，设反比例函数的解析式为，将点代入，可得，
水温下降过程中，与的函数关系式是，故B选项不符合题意；
C、开机加热时水温每分钟上升，
水温从升高到，需要的时间为，故C选项不符合题意；
D、水温从加热到所需要的时间为，
令，则，解得，
水温不低于的时间为，故D选项符合题意．
故选：D．
【变式16-2】饮水机接通电源会自动加热，加热时水温每分钟上升，温度到停止加热．然后水温开始下降，此时水温与时间成反比例函数关系，水温降至时，饮水机重复上述程序开始加热，加热时水温与时间的关系如图所示．水温从开始加热至，然后下降至这一过程中，水温不低于的时间为________．
【答案】12
【分析】本题考查了一次函数，反比例函数的应用．首先求得两个函数的解析式，然后将代入两个函数求得两个时间相减即可确定答案．
【详解】解：设一次函数关系式为：，
将，代入，得，
解得，
，
设反比例函数关系式为：，
将代入，得，
，
中，
令，解得；
反比例函数中，令，解得：，
（min），
水温不低于的时间为min．
故答案为：．
【变式16-3】为了预防“流感”，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量与时间成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例（如图）．现测得药物燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为．研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于才有效，那么此次消毒的有效时间是______分钟．
【答案】12
【分析】首先根据题意确定一次函数与反比例函数的解析式，然后代入确定两个自变量的值，差即为有效时间．
【详解】解：药物燃烧时y关于x的函数关系式为
把代入中得；，
∴，
∴药物燃烧时y关于x的函数关系式为
设药物燃烧后y关于x的函数关系式为
把代入中得；，
∴，
∴药物燃烧后y关于x的函数关系式为
把代入，得：，
把代入，得：，
∵，
∴那么此次消毒的有效时间是12分钟，
故答案为：12．
【点睛】本题考查了反比例函数与正比例函数的实际应用，熟练掌握待定系数法是解题关键．
【题型17 一次函数与反比例函数的其他综合应用】
【例17】如图，在直角坐标系第一象限内，正方形的边长为2，边在x轴上，C在反比例函数图像上，D在直线上，则b的值为________．
【答案】
【分析】设，先求出点的坐标分别为，，再根据反比例函数的解析式可得的值，进而可得点的坐标，然后代入一次函数的解析式求解即可．
【详解】解：设，
∵正方形的边长为2，
∴，，
∴，，
∴，
将点代入反比例函数得：，
解得，
∴，
将点代入直线得：，
解得．
【变式17-1】如图，在平面直角坐标系中，点P在函数（x>0）的图象上从左向右运动，轴，交函数（）的图象于点A，轴交的延长线于点B，则的面积为______________．
【答案】16
【分析】本题主要考查了反比例函数的性质、一次函数解析式的求法及三角形面积的计算，熟练掌握反比例函数上点的坐标特征并设出点的坐标进行推导是解题的关键．
设点的坐标，利用反比例函数表达式表示出点的坐标，求出的长度；再求出直线的解析式，结合轴得到点的坐标，求出的长度，最后利用三角形面积公式计算．
【详解】解：设（）．
∵ 轴，在上，
∴ ，
∴ ．
设直线的解析式为，将代入得：，
解得，
∴ 直线的解析式为．
∵ 轴，
∴ 的纵坐标为，将代入得：，解得，
∴ ，
∴ ．
∴ ．
故答案为：．
【变式17-2】如图所示，已知函数和的图像交于点，，过点A作垂直于x轴于点E，，则的值是________．
【答案】16
【分析】本题考查了反比例函数图象的对称性，待定系数法求函数解析式，能够根据反比例函数图象关于原点对称的性质求出点坐标是解题关键．
根据反比例函数图象关于原点对称的性质，可得，利用勾股定理求出的长，进而得出A点坐标，代入解析式求出的值后相乘即可．
【详解】解：由题得，
轴，
，
，
把代入和得 ，
解得，
．
故答案为：16．
【变式17-3】如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象相交于A，B两点，点C在y轴上，若的面积等于4，则k的值为__________．
【答案】
【分析】该题考查了一次函数和反比例函数综合，由正比例函数与反比例函数图象的对称性可得O为的中点，且，根据的面积得出的面积，联立两个函数解析式求出B点坐标，表示的面积，即可求出k的值．
【详解】解：由正比例函数与反比例函数图象的对称性可得O为的中点，且．
的面积等于4，
的面积等于2．
将联立可得B点坐标为．
，
∴，
，
∴．
，
，
故答案为：．
【探究式学习】
1．新定义探究：函数的“迁移中心”
对于函数（a、b、h为常数，且），变形可得，称点为该函数图象的“迁移中心”．例如的迁移中心为．
(1)①函数的迁移中心是 ；
②在如图所示的平面直角坐标系中描点、连线，画出函数的大致图象（小方格的边长为1）．
观察图象可知，函数的对称中心是点 （写出点的坐标）；
(2)若函数图象的“迁移中心”为，且该函数图象由函数的图象平移得到，求此函数的解析式；
(3)若直线与（2）中函数图象交于P、Q两点，点P的横坐标为p，点Q的纵坐标为q，求代数式的值．
【答案】(1)
；，对称中心为
(2)
（或）
(3)
【分析】（1）① 对照定义比较系数得 、、，直接写出迁移中心；② 将函数式变形为 ，明确双曲线由 平移得到，列表描点画图，由双曲线的中心对称性读出对称中心；
（2）先求 的迁移中心 ，由“中心从 平移到 ”确定平移方式，写出平移后的解析式并化成标准形验证；
（3）设 、，把双曲线与直线都化为 、 的关系式，联立后利用两交点对应的 值之积整体代换，避免求 、 的具体值．
【详解】（1）解：① 在 中，，，分母 ，故 ，
所以迁移中心为 ．
② ，
其图象由 的图象向左平移 1 个单位、向上平移 1 个单位得到，是两支双曲线．
列表如下：
描点连线可得图象（图象分两支，无限接近直线 和 ）．
由双曲线的中心对称性可知，对称中心为 ．
（2）解： 可写成 ，即 ，，，迁移中心为 ．
新图象的迁移中心为 ，由 平移到 ，故图象向左平移 2 个单位、向上平移 2 个单位，
得 ．
验证：，，，，符合定义．
所以所求函数解析式为 ．
（3）解：由（2），函数图象满足 ．
设 ，，则双曲线为 ；直线 即 ．
联立得 ，即 （，方程有两个不相等的实数根）．
设交点 对应 ，交点 对应 ，则 ．
点 的横坐标为 ，则 ；点 的纵坐标为 ，则 ．
所以 ．
【点睛】① 迁移中心是 ，分母须化成 的形式：，，易误写为 ；
② 平移方向与中心对应：中心 平移到 是左移 2、上移 2，分母是 而不是 ；
③ 第（3）问中 、 含参数 ，不能（也不必）分别求出具体值，须设 、 整体代换，利用 消去 ．
2．如图，在同一平面直角坐标系中，正比例函数的图象可以看作是将轴所在的直线绕着原点按逆时针方向旋转度角后得到的图形．若它与反比例函数的图象分别交于第一、三象限的点，，已知点，．
(1)无论取何值，四边形的形状一定是_____．
(2)当点的坐标为，四边形是矩形时，试求和的值．
(3)试探究：四边形能不能是菱形？若能，直接写出点的坐标；若不能，请说明理由．
【答案】(1)平行四边形
(2)，
(3)四边形不能是菱形，理由：
点A、C的坐标分别为，
四边形的对角线在x轴上，
又点B、D分别是正比例函数与反比例函数在第一、三象限的交点，
对角线与不可能垂直，
四边形不能是菱形．
【分析】本题考查了平行四边形的判定，矩形、菱形的性质，反比例函数的性质，解题的关键是掌握反比例函数的图像是一个中心对称图形．
（1）由于反比例函数的图像是一个中心对称图形，点B、D是正比例函数与反比例函数图像的交点，所以点B与点D关于点O成中心对称，则，又，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可得出四边形的形状；
（2）把点代入的图像上，即可求出p，根据矩形对角线相等，可求出m的值；
（3）假设四边形为菱形，根据菱形的对角线垂直且互相平分，可知，且与互相平分，又在x轴上，所以应在y轴上，这与“点B、D分别在第一、三象限”矛盾，即可得答案．
【详解】（1）解：点B与点D关于点O成中心对称，则，又，
四边形的形状一定是平行四边形；
（2）点在的图像上，
，
，
，
又点B、D是正比例函数与反比例函数图像的交点，
点B、 D关于原点O成中心对称，
，
四边形为矩形，且，
，
；
（3） 略
【课后检测】
1．若点，都在反比例函数（为常数）的图象上，则，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】C
【详解】解：∵，
∴反比例函数的图象在第一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小，
∵，
∴点、都在第三象限，
∴．
2．反比例函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据反比例函数的解析式得：，结合反比例函数的图像特征即可得答案.
【详解】解：∵在中，，
∴反比例函数的图象是关于原点对称的双曲线，不与轴、轴相交，图象在一、三象限，故A、C、D错误，B正确.
3．函数的对称中心是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】通过整体代换将原函数转化为标准反比例函数，利用其对称中心性质求解.
【详解】解：反比例函数（为自变量）的对称中心为.
令，则原函数化为.
∴ 该函数的对称中心满足，.
由得，解得.
∴ 原函数的对称中心为.
4．若点，在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将点，的横坐标代入求函数值，然后比较大小即可．
【详解】解：把代入，得．
把代入，得；
∵，
∴．
5．已知函数的图象过点，则该函数的图象必在（ ）
A．第一、二象限 B．第二、四象限
C．第一、三象限 D．第一、四象限
【答案】B
【分析】对于反比例函数，当时，图象分别位于第一、三象限；当时，图象分别位于第二、四象限，据此解答即可．
【详解】解：∵函数的图象过点，
∴，
∴该函数的图象必在第二、四象限．
6．如图是反比例函数的一部分图象，已知该图象过点，点P是图象上任意一点，过点P作轴，垂足为M，则的面积是（ ）
A．6 B．2.5 C．3 D．2
【答案】C
【分析】先根据图象上点的坐标求出反比例函数的比例系数，再利用反比例函数系数k的几何意义求解．
【详解】解：的图象过点，
，
点P是图象上任意一点，轴，
．
7．若，互为相反数，则函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意得，异号，分两种情况，根据一次函数与反比例函数的性质分析即可．
【详解】解：∵，互为相反数，且根据反比例函数的定义得，
∴，异号且均不为零，
当时，函数的图象过第一、三、四象限，反比例函数图象在第一、三象限，选项符合；
当时，函数的图象过第一、二、四象限，反比例函数图象在第二、四象限，无此选项．
8．设反比例函数（k为常数，）．已知当时，的最大值为，则当时，的最大值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．
【答案】B
【分析】先根据已知区间的最大值判断的符号，求出的值，再结合反比例函数的增减性求目标区间的最大值．
【详解】解：∵当时，的最大值为，
∴，
∵反比例函数中时，每个象限内随的增大而减小，
∴在中，取最小值时，取得最大值，
将，代入，得，
∴反比例函数解析式为，
∵当时，，随的增大而减小，
∴取最小值3时，取得最大值，为．
9．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A，C分别在轴和轴上，点，点，反比例函数的图象经过点B，则k的值为（ ）
A．9 B．12 C．16 D．
【答案】D
【分析】过B作轴于E，轴于F，则是直角，根据正方形的性质得到，，然后可以证明三角形与三角形全等，从而得到，，从而可以得出四边形是正方形，设正方形的边长为m，则，，然后根据即可求解．
【详解】解：过B作轴于E，轴于F，
，
四边形是矩形，
，，，
，
又四边形是正方形，
，
，
，，
四边形是正方形，
设正方形的边长为m，则，，
，
解得，
点的坐标为，
.
10．火力发电厂的大烟囱并不是我们所理解的排放废气的烟囱，它的专业名字叫双曲线冷却塔（如图1），它的纵截面是如图所示的轴对称图形，四边形是一个矩形，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，其中曲线和曲线分别是两个反比例函数图象的一部分，若冷却塔的高度为，，上口宽，则底部直径的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设反比例函数解析式为，根据得出反比例函数解析式，从而求解点坐标，最终求得底部直径的长为倍的点横坐标．
【详解】解：根据题意可知，设反比例函数解析式为，
将代入，可得，
反比例函数解析式为．
，
当时，，
．
故答案为：C．
11．已知函数（，均为常数）的图象都经过点，当时，x的取值范围是___________．
【答案】或
【分析】将已知交点代入两个函数解析式求出对应参数，联立解析式得到两函数的所有交点，然后结合函数图象求解即可．
【详解】解：∵两个函数图象都经过点
∴将代入，得，解得；
将代入，得，解得
∴两个函数的解析式分别为，．
解方程组得，，
∴两个函数的交点为和．
函数，的图象为
由图可得，当时，x的取值范围是或．
12．如图，轴交反比例函数的图象于点A，交轴于点B，连接，，则的值是______．
【答案】
【分析】根据反比例函数比例系数的几何意义解答即可．
【详解】解：∵轴，
∴轴，
∵点A在反比例函数的图象上，且，
∴，
即，
∵反比例函数的图象位于第二象限，
∴．
13．如图，反比例函数与长方形在第一象限相交于D、E两点，，，连接，，，记、的面积分别为、．若，则的面积为_______．
【答案】
【分析】根据反比例函数的几何意义，由求出的值，进而求出、的长，利用割补法，用矩形面积减去三个直角三角形面积即可求解．
【详解】解：四边形是长方形，，，
，，，
点、在反比例函数的图像上，
，，
，
，
，
，，
，，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
．
14．如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，反比例函数与一次函数(k为常数)交于点和点． 则关于x的不等式的解集为________________．
【答案】或
【分析】根据函数图象，找出反比例函数图象在一次函数图象上方部分对应的x的取值范围即可．
【详解】解：∵反比例函数与一次函数交于点和点，
∴两函数图象交点的横坐标分别为和，
∵不等式表示反比例函数的图象在一次函数图象的上方，
∴观察图象可知，当或时，反比例函数图象在一次函数图象上方，
∴关于x的不等式的解集为或．
15．如图，反比例函数的图象经过点，将线段沿轴向右平移至线段，点落在反比例函数的图象上，则线段扫过的面积为_________．
【答案】
4
【分析】设点坐标，根据平移性质确定点纵坐标，结合反比例函数解析式求点横坐标，从而得出平移距离，利用平行四边形面积公式计算．
【详解】设点的坐标为 ．
∵线段沿轴向右平移至线段 ，
∴点的纵坐标与点的纵坐标相等，为 ．
∵点落在反比例函数的图象上 ，
∴ ．
∴ ．
∴点的坐标为 ．
∴平移的距离为 ．
∴线段扫过的图形为平行四边形，其面积为．
16．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点．
(1)求一次函数的解析式；
(2)根据图象直接写出不等式的解集；
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）利用反比例函数解析式求出两交点的坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式；
（2）通过交点坐标以及函数图象，可得出不等式的解集．
【详解】（1）解：将代入，得，
解得，
∴；
将代入，得，
解得，
∴；
将和代入，得，
解得，
∴；
（2）解：由（1）得交点坐标为和，
通过图象可得，当时，或．
17．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，连接、．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)求的面积．
【答案】(1)反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为
(2)
【分析】（1）利用反比例函数上点的坐标满足解析式，先求出反比例函数，再得到P点坐标，代入两点求一次函数解析式．；
（2）设一次函数 与 轴相交于点，先求出点坐标，再根据计算求解．
【详解】（1）解：把点代入反比例函数，
，
反比例函数的表达式为 ．
将代入，
，
．
把、代入，得
，．
解得 ，．
一次函数的表达式为 ．
（2）解：如图，设一次函数与轴相交于点，
对于，令，则，
，
，
又，，
．
18．如图，中，，，，动点从点出发，沿着折线匀速运动，速度为每秒1个单位长度，同时以相同的速度从出发沿射线运动．设运动时间为秒（），的面积为，的面积与的面积之比为．
(1)请直接写出、关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围；
(2)在平面直角坐标系中画出、的函数图象，并写出函数的一条性质；
(3)根据图象直接写出当时的取值范围（近似值保留小数点后1位，误差不超过）．
【答案】(1)，
(2)图象如图：；性质：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；
(3)或
【分析】（1）先用勾股定理算出，分两段讨论，点在、上，利用三角形面积公式求；两个三角形同高，面积之比等于底边长之比，化简求出．
（2）通过描点、连线画出两个函数图象，观察图象增减性写出的一条性质．
（3）联立解析式求出交点横坐标，对照图象得到满足的范围．
【详解】（1） 在中，，，，
．
如图：当点在上，即时，
，边上的高为，
．
如图当点在上，即时，
，边上的高为，
．
由题意可得：，过作于，则是和的高，
，即．
（2）、图象：略；
函数的一条性质：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．
（3）联立，解得；
联立，解得；
由函数图象可知：当时，或，
当时，或．
19．如图，已知一次函数的图象与反比例函数（）的图象交于、B两点，交y轴于点C．
(1)求反比例函数的表达式和点B的坐标；
(2)过点C的直线（）与反比例函数的图象只有一个公共点．若，则x的取值范围是_____．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）先将点代入求出点A的坐标，再将点A的坐标代入求出反比例函数关系式，然后将两个关系式联立求出点B的坐标即可；
（2）先求出点C的坐标，再将两个函数关系式联立，并根据只有一个公共点求出a值，然后根据函数值的大小求出自变量的取值范围．
【详解】（1）解：∵一次函数经过点，
∴
解得，
∴点．
∵反比例函数经过点，
∴，
∴反比例函数关系式为；
将两个函数关系式联立，得
，
解得或，
∴点；
（2）解：令，，
∴点．
∵直线经过点，
∴，
∴直线的关系式为．
将两个关系式联立，得，
∵直线与反比例函数的图象只有一个公共点，
∴有两个相等的实数根，
即，
解得，
∴直线．
将直线和反比例函数联立，得
，
解得．
当时，；当时，，
所以当或时，．
20．已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点为反比例函数图象上一动点，连接，以，为邻边构造平行四边形．
(1)求的值；
(2)如图，过点作轴于点，若的边经过点时，求点坐标；
(3)如图，当点在点左侧时，若的面积为，求点坐标．
【答案】(1)4
(2)
(3)
【分析】（1）由题意求得a的值，从而得点A的坐标，再把点A的坐标代入反比例函数式中即可求解；
（2）由题意得点B的坐标，求出直线的解析式，再与反比例函数解析式联立即可求解；
（3）连接交于点D，分别过点A、Q作x轴的垂线，垂足分别为C、B，设，利用平行四边形的性质及面积关系即可求解．
【详解】（1）解：∵反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，
∴点在正比例函数的图象上，
∴，
即，
把代入中，得，
解得；
即k的值为4；
（2）解：∵轴于点，且，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴直线的解析式的一次项系数为1，
设直线的解析式为，把代入得，
解得，
即直线的解析式为，
由（1）知反比例函数解析式为，
联立得，消去y，得，
解得（舍去），
把代入，得，
则，
即点P的坐标为；
（3）解：如图，连接交于点D，分别过点A、Q作x轴的垂线，垂足分别为C、B，设，其中，，
则，消去m，得，
即①，
∵，
∴，
即，
整理得②
把②代入①，整理得，
解得，
而由得，，
当时，，此时；
当时，，不符合题意，舍去，
即点P的坐标为．
【复盘笔记】
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