江苏省南京市七校联合体2026～2027学年第一学期10月调研高三数学试卷

2026~2027学年第一学期10月联合调研试题 高三数学 一、单选题：本大题共8题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填写在答题卡上. 1.在一个文艺比赛中,10位观众评委给同一名选手的打分由低到高依次为80, 82, 84, 85, 87, 88, 88, 89, 91, 93,则这组数据的第80百分位数为 A．88 B．89 C．90 D．91 2.若复数z满足,则z的虚部为 A. B． C. D． 3. 等差数列与等比数列满足,,,则等比数列的公比 A．-1 B．2 C．3 D． 4.已知集合,集合,若,则的取值范围为 A． B． C． D． 5.已知,则 A．－ 1 / 2 B． 1 / 2 C．－ √(3) / 2 D． √(3) / 2 6.为贯彻落实国家关于开展中小学研学旅行的文件精神,搭建中学与高校交流的平台,拓展学生视野,今年某中学计划开展暑期“双高互动”之旅夏令营活动,学生可自愿报名.其中有4名教师和6名学生报名,将报名的教师和学生分成2个组,分别安排到两所高校,要求每个组由2名老师和3名同学组成,则学生甲和学生乙不去同一所高校的概率为 A．2/5 B．3/5 C．3/10 D．7/10 7.在正方体中,棱长为 , 点分别是棱的中点,则过线段且平行于平面的截面面积为 A．12 B．18 C．24 D．36 8.已知函数,若存在,,则的最小值为 A．1 B．2 C． D． 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的.若部分选对得部分分，若错选不得分.请把答案填写在答题卡上. 9．已知函数的图象经过点,则下列结论正确的有 A．的图象经过点 B．的图象关于轴对称 C．在上单调递减 D．当时,恒成立 10．如右图,正三角形的边长为2,动直线过的重心,且与线段,分别交于,两点,设,,则 A．且 B．存在,,使 C．的取值范围为 D．面积的最小值为 11.设是定义在上的可导函数,且,记.若对任意, 恒成立,则 A. B.在上单调递减 C. D. 三、填空题：本大题共3题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 12. 若,则. 13. 一圆台的上、下底面半径分别是1和2,它的侧面展开图扇环的圆心角为,则圆台的高是. 14. 在中,若,则的最小值为. 四、解答题：本大题共5题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15.已知等差数列的前项和为,. (1)求数列的通项公式； (2)设,求的前项和. 16.国庆节期间某学习小组组织一场有奖竞答,选手需要回答两类问题,其中第一类题答对得5分,不对得0分,第二类题答对得10分,不对得－5分．已知某选手回答第一类题正确的概率是,回答第二类题正确的概率是1/2,且两类题回答正确与否相互之间没有影响,若总分不低于5分就可获奖． (1)求该选手至少答对一类问题的概率； (2)求该选手总得分的分布列； (3)求该选手成功获奖的概率． 17.如图,在四棱锥中,底面 为平行四边形,平面,平面平面. (1)证明：； (2),当平面与平面的夹角的余弦值为时,求直线与平面PAB所成角的正弦值. 18. (苏教版教材必修二75页问题与探究） 函数,. 因为的平方和是1,存在角 ,使得 称为的辅助角, 因此 (1) 函数, ①当,辅助角为,求； ②当,在锐角中,已知,角等于的辅助角,求面积的取值范围. (2) , , 在时取到最大值， 记,求最小值. 19.已知函数,. (1) 记,求的最小值； (2) 记,若在区间上有唯一极值点和唯一零点 . ① 求的取值范围； ② 比较和的大小. 2026~2027学年第一学期10月联合调研试题 高三数学参考答案 单选题1-8：C D B A D B B C 多选题9-11：ACD AD ACD 填空题12-14： 1 3 15.已知等差数列的前项和为，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求的前项和. 解:(1)设等差数列的公差为d，由-------------------------2分 则，-----------------------------------------------------------------------------4分 所以. -------------------------------------------------------------------------6分 (2) 将代入，则-----------------------8分 所以 是首项 ，公比为的等比数列.-------------------------------9分 所以 = ----------------------------------------13分 16.国庆节期间某学习小组组织一场有奖竞答，选手需要回答两类问题，其中第一类题答对得5分，不对得0分，第二类题答对得10分，不对得-5分．已知某选手回答第一类题正确的概率是，第二类题回答正确的概率是，且两类题回答正确与否相互之间没有影响，若总分不低于5分就可获奖． （1）求该选手至少答对一类问题的概率； （2）求该选手总得分的分布列； （3）求该选手成功获奖的概率． 解(1)记“该选手至少答对一类问题”为事件A 则 -------------------------4分 （2）的可能值为15,10,0，-5 的分布列为 15 10 0 -5 …………………………………… 12分（每对1个给2分） （3）记“该选手成功获奖”为事件B 则…………………………………………………………..15分 17.如图，在四棱锥中，底面 为平行四边形，平面 ，平面平面. (1)证明：； (2)，当平面与平面的夹角的余弦值为时，求直线与平面 所成角的正弦值. 【答案】(1)证明：如图，过点 作，垂足为. 因为平面平面，且平面平面平面， 所以平面. -------------------------3分 又因为平面，所以. 因为平面 ，且平面 ，所以. 又因为， 平面，所以平面. 又平面，所以. - ------------------------6分 （2）由（1）可知，，故四边形 为矩形. 因为平面 ，设 以 为坐标原点，分别以为轴正方向建系，如图所示， 则, 所以. -------------------------8分 由（1）可知，,所以平面PAD的一个法向量是， 设平面的一个法向量为， 则，所以，令，则 所以 -------------------------10分 所以，解得-------------------------12分 又,所以为中点，所以平面的法向量为 ，,设直线与平面所成的角为，则 -------------------------15分 19. 函数， .因为与的平方和是 1,存在角 ,使得 , 称为的辅助角， 因此 (3) 函数 ， ①当 ,辅助角为，求 . ②当，在锐角中，已知，角等于 的辅助角，求面积的取值范围. (4) 在时取到最大值。记，求最小值. 解：（1）①由题意， 有，=.......................（5分） ②，； 由题意=，，由正弦定理，得.........(6分） 所以面积= ； .............(8分） 因为为锐角三角形，所以，，所以， 面积。 ............................(10分） （2） 由题意得， 其中，.因为在处取得最大值，故，，即，，故 ...................(12分） 化简得 ...................(14分） 令，记，在单调增，所以最小值1. .................(17分） 19.已知函数 . (1) 记 ，求 的最小值； (2) 记 ，若 在区间 上有唯一极值点 和唯一零点 . ① 求 的取值范围； ② 比较 和 的大小. 解：(1) 因为 所以 所以 …………2分 由得 当 时，，， 单调递减； 当 时，，， 单调递增。 所以 为的极小值点，也是最小值点。 所以 ………………5分 (2)(2)由题意 所以 设 ， 则 。 ① 在 有唯一极值点，等价于 在 存在唯一变号零点。 当时，， 在 单调递减。 ，即 ， 在 单调递减，无极值点，舍去。 …………………………6分 当时，， 在 单调递增。 ，即 ， 在 单调递增，无极值点，舍去。 …………………………7分 当时，令 ，解得 。 ，， 单调递增； ，， 单调递减。 又 ， 故 在 存在唯一零点 。 在 ，；在 ，。 所以 是唯一极大值点。 ……………………9分 因为；且 在 单调递增，故 ； 所以 在 存在唯一零点 ，满足题意。 综上： ……………………11分 ② 由极值条件：， 即 。 ……………………12分 将 代入 得： …………14分 构造函数 ，求导得： 当 时，经典不等式 ，故 。 在 单调递增，， 所以 ，即 。 在 单调递减，，， 所以 。 ……………………17分 试卷第1页(共4页) 学科网（北京）股份有限公司 $