专题01 集合与常用逻辑用语、不等式（学考真题汇编，浙江专用）2027年高中数学

专题01 集合与常用逻辑用语、不等式 4类高频考点 目 录 ✅考点一 集合的基本运算 ✅考点二 充分条件与必要条件 ✅考点三 不等式的性质 ✅考点四 基本不等式 考点一 集合的基本运算（共6题） 1．（2026·浙江·学业水平考试）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合交集的定义求解即可. 【详解】已知，，两个集合的公共元素为和， 因此. 2．（2025·浙江·学业水平考试）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用集合的并集运算即可求解. 【详解】由集合，，则，故D正确. 故选：D. 3．（2023·浙江·学业水平考试）已知全集，集合，，则（    ） A．{2，4} B．{6，8，10} C．{6，8} D．{2，4，6，8，10} 【答案】C 【分析】先求出集合的补集，再求即可 【详解】因为全集，集合， 所以， 因为， 所以， 故选：C 4．（2022·浙江·学业水平考试）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的交集运算，即可求出结果. 【详解】∵，， ∴. 故选：D. 5．（2024·浙江·学业水平考试）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合集合的交集的概念与运算，即可求解. 【详解】由集合，根据集合交集的概念与运算，可得. 故选：C. 6．（2023·浙江·学业水平考试）已知集合，，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据交集、并集的定义求出，，再根据元素与集合的关系、集合与集合的关系判断即可. 【详解】因为，， 所以，， 所以，，，故A、B、C正确，D错误； 故选：D 考点二 充分条件与必要条件（共6题） 1．（2023·浙江·学业水平考试）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据绝对值不等式以及一元二次不等式化简不等式，即可由充要条件进行判断. 【详解】由得，由得，所以“”是“”的充要条件， 故选：C 2．（2022·浙江·学业水平考试）设，是实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分必要条件的定义求解. 【详解】对于 ，比如 ，显然 ，不能推出 ； 反之，如果 ，则必有 ； 所以“ ”是“ ”的必要不充分条件； 故选：B. 3．（2025·浙江·学业水平考试）已知的三个内角A、B、C，则“”是“为直角三角形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件，必要条件的定义即可解出. 【详解】由已知，，在中，，则， 可得是直角三角形； 反之，若是直角三角形，只有当为斜边时，才满足. 所以“”是“是直角三角形”的充分不必要条件. 故选：A 4．（2024·浙江·学业水平考试）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】由充分条件、必要条件定义可判断选项正误. 【详解】若，则，充分性得证； 若，则，但不成立， 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 5．（2026·浙江·学业水平考试）已知平面和两条不同的直线，则“”是“直线与平面所成的角相等”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据线面角的定义判断两个命题的推出关系，判断充分性、必要性是否成立即可. 【详解】直线与平面所成角是直线与它在平面内的射影所成的角，取值范围为. 验证充分性：若：若或，则或，两直线与所成角均为，相等； 若，则，两直线与所成角均为，相等； 若与斜交，则也与斜交，两直线方向向量平行，方向向量与平面法向量的夹角相等，对应线面角相等. 因此充分性成立。 验证必要性：若与平面所成角相等，两直线不一定平行；例如圆锥的任意两条母线与底面所成角均相等， 但两条母线为相交关系，不满足平行，故必要性不成立. 综上，“”是“直线与平面所成的角相等”的充分不必要条件. 6．（2023·浙江·学业水平考试）已知为实数，则“，”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用分离参数法求出的取值范围判断充分性，利用基本不等式反推必要性成立即可. 【详解】若则 当时，不等式的右边取得最大值1，故充分性成立； 若则时, 当且仅当时取等， 即恒成立，因此，由可以推出，故必要性成立. 综上所述，是的充要条件. 故选：C. 考点三 不等式的性质（共2题） 1．（2025·浙江·学业水平考试）（多选）对于实数a、b、c、d，下列选项中正确的是（    ） A．， B．，， C．， D．，， 【答案】AB 【分析】由不等式性质判断AB正确，举反例说明CD错误即可. 【详解】由不等式性质可知AB正确； 对于C，当，时，不成立，故C错误； 对于D，当时，不成立，故D错误. 故选：AB. 2．（2023·浙江·学业水平考试）已知函数，． (1)若，求在区间上的最大值； (2)若关于的方程有且只有三个实数根，，，且．证明： （ⅰ）； （ⅱ）． 【答案】(1)0 (2)（ⅰ）证明见解析.（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）利用分析法得到函数的单调性，再求解最值即可. （2）（ⅰ）合理构造新函数，求出一个零点，再结合对称性求解即可. （ⅱ）将目标式合理表示为函数，利用不等式的性质证明即可. 【详解】（1）由已知得,则， 易知，在区间[0,1]上单调递减， 所以在区间[0,1]上单调递减,所以 （2）（ⅰ）若且 即有且只有三个实数根， 所以令且， 则的图象关于直线对称，所以 （ⅱ）由题意可知，令，则有 ， 因为所以，即得证. 【点睛】关键点点睛：本题考查导数，解题关键是合理表示出目标式，然后结合不等式的性质，得到所要求的不等关系即可． 考点四 基本不等式（共6题） 1．（2023·浙江·学业水平考试）正实数x，y满足，则的最小值是（    ） A．3 B．7 C． D． 【答案】C 【分析】根据基本不等式即可求解. 【详解】由得，所以， 由于， 由于 为正数，所以，当且仅当 时等号成立， 故选：C 2．（2026·浙江·学业水平考试）若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，， ，当且仅当时取等． 3．（2025·浙江·学业水平考试）（多选）如图所示，矩形（）的周长为4，将沿着矩形的对角线翻折至，交于点F，则下列说法中正确的是（    ） A．是等腰三角形 B．的周长为2 C．面积的最小值为 D．面积的最大值为 【答案】ABD 【分析】对于A，由题可得，从而，据此可判断选项正误；对于B，由A分析可得，据此可判断选项正误；对于C，设，由题可得，然后举特例可得答案；对于D，由C分析可得，然后由基本不等式可得答案. 【详解】对于A，因沿着矩形的对角线翻折至， 则，又易得，则， 从而，即是等腰三角形，故A正确； 对于B，由A分析，，则的周长为，故B正确； 对于C，设，由B分析可得， 因， 则， 则， 当时，则，C错误； 对于D，由C分析，，. 则， 当且仅当时取等号.故D正确. 故选：ABD 4．（2022·浙江·学业水平考试）已知实数，，则的最小值是______. 【答案】## 【分析】由已知，再利用基本不等式可得. 【详解】， 当且仅当时取等号. 故答案为：. 5．（2024·浙江·学业水平考试）已知均为正实数，，则的最大值为______． 【答案】1 【分析】由1的代换结合基本不等式即可求解. 【详解】因为均为正实数，， 所以， 所以 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为1. 故答案为：1. 6．（2026·浙江·学业水平考试）已知，若不等式恒成立，则m的最小值为________． 【答案】 【分析】以为主元，即恒成立，进行求解． 【详解】以为主元，即恒成立， 即， 设， 因为，所以， 因此需要满足，得， 由，得， 得，故m的最小值为. 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题01集合与常用逻辑用语、不等式 4类高频考点 目 录 ☑考点一集合的基本运算 ☑考点二充分条件与必要条件 ☑考点三不等式的性质 ☑考点四基本不等式 四学考汇编分考点专练 考点一集合的基本运算（共6题） 1.B 2.D 3.C 4.D 5.c 6.D 考点二充分条件与必要条件（共6题） 1.C 2.B 3.A 4.A 5.A 1/3 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 6.C 考点三不等式的性质（共2题） 1.AB 2.【答案】(1)0 (2)(i)证明见解析.(i)证明见解析 【分析】(1)利用分析法得到函数的单调性，再求解最值即可 (2)(i)合理构造新函数，求出一个零点，再结合对称性求解即可. (ⅱ)将目标式合理表示为函数，利用不等式的性质证明即可. 【详解】4)由已知得a=1测=x--sn)-1, 易知y=化-，y=-sin宁在区间0上单调道减， f(x) f(x)max =f(0)=0. 所以 在区间0,1]上单调递减，所以 2）（i)若f)=e--asm)-L且f0w+a+1=0, 2 即c-1P-a(sin()-)=0有且只有三个实数根， 所以a<0.令8t)=(6-l-a6sn受-lW且g0=0: 则8 的图象关于直线“1对称，所以+5=2=2， (ⅱ)由题意可知，令=si25,则有 f(x)+a+1=0,f(x3)+a+1=0 f(2x3+1)-7f(x)+8x=4x-1-acosX+8(2-x3)+7(a+1) =4x3-2x3)acosπx+15+7(a+1) =4asin5-a-0+7a+2-a0-2asnx)=a2r2+4+2+18, 213 可学科网 www zxxk com 让教与学更高效 a<0, (2t2+4t+2)+18≤18f(2x+1)-7f(x)+8x≤18 因为”所以 即 得证 【点睛】关键点点睛：本题考查导数，解题关键是合理表示出目标式，然后结合不等式的性质，得到所要 求的不等关系即可 考点四基本不等式（共6题） 1.c 2.D 3.ABD 4.25-1#1+25 5.1 6.1 3/3可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题01集合与常用逻辑用语、不等式 4类高频考点 目录 ☑考点一集合的基本运算 ☑考点二充分条件与必要条件 ☑考点三不等式的性质 ☑考点四基本不等式 学考汇编分考点专练 考点一集合的基本运算（共6题） 1. (2026浙江学业水平考试)已知集合A=1,3,57,B=3,4,5},则A∩B=() A.{3} B.3,5} C.{5y D.{1,3,4,5,7} 2. (2025浙江学业水平考试)已知袋合1=L2,3形，B=23,5,则4U8=（) A.2 B,{2,3y c.3,5 D.九，2,3,5y 3.(2023浙江学业水平考试)已知全集U=2,468,10,集合1=2,4，B=L68,则G4)nB= () A.{2,4) B.{6,8,10} C.6,8} D.{2,4,6,8,10} 114 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A={0,1,2}B={1,2,3,4 4.(2022浙江·学业水平考试)已知集合 ,则AnB=() A.⊙ c. 。.九2y 5.(2024浙江学业水平考试)若A=0,2,3,4,B=2,3},则4∩B=（) A B0 c.23y D.0,23,4 6。（2023浙江学业水平考试)已知集合1={1,01,2头.B={xx>0 ,则下列结论不正确的是() A.1∈AnB B.ANB c.24nB xx>0=AUB 考点二充分条件与必要条件（共6题） 1. (2023浙江学业水平考试)设x∈R,则“x-1K1”是“x2<2x”的() A,充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.(202浙江学业水平考试)设“，b是实数则>b,是a>A,的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.(2025浙江·学业水平考试)已知△ABC的三个内角A、B、C,则“C0sC=0”是“△ABC为直角三角 形”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.(2024浙江学业水平考试)“a>b>0”是“a+b>-1”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要 线山与平面“所 5.(2026酒江学业水平考试)已知平面“和两条不同的直线山，则，是“直线山 成的角相等”的() 214 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条 件 2023浙江学业水平考试)已知，为实数，则“x>0,ar+之2”是“0之】”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 考点三不等式的性质（共2题） 1.(2025浙江·学业水平考试)（多选）对于实数a、b、c、d,下列选项中正确的是() a>b a+czb+c A B.a>b c>d a+e>bid C.asb acshe D.a>b c>d acxbd 2.(2023浙江学业水平考试)已知函数 =-2-naeR 考a=1,求在区同上的最大值： 2)若关于的方程/+a+1=0 0有且只有三个实数根，，，且<6<5.证明： (i)+5=2x （i)f(2x+)-7f(s)+8斯≤18 f(x)+a+1=0,f(x)+a+1=0 f(2x+1)-7f(x)+8x=4x-1-acos元x+8(2-x)+7(a+1) =4x3-2x3)-acosx+15+7(a+1) 考点四基本不等式（共6题） 314 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2+y,2 1.(2023浙江学业水平考试)正实数x,y满足2x+3y=1则x+步的最小值是（) A.3 B.7 c.10+4V7 D.10+V万 2 2.(2026浙江-学业水平考试)若a∈(45,90)，则y=ana+ana的取值范围是（) A.0<y<2V2 B.0<y<3 C.y≥3 D.y≥2V2 3.(2025浙江·学业水平考试)（多选）如图所示，矩形ABCD(AB>BC)的周长为4，将△BCD沿着 矩形的对角线BD翻折至△PBD,PD交AB于点F,则下列说法中正确的是() F A.△BDF是等腰三角形 B.△ADF的周长为2 C.ABDE +2W2 面积的最小值为 D.ADE 面积的最大值为3-2V2 一4202新学亚木平已知实数>0：y>0,则+子的最小值是 4浙江学业水平考试)已知x,y均为正实数，Xy，则y的最大 6（2026浙江学业水平考试)已知6E0),若不等武00-b1+0-a)< 恒成立，则的最小值为 414