专题01二次函数及其图象与性质期中复习讲义(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年沪科版九年级数学上册

专题01二次函数及其图象与性质期中复习讲义 1.理解二次函数的概念，能识别二次函数，确定二次函数表达式中字母的取值，会把实际问题转化为二次函数关系式。 2.掌握二次函数几种形式（一般式、顶点式）的区别，能说出二次项系数、一次项系数、常数项。 3.会画二次函数的图象，理解抛物线、顶点、对称轴、开口方向等概念；掌握二次项系数a对开口方向、开口大小的影响。 4.能根据解析式直接读出对称轴、顶点坐标，会求抛物线与坐标轴的交点坐标。 5.掌握二次函数的增减性，会判断自变量取值范围内函数的增减变化，能求最值。 6.会根据图象判断(a、b、c)以及相关代数式的符号，能利用二次函数图象比较函数值大小。 7.掌握二次函数图象的平移规律，理解平移前后解析式的变化关系。 题型 考察方向 难度 题型一 列二次函数关系式 ★ 题型二 二次函数的识别 ★ 题型三 根据二次函数的定义求参数 ★★ 题型四 y=ax2的图象和性质 ★ 题型五 y=ax2+k的图象和性质 ★ 题型六 y=a(x-h)2的图象和性质 ★ 题型七 y=a(x-h)2+k的图象和性质 ★★ 题型八 把y=ax2+bx+c化成顶点式 ★★ 题型九 y=ax2+bx+c的图象与性质 ★★ 题型十 二次函数图象的平移 ★★ 题型十一 待定系数法求二次函数解析式 ★★ 题型十二 二次函数图象与各项系数符号 ★★★ 题型十三 一次函数、二次函数图象综合判断 ★★★ 题型十四 根据二次函数的图象判断式子符号 ★★★ 题型十五 已知抛物线上对称的两点求对称轴 ★★ 题型十六 根据二次函数的对称性求函数值 ★★ 题型十七 y=ax2+bx+c的最值 ★★★ 题型十八 利用二次函数对称性求最短路径 ★★★ 拔高题 7题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点 1 二次函数定义 一般地，形如 y=ax2+bx+c（a、b、c 是常数，a≠0）的函数叫做二次函数。 x 是自变量，y 是关于 x 的函数； a：二次项系数，a≠0（核心条件）； ax2：二次项；b：一次项系数，bx：一次项；c：常数项。 ⚠️辨析要点： 1.等式右边必须是关于自变量的整式； 2.自变量最高次数为2 次； 3.二次项系数不能等于 0； ❌反例：y=、y=x2+x 不是二次函数。 知识点 2 二次函数常见特殊形式 函数形式 说明 y=ax2（a≠0) 最简形式，b=0,c=0 y=ax2+c(a≠0) 缺少一次项，b=0 y=ax2+bx(a≠0) 缺少常数项，c=0 y=ax2+bx+c(a≠0） 一般式（通用形式） 知识点 3 根据实际问题列二次函数解析式 解题步骤： 1.审题，找出等量关系； 2.设自变量 x、函数 y； 3.根据等量关系列出等式，整理成 y=ax2+bx+c(a≠0)； 4.根据实际情况写出自变量取值范围。 知识点 4 基础模型：y=ax2 (a≠0) 图象特征 图象是一条抛物线；对称轴为 y 轴（直线 x=0）；顶点坐标 (0,0)。 系数条件 开口方向 增减性 最值 a>0 开口向上 当x<0时，y随x增大而减小； 当x>0时，y随x增大而增大 顶点为最低点；x=0时，y最小=0 a<0 开口向下 当x<0时，y随x增大而增大； 当x>0时，y随x增大而减小 顶点为最高点；x=0时，y最大=0 补充规律：|a| 越大，抛物线开口越窄；|a|越小，开口越宽。 知识点 5 模型：y=ax2+c(a≠0) 由 y=ax2上下平移得到： c>0：向上平移 c 个单位；c<0：向下平移 |c| 个单位。 对称轴：直线 x=0（y轴） 顶点坐标：(0, c) 系数条件 开口方向 最值 a>0 向上 x=0，y最小=c a<0 向下 x=0，y最大=c 增减性与y=ax2保持一致，仅顶点上下移动。 知识点 6 模型：y=a(x+h)2(a≠0) 由 y=ax2左右平移得到： 口诀：左加右减（针对x） h>0：向左平移h个单位；h<0：向右平移|h|个单位。 对称轴：直线 x=-h 顶点坐标：(-h,0) 知识点7：一般式 y=ax2+bx+c(a≠0) 知识点 8 顶点式：y=a(x+h)2+k (a≠0) 1. 图象与平移规律 由 y=ax2 先左右平移，再上下平移得到。 平移口诀：左加右减自变量，上加下减常数项。 2. 核心几何要素 图象：抛物线 顶点坐标：(-h,k) 对称轴：直线 x=-h 系数 开口方向 增减性 最值 a>0 向上 x<-h，y随x增大而减小；x>-h，y随x增大而增大 顶点最低点x=-h时，y最小=k a<0 向下 x<-h，y随x增大而增大；x>-h，y随x增大而减小 顶点最高点x=-h时，y最大=k 知识点9：二次函数y=ax2+bx+c图象与a，b，c的关系 · a定开口：正上负下，|a|越大开口越窄； · a、b定对称轴：口诀左同右异，b=0对称轴为y轴； · c定抛物线与y轴交点正负，c=0过原点； ·Δ=b2-4ac决定抛物线和x轴交点数量。 题型一 列二次函数关系式 1．把二次函数化成一般形式为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先用完全平方公式展开，再去括号、合并同类项，转化成二次函数一般形式． 【详解】解：． 2．合肥市某高新企业10月份的工业产值为亿元，平均每月产值的增长率为，则该企业12月份的产值关于的函数表达式是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】已知某高新企业10月份的工业产值和12月份的产值，根据平均增长率公式建立关系式即可． 【详解】解：∵10月份的工业产值为亿元，平均每月产值的增长率为， ∴11月份产值为，12月份产值为， 即． 故选A. 3．如图，和是边长分别为5和2的等边三角形，点、、、都在直线上，固定不动，将在直线上自左向右平移．开始时，点与点重合，当点移动到与点重合时停止．设移动的距离为，两个三角形重叠部分的面积为，请写出与之间的函数关系式_________． 【答案】 【分析】根据运动过程可分三种情况讨论：当时，两个三角形重叠部分为的面积，当时，两个三角形重叠部分为的面积，当时，两个三角形重叠部分为的面积，分别求解即可． 【详解】当时，如图1所示，两个三角形重叠部分为的面积， 由题意得，， 和是边长分别为5和2的等边三角形， 是边长x的等边三角形， 过点D作DE⊥BC于点E， ， ， ， 即； 当时，如图2所示，两个三角形重叠部分为的面积， 由题意得，， 过点作于点E， ， ， 即； 当时，如图3所示，两个三角形重叠部分为的面积， 由题意得，， 和是边长分别为5和2的等边三角形， 是等边三角形，且， 过点D作DE⊥BC于点E， ， ， 即； 综上，写出与之间的函数关系式为． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，列二次函数解析式，勾股定理，平移与三角形面积问题，熟练掌握知识点并能够分类讨论是解题的关键． 题型二 二次函数的识别 4．下面的函数是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】需先化简各选项的函数表达式，再判断是否为二次函数． 【详解】解：A．自变量最高次数为，不是二次函数； B．自变量最高次数为且为整式，是二次函数； C． ，自变量最高次数为，不是二次函数； D．不是整式函数，不是二次函数． 5．下列函数是关于x的二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A选项：的右边含分式，不是二次函数； B选项：化简得，符合二次函数定义； C选项：化简得，是一次函数，不是二次函数； D选项：当时，函数解析式为，是一次函数，故该函数不一定是二次函数． 6．下列函数关系中，是二次函数的是（　　） A．在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系 B．当距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系 C．等边三角形的周长c与边长a之间的关系 D．圆心角为120°的扇形面积S与半径R之间的关系 【答案】D 【分析】根据各选项的意思，列出个选项的函数表达式，再根据二次函数定义的条件判定则可． 【详解】解：A、y=mx+b，当m≠0时（m是常数），是一次函数，错误； B、t=，当s≠0时，是反比例函数，错误； C、C=3a，是正比例函数，错误； D、S=πR2，是二次函数，正确． 故选D． 【点睛】本题考查二次函数的定义． 题型三 根据二次函数的定义求参数 7．若函数是关于的二次函数，则a的值不可能是（     ） A． B．2 C．1 D．或0 【答案】D 【详解】解：∵ 函数是关于的二次函数， ∴ 二次项系数不为0， ∴，解得且， ∴的值不可能是或． 8．若函数是二次函数，则___________________． 【答案】 【详解】解：函数是二次函数， ，， 解得． 9．已知是二次函数，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．1或 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义可得且即可，解题的关键是熟记二次函数的定义：形如的函数叫做二次函数． 【详解】解：由题意得，解得：， 故选：． 题型四 y=ax2的图象和性质 10．二次函数的图象经过的象限是（     ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 【答案】D 【分析】根据二次项系数的符号判断抛物线开口方向，结合顶点位置确定图象经过的象限． 【详解】解：二次函数的一般形式为（），二次项系数a的符号决定开口方向：当时，抛物线开口向下．本题中函数为，其中，因此抛物线开口向下． 对于形式的二次函数，对称轴为直线（即y轴），顶点坐标为，即原点． 抛物线开口向下，顶点在原点，因此当时，函数值： 当时，对应点横坐标为正、纵坐标为负，位于第四象限； 当时，对应点横坐标为负、纵坐标为负，位于第三象限． 因此该二次函数图象经过第三、四象限． 11．已知点、、都在函数的图象上，则、、之间的大小关系是：_________（由小到大排序）． 【答案】 【分析】将三个点的横坐标分别代入函数解析式，得到对应函数值后再比较大小即可． 【详解】解：把代入，得； 把代入，得； 把代入，得； ， ． 12．二次函数与一次函数在同一坐标系中的图象大致为（     ） A． B．C．D． 【答案】C 【分析】本题的核心是利用参数的符号同时约束二次函数和一次函数的图象特征，对各选项逐一判断即可． 【详解】A选项：二次函数图象开口向上，说明，但与轴交点纵坐标为负，对应，矛盾，不符合要求； B选项：二次函数图象开口向上，说明，但一次函数图象与轴交点纵坐标为负，对应，矛盾，不符合要求； C选项：二次函数图象开口向下，说明，一次函数图象经过第二、三、四象限，与轴交点纵坐标为负，对应，符合要求； D选项：二次函数图象开口向下，说明，但一次函数图象与轴交点纵坐标为正，对应，不符合要求； 故选：C． 题型五 y=ax2+k的图象和性质 13．关于二次函数的图像，下列说法正确的是（     ） A．开口向下 B．最低点是 C．对称轴是直线 D．当时，随的增大而增大 【答案】D 【详解】解：由解析式可知，二次项系数为，顶点坐标为，对称轴为y轴， ∴当时，随的增大而增大， ∴四个选项中，只有D选项中的说法正确，符合题意． 14．已知二次函数的表达式为，在直线的左侧，函数值随着自变量的增大而增大，那么的取值范围是______． 【答案】 【分析】先判断二次函数的对称轴，利用对称轴判断随的增大而增大时，的取值范围，利用自变量取值范围即可求出的取值范围． 【详解】解：二次函数的二次项系数为， 抛物线开口向下，对称轴为直线． 开口向下的二次函数，在对称轴左侧，函数值随着自变量的增大而增大， 当时，随的增大而增大． 要求在直线的左侧，函数值随的增大而增大， ． 15．在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（     ） A． B． C．D． 【答案】C 【分析】根据一次函数与二次函数的图象结合选项的图象依次判断即可． 【详解】解：A、由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，由直线可知，错误； B、由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知，而抛物线开口向下，与二次函数矛盾，错误； C、由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，由直线可知，正确； D、由图可知直线与y轴交于负半轴，这与一次函数矛盾，错误． 题型六 y=a(x-h)2的图象和性质 16．若二次函数，当时，随的增大而减小，则的取值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】从二次函数增减性与对称轴的关系入手，推导的取值范围后对照选项判断． 【详解】解：∵二次函数中二次项系数为 ∴抛物线开口向上，对称轴为直线 ∵当时，随的增大而减小 又∵当时，随的增大而减小 ∴ ∴的取值可以是2． 17．已知二次函数，当时，随的增大而增大，那么实数的取值范围是__________． 【答案】 【分析】先确定二次函数的开口方向与对称轴，再根据二次函数的增减性确定的取值范围． 【详解】解：二次函数中，二次项系数为，因此开口向上，对称轴为直线， ∵开口向上的二次函数，对称轴右侧随的增大而增大， ∴当时，随的增大而增大， ∵题目要求当时，随的增大而增大， ∴． 18．已知三点都在二次函数的图象上，则的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据A，B，C三点到对称轴的距离大小关系求解． 【详解】∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∵三点都在二次函数的图象上， ∴到对称轴的距离最远，在对称轴上， ∴． 故选：B． 题型七 y=a(x-h)2+k的图象和性质 19．抛物线的最大值是（     ） A．1 B． C．4 D． 【答案】C 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， ∵， ∴当时，取得最大值． 20．已知，，在函数的图象上，则，，的大小关系是________． 【答案】 【分析】先确定二次函数的开口方向与对称轴，再比较各点到对称轴的距离，即可判断函数值大小． 【详解】解：，， 函数的图象开口向下，对称轴为直线， 点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为． ∵， ∴． 21．下列有关函数的说法不正确的是（     ） A．对称轴是直线 B．抛物线与轴交点为 C．函数图象中，当时，随增大而减小 D．当时， 【答案】B 【详解】解：函数解析式为，开口向上，顶点坐标为， A、对称轴为直线，说法正确； B、令，代入得，即抛物线与轴交点为，说法错误； C、抛物线的开口向上，对称轴为直线， 时，随增大而减小； 在范围内， 当时，随增大而减小，说法正确； D、当时， 对称轴在区间内， 时取最小值， 当时，， ，且开口向上， ，即，说法正确； 故选：B． 题型八 把y=ax2+bx+c化成顶点式 22．将二次函数化为的形式，结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了将二次函数一般式转化为顶点式． 利用配方法转化即可． 【详解】解： ． 故选：C． 23．已知，当自变量的取值范围是时，函数值的取值范围是_____． 【答案】 【分析】先对二次函数配方得到开口方向与顶点坐标，再计算自变量区间端点的函数值，比较得到y的最值，即可确定y的取值范围． 【详解】解：先对函数解析式配方，得， ∵， ∴抛物线开口向下，函数的最大值在顶点处取得，顶点横坐标为，且在范围内， ∴当时，取得最大值，最大值为， 当时，， 当时，， ∵， ∴的最小值为， 因此当时，函数值的取值范围是． 24．已知点在二次函数的图象上，且点到轴的距离小于，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，根据点在二次函数的图象上，可得：，根据点到轴的距离小于，可得：，根据平方的非负性可得：，从而可得的取值范围． 【详解】解：点在二次函数的图象上， ， 点到轴的距离小于， ， ， ， ， ． 故选：D． 题型九 y=ax2+bx+c的图象与性质 25．已知，，是二次函数图象上的点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：将代入，得； 将代入，得； 将代入，得； ∵， ∴. 26．二次函数的最小值是8，则____． 【答案】9 【分析】二次函数存在最小值，可得开口向上，利用二次函数顶点纵坐标公式列方程求解，舍去不符合条件的根即可． 【详解】解：∵二次函数有最小值， ∴抛物线开口向上，即，且顶点纵坐标为， ∴， 将，代入得， ， 整理得， 解得或， ∵， ∴舍去， 因此． 27．在平面直角坐标系中，二次函数（a，b为常数，），当时，的最大值为，点，在函数图象上，则的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】先求二次函数的对称轴，根据时得出时取最大值，得到与的关系，再代入两点坐标计算比值． 【详解】解：二次函数， 对称轴为直线． 时，的最大值为，抛物线顶点在对称轴上， 时，取得最大值，代入得，整理得． 将点代入函数表达式，得． 将点代入函数表达式，得． ． 题型十 二次函数图象的平移 28．若抛物线向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的新抛物线的解析式为，则，，的值计算正确的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】根据平移方式和平移后的解析式即可由二次函数图象的平移规律写出原抛物线的顶点式，再整理成一般式即可． 【详解】解：由题意得向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度，得到原抛物线， ∴原抛物线解析式为， ∴， ∴，，． 29．将抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位后所得到新抛物线的解析式为________． 【答案】 【详解】解：将抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位后所得到新抛物线的解析式为． 30．已知二次函数，图象向右平移个单位长度后经过原点，且当时，的最大值为，则的值为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】先根据二次函数平移规律和平移后过原点得到与的关系，再求出抛物线对称轴，最后分和两种情况，结合在中取得的最大值为计算的值． 【详解】解：将二次函数向右平移3个单位长度，得平移后解析式为， ∵平移后图象经过原点， ∴， ， 解得， ∴抛物线对称轴为直线， ① 当时，抛物线开口向上，在中的最大值出现在离对称轴更远的端点， ∵，，， ∴时取得最大值， 即， ∴， 又∵， ∴， 解得； ② 当时，抛物线开口向下，顶点在内，最大值在顶点处，即时取得最大值， ∴， ∴， 又∵， ∴， 解得； 综上，的值为或． 题型十一 待定系数法求二次函数解析式 31．已知二次函数 的图象经过点，，，则a的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，通过解方程组求解参数是解题的关键． 将三个点代入二次函数解析式，得到关于a、b、c的方程组，解方程组求a． 【详解】解：二次函数 的图象经过点，，， 则 解得 因此a的值为， 故选：A． 32．如果一个二次函数的图象经过三点，那么这个二次函数的解析式为______． 【答案】 【分析】已知二次函数图象经过三个点，可设二次函数一般式，利用待定系数法代入坐标列方程组求解系数，即可得到解析式． 【详解】解：设二次函数的解析式为， 将三个点分别代入解析式， 得， ，得 解得， 将代入方程组得，， ，得 解得， 将代入得， 解得， ∴二次函数的解析式为． 33．若二次函数的图象开口向下，顶点坐标为，且过点，则函数解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，利用待定系数法即可解决问题． 【详解】解： 因为抛物线的顶点坐标为， 则令二次函数的解析式为， 将点代入函数解析式得， ， 解得， 所以二次函数的解析式为， 故选：A． 题型十二 二次函数图象与各项系数符号 34．如图是二次函数的图象，则的值可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数图象与性质，熟记抛物线图象与性质是解决问题的关键． 由抛物线与轴交点位置、对称轴位置得到，逐项分析即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 抛物线交于轴正半轴上， ， 满足条件的是AD； 抛物线的对称轴， ， 满足条件的是D； 故选：D． 35．二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象不经过第______象限． 【答案】二 【分析】根据二次函数的图象开口方向判断的正负，根据对称轴的“左同右异”判断的正负，根据的图象与轴的交点判断的正负，从而可以判断一次函数的图象经过哪几个象限，进而可得答案． 【详解】解：由二次函数的图象可得， ，，， ∴， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限． 36．在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图像可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数图像的识别，熟练掌握二次函数图像与一次函数图像的性质是解题关键．根据图像分别判断二次函数解析式中的符合以及一次函数解析式中的符号，判断是否一致，即可获得答案． 【详解】解：A、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项不符合题意； B、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项符合题意； C、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项不符合题意； D、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项不符合题意． 题型十三 一次函数、二次函数图象综合判断 37．已知函数的图象如图所示，那么函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数与二次函数综合判断，正确根据二次函数推出，是解题的关键．先根据二次函数图象求出，，再根据一次函数图象与其系数的关系判断出一次函数经过的象限即可得到答案． 【详解】解：由二次函数图象可知，二次函数开口向上，对称轴在y轴右侧， ∴， ∴， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限， ∴四个选项中只有A选项符合题意， 故选：A． 38．在同一直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（　　） A． B．C．D． 【答案】C 【分析】先由二次函数的图象得到字母系数的正负，再与一次函数的图象相比较看是否一致． 【详解】解：∵二次函数为， ∴顶点为，即交于y轴，且抛物线开口向上， A、由抛物线可知，图象顶点与y轴交在负半轴， ∴ ∴， 又∵， ∴直线图象应过一、二、三象限，故此选项错误； B、抛物线开口应朝上，故此选项错误； C、由抛物线可知，图象顶点与y轴交在负半轴， ∴， ∵又∵， ∴直线图象应过一、二、三象限，故此选项正确； D、由抛物线可知，图象顶点与y轴交在负半轴， ∴， ∵又∵， ∴直线图象应过一、二、三象限，故此选项错误． 39．一次函数与二次函数在同一坐标系中的图象可能是（     ） A． B． C．D． 【答案】C 【详解】解：A、选项一次函数，，二次函数：开口向上，说明，二次函数对称轴：，则，矛盾， A选项错误； B、选项一次函数，，二次函数：开口向下，说明，矛盾， B选项错误； C、选项一次函数，，二次函数开口向上，说明，对称轴，则，所有性质均一致，C选项正确； D、选项一次函数，，二次函数开口向下，说明，二次函数对称轴：，则，矛盾，D选项错误． 题型十四 根据二次函数的图象判断式子符号 40．已知二次函数的图像如图所示，下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，解决本题的关键是根据抛物线的开口方向、与坐标轴的交点的位置确定二次函数解析式中各项系数的取值范围．根据抛物线的开口方向、对称轴的位置可以判断错误；根据对称轴为直线，通过变形可得正确；根据抛物线与轴的交点可得，可得错误；根据时，，可得错误． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 对称轴在轴的右侧， ， ， 抛物线与轴的交点在轴的正半轴， ， ， 故错误； ∵对称轴为直线， ∴，变形得：，故正确； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，故错误； ∵当时，， ∴，故错误； 故正确的有：，只有1个． 故选：B． 41．二次函数的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论：① ；②；③ ；④ ，其中，正确的有（     ）． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】①根据图象的开口方向即可判断，②根据图象与轴交点坐标即可判断；③根据图象与轴的交点的个数即可判断；④根据对称点，判断对称轴，再根据对称轴公式求出的关系即可判断． 【详解】关于①，由图可知二次函数开口向下，即，故①符合题意； 关于②，由图可知二次函数与轴交于正半轴，即，故②符合题意； 关于③，由图可知二次函数与轴有两个交点，即，故③符合题意； 关于④，由图可知二次函数与轴有两个交点分别为，，则对称轴为直线，因为，所以，即，故④符合题意； 综上，共有4个符合题意． 42．如图是二次函数的图象，对于下列说法：①；②；③；④当时，y随x的增大而减小．其中正确的说法个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据抛物线开口向上，交y轴于负半轴，对称轴在y轴的右侧，可知，，，据此逐项判断即可． 【详解】解：∵由图象可知，抛物线开口向上，交y轴于负半轴，对称轴在y轴的右侧， ∴，，， ∴，，，即， 故①、③说法正确，②说法错误； ∵，且时，y随着x的增大而增大， ∴④说法错误； 综上，正确的说法个数有2个． 题型十五 已知抛物线上对称的两点求对称轴 43．已知抛物线经过和两点，则图象的对称轴为（     ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】B 【分析】利用抛物线上纵坐标相等的两点的对称性计算对称轴． 【详解】解：∵抛物线经过和两点，两点纵坐标相等， ∴两点关于抛物线的对称轴对称． ∴该抛物线的对称轴为直线． 44．若抛物线经过和两点，则______． 【答案】 /0.5 【分析】两点纵坐标相等，说明两点关于抛物线对称轴对称，先根据抛物线顶点式得到对称轴，再利用对称轴等于两点横坐标的平均值列方程求解． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线经过和两点，且两点纵坐标相等 ， ∴两点关于对称轴对称， ∴， 整理得，， 解得． 45．抛物线经过四点：，，，，其中，则下列选项中，值不变的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用抛物线上纵坐标相等的两点关于对称轴对称的性质，先求出抛物线对称轴，再得到与的关系，最后判断各选项即可． 【详解】解：∵抛物线经过点和，两点纵坐标相等 ∴抛物线对称轴为直线， ∵点和点在抛物线上，且到对称轴的距离相等， ∴两点关于抛物线对称轴对称， ∴两点纵坐标相等，即，得， 依次判断选项：A、，值随变化，不是定值，不符合题意； B、，值随变化，不是定值，不符合题意； C、，值恒为，是定值，符合题意； D、，值随变化，不是定值，不符合题意． 题型十六 根据二次函数的对称性求函数值 46．已知抛物线的对称轴为，它与x轴的一个交点的坐标为，则它与x轴的另一个交点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的对称性． 利用抛物线对称轴的性质，两个交点关于对称轴对称进行解答即可． 【详解】解：抛物线的对称轴为，且一个交点为， 设另一个交点为， 则， ∴， ∴， ∴另一个交点为． 故选：B． 47．如图，已知抛物线的对称轴为直线，点A，B均在抛物线上，且与x轴平行，若点A的坐标为，则点B的坐标为__________． 【答案】 【分析】根据题意，易得点关于对称轴对称，即可得出结果. 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，点A，B均在抛物线上，且与x轴平行， ∴点关于对称轴对称， ∵点A的坐标为， ∴点B的坐标为. 48．二次函数的自变量与函数的部分对应值如下表： 的值 … 0 1 2 … 的值 … 2 5 2 … 当时，函数的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，先利用表格中相等函数值对应的自变量求出对称轴，判断开口方向，再根据对称性得到端点的函数值，最后结合增减性确定给定取值范围内的取值范围． 【详解】解：∵由表格可知，和时的函数值相等，均为， ∴二次函数的对称轴为直线， ∵时的函数值，大于和的函数值， ∴二次函数开口向下，顶点为，即函数在处取得最大值， 根据二次函数对称性，与关于直线对称， ∵时， ∴时， 在区间中，开口向下的二次函数，离对称轴越远函数值越小，离对称轴最远，函数值最小为， 因此当时，的取值范围是． 题型十七 y=ax2+bx+c的最值 49．二次函数在时有最大值4，则这个函数的图象可能是（    ） A．B． C．D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的最值问题．根据，可得抛物线开口向下，再由在时有最大值4，可得抛物线的顶点坐标为，即可求解． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下， ∵在时有最大值4， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴这个函数的图象可能是 故选：B 50．在平面直角坐标系中，若点，，，则的最小值为__________． 【答案】 54 【分析】利用平面直角坐标系内两点间距离公式表示出和，代入所求式子整理为关于的二次函数，再用配方法求出二次函数的最小值即可． 【详解】解：根据两点间距离公式，得 则 ； ∴， ∴的最小值为54． 51．已知当时，二次函数的最小值为，则的值为（     ） A．或 B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】由二次函数顶点纵坐标小于，可知给定区间不包含对称轴，分区间在对称轴左、右两侧两种情况讨论求解． 【详解】解：将配方得 ∵抛物线开口向上，顶点纵坐标为， ∴区间不包含对称轴， 分两种情况： ①当，即时，区间在对称轴左侧，随增大而减小， ∴当时，取最小值，代入得， 解得或， ∵， ∴ ②当，即时，区间在对称轴右侧，随增大而增大， ∴当时，取最小值，代入得， 解得或， ∵， ∴ 综上，的值为或． 题型十八 利用二次函数对称性求最短路径 52．如图，抛物线交轴于点，，交轴于点，对称轴是直线，点是抛物线对称轴上的一个动点，当的周长最小时点的坐标为________． 【答案】 【分析】将对称至，连接，与对称轴的交点即为，再根据直线的解析式与对称轴求解的坐标即可． 【详解】解：根据对称轴公式，可得：，解得：， 即抛物线的解析式为：， 将代入得：， 抛物线的解析式为：； 顶点坐标 ； 连接交直线于点， 此时 最小，点即为所求 ， 由，， 设直线的解析式为，将点代入得， ， 解得：， ∴直线： 当时：， ． 【点睛】本题考查了二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键． 53．如图，抛物线交轴于点，交轴于点，对称轴是直线，点是抛物线对称轴上的一个动点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据对称轴和点的坐标求出抛物线解析式，进而求出点和抛物线与轴另一交点的坐标；利用抛物线的对称性可知，将转化为，根据两点之间线段最短可知当、、三点共线时，最小，最小值为的长，利用勾股定理求解即可． 【详解】抛物线交轴于点，对称轴是直线， ， 解得， 抛物线解析式为， 令，得， ， 根据对称性可得，抛物线与轴另一交点为， 如图所示，连接， 点与点关于对称轴对称，点在对称轴上， ， ， 根据两点之间线段最短，当、、三点共线时，最小，最小值为线段的长， 在中，，， ， 的最小值为． 54．如图，直线（k、b为常数）分别与x轴、y轴交于点、，抛物线与y轴交于点C，点E在抛物线的对称轴上移动，点F在直线上移动，的最小值是______． 【答案】 【分析】 先利用待定系数法求出的解析式，根据二次函数解析式求出的坐标及对称轴；再利用轴对称性质，找到关于抛物线对称轴的对称点，将转化为；最后根据“垂线段最短”，当三点共线且时，取得最小值，即到直线的距离． 【详解】∵直线，过点，， ∴ 解得，， ∴直线的解析式为； 又∵抛物线与轴交于点， ∴令，解得， ∴点坐标为， ∵抛物线对称轴， ∴抛物线对称轴为， ∴点关于对称轴的对称点坐标为， ∴， ∴要使最小，即求的最小值； 又∵点到直线之间，垂线段最短， ∴当时，最小． 连接，，过点作轴于点，则，如图所示： ∵在中，，， ∴， 又∵ 又∵（其中）， ∴， ∴， ∴的最小值为． 解答题 55．在平面直角坐标系中，完成下列问题． (1)如图，在同一平面直角坐标系中画出二次函数，的图象． (2)分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标； (3)抛物线可由抛物线向_________平移_________个单位长度得到． 【答案】(1)如图： (2)，开口向下、对称轴为：轴，顶点坐标为：； ，开口向下、对称轴为：轴，顶点坐标为：； (3)上，3 【分析】（1）根据列表、描点、连线画图即可； （2）直接利用二次函数的性质以及与的关系分析得出答案； （3）直接利用二次函数的性质以及与的图象特点分析即可． 【详解】（1）解：函数，函数列表如下： ... 0 1 ... ... 0 ... ... 3 1 ... 描点画图略 （2）解：略 （3）解：函数与函数的图象形状完全相同，开口方向相同，相当于向上平移 3 个单位得到． 56．如图，抛物线的顶点为，与轴的负半轴交于点，且． (1)求抛物线的表达式； (2)若点在该抛物线上，求的值 (3)若点，在此抛物线上，比较与的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，利用增减性判断函数值的大小． （1）由点坐标求出，进一步得到点坐标，再利用待定系数法求解； （2）将代入，即可求出值； （3）根据对称轴和开口方向判断增减性，再结合，两点的横坐标判断即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为A， ∴， ∴， ∵， ∴，代入中， 得：， 解得：， ∴； （2）解：将代入中， 得：， 解得：； （3）解：∵抛物线的对称轴为直线，且开口向下， ∴当时，随的增大而减小， ∵， ∴． 57．设a，b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当，有，我们就称此函数是闭区间上的“闭函数”．如函数，当时，；当时，，即当时，有，所以说函数是闭区间上的“闭函数”．若二次函数是闭区间上的“闭函数”，求k的值． 【答案】的值为． 【分析】把二次函数的解析式化为顶点式，得到开口方向和对称轴，进而得到增减性，结合“闭函数”的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴该二次函数的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而增大， ∴当时，，当时，， ∴， 解得． 58．已知抛物线，为实数． (1)如果该抛物线经过点，求此抛物线的顶点坐标； (2)当时，随的增大而增大，直接写出的取值范围； (3)如果当时，的最大值为，求的值． 【答案】(1) 顶点坐标为 (2) (3) 的值为或 【分析】（1）将点坐标代入函数解析式，求出的值，再将的值代入解析式即得答案； （2）先求出抛物线的对称轴为，开口向上，判断出当时，随的增大而增大，从而求得答案； （3）抛物线的对称轴为，开口向上，故当时，的最大值为，即当时，，代入即可得答案． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， 代入可得：， 解得：， ∴抛物线解析式为， 由 得顶点坐标为； （2）解： ∴抛物线对称轴为直线，开口向上， ∵当时，随的增大而增大， ∴，即； （3）解：由（2）知抛物线对称轴为直线，开口向上， 又当时，的最大值为， 且， 即当时，， 代入得：， 化简得：， 解得：． 59．已知二次函数（m为常数） (1)下列结论：①当时，该函数的图像开口向上；②该函数的图像的对称轴是直线；③该函数的图像一定经过，两点其中，正确结论的序号是___________． (2)若点在该函数图像上，当时，结合图像，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①③ (2)或 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的开口方向，函数值正负，对称性，增减性，是解题的关键．（1）根据二次函数（m为常数）时，图像开口向上，判断①；根据  得对称轴是直线，判断②； ③令，则， ，两点关于对称轴对称，得函数的图像一定经过，两点，判断③； （2）根据与对称，当时，当时，y随x增大而增大，得，根据，得当时，， ，解得，或 当时，得，解得；当时，当时，y随x增大而减小，则，当时，， ，解得，或当时，得，解得，即可． 【详解】（1）①∵二次函数（m为常数）， ∴当时，该函数的图像开口向上， 正确． ②∵   ∴该函数的图像的对称轴是直线， 不正确． ③令，则， ∴函数的图像一定经过， ∵，两点关于对称轴对称， ∴函数的图像一定经过，两点， 正确． 故答案为：①③． （2）解：∵点在函数图像上， ∴的对称点为， 若， ∵当时，y随x增大而增大， ∴， ∵， ∴当时， ， ∴， ， ∴， ∴； 或当时， ， ∴， 不合； 若， ∵当时，y随x增大而减小， ∴， ∴当时， ， ∴， ， ∴， ∴； 或当时， ， ∴， 不合． 综上， 或． 60．在平面直角坐标系中，点在抛物线上，其中． (1)当，时，求抛物线的对称轴； (2)已知，当时，总有． ①求证：； ②点，在该抛物线上，是否存在a，b，使得当时，都有？若存在，求出a与b之间的数量关系；若不存在．说明理由． 【答案】(1)对称轴 (2) ①证明：∵点在抛物线上， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴当时，， ∵当时，总有， ∴， ∵， ∴； ②存在，如 【分析】（1）将点代入抛物线解析式可得到a与b的关系，再根据对称轴公式即可求解； （2）利用二次函数的图象和性质，以及不等式的基本性质，即可证明；结合抛物线的对称性和增减性，抛物线上的点离对称轴的距离越近，所对应的函数值越小，分情况讨论即可． 【详解】（1）∵点在抛物线上，且，， ∴， ∴， ∴对称轴为； （2）解：①略 ②存在a，b，使得当时，都有． 由①知，， ∴， ∵， ∴抛物线开口向上，抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线上的点离抛物线对称轴的距离越近，所对应的函数值越小， ∵，，且， ∴，， ∴，， ∵， ∴当时， ，且P离对称轴的距离更近， ∴，符合题意； 当时， 存在，此时，不符合题意； 当时， 存在，此时，不符合题意； 综上所述，当时，符合题意． ∴，即， ∴存在a，b，使得当时，都有，a与b之间的数量关系为． 【点睛】本题主要考查了抛物线的图象和性质，不等式的性质等，熟练掌握抛物线的对称轴，不等式的性质等相关知识点是解题的关键． 61．如图，已知抛物线经过点，与x轴交于点，其对称轴为直线，P为x轴上方抛物线上的一动点． (1)直接写出抛物线的解析式和顶点坐标； (2)对称轴上存在点C，使得的值最小，求点C的坐标； (3)若，垂足为D，小王说“当点P与顶点重合时，的值最大．”你是否同意小王的说法，请说明理由． 【答案】(1)，顶点坐标为 (2)C的坐标为； (3)不同意，理由见解析 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得对称轴为直线，推出直线与对称轴的交点即为所求的点C，据此求解即可； （3）用含的二次函数表示出，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，解得， ∴所求解析式为：， ， ∴顶点坐标为； （2）解：∵， ∴对称轴为直线， ∵点O点B关于对称轴对称， ∴直线与对称轴的交点即为所求的点C， 设直线为，则 ， 解得：，， ∴， 当时，， ∴C的坐标为； （3）解：小王的说法是错误的． 理由：当点P与顶点重合时，， 当点P与顶点不重合时，设D为则P为， 此时， 即时，的最大值， 而， ∴小王的说法是错误的． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01二次函数及其图象与性质期中复习讲义 1.理解二次函数的概念，能识别二次函数，确定二次函数表达式中字母的取值，会把实际问题转化为二次函数关系式。 2.掌握二次函数几种形式（一般式、顶点式）的区别，能说出二次项系数、一次项系数、常数项。 3.会画二次函数的图象，理解抛物线、顶点、对称轴、开口方向等概念；掌握二次项系数a对开口方向、开口大小的影响。 4.能根据解析式直接读出对称轴、顶点坐标，会求抛物线与坐标轴的交点坐标。 5.掌握二次函数的增减性，会判断自变量取值范围内函数的增减变化，能求最值。 6.会根据图象判断(a、b、c)以及相关代数式的符号，能利用二次函数图象比较函数值大小。 7.掌握二次函数图象的平移规律，理解平移前后解析式的变化关系。 题型 考察方向 难度 题型一 列二次函数关系式 ★ 题型二 二次函数的识别 ★ 题型三 根据二次函数的定义求参数 ★★ 题型四 y=ax2的图象和性质 ★ 题型五 y=ax2+k的图象和性质 ★ 题型六 y=a(x-h)2的图象和性质 ★ 题型七 y=a(x-h)2+k的图象和性质 ★★ 题型八 把y=ax2+bx+c化成顶点式 ★★ 题型九 y=ax2+bx+c的图象与性质 ★★ 题型十 二次函数图象的平移 ★★ 题型十一 待定系数法求二次函数解析式 ★★ 题型十二 二次函数图象与各项系数符号 ★★★ 题型十三 一次函数、二次函数图象综合判断 ★★★ 题型十四 根据二次函数的图象判断式子符号 ★★★ 题型十五 已知抛物线上对称的两点求对称轴 ★★ 题型十六 根据二次函数的对称性求函数值 ★★ 题型十七 y=ax2+bx+c的最值 ★★★ 题型十八 利用二次函数对称性求最短路径 ★★★ 拔高题 7题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点 1 二次函数定义 一般地，形如 y=ax2+bx+c（a、b、c 是常数，a≠0）的函数叫做二次函数。 x 是自变量，y 是关于 x 的函数； a：二次项系数，a≠0（核心条件）； ax2：二次项；b：一次项系数，bx：一次项；c：常数项。 ⚠️辨析要点： 1.等式右边必须是关于自变量的整式； 2.自变量最高次数为2 次； 3.二次项系数不能等于 0； ❌反例：y=、y=x2+x 不是二次函数。 知识点 2 二次函数常见特殊形式 函数形式 说明 y=ax2（a≠0) 最简形式，b=0,c=0 y=ax2+c(a≠0) 缺少一次项，b=0 y=ax2+bx(a≠0) 缺少常数项，c=0 y=ax2+bx+c(a≠0） 一般式（通用形式） 知识点 3 根据实际问题列二次函数解析式 解题步骤： 1.审题，找出等量关系； 2.设自变量 x、函数 y； 3.根据等量关系列出等式，整理成 y=ax2+bx+c(a≠0)； 4.根据实际情况写出自变量取值范围。 知识点 4 基础模型：y=ax2 (a≠0) 图象特征 图象是一条抛物线；对称轴为 y 轴（直线 x=0）；顶点坐标 (0,0)。 系数条件 开口方向 增减性 最值 a>0 开口向上 当x<0时，y随x增大而减小； 当x>0时，y随x增大而增大 顶点为最低点；x=0时，y最小=0 a<0 开口向下 当x<0时，y随x增大而增大； 当x>0时，y随x增大而减小 顶点为最高点；x=0时，y最大=0 补充规律：|a| 越大，抛物线开口越窄；|a|越小，开口越宽。 知识点 5 模型：y=ax2+c(a≠0) 由 y=ax2上下平移得到： c>0：向上平移 c 个单位；c<0：向下平移 |c| 个单位。 对称轴：直线 x=0（y轴） 顶点坐标：(0, c) 系数条件 开口方向 最值 a>0 向上 x=0，y最小=c a<0 向下 x=0，y最大=c 增减性与y=ax2保持一致，仅顶点上下移动。 知识点 6 模型：y=a(x+h)2(a≠0) 由 y=ax2左右平移得到： 口诀：左加右减（针对x） h>0：向左平移h个单位；h<0：向右平移|h|个单位。 对称轴：直线 x=-h 顶点坐标：(-h,0) 知识点7：一般式 y=ax2+bx+c(a≠0) 知识点 8 顶点式：y=a(x+h)2+k (a≠0) 1. 图象与平移规律 由 y=ax2 先左右平移，再上下平移得到。 平移口诀：左加右减自变量，上加下减常数项。 2. 核心几何要素 图象：抛物线 顶点坐标：(-h,k) 对称轴：直线 x=-h 系数 开口方向 增减性 最值 a>0 向上 x<-h，y随x增大而减小；x>-h，y随x增大而增大 顶点最低点x=-h时，y最小=k a<0 向下 x<-h，y随x增大而增大；x>-h，y随x增大而减小 顶点最高点x=-h时，y最大=k 知识点9：二次函数y=ax2+bx+c图象与a，b，c的关系 · a定开口：正上负下，|a|越大开口越窄； · a、b定对称轴：口诀左同右异，b=0对称轴为y轴； · c定抛物线与y轴交点正负，c=0过原点； ·Δ=b2-4ac决定抛物线和x轴交点数量。 题型一 列二次函数关系式 1．把二次函数化成一般形式为（     ） A． B． C． D． 2．合肥市某高新企业10月份的工业产值为亿元，平均每月产值的增长率为，则该企业12月份的产值关于的函数表达式是（     ） A． B． C． D． 3．如图，和是边长分别为5和2的等边三角形，点、、、都在直线上，固定不动，将在直线上自左向右平移．开始时，点与点重合，当点移动到与点重合时停止．设移动的距离为，两个三角形重叠部分的面积为，请写出与之间的函数关系式_________． 题型二 二次函数的识别 4．下面的函数是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 5．下列函数是关于x的二次函数的是（     ） A． B． C． D． 6．下列函数关系中，是二次函数的是（　　） A．在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系 B．当距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系 C．等边三角形的周长c与边长a之间的关系 D．圆心角为120°的扇形面积S与半径R之间的关系 题型三 根据二次函数的定义求参数 7．若函数是关于的二次函数，则a的值不可能是（     ） A． B．2 C．1 D．或0 8．若函数是二次函数，则___________________． 9．已知是二次函数，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．1或 题型四 y=ax2的图象和性质 10．二次函数的图象经过的象限是（     ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 11．已知点、、都在函数的图象上，则、、之间的大小关系是：_________（由小到大排序）． 12．二次函数与一次函数在同一坐标系中的图象大致为（     ） A． B．C．D． 题型五 y=ax2+k的图象和性质 13．关于二次函数的图像，下列说法正确的是（     ） A．开口向下 B．最低点是 C．对称轴是直线 D．当时，随的增大而增大 14．已知二次函数的表达式为，在直线的左侧，函数值随着自变量的增大而增大，那么的取值范围是______． 15．在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（     ） A． B． C．D． 题型六 y=a(x-h)2的图象和性质 16．若二次函数，当时，随的增大而减小，则的取值可以是（    ） A． B． C． D． 17．已知二次函数，当时，随的增大而增大，那么实数的取值范围是__________． 18．已知三点都在二次函数的图象上，则的大小关系为（　　） A． B． C． D． 题型七 y=a(x-h)2+k的图象和性质 19．抛物线的最大值是（     ） A．1 B． C．4 D． 20．已知，，在函数的图象上，则，，的大小关系是________． 21．下列有关函数的说法不正确的是（     ） A．对称轴是直线 B．抛物线与轴交点为 C．函数图象中，当时，随增大而减小 D．当时， 题型八 把y=ax2+bx+c化成顶点式 22．将二次函数化为的形式，结果为（   ） A． B． C． D． 23．已知，当自变量的取值范围是时，函数值的取值范围是_____． 24．已知点在二次函数的图象上，且点到轴的距离小于，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型九 y=ax2+bx+c的图象与性质 25．已知，，是二次函数图象上的点，则（    ） A． B． C． D． 26．二次函数的最小值是8，则____． 27．在平面直角坐标系中，二次函数（a，b为常数，），当时，的最大值为，点，在函数图象上，则的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型十 二次函数图象的平移 28．若抛物线向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的新抛物线的解析式为，则，，的值计算正确的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 29．将抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位后所得到新抛物线的解析式为________． 30．已知二次函数，图象向右平移个单位长度后经过原点，且当时，的最大值为，则的值为（     ） A． B． C．或 D．或 题型十一 待定系数法求二次函数解析式 31．已知二次函数 的图象经过点，，，则a的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 32．如果一个二次函数的图象经过三点，那么这个二次函数的解析式为______． 33．若二次函数的图象开口向下，顶点坐标为，且过点，则函数解析式为（　　） A． B． C． D． 题型十二 二次函数图象与各项系数符号 34．如图是二次函数的图象，则的值可能为（   ） A． B． C． D． 35．二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象不经过第______象限． 36．在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图像可能是（　　） A． B． C． D． 题型十三 一次函数、二次函数图象综合判断 37．已知函数的图象如图所示，那么函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 38．在同一直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（　　） A． B．C．D． 39．一次函数与二次函数在同一坐标系中的图象可能是（     ） A． B． C．D． 题型十四 根据二次函数的图象判断式子符号 40．已知二次函数的图像如图所示，下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 41．二次函数的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论：① ；②；③ ；④ ，其中，正确的有（     ）． A．个 B．个 C．个 D．个 42．如图是二次函数的图象，对于下列说法：①；②；③；④当时，y随x的增大而减小．其中正确的说法个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型十五 已知抛物线上对称的两点求对称轴 43．已知抛物线经过和两点，则图象的对称轴为（     ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 44．若抛物线经过和两点，则______． 45．抛物线经过四点：，，，，其中，则下列选项中，值不变的是（     ） A． B． C． D． 题型十六 根据二次函数的对称性求函数值 46．已知抛物线的对称轴为，它与x轴的一个交点的坐标为，则它与x轴的另一个交点的坐标为（   ） A． B． C． D． 47．如图，已知抛物线的对称轴为直线，点A，B均在抛物线上，且与x轴平行，若点A的坐标为，则点B的坐标为__________． 48．二次函数的自变量与函数的部分对应值如下表： 的值 … 0 1 2 … 的值 … 2 5 2 … 当时，函数的取值范围是（） A． B． C． D． 题型十七 y=ax2+bx+c的最值 49．二次函数在时有最大值4，则这个函数的图象可能是（    ） A．B． C．D． 50．在平面直角坐标系中，若点，，，则的最小值为__________． 51．已知当时，二次函数的最小值为，则的值为（     ） A．或 B． C．或 D．或 题型十八 利用二次函数对称性求最短路径 52．如图，抛物线交轴于点，，交轴于点，对称轴是直线，点是抛物线对称轴上的一个动点，当的周长最小时点的坐标为________． 53．如图，抛物线交轴于点，交轴于点，对称轴是直线，点是抛物线对称轴上的一个动点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 54．如图，直线（k、b为常数）分别与x轴、y轴交于点、，抛物线与y轴交于点C，点E在抛物线的对称轴上移动，点F在直线上移动，的最小值是______． 解答题 55．在平面直角坐标系中，完成下列问题． (1)如图，在同一平面直角坐标系中画出二次函数，的图象． (2)分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标； (3)抛物线可由抛物线向_________平移_________个单位长度得到． 56．如图，抛物线的顶点为，与轴的负半轴交于点，且． (1)求抛物线的表达式； (2)若点在该抛物线上，求的值 (3)若点，在此抛物线上，比较与的大小． 57．设a，b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当，有，我们就称此函数是闭区间上的“闭函数”．如函数，当时，；当时，，即当时，有，所以说函数是闭区间上的“闭函数”．若二次函数是闭区间上的“闭函数”，求k的值． 58．已知抛物线，为实数． (1)如果该抛物线经过点，求此抛物线的顶点坐标； (2)当时，随的增大而增大，直接写出的取值范围； (3)如果当时，的最大值为，求的值． 59．已知二次函数（m为常数） (1)下列结论：①当时，该函数的图像开口向上；②该函数的图像的对称轴是直线；③该函数的图像一定经过，两点其中，正确结论的序号是___________． (2)若点在该函数图像上，当时，结合图像，直接写出的取值范围． 60．在平面直角坐标系中，点在抛物线上，其中． (1)当，时，求抛物线的对称轴； (2)已知，当时，总有． ①求证：； ②点，在该抛物线上，是否存在a，b，使得当时，都有？若存在，求出a与b之间的数量关系；若不存在．说明理由． 61．如图，已知抛物线经过点，与x轴交于点，其对称轴为直线，P为x轴上方抛物线上的一动点． (1)直接写出抛物线的解析式和顶点坐标； (2)对称轴上存在点C，使得的值最小，求点C的坐标； (3)若，垂足为D，小王说“当点P与顶点重合时，的值最大．”你是否同意小王的说法，请说明理由． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $