专题02二次函数与一元二次方程期中复习讲义(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年沪科版九年级数学上册

专题02二次函数与一元二次方程期中复习讲义 1.理解二次函数与一元二次方程之间的联系，知道抛物线与 x 轴交点的横坐标就是对应一元二次方程的根。 2.会通过一元二次方程根的判别式，判断抛物线和 x 轴交点的个数：有两个交点、一个交点、无交点三种情况。 3.能根据二次函数图象，估算对应一元二次方程根的近似值。 4.会利用二次函数图象，求解对应的一元二次不等式ax2+bx+c>0、ax2+bx+c<0的解集，分清图象在 x 轴上方、下方对应的自变量范围。 5.已知抛物线与 x 轴交点坐标，会写出对应的一元二次方程；已知方程的根，能确定抛物线与 x 轴交点。 6.能够结合图象，解决二次函数、一元二次方程相结合的数形综合小题，会处理交点坐标、参数求值类问题。 7.区分抛物线与 x 轴交点、与 y 轴交点的不同求法，避免概念混淆。 题型 考察方向 难度 题型一 求抛物线与 x 轴的交点坐标 ★ 题型二 求抛物线与 y 轴的交点坐标 ★ 题型三 已知二次函数的函数值求自变量的值 ★★ 题型四 抛物线与 x 轴的交点问题 ★★ 题型五 根据二次函数图象确定相应方程根的情况 ★★ 题型六 求 x 轴与抛物线的截线长 ★★ 题型七 图象法确定一元二次方程的近似根 ★★ 题型八 图象法解一元二次不等式 ★★★ 题型九 利用不等式求自变量或函数值的范围 ★★★ 题型十 根据交点确定不等式的解集 ★★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点 01 二次函数与一元二次方程的关系 知识点02：用图象法求一元二次方程的近似解 1. 图象法的基本原理 利用二次函数图象与 x 轴的交点，可以确定一元二次方程的根。 设二次函数为： y=ax2+bx+c 令 y=0，则得到一元二次方程： ax2+bx+c=0 核心结论： 一元二次方程 ax2+bx+c=0 的实数根，就是抛物线 y=ax2+bx+c与 x 轴交点的横坐标。 由于作图和观察存在误差，图象法通常只能求出方程的近似根。 2. 常用的图象法 方法 具体做法 原理 方法一 直接画出抛物线 y=ax2+bx+c 的图象 图象与x轴交点的横坐标就是方程的根 方法二 画出抛物线 y=ax2+bx 和直线 y=-c 两图象交点的横坐标就是方程的根 方法三 画出抛物线 y=x2和直线 y=-x- 两图象交点的横坐标就是方程的根 3. 确定近似根的方法 第一步：观察图象，确定方程的根在哪两个连续整数之间； 第二步：利用取平均数的方法，不断缩小根所在的范围； 第三步：当根所在的范围满足题目要求的精确度时，即可得到近似解。 识点 03二次函数与一元二次不等式的关系 利用二次函数图象解一元二次不等式的步骤： 1.将一元二次不等式化为 ax2+bx+c>0或<0的形式； 2.明确二次项系数 a 的正负、对称轴在 y 轴哪侧，并计算 b2-4ac的值； 3.作出不等式对应的二次函数 y=ax2+bx+c 的草图； 4.二次函数在 x 轴上方的图象对应的函数值大于零，在 x 轴下方的图象对应的函数值小于零。以 y=ax2+bx+c(a>0) 为例，二次函数与一元二次不等式的关系如下表： Δ = b² - 4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象 一元二次方程ax2+bx+c=0(a X1,x2 X1=X2= 没有实数根 不等式ax2+bx+c>0(a解集 全体实数 不等式ax2+bx+c0(a解集 无解 无解 知识点 04 抛物线与一次函数交点判定 联立方程组 消去y，得到一元二次方程：ax2+(b-k)x+(c-m)=0 判别式Δ 交点个数 位置关系 Δ>0 2 个交点 相交 Δ=0 1 个交点 相切 Δ<0 0 个交点 相离 知识点05：高频易错点汇总 易错知识点 错误典型表现 正确标准 交点概念混淆 把交点(x,0)的完整坐标当成方程的解 方程的根只有横坐标x，y=0 Δ=0理解偏差 认为Δ=0没有根、无交点 存在两个相等实数根，抛物线与 x 轴仅有 1 个公共点 不等式解集直接套用模板 忽略a正负直接写解集 开口向上、向下对应的不等式解集完全相反 交点式书写错误 写成y=a(x+x1)(x+x2) 标准形式固定为y=a(x-x1)(x-x2) 图象解方程认知错误 认为画图可以得到精确解 图象法只能求近似根，精确解必须代数运算 题型一 求抛物线与 x 轴的交点坐标 1．二次函数与轴的交点坐标是（     ） A．， B．， C．， D．， 2．二次函数的图象与x轴交于A，B两点（A点在B点左边），与y轴交于点C，则___________． 3．二次函数的最小值为，若该二次函数的图象不经过第三象限，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型二 求抛物线与 y 轴的交点坐标 4．抛物线与y轴的交点坐标为（     ） A． B． C． D． 5．已知抛物线，将其向右平移n个单位，使平移后所得的抛物线与坐标轴恰好只有两个公共点，那么n的值是______． 6．如图，线段的两个端点的坐标分别是、，函数的图象与线段有公共点，当该函数图象与轴的交点最高时，则的值是（     ） A． B． C．5 D．7 题型三 已知二次函数的函数值求自变量的值 7．抛物线与直线的两个交点的横坐标为（    ） A．0，4 B．1，5 C． D． 8．初三数学课本上，用“描点法”画二次函数的图象时．列了如下表格： x … 0 1 2 … y … 3 4 3 0 … 根据表格上的信息回答问题：一元二次方程的解为（　　） A．， B．， C．， D．， 9．对于三个函数，若无论取何值，总取中的最大值，则的最小值为_______． 10．已知二次函数的图象上的部分点的坐标如下表，其中，则b的值为（    ） x … a … y … 2024 2024 … A．5 B．10 C．15 D．25 题型四 抛物线与 x 轴的交点问题 11．若抛物线与轴没有交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．如图，抛物线与轴两交点横坐标分别为和2，则不等式的解集为________ 13．已知二次函数的图象与轴没有交点，则的取值范围为（     ） A． B．且 C． D．且 题型五 根据二次函数图象确定相应方程根的情况 14．如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于点，，则关于x的方程的解是（     ） A．， B．， C．， D．， 15．二次函数的图象如图所示，若关于的方程有两个不相等的实数根，则常数的取值范围是_________________． 16．根据下列表格中的二次函数（，a，b，c为常数）的自变量x与函数y的对应值，判断的一个解x的取值范围为（    ） x y 1.34 2.25 A． B． C． D． 题型六 求 x 轴与抛物线的截线长 17．如图，抛物线向下平移个单位后，交轴于，A两点，则的长为______． 18．在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向下平移3个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P、Q，则______． 19．在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴交于点，．若线段上有且只有7个点的横坐标为整数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型七 图象法确定一元二次方程的近似根 20．二次函数部分x和y的值如表：则方程的较大的根范围是（   ） x y 0.61 0.24 A． B． C． D． 21．二次函数的图象如图所示，若方程的一个近似根是，则方程的另一个近似根为__________．（结果精确到0.1） 22．由下表可知，关于的一元二次方程的一个近似根是（     ） A． B． C． D． 题型八 图象法解一元二次不等式 23．如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是（    ） A． B． C．或 D．或 24．已知二次函数，将该二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线与新图象有2个交点时，的取值范围是______． 25．已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是（     ） A． B． C．或 D．或 题型九 利用不等式求自变量或函数值的范围 26．已知抛物线经过点，当时，，则m的值可能是（  ） A． B．0 C．1 D．2 27．已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如表：则当时，y的取值范围是__________． 0 1 2      6 3 2 3 28．若点在抛物线上，其中，则不等式的解为（   ） A．或 B． C．或 D． 题型十 根据交点确定不等式的解集 29．如图，过点且平行于轴的直线与二次函数（）的图像的交点坐标为，，则不等式的解集为（ ） A． B． C．或 D． 30．如图，已知抛物线与直线交于、两点．则关于x的不等式的解集是（     ） A． B．或 C． D． 31．如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是___________． 解答题 32．已知二次函数，函数值y与自变量x的部分对应值如表： x … 0 1 2 … y … 0 4 3 0 … (1)求该二次函数的表达式； (2)当时，求自变量x的取值范围； (3)当时，求此时y的取值范围． 33．已知：抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且点的坐标为，结合图象回答以下问题： (1)方程的根是______； (2)函数值不大于0，的取值是______； (3)当时，的取值范围是______； (4)若直线经过、两点，则时，的取值是______． 34．如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C． (1)求A，B，C三点的坐标； (2)结合图象直接写出：的解集；以及当时，函数值y的取值范围． 35．已知抛物线过，两点，其中m是常数． (1)求a，b之间的数量关系． (2)当时，抛物线对应的二次函数的最大值为． （ⅰ）求二次函数的表达式． （ⅱ）若，是抛物线上两个不同的点，，求证：． 36．一次函数的图象与轴交于点，二次函数的图象经过点、原点和一次函数图象上的点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)如图1，一次函数与二次函数的图象交于点、，过点作直线轴于点，过点作直线轴，过点作于点． ①________，________（分别用含的代数式表示）； ②证明：； (3)如图2，二次函数的图象是由二次函数的图象平移后得到的．点是二次函数的图象上的点，设点的横坐标为，过点平行于轴的直线交函数的图像于点，交函数的图像于点、（在点右侧）， ①当时，求点的坐标； ②直接写出点是的中点时的的值 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02二次函数与一元二次方程期中复习讲义 1.理解二次函数与一元二次方程之间的联系，知道抛物线与 x 轴交点的横坐标就是对应一元二次方程的根。 2.会通过一元二次方程根的判别式，判断抛物线和 x 轴交点的个数：有两个交点、一个交点、无交点三种情况。 3.能根据二次函数图象，估算对应一元二次方程根的近似值。 4.会利用二次函数图象，求解对应的一元二次不等式ax2+bx+c>0、ax2+bx+c<0的解集，分清图象在 x 轴上方、下方对应的自变量范围。 5.已知抛物线与 x 轴交点坐标，会写出对应的一元二次方程；已知方程的根，能确定抛物线与 x 轴交点。 6.能够结合图象，解决二次函数、一元二次方程相结合的数形综合小题，会处理交点坐标、参数求值类问题。 7.区分抛物线与 x 轴交点、与 y 轴交点的不同求法，避免概念混淆。 题型 考察方向 难度 题型一 求抛物线与 x 轴的交点坐标 ★ 题型二 求抛物线与 y 轴的交点坐标 ★ 题型三 已知二次函数的函数值求自变量的值 ★★ 题型四 抛物线与 x 轴的交点问题 ★★ 题型五 根据二次函数图象确定相应方程根的情况 ★★ 题型六 求 x 轴与抛物线的截线长 ★★ 题型七 图象法确定一元二次方程的近似根 ★★ 题型八 图象法解一元二次不等式 ★★★ 题型九 利用不等式求自变量或函数值的范围 ★★★ 题型十 根据交点确定不等式的解集 ★★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点 01 二次函数与一元二次方程的关系 知识点02：用图象法求一元二次方程的近似解 1. 图象法的基本原理 利用二次函数图象与 x 轴的交点，可以确定一元二次方程的根。 设二次函数为： y=ax2+bx+c 令 y=0，则得到一元二次方程： ax2+bx+c=0 核心结论： 一元二次方程 ax2+bx+c=0 的实数根，就是抛物线 y=ax2+bx+c与 x 轴交点的横坐标。 由于作图和观察存在误差，图象法通常只能求出方程的近似根。 2. 常用的图象法 方法 具体做法 原理 方法一 直接画出抛物线 y=ax2+bx+c 的图象 图象与x轴交点的横坐标就是方程的根 方法二 画出抛物线 y=ax2+bx 和直线 y=-c 两图象交点的横坐标就是方程的根 方法三 画出抛物线 y=x2和直线 y=-x- 两图象交点的横坐标就是方程的根 3. 确定近似根的方法 第一步：观察图象，确定方程的根在哪两个连续整数之间； 第二步：利用取平均数的方法，不断缩小根所在的范围； 第三步：当根所在的范围满足题目要求的精确度时，即可得到近似解。 识点 03二次函数与一元二次不等式的关系 利用二次函数图象解一元二次不等式的步骤： 1.将一元二次不等式化为 ax2+bx+c>0或<0的形式； 2.明确二次项系数 a 的正负、对称轴在 y 轴哪侧，并计算 b2-4ac的值； 3.作出不等式对应的二次函数 y=ax2+bx+c 的草图； 4.二次函数在 x 轴上方的图象对应的函数值大于零，在 x 轴下方的图象对应的函数值小于零。以 y=ax2+bx+c(a>0) 为例，二次函数与一元二次不等式的关系如下表： Δ = b² - 4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象 一元二次方程ax2+bx+c=0(a X1,x2 X1=X2= 没有实数根 不等式ax2+bx+c>0(a解集 全体实数 不等式ax2+bx+c0(a解集 无解 无解 知识点 04 抛物线与一次函数交点判定 联立方程组 消去y，得到一元二次方程：ax2+(b-k)x+(c-m)=0 判别式Δ 交点个数 位置关系 Δ>0 2 个交点 相交 Δ=0 1 个交点 相切 Δ<0 0 个交点 相离 知识点05：高频易错点汇总 易错知识点 错误典型表现 正确标准 交点概念混淆 把交点(x,0)的完整坐标当成方程的解 方程的根只有横坐标x，y=0 Δ=0理解偏差 认为Δ=0没有根、无交点 存在两个相等实数根，抛物线与 x 轴仅有 1 个公共点 不等式解集直接套用模板 忽略a正负直接写解集 开口向上、向下对应的不等式解集完全相反 交点式书写错误 写成y=a(x+x1)(x+x2) 标准形式固定为y=a(x-x1)(x-x2) 图象解方程认知错误 认为画图可以得到精确解 图象法只能求近似根，精确解必须代数运算 题型一 求抛物线与 x 轴的交点坐标 1．二次函数与轴的交点坐标是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】令解方程即可． 【详解】解：令，则， 则或， 解得，， 故二次函数与轴的交点坐标是，． 2．二次函数的图象与x轴交于A，B两点（A点在B点左边），与y轴交于点C，则___________． 【答案】 【分析】先求出点B和点C的坐标，再利用勾股定理计算线段的长度． 【详解】解：当时，有方程， 因式分解得， 解得或， ∵A点在B点左侧， ∴B点坐标为， 当时，代入二次函数解析式得， ∴C点坐标为， 设原点为， ∵x轴与y轴垂直， ∴， 可得，， 由勾股定理得． 3．二次函数的最小值为，若该二次函数的图象不经过第三象限，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据二次函数最小值为求出的所有可能值，再结合二次函数图象不经过第三象限的条件筛选出符合要求的． 【详解】解：∵二次函数中， ∴开口向上，最小值为顶点纵坐标． 根据顶点纵坐标公式列方程得， 整理得， 解得或． 当时，解析式为，顶点坐标为，顶点在第三象限，函数图象经过第三象限，不符合要求，舍去． 当时，解析式为，时，对称轴为直线，因此时，函数图象不经过第三象限，符合要求． ∴． 题型二 求抛物线与 y 轴的交点坐标 4．抛物线与y轴的交点坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把代入，即可求解． 【详解】解：当时，， ∴抛物线与y轴的交点坐标为． 5．已知抛物线，将其向右平移n个单位，使平移后所得的抛物线与坐标轴恰好只有两个公共点，那么n的值是______． 【答案】3 【分析】根据题意得出原点在平移后的抛物线上，将代入平移后的抛物线解析式求解即可； 【详解】解：， 原抛物线判别式， 令得， 则原抛物线与轴交点为， 左右平移不改变抛物线的判别式，因此平移后抛物线始终与轴有2个交点，且一定与轴有1个交点， ∵平移后所得的抛物线与坐标轴恰好只有两个公共点，平移后的抛物线与轴恒有两个不同交点，与轴恒有一个交点，要使总共只有两个公共点，则必然是其中一个轴交点与轴交点重合于原点， 即原点在平移后的抛物线上， 抛物线向右平移个单位，平移后解析式为：， 将代入得：， 解得：（舍去）， 因此的值为． 6．如图，线段的两个端点的坐标分别是、，函数的图象与线段有公共点，当该函数图象与轴的交点最高时，则的值是（     ） A． B． C．5 D．7 【答案】D 【分析】由题意得当函数的图象经过点A时该函数图象与y轴的交点最高，代入求出即可． 【详解】解：∵线段的两个端点的坐标分别是、，函数的图象与线段有公共点， ∴当函数的图象经过点A时该函数图象与y轴的交点最高， 则， 解得：． 题型三 已知二次函数的函数值求自变量的值 7．抛物线与直线的两个交点的横坐标为（    ） A．0，4 B．1，5 C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了直线与抛物线的交点问题，熟练掌握解一元二次方程的一般方法，是解答此题的关键． 【详解】解：把代入得：， 解得：，， ∴抛物线与直线的两个交点的横坐标为， 故选：D． 8．初三数学课本上，用“描点法”画二次函数的图象时．列了如下表格： x … 0 1 2 … y … 3 4 3 0 … 根据表格上的信息回答问题：一元二次方程的解为（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，由表格中的数据可求出抛物线的解析式，则一元二次方程中各项的系数已知，再解方程即可． 【详解】解：由题意可知点，，在二次函数的图象上， 则， 解得：， 所以一元二次方程可化为：， 解得：，， 故选：C． 9．对于三个函数，若无论取何值，总取中的最大值，则的最小值为_______． 【答案】1 【分析】本题考查了两直线相交的问题，根据直线解析式作出图形并利用数形结合的思想成为解题的关键．先根据题意画出草图，然后根据图象确定取最大值的点，最后联立两直线解析式构建解方程组求解即可． 【详解】解：如图：把和联立方程组得：，解得：， ∴交点B的坐标为， 把和联立方程组得：， 解得或， ∴交点C的坐标为，交点D的坐标为， 把和联立方程组得：， 解得或， ∴交点A的坐标为，交点G的坐标为， ∴当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 总取，，中的最小值， 的最小值为1， 故答案为：1． 10．已知二次函数的图象上的部分点的坐标如下表，其中，则b的值为（    ） x … a … y … 2024 2024 … A．5 B．10 C．15 D．25 【答案】B 【分析】此题主要考查了二次函数的性质，表格可知，当，，当，，代入解析式可得，，由此即可求解． 【详解】解：由表格可知，当，，当，， ∴，， ∴，， ∴是方程的两根， ∵， ∴，， ∴， 故选：B． 题型四 抛物线与 x 轴的交点问题 11．若抛物线与轴没有交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】抛物线与x轴没有交点等价于对应一元二次方程无实数根，利用根的判别式列不等式求解即可． 【详解】解：∵抛物线与轴没有交点， ∴一元二次方程没有实数根， 根据一元二次方程根的判别式性质，得， 即， 解得． 12．如图，抛物线与轴两交点横坐标分别为和2，则不等式的解集为________ 【答案】 【分析】根据抛物线解析式以及与x轴的交点可知的解集即为抛物线在x轴上方的部分，进而即可推出的解集． 【详解】解：令，可得， 由图可得，此不等式的解为， ∵可变为， ∴的解集为． 13．已知二次函数的图象与轴没有交点，则的取值范围为（     ） A． B．且 C． D．且 【答案】A 【分析】结合二次函数的定义与图象和轴无交点的条件，列不等式求解即可． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴， ∵图象与轴没有交点， ∴，解得， ∴综上可得，的取值范围为． 题型五 根据二次函数图象确定相应方程根的情况 14．如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于点，，则关于x的方程的解是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】解：点，是与的图象交点， 所以：的解是，． 15．二次函数的图象如图所示，若关于的方程有两个不相等的实数根，则常数的取值范围是_________________． 【答案】 【分析】将方程 的根的问题转化为二次函数 的图象与直线 的交点问题，结合图象中顶点的纵坐标进行求解． 【详解】解：关于 的方程 有两个不相等的实数根， 等价于二次函数 的图象与直线 有两个不同的交点． 由图象可知，抛物线开口向下，且顶点的纵坐标为 ． ∴ 当直线 位于抛物线顶点下方时，即 时，直线与抛物线有两个不同的交点． ∴ 的取值范围是 ． 16．根据下列表格中的二次函数（，a，b，c为常数）的自变量x与函数y的对应值，判断的一个解x的取值范围为（    ） x y 1.34 2.25 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵当时，，当时，． ∴的一个解的取值范围是． 题型六 求 x 轴与抛物线的截线长 17．如图，抛物线向下平移个单位后，交轴于，A两点，则的长为______． 【答案】4 【分析】首先根据图象的平移规律得出平移后的抛物线的解析式，然后令，求出两个x的值，即可求解． 【详解】抛物线向下平移个单位后的解析式为, 令， 解得， ∴的长为4， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查二次函数的平移及与二次函数与一元二次方程，掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键． 18．在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向下平移3个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P、Q，则______． 【答案】 【分析】根据二次函数图象平移规律得到平移后的解析式，令求出抛物线与轴交点的横坐标，再计算两点之间的距离即可． 【详解】解：将二次函数的图象向下平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为，即， 令，则，解得，， ∴抛物线与轴的两个交点的横坐标分别为2018和2020， ∴． 19．在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴交于点，．若线段上有且只有7个点的横坐标为整数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出抛物线的顶点坐标，从而得，再根据线段上有且只有7个点的横坐标为整数，可得当时，，当时，，进而即可求解． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， ∴． ∵线段上有且只有7个点的横坐标为整数， ∴这些整数为，，0，1，2，3，4. ∵， ∴当时，，当时，， ∴且， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查二次函数的图像和性质，根据函数图像点的坐标特征，列出关于m的不等式组，是解题的关键． 题型七 图象法确定一元二次方程的近似根 20．二次函数部分x和y的值如表：则方程的较大的根范围是（   ） x y 0.61 0.24 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、利用表格确定一元二次方程的近似根等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． 先求得对称轴为直线，再根据表格数据得的较小的根的范围为，最后根据二次函数图象的对称性即可解答． 【详解】解：依题意，函数的对称轴为直线， 由表格数据可得： 当时，；当时，， ∴的较小的根的范围为， 设较小根为，较大根为， ∵函数的对称轴为直线， ∴， 当时，； 当时，， ∴的较大的根的范围是． 故选：C． 21．二次函数的图象如图所示，若方程的一个近似根是，则方程的另一个近似根为__________．（结果精确到0.1） 【答案】0.2． 【分析】利用抛物线的对称性进行求解即可． 【详解】解：由图可知，抛物线的对称轴为：x=-1， ∵方程的一个根为x=-2.2， ∴另一个根为：-1×2-（-2.2）=0.2， 故答案为：0.2． 【点睛】此题考查了图象法求一元二次方程的近似根，弄清题中的数据关系是解本题的关键． 22．由下表可知，关于的一元二次方程的一个近似根是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由表格可知方程的一个根在与之间，再比较对应的函数值哪个更接近，即可得出答案． 【详解】解：∵当时，，当时，， ∴方程的一个根在与之间， ∵，即对应的函数值更接近， ∴该方程的一个近似根为． 题型八 图象法解一元二次不等式 23．如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】利用二次函数的对称性，可得出图象与x轴的另一个交点坐标，结合图象可得出ax2+bx+c<0的解集． 【详解】解：由图象得：对称轴是x=2，其中一个点的坐标为（5，0）， ∴图象与x轴的另一个交点坐标为（－1，0）， 由图象可知：ax2+bx+c<0的解集即是y＜0的解集， ∴x＜－1或x＞5． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数与不等式的关系，解决本题的关键是求出抛物线与x轴的交点坐标． 24．已知二次函数，将该二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线与新图象有2个交点时，的取值范围是______． 【答案】或 【分析】本题考查图象法求不等式的解集，求出二次函数的顶点坐标，图象法确定不等式的解集即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴翻折后顶点坐标的对应点的坐标为， 由图象可知当时，直线与新图象有2个交点，当时，直线与新图象有2个交点； 故答案为：或． 25．已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】根据对称性求出抛物线与x轴的另一个交点坐标，利用图象法求出x的取值范围即可． 【详解】解：由图象知，抛物线与轴交于，对称轴为直线， 抛物线与轴的另一交点坐标为， 时，函数的图象位于轴的下方，且当时函数图象位于轴的下方， 当时，． 题型九 利用不等式求自变量或函数值的范围 26．已知抛物线经过点，当时，，则m的值可能是（  ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】先求出抛物线与x轴的两个交点坐标，再根据函数图象进行求解即可． 【详解】解：当时，则， 解得或， ∴抛物线与x轴的两个交点坐标为， ∴由函数图象可知，当时，， ∵抛物线经过点，当时，， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查了图象法解不等式，正确求出抛物线与x轴的两个交点坐标是解题的关键． 27．已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如表：则当时，y的取值范围是__________． 0 1 2      6 3 2 3 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，掌握相关知识是解决问题的关键．根据表格数据，确定二次函数的对称轴为直线，开口方向，结合给定自变量范围分析函数值的取值范围． 【详解】解：由表可知，当和时，， 故对称轴为直线． 当时，，为函数最小值， 因此二次函数开口向上． 在内，y的最小值为2（在处取得）， 当x趋近于时，y趋近于但不等于， 当x趋近于时，y趋近于但不等于， ∴y的取值范围为． 故答案为：． 28．若点在抛物线上，其中，则不等式的解为（   ） A．或 B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质，以及解不等式，先由点在抛物线上得，再将其代入不等式，再根据，得出解集即可． 【详解】解：∵点在抛物线上， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴或， ∴或， 故选：A． 题型十 根据交点确定不等式的解集 29．如图，过点且平行于轴的直线与二次函数（）的图像的交点坐标为，，则不等式的解集为（ ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与一元二次不等式，掌握相关知识是解题的关键；根据二次函数的图象与直线的交点坐标即可求解． 【详解】解：∵直线过点且平行于轴， ∴直线平行于轴， ∵直线与二次函数图象的交点坐标为且， 即， 即不等式的解集为二次函数（）的图像在直线上方时对应的的取值范围， ∴或， 故选：C． 30．如图，已知抛物线与直线交于、两点．则关于x的不等式的解集是（     ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【详解】解：由关于x的不等式可知：， ∴由函数图象及题意可知：关于x的不等式的解集为或． 31．如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是___________． 【答案】或 【分析】根据题目要求不等式的解集，先根据一次函数对称性和抛物线关于轴对称，得到直线关于轴对称的直线，从而确定抛物线与直线交于，两点，最后由函数图象关系求不等式解集的方法求解即可． 【详解】解：直线与直线关于轴对称，抛物线的对称轴为轴，且抛物线与直线交于，两点， 抛物线与直线交于，两点，如图所示： ∵， ∴， 由图象可知，当或时，抛物线在直线上方， 不等式的解集是或． 【点睛】由题目问题出发，想将要求解的不等式转化为能用函数图象关系求解，就必须利用一次函数对称性得到直线关于轴对称的直线，这是解题的关键也是难点所在． 解答题 32．已知二次函数，函数值y与自变量x的部分对应值如表： x … 0 1 2 … y … 0 4 3 0 … (1)求该二次函数的表达式； (2)当时，求自变量x的取值范围； (3)当时，求此时y的取值范围． 【答案】(1) (2)时，自变量x的取值范围为； (3)当时，此时y的取值范围为 【分析】（1）设交点式为，然后把代入求出a即可； （2）先解方程得，然后根据二次函数的性质求解； （3）先利用配方法得到，则当时，y有最大值4，当时，，当时，，从而根据二次函数的性质得到此时y的取值范围为． 【详解】（1）解：∵抛物线经过， ∴设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， ∴抛物线解析式可设为， 即； （2）当时，， 解得， ∴时，自变量x的取值范围为； （3）∵， ∴当时，y有最大值4， 当时，， 当时，， ∴当时，此时y的取值范围为． 33．已知：抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且点的坐标为，结合图象回答以下问题： (1)方程的根是______； (2)函数值不大于0，的取值是______； (3)当时，的取值范围是______； (4)若直线经过、两点，则时，的取值是______． 【答案】(1)， (2)或 (3) (4) 【分析】本题主要查了二次函数的图象和性质： （1）把抛物线解析式化为顶点式，可求出抛物线的对称轴为直线，从而得到抛物线与x轴的另一个交点即可求解； （2）直接观察函数图象，即可求解； （3）点代入抛物线解析式，求出c，再观察函数图象，即可求解； （4）直接观察函数图象，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线与x轴的一个交点为点， ∴抛物线与x轴的另一个交点为点， ∴方程的根是； 故答案为：； （2）解：观察图象得：当或时，函数图象位于x轴的下方， ∴函数值不大于0时，x的取值是或； 故答案为：或； （3）解：∵抛物线与x轴的一个交点为点， ∴， ∴， ∴原抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为，即该二次函数的最大值为4， 观察图象得：当时，y的取值范围是； 故答案为：； （4）解：观察图象得：当时，直线位于抛物线的下方， ∴时，x的取值是； 故答案为：． 34．如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C． (1)求A，B，C三点的坐标； (2)结合图象直接写出：的解集；以及当时，函数值y的取值范围． 【答案】(1)，， (2)①　② 【分析】（1）分别令，即可求解； （2）的解集即为二次函数在x轴上方的图象对应的自变量的取值范围，结合二次函数的图象根据自变量的取值范围求对应的函数值即可求解． 【详解】（1）解：令得， 解得或； 令得． 故，，． （2）解：由图象知，函数值大于0的部分在两交点之间，故的解集为． 当时，， 当时，， ∵， ∴顶点坐标为， 故当时，． 35．已知抛物线过，两点，其中m是常数． (1)求a，b之间的数量关系． (2)当时，抛物线对应的二次函数的最大值为． （ⅰ）求二次函数的表达式． （ⅱ）若，是抛物线上两个不同的点，，求证：． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）见解析 【分析】（1）根据抛物线过，两点，求得该抛物线的对称轴，再根据二次函数对称轴的公式，求得a，b之间的数量关系． （2）（ⅰ）由（1）可知，从而得到二次函数的表达式为，由以及该二次函数的对称轴为直线，求得该函数最大值为，结合已知条件二次函数的最大值为，建立一个关于a的方程，解方程即可求出a的值，最后得到二次函数表达式． （ⅱ）由题可知，，是方程的两个实数根，由一元二次方程根与系数的关系，可得，将代入，并运用配方法将其等价变形，得到 ，结合，可得且，最后将进行化简即可证得结论． 【详解】（1）解：由题意可知，对称轴为直线， ∴， ∴． （2）解：（ⅰ）由（1）得，对称轴为直线． ∵， ∴当时，函数取得最大值，最大值为． 由已知最大值为，得， 解得， 此时， ∴二次函数的表达式为：． （ⅱ）证明：根据题意可知，，是方程的两个实数根，即， ∴，且， ∴，． ∵， ∴且， ∴． 36．一次函数的图象与轴交于点，二次函数的图象经过点、原点和一次函数图象上的点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)如图1，一次函数与二次函数的图象交于点、，过点作直线轴于点，过点作直线轴，过点作于点． ①________，________（分别用含的代数式表示）； ②证明：； (3)如图2，二次函数的图象是由二次函数的图象平移后得到的．点是二次函数的图象上的点，设点的横坐标为，过点平行于轴的直线交函数的图像于点，交函数的图像于点、（在点右侧）， ①当时，求点的坐标； ②直接写出点是的中点时的的值 【答案】(1) (2)①，； ②证明：当时，位于的上方，∵、， ∴，， ∴， 当时，位于的下方，同理可证． 故可得：； (3)①；② 【分析】（1）通过一次函数表达式可以求出A、B两点坐标，将A、B、O三点坐标代入二次函数表达式即可求解； （2）①通过联立关系式可得：，利用公式法解一元二次方程，求出方程的解即可得到的值； ②通过， 即可求出的长度；通过，F即可求出的长度； （3）①根据题意分别表示出，的坐标，进而求得， ，根据，建立方程，解方程，即可求解． ②由点是的中点时，建立方程，解方程求解即可． 【详解】（1）令，则，解得， ∴， 将点代入中，解得， ∴点的坐标为． 将，，代入可得： ，解得：， ∴二次函数的表达式为． （2）①∵一次函数与二次函数的图像交于点、（）， ∴联立关系式得：， 整理得：， 解得：，， 故答案为：，； ②略 （3）①依题意，，在上，对称轴为直线 ∴，， ∵在上，对称轴为直线 当时， 解得： ∴ ，， ∴， ， ∵ ∴ 解得或 （舍去） ∴ ②由①可得，， 当点是的中点时， ∴ 解得：或（舍去） 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数表达式，联立关系式求交点坐标及利用点的坐标表示线段的长度，能够熟练掌握函数中表示线段长度的方法，求交点坐标的方法，熟练掌握用公式法解一元二次方程是解决本题的关键． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $